El cálculo de la matriz inversa es una herramienta necesaria para resolver sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones matriciales.

De alguna forma la matriz inversa rellena el hueco con el que nos encontramos al no poder realizar la división de matrices.

Para su obtención se realizan una serie de pasos que vamos a analizar a continuación.

Como ejemplo vamos a obtener la matriz inversa de una matriz de orden 3.

Vamos a calcular la matriz inversa A-1 de la matriz A.

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

Para que una matriz tenga matriz inversa debe reunir dos condiciones:

Debe ser una MATRIZ CUADRADA.

Su determinante debe ser diferente de cero.

A = 0

Después de comprobar que la matriz es cuadrada calculamos su determinante. Necesitamos conocer su valor concreto para uno de los próximos pasos. En el caso de que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

Matriz regularo invertible

Matriz irregular, singular o

no invertible

A = 0Si se dice que la matriz

tiene inversa o que la matriz es una ...

A = 0Si se dice que la matriz

no tiene inversa o que la matriz es una ...

Nuestra matriz es cuadrada y su determinante no es nulo.

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A = Orden 3

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A = = 2 + 0 + 0 + 2 + 3 + 0 = 7

A = 0

Este paso es el más largo de todos. Tenemos que encontrar la matriz formada con los menores complementarios de cada elemento, αij.

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario de a11, α11:

2 3

–1 1= 2 + 3 = 5α11 =

5

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario de a12, α12:

0 3

1 1= 0 – 3 = – 3 α12 =

– 35

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario de a13, α13:

0 2

1 –1= 0 – 2 = – 2 α13 =

– 35 – 2

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario de a21, α21:

0 –1

–1 1= 0 – 1 = – 1 α21=

– 35 – 2

– 1

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario de a22, α22:

1 –1

1 1= 1 + 1 = 2 α22=

– 35 – 2

– 1 2

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario de a23, α23:

1 0

1 –1= –1 + 0 = –1 α23=

– 35 – 2

– 1 2 –1

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario de a31, α31:

0 –1

2 3= 0 + 2 = 2 α31=

– 35 – 2

– 1 2 –1

2

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario de a32, α32:

1 –1

0 3= 3 + 0 = 3 α32=

– 35 – 2

– 1 2 –1

2 3

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

(αij) =

Cálculo del menor complementario de a33, α33:

1 0

0 2= 2 + 0 = 2 α33=

– 35 – 2

– 1 2 –1

2 3 2

(αij) =

– 35 – 2

– 1 2 –1

2 3 2

La obtención de la matriz de los adjuntos es muy sencilla. Dado que Aij = αij (–1)i+j tan sólo habrá que cambiar los signos de los elementos que se encuentran en las posiciones negativas.

(Aij) =

3

1 1

–3

5 – 2

2

2 2Posiciones positivas: (–1)i+j = + 1

Posiciones negativas: (–1)i+j = – 1

El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo.

(Aij) =

3

1 1

–3

5 – 2

2

2 2

35 – 2

3

5

– 2

(Aij)t =

(Aij) =

3

1 1

–3

5 – 2

2

2 2

(Aij)t =21 1 3

5

– 2

2

1

1

El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo.

(Aij) =

3

1 1

–3

5 – 2

2

2 2

(Aij)t =

–32 2

3

5

– 2

2

1

1

–3

2

2

El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo.

(Aij) =

3

1 1

–3

5 – 2

2

2 2

(Aij)t = 3

5

– 2

2

1

1

–3

2

2

El siguiente paso consiste en trasponer la matriz de los adjuntos obtenida en el paso previo.

(Aij)t = 3

5

– 2

2

1

1

–3

2

2

A–1 =1

73

5

– 2

2

1

1

–3

2

2

= - 3/7

- 2/7

3/7

5/72/7

2/7

1/7

1/72/7

1/7

A–1 =1

A(Aij)t

El último paso es multiplicar la matriz obtenida en el paso anterior por el inverso del determinante de A.

Puedes comprobar como se cumple la propiedad fundamental de la matriz inversa.

A–1 =1

73

5

– 2

2

1

1

–3

2

2

= - 3/7

- 2/7

3/7

5/72/7

2/7

1/7

1/72/7

1/7

1 0 –1

0 2 3

1 –1 1

A =

A–1 A = A A –1 = I