Mục lục

Chương 1. PHẠM TRÙ CỘNG TÍNH VÀ PHẠM TRÙ ABEL . 1

1.1. Phạm trù cộng tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Hệ quả của định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3. Hạt nhân và đối hạt nhân trong một phạm trù cộng tính . . . 6

1.1.4. Ảnh và đối ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Phạm trù Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3. Dãy khớp trong phạm trù Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.4. Dãy khớp ngắn chẻ ra trong phạm trù Abel . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Chương 2. Hàm tử cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1. Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Hàm tử khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2. Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Hàm tử khớp trong các phạm trù Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

i

CHƯƠNG 1

PHẠM TRÙ CỘNG TÍNH VÀ PHẠM TRÙ ABEL

1.1. Phạm trù cộng tính

1.1.1. Định nghĩa

Cho một phạm trù C, trong đó mỗi tập hợp [A,B]C được trang bị một

cấu trúc nhóm abel cộng, thỏa mãn 3 tiên đề sau :

1. Phép hợp thành các xạ phân phối với phép cộng các xạ, tức là

∀g1, g2 : B −→ C, f : A −→ B, h : C −→ D,

ta có :

(g1 + g2)f = g1f + g2f,

h(g1 + g2) = hg1 + hg2

2. C có một vật không, ký hiệu là 0.

3. Với mọi cặp vật (A1, A2), tồn tại một vật B và bốn xạ :

A1

j1//

Bp1

oo

p2//

A2j2

oo

thỏa mãn các đẳng thức :

p1j1 = 1A1, p2j2 = 1A2

, j1p1 + j2p2 = 1B

Ví dụ 1.1.1. Phạm trù các nhóm Abel (kí hiệu Ab) là cộng tính. Phạm

trù này được định nghĩa như sau :

• Các vật là tất cả các nhóm Abel.

1

• Các xạ là các đồng cấu nhóm.

• Phép hợp thành các xạ là phép hợp thành các đồng cấu nhóm.

Ví dụ 1.1.2. Pham trù các mođun trái trên vành V (kí hiệu VMod) là

cộng tính. Phạm trù này được định nghĩa như sau :

• Các vật là tất cả các mođun trái trên vành V .

• Các xạ là các đồng cấu mođun.

• Phép hợp thành các xạ là phép hợp thành các đồng cấu mođun.

1.1.2. Hệ quả của định nghĩa

Hệ quả 1.1. Mỗi tập hợp [A,B]C là một nhóm abel cộng nên tồn ít nhất

1 xạ từ vật A đến vật B (ví dụ là phần tử không)

Hệ quả 1.2. Kí hiệu phần tử không của nhóm [A,B]C là 0, nếu các hợp

thành 0f, g0 xác định thì ta có :

0f = 0 = g0

Chứng minh. Thật vậy, ta có

0f = (0 + 0)f = 0f + 0f ⇔ 0f = 0.

Tương tự, g0 = 0.

Hệ quả 1.3. Xét nhóm [0, 0]C, ta có xạ đồng nhất của vật 0 chính là phần

tử 0 của nhóm.

Hệ quả 1.4. Xét nhóm [A,B]C, ta có xạ không từ A đến B chính là phần

tử 0 của nhóm.

Chứng minh. Theo định nghĩa xạ không, ta gọi f1 là phần tử duy nhất

của [A, 0]C và f2 là phần tử duy nhất của [0, B]C. Khi đó, f1 chính là phần

2

tử không của [A, 0]C (vì nó biến mọi phần tử trong tập A thành 0) và hợp

thành f2f1 = 0AB (chính là xạ không từ A đến B). Vậy ta có :

f1 + f1 = f1

Suy ra :

f2f1 = f2(f1 + f1) = f2f1 + f2f1

Lược giản 2 vế, ta được : f2f1 = 0.

Vậy f2f1 là phần tử không của nhóm [A,B]C

Hệ quả 1.5. Cho nhóm [A,B]C, với mọi xạ f : A −→ B, với mọi vật X

của C, ta có ánh xạ cảm sinh

[X, f ] : [X,A]C −→ [X,B]C

g 7−→ fg

là một đồng cấu nhóm abel.

Chứng minh. Ta có :

[X, f ](g1 + g2) = f(g1 + g2) = fg1 + fg2 = [X, f ]g1 + [X, f ]g2

Vậy [X, f ] là một đồng cấu nhóm abel.

Hệ quả 1.6. f là một đơn xạ ⇔ ∀X ∈ |C|, [X, f ] là một đơn ánh.

Chứng minh. Theo khái niệm ở hệ quả 1.5, ta có

Ker[X, f ] = {g ∈ [X,A]C : [X, f ]g = 0 ∈ [X,B]C}

Vì f là 1 đơn xạ nên f giản lược được bên trái. Vậy

[X, f ]g = 0⇔ fg = 0 = f0⇔ g = 0,∀X ∈ |C|( theo hệ quả 1.2 ).

Suy ra : Ker[X, f ] = 0. Vậy [X, f ] là 1 đơn ánh.

3

Hệ quả 1.7. Tương tự ta có ánh xạ cảm sinh

[f,X] : [B,X]C −→ [A,X]C

h 7−→ hf

cũng là một đồng cấu nhóm abel.

Hệ quả 1.8. f là một toàn xạ ⇔ ∀X ∈ |C|, [f,X] là một đơn ánh.

Chứng minh. tương tự hệ quả 1.6

Xét các xạ ở tiên đề 3, ta có các hệ quả sau :

Hệ quả 1.9. p1j2 = p2j1 = 0

Chứng minh. Ta có :

p1j2 = p11Bj2 = p1(j1p1 + j2p2)j2

= p1j1p1j2 + p1j2p2j2 = 1A1p1j2 + p1j21A2

= p1j2 + p1j2

Lược giản 2 vế, ta có p1j2 = 0.

Tương tự, ta được p2j1 = 0

Hệ quả 1.10. Nếu f1 : C −→ A1, f2 : C −→ A2, g = j1f1 + j2f2 với

g : C −→ B thì tương ứng :

τ : [C,A1]C ⊕ [C,A2]C −→ [C,B]C

(f1, f2) 7−→ g

là một ánh xạ, một đồng cấu nhóm cộng. Hơn nữa còn là một đẳng cấu.

Chứng minh. Ta có :

4

• ∀(f ′1, f ′2) ̸= (f1, f2), ta có :

g′ − g = τ(f ′1, f′2)− τ(f1, f2) = (j1f

′1 + j2f

′2)− (j1f1 + j2f2)

= j1(f′1 − f1) + j2(f

′2 − f2) ̸= 0.

Suy ra g′ ̸= g. Vậy τ là một ánh xạ.

• Dựa vào giả thiết trên, ta có sơ đồ sau :

Cg��

f1

~~}}}}

}}}} f2

AA

AAAA

AA

A1

j1//

Bp1

oo

p2//

A2j2

oo

Với mọi (f1, f2), (f′1, f

′2), ta có :

τ [(f1, f2) + (f ′1, f′2)] = τ(f1 + f ′1, f2 + f ′2) = j1(f1 + f ′1) + j2(f2 + f ′2)

= j1f1 + j1f′1 + j2f2 + j2f

′2

= j1f1 + j2f2 + j1f′1 + j2f

′2

= g + g′ = τ(f1, f2) + τ(f ′1, f′2)

Vậy τ là một đồng cấu nhóm cộng.

• Với mọi xạ g ∈ [C,B]C, ta có : p1g ∈ [C,A1]C; p2g ∈ [C,A2]C là cặp

xạ chung nguồn C. Khi đó :

j1(p1g) + j2(p2g) = (j1p1 + j2p2)g = 1Bg = g

Suy ra τ là 1 đẳng cấu. Vậy ta có :

[C,A1]C ⊕ [C,A2]C ∼= [C,B]C

Hơn nữa, vì p1g = f1, p2g = f2 nên biểu đồ :

A1p1←− B

p2−→ A2

là một tích của A1 và A2

5

Hệ quả 1.11. Tương tự như hệ quả 1.10, nếu : h1 : A1 −→ D, h2 : A2 −→D, k = h1p1 + h2p2 với k : B −→ D thì tương ứng

τ : [A1, D]C ⊕ [A2, D]C −→ [B,D]C

(h1, h2) 7−→ k

cũng là một đẳng cấu nhóm abel. Khi đó :

[A1, D]C ⊕ [A2, D]C ∼= [B,D]C

Chứng minh. Hoàn toàn tương tự như Hệ quả trên.

Sơ đồ mô tả :

A1

h1 AAA

AAAA

A

j1//

B

k��

p1oo

p2//

A2j2

oo

h2~~}}}}

}}}}

D

Vậy kj1 = f1, kj2 = f2 nên A1j1−→ B

j2←− A2 là một đối tích (tổng) của A1

và A2.

Nhận xét 1.1.1. Vậy qua 2 hệ quả 1.10 và 1.11, với mọi vật X ∈ C, với

mọi họ xạ fi, tồn tại duy nhất 1 xạ g : X −→ A1

∏A2 , với mọi họ xạ hi,

tồn tại duy nhất 1 xạ k : A1

⨿A2 −→ X thỏa mãn pig = fi, kji = hi.

Suy ra ánh xạ chính tắc ρ : A1

⨿A2 −→ A1

∏A2 là 1 đẳng xạ.

1.1.3. Hạt nhân và đối hạt nhân trong một phạm trù cộng

tính

Trong chương trước, chúng ta đã có định nghĩa về hạt nhân Kerf và

đối hạt nhân Cokerf . Trong phạm trù cộng tính, không nhất thiết phải

có đầy đủ Kerf và Cokerf nhưng ở đây ta giả sử là Kerf và Cokerf

tồn tại và ta có thể đặc trưng chúng bằng khái niệm dãy khớp những đồng

cấu nhóm Abel.

6

Hạt Nhân :

Cho một phạm trù C có vật không và 2 xạ :

Af−→ B

g−→ C

thì khi đó : (f, A) = kerg nếu và chỉ nếu với mọi vật X ∈ C, dãy ánh xạ

cảm sinh :

[X,A]C[X,f ]−−−→ [X,B]C

[X,g]−−→ [X,C]C

thỏa mãn các điều kiện :

1. [X, f ] là một đơn ánh

2. Im[X, f ] = [X, g]−1(0)

Khi đó, nếu C là phạm trù cộng tính thì dãy đồng cấu nhóm Abel sau là

dạy khớp :

0→ [X,A]C[X,f ]−−−→ [X,B]C

[X,g]−−→ [X,C]C

Đối hạt nhân :

Cho một phạm trù C có vật không và 2 xạ :

Af−→ B

g−→ C

thì khi đó : (g, C) = Cokerf nếu và chỉ nếu với mọi vật X ∈ C, dãy ánh

xạ cảm sinh :

[C,X]C[g,X]−−→ [B,X]C

[f,X]−−−→ [A,X]C

thỏa mãn các điều kiện :

1. [g,X] là một đơn ánh

2. Im[g,X] = [f,X]−1(0)

Vậy trong phạm trù cộng tính C, dãy đồng cấu nhóm abel sau là dãy khớp

:

0→ [C,X]C[g,X]−−→ [B,X]C

[f,X]−−−→ [A,X]C

7

Hệ quả 1.12. Trong một phạm trù cộng tính :

• Để g là một đơn xạ thì điều kiện cần và đủ là kerg = 0

• Để f là toàn xạ thì điều kiện cần và đủ là Cokerf = 0

Chứng minh. Ta lần lượt kiểm tra 2 khẳng định trên :

• Ta có : g là một đơn xạ ⇔ [X, g] là đơn ánh

⇔ Ker[X, g] = 0⇔ ∃[X,B]C = 0,∀X ∈ C

⇔ B = 0⇔ Kerg = 0

• Ta có : f là một toàn xạ ⇔ [f,X] là đơn ánh

⇔ Ker[f,X] = 0⇔ ∃[B,C]C = 0

⇔ p = 0, C = 0

Vậy Cokerf = 0

1.1.4. Ảnh và đối ảnh

Giả sử trong phạm trù cộng tính C, mọi xạ đều có hạt nhân và đối hạt

nhât.

Định nghĩa 1.1. Giả sử f : A −→ B là một xạ của C, ta có :

(K,u) = Kerf, (C, p) = Cokerf, (D, q) = Cokeru, (I, v) = Kerp

1. Nếu (I, v) = Ker(Cokerf) thì (I, v) là ảnh của f , kí hiệu : Imf .

2. Nếu (D, q) = Coker(Kerf) thì (D, q) là đối ảnh của f , kí hiệu :

Coimf

Định lý 1.1.1. Với các kí hiệu ở định nghĩa trên thì luôn luôn tồn tại duy

nhất một xạ f sao cho f phân tích được dưới dạng :

f = vfq

8

Chứng minh. Ta có sơ đồ sau :

Ku //A

q��

f//B

p//C

Df

//

g>>~~~~~~~~I

v

OO

Vì [K, u] = Kerf nên fu = 0. Mà [D, q] = Cokeru nên q là một toàn

xạ và ta xét 1 nhánh của sơ đồ trên :

Ku //A

f��

q//D . . .

g{{xx

xxxx

xxx

B

Theo định nghĩa Cokeru thì tồn tại duy nhất một xạ g : D −→ B sao cho

gq = f . Vậy 0 = fu = gqu. Vì q toàn xạ nên pg = 0.

Ta lại có (I, v) = kerp nên ta có 1 nhánh sơ đồ ở trên như sau :

Iv //B

p//C . . .

Df

__????????g

OO

Vậy theo định nghĩa Kerfp, tồn tại duy nhất một xạ f : D −→ I sao cho

fv = g. Vậy f = gq = vfq.

Ta có thể kiểm tra lại tính duy nhất của f . Giả sử tồn tại f ′ : D −→ I

thỏa mãn :

f = vf ′q

thì khi đó :

vfq = vf ′q

Mà q là toàn xạ, v là đơn xạ (vì (I, v) = kerp) nên lược giản trái phải, ta

được f = f ′.

Nhận xét 1.1.2. Vậy rõ ràng ta thấy f : Coimf −→ Imf được gọi là xạ

chính tắc.

9

Ví dụ 1.1.3. Trong phạm trù V −Mod, giả sử f : A −→ B là một V -đồng

cấu. Khi đó, ta có :

K = Kerf = f−1(0), u : K −→ A,

C = Cokerf = B/Imf, p : B −→ B/Kerf( đồng cấu tự nhiên),

D = Coimf = A/Kerf = A/Imu = Cokeru, q : A −→ A/Kerf,

I = Imf = Kerp, v : Imf −→ B.

Ánh xạ chính tắc f : Coimf = A/Kerf −→ Imf là một đẳng cấu.

1.2. Phạm trù Abel

1.2.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.2. Một phạm trù Ađược gọi là Abel nếu và chỉ nếu nó thỏa

mãn các tiên đề sau :

1. A là phạm trù cộng tính.

2. Mọi xạ của A đều có hạt nhân và đối hạt nhân.

3. Với mọi xạ f : A −→ B, xạ chính tắc f (trong phân tích chính tắc

f = vfq) là một đẳng xạ.

Ví dụ 1.2.1. Các phạm trù Ab, VMod là Abel.

1.2.2. Tính chất

Tính chất 1.1. Trong một phạm trù Abel A, mọi song xạ đều là đẳng xạ.

Chứng minh. Với mọi song xạ f : A −→ B, ta xét phân tích chính tắc

sau:

0u //Aq= 1A

��

f//B

p// 0

Af

//B

v= 1B

OO

10

Rõ ràng, f = vfq với Kerf = (u, 0);Cokerf = (p, 0)

mà : (q, A) = Coker(Kerf) = Coker(0, 0); (v,B) = Ker(Cokerf) =

Ker(0, 0)

Vậy q = 1A, v = 1B( vì Ker(0, 0), Coker(0, 0) là những xạ đồng nhất)

Và 1A, 1B là những đẳng xạ, f là đẳng xạ (theo định nghĩa phạm trù Abel).

Vậy f là đẳng xạ.

Tính chất 1.2. Trong một phạm trù Abel A, mọi xạ f : A −→ B đều

phân tích được dưới dạng f = hg với g là toàn xạ, h là đơn xạ.

Chứng minh. Thật vậy, với mọi xạ f : A −→ B, ta có thể viết :

f = v(fq) hoặc f = (vf)q

trong đó : v là đơn xạ, fq là toàn xạ (vì q là toàn xạ f là đẳng xạ) hoặc

vf là đơn xạ (vì v đơn xạ, f đẳng xạ), q là toàn xạ.

Tính chất 1.3. Trong một phạm trù Abel A,

• nếu f là đơn xạ thì f = ker(Cokerf)

• nếu f là toàn xạ thì f = Coker(kerf)

Chứng minh. Sử dụng khái niệm ảnh và đối ảnh.

• Giả sử f là đơn xạ thì ta có phân tích chính tắc sau :

0u //Aq= 1A

��

f//B

p//C

Af

//B

v

OO

Khi đó : f = vf1A, mà f1A là đẳng xạ (vì f, 1A là những đẳng xạ).

Hay là : f và v chỉ xê xích nhau 1 đẳng xạ. Từ phân tích chính tắc,

ta cũng có : v = Ker(Cokerf)

Suy ra : f = Ker(Cokerf) (vì Ker là duy nhất)

11

• Giả sử f là toàn xạ thì ta có phân tích chính tắc sau :

Ku //A

q��

f//B

p// 0

Af

//B

1B

OO

Khi đó, f = 1Bfq với 1B, f là những đẳng xạ.

Vậy f và q chỉ xê xích nhau 1 đẳng xạ. Từ phân tích chính tắc, ta có:

q = Coker(Kerf).

Suy ra : f = Coker(Kerf) (vì Coker là duy nhất)

Nhận xét 1.2.1. Vậy trong phạm trù Abel, mọi đơn xạ đều là hạt nhân,

mọi toàn xạ đều là đối hạt nhân.

Tính chất 1.4. (Đảo lại tính chất trên) Cho A là một phạm trù cộng

tính, trong đó mỗi xạ f đều có hạt nhân và đối hạt nhân phân tích được

dưới dạng f = hg, với g là toàn xạ, h là đơn xạ. Nếu A thỏa mãn thêm 2

điều kiện :

• Với mọi u là đơn xạ thì u = Ker(Cokeru)

• Với mọi v là toàn xạ thì v = Coker(Keru)

thì A là một phạm trù Abel.

Chứng minh. Với mọi xạ f ∈ A, từ giả thiết f = hg, ta có :

A

g��

@@@@

@@@f

//B

C

h

OO

với g là toàn xạ, h là đơn xạ.

Vì h là đơn xạ nên Kerh = 0⇒ Kerf = Ker(hg) = Kerg.

12

Vì g là toàn xạ nên Cokerg = 0⇒ Cokerf = Coker(hg) = Cokerh.

Vì g là toàn xạ nên g = Coker(Kerg) = Coker(Kerf).

Vì h là đơn xạ nên h = Ker(Cokerh) = Ker(Cokerf).

Tiếp theo, ta xét phân tích chính tắc của f :

K //Af

//

q=g��

B //H

D = Cf=1C

//C = I

v=h

OO

Ta chọn 2 vật D và I trong định nghĩa phân tích đều bằng C thì f = 1C

là 1 đẳng xạ.

Vậy A là một phạm trù Abel.

1.2.3. Dãy khớp trong phạm trù Abel

Định nghĩa 1.3. Cho một phạm trù Abel A, một dãy 2 xạ :

Af−→ B

g−→ C

được gọi là khớp nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương

đương sau :

1. Imf = Kerg

2. Coimf = Cokerg

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh 2 điều kiện trên tương đương nhau.

• 1)⇒ 2). Giả sử Imf = Kerg thì Ker(Cokerf) = Kerg

Suy ra : Coker(Ker(Cokerf)) = Coker(Kerg) = Coimg.

Mà Cokerf là toàn xạ (từ t/c : Nếu (p, C) = Cokerf thì p là toàn

xạ) nên Cokerf = Coker(Ker(Cokerf)).

• 2)⇒ 1). Biến đổi ngược lại ở trên, ta có đpcm.

13

Định nghĩa 1.4. Từ định nghĩa trên, ta mở rộng cho các trường hợp

những dãy xạ dài trong phạm trù Abel.

... −→ Ai−1fi−1−−→ Ai

fi−→ Ai+1 −→ ...

Dãy trên được gọi là khớp, nếu và chỉ nếu với mọi i, ta có :

Imfi−1 = Kerfi

Nhận xét 1.2.2. Từ đây, ta có nhận xét về một số dãy xạ thường gặp :

• Dãy 0 −→ Af−→ B

g−→ C là khớp nếu 0 = Im(0) = Kerf và

Imf = Kerg.Vậy f là một đơn xạ.

Suy ra f = Ker(Cokerf) = Imf (định nghĩa Im) .

Do đó, f = Kerg.

Từ định nghĩa "hạt nhân trong phạm trù cộng tính", ta có dãy đồng

cấu Abel :

0 −→ [X,A]A[X,f ]−−−→ [X,B]A

[X,g]−−→ [X,C]A

là dãy khớp, với X là 1 vật bất kỳ trong phạm trù Abel A Vậy, ta rút

ra kết quả :

Trong phạm trù Abel As, một dãy xạ :

0 −→ Af−→ B

g−→ C

là dãy khớp khi và chỉ khi với mọi vật X ∈ A dãy đồng cấu

nhóm Abel:

0 −→ [X,A]A[X,f ]−−−→ [X,B]A

[X,g]−−→ [X,C]A

là dãy khớp.

14

• Xét dãy xạ

Af−→ B

g−→ C −→ 0.

là dãy khớp, nếu và chỉ nếu

Cokerf = Coimg,Cokerg = Coim0 = 0.

Vậy g là toàn xạ. Suy ra g = Coker(Kerg) = Coimg (Định nghĩa

Coim).

Do đó : g = Cokerf .

Từ định nghĩa "đối hạt nhân trong phạm trù cộng tính", ta có dãy

đồng cấu Abel:

0 −→ [C,X]As[g,X]−−→ [B,X]A

[f,X]−−−→ [A,X]A

là dãy khớp.

Kết luận :

Trong một phạm trù Abel, dãy xạ :

Af−→ B

g−→ C −→ 0

là dãy khớp nếu và chỉ nếu, dãy đồng cấu Abel :

0 −→ [C,X]As[g,X]−−→ [B,X]A

[f,X]−−−→ [A,X]A

là dãy khớp.

1.2.4. Dãy khớp ngắn chẻ ra trong phạm trù Abel

Định nghĩa 1.5. Cho phạm trù Abel A, một dãy xạ có dạng :

0 −→ Af−→ B

g−→ C −→ 0

được gọi là dãy khớp ngắn chẻ ra, nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn một trong

các điều kiện tương đương sau :

15

1. dãy trên là khớp và tồn tại một xạ r : B −→ A sao cho rf = 1A

2. dãy trên là khớp và tồn tại một xạ s : C −→ B sao cho gs = 1C

3. tồn tại các xạ r : B −→ A và s : C −→ B sao cho :

rf = 1A, gs = 1C , gf = 0, rs = 0, fr + sg = 1B

(Nghĩa là : (B, f, s) = A⨿

C, (B, r, g) = A∏

C)

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh các điều kiện trên tương đương nhau :

• 1)⇒ 2). Giả sử dãy trên là dãy khớp và tồn tại một xạ r : B −→ A

sao cho rf = 1A. Ta cần chứng minh tồn tại một xạ s : C −→ B sao

cho gs = 1C .

Vậy ta có sơ đồ sau :

0 //Af

//Br

oo

g//C

soo

// 0

Vì A là một phạm trù Abel nên A phải là một pham trù cộng tính.

Theo định nghĩa phạm trù cộng tính, nếu tồn tại xạ s như trên thì

ta cần có hằng đẳng thức :

fr + sg = 1B

Vậy trước tiên, ta xét xạ v = (1B − fr) : B −→ B thỏa mãn :

vf = (1B − fr)f = f − frf = f − f1A = f − f = 0

Mà (C, g) = Cokerf nên theo định nghĩa Cokerf , tồn tại duy nhất

1 xạ s : C −→ B sao cho : sg = v = 1B − fr.

Hay : fr + sg = 1B. Suy ra :

1Cg = g = g1B = g(fr + sg) = gfr + gsg

Từ hệ quả 1.9, ta có : gf = 0 nên gfr = 0.

Vậy 1Cg = gsg, mà g là toàn xạ nên ta lược phải thì có 1C = gs

16

• 2) ⇒ 1). Theo nguyên lý đối ngẫu hoặc ta cũng có thể chứng minh

tương tự ở trên bằng cách xây dựng xạ v = 1B − sg.

• 1)⇒ 3). Giả sư dãy trên khớp và tồn tại một xạ r : B −→ A sao cho

rf = 1A. Vì 1)⇔ 2) nên tồn tại xạ s : C −→ B sao cho gs = 1C và

fr + sg = 1B. Suy ra

rsg = r(1B − fr)g = r1B − rfr = r − 1Ar = r − r = 0.

Do g là toàn xạ nên lược phải ta có rs = 0.

Vậy ta có các hệ thức sau :

rf = 1A, gs = 1C , gf = 0, rs = 0, fr + sg = 1B

• 3) ⇒ 1). Giả sử tồn tại 2 xạ r, s thỏa mãn 4 hệ thức trên. Ta cần

phải chứng minh 1 trong 2 điều :

Imf = Kerg hoặc Cokerf = Coimg

Ta có : f là đơn xạ nên Imf = (A, f) (như sơ đồ bên dưới). Vậy ta

chỉ cần chứng minh (A, f) = Kerg, tức là :

gf = 0, ∀X ∈ |A|, ∀h : X −→ B sao cho gh = 0

thì tồn tại duy nhất xạ k : X −→ A sao cho h = fk.

Ta xét sơ đồ sau :

0 / /Af

//Br

oo

g//C // 0

Xk

``@@@@@@@h

OO

Theo giả thiết 3), ta đã có gf = 0. Với xạ h như trên đã thỏa mãn

gh = 0, ta có :

h = 1Bh = (fr + sg)h = frh+ sgh = frh( vì gh = 0)

17

Đặt k = rh : X −→ A thì h = fk và xạ k là duy nhất.

Giả sử tồn tại k′ : X −→ A thỏa mãn h = fk′ thì :

fk = h = fk′ ⇔ k = k′( vì f đơn xạ nên lược trái )

18

CHƯƠNG 2

Hàm tử cộng tính

2.1. Định nghĩa và tính chất

2.1.1. Định nghĩa

Định nghĩa 2.1. Cho C và C′ là hai phạm trù cộng tính và H là hàm tử

(hiệp biến hoặc phản biến) từ C đến C′. Khi đó, H được gọi là phạm trù

cộng tính nếu và chỉ nếu với mọi cặp vật A,B của C, ánh xạ :

[A,B]C −→ [H(A),H(B)]C

f 7−→ H(f)

là một đồng cấu nhóm Abel, tức là với mọi cặp xạ f, g : A −→ B, ta có :

H(f + g) = H(f) +H(g)

Ví dụ 2.1.1. Cho C là một phạm trù cộng tính thì với mọi vật cố định A

của C, mọi xạ f : X −→ Y bất kì, hàm tử sau là cộng tính :

HA : C −→ Ab

X 7−→ HA(X) = [A,X]C

f 7−→ HA(f) = [A, f ] : [A,X]C −→ [A, Y ]C, φ 7−→ fφ

Chứng minh. Thật vậy, với mọi φ1, φ2 ∈ [A,X]C, C cộng tính nên ta có :

[A, f ](φ1 + φ2) = f(φ1 + φ2) = fφ1 + fφ2

= [A, f ](φ1) + [A, f ](φ2)

Vậy rõ ràng, HA là hàm tử cộng tính.

19

Ví dụ 2.1.2. Tương tự, ta xét phạm trù đối ngẫu C0 với hàm tử :

HA : C0 −→ Ab

X0 7→ HA(X0) = [X,A]C

f 0 7→ HA(f 0) : [Y,A]C −→ [X,A]C, φ 7−→ φf

Đây cũng là hàm tử cộng tính.

2.1.2. Tính chất

Tính chất 2.1. Cho C,C′ là 2 phạm trù cộng tính. Nếu H : C −→ C′ là

hàm tử cộng tính thì ta có :

1. H(0) = 0,H(−f) = −H(f)

2. H(A1

⨿A2) ∼= H(A1)

⨿H(A2),

H(A1

∏H(A2)) ∼= H(A1)

∏H(A2).

Chứng minh. Dùng định nghĩa.

1. Hệ quả trực tiếp từ H là một đồng cấu nhóm Abel.

2. Ta chỉ chứng minh hệ thức đối tích (hệ thức còn lại tương tự). Theo

Hệ quả 1.11, ta có sơ đồ sau :

A1j1//A1

⨿A2

p1oo

p2//A2

j2oo

Trong đó, p1j1 = 1A1, p2j2 = 1A2

, j1p1 + j2p2 = 1A1

⨿A2

.

Vì H cộng tính nên ta có :

H(p1j1) = H(p1)H(j1) = 1H(A1);H(p2)H(j2) = 1H(A2);

H(j1)H(p1) +H(j2)H(p2) = 1H(A1

⨿A2)

Từ các hệ thức này, ta có sơ đồ sau :

20

H(A1)H(j1)

// H(A1

⨿A2)

H(p1)oo

H(p2)// H(A2)

H(j2)oo

Rõ ràng, H(A1

⨿A2) ∼= H(A1)

⨿H(A2).

Tính chất 2.2. Giả sử K là hàm tử (hiệp biến) từ phạm trù cộng tính B

đến phạm trù cộng tính A và K có liên hợp trái H : A −→ B. Khi đó :

1. K là hàm tử cộng tính nếu và chỉ nếu H là hàm tử cộng tính.

2. Nếu K là hàm tử cộng tính thì song ánh liên hợp :

[H(A), B]B∼=−→ [A,K(B)]A

h 7→ g

là một đẳng cấu nhóm Abel.

Chứng minh. Sử dụng tính chất hàm tử liên hợp và tính biểu diễn.

1. (⇒)Giả sử K cộng tính. Theo tính chất "hàm tử liên hợp", nếu K có

liên hợp trái là H thì đối với xạ k : A −→ A′ của A, H(k) : H(A) −→H(A′) là xạ duy nhất của B sao cho ta có :

K(H(k))uA = uA′k

trong đó (uA,H(A)), (uA′,H(A′)) là phần tử "chỉ một mũi tên" đối

với hàm tử [A,K−]A, [A′,K−]A′.

Giả sử k1, k2 : A −→ A′, khi đó H(k1),H(k2) : H(A) −→ H(A′)

tương ứng là xạ duy nhất thỏa mãn

K(H(k1))uA = uA′k1,K(H(k2))uA = uA′k2

Cộng vế theo vế ta có :

[K(H(k1)) +K(H(k2))]uA = uA′(k1 + k2)

21

Vì K cộng tính nên

K(H(k1) +H(k2))uA = uA′(k1 + k2) (1)

Với k1 + k2 : A −→ A′ nên H(k1 + k2) là xạ duy nhất thỏa mãn

K[H(k1 + k2)]uA = uA′(k1 + k2) (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

H(k1 + k2) = H(k1) +H(k2)

Vậy H cộng tính.

(⇐) Giả sử H cộng tính, vì H là liên hợp trái của K nên K là liên

hợp phải của H. Khi đó, với mọi xạ h1, h2 : B −→ B′ trong B thì

K(h1),K(h2) : K(B) −→ K(B′) tương ứng là xạ duy nhất sao cho :

uB′H(K(h1)) = h1uB; uB′H(K(h2)) = uBh2

Bằng những lập luận tương tự như trên, ta có : K là cộng tính.

2. Nhắc lại phần tử "chỉ một mũi tên" : cặp (uA,H(A)) được gọi là

phần tử "chỉ có một mũi tên" đối với hàm tử HAK nếu và chỉ nếu

với mọi vật B của B, mọi xạ g ∈ [A,K(B)]B tức là g : A −→ K(B)

của B thì tồn tại xạ duy nhất h : H(A) −→ B sao cho :

g = [A,K(h)]uA = K(h)uA

Một hàm tử K : B −→ A có một liên hợp trái nếu và chỉ nếu : với mọi

vật A ∈ A, tồn tại một vật H(A) ∈ B, một xạ uA : A −→ K(H(A))

sao cho cặp (uA,H(A)) là phần tử " chỉ một mũi tên " đối với hàm

tử HAK.

Vì K có liên hợp trái nên với mọi g1, g2 ∈ [A,K(B)] thì tồn tại duy

nhất xạ h1, h2 : H(A) −→ B trong [H(A), B]B

g1 = K(h1)uA; g2 = K(h2)uA

22

Cộng lại :

g1 + g2 = [K(h1) +K(h2)]uA = K(h1 + h2)uA

Vậy tương ứng (g1 + g2) là (h1 + h2). Vậy song ánh :

[H(A), B]B∼=−→ [A,K(B)]A

h 7→ g

là một đẳng cấu nhóm Abel.

2.2. Hàm tử khớp

2.2.1. Định nghĩa

Định nghĩa 2.2. Cho C,C′ là hai phạm trù cộng tính và H là hàm tử hiệp

biến cộng tính từ C đến C′. Khi đó :

1. Nếu trong C cho dãy xạ :

Af−→ B

g−→ C

có f = Kerg và trong C′ ta có dãy xạ :

H(A)H(f)−−→ H(B)

H(g)−−→ H(C)

sao cho H(f) = Ker(H(g)) thì hàm tử H được gọi là khớp trái.

2. Nếu trong C cho dãy xạ :

Af−→ B

g−→ C

có g = Cokerf và trong C′ ta có dãy xạ :

H(A)H(f)−−→ H(B)

H(g)−−→ H(C)

sao cho H(g) = Coker(H(f)) thì hàm tử H được gọi là khớp phải.

23

Định nghĩa 2.3. Từ tính chất hạt nhân và đối hạt nhân trong phạm trù

cộng tính, ta có định nghĩa sau :

1. Vì f = Kerg nên hàm tử H được gọi là khớp trái nếu và chỉ nếu với

mỗi vật X ′ ∈ C′, dãy đồng cấu nhóm Abel :

0 −→ [X ′,H(A)][X ′,H(f)]−−−−−→ [X ′,H(B)]

X ′,H(g)−−−−→ [X ′,H(C)]

là dãy khớp.

2. Vì g = Cokerf nên hàm tử H được gọi là khớp phải nếu và chỉ nếu

với mỗi vật X ′ ∈ C′, dãy đồng cấu nhóm Abel :

0 −→ [H(C), X ′][H(g),X ′]−−−−−→ [H(B), X ′]

[H(f),X ′]−−−−−→ [H(A), X ′]

là dãy khớp.

Định nghĩa 2.4. Tương tự như định nghĩa 2.2, cho H là một hàm tử phản

biến cộng tính .

1. H được gọi là khớp trái nếu và chỉ nếu nó biến các đối hạt nhân thành

các hạt nhân. Nghĩa là : Nếu g = Cokerf thì H(f) = Ker(H(g)).

2. H được gọi là khớp phải nếu và chỉ nếu nó biến các hạt nhân thành các

đối hạt nhân. Nghĩa là : Nếu f = Kerg thì H(g) = Coker(H(f)).

Định nghĩa 2.5. Một hàm tử được gọi là khớp nếu và chỉ nếu nó khớp

trái và khớp phải.

2.2.2. Ví dụ

Ví dụ 2.2.1. Hàm tử hiệp biến HA : vMod −→ Ab , hàm tử phản biến

HA : vMod −→ Ab là những hàm tử khớp trái.

24

Ví dụ 2.2.2. Nếu A là một V− mô đun phải cố định thì hàm tử :

A⊗v − : vMod −→ Ab

X 7−→ A⊗v X

f 7−→ 1A ⊗ f

là hàm tử khớp phải.

Ví dụ 2.2.3. Nếu B là một V− môđun trái cố định thì hàm tử :

−⊗v B : Modv −→ Ab

X 7−→ X ⊗v B

f 7−→ f ⊗ 1B

cũng là hàm tử khớp phải.

Các ví dụ trên, ta có thể kiểm tra bằng tính chất sau.

2.2.3. Tính chất

Tính chất 2.3. Giả sử K là một hàm tử hiệp biến cộng tính từ một phạm

trù cộng tính B tới phạm trù cộng tính A. Giả sử K có liên hiệp trái là

H : A −→ B. Khi đó, K là khớp trái và H là khớp phải.

Chứng minh. Theo giả thiết, sử dụng tính chất 2.2, ta có H cũng là phạm

trù cộng tính và song ánh liên hợp :

[H(A), B]B∼=−→ [A,K(B)]A

là một đẳng cấu nhóm Abel.

Bây giờ, ta chứng minh K là khớp trái. Tức là, giả sử ta có các vật

B1, B2, B3 ∈ B và 2 xạ f, g trong B

B1f−→ B2

g−→ B3

25

thỏa mãn f = Kerg thì K(f) = Ker(K(g)). Nghĩa là : với mọi vật A của

A, dãy đồng cấu Abel

0 −→ [A,K(B1)]A[A,K(f)]−−−−→ [A,K(B2)]A

A,K(g)−−−−→ [A,K(B3)]A

là dãy khớp. Thật vậy, với mọi vật A ∈ A thì H(A) ∈ B. Từ nhận xét

1.2.2 mục "Dãy khớp trong phạm trù Abel", vì f = Kerg nên ta có dãy

đồng cấu nhóm Abel :

0 −→ [H(A), B1]B[H(A),f ]−−−−→ [H(A), B2]B

[H(A),g]−−−−→ [H(A), B3]B

là dãy khớp.

từ tính chất 2.2 đã nhắc ở trên, ta có sơ đồ sau giao hoán :

0 // [H(A), B1]B[H(A),f ]

//

∼=��

[H(A), B2]B[H(A),g]

//

∼=��

[H(A), B3]B∼=��

0 // [A,K(B1)]A[A,K(f)]

// [A,K(B2)]A[A,K(g)]

// [A,K(B3)]A

Vì dãy trên khớp nên dãy dưới cũng khớp (đpcm). Vậy K là khớp trái.

Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được H là khớp phải

Tính chất 2.4. Cho K và H là các hàm tử như tính chất trên. Nếu với

một vật A ∈ A và mọi vật B ∈ B, các xạ uA : A −→ K(H(A)), uB :

H(K(B)) −→ B (như đã nhắc lại ở tính chất 2.2) là các đẳng xạ thì các

hàm tử H,K là khớp.

Chứng minh. Từ tính chất trên, ta đã có K là khớp trái và H là khớp phải.

Vậy ta cần chứng minh thêm K là khớp phải và H là khớp trái.

Để chứng minh K là khớp phải, giả sử ta có các vật B1, B2, B3 ∈ B và dãy

xạ f, g trong B

B1f−→ B2

g−→ B3

thỏa mãn g = Cokerf thì ta cần chứng minh dãy xạ

K(B1)K(f)−−→ K(B2)

K(g)−−→ K(B3)

26

thỏa mãn K(g) = Coker(K(f)).

Ta có g = Cokerf nên với mọi vật A ∈ A thì H(A) ∈ B. Khi đó, dãy

đồng cấu Abel

0 −→ [B3,H(A)]B[g,H(A)]−−−−→ [B2,H(A)]B

f,H(A)−−−−→ [B1,H(A)]B (1)

là dãy khớp.

theo giả thiết, uB : H(K(B)) −→ B là một đẳng xạ nên dãy (1) trở thành

day đồng cấu Abel

0 −→ [H(K(B3)),H(A)]B[g,H(A)]−−−−→ [H(K(B2)),H(A)]B

[f,H(A)]−−−−→ [H(K(B1)),H(A)]B (2)

là dãy khớp.

Sử dụng tính chất 2.2, ta được

[H(K(B)),H(A)]B ∼= [K(B),K(H(A))]A

Từ đây dãy (2) trở thành dãy

0 −→ [K(B3),K(H(A))]A[g,K(H(A))]−−−−−−→ [K(B2),K(H(A))]A

[f,K(H(A))]−−−−−−→ [K(B1),K(H(A))]A (3)

là dãy khớp.

Ta lại có : uA : A −→ K(H(A)) là một đẳng xạ nên dãy (3) trở thành dãy

0 −→ [K(B3), A]A[g,A]−−→ [K(B2), A]A

[f,A]−−→ [K(B1, A)]A

cũng là dãy khớp.

Vậy rõ ràng : K(g) = Coker(K(f)) hay K khớp phải.

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có H khớp trái.

Định nghĩa 2.6. Khi hai hàm tử H : A −→ B và K : B −→ A thỏa mãn

các giả thiết của định lý trên, ta nói chúng xác định một tương đương giữa

các phạm trù A và B

27

2.3. Hàm tử khớp trong các phạm trù Abel

Tính chất 2.5. Trong phạm trù Abel, dãy

0 −→ Af−→ B

g−→ C

là khớp nếu và chỉ nếu f = Kerg.

Giả sử H là một hàm tử hiệp biến cộng tính từ phạm trù Abel A đến phạm

trù Abel A′ thì H là khớp trái nếu nó biến mọi dãy khớp

0 −→ Af−→ B

g−→ C

thành một dãy khớp

0 −→ H(A)H(f)−−→ H(B)

H(g)−−→ H(C)

Tương tự như trên, ta đặc trưng được các hàm tử hiệp biến cộng tính

khớp phải, hàm tử phản biến cộng tính khớp trái, khớp phải.

Tính chất 2.6. Giả sử H là một hàm tử hiệp biến cộng tính từ phạm trù

Abel A đến phạm trù Abel A′ thì H là khớp trái nếu nó biến mọi dãy khớp

ngắn

0 −→ Af−→ B

g−→ C −→ 0

thành một dãy khớp

0 −→ H(A)H(f)−−→ H(B)

H(g)−−→ H(C)

Chứng minh. (⇒) Sử dụng tính chất trên.

(⇐) Ta cần chứng minh với mọi dãy

0 −→ Af−→ B

g−→ C

khớp thì dãy

0 −→ H(A)H(f)−−→ H(B)

H(g)−−→ H(C)

28

cũng là dãy khớp. Giả sử

0 −→ Af−→ B

g−→ C (1)

là một dãy khớp.Khi đó, ta phân tích chính tắc xạ g : B −→ C :

0 //Af

//Bq��

g//

u=gq

@@

@@@@

@@C

p//Cokerv

0��

Dg∼=

// I

v

OO

0 // 0

Với mọi xạ 0 : I −→ 0, ta cũng phân tích chính tắc 0 = 0pv.

Qua sơ đồ ta có : g = v(gq) = vu, với u = gq. Trong đó v là đơn xạ, u là

toàn xạ

Từ dãy khớp (1), ta xây dựng nên 2 dãy khớp ngắn sau :

0 −→ Af−→ B

u−→ I −→ 0

0 −→ Iv−→ C

p−→ Cokerv −→ 0

Theo giả thiết, các dãy sau là dãy khớp :

0 −→ H(A)H(f)−−→ H(B)

H(u)−−→ H(I)

0 −→ H(I)H(v)−−→ H(C)

H(p)−−→ H(Cokerv)

Vậy ta có : Im(H(f)) = Ker(H(u)) và H(g) = H(uv) = H(u)H(v).

mà H(v) đơn xạ nên :

Ker(H(g)) = Ker(H(v)H(u)) = Ker(H(u))

Vậy Im(H(f)) = Ker(H(g)) suy ra dãy

0 −→ H(A)H(f)−−→ H(B)

H(g)−−→ H(C)

là dãy khớp.

29

Tính chất 2.7. Cho H là hàm tử hiệp biến cộng tính từ phạm trù Abel

A đến phạm trù Abel A′. Điều kiện cần và đủ để H khớp là : với mọi dãy

khớp ngắn

0 −→ Af−→ B

g−→ C −→ 0 (1)

thi dãy

0 −→ H(A)H(f)−−→ H(B)

H(g)−−→ H(C) −→ 0 (2)

là khớp ngắn.

Chứng minh. (⇒) Giả sử H là khớp và ta có dãy (1) là khớp ngắn thì

H(Imf) = Ker(H(g)) và H(Coimg) = Coker(H(f)). tức là dãy (2)

khớp.

(⇐) Giả sử H biến dãy khớp ngắn thành dãy khớp ngắn thì theo tính chất

2.6 H là khớp trái và khớp phải. Suy ra H khớp.

30