Matrizes fb
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2º ANO2º ANO
Não deixes de fazer bem a quem o merece, estando em tuas mãos a capacidade de
fazê-lo. Provérbios 3:27Provérbios 3:27
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Um dos primeiros registros sobre as matrizes surgiu na antiga
China, sob a forma de tabelas.
Essas tabelas aparecem na obra Chui-Chang Suan-Shu (Nove
capítulos sobre a arte matemática, escrita por volta de
250 a.C.
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Com o auxílio dessas tabelas, os chineses resolviam
sistemas de equações lineares,
utilizando as matrizes como são
atualmente conhecidas.
618
753
294
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Avançando quase 2 mil anos, o matemático inglês Arthur Carley foi um dos primeiros a introduzir matrizes na matemática, criando em 1857, a álgebra das matrize
No século XX, o matemático alemão David Hilbert apresentou um estudo aprofundado sobre as
matrizes.
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Quanto às aplicações, as matrizes são utilizadas na computação, na mecânica, em circuitos elétricos e na eletrônica. Um exemplo do uso
na eletrônica é o medidor de vibrações. As informações
detectadas por esse instrumento são processadas utilizando a
linguagem das matrizes
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A tabela a seguir apresenta um panorama da quantidade de
poluentes que saem dos escapamentos dos veículos:
Tabelas assim como Tabelas assim como estas são denominadas estas são denominadas
MATRIZESMATRIZES
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MATRIZ MATRIZ
É qualquer É qualquer tabela de tabela de números números
dispostos em dispostos em linhas e linhas e colunascolunas
MATRIZ MATRIZ
É qualquer É qualquer tabela de tabela de números números
dispostos em dispostos em linhas e linhas e colunascolunas 618
753
294
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As Matrizes são indicadas de três formas, usando-se:
O quadrado mágico dos chineses, por exemplo, poderia ser representado das
seguintes formas:
618
753
294
618
753
294
618
753
294
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0,8041253300
VV
0
F Seja mm o número de linhas e nn o
número de colunas de uma matriz.
Uma matriz com m linhas e n colunas é denominada
Matriz do tipo m X nMatriz do tipo m X n lê-se “m por n”
Uma matriz com m linhas e n colunas é denominada
Matriz do tipo m X nMatriz do tipo m X n lê-se “m por n”
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Um vendedor recebe 3% de comissão nos negócios que faz.
Qual a comissão que ele receberá por uma venda
de R$ 3 600,00?
Essa tabela
contém
11 linhas e 2 colunas
É uma matriz do
tipo 11 X 2
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49
01
30
12
A
49
01
30
12
A
A Matriz ao lado contém 4 linhas e 2
colunas
É uma matriz do tipo 4 X 2
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Para identificar as linhas e as colunas de uma matriz,
procedemos da seguinte forma:
• Numeramos as linhas de cima para baixo
• Numeramos as colunas da esquerda para a direita
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206
901A
Primeiracoluna
Segundacoluna
Terceiracoluna
Segundalinha
Primeiralinha
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Os elementos de uma matriz são representados por letras
minúsculas, acompanhadas de dois índices, ii e jj, que indicam
a linha e a coluna, respectivamente, onde se encontra o elemento da
matriz.
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Indicaa linha
Indicaa coluna
aij
a23 (elemento da 2ª linha e
da 3ª coluna)
Exemplo:
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333231
232221
131211
3x3ij
aaa
aaa
aaa
aA
333231
232221
131211
3x3ij
aaa
aaa
aaa
aA
![Page 18: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/18.jpg)
Determinar a matrizA = (aij)2x3 tal que
aij = 2i + j2
A matriz procurada é 2 x 3,
232221
131211
aaa
aaa
1385
1163A
1385
1163A
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É a matriz formada por uma única
linha
2324
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7
5
4É a matriz formada por uma única
linha
![Page 21: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/21.jpg)
000
000
000
É a matriz em que todos os
elementos são iguais a
zero
000
000
000
![Page 22: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/22.jpg)
É a matriz formada por igual número de linhas
e colunas
665
174
163
![Page 23: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/23.jpg)
Toda matriz quadrada do tipo n X n é
chamada
Matriz Quadrada de Matriz Quadrada de ordem nordem n
Toda matriz quadrada do tipo n X n é
chamada
Matriz Quadrada de Matriz Quadrada de ordem nordem n
No exemplo dado, a matriz é de ordem 3
![Page 24: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/24.jpg)
Toda Matriz quadrada de ordem n possui duas diagonais:
• Diagonal PrincipalDiagonal Principal, formada pelos elementos que têm i = j
• Diagonal SecundáriaDiagonal Secundária, formada pelos elementos que têm i + j = n +
1
Toda Matriz quadrada de ordem n possui duas diagonais:
• Diagonal PrincipalDiagonal Principal, formada pelos elementos que têm i = j
• Diagonal SecundáriaDiagonal Secundária, formada pelos elementos que têm i + j = n +
1
![Page 25: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/25.jpg)
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Diagonal Diagonal PrincipalPrincipalDiagonal Diagonal PrincipalPrincipal
Diagonal Diagonal SecundáriaSecundáriaDiagonal Diagonal
SecundáriaSecundária
![Page 26: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/26.jpg)
É a matriz em que todos os
elementos pertencentes à
diagonal principal são
iguais a 1 e os demais elementos,
iguais a zero.
100
010
001
Identificamos Identificamos a matriz a matriz
identidade identidade
por por IInn
![Page 27: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/27.jpg)
Acontece com entre duas matrizes de mesmo tipo, cujos elementos de posições iguais tem o
mesmo valor.
82
2110A
82
2110A
82
2110B
82
2110B
Assim, A = B
![Page 28: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/28.jpg)
É a matriz em todas as
colunas da matriz dada coincidem
com as linhas da referida
matriz.
487
7020
692
A
476
809
7202
At
![Page 29: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/29.jpg)
Identificamos a matriz
transposta de A por At
476
809
7202
At
![Page 30: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/30.jpg)
300
070
004É a matriz em que todos os
elementos não pertencentes à
diagonal principal são iguais a zero
![Page 31: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/31.jpg)
Cada elemento é o oposto do elemento na
matriz original. Identificamos a matriz oposta
de A por -A
3910
071
574
A
3910
071
574
A
![Page 32: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/32.jpg)
3910
071
574
A
![Page 33: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/33.jpg)
Uma matriz é SIMÉTRICA se, e somente se, A = At
476
709
692
A
476
709
692
A
476
709
692
At
476
709
692
At
![Page 34: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/34.jpg)
No exemplo, A = ANo exemplo, A = Att
Desta forma, a matriz A Desta forma, a matriz A é denominada matriz é denominada matriz
SIMÉTRICASIMÉTRICA
![Page 35: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/35.jpg)
Uma matriz é ANTI-SIMÉTRICA se, e somente se, At = - A
02
20A
02
20A
02
20At
02
20At
![Page 36: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/36.jpg)
No exemplo, ANo exemplo, At t = - A = - A
Desta forma, a matriz A Desta forma, a matriz A é denominada matrizé denominada matriz
ANTI-SIMÉTRICAANTI-SIMÉTRICA
![Page 37: Matrizes fb](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55b5419fbb61eb4b1b8b4687/html5/thumbnails/37.jpg)
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.br
A Grande Marca do EnsinoA Grande Marca do Ensino
Unidades:Unidades:
Vila VelhaVila VelhaReta da PenhaReta da PenhaCarapinaCarapinaItaparicaItaparica
Unidades:Unidades:
Vila VelhaVila VelhaReta da PenhaReta da PenhaCarapinaCarapinaItaparicaItaparica
3222-73003222-7300