MathBook second Ne · 2014-01-19 · เล่มที่ 2...

เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตนแบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต

ประจ�าป พ.ศ. 2553-2554

ส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ

ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน

กระทรวงศกษำธกำร

เสรมคด...คณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตนแบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต

ประจาป พ.ศ. 2553-2554

ISBN 978-616-202-598-3

พมพครงแรก พ.ศ. 2555

จ�ำนวนพมพ 2,000 เลม

เรยบเรยง กลมวจยและพฒนำองคกรแหงกำรเรยนร



สงวนลขสทธ ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน


จดพมพโดย โครงกำรพฒนำคณภำพกำรเรยนรสสำกล

กลมวจยและพฒนำองคกรแหงกำรเรยนร




พมพท โรงพมพองคกำรสงเครำะหทหำรผำนศก เลขท2/9ซอย31ถนนกรงเทพ-นนทบร เขตบำงซอกรงเทพฯ10800 โทรศพท0-2587-3137โทรสำร0-2587-3295

คานาส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำนมนโยบำยยกระดบคณภำพมำตรฐำน

กำรศกษำขนพนฐำนและใชกระบวนกำรแขงขนทำงวชำกำรกระบวนกำรวจยพฒนำคณภำพ

กำรเรยนรเปนเครองมอในกำรขบเคลอนนโยบำยสกำรปฏบต และในโอกำสทส�ำนกงำน

คณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน ไดรบเชญจำกกระทรวงและหนวยงำนทำงกำรศกษำ

ตำงประเทศในกำรพจำรณำนกเรยนเขำรวมกำรแขงขนทำงวชำกำร ระดบนำนำชำต

จงไดด�ำเนนงำนโครงกำรพฒนำคณภำพกำรเรยนรสสำกลกจกรรมกำรแขงขนทำงวชำกำร

ระดบนำนำชำต โดยมวตถประสงคเพอเปดโอกำสใหนกเรยนไดแลกเปลยนเรยนรสเวท

วชำกำรและไดพฒนำควำมสำมำรถเตมตำมศกยภำพส�ำหรบกจกรรมกำรแขงขนทำงวชำกำร

จงเปนเวทแหงประสบกำรณนอกหองเรยน และเปนกำวหนงของนกเรยนทไดมโอกำส

ฉำยแววแหงควำมสำมำรถ ดงนน ควำมส�ำคญจงมไดอยทรำงวลจำกกำรแขงขนทนกเรยน

ไดรบเทำนน หำกแตควำมส�ำคญนนคอประสบกำรณกำรเรยนรอนเปนประสบกำรณตรง

ททรงคณคำของนกเรยน

เอกสำรชดเสรมคดคณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน(แบบทดสอบกำรแขงขน

ทำงวชำกำร ระดบนำนำชำต ประจ�ำป พ.ศ. 2553-2554) เปนผลผลตจำกกำรศกษำ

วเครำะหเนอหำหลกสตรในกำรแขงขนทำงวชำกำรระดบนำนำชำตทเนนดำนกระบวนกำร

ทำงคณตศำสตร และใชเปนพมพเขยวในกำรสรำงแบบทดสอบทใชในกำรแขงขน

ทำงวชำกำรระดบเขตพนทกำรศกษำ และกำรแขงขนทำงวชำกำรระดบประเทศ เพอ

กำรคดเลอกนกเรยนทมควำมสำมำรถทำงคณตศำสตรเปนตวแทนนกเรยนไปแขงขนทำงวชำกำร

ระดบนำนำชำต ประจ�ำป พ.ศ. 2553-2554 เอกสำรชดน ส�ำนกงำนคณะกรรมกำร

กำรศกษำขนพนฐำน เผยแพรเปนแนวทำงในกำรพฒนำคณภำพกำรเรยนรและ

พฒนำขดควำมสำมำรถของนกเรยนใหสำมำรถกำวทนโลก กำวทนกำรเปลยนแปลง

ตลอดจนสำมำรถน�ำสงทไดจำกกำรเรยนรไปปรบใชในชวตประจ�ำวนไดอยำงมควำมสข

โอกำสน ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน ขอขอบคณคณะท�ำงำน

ทกทำนทไดมสวนรวมจดท�ำเอกสำรชดเสรมคดคณตศำสตร ระดบมธยมศกษำตอนตน

และขอขอบคณหนวยงำนทเกยวของในกำรรวมสรำงสรรคเปดโอกำสใหนกเรยนไทย

ไดกำวไกลสสำกล

ส�านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน

ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน โดยส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจด

กำรศกษำไดจดท�ำเอกสำรชดเสรมคดคณตศำสตรและเสรมคดวทยำศำสตร(แบบทดสอบ

กำรแขงขนทำงวชำกำรระดบนำนำชำตประจ�ำปพ.ศ.2553-2554)และเปนผลผลตจำก

กำรด�ำเนนงำนโครงกำรพฒนำคณภำพกำรเรยนรสสำกล กจกรรมกำรแขงขนทำงวชำกำร

ระดบนำนำชำตจดท�ำขนเพอเผยแพรเปนแนวทำงหนงส�ำหรบครผสอนใชในกำรจดกจกรรม

กำรเรยนรและส�ำหรบนกเรยนใชเปนแบบฝกเสรมทกษะเพมพนประสบกำรณพฒนำควำม

สำมำรถทำงคณตศำสตรและวทยำศำสตร เปนกำรเพมขดควำมสำมำรถดำนกระบวนกำรคด

และเตรยมควำมพรอมนกเรยนเพอกำรแขงขนทำงวชำกำรระดบนำนำชำต

เอกสำรชดเสรมคดคณตศำสตรและเสรมคดวทยำศำสตรประกอบดวยแบบทดสอบ

คณตศำสตรและแบบทดสอบวทยำศำสตร ทใชในกำรแขงขนทำงวชำกำรระดบนำนำชำต

ประจ�ำป พ.ศ. 2553-2554 ของส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน จ�ำนวน

3เลมดงตอไปน

เลมท 1เสรมคด...คณตศำสตรระดบประถมศกษำ

แบบทดสอบกำรแขงขนทำงวชำกำรระดบนำนำชำตประจ�ำปพ.ศ.2553-2554

เลมท 2เสรมคด...คณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน


เลมท 3 เสรมคด...วทยำศำสตรระดบประถมศกษำ


เอกสำรชดเสรมคดคณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน(แบบทดสอบกำรแขงขน

ทำงวชำกำรระดบนำนำชำตประจ�ำปพ.ศ.2553-2554) เปนกำรน�ำเสนอวธกำรยทธศำสตร

กำรแกโจทยปญหำ และใชเปนยทธวธในกำรเฉลยแนวคดแบบทดสอบทใชในกำรแขงขน

ทำงวชำกำรระดบเขตพนทกำรศกษำ และกำรแขงขนทำงวชำกำรระดบประเทศประจ�ำป

พ.ศ. 2553-2554ส�ำหรบเนอหำสำระทไดน�ำเสนอในเอกสำรนเปนแนวทำงหนงในกำรแก

โจทยปญหำทหลำกหลำย ภำยใตกรอบเนอหำสำระทใชในกำรแขงขนคณตศำสตร

ระดบนำนำชำต

ส�านกพฒนานวตกรรมการจดการศกษา

คาชแจง

สารบญ

หนำ

ค�ำน�ำ

ค�ำชแจง

สำรบญ

๏ แบบทดสอบคณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน........................................................7

ระดบเขตพนทกำรศกษำประจ�ำปพ.ศ.2553

๏ แนวคดแบบทดสอบคณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน............................................13



ระดบประเทศประจ�ำปพ.ศ.2553







๏ แบบทดสอบคณตศำสตรระดบมธยมศกษำตอนตน.........................................................81




การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน

กระทรวงศกษาธการ

แบบทดสอบคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน

ระดบเขตพนทการศกษา ประจ�าป พ.ศ. 2553

การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553

สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ


เพอการคดเลอกตวแทนนกเรยนระดบพนทการศกษา ประจาป พ.ศ. 2553

สอบวนท 23 มกราคม พ.ศ. 2553 เวลา 9.30 น.-11.30 น.

คาชแจง

1. แบบทดสอบฉบบน เปนแบบทดสอบชนดเตมคาตอบ (ไมตองแสดงวธทา) มจานวน 5 หนา

รวมเวลา 2 ชวโมง

2. แบบทดสอบมทงหมด 30 ขอ คะแนนเตม 120 คะแนน

แบงเปน 3 ตอนคอ

ตอนท 1 ตงแตขอท 1 – 10 ขอละ 3 คะแนน รวม 30 คะแนน



3. กระดาษคาตอบม 1 แผน ใหนกเรยนเขยน ชอ-นามสกล เลขประจาตวสอบ หองสอบ

ชอ โรงเรยน สานกงานเขตพนทการศกษาของนกเรยนใหครบในกระดาษคาตอบ

4. คาตอบ แตละขอทนกเรยนตอบ ตองตอบลงในกระดาษคาตอบเทานนและใหตรงกบขอคาถาม

5. คาถามขอใดทตองแสดงคาตอบมากกวาหนงคาตอบ นกเรยนตองตอบใหถกทกคาตอบ

จงจะไดคะแนนในขอนน

6. ไมอนญาตใหใชเครองคดเลข โทรศพท หรอ เครองมออเลกทรอนกสใดๆ ในการคานวณ

7. นกเรยนจะออกจากหองสอบได หลงจากเรมสอบไปแลว 1 ชวโมง โดยวางกระดาษคาตอบ

กระดาษทดและแบบทดสอบไวบนโตะ

8. การตดสนของคณะกรรมการถอเปนขอยต

แบบทดสอบฉบบน เปนลขสทธของ


หามเผยแพร อางอง ตดตอ ดดแปลงหรอเฉลย กอนไดรบอนญาต

เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบเขตพนทการศกษา ป 2553) : 10

1. จงหำค.ร.น.ของ84,90และ120

2. จงหำผลบวกของจ�ำนวนเฉพำะ9จ�ำนวนแรกมคำเทำกบเทำไร

3. จงหำรำกทสำมของ91125

4. จงหำจ�ำนวน5หลกทมคำมำกทสดทหำรดวย654ลงตว

5. จงหำพนทของรปสเหลยมผนผำ

6. A = และ B = ถำ AB = แลว

มคำเทำใด

7. เปนจ�ำนวนเตมบวกทหำรดวย 5, 4, 3, 2 เหลอเศษ 4, 3, 2, 1 ตำมล�ำดบ คำต�ำสดของ

ทท�ำให11หำรลงตวมคำเทำใด

8. ถำ จงหำคำของ

9. ถำm หำรดวย 10 เหลอเศษ 5 และ n หำรดวย 10 เหลอเศษ 2 แลว 3m-2n หำรดวย 5

เหลอเศษpจงหำคำของp+3

10. ABCเปนรปสำมเหลยมซงม อตรำสวนของสวนสงทงสำมของ

รปสำมเหลยมABC มคำเทำไร(ตอบเปนอตรำสวนอยำงต�ำ)

เมอ เซนตเมตร

เซนตเมตร

ตอนท 1 ตงแตขอท 1-10 ขอละ 3 คะแนน

11แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :

11. กอยเขยนหนงสอและพมพจ�ำหนำยจ�ำนวน2,000 เลม ในชวงแรกขำยได1,400 เลม ไดก�ำไร20%

ตอมำขำยหนงสอทเหลอขำดทน30%สดทำยเขำไดก�ำไรหรอขำดทนรอยละเทำใด

12. จงหำรำกของสมกำร

13. ทรงกระบอกมรศม เซนตเมตรบรรจในกรวยกลมทมรศม5เซนตเมตรและสง

12เซนตเมตรโดยทขอบของทรงกระบอกดำนบนอยในระนำบเดยวกนกบฝำกรวยกลมพอด

จงหำเกำเทำของปรมำตรของทรงกระบอกนวำมกลกบำศเซนตเมตร(ตอบในรปของπ)

14.รปสำมเหลยมมมฉำกมดำนตรงขำมมมฉำกคอAB,AC=8ซม.และBC=6ซม.

จดDเปนจดกงกลำงของดำนABจำกจดDลำกเสนตงฉำกกบABบนACทจดE

จงหำควำมยำวของDEยำวกเซนตเมตร(ตอบเปนทศนยม2ต�ำแหนง)

15. ABCD เปนรปสเหลยมผนผำมAB=50หนวยBC=40 หนวยEเปนจดบนCDท�ำให

จงหำพนทรปสำมเหลยมADEเปนกตำรำงหนวย

16. ชำยคนหนงตองเดนทำงไปท�ำงำนโดยเดนจำกทพกผำน 4 ชวงตกไปทำงทศตะวนออกและเดนไปทำง

ทศเหนออก3ชวงตกจงจะถงทท�ำงำนถำเขยนแผนกำรเดนทำงผำนชวงตก1ชวงคอผำน1ชอง

ในตำรำง7 x 7จงหำจ�ำนวนเสนทำงกำรเดนทเปนไปไดทงหมดทชำยคนนเดนทำงไปท�ำงำน

17. ADเปนสวนสงของรปสำมเหลยมABCสวนของเสนตรงPQ , RSและBCขนำนกนโดยทสวนของ

เสนตรงPQและRSตดADทจดMและNตำมล�ำดบดงรป

ถำAM = MN = ND

และพนทรปสเหลยมPQSRเทำกบ24ตำรำงหนวย

จงหำพนทรปสำมเหลยมABCเปนกตำรำงหนวย

18. จงหาจานวนวธในการสรธในการสรธ ในการสรในการสรางจานวนคบวก 3 หลกจากเลขโดดกจากเลขโดดตวเลขโดดซวเลขโดดซ วเลขโดดซวเลขโดดซากน

19. กาหนด a, b, c เปเปเปนคาตอบของสมการ 3 2x 3x kx 12 03 2x 3x kx 12 03 2x 3x kx 12 0x 3x kx 12 0 x 3x kx 12 0 x 3x kx 12 0 จงหาคา k ททาใหาใหาให a b 6a b 6 a b 6

20. จงหาคา k ทเปเปเปนบวกททาใหาใหาใหกราฟของเสกราฟของเสกราฟของเสนตรง y 2x k 0y 2x k 0y 2x k 0y 2x k 0 y 2x k 0 สมผสกราฟวงกลมสกราฟวงกลม 2 2x y 202 2x y 202 2 2 2 2 2x y 20 x y 202 2x y 202 2 2 2x y 202 2

กจากเลขโดด 0, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 และไมและไมและไมใชใชใช

a,b,c



22. ถา 67723 22 yxykxyx แยกตวประกอบในรวประกอบในร ปเชปเชปเชงเสนและมสมประสมประส มประสมประสทธเปเปเปนจานวนเตม จงหาคา k

23. ในการทอดลกเตา 3 ลกพรอมกน 1 ครง จานวนวธทผลรวมของแตมบนหนาลกเตา มคาเทากบ 14 มอยทงหมดกวธ

24. O เปเปเปนจดศนยกลางของวงกลม โดยมโดยมโดยมเสนผานศนยกลางยาว 34 เซนตเมตร คอรด AB ตดกบคอรด CD เปเปเปนมมฉากทจด X ถา คอรด AB ยาว 2 2532 2532 253 เซนตเมตร และ OX ยาว 10 เซนตเมตร จงหาผลคณของความยาวของ CX กบความยาวของ XD เปเปเปนกเซนตเมตร

25. จงหาเศษของการหาร 10321032 ดวย 100 เปเปเปนเทาไร

26. 26. กกาหนดาหนด bba, เปเปเปเปนจนจานวนเตานวนเตมบวกมบวก โดยทโดยทโดยทโดยท 00201201,...,44,33,22,1111AA ถถาเลาเลอกอก a และและ bb จากจาก AA นนามาามาสรางเปางเปางเปนคอนดบ b a , โดยทโดยทโดยท 4ba จะสราง ba, ไดไดไดกคอนดบทสอดคลองกบเงอนไขดอนไขดอนไขดงกลาว

27. กาหนดใหาหนดใหาหนดให N เปเปเปนจานวนนบ และ 1......21! NNNN เชน 12345!5 ใหใหให !100...!7!6!5!4!3!2!1 A เลขโดด C เปเปเปนตวเลขในหลวเลขในหล วเลขในหลวเลขในหลกหนวยของ A และ เลขโดด D เปเปเปนตวเลขในหลวเลขในหล วเลขในหลวเลขในหลกหนวยของ

10A จงหาคาของ C +C +C D

28. บทนยาม สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทกจานวนทเขยนแทน n ในระบบเลขฐานสในระบบเลขฐานสในระบบเลขฐานสบ เชน Sum(976) = 9+7+6 = 22

กาหนด

1287714714714714 16

1161

21

41

21

81

41

161

81

n

จงหาคาของ Sum(n)

29. กาหนด yx, และ z เปเปเปนจานวนเตมบวก ซงสอดคลองกบสมการ20724860808610 zyxzxyzxyxyz จงหาคาของ zyx 432 เปเปเปนเทาไร

30. กาหนด 2009 bad a d c dcb c b a และ

4991111

badadcdcbcba

จงหาคาของcba

dbad

cadc

bdcb

a

เปเปเปนเทาไร

22.ถำ แยกตวประกอบในรปเชงเสนและมสมประสทธเปนจ�ำนวนเตม

จงหำคำk

ถำคอรด

21. จากรป สวนโควนโควนโคงเกดจากวงกลมทมรศม 7 หนวยเทากน พนทในรปปปปปปดทงหมดเปเปเปนกตารางหนวย (กาหนด

722

)


*******************************

การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจ�าป พ.ศ. 2553

ส�านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ

แนวคดแบบทดสอบคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน

เพอการคดเลอกตวแทนนกเรยนระดบเขตพนทการศกษา ประจ�าป พ.ศ. 2553

แนวคดแบบทดสอบคณตศำสตรฉบบนเปนลขสทธของ

ส�ำนกงำนคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำนกระทรวงศกษำธกำร



1. จงหา ค.ร.น. ของ 84, 90 และ 120 แนวคด

237

10157)5

304521)3

604542)2

1209084)2

ค.ร.น. 2375322 2520 ตอบ 2520 2. จงหาผลบวกของจานวนเฉพาะ 9 จานวนแรก มคาเทากบเทาไร แนวคด จานวนเฉพาะ

1002319171311753223,19,17,13,11,7,5,3,2

ตอบ 100 3. จงหารากทสามของ 91125 แนวคด

1

3)3

9)3

27)3

81)3

243)3

729)3

3645)518225)5

91125)5

4533591125

333333555911253

ตอบ 45

จ�ำนวนเฉพำะ9จ�ำนวนแรกคอ2, 3, 5, 7, 11 , 13, 17, 19, 23

ผลบวกคอ2+3+5+7+11+13+17+19+23=100

1. จงหา ค.ร.น. ของ 84, 90 และ 120 แนวคด

237

10157)5

304521)3

604542)2

1209084)2

ค.ร.น. 2375322

2520ตอบ 2520

2. จงหาผลบวกของจานวนเฉพาะ 9 จานวนแรก มคาเทากบเทาไรแนวคด

ตอบ 100

จ�ำนวนเฉพำะ9จ�ำนวนแรกคอ2, 3, 5, 7, 11 , 13, 17, 19, 23

ผลบวกคอ2+3+5+7+11+13+17+19+23=100

3. จงหารากทสามของ 91125 แนวคด

1

3)3

9)3

27)3

81)3

243)3

729)3

3645)518225)5

91125)5

4533591125

333333555911253

ตอบ 45


4. จงหาจานวน 5 หลกทมคามากทสดทหารดวย 654 ลงตว แนวคด จานวน 5 หลกทมคามากทสดคอ 99999

59113181899

32703459654

152(99999)654

จานวนทตองการ 99999 – 591 = 99408 ตอบ 99408 5. จงหาพนทของรปสเหลยมผนผา ABCD

เมอ 48AB เซนตเมตร 50AC เซนตเมตร

แนวคด

2

222

222

222

1419698248504850

4850BC

BC4850BCABAC

14BC ซม. พนทรปสเหลยม 1448ABCD 672 ซม 2 ตอบ 672 ซม 2

A B

CD

1308

4. จงหาจานวน 5 หลกทมคามากทสดทหารดวย 654 ลงตวแนวคด

จานวน 5 หลกทมคามากทสดคอ 99999

59113181899

32703459654

152(99999)654

จานวนทตองการ 99999 – 591 = 99408 ตอบ 99408

1308

จงหำพนทของรปสเหลยมผนผำABCDเมอAB=48เซนตเมตรและAC=50เซนตเมตร5.

แนวคด

A B

CD

จงหำพนทของรปสเหลยมผนผำABCDเมอAB=48เซนตเมตรและAC=50AC=50AC เซนตเมตร


6. A = 932 xx และ B = 932 xx ถา AB = cbxax 24 แลว cba มคาเทาใด แนวคด 932 xxA

9181,9,1

81998118

39

39399393

93

24

224

222

22

22

2

cbacba

xxxxx

xx

xxxxxxxxAB

xxB

ตอบ 91 7. N เปนจานวน เตมบวกทหารดวย 5, 4, 3, 2 เหลอเศษ 4, 3, 2, 1 ตามลาดบ คาตาสดของ N ท

ทาให 11 หารลงตวมคาเทาใด แนวคด 45 pN

1282334

NrNqN

1N หารดวย 60 ลงตว

539540194554415331522151115015

1115

1155

11

160601

NN

aa

aaaaa

aaNaNaN

ตอบ 539

…………

จาก


9181,9,1

81998118

39

39399393

93

24

224

222

22

22

2

cbacba

xxxxx

xx

xxxxxxxxAB

xxB



1282334

NrNqN


539540194554415331522151115015

1115

1155

11

160601

NN

aa

aaaaa

aaNaNaN

ตอบ 539

…………

จาก


9181,9,1

81998118

39

39399393

93

24

224

222

22

22

2

cbacba

xxxxx

xx

xxxxxxxxAB

xxB



1282334

NrNqN


539540194554415331522151115015

1115

1155

11

160601

NN

aa

aaaaa

aaNaNaN

ตอบ 539

…………

จาก

2 S + 1

แนวคด 45 pN

1282334

NrNqN


1115

1155

11

160601

aaNaNaN …………

53954054011

NNN

ตอบ 539

จากจาก

2 S + 1

6. A = 932 xx และ B = 932 xx ถา AB = cbxax 24 แลว cba มคาเทาใด แนวคด

932 xxA

9181,9,1

81998118

3 9 3 9 3 9 9 3 9 3

93

24

224

22 2 2 2 2 2

2

cbacba

xxxxx

x x x x x x x x x x AB

xxB

ตอบ 91

5a - 1 = 0 ; a =5a - 1 = 11 ; a =5a - 1 = 22 ; a =

5a - 1 = 33 ; a =

5a - 1 = 44 ; a =

15125235345455

7. เปนจ�ำนวนเตมบวกทหำรดวย5,4,3,2เหลอเศษ4,3,2,1ตำมล�ำดบคำต�ำสดของ

ทท�ำให11หำรลงตวมคำเทำใด


8. ถา 76

x จงหาคาของ 2142

xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

8. ถา 76


xx

แนวคด

22

2 121x

xx

x

หรอ

2

22 1242142

xx

xx

42169

4284852

4285

4242

4936

267

76

7612

76

76

1276

2

2

169498436

672

7642

7612

7642

2142

xx = 169

ตอบ 169

แนวคดท 1 แนวคดท 2


9. ถา m หารดวย 10 เหลอเศษ 5 และ n หารดวย 10 เหลอเศษ 2 แลว 3m-2n หารดวย 5 เหลอเศษ p จงหาคาของ p+3

แนวคด am

10

เศษ 5 510 am

จะได ...15303 am .. bn

10

เศษ 2 210 bn

จะได ...4202 bn …. - ; 11203023 banm 12465 ba ดงนน nm 23 หารดวย 5 เหลอเศษ 1 P = 1 P+3 = 4 ตอบ 4 10. ABC เปนรปสามเหลยมซง 4:5:2:: CABCAB อตราสวนของสวนสงทงสามของ รปสามเหลยม ABC CFBEAD :: มคาเทาไร (ตอบเปนอตราสวนอยางตา) แนวคด จะได BECAADBCCFAB ...

xCAxBCxABCABCAB

4,5,24:5:2::

จะไดวา BExADxCFx 452

10:5:4::2:1:5:4:

452

CFBEADCFBEBEAD

BEADCF

ตอบ 4:5:10

A

D

E F

BC

9. ถา m หารดวย 10 เหลอเศษ 5 และ n หารดวย 10 เหลอเศษ 2 แลว 3m-2n หารดวย 5 เหลอเศษ p จงหาคาของ p+3

แนวคด am

10

เศษ 5 510 am

จะได ...15303 am .. bn

10

เศษ 2 210 bn

จะได ...4202 bn …. - ; 11203023 banm 12465 ba ดงนน nm 23 หารดวย 5 เหลอเศษ 1 P = 1 P+3 = 4 ตอบ 4 10. ABC เปนรปสามเหลยมซง 4:5:2:: CABCAB อตราสวนของสวนสงทงสามของ รปสามเหลยม ABC CFBEAD :: มคาเทาไร (ตอบเปนอตราสวนอยางตา) แนวคด จะได BECAADBCCFAB ...

xCAxBCxABCABCAB

4,5,24:5:2::

จะไดวา BExADxCFx 452

10:5:4::2:1:5:4:

452

CFBEADCFBEBEAD

BEADCF

ตอบ 4:5:10

A

D

E F

BC

10. ABCเปนรปสำมเหลยมซงABCเปนรปสำมเหลยมซงABC AB : BC : CA = 2 : 5 : 4อตรำสวนของสวนสงทงสำมของ

รปสำมเหลยมABC (AD : BE : CF)มคำเทำไร(ตอบเปนอตรำสวนอยำงต�ำ)

แนวคด จะไดAB·CF = BC·AD = CA·BE


11. กอยเขยนหนงสอและพมพจาหนายจานวน 2,000 เลม ในชวงแรก ขายได 1,400 เลม ไดกาไร 20% ตอมาขายหนงสอทเหลอขาดทน 30% สดทายเขาไดกาไรหรอขาดทนรอยละเทาใด แนวคด %5

000,2)914((000,2

000,2)60030()400,120(

ไดกาไรรอยละ 5 ตอบ ไดกาไรรอยละ 5 12. จงหารากของสมการ 2 2x 2x 2 x 2x 10 x 0 แนวคด

2 2 2

2

2 2

x 2x 2 x 2x 10 x

2 x 2x 10 2x

x 2x 10 x x 5

ตอบ 5

11. กอยเขยนหนงสอและพมพจาหนายจานวน 2,000 เลม ในชวงแรก ขายได 1,400 เลม ไดกาไร 20% ตอมาขายหนงสอทเหลอขาดทน 30% สดทายเขาไดกาไรหรอขาดทนรอยละเทาใด แนวคด %5

000,2)914((000,2

000,2)60030()400,120(

ไดกาไรรอยละ 5 ตอบ ไดกาไรรอยละ 5 12. จงหารากของสมการ 2 2x 2x 2 x 2x 10 x 0 แนวคด

2 2 2

2

2 2

x 2x 2 x 2x 10 x

2 x 2x 10 2x

x 2x 10 x x 5

ตอบ 5

%5000,2

)914((000,2000,2

)60030()400,120(

ไดไดไดกาไรราไรราไรรอยละ 5

11.กอยเขยนหนงสอและพมพจ�ำหนำยจ�ำนวน2,000เลมในชวงแรกขำยได1,400เลมไดก�ำไร

20%ตอมำขำยหนงสอทเหลอขำดทน30%สดทำยเขำไดก�ำไรหรอขำดทนรอยละเทำใด

แนวคด

ไดก�ำไร

x2 + 2x - 2 x2 - 2x + 10 = x2

2 x2 - 2x + 10 = 2x x2 - 2x + 10 = x2

x = 5

ตอบ 5


35

5

h

12

แนวคด

51260

5601212

125

rh

hr

hr

ปรปรปรมาตรทรงกระบอก

512602 rrrr

r r 12 60 5

2

rr

เมอ35

321 r

จะไดจะไดจะไดปรปร ปรปรมาตรทรงกระบอกคอ

351260

925

5

9200

40 5 9

ดงนน 9 เทาปราปราปรมาตรทรงกระบอก = 200

ตอบ 200 ลกบาศกเซนตเมตร

13.ทรงกระบอกมรศม321 เซนตเมตรบรรจในกรวยกลมทมรศม5เซนตเมตรและ

สง12เซนตเมตรโดยทขอบของทรงกระบอกดำนบนอยในระนำบเดยวกนกบฝำ

กรวยกลมพอดจงหำเกำเทำของปรมำตรของทรงกระบอกนวำมกลกบำศกเซนตเมตร

(ตอบในรปของπ)


14. รปสามเหลยมมมฉาก ABC ม AB เปนดานตรงขามมมฉาก คอ 8, ACAB ซม. และ 6BC ซม. จด D เปนจดกงกลางของดาน AB จากจด D ลากเสนตงฉากกบ AB บน AC ทจด E จงหาความยาวของ DE กเซนตเมตร (ตอบเปนทศนยม 2 ตาแหนง)

แนวคด จากทฤษฏบทพธากอรส 366468 22 AB 10100 5 BDAD AED ~ ABC จะได

BCAC

DE

5 68

75.3830

DE ซ.ม.

ตอบ 3.75 เซนตเมตร 15. ABCD เปนรปสเหลยมผนผาม 50AB หนวย 40BC หนวย

E เปนจดบน CD ทาให EACCAB ˆˆ จงหาพนทรปสามเหลยม ADE เปนกตารางหนวย แนวคด

1. ตอ AE ยาวพอประมาณ ลาก CF พบสวนตอ AE ท F จะได AFCABC 2. EFCEDA ˆˆ (ขนาด 90 เทากน) CFAD FECDEA ˆˆ (มมตรงขาม) CFEADE (ม.ด.ม.) จะได xCEAE 50

9160010025004050

22

222

xxxxxx

พ.ท. 94021

ADE

= 180 ตอบ 180 ตารางหนวย

E

D

A

C B

40

x

40

B

CD

F

E

A



BCAC

DE

5 68

75.3830

DE ซ.ม.




9160010025004050

22

222

xxxxxx

พ.ท. 94021

ADE


E

D

A

C B

40

x

40

B

CD

F

E

A



BCAC

DE

5 68

75.3830

DE ซ.ม.




9160010025004050

22

222

xxxxxx

พ.ท. 94021

ADE


E

D

A

C B

40

x

40

B

CD

F

E

A



BCAC

DE

5 68

75.3830

DE ซ.ม.




9160010025004050

22

222

xxxxxx

พ.ท. 94021

ADE


E

D

A

C B

40

x

40

B

CD

F

E

A



BCAC

DE

5 68

75.3830

DE ซ.ม.




9160010025004050

22

222

xxxxxx

พ.ท. 94021

ADE


E

D

A

C B

40

x

40

B

CD

F

E

A



BCAC

DE

5 68

75.3830

DE ซ.ม.




9160010025004050

22

222

xxxxxx

พ.ท. 94021

ADE


E

D

A

C B

40

x

40

B

CD

F

E

A

แนวคดจากทฤษฏบทพธากอรส

22

A

14.รปสำมเหลยมมมฉำกมดำนตรงขำมมมฉำกคอAB,AC=8ซม.และAC=8ซม.และAC BC=6ซม.BC=6ซม.BC=6

จดDเปนจดกงกลำงของดำนABจำกจดDลำกเสนตงฉำกกบABบนACทจดACทจดAC E

จงหำควำมยำวของDEยำวกเซนตเมตร(ตอบเปนทศนยม2ต�ำแหนง)DEยำวกเซนตเมตร(ตอบเปนทศนยม2ต�ำแหนง)DE

ซม.



BCAC

DE

5 68

75.3830

DE ซ.ม.




9160010025004050

22

222

xxxxxx

พ.ท. 94021

ADE


E

D

A

C B

40

x

40

B

CD

F

E

A



BCAC

DE

5 68

75.3830

DE ซ.ม.




9160010025004050

22

222

xxxxxx

พ.ท. 94021

ADE


E

D

A

C B

40

x

40

B

CD

F

E

A

(ม.ม.ด)


16. ชายคนหนงตองเดนทางไปทางานโดยเดนจากทพกผาน 4 ชวงตกไปทางตะวนออก และเดนทางไปทศเหนออก 3 ชวงตก จงจะถงททางานถาเขยนแผนการเดนผาน ชวงตก 1 ชวงคอ ผาน 1 ชอง ในตาราง 77 จงหาจานวนเสนทางการเดนทเปนไปไดทงหมดทชายคนน

เดนทางไปทางาน แนวคด 35

!4!3!4567

!4!3!7

ตอบ 35 เสนทาง

แนวคด

35

!4!3!4567

!4!3!7

ตอบ 35 เสนทาง

16. ชำยคนหนงตองเดนทำงไปท�ำงำนโดยเดนจำกทพกผำน4ชวงตกไปทำงตะวนออก

และเดนทำงไปทศเหนออก3ชวงตกจงจะถงทท�ำงำนถำเขยนแผนกำรเดนทำงผำน

ชวงตก1ชวงคอผำน1ชองในตำรำง7 X 7จงหำจ�ำนวนเสนทำงกำรเดนทเปนไปไดทงหมดทชำยคนน

เดนทำงไปท�ำงำน


17. AD เปนสวนสงของรปสามเหลยม ABC สวนของเสนตรง PQ , RS และ BC ขนานกน โดยทสวนของเสนตรง PQ และ RS ตด AD ทจด M และ N ตามลาดบ ดงรป

SR

QP

N

M

B D C

A

ถา AM = MN = ND และ พนทรปสเหลยม PQSR เทากบ 24 ตารางหนวย จงหาพนทรปสามเหลยม ABC เปนกตารางหนวย

แนวคด พ.ท. สเหลยมคางหม PQSR

21 สง ผลบวกดานคขนาน

2421

RSPQMN

ตอบ 72 ตารางหนวย

723482

1BC:AD

2

1

348BCAD

48BC3

2

3

2AD

3

1

48RS2

3MN

48RSPQMN

17. AD เปเปเปนสวนสงของรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยม ABC สวนของเสนตรง PQ , RS และ BC ขนานกน โดยทโดยทโดยทสวนของเสนตรง PQ และ RS ตด AD ทจด M และ N ตามลาดบ ดงรป

SR

QP

N

M

B D C

A ถา AM = MN = ND และ พนทรปสปสปสเหลยม PQSR เทากบ 24 ตารางหนวย จงหาพนทรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยม ABC เปเปเปนกตารางหนวย

แนวคดพ.ท. สเหลยมคางหม PQSR

21 สง ผลบวกดานคขนาน

2421

RS PQ MN

ตอบ72ตำรำงหนวย

MN

!MN " PQ + RS( ) = 48

MN 3

2RS = 48

#

$%

&

'(

1

3AD

#

$%

&

'(

3

2"

2

3BC

#

$%

&

'( = 48

AD )BC = 48" 3

1

2 AD BC =

1

2" 48" 3 = 72

RS

!MN " PQ + RS( ) = 48

MN 3

2RS = 48

#

$%

&

'(

1

3AD

#

$%

&

'(

3

2"

2

3BC

#

$%

&

'( = 48

AD )BC = 48" 3

1

2 AD BC =

1

2" 48" 3 = 72

= 48

!MN " PQ + RS( ) = 48

MN 3

2RS = 48

#

$%

&

'(

1

3AD

#

$%

&

'(

3

2"

2

3BC

#

$%

&

'( = 48

AD )BC = 48" 3

1

2 AD BC =

1

2" 48" 3 = 72

AD BC = 48 x 3

!MN " PQ + RS( ) = 48

MN 3

2RS = 48

#

$%

&

'(

1

3AD

#

$%

&

'(

3

2"

2

3BC

#

$%

&

'( = 48

AD )BC = 48" 3

1

2 AD BC =

1

2" 48" 3 = 72

= 48

!MN " PQ + RS( ) = 48

MN 3

2RS = 48

#

$%

&

'(

1

3AD

#

$%

&

'(

3

2"

2

3BC

#

$%

&

'( = 48

AD )BC = 48" 3

1

2 AD BC =

1

2" 48" 3 = 72

พนทรปสเหลยมคำงหม


18. จงหำจ�ำนวนวธในกำรสรำงจ�ำนวนคบวก3หลกจำกเลขโดด0,2,3,4,5,6,7

และไมใชตวเลขโดดซ�ำกน

แนวคด

หลกหนวยเปน0 ม 6 · 5 · 1 = 30 จ�ำนวน

หลกหนวยไมเปน0 ม 5 · 5 · 3 = 75 จ�ำนวน รวม 30+75=105 จ�ำนวน

ตอบ105วธ

19.ก�ำหนดa, b, cเปนค�ำตอบของสมกำรx3 - 3x2 + kx - 12 = 0จงหำคำkทท�ำใหkทท�ำใหk a · b = - 6แนวคด

ตอบ-16

20. จงหำคำkทเปนบวกทท�ำใหกรำฟของเสนตรง y - 2x - k = 0สมผสกรำฟวงกลมx2 + y2 = 20

แนวคด

y = 2x + kx2 + y2 = 20x2 + 4x2 + 4kx + k2 k2 k - 20 = 0

5x2 + 4kx + k2 k2 k - 20 = 0

ท�ำให 16 k2k2k - 20 (k2 k2 k - 20) = 0 16k2 k2 k - 20 (k2 k2 k - 20) = 0 k = ± 10k = ± 10k k = 10k = 10k

ตอบ10


21. จากรป สวนโคงเกดจากวงกลมทมรศม 7 หนวยเทากน พนทในรปปด ทงหมดเปนกตารางหนวย (กาหนด

722

)

แนวคด จากรปพนทแรเงา = 2 พ.ท.วงกลม + พ.ท. จตรส

196308

1414777222

= 504 ตารางหนวย ตอบ 504 ตารางหนวย


722

)


196308

1414777222



722

)


196308

1414777222


21. จากร จากร จากร ป ป ส ส วนโค วนโค วนโควนโคงเกดจากวงกลมทมรศม 7 หนวยเทากน พนทในรปปปปปปดทงหมดเปงหมดเป งหมดเปงหมดเปนกตารางหนวย (กาหนด

722

)

แนวคด

= 504


จำกรปพนทแรเงำ= 2พนทรปวงกลม+พนทรป จตรส

= (2 X


722

)


196308

1414777222


X 7 X 7) + (14 X 14)

= 308 + 196= 504 ตำรำงหนวย


22. ถา 67723 22 yxykxyx แยกตวประกอบในรปเชงเสนและมสมประสทธ เปนจานวนเตม จงหาคา k

แนวคด 67723 22 yxykxyx

3,32

03230673

637637

37,7,2

73,3,6

3333

2

2

22

C

CCCC

CCCCCB

BDACADBCkADBC

BCBDyBxACyADyAxyxCxyDxCDyxBAyx

ถา 2;3 BC แทนใน 7 BDAC ...723 DA จาก

DA 2 แทนใน

kADAD

D

DDDD

DD

DD

51631,2

2,23

02320672

762

726

2

2

ตอบ 5



3,32

03230673

637637

37,7,2

73,3,6

3333

2

2

22

C

CCCC

CCCCCB

BDACADBCkADBC




kADAD

D

DDDD

DD

DD

51631,2

2,23

02320672

762

726

2

2

ตอบ 5



3,32

03230673

637637

37,7,2

73,3,6

3333

2

2

22

C

CCCC

CCCCCB

BDACADBCkADBC




kADAD

D

DDDD

DD

DD

51631,2

2,23

02320672

762

726

2

2

ตอบ 5



3,32

03230673

637637

37,7,2

73,3,6

3333

2

2

22

C

CCCC

CCCCCB

BDACADBCkADBC




kADAD

D

DDDD

DD

DD

51631,2

2,23

02320672

762

726

2

2

ตอบ 5



3,32

03230673

637637

37,7,2

73,3,6

3333

2

2

22

C

CCCC

CCCCCB

BDACADBCkADBC




kADAD

D

DDDD

DD

DD

51631,2

2,23

02320672

762

726

2

2

ตอบ 5



3,32

03230673

637637

37,7,2

73,3,6

3333

2

2

22

C

CCCC

CCCCCB

BDACADBCkADBC




kADAD

D

DDDD

DD

DD

51631,2

2,23

02320672

762

726

2

2

ตอบ 5

3x2 + kxy - 2y2 - 7x + 7y - 6

= (3x + Ay + B)(x + Dy + C)

= 3x2 + 3xyD + 3xC + Axy + ADy2 + ACy + Bx + BDy + BC

BC = -6, 3D + A = k, 3C + B = - 7

AD = - 2, AC + BD = 7,

B = - 7 - 3C

(- 7 - 3C) C = - 6

- 7C - 3C2 = - 6

3C2 + 7C - 6 = 0

(3C - 2) (C + 3) = 0

C = 2 , - 3

ถำ C = - 3 ; B = 2 แทนใน AC+BD=7

- 3A + 2D = 7 ...



3,32

03230673

637637

37,7,2

73,3,6

3333

2

2

22

C

CCCC

CCCCCB

BDACADBCkADBC




kADAD

D

DDDD

DD

DD

51631,2

2,23

02320672

762

726

2

2

ตอบ 5

แทนA =



3,32

03230673

637637

37,7,2

73,3,6

3333

2

2

22

C

CCCC

CCCCCB

BDACADBCkADBC




kADAD

D

DDDD

DD

DD

51631,2

2,23

02320672

762

726

2

2

ตอบ 5

ใน



3,32

03230673

637637

37,7,2

73,3,6

3333

2

2

22

C

CCCC

CCCCCB

BDACADBCkADBC




kADAD

D

DDDD

DD

DD

51631,2

2,23

02320672

762

726

2

2

ตอบ 5

3


10

17253

X

O

A

B

CD

P

23. ในการทอดลกเตา 3 ลกพรอมกน 1 ครง จานวนวธทผลรวมของแตมบนหนาลกเตา มคาเทากบ 14 มอยทงหมดกวธ แนวคด 266, 662, 626, 356, 365, 536, 563, 635, 653, 446, 464, 644, 455, 545, 554

ตอบ 15 วธ 24. O เปนจดศนยกลางของวงกลม โดยมเสนผานศนยกลางยาว 34 เซนตเมตร คอรด AB ตดกบคอรด

CD เปนมมฉากทจด X ถา คอรด AB ยาว 2 253 เซนตเมตร และ OX ยาว 10 เซนตเมตร จงหาผลคณของความยาวของ CX กบ ความยาวของ XD

แนวคด

18964253

8253,8253,8

362532892

XBAXXDCXXBAXPX

OP

ตอบ 189 เซนตเมตร

25. จงหาเศษของการหาร 10321032 ดวย 100 เปนเทาไร แนวคด 1032 หารดวย 100 เศษคอ 32 21032 หารดวย 100 เศษคอ 24 31032 หารดวย 100 เศษคอ 68 41032 หารดวย 100 เศษคอ 76 10321032 หารดวย 100 เศษคอ 76 ตอบ 76

10

17253

X

O

A

B

CD

P




แนวคด

18964253

8253,8253,8

362532892

XBAXXDCXXBAXPX

OP



10

17253

X

O

A

B

CD

P




แนวคด

18964253

8253,8253,8

362532892

XBAXXDCXXBAXPX

OP



10

17253

X

O

A

B

CD

P




แนวคด

18964253

8253,8253,8

362532892

XBAXXDCXXBAXPX

OP



10

17253

X

O

A

B

CD

P




แนวคด

18964253

8253,8253,8

362532892

XBAXXDCXXBAXPX

OP



23. ในการทอดลกเตา 3 ลกพรอมกน 1 ครง จานวนวธทผลรวมของแตมบนหนาลกเตา มคาเทากบ 14 มอยทงหมดกวธ

แนวคด 266, 662, 626, 356, 365, 536, 563, 635, 653, 446, 464, 644, 455, 545, 554

ตอบ 15 วธ

10

17253

XX

O

A

B

CD

P

18964253

8253,8253,8

362532892

XBAXXDCXXBAXPX

OP


24.O เปนจดศนยกลำงของวงกลม โดยมเสนผำนศนยกลำงยำว 34 เซนตเมตร คอรด AB ตดกบคอรด CD

เปนมมฉำกทจดXถำคอรดABยำว เซนตเมตรและOXยำว10เซนตเมตรจงหำผลคณของ

ควำมยำวของCXกบควำมยำวของXDเปนกเซนตเมตร

แนวคด


26. กาหนด ba, เปนจานวนเตมบวก โดยท 0201,...,4,3,2,1A ถาเลอก a และ b จาก A นามาสรางเปนคอนดบ ba, โดยท 4ba จะสราง ba, ไดกคอนดบทสอดคลองกบเงอนไขดงกลาว

แนวคด 1 ba จะได 2010,2009,...,4,3,3,2,2,1 และ 2009,2010,...,3,42,3,1,2 จะไดคอนดบทงหมด 401822009 2ba จะได 2010,2008,...5,3,4,2,3,1 และ 2008,2010,...,3,5,2,4,1,3 จะไดคอนดบทงหมด 401620082 3ba จะได 2010,2007,...,6,3,5,2,4,1 และ 2007,2010,...,3,6,2,5,1,4 จะไดคอนดบทงหมด 401420072 4ba จะได 2006,2010,...,3,7,2,2,1,52010,2006,...7,3,6,2,5,1 และ จะไดคอนดบทงหมด 401220062 0ba จะได 2010,2010,...,3,3,2,2,1,1 จะไดคอนดบทงหมด 2010 ดงนนคอนดบทงหมดทสอดคลองกบงอนไข = 4018 + 4016 + 4014 + 4012 + 2010 ตอบ 18070 คอนดบ 27. กาหนดให N เปนจานวนนบ และ 1...21! NNNN เชน 12345!5 ให

!100...!7!6!5!4!3!2!1 A เลขโดด C เปนตวเลขในหลกหนวยของ A และเลขโดด D เปนตวเลขในหลกหนวยของ

10A จงหาคาของ C + D

แนวคด พจารณา 1! = 1 6! = 720 2! = 2 7! = 5,040 3! = 6 8! = 40,320 4! = 24 9! = 362,880 5! = 120 10! = 3,628,800 และหาคาตงแต 11! ขนไปจะไดวามเลขหลกสบและหลกหนวยเปนศนย จะไดวา 1! + 2!+…+10! มเลขสามหลกสดทายเปน 913 ดงนน C = 3 และเมอนาเลขสามหลกสดทายเปน 913 ทมหลกสบเปนเลข 1 เมอนา 10 ไปหาร ทาใหมหลกหนวยเปน 1 D = 1 นนคอ 413 DC ตอบ 4














































คอนดบ

คอนดบ

คอนดบและ

คอนดบคอนดบ

คอนดบ


28. บทนยาม สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทกจานวนทเขยนแทน n ในระบบเลขฐานสบ เชน Sum(976) = 9+7+6 = 22

กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)


แนวคด

กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)

1 1 1 116 16 2 2

1 18 16

2

(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )

14 7 189sum(189) 18

ตอบ 18 29. กาหนด yx, และ z เปนจานวนเตมบวก ซงสอดคลองกบสมการ

20724860808610 zyxzxyzxyxyz จงหาคาของ zyx 432 เปนเทาไร แนวคด จาก 20724860808610 zyxzxyzxyxyz จะได 25524804860808610 zyxzxyzxyxyz 291181086 zyx เพราะวา yx, และ z เปนจานวนเตมบวก 98,76 yx และ 1110 z ดงนน 118,86 yx และ 2910 z

897694432193,2

zyxzyx และ

ตอบ 89


กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)


แนวคด

กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)

1 1 1 116 16 2 2

1 18 16

2

(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )

14 7 189sum(189) 18



897694432193,2

zyxzyx และ

ตอบ 89


กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)


แนวคด

กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)

1 1 1 116 16 2 2

1 18 16

2

(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )

14 7 189sum(189) 18



897694432193,2

zyxzyx และ

ตอบ 89


กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)


แนวคด

กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)

1 1 1 116 16 2 2

1 18 16

2

(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )

14 7 189sum(189) 18



897694432193,2

zyxzyx และ

ตอบ 89


กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)


แนวคด

กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)

1 1 1 116 16 2 2

1 18 16

2

(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )

14 7 189sum(189) 18



897694432193,2

zyxzyx และ

ตอบ 89


กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)


แนวคด

กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)

1 1 1 116 16 2 2

1 18 16

2

(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )

14 7 189sum(189) 18



897694432193,2

zyxzyx และ

ตอบ 89


กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)


แนวคด

กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)

1 1 1 116 16 2 2

1 18 16

2

(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )

14 7 189sum(189) 18



897694432193,2

zyxzyx และ

ตอบ 89


กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)


แนวคด

กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)

1 1 1 116 16 2 2

1 18 16

2

(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )

14 7 189sum(189) 18



897694432193,2

zyxzyx และ

ตอบ 89


กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)


แนวคด

กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)

1 1 1 116 16 2 2

1 18 16

2

(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )

14 7 189sum(189) 18



897694432193,2

zyxzyx และ

ตอบ 89


กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)


แนวคด

กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)

1 1 1 116 16 2 2

1 18 16

2

(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )

14 7 189sum(189) 18



897694432193,2

zyxzyx และ

ตอบ 89


กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)


แนวคด

กาหนด 1 1 1 1 11 1 1 18 16 8 16 164 2 4 2n (14 7 )(14 7 )(14 7 )(14 7 )(7 )(28 1)

1 1 1 116 16 2 2

1 18 16

2

(7 )(28 1)(14 7 )(14 7 )n(14 7 )

14 7 189sum(189) 18



897694432193,2

zyxzyx และ

ตอบ 89

x = 2, y = 3 และ z = 19


30. กาหนด 2009 badadcdcbcba และ

4991111

badadcdcbcba


dbad

cadc

bdcb

a

เปนเทาไร

แนวคด

1233

2009499

32009

baddcba

adcdcba

dcbdcba

cbadcba

dcba

1231111

bad

cadc

bdcb

acba

d

bad

cadc

bdcb

acba

d

= 119

ตอบ 119


4991111

badadcdcbcba


dbad

cadc

bdcb

a


แนวคด

1233

2009499

32009

baddcba

adcdcba

dcbdcba

cbadcba

dcba

1231111

bad

cadc

bdcb

acba

d

bad

cadc

bdcb

acba

d

= 119

ตอบ 119


4991111

badadcdcbcba


dbad

cadc

bdcb

a


แนวคด

1233

2009499

32009

baddcba

adcdcba

dcbdcba

cbadcba

dcba

1231111

bad

cadc

bdcb

acba

d

bad

cadc

bdcb

acba

d

= 119

ตอบ 119


4991111

badadcdcbcba


dbad

cadc

bdcb

a


แนวคด

1233

2009499

32009

baddcba

adcdcba

dcbdcba

cbadcba

dcba

1231111

bad

cadc

bdcb

acba

d

bad

cadc

bdcb

acba

d

= 119

ตอบ 119


4991111

badadcdcbcba


dbad

cadc

bdcb

a


แนวคด

1233

2009499

32009

baddcba

adcdcba

dcbdcba

cbadcba

dcba

1231111

bad

cadc

bdcb

acba

d

bad

cadc

bdcb

acba

d

= 119

ตอบ 119

จำก(a+b+c)+(b+c+d)+(c+d+a)+(d+a+b) = 2009 จะได a+b+c+d = จะได a+b+c+d = จะได 2009

จะได (a+b+c+d) x 1 1 1 1

()()()()()b()ba()ad()da()ad()dc()cd()dc()cb()bc()cb()ba()a ()()()

()()()

()()()

()() = 3

2009499

3

การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน



ระดบประเทศ ประจ�าป พ.ศ. 2553

การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553



เพอการคดเลอกตวแทนนกเรยนระดบประเทศ ประจาป พ.ศ. 2553

สอบวนท 6 มนาคม พ.ศ. 2553 เวลา 9.30 น. - 11.30 น.

คาชแจง

1. แบบทดสอบฉบบน เปนแบบทดสอบชนดเตมคาตอบ (ไมตองแสดงวธทา) มจานวน 6 หนา


2. แบบทดสอบมทงหมด 30 ขอ คะแนนเตม 120 คะแนน

แบงเปน 3 ตอนคอ




3. กระดาษคาตอบม 2 หนา ใหนกเรยนเขยน ชอ-นามสกล เลขประจาตวสอบ หองสอบ

ชอ โรงเรยน สานกงานเขตพนทการศกษาของนกเรยนใหครบในกระดาษคาตอบ

4. คาตอบ แตละขอทนกเรยนตอบ ตองตอบลงในกระดาษคาตอบเทานนและใหตรงกบขอคาถาม

5. คาถามขอใดทตองแสดงคาตอบมากกวาหนงคาตอบ นกเรยนตองตอบใหถกทกคาตอบ


6. ไมอนญาตใหใชเครองคดเลข โทรศพท หรอ เครองมออเลกทรอนกสใดๆ ในการคานวณ

7. นกเรยนจะออกจากหองสอบได หลงจากเรมสอบไปแลว 1 ชวโมง โดยวางกระดาษคาตอบ

กระดาษทดและแบบทดสอบไวบนโตะ

8. การตดสนของคณะกรรมการถอเปนขอยต

แบบทดสอบฉบบน เปนลขสทธของ



เสรมคด...คณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน (ระดบประเทศ ป 2553) : 34

1. หอยทากสองตวอยหางกน 1 เมตร คลานเขาหากนโดยตวหนงคลานดวยความเรว 0.5 มลลเมตรตอ

วนาท และอกตวหนงคลานดวยความเรว 0.75 มลลเมตรตอวนาท แลวหอยทากสองตวนใชเวลากวนาทจงจะพบกน

2. ถา n เปนจานวนเตมบวกทนอยทสด ททาให 24 + 27 + 2n เปนจานวนกาลงสอง แลว n เปนจานวนใด 3. รปสามเหลยม ABC ม E เปนจดบนสวนตอของ AB ทาให ECA

= BCA47

และ D เปนจดบน

สวนตอของ AC ทาให BD แบงครง CBE ถา BD ตด CE ทจด P และ BC = BP = CP แลว

ขนาดของมม BAC เทากบกองศา 4. A 0,0 , B 5,0 , C 5,5 , D 0,5 เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD จด E มพกด (0, 2) F เปนจดบนดาน CD ถา เสนตรง EF แบงพนทรปสเหลยม ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆ กน และ เสนตรง EF ตด แกน X ทจด P แลว สามสบเทาของ

PAEA มคาเทาใด

5. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม BE = 4 หนวย และ DF = 6 หนวย

6

4

F

E

A

D C

B

ถา พนทรปสามเหลยม AEF เทากบ 25 ตารางหนวย แลว ABCD ม พนทกตารางหนวย

6. ในการใชสมบตการเปลยนกลมการคณของจานวนจรง พบวา จานวนจรง 3 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาได 2 แบบ คอ (ab)c, a(bc) จานวนจรง 4 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาได 5 แบบ คอ (a(bc))d,

((ab)c)d, (ab)(cd), a((bc)d), a(b(cd)) จงหาวา สาหรบจานวนจรง 5 จานวน เมอใชสมบต การเปลยนกลมการคณ จะทาไดแตกตางกนกแบบ 7. จงแยกตวประกอบของ abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab 8. d,c,b,a เปนจานวนจรงท 0dcba ถา 1cb,1da 2222 และ

31bdac

แลว )cdab(23 มคาเทาใด 9. ถา x เปนจานวนจรง ททาให )12x)(x4(2y แลว y มคามากทสดเทาใด 10. จานวนหาหลกทไดจากการจดเรยงเลขโดด 2, 3, 4, 6 และ 9 โดยแตละจานวนไมมเลขโดดทซากน ซงจะตองไมม 346 หรอ 692 ปรากฏอยในจานวนนนๆ มทงหมดกจานวน (เชน 23496 เปน

จานวนทสอดคลองตามขอกาหนด แต 23469 เปนจานวนทไมสอดคลองตามขอกาหนด) 11. เศษสวนทกาหนดให มกจานวนทไมเปนเศษสวนอยางตา

505500,,

10023,

10032,

10041

12. กาหนด a, b เปนจานวนเตม

4bxx

ax4xx)x(f 2

223

โดยท a 5 , b 5

จานวนคอนดบ (a, b) ทเปนไปไดทงหมด ททาให f (1) = 0 มกคอนดบ





31bdac



505500,,

10023,

10032,

10041


4bxx

ax4xx)x(f 2

223





31bdac



505500,,

10023,

10032,

10041


4bxx

ax4xx)x(f 2

223



13. ให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม BAC เปนมมฉาก

oY'

X'

BXA

Y

C

รปวงกลมสมผสดาน AB และ ดาน AC ท X และ Y ตามลาดบ เมอ XX และ YY เปนเสนผานศนยกลางของวงกลม ดงรป ถา 6AB หนวย แลวรอยเทาของพนทสวนทแรเงาเทากบ กตารางหนวย ( = 3.14)

14. รปสามเหลยม ABC มจด D บนดาน BC ททาให DAB

= DAC ถา AB = 5 หนวย AC = 6 หนวย

และ AD = 4 หนวย แลวพนทรปสเหลยมมมฉากทมขนาดของดานกวางและดานยาวเทากบขนาดของ ดาน BD และดาน DC เทากบกตารางหนวย 15. สวนของเสนตรง AP กบสวนของเสนตรง AD สมผสวงกลม C ทมรศม 7 นว ทจด P และ D

ตามลาดบ BD ยาว 24 นว ถา BC // AP (ดงรป)

แลวสบเทาของพนทสวนทแรเงาเปนกตารางนว ( 227

)

16. ถา x เปนคาตอบของสมการ

320104x2553320104x2553

x201048x2553x201048x2553

แลว 25x4x2 มคาเทาใด 17. ถา a, b, c เปนคาตอบของสมการ 03x27x8x 23 แลว

cb

bc

ca

ac

ab

ba

มคาเทาใด 18. ถา P(x) เปนพหนามทม

x1PxP

x1PxP และ

1615

21P

,

8180

31P

แลว P(1) + P(2) + P(3) + P(4) มคาเทาใด

P

D

C

BA


oY'

X'

BXA

Y

C







)


320104x2553320104x2553

x201048x2553x201048x2553


cb

bc

ca

ac

ab

ba


x1PxP

x1PxP และ

1615

21P

,

8180

31P


P

D

C

BA




oY'

X'

BXA

Y

C







)


320104x2553320104x2553

x201048x2553x201048x2553


cb

bc

ca

ac

ab

ba


x1PxP

x1PxP และ

1615

21P

,

8180

31P


P

D

C

BA

19. กาหนด c,b,a เปนจานวนจรง และถาระบบสมการเปนดงน 6cba 18cba 222 4cba แลว abc9 มคาเทาใด

20. สดหลอเกดเดอนมกราคม เขาบอกเพอนวาวนเกดของเขาเปนพหคณของ 3 หรอสอดคลองกบคาตอบ

ของสมการ 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( ถาความนาจะเปนทเพอน จะทายวนเกดเขาไดถกตองเปน

ba เมอ ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 1 แลว a + b มคาเทาใด

21. ถา20092008

2009

200820081A 2

22 แลว 103A มคาเทาใด

22. กาหนดให n เปนจานวนเตมบวก ถา 1255325532553 81624 หารดวย n2 ลงตว แลว n มคามากทสดเปนเทาใด

23. ABC เปนรปสามเหลยม ม AB = 108 หนวย BC = 1009 หนวย CA = 1043 หนวย

ถาเสนแบงครงมมแบบภายในตดกนทจด O แลว พนทรปสามเหลยม ABC เปนกเทา ของพนทรปสามเหลยม AOB

24. วงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S เปนวงกลมทสมผสกบดานของรปสเหลยม ดานขนาน ABCDและเสนทแยงมม BD ดงรป โดยท AB เปนเสนสมผสวงกลม P และวงกลม Q BD เปนเสนสมผสวงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S CD เปนเสนตรงสมผสวงกลม R และวงกลม S กาหนดให พนทวงกลม P และวงกลม R เทากน เทากบ 4 ตารางหนวย และพนทวงกลม Q และวงกลม S เทากน เทากบ ตารางหนวย ถา ABCD มพนท ba ตารางหนวย และ b เปนจานวนเฉพาะ แลว ba มคาเทาใด

R

Q

PS

CB

DA





21. ถา20092008

2009

200820081A 2






R

Q

PS

CB

DA







21. ถา20092008

2009

200820081A 2






R

Q

PS

CB

DA

25. ABCD เปนทรงเหลยมสหนามปรมาตร 999 ลกบาศกหนวย โดยทแตละหนาเปนรปสามเหลยมดานเทา ถา PABC, QABD, RACD และ SBCD เปนทรงเหลยมสหนาทแตละหนาเปนรปสามเหลยมดานเทาซงถกสรางบน ABCD แลว ทรงเหลยมสหนา PQRS มปรมาตรกลกบาศกหนวย

26. ถา b,a เปนจานวนเตมบวก และนยามดงน 1. abba 2. aaa และ 3. baabbaba แลว 6*8 มคาเทาใด 27. มจานวนเตมบวก n ทงหมดกจานวนทสอดคลองกบอสมการ 99

10n9n)1(

541

431

321

21149

9n

28. กาหนดให z,y,x และ w เปนจานวนเตมบวก

ถา 10373xyzw8)wzyx()wzyx(2 222224444 แลว wxzwyzxy เปนเทาใด

29. ตวประกอบทมคามากทสดของ nn37 ทกคาของ n ทเปนจานวนเตมบวก มคาเทาใด 30. ABCDE เปนรปหาเหลยมแนบในวงกลม ถาระยะหางจากจด A ไปยง CD,BC และ DE เปน 3293

หนวย 4628 หนวย และ 3588 หนวย ตามลาดบ แลวระยะหางจากจด A ไปยง BE เทากบกหนวย *******************************




เพอการคดเลอกตวแทนนกเรยนระดบประเทศ ประจ�าป พ.ศ. 2553





1. หอยทากสองตวอยหางกน 1 เมตร คลานเขาหากนโดยตวหนงคลานดวยความเรว 0.5 มลลเมตรตอวนาท และอกตวหนงคลานดวยความเรว 0.75 มลลเมตรตอวนาท แลวหอยทากสองตวน ใชเวลากวนาทจงจะพบกน

แนวคด หอยทากสองตวนใชเวลา t วนาท จงจะพบกน

0 5t 0 75t 1000

t 800

. .

ตอบ 800 วนาท 2. ถา n เปนจานวนเตมบวกทนอยทสด ททาให 24 + 27 + 2n เปนจานวนกาลงสอง แลว n เปนจานวนใด แนวคด 24 + 27 + 2n = 24 (1+ 23 + 2n-4 ) = 24 (9 + 2n-4 ) = 24 (9 + 28-4 ) = 24 (25) ตอบ 8 3. รปสามเหลยม ABC ม E เปนจดบนสวนตอของ AB ทาให ECA

= BCA47


สวนตอของ AC ทาให BD แบงครง CBE ถา BD ตด CE ทจด P และ BC = BP = CP แลว ขนาด

ของมม BAC เทากบกองศา แนวคด

P

DE

B C

A BC = BP = CP ทาให PCB

= PBC = 60 องศา

ดงนน BCA = 80 องศา

และ CBA = 60 องศา

นนคอ CAB = 180 – 140 = 40 องศา

ตอบ 40 องศา



0 5t 0 75t 1000

t 800

. .


= BCA47




P

DE

B C





นนคอ CAB = 180 – 140 = 40 องศา




0 5t 0 75t 1000

t 800

. .


= BCA47




P

DE

B C





นนคอ CAB = 180 – 140 = 40 องศา


1. หอยทากสองตวอยหางกน 1 เมตร คลานเขาหากนโดยตนโดยต นโดยตนโดยตวหนงคลานดวยความเรว 0.5 มลลเมตรตอวนาท และอกตวหนงคลานดวยความเรว 0.75 มลลเมตรตอวนาท แลวหอยทากสองตวนใชใชใชเวลากวนาทจงจะพบกน

แนวคด หอยทากสองตวนใชวนใชวน ใชใชเวลา t วนาท จงจะพบกน

0 5t 0 75t 1000

t 800 0 5t 0 75t 1000 0 5t 0 75t 1000

t 800t 8000 5t 0 75t 1000. .0 5t 0 75t 10000 5t 0 75t 1000 0 5t 0 75t 1000. .0 5t 0 75t 1000 0 5t 0 75t 1000

ตอบ 800 วนาท

2. ถา n เปเปเปนจานวนเตมบวกทนอยทสด ททาใหาใหาให 2 2 4 + 27 + 2n เปเปเปนจานวนกาลงสอง แลว n เปเปเปนจานวนใด แนวคด 24 + 27 + 2n = 24 (1+ 23 + 2n-4 ) = 24 (9 + 2n-4 ) = 24 (9 + 28-4 ) = 24 (25)

3. รปสามเหลปสามเหลปสามเหลยม ABC ม E เปเปเปนจดบนสวนตอของ AB ทาใหาใหาให ECA = BCA

47

และ D เปเปเปนจดบน

สวนตอของ AC ทาใหาใหาให BD แบงครง CBE ถา BD ตด CE ทจด P และ BC = BP = CP แลว ขนาด

ของมม BAC เทากบกองศาแนวคด

P

DE

B C

A BC = BP = CP ทาใหาใหาให PCB




นนนคนคออ CCAABB = 180 – 140 = 40 = 180 – 140 = 40 องศาองศา


nเปนจ�ำนวนนอยทสดทท�ำให(a+2n-4)

เปนก�ำลงสองจะไดn=8

ตอบ8


4. A 0,0 , B 5,0 , C 5,5 , D 0,5 เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD จด E มพกด (0, 2) F เปนจดบนดาน CD ถา เสนตรง EF แบงพนทรปสเหลยม ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆ กน และ เสนตรง EF ตด แกน X ทจด P แลว สามสบเทาของ


แนวคด เสนตรงผานจด 2,0 ตด CD ทจด 3,5F แบง พนท ABCD ออกเปน 2 สวนเทาๆกน สมการเสนตรงผานจด 3,5,2,0 คอ

5032

0x2y

จะได

51

PAEA

สามสบเทาของPAEA = 6

ตอบ 6 5. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม BE = 4 หนวย และ DF = 6 หนวย

6

4

F

E

A

D C

B


แนวคด ให x แทนความยาวดาน BC y แทนความยาวดาน DC พ.ท. xy4x6y

21y2x3AEF

xy74xy224y4x6xyy4x650

xy24y4x6xy21y2x325

ดงนน พนทรปสเหลยมผนผา เปน 74 ตารางหนวย ตอบ 74 ตารางหนวย

3

32

2

A (0,0)

B (0,5)

D (5,0)

E (0,2)

C (5,5)

F

P X

Y




5032

0x2y

จะได

51

PAEA



6

4

F

E

A

D C

B



21y2x3AEF


xy24y4x6xy21y2x325


3

32

2

A (0,0)

B (0,5)

D (5,0)

E (0,2)

C (5,5)

F

P X

Y




5032

0x2y

จะได

51

PAEA



6

4

F

E

A

D C

B



21y2x3AEF


xy24y4x6xy21y2x325


3

32

2

A (0,0)

B (0,5)

D (5,0)

E (0,2)

C (5,5)

F

P X

Y




5032

0x2y

จะได

51

PAEA



6

4

F

E

A

D C

B



21y2x3AEF


xy24y4x6xy21y2x325


3

32

2

A (0,0)

B (0,5)

D (5,0)

E (0,2)

C (5,5)

F

P X

Y




5032

0x2y

จะได

51

PAEA



6

4

F

E

A

D C

B



21y2x3AEF


xy24y4x6xy21y2x325


3

32

2

A (0,0)

B (0,5)

D (5,0)

E (0,2)

C (5,5)

F

P X

Y




5032

0x2y

จะได

51

PAEA



6

4

F

E

A

D C

B



21y2x3AEF


xy24y4x6xy21y2x325


3

32

2

A (0,0)

B (0,5)

D (5,0)

E (0,2)

C (5,5)

F

P X

Y




5032

0x2y

จะได

51

PAEA



6

4

F

E

A

D C

B



21y2x3AEF


xy24y4x6xy21y2x325


3

32

2

A (0,0)

B (0,5)

D (5,0)

E (0,2)

C (5,5)

F

P X

Y




5032

0x2y

จะได

51

PAEA



6

4

F

E

A

D C

B



21y2x3AEF


xy24y4x6xy21y2x325


3

32

2

A (0,0)

B (0,5)

D (5,0)

E (0,2)

C (5,5)

F

P X

Y

4. A 0 , 0 , B 5 , 0 , C 5 , 5 , D 0 , 5 เปเปเปนจดยอดของรปสปสปสเหลยม ABCD จด E มพกด (0, 2)

3

32

2

A (0,0) (0,0)

B (0,5)

D (5,0)

E (0,2)

C (5,5)

F

P X

Y เสนตรงผานจด 2,0 ตด CD ทจด 3 , 5 F แบง พนท ABCD ออกเปออกเปออกเปน 2 สวนเทาๆกนสมการเสนตรงผานจด 3,5,2,0

คอ5032

0x2y

จะไดจะไดจะได

51

PAEA


ตอบ 6

= xy

= xy

= 2xy

74 = xy

พ.ท. ABCD = ∆ AEF + ∆ ADF + ∆ FCE + ∆ ABE

FเปนจดบนดำนCDถำเสนตรงEFแบงพนทรปสเหลยมABCDออกเปน2สวนเทำๆกน

และเสนตรงEFตดแกนXทจดPแลวสำมสบเทำของ มคำเทำใด

แนวคด



((ab)c)d, (ab)(cd), a((bc)d), a(b(cd)) จงหาวา สาหรบจานวนจรง 5 จานวน เมอใชสมบตการเปลยนกลมการคณ จะทาไดแตกตางกนกแบบ แนวคด ชด (abcd)e ม 6 แบบ คอ ((ab)(cd))e, (ab)((cd)e), ((a(bc))d)e, (a((bc)d))e, (((ab)c)d)e,

(a(b(cd)))e

ชด a(bcde) ม 6 แบบ คอ a((bc)(de)), (a(bc))(de) , a(((bc)d)e), a(b(c(de))), (a((bc)d)e), a((b(cd))e)

และ ((ab)c)(de), (ab)(c(de)) ตอบ 14 แบบ 7. จงแยกตวประกอบของ abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab แนวคด abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab

)ba)(cb)(ca(cabcbab)ca(

ca)cba(b)ca()ac(ca)bcab)(cba(

)ac(ca)cba(bc)cba(ab

2

ตอบ )ba)(cb)(ca(



(a(b(cd)))e






2




(a(b(cd)))e






2


6. ในการใชในการใชในการใชสมบตการเปลการเปลการเปลยนกลมการคณของจานวนจรง พบวาจานวนจรง 3 จานวน เมอใชอใชอใชสมบต การเปลการเปลการเปลยนกลมการคณ จะทาไดาไดาได 2 2 แบบ คอ (ab)c, a(bc)

จานวนจรง 4 จานวน เมอใชอใชอใชสมบต การเปลการเปลการเปลยนกลมการคณ จะทาไดาไดาได 5 แบบ คอ (a(bc))d, ((ab)c)d, (ab)(cd), a((bc)d), a(b(cd)) จงหาวา สาหรบจานวนจรง 5 จานวน เมอใชอใชอใชสมบต การเปลการเปลการเปลยนกลมการคณ จะทาไดาไดาไดแตกตางกนกแบบแนวคด ชด (abcd)e ม 6 แบบ คอ ((ab)(cd))e, (ab)((cd)e), ((a(bc))d)e, (a((bc)d))e, (((ab)c)d)e, (a(b(cd)))e


และ ((ab)c)(de), (ab)(c(de)) ตอบ 14 แบบ

7. จงแยกตวประกอบของวประกอบของ abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab

แนวคด abc2)ac(ca)cb(bc)ba(ab

)ba)(cb)(ca( ca bc b ab )ca(

ca ) c b a ( b )ca()ac(ca)bcab)(cba(


2


= ab (a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+abc+abc


8. d,c,b,a เปนจานวนจรงท 0dcba ถา 1cb,1da 2222 และ 31bdac

แลว )cdab(23 มคาเทาใด แนวคด

98

3111

bdaccbdacdab2

222222

เนองจาก 0dcba 0cdab ดงนน

322cdab

)cdab(23 = 4 ตอบ 4 9. ถา x เปนจานวนจรง ททาให )12x)(x4(2y แลว y มคามากทสดเทาใด

แนวคด x = 4 ทาให )12x)(x4(2y มคามากทสด เทากบ 128 ตอบ 128

10. จานวนหาหลกทไดจากการจดเรยงเลขโดด 2, 3, 4, 6 และ 9 โดยแตละจานวนไมมเลขโดดทซากน ซงจะตองไมม 346 หรอ 692 ปรากฏอยในจานวนนนๆ มทงหมดกจานวน (เชน 23496 เปน

จานวนทสอดคลองตามขอกาหนด แต 23469 เปนจานวนทไมสอดคลองตามขอกาหนด) แนวคด เรยงจานวนหาหลกทกรปแบบ ได 54321 = 120 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 692 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 และ 692 อยดวยพรอมกน ม 1 จานวน ดงนน จานวนวธในการจดเรยงตวเลข 2, 3, 4, 6, 9 ซงจะตองไมมรปแบบ 346 หรอ 692 ม 120 - 13 = 107 จานวน ตอบ 107 จานวน



98

3111

bdaccbdacdab2

222222


322cdab







98

3111

bdaccbdacdab2

222222


322cdab







98

3111

bdaccbdacdab2

222222


322cdab







98

3111

bdaccbdacdab2

222222


322cdab





8. d,c,b,a เปเปเปนจานวนจรงท 0dcba ถา da 22

แลว )cdab(23 มคาเทาใดแนวคด

1cb 22 และ31bdac

98

31 1 1

2

เนองจาก 0dcba

0cdab

ดงนน 322cdab

)cdab(23 = 4 ตอบ 4



98

3111

bdaccbdacdab2

222222


322cdab





8. d, c, b, a เปนจานวนจรงท 0 d c b a ถา 1 c b, 1 d a2 2 2 2 และ 31 bd ac

แลว ) cd ab ( 2 3 มคาเทาใด แนวคด

98

31 1 1

bd ac c b d a cd ab2

2 2 2 2 2 2

เนองจาก 0 d c b a 0 cd ab ดงนน 3

2 2 cd ab ) cd ab ( 2 3 = 4 ตอบ 4 9. ถา x เปนจานวนจรง ททาให ) 12 x )( x 4( 2 y แลว y มคามากทสดเทาใด

แนวคด x = 4 ทาให ) 12 x )( x 4( 2 y มคามากทสด เทากบ 128 ตอบ 128



9. ถา x เปเปเปนจานวนจรง ททาใหาใหาให )12x)(x4(2y แลว y มคามากทสดเทาใด แนวคด x = 4 ทาใหาใหาให )12x)(x4(2y มคามากทสด เทากบ 128 ตอบ 128

10. จานวนหาหลกทไดไดไดจากการจดเรยงเลขโดด 2, 3, 4, 6 และ 9 โดยแตโดยแตโดยแตละจานวนไมานวนไมานวนไมมเลขโดดทเลขโดดทเลขโดดทซากน ซงจะตองไมองไมองไมม 346 หรอ 692 ปรากฏอยปรากฏอยปรากฏอยปรากฏอยปรากฏอยในจในจในจานวนนนๆ มทงหมดกจานวน (เชน 23496 เปเปเปน

จานวนทสอดคลองตามขอกาหนด แต 23469 เปเปเปนจานวนทไมไมไมสอดคลองตามขอกาหนด) แนวคด เรยงจานวนหาหลกทกรปแบบ ไดไดได 54321 = 120 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 692 อยดวย ม 321 = 6 จานวน เรยงจานวนหาหลกทงหมดทมรปแบบ 346 และ 692 อยดวยพรอมกน ม 1 จานวน ดงนน จานวนวธในการจธในการจธ ในการจในการจดเรยงตวเลข 2, 3, 4, 6, 9 ซงจะตองไมองไมองไมมรปแบบ 346 หรอ 692 ม 120 - 13 = 107 จานวน ตอบตอบ 107 107 จจานวนานวน

1 ,


11. เศษสวนทกาหนดให มกจานวนทไมเปนเศษสวนอยางตา

505500,,

10023,

10032,

10041

แนวคด

505500,,

10023,

10032,

10041

เขยนใหมไดเปน

5001005500,,

310053,

210052,

110051

67531005 จงตองหาวามจานวนนบ 1 ถง 500 กจานวนทหารดวย 3, 5, 67 ไมลงตว

1675

500

2673

500

3353

500

767500

1005

500

1663

500

3 หรอ 5 หรอ 67 หาร 500 ลงตวมทงหมด = 237 จานวน ดงนนมเศษสวนทไมเปนเศษสวนอยางตาเทากบ 500 – 237 = 263 จานวน ตอบ 263 จานวน 12. กาหนด a, b เปนจานวนเตม

4bxx

ax4xx)x(f 2

223


จานวนคอนดบ (a, b) ทเปนไปไดทงหมด ททาให f (1) = 0 มกคอนดบ แนวคด

3 2 2 2

21 1 4 a a 4f (1) 0

1 b 4 b 5

a2 – 4 = 0 a = 2, -2 b = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 จานวนคอนดบ (a,b) ทเปนไปไดทงหมด ม 20 คอนดบ ตอบ 20 คอนดบ

67

10

2

6633

4

131

53 หารดวย 3 ลงตว

หารดวย 5 ลงตว

หารดวย 67 ลงตว

11. เศษสวนทกาหนดใหาหนดใหาหนดให มกจานวนทไมไมไมเปเปเปนเศษสวนอยางตา

505500,,

10023,

10032,

10041

แนวคด

505500,,

10023,

10032,

10041

เขยนใหมยนใหมยนใหมไดไดไดเปเปเปน

5001005500,,

310053,

210052,

110051

67531005

จงตองหาวามจานวนนบ 1 ถง 500 กจานวนทหารดวย 3, 5, 67 ไมไมไมลงตว

1675

500

2673

500

3353

500

767500

1005

500

1663

500

3 หรอ 5 หรอ 67 หาร 500 ลงตวมทงหมด = 237 จานวนดงนนมเศษสวนทไมไมไมเปเปเปนเศษสวนอยางตาเทากบ 500 – 237 = 263 จานวนตอบ 263 จานวน

10

2

6633

4

131

หารดหารดหารดวยวยวย 3 3 3 ลงตว หารดวย 5 ลงตลงตลงตวว

หารดวยวยวย 67 67 ลงตว



oY'

X'

BXA

Y

C


แนวคด

ตอบ 114 ตารางหนวย 14. รปสามเหลยม ABC มจด D บนดาน BC ททาให DAB


และ AD = 4 หนวย แลวพนทรปสเหลยมมมฉากทมขนาดของดานกวางและดานยาวเทากบขนาดของ ดาน BD และดาน DC เทากบกตารางหนวย แนวคด

สรางวงกลมลอมรอบรปสามเหลยม ABC ตอ AD ออกไปตดวงกลมทจด E ตอ CE ABD AEC AB AD AB AC AD AE AD(AD DE)

AE AC

2 2AB AC AD DE AD AD BD CD 56 = 42 + BDDC BDDC = 14 ตารางหนวย


4

5

6

D

C

A

E

B

ให O เปนจดศนยกลางวงกลม r เปนรศม rYOXO 90YOX YOX ~ CAB 2r พ.ท. แรเงา = )22(

41 พ.ท. YXO

= 22214

41

= 2 = 3.14 – 2 = 1.14 รอยเทาของพนทแรเงา = 114 ตารางหนวย

r

r

6x

y

C

BA

x'

Oy'


oY'

X'

BXA

Y

C


แนวคด





AE AC



4

5

6

D

C

A

E

B


41 พ.ท. YXO

= 22214

41


r

r

6x

y

C

BA

x'

Oy'


oY'

X'

BXA

Y

C


แนวคด





AE AC



4

5

6

D

C

A

E

B


41 พ.ท. YXO

= 22214

41


r

r

6x

y

C

BA

x'

Oy'


oY'

X'

BXA

Y

C


แนวคด





AE AC



4

5

6

D

C

A

E

B


41 พ.ท. YXO

= 22214

41


r

r

6x

y

C

BA

x'

Oy'

สรำงวงกลมลอมรอบรปสำมเหลยมABCตอADออกไปตดวงกลมทจดEตอCE

5·6=42+BD·DC BD·DC=14ตำรำงหนวยตอบ14ตำรำงหนอย

13. ใหใหให ABC เปเปเปนรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยมทมมม BAC เปเปเปนมมฉาก

oY'

X'

BXA

Y

C รปวงกลมสปวงกลมสปวงกลมสมผสดาน AB และ ดาน AC ท X และ Y ตามลาดบ เมอ XX และ YY เปเปเปนเสนผานศนยกลางของวงกลม ดงรป ถา 6AB หนวย แลวรอยเทาของพนทสวนทแรเงาเทากบกตารางหนวย ( = 3.14)

แนวคด


ใหใหให O O เปเปเปนจดศนยกลางวงกลมr เปเปเปนรศม

rYOXO 90YOX

YOX ~ CAB 2r

พ.ท. แรเงา = )22(41 พ.ท. YXO

= 2221 4

41

= 2

= 3.14 – 2 = 1.14 รอยเทาของพนทแรเงา = 114 ตารางหนวย

r

r

6x

y

C

BA

x'

Oy'

14. รปสามเหลปสามเหลปสามเหลยม ABC มจด D บนดาน BC ททาใหาใหาให DAB = DAC

ถา AB = 5 หนวย AC = 6 หนวยและ AD = 4 หนวย แลวพนทรปสปสปสเหลยมมมฉากทมขนาดของดานกวางและดานยาวเทากบขนาดของ ดาน BD และดาน DC เทากบกตารางหนวย

แนวคด

ABD AEC AB AD AB AC AD AE AD(AD DE)AE AC

AB AC AD AE AD(AD DE) AB AC AD AE AD(AD DE)

2 2AB AC AD DE AD AD BD CD 2 2 2 2AB AC AD DE AD AD BD CD AB AC AD DE AD AD BD CD2 2AB AC AD DE AD AD BD CD2 2 2 2AB AC AD DE AD AD BD CD2 24

5

6

D

A

E

B

สรำงวงกลมลอมรอบรปสำมเหลยมABCตอADออกไปตดวงกลมทจดEตอCE

5·6=4 5·6=4 5·6=4 5·6=4 5·6=4 5·6=4 5·6=4 5·6=42+BD·DC BD·DC=14ตำรำงหนวย BD·DC=14ตำรำงหนวย BD·DC=14ตำรำงหนวย BD·DC=14ตำรำงหนวย BD·DC=14ตำรำงหนวย

E BD·DC=14ตำรำงหนวย

E

ตอบ14ตำรำงหนอย

สรำงวงกลมลอมรอบรปสำมเหลยมABCตอADออกไปตดวงกลมทจดEตอCEสรำงวงกลมลอมรอบรปสำมเหลยมABCตอADออกไปตดวงกลมทจดEตอCE

c


15. สวนของเสนตรง AP กบสวนของเสนตรง AD สมผสวงกลม C ทมรศม 7 นว ทจด P และ D ตามลาดบ BD ยาว 24 นว ถา BC // AP (ดงรป)


)

แนวคด ลาก CP และ CD ทาให P และ D เทากบ 90 BC ตดเสนรอบวงทจด E ทาให 25FP ลาก BF ขนานกบ PC

ตอบ 2,205 ตารางนว

พ.ท. 21APCB สง ผลบวกดานคขนาน

BCAP721

2592549721

แตพ.ท.เซกเตอร 27360

90PCE

= 4941

พ.ท. แรเงา = 259 – 38.5 = 220.5 ตารางนว สบเทาของ พนทสวนทแรเงา 2,205 ตารางนว

P

D

C

BA

ให AF = X

49xAB

49xAB

2

22

แต ADAP

24x48x2

492x1x22x492x1x

492x2425x

C

BA

E

F

P

725

7 7

24 D

15. สวนของเสนตรง AP กบสวนของเสนตรง AD สมผสวงกลม C ทมรศม 7 นว ทจด P และ D ตามลาดบ BD ยาว 24 นว ถา BC // AP (ดงรป)


)

แนวคด ลาก CP และ CD ทาให P และ D เทากบ 90 BC ตดเสนรอบวงทจด E ทาให 25FP ลาก BF ขนานกบ PC

ตอบ 2,205 ตารางนว


BCAP721

2592549721

แตพ.ท.เซกเตอร 27360

90PCE

= 4941

พ.ท. แรเงา = 259 – 38.5 = 220.5 ตารางนว สบเทาของ พนทสวนทแรเงา 2,205 ตารางนว

P

D

C

BA

ให AF = X

49xAB

49xAB

2

22

แต ADAP

24x48x2

492x1x22x492x1x

492x2425x

C

BA

E

F

P

725

7 7

24 D

15. สวนของเสนตรง AP กบสวนของเสนตรง AD สมผสวงกลม C ทมรศม 7 นว ทจด P และ D


แลวสบเทาของพนทสวนทแรเงาเปแรเงาเปแรเงาเปนกตารางนว ( 227

)

แนวคด

P

D

C

BA

ลาก CP และ CD ทาใหาใหาให P และ D เทากบ 90 BC ตดเสนรอบวงทจด E ทาใหาใหาให 25FP

ลาก BF ขนานกบ PC


BC AP 721

259 25 49 721

แตพ.ท.เซกเตอร 2 7 360

90PCE

= 49 41

พ.ท. แรเงา = 259 – 38.5 = 220.5 ตารางนวสบเทาของ พนทสวนทแรเงา 2,205 ตารางนว

ใหใหให AF = AF = X

49xAB

49xAB

2

22

แต ADAP

24x48x2

492x1x22x492x1x

492x2425x

C

BA

E

F

P

725

7 7

24 D

แนวคด

ตอบ 2,205ตำรำงนว


16. ถา X เปนคาตอบของสมการ 320104x2553320104x2553

x201048x2553x201048x2553

แลว 25x4x2 มคาเทาใด แนวคด จะได

34x

x48x

34521324

212x25x4x

16x09x16x0144x7x

x4x144x3

22

2

2

ตอบ 345 17. ถา a, b, c เปนคาตอบของสมการ 03x27x8x 23 แลว

cb

bc

ca

ac

ab

ba

มคาเทาใด แนวคด a b c a c b

b a a c b c a a b b c c

b c a c a b

1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b

1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c

1 1 1 bc ac aba b c 3 a b c 3a b c abc

27 8 3 693

ตอบ 69

=


x201048x2553x201048x2553


34x

x48x

34521324

212x25x4x

16x09x16x0144x7x

x4x144x3

22

2

2


cb

bc

ca

ac

ab

ba



b c a c a b

1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b

1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c


27 8 3 693

ตอบ 69

=


x201048x2553x201048x2553


34x

x48x

34521324

212x25x4x

16x09x16x0144x7x

x4x144x3

22

2

2


cb

bc

ca

ac

ab

ba



b c a c a b

1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b

1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c


27 8 3 693

ตอบ 69

=

17. ถา a, b, c เปเปเปนคาตอบของสมการ 03x27x8x 23 แลวcb

bc

ca

ac

ab

ba

มคาเทาใดแนวคด

a b c a c bb a a c b c

ตอบ 69


x201048x2553x201048x2553


34x

x48x

34521324

212x25x4x

16x09x16x0144x7x

x4x144x3

22

2

2


cb

bc

ca

ac

ab

ba



b c a c a b

1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b

1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c


27 8 3 693

ตอบ 69

=


x201048x2553x201048x2553


34x

x48x

34521324

212x25x4x

16x09x16x0144x7x

x4x144x3

22

2

2


cb

bc

ca

ac

ab

ba



b c a c a b

1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b

1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c


27 8 3 693

ตอบ 69

=


x201048x2553x201048x2553


34x

x48x

34521324

212x25x4x

16x09x16x0144x7x

x4x144x3

22

2

2


cb

bc

ca

ac

ab

ba



b c a c a b

1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b

1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c


27 8 3 693

ตอบ 69

=


x201048x2553x201048x2553


34x

x48x

34521324

212x25x4x

16x09x16x0144x7x

x4x144x3

22

2

2


cb

bc

ca

ac

ab

ba



b c a c a b

1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b

1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c


27 8 3 693

ตอบ 69

=


x201048x2553x201048x2553


34x

x48x

34521324

212x25x4x

16x09x16x0144x7x

x4x144x3

22

2

2


cb

bc

ca

ac

ab

ba



b c a c a b

1 1 1 1 1 1a b cb c a c a b

1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 3a b c a b c a b c


27 8 3 693

ตอบ 69

= =

3x + 144 = x2 - 4x x2 - 7x - 144 = 0 (x - 16)(x + 9) = 0 x = 16 x2 + 4x + 25 = (x + 2)2 + 21 = 324 + 21 = 345

ตอบ345


18. ถา P(x) เปนพหนามทม

x1PxP

x1PxP และ

1615

21P

,

8180

31P

แลว P(1) + P(2) + P(3) + P(4) มคาเทาใด แนวคด 2P(1) 2P(1) P(1) 0, 2

1516P(2) 1515 1

16

,

8081P(3) 8080 1

81

41 15 1P( ) 12 16 2

, 41 80 1P( ) 1

3 81 3

4P(x) 1 x P(1) = 0 , P(4) = –255 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0 – 15 – 80 – 255 = –350 ตอบ –350


x1PxP

x1PxP และ

1615

21P

,

8180

31P


1516P(2) 1515 1

16

,

8081P(3) 8080 1

81

41 15 1P( ) 12 16 2

, 41 80 1P( ) 1

3 81 3

4P(x) 1 x P(1) = 0 , P(4) = –255 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0 – 15 – 80 – 255 = –350 ตอบ –350


x1PxP

x1PxP และ

1615

21P

,

8180

31P


1516P(2) 1515 1

16

,

8081P(3) 8080 1

81

41 15 1P( ) 12 16 2

, 41 80 1P( ) 1

3 81 3

4P(x) 1 x P(1) = 0 , P(4) = –255 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0 – 15 – 80 – 255 = –350 ตอบ –350


x1PxP

x1PxP และ

1615

21P

,

8180

31P


1516P(2) 1515 1

16

,

8081P(3) 8080 1

81

41 15 1P( ) 12 16 2

, 41 80 1P( ) 1

3 81 3

4P(x) 1 x P(1) = 0 , P(4) = –255 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0 – 15 – 80 – 255 = –350 ตอบ –350


x1PxP

x1PxP และ

1615

21P

,

8180

31P


1516P(2) 1515 1

16

,

8081P(3) 8080 1

81

41 15 1P( ) 12 16 2

, 41 80 1P( ) 1

3 81 3

4P(x) 1 x P(1) = 0 , P(4) = –255 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0 – 15 – 80 – 255 = –350 ตอบ –350


19. กาหนด c,b,a เปนจานวนจรง และถาระบบสมการเปนดงน

6cba

18cba 222

4cba

แลว abc9 มคาเทาใดแนวคด

...............6 cba

..............18222 cba ..............4 cba

จาก 36cba 2

9cabcab

18cabcab2

1836ca2bc2ab2

36ca2bc2ab2cba 222

จาก 222 4cba

10cabcab2

16cabcab26

16ca2bc2ab2cba

5cabcab

5cabcab 222

25bca2abc2cab2cabcab 222

16925bca2abccab2 222

82

16bcaabccab 222

8acbabc

4

8abc

3649abc9

4abc

24

8abc

ตอบ 36


20. สดหลอเกดเดอนมกราคม เขาบอกเพอนวาวนเกดของเขาเปนพหคณของ 3 หรอสอดคลองกบคาตอบ ของสมการ 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( ถาความนาจะเปนทเพอน จะทายวนเกดเขาไดถกตองเปน


แนวคด ถา 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( แลว 5,4,3,2x S = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, . . . , 30} n(S) = 13 , n(E) = 1

131EP

131 =

ba

14131ba ตอบ 14

21. ถา20092008

2009200820081 2

22 A แลว 103A มคาเทาใด

แนวคด

211210320091032009

20092008

200920082009

20092008

200920082009

20092008

20092008200822009

20081200822009

12008220082009

120082009

2

22

22

22

22

A

A

ตอบ 2,112




131EP

131 =

ba

14131ba ตอบ 14

21. ถา20092008

2009200820081 2


แนวคด

211210320091032009

20092008

200920082009

20092008

200920082009

20092008

20092008200822009

20081200822009

12008220082009

120082009

2

22

22

22

22

A

A

ตอบ 2,112




131EP

131 =

ba

14131ba ตอบ 14

21. ถา20092008

2009200820081 2


แนวคด

211210320091032009

20092008

200920082009

20092008

200920082009

20092008

20092008200822009

20081200822009

12008220082009

120082009

2

22

22

22

22

A

A

ตอบ 2,112




131EP

131 =

ba

14131ba ตอบ 14

21. ถา20092008

2009200820081 2


แนวคด

211210320091032009

20092008

200920082009

20092008

200920082009

20092008

20092008200822009

20081200822009

12008220082009

120082009

2

22

22

22

22

A

A

ตอบ 2,112




131EP

131 =

ba

14131ba ตอบ 14

21. ถา20092008

2009200820081 2


แนวคด

211210320091032009

20092008

200920082009

20092008

200920082009

20092008

20092008200822009

20081200822009

12008220082009

120082009

2

22

22

22

22

A

A

ตอบ 2,112




131EP

131 =

ba

14131ba ตอบ 14

21. ถา20092008

2009200820081 2


แนวคด

211210320091032009

20092008

200920082009

20092008

200920082009

20092008

20092008200822009

20081200822009

12008220082009

120082009

2

22

22

22

22

A

A

ตอบ 2,112




131EP

131 =

ba

14131ba ตอบ 14

21. ถา20092008

2009200820081 2


แนวคด

211210320091032009

20092008

200920082009

20092008

200920082009

20092008

20092008200822009

20081200822009

12008220082009

120082009

2

22

22

22

22

A

A

ตอบ 2,112

21. ถา20092008

2009200820081 2


แนวคด 12008 2009 22

1 2008 2 2008 2009 2 2

2008 1 2008 2 2009 2 2

20092008

200920082009

20092008

200920082009

20092008

20092008 2008 2 2009

2

2

2

A

2009

21121032009103 Aตอบ 2,112

20. สดหลอเกดเดอนมกราคม เขาบอกเพอนวาวนเกดของเขาเปดของเขาเปดของเขาเปนพหคณของ 3 หรอสอดคลองกบคาตอบ ของสมการ 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( ถาความนาจะเปาจะเปาจะเปนทเพอนจะทายวนเกดเขาไดดเขาไดดเขาไดถกตองเปองเปองเปน

ba เมอ ห.ร.ม. ของ a และ b เปเปเปน 1 แลว a + b มคาเทาใด

แนวคดถา 323232 )13x7x(8)20x9x()6x5x( แลว 5,4,3,2x

S = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, . . . , 30} n(S) = 13 , n(E) = 1

131 E P

131 =

ba

14131ba

ตอบ 14


22. กาหนดให n เปนจานวนเตมบวก ถา 1255325532553 81624 หารดวย n2 ลงตวแลว n มคามากทสดเปนเทาใดแนวคด

)12553()12553()12553()12553()12553(1255325532553 824222281624 จะได

132222n 2222282

ดงนน 13n

ตอบ 13

23. ABC เปนเปนเป รปสามเหลยสามเหลยสามเหล ม ม ม ม ม ม AB = 108 หนวหนวหน ย BC = 1009 หนวหนวหน ย CA = 1043 หนวหนวหน ย ถาย ถาย ถ เสนแบงนแบงนแบ ครงครงคร มมแบบภายในตดกนทจด O แลว พนทรปสามเหลยม ABC เปนกเทาของพนทรปสามเหลยม AOBแนวคดท 1

R

OO

P

Q

B C

A

พนท ABC = 20 เทาของพนท AOB

แนวคดท 2จะได O เปนจดศนยกลางของวงกลมทแนบในรป ABC

20

1

2160

108

CABCAB

AB

CABCABr2

1

ABr2

1

พ.ท. 20ABC (พ.ท. )AOB ตอบ ตอบ 20 20 เทาเทา

พ.ท.AOB

พ.ท.ABCABCAB

พ�นท�พ�นท�พ� ABP

พ�นท�พ�นท�พ� ACP=

BP

CP=

AB

AC=พ�นท�พ�นท�พ� OBP

พ�นท�พ�นท�พ� OCP

พ�นท�พ�นท�พ� BAQพ�นท�พ�นท�พ� BCQ

=AQCQ

=BABC

=พ�นท�พ�นท�พ� OAQพ�นท�พ�นท�พ� OCQ

พ�นท�พ�นท�พ� CAR

พ�นท�พ�นท�พ� CBR=

AR

BR=

CA

CB=พ�นท�พ�นท�พ� OAR

พ�นท�พ�นท�พ� OBR


24. วงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S เปนวงกลมทสมผสกบดานของรปสเหลยมดาน ขนาน ABCDและเสนทแยงมม BD ดงรป โดยท AB เปนเสนสมผสวงกลม P และวงกลม Q BD เปนเสนสมผสวงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S CD เปนเสนตรงสมผสวงกลม R และวงกลม S กาหนดให พนทวงกลม P และวงกลม R เทากน เทากบ 4 ตารางหนวย และพนทวงกลม Q และวงกลม S เทากน เทากบ ตารางหนวย ถา ABCD มพนท ba ตารางหนวย และ b เปนจานวนเฉพาะ แลว ba มคาเทาใด แนวคด

จากรป วงกลม P , วงกลม R มรศม 2 หนวย, วงกลมQ วงกลม S มรศม 1 หนวย

,3RQSRPSPQ หนวย 3BQ หนวย F เปนจดสมผสบนดาน AB แลว 22BF หนวย G เปนจดสมผสบนดาน AD แลว 8BG หนวย

BFQ ~ BGA ทาให 24AD หนวย ABCD มพนท 232 ตารางหนวย

34ba

ตอบ 34

R

Q

PS

CB

DA

G

F

A D

B C

SP

Q

R

24. วงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S เปเปเปนวงกลมทสมผสกบดานของรปสปสปสเหลยมดานขนาน ABCDและเสนทแยงมม BD ดงรป

โดยทโดยทโดยท AB เปเปเปนเสนสมผสวงกลม P และวงกลม Q BD เปเปเปนเสนสมผสวงกลม P วงกลม Q วงกลม R และวงกลม S

CD เปเปเปนเสนตรงสมผสวงกลม R และวงกลม S กาหนดใหาหนดใหาหนดให พนทวงกลม P และวงกลม R เทากน เทากบ 4 ตารางหนวย และพนทวงกลม Q และวงกลม S เทากน เทากบ ตารางหนวย ถาABCD มพนท ba ตารางหนวย และ b เปเปเปนจานวนเฉพาะ แลว ba มคาเทาใด

แนวคดจากรป วงกลม P , วงกลม R มรศม 2 หนวย, วงกลมQ วงกลม S มรศม 1 หนวย

,3RQSRPSPQ หนวย 3BQ หนวยF เปเปเปนจดสมผสบนดาน AB แลว 22BF หนวยG เปเปเปนจดสมผสบนดาน AD แลว 8BG หนวย

BFQ ~ BGA ทาใหาใหาให 24AD หนวยABCD มพนท 232 ตารางหนวย

34ba

ตอบ 34

R

Q

PS

S

CB

DA

G

F

A D

B C

SP

Q

R


25. ABCD เปนทรงเหลยมสหนามปรมาตร 999 ลกบาศกหนวย โดยทแตละหนาเปนรปสามเหลยมดานเทา ถา PABC, QABD, RACD และ SBCD เปนทรงเหลยมสหนาทแตละหนาเปนรปสามเหลยมดานเทาซงถกสรางบน ABCD แลว ทรงเหลยมสหนา PQRS มปรมาตรกลกบาศกหนวย แนวคด

B C

A

D

S

O

T

จากรป OA

35OS

ปรมาตร PQRS = 3

35

ปรมาตร ABCD

= 99927

125

= 4625 ลกบาศกหนวย ตอบ 4,625 ลกบาศกหนวย

26. ถา b,a เปนจานวนเตมบวก และนยามดงน 1. abba 2. aaa และ 3. baabbaba แลว 6*8 มคาเทาใด แนวคด 6 * 8 = 4 (2 * 6)

(2 * 6) = 32

(2 * 4)

(2 * 4) = 4 ดงนน 6 * 8 = 4 6 = 24 ตอบ 24


B C

A

D

S

O

T

จากรป OA

35OS


35


= 99927

125



(2 * 6) = 32

(2 * 4)

(2 * 4) = 4 ดงนน 6 * 8 = 4 6 = 24 ตอบ 24


B C

A

D

S

O

T

จากรป OA

35OS


35


= 99927

125



(2 * 6) = 32

(2 * 4)

(2 * 4) = 4 ดงนน 6 * 8 = 4 6 = 24 ตอบ 24

26 ถำa, bเปนจ�ำนวนเตมบวก

และนยำมดงน

1. a * b = b * a

2.a * a = aและ 3. (a + b) (a * b) = b (a * (a+b)) แลว6 * 8มคำเทำใด

แนวคด

6 * 8 =4(2 * 6)

(2 * 6) =

(2 * 4) =4

ดงนน6 * 8=4×6=24

ตอบ 24

3 (2 * 4)3

ตอบ 4,625ลกบำศกหนวย


27. มจานวนเตมบวก n ทงหมดกจานวนทสอดคลองกบอสมการ 99

10n9n)1(

541

431

321

21149

9n

แนวคด

n 9

n 9

n 10

n 10

49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99

49 1 1 ( 1) n 10 99

49 1 ( 1) n 10 99

50 ( 1) n 10 1002500 n 10 10,0002490 n 9,990

แต n เปนจานวนเตมคบวก ดงนน ม n ทงหมด 3,749 จานวน ตอบ 3,749 จานวน



แนวคด จาก 10373xyzw8)wzyx()wzyx(2 222224444 จะได 4123111wzyxwzyxwzyxwzyx 1wzyx ………………….. (1) 11wzyx ………………….. (2) 23wzyx ………………….. (3) 41wzyx ………………….. (4) (1) + (2) + (3); 35wzyx3 ………………….. (5) (4) + (5) ; 4x = 76 แลว 13w,7z,2y,19x wxzwyzxy = 38 + 14 + 91 + 247 = 390 ตอบ 390


10n9n)1(

541

431

321

21149

9n

แนวคด

n 9

n 9

n 10

n 10

49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99

49 1 1 ( 1) n 10 99

49 1 ( 1) n 10 99

50 ( 1) n 10 1002500 n 10 10,0002490 n 9,990

แต n เปนจานวนเตมคบวก ดงนน ม n ทงหมด 3,749 จานวน ตอบ 3,749 จานวน



แนวคด จาก 10373xyzw8)wzyx()wzyx(2 222224444 จะได 4123111wzyxwzyxwzyxwzyx 1wzyx ………………….. (1) 11wzyx ………………….. (2) 23wzyx ………………….. (3) 41wzyx ………………….. (4) (1) + (2) + (3); 35wzyx3 ………………….. (5) (4) + (5) ; 4x = 76 แลว 13w,7z,2y,19x wxzwyzxy = 38 + 14 + 91 + 247 = 390 ตอบ 390


10n9n)1(

541

431

321

21149

9n

แนวคด

n 10

n 10

49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99

49 1 1 ( 1) n 10 99

49 1 ( 1) n 10 9949 1 ( 1) n 10 9949 1 ( 1) n 10 9949 1 ( 1) n 10 99

50 ( 1) n 10 10050 ( 1) n 10 10050 ( 1) n 10 1002500 n 10 10,0002490 n 9,990

n 10n 10

n 10n 10

49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 n 9 n 9 n 9n 9 n 9n 9 n 9 n 9

n 9 n 9n 9n 9 n 9n 9

n 9n 9 n 9n 9 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 n 9 n 9 n 9 n 9

n 9 n 9 n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 9949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99 49 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9

n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9

n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9

n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9 n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9n 949 1 (1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 4 5 ) ... ( 1) ( n 9 n 10 ) 99n 9

49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 n 9 n 9 n 9n 9 n 9n 9 n 9 n 9

n 9 n 9n 9n 9 n 9n 9

n 9n 9 n 9n 9 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 9949 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 9949 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 n 9 n 9 n 9 n 9

n 9 n 9 n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 9949 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 9949 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99 49 1 1 ( 1) n 10 99n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9

n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9

n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9 n 9n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9

n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9 n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9n 949 1 1 ( 1) n 10 99n 9

n 10 n 1049 1 ( 1) n 10 99 49 1 ( 1) n 10 9949 1 ( 1) n 10 99 49 1 ( 1) n 10 99n 1049 1 ( 1) n 10 99n 10 n 1049 1 ( 1) n 10 99n 10n 10n 10 n 10n 10n 1049 1 ( 1) n 10 99n 10n 1049 1 ( 1) n 10 99n 10 n 1049 1 ( 1) n 10 99n 10n 1049 1 ( 1) n 10 99n 10

n 10 n 1050 ( 1) n 10 100 50 ( 1) n 10 10050 ( 1) n 10 100 50 ( 1) n 10 10050 ( 1) n 10 100 50 ( 1) n 10 100n 1050 ( 1) n 10 100n 10 n 1050 ( 1) n 10 100n 10n 10n 10 n 10n 10n 1050 ( 1) n 10 100n 10n 1050 ( 1) n 10 100n 10 n 1050 ( 1) n 10 100n 10n 1050 ( 1) n 10 100n 10

2500 n 10 10,000 2500 n 10 10,000 2490 n 9,990 2490 n 9,990

แต n เปเปเปนจานวนเตมคบวก ดงนน ม n ทงหมด 3,749 จานวน ตอบ 3,749 จานวน

28. กาหนดใหาหนดใหาหนดให z,y,x และ w เปเปเปนจานวนเตมบวก ถา 10373xyzw8)wzyx()wzyx(2 222224444 แลว wxzwyzxy เปเปเปนเทาใด

แนวคด จาก 10373xyzw8)wzyx()wzyx(2 222224444

จะไดจะไดจะได 4123111wzyx w z y x w z y x w z y x 1wzyx ………………….. (1) 11wzyx ………………….. (2) 23wzyx ………………….. (3) 41wzyx ………………….. (4) (1) + (2) + (3); 35wzyx3 ………………….. (5) (4) + (5) ; 4x = 76 แลว 13w,7z,2y,19x

wxzwyzxy = 38 + 14 + 91 + 247 = 390 ตอบ 390

แนวคด

แนวคด


29. ตวประกอบทมคามากทสดของ nn37 ทกคาของ n ทเปนจานวนเตมบวก มคาเทาใด แนวคด

)1nn)(1nn)(1nn)(1nn)(1nn)(1nn)(1n)(1n)(1n(nnn 61236362422237

จะได 5187019137532 เปนตวประกอบทมากทสด ตอบ 51,870 30. ABCDE เปนรปหาเหลยมแนบในวงกลม ถาระยะหางจากจด A ไปยง CD,BC และ DE เปน 3293

หนวย 4628 หนวย และ 3588 หนวย ตามลาดบ แลวระยะหางจากจด A ไปยง BE เทากบกหนวย แนวคด

DAR ~ BAS และ DAQ ~ BAP จะได 2553

AQARAPAS

หนวย

ตอบ 2,553 หนวย

29. ตวประกอบทมคามากทสดของ nn37 ทกคาของ n ทเปนจานวนเตมบวก มคาเทาใด แนวคด


จะได 5187019137532 เปนตวประกอบทมากทสด ตอบ 51,870 30. ABCDE เปนรปหาเหลยมแนบในวงกลม ถาระยะหางจากจด A ไปยง CD,BC และ DE เปน 3293

หนวย 4628 หนวย และ 3588 หนวย ตามลาดบ แลวระยะหางจากจด A ไปยง BE เทากบกหนวย แนวคด

DAR ~ BAS และ DAQ ~ BAP จะได 2553

AQARAPAS

หนวย


29. ตวประกอบทวประกอบท วประกอบทวประกอบทมคามากทสดของ nn37 ทกคาของ n ทเปเปเปนจานวนเตมบวก มคาเทาใดแนวคด


จะไดจะไดจะได 5187019137532 เปเปเปนตวประกอบทวประกอบท วประกอบทวประกอบทมากทสดตอบ 51,870

30. ABCDE เปเปเปนรปหปหปหาเหลยมแนบในวงกลม ถาระยะหางจากจด A ไปยไปยไปยง CD,BC และ DE เปเปเปน 3293 หนวย 4628 หนวย และ 3588 หนวย ตามลาดบ แลวระยะหางจากจด A ไปยไปยไปยง BE เทากบกหนวย

แนวคด

DAR ~ BAS และ DAQ ~ BAP

จะไดจะไดจะได 2553AQ

ARAPAS

หนวย


การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ.2554สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน



ระดบเขตพนทการศกษา ประจ�าป พ.ศ. 2554

การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจ�าป พ.ศ. 2554ส�านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ


เพอการคดเลอกตวแทนนกเรยนระดบพนทการศกษา ประจ�าป พ.ศ. 2554

สอบวนท 22 มกราคม พ.ศ. 2554 เวลา 9.30 น. - 11.30 น.

ค�าชแจง

1.แบบทดสอบฉบบนเปนแบบทดสอบชนดเตมค�ำตอบ (ไมตองแสดงวธท�า) มจ�ำนวน6หนำ


3.แบบทดสอบมทงหมด28ขอคะแนนเตม100คะแนน

แบงเปน3ตอนคอ

ตอนท 1ตงแตขอท1–16จ�ำนวน16ขอขอละ3คะแนนรวม48คะแนน



4.กระดำษค�ำตอบม1แผนใหนกเรยนเขยนชอ-นำมสกลเลขประจ�ำตวสอบหองสอบ

ชอโรงเรยนส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำประถมศกษำเขตของนกเรยนใหครบในกระดำษค�ำตอบ

5.ค�ำตอบแตละขอทนกเรยนตอบตองตอบลงในกระดำษค�ำตอบเทำนนและใหตรงกบขอค�ำถำม

6.ค�ำถำมขอใดทตองแสดงค�ำตอบมำกกวำหนงค�ำตอบนกเรยนตองตอบใหถกทกค�ำตอบ


7.ไมอนญำตใหใชเครองคดเลขโทรศพทหรอเครองมออเลกทรอนกสใดๆในกำรค�ำนวณ

8.การตดสนของคณะกรรมการถอเปนขอยต

แบบทดสอบฉบบนเปนลขสทธของ




1. จากรป OPQR เปนรปสเหลยมดานขนาน O เปนจดกาเนด R มพกดจดเปน )0,5(

x

y

P(a,b) Q

RO

และ Q มพกดจดเปน )4,8( ถา P มพกดจดเปน ),( ba แลว ba มคาเทาใด

2. กาหนด 732 23 a และ 1173 2 b ถา p เปน ห.ร.ม. ของ a กบ b และ q เปน ค.ร.น. ของ a กบ b แลว qp มคาเทาใด 3. a เปนจานวนนบทมากกวา 1000 และ b มากกวา a อย 543 เมอพจารณา ),( ba ใด ๆ แลวพบวา )1545,1002( เปนคอนดบแรก ทม ห.ร.ม. ของ 1002 และ 1545 เปน 3 )1548,1005( เปนคอนดบทสอง ทม ห.ร.ม. ของ 1005 และ 1548 เปน 3 ถา ),( ba เปนคอนดบท 5 ทม ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 3 แลว ba มคาเทาใด 4. ผลบวกของจานวนนบทงหมดทหาร 2040 และ 2376 ลงตว มคาเทาใด 5. ถา a 998616414111 4999461644144111 แลวเลขโดดในหลกหนวยของ a เปนเทาใด 6. ถานาจานวนค 1 ถง 17 ใสลงในตารางมหศจรรยขางลาง โดยใหผลบวกแนวนอน แนวตง และแนวเสนทแยงมมเทากน แลว x มคาเทาใด

1

5 13

x



O

CB

A

r

7. จากรป มรปสเหลยมจตรสกรป 8. จากรป ถาตวเลขและตวอกษรทเขยนกากบไวเปนคาของมมของรปหลายเหลยมมหนวยเปนองศา แลว xa มคาเทาใด

4x

2x3x

3x 3x

3x2x

a

9. จากรป ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากมมม C เปนมมฉาก ม 6AC หนวย , 8BC หนวย O เปนจดศนยกลางของวงกลมทมดาน AC และ BC เปนเสนสมผส r เปนความยาวของรศมของวงกลม O ถา

bar แลว ba มคาเทาใด (กาหนดให

ba เปนเศษสวนอยางตา)

10. 221010110 เมอทาเปนผลสาเรจในรปตวเลขฐานสอง แลวผลลพธทไดจะมเลข 1 ทงหมดกตว 11. จากรป

12

D CA

B

ABC เปนรปสามเหลยม ม B เปนมมฉาก และ D เปนจดกงกลางของดาน AC ถา 548AB หนวย และ 12BC หนวย แลว BD เทากบกหนวย

548

12. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา

FG

E

B

C

A

D

กาหนดให aAD หนวย 102 aCD หนวย

45

ADG องศา และ 215ED หนวย ถา GEEF แลว a มคาเทาใด

13. นางสาวสาวกาเลยงเปดไวจานวนหนง ปรากฏวาเปดเปนโรคไขหวดนกตายไป 100 ตว และอก 200 ตว ถกนาไปกาจดทง ถาขณะนเหลอเปดนอยกวา 430 ตว แลวเดมสาวกาเลยงเปดมากทสดกตว 14. เสนตรง 1243 yx ตดแกน x ทจด A และตดแกน y ทจด B ถา O เปนจดกาเนด แลว พนท OAB เทากบกตารางหนวย 15. ถา )10(2)19()5( 22 aaaaa แยกตวประกอบไดเปน ))()(5( cabaa เมอ b และ c เปนจานวนนบแลว bc มคาเทาใด 16. ถา

21009899

22

2

A แลว A2010 มคาเทาใด

17. ถา 756 x และ 456 y แลว 8 มคาเทาใด 18. สาหรบจานวนจรง a, b ใด ๆ กาหนด a

2

1bab

ถา x x( x)12 เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ แลว x มคาเทาใด 19. กาหนดให จานวนนบสองจานวนมผลตางของกาลงสองของแตละจานวนเปน 75 และ ผลตางของสองเทาของจานวนมากกบจานวนนอยเปนจานวนเฉพาะ ถา m และ n เปนจานวนนบสองจานวนท m > n แลว m + 2n มคาเทาใด

x

yx

1

2



FG

E

B

C

A

D


45



21009899

22

2



2

1bab


x

yx

1

2


FG

E

B

C

A

D


45



21009899

22

2



2

1bab


x

yx

1

2

G

T

Q R

S

PL

M

N

O

K

F

J

E

I

H

A

D C

B

20. ถา 97)( 24 xbxaxxf และ 2011)7( f แลว )7(f มคาเทาใด 21. สมหยบสลากทมจานวนนบตงแต 1 ถง 2020 เขยนกากบไว ใบละ 1 จานวน มา 1 ใบ

ถาความนาจะเปนทไดสลากทจานวนนนยกกาลงสามแลวหารดวย 3 ไมลงตว เทากบ ba

โดยท 0b และ ห.ร.ม. ของ a กบ b เทากบ 1 แลว ba มคาเทาใด 22. รปสามเหลยมหนาจวมดานทเทากนยาว 5 หนวย ฐานยาว 6 หนวย แนบในวงกลม ถารศมของวงกลมเทากบ R หนวย แลว R8 เทากบกหนวย 23. ให ABCD เปนรปสเหลยมจตรส มดานยาวดานละ 10 หนวย โดย G,F,E และ H เปนจดกงกลางดานแตละดาน แลวสรางรปสเหลยม EFGH การกระทานเกดขนซา ๆ ดงรป ถาผลบวกของความยาวเสนรอบรปของรปสเหลยมจตรสทงหมดเทากบ 270 a หนวย เมอ a เปนจานวน ตรรกยะแลว a มคาเทาใด 24. ถงใบหนงมลกหน สแดง 5 ลก และ สขาว 3 ลก หนดหยบลกหน 2 ลกอยางสม โดยหยบทละลก แลวไมใสคนกอนหยบลกใหม ถาความนาจะเปนทจะไดลกหนสแดงทงสองลกเปน

ba เมอ

ba เปนเศษสวนอยางตา

แลว ba มคาเทาใด



G

T

Q R

S

PL

M

N

O

K

F

J

E

I

H

A

D C

B

20. ถา 97)( 24 xbxaxxf และ 2011)7( f แลว )7(f มคาเทาใด 21. สมหยบสลากทมจานวนนบตงแต 1 ถง 2020 เขยนกากบไว ใบละ 1 จานวน มา 1 ใบ

ถาความนาจะเปนทไดสลากทจานวนนนยกกาลงสามแลวหารดวย 3 ไมลงตว เทากบ ba

โดยท 0b และ ห.ร.ม. ของ a กบ b เทากบ 1 แลว ba มคาเทาใด 22. รปสามเหลยมหนาจวมดานทเทากนยาว 5 หนวย ฐานยาว 6 หนวย แนบในวงกลม ถารศมของวงกลมเทากบ R หนวย แลว R8 เทากบกหนวย 23. ให ABCD เปนรปสเหลยมจตรส มดานยาวดานละ 10 หนวย โดย G,F,E และ H เปนจดกงกลางดานแตละดาน แลวสรางรปสเหลยม EFGH การกระทานเกดขนซา ๆ ดงรป ถาผลบวกของความยาวเสนรอบรปของรปสเหลยมจตรสทงหมดเทากบ 270 a หนวย เมอ a เปนจานวน ตรรกยะแลว a มคาเทาใด 24. ถงใบหนงมลกหน สแดง 5 ลก และ สขาว 3 ลก หนดหยบลกหน 2 ลกอยางสม โดยหยบทละลก แลวไมใสคนกอนหยบลกใหม ถาความนาจะเปนทจะไดลกหนสแดงทงสองลกเปน

ba เมอ


แลว ba มคาเทาใด


25. จากรป ถา 20

BDADBA , 30

DBC และ 40

DAC

C

B

A

DF

แลว

BDC มขนาดกองศา

26. กาหนด 2

2

2

2

)1(25

)1(9

yy

xx

= 61 และ 30

115

yxxy

xy

จงหาผลเฉลย ),( yx ทงหมดของสมการททาให xy เปนจานวนเตม 27. ถา 31420161620 33 a และ a เปนจานวนนบ แลว a มคาเทาใด 28. ABCDE เปนรปหาเหลยมม DCABCA,90AEDABC

และ

ADECDA

ถา 65AC หนวย 138CD หนวย และ 119AD หนวย แลวรปหาเหลยม ABCDE มพนทกตารางหนวย

138

11965

C

A

D

E

B

***********************************


25. จากรป ถา 20

BDADBA , 30

DBC และ 40

DAC

C

B

A

DF

แลว



2

2

2

)1(25

)1(9

yy

xx

= 61 และ 30

115

yxxy

xy

จงหาผลเฉลย ),( yx ทงหมดของสมการททาให xy เปนจานวนเตม 27. ถา 31420161620 33 a และ a เปนจานวนนบ แลว a มคาเทาใด 28. ABCDE เปนรปหาเหลยมม DCABCA,90AEDABC

และ

ADECDA

ถา 65AC หนวย 138CD หนวย และ 119AD หนวย แลวรปหาเหลยม ABCDE มพนทกตารางหนวย

138

11965

C

A

D

E

B

***********************************




เพอการคดเลอกตวแทนนกเรยนระดบเขตพนทการศกษา ประจ�าป พ.ศ. 2554






x

y

P(a,b) Q

RO


แนวคด

R(5,0)O(0,0)

Q(8,4)P(3,4)

x

y

จากรป 743 ba

ตอบ 7 2. กาหนด 732 23 a และ 1173 2 b ถา p เปน ห.ร.ม. ของ a กบ b และ q เปน ค.ร.น. ของ a กบ b แลว qp มคาเทาใด แนวคด 2173 p 3880811732 223 q ดงนน 2138808 qp 38829 ตอบ 38829


x

y

P(a,b) Q

RO


แนวคด

R(5,0)O(0,0)

Q(8,4)P(3,4)

x

y

จากรป 743 ba

ตอบ 7 2. กาหนด 732 23 a และ 1173 2 b ถา p เปน ห.ร.ม. ของ a กบ b และ q เปน ค.ร.น. ของ a กบ b แลว qp มคาเทาใด แนวคด 2173 p 3880811732 223 q ดงนน 2138808 qp 38829 ตอบ 38829

1. จากรป OPQR เปเปเปนรปสปสปสเหลยมดานขนาน O เปเปเปนจดกาเนด R มพกดจดเปดเปดเปน )0,5(

x

y

P(a,b) QQ

RO

และ Q มพกดจดเปดเปดเปน )4,8( ถา P มพกดจดเปดเปดเปน ),( ba แลว ba มคาเทาใด

R(5,0)O(0,0)

Q(8,4)P(3,4)

x

y จากรป743 ba

ตอบ 7

แนวคด


5. ถำ4111111 + 4414414 + 4616616 + 4999998 = aแลวเลขโดดในหลกหนวยของเปนเทำใด

แนวคดใชแบบรป

4111111 มหลกหนวยเปน1




เลขโดดในหลกหนวยไดจำกกำรน�ำเลขโดดแตละตวมำรวมกนจะไดเลขโดดในหลกหนวยเปน4

ตอบ4


x

6. ถานาจานวนค 1 ถง 17 ใสใสใสลงในตารางมหลงในตารางมหลงในตารางมหศจรรยขางลาง โดยใหโดยใหโดยใหผลบวกแนวนอน แนวตง และแนวเสนทแยงมมเทากน แลว x มคาเทาใด

แนวคดผลบวก 9 จานวน 17,15,13,11,9,7,5,3,1

มคาเทากบ 8192 จะไดจะไดจะไดผลบวกของแตละแถวหรอแตละหลกหรอแตละแนวเสนทแยงมมเทากบ 27

แถวท 2 279135

c 1 b

5 9 13

x 17 a

1

5 13

x

6. ถานาจานวนค 1 ถง 17 ใสลงในตารางมหศจรรยขางลาง โดยใหผลบวกแนวนอน แนวตง และแนวเสนทแยงมมเทากน แลว x มคาเทาใด แนวคด

ผลบวก 9 จานวน 17,15,13,11,9,7,5,3,1 มคาเทากบ 8192 จะไดผลบวกของแตละแถวหรอแตละหลกหรอแตละแนวเสนทแยงมมเทากบ 27

แถวท 2 279135 ถา x = 9 จะได 1a ซงเปนไปไมได และ 9 อยตรงกลางของตาราง ดงนน 9x ถา x = 7 จะได จะได 3a , 11b เปนไปได ดงนน 7x ตอบ 7 7. จากรป มรปสเหลยมจตรสกรป แนวคด

1. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 1 หนวย = 16 รป 2. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 2 หนวย = 9 รป 3. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 3 หนวย = 4 รป 4. ม รปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 4 หนวย = 1 รป

ตอบ 30 รป

c 1 b

5 9 13

x 17 a

1

5 13

x





ตอบ 30 รป

c 1 b

5 9 13

x 17 a

1

5 13

7. จากรป มรปสปสปสเหลยมจตรสกรป

แนวคด 1. ม รปสปสปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 1 หนวย = 16 รป 2. ม รปสปสปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 2 หนวย = 9 รป 3. ม รปสปสปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 3 หนวย = 4 รป 4. ม รปสปสปสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 4 หนวย = 1 รป

ตอบ 30 รป

เตม 9กงกลำงตำรำง

เตม 17ในหลกทสองแถวท3

หลกท 1และแนวทแยง

พบวำ c+x =22

b+x =18

c-b =4แต c+b=26

x





ตอบ 30 รป

c 1 b

5 9 13

x 17 a

1

5 13

c=15

ดงนน x=27-20=7

ตอบ 7

แนวคด

ตอบ


4x

2x3x

3x 3x

3x2x

a

O

CB

A

r

M

N

r

A

B C

O

8. จากรป ถาตวเลขและตวอกษรทเขยนกากบไวเปนคาของมมของรปหลายเหลยมมหนวยเปนองศา แลว xa มคาเทาใด แนวคด รปเจดเหลยมมมภายในรวมกนได )27(1804)2(2)3(4 xxx 45x 1804360 xa 225 xa ตอบ 225 องศา




แนวคด ให rONOM หนวย พนท 2486

21

ABC ตารางหนวย

ลาก OC จะได BOC และ AOC พนท BOC พนท 24AOC 248

216

21

rr

247 r

724

r

724

ba

31724 ba ตอบ 31

4x

2x3x

3x 3x

3x2x

a

O

CB

A

r

M

N

r

A

B C

O

8. จากรป ถาตวเลขและตวอกษรทเขยนกากบไวเปนคาของมมของรปหลายเหลยมมหนวยเปนองศา แลว xa มคาเทาใด แนวคด รปเจดเหลยมมมภายในรวมกนได )27(1804)2(2)3(4 xxx 45x 1804360 xa 225 xa ตอบ 225 องศา




แนวคด ให rONOM หนวย พนท 2486

21

ABC ตารางหนวย

ลาก OC จะได BOC และ AOC พนท BOC พนท 24AOC 248

216

21

rr

247 r

724

r

724

ba

31724 ba ตอบ 31

4x

2x2x2x3x

3x 3x

3x2x2x2x

a

8. จากรป ถาตวเลขและตวอกษรทเขยนกากบไวบไว บไวบไวเปเปเปนคาของมมของรปหลายเหลปหลายเหลปหลายเหลยมมหนวยเปวยเปวยเปนองศา แลว xa มคาเทาใด

แนวคด รปเจปเจปเจดเหลยมมมภายในรวมกมภายในรวมกมภายในรวมกนไดนได นไดนได )27(1804)2(2)3(4 xxx

45x 1804360 xa 225 xa

O

CB

A

r

M

N

r

A

B CB CB CB CB CB CB CB C

O

9. จากรป ABC เปเปเปนรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยมมมฉากมมม C เปเปเปนมมฉาก ม 6AC หนวย , 8BC หนวย O เปเปเปนจดศนยกลางของวงกลมทมดาน AC และ BC เปเปเปนเสนสมผส r เปเปเปนความยาวของรศมของวงกลม O ถา

bar แลว ba มคาเทาใด (กาหนดใหาหนดใหาหนดให

ba เปเปเปนเศษสวนอยางตา)

แนวคด ใหใหให rONOM หนวย พนท 2486

21

ABCABC ตารางหนวย

ลาก OC จะไดจะไดจะได BOCBOCBOC และ AOCAOCAOC พนท BOCBOC พนท 24AOCAOC

248216

21

rr

247 r

724

r

724

ba

31724 ba

แนวคด

แนวคด

ตอบ 31

ตอบ 225องศำ


10. 221010110 เมอทาเปนผลสาเรจในรปตวเลขฐานสอง แลวผลลพธทไดจะมเลข 1 ทงหมดกตว แนวคด

10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 11 10 00 01 11 00 1 ตอบ 7 11. จากรป

12

D CA

B


แนวคด

12

E

D CA

B

8112)154(1212)548( 222222 AC

108AC ลาก BD ตอไปทาง D จนถง E โดยท ED = BD จะได ABCE เปนรปสเหลยมผนผา จด D แบงครง AC จะได D เปนจดศนยกลางวงกลม ทมรปสามเหลยม ABC แนบใน จะได 54 DCDBDA หนวย

ตอบ 54 หนวย

548

10. 221010110 เมอทาเปนผลสาเรจในรปตวเลขฐานสอง แลวผลลพธทไดจะมเลข 1 ทงหมดกตว แนวคด

10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 10 10 10 1 11 10 00 01 11 00 1 ตอบ 7 11. จากรป

12

D CA

B


แนวคด

12

E

D CA

B

8112)154(1212)548( 222222 AC

108AC ลาก BD ตอไปทาง D จนถง E โดยท ED = BD จะได ABCE เปนรปสเหลยมผนผา จด D แบงครง AC จะได D เปนจดศนยกลางวงกลม ทมรปสามเหลยม ABC แนบใน จะได 54 DCDBDA หนวย


548

10 10 10 1

10 10 10 1

10 10 10 1

10 10 10 1

10 10 10 1

10 10 10 1

11 10 00 01 11 00 1

x

10. (10101012)2เมอท�ำเปนผลส�ำเรจในรปตวเลขฐำนสองแลวผลลพธทไดจะมเลข1ทงหมดกตว

แนวคด

11. จำกรป

ตอบ7



FG

E

B

C

A

D กาหนดให aAD หนวย 102 aCD หนวย

45ADG

และ 215ED หนวยถา GEEF แลว a มคาเทาใด

แนวคดท 1

จาก

45ADG จะได

FGEEFGAGD 45

และ 10GF ดงนน 222 10 EFEG

1002 2 x

25x

2102521525 DEDG

aDG 2

10a


แนวคดท 2CED เปนรปสามเหลยมมมฉากหนาจว

222 EDCECD 22 )215()215( 4152

30102 a

10a


E

102 aD

A G FF B

C

a2a4545 45

45 45454545 454510

a

aax x9090




13. นางสาวสาวกาเลยงเปดไวจานวนหนง ปรากฏวาเปดเปนโรคไขหวดนกตายไป 100 ตว และอก 200 ตว ถกนาไปกาจดทง ถาขณะนเหลอเปดนอยกวา 430 ตว แลวเดมสาวกาเลยงเปดมากทสดกตว แนวคด ใหสาวกาเลยงเปด x ตว จะไดอสมการคอ 430200)100( x 430300 x 730x เดมสาวกาเลยงเปดมากทสด 729 ตว ตอบ 729 ตว 14. เสนตรง 1243 yx ตดแกน x ทจด A และตดแกน y ทจด B ถา O เปนจดกาเนด แลว พนท OAB เทากบกตารางหนวย แนวคด พนท 634

21

OAB ตารางหนวย

ตอบ 6 ตารางหนวย 15. ถา )10(2)19()5( 22 aaaaa แยกตวประกอบไดเปน ))()(5( cabaa เมอ b และ c เปนจานวนนบแลว bc มคาเทาใด แนวคด 20192)10(2)19()5( 2322 aaaaaaaa )4)(5)(1( aaa 314 bc ตอบ 3

(4,0)

B (0,3)

AO

x

y

13. นางสาวสาวกาเลยงเปดไวจานวนหนง ปรากฏวาเปดเปนโรคไขหวดนกตายไป 100 ตว และอก 200 ตว ถกนาไปกาจดทง ถาขณะนเหลอเปดนอยกวา 430 ตว แลวเดมสาวกาเลยงเปดมากทสดกตว แนวคด ใหสาวกาเลยงเปด x ตว จะไดอสมการคอ 430200)100( x 430300 x 730x เดมสาวกาเลยงเปดมากทสด 729 ตว ตอบ 729 ตว 14. เสนตรง 1243 yx ตดแกน x ทจด A และตดแกน y ทจด B ถา O เปนจดกาเนด แลว พนท OAB เทากบกตารางหนวย แนวคด พนท 634

21

OAB ตารางหนวย

ตอบ 6 ตารางหนวย 15. ถา )10(2)19()5( 22 aaaaa แยกตวประกอบไดเปน ))()(5( cabaa เมอ b และ c เปนจานวนนบแลว bc มคาเทาใด แนวคด 20192)10(2)19()5( 2322 aaaaaaaa )4)(5)(1( aaa 314 bc ตอบ 3

(4,0)

B (0,3)

AO

x

y

13. นางสาวสาวกาเลยงเปยงเปยงเปดไวดไวดไวจานวนหนง ปรากฏวปรากฏวปรากฏวาเปาเปาเปดเปดเปดเปนโรคไขนโรคไขนโรคไขหวดนกตายไปดนกตายไป 100 ตว และอก 200 ตวถกนาไปกาไปกาไปกาจดทง ถาขณะนเหลอเปอเปอเปดนอยกวา 430 ตว แลวเดมสาวกาเลยงเปยงเปยงเปดมากทสดกตว

แนวคดใหใหใหสาวกาเลยงเปยงเปยงเปด x ตว จะไดจะไดจะไดอสมการคอ 430200)100( x

430300 x 730x เดมสาวกาเลยงเปยงเปยงเปดมากทสด 729 ตว

15. ถา )10(2)19()5( 22 aaaaa แยกตวประกอบไดเปน ))()(5( cabaa

เมอ b และ c เปนจานวนนบแลว bc มคาเทาใด

แนวคดแนวคด 20192)10(2)19()5( 2322 aaaaaaaa

)4)(5)(1( aaa

314 bc

แนวคด

แนวคด

แนวคด

ตอบ 6ตำรำงหนวย

ตอบ 3

ตอบ 729ตว


16. ถา 210098

9922

2


แนวคดท 1 ให 99x 981 x 1001x จะได

2)1()1(21009899

22

2

22

2

xxx

21212 22

2

xxxxx

21

2 2

2

xx

นนคอ 10052120102010 A


)1100()198(99

21009899

22

2

22

2

)1100)(1100()198)(198(

)99( 2

)10197(99

)99( 2

21

)198(99)99( 2

A

10052120102010 A

ตอบ 1005



ตอบ 1005


17. ถา 756 x และ 456 y แลว 8 มคาเทาใด แนวคด

xx

1565656

7568 ดงนน 196449568 21

2

yxxyx

ตอบ 196 18. สาหรบจานวนจรง a, b ใด ๆ กาหนด a

2

1bab

ถา x x( x)12 เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ แลว x มคาเทาใด แนวคด x x( x)12 x xx

2)112(

x

xx

2

1)213(

12)213(

xxx

2213 xx 15x ตอบ 15

x

yx

1

2


xx

1565656

7568 ดงนน 196449568 21

2

yxxyx


2

1bab


2)112(

x

xx

2

1)213(

12)213(

xxx

2213 xx 15x ตอบ 15

x

yx

1

2


xx

1565656

7568 ดงนน 196449568 21

2

yxxyx


2

1bab


2)112(

x

xx

2

1)213(

12)213(

xxx

2213 xx 15x ตอบ 15

x

yx

1

2


xx

1565656

7568 ดงนน 196449568 21

2

yxxyx


2

1bab


2)112(

x

xx

2

1)213(

12)213(

xxx

2213 xx 15x ตอบ 15

x

yx

1

2


xx

1565656

7568 ดงนน 196449568 21

2

yxxyx


2

1bab


2)112(

x

xx

2

1)213(

12)213(

xxx

2213 xx 15x ตอบ 15

x

yx

1

2


xx

1565656

7568 ดงนน 196449568 21

2

yxxyx


2

1bab


2)112(

x

xx

2

1)213(

12)213(

xxx

2213 xx 15x ตอบ 15

x

yx

1

2


xx

1565656

7568 ดงนน 196449568 21

2

yxxyx


2

1bab


2)112(

x

xx

2

1)213(

12)213(

xxx

2213 xx 15x ตอบ 15

x

yx

1

2


xx

1565656

7568 ดงนน 196449568 21

2

yxxyx


2

1bab


2)112(

x

xx

2

1)213(

12)213(

xxx

2213 xx 15x ตอบ 15

x

yx

1

2 17.

ตอบ 15


19. กาหนดให จานวนนบสองจานวนมผลตางของกาลงสองของแตละจานวนเปน 75 และ ผลตางของสองเทาของจานวนมากกบจานวนนอยเปนจานวนเฉพาะ

ถา m และ n เปนจานวนนบสองจานวนท m > n แลว m + 2n มคาเทาใด แนวคด ให m , n เปนจานวนนบทตองการ 7522 nm 75))(( nmnm

m – n m + n m n 2m – n m + 2n 1 75 38 37 39 112 3 25 14 11 17* 36 5 15 10 5 15 20

ตอบ 36 20. ถา 97)( 24 xbxaxxf และ 2011)7( f แลว )7(f มคาเทาใด แนวคด 9)7(7)7()7()7( 24 baf 9494924012011 ba ba 492401402011 9)7(7)7()7()7( 24 baf 949492401 ba 58)2051( 2109 ตอบ 2109

19. กาหนดให จานวนนบสองจานวนมผลตางของกาลงสองของแตละจานวนเปน 75 และ ผลตางของสองเทาของจานวนมากกบจานวนนอยเปนจานวนเฉพาะ

ถา m และ n เปนจานวนนบสองจานวนท m > n แลว m + 2n มคาเทาใด แนวคด ให m , n เปนจานวนนบทตองการ 7522 nm 75))(( nmnm

m – n m + n m n 2m – n m + 2n 1 75 38 37 39 112 3 25 14 11 17* 36 5 15 10 5 15 20

ตอบ 36 20. ถา 97)( 24 xbxaxxf และ 2011)7( f แลว )7(f มคาเทาใด แนวคด 9)7(7)7()7()7( 24 baf 9494924012011 ba ba 492401402011 9)7(7)7()7()7( 24 baf 949492401 ba 58)2051( 2109 ตอบ 2109

20. ถา 97)( 24 xbxaxxf และ 2011)7( f แลว )7(f มคาเทาใด

แนวคด

9)7(7)7()7()7( 24 baf

9494924012011 ba

ba 492401402011

9)7(7)7()7()7( 24 baf

949492401 ba

58)2051(

2109

ตอบ 2109


55

A

C

B6

N

O

21. สมหยบสลากทมจานวนนบตงแต 1 ถง 2020 เขยนกากบไว ใบละ 1 จานวน มา 1 ใบ ถาความนาจะเปนทไดสลากทจานวนนนยกกาลงสามแลวหารดวย 3 ไมลงตว เทากบ

ba

โดยท 0b และ ห.ร.ม. ของ a กบ b เทากบ 1 แลว a+b มคาเทาใด แนวคด

จานวนยกกาลงสามทหารดวย 3 ไมลงตว ไดแก 33333333 11,10,8,7,5,4,2,1 ม 8 จานวน

5052

20208

ba จะได a = 2, b = 505 , a+b = 507

ตอบ 507 22. รปสามเหลยมหนาจวมดานทเทากนยาว 5 หนวย ฐานยาว 6 หนวย แนบในวงกลม ถารศมของวงกลมเทากบ R หนวย แลว R8 เทากบกหนวย แนวคด จากสตร

4abcR

4

655R

พนท ))()(( csbsassABC เมอ 8

2655

2

cbaS

พนท )58)(58)(68(8 ABC )3)(3)(2(8 1234 แทนใน

825

)12(4655

R

258 R ตอบ 25

55

A

C

B6

N

O

21. สมหยบสลากทมจานวนนบตงแต 1 ถง 2020 เขยนกากบไว ใบละ 1 จานวน มา 1 ใบ ถาความนาจะเปนทไดสลากทจานวนนนยกกาลงสามแลวหารดวย 3 ไมลงตว เทากบ

ba

โดยท 0b และ ห.ร.ม. ของ a กบ b เทากบ 1 แลว a+b มคาเทาใด แนวคด

จานวนยกกาลงสามทหารดวย 3 ไมลงตว ไดแก 33333333 11,10,8,7,5,4,2,1 ม 8 จานวน

5052

20208

ba จะได a = 2, b = 505 , a+b = 507

ตอบ 507 22. รปสามเหลยมหนาจวมดานทเทากนยาว 5 หนวย ฐานยาว 6 หนวย แนบในวงกลม ถารศมของวงกลมเทากบ R หนวย แลว R8 เทากบกหนวย แนวคด จากสตร

4abcR

4

655R

พนท ))()(( csbsassABC เมอ 8

2655

2

cbaS

พนท )58)(58)(68(8 ABC )3)(3)(2(8 1234 แทนใน

825

)12(4655

R

258 R ตอบ 25

55

A

C

B6

N

O

22. รปสามเหลยมหนาจวมดานทเทากนยาว 5 หนวย ฐานยาว 6 หนวย แนบในวงกลมถารศมของวงกลมเทากบ R หนวย แลว R8 เทากบกหนวย

แนวคด

จากสตร

4

abcR

4

655R

พนท ))()(( csbsassABC ABCABC

เมอ 82

655

2

cbaS

พนท )58)(58)(68(8 ABCABC

)3)(3)(2(8

1234 แทนใน

8

25

)12(4

655

RR

258 R


แนวคด

แนวคด


G

T

Q R

S

PL

M

N

O

K

F

J

E

I

H

A

D C

B

23. ให ABCD เปนรปสเหลยมจตรส มดานยาวดานละ 10 หนวย โดย E , F , G และ H เปนจดกงกลางดานแตละดาน แลวสรางรปสเหลยม EFGH การกระทานเกดขนซา ๆ ดงรป ถาผลบวกของความยาวเสนรอบรปของรปสเหลยมจตรสทงหมดเทากบ 270 a หนวย เมอ a เปนจานวน ตรรกยะแลว a มคาเทาใด แนวคด ความยาวเสนรอบรปของ )10(4ABCD ความยาวเสนรอบรปของ )25(4EFGH ความยาวเสนรอบรปของ )5(4IJKL

ความยาวเสนรอบรปของ )225(4MNOP

ความยาวเสนรอบรปของ )25(4QRST

ผลบวกของความยาวเสนรอบรปของรปสเหลยมทงหมด เทากบ

25

225525104

270230702215

2354 a

30a ตอบ 30

G

T

Q R

S

PL

M

N

O

K

F

J

E

I

H

A

D CGD CG

B

23. ใหใหให ABCD ABCD เปเปเปนรปสปสปสเหลยมจตรส มดานยาวดานละ 10 หนวย โดย E , F , G และ H เปเปเปนจดกงกลางดานแตละดาน แลวสรางรปสปสปสเหลยม EFGH การกระทานเกดขนซา ๆ ดงรปถาผลบวกของความยาวเสนรอบรปของรปสปสปสเหลยมจตรสทงหมดเทากบ 270 a หนวย เมอ a เปเปเปนจานวน

ตรรกยะแลว a มคาเทาใด

ตอบ30

แนวคด


24. ถงใบหนงมลกหน สแดง 5 ลก และ สขาว 3 ลก หนดหยบลกหน 2 ลกอยางสม โดยหยบทละลก แลวไมใสคนกอนหยบลกใหม ถาความนาจะเปนทจะไดลกหนสแดงทงสองลกเปน

ba เมอ


แลว ba มคาเทาใด แนวคด วธทหยบลกหนสองลกโดยหยบทละลก แลวไมใสคนได 5678 วธ

หยบลกแรกไดสแดง ได 5 วธ หยบลกทสองไดสแดง 4 วธ ความนาจะเปนทไดทงสองลกเปนสแดง

ba

145

7845

19 ba

ตอบ 19 25. จากรป ถา 20

BDADBA , 30

DBC และ 40

DAC

C

B

A

DF

แลว


แนวคด

T

30

60

6060

7030

503020

A

B

C

D

40

2030

ลาก AT แบงครง

BAD ลาก DT จะได ADTABT DTBT DTCBTA

50CDTABT

80BDC

ตอบ 80


ba เมอ




ba

145

7845

19 ba


BDADBA , 30

DBC และ 40

DAC

C

B

A

DF

แลว


แนวคด

T

30

60

6060

7030

503020

A

B

C

D

40

2030



50CDTABT

80BDC

ตอบ 80


ba เมอ




ba

145

7845

19 ba


BDADBA , 30

DBC และ 40

DAC

C

B

A

DF

แลว


แนวคด

T

30

60

6060

7030

503020

A

B

C

D

40

2030



50CDTABT

80BDC

ตอบ 80


ba เมอ




ba

145

7845

19 ba


BDADBA , 30

DBC และ 40

DAC

C

B

A

DF

แลว


แนวคด

T

30

60

6060

7030

503020

A

B

C

D

40

2030



50CDTABT

80BDC

ตอบ 80 องศำ



2

2

2

)1(25

)1(9

yy

xx

= 61 และ 30

115

yxxy

xy

จงหาผลเฉลย ),( yx ทงหมดของสมการททาให xy เปนจานวนเตม แนวคด

ให

yyB

xxA

15,

13

6122 BA …………………… 30AB ………………. 1,1 BA )1(,1 BBA ถา BA 1 แทนใน ถา )1( BA แทนใน

5,6

03061221

2

2

BBBBB

5,6

03061221

2

2

BBBBB

B 6 -5 -6 5 A -5 6 5 -6

AAx

AxAx

Axx

3

313

BBy

ByBy

Byy

5

515

B 6 -5 -6 5 A -5 6 5 -6 X

25

32

85 2

Y 116 ∞ 6

21

ตอบ (2,21 )


2

2

2

)1(25

)1(9

yy

xx

= 61 และ 30

115

yxxy

xy

จงหาผลเฉลย ),( yx ทงหมดของสมการททาให xy เปนจานวนเตม แนวคด

ให

yyB

xxA

15,

13

6122 BA …………………… 30AB ………………. 1,1 BA )1(,1 BBA ถา BA 1 แทนใน ถา )1( BA แทนใน

5,6

03061221

2

2

BBBBB

5,6

03061221

2

2

BBBBB

B 6 -5 -6 5 A -5 6 5 -6

AAx

AxAx

Axx

3

313

BBy

ByBy

Byy

5

515

B 6 -5 -6 5 A -5 6 5 -6 X

25

32

85 2

Y 116 ∞ 6

21

ตอบ (2,21 )


27. ถา 31420161620 33 a และ a เปนจานวนนบ แลว a มคาเทาใด

แนวคด

ให 31420161620 33 a

)31420)(161620(24741620 333332 a

496166204320160024741620 333332 a

22333332 3616104101024741620 a

252 a แต 0a 5a

ตอบ 5

28. ABCDE เปนรปหาเหลยมม DCABCAAEDABC

,90 และ

ADECDAถา 65AC หนวย 138CD หนวย และ 119AD หนวย แลวรปหาเหลยม ABCDEมพนทกตารางหนวย

แนวคดวาดรปจากโจทย

138

11965

E

DC

B

A

T

ลาก CDAT ท T จะได ATCABC ATCATCABCABC และ ATDAED ATDATDAEDAED พนท 2ABCDE พนท ACDACDACD

)119161)(138161)(65161(1612 77287728 ตารางหนวยตารางหนวย

ตอบ 7728

การแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ.2554สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน



ระดบประเทศ ประจ�าป พ.ศ. 2554





สอบวนท 6 มนาคม 2554 เวลา 09.30 - 11.30 น.

ค�าชแจง

1.แบบทดสอบฉบบนเปนแบบทดสอบชนดเตมค�ำตอบ (ไมตองแสดงวธท�า)

2.แบบทดสอบมจ�ำนวน7หนำ28ขอคะแนนเตม100คะแนนแบงเปน3ตอนดงน

ตอนท 1 ตงแตขอท1-16จ�ำนวน16ขอขอละ3คะแนนรวม48คะแนน



3.กระดำษค�ำตอบม1แผนใหนกเรยนเขยนขอมลลงในกระดำษค�ำตอบใหครบถวน

(ชอ-นำมสกลเลขประจ�ำตวสอบหองสอบชอโรงเรยน

ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำประถมศกษำ)

4.ค�ำตอบแตละขอทนกเรยนตอบตองตอบลงในกระดำษค�ำตอบเทำนนและตอบใหตรงกบ

ขอค�ำถำม

5. ไมอนญำตใหใชเครองคดเลขโทรศพทหรอเครองมออเลกทรอนกสใดๆในกำรค�ำนวณ

6.ไมอนญำตใหนกเรยนออกจำกหองสอบจนกวำจะหมดเวลำสอบ

(เมอหมดเวลำสอบใหวำงกระดำษค�ำตอบกระดำษทดและแบบทดสอบไวบนโตะ)

7.การตดสนของคณะกรรมการถอเปนขอยต

แบบทดสอบฉบบนเปนลขสทธของ




1. กาหนดให nn ...4321! และ !n อานวา n แฟคทอเรยล จานวนเตมบวกทงหมดทหาร !10 ลงตว มกจานวน 2. ถา 222222222222 1234...4546474849505152 N แลวจานวนเตมบวกทหาร N ลงตวมทงหมดกจานวน 3. ถา n เปนจานวนเตมคทมคาระหวาง 6 กบ 20 และ 12 n เปนจานวนเฉพาะ แลวมธยฐานของ n มคาเทาใด 4. กาหนดพหนาม 13 2 bxxaxp และ 1322 2 xcxxq

ถา xqxp ทกคาของ x แลวคาของ cba มคาเทาใด 5. ถา )532)(532()532)(532( xxxx แลว 35 2 x มคาเทาใด 6. ถา P เปนจดวกกลบของกราฟพาราโบลา 38122 xxy และ O เปนจดกาเนดแลว 2

PO มคาเทาใด 7. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม AB ยาว x4 หนวย และ BC ยาว x หนวย และรปสามเหลยมมมฉาก ABF เทากนทกประการกบรปสามเหลยมมมฉาก CDE ถาพนท สวนทแรเงาตอพนทรปสเหลยมผนผา ABCD เทากบ dc : โดยท c และ d เปนจานวนเตมบวก และ ห.ร.ม. ของ dc , เทากบ 1 แลว dc มคาเทาใด

F

E

D C

BA

8. จากรป ถารปสามเหลยม ABC และรปสามเหลยม BDE เปนรปสามเหลยมดานเทาทมความยาว ดานละ 4 หนวย และ xAE แลว x มคาเทาใด

A B

C

D

E

9. จากรป รปสเหลยมจตรส ABCD ม 6 ECAE หนวย 60

BCEBAE องศา ถา พนทรปสเหลยม ABCD เขยนใหอยในรปอยางงายไดเปน 3yx เมอ yx , เปนจานวนเตม แลว yx มคาเทาใด

CD

A B

E

10. เขยนหมายเลข 1 ถง 1000 ลงในสลากใบละ 1 หมายเลข ใสกลอง แลวสมหยบมา 1 ใบ ความนาจะเปนทจะไดสลากหมายเลข ท 2 หารลงตว แต 3 หารไมลงตวเทากบ A แลว A500 มคาเทาใด 11. จานวนเตมบวกจานวนหนงจะถกเรยกวา “จานวนโชคด” เมอมสมบตครบทงหมดดงตอไปน 1. จานวนนมเลขโดดอย 4 ตว 2. เลขโดดแตละตวสามารถนาไปหาร 48 ลงตว 3. เลขโดดแตละตวอาจปรากฏมากกวา 1 ครงกได 4. ผลรวมของเลขโดดทงหมด คอ 20 5. จานวนนเปนพหคณของ 4 จงหาจานวนโชคดทมคานอยทสด

แลว


85แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :แบบทดสอบการแขงขนทางวชาการ ระดบนานาชาต ประจาป พ.ศ. 2553-2554 :


A B

C

D

E



CD

A B

E



A B

C

D

E



CD

A B

E


12. จานวนสหลกแตละหลกไมซากนทสรางจากเลขโดด 7,6,5,4,3,2,1 และ 8 โดยทจานวนนน หารดวย 9 ลงตว มทงหมดกจานวน 13. มตเอกสารอยจานวนหนง ตองการตดแผนปายพลาสตกเพอแสดงหมายเลข โดยทแผนปายพลาสตก แตละแผนจะแสดงเลขโดดแผนละ 1 ตว เชน ถาตดเลข 31 ตองตดแผนทเปนเลข 3 กบแผนทเปนเลข 1 โดยตวเลขพลาสตกมราคาตวละ 2 บาท เรมตดหมายเลข 1 ทตแรกแลวเรยงหมายเลขไปเรอย ๆ ถาใชเงนซอพลาสตกทงหมด 8306 บาท แลวตเอกสารมทงหมดกต 14. จานวนนบตงแต 2 ถง 1000 มกจานวน ทสามารถเขยนไดในรป 2n หรอ 3n เมอ n เปนจานวนนบ 15. มจานวนเตมบวกกจานวน ทหาร m ลงตว เมอ m มสมบตดงน 1. มจานวนเตมบวก 35 จานวน ทหาร 2m ลงตว 2. มจานวนเฉพาะ 2 จานวนเทานนทหาร m ลงตว 16. จากระบบสมการ 1xyz

811

361

xy

zx

แลว z มคาเทาใด


17. ให xP เปนพหนามทมดกรเทากบ n โดยท 3n ถา xP หารดวย 1x เหลอเศษ 1 หารดวย 2x เหลอเศษ 2 หารดวย 3x เหลอเศษ 3 ถาหารดวย 321 xxx จะเหลอเศษเทาใด 18. จงหาจานวนเตมบวก n ทงหมด ททาให 7562 23 nnn หารดวย 3n ลงตว 19. กาหนดให yxcba ,,,, และ z เปนจานวนจรงซงสอดคลองกบระบบสมการ 1254325432543254325432543 zyxcba 10254425442544254425442544 zyxcba 100254525452545254525452545 zyxcba คาของ 1000255425542554255425542554 zyxcba เปนเทาใด 20. ถาหาร 220092010 2 xxx ดวย 12 x แลวจะเหลอเศษเทาใด 21. คาตาสดทเปนไปไดของ

433138106 22 yxyxyx มคาเทาใด

22. รปสเหลยมจตรสมเสนทแยงมมยาว 214 เซนตเมตร บรรจในครงวงกลมโดยมจดยอดทงสอยบนเสน รอบวงและเสนผานศนยกลาง ทาใหพนทรปสเหลยมจตรส เปน

ba เทาของพนทรปครงวงกลมสวนทอยนอก

รปสเหลยมจตรส เมอ a และ b เปนจานวนเตม และ ห.ร.ม. ของ a และ b เปน 1 แลว ba

มคาเทาใด (ใช 722 แทนคาประมาณของ )

23. จากรปมครงวงกลม 3 ครงวงกลมแตละครงวงกลมมรศมยาวเทากน คอ R หนวย ถา r เปนความยาว ของรศมวงกลมเลกทสมผสกบครงวงกลมทงสามดงรป แลว R เปนกเทาของ r 24. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมจตรสมจด A และ B อยบนเสนรอบวงของวงกลม และดาน CD สมผสกบวงกลม ถารปสเหลยม ABCD มพนท 64 ตารางหนวย แลววงกลมมรศมยาวกหนวย

A B

D C



23. จากรปมครงวงกลม 3 ครงวงกลมแตละครงวงกลมมรศมยาวเทากน คอ R หนวย ถา r เปนความยาว ของรศมวงกลมเลกทสมผสกบครงวงกลมทงสามดงรป แลว R เปนกเทาของ r 24. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมจตรสมจด A และ B อยบนเสนรอบวงของวงกลม และดาน CD สมผสกบวงกลม ถารปสเหลยม ABCD มพนท 64 ตารางหนวย แลววงกลมมรศมยาวกหนวย

A B

D C

25. AB และ CD เปนเสนผานศนยกลางวงกลมตดกนเปนมมฉาก ถา DF เปนคอรดตด AB ทจด E ทาให 8DE หนวย และ 4EF หนวย แลวพนทวงกลมเปนกตารางหนวย (ตอบในรป ) 26. จงหาจานวนคอนดบ ),( yx ของจานวนเตมทงหมดทเปนคาตอบของสมการ 5552 yxxy

27. คาของ 3

300029994321

3000299943212

200019994321

200019994321

33...333333...3333

22...222222...2222

เปนเทาใด 28. ถามจานวนนบทหาร n2 ลงตวอย 28 จานวน และมจานวนนบทหาร n3 ลงตวอย 30 จานวน แลวจะมจานวนนบทหาร n6 ลงตวทงหมดกจานวน

***********************************

25. AB และ CD เปนเสนผานศนยกลางวงกลมตดกนเปนมมฉาก ถา DF เปนคอรดตด AB ทจด E ทาให 8DE หนวย และ 4EF หนวย แลวพนทวงกลมเปนกตารางหนวย (ตอบในรป ) 26. จงหาจานวนคอนดบ ),( yx ของจานวนเตมทงหมดทเปนคาตอบของสมการ 5552 yxxy


300029994321

3000299943212

200019994321

200019994321

33...333333...3333

22...222222...2222

เปนเทาใด 28. ถามจานวนนบทหาร n2 ลงตวอย 28 จานวน และมจานวนนบทหาร n3 ลงตวอย 30 จานวน แลวจะมจานวนนบทหาร n6 ลงตวทงหมดกจานวน

***********************************



1. กาหนดให nn ...4321! และ !n อานวา n แฟคทอเรยล จานวนเตมบวกทงหมดทหาร !10 ลงตว มกจานวน

แนวคด

1248

23

7532232532723325

12345678910!10

จานวนของจานวนเตมบวกทหาร 10! ลงตว เทากบ 11121418

2702359

ตอบ 270 จานวน 2. ถา 222222222222 1234...4546474849505152 N แลวจานวนเตมบวกทหาร N ลงตวมทงหมดกจานวน

แนวคด

132535253

1357...45474951532627...746647

548449350251152

2

222222

2222222222

N

ตอบ จานวนเตมบวกทหาร N ลงตวม 12 จานวน 3. ถา n เปนจานวนเตมคทมคาระหวาง 6 กบ 20 และ 12 n เปนจานวนเฉพาะ แลวมธยมฐานของ n มคาเทาใด

แนวคด

n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

12 n 50 65 82 101 122 145 170 197 226 257 290 325 362 ตอบ n - - - 10 - - - 14 - 16 - - -

คามธยมฐานของ 16,14,10 เทากบ 14 ตอบ 14


แนวคด

1248

23

7532232532723325

12345678910!10


2702359


แนวคด

132535253

1357...45474951532627...746647

548449350251152

2

222222

2222222222

N


แนวคด

n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

12 n 50 65 82 101 122 145 170 197 226 257 290 325 362 ตอบ n - - - 10 - - - 14 - 16 - - -



แนวคด

1248

23

7532232532723325

12345678910!10


2702359


แนวคด

132535253

1357...45474951532627...746647

548449350251152

2

222222

2222222222

N


แนวคด

n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

12 n 50 65 82 101 122 145 170 197 226 257 290 325 362 ตอบ n - - - 10 - - - 14 - 16 - - -



แนวคด

1248

23

7532232532723325

12345678910!10


2702359


แนวคด

132535253

1357...45474951532627...746647

548449350251152

2

222222

2222222222

N


แนวคด

n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

12 n 50 65 82 101 122 145 170 197 226 257 290 325 362 ตอบ n - - - 10 - - - 14 - 16 - - -



แนวคด

1248

23

7532232532723325

12345678910!10


2702359


แนวคด

132535253

1357...45474951532627...746647

548449350251152

2

222222

2222222222

N


แนวคด

n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

12 n 50 65 82 101 122 145 170 197 226 257 290 325 362 ตอบ n - - - 10 - - - 14 - 16 - - -



แนวคด

1248

23

7532232532723325

12345678910!10


2702359


แนวคด

132535253

1357...45474951532627...746647

548449350251152

2

222222

2222222222

N


แนวคด

n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

12 n 50 65 82 101 122 145 170 197 226 257 290 325 362 ตอบ n - - - 10 - - - 14 - 16 - - -


1. กาหนดใหาหนดใหาหนดให nn ...4321! และ !n อานวา n แฟคทอเรแฟคทอเรแฟคทอเรยล จานวนเตมบวกทงหมดทหาร !10 ลงตว มกจานวน

1248

2 3 7532

2325 3 2 7 2 3 3 2 5 12345678910!10

จานวนของจานวนเตมบวกทหาร 10! ลงตวเทากบ 1 1 12 1 4 1 8

270

2 3 5 9

ตอบ 270 จานวน

แลวมธยฐำนของn

คำมธยฐำนของ10, 14, 16เทำกบ14

ตอบ 14

แนวคด


4. กาหนดพหนาม 13 2 bxxaxp และ 1322 2 xcxxq ถา xqxp ทกคาของ x แลวคาของ cba มคาเทาใด

แนวคด

13221961322196132213

22

22

22

ccxxbxaaxaxccxxbxxxa

xcxbxxa

จะได 19132 ac 1229 ca 2a จะได 12218 c 3c bac 6

83929

312;21...........36

cbab

baba

ตอบ 8 5. ถา )532)(532()532)(532( xxxx แลว 35 2 x มคาเทาใด แนวคด

93635

56

6454

)32()32()5()5(

)32()5()32()5(

2

2222

2222

x

x

x

xx

xx

ตอบ 9

จากการเทยบสมประสทธ


แนวคด

13221961322196132213

22

22

22


xcxbxxa


83929

312;21...........36

cbab

baba


93635

56

6454

)32()32()5()5(

)32()5()32()5(

2

2222

2222

x

x

x

xx

xx

ตอบ 9



แนวคด

13221961322196132213

22

22

22


xcxbxxa


83929

312;21...........36

cbab

baba


93635

56

6454

)32()32()5()5(

)32()5()32()5(

2

2222

2222

x

x

x

xx

xx

ตอบ 9



แนวคด

13221961322196132213

22

22

22


xcxbxxa


83929

312;21...........36

cbab

baba


93635

56

6454

)32()32()5()5(

)32()5()32()5(

2

2222

2222

x

x

x

xx

xx

ตอบ 9



แนวคด

13221961322196132213

22

22

22


xcxbxxa


83929

312;21...........36

cbab

baba


93635

56

6454

)32()32()5()5(

)32()5()32()5(

2

2222

2222

x

x

x

xx

xx

ตอบ 9


4. กาหนดพหนาม 1 3 2 bx x a x p และ 1322 2 xcxxq ถา x q x p ทกคาของ x แลวคาของ cba มคาเทาใด

แนวคด a(x - 3)2 + bx+1 = 2x2 + c (x - 2) + 13 a(x2 - 6x + 9) + bx + 1 = 2x2 + cx-2c + 13 ax2 - 6ax + 9a + bx + 1 = 2x2 + cx - 2c + 13จำกกำรเทยบสมประสทธจะได-2c+13=9a+1 9a+2c =12 a = 2จะได18 + 2c = 12 c = - 3


แนวคด

13221961322196132213

22

22

22


xcxbxxa


83929

312;21...........36

cbab

baba


93635

56

6454

)32()32()5()5(

)32()5()32()5(

2

2222

2222

x

x

x

xx

xx

ตอบ 9


c = - 6a + b


แนวคด

13221961322196132213

22

22

22


xcxbxxa


83929

312;21...........36

cbab

baba


93635

56

6454

)32()32()5()5(

)32()5()32()5(

2

2222

2222

x

x

x

xx

xx

ตอบ 9


-6a+b = -3 a = 2;b-12 = -3 b = 9


แนวคด

13221961322196132213

22

22

22


xcxbxxa


83929

312;21...........36

cbab

baba


93635

56

6454

)32()32()5()5(

)32()5()32()5(

2

2222

2222

x

x

x

xx

xx

ตอบ 9


a + b + c = 2 + 9 - 3 = 8

ตอบ 8

ตอบ9


6. ถา P เปนจดวกกลบของกราฟพาราโบลา 38122 xxy และ O เปนจดกาเนดแลว 2PO

มคาเทาใด

แนวคด 38122 xxy 38)12( 2 xx 3836)3612( 2 xx 2)6( 2 x จดวกกลบ คอ )2,6( และจด O คอ )0,0( ดงนน 22 )02()06( PO 436 40 40

2 PO

ตอบ 40

7. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม AB ยาว x4 หนวย และ BC ยาว x หนวย และรปสามเหลยมมมฉาก ABF เทากนทกประการกบรปสามเหลยมมมฉาก CDE ถาพนท สวนทแรเงาตอพนทรปสเหลยมผนผา ABCD เทากบ dc : โดยท c และ d เปนจานวนเตมบวก และ ห.ร.ม. ของ dc , เทากบ 1 แลว dc มคาเทาใด

F

E

D C

BA

แนวคด ลาก EF

bba

a

A B

CD

E

F ไดรปสเหลยม AEFD และ BCFE เปนรปสเหลยมมมฉาก

32,1

21

)(4)(2

dcdc

baba

dc

ตอบ 3

6. ถา P เปนจดวกกลบของกราฟพาราโบลา 38122 xxy และ O เปนจดกาเนดแลว 2PO

มคาเทาใด

แนวคด 38122 xxy 38)12( 2 xx 3836)3612( 2 xx 2)6( 2 x จดวกกลบ คอ )2,6( และจด O คอ )0,0( ดงนน 22 )02()06( PO 436 40 40

2 PO

ตอบ 40

7. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ม AB ยาว x4 หนวย และ BC ยาว x หนวย และรปสามเหลยมมมฉาก ABF เทากนทกประการกบรปสามเหลยมมมฉาก CDE ถาพนท สวนทแรเงาตอพนทรปสเหลยมผนผา ABCD เทากบ dc : โดยท c และ d เปนจานวนเตมบวก และ ห.ร.ม. ของ dc , เทากบ 1 แลว dc มคาเทาใด

F

E

D C

BA

แนวคด ลาก EF

bba

a

A B

CD

E

F ไดรปสเหลยม AEFD และ BCFE เปนรปสเหลยมมมฉาก

32,1

21

)(4)(2

dcdc

baba

dc

ตอบ 3

7. จากรป ABCD เปเปเปนรปสปสปสเหลยมผนผา ม AB ยาว x4 หนวย และ BC ยาว x หนวย และรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยมมมฉาก ABFABFAB เทากนทกประการกกประการกกประการกบรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยมมมฉาก CDE ถาพนท สวนทแรเงาตอพนทรปสปสปสเหลยมผนผา ABCD เทากบ dc : โดยทโดยทโดยท c และ d เปเปเปนจานวนเตมบวก

และ ห.ร.ม. ของ dc , เทากบ 1 แลว dc มคาเทาใด

F

E

D C

BA

แนวคดลาก EFEFE

bba

a

A B

CD

A BEA B

F ไดไดไดรปสปสปสเหลยม AEFD และ BCFE เปเปเปนรปสปสปสเหลยมมมฉาก

32,1

21

)(4)(2

dcdc

baba

dc

แลว

ตอบ3

ตอบ40



A B

C

D

E

แนวคด ลาก EF ตงฉากกบ AD

F

E

D

C

BA

ได 4AB และ 2BF ดงนน 6AF และ 32EF 486)32()( 222 x เพราะฉะนน 48x

ตอบ 48 9. จากรป รปสเหลยมจตรส ABCD ม 6 ECAE หนวย 60


CD

A B

E

แนวคด

ลาก ABEF และ BCEG จะได 3 CGAF หนวย และ

33 EGEF หนวย พนทรปสเหลยม 31836)333( 2 ABCD

18,36 yx 54 yx

ตอบ 54

G

F

3

6

6

3

3 3

3 3

CD

A B

E


A B

C

D

E

แนวคด ลาก EF ตงฉากกบ AD

F

E

D

C

BA

ได 4AB และ 2BF ดงนน 6AF และ 32EF 486)32()( 222 x เพราะฉะนน 48x

ตอบ 48 9. จากรป รปสเหลยมจตรส ABCD ม 6 ECAE หนวย 60


CD

A B

E

แนวคด

ลาก ABEF และ BCEG จะได 3 CGAF หนวย และ

33 EGEF หนวย พนทรปสเหลยม 31836)333( 2 ABCD

18,36 yx 54 yx

ตอบ 54

G

F

3

6

6

3

3 3

3 3

CD

A B

E

8. จากรป ถารปสามเหลปสามเหลปสามเหลยม ABC และรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยม BDBDB EDED เปเปเปนรปสามเหลปสามเหลปสามเหลยมดานเทาทมความยาวดานละ 4 หนวย และ xAE แลว x มคาเทาใด

AAAA B

C

D

E

แนวคดลาก EFEFE ตงฉากกบ AD

F

E

D

C

BAAAA

ไดไดได 4AB และ 2BFดงนน 6AF และ 32EF 486)32()( 222 xเพราะฉะนน 48x

9. จากรป รปสปสปสเหลยมจตรส ABCD ม 6 ECAE หนวย 60

BCEBAE องศา ถา พนทรปสปสปสเหลยม ABCD เขยนใหยนใหยนใหอยในรปอยปอยปอยางงายไดายไดายไดเปเปเปน 3yx

เมอ yx , เปเปเปนจานวนเตม แลว yx มคาเทาใด

CD

A B

E

แนวคดลาก ABEFEFE และ BCEG จะไดจะไดจะได 3 CGAF หนวย และ

3333 EGEGEFEF หนหนวยวย พนทรปสปสปสเหลยม 31836)333( 2 ABCD

18,36 yx54 yx

G

F

3

6

6

3

3 3

3 3

CD

A B

E

ตอบ48

ตอบ54


166334

32

10. เขยนหมายเลข 1 ถง 1000 ลงในสลากใบละ 1 หมายเลข ใสกลอง แลวสมหยบมา 1 ใบ ความนาจะเปนทจะไดสลากหมายเลข ท 2 หารลงตว แต 3 หารไมลงตวเทากบ A แลว A500 มคาเทาใด

แนวคด ดงนนจาก 1 ถง 1000 ทหารดวย 2 ลงตว แต 3 หารไมลงตว มทงหมด 334 จานวน ความนาจะเปนทจะไดสลากหมายเลขหารดวย 2 ลงตว แต 3 หารไมลงตวเทากบ

1000334

1000334

A 167500 A ตอบ 167 11. จานวนเตมบวกจานวนหนงจะถกเรยกวา “จานวนโชคด” เมอมสมบตครบทงหมดดงตอไปน 1. จานวนนมเลขโดดอย 4 ตว 2. เลขโดดแตละตวสามารถนาไปหาร 48 ลงตว 3. เลขโดดแตละตวอาจปรากฏมากกวา 1 ครงกได 4. ผลรวมของเลขโดดทงหมด คอ 20 5. จานวนนเปนพหคณของ 4 จงหาจานวนโชคดทมคานอยทสด แนวคด เลขโดดทเปนตวประกอบของ 48 คอ 8,6,4,3,2,1 หลกพนทนอยทสดคอ เลข 1 ตวเลข อก 3 หลก รวมกนเทากบ 19 หลกหนวยทมากทสด คอ 8 และสองหลกสดทายท 4 หารลงตว คอ 88 ดงนนจานวนทตองการคอ 1388 ตอบ 1388

166334

32

10. เขยนหมายเลข 1 ถง 1000 ลงในสลากใบละ 1 หมายเลข ใสกลอง แลวสมหยบมา 1 ใบ ความนาจะเปนทจะไดสลากหมายเลข ท 2 หารลงตว แต 3 หารไมลงตวเทากบ A แลว A500 มคาเทาใด

แนวคด ดงนนจาก 1 ถง 1000 ทหารดวย 2 ลงตว แต 3 หารไมลงตว มทงหมด 334 จานวน ความนาจะเปนทจะไดสลากหมายเลขหารดวย 2 ลงตว แต 3 หารไมลงตวเทากบ

1000334

1000334

A 167500 A ตอบ 167 11. จานวนเตมบวกจานวนหนงจะถกเรยกวา “จานวนโชคด” เมอมสมบตครบทงหมดดงตอไปน 1. จานวนนมเลขโดดอย 4 ตว 2. เลขโดดแตละตวสามารถนาไปหาร 48 ลงตว 3. เลขโดดแตละตวอาจปรากฏมากกวา 1 ครงกได 4. ผลรวมของเลขโดดทงหมด คอ 20 5. จานวนนเปนพหคณของ 4 จงหาจานวนโชคดทมคานอยทสด แนวคด เลขโดดทเปนตวประกอบของ 48 คอ 8,6,4,3,2,1 หลกพนทนอยทสดคอ เลข 1 ตวเลข อก 3 หลก รวมกนเทากบ 19 หลกหนวยทมากทสด คอ 8 และสองหลกสดทายท 4 หารลงตว คอ 88 ดงนนจานวนทตองการคอ 1388 ตอบ 1388

ตอบ167

ตอบ1388


12. จานวนสหลกแตละหลกไมซากนทสรางจากเลขโดด 7,6,5,4,3,2,1 และ 8 โดยทจานวนนน หารดวย 9 ลงตว มทงหมดกจานวน แนวคด พจารณาจากเลขโดดทมคานอยไปมาก แยกไดดงน กรณท 1 ใชเลขโดด 1, 2, 7, 8 สรางได 241234 จานวน 1, 3, 6, 8 สรางได 241234 จานวน 1, 4, 5, 8 สรางได 241234 จานวน 1, 4, 6, 7 สรางได 241234 จานวน กรณท 2 ใชเลขโดด 2, 3, 5, 8 สรางได 241234 จานวน 2, 3, 6, 7 สรางได 241234 จานวน 2, 4, 5, 7 สรางได 241234 จานวน กรณท 3 ใชเลขโดด 3, 4, 5, 6 สรางได 241234 จานวน จานวนสหลกท 9 หารลงตว มทงหมด 192248 จานวน ตอบ 192 จานวน 13. มตเอกสารอยจานวนหนง ตองการตดแผนปายพลาสตกเพอแสดงหมายเลข โดยทแผนปายพลาสตก แตละแผนจะแสดงเลขโดดแผนละ 1 ตว เชน ถาตดเลข 31 ตองตดแผนทเปนเลข 3 กบแผนทเปนเลข 1 โดยตวเลขพลาสตกมราคาตวละ 2 บาท เรมตดหมายเลข 1 ทตแรกแลวเรยงหมายเลขไปเรอย ๆ ถาใชเงนซอพลาสตก ทงหมด 8306 บาท แลวตเอกสารมทงหมดกต แนวคด จานวน 91 มเลขโดด 9 ตว จานวน 9910 มเลขโดด 180290 ตว จานวน 999100 มเลขโดด 27003900 ตว รวมตวเลขพลาสตกทงหมด 288991802700 ตว คดเปนเงน 577822889 บาท เหลอเงน 252857788306 บาท แสดงวามตเหลกทใชเลข 4 หลกอย 316

82528

ต

รวมต 1315316900909 ต ตอบ 1315 ต

12. จานวนสหลกแตละหลกไมซากนทสรางจากเลขโดด 7,6,5,4,3,2,1 และ 8 โดยทจานวนนน หารดวย 9 ลงตว มทงหมดกจานวน แนวคด พจารณาจากเลขโดดทมคานอยไปมาก แยกไดดงน กรณท 1 ใชเลขโดด 1, 2, 7, 8 สรางได 241234 จานวน 1, 3, 6, 8 สรางได 241234 จานวน 1, 4, 5, 8 สรางได 241234 จานวน 1, 4, 6, 7 สรางได 241234 จานวน กรณท 2 ใชเลขโดด 2, 3, 5, 8 สรางได 241234 จานวน 2, 3, 6, 7 สรางได 241234 จานวน 2, 4, 5, 7 สรางได 241234 จานวน กรณท 3 ใชเลขโดด 3, 4, 5, 6 สรางได 241234 จานวน จานวนสหลกท 9 หารลงตว มทงหมด 192248 จานวน ตอบ 192 จานวน 13. มตเอกสารอยจานวนหนง ตองการตดแผนปายพลาสตกเพอแสดงหมายเลข โดยทแผนปายพลาสตก แตละแผนจะแสดงเลขโดดแผนละ 1 ตว เชน ถาตดเลข 31 ตองตดแผนทเปนเลข 3 กบแผนทเปนเลข 1 โดยตวเลขพลาสตกมราคาตวละ 2 บาท เรมตดหมายเลข 1 ทตแรกแลวเรยงหมายเลขไปเรอย ๆ ถาใชเงนซอพลาสตก ทงหมด 8306 บาท แลวตเอกสารมทงหมดกต แนวคด จานวน 91 มเลขโดด 9 ตว จานวน 9910 มเลขโดด 180290 ตว จานวน 999100 มเลขโดด 27003900 ตว รวมตวเลขพลาสตกทงหมด 288991802700 ตว คดเปนเงน 577822889 บาท เหลอเงน 252857788306 บาท แสดงวามตเหลกทใชเลข 4 หลกอย 316

82528

ต

รวมต 1315316900909 ต ตอบ 1315 ต

12. จานวนสหลกแตละหลกไมกไม กไมกไมซากนทสรางจากเลขโดด 7,6,5,4,3,2,1 และ 8 โดยทโดยทโดยทจานวนนน หารดวย 9 ลงตว มทงหมดกจานวน

แนวคดพจารณาจากเลขโดดทจารณาจากเลขโดดทจารณาจากเลขโดดทมคานอยไปมาก แยกไดแยกไดแยกไดดงนกรณท 1 ใชใชใชเลขโดด 1, 2, 7, 8 สรางไดางไดางได 241234 จานวน

1, 3, 6, 8 สรางไดางไดางได 241234 จานวน 1, 4, 5, 8 สรางไดางไดางได 241234 จานวน 1, 4, 6, 7 สรางไดางไดางได 241234 จานวน

กรณท 2 ใชใชใชเลขโดด 2, 3, 5, 8 สรางไดางไดางได 241234 จานวน 2, 3, 6, 7 สรางไดางไดางได 241234 จานวน 2, 4, 5, 7 สรางไดางไดางได 241234 จานวน

กรณท 3 ใชใชใชเลขโดด 3, 4, 5, 6 สรางไดางไดางได 241234 จานวน

จานวนสหลกท 9 หารลงตว มทงหมด 192248 จานวน

ตอบ 192 จานวน

แนวคดจานวน 91 มเลขโดด 9 ตวจานวน 9910 มเลขโดด 180290 ตวจานวน 999100 มเลขโดด 27003900 ตว

รวมตวเลขพลาสตกทงหมด 288991802700 ตว คดเปดเปดเปนเงน 577822889 บาท เหลอเงน 252857788306 บาท แสดงวามตเหลกทใชใชใชใชใชใชเลข 4 หลกอย 316

825282528

ต

รวมต 1315316900909 ต

13. มตเอกสำรอยจ�ำนวนหนงตองกำรตดแผนปำยพลำสตกเพอแสดงหมำยเลขโดยทแผนปำยพลำสตก

แตละแผนจะแสดงเลขโดดแผนละ1ตวเชนถำตดเลข31ตองตดแผนทเปนเลข3กบแผนทเปนเลข1 โดยตวเลขพลำสตกมรำคำตวละ2บำทเรมตดหมำยเลข1ทตแรกแลวเรยงหมำยเลขไปเรอยๆ

ถำใชเงนซอพลำสตกทงหมด8306บำทแลวตเอกสำรมทงหมดกต

ตอบ1315ต


14. จานวนนบตงแต 2 ถง 1000 มกจานวน ทสามารถเขยนไดในรป 2n หรอ 3n เมอ n เปนจานวนนบ แนวคด เพราะวา 10002 2 n 6.3110102 n จานวนเตม 2 ถง 1000 ม n อยในรป 2n อย 30 จานวน 10002 3 n 1023 n จานวนเตม 2 ถง 1000 ม n อยในรป 3n อย 9 จานวน จานวนทเขยนไดทง 2n และ 3n ม 2 จานวน คอ

72933

64222332

2332

ตอบ 372930 จานวน 15. มจานวนเตมบวกกจานวน ทหาร m ลงตว เมอ m มสมบตดงน 1. มจานวนเตมบวก 35 จานวน ทหาร 2m ลงตว 2. มจานวนเฉพาะ 2 จานวนเทานนทหาร m ลงตว แนวคด ให ba qpm โดยท p และ q เปนจานวนเฉพาะ และ ba , เปนจานวนเตมบวก ba qpm 222 และ 75351212 ba 712512 ba และ หรอ 512712 ba และ 32 ba และ หรอ 23 ba และ 642 32 m หรอ 46 32 2332 32,32 m จะมจานวนเตมบวก 121213 จานวน ทหาร m ลงตว ตอบ 12 จานวน

14. จานวนนบตงแต 2 ถง 1000 มกจานวน ทสามารถเขยนไดในรป 2n หรอ 3n เมอ n เปนจานวนนบ แนวคด เพราะวา 10002 2 n 6.3110102 n จานวนเตม 2 ถง 1000 ม n อยในรป 2n อย 30 จานวน 10002 3 n 1023 n จานวนเตม 2 ถง 1000 ม n อยในรป 3n อย 9 จานวน จานวนทเขยนไดทง 2n และ 3n ม 2 จานวน คอ

72933

64222332

2332

ตอบ 372930 จานวน 15. มจานวนเตมบวกกจานวน ทหาร m ลงตว เมอ m มสมบตดงน 1. มจานวนเตมบวก 35 จานวน ทหาร 2m ลงตว 2. มจานวนเฉพาะ 2 จานวนเทานนทหาร m ลงตว แนวคด ให ba qpm โดยท p และ q เปนจานวนเฉพาะ และ ba , เปนจานวนเตมบวก ba qpm 222 และ 75351212 ba 712512 ba และ หรอ 512712 ba และ 32 ba และ หรอ 23 ba และ 642 32 m หรอ 46 32 2332 32,32 m จะมจานวนเตมบวก 121213 จานวน ทหาร m ลงตว ตอบ 12 จานวน

15. มจานวนเตมบวกกจานวน ทหาร m ลงตว เมอ m มสมบต ดงน 1. มจานวนเตมบวก 35 จานวน ทหาร 2m ลงตว 2. มจานวนเฉพาะ 2 จานวนเทานนทหาร m ลงตว

แนวคดใหใหให ba qpm โดยทโดยทโดยท p และ q เปเปเปนจานวนเฉพาะ และ ba , เปเปเปนจานวนเตมบวก

ba qpm 222

และ 7535 1 2 1 2 b a 7 1 2 5 1 2 b a และ

หรอ 5 1 2 7 1 2 b a และ 3 2 b a และ หรอ 2 3 b a และ

642 32 m หรอ 46 32 2332 32,32 m

จะมจานวนเตมบวก 12 1 2 13 จานวน ทหาร m ลงตว

ตอบ30+9-2=37จ�ำนวน

ตอบ12จ�ำนวน


16. จากระบบสมการ 1xyz

811

361

xy

zx

แลว z มคาเทาใด แนวคด

2................811

1................361

xy

zx

21 813611 zxz

yxy

81368111

8136111

zxy

xy

zxy

291582

1813682

181368136828136811813681

z

zzzzz

zzxyz

ตอบ

291582


811

361

xy

zx


2................811

1................361

xy

zx

21 813611 zxz

yxy

81368111

8136111

zxy

xy

zxy

291582

1813682

181368136828136811813681

z

zzzzz

zzxyz

ตอบ

291582


811

361

xy

zx


2................811

1................361

xy

zx

21 813611 zxz

yxy

81368111

8136111

zxy

xy

zxy

291582

1813682

181368136828136811813681

z

zzzzz

zzxyz

ตอบ

291582


811

361

xy

zx


2................811

1................361

xy

zx

21 813611 zxz

yxy

81368111

8136111

zxy

xy

zxy

291582

1813682

181368136828136811813681

z

zzzzz

zzxyz

ตอบ

291582

ตอบ 82

2915


17. ให xP เปนพหนามทมดกรเทากบ n โดยท 3n ถา xP หารดวย 1x เหลอเศษ 1 หารดวย 2x เหลอเศษ 2 หารดวย 3x เหลอเศษ 3 ถาหารดวย 321 xxx จะเหลอเศษเทาใด แนวคด cbxaxxQxxxxP 2)()3)(2)(1()( 1)1( cbaP 224)2( cbaP 339)3( cbaP – 13 ba – 15 ba 02 a 0a 1)0(3 b 1b ,1,0 ba แทนใน 110 c 0c ดงนนเศษคอ xxx 00 2 ตอบ x 18. จงหาจานวนเตมบวก n ทงหมด ททาให 7562 23 nnn หารดวย 3n ลงตว แนวคด 84)3)(3(7562 223 nnnnnn 84 หารดวย )3( n ลงตว 84,42,28,21,14,12,7,6,4,3,2,13 n 81,39,25,18,11,9,4,3,1,0,1,2 n จะมจานวนเตมบวก n อย 9 จานวน ตอบ 9 จานวน



18. จงหาจานวนเตมบวก n ทงหมด ททาใหาใหาให 7562 23 nnnn หารดวย 3n ลงตว

แนวคด84)3)(3(7562 223 nnnnnn

84 หารดวย )3( n ลงตว 84,42,28,21,14,12,7,6,4,3,2,13 n 81,39,25,18,11,9,4,3,1,0,1,2 n

จะมจะมจจานวนเตานวนเตมบวกมบวก n อยอย 9 9 จจานวนานวน



17. ใหใหให x P เปเปเปนพหนามทมดกรเทากบ n โดยทโดยทโดยท 3nถา x P หารดวย 1 x เหลอเศษ 1 อเศษ 1 อเศษ หารดวย 2x เหลอเศษ 2 หารดวย 3 x เหลอเศษ 3 ถาหารดวย 3 2 1 x x x จะเหลอเศษเทาใด

แนวคด cbxaxxQxxxxP 2)()3)(2)(1()( 1)1( cbaP 224)2( cbaP 339)3( cbaP – 13 ba – 15 ba

02 a 0a 1)0(3 b 1b ,1,0 ba แทนใน 110 c 0c

ดงนนเศษคอ xxx 00 2

ตอบ x


...............

...............

...............

;;


...............

...............5 4



19. กาหนดให yxcba ,,,, และ z เปนจานวนจรงซงสอดคลองกบระบบสมการ 1254325432543254325432543 zyxcba 10254425442544254425442544 zyxcba 100254525452545254525452545 zyxcba คาของ 1000255425542554255425542554 zyxcba เปนเทาใด แนวคด ให 2544,2544,2544,2544,2544 yQxPcCbBaA และ 2544 zR จะได 10 PQRABC

100100)1)(1)(1()1)(1)(1(

11)1)(1)(1()1)(1)(1(

RQPRPQRPQPQRCBACABCABABCRQPCBA


+ จะได 81)(2 RQPCBA – จะได 99)(2 RPQRPQCABCAB

55551000)81(50)99(510

1000100100100101010100100100101010

1000)10)(10)(10()10)(10)(10(1000)2554)(2554)(2554()2554)(2554)(2554(

RQPRPQRPQPQRCBACABCABABC

RQPCBAzyxcba

ตอบ 5555

19. กาหนดใหาหนดใหาหนดให yxcba ,,,, และ z เปเปเปนจานวนจรงซงสอดคลองกบระบบสมการ 1254325432543 2543 2543 2543 zyx c b a 10254425442544 2544 2544 2544 zyx c b a 100254525452545 2545 2545 2545 zyx c b a คาของ 1000255425542554 2554 2554 2554 zyx c b a เปเปเปนเทาใด

แนวคดใหใหให 2544,2544,2544,2544,2544 yQxPcCbBaA และ 2544 zR จะไดจะไดจะได

10 PQRABC

100100)1)(1)(1()1)(1)(1(

11)1)(1)(1()1)(1)(1(



+ จะไดจะไดจะได 81)(2 RQPCBA– จะไดจะไดจะได 99)(2 RPQRPQCABCAB

55551000)81(50)99(510

1000100100100101010100100100101010

1000)10)(10)(10()10)(10)(10(1000)2554)(2554)(2554()2554)(2554)(2554(

RQPRPQRPQPQRCBACABCABABC

RQPCBAzyxcba

...............

.......

........

ตอบ5555


20. ถาหาร 220092010 2 xxx ดวย 12 x แลวจะเหลอเศษเทาใด แนวคดท 1 ให 220092010 2 xxxxP ไดผลลพธ xq และ xr เปนเศษ ดงนน xrxqxxxx 12 2220092010 จะได xr เปนพหนามทมดกรสงสดเทากบ 1 ให baxxr

)2.(..........3

1111)1.(..........9

9111

babaP

babaP

362;)2()1(6

122;)2()1(

aa

bb

เศษเทากบ 63 x แนวคดท 2

63111

53144

220082010

220092010

220092010

xxxxxxxxxx

xxxxxP

เหลอเศษ 63 x ตอบ 63 x

20. ถาหาร 220092010 2 x xx ดวย 12 x แลวจะเหลอเศษเทาใด

แนวคดท 1 ใหใหให 2 2009 2010 2 x x x x P ไดไดไดผลลพธ xq และ xr เปเปเปนเศษดงนน xrxq q x x xx 1 2 2 220092010

จะไดจะไดจะได x r เปเปเปนพหนามทมดกรสงสดเทากบ 1 ใหใหให bax x r

)2.(..........3

111 1 )1.(..........9

911 1

babaP

babaP

362;)2()1(6

122;)2()1(

aa

bb

เศษเทากบ 63 x


63 1 1 1

53 1 44

2 2008 2010 2 2009 2010

220092010

x x x x x xx x x x

xxxx x P

เหลอเศษ 63 x

ตอบ3x+6


B

CD

OA

21. คาตาสดทเปนไปไดของ 433138106 22 yxyxyx มคาเทาใด

แนวคด

241

433)12(2)

21()(5

433885105

433138106

222

2222

22

yxyx

yyxxyxyx

yxyxyx

6)12(2)21()(5 222 yxyx

เมอ 21,

21

yx

ตอบ 6 22. รปสเหลยมจตรสมเสนทแยงมมยาว 214 เซนตเมตร บรรจในครงวงกลมโดยมจดยอดทงสอยบนเสน รอบวงและเสนผานศนยกลาง ทาใหพนทรปสเหลยมจตรส เปน




แนวคด

รปสเหลยม ABCD เปนรปสเหลยมจตรส ม 214AC จะได 7,14 OBBC ดงนน 24519649 OC พนทครงวงกลม 385

พนทรปสเหลยมจตรส 196

2728

189196

196385196

ba ดงนน 1 ba

ตอบ 1

B

CD

OA

21. คาตาสดทเปนไปไดของ 433138106 22 yxyxyx มคาเทาใด

แนวคด

241

433)12(2)

21()(5

433885105

433138106

222

2222

22

yxyx

yyxxyxyx

yxyxyx

6)12(2)21()(5 222 yxyx

เมอ 21,

21

yx

ตอบ 6 22. รปสเหลยมจตรสมเสนทแยงมมยาว 214 เซนตเมตร บรรจในครงวงกลมโดยมจดยอดทงสอยบนเสน รอบวงและเสนผานศนยกลาง ทาใหพนทรปสเหลยมจตรส เปน




แนวคด

รปสเหลยม ABCD เปนรปสเหลยมจตรส ม 214AC จะได 7,14 OBBC ดงนน 24519649 OC พนทครงวงกลม 385

พนทรปสเหลยมจตรส 196

2728

189196

196385196

ba ดงนน 1 ba

ตอบ 1

14 2

ตอบ6

ตอบ1


Rr

OA

C

23. จากรปมครงวงกลม 3 ครงวงกลมแตละครงวงกลมมรศมยาวเทากน คอ R หนวย ถา r เปนความยาว ของรศมวงกลมเลกทสมผสกบครงวงกลมทงสามดงรป แลว R เปนกเทาของ r แนวคด RAOrRAC และ rROC

จากทฤษฎพธากอรส ใน AOC

rR

rRRRrR

rRrRRrRrRrRRrR

404

4022

2

22222

222

ตอบ 4

Rr

OA

C



rR

rRRRrR

rRrRRrRrRrRRrR

404

4022

2

22222

222

ตอบ 4

Rr

OA

C



rR

rRRRrR

rRrRRrRrRrRRrR

404

4022

2

22222

222

ตอบ 4

Rr

OA

C



rR

rRRRrR

rRrRRrRrRrRRrR

404

4022

2

22222

222

ตอบ 4

Rr

OA

C



rR

rRRRrR

rRrRRrRrRrRRrR

404

4022

2

22222

222

ตอบ 4

23. จากรปมปมปมครงวงกลม 3 ครงวงกลมแตละครงวงกลมมรศมยาวเทากน คอ R หนวย ถา r เปเปเปนความยาว ของรศมวงกลมเลกทสมผสกบครงวงกลมทงสามดงรป แลว R เปเปเปนกเทาของ r

Rrr

OA

CC

แนวคด

ตอบ 4

RAOrRAC และ rROC จากทฤษฎพธากอรส ใน AOCAOCAOC

rRRrR 222

rRrRRrRrR 22 22222

rR r R R

RrR

40 4

40 2


24. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมจตรสมจด A และ B อยบนเสนรอบวงของวงกลม และดาน CD สมผสกบวงกลม ถารปสเหลยม ABCD มพนท 64 ตารางหนวย แลววงกลมมรศมยาวกหนวย แนวคด

รปสเหลยมจตรสมพนท 64 ตารางหนวยแสดงวามดานยาว 8 หนวย

4816161664

48

48

2............41.............8

22

222

222

2222

xxxx

xx

xx

xOArxr

3x แทนใน )1( จะได 5r ตอบ 5 หนวย

A B

D C

8-2x

rx

x

O

CD

BA

24. จากรป ABCD เปเปเปนรปสปสปสเหลยมจตรสมจด A และ B อยบนเสนรอบวงของวงกลม และดาน CD สมผสกบวงกลม ถารปสปสปสเหลยม ABCD มพนท 64 ตารางหนวย แลววงกลมมรศมยาวกหนวย

แนวคด

รปสปสปสเหลยมจตรสมพนท 64 ตารางหนวยแสดงวามดานยาว 8 หนวย

4816161664

4 8 4 8

2 ............4 1 .............8

22

222

222

2222

xxxx

x x x x

xOArxr

3x แทนใน )1(จะไดจะไดจะได 5r


A B

D C

8-2x

rx

x

O

CD

BA


25. AB และ CD เปนเสนผานศนยกลางวงกลมตดกนเปนมมฉาก ถา DF เปนคอรดตด AB ทจด E ทาให 8DE หนวย และ 4EF หนวย แลวพนทวงกลมเปนกตารางหนวย (ตอบในรป ) แนวคด

E8

O

D

B

F

C

A

ลาก CF จะได 90ˆ DFC CFD คลายกบ EOD จะได

DODF

EDCD

EOCF

481241282

1282

2

2

2

rrr

rr

พนทวงกลม 482 r ตอบ 48 ตารางหนวย 26. จงหาจานวนคอนดบ ),( yx ของจานวนเตมทงหมดทเปนคาตอบของสมการ 5552 yxxy แนวคด 5552 yxxy 2 คณตลอด 1102104 yxxy

753353

105)52)(12(10552104

yxyxxy

จะมคาตอบทเปนจานวนเตมทงหมด 16 คอนดบ ตอบ 16 คอนดบ


E8

O

D

B

F

C

A


DODF

EDCD

EOCF

481241282

1282

2

2

2

rrr

rr


753353

105)52)(12(10552104

yxyxxy



E8

O

D

B

F

C

A


DODF

EDCD

EOCF

481241282

1282

2

2

2

rrr

rr


753353

105)52)(12(10552104

yxyxxy



E8

O

D

B

F

C

A


DODF

EDCD

EOCF

481241282

1282

2

2

2

rrr

rr


753353

105)52)(12(10552104

yxyxxy



E8

O

D

B

F

C

A


DODF

EDCD

EOCF

481241282

1282

2

2

2

rrr

rr


753353

105)52)(12(10552104

yxyxxy



E8

O

D

B

F

C

A


DODF

EDCD

EOCF

481241282

1282

2

2

2

rrr

rr


753353

105)52)(12(10552104

yxyxxy



E8

O

D

B

F

C

A


DODF

EDCD

EOCF

481241282

1282

2

2

2

rrr

rr


753353

105)52)(12(10552104

yxyxxy


26. จงหาจานวนคอนดบ ),( yx ของจานวนเตมทงหมดทเปเปเปนคาตอบของสมการ 5552 yxxy

แนวคด 5552 yxxy

2 คณตลอด 1102104 yxxy

753353

105)52)(12(10552104

yxyxxy

จะมคาตอบทเปเปเปนจานวนเตมทงหมด 16 คอนดบ

ตอบ 16 คอนดบ

4



300029994321

3000299943212

200019994321

200019994321

33...333333...3333

22...222222...2222

เปนเทาใด แนวคด

)12(2...)12(2)12(2)12(2...)12(2)12(2

2...22222...2222

200042

200042

20004321

20004321

)12)(2...222()12)(2...222(

2000642

2000642

31212

)13(3...)13(3)13(3)13(3...)13(3)13(3

3...33333...3333

300042

300042

30004321

30004321

)13)(3...333()13)(3...333(

3000642

3000642

21313

323

30004321

300043212

20004321

20004321

233...33333...3333

2...22222...2222

17 ตอบ 17 28. ถามจานวนนบทหาร n2 ลงตวอย 28 จานวน และมจานวนนบทหาร n3 ลงตวอย 30 จานวน แลวจะมจานวนนบทหาร n6 ลงตวทงหมดกจานวน แนวคด 36 322 n

46

54

326233

nn

ม 351416 จานวนทหาร n6 ลงตว ตอบ 35 จานวน

ตอบ17ตอบ17


300029994321

3000299943212

200019994321

200019994321

33...333333...3333

22...222222...2222

เปนเทาใด แนวคด

)12(2...)12(2)12(2)12(2...)12(2)12(2

2...22222...2222

200042

200042

20004321

20004321

)12)(2...222()12)(2...222(

2000642

2000642

31212

)13(3...)13(3)13(3)13(3...)13(3)13(3

3...33333...3333

300042

300042

30004321

30004321

)13)(3...333()13)(3...333(

3000642

3000642

21313

323

30004321

300043212

20004321

20004321

233...33333...3333

2...22222...2222

17 ตอบ 17 28. ถามจานวนนบทหาร n2 ลงตวอย 28 จานวน และมจานวนนบทหาร n3 ลงตวอย 30 จานวน แลวจะมจานวนนบทหาร n6 ลงตวทงหมดกจานวน แนวคด 36 322 n

46

54

326233

nn

ม 351416 จานวนทหาร n6 ลงตว ตอบ 35 จานวน

)12)(2...222(

)12)(2...222(2000642

2000642

312

12

)13(3...)13(3)13(3

)13(3...)13(3)13(3

3...3333

3...3333300042

300042

30004321

30004321

)13)(3...333(

)13)(3...333(3000642

3000642

213

13

32

3

30004321

300043212

20004321

20004321

233...3333

3...3333

2...2222

2...2222

17



คณะผจดทาทปรกษา

นำยชนภทรภมรตน เลขำธกำรคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน

นำงเบญจลกษณน�ำฟำ รองเลขำธกำรคณะกรรมกำรกำรศกษำขนพนฐำน

นำงพจมำนพงษไพบลย ผอ�ำนวยกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ

คณะรวบรวม / เรยบเรยง

1. นำยปรำโมทยขจรภย ศกษำนเทศกเชยวชำญ

ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำประถมศกษำกรงเทพมหำนคร

ชวยรำชกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ

2. วำทพ.ต.ไพโรจนเอมวฒน ศกษำนเทศกช�ำนำญกำรพเศษ

ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำประถมศกษำสงขลำเขต1

3.นำยมำนตยจรโกเมศ โรงเรยนสวนกหลำบวทยำลย

ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำมธยมศกษำเขต1

4. นำงวรรณวภำสทธเกยรต โรงเรยนสำมเสนวทยำลย


5.นำยไมตรศรทองแท โรงเรยนเตรยมอดมศกษำ


6. วำทร.ต.วชรสนตอนธสำร โรงเรยนสำยปญญำ


7.นำงสำวภำวดสรยพนธ โรงเรยนพระปฐมวทยำลย


8. นำงนจวดเจรญเกยรตบวร นกวชำกำรศกษำช�ำนำญกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ

9. นำงรชทตำเชยกลน นกวชำกำรศกษำช�ำนำญกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ

10. นำยลออเพมสมบต ขำรำชกำรบ�ำนำญกระทรวงศกษำธกำร

11. นำยอดมแคกระโทก ขำรำชกำรบ�ำนำญกระทรวงศกษำธกำร

12. นำงรชนนำคนคร ขำรำชกำรบ�ำนำญกระทรวงศกษำธกำร

ปก / รปเลม

1. นำยประมขปญสร รองผอ�ำนวยกำรโรงเรยนวดหวำยเหนยว“ปณสรวทยำ”

ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำประถมศกษำกำญจนบรเขต2

2. นำยภำณวชญสโสภำ ส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ


คณะรบผดชอบโครงการพฒนาคณภาพการเรยนรสสากล

1.นำงนจวดเจรญเกยตบวร หวหนำกลมวจยและพฒนำองคกรแหงกำรเรยนร


2. นำยปรำโมทยขจรภย ศกษำนเทศกเชยวชำญ

ส�ำนกงำนเขตพนทกำรศกษำประถมศกษำกรงเทพมหำนคร

ชวยรำชกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ

3. นำงสำววรนชรงเรองเจรญกล นกวชำกำรศกษำช�ำนำญกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ

4. นำงสำวมำลกตตอดมเดช นกวชำกำรศกษำช�ำนำญกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ

5. นำงรชทตำเชยกลน นกวชำกำรศกษำช�ำนำญกำรส�ำนกพฒนำนวตกรรมกำรจดกำรศกษำ

……………………………………………….

MathBook second Ne · 2014-01-19 · เล่มที่ 2...

Documents

Transcript of MathBook second Ne · 2014-01-19 · เล่มที่ 2...