ALGEBRA LINEAL

GRUPO 3

INTEGRANTES:

- Jonathan López

- Daniel Villavicencio

- Alisson Alava

- Alejandro Guerrero

•

APLICACIÓN LINEAL INVERSA

Para que exista la aplicación lineal inversa , entonces, la aplicación lineal f debe ser biyectiva, es decir; f debe ser inyectiva y sobreyectiva.

f(u)=w

x

u

𝑓 −1

2

Pasos para encontrar una aplicación lineal inversa

1. Demostrar si es inyectiva y sobreyectiva, para esto calculamos el núcleo o la imagen de la aplicación lineal.

2. Demostrar que es biyectiva.

3. Escalonamos la matriz utilizada para encontrar la imagen. Los valores obtenidos, los reemplazamos en la aplicación lineal inversa.

f(a,b)=x+yt

(a,b)

𝑓 −1

1. Demostramos si es inyectiva y sobreyectiva, para esto calculamos el núcleo o la imagen de la aplicación lineal.

𝑓 :ℝ2→𝑃1(𝑡)(𝑎 ,𝑏)→ 𝑓 (𝑎 ,𝑏)=(2𝑎 )+(𝑏+𝑎) 𝑡

𝑁𝑓 ={(𝑎 ,𝑏)/2𝑎+(𝑏+𝑎) 𝑡=0+0 𝑡 }

{ 2𝑎=0𝑎+𝑏=0

𝑁𝑓 ={(0,0)}dim (𝑁𝑓 )=0

¿

{¿𝑎=0¿𝑏=0

f(a,b)=p+qt

(a,b)

ℝ 2

𝑓 −1

∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

𝐼𝑚𝑔𝑓 =¿

𝐼𝑚𝑔𝑓 ={ (𝑝+𝑞𝑡 )/ (2𝑎+(𝑏+𝑎 )𝑡 )=𝑝+𝑞𝑡 }

{ 2𝑎=𝑝𝑎+𝑏=𝑞

f(a,b)=p+qt

(a,b)

ℝ 2

𝑓 −1

𝑓 1← 𝑓 11 /2 𝑓 2← 𝑓 2− 𝑓 1

𝐼𝑚𝑔𝑓 ={(𝑝+𝑞𝑡 )/𝑝 ,𝑞∈ℝ }

dim (𝐼𝑚𝑔𝑓 )=2 ∴ 𝑓 𝑒𝑠𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

𝐼𝑚𝑔𝑓 ={𝑃1(𝑡)   }

Otra forma: Teorema de la dimensión

𝐷𝑖𝑚(ℝ2)=𝐷𝑖𝑚(𝑁𝑓 )+𝐷𝑖𝑚(𝐼𝑚𝑔𝑓 )

f(a,b)=p+qt

(a,b)

ℝ 2

𝑓 −1

2

𝐷𝑖𝑚 ( 𝐼𝑚𝑔𝑓 )=2=𝐷𝑖𝑚 (𝑃1 (𝑡 ))

∴ 𝑓 𝑒𝑠𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

2.-Demostramos que es biyectiva

∴ 𝑓 𝑒𝑠𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

𝑁𝑓 ={(0,0)}

∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 𝑓 𝑒𝑠𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

𝐼𝑚𝑔𝑓 ={𝑃1(𝑡)   }

3.- A la matriz utilizada para encontrar la imagen, la escalonamos y reducimos con estos valores obtenidos remplazamos en la aplicación lineal inversa.

(𝑝+𝑞𝑡 )→ 𝑓 (𝑝+𝑞𝑡 )=(𝑝2 ,𝑞− 𝑝2 )

𝑓 1← 𝑓 11 /2 𝑓 2← 𝑓 2− 𝑓 1

f(a,b)=p+qt

(a,b)

ℝ 2

𝑓 −1

VECTOR DE COORDENADAS

Sea (V, K, +, ) un espacio vectorial de dimensión finita con base , para cada v ∈ V existen escalares únicos tales que:

COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE

El vector en V cuyas componentes son los coeficientes de v, expresado como , se llaman coordenadas de un vector respecto a una base o vector coordenado de v con respecto a B.

Sea llegamos a encontrar las coordenadas del vector v de la base dada y se escribe de la siguiente forma:

Sea la base y , encontrar

1.- Hacemos la combinación lineal:

2.- Obtenemos nuestra matriz ampliada con un sistema de ecuaciones, y realizamos operaciones elementales

7

3.- Obtenemos los escalares

MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN

LINEAL

ALGEBRA LINEAL

A toda aplicación lineal f: V W de espacios

vectoriales de dimensión finita n y m

respectivamente, se le puede asociar una

matriz A Mmxn , tal que:

F (x)= AX , donde X=

Recíprocamente a toda matriz A se le puede asociar con una aplicación lineal f: V W.

𝑨=[ 𝒇 ]B 2B 1

[𝒗 ]𝑩1❑ [ 𝒇 (𝒗 ) ]𝑩2

❑

𝑣 f)= w

𝑉 W

𝑩 2𝑩 1

f

DEFINICIÓN

Si la base es canónica:

[ 𝒇 (𝒗 ) ]𝑩2

❑=𝑨× [𝒗 ]𝑩1

❑

[ 𝒇 (𝒗 ) ]𝐶❑=𝑨× [𝒗 ]𝑪

❑

[ 𝒇 (𝒗 ) ]𝑩2

❑=[ 𝒇 ]𝑩 2

𝑩 1× [𝒗 ]𝑩1

❑

[ 𝒇 (𝒗 ) ]C2

❑= [ 𝒇 ]C2

C1× [𝒗 ]C1

❑

[ 𝒇 (𝒗 ) ]𝐶❑=𝑨×𝒗

PROCESO PARA EL CÁLCULO DE UNA MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL

• Donde B1 es una base del espacio vectorial de salida, y u1 es el primer vector de la base del espacio vectorial de salida.

• Donde B2 es una base del espacio vectorial de llegada, y w1 es el primer vector de la base del espacio vectorial de llegada.

Sea:

𝐵1= {u1 , u 2 ,…u n   } 𝐵2= {w 1 , w 2 ,…w m   }

DATOS:

La aplicación lineal, las bases Y ; siendo la

base del espacio vectorial de salida y la base

del espacio vectorial de llegada.

1. Hallar las imágenes de los vectores de

𝐵1= {(1,1,0 ) , (1,0,1 ) , (0,1,1 ) }𝐵2= {1− 𝑡 ,𝑡 ,𝑡− 𝑡 2 }

S

2. Con las imágenes obtenidas en el paso 1, se expresa como combinación lineal con los vectores B2.

3. Obtenemos un sistema de ecuaciones de cada una de las combinaciones lineales anterioresPara:

1=𝛾0=−𝛾+𝛽+𝛿0=−𝛿 ( 1

−101

0 0

0 11 0−1 0)

Para:

( 1−1

01

0 0

0 01 2−1 0)

0=𝛾 ′

2=−𝛾 ′+𝛽 ′+𝛿 ′

0=𝛿 ′

Para:

1=𝛾0=−𝛾 + 𝛽 +𝛿−2=−𝛿

( 1−1

01

0 0

0 11 0−1 −2)

3. Unir las 3 matrices ya que solo cambia el termino independiente.

4. Resolver el sistema usando el método de Gauss Jordan.

Matriz asociada a la aplicación lineal

( 1−1

01

0 0

0 11 0−1 0

0 12 00 −2)

𝐹 2=𝐹 2+𝐹 3

(10

01

0 0

0 11 1−1 0

0 12 10 −2)

𝐹 2=𝐹 2+𝐹 1

(10

01

0 0

0 10 11 0

0 12 −10 0 )

La Matriz asociada a la aplicación lineal es:∴

[ 𝒇 ]𝑩2𝑩1

=