MATHEMATICS STANDARD LEVEL PAPER 1 - SAT PREP

11 pages

M14/5/MATME/SP1/ENG/TZ1/XX

Tuesday 13 May 2014 (afternoon)

MATHEMATICSSTANDARD LEVELPAPER 1

INSTRUCTIONS TO CANDIDATES

• Write your session number in the boxes above.• Do not open this examination paper until instructed to do so.• You are not permitted access to any calculator for this paper.• Section A: answer all questions in the boxes provided.• Section B: answer all questions in the answer booklet provided. Fill in your session number

on the front of the answer booklet, and attach it to this examination paper and your cover sheet using the tag provided.

• Unless otherwise stated in the question, all numerical answers should be given exactly or correct to three signifi cant fi gures.

• A clean copy of the Mathematics SL formula booklet is required for this paper.• The maximum mark for this examination paper is [90 marks].

1 hour 30 minutes

© International Baccalaureate Organization 2014

Examination code

2 2 1 4 – 7 3 0 3

Candidate session number

12EP01

– 2 – M14/5/MATME/SP1/ENG/TZ1/XX

12EP02

Full marks are not necessarily awarded for a correct answer with no working. Answers must be supported by working and/or explanations. Where an answer is incorrect, some marks may be given for a correct method, provided this is shown by written working. You are therefore advised to show all working.

SECTION A

Answer all questions in the boxes provided. Working may be continued below the lines if necessary.

1. [Maximum mark: 5]

Let 2( ) ( )f x a x h k . The vertex of the graph of f is at (2, 3) and the graph passes through (1, 7) .

(a) Write down the value of h and of k . [2]

(b) Find the value of a . [3]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– 3 –

Turn over


12EP03


In an arithmetic sequence, the third term is 10 and the fi fth term is 16.

(a) Find the common difference. [2]

(b) Find the fi rst term. [2]

(c) Find the sum of the fi rst 20 terms of the sequence. [3]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


12EP04


Let 2( )f x x .

(a) Find 2 2

1( ) df x x . [4]

(b) The following diagram shows part of the graph of f .

3

2

1

1 2

y

x

5

4

0

RR

The shaded region R is enclosed by the graph of f , the x-axis and the lines 1x and 2x .

Find the volume of the solid formed when R is revolved 360 about the x-axis. [2]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– 5 –

Turn over


12EP05


(a) Write down the value of

(i) 3log 27 ;

(ii) 81log8

;

(iii) 16log 4 . [3]

(b) Hence, solve 3 8 16 41log 27 log log 4 log8

x . [3]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


12EP06


Celeste wishes to hire a taxicab from a company which has a large number of taxicabs. The taxicabs are randomly assigned by the company.

The probability that a taxicab is yellow is 0.4.The probability that a taxicab is a Fiat is 0.3.The probability that a taxicab is yellow or a Fiat is 0.6.

Find the probability that the taxicab hired by Celeste is not a yellow Fiat.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– 7 –

Turn over


12EP07


Let 1cos 2 d2

ax x

, where 2a . Find the value of a .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


12EP08


Let 3 2( )f x px px qx .

(a) Find ( )f x . [2]

(b) Given that ( ) 0f x , show that 2 3p pq . [5]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– 9 –

Turn over


12EP09

Do NOT write solutions on this page.

SECTION B

Answer all questions in the answer booklet provided. Please start each question on a new page.


The line 1L passes through the points A(2, 1, 4) and B(1, 1, 5) .

(a) Show that 1

AB= 01

. [1]

(b) Hence, write down

(i) a direction vector for 1L ;

(ii) a vector equation for 1L . [3]

Another line 2L has equation 4 07 14 1

s

r . The lines 1L and 2L intersect at the point P.

(c) Find the coordinates of P. [6]

(d) (i) Write down a direction vector for 2L .

(ii) Hence, fi nd the angle between 1L and 2L . [7]


12EP10



Bill and Andrea play two games of tennis. The probability that Bill wins the fi rst game is 45

.

If Bill wins the fi rst game, the probability that he wins the second game is 56

.

If Bill loses the fi rst game, the probability that he wins the second game is 23

.

(a) Copy and complete the following tree diagram. (Do not write on this page.) [3]

Bill wins

Andrea wins

Bill wins

Andrea wins

Bill wins

Andrea wins

45

56

16

First Game

Second Game

(b) Find the probability that Bill wins the fi rst game and Andrea wins the second game. [2]

(c) Find the probability that Bill wins at least one game. [4]

(d) Given that Bill wins at least one game, fi nd the probability that he wins both games. [5]


12EP11



The sides of a square are 16 cm in length. The midpoints of the sides of this square are joined to form a new square and four triangles (diagram 1). The process is repeated twice, as shown in diagrams 2 and 3.

A1

x1

16

diagram 1 diagram 2 diagram 3

Let nx denote the length of one of the equal sides of each new triangle.Let nA denote the area of each new triangle.

(a) The following table gives the values of nx and nA , for 1 3n . Copy and complete the table. (Do not write on this page.) [4]

n 1 2 3

nx 8 4

nA 32 16

(b) The process described above is repeated. Find 6A . [4]

(c) Consider an initial square of side length k cm. The process described above is repeated indefi nitely. The total area of the shaded regions is k cm2. Find the value of k . [7]

Please do not write on this page.

Answers written on this page will not be marked.

12EP12

13 pages



MATHEMATICSSTANDARD LEVELPAPER 1




• Unless otherwise stated in the question, all numerical answers should be given exactly or correct to three signifi cant fi gures.


1 hour 30 minutes


Examination code

2 2 1 4 – 7 3 0 5


22147305

16EP01


16EP02



– 3 –

Turn over


16EP03


SECTION A



The following diagram shows a right-angled triangle, ABC, where 5sin13

A .

AC

B diagram not to scale

(a) Show that 12cos13

A . [2]

(b) Find cos 2A . [3]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


16EP04


Find the value of each of the following, giving your answer as an integer.

(a) 6log 36 [2]

(b) 6 6log 4 log 9 [2]

(c) 6 6log 2 log 12 [3]

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– 5 –

Turn over


16EP05


The following diagram shows the graph of ( )y f x , for 4 5x .

2 4 6–2–4–6

2

4

6

–2

–4

–6

y

x0

(a) Write down the value of

(i) ( 3)f ;

(ii) 1(1)f . [2]

(b) Find the domain of 1f . [2]

(c) On the grid above, sketch the graph of 1f . [2]

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16EP06


The line L is parallel to the vector 32

.

(a) Find the gradient of the line L . [2]

The line L passes through the point (9, 4) .

(b) Find the equation of the line L in the form y ax b . [3]

(c) Write down a vector equation for the line L . [2]

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– 7 –

Turn over


16EP07


The graph of a function h passes through the point , 512

.

Given that ( ) 4cos 2h x x , fi nd ( )h x .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


16EP08


The following diagram shows part of the graph of ( )y f x .

y

x–2–4 2 4 6 8 10

B

A

0–6

The graph has a local maximum at A, where 2x , and a local minimum at B, where 6x .

(a) On the following axes, sketch the graph of ( )y f x . [4]

y

–2–4 2 4 6 8 100–6 x

(This question continues on the following page)

– 9 –

Turn over


16EP09

(Question 6 continued)

(b) Write down the following in order from least to greatest: (0)f , (6)f , ( 2)f . [2]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


16EP10


The sums of the terms of a sequence follow the pattern

1 2 3 41 , 5 3 , 12 7 , 22 15S k S k S k S k , …, where k .

(a) Given that 1 1u k , fi nd 2u , 3u and 4u . [4]

(b) Find a general expression for nu . [4]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– 11 –

Turn over


16EP11


SECTION B



Let 2( ) 3 6f x x x p . The equation ( ) 0f x has two equal roots.

(a) (i) Write down the value of the discriminant.

(ii) Hence, show that 3p . [3]

The graph of f has its vertex on the x-axis.

(b) Find the coordinates of the vertex of the graph of f . [4]

(c) Write down the solution of ( ) 0f x . [1]

(d) The function can be written in the form 2( ) ( )f x a x h k . Write down the value of

(i) a ;

(ii) h ;

(iii) k . [3]

(e) The graph of a function g is obtained from the graph of f by a refl ection of f in

the x-axis, followed by a translation by the vector 06

. Find g , giving your answer in

the form ( ) 2g x Ax Bx C . [4]


16EP12



Distances in this question are in metres.

Ryan and Jack have model airplanes, which take off from level ground. Jack’s airplane takes off after Ryan’s.

The position of Ryan’s airplane t seconds after it takes off is given by 5 46 20 4

t

r .

(a) Find the speed of Ryan’s airplane. [3]

(b) Find the height of Ryan’s airplane after two seconds. [2]

The position of Jack’s airplane s seconds after it takes off is given by 39 4

44 60 7

s

r .

(c) Show that the paths of the airplanes are perpendicular. [5]

The two airplanes collide at the point ( 23, 20, 28) .

(d) How long after Ryan’s airplane takes off does Jack’s airplane take off ? [5]


16EP13



Let 2

2( )5

xf xx

.

(a) Use the quotient rule to show that 2

2 2

10 2( )( 5)

xf xx

. [4]

(b) Find 2

2 d5

x xx

. [4]

The following diagram shows part of the graph of f .

y

x

f

q5

(c) The shaded region is enclosed by the graph of f , the x-axis, and the lines 5x and x q . This region has an area of ln 7 . Find the value of q . [7]



16EP14



16EP15



16EP16

12 pages

N14/5/MATME/SP1/ENG/TZ0/XX

Wednesday 12 November 2014 (afternoon)

MATHEMATICSSTANDARD LEvELPAPER 1




• Unless otherwise stated in the question, all numerical answers should be given exactly or correct to three significant figures.


1 hour 30 minutes


Examination code

8 8 1 4 – 7 3 0 1


12EP01

88147301

– 2 – N14/5/MATME/SP1/ENG/TZ0/XX

12EP02


SECTION a



Let 2( ) 6f x x x= + − .

(a) Write down the y-intercept of the graph of f . [1]

(b) Solve ( ) 0f x = . [3]

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– 3 –

Turn over


12EP03


(c) On the following grid, sketch the graph of f , for 4 3x− ≤ ≤ . [3]

x

y

–2–4 2 41 3–1–3–5

2

4

6

5

1

3

–2

–4

–6

–1

–3

–5

–7

0


12EP04


In an arithmetic sequence, the first term is 2 and the second term is 5.

(a) Find the common difference. [2]

(b) Find the eighth term. [2]

(c) Find the sum of the first eight terms of the sequence. [2]

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– 5 –

Turn over



The following diagram shows a board which is divided into three regions A, B and C.

AB

C

A game consists of a contestant throwing one dart at the board. The probability of hitting each region is given in the following table.

Region A B C

Probability520

420

120

(a) Find the probability that the dart does not hit the board. [3]

The contestant scores points as shown in the following table.

Region A B C Does not hit the board

Points 0 q 10 3−

(b) Given that the game is fair, find the value of q . [4]

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12EP05


12EP06


(a) Write the expression 3ln 2 ln 4− in the form ln k , where k∈ . [3]

(b) Hence or otherwise, solve 3ln 2 ln 4 ln x− = − . [3]

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– 7 –

Turn over


12EP07


Let 9( )f x px q

= +−

, for x q≠ . The line 3x = is a vertical asymptote to the graph of f .

(a) Write down the value of q . [1]

The graph of f has a y-intercept at (0, 4) .

(b) Find the value of p . [4]

(c) Write down the equation of the horizontal asymptote of the graph of f . [1]

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12EP08


The following diagram shows the graph of 2( )1

xf xx

=+

, for 0 4x≤ ≤ , and the line x = 4 .

y

x0 4

R

Let R be the region enclosed by the graph of f , the x-axis and the line 4x = .

Find the area of R .

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– 9 –

Turn over


12EP09


The following diagram shows triangle ABC.

diagram not to scale

A

B

C

Let AB AC 5 3→ →

= − and AB AC 10→ →

= . Find the area of triangle ABC.

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12EP10


SECTION B



Adam travels to school by car (C ) or by bicycle (B). On any particular day he is equally likely to travel by car or by bicycle.

The probability of being late (L) for school is 16

if he travels by car.

The probability of being late for school is 13

if he travels by bicycle.

This information is represented by the following tree diagram.

C

B

L

L´

L

L´

12

16

13

12

23

p

(a) Find the value of p . [2]

(b) Find the probability that Adam will travel by car and be late for school. [2]

(c) Find the probability that Adam will be late for school. [4]

(d) Given that Adam is late for school, find the probability that he travelled by car. [3]

Adam will go to school three times next week.

(e) Find the probability that Adam will be late exactly once. [4]

– 11 –

Turn over


12EP11



The following diagram shows the graph of a function f . There is a local minimum point at A, where 0x > .

y

x

A

The derivative of f is given by 2( ) 3 8 3f x x x′ = − − .

(a) Find the x-coordinate of A. [5]

(b) The y-intercept of the graph is at (0, 6) . Find an expression for ( )f x . [6]

The graph of a function g is obtained by reflecting the graph of f in the y-axis, followed by a

translation of mn

.

(c) Find the x-coordinate of the local minimum point on the graph of g . [3]


12EP12



Let xL be a family of lines with equation given by 2

22

x xt

x

= + −

r , where x > 0 .

(a) Write down the equation of 1L . [2]

A line La crosses the y-axis at a point P.

(b) Show that P has coordinates 40,a

. [6]

The line La crosses the x-axis at Q(2 , 0)a . Let 2PQd = .

(c) Show that 22

164d aa

= + . [2]

(d) There is a minimum value for d . Find the value of a that gives this minimum value. [7]


m15/5/mATmE/SP1/Eng/TZ1/XX

MathematicsStandard levelPaper 1

© International Baccalaureate Organization 201511 pages2215 – 7303

Tuesday 12 May 2015 (morning)

Instructions to candidates





1 hour 30 minutes

12EP01

– 2 –


Section a



A discrete random variable X has the following probability distribution.

x 0 1 2 3

P ( X = x)310

410

210

p

(a) Find p . [3]

(b) Find E (X) . [3]

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12EP02


– 3 –

Turn over


The following diagram shows a circle with centre O and a radius of 10 cm. Points A, B and C lie on the circle.

O

A

B

10

1.2

C

Angle AOB is 1.2 radians.

(a) Find the length of arc ACB. [2]

(b) Find the perimeter of the shaded region. [3]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12EP03


– 4 –


(a) Given that 2m = 8 and 2n = 16 , write down the value of m and of n . [2]

(b) Hence or otherwise solve 82x + 1 = 162x − 3 . [4]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12EP04


– 5 –

Turn over


The following diagram shows the graph of a function f .

x

y

2 41 3–1

2

1

3

–2

–1

065 7–3–4 –2–5–6–7

–3

(a) Find f −1 (−1) . [2]

(b) Find ( f f )(−1) . [3]

(c) On the same diagram, sketch the graph of y = f (−x) . [2]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12EP05


– 6 –


Given that sin x =34

, where x is an obtuse angle, find the value of

(a) cos x ; [4]

(b) cos 2x . [3]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12EP06


– 7 –

Turn over


Let f x px p x p( ) ( )= + − + −2 10 54

5 .

(a) Show that the discriminant of f (x) is 100 − 4p2 . [3]

(b) Find the values of p so that f (x) = 0 has two equal roots. [3]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12EP07


– 8 –


Let f (x) = cos x , for 0 ≤ x ≤ 2π . The following diagram shows the graph of f .

There are x-intercepts at x = π2

, 3π2

.

x

y

1

–1

0

2π π

23π 2πb

R

The shaded region R is enclosed by the graph of f , the line x = b , where b > 32π

, and

the x-axis. The area of R is 1 32

−

. Find the value of b .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12EP08


– 9 –

Turn over

Do not write solutions on this page.

Section B



A line L passes through points A (−2 , 4 , 3) and B (−1 , 3 , 1) .

(a) (i) Show that AB→

= −−

112

.

(ii) Find AB→

. [3]

(b) Find a vector equation for L . [2]

The following diagram shows the line L and the origin O . The point C also lies on L .

B

A

C

L

O

Point C has position vector 0

1y−

.

(c) Show that y = 2 . [4]

(d) (i) Find OC AB→ →

.

(ii) Hence, write down the size of the angle between OC and L . [3]

(e) Hence or otherwise, find the area of triangle OAB. [4]

12EP09


– 10 –



A function f has its derivative given by f ′(x) = 3x2 − 2kx − 9 , where k is a constant.

(a) Find f ″(x) . [2]

The graph of f has a point of inflexion when x = 1 .

(b) Show that k = 3 . [3]

(c) Find f ′(−2) . [2]

(d) Find the equation of the tangent to the curve of f at (−2 , 1) , giving your answer in the form y = ax + b . [4]

(e) Given that f ′(−1) = 0 , explain why the graph of f has a local maximum when x = −1 . [3]

12EP10


– 11 –



Ann and Bob play a game where they each have an eight-sided die. Ann’s die has three green faces and five red faces; Bob’s die has four green faces and four red faces. They take turns rolling their own die and note what colour faces up. The first player to roll green wins. Ann rolls first. Part of a tree diagram of the game is shown below.

Ann’s 1st roll

Ann wins

Ann loses

Bob’s 1st roll

Bob wins

Bob loses

Ann’s 2nd roll

Annwins

Ann loses

Ann’s 3rd roll

Ann wins

Ann loses

Bob’s 2nd roll

Bob wins

Bob loses

(a) Find the probability that Ann wins on her first roll. [2]

(b) (i) The probability that Ann wins on her third roll is 5848

38

× × × ×p q .

Write down the value of p and of q .

(ii) The probability that Ann wins on her tenth roll is 38rk where r ∈ , k ∈ .

Find the value of r and of k . [6]

(c) Find the probability that Ann wins the game. [7]

12EP11




12EP12

1 hour 30 minutes




© International Baccalaureate Organization 201512 pages2215 – 7305

Tuesday 12 May 2015 (morning)






12EP01

– 2 –


Section a



Abagcontainseightmarbles.Threemarblesareredandfiveareblue.Twomarblesaredrawn from the bag without replacement.

(a) Writedowntheprobabilitythatthefirstmarbledrawnisred. [1]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) Complete the following tree diagram. [3]

Red

Red

Blue

Blue

Red

Blue

47

First Marble Second Marble

58

(c) Find the probability that both marbles are blue. [2]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12EP02


– 3 –

Turn over


Let f x a bx( ) sin= , where b > 0 . The following diagram shows part of the graph of f .

–3

–2

–1

y

x0

3

2

1

2π

−2π π 3

2π 2π

(a) (i) Find the period of f .

(ii) Write down the amplitude of f . [3]

(b) (i) Write down the value of a .

(ii) Find the value of b . [3]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12EP03


– 4 –


The following cumulative frequency diagram shows the lengths of 160fish,incm.

1 2 3 4 5 60

20

40

60

80

100

120

140

160

Cum

ulat

ive

frequ

ency

Length (cm)


12EP04


– 5 –

Turn over


(a) Find the median length. [2]

The following frequency table also gives the lengths of the 160fish.

Length x cm 0 ≤ x ≤ 2 2 < x ≤ 3 3 < x ≤ 4.5 4.5 < x ≤ 6

Frequency p 50 q 20

(b) (i) Write down the value of p .

(ii) Find the value of q . [4]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12EP05


– 6 –


Let g x xx

( ) ln= .

(a) Find g′( x ) . [4]

(b) Find ( )dg x x∫ . [3]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12EP06


– 7 –

Turn over


Let f ( x ) = e–2x .

(a) Write down ′f x( ) , ′′f x( ) , and f x( ) ( )3 . [3]

(b) Find an expression for f xn( ) ( ) . [3]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12EP07


– 8 –


Let f ( x ) = ax3 + bx . At x = 0 , the gradient of the curve of f is 3. Given that f –1 (7) = 1 , findthevalueofa and of b .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12EP08


– 9 –

Turn over


A bag contains black and white chips. Rose pays $10 to play a game where she draws a chip from the bag. The following table gives the probability of choosing each colour chip.

Outcome black white

Probability 0.4 0.6

Rose gets no money if she draws a white chip, and gets $k if she draws a black chip. The game is fair. Find the value of k .

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12EP09


– 10 –


Section B



Let f ( x ) = a ( x + 3)( x − 1) . The following diagram shows part of the graph of f .

y

x

f

qp

12

The graph has x-intercepts at ( p , 0) and ( q , 0) , and a y-intercept at (0 , 12) .

(a) (i) Write down the value of p and of q .

(ii) Find the value of a . [6]

(b) Find the equation of the axis of symmetry of the graph of f . [3]

(c) Find the largest value of f . [3]

The function f can also be written as f ( x ) = a ( x − h)2 + k .

(d) Find the value of h and of k . [3]

12EP10


– 11 –

Turn over



Let P and Q have coordinates (1 , 0 , 2) and (–11 , 8 , m) respectively.

(a) Express PQ→

in terms of m . [2]

Let a and b be perpendicular vectors, where a =

11n

and b =−

321

.

(b) Find n . [4]

(c) Given that PQ→

is parallel to b ,

(i) express PQ→

in terms of b ;

(ii) hencefindm . [5]

In part (d), distance is in metres, time is in seconds.

(d) A particle moves along a straight line through Q so that its position is given by r = c + ta .

(i) Write down a possible vector c .

(ii) Find the speed of the particle. [4]

12EP11


– 12 –



Consider a function f with domain −3 < x < 3 . The following diagram shows the graph of ′f , the derivative of f .

y

x0a b c d 3–3

f ′

The graph of f ʹ has x-intercepts at x = a , x = 0 , and x = d . There is a local maximum at x = b and local minima at x = a and at x = c .

(a) Find all possible values of x where the graph of f is decreasing. [3]

(b) (i) Find the value of x where the graph of f has a local minimum.

(ii) Justify your answer. [3]

(c) The total area of the region enclosed by the graph of ′f and the x-axis is 15. Given that f ( a ) = 3 and f ( d ) = −1 ,findthevalueoff ( 0 ). [8]

12EP12





© International Baccalaureate Organization 201513 pages


yy Write your session number in the boxes above.yy Do not open this examination paper until instructed to do so.yy You are not permitted access to any calculator for this paper.yy Section A: answer all questions in the boxes provided.yy Section B: answer all questions in the answer booklet provided. Fill in your session number


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1 hour 30 minutes

Wednesday 11 November 2015 (morning)

8815 – 7301

16EP01

– 2 –




16EP02

– 3 –

Turn over


Section A



The following box-and-whisker plot represents the examination scores of a group of students.

Examination scores

40 d 60 74 c

(a) Write down the median score. [1]

The range of the scores is 47 marks, and the interquartile range is 22 marks.

(b) Find the value of

(i) c ;

(ii) d . [4]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


16EP03

– 4 –


The following diagram shows the parallelogram ABCD.

B C

A D

qp

Let AB→

= p and AC→

= q . Find each of the following vectors in terms of p and/or q .

(a) CB→

[2]

(b) CD→

[2]

(c) DB→

[3]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


16EP04

– 5 –

Turn over


Let f ′(x) = 6x2 − 5 . Given that f (2) = −3 , find f (x) .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


16EP05

– 6 –


Let f (x) = 3 sin (πx) .

(a) Write down the amplitude of f . [1]

(b) Find the period of f . [2]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) On the following grid, sketch the graph of y = f (x) , for 0 ≤ x ≤ 3 . [4]

0 x

y

– 4

– 1– 1 1 2 3 4

– 3

– 2

1

2

3

4


16EP06

– 7 –

Turn over


Let f (x) = (x − 5)3 , for x ∈ .

(a) Find f −1 (x) . [3]

(b) Let g be a function so that ( f g) (x) = 8x6 . Find g (x) . [3]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


16EP07

– 8 –


In the expansion of (3x + 1)n , the coefficient of the term in x2 is 135n , where n ∈ + . Find n .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


16EP08

– 9 –

Turn over


An arithmetic sequence has the first term ln a and a common difference ln 3 . The 13th term in the sequence is 8 ln 9 . Find the value of a .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


16EP09

– 10 –


Section B



The following diagram shows part of the graph of a quadratic function f .

y

x

(1, –9)(0, c)

The vertex is at (1 , −9) , and the graph crosses the y-axis at the point (0 , c) .

The function can be written in the form f (x) = (x − h)2 + k .


(b) Find the value of c . [2]

Let g (x) = −(x − 3)2 + 1 . The graph of g is obtained by a reflection of the graph of f in

the x-axis, followed by a translation of pq

.

(c) Find the value of p and of q . [5]

(d) Find the x-coordinates of the points of intersection of the graphs of f and g . [7]


16EP10

– 11 –

Turn over



A line L1 passes through the points A (0 , −3 , 1) and B (−2 , 5 , 3) .

(a) (i) Show that AB→

=−

282

.

(ii) Write down a vector equation for L1 . [3]

A line L2 has equation r =−

−

+−

174

011

s . The lines L1 and L2 intersect at a point C.

(b) Show that the coordinates of C are (−1 , 1 , 2) . [5]

(c) A point D lies on line L2 so that CD→

= 18 and CA CD 9→ →

= − . Find ˆACD . [7]


16EP11

– 12 –



Let y = f (x) , for − 0.5 ≤ x ≤ 6.5 . The following diagram shows the graph of f ′, the derivative of f .

20

y

x5 6 741 3

y f x= ′( )

The graph of f ′ has a local maximum when x = 2 , a local minimum when x = 4 , and it crosses the x-axis at the point (5 , 0) .

(a) Explain why the graph of f has a local minimum when x = 5 . [2]

(b) Find the set of values of x for which the graph of f is concave down. [2]



16EP12

– 13 –



The following diagram shows the shaded regions A , B and C .

0

y

x

A

B

C

y f x= ′( )

2 5 6 741 3

The regions are enclosed by the graph of f ′ , the x-axis, the y-axis, and the line x = 6 . The area of region A is 12, the area of region B is 6.75 and the area of region C is 6.75.

(c) Given that f (0) = 14 , find f (6) . [5]

(d) Let ( )2( ) ( )g x f x= . Given that f ′(6) = 16 , find the equation of the tangent to the graph of g at the point where x = 6 . [6]


16EP13



16EP14



16EP15



16EP16






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1 hour 30 minutes


2216 – 7303

12EP01

– 2 –



12EP02


– 3 –

Turn over


Section A



Let f (x) 8x � 3 and g (x) 4x , for x ��\ .

(a) Write down g (2) . [1]

(b) Find ( f D g) (x) . [2]

(c) Find f ��x) . [2]

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12EP03


– 4 –


The following Venn diagram shows the events A and B , where P (A) 0.4 , P (A � B) 0.8 and P (A � B) 0.1 . The values p and q are probabilities.

U

qp

BA

(a) (i) Write down the value of q .

(ii) Find the value of p . [3]

(b) Find P (B) . [3]

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12EP04


– 5 –

Turn over


Let ( ) 3sin2

f x xS§ · ¨ ¸© ¹

, for 0 d x d 4 .

(a) (i) Write down the amplitude of f .

(ii) Find the period of f . [3]

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(b) On the following grid sketch the graph of f . [4]

1

2

– 2

– 3

3

4

– 1

– 4

1 2 3 4x

y

0

12EP05


– 6 –


&RQVLGHU�WKH�IROORZLQJ�VHTXHQFH�RI�¿JXUHV�

Figure 1 Figure 2 Figure 3

Figure 1 contains 5 line segments.

(a) Given that Figure n contains 801 line segments, show that n 200 . [3]

�E�� )LQG�WKH�WRWDO�QXPEHU�RI�OLQH�VHJPHQWV�LQ�WKH�¿UVW�200�¿JXUHV� [3]

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12EP06


– 7 –

Turn over


Consider f (x) x2 � qx � r . The graph of f has a minimum value when x �1.5 . The distance between the two zeros of f is 9.

(a) Show that the two zeros are 3 and �6. [2]

(b) Find the value of q and of r . [4]

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12EP07


– 8 –


The following diagram shows triangle ABC. The point D lies on [BC] so that [AD] bisects ˆBAC .


TTA

B

D

Cx

2 5

AB 2 5 cm , AC x cm , and ˆDAC T , where sinT 23

The area of triangle ABC is 5 cm2. Find the value of x .

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12EP08


– 9 –

Turn over


Let f (x) 3 tan4 x � 2k and g ( x) �tan4 x � 8k tan2 x � k , for 0 d x d 1 , where ��N�� .�7KH�JUDSKV�RI��I��DQG��J��LQWHUVHFW�DW�H[DFWO\�RQH�SRLQW��)LQG�WKH�YDOXH�RI��N��

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12EP09


– 10 –


Section B



A school collects cans for recycling to raise money. Sam’s class has 20 students. The number of cans collected by each student in Sam’s class is shown in the following stem and leaf diagram.

Stem Leaf Key: 3 | 1 represents 31 cans2 0, 1, 4, 9, 93 1, 7, 7, 7, 8, 84 1, 2, 2, 3, 5, 6, 7, 85 0

(a) Find the median number of cans collected. [2]

The following box-and-whisker plot also displays the number of cans collected by students in Sam’s class.

a b30 50

(b) (i) Write down the value of a .

(ii) The interquartile range is 14. Find the value of b . [3]

(c) Sam’s class collected 745 cans. They want an average of 40 cans per student. How many more cans need to be collected to achieve this target? [3]

There are 80 students in the school.

(d) The students raise $0.10 for each recycled can.

(i) Find the largest amount raised by a student in Sam’s class.

(ii) The following cumulative frequency curve shows the amounts in dollars raised by all the students in the school. Find the percentage of students in the school who raised more money than anyone in Sam’s class. [5]


12EP10


– 11 –

Turn over



0

10

20

30

40

50

60

70

80C

umul

ativ

e fre

quen

cy

Amount raised (dollars)2 4 6 8 10

(e) The mean number of cans collected is 39.4. The standard deviation is 18.5. Each student then collects 2 more cans.

(i) Write down the new mean.

(ii) Write down the new standard deviation. [2]

12EP11


– 12 –



Let c ��

f x xx x

( ) 6 26 2 , for 0 � x � 6 .

The graph of f has a maximum point at P.

(a) Find the x-coordinate of P. [3]

The y-coordinate of P is ln 27 .

(b) Find f (x) , expressing your answer as a single logarithm. [8]

(c) The graph of f is transformed by a vertical stretch with scale factor 13ln

. The image

of P under this transformation has coordinates (a , b) .

Find the value of a and of b , where a , b � ̀ . [4]


Let f x x( ) �4 5 , for x t �1.25 .

(a) Find f c(1) . [4]

Consider another function g . Let R be a point on the graph of g . The x-coordinate of R is 1 . The equation of the tangent to the graph at R is y 3x � 6 .

(b) Write down g c(1) . [2]

(c) Find g (1) . [2]

(d) Let h (x) f (x) u g (x) . Find the equation of the tangent to the graph of h at the point where x 1 . [7]

12EP12







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FRUUHFW�WR�WKUHH�VLJQL¿FDQW�¿JXUHV��y A clean copy of the mathematics SL formula booklet is required for this paper.

�y The maximum mark for this examination paper is [90 marks].

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2216 – 7305

16EP01

– 2 –

Full marks are not necessarily awarded for a correct answer with no working. Answers must be

supported by working and/or explanations. Where an answer is incorrect, some marks may be given

for a correct method, provided this is shown by written working. You are therefore advised to show

all working.

Section A



The following diagram shows part of the graph of a quadratic function f .

1 2 3 4–1x

y

05 6 7

The vertex is at (3, �1) and the x-intercepts at 2 and 4.

The function f can be written in the form f (x) (x � h)2 � k .


The function can also be written in the form f (x) (x � a) (x � b) .

(b) Write down the value of a and of b . [2]

(c) Find the y-intercept. [2]


16EP02


– 3 –

Turn over


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16EP03


– 4 –


There are 10 items in a data set. The sum of the items is 60.

(a) Find the mean. [2]

The variance of this data set is 3. Each value in the set is multiplied by 4.

(b) (i) Write down the value of the new mean.

(ii) Find the value of the new variance. [3]

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16EP04


– 5 –

Turn over


Let x ln 3 and y ln 5 . Write the following expressions in terms of x and y .

(a) ln 53⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

. [2]

(b) ln 45 . [4]

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16EP05


– 6 –


Three consecutive terms of a geometric sequence are x � 3 , 6 and x � 2 .

Find the possible values of x .

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16EP06


– 7 –

Turn over


The following diagram shows a triangle ABC and a sector BDC of a circle with centre B and

radius 6 cm. The points A , B and D are on the same line.


AB

D

C

6

2 3AB cm 2 3 , BC 6 cm , area of triangle ABC cm2 3 3 , ˆABC is obtuse.

(a) Find ˆABC . [5]

(b) Find the exact area of the sector BDC. [3]

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16EP07


– 8 –


/HW��I��[�� [��í�[��, for �1 � x � 1 , and g ( x) cos (x) , IRU��[��ʌ� . �Let h (�x) ( f q g) (�x) .

(a) Write h (x) in the form a sin (bx) , where a , b � ] . [5]

(b) +HQFH�¿QG�WKH�UDQJH�RI��h . [2]

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16EP08


– 9 –

Turn over


Let u �3i � j � k and v mj � nk , where m , n � \ . Given that v is a unit vector

perpendicular to u��¿QG�WKH�SRVVLEOH�YDOXHV�RI��m and of n .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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16EP09


– 10 –


Section B



In a class of 21 students, 12 own a laptop, 10 own a tablet, and 3 own neither.

The following Venn diagram shows the events “own a laptop” and “own a tablet”.

The values p , q , r and s represent numbers of students.

qr s

laptop

p

tablet

(a) (i) Write down the value of p .

(ii) Find the value of q .

(iii) Write down the value of r and of s . [5]

(b) A student is selected at random from the class.

(i) Write down the probability that this student owns a laptop.

(ii) Find the probability that this student owns a laptop or a tablet but not both. [4]


16EP10


– 11 –

Turn over



(c) Two students are randomly selected from the class. Let L be the event a “student

owns a laptop”.

(i) Copy and complete the following tree diagram. (Do not write on this page.)

L

L

L

11

20

9

20

9

21 Lc

First student Second student

Lc

Lc

(ii) Write down the probability that the second student owns a laptop given that the

¿UVW�RZQV�D�ODSWRS� [4]

16EP11


– 12 –



Fred makes an open metal container in the shape of a cuboid, as shown in the

following diagram.

x

x

y

The container has height x m , width x m and length y m . The volume is 36 m3.

Let A (x) be the outside surface area of the container.

(a) Show that A xx

x( ) = +108 2 2. [4]

(b) Find Ac(x) � [2]

�F� *LYHQ�WKDW�WKH�RXWVLGH�VXUIDFH�DUHD�LV�D�PLQLPXP��¿QG�WKH�KHLJKW�RI�WKH�FRQWDLQHU� [5]

(d) Fred paints the outside of the container. A tin of paint covers a surface area of 10 m2

and costs $20. Find the total cost of the tins needed to paint the container. [5]

16EP12


– 13 –

Turn over


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16EP13


– 14 –



The following diagram shows the graph of f x x a x( ) = −2 2 2, for �1 d x d a , where a ! 1 .

x–1

aO

L

P(a , b)

f

The line L is the tangent to the graph of f at the origin, O. The point P (a , b) lies on L .

(a) (i) Given that ′ = −−

f x a xa x

( ) 2 42 2

2 2, for �1 d x � a��¿QG�WKH�HTXDWLRQ�RI��L .

�LL� +HQFH�RU�RWKHUZLVH��¿QG�DQ�H[SUHVVLRQ�IRU��b in terms of a . [6]


16EP14


y

– 15 –



The point Q (a , 0) lies on the graph of f . Let R be the region enclosed by the graph of f and the x-axis. This information is shown in the following diagram.

x–1

aO

L

P(a , b)

f

R

Q

Let AR be the area of the region R .

(b) Show that A aR 23

3. [6]

(c) Let AT be the area of the triangle OPQ. Given that AT kAR��¿QG�WKH�YDOXH�RI��k . [4]

16EP15


y


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16EP16






yy Write your session number in the boxes above.yy Do not open this examination paper until instructed to do so.yy You are not permitted access to any calculator for this paper.yy Section A: answer all questions in the boxes provided.yy Section B: answer all questions in the answer booklet provided. Fill in your session number


yy Unless otherwise stated in the question, all numerical answers should be given exactly or correct to three significant figures.yy A clean copy of the mathematics SL formula booklet is required for this paper.yy The maximum mark for this examination paper is [90 marks].

1 hour 30 minutes

Thursday 10 November 2016 (afternoon)

8816 – 7301

12EP01

– 2 –


Section A



Let f (x) = x2 − 4x + 5 .

(a) Find the equation of the axis of symmetry of the graph of f . [2]

The function can also be expressed in the form f (x) = (x − h)2 + k .

(b) (i) Write down the value of h .

(ii) Find the value of k . [4]

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12EP02


– 3 –

Turn over


Let sinθ = 53

, where θ is acute.

(a) Find cos θ . [3]

(b) Find cos 2θ . [2]

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12EP03


– 4 –


The values in the fourth row of Pascal’s triangle are shown in the following table.

1 4 6 4 1

(a) WritedownthevaluesinthefifthrowofPascal’striangle. [2]

(b) Henceorotherwise,findtheterminx3 in the expansion of (2x + 3)5 . [5]

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12EP04


– 5 –

Turn over


The position vectors of points P and Q are i + 2 j − k and 7i + 3 j − 4k respectively.

(a) Find a vector equation of the line that passes through P and Q. [4]

(b) The line through P and Q is perpendicular to the vector 2i + nk . Find the value of n . [3]

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12EP05


– 6 –


Events A and B are independent with P (A ∩ B) = 0.2 and P (A′ ∩ B) = 0.6 .

(a) Find P (B) . [2]

(b) Find P (A ∪ B) . [4]

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12EP06


– 7 –

Turn over


Let f ′(x) = sin3 (2x) cos (2x) . Find f (x) , given that 14

f π =

.

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12EP07


– 8 –


Let f x mx

( ) = −1

, for x ≠ 0 . The line y = x − m intersects the graph of f in two distinct

points. Find the possible values of m .

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12EP08


– 9 –

Turn over


Section B



Let OA→

=−

104

and OB→

=

413

.

(a) (i) Find AB→

.

(ii) Find AB→

. [4]

The point C is such that AC→

=−

−

111

.

(b) Show that the coordinates of C are (−2 , 1 , 3) . [1]

The following diagram shows triangle ABC. Let D be a point on [BC], with acute angle ADC = θ .

diagram not to scaleA

B

C

D

θ

(c) Write down an expression in terms of θ for

(i) angle ADB;

(ii) area of triangle ABD. [2]

(d) Given that ABD 3ACD

areaarea

∆=

∆, show that BD

BC=34

. [5]

(e) Henceorotherwise,findthecoordinatesofpointD. [4]

12EP09


– 10 –



Thefirsttwotermsofaninfinitegeometricsequence,inorder,are

2 log2 x , log2 x , where x > 0 .

(a) Find r . [2]

(b) Showthatthesumoftheinfinitesequenceis4 log2 x . [2]

Thefirstthreetermsofanarithmeticsequence,inorder,are

log2 x , log2 2x

, log2 4

x

, where x > 0 .

(c) Find d , giving your answer as an integer. [4]

Let S12 bethesumofthefirst12 terms of the arithmetic sequence.

(d) Show that S12 = 12 log2 x − 66 . [2]

(e) Given that S12isequaltohalfthesumoftheinfinitegeometricsequence,findx , giving your answer in the form 2p , where p ∈ . [3]

12EP10


– 11 –



Let f (x) = cos x .

(a) (i) Findthefirstfourderivativesoff (x) .

(ii) Find f (19)(x) . [4]

Let g (x) = xk , where k ∈ + .

(b) (i) Findthefirstthreederivativesofg (x) .

(ii) Given that g x kk p

xk( ) ( ) !( )!

19 19=−

( )− ,findp . [5]

Let k = 21 and h x f x g x( ) ( ) ( )( ) ( )= ×( )19 19 .

(c) (i) Find h′ (x) .

(ii) Hence, show that 21!( )2

h 2−′ π = π . [7]

12EP11




12EP12

MATHEMATICS STANDARD LEVEL PAPER 1 - SAT PREP

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Transcript of MATHEMATICS STANDARD LEVEL PAPER 1 - SAT PREP