MB0010_M1AA2L2_Grficas Versin: Septiembre 2012 Revisor:

UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, mtodo o sistema impreso, electrnico, magntico, incluyendo el fotocopiado, la fotografa, la grabacin o un sistema de recuperacin de la informacin, sin la autorizacin por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

1

Grficas

por Oliverio Ramrez

Seguramente has escuchado la frase: Una imagen vale ms que mil palabras Ests de acuerdo con ella? La pregunta viene al tema porque aunque las distribuciones de frecuencia nos ayudan a organizar la informacin, se requiere que la persona que interprete estas tablas conozca del tema. Una parte importante de la Estadstica Descriptiva son los mtodos grficos porque ayudan a visualizar de una forma ms rpida informacin sobre las observaciones o datos. Los encargados de realizar estudios estadsticos complejos la mayora de las veces slo incluyen grficas en su reporte final; no porque crean que los clculos sean menos importantes, sino porque saben que la mayora de las personas no entendern los clculos pero en cambio, s comprendern una grfica bien diseada. A continuacin se muestran las grficas ms comnmente usadas en estadstica. PolgonodefrecuenciasUn polgono de frecuencias es una grfica que se construye colocando en el eje horizontal las marcas de clase y en el eje vertical las frecuencias absolutas. La marca de clase se calcula sumando los lmites de clase y el resultado se divide entre 2. Este valor es necesario para realizar clculos que estudiaremos ms adelante en el curso y para construir algunas grficas como los polgonos de frecuencia y los histogramas, que veremos a continuacin. Usemos la distribucin de frecuencias del peso de los 50 estudiantes.

Clase Marca de clase

Frecuencia absoluta

Porcentaje Relativo

Frecuencia acumulada

Porcentaje acumulado

(45 55] 45 + 552 = 50 7 14% 7 14% (55 65] 60 14 28% 14 + 17 =21 42% (65 75] 70 11 22% 32 64% (75 85] 80 9 18% 41 82% (85 95] 90 6 12% 47 94%

(95 105] 100 3 6% 50 100% n= 50

Tabla 1. Tabla de frecuencias. Ramrez 2009

MB0010_M1AA2L2_Grficas Versin: Septiembre 2012 Revisor:

UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, mtodo o sistema impreso, electrnico, magntico, incluyendo el fotocopiado, la fotografa, la grabacin o un sistema de recuperacin de la informacin, sin la autorizacin por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

2

En la siguiente figura se muestra el polgono de frecuencia que corresponde a nuestra distribucin de frecuencias.

Figura 1. Polgono de frecuencias. Ramrez 2009.

En el polgono de frecuencias se observa la tendencia de los datos. La mayora de los estudiantes pesan entre 55 y 65 kilogramos. Despus de llegar a un punto mximo, el nmero de estudiantes disminuye de manera gradual. Si construyes la grfica en tu cuaderno, el eje horizontal representa las marcas de clase y el eje vertical las frecuencias absolutas. La abscisa y la ordenada de cada punto que forma el polgono estn representadas por las marcas de clase y las frecuencias absolutas, respectivamente. Una vez que hayas localizado los puntos, nelos con una lnea continua, tu grfica debe ser similar a la mostrada en la figura. Otra forma de construir un polgono de frecuencias es usando algn software especializado, en nuestro caso haremos uso de Excel por ser un programa de uso comn que se encuentra ms fcilmente. Un ejemplo de cmo se construye un polgono de frecuencias lo encuentras en el documento Mtodo de construccin del polgono de frecuencias usando Excel GrficasdebarrasehistogramasUna grfica de barras es un tipo de grfica que utiliza rectngulos (verticales u horizontales) para representar de manera visual la informacin contenida en distribuciones de frecuencia. En este tipo de grfica no existen restricciones sobre el ancho del rectngulo usado, en su base se coloca la observacin o variable (que puede ser cualitativa o cuantitativa) y su altura corresponde con la frecuencia absoluta; aunque tambin suele colocarse la frecuencia relativa o el porcentaje relativo.

Polgono de frecuencias

0246810121416

40 50 60 70 80 90 100 110

Marcas de clase

Frec

uenc

ia A

bsol

uta

MB0010_M1AA2L2_Grficas Versin: Septiembre 2012 Revisor:

UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, mtodo o sistema impreso, electrnico, magntico, incluyendo el fotocopiado, la fotografa, la grabacin o un sistema de recuperacin de la informacin, sin la autorizacin por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

3

El histograma en cambio, es una grfica que utiliza rectngulos cuya base debe corresponder con los anchos de cada clase y la altura de los rectngulos es la frecuencia absoluta, puede considerarse al histograma como un caso especial de las grficas de barras. Usemos como ejemplo los datos de los 50 estudiantes con los que se construy el polgono de frecuencias. Si lo dibujas en tu cuaderno, puede usar la misma grfica en el que trazaste el polgono de frecuencias y dibujar los rectngulos correspondientes, tu grfica se vera de la siguiente forma:

Figura 2.

A continuacin se muestra el histograma correspondiente a los pesos de los 50 estudiantes del ejemplo anterior construido en usando Excel.

Figura 3.

MB0010_M1AA2L2_Grficas Versin: Septiembre 2012 Revisor:

UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, mtodo o sistema impreso, electrnico, magntico, incluyendo el fotocopiado, la fotografa, la grabacin o un sistema de recuperacin de la informacin, sin la autorizacin por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

4

De la grfica se puede ver que, es menor el nmero de alumnos que pesan entre 95 a 105 kilos, ya que slo 3 alumnos estn dentro de esta categora. En contraparte, es mayor el nmero de estudiantes que pesan entre 55 y 65 kilogramos, en total suman 14 alumnos en sta categora. Observa que el polgono de frecuencias y el histograma nos revela la misma informacin de manera distinta, dependiendo de la naturaleza de los datos la persona encargada del estudio estadstico debe decidir qu grafica usar. Un ejemplo de cmo se construye un polgono de frecuencias lo encuentras en el documento Mtodo de construccin de un histograma usando Excel Ahora lo que necesitas son datos que puedas graficar, qu te parece construir el polgono de frecuencias y el histograma para los datos de los gastos semanales en pasaje de la empresa maquiladora,

Clase Frecuencia 85 99 7

100 114 6 115 129 7 130 144 9 145 159 5 160 174 7 175 189 4

N=45 Tabla 2. Tabla de frecuencia (Ramrez, 2009). Construye el polgono de frecuencias y el histograma de estos datos. Cuando termines, pulsa el botn verificar para comparar tus grficas. Recuerda que aunque las grficas deben representar la misma informacin de fondo, el formato usado para presentarlas (colores, tipo de letra, ttulos) depende de la creatividad del diseador.

Figura 4.

Polgono de frecuencias

012345678910

77 92 107 122 137 152 167 182 197

Gasto semanal (en pesos)

Nm

ero

de tr

abaj

ador

es

MB0010_M1AA2L2_Grficas Versin: Septiembre 2012 Revisor:

UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, mtodo o sistema impreso, electrnico, magntico, incluyendo el fotocopiado, la fotografa, la grabacin o un sistema de recuperacin de la informacin, sin la autorizacin por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

5

Los valores que aparecen en los ejes horizontal y vertical, en el polgono de frecuencias, son las marcas de clase y las frecuencias absolutas respectivamente. Los puntos extremos (77, 0) y (197, 0) se usan para delimitar la forma del polgono; ser necesario que agregues estos valores en Excel para que tu grfica coincida.

Figura 5. En el histograma, Excel toma las marcas de clase en la base de los rectngulos en lugar de los lmites de cada clase, y es que Excel no hace diferencias entre un histograma y una grfica de barras. Como se pudo apreciar en los ejemplos anteriores, las grficas resultan de mucha utilidad cuando es necesario hacer un reporte del anlisis estadstico que se realiz, debido a que de forma rpida aportan informacin sobre la poblacin bajo estudio. En la construccin de las grficas se utiliz Microsoft Excel pero se puede usar algn otro software especializado que facilite ms la construccin de este tipo de grficas. PolgonodefrecuenciasacumuladasEsta grfica es similar al polgono de frecuencias absolutas. La diferencia es que en este tipo de grfica se toman los lmites superiores de las clases para el eje horizontal y las frecuencias acumuladas para el eje vertical. Este tipo de grfica muestra cmo evoluciona el caso de estudio; en el caso del peso de los estudiantes muestra los saltos entre los distintos intervalos. Para iniciar la grfica se acostumbra considerar el lmite inferior de la primera clase con un valor de frecuencia cero. Su forma, para los datos del peso de los 50 estudiantes, es la siguiente. Un polgono de frecuencias acumuladas termina en el total de observaciones, en este caso 50 estudiantes.

Histograma

012345678910

92 107 122 137 152 167 182

Gasto semanal (en pesos)

Nm

ero

de tr

abaj

ador

es

MB0010_M1AA2L2_Grficas Versin: Septiembre 2012 Revisor:

UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, mtodo o sistema impreso, electrnico, magntico, incluyendo el fotocopiado, la fotografa, la grabacin o un sistema de recuperacin de la informacin, sin la autorizacin por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

6

Figura 6.

Observa que el salto ms grande se da entre los valores 55 y 65, la diferencia entre ellos es de ms de 10 kilogramos. Nota adems que la grfica contiene slo algunos valores en el eje y, entre ms valores tenga (0, 5, 10, 15, etc.) las apreciaciones de los valores de los puntos de la grfica sern ms exactos pero la grfica lucir demasiado llena y esto tampoco es conveniente. Cuntos estudiantes pesan menos de 85 kilogramos?, cuntos estudiantes pesan menos de 65 kilogramos? Son preguntas que se pueden responder con un polgono de frecuencias acumuladas. Las respuestas son, respectivamente: Un poco ms de 40 estudiantes pesan menos de 85 kilogramos. Aproximadamente 20 estudiantes tienen un peso menor a 65 kilogramos. Como se puede apreciar, las tres grficas anteriores son distintas y aunque seguimos hablando de los mismos 50 estudiantes, cada grfica muestra caractersticas distintas que ayudan a visualizar la informacin que las otras grficas no revelan, es decir, se complementan entre ellas. Polgonoconporcentajesacumulados.Tomando en cuenta las tres grficas anteriores, cul es el porcentaje de estudiantes cuyo peso es menor 65 kilogramos?, Qu porcentaje de los estudiantes pesa ms de 85 kilogramos? Este tipo de preguntas no pueden ser contestadas analizando solamente las tres grficas anteriores, el polgono de porcentajes acumulados puede ayudarnos a contestar este tipo de preguntas. Al igual que el polgono de frecuencias acumuladas, en el eje horizontal, se colocan los lmites superiores de las clases (o intervalos) pero en el eje vertical se colocan los porcentajes acumulados. El punto ms alto de la grfica debe coincidir con 100%.

Polgono de frecuencias acumuladas

0

10

20

30

40

50

60

45 55 65 75 85 95 105

Peso de los estudiantes

Nm

ero

de e

stud

iant

es

El punto ms alto debe corresponder con el nmero total de datos.

MB0010_M1AA2L2_Grficas Versin: Septiembre 2012 Revisor:

UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, mtodo o sistema impreso, electrnico, magntico, incluyendo el fotocopiado, la fotografa, la grabacin o un sistema de recuperacin de la informacin, sin la autorizacin por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

7

Figura 7.

Es tiempo de dar respuesta a las preguntas del inicio:

Cul es el porcentaje de estudiantes cuyo peso es menor a 65 kilogramos? Poco ms del 40% de los estudiantes pesan menos de 65 kilogramos. Qu porcentaje de los estudiantes pesa ms de 85 kilogramos? Casi el 20% de los estudiantes pesa ms de 85 kilogramos.

El ejemplo de cmo se construy el polgono de frecuencias acumuladas lo encuentras accediendo a este enlace Mtodo de construccin de grficas acumuladas 1 y el polgono de porcentajes acumulados est en Mtodo de construccin de grficas acumuladas 2 GrficadesectoresEsta grfica, consiste de una circunferencia dividida en segmentos en los que se representan los porcentajes relativos de cada variable bajo estudio. El tipo de variables que se acostumbra representar con una grfica de pastel son de escala nominal u ordinal.

Polgono de porcentajes acumulados

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

35 45 55 65 75 85 95 105 115

Lmites superiores de cada clase

Porc

enta

je a

cum

ulad

oEl punto ms alto debe corresponder con el 100%.

MB0010_M1AA2L2_Grficas Versin: Septiembre 2012 Revisor:

UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, mtodo o sistema impreso, electrnico, magntico, incluyendo el fotocopiado, la fotografa, la grabacin o un sistema de recuperacin de la informacin, sin la autorizacin por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

8

Figura 8. Supongamos que nos interesa iniciar un programa nutricional con los 50 estudiantes; para esto definimos los rangos en donde el peso se considera normal, bajo de peso o sobrepeso. Una vez que se haya hecho esta clasificacin se puede disear un programa para cada grupo de estudiantes. La siguiente tabla muestra una posible clasificacin:

Clase Clasificacin Porcentaje (45 55] Bajo de peso 14% (55 85] Peso normal 68%

(85 105] Sobrepeso 18% Tabla 2. Tabla de Intervalos de Clase. Ramrez, O (2009). Solo falta incorporar el nmero de estudiantes que se encuentran en estos rangos (frecuencia absoluta) y el porcentaje relativo de cada grupo. La tabla queda,

Clase Clasificacin Frecuencia Porcentaje relativo

(45 55] Bajo de peso 7 14% (55 85] Peso normal 34 68%

(85 105] Sobrepeso 9 18% Tabla 3. Tabla de Intervalos de Clase con frecuencia. Ramrez, O (2009).

Observa que el nmero de estudiantes que se encuentran entre 55 85 kilogramos se obtuvo de sumar los estudiantes de las clases 55 65, 65 75 y 75 85, es decir, 14+11+9=34. Una vez que se tiene las frecuencias se calcula el porcentaje relativo.

MB0010_M1AA2L2_Grficas Versin: Septiembre 2012 Revisor:

UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, mtodo o sistema impreso, electrnico, magntico, incluyendo el fotocopiado, la fotografa, la grabacin o un sistema de recuperacin de la informacin, sin la autorizacin por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

9

Finalmente se construye la grfica de sectores, tambin llamada grfica de pastel. El porcentaje relativo equivale a un porcin del rea de la circunferencia as, el porcentaje relativo de la clase 45 55 (14%) equivale al 14% del rea total de la circunferencia, el porcentaje relativo de la clase 55 85 (68%) representa el 68% del rea de la circunferencia y as sucesivamente. La siguiente figura muestra la grfica de sectores obtenida.

Figura 9.

De la grfica se puede apreciar que el 68% del total de estudiantes tiene un peso normal. Pero preocupa que el 32% restante se encuentre arriba o debajo de un peso promedio establecido. Es importante mencionar que en la informacin que se tiene de los 50 estudiantes no se incluye la estatura. Este dato es importante para determinar el porcentaje de grasa corporal y as poder disear el programa nutricional. Revisa el siguiente documento en donde se muestra cmo se construy la grfica del ejemplo usando Excel. Mtodo de construccin de grficas de sectores

Referencias

Bajo de peso14%

Peso Normal68%

Sobrepeso18%

Bajo de pesoPeso NormalSobrepeso