Matrices e determinantes
Transcript of Matrices e determinantes
Foto de http://haberhabermagdis.blogspot.com.es/
MATRICES E DETERMINANTES
Definición de matriz Chámase matriz de dimensión mxn a unha táboa rectangular
formada por m filas e n columnas de números reais:
aij representa o elemento que está na fila i e na columna j
o elemento a25 será o elemento da fila 2 e columna 5.
TIPOS DE MATRICES
Matriz fila: ( )naaaa 1131211
Matriz columna:
1
31
21
11
ma
a
a
a
Matriz nula
Matriz cadrada:
TIPOS DE MATRICES
Matriz diagonal:
Matriz unidade ou identidade:
Matriz Triangular:
matriz triangular inferior matriz triangular superior
MATRIZ TRASPOSTA
Chámase TRASPOSTA dunha matriz A, a matriz que se
obtén ao cambiar na matriz A as filas polas columnas
Matriz simétrica: Unha matriz cadrada A é simétrica cando A = At
Matriz antisimétrica: Unha matriz cadrada é antisimétrica cando -A = At
SUMA E DIFERENCIA DE MATRICES
non se poden sumar.
A + (B + C) = (A + B) + C Propiedade Asociativa
A + B = B + A Propiedade conmutativa
Matriz Nula A + 0 = A (0 é a matriz nula)
PRODUCTO DUNHA MATRIZ POR UN NÚMERO
PROPIEDADES PRODUCTO DUN Nº POR UNHA MATRIZ
a.(b.A)=(a.b).A
a.(A+B)=a-A+a.B
(a+b).A=a.A+b.A
1.A=A
PROPIEDADES DO PRODUCTO DE MATRICES
ASOCIATIVA: (A.B).C=A.(B.C).
DISTRIBUTIVA : A.(B+C) = A.B+A.C.
(A+B).C = A.C+B.C..
NON É CONMUTATIVO : A.B ≠ B. A.
PRODUCTO DE MATRICES
DETERMINANTE DUNHA MATRIZ CADRADA
Determinante de orden 2
Determinante de orden 3
DETERMINANTE DE ORDEN n
MENOR COMPLEMENTARIO. ADXUNTO.
Sexa A unha matriz cadrada de orden n, chámase menor
complementario do elemento aij ao determinante da
matriz que resulta o suprimir en A a fila i e a columna j,
designase M ij
Chámase adxunto do elemento aij e denotase Aij a
Aij= (-1) i+ j Mij
Defínese determinante de A como a suma dos elementos
dunha liña polos seus respectivos adxuntos.
PROPIEDADES DOS DETERMINANTES
Todas as propiedades que se enuncian para filas tamén son certas para columnas.
Se se multiplican todos os elementos dunha fila por un nº o determinante queda multiplicado por dito número.
Se se permutan dúas filas o determinante cambia de signo.
Se todos os elementos dunha fila son 0 o determinante é 0.
Se dúas filas son iguais ou proporcionais o determinante é 0.
Se cada elemento dunha fila é suma de 2 sumandos , o determinante é igual á suma de dous determinantes que teñan nesa fila os primeiros e os segundos sumandos respectivamente e nas demais os mesmos elementos que o determinante inicial.
Se a unha fila se lle suma un múltiplo doutra o determinante non varía.
Se as filas son linearmente dependentes o determinante é 0.
Unha matriz cadrada que ten inversa dise que é inversible ou
regular; en caso contrario recibe o nome de singular.
MATRIZ INVERSA
Hai varios métodos para calcular a matriz inversa dunha matriz dada:
método de Gauss
Usando determinantes
Directamente
Chámase inversa dunha matriz cadrada A de orden n a outra matriz de orden n, B que verifique que A·B = B· A = In
Unha matriz cadrada ten inversa cando e só cando o seu determinante é distinto de 0
A matriz que se calculou realmente sería a inversa pola "dereita", pero é fácil comprobar que tamén cumpre A-1 · A = I, co que é realmente a inversa de A.
Dada a matriz buscamos unha matriz que cumpra A·A-1 = I2, é dicir
Para elo propoñemos o sistema de ecuacións:
Cálculo Directo da Matriz Inversa
Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss - Jordan
2º.- Triangularizamos a matriz A de arriba a abaixo e realizamos as mesmas operacións na matriz da dereita
Queremos calcular a inversa de
1º.- Escribese a matriz A seguida da matriz identidade,
Como podemos observar o rango da matriz A é máximo (neste caso 3), polo tanto a matriz A ten inversa, ímola calcular
3º.- Triangularizamos a matriz de abaixo a arriba, realizando as mesmas operacións na matriz da dereita
4º.- Por último divídese cada fila polo elemento diagonal correspondiente.
Cálculo da matriz inversa usando determinantes
tadxAA
A )(11 =−
O rango non pode ser maior ao número de filas ou de columnas.
RANGO DUNHA MATRIZ
Chámase “menor” de orden p dunha matriz ao determinante que resulta de eliminar certas filas e columnas ata quedar una matriz cadrada de orden p.
É dicir, ao determinante de calquera submatriz cadrada de A
Nunha matriz A m×n pode haber varios menores de orden p.Definición:
Rango dunha matriz é a orde do maior menor non nulo que se poida formar na matriz.
Consecuencia
As dúas primeiras filas son L.I. a terceira depende linealmente das dúas primeiras
RANGO DUNHA MATRIZVectores fila dunha matriz:
As filas dunha matriz poden ser consideradas como vectores. É posible que sexan linealmente Independentes (L.I.) e é posible que uns dependan linealmente de outros. Por exemplo:
As dúas primeiras líñas son L.I., as outras dúas dependen linealmente das primeiras
As súas dúas son linealmente independentes
=
2431
5232A
=
43
50
12
31
B
−−=
158
209
351
C
2123 FFF −⋅=
214 FFF +=
312 FFF =−
Chámase rango dunha matriz ao número de filas Linealmente Independentes
Teorema
Nunha matriz o número de filas L.I. coincide co número de columnas L.I.
RANGO DUNHA MATRIZ
Vectores columna dunha matriz:
Tamén as columnas dunha matriz poden ser consideradas como vectores. Poderíamos definir rango da matriz como o número de columnas linealmente independentes, pero aparece a dúbida de se esa definición pode contradecir á anterior.
Rango dunha matriz é o número de filas, ou columnas, linealmente independentes.
O rango dunha matriz podémolo calcular por dous métodos diferentes:
RANGO DUNHA MATRIZ
Polo método de Gauss
Usando Determinantes
Cálculo do rango: método de Gauss
Se se permutan dúas filas o rango non varía
Se se multiplica unha fila por un nº non nulo o rango non varía
Se a unha fila se lle suma ou resta outra paralela o rango non varía
Cálculo do rango dunha matriz polo método de Gauss
Cálculo do rango dunha matriz polo método de Gauss
Cálculo de rango por determinantes