Mathematic for engineering iii for prints calculate by seng phearun in m8

Norton University [MATHEMATICS FOR ENGINEERING III

Department: Civil Engineering

ASSIGNMENT C

1).Compute 2 2 2

2

2 2, , if ln

z z zz x y

x x y y

2. Find 2 2 2

2 2

2 2, , if , , ,

z z zz f u v u x y v xy

x yx y .

3.) Verify that if

y

xz z

x y xy z z xy xex y

.

4.) Show that if 2 2 2

2 2 22 2 2

1, 0

u u uu

x y zx y z .

5.) Find the derivative of the function 2 2lnz x y at point P (1, 1) and following the bisectrix in the first

quadrant.

6.) Find the Limits of the double integral ,D

f x y dxdy over the region D.

a.) Triangle with sides x=0, y=0, y + x=2

b.) 2 2, 4y x y x

7.) Compute 2 2

2 2

1

1D

x y

x y where the domain D is specified by the inequalities

2 2 1, 0, 0x y x y

8.) Express the triple integral , ,f x y z dxdydz in cylindrical coordinates where is the region bound by

thecylinder2 2 2x y x ,the plane z=0 and parabolic

2 2z x y .

9.) Find the centric of the tetrahedron in the first octant enclosed by the coordinate planes and the plane

1x y z .

10.) Find the volume of the solid that enclosed between the parabolic 2 2 3 28 and 3z x y z x y .

11.) Find the volume of the solid that enclosed between the sphere 2 2 2 22x y z a and parabolic

2 2 , 0.az x y a



SOLUTION FOR ASSIGNMENT C

1).Compute 2 2 2

2

2 2, , if ln

z z zz x y

x yx y

2

2

2 2

2

2 2

2

22

2 2

22

2

22

ln

2

2( ) ( )

2( ) 2 (2 )

2 2 4

2( )

x yz

x x

x y

xx

x y x y

z z x

x x x x x y

x y x x

x y

x y x

x y

y x

x y

2

2ln

z

x y

x yz

y y

2

2

2

1

x y

y

x y

x y



2

2

22

2

22

1( )

2

2

z z

x y x y x x y

x

x y

z x

x y x y

2

2

2

2 2

22

2

2 22

1

1

1

z

y

z z

y y yy x y

x y

zso

y x y

2

222

1z

y x y,

2

22

2z x

x y x y,

2 2

2 22

2( )z y x

x x y

2. Find 2 2 2

2 2

2 2, , if , , ,

z z zz f u v u x y v xy

x yx y

2 2, , ,z f u v u x y v xy

Chain Rule

z dz u dz v

x du x dv x

z dz u dz v

y du y dv y



2 2( ) ( )2 ( )

2

u v

x u v

z dz x y dz xyz x z y

x du x dv x

z xz yz

2 2( ) ( )2 ( )

2

u v

y u v

z dz x y dz xyz y z x

y du y dv y

z yz xz

2

2

z

x

2

2( ) ( )

(2 ) 2 2

x

u v u ux vx

z zz

x x xx

xz yz z xz yzx

2

22u ux vx

zz xz yz

x

2 z

xdy

2

2( ) ( )

(2 ) 2

x

u v ux v vx

z zz

x y xx

yz xz yz z xzx

2

2 ux v vx

zyz z xz

x y

2

2

z

y



2

2( ) ( )

(2 ) 2 2

y

u v u uy vy

z zz

y y yy

yz xz z yz xzy

2

22 2u uy vy

zz yz xz

x

3.) Verify that if

y

xz z

x y xy z z xy xex y

y

xz xy xe

2

y

x

y y

x x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y y

x x

y y

x x

y

zxy xe

x x

yy e e

x

x yy e

x

z x yy e

x x

zxy xe

y y

yx xe

y x

zx e

y

z z x yx y x y e y x e

x y x

xy x y e yx ye

xy xe

( )

y y

x x x

y

x

ye ye

xy xy xe



y

xz xy xe

z zx y xy z

x y

z zx y xy z

x y

4.) Show that if 2 2 2

2 2 22 2 2

1, 0

u u uu

x y zx y z

2 2 2

2 2 2

1u

x y z

v x y z

3 3

2 2 22 2

3

2

1

1 1( )

2 2

x

x x

uv

v v x y z v

xv

3

2

3 3

2 2

3 5

2 2

3 5

2 2 22 2

3 5

22 2

3

2

3

2

3

xx

x

x

x

u xv

v x v

v xv v

v x x y z v

v x v



3 3

2 2 22 2

3

2

1

1 1( )

2 2

y

y y

uv

v v x y z v

yv

3

2

3 3

2 2

3 5

2 2

3 5

2 2 22 2

3 5

22 2

3

2

3

2

3

yy

y

y

y

u yv

v y v

v yv v

v y x y z v

v y v

3 3

2 2 22 2

3

2

1

1 1( )

2 2

z

z z

uv

v v x y z v

zv

3

2

3 3

2 2

3 5

2 2

3 5

2 2 22 2

3 5

22 2

3

2

3

2

3

zz

z

z

z

u zv

v z v

v zv v

v z x y z v

v z v



3 5

22 2

3 5

22 2

3 5

22 2

3 52 2 22 2 22 2

2 2 2

3

3

3

____________________________________

3 3

xx

yy

zz

u v x v

u v y v

u v z v

u u uv x y z v

x y z

3 52 2 2

2 22 2 2

3 51

2 2

3 3

2 2

2 2 2

2 2 2

3 3

3 3

3 3

0

u u uv vv

x y z

v v

v v

u u u

x y z

2 2 2

2 2 20

u u u

x y z

5.) Find the derivative of the function 2 2lnz x y at point P (1, 1) and following the bisectrix in the first

quadrant.

z P (1, 1)

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

1ln ln

2

2

(1,1) 1

x

x

z x y x y

d x y

dx

x y

x

x y

z



2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

1ln ln

2

2

1,1 1

y

y

z x y x y

d x y

dy

x y

y

x y

z

1 1 2p

1

2

2 cos 14

2 sin 14

u

u

u i j

P

2

2v i j

2 2

2 2vD z i j

2 2

2 2vD z i j

6.) Find the Limits of the double integral ,D

f x y dxdy over the region D.

a.) Triangle with sides x=0, y=0, y + x=2



20 2,0 xx y

2 }{( , ),0 2,0 xD x y x y

2 }{( , ),0 2,0 xD x y x y

b.) 2 2, 4y x y x

2

22

4

y xx

y x



2 2{( , ), 2 2, 4 }D x y x x y x



7.) Compute 2 2

2 2

1

1D

x y

x y where the domain D is specified by the inequalities 2 2 1, 0, 0x y x y

2{( , ), 0 1,0 1 } {( , ),0 ,0 1}2

D x y x y x or D r r

1 1 1 1 12 2 2 32 2

2 4 4 4 40 0 0 0 0 0 0

1 12 4

4 40 0

2 4

1 1

2 21 1 1 1 1

( ) (1 )

2 1 1

11 1arcsin 1

02 2 2

1 1arcsin 1

2 2 2

arcsin1 14

r r r r rdr r drrdrd rdrd dr

r r r r r

d r d r

r r

r r

21y x



2 2

2 2

1arcsin1 1

41D

x y

x y

8.) Express the triple integral , ,f x y z dxdydz in cylindrical coordinates where is the region bound by

thecylinder 2 2 2x y x ,the plane z=0 and parabolic 2 2z x y .

2 2 2x y x 2 2( 1) 1x y (1, 0) r=1

2 2

2 2

22

x y xz x

z x y 2 cosz r

2 2 2 2 cos

2cos

r x y r

r

2, , :0 2 ,1 2cos ,0r z r z r



22 2cos

0 1 0

2 2cos3

0 1

42

0

2 24

0 0

2 22 2

0 0

, ,

2cos

14

4 (cos )

4 (cos )

r

f x y z dxdydz rdzdrd

r drd

rd

d d

d d

2

2 22

0 0

2 22

0 0

2 2

0 0

2 2 2 2

0 0 0 0

1 cos 2cos

2

1 cos 24 ( )

2

(1 2cos 2 cos 2 )

1 cos 41 2cos 2

2 2

3 1cos 2 (2 ) cos 4 (4 )

2 8

213 sin 2 sin 4

08

3 2

d d

d d

d d

d d d d

, ,f x y z dxdydz

2, , :0 2 ,0 2cos ,0r z r z r

, ,f x y z dxdydz

9.) Find the centric of the tetrahedron in the first octant enclosed by the coordinate planes and the plane

1x y z .



1

1x y z (k)

1 1 1

0 0 0

1 1

0 0

12

0

3 2

1

1 1

2 2

11 1 1

06 2 2

6

x x y

x

m kdzdydx

k x y dydx

k x x dx

k x x

km unit mass



1 1 1

0 0 0

1 12

0 0

31

2

0

2 3 4

( )

2 2

1

04 3 8

24

x x y

yz

x

M k xdzdydx

k x x xy dydx

x xk x dx

x x xk

kunit of moment

1 1 1

0 0 0

1 12

0 0

31

0

31

0

4

(1 )2

16

1 16

11

024

24

x x y

yz

x

M k zdzdydx

kx y dydx

kx dx

kx d x

kx

kunit of moment

1 1 1

0 0 0

1 1

0 0

1 12

0 0

31

0

31

0

4

(1 )

( 1 )

16

1 16

11

024

24

x x y

xz

x

x

M k ydzdydx

k x y ydydx

k y x y dydx

kx dx

kx d x

kx

kunit of moment

Center of mass_ _ _

( , , )x y z_ _ _

, ,yz xyxz

M MMx y z

m m m



_

yzMx

m

124

4

6

k

k

_xzM

ym

124

4

6

k

k

_xyM

zm

124

4

6

k

k

Centric of mass _ _ _1 1 1

, ,4 4 4

x y z

10.) Find the volume of the solid that enclosed between the parabolic 2 2 2 28 andz x y z x y .

2 2

2 2

2 24

8

z x yx y

z x y 2r

2 2z x y

2 28z x y



2 2 2 2, , : 2 2, 2 2, 8V x y z x y x y z x y

2 2, , : 0 2 ,0 2, 8V r z r r z r

2

2

2 2 8

0 0

2 2 2 22 3

0 0 0 0

22 4

0

2

0

8 2 8 2

214

02

8

16

r

solidr

V rdzdrd

r rdrd r r drd

r r d

d

unit of volume

16solidV unit of volume

11.) Find the volume of the solid that enclosed between the sphere 2 2 2 22x y z a and parabolic

2 2 , 0.az x y a



2 2

2

2 2

0 0

2 22 2

0 0

22 2

0

32 2

0 0

32 2 2 2

0 0

42 2 3

3 3

( 2 )

2 ( 2 )

2 2

12 2 2

2

12 (2 )

03 4

1 1 2 22

3 4

a a r

solid

r

a

a

a

a a

a a

V rdzd dr

ra r rd dr

a

ra r rdr

a

ra r rdr dr

a

ra r d a r dr

a

ara r

a

a a 3

3 3

3

03

7 8 22

12 12

8 2 76

a

a a

a

3 8 2 76

solidV a unit of volume

Mathematic for engineering iii for prints calculate by seng phearun in m8

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