Mathematik 1 - Startseite TU Ilmenau · Wichtige Hinweise: Bei diesem Skript handelt es sich um...

Mathematik 1Vorlesung von

Prof. Dr. Carsten Trunkim Wintersemester 2011/2012 an der TU Ilmenau

Mitschrift: Michael Pfeiffer

Letzte Korrektur: 8.11.2012

Wichtige Hinweise:

Bei diesem Skript handelt es sich um eine studentische Mitschrift. Daher gilt es Folgendeszu beachten:

1. Dieses Skript ist nicht fehlerfrei! Das Skript wurde nicht korrekturgelesen, dahersind Fehler bei den Satzen und Definitionen moglich und sogar wahrscheinlich (vonTippfehlern ganz zu schweigen). Besonders an diesen

”kritischen“ Stellen ist daher

immer eine andere Quelle zu Rate zu ziehen.

2. Dieses Skript ist nicht vollstandig! Es fehlen unter anderem einige Beispiele undBeweise. Zudem finden sich keinerlei Erlauterungen, es wurde nur versucht, die Tafel-anschrift so gut wie moglich wiederzugeben. Lediglich die Satze und Definitionen sindwahrscheinlich alle vorhanden.

3. Die Gliederung war nicht Teil der Vorlesung! Sie wurde ohne weiteres mathema-tisches Sachverstandnis erstellt, und dient nur dazu, die Satze und Definitionen uberdas Inhaltsverzeichnis leichter auffindbar zu machen. Sie stellt jedoch keine offizielleEinteilung des Vorlesungsstoffes dar. Dasselbe gilt fur die meisten

”Uberschriften“ der

Satze und Definitionen.

Hinweise und Fehlerkorrekturen bitte an:Michael Pfeiffer <[email protected]>

Erstellt mit LATEX.

mailto:[email protected]

Inhaltsverzeichnis

I. Lineare Algebra 6

1. Lineare Gleichungssysteme 71.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Das Gaußverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Matrixschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Das Gaußverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3. Der Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.4. Losbarkeit von linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Matrizen 172.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1. Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.2. Skalarmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.3. Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.4. Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.5. Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Losungsstrukturen linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Inverse Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5. Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.1. 2x2-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.2. 3x3-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.3. nxn-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Komplexe Zahlen 303.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.2. Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.3. Gaußsche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.4. Betrag und konjugiert komplexe Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.5. Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.1. Karthesische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Letzte Korrektur: 8.11.2012 3 Wichtig: Studentische Mitschrift

Bitte Hinweis auf Seite 2 beachten!

3.2.2. Trigonometrische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.3. Polardarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.4. Polynome mit komplexen Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Vektorraume 404.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.2. Linearkombination und Span . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2. Unterraume und Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.1. Unterraum und Lineare Unabhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.2. Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3. Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.1. Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.2. Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.3. Matrixdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4. Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4.1. Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4.2. Eigenraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5. Skalarprodukt 525.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2. Norm, Winkel und Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.1. Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2.2. Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2.3. Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3. Abstand eines Vektors zu einem Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3.1. Orthonormalbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3.2. Orthogonale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3.3. Projektion auf Unterraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4. Spezielle Klassen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4.1. Symmetrische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4.2. Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

II. Analysis 58

6. Folgen 596.1. Zahlen und Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.1.1. Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.1.2. Notation von Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2. Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2.2. Konvergenz und Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60



6.2.3. Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7. Differentiation 647.1. Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.1.1. Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.1.2. Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.2. Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.2.1. Infinimum und Supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.2.2. Minima und Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.3. Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.3.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.3.2. Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.3.3. Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.3.4. Injektivitat und Surjektivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.3.5. Die Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.4. Konsequenzen aus der Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.4.1. Globale Minima und Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.4.2. Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.4.3. Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.4.4. Regel von L’ Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.5. Taylorapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.5.1. Die Taylorformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.5.2. Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.5.3. Umkehrung der Exponentialfunktion: Der Logarithmus . . . . . . . . 75

8. Integration 768.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.1.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.1.2. Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.1.3. Satze uber die Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.2. Integrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.2.1. Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.2.2. Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.2.3. Integration komplexwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 808.2.4. Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.3. Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.4. Fourier-Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84



Teil I.

Lineare Algebra



1. Lineare Gleichungssysteme

1.1. Grundlagen

1.1.1. Definition

Definition 1: Lineares Gleichungssystem

Es seien n,m naturliche Zahlen:

n,m ∈ N = {1, 2, 3, . . .}

b1, b2, . . . bma11, a12, . . . a1na21, a22, . . . a2na31, a32, . . . a3n

......

...am1, am2, . . . amn

seien reelle Zahlen (∈ R) und

x1, x2, . . . xn

seien die Unbekannten.

Dann heißt

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2

......

......

...am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm

lineares Gleichungssystem mit n unbekannten und m Gleichungen.

Ein Tupel von Zahlen tL1 , tL2 , . . . t

Ln , geschrieben als tL1

...tLn



heißt Losung des linearen Gleichungssystems, falls gilt:

a11tL1 + . . . + a1nt

Ln = b1

......

...am1t

L1 + . . . + amnt

Ln = bm

Alle Losungen des linearen Gleichungssystems werden in der Losungsmenge L zusammenge-fasst:

L =

tL1

...tLn

. . .

Das lineare Gleichungssystem heißt losbar, falls L 6= ∅. Es heißt unlosbar, falls L = ∅. Esheißt, eindeutig losbar, falls L nur aus einem Element besteht.

Beispiel:

I: x1 + x2 = 1II: 3x1 + 3x2 = 3 3I− II

x1 + x2 = 10 + 0 = 0

0 · x2 = 0⇒ x2 = t t ∈ R

x1 + t = 1

x1 = t− 1

L =

{ (x1x2

)x1 = 1− tx2 = t, t ∈ R

}=

{ (1− tt

)t ∈ R

}Das Gleichungssystem ist losbar, aber nicht eindeutig losbar.

1.2. Das Gaußverfahren

1.2.1. Matrixschreibweise

1. Beispiel

x1 + 2x2 + x3 = 02x1 + 4x2 + 0 = 14x1 + x2 + 2x3 = −1



Es genugt, die Koeffizienten und die rechte Seite zu betrachten: 1 2 1 02 4 0 14 1 2 −1

2I− II4I− III

1 2 1 00 0 2 −10 7 2 1

⇒ 1 2 1 0

0 7 2 10 0 2 −1

Wieder als Gleichungen schreiben und

”von unten nach oben“ auflosen:

x1 + 2x2 + x3 = 0 ⇒ x1 + 27 −

12 = 0⇒ x1 = − 1

147x2 + 2x3 = 1 ⇒ 7x2 − 1 = 1⇒ x2 = 2

72x3 = −1 ⇒ x3 = −1

2

Ein rechteckiges Zahlenschema A bestehend aus den Zahlen aij ∈ R mit 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤j ≤ m der Form

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

...am1 am2 . . . amn

nennen wir m×n-Matrix oder Matrix mit m Zeilen und n Spalten. (amn → Zeilen zuerst!)

2. Beispiel

x1 + 2x2 + x3 + x4 + x5 + 2x6 = 1x1 + 2x2 + x3 + x4 + 2x5 + x6 = 10 + 0 + 0 + 0 + x5 + 0 = 20 + 0 + 0 + 0 − x5 + x6 = 1

1 2 1 1 1 2 11 2 1 1 2 1 10 0 0 0 1 0 20 0 0 0 −1 1 0

I− II

1 2 1 1 1 2 10 0 0 0 −1 1 00 0 0 0 1 0 20 0 0 0 −1 1 0

II + IIIII + IV



1 2 1 1 1 2 10 0 0 0 −1 1 00 0 0 0 1 1 20 0 0 0 0 0 0

x1 + 2x2 + x3 + x4 + x5 + 2x6 = 1 ⇒ x1 + 2x2 + x3 + x4 = −5− x5 + x6 = 0 ⇒ x5 = 2

x6 = 2

x1 = t x2 = r x3 = s

⇒ x4 = −5− x1 − 2x2 − x3⇒ x4 = −5− t− 2r − s

L =

trs

−5− t− 2r − s22

t ∈ Rs ∈ Rr ∈ R

1.2.2. Das Gaußverfahren

Gegeben:

(A|b) in der Form

∗ · · · ∗ ∗......

...∗ · · · ∗ ∗

mit A 6=

0 · · · 0...

...0 · · · 0

∗ := ein Eintrag (bel.) • := ein Eintrag 6= 0

1. Schritt

Zeilen tauschen bis

• · · · ∗ · · · ∗ ∗......

...∗ · · · ∗ · · · ∗ ∗



2. Schritt

Mittels Addition von Vielfachen von Zeilen erzeuge unter dem Element 1. Zeile, 1. SpalteNullen:

• ∗ · · · ∗ ∗0 ∗ · · · ∗ ∗0 ∗ · · · ∗ ∗...

......

...0 ∗ · · · ∗ ∗

3. Schritt

Entweder: Zeilen tauschen, bis der Eintrag in der 2. Zeile, 2. Spalte 6= 0 ist, darunter wiederNullen erzeugen (siehe 2. Schritt):

• ∗ ∗ · · · ∗ ∗0 • ∗ · · · ∗ ∗0 0 ∗ · · · ∗ ∗...

......

......

0 0 ∗ · · · ∗ ∗

Oder: Man kann durch Zeilentauschen keinen Eintrag in der 2. Zeile, 2. Spalte 6= 0 erzeugen,aber in der 3. Spalte (darunter wieder Nullen erzeugen).

• ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ∗0 0 • ∗ · · · ∗ ∗0 0 0 ∗ · · · ∗ ∗...

......

......

...0 0 0 ∗ · · · ∗ ∗

Oder: Man kann durch Zeilentauschen keinen Eintrag in der 2. Zeile, 2. Spalte 6= 0 erzeugenund auch nicht in der 3. Spalte, aber in der 4. (darunter wieder Nullen erzeugen).

• ∗ ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ∗0 0 0 • ∗ · · · ∗ ∗0 0 0 0 ∗ · · · ∗ ∗...

......

......

......

0 0 0 0 ∗ · · · ∗ ∗



Nach 3. Schritt

• ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗0 0 · · · • ∗ · · · ∗ ∗0 0 · · · 0 ∗ · · · ∗ ∗...

......

......

...0 0 · · · 0 ∗ · · · ∗ ∗

4. Schritt

Analog fur alle weiteren Zeilen anwenden.

Nach 4. Schritt

• ∗ · · · ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗0 0 · · · 0 • ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 • · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗...

......

......

.... . .

...• ∗ · · · ∗0 0 · · · 0

......

......

......

......

......

...0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 · · · 0 0 · · · 0 ∗

Definition 2: Zeilenstufenform

Eine Matrix A in dieser Gestalt heißt in Zeilenstufenform.

Bemerkung: Nach dem Gaußverfahren ist die Matrix A in Zeilenstufenform, aber die erwei-terte Matrix (A|b) nicht unbedingt.

1. Beispiel

(aus 1.2.1) 1 2 1 00 7 2 10 0 2 −1

A und (A|b) sind in Zeilenstufenform. Eindeutige Losbarkeit (In 1.2.1 ermittelt):

L =

− 1

1427−1

2



2. Beispiel

(aus 1.2.1) 1 2 1 1 1 2 10 0 0 0 −1 1 00 0 0 0 1 1 20 0 0 0 0 0 0

A und (A|b) sind in Zeilenstufenform. Nicht-eindeutige Losbarkeit (In 1.2.1 ermittelt):

L =

trs

−5− t− 2r − s22

t ∈ Rs ∈ Rr ∈ R

3. Beispiel

x1 + x2 + x3 = 1x2 + 2x3 = 0x2 + 2x3 = 1

1 1 1 10 1 2 00 1 2 1

II− III

1 1 1 10 1 2 00 0 0 −1

⇒ 0x1 + 0x2 + 0x3 = −1

A und (A|b) sind in Zeilenstufenform. Nicht losbar.

4. Beispiel

x1 + x2 + x3 = 12x1 + x2 + x3 = 1x1 − x2 − x3 = 0

x2 + x3 = 0



1 1 1 12 1 1 11 −1 −1 00 1 1 0

2I− III− II

1 1 1 10 1 1 10 2 2 10 1 1 0

2II− IIIII− IV

1 1 1 10 1 1 10 0 0 10 0 0 1

III− IV

⇒ 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1

Nicht losbar. A ist in Zeilenstufenform, (A|b) jedoch nicht. Es ist ein weiterer Schritt not-wendig:

1 1 1 10 1 1 10 0 0 10 0 0 0

Nun ist auch (A|b) in Zeilenstufenform.

1.2.3. Der Rang einer Matrix

Definition 3: Rang einer Matrix

Ist eine Matrix A in Zeilenstufenform gegeben, so definieren wir

rangA :=”Anzahl der Stufen“

Liegt sie nicht in Zeilenstufenform vor, so formen wir sie wie im Gaußverfahren um.

1. Beispiel:

rangA = 3 rang(A|b) = 3



2. Beispiel:


3. Beispiel:


4. Beispiel:


Satz 4: Zusammenhang zwischen dem Rang einer Matrix und dem Rang dererweiterten Matrix

rang(A|b) ist entweder gleich rangA oder gleich (rangA) + 1, dh. es gilt:

rangA ≤ rang(A|b) ≤ (rangA) + 1

1.2.4. Losbarkeit von linearen Gleichungssystemen

Satz 5: Losbarkeit von linearen Gleichungssystemen

Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

......

......

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

Das lineare Gleichungssystem ist genau dann losbar, wenn gilt:

rangA = rang(A|b)

In diesem Fall liefert das Gaußverfahren

• ∗ · · · ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗0 0 · · · 0 • ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 • · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗...

......

......

.... . .

...• ∗ · · · ∗ ∗0 0 · · · 0 0

......

......

......

......

......

...0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 · · · 0 0 · · · 0 0



∗ := ein Eintrag (bel.) • := ein Eintrag 6= 0

mit rangA vielen Zeilen ungleich Null und m− rangA vielen Zeilen gleich Null.

• Ist in diesem Fall rangA = n, dann ist das Gleichungssystem eindeutig losbar.

• Ist in diesem Fall rangA < n, dann ist das Gleichungssystem losbar, aber nicht eindeutiglosbar (es gibt n− rangA Freiheitsgrade).

Ist das Gleichungssystem nicht losbar, also rangA < rang(A|b) (in diesem Fall giltrang(A|b) = (rangA) + 1) dann liefert das Gaußverfahren:

• ∗ · · · ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗0 0 · · · 0 • ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 • · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗...

......

......

.... . .

...• ∗ · · · ∗ ∗0 0 · · · 0 •

......

......

......

......

......

...0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 · · · 0 0 · · · 0 0

rangA rang(A|b) losbar eindeutig losbar

1 1 10 1 10 0 10 0 1

2 3 nein

1 1 10 1 00 0 00 0 0

2 2 ja ja

1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1

3 4 nein



2. Matrizen

2.1. Definition

Definition 6: Matrix

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

...am1 am2 · · · amn

ist eine Matrix.aij ∈ R1 ≤ i ≤ m Zeilen1 ≤ j ≤ n Spalten

.

A ist eine m× n-Matrix (auch A ∈ Rm×n oder A ∈ R(m,n)).

Beispiel:

~b =

b1...bm

ist eine m× 1- Matrix (Vektor).

2.2. Rechnen mit Matrizen

A, B seien m× n-Matrizen, α ∈ R.

A =

a11 · · · a1n...

...am1 · · · amn

B =

b11 · · · b1n...

...bm1 · · · bmn

2.2.1. Addition

A+B =

a11 + b11 · · · a1n + b1n...

...am1 + bm1 · · · amn + bmn



2.2.2. Skalarmultiplikation

α ·A =

α · a11 · · · α · a1n...

...α · am1 · · · α · amn

2.2.3. Transposition

AT ist die transponierte Matrix von A. Bei der Transposition wird die erste Zeile zur erstenSpalte, die zweite Zeile zur zweiten Spalte und so weiter.

AT =

a11 a21 · · · am1...

......

a1n a2n · · · amn

bT =(b1 · · · bm

)

AT ist eine n×m-Matrix, bT eine 1×m-Matrix.

2.2.4. Matrixmultiplikation

Definition 7: Matrixmulitplikation

A sei eine m× n-Matrix, B sei eine n× p-Matrix, wobei m,n, p ∈ N\{0}.

A ·B =

a11 · · · a1n...

...am1 · · · amn

· b11 · · · b1p

......

bn1 · · · bnp

:=

=

a11·b11+a12·b21+...+a1n·bn1 ··· a11·b1p+a12·b2p+...+a1n·bnpa21·b11+a22·b21+...+a2n·bn1 ··· a21·b1p+a22·b2p+...+a2n·bnp

......

am1·b11+am2·b21+...+amn·bn1 ··· am1·b1p+am2·b2p+...+amn·bnp

A×B ist eine m× p-Matrix.

Beispiel:

(1 22 1

)·(

3 11 1

)=

(1 · 3 + 2 · 1 1 · 1 + 2 · 12 · 3 + 1 · 1 2 · 1 + 1 · 1

)=

(5 37 3

)



Notation in Summenschreibweise:

a1, a2, a3, . . . an n ∈ N

a1 + a2 + a3 + . . .+ an =:n∑j=1

aj

A ·B =

∑nj=1 a1j · bj1 . . .

∑nj=1 a1j · bjp∑n

j=1 a2j · bj1 . . .∑nj=1 a2j · bjp

......∑n

j=1 amj · bj1 . . .∑nj=1 amj · bjp

2.2.5. Rechenregeln

Satz 8: Rechengesetze bei Matrizen

Es seien α, β ∈ RA,B,C m× n-MatrizenV l ×m-MatrixX m× n-MatrixY n× p-MatrixZ p× r-Matrix

Dann gilt:

1. A+B = B +A (Kommutativitat).

2. (A+B) + C = A+ (B + C) und X · (Y · Z) = (X · Y ) · Z (Assoziativitat).

3. (A+B) · Y = A · Y +B · Y und V · (A+B) = V ·A+ V ·B (Distributivitat).

4. (α + β) · A = α · A + β · A und α · (A + B) = α · A + α · B (Distributivitat) sowie(α · β) ·A = α · (β ·A) (Assoziativitat) und 1 ·A = A.

5. (A+B)T = AT +BT und (A ·B)T = BT ·AT sowie (α ·A)T = α ·AT .

Beweis:

1.

A+B =

a11 + · · · + a1n...

...am1 + · · · + amn

+

b11 + · · · + b1n...

...bm1 + · · · + bmn

=



=

a11 + b11 · · · a1n + b1n...

...am1 + bm1 · · · amn + bmn

=

b11 + a11 · · · b1n + a1n...

...bm1 + am1 · · · bmn + amn

=

=

b11 + · · · + b1n...

...bm1 + · · · + bmn

+

a11 + · · · + a1n...

...am1 + · · · + amn

= B +A

2

Frage: Gilt A ·B = B ·A?

Nein, denn zum Beispiel:

A ·B =

(1 23 2

)·(

0 11 0

)=

(0 + 2 1 + 00 + 2 3 + 0

)=

(2 12 3

)

B ·A =

(0 11 0

)·(

1 23 2

)=

(0 + 3 0 + 21 + 0 2 + 0

)=

(3 21 2

)

Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ!

2.3. Losungsstrukturen linearer Gleichungssysteme

Notation: Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem A~x = ~b mit A m × n-Matrix. Das

lineare Gleichungssystem A~x = ~0 =

0...0

= 0 heißt homogen. Ist ~b 6= ~0, so heißt A~x = ~b

inhomogenes Gleichungssystem.

Satz 9: Linearkombinationen

Es seien ~x0 und ~x1 Losungen des homogenen Gleichungssystems A~x = ~0. Dann ist furbeliebige α, β ∈ R α ~x0 + β ~x1 eine Losung des Gleichungssystems.

Notation: α ~x0 + β ~x1 heißt Linearkombination.

Beweis:

Es gilt A~x0 = 0 und A~x1 = 0 (nach Voraussetzung), daher gilt auch (mit Satz 8):

A(α ~x0 + β ~x1) = αA~x0 + βA ~x1 = α0 + β0 = 0

2



Satz 10: Superposition

Es sei ~x0 eine Losung von A~x = ~b0 und ~x1 sei eine Losung von A~x = ~b1. Dann ist ~x0 + ~x1Losung von A~x = ~b0 + ~b1.

Beweis:

Es gilt A~x0 = ~b0 und A~x1 = ~b1, daher gilt auch:

A( ~x0 + ~x1) = A~x0 +A~x1 = ~b0 + ~b1

2

Hauptsatz 11: Losungsstruktur linearer Gleichungssysteme

Es seien A m× n-Matrix und ~b m× 1-Matrix, betrachte

(hom) A~x = 0 mit Losungsmenge LH ={

~xH n× 1-Matrizen A ~xH = 0}

(inhom) A~x = ~b mit Losungsmenge L

Dann gilt: Wahle eine Losung ~xp von (inhom) (”Partikularlosung“, A~xp = ~b), so gilt

L ={~xp + ~xH xH ∈ LH

}

Beweis:

1. ~xp + ~xH ist eine Losung von (inhom), denn

A( ~xp + ~xH) = A~xp +A ~xH = A~xp + 0 = ~b+ 0 = ~b

⇒ A( ~xp + ~xH) = ~b⇒ ~xp + ~xH ist Losung von (inhom)

⇒ ~xp + ~xH ∈ L, das heißt{~xp + ~xH ~xH ∈ LH

}⊂ L

Bemerkung: A,B seien Mengen. Gilt fur jedes a ∈ A auch a ∈ B, dann schreibenwir A ⊂ B (

”enthalt“, Teilmenge).

2. Sei ~x0 Losung von (inhom). Ziel: Bestimme ~xp, ~xH so, dass gilt: ~x0 = ~xp + ~xH .Betrachte:

~x0 − ~xp ∈ LH (wegen Superposition)

denn

A( ~x0 − ~xp) = A~x0 −A~xp = ~b−~b = 0

und mit ~x0 := ~xp + ~xH (siehe Vorausetzung) gilt

~x0 = ~xp + ~x0 − ~xp = ~xp + ~xH mit ~xH ∈ LH

2



2.4. Inverse Matrizen

Wir betrachten nur n× n-Matrizen.

7 · 1

7= 7 · 7−1 = 1

7−1 ist das inverse Element bezuglich der Multiplikation mit 7.

Frage: Wann existiert eine Matrix A−1 mit A−1 ·A = 1?

Definition: Die n× n-Matrix I (oder In) mit

I =

1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 0 · · · 1

heißt Einheitsmatrix.

Bemerkung: Es gilt I ·A = A = A · I. Beispiel:(1 00 1

)·(

2 11 5

)=

(2 11 5

)

Definition 12: Invertierbarkeit einer Matrix

Eine n× n-Matrix heißt invertierbar, falls eine n× n-Matrix A−1 existiert.

Beispiel:

1. A =

(1 10 2

)ist invertierbar, denn

(1 −1

20 1

2

)ist die inverse Matrix, da

(1 10 2

)·(

1 −12

0 12

)= I

2. A =

(1 00 0

)hat keine Inverse. Annahme: Es existiert eine Inverse A−1 =(

x1 y1x2 y2

)mit

A−1 ·A =

(x1 y1x2 y2

)·(

1 00 0

)=

(1 00 1

)⇒Widerspruch

Also ist A =

(1 00 0

)nicht invertierbar.



Satz 13: Kommutativgesetz bei Inversen

Es sei A eine n×n-Matrix. A sei invertierbar (d. h. es existiert A−1 mit A−1 ·A = I), danngilt auch A ·A−1 = I.

Beachte: Wir invertieren nur n× n-Matrizen.

Berechnung der Inversen:

(A|I) ; (I|A−1) (uber Gaußverfahren)

Beispiel:

A =

1 0 −1−8 4 1−2 1 0

Invertiere A

1 0 −1 1 0 0−8 4 1 0 1 0−2 1 0 0 0 1

8 · I + II2 · I + III

1 0 −1 1 0 00 4 −7 8 1 00 1 −2 2 0 1

II + 4 · III

1 0 −1 1 0 00 4 −7 8 1 00 0 1 0 1 −4

I + IIIII + 7 · III

1 0 0 1 1 −40 4 0 8 8 −280 0 1 0 1 −4

: 4

1 0 0 1 1 −40 1 0 2 2 −70 0 1 0 1 −4

Probe: (nicht zwingend notwendig) 1 0 −1

−8 4 1−2 1 0

· 1 1 −4

2 2 −70 1 −4

=

1 0 00 1 00 0 1



Satz 14: Zeilenstufenform und Invertierbarkeit einer Matrix

Wenn A invertierbar ist, dann darf in der Zeilenstufenform keine Nullzeile stehen, da in derIdentitat sicher ein Eintrag 6= 0 in der letzten Zeile steht. Da A n × n-Matrix ist, hat siesomit rangA = n, also gilt:

Eine n× n-Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn rangA = n ist.

2.5. Determinanten

2.5.1. 2x2-Matrizen

Definition 15: Determinante einer 2x2-Matrix

A sei eine 2× 2-Matrix, A =

(a11 a12a21 a22

).

detA :=a11 a12a21 a22

:= a11 · a22 − a12 · a21

Beispiel:

2 13 4

= 2 · 4− 1 · 3 = 5

Regel 1:

detA = detAT

Beweis:

detAT =a11 a21a12 a22

= a11 · a22 − a21 · a12 = detA

Regel 2:

Vertauscht man zwei Zeilen (Spalten), so wechselt die Determinante das Vorzeichen.

Beweis:

a21 a22a11 a12

= a21 · a12 − a22 · a11 = −detA



Regel 3:

Multipliziert man eine Zeile (Spalte) mit λ ∈ R, so multipliziert sich auch die Determinantemit λ.

Beweis:

a11 a12λa21 λa22

= a11 · λa22 − a12 · λa21 = λ detA

Regel 4:

Besitzen die Elemente einer Zeile (Spalte) den gemeinsamen Faktor λ ∈ R, so darf man ihnvor die Determinante ziehen. Beweis siehe Regel 3.

Regel 5:

1. Alle Elemente einer Zeile (Spalte) sind Null.

2. Zwei Zeilen (Spalten) stimmen uberein.

3. Eine Zeile (Spalte) ist die Vielfache einer anderen.

Gilt 1. oder 2. oder 3., dann ist detA = 0.

Beweis:

1.

0 a120 λa22

= 0

2.

a11 a12a11 a12

= a11 · a12 − a12 · a11 = 0

3.

a11 a12λa11 λa12

= a11 · λa12 − a11 · λa12 = 0



Regel 6:

Der Wert der Determinanten andert sich nicht, wenn man von einer Zeile oder Spalte einVielfaches einer anderen addiert.

Beweis:

a11 + λa21 a12 + λa22a21 a22

= (a11 + λa21)a22 − (a12 + λa22)a21 =

= a11a22 + λa21a22 − a12a21 − λa22a21 = a11a22 − a12a21 = detA

Regel 7:

det(AB) = detA · detB

Regel 8:

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist die Multiplikation der Diagonaleintragen.

Beweis:

a11 a120 a22

= a11 · a22 − a12 · 0 = a11 · a22

Satz 16: Determinante und Invertierbarkeit

Unter dem Gaußverfahren andert sich der Wert der Determinante nicht. Es gilt:

A ist invertierbar (=) detA 6= 0

Beweis:

Die erste Behauptung folgt aus Regel 6. Ist nach dem Gaußverfahren eine Nullzeile vorhanden(in der Zeilenstufenform), so gilt rangA < 2, also ist A nicht invertierbar (Satz 14 furn = 2) und mit Regel 5 gilt detA = 0. Ist nach dem Gaußverfahren keine Nullzeile in derZeilenstufenform vorhanden, so ist rangA = 2, also ist A invertierbar und mit Regel 8 giltdetA 6= 0.



2.5.2. 3x3-Matrizen

Definition 17: Determinante einer 3× 3-Matrix

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

Regel von Sarrus (gilt nur fur 3× 3-Matrizen!):

+ + +

a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32− − −

Beispiel:

1 −2 7 1 −20 3 2 0 35 −1 4 5 −1

= 12− 20− 105 + 2 = −111

Satz 18: Rechenregeln fur Determinanten von 3x3-Matrizen

Fur die Determinanten von 3×3-Matrizen gelten die Regeln 1-8 wie bei den 2×2-Matrizen.

2.5.3. nxn-Matrizen

Definition 19: Algebraisches Komplement

A sei eine n × n-Matrix. Dik bezeichne die Determinante, die aus A durch Streichen deri-ten Zeile und k-ten Spalte entsteht. Setze:

Aik := (−1)i+kDik (”algebraisches Komplement“)

Beispiel:

1 4 65 −2 30 1 7



D11 =−2 31 7

= −14− 3 = −17

A11 = (−1)1+1 · (−17) = 1 · (−17) = −17

D23 =1 40 1

= 1

A23 = (−1)5 · 1 = −1

Definition 20: Laplace-Determinantenentwicklungssatz

A sei eine n× n-Matrix. Dann gilt:

detA = a11A11 + a12A12 + . . .+ a1nA1n (”Entwicklung nach der ersten Zeile“)

beziehungsweise

detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . .+ ainAin (”Entwicklung nach der i-ten Zeile“)

oder

detA = a1kA1k + a2kA2k + . . .+ ankAnk (”Entwicklung nach der k-ten Spalte“)

Bemerkung:”Entwickle nach der Zeile oder Spalte mit den meisten Nullen!“

Rechenregeln fur Determinanten

A sei n× n-Matrix.

1. detA = detAT

2. Vertauscht man eine Zeile bzw. Spalte, so wechselt die Determinante das Vorzeichen.

3. Multipliziert man eine Zeile bzw. Spalte mit λ, so multipliziert sich die Determinanteebenfalls mit λ.

4. Gemeinsame Faktoren einer Zeile bzw. Spalte durfen vor die Determinante gezogenwerden.

5. detA = 0 falls gilt:

a) A hat eine Nullzeile/Nullspalte.

b) Zwei Zeilen/Spalten stimmen uberein.

c) Eine Zeile/Spalte ist das Vielfache einer anderen.

6. Die Determinanten andert sich nicht, wenn man zu einer Zeile/Spalte das Vielfacheeiner anderen addiert. Ist sie ungleich Null, so ist sie auch nach dem Gaußverfahrenungleich Null.



7. detAB = detA · detB

8. Ist A eine Dreiecksmatrix, so ist detA = a11 · a22 · . . . · ann.

Satz: A ist invertierbar ⇔ detA 6= 0.



3. Komplexe Zahlen

3.1. Grundlagen

3.1.1. Definition

Die komplexen Zahlen werden unter anderem bei der Berechnung von Eigenwerten und denNullstellen von Polynomen, bei Differentialgleichungen und in der Elektrotechnik verwen-det.

Herleitung: Es gibt kein x ∈ R fur das gilt

x2 + 1 = 0

x2 = −1

Daher setze i :=√−1, dann gilt

i2 = −1

Beispiel:

x2 − 4x+ 13 = 0

pq-Formel:

x12 = −p2±

√(p

2

)2

− q

Also gilt:

p = −4 q = 13 ⇒ x12 = 2±√

4− 13 = 2± 3√−1 = 2± 3i

Definition: Die Menge der komplexen Zahlen C ist durch folgende Menge gegeben:

C :={x+ iy x, y ∈ R

}



3.1.2. Addition

Es seien z1, z2 ∈ C, das heißt z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 mit x1, x2, y1, y2 ∈ R, danngilt:

z1 + z2 := (x1 + x2) + i(y1 + y2)

3.1.3. Gaußsche Zahlenebene

C wird anschaulich dargestellt als R2 = R2×1.

z1 = x1 + iy1 ↔(x1y1

)

z2 = x2 + iy2 ↔(x2y2

)

-

6

x

y

��

x1

y1

Notation:

Rez1 := x1 Imz1 := y1

”Realteil von z1“

”Imaginarteil von z1“

(x1y1

)=

(Rez1Imz1

)

Wo sind i und R?

i = 0 + 1 · iSei x ∈ R ; z = x+ 0 · i



-

6

i

��

R

Die Addition in der Zahlenebene:

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

Re(z1 + z2) = x1 + x2Im(z1 + z2) = y1 + y2

↔(x1 + x2y1 + y2

)

-

6

x

y

��

x1

y1z1

��

��*

x2

y2z2

��

��*

��

3.1.4. Betrag und konjugiert komplexe Zahl

Definition: Sei z ∈ C, z = x+ iy x, y ∈ R. Dann definiere

|z| :=√x2 + y2 =

√(Rez)2 + (Imz)2

und definiere die zu z konjugiert komplexe Zahl

z := x− iy



-

6

��

x

y

z

@@@@@R−y

z

Fur z ∈ C gilt

Rez = 12(z + z)

Imz = 12i(z − z)

Beweis:

12(z + z) = 1

2(x+ iy + x− iy) = 122x = x = Rez

12i(z − z) = 1

2i(x+ iy − (x− iy)) = 12i2iy = y = Imz

3.1.5. Multiplikation

Definition 21: Multiplikation von komplexen Zahlen

Es seien z1, z2 ∈ C mit z1 = x1+ iy1, z2 = x2+ iy2 und x1, x2, y1, y2 ∈ R. Dann definiere:

z1 · z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2 =

z1 · z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2)

Beispiele:

1. (1 + 2i)(3 + i) = 3 + i+ 6i+ 2i · i = 3 + 7i− 2 = 1 + 7i

2. (1 + 2i)(1 + 2i) = (1 + 2i)(1 − 2i) = 1 − 4i2 = 1 + 4 = 5 ( = 1 + 22 = |1 + 2i|2)(Verwendung der 3. binomischen Formel)

3. a) (1 + 2i) · (2 + 3i) = (1− 2i)(2− 3i) = 2− 3i− 4i+ 6i2 = −4− 7i

b) (1 + 2i)(2 + 3i) = 2 + 3i+ 4i− 6 = −4 + 7i = −4− 7i

4. a) |1 + 2i| · |1 + 3i| =√

5 ·√

10 =√

50

b) |(1 + 2i) · (1 + 3i)| = |1 + 3i+ 2i+ 6i2| = | − 5 + 5i|



Satz 22: Rechenregeln fur die Multiplikation

Seien z1, z2 ∈ C, so gilt

1. z1 · z1 = |z1|2

2. z1 · z2 = z1 · z2

3. |z1| · |z2| = |z1 · z2|

Satz 23: Rechengesetze fur komplexe Zahlen

Seien z1, z2, z3 ∈ C, dann gilt

1. Die Addition ist kommutativ (d.h. z1+z2 = z2+z1) und assoziativ (d.h. (z1+z2)+z3 =z1 + (z2 + z3)).

2. Es existiert ein neutrales (z1 + 0 = z1) und inverses (z1 + (−z1) = 0) der Addition.

3. Die Multiplikation ist kommutativ (d.h. z1z2 = z2z1) und assoziativ d.h. (z1z2)z3 =z1(z2z3)).

4. Es existiert ein neutrales (z1 · 1 = z1) und inverses (z1 · 1z1

= 1).

5. Das Distributivgesetz gilt: z1(z2) + z3) = z1(z2 + z1z3)

Beispiele:

1. (2 + 3i) + (1 + 2i) = (1 + 2i) + (2 + 3i) (Kommutativitat der Addition)

2. (2 + 3i) + 0 = 2 + 3i (Existenz eines neutralen Elements der Addition)

3. (2 + 3i) + (−2− 3i) = 0 (Existenz eines inversen Elements der Addition)

4. (2 + 3i) · (1 + 2i) = (1 + 2i) · (2 + 3i) (Kommutativitat der Multiplikation)

5. (2 + 3i) · 1 = 2 + 3i (Existenz eines neutralen Elements der Multiplikation)

Beweis der Existenz eines inversen Elements der Multiplikation:

Beispiel: 12+3i = x+ iy

1

2 + 3i=

2− 3i

(2 + 3i)(2− 3i)=

2− 3i

4 + 9=

2

13− i 3

13

Allgemein gilt:

1

z1=

1

x1 + y1=

x1 − y1(x1 + y1)(x1 − y1)

=x1 − y1x12 − y12



Probe:

z1 ·1

z1= (x1 + y1) ·

x1 − y1x12 − y12

=x1

2 − y12

x12 − y12= 1

3.2. Darstellungsformen

3.2.1. Karthesische Darstellung

(auch Algebraische Darstellungsform)

z = x+ iy x = Rez ∈ R y = Imz ∈ R

-

6

x

y

��

x1

y1

3.2.2. Trigonometrische Darstellung

z = Rez + iImz

|z| =√

Rez2 + Imz2



-

6

x

y

��

x1

y1

ϕ

z

|z|

|z| · cosϕ

|z| · sinϕ

Trigonometrische Form:

z = x+ iy = |z| · cosϕ+ i|z| · sinϕ = |z|(cosϕ+ i · sinϕ)

Definition: Den Winkel einer komplexen Zahl nennen wir Argument von z: argz := ϕ.

Beispiel: Stelle z = 1 + i in trigonometrischer Form dar.

|z| =√

12 + i2 =√

2

argz = ϕ = 45° =π

4(aus Geometrie)

⇒ z = 1 + i = |z|(cosϕ+ i sinϕ) =√

2(cosπ

4+ i sin

π

4)

Satz 24: Formel fur ϕ

Es sei z = x+ iy. Dann ist

ϕ =

arctan y

x falls x > 0π + arctan y

x falls x < 0π2 falls x = 0, y > 0−π

2 falls x = 0, y < 0



Beispiel:

x = 1 y = 1

ϕ = arctan yx = arctan 1 = π

4

3.2.3. Polardarstellung

Satz 25: Eulersche Formel

Sei a, ϕ, ψ ∈ R, so gilt

1. eiϕ = cosϕ+ i sinϕ

2. ei(ϕ+ψ) = eiϕ · eiψ

3. ea+iϕ = ea · eiϕ

4. en2πi = 1 fur n ∈ N

Beweis von 4.:

en2πi = cos 2nπ + i sin 2nπ = 1 + i · 0 = 1

2

Bemerkung: Fur n = 1 gilt

e2πi = 1 e2πi − 1 = 0

Polardarstellung einer komplexen Zahl:

z = |z|eiϕ

z = reiϕ mit |z| = r

Rezept zum Umrechnen:

Karthesisch → Polar

1. Bestimme |z| =√

(Rez)2 + (Imz)2

2. Bestimme ϕ (siehe Satz 24, 3.2.2)

3. → z = |z|(cosϕ+ i sinϕ) (trigonometrisch)

4. → z = |z|eiϕ (polar)



Polar → Karthesisch:

z = |z|eiϕ = |z|(cosϕ+ i sinϕ) = |z| cosϕ+ i|z| sinϕ = x+ iy

Bemerkung: e ist 2πi-periodisch!

Multiplikation in der Polarform:

(1 + i)(1 + i) = 1 + 2i+ i2 = 2i√2 · ei

π4 ·√

2 · eiπ4 =√

2 ·√

2 · ei(π4+π

4) = 2ei

π2 =

=

(cos

π

2+ i sin

π

2

)= 2(0 + i · 1) = 2i

Satz: Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen addieren sich deren Argumente undderen Betrage multiplizieren sich:

z1 = r1 · eiϕ1

z2 = r2 · e2ϕ1

z1 · z2 = r1 · r2 · eiϕ1 · e2ϕ1 = r1 · r2 · ei(ϕ1+ϕ1)

Wofur ist die Exponentialform gut?

1. Beim Potenzieren.

2. Beim Losen von Polynomen der Form p(z) = 0.

Beispiele:

1. Stelle z = −√

3− i in Exponentialform dar.

|z| =√

(−√

3)2

+ (−1)2 =√

4 = 2

ϕ = π + arctany

x= π + arctan

−1

−√

3= π +

π

6=

7

6π

z = 2ei76π

2. Bestimme die karthesische Form von z = (−√

3− i)100.

(−√

3− i) = 2ei76π (siehe Aufgabe 1)(

−√

3− i)100

= 2100(ei

76π)100

= 2100(ei

7006π)

= 2100(ei(116+

46)π)

=

= 2100ei116πei46π = 2100ei

23π = 2100

(cos

2

3π + i sin

2

3π

)= 2100 cos

(2

3π

)+ i2100 sin

(2

3π

)



3.2.4. Polynome mit komplexen Koeffizienten

Satz 26: Fundamentalsatz der Algebra

Es sei p ein Polynom mit komplexen Koeffizienten, dann hat die Gleichung

p(z) = 0

genau n Losungen in C (unter Einbeziehung von vielfachen Nullstellen), wobei n der Graddes Polynoms p ist.

Beispiele:

1. x2 + 9 = 0 hat 2 Losungen (x1 = 3i, x2 = −3i)

2. −(x2)2

+ 9 = 0 hat 2 Losungen (x1 = 3i, x2 = 3i, x3 = −3i, x4 = −3i)

3. −x7 + 5x3 + 17 = 0 hat 7 Losungen

Aufgabe (Klausur Wintersemester 2008/2009):

Bestimme die Menge aller komplexen Zahlen, fur die gilt:

M ={z ∈ C Im(z2) = 2

}Losung:

z2 = (x+ iy)2 = x2 + 2ixy − y2

Im(z2) = Im(x2 − y2 + 2ixy

)= 2xy

2xy = 2

xy = 1

M =

{ (xy

)xy = 1

}=

{ (x1x

)x ∈ R\{0}

}

(Hyperbel, da y = 1x)



4. Vektorraume

4.1. Grundlagen

4.1.1. Definition

Definition 27: Vektorraum

Es sei K = R oder C und V sei eine nichtleere Menge. Dann heißt V K-Vektorraum, falls

• zu je zwei Elementen v, w ∈ V existiert v + w ∈ V (Addition) und

• zu jedem α ∈ K und v ∈ V existiert α · v ∈ V (Skalarmultiplikation).

Es gelten dann mit u, v, w ∈ V und α, β ∈ K die folgenden 8 Eigenschaften

1. Es existiert 0 ∈ V mit 0 + 0 = 0 fur alle v ∈ V (Existenz des neutralen Elementsbezuglich der Addition)

2. Zu jedem v ∈ V existiert −v ∈ V mit v + (−v) = 0 (Existenz des inversen Elementsbezuglich der Addition)

3. u+ (v + w) = (u+ v) + w (Assoziativgesetz)

4. u+ v = v + u (Kommutativgesetz)

5. (α+ β)v = αv + βv (Distributivgesetz)

6. α(v + w) = αv + αw

7. (α · β)v = α(β · v)

8. 1 · v = v (Existenz des neutralen Elements bezuglich der Multiplikation)

Die Elemente eines Vektorraums V heißen Vektoren (v ∈ V ).

Satz 28: Vektorraum der reellen Matrizen

Die Menge der m× n-Matrizen ist ein Vektorraum uber R.



Satz 29: Vektorraum der komplexen Matrizen

Die Menge der komplexen m×n-Matrizen (d.h. aij ∈ C, Eintrage sind also komplexe Zahlen)ist ein Vektorraum uber C mit der ublichen Addition und Skalarmultiplikation.

Definition 30: Vektorraum der n× 1-Matrizen

Der Vektorraum der reellen m× 1-Matrizen wird mit

Rn

bezeichnet. Der Vektorraum der komplexen m× 1-Matrizen wird mit

Cn

bezeichnet.

Beispiele fur Vektorraume:

• R, C

• Rn, Cn

• m× n-Matrizen

• V = {f : R→ R|f Funktion}

• V = {(xn)n∈N|xn → a}

• V = {p|p : C→ C Polynom}

• . . .

4.1.2. Linearkombination und Span

Definition 31: Linearkombination, Span und Erzeugendensystem

V ist Vektorraum uber K, v1, . . . , vn ∈ V und α1, . . . , αn ∈ K. Dann heißt

α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn

Linearkombination und fur eine Teilmenge M , M ⊂ V , heißt

spanM :=

α1v1 + . . .+ αnvn

n ∈ Nv1, . . . , vn ∈Mα1, . . . , αn ∈ K

”alle Linearkombinationen von Elementen aus M“



der lineare Span von M und M heißt Erzeugendensystem von spanM .

Beispiel:

span

1

00

, 0

10

, 0

01

= R3

4.2. Unterraume und Basen

4.2.1. Unterraum und Lineare Unabhangigkeit

Definition 32: Unterraum

V sei ein Vektorraum, U ⊂ M . U heißt (linearer) Unterraum (oder Untervektorraum), fallsfur alle v, w ∈ U gilt:

v + w ∈ Uα · v ∈ U

Bemerkung: M ⊂ V , dann ist spanM Unterraum.

Definition 33: Lineare Unabhangigkeit

V sei ein Vektorraum. Die Menge {v1, . . . , vk} heißt linear abhangig, falls α1, . . . , αk exis-tieren mit

1. nicht alle αj (j = 1, . . . , k) sind Null.

2. α1v1 + α2v2 + . . .+ αkvk = 0

”nicht-triviale Linearkombination der Null“

Ansonsten nennen wir {v1, . . . , vk} linear unabhangig.

Beispiele

1.

1

00

, 0

10

, 0

01

ist linear unabhangig.

2.

1

00

, 0

10

, 0

01

, 8

71

ist linear abhangig.

Bemerkung: Im Rn ist jede Menge mit mehr als n Elementen linear abhangig.



Satz 34: Lineare Unabhangigkeit und Rang der Matrix

(Ermittlung der linearen Unabhangigkeit uber Gaußverfahren)

V = Rn (oder Cn). v1, . . . , vk seien k Elemente aus V .

{v1, . . . , vk} ist genau dann linear unabhangig, wenn rangA = rang (v1, . . . , vk) = k.

Beachte: rangA ≤ n und rangA ≤ k.

4.2.2. Basis und Dimension

Definition 35: Basis

V sei ein Vektorraum. B ⊂ V heißt Basis von V , falls gilt:

1. B ist ein Erzeugendensystem von V (d.h. spanB = V ).

2. B ist linear unabhangig.

Satz und Definition 36: Dimension

1. Es sei V ein Vektorraum. Dann hat V eine Basis. Besteht die Basis aus endlich vielenElementen, so nennen wir V endlich dimensional, ansonsten unendlich dimensional.

2. Ist V endlich dimensional, so haben je zwei Basen dieselbe Anzahl von Elementen.Diese Anzahl nennen wir Dimension. Notation: dimV .

Satz 37: Basiswechsel

Es sei V ein Vektorraum mit Dimension n ∈ N. Es seien Balt = (e1, e2, . . . en) und Bneu =(f1, f2, . . . fn) zwei geordnete Basen von V . Dann lasst sich v ∈ V schreiben als

p1e1 + p2e2 . . . pnen = V = q1f1 + q2f2 . . . qnfn

(mit p1, . . . pn ∈ K und q1, . . . qn ∈ K). p1...pn

alt

q1...qn

neu

Dann gilt:

T

p1...pn

alt

=

q1...qn

neu



beziehungsweise p1...pn

alt

= T−1

q1...qn

neu

mit

T =

γ11 γ12 · · · γ1nγ21 γ22 · · · γ2n

......

...γn1 γn2 · · · γnn

f1 = γ11e1 + γ21e2 + . . .+ γn1en (1. Spalte der Matrix)f2 = γ12e1 + γ22e2 + . . .+ γn2en (2. Spalte der Matrix)

......

fn = γ1ne1 + γ2ne2 + . . .+ γnnen (n. Spalte der Matrix)

4.3. Lineare Abbildungen

4.3.1. Begriffe

Abbildung/Funktion:

A,B seien Mengen. Eine Vorschrift, die jedem Element a ∈ A ein Element ba ∈ B zuordnetheißt Abbildung oder Funktion.

Notation: f : A 7→ B (a 7→ ba, f(a) = ba)

”Hintereinanderausfuhrung“ von Funktionen:

f : A 7→ B, g : B 7→ C. Dann definiert

g ◦ f : A 7→ C

a 7→ (g ◦ f)(a) := g(f(a))

die Hintereinanderausfuhrung der Funktionen f und g.



4.3.2. Lineare Abbildungen

Satz 38: Lineare Abbildungen

Es seien V,W K-Vektorraumen und L : V 7→ W sei eine Funktion. Wir nennen L linear,falls fur alle x, y ∈ V und fur alle λ ∈ K gilt:

1. L(x+ y) = L(x) + L(y)

2. L(λx) = λL(x)

Notation: L(x) := Lx

Definition 39: Kern und Bild

Es seien V,W K-Vektorraumen und L : V 7→W sei linear. Dann heißt

kerL :={x ∈ V Lx = 0

}der Kern von L und

imL :={Lx x ∈ V

}das Bild von L.

Satz: kerL und imL sind Unterraume.

4.3.3. Matrixdarstellung

Satz 40: Matrixdarstellung linearer Abbildungen

Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum uber K. Wahle eine geeignete Basis B =(v1, v2, . . . , vn). L : V 7→ V sei linear und v ∈ V beliebiger Vektor mit α1

...αn

↔ v = α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn

fur geeignete α1, . . . , αn ∈ K und β1...βn

↔ Lv = β1v1 + β2v2 + . . .+ βnvn

fur geeignete β1, . . . , βn ∈ K.



Gilt fur die n× n-Matrix A (und fur alle v)

A

α1...αn

=

β1...βn

so heißt A die darstellende Matrix von L bezuglich der Basis B.

Achtung: Nicht mit Basiswechsel verwechseln!

4.4. Eigenwerte und Eigenvektoren

4.4.1. Eigenwerte und Eigenvektoren

Exkurs: Was sind schone Matrizen?

1. Null- und Einheitsmatrix (aber zu trivial):

0 · · · 0...

...0 · · · 0

1 0 · · · 0

0 1...

.... . . 0

0 · · · 0 1

2. Diagonalmatrix:

1 0 0 · · · 00 2 0 · · · 00 0 7 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 0 3

Wir hatten gesehen:

L : V 7→ V (lineare Abbildung )Wahle Basis

↔mit gewisser Freiheit

· · · · · · · · ·· · · · · · · · ·· · · · · · · · ·

Frage: Fur welche L : V 7→ V kann man die Basis so wahlen, dass

L : V 7→ VWahle

↔geschickte Basis

∗ 0 0 · · · 00 ∗ 0 · · · 00 0 ∗ · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 0 ∗



Bemerkung: Funktioniert nicht immer!

Definition: Eine lineare Abbildung L : V 7→ V (V endlichdimensionaler Vektorraum), heißtdiagonalisierbar, wenn eine Basis von V existiert, so dass die darstellende Matrix (gemaßSatz 40) Diagonalmatrix ist.

Bemerkung: Oftmals ist L : Rn 7→ Rn schon als Matrix bezuglich der kanonischen Basisdargestellt.

Beispiel: Spiegelung an der x-Achse

-

6

��

x

y

@@@@@R−y

L

(xy

)=

(x−y

)

e1 =

(10

)e2 =

(01

)Le1 = e1 Le2 = e2

Le1 = 1 · e1 Le2 = (−1) · e2

Darstellende Matrix:

L

(αβ

)kanon

= L(αe1 + βe2) = αLe1 + βLe2 = α1e1 + β(−1)e2 =

(α−β

)

(1 00 −1

)vergleiche mit Le1 = 1 · e1 Le2 = (−1) · e2(siehe oben)

⇒ Suche v ∈ V mit Lv = λv und λ ∈ K (= R oder C).



Definition 41: Eigenvektoren und Eigenwerte

Ein Vektor v ∈ V heißt Eigenvektor einer linearen Abbildung L : V 7→ V, falls gilt:

1. Es existiert Lv = λv fur λ ∈ K.

2. v 6= 0

Wir nennen λ in diesem Fall Eigenwert von L mit Eigenvektor v.

Sei v Eigenvektor zum Eigenwert λ. Dann gilt:

Lv = λv

Lv − λIv = 0

(L− λI)v = 0

(wobei I = E = Identitat/Einheitsmatrix)

Beobachtung: v ist Eigenvektor zum Eigenwert λ ⇔ (L− λI)v = 0.

4.4.2. Eigenraume

Definition 42: Eigenraume und geometrische Vielfachheit

V ist ein Vektorraum uber K, L : V 7→ V lineare Abbildung, λ Eigenwert von L. Dannheißt

Vλ = ker(L− λI) ={v ∈ V (L− λI)v = 0

}={v ∈ V Lv = λv

}(”Vλ: Alle Eigenvektoren zu einem festen λ“)

Eigenraum von L zu λ. Die Dimension des Unterraums Vλ heißt die geometrische Vielfachheitdes Eigenwertes λ.

Berechnung der Eigenwerte

Wir beschranken uns auf Matrizen (dh. L ist eine Matrix).

Sei also A n×n-Matrix. Gesucht A~v = λ~v, ~v ∈ Kn (d.h. mit ~v ∈ Rn oder Cn) mit ~v 6= 0.

Rezept:

1. Bestimme alle Eigenwerte λ.

2. Bestimme alle zugehorigen Eigenvektoren ~v.



Idee:

Gesucht λ, ~v ∈ Kn, ~v 6= 0.

A~v = λ~v

A~v − λI~v = 0

(A− λI)︸︷︷︸B

~v = 0

B n× n-Matrix, B~v = 0 mit ~v 6= 0.

Ist detB 6= 0, so ware B~v = 0 eindeutig losbar, also ware nur ~v = ~0 eine Losung, d.h. esgabe keine Eigenwerte und Eigenvektoren.

Also suchen wir λ mit detB = det (A− λI) = 0.

A =

a11 · · · a1n...

...an1 · · · ann

det (A− λI) =

∣∣∣∣∣∣∣ a11 · · · a1n

......

an1 · · · ann

− λ 1 0

. . .

0 1

∣∣∣∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 − λ a12 · · · a1na21 a22 − λ · · · a2n

.... . .

an1 · · · annλ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= p(x) (Polynom)

Satz: Die Eigenwerte (in C) λ1, λ2, . . . λk der Matrix A sind genau die Nullstellen des Poly-noms p(x) = detA− λI. Das heißt, wir suchen die Losungen von p(x) = detA− λI = 0.

Die Vielfachheiten der Nullstelle λj , j = 1 . . . k heißt die algebraische Vielfachheit des Ei-genwerts λj .

1. Beispiel:

A =

(0 11 0

)

Plan:

1. Eigenwerte uber detA− λI = 0 bestimmen.



2. Zu jedem Eigenwert den Eigenraum bestimmen, d.h. fur Eigenwert λj berechne Basisvon Vλj = ker(L− λjI).

Rechnung:

1. Eigenwerte

detA− λI =

∣∣∣∣∣(

0 11 0

)−(λ 00 λ

)∣∣∣∣∣ =−λ 11 −λ = λ2 − 1 = 0

λ2 − 1 = 0

λ1 = 1

λ2 = −1

⇒ zwei Eigenwerte, jeweils mit algebraischer Vielfachheit 1.

2. Eigenvektoren

a) zu λ1 = 1

V1 = ker(A− λ1I) = ker

((0 11 0

)−(

1 00 1

))=

= ker

(−1 11 −1

)=

{ (xy

) (−1 11 −1

)(xy

)= 0

}

(−1 11 −1

)(xy

)=

(00

)

(−1 1 01 −1 0

)I + II(

−1 1 00 0 0

)

Bemerkung: Es muss eine Nullzeile entstehen.

−x+ y = 0 ⇒ x = y = t

V1 =

{ (tt

)t ∈ R

}=

{t

(11

)t ∈ R

}= span

{(11

)}

Alle

(tt

)fur t 6= 0 sind Eigenvektoren fur A zum Eigenwert λ1 = 1.



b) zu λ2 = −1

V−1 = ker(A− (−1)I) = ker(A+ I) =

(1 11 1

)(

1 11 1

)(xy

)=

(00

)x+ y = 0 ⇒ y = −x ⇒ x = t

V−1 =

{ (t−t

)t ∈ R

}= span

{(1−1

)}(

t−t

), t 6= 0, Eigenvektoren fur A zum Eigenwert λ1 = 1.

Weitere Rechnung: Wahle als Basis

((11

),

(1−1

)): A

(ohne Beweis)

↔(

1 00 1

), d.h.

A ist diagonalisierbar.

Beispiel 2:

1. Eigenwerte

A =

(2 10 2

)

det (A− λI) = det

(2− λ 1

0 2− λ

)= (2− λ)2 = 0

⇒ Eigenwert λ = 2 mit algebraischer Vielfachheit 2.

2. Eigenvektoren

V = ker(A− 2I) = ker

(0 10 0

)(

0 10 0

)(xy

)=

(00

)⇒ y = 0

V =

{ (x0

)x ∈ R

}=

{x

(10

)x ∈ R

}= span

{(10

)}(t0

), t 6= 0, dim V = 1, geometrische Vielfachheit 1.



5. Skalarprodukt

5.1. Grundlagen

5.1.1. Definition

Definition 43: Skalarprodukt

Sei V ein Vektorraum uber K. Die Abbildung (·, ·) : V ×V 7→ K heißt Skalarprodukt (inneresProdukt), falls fur u, v, w ∈ V , λ ∈ K gilt:

1. (u+ v, w) = (u,w) + (v, w)

2. (u,w) = (w, u)

3. (u, u) ≥ 0 und (u, u) = 0 ⇔ u = 0

4. (λu,w) = λ(u,w)

Bemerkung: Fur K = R und (·, ·) : V × V 7→ K gilt fur 2. (u,w) = (w, u)

Beispiele:

1. Rn sei ein Vektorraum uber R,

x1...xn

, y1

...yn

∈ Rn

x1

...xn

, y1

...yn

= x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn

2. Cn sei ein Vektorraum uber C,

z1...zn

, w1

...wn

∈ Cn

z1

...zn

, w1

...wn

= z1w1 + z2w2 + . . .+ znwn



Dann definiert fur v ∈ V

||v|| :=√

(v, v)

eine Lange (oder Norm).

Im Fall V = Rn oder V = Cn mit dem Skalarprodukt wie oben, schreiben wir

|v| :=√

(v, v)

5.2. Norm, Winkel und Kreuzprodukt

5.2.1. Norm

Satz 44: Eigenschaften der Norm

Sei V ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt und ||v|| :=√

(v, v) (v ∈ V ).

1. Es gilt ||v|| ≥ 0 und ||u|| =√

(u, u) = 0 ⇔ u = 0.

2. Fur α ∈ K gilt ||αv|| = |α|||v||.

3. Fur v, w ∈ V gilt ||(v, w)|| ≤ ||v|| · ||w|| (Cauchy-Schwarz-Ungleichung).

4. Fur v, w ∈ V gilt ||v + w|| ≤ ||v||+ ||w|| (Dreiecksungleichung).

5.2.2. Winkel

Definition 45: Winkel zwischen zwei Vektoren

Sind ~u,~v ∈ Rn, dann heißt

α := arccos(~u,~v)

|~u||~v|

der Winkel zwischen den Vektoren ~u und ~v. Andere Schreibweise:

(~u,~v) = |~u||~v| cosα

Ist α = 90° (α = π2 ), dann gilt (~u,~v) = 0. In diesem Fall nennt man ~u und ~v orthogonal

(senkrecht) zueinander.

Notation: ~u ⊥ ~v



5.2.3. Kreuzprodukt

Achtung: Kreuzprodukt ist nur im R3 definiert.

Gegeben sind zwei linear unabhangige Vektoren ~x, ~y ∈ Rn. Das Kreuzprodukt ergibt denVektor, der senkrecht auf den beiden steht.

~x× ~y =

x1x2x3

× y1y2y3

=

x2y3 − x3y2x3y1 − x1y3x1y2 − x2y1

Dann gilt (~x× ~y) ⊥ ~x und (~x× ~y) ⊥ ~y. Zudem gilt die

”Rechte-Hand-Regel“.

Anwendungen:

~a,~b,~c ∈ R3

1. |~b× ~c| = Flache des des von ~b und ~c aufgespannten Parallelogramms.

Bemerkung: |~b× ~c| = 0 ⇔ ~b,~c linear abhangig ⇔ ~b = α~c (α ∈ R) ⇔ ~b ‖ ~c

2. |(~a,~b× ~c)|︸︷︷︸”Spatprodukt“

= Volumen des von ~a,~b und ~c aufgespannten Parallelepipedes.

5.3. Abstand eines Vektors zu einem Vektorraum

5.3.1. Orthonormalbasis

Definition 46: Orthogonal- und Orthonormalbasis

Sei V ein Vektorraum uber K mit Basis {b1, . . . bn} und Skalarprodukt.

1. {b1, . . . bn} heißt orthogonale Basis, falls (bi, bj) = 0 fur alle i, j = 1, . . . n.

2. {b1, . . . bn} heißt orthonormal, falls sie orthogonal ist und ||bj || = 1, also (bj , bj) = 1fur alle j = 1, . . . n. Das heißt, es gilt

(bi, bj) =

{0 i 6= j1 i = j

Das Standardbeispiel: 1

00

, 0

10

, 0

01

ist eine Orthonormalbasis des R3.



5.3.2. Orthogonale Matrizen

Definition 47: Orthogonale Matrizen

Eine n × n-Matrix A mit den Spaltenvektoren ~a1, ~a2, . . . ~an, A = ( ~a1 ~a2 . . . ~an) heißtorthogonale Matrix, wenn { ~a1, . . . ~an} eine Orthonormalbasis des Rn (bzw. Cn) ist.

Beispiel:

A =

1 0 00 1 00 0 1

ist eine orthogonale Matrix, da

1

00

, 0

10

, 0

01

eine Ortho-

normalbasis des R3 ist.

5.3.3. Projektion auf Unterraume

Verfahren:

Gegeben ist ein Unterraum U von V (V Vektorraum uber K mit Skalarprodukt).

1. Wahle eine Orthonormalbasis von U (uber Gram-Schmidt-Verfahren):

{b1, . . . bk}

2. Definiere den orthonormalen Projektor von ~v ∈ V auf U mittels

P~v = (~v, ~b1)~b1 + (~v, ~b2)~b2 + . . .+ (~v, ~bn)~bn

P~v ist die Projektion von ~v auf U .

Beobachtung: P~v ist Linearkombination der Basisvektoren {b1, . . . bk}.

P~v ∈ span {b1, . . . bk} = U

Satz 48: Abstand eines Vektors zu einem Unterraum

Es gilt fur ~v ∈ V

1. P~v ∈= U (vgl. Beobachtung)

2. ~v − P~v ⊥ ~u fur alle ~u ∈ U

3. Der minimale Abstand von ~v zu U ist gegeben durch

min

Abstand ~v zu ~u︷︸︸︷||~v − ~u||︸︷︷︸

kleinster Abstand ~v zu U

= ||~v − P~v||



5.4. Spezielle Klassen von Matrizen

5.4.1. Symmetrische Matrizen

Bisher:

• Diagonalmatrizen

• Dreiecksmatrizen

• Orthogonale Matrizen (Spalten bilden eine Orthonormalbasis)

Definition 49: Symmetrische Matrizen

A sei eine n× n-Matrix. A heißt symmetrisch, falls fur alle ~v, ~w ∈ Rn (bzw. Cn) gilt:

(A~v, ~w) = (~v,A~w)

Satz 50: Eigenschaften von symmetrischen Matrizen

1. A symmetrische Matrix in Rn ⇔ A = AT .

2. Alle Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind reell.

3. Algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes einer symmetrischen Matrix ist gleich dergeometrischen Vielfachheit.

4. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander.

5.4.2. Diagonalisierbarkeit

Satz 51:”

The end of the saga“

Es existiert fur eine symmetrische Matrix eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.

Ubersicht

V ist endlichdimensionaler Vektorraum uber K.

(e1, e2, . . . en) ist geordnete (alte) Basis von V .

(g1, g2, . . . gn) ist geordnete (neue) Basis von V .

Zusammenhang: T

β1...βn

neu

=

α1...αn

alt



L : V 7→ V lineare Abbildung mit

v ↔

α1...αn

alt

Lv ↔

l1...ln

alt

Darstellende Matrix:

A

α1...αn

alt

=

l1...ln

alt

Daher gilt auch:

AT

( )neu

= T

( )neu

T−1AT

( )neu

=

( )neu

T−1AT ist die darstellende Matrix von L bezuglich der neuen Basis (g1, . . . gn).

L ist diagonalisierbar, falls eine Basis existiert, so dass die darstellende Matrix Diagonalgestalthat. ⇔ ∃ neue Basis mit

T−1AT =

∗ 0. . .

0 ∗

Satz: L ist diagonalisierbar ⇔ Es existiert eine Basis aus Eigenvektoren von L.

Folgerung aus Satz 51

Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar!

Vorgehen

Gegeben L mit darstellender Matrix A.

1. Eigenwerte: Bestimme alle Nullstellen von 0 = det (A− λI): λ1, . . . λk. Die Ordnungder Nullstellen ergibt die algebraische Vielfachheit.

2. Eigenvektoren: Zu λ1, . . . λk bestimme die Eigenvektoren als Basis von ker (A− λ1),ker (A− λ2), . . . ker (A− λk). dim ker (A− λk) ergibt die geometrische Vielfachheitvon λk.

3. A ist diagonalisierbar ⇔ algebraische Vielfachheit λj = geometrische Vielfachheit λjfur j = 1, 2, . . . k.

”algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit“



Teil II.

Analysis



6. Folgen

6.1. Zahlen und Intervalle

6.1.1. Zahlen

N Naturliche ZahlenZ Ganze ZahlenQ Rationale ZahlenR Reelle ZahlenC Komplexe Zahlen

6.1.2. Notation von Intervallen

(a, b) := {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} (offenes Intervall)[a, b] := {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} (abgeschlossenes Intervall)[a, b) := {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} (halboffenes Intervall)(a, b] := {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}(−∞, a) := {x ∈ R|x ≤ a}[a,∞) := {x ∈ R|x ≥ a}

6.2. Folgen

6.2.1. Grundlagen

Beispiele:

• 1, 2, 4, 8, 16, . . .

• 1, 12 ,14 ,

18 ,

116 , . . .

• x1, x2, x3, x4, x5, x6, . . .



Notation: (xn)n∈N wobei xn ∈ R fur alle n ∈ N.

Beispiele:

• 1, 12 ,14 ,

18 ,

116 , . . . xn = 1

2n ( 12n )n∈N

• 1, 12 ,13 ,

14 ,

15 , . . . xn = 1

n ( 1n)n∈N

• 1,−4, 9,−16, 25 . . . xn = (−1)n+1 · n2 ((−1)n+1 · n2)n∈N

Fibonacci-Folge (Kaninchenpopulation)

x1 1x2 1 −→ 1x3 2 −→ 1x4 3 −→ 2x5 5 −→ 3x6 8 −→ 5x7 13 −→ 8...

...

Fibonacci-Folge: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .

Rekursive Definition: xn+2 = xn+1 + xn fur n > 1 mit x1 = 1, x2 = 1.

6.2.2. Konvergenz und Divergenz

Definition 52: Konvergenz gegen Null

Wir sagen, dass (xn)n∈N gegen Null konvergiert, falls fur jedes Intervall (−ε, ε) (mit ε > 0)um Null ab einem Index N0 alle xn innerhalb dieses Intervalls liegen.

Notation:

xn → 0 n→∞ oder limn→∞

xn = 0

Beachte: N0 hangt von ε ab (N0 = N0(ε). D. h. erst ε wahlen, und dann N0(ε).

Also existiert zu ε > 0 ein N0 ∈ N mit

xn ∈ (−ε, ε) fur alle n ≥ N0

bzw. |xn − 0| < ε fur alle n ≥ N0



Definition 53: Konvergenz gegen einen beliebigen Wert

Wir sagen (xn)n∈N konvergiert gegen a (a ∈ R), falls zu jedem ε > 0 ein N0 ∈ N existiert,fur dass gilt

xn ∈ (a− ε, a+ ε) fur alle n ≥ N0

bzw. |xn − a| < ε fur alle n ≥ N0

Notation:

xn → a n→∞ oder limn→∞

xn = a

Satz 54:”

Großer Grenzwertsatz“

Es seien (xn), (yn) konvergente Folgen mit limn→∞

xn = a ∈ R und limn→∞

yn = b ∈ R. Dann

gilt:

1. limn→∞

(xn + yn) = a+ b (Die Summe konvergenter Folgen ist wieder konvergent.)

2. limn→∞

(xnyn) = a · b (Das Produkt konvergenter Folgen ist wieder konvergent.)

3. limn→∞

(xnyn ) = ab falls yn 6= 0 und b 6= 0 (Der Quotient konvergenter Folgen ist wieder

konvergent, sofern keine Division durch Null vorliegt.)

4. Gilt (xn) ≤ (yn) fur alle n ∈ N, so gilt limn→∞

xn = a ≤ b = limn→∞

yn.

Bemerkung: Es gilt nicht xn < yn ⇒ a < b, sondern nur xn ≤ yn ⇒ a ≤ b.

Definition 55: Bestimmte Divergenz

Die Folge (xn)n∈N heißt bestimmt divergent gegen +∞ (bzw. −∞), falls zu jedem ε > 0(”ε ist jetzt groß“) ein N0 ∈ N existiert mit xn ≥ ε fur alle n ≥ N0 (bzw. mit xn ≤ ε fur

alle n ≤ N0).

Notation:

xn →∞ oder limn→∞

xn =∞

Achtung: Der Grenzwertsatz gilt nicht fur bestimmt divergente Folgen (xn →∞)!



Satz 56: Intervallschachtelung

Es sei (yn) eine Folge und In (mit n ∈ N) sei ein nichtleeres Intervall mit mit Randpunktenan und bn, an ≤ bn.

Es gelte

yn ∈ In I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ I4 ⊃ I5 ⊃ . . . ⊃ In limn→∞

bn − an = 0

Dann gilt: Es liegt genau ein Punkt v ∈ R in allen Intervallen p ∈ IN fur alle n ∈ N unddie Folge (yn)n konvergiert:

limn→∞

yn = limn→∞

an = limn→∞

bn = p

Bemerkung:

1. Satz 56 beschreibt eine besondere Eigenschaft der reellen Zahlen (”Vollstandigkeit“).

2. Wegen Satz 56 gilt: Alle Zahlen mit beliebiger Dezimaldarstellung liegen in R.

Binomischer Satz:

(x+ y)n =n∑k=0

(n

k

)xn−kyk

wobei gilt (n

k

)=

{0 k > n

n!k!(n−k)! k ≤ n

n! = 1 · 2 · 3 · . . . n0! = 1

6.2.3. Monotonie

Satz 57: Satz von Bolzano-Weierstraß

Jede beschrankte, monotone Folge (xn) reeller Zahlen ist konvergent.

(xn) heißt beschrankt, falls m,M ex. mit m ≤ xn ≤M fur alle n ∈ N.

Monotonie:

(xn) heißt



• monoton wachsend, falls xn ≤ xn+1 fur alle n ∈ N,

• streng monoton wachsend, falls xn < xn+1 fur alle n ∈ N,

• monoton fallend, falls xn ≥ xn+1 fur alle n ∈ N,

• streng monoton fallend, falls xn > xn+1 fur alle n ∈ N,

• monoton, falls (xn) monoton fallend oder monoton wachsend.



7. Differentiation

7.1. Grenzwerte und Stetigkeit

7.1.1. Grenzwerte

Definition 58: Grenzwert

f : D 7→ R, D ⊂ R, x∗ ∈ R.

Es gelte:

Es existiert mindestens eine Folge (xn) mit xn ∈ D und xn 7→ x∗, xn 6= x∗.

Fur alle Folgen (xn) (d. h. xn ∈ D, xn 7→ x∗, xn 6= x∗) gilt

1. limn→∞

f(xn) existiert.

2. limn→∞

f(xn) = y∗ (also immer derselbe Grenzwert).

Notation:

limx→x∗

f(x) = y∗

Bemerkung: limx→∞

f(x) und limx→−∞

f(x) wird analog definiert.

Definition 59: Linksseitiger und Rechtsseitiger Grenzwert

f : D 7→ R, D ⊂ R, x∗ ∈ R mit

1. Es existiert eine Folge (xn) mit xn ∈ D und xn 7→ x∗, xn 6= x∗.

2. a) Fur alle solche Folgen (xn) mit xn < x∗ (dh. xn 7→ x∗ und xn ∈ D) gilt

limn→∞

f(xn) existiert und limn→∞

f(xn) = y∗

b) Fur alle solche Folgen (xn) mit xn > x∗ (dh. xn 7→ x∗ und xn ∈ D) gilt

limn→∞

f(xn) existiert und limn→∞

f(xn) = z∗



Gilt 1. und 2. a), so hat f einen linksseitigen Grenzwert in x∗. Gilt 1. und 2. b), so hat feinen rechtsseitigen Grenzwert in x∗.

Notation:

• Linksseitig:

limx→x∗−

f(x) = limx→x∗−0

f(x) = limx↗x∗

f(x) = y∗

• Rechtsseitig:

limx→x∗+

f(x) = limx→x∗+0

f(x) = limx↘x∗

f(x) = z∗

Satz:

Existiert der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert, und stimmen diese uberein (y∗ =z∗), so existiert der Grenzwert von f in x∗:

limx→x∗

f(x) = y∗ = z∗

7.1.2. Stetigkeit

Definition 60: Stetigkeit

f : D 7→ R, D ⊂ R, x∗ ∈ D

f heißt stetig in x∗, falls gilt:

limx→x∗

f(x) = f(x∗)

Denn es gilt auch:

limx→x∗−

f(x) = limx→x∗+

f(x) = f(x∗)

Ist f stetig fur alle x∗ ∈ D, so heißt f stetig in D.

Rechenregeln:

• Die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von stetigen Funktionen ergibteine stetige Funktion.

• Alle Polynome sind stetig.

• Die Verknupfung zweier stetiger Funktionen (f ◦ g) ist stetig.

• sin, cos, . . . sind stetig.

• √. . . sind stetig.



Satz 61: Zwischenwertsatz

f : [a, b] 7→ R stetig mit f(a) ≤ y∗ ≤ f(b). Dann existiert x∗ ∈ [a, b] mit f(x∗) = y∗.

→simples numerisches Verfahren zur Nullstellenbestimmung

7.2. Extremwerte

7.2.1. Infinimum und Supremum

Definition 62: Infinimum und Supremum

f : D 7→ R

y∗ ∈ R heißt Supremum von f , falls y∗ die kleinste reelle Zahl ist, fur die gilt:

y∗ ≥ f(x)

(”kleinste obere Schranke“)

Notation: sup f(x) = y∗ x ∈ R

z∗ ∈ R heißt Infinimum von f , falls z∗ die großte reelle Zahl ist, fur die gilt:

z∗ ≤ f(x)

(”großte untere Schranke“)

Notation: inf f(x) = z∗ x ∈ R

7.2.2. Minima und Maxima

Definition 63: Minima und Maxima

f : D 7→ R

Gilt sup f(x) = f(x∗) so schreibt man

max f(x) = f(x∗) x ∈ R

und sagt: f nimmt ein Maximum an.

Gilt inf f(x) = f(x∗) so schreibt man

min f(x) = f(x∗) x ∈ R

und sagt: f nimmt ein Minimum an.



Satz 64: Extremwerte und Stetigkeit

f : [a, b] 7→ R sei stetig.

Dann nimmt f sein Maximum und Minimum an.

7.3. Differentiation

7.3.1. Definition

Definition 65: Differentiation

I Intervall, x0 ∈ I

f : I 7→ R heißt in x0 differenzierbar, wenn

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

existiert.

Notation: f ′(x0)

Satz 66: Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Eine differenzierbare Funktion f : I 7→ R ist stetig in I.

7.3.2. Rechenregeln

f, g : I 7→ R seien differenzierbar auf I. Dann gilt:

1. f + g ist differenzierbar auf I:

(f + g)′ = f ′ + g′

2. αf fur α ∈ R ist differenzierbar auf I:

(αf)′ = αf ′

3. f · g ist differenzierbar auf I:

(f · g)′ = f ′ · g + f · g′



4. fg fur g 6= 0 ist differenzierbar auf I:(

f

g

)′=g · f ′ − f · g′

g2

5. Gilt fur f : I 7→ J und fur g : J 7→ R, dann ist (f ◦ g)(x) = f(g(x)) differenzierbarauf I: (

f(g(x)

))′= f ′

(g(x)

)· g′(x)

7.3.3. Die Umkehrfunktion

Definition 67: Umkehrfunktion

f : A 7→ B, g : B 7→ A

Wenn gilt

(g ◦ f)(x) = g(f(x)

)= x fur alle x ∈ A

dann heißt g Umkehrfunktion von f und f invertierbar.

Notation: g := f−1

Satz 68: Ableitung der Umkehrfunktion

f : I 7→ J differenzierbar und invertierbar. I, J reelle Intervalle. g := f−1 : J 7→ I. Ist

f ′(g(x)

)6= 0, so ist f−1 differenzierbar:

(f−1

)′= g′(x) =

1

f ′(g(x)

)

7.3.4. Injektivitat und Surjektivitat

Definition 69: Injektivitat und Surjektivitat

f : A 7→ B (mit A,B Mengen) heißt

1. injektiv, falls f(x1) 6= f(x2) fur alle x1, x2 ∈ A mit x1 6= x2 gilt.

2. surjektiv, falls zu jedem y ∈ B mindestens ein x ∈ A mit f(x) = y existiert.

Bemerkung: f surjektiv, dann gilt auch: {f(x)|x ∈ A} = B.



Definition 70: Bijektivitat

Ist f injektiv und surjektiv, so nennen wir f bijektiv.

Bemerkung: Betrachte B 3 b 7→ a = f−1(b). f sei bijektiv. Mit f(a) = b gilt auchf(f−1(b)) = f(a) = b.

Also gilt: Ist f bijektiv, so ist f invertierbar, und andersherum.

7.3.5. Die Arkusfunktionen

sin : R 7→ R cos : R 7→ R tan : R 7→ R

injektiv nein nein neinsurjektiv nein nein ja

Daher setze:

• sin : [−π2 ,

π2 ] 7→ [−1, 1]

• cos : [0, π] 7→ [−1, 1]

• tan : (−π2 ,

π2 ) 7→ R

Dann sind diese Intervalle bijektiv und somit invertierbar:

sin−1 cos−1 tan−1

Arkussinus Arkuskosinus Arkustangensarcsin : [−1, 1] 7→ [−π

2 ,π2 ] arccos : [−1, 1] 7→ [0, π] arctan : R 7→ (−π

2 ,π2 )

Satz 71: Ableitung der Arkusfunktionen

(arcsinx

)′=

1√1− x2

fur x ∈ (−1, 1)(arccosx

)′=

1

−√

1− x2fur x ∈ (−1, 1)(

arctanx)′

=1

1 + x2fur x ∈ R



7.4. Konsequenzen aus der Differentiation

7.4.1. Globale Minima und Maxima

Definition 72: Globale Extremwerte

f : I 7→ R, I Intervall.

Ist f(x) ≤ f(x0) fur alle x ∈ I, so nimmt f in x0 sein globales Maximum an.

Globale Minima werden analog definiert.

Bemerkung:

1. Globale Minima/Maxima sind auch lokale Minima/Maxima.

2. Es sind auch mehrere globale Minima/Maxima moglich (vlg. sin).

Satz 72a: Ableitung und Extremwerte

Nimmt eine differenzierbare Funktion ihr Minimum bzw. Maximum in einem inneren Punktihres Definitionsbereichs an, so ist ihre Ableitung dort 0.

Notation: f sei n-mal differenzierbar:

f (n) oder dnfdxn bezeichnet die n-te Ableitung.

Satz 73: Ableitung, Extremwerte und Sattelpunkte

f : I 7→ R sei (mindestens) n-mal differenzierbar. x0 sei ein innerer Punkt von I und esgelte:

f ′(x0) = 0 = f ′′(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0

f (n)(x0) 6= 0

Dann gilt, falls:

1. n ungerade:

f hat in x0 keinen Extremwert, sondern einen Sattelpunkt (Terassenpunkt).

2. n gerade:

a) f (n)(x0) > 0:

f hat in x0 ein lokales Minimum.



b) f (n)(x0) < 0:

f hat in x0 ein lokales Maximum.

Bemerkung: Satz 72/72a ist eine notwendige, Satz 73 dagegen eine hinreichende Bedingungfur Extremwerte im Inneren von.

Rezept zur Bestimmung von lokalen/globalen Extrema

f : I 7→ R

1. Bestimme alle x mit f ′(x) = 0.

2. Finde mittels Satz 73 heraus, welche davon Sattelpunkte und welche Extrema sind.

→x1, . . . xn aus dem Inneren von I sind damit Extremwerte.

3. Betrachte die Randpunkte, ggf. befinden sich dort ebenfalls lokale Extremwerte.

4. Der Vergleich von 2., 3. und dem Verhalten von f am Rand von I liefert die globalenMinima/Maxima.

7.4.2. Der Mittelwertsatz

Satz 74: Mittelwertsatz

Sei f : I 7→ R differenzierbar, I Intervall, a, b ∈ I und a 6= b. Dann existiert ein ς ∈ (a, b)mit

f(b)− f(a)

b− a= f ′(ς)

Satz 75: Schrankensatz

Ist |f ′(x)| ≤M fur alle x ∈ [a, b], so folgt:

|f(b)− f(a)| ≤M(b− a)



7.4.3. Monotonie

Satz 76: Monotonieverhalten

Es sei f : I 7→ R differenzierbar mit

f ′(x) > 0 fur alle x ∈ I

so ist f streng monoton wachsend (f(x) > f(y) falls x > y). Analog gilt:

f ′(x) ≥ 0 fur alle x ∈ I →f ist monoton wachsend.f ′(x) < 0 fur alle x ∈ I →f ist streng monoton fallend.f ′(x) ≤ 0 fur alle x ∈ I →f ist monoton fallend.

Satz 77: Ableitung von konstanten Funktionen

f : I 7→ R, I Intervall. Sei f ′(x) = 0 fur alle x ∈ I, so ist f konstant.

7.4.4. Regel von L’ Hospital

Satz 78: Regel von L’Hospital

f, g : I 7→ R, I Intervall, g′(x) 6= 0 fur alle x ∈ I.

Es sei x0 ∈ R oder x0 =∞ oder x0 = −∞ mit

1. limx→x0

f(x) = limx→x0

g(x) = 0 oder limx→x0

f(x) = limx→x0

g(x) = ∞ oder limx→x0

f(x) =

limx→x0

g(x) = −∞

2. limx→x0

f ′(x)g′(x) existiert oder =∞ oder = −∞.

Dann gilt:

limx→x0

f(x)

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g′(x)



7.5. Taylorapproximation

7.5.1. Die Taylorformel

Satz 79: Die Taylorformel

f : I 7→ R, n-mal differenzierbar, I Intervall, x0 ∈ I.

Dann gilt:

f(x) =n∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k︸︷︷︸

Taylorpolynom Tn(x)

+ Rn(x)︸︷︷︸Restglied

mit

limx→x0

Rn(x)

(x− x0)n= 0

und falls f (n− 1)-mal differenzierbar ist, so existiert ς ∈ (x, x0) bzw. ς ∈ (x0, x) mit

Rn(x) =f (n+1)(ς)

(n+ 1)!(x− x0)n+1

Taylorpolynom ohne Summenschreibweise:

Tn(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f ′′(x0)

2!(x− x0)2 + . . .+

f (n)(x0)

n!(x− x0)n

Notation:

• x0 Entwicklungspunkt.

• Restglied Rn(x) wird auch als Rn,f,x0(x) geschrieben.

• Analog Taylorpolynom Tn(x) auch als Tn,f,x0(x).

Oftmals interessiert der Absolutbetrag des Approximationsfehlers:

|f(x)− Tn(x)| =∣∣∣∣∣f(x)−

n∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k

∣∣∣∣∣ = |Rn(x)|



7.5.2. Die Exponentialfunktion

Satz 80: Definition der Exponentialfunktion

Es gibt genau eine differenzierbare Funktion y : R 7→ R mit

y′(x) = y(x) und y(0) = 1 x ∈ R

Die eindeutig bestimmte Losung dieser Gleichung nennen wir Exponentialfunktion exp. Esgilt:

exp : R 7→ R

e := exp(1) (e: Eulersche Zahl)

Satz 81: Eigenschaften der Exponentialfunktion

Es gilt:

1. (expx)′ = expx, exp : R 7→ R ist ∞-oft differenzierbar.

2. exp 0 = 1

3. expx 6= 0 fur alle x ∈ R

4. exp(x+ y) = (expx) · (exp y)

5. exp(−x) = 1exp(x)

6. exp ist streng monoton wachsend

7. limx→∞

ex =∞

8. limx→−∞

ex = 0

Notation:

expx = ex

exp 0 = e0 = 1

exp(a+ b) = ea+b = ea · eb = exp a · exp b

Bemerkung:

limx→∞

ex

xn

′′ ∞∞

′′

= limx→∞

ex

nxn−1= lim

x→∞ex

n(n− 1)xn−2= . . . = lim

x→∞ex

n!=∞

Die Exponentialfunktion wachst schneller als jedes Polynom!



7.5.3. Umkehrung der Exponentialfunktion: Der Logarithmus

exp : R 7→ (0,∞)

exp ist injektiv, denn die Funktion ist streng monoton wachsend (fur x1 6= x2 gilt x1 < x2oder x2 < x1, also gilt auch expx1 < expx2 bzw. expx2 < expx1).

Zudem ist exp surjektiv (siehe Satz 81, 7. und 8.).

Also ist exp : R 7→ (0,∞) bijektiv und somit invertierbar.

Notation: (exp)−1 =: ln mit ln : (0,∞) 7→ R

ln(expx) = x x ∈ R

exp(lnx) = x x ∈ (0,∞)

Satz 82: Eigenschaften der Logarithmusfunktion

Es gilt:

1. (lnx)′ = 1x

2. ln 1 = 0

3. ln ab = ln a+ ln b a, b > 0

Der komplexe Kosinus

Es gilt

eix + e−ix

2= cosx

und daher der komplexe Kosinus: cos : C 7→ C

cos z :=eiz + e−iz

2

und analog den komplexen Sinus: sin : C 7→ C

sin z :=eiz + e−iz

2i



8. Integration

8.1. Grundlagen

8.1.1. Definition

Definiere: Fn: Summer aller Rechtecke ∆n = b−an

Fn :=n∑j=1

F (xj)∆n

Satz 83: Existenz des Integrals

Sei f : [a, b] 7→ R stetig oder monoton. Dann existiert der Grenzwert

limx→∞

Fn =

b∫a

f(x)dx

Definition: f : [a, b] 7→ R heißt stuckweise stetig oder stuckweise monoton, falls gilt

[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ [x2, x3] ∪ . . . ∪ [xn−1, b]

mit a = x0 und b = xn und f : (xj−1, xj mit j = 1 . . . n mit

fj(x) = f(x)

sind stetig bzw. monoton. In diesem Fall definiere:

b∫a

f(x)dx =

x1∫x0

f1(x)dx+

x2∫x1

f2(x)dx+ . . .+

xn∫xn−1

fn(x)dx

Definition: f wie in Satz 83 oder wie in der obigen Funktion angegeben heißt integrierbar.



8.1.2. Integrationsregeln

f, g : [a, b] 7→ R, integrierbar, λ ∈ R.

1.b∫af(x)dx+ g(x)dx =

b∫af(x)dx+

b∫ag(x)dx

2.b∫aλf(x)dx = λ

b∫af(x)dx

3. f ≤ g ⇒b∫af(x)dx ≤

b∫ag(x)dx

4.

∣∣∣∣ b∫af(x)dx

∣∣∣∣ ≤ b∫a|f(x)|dx

5.b∫af(x)dx =

c∫af(x)dx+

b∫cf(x)dx a < c < b

6. Gilt m ≤ f(x) ≤M fur alle x ∈ [a, b], so gilt:

b∫amdx ≤

b∫af(x)dx ≤

b∫aMdx

Bemerkung: Die Integration ist eine lineare Abbildung (vgl. 1 + 2)!

8.1.3. Satze uber die Integration

Satz 84: Folgerung aus den Integrationsregeln

m(b− a) ≤b∫af(x)dx ≤M(b− a)

Satz 85: Mittelwertsatz der Integralrechnung

f : [a, b] 7→ R stetig. Dann existiert ein ς ∈ [a, b] mit

1

b− a

b∫a

f(x)dx = f(ς)

Definition:

b∫a

f(x)dx =: −a∫b

f(x)dx



F (x) :=

x∫a

f(t)dt

F (a) =

a∫a

f(t)dt = 0

Satz 86: Funktion und Stammfunktion

F ist differenzierbar. F ′ = f (mit F : [a, b] 7→ R).

Definition: G : I 7→ R, differenzierbar, heißt Stammfunktion von f , falls gilt:

G′ = f

Es gilt:

• Stetige Funktionen haben eine Stammfunktion.

• Stammfunktionen sind bis auf eine Konstante eindeutig.

Satz 87: Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung

f : I 7→ R stetig, I Intervall, a ∈ I. Dann gilt:

1. F (x) :=x∫af(t)dt ist Stammfunktion von f (d.h. F ist differenzierbar, F ′ = f (vgl.

Satz 86).

2. G sei beliebige Stammfunktion, dann gilt G = F + const.

3.b∫af(t)dt = G(b)−G(a) =: G(x)

∣∣∣∣ba

Beispiele:

1.

1∫0

exdx = ex∣∣∣∣10

= e1 − e0 = e− 1

2.

5∫1

dx

x=

5∫1

1

xdx = lnx

∣∣∣∣51

= ln 5− ln 1 = ln 5



8.2. Integrationsverfahren

8.2.1. Integration durch Substitution

f : [a, b] 7→ R stetig, g : [a, b] 7→ R differenzierbar, g′ stetig, g streng monoton. Dann gilt:

b∫a

f(x)dx =

g−1(b)∫g−1(a)

f(g(t)

)· g′(t)dt

Beispiele:

1. Bestimme:

7∫1

dx

(5x− 2)3=

t = 5x− 2dt = 5dx15dt = dx

x t

1 37 33

=

33∫3

1

t3· 1

5dt =

1

5

33∫3

1

t3dt =

1

5

[− 1

2· 1

t2

]333

= − 1

10

[1

t2

]333

=

= − 1

10

(1

332− 1

32

)=

4

363

2. Bestimme die Stammfunktion: ∫ex

ex − 1dx =

t = ex − 1dt = exdx

=

∫1

tdt = ln t+ const. =

Rucksubstitution:

= ln(ex − 1) + const.



8.2.2. Partielle Integration

u, v differenzierbar, u′, v′ stetig auf [a, b]

b∫a

u′(x) · v(x)dx = u · v∣∣∣∣ba−

b∫a

u(x) · v′(x)dx

Beispiel:

Bestimme:

π∫0

(x+ 1) sinxdx

v(x) = x+ 1 v′(x) = 1u′(x) = sinx u(x) = − cosx

π∫0

(x+ 1︸︷︷︸v

) sinx︸︷︷︸u′

dx = (x+ 1)︸︷︷︸v

(− cosx)︸︷︷︸u

∣∣∣∣π0−

π∫0

1︸︷︷︸v′

(− cosx︸︷︷︸u

)dx =

= (π + 1)(−(−1))− (1(−1)) + sinx

∣∣∣∣π0

= π + 1 + 1 + 0 = π + 2

8.2.3. Integration komplexwertiger Funktionen

f : [a, b] 7→ C, f(x) = Ref(x) + iImf(x)

Ref(x) = 12

(f(x) + f(x)

)=: u(x)

Imf(x) = 12i

(f(x)− f(x)

)=: v(x) u, v : [a, b] 7→ R

f(x) = u(x) + iv(x)

Definition:

C 3b∫a

f(x)dx :=

b∫a

u(x)dx+ i

b∫a

v(x)dx

wobei u(x) = Ref(x) und v(x) = Imf(x).



8.2.4. Partialbruchzerlegung

Wenn p und q Polynome sind, so heißt pq rationale Funktion. Mittels Partialbruchzerlegung

lassen sich alle rationalen Funktionen integrieren.

Rezept

1. Polynomdivision (falls grad p ≥ grad q)

2. Partialbruchzerlegung

a) Bestimme die Nullstellen von q.

b) Ansatz als Summe der einzelnen Nullstellen:

• Regel 1: x0 reelle Nullstelle 1. Ordnung: Ax−x0

• Regel 2: a+ ib nicht-reelle Nullstelle 1. Ordnung: Ax+B(x−a)2+b2

• Regel 3: x0 reelle Nullstelle 2. Ordnung: Ax−x0 + B

(x−x0)2

• Regel 4: a+ ib nicht-reelle Nullstelle 2. Ordnung: Ax+B(x−a)2+b2 + Cx+D

((x−a)2+b2)2

• Regel 5: x0 reelle Nullstelle 3. Ordnung: Ax−x0 + B

(x−x0)2 + C(x−x0)3

• Regel 6: a+ib nicht-reelle Nullstelle 3. Ordnung: Ax+B(x−a)2+b2 + Cx+D

((x−a)2+b2)2 +

Ex+F

((x−a)2+b2)3

• . . .

c) Multiplikation mit dem Hauptnenner

d) Koeffizientenvergleich

3. Integration

Bemerkung zu den komplexen Nullstellen:

a+ ib sei Nullstelle ⇒ a− ib ist Nullstelle. Zusammengefasst ergibt sich:(x− (a+ ib)

)(x− (a− ib)

)=((x− a) + ib

)((x− a)− ib

)= (x− a)2 + b2

Beispiel:

∫5x2 − 4x+ 7

(x− 1)2(x+ 3)dx

Nullstellen des Nennerpolynoms: x = 1 (doppelt) und x = −3



Ansatz:

5x2 − 4x+ 7

(x− 1)2(x+ 3)=

A

x− 1+

B

(x− 1)2+

C

x+ 3

∣∣∣∣∣∣∣Multiplikation mit

dem Hauptnenner:

·(x− 1)2(x+ 3)

5x2 − 4x+ 7 = A(x− 1)(x+ 3) +B(x+ 3) + C(x− 1)2

5x2 − 4x+ 7 = A(x2 + 3x− x− 3) +B(x+ 3) + C(x2 − 2x+ 1)

5x2 − 4x+ 7 = x2 (A+ C)︸︷︷︸5

+x (2A+B − 2C)︸︷︷︸−4

+1 (−3A+ 3B + C)︸︷︷︸7

Auflosen, zum Beispiel mit Gaußverfahren: 1 0 1 52 1 −2 −4−3 3 1 7

II− 2IIII + 3I 1 0 1 5

0 1 −4 −140 3 4 22

III− 3II 1 0 1 5

0 1 −4 −140 0 16 64

⇒ A+ 4 = 5⇒ A = 1⇒ B − 16 = −14⇒ B = 2⇒ C = 4

5x2 − 4x+ 7

(x− 1)2(x+ 3)=

1

x− 1+

2

(x− 1)2+

4

x+ 3

∫5x2 − 4x+ 7

(x− 1)2(x+ 3)dx =

∫1

x− 1dx+

∫2

(x− 1)2dx+

∫4

x+ 3dx

∫5x2 − 4x+ 7

(x− 1)2(x+ 3)dx = ln (x− 1) +

−2

(x− 1)+ 4 ln (x+ 3) + const.

8.3. Uneigentliche Integrale

Definition:

f : [a, b] 7→ R sei auf jedem Intervall [a, b], b > 0 stuckweise stetig oder monoton. Also

existiertb∫af(x)dx fur alle b > 0.



Existiert zudem limb→∞

b∫af(x)dx so gilt:

∞∫a

f(x)dx := limb→∞

b∫a

f(x)dx

Analog gilt:

b∫−∞

f(x)dx := lima→−∞

b∫a

f(x)dx

Beispiele

1.

∞∫1

dx

x2= lim

b→∞

b∫1

dx

x2= lim

b→∞−1

x

∣∣∣∣b1

= limb→∞

−1

b+ 1 = 1

2.

∞∫1

1

xdx = lim

b→∞

b∫1

dx

x= lim

b→∞lnx

∣∣∣∣b1

= limb→∞

ln b− ln 1 = limb→∞

ln b =∞

3.

∞∫0

1

x2 + 1dx = lim

b→∞

b∫0

1

x2 + 1dx = lim

b→∞arctanx

∣∣∣∣b0

=

= limb→∞

arctan b− arctan 0 =π

2− 0 =

π

2

Definition:

∞∫−∞

f(x)dx =

∞∫0

f(x)dx+

0∫−∞

f(x)dx = limb→∞

b∫0

f(x)dx+ lima→−∞

0∫a

f(x)dx

Definition:

f : (a, b] 7→ R sei stuckweise stetig oder monoton. Dann gilt:

∞∫−∞

f(x)dx = limb→∞

b∫0

f(x)dx+ lima→−∞

0∫a

f(x)dx



Analog fur f : [a, b) 7→ R.

Beispiel

1∫0

dx√x

= limc→0+

1∫c

1√xdx = lim

c→0+2√x

∣∣∣∣1c

= limc→0+

2√

1− 2√c =

= 2− limc→0+

2√c = 2− 0 = 2

8.4. Fourier-Analysis

Achtung: Die Fourier-Analysis in diesem Skript ist nicht vollstandig behandelt, da sie nichtBestandteil der Mathematik 1-Prufung im Wintersemester 2011/2012 war.

Vorbemerkung: T -Periodizitat

f : R 7→ R heißt T -periodisch, falls

f(x) = f(x+ T )

fur alle x ∈ R mit (T > 0) gilt.

Beispiele: sin und cos sind 2π-periodisch.

Definition Fourierapproximation

f : R 7→ R, T -periodisch, ω := 2πT , f sei stuckweise monoton/stetig. Es sei:

ak :=2

T

T∫0

f(t) · cos kωt dt k = 0, 1, 2, . . .

bk :=2

T

T∫0

f(t) · sin kωt dt k = 1, 2, 3, . . .

Dann nennen wir

φn(t) =a02

+n∑k=1

ak · cos kωt+ bk · sin kωt

das n-te Fouriererpolynom oder die n-te Fourierapproximation (spater: f ≈ φ).



Beispiel

f(t) =

{−1 fur − π ≤ t < 0 Fortgesetzt auf R1 fur 0 < t ≤< π mittels f(t+ 2π) = f(t).

1. Beobachtung: f ist 2π-periodisch und ungerade (f(−t) = −f(t)).

2. Bestimmung der Fourierkoeffizienten ω, ak, bk:

ω =2π

T=

2π

2π= 1

k = 0:

a0 =2

T

T∫0

f(t) dt =2

2π

2π∫0

f(t) dt =1

π

( π∫0

f(t) dt+

2π∫π

f(t) dt

)=

=1

π

( π∫0

1 dt−2π∫π

1 dt

)=

1

π

((π − 0)− (2π − π)

)=

1

π(π − π) = 0

k ≥ 1:

ak =1

π

2π∫0

f(t) · cos kωt dt =1

π

( π∫0

f(t) · cos kt dt+

2π∫π

f(t) · cos kt dt

)=

=1

π

( π∫0

cos kt dt−2π∫π

cos kt dt

)=

1

π

(1

ksin kt

∣∣∣∣π0− 1

ksin kt

∣∣∣∣2ππ

)=

=1

π

(1

k

(sin kπ − sin 0

)− 1

k

(sin 2kπ − sin kπ

))= 0

bk =1

π

2π∫0

f(t) · sin kωt dt =1

π

( π∫0

f(t) · sin kt dt+

2π∫π

f(t) · sin kt dt)

=

=1

π

( π∫0

sin kt dt−2π∫π

sin kt dt

)=

1

π

(− 1

kcos kt

∣∣∣∣π0

+1

kcos kt

∣∣∣∣2ππ

)=



=1

π

(− 1

k

(cos kπ − cos 0︸︷︷︸

=1

)+

1

k

(cos 2kπ︸︷︷︸

=1

− cos kπ))

=1

kπ

(2− 2 cos kπ

)

=

{4kπ k ungerade0 k gerade

3. Bestimmung der Funktion

φn(t) =a02

+n∑k=1

ak · cos kωt+ bk · sin kωt =n∑k=1

bk · sin kt =

=4

πsin t︸︷︷︸k=1

+ 0︸︷︷︸k=2

+4

3πsin 3t︸︷︷︸k=3

+4


+4


+ . . .+ bn sinnt

φn(t) =n∑k=0

4

(2k + 1)πsin(2k + 1)t

φ1(t) =4

πsin t

φ3(t) =4

πsin t+

4

3πsin 3t

φ5(t) =4

πsin t+

4

3πsin 3t+

4

5πsin 5t

Hinweis:

f ungerade ⇒ ak = 0

f gerade ⇒ bk = 0

Satz:

f : R 7→ R, T = 2πω , f T -periodisch und stuckweise monoton oder stetig. Dann gilt:

1. An allen Stetigkeitspunkten t (d.h. f ist stetig in t) konvergiert

(φn(t)

)n∈N

gegen

f(t), also gilt:

limn→∞

φn(t) = f(x)

2. An allen Unstetigkeitspunkten t0 von f (Sprunge) konvergiert

(φn(t0)

)n∈N

gegen den

”Mittelwert des Sprunges“, also gilt:

limn→∞

φn(t0) =1

2

(limt→t0+

f(t) + limt→t0−

f(t)

)︸︷︷︸

”Sprunghohe“



Mathematik 1 - Startseite TU Ilmenau · Wichtige Hinweise: Bei diesem Skript handelt es sich um...

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