Matrici
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3 Matrici
Definizione 3.1 (Definizione di matrice). Si definisce matrice di numeri reali di tipo n ×m unatabella a doppia entrata con m righe ed n colonne:
A =
a11 a12 . . . . . . a1na21 a22 . . . . . . a2n. . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . . . . amn
dove a11, a12, ..., amn ∈ R.Le matrici vengono indicate con lettere maiuscole in grassetto. Si indica con aij il generico elementodella matrice A individuato dalla riga i e dalla colonna j.
Le n-ple (a11, a12, . . . , a1n), (a21, a22, . . . a2n), ecc. sono dette righe o vettori riga della matrice Ae si denotano con Ai, i = 1, . . . ,m se la matrice ha m righe.
Le m-ple di numeri reali (a11, a21, . . . , am1), (a12, a22, . . . , am2), ecc. si dicono colonne o vettoricolonna della matrice A e si indicano con Aj, j = 1, . . . , n se la matrice ha n colonne.
Una matrice si dice quadrata se il numero di righe e uguale al numero delle colonne, ovvero sem = n. Ia questo caso A si dice matrice quadrata di ordine n.
Esempio 3.2. La matrice
A =
(−1 3 50 −2 9
)e una matrice di tipo 2× 3. L’elemento a23 e 5.
La matrice
B =
−1 3 50 −2 93 4 6
e una matrice quadrata di ordine 3.
Definizione 3.3 (Diagonale principale di una matrice). Se A e una matrice quadrata di ordine n, sidefinisce diagonale principale la n-upla (a11, a22, . . . , ann).
Esempio 3.4. La diagonale principale della matrice B dell’esempio 4.2 e (−1,−2, 6).
Definizione 3.5 (Sottomatrice di una matrice A). Data una matrice A di tipo m × n, si definiscesottomatrice di A di tipo p × q ogni matrice che si ottiene da A cancellando m − p righe ed n − qcolonne.
Definizione 3.6 (Uguaglianza tra matrici). Due matrici A e B si dicono uguali se hanno lo stessonumero di righe m e di colonne n e se aij = bij, per i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.
Definizione 3.7 (Trasposta di una matrice). Data la matrice A di tipo m × n, si definisce traspostadi A e si indica con AT la matrice di tipo n×m che ha per righe le colonne di A e per colonne le righedi A.Evidentemente si ha (AT )T = A.
Esempio 3.8. Data la matrice
A =
(−1 3 50 −2 9
)la sua trasposta e
AT =
−1 03 −25 9
Definizione 3.9 (Matrice simmetrica). Una matrice quadrata A si dice simmetrica se A = AT . Inuna matrice simmetrica si ha aij = aji per ogni scelta degli indici i, j.
1
Esempio 3.10. La matrice
A =
−1 2 52 −2 95 9 4
e una matrice simmetrica.
Definizione 3.11 (Matrice antisimmetrica). Una matrice quadrata e detta antisimmetrica se −bsAT =bsA, ovvero se aij = −aji,per ogni scelta degli indici i, j. Si noti che quest’ultima implica che aii = 0,∀i.
Esempio 3.12. La matrice
A =
0 1 −3 −6−1 0 7 −93 −7 0 46 9 −4 0
e una matrice antisimmetrica.
Definizione 3.13 (Matrici triangolari). Una matrice quadrata A si dice triangolare inferiore se glielementi al di sopra della diagonale principale sono nulli. La matrice quadrata A si dice triangolaresuperiore se gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli; i.e.
A e triangolare inferiore se aij = 0, per i < j
A e triangolare superiore se aij = 0, per i > j.
Esempio 3.14. La matrice
A =
−1 0 02 −2 05 9 4
e una matrice triangolare inferiore.
La matrice
B =
−1 5 60 −2 30 0 4
e una matrice triangolare superiore.
Definizione 3.15 (Matrice diagonale). Una matrice quadrata A si dice diagonale se aij = 0 per ognii 6= j cioe ogni elemento al di fuori della diagonale principale e nullo.
Esempio 3.16. La matrice
A =
−1 0 00 −2 00 0 9
e una matrice diagonale.
Definizione 3.17 (Matrice identita). Si definisce matrice identita di ordine n e si indica con I o conIn, la matrice diagonale che ha aii = 1, con i = 1, . . . , n e aij = 0 con i = 1, . . . , n j = i, . . . , n e i 6= j.
Esempio 3.18.
I3 =
1 0 00 1 00 0 1
Definizione 3.19 (Matrice nulla). Si definisce matrice nulla di tipo n×m e si indica con 0, la matriceche ha tutti gli elementi nulli (aij = 0, per i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . n).
Esempio 3.20.
0 =
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
e una matrice nulla di tipo 3× 4
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Operazioni sulle matrici
Definizione 3.21 (Somma di matrici). Siano A e B due matrici a coefficienti reali aventi la stessadimensione m× n.
Si definisce somma delle matrici A e B, la matrice C = A +B il cui generico elemento cij edato da cij = aij + bij. La somma di matrici gode delle seguenti proprieta:
• associativa (A+B) +C = A+ (B +C)
• commutativa A+B = A+B
• esistenza dell’elemento neutro A+ 0 = 0 +A = A
• esistenza dell’opposto A+ (−A) = 0 (−A := [−aij ]).
Esempio 3.22.
A =
1 3 22 2 05 9 4
B =
1 5 61 2 37 0 4
C = A+B =
1 + 1 3 + 5 2 + 22 + 1 2 + 2 0 + 35 + 7 9 + 0 4 + 4
Definizione 3.23 (Prodotto di una matrice per uno scalare). Data la matrice A e uno scalare λ ∈ R,si definisce prodotto della matrice A per lo scalare λ, la matrice
λA =
λa11 λa12 . . . λa1nλa21 λa22 . . . λa2n. . . . . . . . . . . .λam1 λam2 . . . λamn
Esempio 3.24.
λ = 2
A =
1 3 22 2 05 9 4
λA =
2 · 1 2 · 3 2 · 22 · 2 2 · 2 2 · 02 · 5 2 · 9 2 · 4
=
2 6 44 4 010 18 8
Osservazione 3.25. Siano A e B due matrici ed h e k due numeri reali, valgono le seguenti proprieta:
i) (h+ k)A = hA+ kA,
ii) (h · k)A = h(kA),
iii) h(A+B) = hA+ hB,
iv) 1A = A,
Pertanto l’insieme delle matrici m × n costituisce uno spazio vettoriale reale sul campo realerispetto alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare.
3
Definizione 3.26 (Prodotto righe per colonne). Siano date A matrice m × n e B matrice n × t. Ilprodotto righe per colonne di A per B e la matrice C = AB del tipo m × t, i cui elementi sono datidalla seguente formula:
C = [cij ] =
n∑k=1
aikbkj .
Per capire bene quali sono gli elementi della matrice C, proviamo a descrivere ciascun elemento. Adesempio, l’elemento della riga i e della colonna j e il prodotto scalare della i-esima riga di A per laj-esima colonna di B.
Osservazione 3.27. Si noti che il prodotto tra due matrici e definito se e solo se il numero di colonnedi A e pari al numero di colonne di B, cioe se A e B sono conformabili. Inoltre risulta che AB hatante righe quante ne ha A e tante colonne quante ne ha B. Si osservi infine che il prodotto righe percolonne in generale non e commutativo; puo accadere che il prodotto AB sia ben definito, mentre BAnon lo sia. In generale si ha AB 6= BA.
Esempio 3.28 (Prodotto righe per colonne). Il prodotto righe per colonne di
A =
(5 1 8−6 −2 −4
)per
B =
−3 10 1−9 0
e la matrice C = AB di tipo 2× 2 cosı ottenuta:
C =
(−87 654 −8
).
Definizione 3.29 (Proprieta del prodotto righe per colonne). Per il prodotto righe per colonne valgonole seguenti proprieta:
i) proprieta associativa: se A e moltiplicabile a destra per B e il prodotto AB e moltiplicabile adestra per C, allora (AB)C = A(BC),
ii) proprieta di esistenza dell’elemento neutro (a destra e a sinistra): Se A e una matrice di tipom× n, allora A e moltiplicabile a destra per la matrice identica di ordine n: In e a sinistra per lamatrice identica di ordine m : Im, e risulta AIn = ImA = A.
Osservazione 3.30. Vale anche la proprieta distributiva della somma rispetto al prodotto, i.e.se A e B sono due matrici di tipo m×n e C e una matrice di tipo n×t, risulta che (A+B)C = AC+BC.Analogamente se D e una matrice di tipo s×m, si ha D(A+B) = DA+DB.
Esempio 3.31. Eseguire tutti i prodotti possibili tra le seguenti matrici:
A =
1 2 −10 1 1−1 0 2
,B =
121
,C =(
0 1 1),D =
(1 44 2
),E =
0 −54 26 1
Dal momento che A e una matrice 3 × 3, B e una matrice 3 × 1, C e una matrice 1 × 3, D e una
matrice 2× 2, E e una matrice 3× 2, i prodotti possibili sono:
AB =
431
,AE =
2 −210 312 7
,BC =
0 1 10 2 20 1 1
,
CA =(−1 −1 3
),CE =
(10 3
),ED =
−20 −1012 2010 26
,CB = 3.
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Esempio 3.32. Data la matrice
A =
1 1 −10 2 1/20 −2 −1
,
verificare che e
A2 −AT + I3 =
1 5 1/2−1 2 5/21 −5/2 2
Matrici a blocchi
Definizione 3.33. Sia A una matrice di tipo m × n e sia ai,j il generico elemento della riga i e dellacolonna j. Comunque si scelgano dei numeri interi positivi p, q, r e s tali che n = p+ q e m = r + s, sipossono considerare le matrici B di tipo p× r, C di tipo p× s, D di tipo q× r e E di tipo q× s, definitecome segue:
bi,j = ai,j per i = 1, ..., p j = 1, ..., sci,j = ai,j per i = 1, ..., p j = s+ 1, ...,mdi,j = ai,j per i = p+ 1, ..., n j = 1, ..., sei,j = ai,j per i = p+ 1, ..., n j = s+ 1, ...,m.
Pertanto la matrice A risultera partizionata nel modo seguente
A =
(B CD E
)e viene definita matrice a blocchi, mentre le sottomatrici B, C, D ed E si dicono blocchi dellamatrice A.
Si osservi che il numero di blocchi in cui si puo suddividere una matrice non deve essere necessaria-mente 4; quindi sia la definizione precedente che i risultati che seguono valgono per tutte le scelte delnumero di blocchi in cui si suddivide la matrice.
Esempio 3.34. Sia data la matrice
A =
1 5 7 72 2 3 31 −1 4 54 −4 4 31 3 9 10
.
Si possono definire, ad esempio, i blocchi nel modo seguente:
B =
1 5 72 2 31 −1 4
C =
735
D =
(4 −41 3
)E =
(4 39 10
).
L’utilizzo delle matrici a blocchi consente di semplificare le operazioni tra matrici in quanto sussistonole seguenti proprieta.
Osservazione 3.35. Siano A =
(B CD E
)e A′ =
(B′ C′
D′ E′
)due matrici a blocchi del tipo m×n
e supponiamo che i blocchi corrispondenti abbiano le stesse dimensioni. Dalle definizioni di somma dimatrici e di prodotto di una matrice per uno scalare λ segue banalmente che
A+A′ =
(B +B′ C + C′
D +D′ E + E′
)e λA =
(λB λCλD λE
).
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Proposizione 3.36. Siano A =
(B CD E
)una matrice a blocchi del tipo m×n e A′ =
(B′ C′
D′ E′
)una matrice a blocchi del tipo n × l. Si supponga che i blocchi corrispondenti delle due matrici abbianole dimensioni compatibili con l’operazione di prodotto tra matrici. Allora risulta
AA′ =
(BB′ + CD′ BC′ + CE′
DB′ + ED′ DC′ + EE′
).
Esempio 3.37. Siano A =
2 3 4 0 0 03 2 3 0 0 04 2 3 0 0 04 1 1 2 3 11 3 2 1 2 1
e A′ =
1 2 1 21 3 3 12 1 1 30 0 3 10 0 1 30 0 2 1
matrici; si noti che
il numero di colonne della matrice A e uguale al numero di righe della matrice A′, per cui ha sensoconsiderare il prodotto AA′ delle due matrici. Introduciamo in modo opportuno delle partizione in blocchidelle due matrici. A tal proposito definiamo
B =
2 3 43 2 34 2 3
, C =
0 0 00 0 00 0 0
, D =
(4 1 11 3 2
), E =
(2 3 11 2 1
),
B′ =
1 21 32 1
, C′ =
1 23 11 3
, D′ =
0 00 00 0
, E′ =
3 11 32 1
,
ossia in definitiva risulta A =
(B CD E
)e A′ =
(B′ C′
D′ E′
).
Utilizzando la proposizione precedente, si ha che AA′ =
(BB′ BC′
DB′ DC′ + EE′
).
Calcoliamo i seguenti prodotti con l’usuale prodotto riga per colonna:
BB′ =
13 1711 1512 17
, BC′ =
15 1912 1713 19
, DB′ =
(7 128 13
), DC′ =
(8 1212 11
), EE′ =
(11 127 8
).
Risulta infine AA′ =
13 17 15 1911 15 12 1712 17 13 197 12 19 248 13 19 19
.
6