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1
MATRICI: definizioni (1)
Def. Matrice
Tabella costituita da m righe ed n colonne. Si dice di tipo m x n o (m,n)
Consideriamo delle tabelle di numeri, in cui ci si imbatte spesso in molti problemi di matematica o di scienze applicate. Tale tabelle hanno un doppio ordinamento, per righe e per colonne, utilizzeremo i seguenti simboli:
ijijij
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
..
........
..
..
21
22221
11211
Α
mi ,..,1
nj ,..,1
Indice di riga
Indice di colonna
Raij
Def. Vettore Riga
Tabella costituita da 1 righe ed n colonne. Si dice di tipo 1 x n o (1,n)
Def. Vettore Colonna
Tabella costituita da m righe ed 1 colonne. Si dice di tipo m x 1 o (m,1)
Def. Matrice Quadrata
Tabella costituita da un numero di righe uguale al numero di colonne. Se tale numero è n la matrice è detta di quadrata di ordine n.
2
MATRICI: definizioni (2)
Def. Diagonale principale
Gli elementi di una matrice quadrata che hanno uguali il numero di riga e di colonna costituiscono la diagonale principale della matrice.
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
..
........
..
..
21
22221
11211
Α
Diagonale Principale
Diagonale Secondaria
Def. Uguaglianza di Matrici
Due matrici A e B sono uguali se hanno lo stesso numero di righe e di colonne e se sono uguali gli elementi di uguale posto.
ijij ba BΑ
nj
mi
,...,1
,...,1
3
MATRICI: definizioni (3)
Def. Matrice Trasposta
La matrice trasposta della matrice A è la matrice che si ottiene scambiando le righe con le colonne di A. Verrà indicata con At.
320
421Α
34
22
01TΑ
Def. Matrice Simmetrica
Data una matrice quadrata A la matrice è detta simmetrica quando risulta: A = AT.
TΑΑ
420
231
011
T
jiij aa ΑΑ
121
422
313
B
143
221
123T
B
4
MATRICI: definizioni (4)
Def. Matrice Emisimmetrica
Data una matrice quadrata A la matrice è detta emisimmetrica quando risulta: A = -AT.
TΑΑ
023
201
310
T
jiij aa ΑΑ
Def. Matrici Simili
Due matrici A e B sono dette simili se hanno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne.
ijaΑ
ijbBnj
mi
,...,1
,...,1
5
MATRICI: definizioni (5)
Def. Matrice Triangolare
Data una matrice quadrata A la matrice è detta triangolare quando sono nulli tutti gli elementi sotto la diagonale principale (matrice triangolare alta) o sopra la diagonale principale (matrice triangolare bassa).
300
220
311
Α
Def. Matrici Diagonale
Una matrice A è detta diagonale se sono nulli tutti gli elementi fuori dalla diagonale principale.
311
022
001
Αmatrice
triangolare
alta
matrice
triangolare
bassa
300
020
001
Α Matrice
diagonale
6
Operazioni: Matrice Somma
Def. Matrice Somma
Date due matrici simili A e B chiamiamo somma di A e B la matrice C così definita:
ijijij bac BΑC
43
21Α
32
03B
15
22CBA
Proprietà della Somma
Associativa
Commutativa
Elemento Neutro
Elemento Simmetrico
CBΑCBΑ
ABBΑ
A0Α0 :
0A)(ΑAA :)(,
Def. Matrice Zero
Matrice 0 è la matrice con tutti gli elementi uguali a 0.
Def. Matrice Opposta
La matrice -A opposta della matrice A (simmetrica rispetto alla somma) è la matrice con tutti gli elementi opposti agli elementi di A.
jiaa ijij , 0con 0
con AA ijij aa
Gruppo Abeliano
7
Operazioni: Prodotto di una matrice per uno scalare
Def.
Data la matrice A e lo scalare k , la matrice C=kA=Ak è così definita:
ijij kackk AΑC
43
21Α 2k
86
42CAk
Proprietà del prodotto Matrice per Scalare
AΑ 1
AAΑ hkhk )(
Nota
L’insieme delle matrici di tipo m x n costituisce, con le due operazioni appena definite (di somma e prodotto per uno scalare), uno Spazio Vettoriale.
BABΑ kkk )(
AΑ )()( khhk
8
Operazioni
Es. Una matrice può essere scritta come somma di una matrice simmetrica e di una matrice emisimmetrica
43
21Α
TAAS
2
1 T
AAE 2
1
ESA
42/1
2/11S
02/5
2/50E
42
31T
Α
9
Operazioni: Moltiplicazione di due matrici (righe per colonne) (1)
Def. Matrici Conformabili
Si considerino due matrici A e B tali che A sia di tipo (m x n) e B sia di tipo (n x p) (cioè numero di colonne di A sia uguale al numero di righe di B). Le matrici A e B, siffatte, sono dette CONFORMABILI.
Def. Prodotto (righe per colonne)
Date due matrici A di tipo (m x n) e B di tipo (n x p) , conformabili, si chiama prodotto della matrice A per la matrice B, la matrice C ( che sarà di tipo (m x p) ) così definita:.
n
k
kjikij bac1
BΑCpj
mi
,...,1
,...,1
Es.
41
13
10
21
1021
1310
1201
)4()1(10)1(221)1()1(300211
)4()1(13)1()1(20)1()1(330)1(10
)4(112)1(021)1(1320011
40221001
43101900
42021601
42
810
06
10
Operazioni: Moltiplicazione di due matrici (2)
Es.
5831
2213
10
87
31
654
321
Nota 1:
Il prodotto non è commutativo AB≠BA
121
370
1710
013
121
101
010
141
321
8104
193
311
010
141
321
013
121
101
Nota 2:
Matrici diverse dalla matrice 0 possono dare la matrice 0 come prodotto. Matrici siffatte
sono dette DIVISORI DELLO ZERO.
000
000
000
142
000
000
041
041
021
11
Operazioni: Moltiplicazione di due matrici (3)
Nota 3:
Non vale la legge della Cancellazione del Prodotto: AB=AC non implica B=C
( non si può semplificare la A)
111
111
221
222
111
221
041
011
021
CBA
CB
265
132
043
BA
265
132
043
CA
Riassumendo:
1) Non vale in generale la proprietà commutativa
2) AB=0 può essere con A≠0 o B≠0
3) Se AB=AC può essere B≠C anche se è A≠0
4) Se BA=CA può essere B≠C anche se è A≠0
12
Operazioni: Moltiplicazione di due matrici (4)
Proprietà:
Il prodotto di matrici è associativo: A (B C)=(A B) C
Proprietà:
Il prodotto di matrici è distributivo rispetto alla somma (sia a destra che a
sinistra): (A+B) C= A C + B C
D (E+F)= D E + D F
Purchè A e B siano conformabili con C; D sia conformabile con E ed F.
Es. Date le matrici 2 x 2 A,B,C si verifichi che:
tttABBA
43
21Α
32
03B
BCACCBA
)( CBACBA
02
11C
53
26BCACCBA
126
11 ttt
ABBA
123
113)( CBACBA
13
Operazioni: Determinante di una matrice quadrata (1)
Il determinante di una matrice quadrata è uno scalare associato alla matrice.
Daremo solo le regole per il calcolo ( e non i dettagli di definizione).
Determinante di una matrice quadrata di ordine 2.
dc
baA ad-bc)det(A
Determinante di una matrice quadrata di ordine 1 è l’elemento stesso.
Consideriamo ora una matrice quadrata di ordine n.
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
..
........
..
..
21
22221
11211
Α
Def. Minore Complementare
Si chiama minore complementare dell’elemento aij della matrice A, e si indica con Mij il
determinante della matrice ottenuta cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima
dalla matrice A.
14
Operazioni: Determinante di una matrice quadrata (2)
Def. Complemento Algebrico
Si chiama complemento algebrico dell’elemento aij della matrice A, il numero:
222
111
221
A 422
11det 12
M 2-
22
21det 22
M
ij
ji MA )1( ij
222
111
221
A -4)1( 12
21
12 M A 2-)1(A 22
22
22 M
Nota pari é se 1)1( jiji
dispari é se 1)1( jiji
(-1) ji
15
Operazioni: Determinante di una matrice quadrata (3)
Determinante di una matrice quadrata di ordine n>2
Il determinante di una matrice quadrata si può ottenere dalla somma dei prodotti degli
elementi di una qualunque linea (riga o colonna) per i loro complementi algebrici
(Prima regola di Laplace). In formule: fissando la riga k (1≤k ≤n) abbiamo:
222
111
221
A
knknkk AaAaAa ...)det( k22k11A
Oppure fissando la colonna k (1≤k ≤n) abbiamo:
nknkkk AaAaAa ...)det( 2k21k1A
Es. Calcoliamo i complementi algebrici della prima riga:
422
11)1( 2
11
A 422
11)1( 3
12
A 022
11)1( 4
13 A
402)4(241)det( 131312121111 AaAaAaA
Es. Se si moltiplicano i complementi algebrici di una linea per gli elementi di una
linea parallela si ottiene sempre zero (Seconda regola di Laplace)
16
Operazioni: Determinante di una matrice quadrata (4)
222
111
221
AEs. Calcoliamo i complementi algebrici della seconda colonna:
422
11)1( 3
12
A 222
21)1( 4
22 A 311
21)1( 5
32
A
432)2(1)4(2)det( 323222221212 AaAaAaA
Es. Regola di Sarrus (solo per matrici 3 x 3)
22
11
21
222
111
221
A
+ -
2)12()11)((2-2)1(2-212 21)(2211
4424-4 42
17
Operazioni: Determinante di una matrice quadrata (5)
1210
0302
1520
4321
AEs.
121
030
432
det)1(0
121
030
152
det(-1)1)det( 32A
Sviluppando il determinante (sempre) sulla
prima colonna abbiamo:
030
152
432
det)1(0
121
152
432
det)1(2 54
15
43det1
12
43det2
12
15det22
03
15det1
12
03det2)det( A
27)9(29)172214(236)17(1112722)3(132)det( A
18
Proprietà Determinante (1)
Proprietà 1.
Se A ha una colonna od una riga di zeri det(A)=0
Sia A una matrice n x n :
Proprietà 2.
Scambiando due righe o due colonne il determinante cambia di segno
Proprietà 3.
Se A ha due righe o due colonne uguali det(A)=0
654
000
321
A 0)det( A
302
101
301
B 0)det( B
212
111
121
A 6)det( A
212
111
121
B 6)det( B
212
111
121
A 0)det( A
19
Proprietà Determinante (2)
Sia A una matrice n x n :
Proprietà 4.
Il determinante è una funzione lineare di ciascuna riga o colonna :
Esemplificando sulla prima colonna:
nnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnnn
n
n
aab
aab
aab
aaa
aaa
aaa
aaba
aaba
aaba
..
........
..
..
det
..
........
..
..
det
..
........
..
..
det
21
22221
11211
21
22221
11211
211
2222121
1121111
additività
212
111
121
A 6)det( A
213
110
122
2112
1111
1211
C
211
111
121
B 1)det( B
5)det( C
20
Proprietà Determinante (3)
Sia A una matrice n x n :
Proprietà 4.
Il determinante è una funzione lineare di ciascuna riga o colonna :
Esemplificando sulla prima colonna:
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
k
aaka
aaka
aaka
..
........
..
..
det
..
........
..
..
det
21
22221
11211
21
22221
11211
omogeneità
6)det( A
212
111
121
A
214
112
122
2122
11)1(2
1212
B 12)det( B
21
Proprietà Determinante. (4)
Proprietà 5.
Se ad una riga (colonna) si aggiunge una qualunque combinazione lineare delle
altre righe (colonne) il determinante non cambia
212
111
121
A
211
112
121
BAlla prima colonna è stata aggiunta la
combinazione lineare data da:
(1)*(seconda colonna)+(-2)(terza colonna)
2
1
1
)2(
1
1
2
)1(
2
1
1
2
1
1
6)det( B
22
Proprietà Determinante. (5)
Proprietà 6.
Se e solo se le righe (colonne) di A sono vettori linearmente dipendenti (**) allora
det(A)=0
(**) Due vettori V1 e V2 sono linearmente dipendenti se esistono due scalari α1 e α2 non
entrambi nulli tali che: α1 V1 + α2 V2 = 0 .
n vettori V1 …….. Vn sono linearmente dipendenti se esistono n scalari α1 …. αn non
tutti nulli tali che: α1 V1 +…+ αn Vn = 0 .
915
111
321
A
La terza riga è così ottenuta:
(2)*(prima riga)+(3)*(seconda riga)
11133212915
0)det( A
23
Proprietà Determinante. (6)
Proprietà 7.
Se A è una matrice triangolare o diagonale allora
Proprietà 8
nnaaa ....)det( 2211A
)det()det( AAnkk
900
110
321
A
915
011
001
B
900
010
001
C
9)det()det()det( CBA
212
111
121
A
424
222
242
2k
B 486 2)det( 3 B
24
Proprietà Determinante. (7)
Proprietà 9 (teorema di Binet). )det()det()det( BABA
121
370
1710
013
121
101
010
141
321
4
010
141
321
det
6
013
121
101
det
24
121
370
1710
det
25
Proprietà Determinante (8)
Es. Utilizzo precedenti proprietà per il calcolo del determinante
214
131
212
detSottraggo alla prima riga il doppio
della seconda, sostituisco alla prima
riga il risultato
30)6(524
11det)1)(5(
214
131
050
det
613
212
313
detSommo alla prima colonna il triplo
della seconda, sostituisco alla prima
colonna il risultato
45)9(561
31det)1)(5(
610
215
310
det
26
Proprietà Determinante (9)
Ricapitolando : Determinante e operazioni algebriche:
BABA detdetdet
AA detdet nkk
BABA detdetdet
27
Minori e Rango di una matrice.
Def. Rango o Caratteristica
Si chiama rango (o caratteristica) di una matrice il massimo ordine dei minori non nulli.
Es.
Def. Minore
Si chiama minore di ordine p di una matrice A il determinante di una qualsiasi
sottomatrice quadrata di ordine p estratta da A. Nota L’estrazione avviene sopprimendo un determinato numero di righe ed un determinato numero di colonne dalla matrice
originaria.
2110
0712
1301Minori di ordine 1
,....2,7,3,1
Minori di ordine 2
Minori di ordine 3
112
01
3
71
30
.........2
10
12
0
211
071
130
0
210
072
131
Es. Nell’esempio precedente, la matrice può avere al massimo rango 3. Due
sottomatrici di ordine 3 hanno determinante nullo analizziamo le altre due:
0
210
012
101
0
110
712
301
Tutti i minori di ordine tre sono nulli allora il
rango è minore od uguale a due. Poiché
esiste (almeno) un minore di ordine due
diverso da zero il rango è 2
28
Matrice Identità (1)
Def. Matrice Identità
Si chiama matrice identità o matrice identica rispetto al prodotto di matrice una matrice In tale che:
Consideriamo l’insieme di tutte le matrici quadrate di ordine n.
AAIIA nn
Nota
Tale matrice deve essere di ordine n e costituisce l’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione di matrici.
Essa è unica per l’insieme delle matrici quadrate di ordine n: è la matrice diagonale con tutti gli elementi della diagonale uguale a 1 (gli altri sono zero!). In simboli:
,....,ni,jijn 1
1..00
........
0..10
0..01
I
Simbolo di KROENECKER:
se 0
se 1
ji
jiij
29
Matrice Identità (2)
AAIIA nn
Simbolo di KROENECKER:
se 0
se 1
ji
jiij
1n ij i, j ,....,n ITeo È matrice identità di ordine n
Note
Dim Sia = nB A I Allora:
1
b = n
ij ik kj ij
k
a a
B = A
30
Matrice Inversa (1)
Per una matrice quadrata di ordine 2, determinare l’inversa significa, in generale, risolvere il seguente sistema di equazioni lineari:
AIA 2
dc
baA
2221
1211
xx
xx2I
Posto:
Abbiamo:
ddxcx
cdxcx
bbxax
abxax
2212
2111
2212
2111
2 AIA
1
0
0
1
22
21
12
11
x
x
x
x
10
012I
31
Matrice Inversa (2)
Def. Matrice Inversa
Si chiama matrice inversa della matrice A la matrice A-1 che moltiplicata a destra o a sinistra per A da come risultato la matrice identità I :
nIAAA A11
Teorema
Condizione necessaria e sufficiente affinché esista la matrice A-1 inversa della matrice A è che det(A)≠0.
Def. Matrice Singolare
Una matrice A si dice SINGOLARE se det(A)=0.
Teorema
La matrice A-1 inversa della matrice non singolare A si trova facendo:
La trasposta della matrice dei complementi algebrici di A divisa per il determinante di A.
In pratica Partendo da A, matrice non singolare:
Si ottiene la matrice dei complementi algebrici
Si traspone tale matrice (ottenendo la matrice aggiunta di A)
Si divide per il determinante di A
32
Matrice Inversa (3)
Es.
43
21 A 2)det( A
12
34*
AMatrice complementi algebrici
13
24* T
A Trasposizione
(matrice aggiunta)
divido per det(A)
2/12/3
12
)det(
*1
A
A A
t
Verifica:
210
01
2/12/3
12
43
21IA A
1
33
Matrice Inversa (4)
Es.
201
120
101
A 221
11det2)det(
A
212
010
214* A
Matrice complementi algebrici
Trasposizione
divido per det(A)
Verifica:
Sviluppo il determinante sulla seconda colonna
202
111
204* t
A
101
2/12/12/1
102
)det(
*1
A
A A
t
3
1
100
010
001
101
2/12/12/1
102
201
120
101
IA A
34
Conclusioni
Considerato l’insieme di tutte le matrici quadrate di ordine n, il sottoinsieme della matrici NON SINGOLARI indicato con GL(n) costituisce un gruppo rispetto alla moltiplicazione. Tale gruppo è non commutativo (non abeliano): sono soddisfatte le seguenti proprietà:
1) Interna:
2) Associativa:
3) Elemento neutro:
4) Elemento simmetrico:
)(, ),( nGLnGL BΑBΑ
( CB)(AC)BΑ
:)( AAIIΑI nnn nGL
nIΑΑΑΑΑΑ 111 :,
35
Proprietà: Riassunto
Es. Trasposizione ed Operazioni Algebriche
ΑΑ
TT
222222 BABΑBBAABΑBΑ
simmetrica matrice TAΑS
icaemisimmetr matrice TAΑE 2
ESA
simmetrica matrice1 TAΑS
2222BΑBΑBBΑΑBΑBΑ
TTTBΑBΑ
TTkk ΑΑ
TTTΑBBΑ
Es. Inversione ed Operazioni Algebriche
Es. Non commutatività e Simmetria
ΑΑ 11 TT 11
ΑΑ 111 ΑBBΑ
36
Sistemi Lineari e Matrici (1)
Sistema Lineare di m equazioni in n incognite in forma normale:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
....
.......................
....
....
)1(
2211
22222121
11212111
Forma matriciale:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
.........
...
...
21
22221
11211
A
nx
x
x
...
2
1
x
Matrice dei
coefficienti
Vettore
incognite
mb
b
b
...
2
1
b
Vettore
termini
noti
b Ax )1(In generale non si può dare l’algoritmo di soluzione ma solo indicare se ci sono o meno
soluzione al sistema (teorema di Rouché-Capelli) ; tuttavia se il numero delle equazioni è
uguale al numero delle incognite allora la matrice A dei coefficienti è quadrata e possiamo
argomentare quanto segue:
37
Sistemi Lineari e Matrici (2)
bAx Se la matrice A non è singolare allora esiste inversa A-1 . Possiamo allora scrivere:
bAAxA
11
Abbiamo dunque che il vettore soluzione è unico e si ottiene moltiplicando la matrice
inversa di A per il vettore dei termini noti b.
bAx1
Es.
02
123
32
32
31
21
xx
xx
xx
120
203
012
A
3
2
1
x
x
x
x
0
1
3
b
11/311/411/6
11/411/211/3
11/211/111/41 A
11)det( A
2
1
1
bAx 1
38
Matrici e Trasformazioni nel Piano (R2)
Le matrici possono essere utilizzate per rappresentare trasformazioni (funzioni particolari)
da R2 ad R2:
Simmetria rispetto asse y
10
01xS
Ad esempio
)','(),( che tale: 22 yxyxRRf
Simmetria rispetto asse x
dycx
byax
y
x
dc
ba
y
x
'
'
In particolare alcune funzione possono essere “rappresentate” da matrici: per far ciò
utilizziamo gli elementi di R2 come vettori:
dycxy
byaxx
'
'
10
01yS
Simmetria rispetto Bisettrice I-III
01
10xyS
Simmetria rispetto all’Origine
10
01OS
39
Matrici e Trasformazioni nel Piano (R2)
Rotazione
cossin
sincos)R(
01
10
2
R
Dilatazione
0
0βα,D
OSR
10
01)(
2/32/1
2/12/3
6
R
2/12/3
2/32/1
3
R
2IR
10
01)0(
2/22/2
2/22/2
4
R
40
Matrici e Trasformazioni nel Piano (R2)
Es. Rotazione di un vettore in coordinate polari
1sin
cos
V
)sin(
)cos(
sin
cos
cossin
sincos
)VR(
Es. Rotazione Inversa
)(R)R(
1
cossin
sincos
)cos()sin(
)sin()cos(
10
01
cossin
sincos
cossin
sincos
Es. Rotazioni Composte
cossin
sincos
cossin
sincos)R()R(
)R(
coscossinsinsincoscossin
cossinsincossinsincoscos
41
Matrici e Trasformazioni nel Piano (R2)
Es. Potenze di Matrici )R()R( kk
36
2
RR
24
2
RR )(
2
2
RR
42
Matrici: applicazioni 1/
Es. SUCCESSIONE ECOLOGICA: UN CASO SEMPLICE
Supponiamo di osservare un’area di 100 ettari di paludi, e che essa inizialmente sia completamente sommersa.
Ogni 10 anni, il 5% delle aree sommerse diventano sature, il 12% di quelle sature diventano asciutte, e tutti gli
ettari asciutti rimangono tali. Dopo 10 anni, quale porzione di terreno è sommerso, quale saturo, e quale asciutto?
E dopo 20 anni?
Soluzione: costruiamo innanzitutto il vettore che rappresenta la composizione frazionale dei 100 ettari di palude:
Usiamo come nomi delle classi: sommerso, saturo ma non sommerso, e asciutto. Se
• u = proporzione di palude sommersa o sott’acqua,
• s = proporzione di palude che non è sommersa ma è satura di umidità, e
• d = proporzione di palude asciutta,
la composizione del vettore v che rappresenta le paludi costiere sarà:
Se al tempo t, il 65% dei terreni sono sommersi, il 30% saturi, e il 5% asciutti, allora potremmo scrivere :
Dopo 10 anni, la proporzione di palude sommersa rimanente, u(10), è l’ammontare con cui siamo partiti, u(0) = 1
(100% dell’area sommersa) meno il 5% = 0.05 che diventa saturo, cioè
43
Matrici: applicazioni 2/
Perciò, dopo 10 anni, 0.95, o 95% dei terreni sono sommersi. Siccome l’area totale
è di 100 ettari, dopo 10 anni 95 ettari sono sommersi.
Dopo 10 anni la proporzione di palude satura rimanente, s(10), è l’ammontare
iniziale, s(0) = 0 meno il 12% = 0.12 che diventa asciutto più il 5% della parte
sommersa che diventa satura, cioè
Quindi dopo 10 anni 0.05 o il 5% dei terreni è saturo
cioè 5 ettari.
Dopo 10 anni, la proporzione di suolo asciutto, d(10), è
l’ammontare iniziale, d(0) = 0 più il 12% di palude
satura che diventa asciutta. Ricordiamo che un’area
che diventa asciutta lo rimane, non c’è trasferimento di
suolo asciutto verso un altro tipo. Matematicamente
Scriviamo:
Di conseguenza, dopo 10 anni, non ci sono ancora
ettari asciutti nei nostri 100 ettari di terreno.
Quindi, dopo 10 anni, il vettore che rappresenta la
composizione dei 100 ettari di palude è:
Cosa succede dopo 20 anni? Conosciamo la composizione dopo 10 anni e sappiamo come l’area cambierà nei
prossimi 10 anni, quindi possiamo calcolare v(20):
44
Matrici: applicazioni 3/
Quindi dopo 20 anni, il vettore che rappresenta la composizione dei 100 ettari di palude è
Scriviamo le equazioni sviluppate in una forma più generale, in funzione del tempo t misurato decine di anni:
Od anche, in
forma normale:
Formiamo ora una matrice con tre righe e tre colonne:
45
Matrici: applicazioni 4/
Schematizziamo:
Diagramma di Flusso
Per esempio, l’elemento nella seconda riga, prima colonna, indica che il
5% della classe della prima colonna, u(t), si sposterà nella classe della
seconda riga, s(t + 1), al prossimo intervallo di tempo.
Matrice di trasferimento (descrive come il paesaggio passi da uno stato a un altro, le matrici di trasferimento
possono essere facilmente rappresentate come diagrammi di flusso,).
Notiamo che ogni colonna ha per somma 1 (colonna 1 il totale delle percentuali di u che si spostano, colonna 2
il totale delle percentuali di s che si spostano e colonna 3 il totale delle percentuali di d che si spostano.
Scriviamo infine la relazione sotto forma di equazione matriciale:
)()1( tt vTv
46
Matrici: applicazioni 5/
Es. SUCCESSIONE ECOLOGICA: UN CASO PIU’ COMPLESSO
Supponiamo di voler modellizzare il cambiamento nel tempo della composizione di un’area di
paludi costiere. Dividiamo di nuovo le paludi in aree sommerse, sature e asciutte. Dopo numerosi
decenni di raccolta dei dati, sappiamo che, ogni 10 anni,
• 5% delle parti sommerse diventano sature,
• 1% delle parti sommerse diventano asciutte,
• 12% delle parti sature diventano asciutte,
• 2% delle parti sature diventano di nuovo sommerse
• 6% delle parti asciutte diventano di nuovo sature, e
• 1% delle parti asciutte diventano di nuovo sommerse.
Questo è sintetizzato nel seguente diagramma di flusso:
Trovate la matrice che descrive i cambiamenti nella composizione di queste paludi costiere ogni 10 anni.
Soluzione: prima di tutto notate che avendo tre classi avremo bisogno di costruire una matrice di trasferimento
3 × 3 (tre righe e tre colonne):
47
Matrici: applicazioni 6/
Ricordiamo che aij è la proporzione della classe j che diventa o si sposta alla classe i. Indichiamo le aree
sommerse (u) come classe 1, le sature (s) come classe 2, e quelle asciutte (d) come classe 3. Usiamo questa
informazione per trovare i valori di aij:
• 5% delle parti sommerse ( j = 1) diventano sature (i = 2), cioè a21 = 0.05.
• 1% delle parti sommerse ( j = 1) diventano asciutte (i = 3), cioè a31 = 0.01.
• 12% delle parti sature ( j = 2) diventano asciutte (i = 3), cioè a32 = 0.12.
• 2% delle parti sature ( j = 2) diventano di nuovo sommerse (i = 1), cioè a12 = 0.02.
• 6% delle parti asciutte ( j = 3) diventano di nuovo sature (i = 2), cioè a23 = 0.06.
• 1% delle parti asciutte ( j = 3) diventano di nuovo sommerse (i = 1), cioè a13 = 0.01.
)(
)(
)(
)1(
)1(
)1(
333231
232221
131211
td
ts
tu
aaa
aaa
aaa
td
ts
tu
Così la nostra matrice diventa
Notiamo che abbiamo ancora bisogno di inserire i valori per a11, a22, e a33. Ricordando però che la somma di ogni
colonna deve dare 1 possiamo determinare i valori degli elementi lungo la diagonale . Per cui :
48
Matrici: applicazioni 7/
Di conseguenza la matrice che descrive i cambiamenti nella composizione di
queste paludi costiere ogni 10 anni è
quindi
In forma di equazione matriciale :
)()1( tt vTv
93.012.001.0
06.086.005.0
01.002.094.0
T
Notiamo :
)0()0()1()2( 2vTvTTvTv )0()( vTv kk
Evoluzione temporale degli stati
Volendo tornare indietro nel tempo ?
)0()0()1()0()1( 11vvTTvTvTv )1()0( 1
vTv
)0()0()1()2( 2111vTvTTvTv )()0( kk
vTv
49
Matrici: applicazioni 8/
93.012.001.0
06.086.005.0
01.002.094.0
T
7441.0)det( T
0851.11513.00035.0
0751.01747.10617.0
0099.00234.00652.11T
Notiamo che per le stesse ragione espresse precedentemente la somma per colonne da sempre 1
50
Matrici di trasferimento: sintesi 1/
11 12 13
21 22 23
31 32 33
T T T
T T T
T T T
T
Vettore di stato S al tempo t
(unità arbitrarie) :
1
2
3
( )
( ) ( )
( )
s t
t s t
s t
S
Vettore di stato S al tempo t+1
(unità arbitrarie) :
1
2
3
( 1)
( 1) ( 1)
( 1)
s t
t s t
s t
S
La metrice di trasferimento “attua” un “mixing” lineare degli stati iniziali per determinare il valore degli stati finali:
ijT È la percentuale dello stato Sj che “si trasferisce” nello stato Si
: ( ) ( 1)ij j iT S t S t
In un’equazione: ( 1) ( )t t S T S
In più se: det( ) 0 T1 ( 1) ( )t t T S S Dagli stati finali posso
risalire agli stati iniziali.
Inoltre la somma delle percentuali deve essere normalizzata , per cui:
11 21 31 1T T T 12 22 32 1T T T 13 23 33 1T T T
Oppure:
3
1
1 1,2,3ij
i
T j