Mathematik und Industrie - eine Beziehung zum gegenseitigen Nutzen Heinz W. Engl Institut für...

Mathematik und Industrie -eine Beziehung zum gegenseitigen Nutzen

Heinz W. Engl

Institut für IndustriemathematikJohannes Kepler Universität Linz

und

Johann Radon Institute for Computational and Applied

Mathematicsder Österreichischen Akademie der Wissenschaften

Innsbruck, Februar 2003

Institut für Industriemathematik

Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics

„Einteilung der Mathematik“

• Reine Mathematik • Angewandte Mathematik

* Applicable* Applied

• Industriemathematik: Mathematik, die durch Anwendungsprobleme aus der Industrie motiviert ist.

Unterschiede nur in der Motivation, nicht in der Methode (mathematische Strenge; Beweis!): Idealfall.

Anwendungsprobleme sind oft zu komplex dafür, diesen Anspruch

zu genügen:

Kompromiß: mathematische Strenge (z.B. Konvergenzbeweis)

zumindest für Modellprobleme.--> „wissenschaftliches Rechnen“ („Scientific Computing“)



Vorgehen bei Anwendungsproblemen

• Übersetzung in ein „mathematisches Modell“(viele mathematische Fragen, wie „welche Terme sind wichtig?“ => asymptotische Analysis; Kompromiss zwischen Einfachheit und Genauigkeit)

• Entwicklung effizienter Lösungsmethoden(analytisch / numerisch / symbolisch / ...)

• Effiziente Implementierung

• Rückinterpretation der Ergebnisse

Oft sind dazu mehrere Iterationen notwendig!



Historische Entwicklung der Mathematik

„Wellenbewegung“ zwischen Betonung von Theorie/Grundlagen - Anwendungsbezug.

~ 1960: „Bourbakismus“

Felix Klein: „Göttinger Vereinigung für angewandte Physik und Mathematik“:

• Pflege und Förderung der Mathematik in wissenschaftlicher, technischer und wirtschaftlicher Beziehung

• Wechselwirkung zwischen Wissenschaft und Technik

• Motivation: wissenschaftliche Anregungen, „Zusammenführung zwischen Geist und Industrie“



Vor 1. Weltkrieg: über 50 industrielle Mitglieder (z.B. Generaldirektoren von Krupp, Siemens, AEG)

Prandtl: „Klein versuchte, die große Kluft, die reine Wissenschaft von der werktätigken Welt trennte, zu überbrücken“.

Technomathematik/Industriemathematik: Versuch dieses Brückenschlags in Lehre und Forschung im Geiste Felix Kleins („Felix-Klein-Preis“ der EMS)



Mathematik als Querschnittswissenschaft

Unterschiedliche reale Probleme können auf eng verwandte mathematische Modelle führen und daher mit ähnlichen Methoden behandelt werden.

Beispiele:

• amerikanische Optionen - Schmelzen von Stahl• Wärmeleitung - Diffusion in porösen Medien• Gasdynamik - Halbleitermodelle - Modelle für den

Straßenverkehr • Reaktions-Diffusionsgleichungen - Ausbreitung von Epidemien



Was tun wir?

Grundlagenforschung auf dem Gebiet der inversen Probleme

Anwendungsorientierte Forschung: Anwendung moderner mathematischer Methoden auf Problemstellungen aus Industrie und Wirtschaft; Modellierung und numerische Simulation

Entwicklung von Individualsoftware

Consulting



Was sind inverse Probleme?

Probleme, bei denen aus

BEOBACHTETEN WIRKUNGEN oder aus

BEABSICHTIGTEN WIRKUNGEN die

URSACHEN (INPUTS oder SYSTEMPARAMETER)

berechnet werden sollen

Inverse Probleme Definition



Wo treten inverse Probleme auf?

• Differenzieren!

• Computertomographie: Welche Dichteverteilung im Patienten bewirkt die gemessene Verteilung der Absorption von Röntgenstrahlen? Ähnlich: zerstörungsfreie Materialprüfung, Impedanztomographie (Johann Radon).

• Inverse Wärmeleitungsprobleme: Wie ist die Sekundärkühlung einer Stranggußanlage einzustellen, sodaß ein beabsichtigter Erstarrungsverlauf des vergossenen Stahls erzielt wird?

• Inverse Streuprobleme: Wo liegen Armierungseisen in Beton, die die gemessene Streuung eines zeitlich veränderlichen Magnetfelds hervorrufen?

Inverse Probleme Beispiel 1



Weitere Beispiele

• Parameteridentifikation: Berechne die temperaturabhängige Wärmeleitfähigkeit von Sand für Gußformen aus Messungen des zeitlichen Temperaturverlaufs in einigen Thermoelementen

• Zerstörungsfreie Materialprüfung: Bestimme die Dicke der Hochofenausmauerung aus Temperaturmessungen in Thermoelementen an der Außenwand

• Inverse Probleme in der Optik: Welche Gestalt eines Freiformflächenreflektors liefert eine gewünschte Beleuchtungsstärkeverteilung auf der zu beleuchtenden Wand?

Inverse Probleme Beispiel 2



Hadamards Fragen (1923)

• Existiert für alle Daten eine Lösung?

• Falls es eine Lösung gibt, ist sie eindeutig?

• Hängt die Lösung stetig von den Daten ab?

Falls 3 x JA: Problem heißt „korrekt gestellt“: „korrekte Modellierung eines relevanten Problems“

Inverse Probleme sind typischerweise inkorrekt gestellt; erstes Auftauchen: Geophysik (Lagerstättensuche), Tikhonov

Inverse Probleme (In)korrekt gestellt



Ein inverses Wärmeleitungsproblem

Bestimme in einem seitlich isolierten Stab die Anfangs-temperatur, wenn die Endtemperatur gegeben ist:

u x t u (x,t) x t Txx t( , ) ( , ), ( , ) für 0 0

u t u t t Tx x( , ) ( , ) ( , )0 0 0 für

u x T g x( , ) ( ) ist gegeben

Gesucht:f x u x( ) ( , ) 0

Inverse Probleme Rückwärts-Wärmeleitung



Das direkte Problem

Berechne die Endtemperatur, wenn die Anfangstemperatur gegeben ist. Lösung:• Entwicklung in Cosinus-Fourier-Reihe

f x a nxnn

( ) cos( )

0

Die Temperaturverteilung ist dann gegeben als:

u x t a nx enn t

n( , ) cos( )

2

0

Anteile der Frequenz n werden mit exp(-n2t) gedämpft, Vorwärtsproblem glättet!




Das inverse Problem

Ist nun die Endtemperatur gegeben (und in Cosinus-Fourier-Reihe entwickelt):

g x b nxnn

( ) cos( ),

0

so ergibt sich für die Anfangstemperatur als

f x b nx enn T

n( ) cos( )

2

0

Anteile der Frequenz n werden mit exp(n2T) verstärkt!!!Hochfrequentes Rauschen in der Endtemperatur hat enorme Auswirkungen auf das Ergebnis.




Optimales Design: CAD vonFreiformflächenreflektoren

Aufgabenstellung- Konstruktion eines 3D-Freiformflächenreflektors mit beliebig

vorgebbarer Beleuchtungsstärkeverteilung- Einbindung in vorhandenes CAD-System

Anwendungsbeispiel- gleichmäßige Ausleuchtung eines langen Fluchtwegs mit einem

einzigen Reflektor



Optimales Reflektordesign



Gestaltoptimierung mechanischer Bauteile

Ziele:

• Reduktion des Gewichts von Bauteilen unter Einhaltung von Grenzen an die Maximalspannung

ODER

• Reduktion von Spannungsspitzen bei gleichem Gewicht

ODER

• Erreichen einer möglichst gleichmäßigen Spannungsverteilung zur Erhöhung der Lebensdauer

Optimierung Strukturoptimierung



Methodische Ähnlichkeiten zu inversen Problemen

• Effiziente Kombination von Optimierungsverfahren mit „direkten Lösern“ (z.B. FEM) nötig

• Zahlreiche Projekte in diesem Bereich, von Motorbauteilen bis zu Bäckereisilos




Ergebnisse: Dickenoptimierung - Kipphebel

Ausgangsdesign: Optimiertes Design:




Mechanische Auslegung von Füßen für Bäckereisilos

Partnerfirma: hb technik

Die mechanische Belastung in den Standfüßen von Mehlsilos (bis 30 t Fassungsvermögen) soll berechnet werden.

Von Mises Spannungsverteilung an der Silobasis



Bestimmung der Hochofenwandstärkeaus Temperaturmessungen

Problemstellung:• durch chemische und physikalische (Reibung)

Reaktionen wird im Laufe der Zeit die Hochofen-ausmauerung immer dünner

Aufgabenstellung:• bestimme die Dicke der Hochofenausmauerung

durch Temperaturmessungen an der Außenmauer

Lösung:• Parameteridentifikationsproblem• stabile Lösung nur mit Regularisierungsverfahren

möglich

Inverse Probleme Anwendungen



Hochofenausmauerung: Ergebnisse

Ohne Regularisierung: Mit Regularisierung:

Inverse Problems Anwendungen



Transiente TemperaturfeldberechnungErwärmung von Bremsen für Windkraftwerke

Aufgabenstellung - Bei Windkraftwerken ist in Störfällen ein Bremsung der

Schwungmassen notwendig. Gesucht ist der transiente Temperaturverlauf in der Bremse um Aussagen über den Verschleiß treffen zu können

Modellierung und Lösungsmethode- Wärmeleitungsgleichungen für Scheibe,Reibbelag und

Trägerplatte- stabile numerische Lösung durch voll implizites

Diskretisierungsverfahren



Temperaturverteilung in Bremsscheibe /Bremsbelag /Trägerplatte im Verlauf einer Notbremsung

Quelle : MathConsult GmbH



Transiente TemperaturfeldberechnungTemperaturverteilung in Fensterprofilen

Aufgabenstellung - Fensterrahmen werden mittels Extrusionstechnik hergestellt. Nach Verlassen der Form durchlaufen die Profile noch 4

Kalibratoren. Gesucht ist die Temperaturverteilung im Rahmen nach dem letzten Kalibrator.

Modellierung und Lösungsmethode- Berücksichtigung von Wärmeleitung und Wärmestrahlung- Finite Elemente Methode, voll implizit in der Zeit



Kalibator

Profil Berechnungsgitter

Fensterprofil + Kalibrator

Kühllöcher



Temperaturverteilung in Profil und Kalibrator nach 10 Sekunden



Temperaturverlauf im Fensterprofil

Anfangstemperatur200 °C

Quelle : MathConsult GmbH



Transiente Temperaturfeldberechnung in Elektromotoren

Aufgabenstellung - Prototyp einer

Temperaturfeldberechnung

Modellierung und Lösungsmethode- Wärmeleitung- Konstanter Wärmefluss aus den

Bohrungen - Abgabe von Wärme an die

Umgebung durch Strahlung - Finite Elemente Methode



Temperaturverteilung nach

0.1 s 2 s

10 s 28 sStationärerZustand erreicht

Max. Temperatur416 °C



Ziel:

Entwicklung eines kinetischen Hochofen-Simulationsmodells

Berechnet werden sollen:

• Strömung der Schüttung und des Windes, Druckverteilung

• Temperaturverteilung

• Chemische Zusammensetzung als Funktion des Ortes unter

Berücksichtigung der Reaktionskinetik

Numerische Simulation des Hochofenprozesses



Potentialströmung für den Feststoff

Wind: Strömung durch geschichtetes poröses Medium

Energiebilanz: Diffusion, Konvektion, Wärmequellen und -senken durch chemische Reaktionen

Reaktionskinetik für gut 30 Verbindungen

ergibt ein System von ca. 40 gekoppelten nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen

Mathematische Modellbildung



Modularer, objektorientierter Aufbau

Problemangepaßte Finite-Elemente in den einzelnen Modulen

Iterative Kopplung der einzelnen Module

Einbindung in größeres Automatisierungspaket

Numerische Realisierung



Modularer Aufbau



Ergebnisse

Druckverteilung (Einfärbung)

Gasströmung (Pfeile)



Ergebnisse: Kohlenstoffgehalt im Unterofen

oben: 2%, unten: 4.5 %



Numerische Simulation des COREX®®-Prozesses

• COREX®® = neue Technologie zur Produktion von Roheisen

• statt Koks wird Kohle verwendet (keine Kokerei notwendig; daher geringere Kosten), billigere Erze verwendbar, umweltfreundlicher

Prozeß aufgeteilt in zwei Reaktoren:

• Reduktionsschacht: Reduktion des Eisenerzes

• Einschmelzvergaser: Abschmelzen des im Schacht produzierten Eisenschwamms, Produktion des im Schacht verwendeten Reduktionsgases

Kompetenzzentrum Industriemathematik



COREX®®-Prozess - Komplexität

Modellierung und Berechnung • der Strömung des Erzes (spezielles Materialgesetz)

und des Reduktionsgases im Schacht, • der chemischen Reaktionen,• der Temperaturverteilung vom Erz und Gas, • der Ablagerung des im Gas befindlichen Staubes

3 dimensionales Modell

gekoppeltes System von ca. 35 nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen





1.20e-03

1.08e-03

9.60e-04

8.40e-04

7.20e-04

6.00e-04

4.80e-04

3.60e-04

2.40e-04

1.20e-04

1.73e-12

Geschwindigkeitsverteilung im Feststoff




Geschwindigkeitsverteilung Fe0-Anteil im Feststoff



Warmwalzen von Stahl

Problembeschreibung- Das Warmwalzen von Stahl führt zu großen plastischen

Umformungen und Spannungsunterschieden im Material

- Experimentelle Untersuchungen sehr kostenintensiv und im wesentlichen auf Oberflächenverformungen beschränkt

Komplexität- Große plastische Verformungen mit starren Zonen

- Auftreten eines neutralen Punktes im Walzspalt

- Kontaktproblem mit Reibung

- Vertikalverschiebung im Kontaktbereich Walze - Bramme für Walzenverformung von spezieller Bedeutung



Numerische Realisierung- Gemischt Euler-Lagrangesche Beschreibung der Geschwindig-

keit und der Vertikalverschiebung mit Druckkoppelung

- Erstellung eines auf dieser Beschreibung basierenden Finite-Elemente Programmpaketes zur Lösung des komplexen, nichtlinearen Problems

- Verwendung spezieller Löser für große, dünnbesetzte Matrizen

- Einsatz spezieller Techniken zur

• Lösung des Kontaktproblems,

• Berücksichtigung des neutralen Punktes und

• Handhabung der starren Zone.



Warmwalzen von Stahl - Ergebnisse

Geschwindigkeiten + Vertikalverschiebung Spannungsverteilungen



Finanzmathematik: Bewertung derivativer Finanzinstrumente

Beispiele von Finanzderivaten:

• Call-Option: Recht, zu gewissen Zeitpunkten eine zugrunde liegende Aktie zu einem festen Preis (strike price) zu kaufen

• Callable Bond: Anleihe mit vorzeitigem Kündigungsrecht des Emittenten

• Bausparkredit: für gewisse Zeit garantierter Zinssatz, danach Gleitklausel mit Ober-/Untergrenzen (Cap/Floor). Keine fixe Laufzeit, sondern fixe Rate. Vorzeitige Tilgungsmöglichkeit. Extrem kompliziert!

Was ist ein fairer Preis für eine solches Instrument?



Derivative Finanzinstrumente

Theorie: Black-Scholes-Merton 1973 (Nobelpreis 1997)

Für einfache Instrumente analytische Lösungen. Komplizierte Kontrakte müssen numerisch bewertet werden.

Entwicklung einer neuen numerischen Methode, die insbesondere bei komplexen Derivaten (etwa: japanische Wandelanleihen mit starker Pfadabhängigkeit) äußerst schnell und robust ist:

Paket UnRisk®®



Wert einer Up-and-Out Call Option auf eine Aktie mit diskreten Dividenden bei steigenden Zinsen

Wert der Option

Quelle: MathConsult GmbH

Call-Option auf Anleihe mit diskreten Kupons als Funktion des Zinsniveaus und der Restlaufzeit der Option bei steigender Volatilität

Aktienkurs

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