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7ᵃ CLASE de COMPUTACIÓN APLICADA

Montevideo, viernes 15 de mayo del 2015.

MÉTODO de FRACCIONES PARCIALES - TEÓRICO

El método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente para el cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.

Sea:A (x) amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0

= _________________________B (x) bnxn + bn-1xn-1 + … + b1x + b0

En donde m < n.

Una expresión del teorema fundamental del álgebra es la siguiente:

Teorema fundamental del álgebra. Cualquier polinomio con coeficientes reales de grado n tiene n raíces, las cuales son reales o complejas. En el caso de existir raíces reales siempre existen en pares, es decir, la raíz y su complejo conjugado.

Sea construido un teorema que recoge los elementos del teorema fundamental del álgebra, este agrupa en las aplicaciones a la solución de integrales:

Teorema:

La integral de toda función racional en la que el denominador se puede descomponer en factores reales  de primero y segundo grado puede solucionarse una vez que la función racional se expresa en sumas y restas de funciones elementales.

Fracciones parciales

 1er caso.  Todos los factores del denominador son de primer grado. Si no se repiten los factores la descomposición en fracciones parciales es de la forma:

 

 

Segundo caso. El denominador tiene factores de segundo grado.

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De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, si los factores son de la

forma     y además no se repiten, a todo factor corresponderá una fracción parcial de la forma:

MÉTODO de FRACCIONES PARCIALES - EJERCICIOS

Ejemplo 1

Sea x+3 / (x+1)(x+2)

Se descompone x+3 / (x+1)(x+2) = (a / x+1 ) + (b / x+2 )

Necesitamos encontrar los valores de a y b.

Primero nos deshacemos del denominador:

[(x+3) (x+1) (x+2)] / [(x+1)(x+2)] = [(a / x+1 ) + (b / x+2 )] / [(x+1)(x+2)]

Nos queda:

x+3 = a (x+2) + b (x+1)

Asignamos valores a x para obtener un sistema de ecuaciones y de este modo calcular a y b.

Si x=-2 >> -2 + 3 = a(-2 + 2) + b(-2 +1) >> b= -1

Si x=-1 >> -1 + 3 = a(-a + 2) + b (-1 +1) >> a= 2

Entonces nos queda que:

x+3 / (x+1)(x+2) = (2 / x+1 ) + (-1 / x+2 )

Ejemplo 2

Sea x2 + 3x + 1 / (x+1)3

Descomponemos de la siguiente manera

a / x+1 + b/(x+1)2 + c/(x+1)3

Si multiplicamos por (x+1)3

[(x2 + 3x + 1)(x+1)3] / (x+1)3 =

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(a (x+1)3 / x+1) + (b (x+1)3 /(x+1)2) + (c (x+1)3 /(x+1)3)

Simplificando

x2 + 3x + 1 = a/(x+1)2 + b/(x+1) + c

Asignamos valores a x

x = 0 >> a + b + c = 1

x= 1 >> 4a+ 2b + c = 5

x=-1 >> 0 + 0 + c = -1

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos finalmente

[(x2 + 3x + 1)(x+1)3] = 1 / x+1 + 1/(x+1)2 + -1/(x+1)3

Así como se utiliza la descomposición en fracciones parciales para encontrar la transformada inversa de Laplace, también sirve para solucionar Integrales y se descompone la función F(s) en fracciones parciales y luego aplicar el comando necesario para obtener el resultado deseado, facilitando así encontrar en el tiempo la solución.

F(s) = Q (s) / P (s)n = r1 / (s-p1)n + r2 / (s-p2)n-1 + . . . + K

Se utiliza el comando Matlab residue:

[r, p, k] = residue (num, den)

Donde num es un vector compuesto por los coeficientes del polinomio del numerador y den es un vector compuesto por los coeficientes del polinomio del denominador.

Ejemplo 1 (resolver con MATLAB, comando [r,p,k]=residue(num, den) y solución en t)

Sea x+3 / (x+1)(x+2)

Ejemplo 2 (resolver con MATLAB, comando [r,p,k]=residue(num, den) y solución en t)

Sea x2 + 3x + 1 / (x+1)3

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INTEGRALES

Trayectoria de una partícula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. En la parte

inferior están los vectores del campo vistos por la partícula a medida que viaja por la curva. La suma

de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la

trayectoria da como resultado la integral de línea.

En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,

o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo

largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos

vectoriales) que actúen sobre el mismo.

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DefiniciónIntegral curvilínea de un campo escalar

Integral de línea de un campo escalar

Para f : R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)j con t   [a, b], está definida como:

donde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C. Las integrales de trayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).

Integral curvilínea de un campo vectorial

Para F : Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t   [a, b], está definida como:

donde   es el producto escalar y r: [a, b] → C es

una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b)

son los puntos finales de C.

Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos contrarios.

Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que

donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un

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número real al par   donde

Independencia de la curva de integración

Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F es conservativo), esto es:

entonces la derivada de la función composición de G y r(t) es:

con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:

La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es independiente del camino entre a y b.

Por esta razón, un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamado independiente del camino o también conservativo. Cabe destacar que si tenemos un campo arbitrario; tal que, las derivadas parciales iteradas sean iguales y además sea convexo; entonces este campo es el gradiente de una función potencial φ. Y por lo mencionado anteriormente la integral de línea del campo es independiente del camino.

OPERANDO CON MATLAB:

OPERACIÓN MATEMÁTICA COMANDO MATLAB f dx >>int(f) Integral indefinida

>>int(f, x) b f(x)dx

a>>int(f, x, a, b) Integral definida

>>int(f, a, b) f(x)dx >>Int(int(f, x)) Integral doble

b d f(x,y)dxdy a c

>>Int(int(f(x, y), x, a, b), y, c, d))

EJEMPLOS (En el PC, en clase repetir con MATLAB los mismos)

xn dx

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>> syms x n>> int(x^n) ans = x^(n+1)/(n+1) y-1 dy

>> syms y>> int(y^(-1)) ans = log(y) >> syms a u>> int(1/(a+u^2)) ans = 1/a^(1/2)*atan(u/a^(1/2)) >> syms a b teta>> f=sin(a*teta+b);>> int(f) ans = -1/a*cos(a*teta+b)

∞

0 exp(-x^2)dx

>> syms x>> int(exp(-x^2), x, 0, inf) ans = 1/2*pi^(1/2)

∞

-∞ e-ax2 dx

>> syms a positive>> f=exp(-a*x^2);>> int(f, x, -inf, inf) ans =

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1/a^(1/2)*pi^(1/2) a ln(bx)dx

>> syms a b x>> int(a*log(b*x), x) ans = a*x*log(b*x)-a*x

a ln(xy)dxdy >> syms a x y>> int(int(a*log(x*y), x), y) ans = a*x*y*log(x*y)-2*a*x*y

1

0 a ln(xy)dx >> int(a*log(x*y), x, 0 , 1) ans = a*log(y)-a

1 3

0 2 a ln(xy)dxdy >> int(int(a*log(x*y), x, 2, 3), y, 0, 1) ans = 3*a*log(3)-2*a*log(2)-2*a

>> exit

EJERCICIOS para RESOLVER con MATLAB: (Ejercicios con valor de calificación)Resolver la Integral y también obviando la integral, encontrar la solución en t.

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1) (3 / (x2 + 3x) dx2) ((3x+1) / (x2 + 4x + 3) dx3) ((5x2 + 3) / (x2 (x2 + 3x)) dx

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