Mathematical Olympiads - Πανελλήνιο Σχολικό...
Transcript of Mathematical Olympiads - Πανελλήνιο Σχολικό...
Mathematical Olympiads – Euclidean Geometry Problems
[Υπόδειξη: τα τρίγωνα AA΄C , AA΄΄B είναι ίσα (γιατί;) , άρα ΑKA΄B εγγράψιμο, άρα Α΄C κάθετη στην
A’’B (γιατί;). Τέλος (γιατί;)]
Israel – Hungary, 1998
Let Q be the mid – point of the side AB of an inscribed quadrilateral ABCD and S the intersection of its
diagonals. Denote by P and R the orthogonal projections of S on AD and BC respectively. Prove that PQ = QR
[Slovenia 1994]
(Υπόδειξη: Ας είναι Μ , Ν τα μέσα των AS , BS αντίστοιχα. Τότε τα τρίγωνα PQM , RQN είναι ίσα. Γιατί;)
In ABC triangle with AC > AB , the bisectors of meet the opposites sides respectively
at P , Q. Let I be the intersection of these bisectors. If IP = IQ , determine .
[Iran, 2001]
[Υπόδειξη:
Από νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα AQI , API
έχουμε IQ=2R1 ∙ημ , PI=2R2 ∙ημ
…. άρα ημ = ημ (γιατί;)
…άρα APIQ εγγράψιμο (γιατί;)]
1 2
I
Q
P
Α
Β
c
[Slovenia 1994]
[Υπόδειξη: Θ. Θαλή, Θ. Διχοτόμων, Θ. Ceva]
Από τα όμοια τρίγωνα ΑΜΡ , ΑΟΒ έχουμε
Από τα όμοια τρίγωνα CPN , DΟC έχουμε
Από τα όμοια τρίγωνα CRΡ , CΟΒ έχουμε
Από τα όμοια τρίγωνα ΑSΡ , ΑΟD έχουμε
Από 1η και 4
η ισότητα προκύπτει
ενώ από 2
η
και 3η ισότητα προκύπτει
Ώστε
(China, 1998)