1

MatriceMatrice- - inmultirea matricelor -inmultirea matricelor -

CuprinsCuprins Motto pag.2 Definitie pag.4 Observatie 1

pag.5 Observatie 2

pag.6 Proprietati ale inmultirii matricelor

pag.8/9 Aplicatii ale inmultirii matricelor

pag.10/11 Bibliografie

pag.12

Definitie

Fie matricele A= şi B= . Se numeşte produsul matricelor A, B (în aceasta ordine ) matricea C = ale cărei elemente sunt date de egalităţile :

i {1,2,...,m} ,k { 1,2,...,p}

4

nmija )( pnijb )(

pmikc )(

nkinkikiik bababac ...2211

5

Observatia 1Observatia 1

Operatia prin care fiecarei Operatia prin care fiecarei perechi (A,B)apartine perechi (A,B)apartine MMm,n(C) m,n(C) ××MMn,p (C) i se n,p (C) i se asociaza produsul de asociaza produsul de matrice A*B se numeste matrice A*B se numeste inmultirea matricelor.inmultirea matricelor.

Pentru a obtine Pentru a obtine elementul situat la elementul situat la intersectia liniei i cu coloana intersectia liniei i cu coloana k in matricea produs A*B k in matricea produs A*B se se face suma tuturor face suma tuturor produselor dintre elementele produselor dintre elementele liniei i din matricea A si liniei i din matricea A si elementele omoloage din elementele omoloage din coloana k a matricei Bcoloana k a matricei B

Omologia dintre Omologia dintre elementele liniei I din elementele liniei I din matricea A si elementele matricea A si elementele coloanei k din matricea B se coloanei k din matricea B se stabileste astfel: stabileste astfel: elementului ii elementului ii corespunde elementul corespunde elementul elementului ii elementului ii corespunde elementul ,corespunde elementul ,…,elementului ii …,elementului ii corespunde elementul .corespunde elementul .

Regula de inmultire a Regula de inmultire a doua matrice se numeste doua matrice se numeste pe scurt pe scurt regula de inmultire regula de inmultire a liniilor cu coloanelea liniilor cu coloanele sau sau regula linie-coloana.regula linie-coloana.

ikc

1ia

kb12ia

kb2 ina

nkb

6

Observatia 2Observatia 2

Din definitie se Din definitie se observa ca observa ca produsul produsul AB are sens numai AB are sens numai daca numarul de daca numarul de coloane ale matricei A coloane ale matricei A este egal cu numarul este egal cu numarul de linii ale matriceide linii ale matricei BB..

- Rezulta ca nu orice - Rezulta ca nu orice doua matrice pot fii doua matrice pot fii inmultite.inmultite.

Daca A,B Daca A,B apartine Mn(C) apartine Mn(C) atunci are sens atunci are sens produsul AB si produsul AB si produsul BA.produsul BA.

Asadar,operatia Asadar,operatia de inmultire a de inmultire a matricelor este matricelor este peste tot definita in peste tot definita in multimea Mn(Cmultimea Mn(C) .) .

7

8

Proprietati ale inmultirii Proprietati ale inmultirii matricelormatricelor

Inmultirea matricelor este Inmultirea matricelor este asociativaasociativa::

(AB)*C=A*(BC)(AB)*C=A*(BC),oricare ar fii A apartine lui ,oricare ar fii A apartine lui MMm,n(C), B m,n(C), B

apartine lui apartine lui MMn,p(C), C apartine lui n,p(C), C apartine lui MMp,r (C). p,r (C).

Inmultirea este Inmultirea este distributiva fata de adunarea matricelor:

A*(B+C)=AB+ACA*(B+C)=AB+AC,oricare ar fii A apartine lui Mm,n(C), ,oricare ar fii A apartine lui Mm,n(C),

B apartine lui B apartine lui MMn,p(C), C apartine lui n,p(C), C apartine lui MMp,r (C ). p,r (C ).

(A+B)*C=AC+BC(A+B)*C=AC+BC, oricare ar fii A ,B apartine lui , oricare ar fii A ,B apartine lui

MMm,n(C), m,n(C),

C apartine lui C apartine lui MMn,p(C).n,p(C).

..

9

Matricea unitate de ordinul n este element Matricea unitate de ordinul n este element neutru la inmultirea matricelor patratice:neutru la inmultirea matricelor patratice:

A*In=In*A=AA*In=In*A=A,oricare ar fii A apartine ,oricare ar fii A apartine

lui lui MMn (C ).n (C ).

a*(AB)=(aA)*B=A*(aB)a*(AB)=(aA)*B=A*(aB),,oricare ar fii a oricare ar fii a

apartine lui C, A apartine lui apartine lui C, A apartine lui MMm,n (C ),B m,n (C ),B

apartine lui apartine lui MMn,p(C ).n,p(C ).

Aplicatii

1.Se dau matricele:A= ,B=

Sa se calculeze matricea C,stiind ca aceasta este produsul dintre

matricea A si matricea B. C=A*B =>

C =

10

)(403

2113,2 RM

)(

35

41

22

2,3 RM

)(626

913

35

41

22

403

2112 RM

)(

)(

2,3

3,2

RMB

RMA

)(2 RMC

11

.

121

211

012

153

423

213

2.Fie A = ,B =

a)Sa se arate ca AB=BAb)Sa se calculeze (A+B)2 si A2 +2AB+B2

121

211

012

153

423

213

900

090

009

153

423

213

121

211

012

900

090

009

a) AB= =

BA=

=

121

211

012

153

423

213

074

614

225

50158

14518

2641

531

461

235

1800

0180

0018

27189

18279

0918

50158

14518

2641

B)A+B= + =

(A+B)2=

A2 +2AB+B2 =

+ + =

Bibliografie Manual de matematica clasa a XI-a Autori:Marius Burtea si Georgeta Burtea Editura:Books Unlimited Publishing Localitatea:Bucuresti Anul:2007 Culegere de matematica clasa aXI-a Autori:Marius Burtea si Georgeta Burtea Editura:Carminis Educational Localitatea :Pitesti, jud Arges Anul:2006 Internetwww.referate.ro www.e-referate.rowww.meditatii online.ro

12

13

Tot auzim adesea citatu’: "Ai carte ai Tot auzim adesea citatu’: "Ai carte ai parte"parte"

Va multumesc!“Va multumesc!“