MATRICES

ÍNDICE.

1. Matrices

1. Definición de matriz

2. Tipos de matrices

2. Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales

3. Operaciones con matrices

1. Adición de matrices

2. Multiplicación de una matriz por un número

3. Multiplicación de matrices

4. Matriz inversa

1. Cálculo de matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

5. Solución matricial de un sistema de ecuaciones lineales

6. Rango de una matriz

1. Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

MATRICES

Las matrices son tablas de números que se utilizan para el cálculo

numérico, resolución de ecuaciones, problemas algebraicos, en

problemas geométricos, en estadística, y en general en casi todas las

ramas de las Matemáticas y de las Ciencias en general (economía,

informática, Física, etc.)

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas

por el Matemático Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al

matemático Hamilton, y la notación matricial a Cayley.

Ver Matrices (Sociedad Thales)

MATRICES

Donde, el elemento aij representa el elemento de la fila i y de la columna j.

Dos matrices A y B de orden m x n son iguales si aij = bij ; i = 1, 2,..., m; j

=1,2,...,n.

Si m = n, decimos que A es una matriz cuadrada.

CONJUNTO DE MATRICES

( )11 1

1,2,..., ; 1,2,...,

1

...

... ... ...

...

n

ij i m j n

mnm

a a

A a

a a= =

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè ø

Una matriz A de dimensiones (o de orden) m x n con coeficientes en el

cuerpo de los números reales es un número mxn dimensional (tablero de

m filas y n columnas), de m x n elementos de R, a i j ; i = 1, 2, . . . , m;

j = 1, 2 , . . . , n.

Es evidente, que proponiendo las ecuaciones:

2 = 2.a; 3 = a – b

Se obtienen los valores de a = 1 y b = - 2

CONJUNTO DE MATRICES

2 1 3 2 1;

1 0 2 1 0 2

a a bA B

æ öæ ö × ÷÷ çç ÷÷ çç= = ÷÷ çç ÷÷ çç ÷ ÷ç çè ø è ø

–

– –

Ejemplo.- Determinar los valores de a y b para que las matrices A y B

sean iguales.

Designamos por:

Mmn(R) = { A : A es matriz de orden m x n con coeficientes en R }.

Mn(R) = {A : A es matriz cuadrada de orden n de coeficientes en R}

TIPOS DE MATRICES

( )Ejemplo: 3 1 0 1A = —

Denominamos matriz fila a la matriz A de dimensiones 1xn (también denominado vector fila)

2

5Ejemplo:

1

0

A

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ççè ÷ø

—

Denominamos matriz columna a la matriz A de dimensiones mx1 (también denominado

vector columna)

1 4 1 7 9

0 0 5 1 1Ejemplo:

0 0 0 2 2

0 0 0 0 1

A

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è øç ÷

—

—

Denominamos matriz escalonada a la matriz A de dimensiones mxn tal que cada fila en

número de ceros que precede al primer elemento no nulo es mayor que la precedente

TIPOS DE MATRICES

1 4 1

Ejemplo: 5 0 1

1 0 1

A

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷

Denominamos matriz cuadrada a la matriz A de dimensiones nxn.

A los elementos aii i =1, ,2, 3, …, n, se les denomina diagonal principal

1 4 1 2 0 0

Ejemplos: 0 2 1 2 1 0

0 0 2 1 1 1

A B

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç çè ø è ø÷ ÷

— —

—

Denominamos matriz triangular superior (respectivamente inferior) a la matriz cuadrada A

de dimensiones nxn tal que todos los elementos por debajo (respectivamente por encima) de

la diagonal son nulos .

Diagonal principal

TIPOS DE MATRICES

1 0 0

Ejemplo: 0 4 0

0 0 1

A

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷

Denominamos matriz diagonal a la matriz cuadrada A de dimensiones nxn, tal que todos los

elementos distintos de la diagonal son nulos.

3

1 0 0

Ejemplos: 0 1 0

0 0 1

A I

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷

Denominamos matriz identidad a la diagonal A de dimensiones nxn, tal los elementos de la

diagonal principal son todos 1 .

Si todos los elementos de la diagonal son iguales pero distintos de 1, se denomina matriz

escalar .

TIPOS DE MATRICES

1 2 3 4 1 2 3 4

Ejemplo: 0 3 2 1 0 3 2 1

2 2 1 0 2 2 1 0

A A

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç çè ø è ø÷ ÷

— — — —

— — — —

— — —

Denominamos matriz opuesta de la matriz A de dimensiones mxn, a la matriz -A de

dimensiones mxn tal que todos sus elementos son de la forma – a i j, para cada i=1,2,..,m;

j=1,2,..,n

1 0 0 01 4 1 7 9

4 0 0 00 0 5 1 1

1 5 0 0Ejemplo: 0 0 0 2 2

7 1 2 00 0 0 0 1

9 1 2 1

tA A

æ ö÷ç ÷æ ö ç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ç ÷ç ÷ ÷çç ÷= = ÷çç ÷ ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ç ÷è ø ÷çç ÷ ÷ç ÷ç ÷è øç ÷

—

——

—

Denominamos matriz transpuesta de la matriz A de dimensiones mxn, a la matriz A t de

orden nxm, tal que atij = aji , para cada i=1,2,..,m; j=1,2,..,n

TIPOS DE MATRICES

2 3 0 2 3 0

Ejemplo: 3 5 6 3 5 6

0 6 3 0 6 3

tA A

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç çè ø è ø÷ ÷— —

Denominamos matriz simétrica a la matriz cuadrada A de dimensiones nxn, tal que A =A t ,

es decir atij = aji , para cada i,j=1,2,...,n

0 3 0 0 3 0

Ejemplo: 3 0 6 3 0 6

0 6 0 0 6 0

tA A

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç çè ø è ø÷ ÷

—

—

—

Denominamos matriz antisimétrica a la matriz cuadrada A de dimensiones nxn, tal que

A =-At es decir atij = -aji , para cada i,j=1,2,...,n

NOTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

11 1 12 1 13 3 1 1

21 1 22 1 23 3 2 2

1 1 2 1 3 3

nn

nn

mn n mm m m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

L

L

L

L

Dado un sistema de m ecuaciones de n incógnitas

11 12 1 111 11 1

21 22 2 21 22 2 2*

1 2 1 2

;

nn

n n

mnm m mn mm m

a a a ba a a

a a a a a a bA A

a a a a a a b

æ öæ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç= = ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷ç÷ç ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ç ÷ ÷èç ø ÷çç ÷è ø

LL

L LL L L L L L L L L

L L

Se puede asociar las matrices

Denominadas matriz de coeficientes y ampliada respectivamente

NOTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

A pesar de que dicho sistema se puede resolver efectuando operaciones con matrices (como

se puede ver en este tema), se puede aplicar el método de Gauss directamente sobre la matriz

ampliada, manipulando las filas como si se tratara de ecuaciones

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

*

1 1 1 0 1 1 1 02ª Ecu. 1ª Ecu. * 2

2 1 1 7 0 1 3 73ª Ecu. 1ª Ecu.

1 1 2 7 0 2 1 7

1 1 1 0

3ª Ecu. 2ª Ecu. * 2 0 1 3 7

0 0 7 21

A

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= Þ Þç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç çè ø è ø÷ ÷æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷Þ Þ ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷

–– – –

–– – – –

– – –

–

Ejemplo.- Para resolver el siguiente sistema por el método de Gauss

Utilizando la matriz ampliada y efectuado las operaciones con las filas convenientemente

0

2 7

2 7

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ =

+ =

–

– –

Que resolviendo se obtiene z = -3, y = 2, x = 1

OPERACIONES CON MATRICES

El conjunto de matrices de orden mxn, se pueden sumar y multiplicar por un número, y las

matrices de dimensión mxn se pueden multiplicar por las de dimensión nxp.

Dado que habitualmente las matrices se utilizan para representar problemas matemáticos

(algebraicos, geométricos, estadísticos, físicos, económicos, etc.), al utilizar estas operaciones

podemos resolver muchos de estos tipos de problemas de forma más cómoda (en ocasiones

utilizando computadoras) .

Conviene recordar la siguiente notación para el conjunto de matrices:

Mmxn(R) = Mmxn = matrices de orden o dimensión mxn con coeficientes reales

Mn(R) = Mn = matrices cuadradas de orden o dimensión n con coeficientes reales

ADICIÓN DE MATRICESSean A = (aij) y B = (bij) dos matrices de igual dimensión, definimos matriz suma S = (sij) (se

representa S = A + B), donde s i j = a i j , para cada i = 1,2,…,m; j = 1,2,..,n

Ejemplo.-

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE MATRICES de dimensión mxn

Conmutativa.- A + B = B + A, para cualquier matriz A y B de dimensiones mxn

Asociativa.- A + ( B + C ) = ( A + B ) + C, para cualquier matriz A, B y C de dimensiones mxn

Elemento neutro.- Existe la matriz nula O (todo ceros) de dimensión mxn tal que O+A = A+O,

para cualquier matriz A de dimensiones mxn

Elemento Simétrico.- Para cada matriz A de orden mxn existe la matriz -A (matriz opuesta) de

dimensión mxn tal que (-A)+A = A+(-A) = O.

1 2 4 3 5 5

5 53 4 2 1

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ç ç ÷ç÷ ÷ ÷ç ç+ = ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷çç ç÷ ÷ç ç è øè ø è ø

Restar dos matrices A y B de la misma dimensión es equivalente a sumar A y la opuesta de B,

es decir A – B = A + (-B)

Teniendo en cuenta las propiedades de la suma de matrices, se tiene que el conjunto de matrices de orden mxn sobre el cuerpo de los números reales R (Mmxn(R)) es un grupo conmutativo o abeliano

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN NÚMEROSean A = (aij) una matriz de dimensión mxn, y k un número real, la matriz que se obtiene al

multiplicar k por A, es k.A = k . ( a i j ) = ( k . a i j ),

Ejemplo.-

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ

Distributiva respecto de suma de matrices.- k . ( A + B ) = k. A + k.A, para cualquier matriz

A y B de dimensiones mxn y cualquier k real.

Distributiva respecto de la suma de números.- ( k + h ) . A = ( k.A + h.A ), para cualquier

matriz A de dimensiones mxn y cualquier k, h números reales.

Asociativa entre números y matrices.- ( k * h ) . A = k . ( h.A ), para cualquier matriz A de

dimensiones mxn y cualquier k, h números reales.

Elemento unidad.- Para cualquier matriz A de dimensiones mxn, se cumple 1.A = A

1 2 3 63

3 4 9 12

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç× =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

MULTIPLICACIÓN DE MATRICESSean A = (aij) una matriz de orden mxn y B = (bjk) una matriz de orden nxp, denominamos

producto C = (cij) (se representa P = A . B), donde

c ij = a i 1 . b 1j + a i 2 . b 2 j + … + a i n . b n j , para i = 1,2,…,m; j = 1,2,..,nEjemplo.-

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Asociativa.- A . ( B . C ) = ( A . B ) . C, para cualquier matriz A, B y C que tengan las

dimensiones adecuadas.

Distributiva respecto de la suma.- A . ( B + C ) = A . B + A. C, para cualquier matriz A, B y C

que tengan las dimensiones adecuadas.

Asociativa.- k . ( A . B ) = ( k . A ) . B, para cualquier matriz A, B que tengan las dimensiones

adecuadas y cualquier número real k.

Existencia de elemento neutro.- En el producto de matrices cuadradas de orden n, existe la

matriz identidad (In) tal que A.In = In.A, para cualquier matriz cuadrad de orden n

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 0 2 0 1 0 1.1 0. 1 2.0 0.2 1.2 0.0 2. 1 0.1 1 0

0 3 0 4 0 1 5 40.1 3. 1 0.0 4.2 0.2 3.0 0. 1 4.1

2 1

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ æ öæ ö + + + + + + æ öç ÷ ÷÷ ç ÷çç ç÷ ÷÷ ÷ççç ç÷+ = =÷÷ ÷çç ÷ç ç÷÷ ÷÷ çç + + + + + +ç ç÷ ÷ç ç÷÷çè ø è ø÷ è øç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è øç ÷

– – –

– – –

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

A diferencia de lo que ocurre con la multiplicación habitual de números reales, en la

multiplicación de matrices hay propiedades que no se cumplen, por ejemplo:

* La multiplicación de matrices no es conmutativa, por ejemplo:

0 01 0 0 1 0 1 0 1 1 0

0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0AB BA

æ öæ ö æ ö æ öæ öæ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ç ç ç ç çç÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ç ç ç ç çç= = ¹ = =÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ç ç ç ç çç÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ççç ç ç ç çè øè øè ø è ø è øè ø

* Si A.B = 0 (matriz nula), no tiene por que ser necesariamente A = 0 o B = 0, por ejemplo:

1 3 3 6 0 0

0 03 9 1 2AB

æ öæ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ÷ç÷ ÷ çç ç è øè øè ø– – – –

* Si A.C = A. B, no es necesariamente C = B, por ejemplo:

2 3 2 5 5 8 2 3 1 2

4 6 3 6 10 16 4 6 1 4AC AB

æ öæ ö æ ö æ öæ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç= = = =÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çè øè ø è ø è øè ø

– – – –

– – – – –

MATRIZ INVERSA

Si consideramos la matriz cuadrada de orden n y no nula A = (a ij) , denominamos matriz

inversa (cuando existe) a la matriz A–1 (si existe es única), tal que se cumple

A. A–1 = A–1 .A = In

Cuando una matriz A tiene matriz inversa A–1, decimos que A es invertible o regular

Ejemplo.-

1 12 1 0 1 1 0

; ya que 1 0 1 2 0 1

A A A Aæ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= Þ = × =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

– –

–

MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDANSi consideramos la matriz cuadrada de orden n y no nula A = (aij), un método para hallar la

matriz inversa (cuando existe) A–1 es utilizando el método de Gauss-Jorrdan para resolver n

sistemas de ecuaciones, Además, existirá A–1 si estos sistemas son compatibles determinados

Ejemplo.-

11 12 131

21 22 23

31 32 33

1

1 2 1

2 4 3 ¿Si existe ? Se tiene que cumplir

3 5 2

1 0 0

A 0 1 0 ; que equivale a resolver tres sit

0 0 1

a a a

A A a a a

a a a

A

æ ö æ ö÷ç ÷ç÷ç ÷ç÷ç ÷ç÷ ÷ç ÷ ç= Þ = ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷÷ç ÷ç ÷ç÷÷çç è øè ø÷

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷× = ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷

–

–

11 12 13

21 22 23

31 32 33

emas de ecuaciones

01 0

A 0 ; A 1 ; A 0

0 0 1

a a a

a a a

a a a

æöæö æöæ ö æ ö æ ö÷ ÷ çç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ çç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷÷ ÷ ÷ çç ç÷ ÷ç ç ç× = × = × =÷ ÷ ÷ çç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ çç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ çç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ çç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷÷ ÷ çç çç ç çè ø è ø è øè ø è ø è ø÷ ÷

;

÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷

MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDANUtilizando Gauss-Jordan, podemos utilizar las matrices ampliadas

1 2 1 1 0 0

2 4 3 0 1 0

3 5 2 0 0 1

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷Restando a la segunda fila la primera multiplicada por 2 y a la tercera la primera

multiplicada por tres, obtenemos

1 2 1 1 0 0

0 0 1 2 1 0

0 1 1 3 0 1

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷

–

– – –

Cambiando el orden de la segunda y tercera fila, obtenemos

1 2 1 1 0 0

0 1 1 3 0 1

0 0 1 2 1 0

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷

– – –

–

MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDANMultiplicando por -1 la segunda fila, obtenemos

1 2 1 1 0 0

0 1 1 3 0 1

0 0 1 2 1 0

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷

–

–

Restando a la primera fila la segunda multiplicada por 2, obtenemos

1 0 1 5 0 2

0 1 1 3 0 1

0 0 1 2 1 0

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷

– –

–

–

Finalmente, sumamos la tercera fila a la primera y restamos la tercera fila a la segunda,

obtenemos

1 0 0 7 1 2

0 1 0 5 1 1

0 0 1 2 1 0

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷

–

– –

–

MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDAN

Lo que equivale a resolver los tres sistemas (que además son compatibles determinados). Y

como cada una de las tres últimas columnas de la matriz ampliada, corresponde a la

solución de cada uno de los sistemas, serán las soluciones

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 27

5 ; 1 ; 1

02 1

a a a

a a a

a a a

æ ö æ ö æ öæ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷ çç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= = =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷÷ ÷ç ç ççç çè ø è ø è ø è øè ø è ø÷ ÷ ÷

–

– –

–

Luego la matriz A – 1 será

1

7 1 2

5 1 1

2 1 0

A

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷

–

–

– –

–

SOLUCIÓN MATRICIAL DE SISTEMAS DE ECUACIONES

11 1 12 1 13 3 1 1

21 1 22 1 23 3 2 2

1 1 2 1 3 3

nn

nn

mn n mm m m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

L

L

L

L

Dado un sistema de m ecuaciones de n incógnitas

111 11 1 1

21 22 2 2 2

1 2

; ;... ...

n

n

mn nm m n

ba a a x

a a a x bA X B

a a a x b

æ öæ ö æ ö ÷ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ç= = = ÷ç ç÷ ÷ ç ÷ç ç÷ ÷ ÷ç÷ ÷ç ç ÷ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷çè ø çè ø ÷çç ÷è ø

L

L

L L L L

L

Se puede escribir matricialmente A.X = B, donde A es la matriz de coeficiente, X la matriz

de incógnitas y B la matriz de términos independientes

Si la matriz de coeficientes A es regular (admite inversa A– 1), multiplicando ambos

miembros de la ecuación A.X = B, por A– 1 obtenemos

X = A-1.B Que es la solución del sistema

SOLUCIÓN MATRICIAL DE SISTEMAS DE ECUACIONES

1

1 3 2 1 3 27 7 7 7 7 7 0 15 1 3 5 1 3

7 27 7 7 7 7 7

7 33 2 1 3 2 17 7 7 7 7 7

x

A y

z

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷æ ö æç çæö÷ ÷ ÷ç çç ç÷÷ ÷ç ÷ç çç ç÷÷ ÷ç ÷ç ç÷ç ç÷ ÷ç ÷÷ ç çç ç÷ ÷ ÷ç= Þ = × =÷÷ ÷ç çç ç ÷ç ÷÷ ÷ç çç ç ÷ç ÷÷ ÷ç ÷ç çç ÷÷ ÷ ÷çç ç÷ç ÷÷ ÷ç ÷÷ççç çè ø÷ ÷è ø è÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø÷ ÷ç ç

–

– –

– – – –

– –– –

ö÷÷÷÷÷÷÷ç ÷÷ç ÷÷çç ø÷

Ejemplo.- Para resolver matricialmente el siguiente sistema de ecuaciones

Hallando la matriz A-1, podemos aplicar

0 1 1 1 0

2 7 2 1 1 7

2 7 1 1 2 7

x y z x

x y z y

zx y z

æ ö æ öæö+ + = ÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷÷ç ç÷ ÷ç+ = Þ × =÷ç ç÷ ÷ç ÷ç ç÷ ÷ç ÷ç ç÷ ÷ç ÷÷ ÷ç ç÷ç ÷ç+ = ÷ ÷÷ ÷ç çç çè øè ø è ø÷ ÷

– –

– – – –

Obteniendo la solución z = -3, y = 2, x = 1

RANGO DE MATRICES

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 0 1

2 1 1 ; sus filas son linealmente independientes, pues si resolvemos

3 0 1

los tres sitemas:

1 0 1 2 1 1 3 0 1 ;

2 1 1 1 0 1 3 0 1 ;

3 0 1 1 0 1 2 1 1 ;

son INCOMPATIBLES

A

x y

x y

x y

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷

= × + ×

= × + ×

= × + ×

Dada la matriz A = ( a i j ) de orden m x n decimos que sus filas o columnas son linealmente

independientes, cuando no se puede poner ninguna como combinación lineal de resto.

Por ejemplo sea la matriz A

El número de filas linealmente independiente de una matriz A, coincide con el número de

columnas linealmente independientes.

Cuando varias filas o columnas no son linealmente independientes, decimos que son

dependientes

RANGO DE MATRICESDenominamos rango de una matriz A, y denotamos por Rango(A) al número de filas o

columnas linealmente independientes de la matriz A.

Una matriz cuadrada A de orden n tendrá inversa A-1 si Rango(A) = n

CÁLCULO DE RANGO DE MATRICES

1 2 3

1 2 5 ; Escalonando la matriz por Gauss

1 10 9

1 2 3 1 2 3

0 4 2 ; 0 4 2

0 0 00 12 6

A

A A

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷Þ = Þ =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷÷ç ççç è øè ø÷ ÷

–

– –

– –

–

Para calcular el rango de una matriz A, el Rango(A) = número de filas no nulas de la matriz

escalonada de A.

Por ejemplo sea la matriz A

Como el número de filas no nulas es 2, Rango (A ) = 2.

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Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

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Dr. Juan Medina Molina

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