Math Stat I Diaf1 Web

7/23/2019 Math Stat I Diaf1 Web

http://slidepdf.com/reader/full/math-stat-i-diaf1-web 1/13

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος

Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

http://find/

http://goback/



Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων

∗ Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς.

σ-άλγεβρα

΄Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω.

1 A είναι µη κενή.

2 A

∈ A ⇒ A c

∈ A.

3 A 1, A 2, . . . ∈ A ⇒ A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∈ A.

τότε A ονοµάζεται σ-άλγεβρα.

Μετρήσιµος Χώρος

΄Εστω Ω είναι ένα σύνολο αναφοράς και A είναι σ-άλγεβρα, τότε ηδυάδα (Ω, A) ονοµάζεται µετρήσιµος χώρος και τα σύνολα που

ανήκουν στην A ονοµάζονται µετρήσιµα σύνολα.


http://find/

http://goback/



Τυχαία Πειράµατα

Ως Πείραµα εννοούµε µια συγκεκριµένη ενέργεια, η οποία µπορεί να

επαναληφθεί άπειρες ϕορές, κάτω από τις ίδιες συνθήκες, και σαν

συνέπεια έχει την έκβαση κάποιων αποτελεσµάτων.

1. Αιτιοκρατικά

΄Αµεση σχέση αιτίου και αποτελέσµατος αφού καταλήγουµε σε

καθορισµένο είδος αποτελεσµάτων.

2. ΤυχαίαΜας οδηγούν σε πλήθος δυνατών αποτελεσµάτων.

Παραδείγµατα.

1 Ρίψη ενός νοµίσµατος. Κ, Γ .

2 Ρίψη ενός Ϲαριού.

1, 2, 3, 4, 5, 6

.

3 Λήψη ενός χαρτιού από µια τράπουλα.

4 Πλήθος τηλεφωνηµάτων που ϕτάνουν σε ένα τηλεφωνικό κέντρο

µέσα σε µία ώρα. 0, 1, 2, . . . .

5 Μέτρηση ϐάρους, ύψους, κ.λ.π.

6 ∆ιάρκεια Ϲωής κάποιου µηχανήµατος. t : t 0.Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

http://find/



Χώρος Πιθανότητας

Το πλήθος των δυνατών αποτελεσµάτων ενός τυχαίου πειράµατος

καλείται δειγµατοχώρος. (Ω)

Τα σηµεία του δειγµατοχώρου ονοµάζονται δειγµατοσηµεία.

΄Εστω A µία σ-άλγεβρα εφοδιασµένη στον Ω, τότε A ονοµάζεται

σ-άλγεβρα ενδεχοµένων (ή γεγονότων) και κάθε µέλος της (δηλ.

σύνολο) ονοµάζεται ενδεχόµενο (ή γεγονός).

Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov )

Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο.

΄Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο (ή µια πιθανότητα) P είναι µια

συνολοσυνάρτηση, P : A → R, µε τις εξής ιδιότητες,

1

∀ A

∈ A, P ( A ) 0.

2 P (Ω) = 1.

3 Αν A 1, A 2, . . . γεγονότα ανά δύο ξένα µεταξύ τους (δηλ. A i ∩ A j = ∅,

∀i = j ), τότε P (∪∞i =1 A i ) =∞

i =1 P ( A i ).

Η τριάδα (Ω, A, P ) ονοµάζεται πιθανοθεωρητικός χώρος.


http://find/



Τυχαία Μεταβλητή

Ορισµός

΄Εστω (Ω, A, P ) είναι ένας χώρος πιθανότητας, τότε

X : Ω → R

ονοµάζεται τυχαία µεταβλητή, εάν ω ∈ Ω : X (ω) x ∈ A, ∀x ∈ R.

΄Ετσι εξασφαλίζεται η ύπαρξη της

P (ω ∈ Ω : X (ω) x ) = P ( X x ) = F (x )

Εµπειρικός Ορισµός Τυχαία µεταβλητή είναι οποιαδήποτε ποσότητα για την οποία έχει

έννοια να µιλήσουµε για πιθανότητα η ποσότητα αυτή να πάρει κάποια

τιµή ή η τιµή της να είναι µέσα σε κάποιο διάστηµα.


http://find/



Είδη τυχαίων µεταβλητών

1. ∆ιακριτού τύπου

X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής,

x 1,

x 2, . . . ,

x n , . . .

. f (x ) = P ( X = x ) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας,

Ιδιότητες:

(i ) f (x i ) 0, ∀i = 1, 2, . . ., (ii )+∞

i =

1

f (x i ) = 1.

2. Συνεχούς τύπου

X ονοµάζεται συνεχής τ.µ. αν υπάρχει f : R → R, τέτοια ώστε

P ( X ∈ B ) = B

f (x )dx

f (x ) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας,

Ιδιότητες:

(i ) f (x ) 0, ∀x ∈ R, (ii )

+∞

−∞

f (x )dx = 1.


http://find/



Ροπές τυχαίων µεταβλητών

Ορισµός - Μέση τιµή

E X =

x

x f (x ) , X διακριτή τ.µ.

+∞

−∞

x f (x )dx , X συνεχής τ.µ.

Γενίκευση

Eg ( X ) =

x

g (x ) f (x ) , X διακριτή τ.µ.

+∞−∞

g (x ) f (x )dx , X συνεχής τ.µ.

Παρατήρηση

g ( X ) = ( X

−E X )2, τότε E( X

−E X )2 = VarX διαπορά της τ.µ. X .


http://find/



Ροπές τυχαίων µεταβλητών

Ιδιότητες - Μέση τιµή1 Ec = c , c σταθερά.

2 E(aX + b ) = a E X + b

3 X 0 ⇒ E X 0.

4

|E X

| E

| X

|.

Ιδιότητες - ∆ιασπορά

1 Varc = 0, c σταθερά.

2 Var (aX + b ) = a 2VarX

3 VarX = E X 2 − (E X )2

4 VarX = E X ( X − 1) + E X − (E X )2


http://find/

http://goback/



Μέση τιµή και ∆ιασπορά γνωστών κατανοµών

∆ιωνυµική κατανοµή, X ∼ B (n , p )

f (x ) = P ( X = x ) =n

x p x (1 − p )n

−

x , x = 0,1, . . . , n , 0 < p < 1.

E X = np , VarX = np (1 − p ).

Poisson κατανοµή, X ∼ P (λ)

f (x ) = P ( X = x ) = e −λλx

x ! , x = 0,1, . . . , λ > 0.

E X = VarX = λ.

Γεωµετρική κατανοµή, X ∼ Ge ( p ) f (x ) = P ( X = x ) = p (1 − p )x , x = 0,1, 2, . . .

E X = 1 − p

p , VarX =

1 − p

p 2 .


έ ή ά

http://find/



Μέση τιµή και ∆ιασπορά γνωστών κατανοµών

Κανονική κατανοµή ή κατανοµή του Gauss, X ∼ N (µ, σ2)

f (x ) =

1

√ 2πσ2 e

−(x −µ)2

2σ2

, x ∈ R

, µ ∈ R

, σ > 0.

E X = µ , VarX = σ2.

Γάµµα κατανοµή, X ∼ G(a , β )

f (x ) = 1Γ(a )β a

x a −1 e −x /β , x > 0 , a , β > 0.

E X = a β , VarX = a β 2.

Εκθετική κατανοµή, X ∼ E (σ)

f (x ) = 1

σ e −

x σ , x > 0 , σ > 0.

Παρατήρηση: E (σ) ≡ G(a = 1, β = σ).

E X = σ , VarX = σ2.


Μ ί ί βλ ώ

http://find/



Μετασχηµατισµοί τυχαίων µεταβλητών

Θεώρηµα

΄Εστω g (·) µια παραγωγίσιµη και γνησίως µονότονη συνάρτηση. Αν X

είναι µια συνεχής τ.µ. µε πυκνότητα πιθανότητας f X

(x ), τότε η τ.µ.

Y = g ( X ) είναι συνεχής τ.µ. µε πυκνότητα πιθανότητας

f Y (y ) = f

X (g −1(y ))

dg −1(y )

dy

Παράδειγµα 1

Αν X ∼ G (n , θ), τότε Y = cX ∼ G (n , c θ), c > 0.


Αν c = 2

θ, τότε Y =

2 X

θ ∼ G (n ,2) ≡ X 22n .


Ρ ή Τ ί Μ βλ ή

http://find/



Ροπογεννήτρια Τυχαίας Μεταβλητής

ΟρισµόςM X (t ) = Ee tX , για εκείνα τα t που υπάρχει η µέση τιµή.


Αν γνωρίζουµε τη ϱοπογεννήτρια µιας τ.µ. X και υπάρχει σε µια

περιοχή του 0, τότε γνωρίζουµε την κατανοµή αυτής και αντίστροφα.

Ιδιότητες

1 M X (0) = 1

2

M aX +b = e tb

M X (at )3

d k M aX +b (t )

dt k

t =0 = E X k


Ρ ή Τ ί Μ βλ ή

http://find/



Ροπογεννήτρια Τυχαίας Μεταβλητής

Παραδείγµατα γνωστών κατανοµών

1

X ∼ B (n , p ),

M X (t ) = ( pe t + 1 − p )n , ∀t ∈ R.

2 X ∼ P (λ),

M X (t ) = e λe t −λ ,

∀t

∈ R.

3 X ∼ N (µ, σ2),

M X (t ) = e t µ+ 12σ2 t 2 , ∀t ∈ R.

Παρατήρηση : X ∼ N (0,1),

M X (t ) = e 12 t

2

, ∀t ∈ R.

4 X ∼ G(a , β ),

M X (t ) = 1

(1 − t β )a , t <

1

β .


http://find/

Math Stat I Diaf1 Web

Documents

Transcript of Math Stat I Diaf1 Web