Matrizes Aleat órias: Passeio por Fundamentos e Aplicações
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Matrizes Aleatórias: Passeio por Fundamentos e
Aplicações
Marcel Novaes
Universidade Federal de São Carlos
Departamento de Física
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Sumário
Surgimento com Wigner e Dyson
Ensembles Gaussianos
Outros Ensembles (Wishart-Laguerre, Circular, Jacobi)
Aplicação em Caos Quântico
Aplicações: Topologia, Combinatória, Teoria de Grupos
Conexão com polinômios ortogonais clássicos
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Introdução
Anos 50: Wigner Anos 60: Dyson
Ideia inicial: Hamiltoniana de um núcleo grande é muito complexa
Pode ser trocada por uma matriz aleatória análise estatística do espectro
Os elementos da matriz são sorteados aleatoriamente
Autovalores e autovetores se tornam variáveis aleatórias
Autovalores formam um conjunto de variáveis correlacionadas
Novas distribuições universais = para além da distribuição normal (TCL)
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Ensembles Gaussianos
Primeira escolha: Espaço amostral dos elementos
Número reais? Complexos? Quatérnios?
Índice de Dyson: , respectivamente (dimensão do espaço amostral)
Segunda escolha: Distribuição dos elementos
Caso mais simples: variáveis Gaussianas independentes
Formam os famosos GOE, GUE e GSE
(a letra do meio se refere ao grupo de simetria)
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Ensembles Gaussianos
Para os três, a densidade é dada por
Grupo de simetria:
Grupos Ortogonal, Unitário e Simplético para GOE, GUE e GSE
Distribuição dos autovalores:
Diagonalização + Integração sobre os autovetores
Resultado:
O Jacobiano é chamado de Vandermonde
Dá origem a uma repulsão entre autovalores próximos
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Ensembles Gaussianos
Quantidades derivadas (assintóticas):
Densidade de estados: (Lei do Semicírculo)
Função de correlação:
Espaçamento entre vizinhos: ,..., 232121 EEsEEs ( )
Distribuição do maior autovalor:
(Lei de Tracy-Widom)então
onde q(x) satisfaz uma EDO não-linear (Painlevé II)
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Primeira aplicação: Caos Quântico
Exemplo mais simples: partícula na caixa bidimensional
Sistemas regulares:
Sistemas caóticos:
Sistemas dinâmicos clássicos são em geral caóticos
Separação exponencial de condições iniciais (Hiperbolicidade)
Trajetórias longas “cobrem” todo o espaço (Ergodicidade)
Quais as consequências do caos para o problema quântico?
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Matrizes Aleatórias em Caos Quântico
Experimento com vibrações de um bloco de quartzo
Experimento com hidrogênio em campo magnético intenso
Simulação numérica para bilhar caótico
1984: Bohigas, Giannoni, Schmit
Mesmo um sistema de poucos graus de liberdade pode ser descrito por matrizes aleatórias, se sua dinâmica clássica for caótica
Evidências sólidas, tanto experimentais quanto numéricas. Por exemplo, P(s):
(Depois disso, explosão: matrizes aleatórias por toda parte)
Simetria ortogonal = Simetria de reversão temporal
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Outros Ensembles
Ensemble de Wishart-Laguerre. Matrizes , com H NxM Gaussiana
Usado para modelar: matrizes de covariância, comunicação wireless, econofísica, transporte eletrônico, dinâmica de populações, emaranhamento, etc.
densidade reduzida
Distribuição autovalores:
Densidade de níveis:
(Lei de Marchenko-Pastur)
Maior autovalor: Também Tracy-Widom
Distribuição matrizes:
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Outros Ensembles
Ensembles Circulares
Circular Unitary Ensemble, CUE: Grupo Unitário U(N) com medida de Haar
COE: Matrizes Unitárias Simétricas. Isomorfo ao quociente U(N)/O(N)
Usados para modelar matrizes de espalhamento, propagadores
Distribuição autovalores:
Espectro sobre o círculo unitário
Densidade de níveis: constante
Se a função f(H) depende apenas dos autovalores de H, é natural tomar a média sobre os autovetores
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Outros Ensembles
Ensembles de Jacobi: JUE, JOE
Em uma situação de espalhamento como esta,
a matriz de espalhamento tem quatro blocos
A matriz é chamada matriz de transmissão
Se ou , então ou
Densidade de níveis: onde
Distribuição de matrizes:
Distribuição de autovalores:
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Polinômios ortogonais
Distribuição Polinômios
Hermite
Laguerre
Jacobi
Ortogonalidade
Propriedade do Vandermonde:
Existem muitas matrizes M possíveis. Por exemplo:
Uma consequência: em média, níveis de energia = zeros dos polinômios
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Outras Aplicações
Vimos algumas aplicações (Caos Quântico, Espalhamento, Emaranhamento), em que aparecem de fato matrizes que são praticamente aleatórias
Mas a estatística subjacente aparece em situações sem matriz nenhuma
Exemplo 1: Zeros da função de Riemann
Hipótese de Riemann:
Os números tn parecem ter estatística GUE
Exemplo 2: Maior subsequência crescente de permutações
tem L=4
A estatística de L satisfaz Tracy-Widom
(Montgomery ’73, Odlyzko ’92, Keating & Snaith ’01, etc.)
(Baik, Deift & Johansson ‘99)
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Aplicação em Topologia
Lei de Wick: Valor médio de produto = produto de valores médios aos pares
Seja o GUE(N) e
Covariância:
Consideremos
Polígono de 2k lados, arestas coladas aos pares
Característica de Euler:
Expansão topológica: (Harer-Zagier, ’86)
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Aplicação em Combinatória
Seja o GUE(N) e com
entãoComo
Formulação diagramática: Cada traço vira um vértice
Lei de Wick: Todas as conexões possíveis
Exemplo: Cálculo de discutido anteriormente:
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Conclusão: é o número de diagramas com A arestas,
Aplicação em Combinatória
No novo modelo,
Um dado valor de m em produz m vértices
Ao final, teremos para um gráfico com A arestas, m vértices e F faces
Em geral, coisas complicadas
(`t Hooft, ’74)
(Brézin, Itzykson, Parisi, Zuber, ’78)
genus g e kn vértices de grau n
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Aplicação em Teoria de Grupos
Seja Então
Prova: Teoria de funções simétricas + Teoria de caracteres
Função de potência
Função de Schur (caracter do grupo unitário)
Caracteres do grupo de permutações
Classe de conjugação
Tamanho do centralizador da classe
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Aplicação em Teoria de Grupos
Integral de Itzykson-Zuber:
Pode ser provado de várias formas que
Recentemente,
onde
é função geratriz para certa classe de fatoração de permutações
(Goulden, Guay-Paquet & Novak ’12)
Estreitamente relacionada a uma generalização dos números de Hurwitz
Fornece estatística da condutância de pontos quânticos caóticos
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Aplicação em Teoria de Grupos
Produto de elementos de matriz
É preciso que ao final haja apenas módulos quadrados
Os índices k/m devem ser alguma permutação dos i/j
W é chamada função de Weingarten