UNIVERSIDAD DE SEVILLA

DEPARTAMENTO DE ECONOMIA APLICADA I

MATRICES Y DETERMINANTES.

PRIMER CURSO

Tema 0. Matrices y sistemas de ecuaciones

1 Matrices

1.1 Introduccion

El estudio de los determinantes y las matrices se llevo a cabo inicialmente en el siglo XIX yaunque consideradas unicamente como innovadoras del lenguaje matematico, ya que por s mismasno dicen directamente algo que no este dicho ya por las ecuaciones y las transformaciones aunquede manera mas amplia, hoy nadie discute su importancia como herramientas altamente utiles y secontemplan como una parte fundamental del aparato matematico.

Historicamente los determinantes surgieron a partir de la busqueda de soluciones de sistemas deecuaciones lineales. Fue Gauss el primero en nombrar la palabra determinante, pero es a Cauchy aquien se debe la disposicion de los elementos en cuadrado y la notacion de los subndices dobles, asmismo proporciono el primer tratamiento sistematico y casi moderno de los determinantes.

Un determinante contiene un cuadro de numeros y por lo general interesa el valor del cuadro,dado por la definicion de determinante, cuando el cuadro como tal se le proporciona una entidadindependiente de la de determinante. La palabra matriz fue usada por primera vez por Sylvester(1850) cuando quera referirse a un cuadro rectangular de numeros y no poda usar la palabra deter-minante, pero Arthur Caley (1855) fue a quien se le ocurrio introducirlas como entidades diferentescomo una forma conveniente de expresar las ecuaciones{

ax+ by = x

cx+ dy = y

y as introdujo la matriz

(a bc d

)Aunque historicamente el concepto de determinante precede al de matriz, hemos preferido in-

troducir primero la idea de matriz como un tabla rectangular de numeros, indicar algunos tiposespeciales de matrices y presentar las operaciones que se pueden realizar con aquellas. En el sigu-iente captulo definimos el determinante como un numero que lleva asociado una matriz cuadrada,vemos sus propiedades, para tratar por ultimo la matriz inversa y el rango de una matriz.

1.2 Algebra matricial

1.2.1 Matrices. Notaciones basicas

Una tabla ordenada de m n elementos del cuerpo < (i.e. numeros) escritos de la forma

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...am1 am2 amn

1

la llamaremos matriz rectangular de orden m n.A las m lneas horizontales de la tabla las llamamos filas de la matriz y a las n lneas verticales

las denominamos columnas de la matriz.Utilizaremos para las matrices notaciones abreviadas en termino de sus elementos

A = (aij)m,ni,j=1 o A = (aij) 1 i m , 1 j n

donde aij representa el elemento situado en la fila i y en la columna j.Ejemplo:

A =

1 0 23 4 54 1 23

1

20

es una matriz real de orden 4 3 ,es decir, 4 filas y 3 columnas, y por ejemplo

a31 = 4 y a42 =1

2.

Diremos que dos matrices del mismo orden (m n) son iguales, cuando los elementos correspon-dientes a ambas son iguales. Dicho de otro modo:

A = (aij)m,ni,j=1 y B = (bij)

m,ni,j=1 son iguales si aij = bij para 1 i m , 1 j n

Al conjunto de matrices de orden m n cuyos elementos son numeros reales la denotaremos porMmn(IR).

1.2.2 Tipos de matrices

Llamamos matriz cuadrada a una matriz con el mismo numero de filas que columnas (m=n).Dicha matriz se llamara matriz cuadrada de orden n.

A = (aij)ni,j=1 =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...an1 an2 ann

Los elementos a11, a22, , ann de A, los llamaremos diagonal principal de la matriz cuadrada.

Ejemplo:

A =

3 1 02

1

25

4 0 1

la diagonal principal sera 3,

1

2, 1.

Los elementos 0,1

2, 4 le llamamos diagonal secundaria de la matriz A.

Llamamos matrices triangulares inferiores (respectivamente superiores) a las matrices cuadradascuyos elementos situados por encima (respectivamente por debajo) de la diagonal principal son todos

2

ceros. Si la matriz es triangular superior e inferior, tenemos una matriz diagonal.

A =

a11 0 00 a22 0...

.... . .

...0 0 ann

= diag(a11, a22, , ann)

Si a11 = a22 = = ann = a, la matriz diagonal A la llamaremos matriz escalar:

A =

a 0 00 a 0...

.... . .

...0 0 a

= diag(a, a, , a)

En el caso en que a = 1, la matriz escalar es la matriz identidad de orden n:

A =

1 0 00 1 0...

.... . .

...0 0 1

En el caso en que a = 0, la matriz escalar es la matriz cero o matriz nula de orden n:

A =

0 0 00 0 0...

.... . .

...0 0 0

Las matrices columnas son las de orden m 1, usualmente le llamaremos vectores b =

b11b21...

bm1

.Las matrices filas son las de orden 1 n.

Ejemplos

A =

(3 01 2

)matriz cuadrada de orden 2

A =

3 0 01 2 03 4 1

matriz triangular inferior de orden 3

A =

2 1 3 40 1 2 30 0 1 20 0 0 3

matriz triangular superior de orden 4

A =

1 0 00

1

30

0 0 1

matriz diagonal de orden 3

3

A =

(1 00 1

)matriz identidad de orden 2

A =

0 0 00 0 00 0 0

matriz nula de orden 31.3 Traspuesta de una matriz

Dada una matriz A = (aij)m,ni,j=1, llamaremos traspuesta de A a la matriz que resulta de intercam-

biar en A filas por columnas. La representaremos por At.

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...am1 am2 amn

; At =

a11 a21 am1a12 a22 am2...

.... . .

...a1n an2 amn

Se observa que si A es de orden m n, su traspuesta At es de orden nm. As una matriz fila

es la traspuesta de una matriz columna y viceversa.Ejemplo:

A =

(1 2 34 5 6

), At =

1 42 53 6

Es evidente que (At)t = A.Una matriz cuadrada se llama simetrica, si los elementos situados simetricamente respecto a la

diagonal principal son iguales, es decir, aij = aji con 1 i n , 1 j nEjemplo:

A =

1 2 2 02 1 4 52 4 1

1

2

0 51

20

Evidentemente si una matriz A es simetrica, A = At.Una matriz cuadrada de elementos reales se llama antisimetrica si aij = aji con 1 i n , 1

j n.De esta definicion se deduce que los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimetrica

son nulos ya que aii = aii con 1 i n.Ejemplo:

A =

0 1 21 0 32 3 0

Evidentemente si A es antisimetrica, At = A.

4

1.4 Operaciones con matrices

1.4.1 Suma de matrices

Dadas las matrices A = (aij)m,ni,j=1y B = (bij)

m,ni,j=1del mismo orden, llamaremos suma a la matriz

del mismo orden A+B = (aij + bij)m,ni,j=1.

Ejemplo:

A =

(1 2 03 1 2

), B =

(0 1 42 3 2

)

A+B =

(1 + 0 2 + 1 0 + 43 + 2 1 + 3 2 2

)=

(1 3 45 2 0

)Se puede comprobar facilmente las siguientes propiedades de suma de matrices del mismo orden

1. A+B = B + A (propiedad conmutativa de la suma)

2. A+ (B + C) = (A+B) + C (propiedad asociativa de la suma)

3. Si es la matriz nula de orden m n, entonces A + = + A = A (elemento neutro para lasuma)

4. A se tiene que A+ (A) = (A) + A = (elemento opuesto para la suma)5. (A+B)t = At +Bt

1.4.2 Producto de un escalar por una matriz

Dada la matriz A = (aij)m,ni,j=1y un escalar que es un elemento de IR , definimos el producto del

escalar por la matriz A como:A = ( aij)

m,ni,j=1

Ejemplo:

=1

2A =

1 50 12 3

A =1

2

1 50 12 3

=

1

2

5

2

0 12

13

2

Se pueden comprobar las siguientes propiedades de esta operacion:

1. (+ )A = A+ A

2. (A+B) = A+ B

3. ( A) = ()A

5

4. 1 A = A5. A =

6. (A)t = At

1.4.3 Multiplicacion de matrices

Dados dos vectores a y b del mismo orden, definimos su producto escalar como:

atb = (a1, a2, , an)

b1b2...bn

= a1b1 + a2b2 + + anbn

Ejemplo:

Sea a =

123

, b = 01

2

at b = (1, 2, 3)

012

= 1 0 + 2 (1) + 3 2 = 4Utilizaremos esta idea para definir el producto de dos matrices.Dada la matriz A = (aik)

m,ni,k=1 y la matriz B = (bkj)

n,pk,j=1. El producto A B es una matriz de

orden m p cuyo elemento cij es el producto escalar del vector fila i de A por el vector columnaj de B,

cij = atibj = (

nk=1

aikbkj)m,pi,j=1 1 i m ; 1 j p.

Ejemplo:

Sean A =

(1 2 0

1 3 1)

B =

2 3 10 1 15 0 1

.La matriz A B es de orden 2 3

A B =(c11 c12 c13c21 c22 c23

)

donde at1 = (1, 2, 0) , at2 = (1, 3, 1) son los vectores formados por las filas de A, y

b1 =

205

, b2 = 31

0

y b3 = 11

1

los vectores formados por las columnas de B.Los elementos de la matriz producto seran:

c11 = at1b1 = (1, 2, 0)

205

= 2 c12 = at1b2 = (1, 2, 0) 31

0

= 5 c13 = at1b3 = (1, 2, 0) 11

1

= 36

c21 = at2b1 = (1, 3, 1)

205

= 3 c22 = at2b2 = (1, 3, 1) 31

0

= 0 c23 = at2b3 = (1, 3, 1) 11

1

= 1luego:

A B =(2 5 33 0 1

)Es necesario destacar que de la definicion se deduce que para que un producto de matrices A B

sea posible y en ese orden de multiplicacion, el numero de columnas de la matriz A ha de ser igual queel numero de filas de la matriz B y la matriz producto tiene tantas filas como A y tantas columnascomo B.

Es evidente por tanto que la multiplicacion de matrices no posee la propiedad conmutativa concaracter general. As por ejemplo, consideremos el caso particular de la matriz fila de orden 1 n,

A = (a11, a12, , a1n) y la matriz columna de orden n 1, B =

b11b21...bn1

.Cual sera el orden de las matrices A B y B A?.

A B = (a11, a12, , a1n)

b11b21...bn1

= a11b11 + a12b21 + a1nbn1Es decir, A B es un escalar, es decir su orden es 1 1.

B A =

b11b21...bn1

(a11, a12, , a1n) =

b11a11 b11a12 b11a1nb21a11 b21a12 b21a1n . . .

bn1a11 bn1a12 bn1a1n

Es decir, B A es de orden n n.Se pueden comprobar las siguientes propiedades para el producto de ordenes apropiados:

1. A I = I A = A donde I es la matriz identidad2. A (B + C) = A B + A C3. A (B C) = (A B) C4. (A B)t = Bt AtConviene destacar que el producto de dos matrices puede ser nulo, no siendo ninguna de ellas la

matriz nula:Ejemplo:

A =

(1 02 0

), A 6= B =

(0 02 3

), B 6=

A B =(1 02 0

)(0 02 3

)=

(0 00 0

)= A B =

7

Dada una matriz cuadrada A definimos An como el producto de A por s mismo n veces, es decir:

An = A A nveces A

2 Determinantes

2.1 Definicion de determinante

En este apartado nos proponemos asociar un escalar a toda matriz cuadrada, que llamaremosdeterminante de la matriz.

Dada una matriz de orden 2 2A =

(a11 a12a21 a22

)se define el determinante de la matriz A como:

det(A) = |A| = a11a22 a12a21.

Es decir, el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementosde la diagonal secundaria.

El determinante de una matriz A de orden 3 3 esta definido por:

det(A) =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33.Es decir se aplica la siguiente regla (regla de Sarrus):

Sumamos los productos marcados Restamos los productos marcadosa11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Para matrices de orden superior la definicion es poco operativa1 y no se utiliza en la practica,

para su calculo nos basaremos en las propiedades de los determinantes que veremos a continuacion.

1Sea A una matriz cuadrada de orden n n. Se define el determinante de A como:

det(A) =j

(1)(j)a1j1a2j2 anjn

donde (j) es el numero de inversiones de la permutacion j = (j1, j2, , jn) y j recorre las n! permutaciones de(1, 2, , n).

8

2.2 Propiedades de los determinantes

Las propiedades que vamos a ver nos sugeriran metodos generales para calcular el determinantede una matriz cuadrada, A, de orden n n.

1. Si en una matriz cuadrada se multiplica una fila (o una columna) por un numero, el determi-nante de la matriz queda multiplicado por ese numero.

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...an1 an2 ann

=

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...an1 an2 ann

2. Si en una matriz cuadrada una fila (o una columna) se descompone en dos, el determinante de

la matriz es suma de los determinantes de las matrices resultantes.

a11 a12 a1n

a21 + a21 a

22 + a

22 a2n + a2n

......

. . ....

an1 an2 ann

=

a11 a12 a1na21 a

22 a2n

......

. . ....

an1 an2 ann

+

a11 a12 a1na21 a

22 a2n

......

. . ....

an1 an2 ann

3. El determinante de una matriz cuadrada es igual a el de su traspuesta, i.e. |A| = |At|.4. Si la matriz B se obtiene de A por intercambio de dos filas (o columnas), entonces |B| = |A|.5. Si la matriz cuadrada A tiene dos filas (o columnas) iguales, entonces |A| = 0.6. Si una fila (o columna) de A es un multiplo de otra fila (o columna) de A, entonces |A| = 0.7. Sea B la matriz obtenida de A sumando a los elementos de una fila (o columna) los correspon-

dientes de otra fila (o columna) multiplicados por un escalar , entonces |B| = |A|.Utilizando estas propiedades transformaremos la matriz A en una matriz triangular, B, con el

mismo determinante. Su determinante sera el producto de los elementos de la diagonal de la matrizB.

2.3 Desarrollo de un determinante por adjuntos

Un determinante se puede desarrollar basandose en su reduccion a determinantes de matrices deorden menor. Es esta idea la que desarrollaremos en este apartado.Definicion: Sea A una matriz cuadrada de orden n n.

Llamamos menor complementario de aij, al determinante de la submatriz de orden n 1 queresulta de suprimir en A la fila i y la columna j, y lo denotaremos por Mij 1 i, j n.

Llamamos adjunto de aij y lo denotaremos por Aij a Aij = (1)i+jMij.

Teorema. Sea A una matriz cuadrada de orden n, para i, j con 1 i, j n se verifica:det(A) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin

9

o equivalentemente:det(A) = a1jA1j + a2jA2j + + anjAnj

Es decir, multiplicamos los elementos de una fila (o columna) por los adjuntos correspondientes.

Ejemplo:

Dada la matriz A =

3 12 1 0

1 0 5 60 3 0 00 4 1 2

, desarrollemos det(A) por la primera fila y posteriormentelo desarrollaremos por la tercera fila:

3 12 1 01 0 5 60 3 0 00 4 1 2

= 30 5 63 0 04 1 2

121 5 60 0 00 1 2

11 0 60 3 00 4 2

01 0 50 3 00 4 1

= 138por otro lado:

3 12 1 01 0 5 60 3 0 00 4 1 2

= 3

3 1 01 5 60 1 2

= 138.Observemos que el desarrollo se simplifica tanto mas cuantos mas ceros haya en una fila o columna.

2.4 Matrices adjuntas e inversas

Definicion: Dada una matriz A de orden n n, la matriz adjunta de A, que escribimos adj(A), sedefine como la matriz de los adjuntos de los elementos de A, es decir: adj(A) = (Aij)

ni,j=1.

Ejemplo:

Sea A =

2 1 10 2 01 1 3

A11 = +

2 01 3 = 6 ; A12 =

0 01 3 = 0 ; A13 = +

0 21 1 = 2

A21 = 1 11 3

= 2 ; A22 = + 2 11 3

= 7 ; A23 = 2 11 1

= 3A31 = +

1 12 0 = 2 ; A32 =

2 10 0 = 0 ; A33 = +

2 10 2 = 4

luego adj(A) =

6 0 22 7 32 0 4

Definicion: Sea A una matriz de orden n n.

La matriz B de orden n n es la matriz inversa de A si AB = BA = I.

10

Cuando esto ocurra, escribiremos B = A1 y diremos que A es invertible.Teorema: A es invertible siempre y cuando A sea no singular (det(A) 6= 0). En este caso

A1 =1

det(A)adj(A)t

Ejemplo:

Sea A =

2 1 10 2 01 1 3

det(A) = 14, adj(A)t =

6 2 20 7 02 3 4

A1 = 114

6 2 20 7 02 3 4

luego A1 =

3

717

1

7

01

20

17

3

14

2

7

Son facilmente comprobables las siguientes propiedades:

1. Si existe A1 entonces (A1)t = (At)1.

2. Si A,B son invertibles, entonces (AB)1 = B1A1.

3. Si det(A) 6= 0 entonces det(A1) = 1det(A)

.

2.5 Rango de una matriz

Definicion: Sea A = (aij)m,ni,j=1.

Llamamos menor de orden h de esta, al determinante de la matriz cuadrada de orden h queresulta de suprimir m h filas de A y n h columnas de A.

Definicion: Dados dos menores M y N de la matriz A de ordenes respectivos h y h+ 1.Diremos que N se ha obtenido de orlar M con la fila p y la columna q si en N figuran las h filas

de M y la fila p de A, y las h columnas de M y la columna q de A.Ejemplo:

Dada la matriz A =

1 20 1

3 00 2

4 10 0

3 11 0

Un menor de orden 2 es por ejemplo M =

1 20 1

Un menor N orlado con la fila 3 y la columna 3 es N =

1 2 30 1 04 1 3

11

Un menor N orlado con la fila 4 y la columna 3 es N =

1 2 30 1 00 0 1

Teorema. Si un menor de orden h de la matriz A es distinto de 0 y todos los menores de ordenh + 1 que pueden formarse orlando este con la fila p y cada una de las columnas que no figuran enel menor son nulos, entonces la fila p es combinacion lineal de las filas de A que forman el menor.Definicion: Diremos que una matriz A tiene de rango h, si tiene algun menor de orden h distintode 0 y todos los menores de orden superior a h son nulos. Lo indicaremos escribiendo rag(A) = h.

Si rag(A) = h, entonces a un menor de orden h no nulo, se le llama menor principal.Ejemplo:

Sea A =

2 11 1 3 42 33 2 5 7

2 11 1

6= 0 y podemos comprobar que todos los menores de orden 3 son iguales a 0, por tantorag(A) = 2.

Sea B =

3 1 25 4 32 5 2

, det(B)6= 0, luego rag(B) = 3.Debido a los conocimientos que poseemos hasta este momento, para calcular el rango de una matriz,tendramos que calcular todos los posibles menores de dicha matriz. Para evitar la gran cantidad decalculos que esto conlleva enunciamos los siguientes resultados.Teorema. Sea A = (aij)

m,ni,j=1tal que rag(A) = h, y sea M un menor principal de la matriz.

Cualquier fila (columna) de A que no este en M es combinacion lineal de las filas (columnas) quefiguran en el menor M .Teorema. El rango de una matriz no cambia, si se le agrega o suprime una fila (columna) que seacombinacion lineal de las demas filas (columnas).

Por lo tanto para calcular el rango de una matriz, se procedera del siguiente modo:

Sea M un menor de orden h, distinto de 0, M se orla con una fila de A que no este en M y cadauna de las restantes columnas de A (que no esten en M).

Si todos los menores orlados son 0, la fila es combinacion lineal de las que forman el menorM y se puede suprimir sin que varie el rango. Tomamos en este caso la siguiente fila dela matriz.

Si algun menor orlado es distinto de 0, el rango sera al menos h + 1 y tenemos un menor deorden h+ 1 con el que se repite el procedimiento desde el principio.

Ejemplo:

A =

1 00 1

1 1 31 0 2

2 13 2

3 1 75 2 12

1 00 1

6= 0,1 0 10 1 12 1 3

= 0,1 0 10 1 02 1 1

6= 012

Encontramos un menor de orden 3 distinto de cero, seguimos orlando dicho menor con la fila cuarta.1 0 1 10 1 0 12 1 1 33 2 2 5

= 0,1 0 1 30 1 0 22 1 1 73 2 2 12

= 0

Por tanto aplicando los teoremas anteriores, la fila cuarta sera combinacion lineal de las del menor y

la podramos suprimir sin que el rango variara, luego

1 0 10 1 02 1 1

es un menor principal de la matriz,y el rango sera 3.

Si la matriz es cuadrada, podemos empezar calculando el determinante de A.

Sea A =

3 1 21 0 34 0 2

, det(A)=10, luego rag(A) = 3.Sea A =

3 1 21 0 34 1 5

, det(A)=0, con lo que rag(A) < 3 pero 3 11 0 6= 0, luego rag(A) = 2.

Hay casos mas evidentes:

A =

1 2 11 2 1

1 2 12 4 2

las columnas son proporcionales, luego rag(A) = 1.

3 Sistemas de Ecuaciones Lineales

3.1 Regla de Cramer

Dado el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

......

...am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm

A la matriz A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...am1 am2 amn

se le llama matriz de coeficientes.

A la matriz A =

a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2...

.... . .

......

am1 am2 amn bm

se le llama matriz ampliada.

13

Si designamos X =

x1x2...xn

y b =

b1b2...bm

, entonces el sistema se puede escribir como:

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...am1 am2 amn

x1x2...xn

=

b1b2...bm

o abreviadamente AX = b

que es lo que llamamos expresion matricial del sistema de ecuaciones.Observacion: En el caso en que A sea una matriz cuadrada e invertible, entonces X = A1 b es unasolucion del sistema AX = b.

Definicion. Se dice que un sistema de ecuaciones es un sistema de Cramer, si el numero de ecua-ciones es igual al numero de incognitas y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto decero.Teorema. Si el sistema:

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

......

...an1x1 + an2x2 + + annxn = bn

es de Cramer, es decir |A| 6= 0, entonces el sistema tiene una unica solucion que viene dada por:

x1 =

b1 a12 a1nb2 a22 a2n...

.... . .

...bn an2 ann

|A| , x2 =

a11 b1 a1na21 b2 a2n...

.... . .

...an1 bn ann

|A| , , xn =

a11 a12 b1a21 a22 b2...

.... . .

...an1 an2 bn

|A|

Ejemplo:

3x 2y + z = 12x+ y z = 2x 3y + z = 0

|A| =

3 2 12 1 11 3 1

= 7 6= 0 por lo que se trata de un sistema de Cramer y por tanto:

x =

1 2 12 1 10 3 1

|A| = 0, y =

3 1 12 2 11 0 1

|A| = 1, z =

3 2 12 1 21 3 0

|A| = 3

14

3.2 Teorema de Rouche-Frobenius

Dado el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

......

...am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm

El sistema se dice compatible si tiene solucion e incompatible (S.I) si no la tiene.Si tiene solucion unica se denomina compatible determinado (S.C.D) y si tiene mas de una solucion,compatible indeterminado (S.C.I).Teorema. Dado el sistema AX = b, entonces el sistema es compatible rag(A) = rag(A)En concreto:

Si rag(A) = rag(A) = n (numero de incognitas) entonces el sistema es compatible determinado. Si rag(A) = rag(A) = r < n entonces el sistema es compatible indeterminado y su soluciondependera de n r parametros.

Si rag(A) 6= rag(A) entonces el sistema es incompatible.Ejemplos:

1.2x y = 1x+ 3y = 25x 4y = 7

A = 2 11 3

5 4

A = 2 1 11 3 2

5 4 7

rag(A) = 2rag(A) = 3

} S.I.

ya que rag(A) 6= rag(A).

2.x+ 3y = 33x+ 5y = 72x+ 4y = 5

A = 1 33 5

2 4

A = 1 3 33 5 7

2 4 5

rag(A) = 2rag(A) = 2

} S.C.D.

ya que rag(A) = rag(A) = numero de incognitas.

3.3x 2y + z = 22x+ y z = 2x 3y + 2z = 0

A = 3 2 12 1 1

1 3 2

A = 3 2 1 22 1 1 2

1 3 2 0

rag(A) = 2rag(A) = 2

} S.C.I.

ya que rag(A) = rag(A) 6= numero de incognitas y su solucion dependera de nr = 32 = 1parametro.

3.3 Sistemas Homogeneos

Un sistema de ecuaciones se dice homogeneo, si el termino independiente es cero. Por tanto en elsistema:

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0

......

...am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0

como rag(A) = rag(A) es siempre compatible, ahora bien:

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Si rag(A) = n (numero de incognitas) entonces el sistema es compatible determinado y la unicasolucion es x1 = 0, x2 = 0, , xn = 0 (solucion trivial).

Si rag(A) < n (numero de incognitas) entonces el sistema es compatible indeterminado yexisten soluciones distinta de la trivial que dependeran de n r parametros..

3.4 Resolucion de sistemas

Para resolver un sistema, tanto S.C.D. como S.C.I., se puede utilizar un metodo general:

1. Se determina el menor principal de la matriz de coeficientes.

2. Se suprimen todas las ecuaciones (filas) que quedan fuera del menor principal.

(a) Si el sistema era un S.C.D. tenemos tantas incognitas como ecuaciones, es decir, hemosobtenido un sistema de Cramer que sabemos resolver.

(b) Si el sistema era un S.C.I. tenemos mas incognitas que ecuaciones, las n r incognitasque quedan fuera del menor principal las transformamos en parametros y nos queda unsistema de Cramer (dependiente de n r parametros) que sabemos resolver.

Ejemplos:

1. El sistemax+ 3y = 33x+ 5y = 72x+ 4y = 5

vimos que era un S.C.D. con rag(A) = rag(A) = 2=numero deincognitas.

Un menor principal es

1 33 5.

Suprimiendo la ultima fila (ya que queda fuera del menor principal) queda el sistema de Cramer

x+ 3y = 33x+ 5y = 7

}cuya solucion es:

x =

3

2

y =1

2

2. El sistema3x 2y + z = 22x+ y z = 2x 3y + 2z = 0

vimos que era un S.C.I. con rag(A) = rag(A) = 2 6= numerode incognitas y que su solucion dependa de n r = 3 2 = 1 parametro.

Un menor principal es

3 22 1.

Suprimimos la ultima fila (ya que queda fuera del menor principal) y la incognita z la transfor-mamos en un parametro que pasamos al segundo miembro de la igualdad (tomamos z pues quedafuera del menor principal) obteniendo el sistema de Cramer

3x 2y = 2 2x+ y = 2 +

}cuya solucion es:

x =

6 +

7

y =2 + 5

7z =

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Problemas Propuestos1. Calcular las matrices A y B que verifican:

3A 2B =(

1 8 96 8 7

), 5A+ 7B =

(2 3 04 1 3

)

2. Calcular los siguientes determinantes:

(a)

2 7 33 9 41 5 3

, (b)3 1 21 0 34 0 2

, (c)1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

, (d)a a a aa b b ba b c ca b c d

.3. Calcular la inversa de las siguientes matrices:

(a)

1 1 12 1 20 0 1

, (b)( 1 02 1), (c)

1 1 0 10 2 1 11 2 1 1

1 0 1 3

.4. Discutir segun los diferentes valores de k el rango de las matrices

(a)

1 k 20 1 1 k1 0 11 0 0

, (b)

0 1 11 1 02 k 2k 10 0 0

.

5. Discutir segun los diferentes valores de a y b el rango de la matriz:

2a b 12 ab 12 b a

6. Resolver por la regla de Cramer:

(a)x 3y + 4z = 133x y + 2z = 33x+ 5y z = 9

, (b)4x 3y + 3z = 06x+ y 9z = 92x 5y 6z = 5

.7. Estudiar y resolver las siguientes sistemas segun los diferentes valores de los parametros:

(a)

2y z = a3x 2z = 11y + z = 62x+ y z = 9

, (b)(m+ 1)x+ y + z = 3x+ 2y +mz = 4x+my + 2z = 2

, (c) ax = y2x 2y = 0}

(d)x+ y 2t = 0x y z = 02x+ ay z 2t = 0

, (e)6x+ 18y 2mz = 07x 2y 4z = 04x+ 10y 6z = 0

, (f)3x+ y + kz = 0x y z = 0mx+ y + z = 0x+my z = 0

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