Exemplo de aplicação 01 - viga em concreto protenedido

altura da seção: h 180cm:=

diâmetro da bainha: ϕb 55mm:=

recobrimento: c 45mm:=

resistência característica do concreto à compressão: fck 30MPa:=

peso específico do concreto: γc 25kN

m3

:=

resistência a tração direta,média fct.m 0.30

fck

MPa

2

3

MPa⋅:=

fct.m 2.9 MPa⋅=

resistência à tração inferior fctk.inf 0.7 fct.m⋅:=

fctk.inf 2.03 MPa⋅=

Usar cabos com 6 cordoalhas 6ϕ12.7 RB 190

força característica ao escoamento da cordoalha Pyk.cord 168.6kN:=

força característica à ruptura da cordoalha Ptk.cord 187.3kN:=

área nominal: Acord 101.4mm2

:=

resistência caracteristica ao escoamento do açode protenção

fpyk

Pyk.cord

Acord

:=

fpyk 169.55kgf

mm2

⋅=

resistência característica à ruptura do aço de protensão

fptk

Ptk.cord

Acord

:=

fptk 188.36kgf

mm2

⋅=

número de cordoalhas por cabo

ncord.cabo 6:=

área da seção transversal:

Ac 300 10⋅ 2 1545

2⋅

⋅+ 250 15−

2

20

2⋅

⋅+ 25 50 15−( )⋅+ 180 10−( ) 15⋅+

cm

2:=

Ac 0.75m2

=

Ac 7450 cm2

⋅=

demais propriedades da seção (do AutoCAD)

---------------- REGIONS ----------------

Area: 7450.0000Perimeter: 983.0191Bounding box: X: -150.0000 -- 150.0000 Y: 0.0000 -- 180.0000Centroid: X: 0.0000 Y: 117.4692Moments of inertia: X: 135391354.1667 Y: 23287031.2500Product of inertia: XY: 0.0000Radii of gyration: X: 134.8085 Y: 55.9086Principal moments and X-Y directions about centroid: I: 23287031.2500 along [0.0000 1.0000] J: 32588638.7840 along [-1.0000 0.0000]

distancia do CG ao bordo inferior: yi 117.4692cm:=

ys h yi− 62.53 cm⋅=:=distância do CG ao bordo superior:

momento de inércia da seção: I 32588638.7840cm4

:=

módulo resistente elástico superior: WsI

ys

0.521 m3

⋅=:=

módulo resistente elástico inferior: WiI

yi

0.277 m3

⋅=:=

distância entre vigas: dv 3m:=

vão da viga: Lv 36m:=

Carregamentos

peso da laje +viga:

g1 Ac γc⋅:=

g1 18.63kN

m⋅=

peso do revestimento por unidade de área prev 1

kN

m2

:=

sobrecarga porunidadede área

psc 2kN

m2

:=

peso do revestimento porunidade de comprimento g2 prev dv⋅:=

g2 3kN

m⋅=

sobrecarga por unidade decomprimento q psc dv⋅:=

q 6kN

m⋅=

Momentos fletores:

momento fletor devido a carga permanente g1(peso próprio viga+ laje):

Mg1

g1 Lv2

⋅

8:=

Mg1 3017.25 kN m⋅⋅=

momento fletor devido a carga permanente g2(revestimento):

Mg2

g2 Lv2

⋅

8:=

Mg2 486 kN m⋅⋅=

momento fletor devido à sobrecarga:

Mq

q Lv2

⋅

8:=

Mq 972 kN m⋅⋅=

Tensões devidas ao carregamento:

tensões devidas ao carregamento g1 (peso próprio laje + viga)

σsg1

Mg1−

Ws

:=

σsg1 5789.47−kN

m2

⋅=

σig1

Mg1

Wi

:=

σig1 10876kN

m2

⋅=

−

tensões devidas ao carregamento g2 (peso do revestimento):

σsg2

Mg2−

Ws

:=

σsg2 932.53−kN

m2

⋅=

σig2

Mg2

Wi

:=

σig2 1751.84kN

m2

⋅=

tensões devidas à cargavariável:

σsq

Mq−

Ws

:=

σsq 1865.07−kN

m2

⋅=

σiq

Mq

Wi

:=

σiq 3503.68kN

m2

⋅=

Determinação da excentricidade do cabo:

espaçamento entre bainhas: eb max ϕb 5cm, ( ):=

eb 55 mm⋅=

Distancia entre o centro degravidade da armadurade tração e o bordo inferior daseção:

dl c ϕb+eb

2+:=

dl 12.75 cm⋅=

excentricidade do cabo: e yi dl−:=

e 1.05m=

Determinação da força de protensão para atender ao ELS-D(Estado Limite de Descompressão, considerando combinação quase permanente).

coeficiente de redução paracarregamentoquase permanente em edifícios de escritório:

ψ2 0.4:=

⋅=

σig1 10.88 MPa⋅=

σig2 1.75 MPa⋅=

σiq 3.5 MPa⋅=

σig1 σig2+ ψ2 σiq⋅+ σipoo+ 0=combinação quase permanente:

σig1 σig2+ ψ2 σiq⋅+ 14.03 MPa⋅=

σipoo σig1 σig2+ ψ2 σiq⋅+( )−:=tensão de protensão mínima:

σipoo 14.03− MPa⋅=

força de protensão Poo.ELSD

σipoo−

1

Ac

e

Wi

+

:=

Poo.ELSD 2741.71 kN⋅=

Determinação da força de protensão para atender ao ELS-F(Estado Limite de Formação de Fissuras, considerandocombinação frequente).

coeficiente de redução paracarregamentofrequente em edifícios de escritório:

ψ1 0.6:=

σig1 10.88 MPa⋅=

σig2 1.75 MPa⋅=

σiq 3.5 MPa⋅=

σig1 σig2+ ψ1 σiq⋅+ σipoo+ 1.2fctk.inf=combinaçãofrequente:

σipoo 1.2fctk.inf σig1 σig2+ ψ1 σiq⋅+( )−=

σipoo 1.2 fctk.inf⋅ σig1 σig2+ ψ1 σiq⋅+( )−:=tensão de protensãomínima:

σipoo 12.3− MPa⋅=

força de protensão Poo.ELSF

σipoo−

1

Ac

e

Wi

+

:=

⋅=

Poo.ELSF 2403.17 kN⋅=

Força de protensão necessária para atender ambas os ELS-D e ELS-F. Poo max Poo.ELSD Poo.ELSF, ( ):=

Poo 2741.71 kN⋅=

Poo 2.8 105

× kgf⋅=

Tf 1000kgf:=

Poo 279.58 Tf⋅=

perdas de protensão totais adotadas: perdastot 30%:=

perdas de protensão imediatas adotadas: perdasimed 10%:=

força de projeto por cordoalha (item 9.6.1.2.1 da NBR6118:2003):

σpi min 0.74 fptk⋅ 0.82 fpyk⋅, ( ):=fpyk 1662.72 MPa⋅=

0.74fptk 1366.88 MPa⋅=fptk 1847.14 MPa⋅=

0.82fpyk 1363.43 MPa⋅=

σpi 1363.43 MPa⋅=tensão máxima inicial na armadurade protensão:

Pcord.i σpi Acord⋅:=força máxima por cordoalha no ato de protensão:

Pcord.i 138.25 kN⋅=

força de projeto em cada cordoalha(após as perdas totais, estimadas em 30%).

Pcord.proj Pcord.i 100% perdastot−( )⋅:=

Pcord.proj 96.78 kN⋅=

Pcord.proj 9.87 Tf⋅=

número de cordoalhas necessáriaspara a viga: ncord

Poo

Pcord.proj

:=

ncord 28.33=

adota-se 30 cordoalhas

ncord 30:=

número de cabos

ncabos

ncord

ncord.cabo

:=

ncabos 5=

resposta da questão a: usar 5 cabos 6ϕ12.7 190 RB.

Item b. determinação da resistência a compressão do concreto necessária para a protensão (considerando peso da viga, laje + revestimento).

verificação da força de compressão no bordo inferior (17.2.4.3.2):

coeficiente de ponderação das ações: γf 1.0:=

coeficiente de ponderação da força de protensão: γp 1.1:=

força de protensão considerando as perdas imediatas:

Pverif ncord Pcord.i⋅ 100% perdasimed−( )⋅:=

perdasimed 10 %⋅=

Pverif 3732.8 kN⋅=

Pverif 380.64 Tf⋅=

tensão devida a protensão no bordo inferior: σpi

Pverif−

Ac

Pverif e⋅

Wi

−:=

σpi 19100.74−kN

m2

⋅=

σc σig1 γf⋅ σpi γp⋅+:=

σc 10.13− MPa⋅=

resistencia à compressão no dia da protensão: fckj

σc

70%:=

fckj 14.48 MPa⋅=

a protensão deverá ser aplicada no dia em que a resistência do concreto f.ckjatingir 15 MPa.

Verificação da tração no bordo superior no ato da protensão

tensão devida à protensãono bordo superior:

σps

Pverif−

Ac

Pverif e⋅

Ws

+:=

σt σsg1 γf⋅ σps γp⋅+:=

σt 3.05− MPa⋅=

σt 3050.46−kN

m2

⋅=

As vigas devem ser protendidas por 5 cabos de 6 cordoalhas do açoCP190RB12.7, com força de 830 kN por cabo, quando a resistência àcompressão do concreto atingir o valor mínimo de 15 MPa

Verificação da flecha

Carga equivalente devido à protensão

flecha (excentricidade) do cabo no meio do vão:e 1.05m=

força de protensão necessária no tempo infinito:Poo 2741.71 kN⋅=

força de protensão correspondente as 30 cordoalhas: Poo ncord Pcord.proj⋅:=

ncord 30=Poo 2903.29 kN⋅=

Pcord.proj 96.78 kN⋅=

carga equivalente devido a protensão: pp

8 Poo⋅ e⋅

Lv2

:=

pp 18.77kN

m⋅=

Obs: a carga distribuida equivalente à protensão é próximada carga equivalente ao peso próprio da estrutura (viga+laje).

g1 18.63kN

m⋅=

módulo de elasticidade tangente inicial do concreto: Eci 5600fck

MPa⋅ MPa⋅:=

Eci 30672.46 MPa⋅=

módulo de elasticidade secante do concreto: Ecs 0.85Eci:=

Ecs 26071.59 MPa⋅=

Ecs 26.07 GPa⋅=

Flecha inicial devido à protensão (após as perdas de protensão, exceto fluência no concreto).

δ5 pp⋅ Lv

4⋅

384 Ecs⋅ I⋅:= δ 48.31 mm⋅=

Cálculo da flecha diferida (levando em conta o efeito da fluência do concreto).

ξ t( ) 0.68 0.996t( )⋅ t

0.32⋅ t 70<if

2 otherwise

:=

0 20 40 60 80 1000

1

2

ξ t( )

t

ξ 0( ) 0=

ξ 0.5( ) 0.54=

ξ 1( ) 0.68=

Cálculo da flecha diferida referente à carga permanente (protensão e peso

Cálculo da flecha diferida referente à carga permanente (protensão e peso próprio da estrutura (viga + laje)) no tempo infinito.

tempo inicial de aplicação da carga: tof17

30:=

tof1 0.23=

tempo final no qual se deseja calculara flecha: tinf 70:=

∆ξf1 ξ tinf( ) ξ tof1( )−:= ∆ξf1 1.57=

Armadura de compressão: Asl 0cm2

:=

taxa geométrica de armadura decompressão:

ρl

Asl

Ac

:=

ρl 0=

αf1

∆ξf1

1 50ρl+:=

αf1 1.57=

flecha referente a protensão e peso próprio no tempo infinito (com efeito da flecha imediata eflecha diferida).

δf1

5 pp− g1+( )⋅ Lv4

⋅

384 Ecs⋅ I⋅1 αf1+( )⋅:= δf1 0.94− mm⋅=

pp 18.77kN

m⋅=

g1 18.63kN

m⋅=

Cálculo da flecha diferida referente ao peso do revestimento no tempo infinito.

tempo inicial de aplicação da carga (1 mes): tof2 1:=

∆ξf2 ξ tinf( ) ξ tof2( )−:= ∆ξf2 1.32=

αf2

∆ξf2

1 50ρl+:=

αf2 1.32=

flecha referente ao revestimento no tempo infinito (com efeito da flecha imediata e flecha

flecha referente ao revestimento no tempo infinito (com efeito da flecha imediata e flechadiferida).

δf2

5 g2( )⋅ Lv4

⋅

384 Ecs⋅ I⋅1 αf2+( )⋅:= δf2 17.94 mm⋅=

flecha referente a sobrecarga (não está associada à fluência)

δf3

5 q( )⋅ Lv4

⋅

384 Ecs⋅ I⋅:=

δf3 15.44 mm⋅=

Flecha total no tempo infinito (após pelo menos 70 meses)

δt δf1 δf2+ δf3 ψ2⋅+:=ψ2 0.4=

δt 23.17 mm⋅=

Alternativamente

δt

5 Lv4

⋅

384 Ecs⋅ I⋅pp− g1+( ) 1 αf1+( )⋅ g2( ) 1 αf2+( )⋅+ q ψ2⋅+ ⋅:=

δt 23.17 mm⋅=

Valor limite (tabela 13.2 NBR6118)

δlim

Lv

250:=

δlim 144 mm⋅=