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MB0003 _M2AA1L2_Ley Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

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1

Ley de senos y cosenos

por Oliverio Ramírez Juárez

En la lectura anterior resolviste distintos problemas que implican triángulos rectángulos, mediante la aplicación del teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas como herramientas de análisis y solución. En esta lectura abordarás la solución de problemas con triángulos oblicuángulos, que son triángulos en los que ninguno de sus ángulos es recto. A continuación se muestran ejemplos de triángulos oblicuángulos. “Resolver” un triángulo oblicuángulo, significa determinar los lados y/o ángulos faltantes a partir de datos conocidos. Para esto, se aplican la ley de los senos y la ley de los cosenos. De acuerdo con (Sullivan, 1998, p. 251), la ley de senos dice que:

Ley de Senos Para un triángulo con lados a, b, y c, y ángulos opuestos α , β y γ , respectivamente,

csen

bsen

asen γβα

==



2

La demostración de esta ley no es objetivo del curso, pero se puede encontrar el desarrollo en distintos libros o ligas de Internet, te invito a que visites la sección Para aprender más, donde encontrarás enlaces relacionados con el tema. Observa cómo se aplica esta ley.

Ejemplo:

1. Para el triángulo mostrado en la siguiente figura, determina los lados y ángulos faltantes. Solución. Debido a que se conocen dos de los ángulos, es posible determinar el tercero recordando que

°=++ 180γβα (la suma de los ángulos internos de todo triángulo es igual a 180°), tienes:

°=

°−°−°=

−−°=

706050180

180

γ

γ

βαγ

Ahora que ya se conocen los tres ángulos, puedes aplicar la relación que incluye al lado conocido (en este caso b=8):

bsen

asen βα

=



3

De esta expresión, la única incógnita es el lado a , despejando, obtienes:

βα senasenb = multiplicando toda la ecuación por ab .

Bsensenb

aα

= despejando a .

Ahora que ya tienes la expresión despejada, sustituye los valores conocidos y obtienes:

( )( ) ( )( )

07.7

866.0766.08

60508

=

=°

°=

asensen

a

Para determinar el valor de c , puedes hacer el mismo procedimiento considerando la relación:

csen

asen γα

=

Despejando c , tienes:

α

γ

sensena

c =

Sustituyendo los datos conocidos, queda:

( )( ) ( )( )

67.8

766.0939.007.7

507007.7

=

=°

°=

csensen

c

En la siguiente figura se muestran los datos calculados en azul.



4

2. Para el triángulo mostrado en la siguiente figura, determina los lados y ángulos faltantes. Solución. Es importante que dependiendo de los datos con los que cuentas, identifiques la fórmula que puedes aplicar cuando inicies con la solución de un triángulo. A continuación se muestra la ley de los senos, señalando en azul los datos conocidos, De esta forma, se aprecia que la relación que se puede aplicar es:

ya que sólo se desconoce el valor de β , despejando βsen , tienes:

asenb

senα

β =

Sustituyendo los datos conocidos, queda:

( )( )

6428.075.4

75.09

7309

==

=°

=

β

β

sen

sensen

Para encontrar β , usa la función asin de la calculadora UVEG.



5

Entonces el ángulo °= 40β . Sin embargo, este valor no es único, ya que el seno también es positivo en el segundo cuadrante, por lo que existe un segundo ángulo cuyo seno es 0.6428, este ángulo es

º140º40º180 =−=β A partir de los dos ángulos conocidos, calcula el tercer ángulo (para cada una de las dos soluciones), esto es:

°=

°−°−°=

−−°=

°=++

1104030180

180180

γ

γ

βαγ

γβα

°=

°−°−°=

−−°=

°=++

1014030180

180180

γ

γ

βαγ

γβα

Con los datos conocidos, usa la ley de senos nuevamente (se han señalado en azul los datos conocidos).



6

Despejando c , de esta relación, tienes:

( )( )

( )( ) 15.136428.09396.09

401109

==

°

°==

c

sensen

sensenb

cβ

γ

( )( )

( )( ) 43.26428.01736.09

40109

==

°

°==

c

sensen

sensenb

cβ

γ

En la siguiente figura se muestran en azul los datos calculados para la primera solución, y en rojo para la segunda. En los ejemplos anteriores se han proporcionado las figuras de los triángulos como apoyo para su solución, sin embargo, debido a que en muchos problemas se requiere construir la gráfica del problema, para facilitar su solución, en algunos de los siguientes ejemplos no se proporciona la figura del triángulo analizado para iniciar con la práctica del análisis de un problema, sin la gráfica dada.

3. Con los siguientes datos conocidos, determina los datos faltantes del triángulo11,8,º65 === cbα .

Solución. Debido a que se conocen dos lados, y el ángulo entre ellos, aplica la ley de los cosenos,

( )( )

51.10619.110

619.11038.7412164

º65cos1182118

cos2

2

222

222

==

=−+=

−+=

−+=

a

a

a

bccba α



7

Con los tres lados conocidos, puedes aplicar la ley de senos para determinar el ángulo β , tienes:

bsen

asen βα

=

Despejando βsen , queda:

6893.051.10º658==

=

sensen

asenb

sen

β

αβ

Por lo anterior, el ángulo β tiene dos valores que cumplen con este valor del seno:

º58.43=β y º42.136º58.43º180

=

−=

β

β

Con los valores conocidos de los ángulos α y β , hallamos el tercer ángulo:

º42.71º58.43º65º180

=

−−=

γ

γ

y º42.21º42.136º65º180

−=

−−=

γ

γ

Al analizar este último resultado, se observa que el valor de º42.136=β no es solución del triángulo, debido a que la suma de los ángulos internos del triángulo no pueden sumar más de 180º.

4. Determina los datos faltantes para el triángulo con las siguientes características: 30=α , c=30, b=45.

Solución. En los ejemplos anteriores se proporcionó la figura del triángulo, en este ejemplo sólo se proporcionan los datos, así que trazar un bosquejo del triángulo con los datos conocidos es conveniente y ayuda a visualizar el problema; la siguiente figura muestra un esbozo del triángulo.



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Los datos desconocidos se señalan en azul. Debido a que se conocen dos lados (b y c) y el ángulo (α ) entre ellos, aplica la ley de los cosenos para el lado a, tienes:

( )( )( )

22.2473.586

73.586866.02700900202530cos304523045

cos2

2

2

222

222

=

=

=

−+=

°−+=

−+=

aa

aaa

bccba α

Ahora que ya se conoce el tercer lado, puedes aplicar la ley de los senos para calcular alguno de los ángulos faltantes; calcula el ángulo beta ( β ).

( )( )

9289.022.245.045

22.243045

4522.2430

=

=°

=

=°

=

β

β

β

βα

sen

sensen

sensenb

sena

sen

Para determinar el valor del ángulo beta ( β ), usa la función asen de la calculadora, y obtienes:

( )°=

=

26.689289.0

β

β asen

Por último, el ángulo gama (γ ) es:

°=

°−°−°=

−−°=

°=++

74.8126.6830180

180180

γ

γ

βαγ

γβα



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Si los lados de un triángulo son 5=a , 6=b , y 13=c , determina los tres ángulos del triángulo. Solución. Debido a que se desconocen todos los ángulos del triángulo, no es posible aplicar la ley de senos; en este caso inicias con la ley de cosenos. Si despejas αcos de la ley de los cosenos aplicada para el lado a , tienes:

αcos2222 bccba −+= despejando αcos , queda:

bcacbacbbc

2cos

cos2222

222

−+=

−+=

α

α

Sustituyendo los valores conocidos, obtienes:

( )( )5547.0

26.43251336cos

13625136cos222

=−+

=

−+=

α

α

Aplicando acos, obtienes el valor del ángulo alfa (α ), esto es:

°= 3.56α Con este ángulo conocido, puedes aplicar la ley de senos para encontrar alguno de los otros dos ángulos. Aplícala para hallar el ángulo beta (β ):

99.05

3.566=

°=

=

=

sensen

asenb

sen

asen

bsen

β

αβ

αβ

Por lo que el ángulo beta ( β ), es:



10

( ) °== 7.8699.0asenβ

Finalmente:

°=

°−°−°=

377.863.56180

γ

γ

(Palmer, 2003, p.495), menciona las ecuaciones de Mollweide como un método para verificar los resultados obtenidos al resolver un triángulo. Estas ecuaciones son las siguientes:

( )γβα

21

21

cos−

=− sencba

( )γβα

21

21cossenc

ba −=

+

Y pueden usarse para verificar la precisión de los resultados obtenidos. Es importante mencionar este punto porque al calcular el seno de algún ángulo, o la longitud de algún lado de un triángulo, los valores obtenidos son aproximados (dependiendo de los decimales considerados). (Swokowski, 2009, p. 633). También puedes utilizar la siguiente fórmula, que surge de la aplicación de la ley de senos a la segunda ecuación de Mollweide:

γ

βα

sensensen

cba +=

+

Te invito a que verifiques los resultados obtenidos en los ejemplos analizados con las ecuaciones de Mollweide.



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Áreas de triángulos

Para determinar el área de un triángulo, se aplica una fórmula basada en los tres lados de un triángulo. Matemáticamente se expresa como:

( )( )( )csbsassA −−−=

En donde s , representa el semiperímetro que está definido por 2cbas ++

=

Esta fórmula que permite determinar el área de un triángulo, a partir del conocimiento de la longitud de sus lados (y no requiere de conocer la altura del mismo), se le atribuye a Herón de Alejandría. Pérez (2007, p. 211) menciona que la mayor aportación a las matemáticas de Herón fue “La métrica”, en donde deduce la fórmula anterior. También comenta que la demostración dada por Herón tiene una excesiva complejidad. En la siguiente actividad de aprendizaje se realiza una demostración de esta fórmula. Ejemplo: Calcula el área de un triángulo cuyos lados miden a=5, b=5 y c=6. Solución. Para usar la fórmula de Herón, calcula primero el semiperímetro, esto es:

8216

2655

2

=

=++

=

++=

s

s

acbs



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Sustituyendo en la fórmula de Herón, para encontrar el área del triángulo, tienes:

A = s s− a( ) s− b( ) s− c( )

A = 8 8− 5( ) 8− 5( ) 8− 6( )

A = 8 3( ) 3( ) 2( ) = 144 =12u2

Por lo que el área del triángulo es de 12 unidades cuadradas.



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Referencias

Palmer, C. I.; Fletcher, S.; Jarvis, J. A.; Mrachek, L. A. (2003). Matemáticas prácticas. [Versión electrónica]. Recuperado el 25 de febrero de 2010 del sitio Google libros:http://books.google.com/books?id=svzuB4pZKjkC&printsec=frontcover&dq=Matem%C3%A1ticas+pr%C3%A1cticas+Claude+irwin+palmer&hl=es&cd=1#v=onepage&q=&f=false

Pérez, M.A. (2007). Una historia de las matemáticas: retos y conquistas a través de sus personajes. [Versión electrónica]. Recuperado el 7 de marzo de 2010 del sitio Google libros:http://books.google.com.mx/books?id=4YOfMzU5bCUC&pg=PA209&dq=f%C3%B3rmula+de+her%C3%B3n+de+alejandr%C3%ADa&cd=3#v=onepage&q=f%C3%B3rmula%20de%20her%C3%B3n%20de%20alejandr%C3%ADa&f=false

Sullivan, M. (1998). Trigonometría y geometría analítica. [Versión electrónica]. Recuperado el 23 de febrero de 2010 del sitio Google libros:http://books.google.com.mx/books?id=nt64q3HX_T0C&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q=&f=false

Swokowski, E.; Swokowski, E. W.; Cole, J. A. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. [Versión electrónica]. Recuperado el 25 de febrero de 2010 del sitio Google libros: http://books.google.com.mx/books?id=Eql‐YeKsO8EC&printsec=frontcover&dq=%C3%A1lgebra+con+trigonometr%C3%ADa+swokowski&cd=1#v=onepage&q=%C3%A1lgebra%20con%20trigonometr%C3%ADa%20swokowski&f=false

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