Matrizes
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MatrizesDEFINIÇÃOK corpop,q números naturaisUma matriz p×q (ou matriz do tipo (p,q)) é um quadro (ou tabela de dupla entrada) de escalares do tipo
com p linhas e q colunas de elementos .O elemento chama-se termo ou coeficiente da matriz. O índice i corresponde à linha, o índice j à coluna.Também se usa a notação .
11 12 1q
21 22 2q
p1 p2 pq
a a ... aa a ... a
A
a a ... a
ijA a
ija Kija
MatrizesDEFINIÇÃO (Igualdade de Matrizes)Duas matrizes e de p linhas e q colunas são iguais se os seus coeficientes e são iguais para cada i=1,...,p e j=1,...,q.
ijA a ija
ijB b ijb
DEFINIÇÃOUma matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas chama-se matriz quadrada.
MatrizesNuma matriz quadrada p×p, os elementos a11, a22, …, app são os da diagonal principal.
Uma matriz quadrada em que os elementos que não são da diagonal principal são iguais a zero chama-se matriz diagonal.
Se todos os elementos forem iguais a zero, a matriz diz-se nula.
Os elementos aij e aji que se dispoem simetricamente relativamente à diagonal principal chamam-se opostos.
Uma matriz quadrada diz-se triangular superior (inferior) se aij=0 quando i>j (aij=0 quando i<j).
Uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais chama-se matriz escalar. Se forem iguais a 1 chama-se matriz identidade.
MatrizesDEFINIÇÃOSe é uma matriz quadrada, a matriz transposta de A, AT, é a matriz que se obtem substituindo cada elemento pelo seu oposto e mantendo os da diagonal principal. Assim, .
ijA a
TjiA a
11 12 1p
21 22 2p
p1 p2 pp
a a ... aa a ... a
A
a a ... a
11 21 p1
12 22 p2T
1p 2p pp
a a ... aa a ... a
A
a a ... a
MatrizesDEFINIÇÃODada uma matriz A cujos elementos são números complexos, a matriz conjugada de A, , é a matriz que se obtem substituindo cada elemento de A pelo seu conjugado.
A
DEFINIÇÃODada uma matriz A cujos elementos são números complexos, a matriz associada de A ou matriz transposta hermítica de A, AH, é a matriz que se obtem transpondo a conjugada de A.
(isto é, ) TH TA A A
MatrizesADIÇÃO DE MATRIZES
DEFINIÇÃO e duas matrizes p×q com coeficientes no corpo K.
A matriz soma, A+B, é definida como sendo a matriz
obtida adicionando os elementos correspondentes de A e B.
ijA a ijB b
ij ija b
NOTAA soma A+B só está definida quando A e B são do mesmo tipo, isto é, quando A e B têm o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.
MatrizesMULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR
DEFINIÇÃO matriz p×q com coeficientes no corpo K, K.
A matriz A é definida como sendo a matriz
obtida multiplicando o escalar pelos coeficientes de A.
ijA a
ija
Matrizes
TEOREMAO conjunto M das matrizes p×q com coeficientes no corpo K é um espaço vectorial sobre K.
MatrizesMULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
DEFINIÇÃO matriz p×q com coeficientes no corpo K.
matriz q×r com coeficientes no corpo K.
A matriz produto é uma matriz p×r cujos coeficientes cij
são definidos por com i=1,...,p e j=1,...,r.
ijA a
ijB b
ijAB c q
ij ik kjk 1
c a b
(isto é, para se obter o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna de AB, multiplicamos ordenadamente os elementos da i-ésima linha de A pelos da j-ésima coluna de B e adicionamos os resultados,
ij i1 1j i2 2 j iq qjc a b a b ... a b
MatrizesMULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
NOTADuas matrizes que podem ser multiplicadas (isto é, em que o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda) dizem-se encadeadas.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZESSempre que os produtos estiverem definidos, tem-se:
(I) ( A B ) C = A ( B C ) - associativa
(II) A ( B + C ) = A B + A C - distributiva ( A + B ) C = A C + B C
Matrizes
TEOREMAO conjunto Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n (isto é, matrizes n×n) com coeficientes no corpo K com as operações de adição e multiplicação definidas é um anel com unidade não comutativo.
Matrizes
DEFINIÇÃOUma matriz A Mn(K) diz-se invertível se existe B Mn(K) tal que A B = B A = In.
NOTAA matriz B quando existe é única.Representa-se por A-1, inversa de A.
MatrizesPROPOSIÇÃOSe A e B são matrizes invertíveis e o produto AB está definido (isto é, as matrizes são encadeadas) então:(I) AB é invertível
(II) 1 1 1AB B A
Generalizando,Se A1, A2,..., Ap são matrizes invertíveis e o produto A1A2...Ap está definido então:(I) A1A2...Ap é invertível
(II) 1 1 1 11 2 p p 2 1A A ...A A ...A A
PROPOSIÇÃOSe A é invertível, AT também o é e . 1 TT 1A A
Matrizes
MatrizesDETERMINANTE
DEFINIÇÃOF=1,2,...,n}Uma permutação de F é uma bijecção de F sobre F.
O conjunto de todas as permutações de F com a operação de composição de funções forma um grupo que se chama Grupo Simétrico e se representa por Sn.
DEFINIÇÃO
Seja a permutação .
Diz-se que ocorre uma inversão em ou que o par ((i),(j)) constitui uma inversão se i<j e (i)>(j).
1 2 ... n1 2 ... n
MatrizesDETERMINANTE
DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE INVERSÕES
Para cada elemento do contradomínio de , verificar quais os elementos que o precedem e que são maiores do que ele.
ls é o número de elementos que precedem s e que são maiores do que s, sendo s um elemento qualquer do contradomínio de .
O número de inversões da permutação é .n
ss 1
l l
MatrizesDETERMINANTE
DEFINIÇÃOO número (1)l em que l é o número de inversões da permutação chama-se sinal da permutação e representa-se por ().
DEFINIÇÃOUma permutação diz-se par ou ímpar conforme o seu número de inversões é par ou ímpar, ou seja, conforme o seu sinal é +1 ou 1.
MatrizesDETERMINANTE
DEFINIÇÃO matriz n×n com coeficientes em K
O determinante da matriz A é o elemento de K definido pela expressão
ijA a
n
1, 1 2, 2 n, nS
det A a a ...a
MatrizesDETERMINANTE
EXEMPLO (n=2) 11 12
21 22
a aA
a a
2 1 2
1 2 1 2S id;
1 2 2 1
n! 2! 2
1 1 2 1
2
1, 1 2, 2S
11 22 12 21
11 22 12 21
det A a a
1 a a 1 a a
a a a a
MatrizesDETERMINANTE
EXEMPLO (n=3) 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aA a a a
a a a
3 1 2 3
4 5 6
1 2 3 1 2 3 1 2 3S id; ; ;
1 2 3 1 3 2 2 1 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3; ;
2 3 1 3 1 2 3 2 1
n! 3! 6
1 4 5 1 2 3 6 1
MatrizesDETERMINANTE
3
1, 1 2, 2 3, 3S
det A a a a
1 1 1 2 2 2
3 3 3 4 4 4
5 5 5 6 6 6
1 21, 1 2, 2 3, 3 1, 1 2, 2 3, 3
3 41, 1 2, 2 3, 3 1, 1 2, 2 3, 3
5 61, 1 2, 2 3, 3 1, 1 2, 2 3, 3
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
11 22 33 12 23 31 13 21 32
11 23 32 12 21 33 13 22 31
a a a a a a a a aa a a a a a a a a
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a aa a a a aa a a a a
MatrizesDETERMINANTE
REGRA DE SARRUS(para o cálculo do determinante de uma matriz 3×3)
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aA a a a
a a a
A seguir à última coluna, reescrevem-se as duas primeiras colunas da matriz.
MatrizesDETERMINANTE
REGRA DE SARRUS
São positivos os produtos dos elementos ligados pelas linhas a vermelho, com a direcção da diagonal principal;
São negativos os produtos dos elementos ligados pelas linhas a azul, com a direcção da diagonal não principal.
NOTAEm vez de acrescentarmos à direita as duas primeiras colunas podemos acrecentar em baixo as duas primeiras linhas e a regra mantem-se.
11 22 33 12 23 31 13 21 32
11 23 32 12 21 33 13 22 31
det A a a a a a a a a aa a a a a a a a a
MatrizesDETERMINANTE
TEOREMASeja A uma matriz n×n sobre o corpo K.Então, det AT = det A.
MatrizesDETERMINANTE
PROPRIEDADE 1Seja uma matriz n×n sobre o corpo K.
Se a linha i de A (1in), é a soma dos n-úplos
e , então o determinante de A é igual à soma dos determinantes que se obtêm de A substituindo a linha i respectivamente por e , isto é:
ijA a i1 ina ,...,a i1 ina ,...,a
i1 ina ,...,a
i1 ina ,...,a i1 ina ,...,a
11 1n 11 1n 11 1n
i1 i1 in in i1 in i1 in
n1 nn n1 nn n1 nn
a a a a a a
det det deta a a a a a a a
a a a a a a
MatrizesDETERMINANTE
PROPRIEDADE 2Seja uma matriz n×n sobre o corpo K.
Se a linha i de A (1in) é o produto do escalar pelon-úplo , então o determinante da matriz A é igual ao produto de pelo determinante da matriz que se obtêm de A substituindo a linha i por , isto é:
ijA a
i1 ina ,...,a
i1 ina ,...,a
11 1n 11 1n
i1 in i1 in
n1 nn n1 nn
a a a a
det deta a a a
a a a a
MatrizesDETERMINANTE
COROLÁRIO (da Propriedade 2)Se a matriz A tem uma linha ou coluna de zeros, então det A = 0.
MatrizesDETERMINANTE
PROPRIEDADE 3Seja uma matriz n×n sobre o corpo K.
Designemos por A' a matriz que se obtem de A trocando as linhas i e j de A (respectivamente as colunas i e j de A), ij, 1i,jn. Então det A' = det A.
ijA a
MatrizesDETERMINANTE
COROLÁRIO (da Propriedade 3)Se a matriz A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det A = 0.
MatrizesDETERMINANTE
TEOREMASeja A uma matriz n×n sobre o corpo K.Designemos por A' a matriz que se obtem de A adicionando à linha (coluna) i o produto do escalar pela linha (coluna) j.Então det A' = det A.
MatrizesDETERMINANTE
MatrizesDETERMINANTE
Observação:Quando se efectua a condensação de uma matriz, as transformações que podem ocorrer no seu determinante são:- Mudança de sinal, se houver troca de linhas (ou colunas) um número ímpar de vezes;- Multiplicação por um escalar não nulo, se se multiplicar uma linha (ou coluna) por um escalar não nulo.
MatrizesDETERMINANTE
TEOREMA (Critério de invertibilidade de uma matriz)Seja A uma matriz n×n sobre o corpo K.A é invertível se e só se det A 0.
TEOREMAO determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da sua diagonal principal.
TEOREMASe A e B são duas matrizes n×n sobre o corpo K, entãodet (AB) = det A det B
MatrizesDETERMINANTE
DEFINIÇÃOSeja A uma matriz n×n sobre o corpo K.Chama-se menor de A associado ao elemento aij ao elemento de K det A(i|j).A(i|j) é o determinante da matriz que se obtem de A retirando a linha i e a coluna j
DEFINIÇÃOSeja A uma matriz n×n sobre o corpo K.Chama-se complemento algébrico do elemento aij da matriz A ao elemento de K (1)i+j det A(i|j).Representa-se por Aij.
MatrizesDETERMINANTE
TEOREMA DE LAPLACEO determinante de uma matriz quadrada é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos complementos algébricos.
COROLÁRIOA soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos complementos algébricos dos elementos de uma fila paralela, pela mesma ordem, é nula.
MatrizesMATRIZ INVERSA
DEFINIÇÃOChama-se matriz adjunta de uma matriz quadrada A à matriz que se obtem transpondo A e substituindo em seguida cada elemento pelo seu complemento algébrico.
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a aa a a
A
a a a
11 21 n1
12 22 n2
1n 2n nn
A A AA A A
adjA
A A A
MatrizesMATRIZ INVERSA
TEOREMAnA adjA adjA A det A I
Se det A 0, então 1 1A adjAdet A
MatrizesMATRIZ INVERSA
DEFINIÇÃOUma matriz quadrada A com coeficientes num corpo K diz-se regular (ou não singular) se det A 0.
TEOREMAUma matriz quadrada com coeficientes num corpo é invertível se e só se é regular.
MatrizesMATRIZ INVERSA
DEFINIÇÃOUma matriz quadrada real invertível A diz-se ortogonal se a inversa coincide com a transposta.
DEFINIÇÃOUma matriz quadrada complexa invertível A diz-se unitária se a inversa coincide com a transposta da conjugada.
MatrizesCONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
MatrizesCONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
As linhas da matriz A podem ser identificadas com vectores do espaço vectorial Kn.
Seja uma matriz m×n sobre o corpo K.ijA a
1 11 12 1n
i i1 i2 in
m m1 m2 mn
L a a a
L a a a
L a a a
Linhas da matriz A
Li vector cujas coordenadas são na base canónica de Kn.
i1 i2 ina ,a ,...,a
MatrizesCONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
A dependência linear das linhas de uma matriz goza das seguintesPROPRIEDADES
Se em L1,...,Lm algumas das linhas forem linearmente dependentes, então todas o são.
P1
Se em L1,...,Lm alguma linha é nula (isto é, totalmente formada por zeros), então as linhas são linearmente dependentes.
P2
L1,...,Li,...,Lm são linearmente dependentes se e só se o mesmo sucede com L1,...,Li,...,Lm, escalar não nulo.
P3
L1,...,Li,...Lj,...,Lm são linearmente dependentes se e só se o mesmo sucede com L1,...,Li+Lj,...,Lj,...,Lm.
P4
MatrizesCONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
As linhas L1,...,Lm são linearmente dependentes se e só se o mesmo acontece com as que se obtêm somando a uma delas uma combinação linear das restantes.(consequência de P3 e P4)
P5
As linhas L1,...,Lm são linearmente dependentes se e só se alguma delas é combinação linear das restantes.
P6
MatrizesCONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
Analogamente para colunas.
MatrizesCONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
OPERAÇÕES ELEMENTARES sobre as linhas de uma matriz
Troca entre si de duas linhas.O1
Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero.O2
Substituição de uma linha pela que dela se obtem adicionando-lhe o produto de outra por um escalar.
O3
MatrizesCONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
Analogamente para colunas.
MatrizesCONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
TEOREMAA dependência ou independência linear das linhas (ou colunas) de uma matriz não é alterada por nenhuma das seguintes operações (chamadas operações elementares):
Troca (entre si) de duas filas paralelas (linhas ou colunas).O1
Multiplicação de uma fila por um escalar diferente de zero.O2
Substituição de uma fila pela que dela se obtem adicionando-lhe o produto de outra fila paralela por um escalar.
O3
MatrizesCONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
É possível, efectuando apenas operações elementares, transformar qualquer matriz numa matriz diagonal em que os primeiros elementos da diagonal principal são iguais a 1 (podendo eventualmente serem todos) e os restantes (que podem eventualmente não existir) são iguais a 0.
É o que se chama condensar uma matriz.
MatrizesCONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
MatrizesCONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
Condensando uma matriz obtemos uma matriz do tipo
com r elementos iguais a 1 na diagonal principal que se pode representar por
onde Ir representa a matriz identidade de ordem r e os zeros significam que os restantes elementos da matriz são todos nulos.
1 0 0 0 00 1 0 0 0
0 0 1 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0
rI 00 0
MatrizesCONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
DEFINIÇÃOCaracterística de uma matriz é o número máximo de filas (linhas ou colunas) linearmente independentes.
MatrizesCONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
Descrição do processo de Condensação de uma matriz (caso geral)
Seja A=[Aij] uma matriz m×n, de característica r (a determinar).
Se A=0 (matriz nula), não há filas linearmente independentes e a característica é igual a zero.
Se A0, executam-se sobre A as seguintes operações elementares:
, com
por operações do tipo O1 ( se ).
(i) 11a 0 ijA A a
11a 0A A
MatrizesCONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
, com e , i2
por operações do tipo O3.
(ii) 1j 1jb a i1ij ij 1j
11
ab a aa
ijA B b
Ficará bi1=0 (i2) e ao elemento a'11, abaixo do qual todos os elementos ficaram iguais a zero, chamaremos elemento redutor.
, com e
por operações do tipo O1 ( se ).
(iii) 1j 1jb b 22b 0 ijB B b 22b 0B B
, com , i3
por operações do tipo O3 e tomando como elemento redutor.
(iv) i2c 0ijB C c 22b
E assim sucessivamente até chegar à última linha não nula.
MatrizesCONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ
MatrizesINVERSÃO DE UMA MATRIZ
TEOREMASeja A uma matriz n×n sobre o corpo K, invertível.Então é possível condensar a matriz A utilizando apenas transformações elementares em linhas (ou em colunas).Além disso, a matriz que se obtem de In efectuando em In, pela mesma ordem, as transformações elementares em linhas (ou em colunas) que permitiram condensar A é a inversa de A.