Identidades TrigonométricasUna expresión trigonométrica, es posible

simplificarla o transformarla en otra expresión equivalente a la original,

empleando las principales identidades trigonométricas del seno, coseno,

tangente, cotangente, secante, cosecante, ángulo doble, ángulo medio,

productos de seno y/o coseno.

Así mismo, se dará una interpretación gráfica de algunas identidades, lo cual

es más eficiente en algunos casos.

Para poder alcanzar los objetivos precedentes, se usarán propiedades de

gran  importancia en trigonometría. Así, en esta sección se analizarán varias

de  las denominadas  identidades trigonométricas.

El procedimiento para demostrar  identidades es:

Empezar con el miembro que tenga  la expresión más compleja.

Preferir el uso de  funciones senos y cosenos.

Trabajar en el miembro seleccionado de la expresión teniendo en

cuenta  la expresión del otro miembro.

Identidades Cocientes

Identidades recíprocas

Identidades Pitagóricas

A partir de esta  identidad y dividiendo por cos2

 (x) y sen2

 (x), se obtiene:

Identidades Pares o ImparesEn base a las gráficas de las seis funciones trigonométricas, se puede deducir que:

Ejemplo de demostración de una identidad trigonométrica.

Ejemplo de demostración de una identidad trigonométrica.

Ejemplo demostración de una identidad trigonometrica.

Ejemplo de demostración de una identidad trigonométrica.

Identidades de suma y diferencia de medidas de ángulos

En esta sección vamos a demostrar las identidades correspondientes 

a

cos(xy), cos(xy), sen(xy) y sen(xy).

Sean  los ángulos cuyas medidas son a, b y ab, en  la siguiente gráfica:

yP1 (cos(a), sen(a))

P2 (cos(b), sen(b))

a  b

O a b x

Desde luego,

P1P2 = P1'P2'

y así:

Por otra parte:

Resumiendo

Podemos ahora calcular sen (x  y):

A partir de este resultado, se puede obtener sen (x  y).sen (x  y) = sen[x + ( y)]

= sen(x) cos( y) + cos(x) sen ( y)

Podemos ahora calcular tan(x + y):

A partir de este resultado, se puede obtener  tan (x  y).

También se puede demostrar:

Se pueden comprobar estas últimas  identidades con ángulos notables:

Ejemplo demostración de una identidad trigonométrica.

Ejemplo de demostración de una identidad trigonométrica.

Ejemplo de demostración de una identidad trigonométrica.

Ejemplo de identidades trigonométrica

Ejemplo de identidades trigonométrica y funciones inversas.

Ejemplo aplicación de  identidades trigonométrica.

Identidades de ángulo doble

Identidades de ángulo mitad

cos(2x) = 2 cos2(x) 1

De donde:

Ejemplo Demostración de una identidad trigonométrica

Ejemplo:  Aplicación de identidades trigonométricas.

Ejemplo:  Demostración de una identidad trigonométrica.

Ejemplo Identidades trigonométricas.

Determine si las siguientes expresiones constituyen identidadestrigonométricas.

I

dentidades de suma a producto

Identidades de producto a suma

Ejemplo Demostración de una identidad trigonométrica.

Ejemplo Identidades trigonométricas.

Ejemplo Interpretación gráfica de una identidad trigonométrica.

La Figura 4.14(a) puede interpretarse como una igualdad que se cumplesólo para ciertos elementos del dominio de las funciones, mientras que enla figura 4.14(b) se puede notar que las dos funciones trigonométricas notienen puntos en común. Para algunas aplicaciones es necesario obtener estospuntos de intersección entre gráficas,  lo cual conlleva a resolver ecuacionestrigonométricas  tal como se estudiará en  la siguiente sección.

Universidad de Guayaquil

Facultad de ciencias matemáticas y física

Carrera de ingeniería en sistemas c. n.

Curso de nivelación 2013

Matematicas

Integrantes:

William Quimis Barzola

Michael Pérez Pisco

José Ramírez

Curso: cn-10

Aula: 103