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Mathématiques et musiques : une approche historique

Mathématiques et musiques ….Saint Flour; Aout 2010 Matthieu Husson 1

Prélude


En 1962, Pierre Sallée, un jeune pianiste certifié de musique, a l’occasion de participer à une mission ethnographique au Togo organisée par le CNRS. Il est chargé de la partie musicale. Il découvre alors que certains groupes de pygmées improvisent des polyphonies d’une grande complexité rythmique.

(il est possible de cliquer sur l’image suivante pour ouvrir entendre l’une de ces polyphonies)

Prélude


Prélude


http://www.deezer.com/fr/music/playlist/saint-flour-47145818

Cela étonne et intrigue, la polyphonie n’est-elle pas le privilège de la culture occidentale ?

Un travail universitaire est effectué sur ces polyphonies.

Simha Arom, Polyphonies et polyrythmies d'Afrique centrale. Structure et méthodologie, Paris, SELAF, 1985.

Il aboutit à l’idée que ces musiques sont une certaine forme de mathématiques trouvant à s’exprimer dans des cultures non-écrites.

Marc Chemillier, Mathématiques naturelles, Odile Jacob, 2007

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Ils éditent ensemble et avec d’autres, un CD-ROM qui fait le bilan de ces travaux ethnographiques et les met en forme d’une manière accessible au grand public. Il y a notamment un bon module sur la musique, mis en place avec l’IRCAM par Marc Chemillier.

Pygmées Aka. Peuple et musique, S. Arom, S. Bahuchet, A. Epelboin, S. Fürniss, H. Guillaume, J. Thomas, Montparnasse Multimédia, 1998.

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Cela nous permet de constater que le lien entre les mathématiques et la musique est un élément fort de notre culture occidentale :

a. une pratique musicale est assimilée à une pratique mathématique ;

b. cette assimilation est un outil de compréhension de cultures étrangères.

Prélude


L’objet du présent atelier est d’esquisser l’histoire de ce lien entre mathématiques et musiques dans notre culture afin de réfléchir aux opportunités qu’il offre dans le cadre de l’enseignement primaire et secondaire.

Prélude


Prélude

• Une esquisse de l’histoire du lien entre les mathématiques et la musique en occident

• Une discussion sur les enjeux de cette histoire et les opportunités qu’elle offre pour l’enseignement

• Un travail en groupe sur des sources historiques

• Bilan et perspectives

Plan


Exposition, premier thème :

Une esquisse de l’histoire du lien entre mathématiques et musiques



Manuscrit du 15e siècle, Londres, British Museum, Add. 4913

Cathédrale de Chartres

Une esquisse….


Une esquisse….

On attribue à Pythagore (-580, -487) la découverte des rapports numériques associés à l’octave (1:2), la quinte (2:3), la quarte (3:4), l’octave (8:9). Cette attribution prend la forme d’une légende particulière (voir le texte de Boèce).

Comme pour tous les pré-socratiques il est difficile de bien connaître les doctrines exactes des Pythagoriciens: il semble que pour eux les nombres constituent le substrat fondamental de la réalité.


Une esquisse….

Platon et Aristote reprennent cette idée de Pythagore en faisant de la musique une science mathématique associée à l’arithmétique.

La nature et les objectifs de l’association ne sont pas identiques chez les deux philosophes.

Pour Platon la musique, comme la géométrie et les mathématique en général, est un pas vers la dialectique (Rép. VII 530c-532e) et l’âme du monde (Timée 35b).

Aristote ajoute une théorie physique du son comme un genre particulier de mouvement (De l’âme, I.8). Le rôle de la partie physique de la musique est de décrire la nature des phénomènes, le rôle des mathématiques de donner la cause des propriétés de ces phénomènes.


Une esquisse….

Durant la période hellénistique la science musicale se structure autour de deux questions : la division du ton et les micro-intervalles; les intervalles supérieurs à l’octave.

Euclide et Ptolémée rédigent l’un et l’autre des traités sur la science musicale

Dans les écoles néoplatoniciennes de la fin de l’empire romain l’enseignement des mathématiques prend la forme du Quadrivium (arithmétique, géométrie, musique, astronomie)

Le paradigme mathématique de la science musicale est remis en cause par certains notamment Aristoxène de Tarente.

Une partie de cette culture est transmise à l’occident latin par Boèce (V ème siècle)


Une esquisse….

« Au moment de traiter de la musique, il semble bon de dire combien, à notre connaissance, les érudits en cette matière ont distingué de genres de musique. Il y en a trois: la première du monde, la deuxième est la musique de l’homme, la troisième est celle qui est réalisée sur certains instruments, comme la cithare ou l’aulos et tous les autres qui sont au service de la cantilène », Boèce, De institutione musica, Christian Meyer (trad.), Brepols, 2004, p. 33


Une esquisse….

La musique du monde est l’harmonie du mouvement des sphères célestes.

La musique humaine l’harmonie entre le corps et l’âme ou l’équilibre entre les quatre humeurs du corps qui assure sa bonne santé.

La musique des instruments est celle que nous connaissons.

On peut constater que la musique en vient a assumer l’essentiel des utilisations spéculatives de l’arithmétique pour comprendre le monde physique.


Une esquisse….

Boèce est étudié dans la période médiévale surtout au moyen du monocorde: corde tendue au dessus d’une caisse de résonance et muni d’un chevalet mobile, il permet de réaliser et d’entendre les différentes proportions musicales.

Il est considéré comme un outil théorique: l’intérêt est alors qu’il plonge un domaine numérique dans un environnement continu.

Il est considéré aussi comme un outil pédagogique: le chantre apprend à reconnaitre les différentes consonances musicales sur le monocorde. Le nom des notes dans les solfèges anglo-saxons (a,b, c, d,…) provient directement des schémas géométriques du monocorde.


Une esquisse….

Le treizième siècle voit des évolutions importantes des pratiques musicales et scientifiques occidentales. L’apparition concomitante des universités et des écoles cathédrales dans les grands centres urbains (Paris par exemple) font que les musiciens acquièrent une véritable culture scientifique, écrivent leurs premières polyphonies, signent leur œuvres et souhaitent prendre en compte dans leurs compositions la dimension mathématique de la musique.

La première œuvre qui témoigne pleinement de ces évolutions est le Roman de Fauvel, au début du quatorzième siècle, dont une page est présentée sur la diapositive suivante.

C’est essentiellement la partie rythmique de la composition qui prend en charge la dimension mathématique de la musique. Ces recherches aboutiront à certaines formes savantes comme la fugue ou les canons et restent toujours enseignée aujourd’hui dans les conservatoires sous la forme du « contrepoint rigoureux ».


Une esquisse….

http://www.deezer.com/fr/music/playlist/saint-flour-47145818


Une esquisse….

Les contraintes d’accord liées à la polyphonie et surtout à la polyphonie instrumentale amènent un travail sur les tempéraments

Zarlino (1517-1590) avec une définition des tierces majeures et mineures sur la série 4 :5 :6 qui ensemble font une quinte juste de 4 :6 est le tournant important du chemin allant de la gamme pythagoricienne vers le tempérament égal. L’histoire du tempérament est bien faite et facilement disponible, wiki est très honnête sur ce sujet par exemple.

Parallèlement la demande humaniste de compréhension des textes mis en musique amène un travail sur l’harmonie

Pour la partie Harmonique c’est Rameau (1683-1764) (Bach 1685-1750) qu’il faut mentionner. Il fonde son travail sur les nouveaux accords, mais aussi sur le phénomène de la résonnance par sympathie connu depuis longtemps par les Luthiers (trace dès le quinzième siècle) et exploité pour la première fois de manière théoriquement forte par Descartes (1596 1650) (Compendium musicae 1617). Rameau introduit un vocabulaire qui sera repris ensuite par les physiciens.


Une esquisse….


Une esquisse….

http://www.deezer.com/fr/


Une esquisse….

Les termes à noter dans la page précédente sont bruit; son musical, son simple, son composé, son fondamental et harmonique

Il faut remarquer que dans la conception de Rameau c’est le son musical lui-même qui devient polyphonique et c’est la structure polyphonique intrinsèque du son musical qui justifie le langage tonal


Une esquisse….

Il faut attendre les progrès des mathématiques, de la physique et de la physiologie du 19e pour que les apports du langage tonal puissent trouver un fondement théorique en science naturelle et en mathématique.

La synthèse de ces différents apports revient à Helmholtz (1821-1894). Il donne une explication physique et physiologique des quatre paramètres du son : intensité, durée, hauteur et timbre. Nous sommes toujours aujourd’hui dans ce paradigme et il constitue l’essentiel de ce qui est enseigné en spé physique de terminale par exemple.


Une esquisse….


Une esquisse….

De nombreux mouvements musicaux du vingtième siècle témoignent dans leur méthode de composition de la prégnance du paradigme d’Helmhotz:

Musique sérielle: Boulez,….

Micro et polytonalité: Ligeti, …

Musique spectrale: Grisey, …


Une esquisse….

« De nombreuses séquences de Partiels annoncent une technique nouvelle, celle de la synthèse instrumentale. Analogue à la synthèse additive utilisée dans les programmes de musique électronique digitale, cette écriture utilise l'instrument (micro-synthèse) pour exprimer les différentes composantes du son et élaborer une forme sonore globale (macrosynthèse). De ce traitement, il résulte que, pour notre perception, les différentes sources instrumentales disparaissent au profit d'un timbre synthétique totalement inventé. Ces différentes fusions permettent d'articuler et d'organiser toute une gamme de timbres allant du spectre d'harmoniques au bruit blanc, en passant par différents spectres de partiels harmoniques. »

Gérard Grisey, Extrait de la notice de Partiels (1975)

http://www.deezer.com/fr/music/playlist/grisey-47182011



Exposition, second thème : discussion

Mathématiques et musiques, enjeux et opportunités pour l’enseignement



Discussion….

Différents aspects du lien entre mathématiques et musiques

Aspects philosophiques

Epistémologique; Esthétique; cosmologique.

Aspects Physiques

Nature et propagation du son; lien avec les qualités perçues

Aspects Biologiques

Fonctionnement de l’appareil auditif; lien avec les descriptions subjectives que l’on fait de ces perceptions

Aspects Mathématiques

Théorie des proportions; Fractions; lien discret-continu; Incommensurabilité, irrationalité; logarithme; fonction périodique, somme de fonctions; Série de Fourier; équation différentielle

Aspects musicaux

Différentes formes de prise en compte de la dimension mathématique de la musique dans la composition musicale (du XIVème au Xxème siècle); Eléments d’analyses pour des œuvres musicales .


Discussion….

Quelles équipes pédagogiques exposées à l’histoire de ce lien?

Les professeurs de physique, de biologie et de mathématiques n’ont pas en général de notions très claires sur l’existence, l’histoire et l’importance du lien mathématique musique dans notre culture.

C’est un sujet sur lequel on peut facilement construire des projets communs avec des professeurs de lettres ou d’histoire. Il y a de nombreuses traces de ces conceptions dans la littérature, dans la peinture etc.

De quelles manières ?

L’université d’été et le matériel qu’elle mettra en ligne sera un des moyens possibles

Proposer des formations continue sur ce thème

Intégrer ce thème dans les parties « histoire et épistémologie » des « master pro » qui se mettent progressivement en place

Réfléchir à des partenariats avec diverses institutions (IRCAM, centre de recherche RICARECAR, ENS, …) pour mettre en place ceschoses.

Quels objectifs ?

Pour les professeurs de sciences

La confrontation et la construction d’une partie de ces trois disciplines dans un environnement artistique stimulant peuvent être l’un des supports de formations visant à faciliter le travail interdisciplinaire par l’acquisition de notions épistémologiques permettant d’organiser de manière pertinente le dialogue entre les différentes disciplines

Pour les professeurs d’histoire et de lettres

L’intégration d’une nouvelle dimension d’interprétations des textes et de découverte de l’aspect culturel de la science

Un enrichissement des exemples et des perspectives possibles en histoire et le rôle de la science dans la construction des « visions du monde » propre à chaque époque.


Discussion….

Quels élèves

Etant donné les différents aspects de ce complexes de problèmes et les différents niveaux auxquels ils peuvent être abordés, il me semble que:

tous les nivaux d’enseignements peuvent être concernés,

des scénari très variés peuvent être élaborés

les objectifs sont aussi très ouverts

Développement :

Lecture de sources



Lecture de sources

Travail en groupe sur un texte de Boèce et sur un texte d’Helmhotz

Le texte de Boèce est un extrait du De institutione musicadans lequel est présentée la légende des marteaux de Pythagore. Il est accompagné d’un second extrait sur la division du ton.

Le texte d’Helmhotz est un extrait dans lequel est amenée la citation faite précédemment à propos de « l’oreille matérielle » qui décompose en série de Fourier.


Certains scénarios en destination d’élèves ont été rapidement évoqués suite à la lecture de ces textes:

Faire le tri du vrai et du faux dans l’expérience légendaire attribué à Pythagore

Reproduire le monocorde et sa division diatonique

Reproduire sur d’autres d’objets la gamme diatonique

Explorer la notion musicale de timbre en examinant les différences entre le « la » de deux instruments

Faire de la synthèse additive de son en utilisant les TICE

Reproduire certaines expériences sur la résonance par sympathie, par exemple autour d’une réflexion sur la forme particulière des diapasons.


Pistes bibliographiques

Sur la notion grecque de nombre et le fait que les sons peuvent êtreconsidérés comme des nombres: Pritchard, Plato Philosophy ofMathematics, IPS, Sankt Augustin, 1995

Sur les mathématiques et la musique à la fin du moyen âge et à larenaissance: Philippe Vendrix (éd.), Music and Mathematics: fromlate medieval to early modern Europe, Turnhout, Brepols, 2008

Sur la science musicale à l’âge classique A. Charrak, Musique etPhilosophie à l’âge classique, Paris, 1998

Sur la période moderne et contemporaine voir le site de l’IRCAM

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