math-gate.commath-gate.com/uploads/books/كتاب اساسيات التفاضل...

Copyright © 2010.

. All rights reserved. May not be reproduced in any form without permission from the publisher, except fair uses permitted under U.S. or applicable copyright law.

EBSCO Publishing : eBook Collection (EBSCOhost) - printed on 8/8/2017 3:04 AM via NAJRAN UNIVERSITYAN: 898864 ; .; Account: ns153310

7

2010

7

2620648 -2627203 - 2627202 - 2627201

051/2627350 2478

www.7ou.edu.ly [email protected]

9090509 - 9096379 - 90970749097073

[email protected]

2009/967 ISBN: 978-9959-55-073-6

Copyright © 2010.



http://www.7ou.edu.ly

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

نادية إمساعيل الربقلي . أ

Copyright © 2010.



ijk

ليعلم أن قد أبلغوا رساالت رهبم وأحاط مبا لديهم وأحصى كل شيء عددا⟨

hg

28

Copyright © 2010.



I

الصفحة الموضوع

أ المقدمة

1

1 المجموعات

6 العمليات على المجموعات 8 جبر المجموعات

11 خط األعداد الحقيقية 14 "اإلحداثيات المتعامدة أو الديكارتية"نظام اإلحداثيات في بعدين

15 ن في المستوى الديكارتيالمسافة بين نقطتي 17 منتصف المسافة بين نقطتين

18 معادلة الخط المستقيم 20 معادلة الخط المستقيم وطرق إيجادها

27 المتباينات 38 القيمة المطلقة 44 أمثلة محلولة

63 ملخص باللغة االنجليزية 66 تمارين على الفصل األول

69 69 ) الديكارتي(الكارتيزي ) الجداء(تعريف الضرب

71 الدالة 77 العمليات الجبرية على الدوال

79 بعض أنواع الدوال

Copyright © 2010.



II

90 الدولة المحدودة وغير المحدودة 106 بعض القوانين األساسية للدوال المثلثية

107 الدوال األسية 113 الدوال اللوغارثمية

116 الدوال الزائدية 118 الدوال المتناظرة

120 استخدام التحويالت الخطية 123 الدالة العكسية

130 الدوال الزائدية العكسية 133 اإلحداثيات القطبية

134 العالقة بين اإلحداثيات القطبية واإلحداثيات الكارتيزية 135 التناظر في اإلحداثيات القطبية

147 أمثلة محلولة 170 ملخص باللغة االنجليزية

174 تمارين على الفصل الثاني

179 180 التعريف الرياضي للنهاية

182 النهايتان اليسرى واليمنى 186 حساب نهاية الدالة

186 مبرهنات في النهايات 197 حاالت عدم التعيين

206 وال الشائعةنهاية بعض الد 210 )المستمرة(الدوال المتصلة 210 شروط االتصال

214 استمرار الدالة خالل فترة محددة 220 أمثلة محلولة

Copyright © 2010.



III

239 ملخص باللغة االنجليزية 241 تمارين على الفصل الثالث

245 253 قواعد االشتقاق

253 يةالمشتقة األولى للدوال الجبر 257 )قاعدة السلسلة(المشتقة األولى للدالة التركيبية

259 المشتقة األولى لدوال القوى 260 اشتقاق الدوال المثلثية

262 اشتقاق الدوال المثلثية العكسية 265 اشتقاق الدوال الزائدية

270 اشتقاق الدوال الزائدية العكسية 273 ةاشتقاق الدوال األسية واللوغاريثمي

274 اشتقاق الدوال األسية 276 اشتقاق الدوال اللوغارثمية 278 التفاضل الضمني للدوال

283 المشتقات من مراتب عليا 285 أمثلة محلولة

298 ملخص باللغة االنجليزية 301 تمارين على الفصل الرابع

303 303 لمنحنى) الناظم( مودي على المماسمعادلة المماس والع

308 نظرية رول 311 نظرية القيمة الوسطى

313 التزايد والتناقص 317 القيم الحرجة 1- 319 القيم العظمى والصغرى للدالة 2-

Copyright © 2010.



IV

320 القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة 3- 326 ىاختبار المشتقة األولى للقيم العظمى والصغر 4- 327 االختبار التفاضلي الثاني لتحديد القيم الصغرى والكبرى 5- 329 )االنعطاف( تقعر المنحنيات ونقاط االنقالب 6- 332 رسم المنحنيات 7- 337 تطبيقات على القيم الصغرى والكبرى 8- 340 قاعدة لوبيتال 9-

345 أمثلة محلولة 358 ملخص باللغة االنجليزية

361 تمارين على الفصل الخامس

363 363 الدوال األصلية

364 )التكامالت الشائعة( قوانين التكامل غير المحدود للدوال الجبرية 368 أمثلة محلولة

372 تكامل الدوال المثلثية 376 أمثلة محلولة

379 تكامل الدوال المثلثية العكسية 380 تكامل الدوال اآلسية اللوغارثمية

383 أمثلة محلولة 388 التكامل بالتعويض

390 تكامل بعض الصيغ المثلثية 396 التكامل بالتجزيء

403 أمثلة محلولة 409 التكامل باستخدام الكسور الجزئية

415 النظرية األساسية لحساب التكامل المحدود 417 مل المحدود خواص التكا

Copyright © 2010.



V

422 أمثلة محلولة 428 تطبيقات على التكامل المحدود

436 التكامالت المعتلة 440 أمثلة محلولة

443 ملخص باللغة االنجليزية 451 تمارين على الفصل السادس

455

491

Copyright © 2010.



أ

يبحث هذا الكتاب في أسس التفاضل والتكامل التي تعد من أهم فروع علم الرياضيات .العالمية المعاصرة

ويستخدم التفاضل والتكامل مجموعة مصطلحات خاصة عند حل مسائلها المختلفة ولذلك كان البد من استعراض تلك المصطلحات الرياضية قبل الغوص واإلبحار في فصول التفاضل

.لتكاملوا

يمدنا علم التفاضل والتكامل والذي يسميه البعض بعلم الحسبان بالوسائل الالزمة لحساب معدالت تغير الدوال بالنسبة إلى تغيرها المطلق فإذا عرفنا الزيادة في المتغير وما يقابلها من

لة إلى تغير زيادة في الدالة وجعلنا زيادة المتغير قريبة من الصفر عندها تكون نسبة تغير الدا المتغير

x

y

∆ قريبة من قيمة تدعى المشتقة والتي ستعبر عن معدل تغير الدالة إلى تغيرها ∆

. المطلق

أيضا يتعامل علم التفاضل والتكامل مع الكميات المتغيرة فمثال إذا فرضنا أن طائرة متساوية ولكن هذا ال يحدث تطير بسرعة ثابتة عندها ستقطع مسافات متساوية في أزمنة

واقعيا الن الطائرة تطير بسرعة متغيرة والبد من إيجاد طرق لحساب المسافات التي تقطعها .في أزمنة مختلفة وهذا ما يقدمه التفاضل

والتفاضل في اللغة العربية يعني الزيادة الصغيرة أو الفضل من الشيء أي البقية الباقية . عليه أسم التفاضل على هذا العلم الذي يدرس التغيرات الصغيرةولذلك أطلق العلماء العرب

يمكن اعتبار الحساب التكاملي العمل المعاكس للحساب التفاضلي ففي التكامل نبدأ من الدالة المشتقة ونحاول الوصول إلى الدالة األصلية وقد تبين أن للتكامل بأنواعه فوائد كبيرة

.عند حساب المساحات والحجوم

د درس أجدادنا األوائل هذا العلم وابتكروا فيه طرقا وأفكارا ومن الجدير بالذكر هنا لقأن العالم العربي ثابت بن قرة هو الذي أوجد حجم جسم دوائري حول محوره في القرن التاسع الميالدي في عصر الخليفة العباسي المأمون و كانت هناك أعمال كثيرة لعلماء عرب

Copyright © 2010.



ب

المجال نخص بالذكر منهم ابن الهيثم وعمر الخيام والبوزجاني وبهاء الدين ومسلمين في هذا .ألعاملي

تابع العلماء الغربيون ما مهد إليه العلماء العرب والمسلمون ويعد العالم اسحق نيوتن الذي عاش في القرن السابع عشر ميالدي مبتكر علم الحسبان الحديث حيث قدم العديد من

:لمؤلفه سميث النص التالي" تاريخ الرياضيات" وورد في كتاب الدوال والسالسل

ال يمكن أن نحدد تماما إلى من يرجع الفضل في تطوير هذا العلم في العصور الحديثة "يمثل مكانا مرموقا وخاصة في موضوع إيجاد "ستيفن "ولكن باستطاعتنا القول أن العالم

".مراكز ثقل األجسام

: العلماء الكبار أضافوا وطوروا هذا العلم وأهمهموكذلك فإن الكثير من

باروو، ديكارث، فيرما، هايفنس، ووالس، الياباني كواسيكي، والبنتز وال ننسى أعمال .العالم االسكتلندي جورج بول في القرن التاسع عشر والتي مهدت إلى ظهور علم الحاسوب

انوية والمعاهد العليا تدرس أفكار حساب التفاضل والتكامل في المدارس الث والجامعات بعد أن يكون الطالب قد درس الجبر وحل المعادالت وهندسة المستويات وحساب

.المثلثات والهندسة التحليلية وأصبح لديه فكرة عن رسم الدوال

في الواقع يحتاج الدارس للتفاضل والتكامل إلى أن يكون لديه فكرة مسبقة عن ية وحل المعادالت والمتباينات موضحة على خط األعداد والقيم المجموعات والمجاالت العدد

المطلقة ولذلك قمنا بوضع فصل خاص من هذا الكتاب لمراجعة هذه المفاهيم وتذكرة الطالب .بمجموعة من األمثلة عما درسه سابقا فيها

الب لذا فإن عملية التفاضل والتكامل ستتم على دول مختلفة وبالتالي البد من تذكير الطبالعالقات والدوال وإشكالها وطرق التعامل معها والعمليات عليها وطرق تركيبها ودراسة نطاق

ومتى تكون هذه الدوال محدودة ومتى تكون فردية أو زوجية ) القيم التي تأخذها( عملها ومداها . لألفكاركل ذلك فصلناه في الفصل الثاني من الكتاب وأوردنا عليه أمثلة مختلفة محلولة وشارحة

يقدم الفصل الثالث من هذا الكتاب دراسة شاملة لحساب نهايات الدوال والتعرف على .الدوال المستمرة والمنقطعة في نطاق عملها

Copyright © 2010.



ج

بدأنا بدراسة المشتقات والتفاضل في الفصل الرابع من هذا الكتاب وبينا الطرق المختلفة والدوال الضمنية التي ال ) قاعدة السلسلة(لحساب المشتقات للدوال البسيطة والدوال المركبة

يمكن فصل متغيراتها و الدوال اآلسية المعقدة و أوردنا عددا كبيرا من التمارين المحلولة .على جميع هذه الطرق

قدمنا في الفصل الخامس تطبيقات للتفاضل والمشتقات التي تفيد في العلوم الرياضية ودراسة ) النواظم(ت المماسات والمماسات العمودية والعلوم التطبيقية مثل حساب معادال

سلوك الدوال وتغيراتها والتعرف على قيمها المحلية الكبرى والصغرى ونقاطها الحرجة .ورسم منحياتها

يعرض الفصل السادس واألخير من هذا الكتاب مفهوم التكامل الالمحدود وطرق إيجاد فكرة عن التكامل المحدود وتطبيقاتها في حساب الدوال األصلية لمختلف الدوال، كما يقدم

المساحات والحجوم الدورانية ويقدم في ذات الوقت عددا من الطرق لحساب التكامالت مثل . التكامل بتغير المتحول أو بالتعويض والتكامل بالتجزئة والتكامل بتفريق الكسور

لطالب في المعاهد العليا و لقد راعينا عند إعداد هذا الكتاب أن نقدم كل ما يحتاجه افصوله بالعديد من الجامعات من طرق لحساب المشتقات والتكامالت وقد دعمنا كل فصل من

تذكرة الطالب بما دارسه المسائل والتدريبات المحلولة وكان هدفنا وضع تدرج منطقي يراعينخفف قدر المستطاع بالتدريج لسابقا في المرحلة الثانوية وحاولنا تطوير األفكار الرياضية

.الصعوبات ونمكن الطالب من المادة العلمية

إن اطالع الطالب على حل المئات من التمارين المحلولة سيمكنه بدون شك من استيعاب المادة العلمية ويرفع ثقته بنفسه وتحصيله العلمي ويمكنه في النهاية من حل تمارين مماثلة

.بكل سهولة

نا جداول مختصرة تعطي الطالب كل ما يحتاجه من قوانين في نهاية هذا الكتاب وضع .علمية درسها في جميع المراحل الدراسية وبينا له األخطاء الشائعة التي يقع فيها

أكتوبر وأعضاء هيئة التدريس بها وأخص 7ونتقدم بخالص الشكر والتقدير إلى جامعة كلية تقنية : وثانيا جعة الكتابسعيد جمال الدين الذي قام بمرا علي. د. أ: أوال بالذكر

مصراته على دعمهم الكامل لنا وسنسعى جاهدين النجاز الجزء الثاني والثالث -المعلومات

Copyright © 2010.



د

من هذا المؤلف بما يواكب مسيرة العلم، داعين اهللا عز وجل أن نكون قد وفقنا لما هدفنا إليه مرجعا مفيدا للمكتبة يكونكما نتمنى أن يستفيد من هذا المؤلف أكبر عدد من الطالب وأن

.العلمية العربية

..واهللا ولي التوفيق ?

2009/12/12

Copyright © 2010.



1

Set ويرجع فضل ،)الفئة(من المفاهيم األساسية في الرياضيات الحديثة مفهوم المجموعة

ويكتسب هذا المفهوم ،)1918-1854(لعالم الرياضي جورج كانترو اإلىاكتشاف هذا المفهوم حيث إنه مكن الرياضيين من التعرف على أساليب حديثة لتوحيد فروع أهمية خاصة

.الرياضيات المختلفةحتى ولو ، يتسع لألشياء المجردة واألشياء المحسوسة، ومفهوم المجموعة مفهوم عام لغتنا العربية الكثير من المفردات التي تعبر عن تجمع ففي ، يتعلق بعلم الرياضياتكان

ولكن توجد في اللغة كلمة ،خلية وغيرها ،عائلة ،باقة، فصل:مجموعة من األشياء مثل ).مجموعة( واحدة تؤدي نفس المعنى وهى

أو تجمع المعالم من األهداف التي تدعى عناصر أو أعضاء في المجموعة هي تجمع واضح ونستخدم عادة الحروف الكبيرة ، األشياء المتميزة والمعرفة تعريفا جيدامن

).......,,,( DCBAكما نستخدم الحروف الصغيرة ، للتعبير عن المجموعات)........,,,( dcbaالتي تتكون منها المجموعة ) العناصر( للتعبير عن األشياء ؛ .

:اآلتيتينيعبر عن المجموعة بإحدى الطريقتين

:طريقة الحصر أو القائمة 1-وتوضع بين قوسين على ، وتكون بكتابة جميع العناصر التي تتكون منها المجموعة

} الشكل التالي ).، (ويفصل بين كل عنصر والذي يليه فاصلة { : أمثلة

{ }{ }gfaN

A

,,

9,6,4,3

==

Copyright © 2010.



2

:طريقة الوصف 2- ، المجموعة كبير فانه يمكن التعبير عنها بكتابة عناصرها األولىإذا كان عدد عناصر

بحيث تكون كافية للتعرف على باقي عناصر المجموعة ثم توضع نقاط تدل على استمرارية .ثم يكتب العنصر األخير الذي تنتهي عنده عناصر المجموعة ، بنفس النمطالمجموعةعناصر

: مثال فإنها تكتب على 100األعداد الصحيحة الموجبة األقل من مجموعة هي Zإذا كانت

:الشكل التالي{ }99................,3,2,1=Z

: مالحظات}فمثال المجموعة ، أهميةه ترتيب العناصر في المجموعة ليس ل1- هي نفسها 3,2,1{

}المجموعة }1,2,3 . .ويفضل عدم التكرار ، المجموعة ال يزيد من عدد عناصرهاتكرار العناصر في 2-

ويمكن تحديد عناصر ،عطاء خاصية معينة تميز عناصر المجموعة عن غيرها إ يمكن3-} فمثال ،بهذه الخاصيةالمجموعة })(: xpx تمثل المجموعة التي عناصرهاx تتمتع .Ρبالخاصية

: أمثلة{ }11,7,5,3,2=A , } 0,12عدد أولى يقع بين { xxA :)1 =

{ }7,6,5,4,3=B ، { }73:)2 ≤≤∈= xINxB { }9,8,7,6=C، { }105:)3 <<∈= xINxC

:مالحظة ):(ويعني الرمز، إلي المجموعة) ينتمي ( داللة على أن العنصر لل∋)(يستخدم الرمز

).حيث إن (العبارة

ويرمز لها ،تعرف المجموعة الخالية بأنها المجموعة التي ال تحتوي على أية عناصر }خاليين دون أية عناصركما يمكن أن نرمز لها بقوسين ،)فآي(φبالرمز }.

Copyright © 2010.



3

: أمثلة } ويقع بين 5 عدد يقبل القسمة على( { 1,3(: xxA } هذا يؤدى= }=A } هذا يؤدى x: x { =B) سنة100طالب عمره يتجاوز ( { }=B

ويرمز ، Bهو أيضا فيAفإن كل عنصر من، B مجموعة جزئية منAإذا كانت

BAلذلك بالرمز )( حيث,⊇ BsAsBA إذا B جزئية من Aتكون مجموعة، ⊇⇔∋→∋ .B عنصرا من المجموعة A من المجموعة وفقط إذا كان كل عنصر

، الجزئية لهذه المجموعةلمجموعات على أنها مجموعة كل اAتعرف قوة المجموعة

} حيثAS)(ويرمز لها }AXXAS ⊆= :)(. : مالحظة

Aقوة المجموعة أي ؛ فإن عدد عناصر k يساوي A إذا كان عدد عناصر المجموعة .K2هو

:فمثال }إذا كانت }3=A فإن عدد عناصر)(AS 12 هو،

} ويكون }{ }3,)( φ=AS

}إذا كانت }6,3,0=Aفإن عدد عناصر )(AS823 سيكون =. ويكون

{ } { } { } { } { } { } { }{ }6,3,0,6,3,6,0,3,0,6,3,0,)( φ=AS. Finite and Infinite sets

عدد nحيث إن من العناصرnأو تحتوي على ، تكون المجموعة منتهية إذا كانت خالية . غير منتهي هاو تكون المجموعة غير منتهية إذا كان عدد عناصر ،صحيح موجب

Countable and uncountable sets

عدودة إذا أمكن ترقيم عناصرها باألعداد الطبيعية أي إذا وجد يقال عن المجموعة إنها

Copyright © 2010.



4

عدودة إذا لم ويقال عن المجموعة أنها غير ،ةوبين أي مجموعة أعداد طبيعي تقابل بينها .يمكن ذلك

. كل مجموعة منتهية هي مجموعة قابلة للعد-1 :حظاتمال . يوجد مجموعات غير منتهية قابلة للعد مثل مجموعة األعداد الطبيعية-2

: أمثلة ).غير منتهيةعدودة ومجموعة (مجموعة األعداد الطبيعية

).هيةغير منت وةعدودغير مجموعة (ت المارة بنقطة معينة في مستوى مجموعة المستقيما ).منتهيةعدودة ومجموعة (30، 5مجموعة األعداد الطبيعية بين

Equal sets BA أنهما متساويتانB وAيقال لمجموعتين BA إذا وفقط إذا كانت= ⊆ AB ⊆ ،

. المتساويتين هما مجموعتان تحتوى كل منهما عناصر األخرىينأي أن المجموعت :فمثال

} إذا كانت -1 }11,7,5,3,2=A13عدد أولى أصغر من {( وإذا كانت( B={x: فإنBA =

} إذا كانت -2 }7,5,3,1=A

} وإذا كانت }5,3,1=B

BAفإن B∉7 ،A∈7 . الن≠

Equivalent sets معنىوبهناك تناظر أحادى بين عناصرهما يقال عن المجموعتين أنهما متكافئتان إذا كان

.≡ويرمز لها بالرمز ،اوهما مجموعتان عدد عناصرهما متسآخر المجموعتان المتكافئتان :فمثال

}إذا كانت -1 }10,8,6,4,2,0=A

}وإذا كانت }fedcbaB BA فإن =,,,,, ≡

} إذا كانت -2 }5,3,1,0=A

}وإذا كانت }χβα ,,=B فإن A ال تكافئB الن عدد عناصر

. ثالثة Bأربعة وعدد عناصر المجموعة Aالمجموعة Universal Set

الشاملة وبمعنى آخر أن المجموعة ،هي مجموعة تحوي جميع العناصر محل الدراسة .Uويرمز لها بالرمز ية للمجموعة المدروسةمجموعة تحوي جميع المجموعات الجزئ هي

Copyright © 2010.



5

:وكأمثلة على المجموعات الشاملةمجموعة كل عناصر األعداد ،مجموعة كل العناصر التي تنتمي إلى األعداد الطبيعية

.الصحيحة وغيرها من المجموعاتInclusion

(Subset) مجموعه جزئيةA المجموعةإذا كانت Bأنها محتواة في A عن المجموعة يقال وتكتب عملية ، Bى ينتمي إلAإذا كان كل عنصر من عناصر أي ، Bمن المجموعة

BA :لتالياالحتواء على الشكل ا ⊆ } : فمثال } { }

BA

BA

⊆∴== 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,11,7,2

:بعد تعريفنا لالحتواء نستطيع أن نعرف تساوي مجموعتين كما يلي

1 .BA BA وإذا وفقط إذا كان = AB وكان⊇ ⊆ . غير موجود في B األقل عنصر واحد في المجموعة ىانه يوجد عل⊃BA ىمعن .2

.B هي عناصر في A و جميع Aالمجموعة .المجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من أي مجموعة -1 :مالحظات

.لية وحيدةالمجموعة الخا -2 .قد تكون عناصر المجموعة مجموعات في حد ذاتها -3

:تعریف B من المجموعة(Proper Subset)مجموعه جزئية فعلية Aالمجموعة

BAإذا كان ونكتـب ذلـك ,A ال يوجد في Bوهناك عنصر في, ⊇

BABA ≠⊆ BAوقد نكتبه في بعض األحيان , , ⊂.

Copyright © 2010.



6

AA

UAA

AA

cc

c

c

=

=

=

)(

U

I φ

Operations On Sets Union BAإذا كان ى تنتمي إليالعناصر التفان المجموعة التي تتكون من جميع مجموعتين ,

BAالمجموعتين تسمي اتحاد المجموعتين BA ويرمز لها بالرمز , U

{ }BxاوAxxBA ∈∈= :U :فمثال

} -1 إذا كانت }4,2,0=A

}و إذا كانت }cbaB ,,=

} فإن }cbaBA ,,,4,2,0=U } إذا كانت -2 }5,3,1,0=A و إذا كانت{ }2,1,0=B

} فإن }5,3,2,1,0=BAU

Intersection : BAإذا كانت بين ن المجموعة التي تتكون من العناصر المشتركةفإ ،ين مجموعت,

BAالمجموعتين BAتسمي تقاطع المجموعتين , BA ويرمز لها بالرمز, I { }BxوAxxBA ∈∈= :I

:فمثال}إذا كانت -1 }4,2,0=A

}إذا كانت و }cbaB φ=BA فإن =,, I

} إذا كانت -2 }5,3,1,0=A

}إذا كانت و }2,1,0=B فإن { },1,0=BAI

على أنها مجموعة كل العناصر غير المنتمية إلى المجموعةAتعرف مكملة المجموعة

A ، ويرمز لها بالرمز ، المجموعة الشاملةى إلانتمائهابشرطcA، أي أن: { }UxAxxA c ∈∉= ,:

ومكملة المكملة ،طع المجموعة مع مكملتها يعطي مجموعة خاليةاتقستنتج أن ومن هذا التعريف ن :وكذلك إتحاد المجموعة مع المكملة يعطي المجموعة الشاملة كالتالي ،يعطي المجموعة األصلية

: فرق مجموعتينBAإذا كانت BA المجموعتين مجموعتين؛ فإن فرق, هو المجموعة التي تتكون −

BAويرمز لذلك بالرمز ،Bوال توجد في ،Aمن جميع العناصر التي توجد في − { }BxوAxxBA ∉∈=− :

Copyright © 2010.



7

BAإذا كانت BA؛ فإن ⊇ ،Aبالنسبة للمجموعة B سمى مكملة المجموعة ت−

على الرغم من أن المجموعة الشاملة بالمعنى المطلق غير .CBويرمز لذلك بالرمز موجودة فإنه في كل حالة نتعامل فيها مع المجموعات تكون هناك مجموعة شاملة نسبية

، نستطيع أن نفترض IN عند التعامل مع مجموعة األعداد الطبيعية :ى سبيل المثالفعلونرمز عادة للمجموعة الشاملة (هي المجموعة الشاملة ) مجموعة األعداد الصحيحة (Zبأن

BABU؛ فإنU المجموعة الشاملةهيAإذا كانت) Uبالرمز ،B تسمي مكملة−=− : بطريقة أخرى ، وهيCBتعريف نستطيع CBويرمز لها بالرمز

{ }BxxB C ∉= : :مثال} إذا كانت } { }8,6,5,4,3,2,7,5,3,1 == BA، المجموعة الشاملة كانتو }هي }10,,,4,3,2,1=U فأوجد: BABABAB c UI ,,, −. :الحل

{ }{ }{ }

{ }10,9,7,1

7,1

5,3

8,7,6,5,4,3,2,1

=

=−==

cB

BA

BA

BA

I

U

:مثال} إذا كانت } { }6,5,3,2,8,4,2,1 == BA المجموعة الشاملة وكانت

}يه }10,........2,1=U فأوجد: BABABAB c ∪∩− ,,,. : الحل

{ }{ }{ }

{ }10,9,8,7,4,1

8,4,1

2

8,6,5,4,3,2,1

=−=

=−=∩=∪

BUB

BA

BA

BA

c

:مثال} ،إذا كانت }7,5,3,2=C ،{ }9,7,5,3,1=B ،{ }9,4,1=A، والمجموعة الشاملة هي

{ }9,8,7,6,5,4,3,2,1=U:

Copyright © 2010.



8

ccc :فأوجد CAB ,,BABABAABC cc UIUI ,,,)( −. { }8,7,6,5,3,2=cA , { }8,6,5,4,2=cB , { }9,8,6,4,1=cC : الحل ,

{ }9,7,5,4,3,1=BA U { }7,5,3=BAc I , { }4=− BA ,

CBAإذا كانت : ثالث مجموعات فإنه يمكننا إثبات العالقات التالية,,ABBA التبديل -1 ∪=U وABBA II =. CBACBA التنسيق -2 UUUU )()( CBACBAو = IIII )()( =.

)()()( التوزيع -3 CABACBA IUIUI =.

AAUAAAA التكميل -4 cccc === )(UI φ.

ccc مورجانود قانوني -5 BABA IU ccc و)(= BABA UI =)(

:وإلثبات العالقات الجبرية بين المجموعات هناك عدة طرق منها

:المجموعاتعمليات على الباستخدام 1-ABBAلنبرهن أن UU : لعمليات والتعاريف األساسية للمجموعاتا باستخدام =

ABxAxأوBxBxأوAxBAx UU ∈⇔∈∈⇔∈∈⇔∈ ABBA :منها UU = ABBAلنبرهن أيضا أن II =: ABxAxوBxBxوAxBAx II ABBA :منها ∋⇔∋∋⇔∋∋⇔∋ II =

:لمثا} إذا كانت }7,5,3,2=C،{ }9,7,5,3,1=B،{ }9,4,1=A،

CBACBA :أثبت أن IIII )()( )()()( و = CABACBA IUIUI = ABBAو UU =

:الحل} :واضح أن } { }9,7,5,4,3,2,19,7,5,4,3,2,1 =

= ABBA UU ، { } { }9,19,1

)()()(

== CABACBA IUIUI،

{ } { }== CBACBA IIII )()(

Copyright © 2010.



9

.ينلسابقة نستطيع إثبات باقي القوانوبنفس الطريقة ا

:باستخدام جداول االنتماء 2-

ويتكون جدول االنتماء من أسطر ،تستخدم جداول االنتماء؛إلثبات قوانين المجموعاتويعتمد عدد أسطر هذه الجداول على عدد ، يشتمل كل سطر على احتماالت االنتماء

فإن الجدول سيتكون ؛فإذا كان لدينا مجموعة واحدة ،قة بينهاالمجموعات المراد إثبات العالوبصفة ، أسطرعةفإن الجدول سيتكون من أرب؛ أما إذا كان لدينا مجموعتان، من سطرين

تشير إلى n حيثn2 يمكن تحديده باستخدام العالقة االنتماءعامة فإن عدد أسطر جداول كما سيتضح من خالل استخدام هذه الجداول في إثبات بعض العالقات ،دد المجموعاتع

:السابقة .قانون التبديل –إلثبات :؛ فإن إثبات هذه العالقة كالتالي مجموعتين ,BAإذا كان 422 صفوف من العالقة4ن جدول يتكون من نكو =:

AB I BAI B A ∈ ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∈

∉ ∉ ∈ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉

.من تطابق العمودين الثالث والرابع نثبت صحة عالقة التبديل .قانون التنسيق -

CBA إذا كانت CBACBA ثالث مجموعات أثبت أن,, IIII )()( حيث إن :=823واالنتماء هالقانون يحتوي علي ثالث مجموعات؛ فإن عدد األسطر في جدول ،أسطر=

:كما هو مبين بالجدول التالي

Copyright © 2010.



10

CBA II )( )( CBA II CA I BA I C B A ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∈ ∉ ∈ ∈

∉ ∉ ∉ ∉ ∈ ∉ ∈

∉ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉ ∈

∉ ∈ ∈ ∉ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉ ∈ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉ ∈ ∉ ∉

∉ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉

CBACBAمن الجدول نالحظ أن IIII )()( العامودان الممثالن في جدول نال=

. يحتويان على نفس رموز االنتماءاالنتماء

Copyright © 2010.



11

The Real numbers line يتكون خط األعداد من ،في هذا البند سنقدم عرضا موجزا لبنية نظام األعداد الحقيقية

واألعداد الصماء ،)العادية(الكسرية األعداد إلى نظامي جميع األعداد التي يمكن تقسيمها : على الشكل التالي

∞+−−−

∞− →←.............3210123..............

Natural NumbersThe ويمكن الحصول على عدد منها بجمع ، INويرمز لها بالرمز ،العدوهى أعداد نظام } إلى نفسه عدد من المرات حيث1العدد }..........,.........3,2,1=INهي مغلقة بالنسبة و

أي أن (ولكنها غير مغلقة دائما بالنسبة لعمليتي القسمة والطرح ،لعمليتي الجمع والضربولكن بالنسبة ،حاصل جمع أو ضرب أي عددين طبيعيين ينتج عنها عدد طبيعي أيضا

ي وها طبيعيالعمليتي القسمة والطرح ألي عددين طبيعيين ال يكون بالضرورة نتاجها عدد .جموعة غير منتهيةم

Integer NumbersThe وهذه المجموعة ،وهى األعداد الطبيعية مضافا إليها الصفر وسالب األعداد الطبيعية

ويرمز ، مغلقة على عملية القسمةلكنها غيرو ،مغلقة تحت عمليات الجمع والضرب والطرح} :حيثI أوZاألتيلها بالرمز }..........,3,2,1,0 ±±±=Z مجموعة غير منتهية يوه .

The Rational Number

على شكل التي تكتب وهى األعداد b

a حيث ba ويرمز ،b≠0 عددان صحيحان و, :أي أن Q بالرمز) الكسرية( ألعداد العاديةلمجموعة ا

≠∈= 0,,: bZba

b

aQ، وهذه

أن أي عدد نالحظ ،وكذلك القسمة ، والطرحالمجموعة مغلقة تحت عمليات الجمع والضرب يكون العدد القياسي aصحيح

1

a. ررعددا عشريا غير منته ومتك أو، 256.0 أن يكون عددا عشريا منتهيا مثلإما :العدد الكسري

272727.0.............. :مثل المقاطع11

3,............33333.0

3

1==.

Copyright © 2010.



12

The Irrational Numbers

هو العدد الذي ال يمكن كتابته على شكل الكسريالعدد غير b

a، حيثba يمثالن ,أي أن األعداد غير العادية هي األعداد الحقيقية التي ال تكون أعدادا ،عددين صحيحين

: أي أنcQويرمز لمجموعة األعداد غير العادية بالرمز ،عادية

∈∀≠= Zba

b

arrQ c ,,:

)سريةكال(بعض أمثلة األعداد غير العادية ..........41421356.12,.......14159265.3 ==π

The Real Numbers التي ال نستطيع التعبير عنها وتلك ، األعداد الحقيقية هي كل األعداد العادية وغير العادية

والذي نعبر عنه بقيم تقريبية ،محيط الدائرة التي نصف قطرها الوحدةنصف مثل ،بكسور.......14159265.3=π ويرمز لها بالرمز، غيرهاوIR ،أي أن:cQQIR U= تمثل األعداد

والعكس صحيح ، قابل كل عدد حقيقي نقطة واحدة فقطيحيث ، الحقيقية بنقط على خط أفقيويسمى هذا الخط ، أي أن كل نقطة على الخط األفقي يقابلها عدد حقيقي واحد فقط، كذلك

)Real Line( قي أو خط األعداد الحقيقيةبالخط الحقي

∞+−−−

∞− →←.............3210123..............

. بمعنى أن مجموعة األعداد الحقيقية غير منتهية) يشير إلى ما ال نهاية ( ∞حيث الرمز :مالحظة

،Zلصحيحة مجموعة جزئية من مجموعة األعداد ا INإن مجموعة األعداد الطبيعية واألخيرة مجموعة جزئية من ،Qوهى بدورها مجموعة جزئية من مجموعة األعداد العادية

:، أي أنIRمجموعة األعداد الحقيقية IRQZIN ⊆⊆⊆.

Copyright © 2010.



13

cbaإذا كانت :أعدادا حقيقية ، فإن ,, ba baو ،عدد حقيقي + .عدد حقيقي −

ba و ،عدد حقيقي ×b

a 0حيث≠bعدد حقيقي . محايد بالنسبة لعملية الجمع ر ال عدد حقيقي ، وهو العنص0 .عدد حقيقي ، وهو العنصر المحايد بالنسبة لعملية الضرب 1

)( جمعي )نظير( معكوسa لكل عدد حقيقي a−. ضربي) نظير( ال يساوى الصفر معكوسaلكل عدد حقيقي

a

1 .

Copyright © 2010.



14

The Rectangular two Dimensions Coordinate system

أعداد متعامدين عند نقطة األصلييتكون نظام اإلحداثيات في بعدين من تقاطع خط ويقسم ،yوالمحور الرأسي بالمحور ،xت األفقي بالمحورويسمى محور اإلحداثيا ،)0,0(

وتحدد كل نقطة (quaolrant) يسمى كل جزء منها ربع ، إلى أربعة أجزاء متساويةيالمستو),(يرمز له بالرمز ،" ordered pair" ثنائي مرتب يفي هذا المستو yx، ختلف إشارات و ت

: عددان حقيقيان موجبانx ،yوتكون كالتالي بفرض ،حسب موقعها في المستوى اإلحداثيات),(في الربع األول yx، والربع الثاني),( yx−، والربع الثالث),( yx ع الرابع أما في الرب، −−

),( فهي النقطة yx plane) )يالكارتيز(ويسمى هذا المستوى أحيانا بالمستوى الديكارتي . −

Rectangular Cartesian Coordinates) ؛ )1596-1650(نسبة إلى الرياضي الفرنسي ديكارت في بعدين يز الكارتيييرمز للمستو. حيث كان أول من استخدم نظام اإلحداثيات في بعدين

} :حيث 2IRبالرمز }IRyxyxIRIRIR ∈=×= ,:),(2

)3,4( لرسم النقطة :فمثال نتحرك أربع وحدات في االتجاه الموجب لمحور السينات −

)3,4(وعند التقاطع تكون النقطة ،وثالث وحدات في االتجاه السالب لمحور الصادات −.

y

x 3- 2- 1- 1 2 3 4 5

3

2

1

-1

-2

-3

),( yx ),( yx−

),( yx − ),( yx −−

y

x 3- 2- 1- 1 2 3 4 5

3

2

1

-1

-2

-3

)3,4( −•

Copyright © 2010.



15

Distance Between two points 2إذا كانت

2211 ),(,),( IRyxByxA BA بين النقطتينd المسافةعندئذ إليجاد ،∋ , ن المثلث نكوABCقائم الزاوية في C.

),( هو Cأن إحداثيات النقطة :نالحظ 12 yx، وبما أنCA, على خط أفقي واحد فان 12 تساوىCAالمسافة xx CBناوكذلك النقطت ،− ان المسافةعلى خط عمودي واحد؛ ف,

BC 12 تساوي yy −.

، نجد أنثمن نظرية فيثاغور222

BCACAB :أي أن =+222

BCACABd +==

:اإذ2

12

2

12 yyxxd −+−= 22 وبما أن

xx )()(2 :فان = 122

12 yyxxd −+−= .صيغة بصيغة المسافة وتسمى هذه ال

:مثال .−)7,3(,)5,2(أوجد المسافة بين النقطتين :الحل

212

212 )()( yyxxd −+−=Q

29425)57()23( 22 =+=−+−−=∴ d

x

y

),( 11 yxA 12 xx − ),( 12 yxC

12 yy −

),( 22 yxB

Copyright © 2010.



16

:مثال

)3,1(,)1,6(,)5,2(ط ااثبت أن النق −−− CBA هي رؤوس مثلث قائم الزاوية .وأوجد مساحته

:ين نجدستخدام قانون المسافة بين نقطتبا : الحل

22 ))3(1())1(6(

),(

−−+−−

=BAd

65)4()7( 22 =+= 22 )15()62(),( −−+−=cBd

52)6()4( 22 =−+−= 22 ))3(5()1(2(),( −−−+−−=cAd

13)2()3( 22 =−+=

222BCACAB +=Q

222 )13()52()65( = 135265 +=

6565 = C قائم الزاوية فيABC لث إذن المث

C القائم الزاوية في ABCنوجد مساحة المثلث = مساحة المثلث

2

االرتفاع × القاعدة 1

)()(2

1BCACA ×=

13.4.132

152.13

2

1=

)2.(1313.13 ة مربعةوحد2

1==

y

)3,1( −−A

)5,2( −C

)1,6(B

x

Copyright © 2010.



17

Middle of Line Piece ),(,),(إن إحداثي نقطة منتصف المسافة بين نقطتين 2211 yxByxAهي :

++

2,

22121 yyxx

:مثال

1)3,2(ة التي تنصف القطعة المستقيمة الواصلة من النقطMأوجد النقطة −Ρإلى النقطة )2,4(2 −Ρ، 21وارسم النقط ,, ΡΡM، أن ثم تحقق من),(),( 21 MdMd Ρ=Ρ.

:الحل Q نقطة المنتصف M هي :

++

=2

,2

2121 yyxxM

)2

1,1(

2

)2(3,

2

42

=

−++−

=

M

M

261

461

2)21

3(2)12(1

==

−+−−=Ρ M),d(

2

61

4

612)2

12(2)14(2 ==−−+−=M),d(p

),(),( 21 MdMd Ρ=Ρ∴

),(,)3,2( بين النقطتين سافة التي تجعل المxاوجد قيمة :مثال −xx وحدات5 مساوية .

)()(من قانون المسافة بين نقطتين :الحل 122

12 yyxxd −+−= 22 )3()2(5 −++= xxبتربيع الطرفين نحصل على

)3()2(25 2 −++= xx 01222 2 =−− xx 3)(2(0 ومنها( =+− xx

x=3 أو x=2 بذلك فإن قيمة

)5.0,1(m

P2

P1 y

x

Copyright © 2010.



18

Equation of straight line وذلك ، الخط المستقيملة إيجاد معادطرق دراسة الرياضياتمن الموضوعات الهامة في

.بعد معرفة ميله وعالقة المستقيمات ببعضها yxني هو قياس معدل التغير النسبي لالحداثي: (slope)ميل المستقيم ),(للنقطة , yx كلما

:ليكما في الشكل التا ،BAتحركنا على المستقيم

:نالحظ أن . ألي نقطتين عليه قسمة فرق الصادات على فرق السيناتارجخميل المستقيم هو -العمودي له ميل )الرأسي( ، أي أن المستقيم∞ يساوي) الرأسي( العموديميل المستقيم -

.غير معرف :مالحظات

كلما تحركنا من اليسار إلى اليمين فإن المستقيم يتجه إلي أعلى ؛m<0إذا كان -1 .) حادة زاوية الميل(

لما تحركنا من اليسار إلى اليمين فإن المستقيم يتجه إلى أسفل ك؛m>0إذا كان -2

) .زاوية الميل حادة( -3أو ،قيم مع محور السينات التي يصنعها المستθهو ظل الزاوية mميل المستقيم -4

. θtan=m :أي أن ،المستقيم الموازي لمحور السينات

:تعریف),(,),(عمودي وأن) رأسي( مستقيم غيرL لنفترض أن 2211 yxByxA نقطتان

:ليه كما يلي يمكن الحصول ع mوالذي سنرمز له بالرمزL فإن ميل المستقيم, عليه

12

12

xx

yym

−−

=

θ),( 11 yxA

)( 22 yxB −

)( 12 yy −

)( 12 xx − x

y

Copyright © 2010.



19

: 21؛ فإن 2mهو2L يموميل المستق، 1mهو1Lإذا كان ميل المستقيم mm إذا وفقط إذا =

.2Lي يواز1Lنكا

121؛ فإن 2mهو2L وميل المستقيم ،1mهو1Lإذا كان ميل المستقيم −=× mm إذا وفقط .2L عمودي على 1Lكان :مثال)1,1(,)1,2(إذا وقعت النقطتان )4,0(,)0,2( ؛ ووقعت النقطتان1L على المستقيم − −

.مان متوازيين أو متعامدين فحدد ما إذا كان المستقي ،2L على المستقيم :الحل

212

111 =

−+

=m ، 22004

2 =+−

=m 21 متوازيان ؛ ألن 2L 1L المستقيماناإذ mm = :مثال)6,5(,)2,1( يمر بالنقطتين1Lإذا كان المستقيم الذي يكون عمودي على 2L فأوجد ميل−

.1Lالمستقيم :الحل

2

4

8

15

)2(61 ==

−−−

=m

: فإن1Lعمودي على 2Lبما أن 2

112

12

−=→

−= m

mm

:مثال)6,2(,)2,6( بالنقطتين1L المستقيم مرإذا الذي يكون عمودي على 2L أوجد ميلف ،−−

.1L الموازي للمستقيم 3Lو 1L المستقيم :الحل1L 1 ميل أوال نوجد

4

4

26

621 ==

−+−

=m 2 لمي يكون ومنهاL12هو −=L أما 13 يكون 3Lميل =L السابق عريفالت حسب.

Copyright © 2010.



20

++=0العامة لمعادلة المستقيم هي المعادلة CyBxA، حيث CBA ،أعداد ,,

العامة الصورة تكون بذلك . في آن واحد اصفرBو A كال منويشترط أال يساوي هي المستقيم خط لمعادلة

B

Cx

B

Ay m بوضع =−−

B

Abو المستقيم ميل تمثل وهي =

B

C المقطوع الجزء تمثل =

.y من

General Equation: العامة لمعادلة المستقيممعادلةدراسة ال+=0 فإن؛C=0 إذا كان yBxAومنها : x

B

Ay

−=

وهي معادلة مستقيم يمر بنقطة األصل وميله B

Am

−=

:فمثال xy

3

8 وميلهي معادلة مستقيم يمر بنقطة األصله =−

3

8−.

+=0فإن A≠0و B=0إذا كان CxAها ومن: A

C−=x ويقطع جزءا من محور السينات ، وهي معادلة مستقيم رأسي يوازي محور الصادات

مقدارهA

C− . :فمثال

4

9−=x هو مستقيم يوازي المحور 'yy ويمر بالنقطة

−

0,4

9

0,0إذا كان ≠= BA 0فإن=+ CyBومنها : B

Cy −=

ويقطع جزءا من محور الصادات مقداره ،وهي معادلة مستقيم يوازي محور السيناتB

C−.

:فمثال

5

2=y هو مستقيم يوازي المحور'xxلنقطة ويمر با

5

2,0.

Copyright © 2010.



21

:Point – slope form معادلة المستقيم بداللة ميله ونقطة عليه 1-),(يمر بالنقطة ) رأسيغير ( Lلنفرض أن المستقيم 11 yx، وأن ميلهm نأخذ أي نقطة

),( مةعا yxpعلى المستقيم Lفنجد من صيغة الميل أن 1

1

xx

yym

−−

=

)()( وهذا يكافئ 11 xxmyy −=− . ونقطة عليهه ميلةبمعلومي Lوهذه هي صيغة معادلة المستقيم

:مثال)7,5(لنقطة أوجد معادلة المستقيم المار با 0436ويوازي المستقيم ، − =−+ yx.

: الحل)7,5(معادلة المستقيم المار بالنقطة : هي−

)5()7(

)()( 11

−=+−=−

xmy

xxmyy

Q0436 المستقيم يوازي المستقيم =−+ yx

23

6−=

−=m

: معادلة المستقيم هي∴

32

1027

)5(27

=++−=+

−−=+

xy

xy

xy

:مثال

)7,1(,)2,3(أوجد معادلة المستقيم العمودي على المستقيم الواصل بين النقطتين −BA .ABمنتصف عند :الحل

: إحداثي منتصف قطعة مستقيمة هي )

2y

,2

(p 2121 yxx ++=

( وبالتالي يكون 2

91,()

2

27,

2

3)(1(p −=

+−+=

Copyright © 2010.



22

Q المستقيم عمودي على المستقيم الواصل بين النقطتين 121 −=×∴ mm

45

1372

112

121 −

=→−−

−=

−−

= mxxyy

m

5

4

4511

221

2 =→

−

−=→

−= mm

mm

)()( معادلة المستقيم هي ∴ 222 xxmyy −=−

02245

124105)3(54

)2(

=−−

+=−→+=−

xy

xyxy

:مثالأوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة

−

2

10وعمودي على المستقيم 4,

9

842 =−+ yx.

:الحلQ معادلة المستقيم المار بالنقطة

−

2

1 : هي4,

)4(21

)()( 11

+=

−

−=−

xmy

xxmyy

Q0مستقيم عمودي على المستقيم ال

9

842 =−+ yx

Q ميل هذا المستقيم هو 2

1

4

21

−=

−=m

2m ميل المستقيم العمودي هو ∴2

2

111

221

2 =→−−

=→−

= mmm

m

: معادلة المستقيم هي∴

2

172

2

18282

2

1

)4(22

1

+=

++=→+=−

+=−

xy

xyxy

xy

Copyright © 2010.



23

:Two points- formمنهمعادلة مستقيم بداللة نقطتين 2-),(إذا كانت النقطتان 22 yxB و ),( 11 yxA تقع على المستقيم L، فإن ميله mهو

12

12

xxyy

m−−

),(ولتكن ،نختار إحدى النقطتين ،= 11 yxA، والميل الذي حصلنا عليه،

)()( ونستخدم الصيغة السابقة 111 xxmyy −=−.

)( :أي أن 112

121 xx

xx

yyyy −

−−

=−

),(,),(وهذه هي معادلة المستقيم المار بنقطتين معلومتين 2211 yxByxA. :مثال

)4,1(,)2,3(عين معادلة المستقيم المار بالنقطتين −. :الحل

)(: نجدباستخدام صيغة النقطتين 112

121 xx

xx

yyyy −

−−

=−

73

)3(3124

2

=+

−−+

=+

xy

xy

:مثال

أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين

3

7,

2

1,

4

1,

8

2.

:الحل

)(: نجدباستخدام صيغة النقطتين 112

121 xx

xx

yyyy −

−−

=−

21

49

42

25168

392

84

50

3

7

168

50

84

50

2

1

84

50

3

7

2

1

2

712

25

3

7

2

1

2

1

8

23

7

4

1

3

7

+−

=

+−

=→++−

−

−=

−→

−

−

=

−→

−

−

−=

−

xy

xyxy

xyxyxy

Copyright © 2010.



24

:ادلة المستقيم بداللة ميله والجزء الذي يقطعه من محور الصاداتمع -3Slope – Intercept form

فإذا ، mوأن ميله ،b يقطع جزءا من محور الصادات مقدارهLلنفرض أن المستقيم )()( :استعملنا صيغة الميل ونقطة نجد أن 111 xxmyy −=−

bxmy وهذا يكافئ += m من محور الصادات وميله bوهي معادلة المستقيم الذي يقطع الجزء

:مثال

أوجد معادلة المستقيم الذي ميله 2

ويقطع −14

.ن محور الصاداتم 3 :الحل

bxmy: صيغة الميل والجزء المقطوع من محور الصادات هي منها نحصل على=+

4

3

2

1+

−= xy 342 :وهذا يكافئ =+ yx

:مثال0 المستقيم يأوجد معادلة المستقيم الذي يواز

4

54

2

1=++ yx ويقطع

2

من محور 1 الصادات

:الحل Q 0 المستقيم يوازى المستقيم

4

54

2

1=++ yx

ميله هو ∴8

1

42

1−

=−

=m Qصيغة الميل والجزء المقطوع من محور الصادات هي : bxmy +=

:نجد 2

1

8

1+

−= xy

y

),0( b L

x

b •

Copyright © 2010.



25

),(معادلة المستقيم الموازي لمحور السينات ويمر بالنقطة 4- 11 yx : Equation of a Horizontal line

ألن اإلحداثي ، m=0 أي يوازي محور السينات فإن ميله؛أفقيLبما أن المستقيم ),(إذا كانت. 1yنقطة هوالصادي ألي yxنقطة عامة على المستقيم Lفإن :

11 0 yyyy =→=− ),(وهى معادلة المستقيم األفقي المار بالنقطة 11 yx:

:مثال .)1,2( بالنقطةوالمارأوجد معادلة المستقيم األفقي

:الحل),(معادلة المستقيم األفقي الذي يمر بالنقطة 11 yx 1 هيyy = y=1 المعادلة المطلوبة هي ∴

:مثال أوجد معادلة المستقيم األفقي الذي يمر بالنقطة

4

3,

5

3.

:الحل),(معادلة المستقيم األفقي الذي يمر بالنقطة 11 yx 1 هيyy = :المعادلة المطلوبة هي ∴

4

3=y

),( بالنقطةوالمار رأسيمعادلة المستقيم ال 5- 11 yx: A vertical line ،رأسيا أي يوازي محور الصاداتL بما أن المستقيم

وإذا ،1xوأن اإلحداثي السيني ألي نقطة عليه هو),(كانت yxنقطة عامة على المستقيم L 01 :فإن =− xx

لمستقيم الرأسي والمار بالنقطة وبذلك تكون معادلة ا),( 11 yx1 : هيxx =

y ),( yxB ),( 11 yxA

L

x

L

),( yxB

),( 11 yxA

x

y

Copyright © 2010.



26

:مثالأوجد معادلة المستقيم الرأسي الذي يمر بالنقطة

41

,53.

:الحل),(معادلة المستقيم الرأسي الذي يمر بالنقطة 11 yx هي

1xx = المعادلة المطلوبة هي ∴

5

3=x

:مثال . متوازيانx=−2 وx=5برهن أن المستقيمان

:الحل .بما أن المستقيمان رأسيان فإن كل منهما يوازي محور الصادات وبالتالي هما متوازيان

1L 2L

x •

•

x−

:مثال . متعامدانy=2 وx=3برهن أن المستقيمان

:الحلبما أن المستقيم األول رأسي والمستقيم الثاني أفقي فإن األول يوازي محور السينات والثاني

يوازي محور الصادات فنهما متعامدان

•

•

2-

2

3 L2

L2

L1

Copyright © 2010.



27

Inequalities ≤≥<> :ييمكن تعريف إشارات المتباينة على النحو التال التي تدعى و، ,,,

:أكبر أو يساوي على الشكل التالي، ر أو يساويأصغ ،أكبر، أصغر:على الترتيب yx xy تعني أن > . موجب− xy xy تعني أن > . سالب− yx xy تعني أن ≥ . ليس سالبا− xy xy تعني أن ≥ .ليس موجبا −

yxوهندسيا على محور األعداد الحقيقية تعني العبارة تكون على خط x أن النقطة > .yاألعداد على يسار النقطة

•

y •

x :فمثال

1( 43 34 أو > .3 أكبر من 4 أو 4 أصغر من 3 تعني أن< 2( 5≤x تعني أن x 5فهو أي عدد حقيقي ال يزيد عن ،5 عدد حقيقي أصغر أو يساوي. 3( 62 << x تعني أن x من وأصغر2وهو أكبر من ، 6 ،2 أي عدد حقيقي موجود مابين

6 . Properties of Inequalities

cbaإذا كانت ,,أعدادا حقيقة فإن : ba إذا كان ) 1 cb و > caفإن > < ba إذا كان ) 2 cbca فإن > ±<± baإذا كان ) 3 cbcaفإن c<0 و > . c ألي عدد حقيقي ×>×baإذا كان ) 4 cbcaفإن c>0 و > . c ألي عدد حقيقي ×<×0فإن a<0إذا كان ) 5

1>

a0 فإن a>0 وإذا كان

1<

a .

baإذا كان ) 6 فإن 0>>ba

11>.

×<0إذا كان ) 7 ba من فإن كال ba, إشارة واحدة . ×>0إذا كان ) 8 ba فإن كال منba, ذات إشارة مختلفة عن اآلخر . baإذا كان ) 9 dcو > dbca فإن > +<+.

Copyright © 2010.



28

:فمثال 1( 21 42 و > 41 هذا يؤدي إلي > <. 2( 21 3231 وبالتالي > +<+ ، 3231 −<−. 3( 52 3532 وبالتالي > ×<× . 4( 52 2)3(5)3( وبالتالي > −×>−×. 5( 02 0 وبالتالي <

2

102 و < 0 وبالتالي −>

2

1<−.

6( 32 وبالتالي >3

1

2

1>.

7( 032 02 وبالتالي ×< >، 03 >. 0)3()2( 02 وبالتالي −×−< <−، 03 <−. 8( 0)3(2 02 وبالتالي ×−< >، 03 <−.

03)2( 02 وبالتالي −×> <−، 03 >. 9( 32 54 و > 5342وبالتالي > +<+.

Intervals :تعريف

:ولها أحد األشكال التالية، IRالفترة هي مجموعة جزئية من مجموعة األعداد الحقيقية Interval Closedالمغلقة ) المجال(الفترة -1

],[ويرمز لها بالشكل ba حيث ba من محور وتشكل مجموعة األعداد الحقيقية، >baاألعداد الحقيقية الواقعة بين العددين baمتضمنا الطرفين ، , )رياضيا( وتكتب، ,

:على الشكل}:{],[ bxaIRxba ≤≤∈=

a b Interval Open المفتوحة) المجال(الفترة -2

[ويرمز لها بالرمز [ba, أو( )ba, حيث ba من وتشكل مجموعة األعداد الحقيقية>baالواقعة تماما بين العددين محور األعداد الحقيقية :على الشكل) رياضيا(وتكتب ، ,

( ) }:{, bxaIRxba <<∈= a b

Copyright © 2010.



29

( ) IRx =∞<<−∞=∞∞− }{,

Half Closed Half Open)(Interval نصف المغلقة نصف المفتوحة أو) المجال( الفترة -3

]ويمز لهما بالرمز )ba, أو( ]ba, ، على الشكل) رياضيا(وتكتب: ( ] }:{, bxaIRxba ≤<∈=

a b [ ) }:{, bxaIRxba <≤∈=

a b :مالحظة

وعندها ،يمكن ألحد طرفي الفترة أو كالهما أن يكون في الالنهاية الموجبة أو السالبة .سيكون ذلك الطرف مفتوحا

∞∞− .الحقيقية التالية على شكل فتراتأكتب مجموعات األعداد :فمثال

} إذا كانت )1 }31: ≤≤∈= xIRxA فإن [ ]3,1=A. } إذا كانت )2 }61: ≤<−∈= xIRxB فإن ( ]6,1−=B. } إذا كانت )3 }104: <<∈= xIRxC فإن ( )10,4=C. } إذا كانت )4 }73: <≤∈= xIRxD فإن [ )7,3=D. } إذا كانت )5 }xIRxE <∈= ) فإن :8 )∞= ,8E. } إذا كانت )6 }2: −≤∈= xIRxF فإن ( ]2,−∞−=F.

:بعد التعرف على أنواع الفترات نتطرق إلي حل أنواع المتباينات على النحو التالي+<0حل المتباينة -أ bax:

:لحل المتباينة الخطية نتبع الخطوات التالية +=0نحل المعادلة -1 bax نجد الجذرف

ab

x−

= ، 0≠a.

:ننظم جدوال لدراسة إشارة المقدار من الشكل -2

∞ ab− ∞− x

a 0=+baxعكس إشارة a 0نفس إشارة .نوجد الفترة الموافقة إلشارة المتباينة -3

Copyright © 2010.



30

: مثال

212 أوجد حل المتباينة >+x. :الحل

إلي طرفي المتباينة) 1-( يتم حل هذه المتباينة بإضافة

12112 −>−+x 12 هذا يودي إلي >x نحصل على2 بالقسمة على 2

1>x وبذلك

يكون الحل الفترة

∞,

2

1.

: مثال

}:5{,}:5{ إذا كانت ≤=−≥= xxAxxB أوجدBABA I,− ،موضحا الحل على خط األعداد. :الحل

∞−∞−

••

55 ]5,5[−=BA I

∞−∞−••

505o

)5,(BA −−∞=−

: مثال73211 يا على خط األعداد أوجد حل المتباينة ومثلها بيان <−≤− x.

:الحل1028لإلطراف ) 3( بإضافة <≤− x 54نجد ) 2( وبالقسمة على <≤− x

−]5,4(: وبذلك تكون مجموعة الحل هي

∞−∞−

•

54

Copyright © 2010.



31

:مثال753 إذا كان لدينا المتباينة −≤+ xxأوجد حلها .

:الحل123 فنحصل على-5 يتم حل هذه المتباينة بإضافة العدد −≤ xxو نضيف المقدار ،x− 122إلى طرفي المتباينة فنحصل على −≤xنحصل على 2، و بقسمة المتباينة على

6−≤xجال الحل هو ، وهكذا يكون م( ]6,−∞−.

: مثال231 حل المتباينة >− x مع توضيح الحل على خط األعداد.

:الحل

12131للطرفين يكون ) -1(بإضافة −>−− x 13 أي >− x وبالضرب في )

3

1 ، يكون لدينا −)

3

1−<x

).الحظ إشارة المتباينة تغيرت في هذه الحالة(أي عدد أصغر من : أي أن

3

1 يعتبر حال لهذه المتباينة، والحل هو الفئة −

∞−

3

1,

∞−∞−

•

3

1

: مثال12حل المتباينة >x مع توضيح الحل على خط األعداد .

:الحل

(بالضرب في 2

1 نحصل على )

2

1>xأي أن:

( أي عدد أكبر من 2

1 يعتبر حال لهذه المتباينة و الحل هو الفئة )

∞,

2

1

21

2

10

2

11 −−

Copyright © 2010.



32

02حل المتباينة -ب >++ cbxax: : لحل متباينة الدرجة الثانية نتبع الخطوات التالية

02نحل معادلة الدرجة الثانية -1 =++ cbxaxفنجد جذورها إن وجدت . :ننظم جدول من الشكل التالي -2

x −∞ بينهما 1x بينهما 2x بينهما +∞

a cbxaxإشارة من a 0عكس إشارة a 0نفس إشارة ++2

: مثال0232حل المتباينة <++ xx ،مع توضيح الحل على خط األعداد.

:الحل0232 نأخذ معادلة الدرجة الثانية =++ xxفنالحظ انه يمكن أن تكتب

0)2)(1( =++ xx21 : وبالتالي جذريها 21 −=−= xx ، ا نكون الجدولومنه :

x −∞ بينهما -2 بينهما -1 بينهما +∞

+ 0 - 0 + 232 ++ xx

) .1-، 2-(الفترة الموافق للقيمة السالبة لكثيرة الحدود هي 0232)1)(2(0 :طريقة ثانية للحل <++⇒<++ xxxx

:ةهناك احتمالي)1(0 إما >+x 2(0 و( <+x )2(0 أو >+x 1(0 و( <+x

: الحل هولوبالتالي مجاx<−2 و x>−1 في االحتمال األول يكون)1,2(),2()1,( −−=∞−−−∞ I

مجال يكونيوبالتال ،ϕ الحل لوبالتالي مجا ،x>−2 وx<−1وفي االحتمال الثاني يكون )1,2()1,2(الحل الكلي وفق االحتماالت السابقة هو −−=−− ϕU كما موضح على خط

.األعداد

•••

−− 012

Copyright © 2010.



33

:مثال022حل المتباينة ≥− xx ، مع توضيح الحل على خط األعداد.

:الحل022نحل معادلة الدرجة الثانية =− xx2(0 والتي تكتب على الشكل( =−xx

:وبالتالي 2,0 21 == xx نكون الجدولومنها:

x −∞ بينهما 0 بينهما 2 بينهما ∞ + 0 - 0 + xx 22 −

الحدود وهي إتحاد الفترتين أكبر أو تساوي الصفر لكثيرة xالفترة الموافق لـ),2()0,( ∞−∞ U.

••

20 :مثال

09حل المتباينة 2 ≤− x مع توضيح الحل على خط األعداد. :الحل09 نأخذ المعادلة 2 =− x3)(3(0 ونحللها إلى الشكل( =+− xx ، وبذلك نجد

3,3 الجذرين −== xx نكون الجدولوبالتالي:

x −∞ بينهما -3 بينهما 3 بينهما ∞ - 0 + 0 - 29 x−

وهي إتحاد الفترتين ،المناسبة إلشارة المتباينةxوبالتالي نجد الفترة الموافقة لقيم

),3()3,( ∞−−∞ U.

••

− 33

Copyright © 2010.



34

:مثال

022حل المتباينة >−+ xx. :الحل)2()1(0يعني أن المقدارين >−+ xx ا أن يكونا موجبين معا أو سالبينإم )1()2(معا +− Xوx

202 : موجباننالمقدرا - أ −>→>+ xx 101 >→>− xx

102−

)1,(= فئة الحل = فئة التقاطع ∴ ∞

202 : سالباننالمقدرا - ب −<→<+ xx

102− ),2(= فئة التقاطع هي فئة الحل ∴ −−∞ ),2()1,(: فئة الحل من أ ، ب هي∴ ∞−−∞∈ Ux

102−

),2()1,(من الرسم يتضح أن لهما نفس اإلشارة في اتحاد الفترتين ∞−−∞ U.

<0حل المتباينة الكسرية -3++

dcx

bax: ،كسروالمقام ثم نحدد إشارة ال ،لحل المتباينة الكسرية نكون جدوال يبين إشارات البسط

:ونوجد الفترة المطلوبة

101 <→<− xx

Copyright © 2010.



35

4حل المتباينة :مثال3

<−x

x مع توضيح الحل على خط األعداد. :الحل4نأخذ المتباينة

3<

−x

x، 04ومنها3

<−−x

x، والتي تأخذ الصورة التالية

03

)3(4<

−−−

x

xx، 0 وبذلك نحصل على3

312<

−−

x

x0 أو3

4<

−−

x

xثم نكون الجدول التالي:

x −∞ بينهما 3 بينهما 4 بينهما ∞ - 0 + + + x−4 + + + 0 - 3−x

- 0 + II - 3

4

−−

x

x

),3()4,( :الفترة التي تحقق المتباينة هي ∞−∞ U

∞∞−

••

43 :مثال

حل المتباينة 4

32

−≤

xx .مع توضيح الحل على خط األعداد

:الحل

نأخذ المتباينة 4

32−

≤xx

0و منها ،4

32≤

−−

xx ة التالية والتي تأخذ الصور ،

0)4(

3)4(2≤

−−−

xx

xx0 ومنها

)4(

8≤

−−−

xx

x0 أو

)4(

8≥

−+

xx

x :ثم نكون الجدول التالي

x −∞ بينهما -8 بينهما 0 بينهما 4 بينهما ∞ + + + + + 0 - 8+x + 0 - 0 + + + )4( −xx

+ II - II + 0 - )4(

8

−+

xx

x

Copyright © 2010.



36

)0,8()4,( :الفترة التي تحقق المتباينة هي ∞− U

∞−∞−

••

408

:مثال0حل المتباينة

3

1>

++

x

x مع توضيح الحل على خط األعداد. :الحل0لدينا

3

1>

++

x

x حتى يكون الكسر موجبا يجب أن يكون للبسط والمقام اإلشارة ذاتها وبالتالي نكون أمام احتمالين

01 :نفرض أن : أ >+x 03 و >+x و بالتالي يكون لدينا: 1−>x 3 و−>x النحو التالي لتقاطع الذي يكون علىوالحل هو ا:

),1(),3(),1( ∞−=∞−∞−− I 01: نفرض أن -ب <+x03 و <+xو بالتالي يكون لدينا :

1−<x 3 و−<x النحو التالي والحل هو التقاطع الذي يكون على: )3,()1,()3,( −−∞=−−∞−−∞ I

:إذن الحل العام للمتباينة هو إتحاد الحلين أي أن),3()1,(مجموعة الحل للمتباينة ∞−−−∞∈ Ux

∞−−∞−•••

013

:مثال2 :حل المتباينة

4

9x≤مع توضيح الحل على خط األعداد .

Copyright © 2010.



37

:الحل :نكتب المتباينة على الشكل التالي

4

92 ≥x منها نحصل على 4

92 ≥xبذلك يكون لـ x

:احتماليه 2

3≥x أو

2

3−≥x

∞∞−

),2

3()

2

3,( ∞−−∞ U إذا مجموعة الحل للمتباينة هي

:مثال1 : المتباينةحل

2

1>

−+

x

x ؟مع توضيح الحل على خط األعداد :الحل

01 : نكتب المتباينة على الشكل التالي2

1>−

−+

x

x 0 منها نحصل على2

)2(1>

−−−+

x

xx

0هذا يودي إلى أن 2

3>

−x: هي xمنها تكون قيمة

2>x

∞∞−

),2( ∞ ة هي مجموعة الحل للمتباينإذا

2

30

2

3−

••

20

Copyright © 2010.



38

Absolute value يرمز ،هي عدد حقيقي غير سالب xفإن القيمة المطلقة للعدد ، عددا حقيقياxإذا كان

: ويعرف على الشكل التاليxله بالشكل

<−≥

=0,

0,

xifx

xifxx

هو المسافة الفاصلة xعندما نمثل األعداد الحقيقية هندسيا على المحور الحقيقي فإن العدد .x قيمةو )0,0( نقطة األصلبين

Properties of Absolute Value Ryx مهما يكن العددان :يكون لدينا ,∋

xxx ≤≤−−1

222 ,2 xxxx ==−

xx −=−3

004 =⇔=− xx axoraxaax −==⇔≥=− 0,5

[ ]aaxaxaaax ,0,6 −∈⇔≤≤−⇔≥≤−

ϕ⇔<≤− 0,7 aax مجموعة حلول المتباينة ستكون),(),(0,8 ∞−−∞∈⇔−≤≥⇔≥≤− aaxaxoraxaax U

Rxaax ∈⇔≤≥− 0,9

axoraxaax −≤≥⇔≥≥− 0,10 2

axaaax ≤≤−⇔≥≥− 0,11 2

yxyx +≤+−12

yxyx −≥−−13

yxyx ..14 ≥−

0,15 ≠≥− yy

x

y

x

Copyright © 2010.



39

:مثال57: أوجد حل المتباينة اآلتية ≤−x. :الحل57557 السابقةمبرهنةمن ال ≤−≤−⇒≤− xx إلى طرفي 7 بإضافة العدد

122المتباينة نحصل على ≤≤ xإذن مجموعة حلول المتباينة هي [ ]12,2∈x.

:مثال

64 :أوجد حل المتباينة اآلتية =−x. :الحل646464واضح أن −=−=−⇒=− xأوxx 210ومنها نحصل على −== xأوx إذن مجموعة الحل هي { }102 xو −∈.

:مثال

542: أوجد حل المتباينة اآلتية ≤−x. :الحل

545454واضح أن 222 −≤−≥−⇒≥− xأوxx 19ى ومنها نحصل عل 22 −≤≥ xأوxسندرس كل احتمالية على حدة :

92 :أوال ≥x هذا يؤدي إلى ( )333 −≤≥⇒≥ xأوxx ومنها ( ] [ )∞−∞−∈ ,33, Ux. 12: ثانيا −≤x وهذا يؤدي إلى أن مجموعة الحل مجموعة خالية .

542إذن مجموعة حل المتباينة ≥−x هي ( ] [ ) ( ] [ )∞−∞−=∞−∞− ,33,,33, UUU ϕ.

Theorem

ax :قيقي، فإنأي عدد حx عددا حقيقيا موجبا، وaإذا كانت إذا وفقط ≥axaإذا ≤≤−.

Copyright © 2010.



40

:مثال

1223: أوجد حل المتباينة اآلتية +<− xx. :الحل22واضح أن

12231223 +<−⇒+<− xxxx منها نحصل على

1444129)12()23( 2222 ++<+−⇒+<− xxxxxx 01444129بذلك نحصل على 22 <−−−+− xxxx 03165ومنها 2 <+− xx 15)(3(0 أي أن( <−− xx إذن فئة الحل هي

∈ 3,

5

1x.

:مثال

4: أوجد حل المتباينة اآلتية 1

12<

+−

x

x.

:الحل14124 يكون x≠−1 من الواضح أنه من أجل

1

12+<−⇒<

+−

xxx

xبتربيع

22طرفي المتباينة نحصل على 11612 +<− xx ،22 هذا يؤدي إلى )1(16)12( +<− xx،

0144163216 ومنها نحصل على 22 >−+−++ xxxx

05124)12)(52(0أي أن 2 >++⇒>++ xxxx إذا }مجموعة حلول المتباينة هي }1,

2

1

2

5, −−

∞

−

−

∞−∈ Ux.

:مثال

112: أوجد حل المتباينة اآلتية −>++ xx. :الحل

لدينا

<++−≥++

=+01,)1(

01,11

xifx

xifxx

:هناك احتمالين11 هذا يؤدي x+≤01:االحتمال األول +=+ xx منها نحصل على

112112 −>++⇒−≥++ xxxx

Copyright © 2010.



41

23113أي أن −>⇒−>+ xx منها 3

2−>x.

:ومجموعة الحلول في هذا االحتمال هي التي تحقق 3

201

−>>+ xوx

:أي أن مجموعة الحل هي

( )

∞

−=∞−

∞

−∈ ,

3

2,1,

2

5Ix

101)1(1:االحتمال الثاني −−=+−=+⇒<+ xxxx 1112منها نحصل على −>++ xx 112 بذلك نحصل على −>−−xx وهذا يؤدي .x<0ليإ

:مجموعة حلول هذا االحتمال ستكون القيم المحققة للمتباينتين 001 ><+ xوx

:أي أن مجموعة الحل هي

( ) ( ) ϕ=−∞−∞∈ 1,,0 Ix :وبالتالي مجموعة الحلول للمتباينة بشكل عام هي

∞

−=

∞

−∈ ,

3

2,

3

2ϕUx

:مثال

243 :أوجد حل المتباينة اآلتية ≤+x. :الحل2432 نجدمن مبرهنة سابقة ≤+≤− x، 236 نحصل على 4بطرح العدد −≤≤− x،

نجد أن3وبالقسمة على العدد3

22 −≤≤− x فئة الحل هيإذا ]

3

1,2[ −−∈x

:مثال82أوجد حل المتباينة اآلتية ≥+x.

: الحل)2(8 : نحصل علىمن مبرهنة سابقة ≥+x 2(8 أو( −≤+x 6 :أي أن≥x أو

10−≤x ،10[]6,(: وفئة الحل هي,( ∞−−∞∈∴ Ux

:مثال اوجد مجموعة الحل للمتباينة

3

101>

+x

xابة على خط األعدادموضحا اإلج.

Copyright © 2010.



42

:الحل :نجدمن خواص القيمة المطلقة

3

101>

+x

x أو 3

101−<

+x

x 2بضرب المتباينتان بـx

xxx: نجد )مقدار موجب( 3

10)1( xxx أو +<

3

10)1( −<+ :

:االحتمال األول

xxx

3

102 0أي أن +<3

72 >− xx 0و منه)3

7( >−xxنكون الجدول التالي :

بينهما +∞3 x −∞ بينهما 0 بينهما 7

+ 0 - 0 +

−

3

7xx

)إذن فئة الحل هي )

∞∞− ,

3

70, U

:االحتمال الثاني

xxx3

102 0 أي أن +>−3

132 <+ xx 0و منه3

13<

+xxنكون الجدول التالي :

بينهما 0 بينهما +∞3

x −∞ بينهما −13 + 0 - 0 +

−

37

xx

إذن فئة الحل هي

−

0,3

13

)والحل العام للمتباينة هو )

−

∞∞− 0,

3

13,

3

70, UU

:مثال.

3

1130 <+< x

أوجد حل المتباينة

:الحل :ي كالتالمتباينتيننجزئ المتباينة إلي

3

113 <+x 130 و +< x

منها نحصل على المتباينات

( )

−

−∈

>+

3

1

013 2

IRx

x

و 9

2

9

43

113

3

1

−<<−

<+<−

x

x

Copyright © 2010.



43

−

−−

3

1

9

2,

9

4I بذلك الحل هو تقاطع الحلين

)9

2,

3

1()

3

1,

9

4( −−−−∈ Ux :أي أن

:مثال.

2

2

9

3

+>

− xx أوجد حل المتباينة

:الحل:وبالتالي 0

)2)(9(

)9(2)2(3>

+−−−+

xx

xxلمقام نحصل علىبتوحيد ا 0

2

2

9

3>

+−

− xx

ندرسها كمتباينة كسرية : 0)2)(9(

24>

+−+

xx

x

x −∞ بينهما -24 بينهما -2 بينهما 9 بينهما ∞ + + + 0 + 0 - 24+x + 0 - 0 + + + )2)(9( +− xx

+ II - II + 0 - 0)2)(9(

24>

+−+

xx

x

( ) ( )∞−−∈ ,92,24 Ux

Copyright © 2010.



44

: المجموعاتنعبر بطريقة القائمة ع -1

A={x:x) عدد طبيعي مكون من رقم واحد({ B={x:x) 6عامل للعدد({

} 0252 =−x C={x: :الحل

{ }9,8,7,6,5,4,3,2,1=A { }6,3,2,1=B { }5,5 −=C

:عبر بطريقة الوصف عن المجموعات التالية -2

{ }...,.........8,6,4,2=A ، { }7,5,3,2=B { }.......25,16,9,4,1=C

:الحل A={x:x )عدد طبيعي زوجي موجب({

B={x:x)10عدد أولى أصغر من ({ :C={x) مربع كامل ({

: المجموعات اآلتية متساوية وأيها متكافئةبين أي -3

{ }NxxxB ∈≤= ,6: { }6,5,4,3,2,1=A { }6,4,2=D { }edcbaC ,,,,=

{ }082: 2 =−+= xxxF { }2,4−=E :الحل

BA :الحظ أن ED و = EF و≡ = .

?

Copyright © 2010.



45

:أوجد المجموعات الجزئية لكل من المجموعات التالية -4{ }4,3,2,1=B , { }6,4,2=A

:الحل82)( 3 ==AS ومنها

{ } { } { } { } { } { } { } { }{ }6,4,2,6,4,6,2,4,2,6,4,2,)( =AS 162)( 4 ==BS ومنها { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }

{ } { } { } { } { } { }

=4,3,1,4,2,1,4,3,2,1,4,3,2,3,2,1,4,3

,4,2,3,2,4,1,3,1,2,1,4,3,2,1,)(BS

}إذا كانت -5 }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=Uو { }8,5,3=A و { }8,7,5,2=B

}و }10,9,7,5,3=C BA :فأوجد كال من I، BA U ،BA − ، CBA UU )( ،CA I ،)( CBA UI،

ccc CBA ,, ،)( CBA UI. :الحل

{ }8,5=BA I , { }8,7,5,3,2=BA U , { }3=− BA , { }10,9,8,7,5,3,2)( =CBA UU , { },5,3=CA I , { }8,5,3)( =CBA UI , ,

{ }10,9,7,6,4,2,1=cA { }5)( =CBA II , { }8,6,4,2,1=cC , { }10,9,6,4,3,1=cB .نأكتب جدول االنتماء الالزم إلثبات قانوني دومورجا -6

:الحل : هوننعلم بأن نص قانوني دومورجا

1()( ccc BABA UI =

'' BAU )'( BA I BA I 'B B 'A A

∉ ∉ ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ ∈ ∈ ∉ ∈ ∉ ∉ ∈

∈ ∈ ∉ ∉ ∈ ∈ ∉

∈ ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ ∉

Copyright © 2010.



46

2()( ccc BABA IU = '' BAI )'( BA U BA U 'B B 'A A

∉ ∉ ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ ∉ ∉ ∈ ∈ ∉ ∉ ∈

∉ ∉ ∈ ∉ ∈ ∈ ∉

∈ ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ ∉

مما يثبت قانوني ابمقارنة العمود الرابع والخامس في الجدولين السابقين نالحظ تطابقهم .نذومورجا

والعمودي على المستقيم الذي ) 1،4( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة -7562معادلته =− yx.

:الحل121 بما أن المستقيمين متعامدين فإن −=× mm

bmxy و المعادلة العامة للمستقيم ومنها، =+562 =−∴ yx

yx 652 =− yx :6بقسمة الطرفين على العدد =−

6

5

6

2

3

11 =m

313

122 −=⇒−=× mm

: وبالتالي )( 11 xxmyy −=− )4(31 −−=− xy

133 ومنها =+ xy

Copyright © 2010.



47

.)2,1( ويمر بالنقطة yالعمودي على المحور أوجد معادلة المستقيم -8 :الحل

وستكون في ،x خالية من المتغير فإن معادلته y بما أن المستقيم عمودي على المحور y=2 . :فإن معادلته هي) 2، 1(النقطة فقط وبما أن المستقيم يمر بyالمتغير

2

1x

.)2,1( ويمر بالنقطة yاوجد معادلة المستقيم الموازى للمحور -9

:الحل xإذا فهو عمودي على المحور ، yبما أن المستقيم موازى للمحور

.yوهى خالية من المتغير ،)x= عدد ( إذا المعادلة عبارة عن )2,1( هي المعادلة المطلوبة ألنه يمر بالنقطة x=1و

1

2

x

kykx في المعادلتين علما بان المستقيمين متعامدينkأوجد قيمة -10 25 132و += =− yx.

:الحلkkxy 5وبقسمة طرفي معادلة المستقيم األول على 25 +−=

Copyright © 2010.



48

k52

x5k

y +−=

51

km 12 منها=− −= xy

نجد، 3وبقسمة الطرفين على 3

1

3

2−= xy، هذا يؤدي إلي أن الميل يساوي

32

m 2 =

121ما أن المستقيمين متعامدين إذا ب −=mm 1 ومنها3

2

5−=×

k

5.7: هيkإذا قيمة 2

15==k

=+1لة المستقيم الموازي للمستقيم دأوجد معا -11 xy ا من محور الصاداتويقطع جزء

.2قدره :الحل

bmxyعادلة العامة للمستقيمات من الم 21 نجد أن=+ 1 mm ومن خالل الجزء ==22 نجد أنyالمقطوع من =b22 وهذا يؤدي إلى bmxy +=

=+2أي أن المعادلة المطلوبة هي xy .)5,2(ويمر بالنقطة ، y=4المستقيم الموازى للمستقيم أوجد معادلة -12

:الحلCyمعادلة المستقيم المطلوب من الشكل نجد أن M)5,2(و بما أنه يمر من النقطة =

5=y y

x −x

y−

=

M =

4 4

5 =

Copyright © 2010.



49

)2,1(,)5,7( التي تجعل النقاط kحدد قيمة -13 AB − ،)0,(k رؤوس مثلث قائم .Bالزاوية في

:الحل

8

3

8

3

71

52

12

12 =−−

=−−

−=

−−

=xx

yymAB

1

2

1

20

12

12

+−

=+−

=−−

=Kkxx

yymBC

1−=ABBC mm 1 وهذا يودي إلي1

2

8

3−=

+−

×k

1 منها 88

6−=

+−k

28 =− k 4 واضح أن−=k )5,2(ليكن لدينا -14 −C ،)6,3(B ،)3,4( −Aستقيم المار بالنقطةأوجد معادلة المA ،يوازي و

CBالمستقيم المار بالنقطة ,. :الحل

111

11

32

65=

−−

=−−−

=BCm

)()( 11 xxmyy −=− )4(113 +=− xy

04111 =−− xy .)0,3(أوجد معادلة المستقيم الرأسي الذي يمر بالنقطة -15

:الحل),( معادلة المستقيم الرأسي الذي يمر بالنقطة 11 yxA 1 هيxx =

.)0,3( ألنه يمر بالنقطة x=3 المعادلة المطلوبة هي∴ 0152: قيمأوجد معادلة المستقيم الموازي للمست -16 =−+ yx ويمر بنقطة تقاطع

52,4 المستقيمين =−=+ yxyx. :الحلنوجد ميل معادلة المستقيم المعطى : أوال

2

15

2

1+−= xy

Copyright © 2010.



50

21وهو نفسه ميل المستقيم المطلوب 2

1mm =−=

4;52نحل المعادلتين =−=+ yxyx تي يمر بها المستقيم المطلوب ال إليجاد النقطةyx −= 2)4(5 منها4 =−− yy

بذلك يكون لدينا

31

528

=→==−−

xy

yy

= لدينا الميل 2

1 : التي يمر منها المستقيم المطلوب فمعادلته هي)1,3( والنقطة −

)( 11 xxmyy −=− )3(

2

11 −−=− xy

2

3

2

11 +−=− xy

0 ومنها المعادلة العامة تصبح على الشكل التالي2

5

2

1=−+ xy

وما هي الزاوية التي يصنعها مع )7,4(,)3,2(عين معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطتين -17

.xمحور

:الحل)( 11 xxmyy −=−

)( 112

121 xx

xx

yyyy −

−−

=−

)2(24

373

1

−−−

=− xy

12)2(23 −=→−=− xyxy بذلك نحصل θtan=m : هيx الزاوية التي يصنعها مع المحور m=2بذلك الميل يساويo43.63)2(tan على قيمة الزاوية 1 == −θ

.b=5 في النقطة y تقطع المحورm=−7 عين معادلة المستقيم الذي ميلة -18 :الحل

bmxy الصورة العامة للمستقيم هي 57 بالتعويض نحصل على =+ +−= xy

Copyright © 2010.



51

)4,4(أوجد معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة -19 لى المستقيم ويكون عموديا ع، −0352 =+− yx.

:الحل bmxy نحصل على += من المعادلة

5

2

5

3

5

21 =⇒+= mxy 1. 21 −=mm

2

51

5

222 −=→−= mm

)( 11 xxmyy −=−

062

5=−+ xy )4( منها نحصل على

25

4 −−=+ xy 123 ويكون موازيا للمستقيم−)3,2( بالنقطة المستقيم المارأوجد معادلة -20 −=− yx . :الحل

132 += xy من معادلة المستقيم

21

23

+= xy نحصل على2وبالقسمة على

21 2

3mmbmxy ==→+=

)( 11 xxmyy −=−

)2(2

33 +=− xy

32

3

2

6

2

33 +=→+=− xyxy

.3 ويقطع محور الصادات بمقدار 4أوجد معادلة المستقيم الذي ميله -21 :الحل

bmxyمن معادلة خط المستقيم نعلم بأن بالتعويض عن الميل والجزء المقطوع =+ :نحصل المعادلة التالية تمن محور الصادا

34 += xy

Copyright © 2010.



52

02برهن أن المستقيمان اللذان معادلتهما -223

1,326 =−−=− xyyx متوازيان.

:الحل 326نوجد ميل المستقيم األول من المعادلة - أ =− yx:

32

33

362326

1 =∴

−=

−=→=−

m

xy

xyyx

02نوجد ميل المستقيم الثاني من المعادلة - ب

3

1=−− xy:

63

23

102

3

1

+=

+=→=−−

xy

xyxy

32 =∴m ∴ 21 mm . إذا المستقيمان متوازيان= −)5,1( ، )3,1(النقطتين نقطة منتصف المسافة بين منأوجد معادلة المستقيم الذي يمر -23

)0,0(,)1,2(ويكون عموديا على المستقيم المار خالل النقطتين −. :حلال

()4,0( نوجد نقطة منتصف المسافة2

35,

2

11( =

، هذه النقطة يمر بها المستقيم −++ ، من أجل ذلك1mنوجد ميل المستقيم المطلوب إيجاد معادلته ،المطلوب إيجاد معادلته اآلن

).2m (:الوذلك عن طريق إيجاد ميل المستقيم العمودي عليه أو ،نوجد ميل المستقيم الثاني :ميل المستقيم العمودي على المستقيم المراد إيجاد معادلته

2

1

20

10

12

122 −=

+−

=−−

=xx

yym

21. 121 =→−= mmm 21إذا لدينا ميل المستقيم =m وبالتالي)4,0( والنقطة التي يمر بها :

)( 11 xxmyy −=− )0(24 −=− xy

42 += xy

Copyright © 2010.



53

ويقع تحت نقطة تقاطع المستقيمين ،yأوجد معادلة المستقيم العمودي على المحور -24yxyx ==+ وحدات مربعة مع المستقيمين ) 9( ويصنع مثلث مساحته 4,

.المطلوبين :الحل

y

x

y = - 1-1

1

2

3

4

1 2 3 4 5

(2,2)

x=y

x+y=y

-1

من أجل ذلك نحل المعادلتين حال مشتركا yx+=4و ،=yxنقطة تقاطع المستقيين نوجد وبالتالي نقطة التقاطع y=2 نعوض في إحدى المعادلتين فنجد x=2 من yx+=4فنجد

)2,2(. a نحدد الثابت =ay من الشكل yأن معادلة المستقيم المطلوب والعمودي على المحور

فإن )2,2( بما أن المثلث يقع تحت النقطة 9بحيث تكون مساحة المثلث الحاصل تساوى 2<a. وبما أن المستقيمانyx +=4 و= yx متعامدان حاصل ضرب ميلهما 11 =m12 و −=m 121 هو −=mm2,2( في النقطة ة فإن المثلث قائم الزاوي(

)4,(وA)2,2(ائمين لدينا مساحته تساوي حاصل ضرب الضلعين الق aaB و −),( aaCوبالتالي :

18921

=×⇒=× ACABACAB

18)2()2()2()2( 2222 =−+−×−+− aaaa

Copyright © 2010.



54

22 )2()2( aa −=− 18)2(2 2 =−a 9)2( 2 =−a

32منها نوجد قيمة −=−a 32أو=−a بذلك قيمة a 1 هي−=a 5 أو=a y=−1 إذا المستقيم المطلوب هو a=−1 فإن الحل المقبول هو a>2وبما أن

853 حل المتباينة -25 −≤+x موضحا اإلجابة على خط األعداد.

:الحل 133 المتباينة تأخذ الشكل التاليواضح أن −≤x نحصل على3 و بقسمة الطرفين على

3

13−≤x و منها فئة الحل هي:

−

∞−3

13 :وتمثل على خط األعداد كالتالي ,

∞

−∞−

•

3

13

32حل المتباينة -26 xx . موضحا اإلجابة على خط األعداد <

:الحل 0)1(0 232 >−→>− xxxx

هذا يؤدي إلى 0≠x 02 عندما >x بما أنxox >→>− 11 x≠0 و

)1,0(),( Uox −∞∈ ئة الحل هيإذا ف

••

10 100 ةأوجد حل المتباين -27

12 <

x.

:الحل في بضرب المتباينة 2x نحصل على

Copyright © 2010.



55

)110)(110(0011001001 22 +−<→>−→< xxxx

أو المقدران سالبان معا، إما المقدران موجبان معا :

0110يكون لدينا أن :االحتمال األول >+x 0110و >−x هذا يؤدي إلى 10

1−>x و

10

1>x

:بذلك فئة الحل هي

∞,10

1.

0110 يكون أن:االحتمال الثاني <+x 0110 و <−xهذا يؤدي إلى 10

1−<x و

10

1<x

:بذلك فئة الحل هي

−

∞−10

1,.

),10

1()

10

1,( ∞−−∞∈ Ux :بذلك تكون فئة الحل هي

065 :أوجد حل المتباينة -28 23 >−− xxx. :الحل 065 نأخذ المعادلة 23 =−− xxx2)(3(0ونحللها إلى الشكل( =−− xxx ،بذلك يكون و

)3(0 أو x=0ثالثة جذور وهي للمعادلة =−x2(0 أو( =−x 0 منها=x 3 أو=x x=2أو

: نكون الجدولوبالتالي x −∞ بينهما 0 ابينهم 2 بينهما 3 بينهما ∞

+ 0 - 0 + + + )3)(2( −− xx + 0 - 0 + 0 - )3)(2( −− xxx

) مجال الحل المقبول هويوبالتال ) ( )∞∈ ,32,0 Ux

10

10

10

1−

10

10

10

1−

Copyright © 2010.



56

1 أوجد حل المتباينة -291

1 2 −+≤−+

xxx

x. :الحل 01:السابقة تصبح على الشكل التاليالمتباينة

1

1 2 ≤+−−−+

xxx

x

0:منها نحصل على1

11 223

≤−

−+++−−+x

xxxxxx بذلك نحصل

0على1

33

≤−+−

xxx 0 وبالتالي يكون

1

)3( 2

≤−−

xxxنكون الجدولمنها :

x −∞ بينهما −3 مابينه 0 بينهما 1 بينهما 3 بينهما ∞ - 0 + + + + + 0 - 23 x− + + + 0 - - - - - 1−x - 0 + + + 0 - 0 + )3( 2xx − - 0 + II - 0 + 0 -

1

33

−+−

x

xx

),3[)1,0()3,(:بذلك فئة الحل هي ∞−−∞∈ UUx 3 أوجد حل المتباينة -30

53

32≥

−−

x

x .

03 المتباينة تأخذ الشكل التالي :الحل 53

32≥−

−−

x

x 0منها53

)53(332≥

−−−−

x

xx بذلك نحصل

0 :على53

124≥

−+−

x

x 0 وهذا يؤدي إلى53

3≤

−−

x

x الجدول التالي ونكون:

بينهما 3 بينهما ∞3

x −∞ بينهما 5 + 0 - - - 3−x + + + 0 - 53 −x

+ 0 - II + 53

3

−−

x

x

: هيمنها فئة الحل

∈ 3,

3

5x

•

33

5o

Copyright © 2010.



57

4أوجد حل المتباينة -313

273 ≤

−<−

x . 12279فنحصل على ، 3بضرب طرفي المتباينة في :الحل ≤−<− x ،7نضيف المقدار-

5216 نحصل على، إلى طرفي المتباينة ≤−<− x 2 بقسمة المتباينة على-

نحصل على 2

58

−≥> x، وهكذا يكون مجال الحل هو

∞−

,2

5. 204611 أوجد حل المتباينة -32 2 <++< xx . 2046,4611 :الحل 22 <++++< xxxx

0166,760 22 <−+−+< xxxx

0)8)(2(,)1)(7(0 <+−−+< xxxx ),7()1,(ك و كذلx∋−)2,8(: بذلك يكون الحل على الشكل التالي ∞−−∞∈ Ux

]: والحل العام للمتباينة هو تقاطع فئات الحلول كالتالي ] )2,8(),1()7,( −∞−−∞∈ IUx ] :بذلك يكون الحل ] [ ])2,8(),1()2,8()7,( −∞−−−∞∈ IUIx

)7,8()2,1( :علىمنها نحصل U−−∈x 0492 أوجد حل المتباينة -33 2 ≥++ xx. :الحل

)12()4(0 :نحل المعادلة التالية =++ xxبذلك يكون حل المعادلة على الشكل التالي : 0)12( =+x 4(0 أو( =+x

منها نحصل على 2

1−=x 4 أو−=xبذلك نكون الجدول التالي :

بينهما ∞2 x −∞ بينهما -4 بينهما −1

+ 0 - 0 + )4)(12( +− xx

∞−∞−oo

214

) :إذا فئة الحل هي )

∞−−− ,

2

14,8 U

Copyright © 2010.



58

162623 أوجد حل المتباينة -34 22 −−<−− xxxx. :الحل

0542نةالمتبايعلى بنقل الطرف الثاني للطرف األول <−+ xx على نحصل منها0542المعادلة =−+ xx 5)(1(0بذلك يكون لدينا( =−+ xx نكون الجدول التاليمنها:

x −∞ بينهما -5 بينهما 1 بينهما ∞ + 0 - 0 + )1)(5( −+ xx

x∋−)1,5(وفئة الحل هي 0253 أوجد حل المتباينة -35 2 <−+ xx موضحا الحل على خط األعداد . :الحل 0253واضح أن حل المتباينة 2 <−+ xx13)(2(0 : تأخذ الشكل التالي( <+− xx منها

:نكون الجدول التالي بينهما ∞

2

x −∞ بينهما −2 بينهما −1 + 0 - 0 + )2)(13( +− xx

(إذا فئة الحل هي 3

1,2(−∈x

3

12−


1

1≥

−+

x

x.

:الحل :حسب نظرية القيمة المطلقة نعلم بأن

<−≥

=0

0

xx

xxx ومنها يكون لدينا

<≥+−

≥≥−+

⇒≥−

+

001

1

001

1

01

1

xifx

x

xifx

x

x

x بذلك يكون لدينا احتمالين:

:االحتمال األول0 :ومنه نكون الجدول التالي

1

1≥

−+

x

x

يكون

0≥x المقدار في حالة ما نأخذ

Copyright © 2010.



59

x 0 بينهما 1 بينهما ∞ + + + x+1 - 0 + x−1

- II + x

x

−+

1

1

[ )1,0∈x :إذا فئة الحل هي


: منه نكون الجدول التالي 01

1≥

−+

x

x x>0 يكون في حالة ما نأخذ المقدار x −∞ بينهما −1 بينهما 0 + + + x−1 - 0 + x+1

- II + x

x

+−

1

1

( )1,−∞−∈x :إذا فئة الحل هي

57 أوجد حل المتباينة -37 ≤−x موضحا اإلجابة على خط األعداد. :الحل

57557 من نظرية سابقة نجد ≤−≤−⇒≤− xx 122منها نحصل على ≤≤ xمنها تكون ]فئة الحل هي ]12,2∈x

11−

••

122

Copyright © 2010.



60

64 أوجد حل المتباينة -38 =−x. :الحل 64 واضح أن المقدار =−x 64يتكون من =−x 64أو −=−x منها نحصل على

2−=x 10أو=x بذلك تكون مجموعة الحل هي{ }10,2−∈x

243 حل المتباينة -39 >+x. :الحل

243 واضح أن المقدار >+x 243يتكون من >+x 243أو −<+x منها نحصل على

23 −>x 63أو −<x قيمة المتغير بذلك تكونx 2 أما−<xأو 3

2−>x منها فئة

)الحل هي )

∞

−−∞−∈ ,

32

2, Ux

542 حل المتباينة -40 ≥−xموضحا اإلجابة على خط األعداد . الحل

542 قدارواضح أن الم ≥−x 542يتكون من ≥−x 542أو −<−x منها نحصل92على ≥x 12أو −≤x 12ولكن −≤x مستحيلة إذا مجال حلها هو ϕ بقي 92المقدار ≥xقيمة المتغير تكون وبالتاليx 3 أما≥x3 أو−≤x فئة الحل منها

)هي ] [ )∞−∞−∈ ,33, Ux

1223 حل المتباينة -41 +<− xx. :الحل

22 أنهما موجبان نحصل علىثبتربيع الطرفين وحي )12()23( +<− xx منها يكون لدينا1444129 22 ++<+− xxxx بذلك نحصل على

∞−∞−••

33

Copyright © 2010.



61

0)3)(15(03165 2 <−−⇒<+− xxxx ومنها نكون الجدول التالي:

بينهما 3 بيتهما ∞5

x −∞ بينهما 1 + + + 0 - 15 −x + 0 - - - 3−x

+ 0 - 0 + )3)(15( −− xx

إذا فئة الحل هي

∈ 3,

51

x

135 حل المتباينة -42 −=− xx.

:الحل22 بتربيع الطرفين نحصل على )13()5( −=− xx1692510 : منها يكون لدينا 22 +−=+− xxxx

02448)32)(2(0بذلك نحصل على 2 =+−⇒=−+ xxxxنكون الجدول التالي : بينهما ∞

2

x −∞ بينهما −2 بينهما 3

+ 0 - 0 + )2)(32( +− xx

ن فئة الحل هي بذلك تكو

−∈

2

3,2x

212 حل المتباينة -43 +≤+ xx. :الحل وعندها يكون x≤−2أي إذا كان ،غير سالب x+2يكون لهذه المتباينة حل إذا كان

2)2()12( 22 −≥+≤+ xوxx 244144 بذلك يكون لدينا 22 −≥++≤++ xوxxxx 033نحصل على منها 2 ≤−x 212بذلك نجد −≥≤ xوx 2,11 هذا يؤدي إلى −≥≤≤− xx

) :بذلك تكون فئة الحل هي ) [ ] [ ]1,11,1,2 −=−∞−∈ Ix. 112 أوجد حل المتباينة -44 −>++ xx. حسب نظرية القيمة المطلقة نعلم بأن :الحل

<−≥

=0

0

xx

xxx ومنها يكون

لدينا

<+−−≥++

=+011

0111

xifx

xifxx بذلك يكون لدينا احتمالين:

Copyright © 2010.



62

:االحتمال األول1,23في حالة ما نأخذ المقدار −≥−> xx: 1,113 أي أن −≥−>+ xx

( )

∞

−=∞−

∞

−∈ ,

3

2,1,

3

2Ix إذا فئة الحل تتكون من


1,112ما المقدار −<−>−− xxx منها نحصل على:

وهي مجموعة خالية 1,0 −<> xx 1,11 أو −<−>− xx

. وهي الحل العام للمتباينة

∞

−∈ ,

3

2x وبالتالي تبقي مجموعة االحتمال األول


37≤

− x.

:الحل 1ة المطلقة من خواص القيم

2

371 ≤

−≤−

x نحصل 2 وبضرب المعادلة في 2372على ≤−≤− x 539 إلى طرفي المعادلة -7 العددةوبإضاف −≤−≤− x منها نحصلعلى

3

53 +≥≥ x 3[ :مجموعة الحل هيإذا,

3

5[∈x

∞∞−•••

3350

Copyright © 2010.



63

- A set is a well-defined collection of objects called the elements or members of the

set. - Sets will usually be denoted by capital letters and elements are designated by

lower – case letters. - we use the special notation Ax ∈ to mean that x is an element of A or

x belongs to A . - A set A is called a subset of a set B , in symbols BA ⊆ , if every element of

A is also a member of B . - The set without any element is called the empty set and is denoted byϕ . - The union of sets A and B denoted by:

{ }BxorAxxBA ∈∈= :U

It is the set of all elements which belong to at least one of the sets A or B . - The intersection of sets A and B , denoted by:

{ }BxorAxxBA ∈∈= :U is the set of those elements common to both A and B . - The difference:

{ }BxandAxxBA ∈∈=− : is the set of all elements of A which are not in B - The closed interval [ ]BA , is the set of real numbers between a and b that is

[ ] { }bxaRxBA ≤≤∈= ,, - The open interval ] [BA, or ( )BA , is the set of real numbers between a and b that

is:

( ) { }bxaRxBA <<∈= ,, - The half open ( or half closed ) interval [ )BA, is the set of real numbers

between a and b , including the number a , that is:

[ ) { }bxaRxBA <≤∈= ,, - In same form we write: ( ] { }bxaRxBA ≤<∈= ,, - Natural numbers: set of numbers denoted by N, where

{ }.,.........5,4,3,2,1=N and is called also the positive integer - Integer number: is denoted by Z ,where

{ }.,.........5,4,3,2,1,0 mmmmm=z - Rational number: is denoted by Z ,where

Summary

Copyright © 2010.



64

≠∈= 0,,: bZba

ba

Q

- Irrational numbers: Any number that is not rational number is called irrational number.

- Real numbers: denoted by R , is the set that includes the rational and irrational numbers.

Distance between two points ),( 111 yxp and ),( 222 yxp denoted by )( 21 ppd is: 2

212

2121 )()()( yyxxppd −+−= A linear equation in two variables is an equation of the form: CByAx =+ Where A and B are not both zero. The points at which the graph of a linear equation crosses the axes are called intercepts. The x-intercept is the points at which the graph crosses the x-axis; The y-intercept is the points at which the graph crosses the y-axis; Steps for finding the intercepts of a linear equation: Step 1: Let 0=y and solve for x . This determines the x-intercept of the line. Step 2: Let 0=x and solve for y . This determines the x-intercept of the line. A

vertical line is given by an equation of the form ax = , where ( )oa, is the x -intercept.

Slope of a line: Let ),( 11 yxp and ),( 22 yxq be two distinct points. If 21 xx ≠ , the slope m of the non-vertical line L containing P and Q is defined by the formula:

12

12

xx

yym

−−

= , 21 xx ≠ I f 21 xx = , L is a vertical line and the slope of y with respect

to x.x

ym

∆∆

= average rate of change of y with respect to x.

Point-slope form of an equation of a line:

An equation of a non-vertical line with slope m that contains the point ),( 11 yx is: )( 11 xxmyy −=− .

Equation of a horizontal line: A horizontal line is given by an equation of the form y=b, where ( )b,0 is the y-intercept. Slope-Intercept form of an equation line:

An equation of a line L with slope m and y-intercept ( )b,0 is : bmxy += - Let a and b are two real numbers and ba < . We shall use the notation

bxa << to mean that x is a number between a and b .The expression bxa << is equivalent to the two in equivalents xa < and bx < .Similarly ,

Copyright © 2010.



65

The expression bxa ≤≤ is equivalent to the two in equivalents xa ≤ and bx ≤ . The remaining two possibilities, bxa <≤ and bxa ≤< , are defined

similarly. Let a and b represent two real number with ba < :A closed interval denote- . by [ ]ba , , consists of all real numbers x for which bxa ≤≤ An open interval ,denoted by ( )ba , ,consists of all real numbers x for . which bxa << The half – open ,or half –closed , intervals are ( ]ba , , consisting of all real numbers x for which bxa ≤< ,and [ )ba , , consisting of all real .numbers x for which bxa <≤

***************

Copyright © 2010.



66

, ن توجد في المستوى الكارتيزيوحدد أي، اذكر خواص الفترات )8-1(في التمارين : 1 É:األعداد حددها على خط

1:]2,3[,2:)1,8(,:3)2

1,

5

1(,4:)

3

7,

9

1( −−−−

5:)4

1,

2

1[,6:),

5

1(,7:]0,(,8:]

5

3,

5

6( ∞−−∞−

. بهما أوجد المسافة بين النقطتين وأكتب معادلة المستقيم المار12-9في التمارين من

9:)7,4(,)10,9( −−−− 10:)15,0(,)

31

,21

(

11:)2,3(,)4,8( −− 12:)2,0(,)13,10( −. É :أثبت باستخدام جدول االنتماء العالقات التالية: 13

)()()() CBCACBAa UIUUI = )()() ABBAb UU = AAAc =)() I )'()() BABAd I=−

)()()() CABACBAe UIUIU = É أوجد أطوال أضالع المثلث الذي إحداثيات رؤوسه:14

)6,7(,)4,3(,)2,1( 321 PPP −.

),(,)6,4(بحيث تكون المسافة بين ،xأوجد كل قيم : 15 −xx مساوية L<10وحدات .

.xويكون عموديا على المحور ، −)3,2(أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة : 16 .)1,2(بالنقطة أوجد معادلة المستقيم األفقي الذي يمر : 17

Copyright © 2010.



67

أوجد معادلة المستقيم العمودي على المستقيم الذي يمر خالل النقطتين :18)12(,)0,0( .−)5,1(,)3,1( ويمر خالل منتصف النقطة الواصلة بين النقطتين، −

1)2,5(إذا كانت المسافة بين النقطة : 19 −P2),1(نقطة و ال xp وحدات أوجد هذه 5 هي .النقطة

)0,1(,)4,5(,)3,2( حيث ABC اثبت أن المثلث :20 −CBAمثلث قائم الزاوية. :ومثل ذلك بيانيا على خط األعداد الحقيقي ،أوجد مجموعة الحل للمتباينات اآلتية: 21

7487) +<− xxc 0)4)(3() ≥−+ xxb 052

2) <

+x

xa

xxxxf 62623) 22 −<−− 09)5(36) ≥−+−> xe 232) +<− xxd 09)5(36) ≥−+−> xi 232) +<− xxh 827) 2 =−xg

09)5(36) ≥−+−> xm 254) −≥− xxj 41

12) <

+−

x

xk

072

232) ≤

−+

x

xp 154) +≥− xxo 6

4

731) ≤

−<−

xn

É :حل المتباينات والمعادالت التالية: 22 212) ≤+xc 372) =−xb 253) >−xa 432) −=+ xxf 012) ≥+− xxe 65) 2 ≥+ xxd 243) 2 ++>+ xxxi 123) +=+ xxh 3

6

52) ≤

−−

x

xg

***************

Copyright © 2010.



68

Copyright © 2010.



69

Relations and functions

Cartesian product BAلنفرض أن التي تتكون من األزواج الخاليةغير تسمى المجموعة ، مجموعتان ,

),(المرتبة yx حيثByAx ∈∈ BA للمجموعتين)الديكارتي( الكارتيزي بالضرب, , BA ويكتب } بحيث× }ByAxyxBA ∈∈=× ,:),(.

Domain :النطاق-1

AB لتكن على BإلىAمن R نطاق العالقة نعرف عندهاينغير خاليت ين مجموعت, : األولى من الثنائيات المرتبة حيثجميع اإلحداثيات مجموعة أنه

{ }RyxAxRDomARDom ∈∈=⊆ ),(:)(,)( Range :المدى-2

ABلتكن على BإلىA من Rمدى العالقة نعرف عندها خاليتين غير مجموعتين , : العناصر الثانية من الثنائيات المرتبة حيث جميع مجموعة أنه

{ }RyxByRRangBRRang ∈∈=⊆ ),(:)(,)(

:العالقة الثنائيةتعريف BAلتكن أي مجموعة Bإلى A من Rمجموعتين غير خاليتين، نسمي عالقة ,

BAجزئية من Rba أو bRa وتكتب × .b مع Rمرتبطة بالعالقة a وتقرأ),(∋

Inverse relation: تعريف العالقة العكسيةBAلتكن فإن ، B إلىAعالقة منR ت ن مجموعتين غير خاليتين وإذا كا,

aRb، حيث إن A إلىBمنR−1هي عالقة Rمعكوس العالقة إذا وفقط إذا −1bRa أي أن : { }RyxxyR ∈=− ),(:),(1

Copyright © 2010.



70

:مثال

} إذا كانت }10,8,6,4,2=Aو { }nmkB ABو ×BAوجدفأ =,, ونطاق ومدى ، × :×BAالعالقة :الحل

=×),10(,),10(,),10(,),8(),,8(),,8(),,6(

,),6(,),6(,),4(,),4(,),4(,),2(,),2(,),2(

nmknmkn

mknmknmkBA

=×)10,(),8,(),6,(),4,(),2,(),10,(),8,(

),4,(),2,(,)10,(,)8,(,)6,(,)4,(,)2,(

nnnnnmm

mmkkkkkAB

} هو×BAنطاق العالقة }10,8,6,4,2=D } هو×BAمدى العالقة }nmkRange ,,=

:مثال } إذا كانت })5,7(),3,7(),2,4(),1,3(),1,0(=R 1 فأوجد−Rونطاقها ومدها :

} :الحل })7,5(),7,3(),4,2(),3,1(),0,1(1 =−R } هوR−1نطاق العالقة }5,3,2,1=D

} هوR−1مدى العالقة }7,4,3,0=Range

: مثال RAنفرض أن -1 : فإن مجموعة األعداد الحقيقية هي=2- )( . عالقة ناقلة ولكنها ليست متعاكسة أو متماثلة >3- )( . عالقة ناقلة ومتعاكسة ولكنها ليست متماثلة ≤4- )( .عالقة متكافئة =

:تعريف : عندها نقول عن هذه العالقةA عالقة على R لنفرض أن

Aa لكل عنصر aRaمتعاكسة إذا وفقط إذا كان -1 ∈.

.aRb يؤدي إلىbRaمتماثلة إذا وفقط إذا كان -2 .cRa يؤدي إلى cRb وbRa إذا كان ناقلة إذا وفقط -3

. عالقة متعاكسة ومتماثلة وناقلةRمتكافئة عندما وفقط عندما تكون -4

Copyright © 2010.



71

Function XYلتكن المجموعة على أنها عالقة منf ن نعرف الدالةين غير خاليتي مجموعت,

X إلى المجموعةY بحيث يشير كل عنصر Xx Yعناصر إلى واحد وواحد فقط من ∋العالقة يجب أن يتوفر في هكذا نجد أنه ،xf)( ويرمز له بالرمز xيدعى صورة العنصر :الدالية الشرطان اآلتيان

.Xنطاق العالقة جميع عناصريجب أن يشمل -1 أكثر من مرة واحدة كمركبة أولى في جميع X عناصرعدم ظهور أي عنصر من -2

صورة واحدة X أي أن لكل عنصر من، تنتمي إلي العالقةالتياألزواج المرتبة )(xf في Y . Functionالدالة YXإذا كانت YXf الدالة فإن مجموعتين غير خاليتين , حدد لكل هي عالقة ت:→Xx عنصر Yy فقط وواحداعنصرا واحدا∋ xfy)( : بحيث ∋ يرمز لنطاق الدالة =

)(xfبالرمز fD بالرمزومداها fR . :تمثيل الدالة

: تمثيل الدالة مخططيا على الشكل

}إذا كانت : ل مثا } { }9,6,4,2,1,3,2,1 == YX أوجد : { }{ }{ }22:),(

:),(

2:),(

3

22

1

+====

==

xyyxR

xyyxR

xyyxR

321 إذا كانتفيماووضح ,, RRR عالقات دالية أم ال .

f

Y XD f =

fR

Copyright © 2010.



72

: الحل {

}{ }{ }{ })6,2(,)4,1(

)9,3(,)4,2(,)1,1(

)6,3(,)4,2(,)2,1(

)9,3(,)6,3(,)4,3(,)2,3(,)1,3(

)9,2(,)6,2(,)4,2(),2,2(,)1,2(,)9,1(,)6,1(,)4,1(,)2,1(,)1,1(

3

2

1

===

=×

R

R

R

YX

{ } { }

{ } { }{ } { }6,4)(,2,1

9,4,1)(,3,2,1

6,4,2)(,3,2,1)(

33

22

11

==========

RRRRangRD

RRRRangRD

RRRRangRDRDomQ

21واضح أن , RR3 بينما،تان داليتان عالقR ليست عالقة دالية .

1R

دالة 1Rالعالقة

X Y

دالة 2R العالقة

X Y

3DRX وبالتالي≠

3R العالقة دالة ليست

X Y

3

2

11 2 4 6 9

3

2

1

1 2 4 6 9

3

2

11 2 4 6 9

Copyright © 2010.



73

:مالحظةXx يسمى المتغير وهو متغير النطاق (Independent variable) بالمتغير المستقل ∋}: حيث } XIR(x)f:XxD f Yyويسمى المتغير) نطاق الدالة(=∋∋⊇ ع بالمتغير التاب∋

"dependent variable " ن إ وهو متغير المدى حيث{ } YxfyXxR f ⊆=∈= )(: كون نطاقها ومداها مجموعات يوباعتبار أن الدوال المعرفة التي سيتم دراستها ،)الةمدى الد(

. قيقيةه الدوال بالدوال الحتسمى هذلذلك ،IRجزئية من : مثال

)(53 ةلدالى امنحنثم ارسم أوجد النطاق والمدى +== xxfy حيثIRIR:f →. : الحل

IRx يكون ∋IRx لكل هواضح أن وبالتالي 53+∋),(,),( يكون ∞−∞==∞−∞== IRRIRD ff

53رسم الدالة لو += xy للمتغيريننفرض قيمت x ىالمستومثلها على المقابلتين ونy وتحدد قيمتا

:المجاور بالشكل هو مبين اإلحداثي كما

:مالحظةbxaxfy: الدالة منحنى بشكل عام +== :a هلميهو خط مستقيم في المستوى )(

ambaxy =+= IRRIRD و أن , ff == , :مثال

)(2 ةأوجد النطاق والمدى وارسم المنحنى للدال xxfy IRIR:fحيث == →. : الحل

),0[,),( ∞=∞−∞== ff RIRD هو لتماثليا محوره هو قطع مكافئومنحنى الدالة .محور الصادات

x

y

)5,0(

)0,35

(− •

•

Copyright © 2010.



74

:مثال xxfy ةأوجد النطاق والمدى وارسم المنحنى للدال == IRIR:fحيث )( →. :الحل

{ } { }{ } ),0[,,:),(

),0[0:)(:2 ∞=∈==

∞=≥∈=∈∈=

RyxxyyxR

xRxRxfRxD

f

f

Copyright © 2010.



75

:مثال3xy ةأوجد النطاق والمدى وارسم المنحنى للدال IRIR:fحيث = →.

: الحل { } ),(: ∞−∞=∈∈= RyRxDf

{ } ),(,,:),( 2 ∞−∞=∈== RyxxyyxR f

:مثال

122 ة أوجد النطاق والمدى وارسم المنحنى للدال +−= xxy حيثIRIR:f →. : الحل )نالحظ أن )21−= xy 0 وبالتالي فهي غير سالبة أي أن≥y ،

{ } ),(: ∞−∞=∈∈= RyRxDf ( ){ } [ )∞=∈−== ,0,,1:),( 2 RyxxyyxRf .

Copyright © 2010.



76

:مثال

42 ة أرسم المنحنى للدال 23 −+−= xxxy 24 مع المستقيم += xy حيثIRIR:f →.

: الحل

Copyright © 2010.



77

Algebraic Operations on functions : فإن دالتين g ،f إذا كانت

)()())(( xgxfxgf )( لكل ±=± gf DDx I∈.

)()())(( xgxfxgf )( لكل ×=× gf DDx I∈.

)(

)()(

xg

xfx

g

f=

لكل )( gf DDx I∈ 0 بشرط)( ≠xg.

:مثال )(4,)(13 كانت إذا 2 +=−= xxgxxfفأوجد:

×±

g

fgfgf ,,

: الحل 134))(( 2 ++−=+ xxxgf لكلx نوجد ن للداليتينطاق المشتركال في .

[ ] RDD gf =−= ] منها يكون النطاق المشترك هو2,2, ]2,2−=gf DD I 134))(( 2 −−−=− xxxgf لكلx دالتينلل في النطاق المشترك. ( ) )13(4))(( 2 +−=× xxxgf لكلx دالتينللنطاق المشترك ال في.

13

4)(

2

+−

=

x

xx

g

f013 بحيث ≠+x أي أن 3

1−≠x لكلx نطاق المشتركال في

]هوو دالتين لل ]

−−−=

3

12,2

g

fD .

:تعریف YXf إذا كانت →: , ZYg Composite( الدالة المركبة فإن :→

function (هي( ) ZXfgxfgxfg →= :,)())(( οο لكل Xx حيث ∋ ϕ≠fg DD Iو DDD gfg Io =

))((نطاق الدالة الحاصلةDحيث xfg:

))(( xfg )(xf )(x g f

gof

Copyright © 2010.



78

:على الشكل التاليgfοلدالة التركيبيةبشكل مشابه نعرف ا :شكل التعرف على gfοلدالة المركبةا دالتين عندها g وfإذا كانت

))(())(( xgfxgf =ο ϕ≠gfحيث RD I و DDD ggf Io =

))(( هو نطاق الدالة المركبة D حيث xgf.

: مثال fggf أوجد οο )(1,)(2 إذا كانت , xxgxxf =+=.

: الحل RDRR نا لدي ff ==

[ ) RDR gg =∞= ,0 ]منها ) ϕ≠∞= ,0gf RD I نحصل على بذلك

1)())(())(( 22 +=== xxfxgfxgfο RDDD ggf == Io وكذلك نجد [ ) ϕ≠∞= ,0fg RD Iبذلك نحصل على : 1)1()1())(())(( 2 ++=+== xxgxfgxfgο

IRDDDمنها يكون لدينا ffg == Ioو [ )∞= ,1fgR o

:مثال fggf أوجد οο )(,)(16 إذا كانت , 2 −== xxgxxf.

: الحل [ ) [ )∞=∞= ,0,,0 ff RD

[ )∞−== ,16, gf RRD ))(())(()16(16 منها نحصل على 22 −=−== xxfxgfxgfο

( ] [ )∞−∞−= ,44, UD ( ] [ )∞−∞−== ,44, UIo DDD ggf

))(())(()(16بذلك يكون لدينا +=== xxgxfgxfgο RDوأيضا لدينا ] منها نحصل على = )∞== ,0DDD ffg Io

Copyright © 2010.



79

Some types of Functions

polynomial functions )()(...................)( إذا كان 2

10n

n xaxaaxp +++= naaa حيث .........,,........., تسمى دالة كثيرة xp)( الدالةفإن na≠0 هي أعداد حقيقية و 10

.nالحدود من الدرجة

: أمثلة

12)(1

5)(0

−=→==→=

xxpn

xpn

34)(3 xxxpn وهكذا =→=− . IR ومداها مجموعة جزئية منIRنطاق الدوال كثيرة الحدود هي

:حاالت خاصة - ( Identity function )" المحايدة " الدالة الذاتية .1

وهي على الشكل،واحد اليساوي xهي دالة كثيرة حدود من الدرجة األولى ومعامل xxf :التالي =)(

( constant function )الدالة الثابتة .2IRccxf هي الدالة التي ال تحتوي على أي متغيرات ∈= ;)(

( Rational functions ) :أو الكسريةالدوال القياسية

)(,)(إذا كانت xpxq الدالة القياسية تكون على الشكل التاليفإن كثيرتي حدود : 0)(,

)(

)()( ≠= xq

xq

xpxf

)كسرية( تسمى دالة قياسية f الدالة ماعدا القيمة التي تجعل المقام يساوي ةنطاق الدالة القياسية هو جميع األعداد الحقيقي } نطاق الدالة هو بذلك يكوناصفر }0)(: =∈−= xqIRxIRD f :فمثال

إذا كان1

2)( 2 −

+=

xx

xf فإن:

Copyright © 2010.



80

{ } { }),1()1,1()1,(

1,101: 2

∞−−−∞=

−−==−∈−=

UU

IRxIRxIRD f

Square root function :التربيعيدالة الجذر

)()(بأنها دالة من الشكل التربيعيتعرف دالة الجذر xgxf كثيرة حدود من xg)(حيث = : يحدد نطاق الدالة الجذرية على الشكل nالدرجة

{ } [ )∞⊆≥∈= ,0,0)(: ff RxgRxD :مثال

:نالتاليتين ي حدد نطاق الدالت116)( 2 −−= xxf

223)( 2 −++= xxxf :الحل

)(216نطاق الدالة - xxf } هو=− }016: 2 ≥−= xxD f منها يكون 4416016لدينا 22 ≤≤−⇒≤⇒≥− xxx من العالقة السابقة يكون

]النطاق ]4,4−=fDكما في الشكل التالي:

)(23 أما نطاق الدالة - 2 ++= xxxf منها يكون لدينا

{ }023: 2 ≥++= xxxD f 2,10232 −=−=⇒=++ xxxxمنها نكون الجدول التالي :

4 4−

Copyright © 2010.



81

x −∞ بينهما -2 بينهما −1 بينهما ∞ + 0 - 0 + 232 ++ xx

)لة هو ونطاق الدا ] [ )∞−−∞−= ,12, UfR

Absolute value function: دالة القيمة المطلقة :الشكل التاليعلى xتعرف دالة القيمة المطلقة

<−≥

==0

0)(

xifx

xifxxxf

RD : فإن بشكل عام f = ، [ )∞⊆ ,0fR

:مثال)(12 أوجد نطاق ومدى الدالة += xxfمع رسم الدالة .

:الحل)(12 الدالة += xxfتأخذ الشكل :

−<−−

−≥+=+=

2

1,12

2

1,12

12)(

xx

xxxxf

RDنطاقها هو f ]و = )∞=⇒≥+= ,0012)( fRxxf

Copyright © 2010.



82

:مثال

2 : حدد نطاق ومدى الدالة )(

x

xxf =.

:الحل

2الدالة )(

x

xxf : تأخذ الشكل=

<−

=−

>===

0,1

0,1

)(

2

2

2

xxx

x

xxx

x

x

xxf

IRDنطاقها هو f ) :ومداها هو = )∞=⇒> ,002 fR

x

x

Copyright © 2010.



83

Algebraic functions الدوال الجبرية – الضرب – الطرح –الجمع ( تركيبة جبرية من العمليات منxf)(نتجت الدالة إذا

.تسمى دالة جبرية xf)(الدالة فإن ،لكثيرات الحدود) القسمة الجذور : فمثال

: الدوال التالية جميعها دوال جبرية

xxf و )(=102

75)(

2

+−+

=x

xxxf33 و 2)( xxxf −=.

Greatest Integer Function دالة الصحيح األعظم الذي هو أكبر من ، إلى العدد الصحيح الوحيدx هي الدالة التي تنقل كل عدد حقيقي

][ ويرمز لها بالرمز أو تساويهاxالتي هي أقل من ،جميع األعداد الصحيحة x،ف وتعرnxf دالة الصحيح األعظم رياضيا كاألتي ≥≥+1 حيث )(= nxn و n1 و+n عددان

.صحيحان متعاقبان :مثال]6,3[،]5,1[ ، ]5,2[ للقيم التاليةجد الصحيح األعظم −. : الحل

1]5,1[ = ، 2]5,2[ = ، 3]6,3[ −=−

Copyright © 2010.



84

:مثال . المختلفة مع الرسملدالة األعداد الصحيحةالجدول التالي يبين طريقة إيجاد العدد الصحيح

][ x 1+≤≤ nxn n 2][ −=x 12 −≤≤− x 2− 1][ −=x 01 ≤≤− x 1−

0][ =x 10 ≤≤ x 0 1][ =x 21 ≤≤ x 1 2][ =x 32 ≤≤ x 2

ZRIRD ff == ,

. أو السلميةألدرجيهوتسمى بالدالة

: Even and odd functions الدوال الزوجية والدوال الفرديةYXf لتكن :عندئذ دالة :→

: دالة زوجية إذا كان " f" الدالة تسمى -1)()( xfxf لكل −=

fDx ∈ : دالة فردية إذا كان " f"الدالة مى تس -2

)()( xfxf لكل −=− fDx ∈

. فردية وال زوجية إذا لم يتحقق ذلك ليست " f" الدالة تكون -3

4 3 2 1 -1 -2 -3 -4

y

[ ]xy =

−−−−

4

3

2

1

1

2

3

4

x

Copyright © 2010.



85

:المث .موضحا اإلجابة بالرسم الدوال التالية فردية أم زوجية أم غير ذلك بين فيما إذا كانت

2)( xxf )()()( دالة زوجية الن = 22 xxxfxf −==−=

3)( xxf )()()( دالة فردية الن = 33 xxxfxf −=−=−=

cxf )()(: والن ، ألنها ثابتة؛ دالة زوجية)(= xfcxf ==−

2)( −= xxfألن ؛ ليست فردية وليست زوجية :

<→>−−−≥→≥−−

=−=202,)2(

202,22)(

xxx

xxxxxf

2)( −−=− xxf

)2)(1()( +−=− xxf )(2)( xfxxf ليست فردية وليست زوجية ∴=+≠−

one to one function : )متباينةال(الدالة األحادية YXfلتكن دالة أحادية إذا وفقط إذا كان f عندئذ تسمى الدالة :→

babfaf =⇔= xba لكل )()( دالة متباينة نفرض أن f ولبرهان أن ,∋)()( bfaf baنبرهن على أن و = =.

دالة زوجیة

دالة فردیة

Copyright © 2010.



86

:Onto function )غامرةال(الدالة الفوقيةYXfلتكن YRإذا كان ، دالة فوقية إذا وفقط f عندئذ تسمى الدالة :→ f =

. النطاق المصاحب= المدى أن أي

Correspondence function :"تناظر أحادي"الدالة التقابلية YXf نلتك في )متباينة وغامرة( دالة تقابلية إذا كانت أحادية وفوقيةf عندئذ تسمى:→ .ن واحدآ

:فمثال 12)( += xxf حيث IRIRf →: :الن ) متباينة( دالة أحادية xf)( حيث

ba

ba

bfaf

=∴+=+

=1212

)()(

yIRR وأن f ==

:مالحظة

عمودي ( أفقيإذا كان أي خط مستقيم ، )متباينة( من خالل رسم الدالة تكون الدالة أحادية )(2ال يقطع منحنى الدالة إال في نقطة واحدة على األكثر، فمثال )على محور المدى xxf =

نجد أن الخط المستقيم األفقي يقطع ) هندسيا( ألنه من خالل الرسم ؛)متباينة(ليست أحادية :الشكل منحنى الدالة في نقطتين كما في

Copyright © 2010.



87

:مثال)(32ت الدالة إذا كان += xxf حيث IRIRf . فهل تمثل تقابل:→ :الحل

:)(32: الشكل التاليلها fبما أن الدالة +=→ xxfxf ونطاقها هو IRD f ولكل =IRxx ∈∀ 212121: (نجد ,21 3232)()( xxxxxfxf منها تكون الدالة و ،)=⇒+=+⇒=fبما أن و. متباينةIRR f تكون f وبالتالي الدالةY فهو مساويا للنطاق المصاحب =

).ةغامر(فوقية . واحد لواحد تمثل تقابالfإذا

:مثال)(3ت الدالة إذا كان xxf IRIRf حيث = . فهل تمثل تقابال:→ :الحل

:)(3: الشكل التاليلها f بما أن الدالة xxfxf IRD ونطاقها هو →= f ولكل =IRxx ∈∀ 21 21( :نجد ,

32

3121 )()( xxxxxfxf fمنها تكون الدالة و، )=⇒=⇒=

. متباينةIRRبما أنو f fإذاية تكون فوقf وبالتالي الدالةY فهو مساويا للنطاق المصاحب =

.أحادياتمثل تقابل

Copyright © 2010.



88

: piecewise defined functions الدوال المعرفة مقطعيا . أكثر من مجال واحد معرفة على له صور متعددةهذا النوع من الدوال :مثال

: حيث f ارسم منحنى الدالة

≥−<

=3,3

3,)(

2

xx

xxxfوحدد مجموعة النطاق ومجموعة المدى.

:الحل

IRD :دالة هو واضح أن نطاق ومدى ال f ]0,( و ∴= ∞=fR

:مثال ارسم منحنى الدالة في كل حالة

≥≤≤

<+

=2,1

20,

0,32

)( 2

x

xx

xx

xy

:الحلIRDgواضح أن نطاق ومدى الدالة هو gR=∞−),4( و =

Copyright © 2010.



89

:مثال

دالة في كل حالة ارسم منحنى ال

>+

<=

0,1

0,)(

2

4

xx

xxxy .

:الحل

2≥x

20 ≤≤ x

0<x

0>x

0<x

Copyright © 2010.



90

Bounded and unbounded functions MxfDx( وحقق Mإذا وجد عدد :1تعريف f ≤∈∀ xf)(عندها نقول أن الدالة ) :)(

. حدا أعلى للدالةMنسمي العدد محدودة من األعلى وmxfDx( وحقق العالقةmإذا وجد عدد :2تعريف f ≥∈∀ عندها نقول أن الدالة ) :)(

)(xf محدودة من أسفل )ونسمي العدد ) أدنىmلةللدا) حدا أسفل أدنى. MxfmDx(وحقق ،m وMإذا وجد عددان :3تعريف f ≤≤∈∀ نقول عن الدالة ) :)(

)(xfأنها محدودة .

:مالحظاتLxfDx( تحقق الخاصة xf)(كل دالة محدودة -1 f ≤∈∀ )(:. ( . تكون محدودة fR مجموعة مداهافإنمحدودة دالة xf)(انت إذا ك -2 . لم تكن دالة محدودة يقال عن دالة إنها غير محدودة إذا -3 .−∞ أو +∞مداها يجب أن تحوي مجموعة كل دالة غير محدودة -4

:لمثا)(29 حدد فيما إذا كانت الدالة xxf . محدودة أم ال=−

:الحل}نحدد نطاق الدالة }29: xxDf 9009 منها يكون لدينا =− 2 ≤≤⇒≥− xx بذلك

09990نحصل على 22 ≥−≥⇒−≥−≥ xx ومن هذه العالقة نوجد قيمة 0)(3093 2 ≥≥⇒≥−≥ xfxلى أن بذلك نصل إ[ ]3,0=fR والدالة )(xf محدودة .

Periodic Functionsالدوال الدورية إنها دالة دورية إذا أعادت مجموعة قيمها ضمن دورة xf)( عن الدالة يقال :1تعريف

.محدودة

تمسح دورة ( كامل قيمها xf)( التي تتم فيها الدالة xيسمى أصغر مدى لقيم :2تعريف . الدالةةدور) كاملة من القيم

Copyright © 2010.



91

دة المتعلقة بالظواهر الطبيعية هناك الكثير من الدوال الدورية المحدودة وغير المحدو لموجات ا الساعة الزمنية ونبضات القلب وكذلكالفيزيائية والبيولوجية ومن هذه الدوالو

.الصوتية والمكروية

Trigonometric Functionsالدوال المثلثية :نعلم بأن النسب المثلثية لمثلث قائم الزاوية هي

yRθc

θ== sec

sin

1

معكوسها Ry

=θsin

x

R== θ

θsec

cos

1

معكوسها R

x=θcos

y

x== θ

θcot

tan

معكوسها 1xy

=θtan

:دوال المثلثية للالتمثيل البياني

1 ونصف قطرها يساوي)0,0(دائرة مركزها نقطة األصل (وحدة إذا أخذنا دائرة ال ),(وأخذنا النقطة baعلناها تتحرك على الدائرة نجد أن وج :ba == θθ sin,cos

Rالوتر

xالمجاور

yالمقابل

θ

θ

)1,0(

)0,1( )0,1(−

)1,0( −

),(),( θθ SinCosba =

Copyright © 2010.



92

),(أي أن النقطة ba هي النقطة)sin,(cos θθ ، التي إذا تحركت في اتجاه معاكس كلما ،1تى يزداد من الصفر حθsin نجد أن اإلحداثي الصادي ،التجاه حركة عقارب الساعة

إلى θ=0من θزادت 2

πθ θ كلما زادت ،0 حتى 1 من θSin ثم ينقص،=

من2

πθ πθ إلى = كلما ، (1-) حتى 0 يأخذ في النقصان من θSinونالحظ كذلك أن ، =

πθ من θزادت حتى=2

3πθ من θكلما زادت ، 0 حتى -1منθSin ثم يزداد ،=

2

3πθ πθ حتى = : وبالتالي نجد ) π2أي يتكرر كل ( ي أن المسار يعاد من جديد أ، =2

θπθθπθ

cos)2(cos

sin)2(sin

=+=+

xx : كذلك نجد إن cos,sin،ودورة كل منهما دالتان دوريتان π2.

:مالحظة

xxالدالتان cos,sinألنحددتان دالتان م:

1cos1,1sin1 ≤≤−≤≤− xx. xyدالة الجيب -1 sin=

:خواصها xxن وهى دالة فردية؛ أل ،π2 هي دالة دورية تكرر نفسها كل دور sin)(sin −=−

),(ونطاق الدالة هو ∞−∞∈D R∋−]1,1[ومداها هو

IRوهى معرفة ومتصلة وقابلة لالشتقاق لجميع قيم وهى ليست أحادية على نطاقها ولكن أحادية على الفترة

0,

2

π وأيضا على

الفترة

−

2,

2

ππ .

π2 2

3π

π 2

π 3

π 4

π 6

π 0 x

0 1− 0 1 2

3 2

2 2

1 0 xsin

Copyright © 2010.



93

:على الشكل :نالحظxx : فإن لهذا π2 من جديد كلرإن شكل الدالة يتكر sin)2sin( =+ π

xy وهذا يعنى أن ( sin= دالة دورية ودورتها π2( :مثال

: برهن صحة العالقات التالية xx sin)sin( =−π ، xx sin)sin( −=−.

:الحلbababa نعلم أن sincoscossin)sin( −=− xxx :وبالتالي sincoscossin)sin( πππ −=−

منها x

xxx

sin

sin)1(cos0)sin(

=−−=−π

:وكذلك )0sin()sin( xx −=−

منها نحصل على xxx

xxx

sin)sin()1()cos(0

)sin()0cos()cos()0sin()sin(

−=−=−=−

Copyright © 2010.



94

:مثال

ارسم الدالة

<

≥=

1:

1:sin)(

xx

xxxf.

:الحل

:مثال


<

≥=

1,

1,)sin(1

)(2 xx

xxxxf.

:الحل

Copyright © 2010.



95

xy دالة جيب التمام -2 cos=. :خواصها

),( النطاق هو ∞−∞∈D R∋−]1,1[ المدى هو

xxالدالة زوجية ألن cos)cos( =−

]على نطاقها وهي متباينة في الفترة ) متباينة(الدالة ليست أحادية ]π,0. xnx أي أن π2الدالة دورية ودورتها cos)2(cos =+ π حيثIRn ∈.

π2 2

3π

π 2

π 3

π 4

π 6

π 0 x

1 0 1− 0 2

1 2

2 2

3 1 xcos

:مثال : برهن صحة العالقات التالية

)cos()cos( xx −=−π ، xx cos)cos( =− . :الحل

bababa نعلم أن sinsincoscos)cos( +=− xxx ومنها sinsincoscos)cos( πππ +=−

Copyright © 2010.



96

وبذلك يكون لدينا

x

xxx

cos

sin0cos)1()cos(

−=+−=−π

:وكذلك)0cos()cos( xx −=−

:صل علىمنها نح

xxx

xxx

cos)sin(0)cos(1

)sin()0sin()cos()0cos()cos(

=+=+=−

:مثال


<

≥=

4:

4:)cos(

)(π

π

xx

xxxxf.

:الحل

ارسم الدالة :مثال

<

≥=

4:

4:)cos()sin(

)(2 π

π

xx

xxxxf.

Copyright © 2010.



97

:الحل

xyدالة الظل -3 tan=.

:خواصها النطاق

±±−∈ ....,.........

2

3,

2

ππIRD

IZn∈ حيث

+−= π

πnIRD

2

IR= المدى

xxالدالة فردية ؛ الن tan)tan( −=−

. لهاة واحدةضمن دور) متباينة(الدالة أحادية

xnxأي أن πالدالة دورية ودورها tan)tan( =+ π حيث IZn ∈.

2

π 3

π 4

π 6

π 0 x

ية غير معرفةكم3

1 1 3 0 xtan

Copyright © 2010.



98

:مثال)tan()tan( : برهن صحة العالقات التالية xx −=−π ، xx tan)tan( −=−.

:الحل أن ب نعلم نحن

)cos(

)sin()tan(

ba

baba

−−

:وبالتالي −=

)tan()cos(

)sin(

)cos(

)sin()tan( x

x

x

x

xx −=

−=

−−

=−ππ

π وكذلك: )cos(

)sin()tan(

a

aa =

)tan(حصل علىمنها نو )cos(

)sin(

)cos(

)sin()tan( x

x

x

x

xx −=

−=

−−

=−

:مثال


≤

>=

2:

2:)tan(

)(π

π

xx

xxxf.

:الحل : نحصل على الشكل على النحو التاليمنها الدالة قيم نقوم بحساب

Copyright © 2010.



99

:مثال


≤

>=

2:)sin(

2:)tan(

)(π

π

xx

xxxf.

:الحل :لة منها نحصل على الشكل على النحو التالي نقوم بحساب قيم الدا

Copyright © 2010.



100

xyدالة القاطع -4 sec=. : يمكن كتابة دالة القاطع بطريقتين

0cos,cos

1sec ≠== x

xyorxy

:خواصها

النطاق هو

±±±−∈ ....,.........

2

5,

2

3,

2

πππIRD

IZNأي ∈ ,2

+− π

πnIR

),1[]1,(المدى هو ∞−−∞ U

xxالدالة زوجية ؛ الن sec)sec( =−

) . متباينة(الدالة ليست أحادية

IZnnxx أنأي π2هاتالدالة دورية ودور ∈+= ;)2sec(sec π

π 2

π 3

π 4

π 6

π 0 x

ية غير معرفةكم −12 2

2 3

2 1 xsec

Copyright © 2010.



101

:مثال


>

≤=

2:

2:)sec(

)(2 π

π

xx

xxxf.

:نقوم بحساب قيم الدالة منها نحصل على الشكل على النحو التالي :الحل

:مثال


≤

>=

2:

2:)sec(sin

)(3 π

π

xx

xxxxf.


Copyright © 2010.



102

xcy دالة قاطع التمام-5 sec=. : يمكن كتابة دالة قاطع التمام بطريقتين

0sin,sin

1sec ≠== x

xyorxcy

:خواصها } النطاق } IZnnIRD f ∈−∈ ;π

),1[]1,(المدى هو ∞−−∞= UfR

). متباينة( الدالة فردية وليست أحادية

IZnnxcxcأي π2الدالة دورية ودورها ∈+= ;)2sec(sec π

π 2

π 3

π 4

π 6

π 0 x

1 ية غير معرفةكم3

2 2

2 2 0 xc sec

:نقوم بحساب قيم الدالة منها نحصل على الشكل على النحو التالي

:مثال


>

≤=

2:)sec(

2:

)(π

π

xxc

xxxf.

Copyright © 2010.



103

:الحل :نقوم بحساب قيم الدالة منها نحصل على الشكل على النحو التالي

:المث


>

≤=

π

π

xx

xxcxf

:sin

:)sec()(.

:الحل :نقوم بحساب قيم الدالة منها نحصل على الشكل على النحو التالي

Copyright © 2010.



104

xy دالة ظل التمام-6 cot= 0tan,

tan

1≠= x

xy

:خواصها }النطاق }......,.........3,2, πππ ±±±−∈ IRD أي :

{ } IZnnIRD f ∈−= ;π ),(المدى هو ∞−∞=fR.

. وليست أحادية ،الدالة فردية

IZnnxx : أي أن π ودورتها ،الدالة دورية ∈+= ,)cot(cot π π 3

π 4

π 6

π 0 x

0 3 1 3

xtan ةكمية غير معرف 1

cot,sec,sec,tan أن الدوال المثلثية :نالحظ c هي دوال دورية لها دورة تساوي π.

Copyright © 2010.



105

:مثال


≤

>=

π

π

xx

xxxf

:

:)cot()(

3.

:نقوم بحساب الدالة بذلك نحصل على الشكل على النحو التالي :الحل

:مثال


≤

>=

π

π

xx

xxxf

:)cos(

:)cot()(.


Copyright © 2010.



106

:هناك بعض القوانين الهامة في الدوال المثلثية والتي منها

11cossin 22 −=+ xx 2sectan1 22 −=+ xx 3csccot1 22 −=+ xx 41cos2sin21cossin2cos 2222 −−=−=−= xxxxx 5cossin22sin −= xxx 6cossincossin)sin( −±=± xyyxyx 7sinsinsincos)cos( −±= yxyxyx m 8cos)cos(,sin)sin( −−=−=− xxxx ππ 9tan)tan( −−=− xxπ

10cot)cot( −−=− xxπ 11cos)cos(,sin)sin( −−=+−=+ xxxx ππ 12cos)

2sin( −=− xx

π

13sin)2

cos( −=− xxπ

14cos)2

sin( −=+ xxπ

15sin)2

cos( −−=+ xxπ

16cot)2

tan( −−=+ xxπ

17tan)2

cot( −−=+ xxπ

18tantan1

tantan)tan(,

tantan1

tantan)tan( −

+−

=−−

+=+

yx

yxyx

yx

yxyx

19tan1

tan22tan

2−

+=

x

xx

202

2cos1cos,

2

2cos1sin 22 −

+=

−=

xx

xx

Copyright © 2010.



107

exponential functions :a سية لألساسألالدالة ا -1

xayهي الدالة من الشكل .a≠1 عدد حقيقي موجب و a حيث =

:مالحظة

xay أي دالة آسيةرسم ) . النقاط يمر عبر = ) ( )aCBa

A ,1,1,0,1

,1

−

: مثال xyوضح مع الرسم نطاق ومدى الدالة اآلسية 5= . :الحل)واضح إن نطاق ومدى الدالة هو )∞∞−= ,fD و ( )∞= ,0fR

•

xay =

)1,0( x

)1,0( −

y

xay −=

•

Copyright © 2010.



108

: مثال xy وضح مع الرسم نطاق ومدى الدالة اآلسية 2−= .

:الحل)اضح إن نطاق ومدى الدالة هومن الو )∞∞−= ,fD و ( )0,∞−=fR .

: مثال

وضح مع الرسم نطاق ومدى الدالة اآلسية x

y

=

2

1 .

:الحل)نطاق ومدى الدالة هومن الواضح إن )∞∞−= ,fD و ( )∞= ,0fR .

Copyright © 2010.



109

:مثالxxf:أرسم على الشكل ذاته كال من الدوال التالية 4)(1 xxfو = 4)(3 −=

. وأوجد نطاق ومدى كال منها :الحل

xxf نطاق الدالة 4)(1 )هو= )∞∞−= ,1f

D ومداها و ( )∞= ,01f

R . xxf نطاق الدالة 4)(3 ) ومداها و R هو=− )0,∞−=fR .

:دالة األساس الطبيعي -2

كاألتي e يعرف العدد الطبيعي n

n ne

+=

∞→

11lim أو n

nne

1

0)1(lim +=

→

………e = 2.7182818ويساوي على درجة التقريب xeyودالة األساس الطبيعي لها الشكل ) أي = )xy exp=.

Copyright © 2010.



110

: مثال 2xey أوجد نطاق ومدى الدالة . مع رسم منحني الدالة=

:الحل

),(نطاق الدالة هو ∞−∞∈fD 1,( و مدى الدالة هو( ∞∈fR.

Copyright © 2010.



111

: مثال 2xey أرسم منحني الدالة −=.

:الحل),(نطاق الدالة هو ∞−∞∈fD 1( و مدى الدالة هو,( −∞−∈fR.

: مثال xexfته الدالتينأرسم على الشكل ذا =)(1 xxf 3)(2 .و قارن بينهما= :الحل

RDنطاق الدالة هو من الواضح إن f =1

)0,(مدى الدالة هو و 1

+∞=fR RD الدالة هو وكذلك نطاق f =

2)0,(مدى الدالة هو و

2+∞=fR.

Copyright © 2010.



112

: مثال xexf أرسم على الشكل ذاته الدالتين −=)(1 xxf 6)(2 .و قارن بينهما=− :الحل

ab وبشكل عام إذا كان فإنعددان حقيقيان موجبان ,baba

babaxx

xx

>⇐<

من <⇐<

أجل0

0

<>

x

x فإنوبالتالي : effx >⇐>> 3;0 21

effxو >⇐<< 3;0 21

Copyright © 2010.



113

Logarithmic functions : تعريفxxfy فإنا ندعو الدالة a≠1 و a<0إذا كان alog)( الدالة ==

yax وذلك يعني أن a ذات األساس اللوغاريثمية =: :مالحظات

)النطاق -1 )∞= ,0fD IRRالمدى -2 f = :مر عبر النقاطتبيان أي دالة لوغاريتمية -3

( ) ( )1,,0,1,1,1

aCBa

A

−

. دالتان متعاكستان xa ، xalog الدالتان بشكل عام-4

:xalog اللوغاريثمية والدالة xaمقارنة بين الدالة اآلسية xalogاللوغاريثمية xaالدالة اآلسية

)النطاق IRالنطاق )∞,0 )المدى IRالمدى 0,∞(

)مر بالنقاط ت ) ( )0,1,1,0,1

,1

−

a)مر بالنقاط ت ) ( )1,,0,1,1,

1a

a

−

Copyright © 2010.



114

:نالحظ نتصف الربع األول بالنسبة لمواللوغاريثميةن اآلسية بين الدالتي) تماثل( أن هناك تناظر . متعاكستانالدالتينالن

: تخواص اللوغريتما : يكون x ، yمن أجل القيم الموجبة ): الجداء(قانون الضرب .1

yxyx aaa loglog).(log += : يكون x ، yالقيم الموجبة من أجل : قانون القسمة .2

yxy

xaaa logloglog −=

: يكون a<0 عددان موجبان وx وaقانون القوى .3 xaxa xx

aa == log,log

:مالحظة

عشري ويكتب بال أساس على الشكلم عندها يدعى اللوغاريتa=10إذا كان xxf log)( : يكون=

yxxy 10log =⇒=

:ةيلوغاريتموالبعض القواعد المساعدة على حل المعادالت اآلسية yxإذا كان .1 yx عندها = aa =. yx ،إذا كان . 2 aa = 1≠a عندهاyx =. yx إذا كان . 3 yx فإن = aa loglog .a≠1 ون موجبا,yx حيث =xy إذا كان . 4 alog= فإن yax =. yx إذا كان . 5 aa loglog yx فإن = .a≠1بشرط = ):دالة اللوغاريتم الطبيعي (eلدالة اللوغارثمية لألساس ا

xxf: دالة على النحو التاليتعرف ال elog)( يعرف اللوغاريتم الطبيعي بالرمز و =

)ln(x حيث :0)10(ln

0)1(ln

0)1ln(

<<<•=•

>>•

x

x

. غير معروفتكون الدالة x≥0ولكن في حالة

Copyright © 2010.



115

:مالحظة

.لة اللوغارثمية ألنها تعطي كمية غير معرفةال يمكن التعويض بقيم سالبة في الدا

:صورة الدالة اللوغارثميةxy هي ln= 0,( نطاقها هو( ∞∈D ها هوامدو),( ∞−∞∈Range و تأخذ الشكل :التالي

: مثال xyأرسم منحني الدالة .5ln=y و=5

:الحل

)0,1(

Copyright © 2010.



116

Hyperbolic Functions

وهي مشابهة في خواصها −xe وxeيعبر عن الدوال الزائدية بداللة الدوال اآلسية دوال معرفة لحد كبير للدوال المثلثية ولذلك تسمى بأسماء مشابهة للدوال المثلثية وهذه ال

:كالتالي

2,:sinh

xx eexRR

−→→

:دالة جيب التمام الزائدي تعرف على الشكل التالي أما

2,:cosh

xx eexRR

+→→

:xcosh وxsinhشكل التالي يوضح الدالتين ال

:وكذلك دالة الظل الزائدي تعرف على الشكل التالي

1

1

cosh

sinh,:tanh

2

2

+−

=→→x

x

e

exRR

Copyright © 2010.



117

:أما باقي الدوال تعرف على الشكل التالي

xx

xx

eeee

x −

−

−+

=coth

( )xx eex

xh −+==

2

cosh

1sec

( )xx eex

xhc −−==

2

sinh

1sec

:بعض خواص الدوال الزائدية

1sinhcosh 22 =− xx 1sectanh 22 =+ xhx 1seccoth 22 =− xhcx : وهذا الخواص يمكن استنتاجها من التعاريف التالية

xxx دالة فردية sinhsinh)sinh( ⇒−=− xxx دالة زوجية coshcosh)cosh( ⇒=−

yxyxyx sinhcoshcoshsinh)sinh( +=+

yxyxyx sinhsinhcoshcosh)cosh( −=+

yxyx

yxtanhtanh1

tanhtanh)tanh(

±=

mm

yxوبوضع : نحصل على المتطابقات التالية=

xxx coshsinh2)2sinh( =

xxxxx 2222 sinh211cosh2sinhcosh)2cosh( +=−=+=

x

xx 2tanh1

tanh2)2tanh(

+=

:إذا يمكن كتابة المعادالت التالية

2

1)2cosh(cosh 2 +

=x

x

21)2cosh(

sinh 2 −=

xx

Copyright © 2010.



118

symmetric functions ): التناظر(هناك ثالثة أنواع من التماثل

:yمحور الحول ) التناظر(التماثل-1

)( في أي دالة بالمتغير إذا عوضنا x− بدال من )(x،الة ذاتها؛ فيقال وكان الناتج هو الد .yمحورالحول ) متناظرة(عن هذه الدالة أنها متماثلة

:فمثال2xy هي yحول المحور) المتناظرة( من أهم الدوال المتماثلة =.

22

22

)(

)(

xxy

xyxy

−==

−=↔=

2xy =

2 2− y حول المحور) متناظرة( الدالة متماثلةاإذ

.xول المحور ح) التناظر( التماثل -2)(بالمتغير إذا عوضنا y−بدال من المتغير )( y هو الدالة في أي دالة وكان الناتج

.x حول المحور) متناظرة(فيقال عن هذه الدالة أنها متماثلةذاتها؛ :فمثال2xy هيxدوال المتماثلة حول المحورمن أهم ال 2yx:أي أن = = xyyومنها ==− 22)(.

y ھو محور التماثل

Copyright © 2010.



119

: حول نقطة األصل) التناظر(التماثل-3

)( بالمتغير إذا عوضنا x− بدال من )(xوكذلك بالمتغير)( y−بدال من )( y، وكان .حول نقطة األصل ) متناظرة(الناتج الدالة ذاتها؛ فيقال أن الدالة متماثلة

:فمثال3xy نقطة األصل هي حول) المتناظرة(من أهم الدوال المتماثلة =.

33

33 )(

xyxy

xyxy

−=−→=

−=−→=

x ھو محور التماثل

-4

−4

حول نقطة األصلمحور التماثل

Copyright © 2010.



120

Use of liner transformations والتحويالت يعطي صورة واضحة عن الدالة ويسهل دراستهاxf)(أن بيان دالة نعلم

.الخطية تسهل رسم هذا البيان وهي اإلزاحة والتمدد واالنضغاط واالنكماش Shift اإلزاحة -1 :Vertical shift الراسية اإلزاحة-أ

إزاحة رأسية فاإلضافة xf)( لقيمة الدالة C يسبب إضافة أو طرح مقدار ثابت موجب : كما يوضح الشكل التاليC والطرح يزيح المنحنى لألسفل مقدار Cتزيح الدالة لألعلى مسافة

:Horizontal shift اإلزاحة األفقية -ب)( تؤدي اإلزاحة األفقية cxf لليسار وتؤدي اإلزاحة xf)( إلى إزاحة المنحني +

)(األفقية cxf : )c<0إذا كان ( لليمين كما يبين الشكل التاليxf)(إلى إزاحة المنحني −

Copyright © 2010.



121

:Stretch and compression مدد واالنضغاط الت-2 Vertical stretch and retrial compressionالتمدد واالنضغاط الراسي - أ

نحصل على تمدد راسي عندما تكون C ثابتر بمقداxf)( إذا ضربنا قيم الدالة 1>C 10 وانضغاط راسي عندما << Cكما يبين الشكل التالي :

Horizontal stretch and compression :التمدد واالنضغاط األفقي-ب)( إن بيان

c

xf هو تمدد أو انضغاط أفقي بنسبةCكما يبين الشكل التالي :

Copyright © 2010.



122

Reflection : االنعكاس-2)مجموعة الدوال ) baxy +−= المكافئة التي ذروتها في ع وهي مجموعة القطو2

)النقطة )ba : حيث تمثل هذه النقطة أدنى نقطة من هذه المنحنيات أي أن,− by by عندما ≤ −∞≥≥∞ و = x هو حد أدنى لهذه الدوال . ) الدوال مجموعةفإنكذلك ) baxy +−−= هي انعكاس لمجموعة القطوع تلك 2

)وبالتالي فهي محدودة من األعلى وتمثل النقطة )ba,ذروتها العليا أي أن : by . و هو حد أعلى لهذه الدوال =−

xfy)( يقال عن الدالة كما يبين الشكل X0عبر المحور xf)( انعكاس للدالة =− : التالي

:وكذلك الشكل التالي

Copyright © 2010.



123

Inverse function yxfإذا كانت xyg فتسمى الدالة) أحادية( دالة تقابلية :→ بالدالة العكسية :→yxبشرط أن ، fللدالة IgfIfg == οο =−1 وفى هذه الحالة تكتب ، , fg. وللحصول على معكوس ، ال تمثل دالة f−1 فإن ليست تقابلية؛ fالحظ أنه إذا كانت

:الدالة نتبع الخطوات التالية . ونحدد نطاقها ومداها ،ن الدالة تقابلية نتأكد من أ .1

ygx)(أي نكتبها على الشكلyنضع الدالة على الصورة الصريحة في المتغير .2 = .

xgy)( فنحصل على معكوس الدالةxبدال منyونضع ،y بدال منxنضع .3 =

: مثال )(13 أوجد معكوس الدالة += xxf

: الحل واضح أن الدالة تقابلية ألنها متباينة و غامرة ونحدد نطاقها ومداها مجموعة األعداد -1

.ةالحقيقي13 أي أن xf)( بدال من yنضع -2 += yx

أي أن y بداللة xنوجد -33

1−=

yx

نضع -43

11 −=

y(y)f -

: أنأي y بدال من xنضع -5 3

11 −=

x(x)f -

gf أكد من عملك أوجدتتل οو fgο كالهما يجب أن يساوي x. كما في الشكل التالي: واضح أن

−

==3

1))(()(

xfxgfxgf ο منها نحصل علىx

xxgf =+

−

= 13

13)(ο

)وكذلك )13))(()( +== xgxfgxfg o على منها نحصلxx

xfg =−+

=3

113)(ο

Copyright © 2010.



124

: مثال ff أوجد الدالة العكسية للدالة RDf )(32حيث :→ −= xxf.

: الحل )(32يجب أن نبرهن أن الدالة تقابلية؛ بما أن الدالة −= xxf نطاقها فإن

{ }

∞=≥−= ,

2

3032: xxD f أي أن

∞≤≤= xD f 2

≥≥∞منه 3 x23

≥≥∞ وبذلك تصبح x2

] ا ومنه3 )∞= ,0fR fDxxنتحقق من أن الدالة تقابلية ∈∀ 21 بحيث ,

3232)()( 2121 −=−⇒= xxxfxfمنها 2121 3232 xxxx . تقابليةfينة وغامرة إذا متباf بذلك تكون −=−⇒=

322 نربع طرفي المعادلة نحصل على −= xyنوجد xلمتغيرا بداللةy فيكون لدينا

2

32 +=

yx

منها 2

3)(

21 +

=− yyf بتعويض عنy بـ xفنحصل على

2

3)(

21 +

=− xxf

xy =

Copyright © 2010.



125

:مالحظة

yx بالنسبة للمستقيمf يناظر بيان الدالةf بيان رسم الدالة العكسية للدالة نصف م =yx م عبر المستقيfصورة ( الربع األول =( .

xy =

Copyright © 2010.



126

Inverse Trigonometric functions الدوال المثلثية العكسية ) sinالعكسية للدالة الدالة -1 )xarcsin:

بفرض أن 22

ππ≤≤− y عندئذ نعرف الدالة العكسية للدالة المثلثية sin على الشكل

:التاليyxyx sinsin 1 =⇔=−

xxوعندها يكون =− )(sinsin ن وها تكنمو 122

ππ≤≤− x وكذلك

xx =− )sin(sin 11 كما أن،1 ≤≤− x شكل التاليالموضح بهو كما:

:مثال أحسب قيمة

= −

2

3sin 1x .

:الحلطرفي المعادلة على sinتأثير بالدالة بال

= −

2

3sin 1xنحصل على في :

=⇒

=⇒

= −−

2

3sin)

2

3sin(sinsin

2

3sin 11 xxx منها

3

π=x

Copyright © 2010.



127

:مثال) إذا كان )1sin 21 −= − xy فأوجد نطاق الدالة )(xf.

:الحل]ثلثية محدودة ضمن المجال بما أن الدالة الم : هو ة نطاق الدالة المدروسفإن−1,1[

{ } { }{ }[ ]2,2

22:

20:111: 22

−=

≤−=

≤≤=≤−≤−

xx

xxxx

) cosالعكسية للدالة الدالة -2 )xarccos: ≥≥πبفرض أن x0 عندئذ نعرف الدالة العكسية للدالة المثلثية cos على الشكل :التالي

yxyx coscos 1 =⇔=−

xxوعندها يكون =− )(coscos ≥≥πن وا تكنمهو 1 x0 وكذلك xx =− )cos(cos 11 كما أن 1 ≤≤− x شكل التاليالموضح بهو كما:

:مثالأحسب قيمة

= −

2

3cos 1x .

:الحل على طرفي المعادلة cosبالتأثير بالدالة

= −

2

3cos 1xنحصل علىفي :

Copyright © 2010.



128

: نحصل على بضرب طرفي المعادلة في

=⇒

=⇒

= −−

2

3cos)

2

3cos(coscos

2

3cos 11 xxx منها

6

π=x

:مثال) إذا كان )2cos 21 −= − xy فأوجد نطاق الدالة )(xf.

:الحل) زاوية بما أن ال )121 2 ≤−≤ x 31 بذلك يكون لدينا 2 ≤≤ x بذلك تكون قيمةx على

31النحو التالي ≤≤± xلدينا منها يكون : 11 ≥−≤ xأوx 33 و ≤≤− x هذا يؤدي إلى ( ] [ )∞−∞−∈ ,11, Uxو [ ]3,3−∈x منها نحصل على : ( ] [ )3,11,3 U−−∈x

)العكسية للدالة الدالة -3 )xarctantan: بفرض أن

22

ππ≤≤− y عندئذ نعرف الدالة العكسية للدالة المثلثية tan على الشكل

:التالي yxyx tantan 1 =⇔=−

:بشكل مشابه نعرف الدوال العكسية التالية -4 إذا كان -

∈

2

3,

2,0

ππ

πUy فإن:

ycxxxcy sec1,sec 1 =⇔≥= − yxxxy sec1,sec 1 =⇔≥= −

) إذا كان - )π,0∈y فإن: yxxy cotcot 1 =⇔= −

Copyright © 2010.



129

:مثال : أحسب قيم الدوال التالية

[ ] 1:)1tan()1(tancos 1 +−= −y

2:2

1sin3tan 11

−+= −−y

:الحل] قيمة نوجد: أوال ])1tan()1(tancos 1 +−= −yعلى الشكل التالي : ( )1tan)1(tan 1

11 −=⇒−= − yy منها

41

π−=y

( )1tan)1(tan 21

2 =⇒= − yy منها 42

π=y 1 بتعويض عنy2 وyفي

1)0cos(44

cos ==

+−

ππ

قيمة نوجد: ثانيا

−+= −−

2

1sin3tan 11yعلى الشكل التالي :

( )11

1 tan3)3(tan yy =⇒= منها −31

π=y

=−⇒

−= −2

12 sin

2

1

2

1sin yy منها

42

π−=y 1 بتعويض عنy2 وy في

1243

πππ=−=y

Copyright © 2010.



130

Inverse Hyperbolic Functions :كاآلتي تعرف الدوال الزائدية العكسية بداللة الدوال اللوغارثمية

( ) xxxx ∀++=− ,1lnsinh 21 ( ) 1,1lncosh 21 ≥∀−+=− xxxx

1,11

lnsec2

1 ≤<

−+=− xo

xx

xh

0,11

lncsc2

1 ≠

++=− x

x

x

xxh

1,11

ln21

tanh 1 <

−+

=− xxx

x

1,11

ln21

coth 1 >

−+

=− xxx

x

:مثال1sinhcosh برهن أن 22 =− xx .

:الحل

: نعلم بأن 2

sinhxx ee

x−−

و =2

coshxx ee

x−+

: وبالتالي=

14

4

4

2

4

2

22sinhcosh

2222

22

22

==+−

−++

=

−−

+=−

−−

−−

xxxx

xxxx

eeee

eeeexx

:مثال1sectanh برهن أن 22 =+ xhx .

:الحل

xx :نعلم بأن

xx

ee

eex −

−

+−

=tanhوxx eehx −+

=2

sec منها

Copyright © 2010.



131

12

2

2

42

2sectanh

22

22

22

22

22

22

=++++

=+−

++−=

++

+−

=+

−

−

−

−

−−

−

xx

xx

xx

xx

xxxx

xx

ee

ee

ee

ee

eeee

eexhx

:مثال

) ه برهن أن ) xxxx ∀++=− ,1lnsinh 21 . :الحل

xy بفرض أن 1sinh xy عندها =− =sinh ومن تعريف ysinh يكون

تعويضالب :لدينا 2

sinhyy ee

y−−

:في الطرف الثاني من العالقة السابقة نحصل على =

( )

+++

−=

+

+−+

−=++

−−

−−

4

2

2ln

14

2

2ln1ln

22

222

yyyy

yyyy

eeee

eeeexx

( ) xye

eeee

eeee

y

yyyy

yyyy

1

2

sinhln

22ln

22ln

−

−−

−−

===

++

−=

++

−=

:مثال

) ه برهن أن ) 1,1lncosh 21 ≥−+=− xxxx. :الحل

xy بفرض أن 1cosh xy عندها =− =cosh ومن تعريف xsinhن لدينا يكو:

2cosh

yy eeyx

−+ :تعويض في الطرف الثاني من العالقة السابقة نحصل علىالوب ==

Copyright © 2010.



132

( )

( ) xye

eeee

eeee

eeeexx

y

yyyy

yyyy

yyyy

1

22

222

coshln

22ln

4

2

2ln

14

2

2ln1ln

−

−−

−−

−−

===

++

+=

+−+

+=

−

+++

+=++

Copyright © 2010.



133

Polar Coordinates وشعاع أوله ،والتي تسمى بالقطب ، لتمثيل نقطة باإلحداثيات القطبية نثبت نقطة األصل

. والذي يسمى بالشعاع القطبي ، ونهايته النقطة الممثلة ،نقطة األصل ),( تمثل اإلحداثيات القطبية pوالنقطة θr حيث أن :

r هو المسافة من القطب إلى النقطةpوθ هي الزاوية المحصورة بين الشعاع القطبي .poوالشعاع

:مالحظات

تن وتكون سالبة إذا كا، عكس عقارب الساعةتحركنا في اتجاهتكون الزاوية موجبة إذا . 1 . عقارب الساعةاتجاه مع حركتنا

الزاوية ال تتغير وبالتالي نحصل على تمثيل أخر للنقطة فإن من الدورات Nعند إضافة . 2 .نفسها

الزاوية ال تتغير وبالتالي نحصل على تمثيل جديد فإن من الدورات Nعند طرح . 3 .للزاوية

),( θrp

θ

الشعاع القطبي

Copyright © 2010.



134

Relation Between Polar and Cartesian Coordinates

: من الرسم نجد أن

. إلى إحداثيات قطبية الكارتيزية لتحويل اإلحداثيات 1،2 نستخدم المعادلتين

)4(sinsin

)3(coscos

→=→=

→=→=

θθ

θθ

ryry

rxrx

.ت القطبية إلى إحداثيات كارتيزية لتحويل اإلحداثيا4 ، 3ك نستخدم المعادلتين وكذل

: مالحظة),( لتعيين نقطة °° θr نرسم دائرة نصف قطرها °r ومستقيم يصنع مع المحور األفقي

.ا بالشكل أسفلة كم ثم نعين تلك النقطة θ°قدرها زاوية

y

),( yx

x

θ

r y

x

222 )ثاغورثیفمن نظریة ( yxr +=

)2(tan

tan

)1(

1

22

→

=∴

=

→+=∴

−

xy

xy

yxr

θ

θ

°r

),( °° θr

Copyright © 2010.



135

Symmetric In Polar Coordinates

حول المحور القطبي إذا لم تتغير المعادلة القطبية عند استبدال متماثلة المعادلةتكون .1)θبـθ− (حول المحور القطبي بأخذ الزاوية وبالتالي يمكن رسم المعادلة المتناظرة

θ 0180من °° . وعكس الرسم الناتج ←

و أyتكون الدالة متناظرة حول المحور .2

2

πθ إذا لم تتغير المعادلة القطبية عند =

θπبـ θ(استبدال θ=°90وبالتالي عند رسم المعادلة القطبية المتناظرة حول ) − .نحتاج لرسم المعادلة بالربع األول والربع الثالث وعكس الرسم

θ θ−

),( θr

),( θr

θ

θπ −

),( θr ),( θπ −r

Copyright © 2010.



136

πθبـ θطب إذا لم تتغير المعادلة عند استبدالتكون الدالة متناظرة حول الق .3 كما + :بالشكل

:قاعدة cr رسم أي معادلة من النوع ومركزها نقطة ،c هو دائرة نصف قطرها =

.األصل

222

22

222

yxc

yxr

yxr

cr

+=

+=

+=

=

Q

.cوهى معادلة دائرة مركزها نقطة األصل ونصف قطرها

.r=2ارسم المعادلة القطبية : مثال : الحل : ثم نرسم لنحصل على الدائرة الموضحة أسفلة أوال نكون الجدول التالي

180° 150° 135° 120° 90° 60° 45° 30° θ 2 2 2 2 2 2 2 2 r

),( θr

),( πθ+r

Copyright © 2010.



137

=°ارسم المعادلة القطبية :مثال 45θ. :الحل

: أوال نكون الجدول التالي ثم نرسم لنحصل على الدائرة الموضحة أسفلة

45° 45° 45° 45° 45° 45° 45° 45° θ 7 6 5 4 3 2 1 0 r

:مثال .θcos=r ارسم المعادلة القطبية

:الحل )cos(cos θθ −=Q

0180نرسم المعادلة القطبية بأخذ الزوايا من ∴ °° ونعكس الرسم الناتج حول المحور ، ← .القطبي

2

°30 °150

°180

°120 °135

°90 °60 °45

°0

543210 •

•

•

•

•

Copyright © 2010.



138

: نكون الجدول التالي أوال180° 150° 135° 120° 90° 60° 45° 30° 0° θ

1− 866.0− 707.0− 5.0− 0 5.0 707.0 866.0 1 r

:1قاعدة

θcosar أي معادلة من النوع هي دائرة متناظرة حول المحور القطبي مركزها =)0,5.0( a ونصف قطرها a5.0

:2قواعد θcosarمنحنى الدالة القطبية -1 )0,5.0( هو دائرة مركزها =− a− ونصف قطرها

5.0 .

Copyright © 2010.



139

هو دائرة في الجهة العليا متناظرة حول الزاوية θsin=r منحنى الدالة القطبية -290°=θ 0,5.0( ومركزها 5.0ونصف قطرها(

Copyright © 2010.



140

يكون دائرة في الجهة السفلى متناظرة حول الزاوية θsin−=rمنحنى الدالة القطبية -390−=°θ 0,5.0( ومركزها 5.0 ونصف قطرها(−.

:مثال θcos1ة القطبية ارسم المعادل +=r.

: نكون الجدول التالي:الحل 180° 150° 135° 120° 90° 60° 45° 30° 0° θ

0 13.0 3.0 5.0− 1 5.1 707.1 866.1 2 r

)السكلوئيد(ي الناتج هو ما يعرف بالمنحني القلبيوالمنحن

Copyright © 2010.



141

:3قواعد متناظر حول المحور " "Cardioid هو منحنى قلبي θcos1−=r المعادلة القطبية منحنى -1

وطول ،2=وطول محوره األكبر، ولكن يكون باالتجاه المعاكس وذيله لليسار ،القطبي . 1=محوره األصغر

θsin1منحنى المعادلة القطبية -2 +=rوذيله ، هو أيضا منحنى قلبي قمته لألسفل=°لألعلى متناظر حول المحور 90θ ، وطول محوره ،2=وطول محوره األكبر

.1=األصغر

Copyright © 2010.



142

وذيله ، هو منحنى قلبي أيضا قمته لألعلى θsin1−=rدلة القطبية منحنى المعا -3=°لألسفل متناظر حول المحور 90θوطول محوره ،2= وطول محوره األكبر

.1=األصغر

منحنى المعادلة القطبية .1

=±=

θθ

cos

sin:bbar 1 منحنى قلبي طول احد محوريه هوma

.aوطول محوره األخر

: مثالθsin ارسم المعادلة القطبية

2

3−=r.

: ثم نقوم بالرسم كما هو موضح أسفلة نكون الجدول التالي أوال :الحل

360° 330° 315° 300° 270° 90° 60° 45° 30° 0° θ 5.1 2 2.2 3.2 5.2 5.0 6.0 7.0 1 5.1 r

Copyright © 2010.



143

:مالحظة المعادلة القطبية منحنىن بصورة عامة يكو

±=θθ

cos

sinbar، عندما يكون ba <

بحيث تكون المسافة من نقطة األصل إلى الرأس ،a2يكون قطره " Limacine" احلزونيba baومن نقطة األصل إلى القمة ، + .a فهوحوره األصغر أما م،−

بصورة عامة يكون رسم المعادلة القطبية

±=θθ

cos

sinbarو ba يكون حلزوني >

ab وطول محوره األصغر+baطول محوره األكبر ،""Limacine with loop مع لفة −، .aوطول قطر الدورة

x

y

a2 ba +

ba − a

Copyright © 2010.



144

: مثال θcosارسم منحني الدالة

2

1−=r.

:الحل

.θ2sin=r: ارسم المعادلة القطبية التالية :مثال : الحل

270°

240°

225°

210°

180°

150°

135°

120°

90°

60°

45°

30°

0°

θ

0 8.0 1 8.0 0 8.0−

1−

8.0−

0 8.0 1 8.0 0 r

Copyright © 2010.



145

: مثال .θ3cos=r: ارسم المعادلة القطبية التالية

: نكون الجدول التالي ثم نرسم لنحصل على الدائرة الموضحة أسفلة:الحل

180° 150° 135° 120° 90° 60° 45° 30° 0° θ 1− 866.0− 707.0− 5.0− 0 5.0 707.0 866.0 1 r

cos(θnar(لرسم أي معادلة قطبية من النوع :مالحظة sin(θnar( أو= بارة الرسم عفإن =

n ورقة إذا كانت n عدد زوجي ويكون زهرة ذات n ورقة إذا كانتn2عن زهرة ذات .عدد صحيح فردى

مثال θseckr ارسم المعادلة =

:الحل

kx

krkr

=∴

=→= θθ

coscos

1Q

يوازي محور الصادات وهو خط مستقيم .منه k وعلى بعد

k

y

x

Copyright © 2010.



146

:1نتيجةθseckr المعادلة منحنى x يقطع جزءا من محور ، هو خط مستقيم عمودي=

.kبمقدار θseckcrارسم المعادلة : مثال = :الحل

ky

krkr

=∴

=→= θθ

sinsin

1Q

) أنظر الشكل المرافق(

:2نتيجةθseckcr المعادلة منحنى بمقدار y هو خط مستقيم أفقي يقطع جزءا من محور =

k.

k

y

x

Copyright © 2010.



147

:الية أوجد نطاق ومدى العالقات الت-1

{ } { })6,5(),4,3(),2,1(,)3,(),2,(),1,( 21 == RcbaR :الحل

} هي 1R نطاق العالقة- }cbaRD ,,)( 1 = } هي 1R مدى العالقة }3,2,1)( 1 =RR

} هي 2R نطاق العالقة- }5,3,1)( 2 =RD }هي 2R مدى العالقة }6,4,2)( 2 =RR

}عالقة نطاقهاRإذا كانت -2 : معرفه كاآلتي4,3,2,1{{ }xyyxR 4:),( ==

.R−1 ونطاق ومدى العالقة العكسية،R أوجد مدى العالقة :الحل

} نوجد مدى العالقة })16,4(),12,3(),8,2(),4,1(=R { }4,3,2,1)( =RD { }16,12,8,4)( 1 =−RD { }16,12,8,4)( =RR { }4,3,2,1)( 1 =−RR

)(53 أوجد نطاق الدالة -3 −= xxf. :الحل

{ } { }

∞=

≥∈

≥−∈=→∈∈=

),53

35

:

053:)(:

xIRx

xRxDRxfRxD ff

?

Copyright © 2010.



148

)(9 أوجد النطاق الدالة -4 2 −= xxf. :الحل

{ }

909

)3)(3(9

09:

22

2

2

≥→≥−

+−=−

≥−∈=

xx

xxx

xRxD f

{ } ),3[]3,(33:

33392

∞−−∞=−≥≥∈=

−≥≥∴≥→≥

UxorxRxD

xorxxx

f

3 أوجد نطاق الدالة -5 53)( −= xxf. :الحل

{ }IRD

RRxfRxD

f

f

=

=∈∈= )(:

. ألن الجذر التكعيبي معرف دوما

أوجد نطاق الدالة -6 xx

xxg

9

1)(

3 −+

=. :الحل

{ } { }

{ } ),3()3,0()0,3()3,(3,0

30

0)3)(3(

0)9(09

09:09:23

33

∞−−−∞=±−=∴±==

=+−=−→=−

≠−∈==−∈−=

UUUIRD

xorx

xxx

xxxx

xxIRxxIRxIRD

g

g

3 أوجد نطاق الدالة -7

2

2)(

xx

xh+−

=.

:الحل{ }2

2

2−≠∈=

∈

+−

∈= x:IRxIRx

x:IRxDh

{ } ),2()2,(2 ∞−−−∞=−−= UR

Copyright © 2010.



149

4 أوجد نطاق الدالة-8 21

1)(

xxk

−=.

:الحل{ }

∞−=>−∈=

2

1,021: xIRxD k

)(32بين أن الدالة -9 += xxfمتباينة( دالة أحادية(.

: الحل)()( إذا كانت bfaf 3232 فإن = +=+ ba

baمنها .حسب التعريف) متباينة( إذا الدالة أحادية=

)(2بين أن الدالة -10 xxf .)متباينة( ليست دالة أحادية = :الحل

2,2 هما x بما أنه هناك قيمتان للمتغير 21 −=−= xxلهما صورة واحدة 4)2()2( =−= ff 2 وهذا تناقض إذا دالة)( xxf .ليست متباينة أحادية=

)()2)(8(إذا كان -11 −−= xxxfأوجد الدالة )(xf على شكل كثيرة حدود ثم

.1(−f( ،f)3(أوجد : الحل

1610)( 2 +−= xxxf )3(516309 في المعادلة نحصل على x=3بتعويض عن −=+−=fوكذلك

2716101)1( =++=−f

293إذا كانت -12 xy .f)2( ثم أوجد ،xf)( أوجد الدالة، −=− : الحل 39)( 2 +−= xxf 2بتعويض عن=x في المعادلة نحصل )(35على +=xf.

Copyright © 2010.



150

بين ما إذا كانت الدوال اآلتية زوجية أم فردية؟ -13 )1 ( 64)( 24 −+= xxxf ) 2 (

24)( xxf =

) 3 ( 9

)(2 +

=x

xxf

) 4( xxxxf 162)( 37 ++= ) 5 ( 42)( 34 −−= xxxf

:األجوبة . دالة زوجية) 1( الدالة .زوجيةدالة ) 2( الدالة .دالة فردية) 3( الدالة دالة فردية) 4( الدالة .دالة ليست فردية وال زوجية) 5( الدالة

)(52 لدينا الدالتان كان إذا -14 35 −−= xxxf 4)( 2 += xxg فأنجز العمليات التالية : اعليهم

×±

g

fgfgf ,,، ))(( xgf o .

: الحلIRDf هوxf)( واضح أن نطاق ومدى الدالة 042 وبما أن = >+x فإن IRDf =

)()(452 الجمع ةنوجد عملي 235 ++−−=+ xxxxgxf )()(452 الطرح ةنوجد عملي 235 +−−−=− xxxxgxf

عملية الضرب45424

)4()52()()(22325

235

+−+−+=

+×−−=×

xxxxx

xxxxgxf

ي التال أما عملية التركيب تكون بالشكل

5)4(2)4(

)4()(3252

2

−+−+=

+=

xx

xfxgf o

Copyright © 2010.



151

4

52

)(

)(2

35

+

−−=

x

xxxgxf

IRDDxبشرط gf =∈ I

)(2 إذا كان لدينا الدالتان -15 xxf = 1

1)(

−=

xxgا فأنجز العمليات التالية عليهم:

gf ± ، gf ×،

g

f،))(( xfg o.

: الحلIRDfهوxf)( واضح أن نطاق ومدى الدالة } فإن وكذلك = }1−= IRDg، ومنها

{ }1−= IRDD gf I الجمع ة نوجد عملي

1

1

)1

1()(

23

2

−+−

=

−+=+

xxx

xxxgf

. بنفس الطريقة نوجد عملية الطرح

عملية الضرب)1(

)1

1()()(

22

−=

−×=×

x

x

xxxgf

:أما خارج القسمة يكون بالشكل التالي)(

)1

1()(

23

2

xx

xxx

g

f

−=

−÷=

1m≠x ، نوجد1

1)())((

22

−==

xxgxfg o

}بشرط } { } ϕϕ ≠−=−≠ 11: RRRDD gf IU

xxf إذا كان لدينا الدالتان -16 +=1)( 2

4)(

2

++

=xx

xg فأنجز العمليات التالية gfgf :اعليهم ×± , ))(( xgf o .

: الحل]هوxf)( واضح أن نطاق ومدى الدالة )∞= ,0fD ، و{ }2−−=IRDg منها

{ }2−−= IRDD gf I

Copyright © 2010.



152

الجمع ةنوجد عملي

2

242

2

4)1()()(

2

2

++++++

=

++

++=+

x

xxxxx

x

xxxgxf

الطرح ةنوجد عملي

2

242

2

4)1()()(

2

2

+++−++

=

++

−+=+

x

xxxxx

x

xxxgxf

عملية الضرب

2

)4()1(

2

4)1()()(

2

2

++×+

=

++

×+=×

x

xx

x

xxxgxf

أما عملية التركيب فتكون بالشكل التالي

5)4(2)4(

2

41

2

4)(

3252

22

−+−+=

++

+=

++

=

xx

x

x

x

xfxgf o

gfبشرط DDx I∈

)(2 إذا كان لدينا الدالتان -17 xxf = xxg += :ا فأنجز العمليات التالية عليهم)(1gf ±،gf ×،

g

f،))(( xfg o، ))(( xgf o ، ))(( xfg o.

:لحلا)()(1 الجمع ةنوجد عملي 2 ++=+ xxxgxf

)()(1 الطرح ة نوجد عملي 2 −−=− xxxgxf )()(23عملية الضرب xxxgxf +=×

أما عملية التركيب فتكون بالشكل التالي12

)1(

)1()()(

2

2

++=

+=

+=

xx

x

xfxgxf o

IRDDxبشرط gf =∈ I

Copyright © 2010.



153

32 إذا كانxf)( ، xg)( أوجد -18 )1())(( xxgf +=o. : الحل

)(21 بفرض الدالة xxg )(3 بذلك تكون=+ xxf = )مالحظة أن الحل ليس وحيدا (

))(()32( إذا كانxf)( ، xg)(أوجد -19 += xxgf o. : الحل

xxf بفرض الدالة )()32( بذلك تكون)(= += xxg )مالحظة أن الحل ليس وحيدا (

5 إذا كانxf)( ، xg)(أوجد -20 3 )83())(( +−= xxxgf o. : الحل

)(5 بفرض الدالة xxf )()83( بذلك تكون= 3 +−= xxxg )مالحظة أن الحل ليس وحيدا (

:أرسم الدوال التالية على الشكل ذاته-21

xxf 8)( و =x

xf

=

8

1)(

: الحل

Copyright © 2010.



154

) حل المعادلة -22 ) ( ) ( ) 03sin6cos46cos2 =+ xxx. : الحل

: عامل مشترك وبالتالي يكون لدينا x6cos :نالحظ أن ( ) 03sin426cos =+ xx

06cos وبالتالي أما =x أو ( ) 03sin42 =+ x 06cos :االحتمال األول يعطي =x فإنبالتالي:

3122

26

kxkx

πππ

π+=⇒+=

أو

342

36

kxkx

ππππ+=⇒+=

:االحتمال الثاني يعطي ( )

2

13sin03sin42

−=⇒=+ xx

3

2

92

33

kxkx

πππ

π+−=⇒+−=

أو

32

92

23

232

33

kxkxkx

πππππππ +=⇒+=⇒++= k=2,1,0......,حيث

) حل المعادلة -23 ) 0cos2sin

2

1 2 =− xx. : الحل

xxx نعلم أن cossin22sin : وبالتالي نعوض بالمعادلة فنجد =0coscossin 2 =− xxx

: وتكون على الشكل التالي( ) 0cossincos =− xxx

ما إ 0cos =x ومنهاπ

+= kx

2

1

Copyright © 2010.



155

أو 0cossincossin

2sinsin =−⇐=⇐

−= xxxxxx

π

:وبالتالي يكون لدينا kxxk π

ππ

π2

24 k=2,1,0......,حيث +⇐=−+

xxxx : برهن صحة المتطابقة -24 2222 cscseccossec +=. : الحل

xxxx

xx

xx

xxxx

2222

22

22

2222

seccsccossin

1cossin

cossin

sin

1

cos

1cscsec

==

+=

+=+

xxxx : برهن صحة المتطابقة -25 2424 tantansecsec +=−. : الحل

( )

( )xx

x

xx

xxxx

24

22

22

2224

secsec

sec1sec

sectan

1tantantantan

−=

−=

=

+=+

: برهن صحة المتطابقة -26

x

x

x

xx

sin

cos1

cos1

sincsc2

++

+=.

: الحل( )

( )

( )xx

xxx

xx

xx

x

x

x

x

cos1sin

coscos21sin

cos1sin

cos1sin

sin

cos1

cos1

sin

22

22

++++

=

+++

=+

++

Copyright © 2010.



156

( )( )

( ) xxxx

x

xx

x

csc2sin

2

cos1sin

cos12

cos1sin

cos22

==+

+=

++

=


x

x

x

x

sin1

cos

cos

sin1

+=

−. : الحل

( ) ( )( )( )

( ) x

x

xx

xx

xx

x

xx

x

x

x

cos

sin1

sin1cos

sin1sin1

sin1cos

sin1

sin1cos

cos

sin1

cos 22

−=

++−

=

+−

=+

=+


1tan

1tan

cscsec

cscsec

+−

=+−

x

x

xx

xx. : الحل

xx

xxxx

xx

sin

1

cos

1sin

1

cos

1

cscsec

cscsec

+

−=

+−

: فنجد xsinبضرب البسط والمقام بـ

1tan

1tan

1cos

sin

1cos

sin

sin

1

cos

1sin

1

cos

1

cscsec

cscsec

+−

=+

−=

+

−=

+−

x

x

x

xx

x

xx

xxxx

xx


x

x

x

xx

cos1

sec

sin

sintan3 +

=−.

: الحل

xx

xxx

x

xxx

x

xx333 sincos

cossinsin

sin

sincos

sin

sin

sintan −=

−=

−

Copyright © 2010.



157

( )

( )

( ) x

x

xx

xx

xxx

xx

cos1

sec

cos1cos

1

cos1cos

cos1sincos

cos1sin

2

3

+=

−=

−−

=

−=


xxxx

xxxxcossin1

seccsc

tansincotcos+=

−−.

: الحل

( )( )

xxxxxx

xx

xxxxxx

xx

xx

xx

x

xx

x

xx

xx

xxxx

xx

xxxx

cossin1sinsincoscos

sincos

sinsincoscossincos

sincos

sincos

cos

1

sin

1cos

sinsin

sin

coscos

seccsc

tansincotcos

seccsc

tansincotcos

22

2233

+=++=−

++−=

−−

=

−

−=

−−

=

=−−

: لكل من التعابير التالية العددية القيمة أوجد -311)0sinh(),0cosh(),0tanh( −

2)2sinh(),3cosh(),1tanh( − 3)2sinh(ln),3cosh(ln −

: الحل :x=0 قيمة الدوال الزائدية عندما -1

01

0)0tanh(

122

2)0cosh(

020

2)0sinh(

00

00

==

==+

=

==−

=

ee

ee

Copyright © 2010.



158

: قيمة الدوال الزائدية عند القيم المعطاة-2

1

1

1

1

33

22

2

2)1cosh(

)1sinh()1tanh(

2)3cosh(

2)2sinh(

−

−

−

−

−

−

+−

=+

−

==

+=

−=

ee

ee

ee

ee

ee

ee

: قيمة الدوال الزائدية عند القيم المعطاة-3

5

3

5

4

4

3

)2cosh(ln

)2sinh(ln)2tanh(ln

6

10

23

13

2)3cosh(ln

4

3

22

3

22

12

2)2sinh(ln

3ln3ln

2ln2ln

=×==

=+

=+

=

==−

=−

=

−

−

ee

ee

: برهن صحة العالقات التالية-32

1sinhcosh −=+ xexx 2coshsinh22sinh −= xxx

3sinhcosh −=− − xexx

4sinhcosh2cosh 22 −−= xxx5csc1coth 22 −=− xhx 6

1

1)tanh(ln

2

2

−+−

=x

xx

: الحل x

xxxx

eeeee

xx =−

++

=+−−

22sinhcosh

xxxxxxx coshsinh2sinhcoshcoshsinh2sinh =+=

xxxxx

eeeee

xx −−− −

++

=−22

sinhcosh

xxxxxxx 22 sinhcoshsinhsinhcoshcosh2cosh −=−=

Copyright © 2010.



159

xhxx

xx

xx

x

222

22

2

22

cscsinh

1sinh

sinhcosh

1sinhcosh

1coth

==−

=

−=−

1

11

1

)tanh(ln2

2

lnln

lnln

+−

=+

−=

+−

= −

−

xx

xx

xx

eeee

xxx

xx

: أكتب كال من المعادالت التالية على شكل لوغاريتم -33

25

15 2 3814 و −=

1

4972 و= =. : الحل

الطرفين Lnنأخذ -25

1ln5ln 2 25ln1ln5ln2 منها نحصل على −= نعلم بأن −=−

01ln 25ln5ln2 منها = −=−.

3ln81ln الطرفين Lnنأخذ -4

1=.

4972 الطرفين Lnنأخذ - 49ln7ln2 نحصل على منها= =.

:أكتب كال من المعادالت التالية على شكل أسي -34

29

1log

3

1 416log2 و= =.

: الحل

2من خواص اللوغاريتمات نحصل على9

1log

3

1 المقدار يصبح فإن =2

3

1 3

1

9

12

9

1log

=⇒=.

416log2من خواص اللوغاريتمات نحصل على 2416 المقدار يصبح فإن= =.

Copyright © 2010.



160

: أرسم الدوال التالية على الشكل ذاته-35 xy 3ln= و xey 3= .

: الحل

:ب التعابير اللوغارثمية التالية على شكل تعبير وحيد أكت-36

yx log)log2(log3 2ln)]2ln([ln و +−2

1−+− xx .

: الحل yمن خواص اللوغاريتمات نحصل على

xyx log

2log3log)log2(log3 منها +−=−

: نحصل علىyx

yx

yx

2

22

loglog2

loglog2

log3

=−

=−

2ln نحصل علىLnمن خواص الدالة 2

ln2

12ln)]2ln([ln

2

1−

+=−+−

x

xxxنها م

نحصل على2

2ln2ln2

ln2

1 +=−+

xx

xx.

Copyright © 2010.



161

:حل المعادالت اللوغارثمية التالية -37 4)15(log3 =+x 4 وln)2ln()1ln( =−−+ xx. : الحل

log)15(813154من خواص اللوغاريتمات نحصل على - 43 ==+⇒=+ xx منها نحصل

على5

80805 =⇒= xx 16 هذا يؤدي إلى أن=x

4ln نحصل علىLnمن خواص الدالة -2

1ln4ln)2ln()1ln( =

−+

⇒=−−+xx

xx

414)2(841منها نحصل على 2

1−=−⇒−=−⇒=

−+

xxxxx

x منها تكون

3

7=x.

: التاليةلة حل المعاد-38

012 =− −xxex. : الحل

:صفر فنحصل علىالنساوي المعادلة ب ( ) 01 12 =− −xex احتمالين ذه الحالة يكون لدينافي ه :

x=0: االحتمال األول .1 011012 : االحتمال الثاني.2 12012 =−⇐==⇐=− −− xx eeex

منها 2

1=x.

الدالة العكسية إذا كانت أوجد مع الرسم -39)1(

)1()(

−+

=xx

xf.

: الحل }واضح إن }1: −→ IRIRf

نبرهن أن الدالة تقابلية : أوال1

1

−+

=x

xy ونطاقها { }1−= IRDfو fDxx ∈∀ 21 بحيث,

Copyright © 2010.



162

1

1

1

1)()(

2

2

1

121 −

+=

−+

⇒=x

x

x

xxfxf1)(1()1)(1( منها نحصل على( 1221 −+=−+ xxxx

11 نحصل على قوبفك المقدار الساب 21212121 −−=−− xxxxxxxx منها 21211221 22 xxxxxxxx الدالة غامرة فإن إذا الدالة متباينة وكذلك −+=+⇒=⇒=

IRRعلى مداها f . تقابلية xf)( إذا =

يعطينا y بالمتغيرxf)(بالتعويض عن1

1

−+

=x

xy1(1 منها نحصل على( +=− xxy

−=+1هذا يؤدي إلى xyyx منها نوجد x من العالقة السابقة 1

1

−+

=yy

x

الدالة العكسية هي ∴1

1)(1

−+

=−

xx

xf

IRIRf الدالة العكسية إذا كانت )مع الرسم(وجد أ -40 3 و:→

1

)1()( += xxf. : الحل

IRDf تقابلية و نطاقها xf)( يمكن بسهولة برهان إن الدالة fDxx و= ∈∀ 21 ,

3

1

23

1

121 )1()1()()( +=+⇒= xxxfxfى منها نحصل عل 2121 )1()1( xxxx =⇒+=+

Copyright © 2010.



163

الدالة غامرة على مداها فإنإذا الدالة متباينة وكذلك IRR f . تقابلية xf)( إذا =

3 يعطينا y بالمتغيرxf)(التعويض عن

1

)1( += xy 13 التغيير يعطينا += xy

13 يوصلنا إلى x التحليل بداللة −= yx )(1 الدالة العكسية هي ∴ 31 −=− xxf

)()2ln(3 الدالة العكسية إذا كانت )رسممع ال(أوجد -41 −+= xxfحيث

( ) IRf →∞,2: . : الحل)()2ln(3نبرهن أن الدالة تقابلية : أوال −+= xxf ونطاقها

{ }02: >+∈= xIRxDf ومدهاIRR f fDxx و = ∈∀ 21 نجد أن ,3)2ln(3)2ln()()( 2121 −+=−+⇒= xxxfxfمنها نحصل على )2ln()2ln( 21 +=+ xxنحصل علىق وبفك المقدار الساب 2121 )2()2( xxxx =⇒+=+

IRR الدالة غامرة على مداها فإنإذا الدالة متباينة وكذلك f . تقابلية xf)( إذا =

xy =

Copyright © 2010.



164

)2ln(3يعطينا y بالمتغيرxf)(التعويض عن −+= xy التغيير يعطينا3)2( exe y −+=

)(2 يوصلنا إلى xالتحليل بداللة 31 −+==− eexyf y )(2 الدالة العكسية هي ∴ 31 −= +− xexf

) الدالة العكسية إذا كانت ) مع الرسم(أوجد -42 )∞→ ,3: IRf )(3 و )1( += −xexf. :الحل)(3نبرهن أن الدالة تقابلية : أوال )1( += −xexf ونطاقها IRDf مدى الدالة نحدد و=

>>∞بما إن − )1(10 xe منها∞<+< − 33 )1(xe إذا[ )∞= ,3fR و fDxx ∈∀ 21 , نجد أن

33)()( )1()1(21

21 +=+⇒= −− xx eexfxf21 منها نحصل على21 xxee xx إذا =⇒=

IRR الدالة غامرة على مداها فإنالدالة متباينة وكذلك f تقابلية التعويض xf)( إذا =)1(3 يعطينا y بالمتغيرxf)(عن += −xey 3التغيير يعطيناln1ln +−= xy

13lnln يوصلنا إلى xالتحليل بداللة +−= yx 3(1منهاln( +−= yx 3ln()(1(1 الدالة العكسية هي ∴ +−=− xxf

xy =

Copyright © 2010.



165

] ، أوجد الدالة العكسية إذا كانت-43 ) ( ]2,,0: ∞−→∞f 2)( 2 +−= xxf. : الحل

)(2نبرهن أن الدالة تقابلية : أوال 2 +−= xxf ونطاقها IRDf = fDxx ∈∀ 21 )()(22 نجد أن , 2

22121 +−=+−⇒= xxxfxf منها نحصل

2على2

21 xx 21 وبما أن−=− , xx 21 : فإن غير سالبان xx الدالة فإن إذا الدالة متباينة وكذلك =

IRRغامرة على مداها f y بالمتغيرxf)( وبالتالي فهي تقابلية التعويض عنxf)( إذا=22يعطينا +−= xy

yx التغيير يعطينا −= ] وبما أن 22 )∞∈ ,0xفإن yx −= 2 xxf الدالة العكسية هي ∴ −=− 2)(1

xy =

Copyright © 2010.



166

xxf أوجد نطاق الدالة -44 −= ومداها ثم أوجد دالتها العكسية واذكر نطاقها وارسم )(4 .الدالتين على نفس الشكل بيان

: الحلxxf واضح أن الدالة −= } : نطاقها هو)(4 } { }4:04,: ≤=≥−∈= xxxRxxDf

) وبذلك يكون نطاقها ]4,∞−=fD. ] :أما مدى هذه الدالة فنعلم أن الجذر موجب دوما وبالتالي )∞= ,0fR.

1)( نوجد xf xxf بما أن − −= : منها يكون لدينا )(4xyxyxxf −=⇒−=⇒−= 444)( 2

:كل التالي على الشyنوجد الدالة بداللة المتغير212 4)(4 xxfyx −=⇒−= −

] : بذلك يكون لدينا )∞== − ,0)(1 xfR f

حل المعادلة -45

= −

4

3cos 1x.

: على الشكل التاليx لحل المعادلة السابقة نوجد قيمة : الحل,..2,1,0,27227.0

4

3cos

4

3cos 1 ±±=+=⇒=⇒

= − kkxxx π

xy =

Copyright © 2010.



167

73cos10 حل المعادلة -46 =xلفترة على ا[ ]5,2− . : الحل

: على الشكل التاليxنوجد قيمة kxx π234.2

10

7cos3

10

73cos 1 +=

=⇒= −

,2,1,0....., بذلك تكون قيمة 3

2

3

34.2±±=+= k

kx

π : المختلفة نحصل على الجدول التالي kمن أجل قيم : نالحظ انه

x 2−=k=−4.3 هذه القيمة مرفوضة x=−87.2 مرفوضةهذه القيمة x 1−=k=−3123.1 مقبولةهذه القيمة x=−7821.0 مقبولةهذه القيمة x 0=k=7821.0 مقبولةقيمة هذه ال x=31.1 مقبولةهذه القيمة x 1=k=876.2 مقبولةهذه القيمة x=4067.3 مقبولةهذه القيمة x 2=k=97.4 مقبولةهذه القيمة x=5.5 مقبولةهذه القيمة

1 حل المعادلة -472

sin6 =

x الفترة على [ ]20,20− .

: الحل : على الشكل التاليxنوجد قيمة

1674.06

1sin

21

2sin6 1 =

=⇒=

−xx

x k يوجد قيمتين لـx

kx

πππ 21674.02

,21674.02

xذلك تكون قيمة ب=+=−+ππ :التالي على الشكل kxkx 49484.5,43348.0 +=+=

2,1,0...,من أجل قيم :نالحظ انه ±±=kالمختلفة نحصل على الجدول التالي :

x 2−=k=−79.24 هذه القيمة مرفوضة x=−18.19 هذه القيمة مقبولة x 1−=k=−23.12 هذه القيمة مقبولة x=−6.6 هذه القيمة مقبولة

x 0=k=3348.0 هذه القيمة مقبولة x=9484.5 هذه القيمة مقبولة

x 1=k=9012.12 هذه القيمة مقبولة x=5.18 لةهذه القيمة مقبو

x 2=k=46.25 هذه القيمة مقبولة x=08.31 هذه القيمة مرفوضة

Copyright © 2010.



168

) حل المعادلة -48 ) 25sin3 −=xجال على الم[ ]1,0 . : الحل

) : على الشكل التاليx نوجد قيمة ) 73.03

2sin5

3

25sin 1 −=

−

=⇒−

= −xx

kkx إما x يوجد قيمتين لـ πππ 255.573.02273,05 +=−=+−= kkx أو πππ 287.373.05 +=++=

2,1,0..., حيث ±±=k إما : وبالتالي يكون

5

211.1

kx

π أو =+

5

2774.0

kx

π :للمجال المعطى لنجد القيم المناسبة=+

x 1−=k=−146.0 هذه القيمة مرفوضة x=−482.0 هذه القيمة مرفوضة

x 0=k=11.1 هذه القيمة مرفوضة x=774.0 يمة مقبولةهذه الق

.x=774.0 كلها تعطى قيم مرفوضة والحل الوحيد هو kوبقية القيم لـ .جداول الدوال العكسية حل هذه المعادالت يحتاج آلة حاسبة علمية أو :نالحظ أن

θsinارسم المعادلة القطبية -49

2

11+=r .

: الحل : نوجد قيمة كال من

2

1,1 == ba منها ab . هو منحنى حلزوني∴>

Copyright © 2010.



169

θsinارسم المعادلة القطبية -51 2

1+=r.

: الحل

360° 330° 315° 300° 270° 90° 60° 45° 30° 0° θ 5.0 0 2.0− 3.0− 5.0− 5.1 36.1 2.1 1 5.0 r

.θln=r المعادلة القطبية ارسم-52 :الحل

Copyright © 2010.



170

Let and X be Y town an empty sets then: The Cartesian product of X and Y ,denoted by YX × , is the set of ordered

1- Pairs ),( yx where Xx ∈ and Yy ∈ That is:

{ }YyandXxyxYX ∈∈=× :),(

2- A relation R from X toY is any subset of YX × that is YXR ×⊆ .

3- A domain of relation R from X toY , denoted )(RDom , is the set of all

Xx ∈ such that Ryx ∈),( , That is: { }RyxXxRDom ∈∈= ),(:)(

4- Range of relation R from X toY , denoted )(Rrange , is the set of all

Yy ∈ such that Ryx ∈),( , That is : { }RyxYyRRange ∈∈= ),(:)(

5- If R is a relation from X toY ,the inverse relation of R is a relation from X

and is denoted by 1−R , that is : { }RyxxyR ∈=− ),(:),(1

6- A function f is a relation from X toY that assigns to each element Xx ∈

one and only one element Yxf ∈)( .

7- A function f is a relation from X toY that satisfies the following:

I- XD f =

II- If zyThenfzxandfyx =∈∈ ),(),( .

. Algebraic operations on functions:

If )(xf and )(xg are two functions, then : )()())((1 xgxfxgf ±=±−

)()())((2 xgxfxgf ×=×− 0)(

)(

)()(3 ≠=

− xg

xgxf

xgf gf DDx I∈∀

- The Composition of function : If )( xf and )( xg are two functions , then : The Composite function gf o is defined by: ))(())(( xgfxgf =o , where

ϕ≠gf DD I . The Composite function gf o is defined by: ))(())(( xfgxfg =o , where

Summary

Copyright © 2010.



171

ϕ≠gf DD I . - The function )( xf is called even function if :

)()( xfxf =− , fDx ∈∀ .

- The function )( xf is called odd function if : )()( xfxf −=− , fDx ∈∀ .

- The function YXf →: is called: One – to- one function if for fDxx ∈21 , :

2121 )()( xxxfxf =⇒= or )()( 2121 xfxfxx ≠⇒≠ On –to- function if : Yy ∈∀ , Xx ∈∃ such that )( xfy = or if YR f =

One – to- one correspondence if f is One – to- one and f is onto. If The function YXf →: , )(xfy = , is One – to- one correspondence ,then f has

an inverse function , denote 1−f , such that XYf →=−1 and )(1 xfx −= . -Bounded and unbounded functions : If there is a number M such that: Mxf ≤)( , fDx ∈∀

We say that f is bounded from above on fD and call M an upper bound of the

function . If The function m such that : mxf ≥)( , fDx ∈∀

We say that f is bounded from below on fD and call m a lower bound of The

function . If there exist two numbers M and m such that: Mxfm ≤≤ )( , fDx ∈∀

We say that f is bounded on fD .

Some types of function: The function: 01

11 .........)( axaxaxaxf n

nn

n ++++= −− ,

0≠na , Raaaa nn ∈− 011 ,,,........., , 0≥n is called polynomial function ,

nn aaaa ,,,.........,, 110 − coefficients and n degree of polynomial function .

Square root function : )()( xgxf = where )( xg is polynomial function of n degree.

Rational function : We called the function :

)(

)()(

xq

xpxf =

Rational function Where )( xp and )( xq are degree n and m . Absolute value function :

Copyright © 2010.



172

<≥

=0)()(

0)()()()(

xfifxf

xfifxfxfxf .

Greatest integer function (step function ): [ ]xxf =)( Where [ ]x denote the greatest integer number less than or equal to the number x ( )1+≤≤ nxn then [ ] nx = . Trigonometric functions: I- )sin()( xxf = is odd function and bounded. II- )cos()( xxf = is even function and bounded III- )tan()( xxf = is odd function and unbounded IV- )cot()( xxf = is odd function and unbounded V- )sec()( xxf = is even function and unbounded VI - )(csc)( xcxf = is odd function and unbounded 7- Hyperbolic Functions: 1. )sinh()( xxf = , where RD f = And RR f = is odd function , because

)(2

)cosh()( xfee

xxfxx

=+

=−=−−

And yxyxyx sinhcoshcoshsinh)sinh( +=+

2. )cosh()( xxf = , where RD f = and RR f = is even function , because

)(2

)sinh()( xfee

xxfxx

−=−

=−=−−

And yxyxyx sinhsinhcoshcosh)cosh( +=+

3. )tanh()( xxf = , where RD f = And RR f = is odd function , because )(

)cosh(

)sinh(

)cosh(

)sinh()tanh()( xf

x

x

x

xxxf −=

−=

−−

=−=−

andyx

yxyx

tantanh1

tantanh)tanh(

++

=+

4. )coth()( xxf = , where RD f = And RR f = is odd function , because )(

)sinh(

)cosh(

)sinh(

)cosh()coth()( xf

x

x

x

xxxf −=

−=

−−

=−=−

andyx

yxyx

cothcoth1

cothcoth)coth(

++

=+ 5. )(sec)( xhxf = , where { }0cosh: =−= xRD f and RR f = is even

function , because )()cosh(

1

)cosh(

1)(sec)( xf

xxxhxf =

−=−=−

6. )()( xcechxf = , where { }0sinh: =−= xRD f and RR f = is odd

function, because )()sinh(

1

)sinh(

1)(sec)( xf

xxxhcxf −=

−=

−=−=−

Copyright © 2010.



173

8- Exponential function: For any real number 0>a and 1≠a we called xaxf =)( an exponential function. 9-Logarithm function: For all positive numbers a , where 1≠a we called xxfy alog)( == logarithm

function and its mean yax = . - If 10=a then the logarithm called common logarithm. - If ea = then the logarithm called natural logarithm. 10- Inverse Hyperbolic Functions:

)sinh()(sinh1 1 yxyx =⇔=− − ,

0,)cosh()(cosh2 1 ≥=⇔=− − yyxyx )tanh()(tanh3 1 yxyx =⇔=− −

, Rxxxx ∈++=− − ,1ln()(sinh4 21

1,1ln()(cosh5 21 ≥−+=− − xxxx , 11,1

1ln

2

1)(tanh6 1 <<−

−+

=− − xx

xx

************************

Copyright © 2010.



174

É :أوجد نطاق ومدى الدوال الثابتة موضحا اإلجابة على خط األعداد: 1

78

35)()

1

1)()4)()

22 +++

=−

=−=xx

xxfc

xxfbxxfa

4 29)()45

45)()

2

69)() xxff

x

xxfe

x

xxfd −=

++

=+−

−=

2

3

)29()()3

48)()

12

49)() −=

−−

=−

−= xxfi

x

xxfh

x

xxfg

)(375إذا كانت: 2 2 +−= xxxf 0( أوجد(f،)( af،)5

2(−

fمع رسم الدالة . في كل من التمارين xg)( ،xf)(والقسمة للدالتين ،الضرب، الفرق،أوجد المجموع :3

É :التالية) a (

1

1)(

2 −=

xxf ، 4 5 13()( −+= xxxg.

)b (5

3

)1()( −= xxf ، 3793

)(x

xxg

+=.

)c ( 2

3

)29()(,3

48)( −=

−−

= xxfx

xxg

)d ( xxf −= 4)( ، 5 )1()( −= xxg

))(( ثم عين كال من xgf o ، ))(( xfg oلنطاق المشرك في التمارين السابقة مع تحديد ا .للدوال

É :كان إذا xg)(أوجد أحدى الدوال :4

) a(2)1())(( xxgf +=o 2 وكان)( xxf =

Copyright © 2010.



175

)b (2))(( xxgf =o 1 وكان)( −= xxf )c( 2))(( += xxgf oوكان

2

1)(

+=

xxf

)d( xxgf =))(( oوكان xxf =)(

في التمارين التالية مع تحديد النطاق المشرك xg)(،xf)(عين أحدى الدالتين : 5 É:لللدوا

xx

xxgfc

xx

xxgfb

xx

xxgfa

4

)5())(()(

)13(

)1())(()(

3

23))()((

3

325

7

2

++

=

+−+

=

+−

=

o

o

o

É :برهن صحة العالقات التالية :6

( )

( )yx

yx

yx

yxc

xxx

xxbx

xx

xxa

−

+=

−+

=++

=++

2

1tan

2

1tan

sinsin

sinsin)(

3tan4cos2cos

4sin2sin)(2tan

3coscos

3sinsin)(

( ) ( )

( ) )cos1(2sin3sinsin2sin3sin2sinsin)(

2

1cot

2

1cot

coscos

coscos)(

θθθθθθθθ +=++=++

+−−=−+

e

yxyxyx

yxd

É :برهن صحة العالقات العدية التالية :7020cos100cos220cos)( =++a

020cos110cos130cos)( =++b

É :ية برهن صحة المتطابقات التال:8( )θθθθθ 5sin3sinsin2

16

1coscos)( 32 −+=a

( )θθθθθ 6cos4cos22cos232

1coscos)( 42 +−−=b

Copyright © 2010.



176

É: المجهول في المعادلة أكتب المعادالت التالية على شكل آسي وأحسب قيمة :9xcbxa a 4

4

1 log3)(8log3)(log3)( ===−

É :استخدم خواص اللوغاريتمات لفك المقادير التالية:10

5

4

33

5

)32(9log)(

)1(6log)(

5log)(17log)(

++

−

x

xd

b

ac

xba

É : أكتب التعابير اللوغارثمية التالية على شكل تعبير وحيد:11

)4ln(3)]1ln(2

1ln3)(

log)1log(3(log2)(

+−++

−+−

xxxb

yxxa

É :احسب قيمة كال مما يلي :12

4log

5

8

9

54

10)(

10log)(

8log4)(

81log7)(

4log)(

f

d

c

b

a

:حل دون استخدام اآللة الحاسبة :13

52

13

327)(

322)(

9

181)(

5125)(

+

−

=

=

=

=

xx

x

x

x

d

c

b

a

É :حل المعادالت اللوغارثمية التالية: 14

1)12(loglog)(

2log)74log(log)(

33 =++=−+

xxb

xxa

Copyright © 2010.



177

أوجد الدوال العكسية للدوال اآلتية مع رسم هذه اثبت أن الدوال التالية تقابلية ثم : 15 É:الدوال

[ ) { } ( ) IRfIRIRff

xxfcx

xxfbxxfa

→∞−→−∞→

∞

+=−+

=−=

,5:1:,0,3

2:

)5ln()()()1(

)1()()(23)()( 3

[ ] [ ) ( ]3,:,51,1::

32

1)()()1)(5()()(4)()( 223

∞−→∞−→→

+−

=−−=−=

IRfIRfIRIRf

xxfgxxxffxxfd

U

]ارسم كل من المعادالت القطبية التالية في الفترة :16 ]π.0:É

θθθθ

sin51sin22

cos53)(cos35)(

+−=+=+=−=

yy

xbxa

θθθ 5cos)(4sin)(sin32)( ==+= rerdrc

***************

Copyright © 2010.



179

Limits

أو بعض ،إحدى القيمما عدا ،معرفة في نطاق معينالتي تكون هناك كثير من الدوال

الدالة :فمثال، الدالة غير معرفةفيها تكون النطاق من ذاك، القيم1

1)(

2

−−

=x

xxf غير

x=1معرفة عندما حيث

00

1111

)1( =−−=f ليس لها قيمة حقيقية على خط األعداد الحقيقية( فهي غير معرفة (

),1()1,(وبالتالي نطاقها يكون ∞∪−∞∈D كما هو مبين بالجدال 2 نجد أن الدالة تقترب من 1من xولفحص هذه الدالة عند اقتراب

:التالي اقتراب من اليسار ليميناقتراب من ا

1

1)(

2

−−

=xx

xf 1>x 1

1)(

2

−−

=x

xxf

1<x 2.05 1.05 1.95 0.95 2.04 1.04 1.96 0.96 2.03 1.03 1.97 0.97 2.02 1.02 1.98 0.98 2.01 1.01 1.99 0.99

M M M M

. 1 من xكلما اقتربت 2أن الدالة تقترب شيئا فشيئا من :نالحظمن خالل الجدول السابق . 1 إلى x عندما تؤول 2هو لهذا نقول أن نهاية الدالة∴

x=1 إال أنه توجد لها نهاية عندما x=1 الدالة عندتعريفبالرغم من عدم أي أنه

:تعریف . نفسهاaثناء القيمة باستa دالة معرفة على فترة مفتوحة حول قيمة حقيقية fلتكن فإننا نقول . a منxكلما اقتربت, L تقترب اختياريا من قيمة حقيقيةxf)(فإذا كانت : ونكتب ذلك على الصورة اآلتية aمن x كلما اقتربت Lتقترب من النهايةxf)(أن

LxfLimax

=→

.Lهي a إلىx عندما تؤول f ونقراها نهاية الدالة)(

Copyright © 2010.



180

:مثال: وضح نهاية الدالة بالرسم

<

≥=

1,

1,)(

2 xx

xxxf .

:الحل

L وليكن، نفسهa فيما عدا العدد،aترة مفتوحة تحتوي على عدد دالة معرفة على فfلتكن

LxfLim :عددا حقيقيا عندئذ العبارةax

=→

)( : يكون بحيث δ<0عدد حقيقي يوجدε<0 عدد حقيقي صغيرتعني أنه لكل

δε <−<⇒<− axLxf . وهو مقدار موجب صغير جدا" epsilon" يقرأ εالرمز)(0 .εمالئم للعدد وهو مقدار موجب صغير جدا "delta" يقرأ δوالرمز

),()(),(

)(

)(

)(

εεδδεεδδ

εεδδ

εδ

+−∈←+−∈+<<−←+<<−

<−<−←<−<−

<−←<−

LLxfaax

LxfLaxa

Lxfax

Lxfax

الیمیناقتراب من اقتراب من الیسار

δ+a

)(xfy =

ε+L

Lε−L

δ−aa

Copyright © 2010.



181

:مثال)(12 إذا كان لدينا الدالة += xxf، 1 فأوجد نهاية هذه الدالة عندما→x . : الحظ الجدول التالي

1.5 1.1 1.001 1.0001 0.999 0.99 0.9 0.5 x

4 3.2 3.002 3.00002 2.998 2.98 2.8 2 )(xf 31)1(2)12(

1=+=+

→xLim

x :بتطبيق التعريف الرياضي نجد

21

212

)1(2

22

312

)(

ε

ε

ε

ε

ε

ε

<−

÷<−

<−

<−

<−+

<−

x

x

x

x

x

Lxf

يمكن اعتبار 2

εδ فإنδ<−1xإذا كان =

ε<− 3)(xf

8.2)(1.29.02.3 :فإن ε=2.0 إذا كان <<←<< xxf

98.2)(01.199.002.3 : فإنε=02.0إذا كان <<←<< xxf

998.2)(001.1999.0002.3 : فإنε=002.0إذا كان <<←<< xxf

9998.2)(0001.19999.00002.3 : فإنε=0002.0إذا كان <<←<< xxf

99998.2)(00001.199999.000002.3 : فإنε=00002.0إذا كان <<←<< xxf

Copyright © 2010.



182

Left and Right limits

المتواليةحدودإن قيمة n

n 12.......,,

5

9,

4

7,

3

5,

2

3,1

2هي باستمرار أصغر من −→−وتكتب ، من اليسار2 تقترب من x عن قيمة حدوعلى هذا فإننا نقول 2x . وبالمثل قيمة

x ة المتواليفي حدود ,....10

12......,,0001.2,001.2,01.2,1.2

n 2من هي باستمرار أكبر +

→+ . وتكتب، من اليمين2 تقترب من xونقول في مثل هذه الحالة أن 2xومن الواضح أن afLim)(وجود العبارة

ax→afLim)( اليسار تستلزم وجود تساوي كل من نهاية

ax −→ونهاية اليمين

)(afLimax +→

. والعكس صحيح،ال يستلزم وجود نهاية اليسار، على أن وجود نهاية اليمين

:مثال29 للدالة )النطاق( إن مجال التعريف x(x)f 33 هو الفترة =− ≤≤− x ، فإذا كان

a 33الفترة المفتوحةأي عدد في <<− x ، 29فإن xLimax

−→

29 موجودة وتساوي a− ،09فنجد ، من اليسار أوال3تقترب إلى x ولنجعل a=3لنعتبر اآلن 2

3=−

−→xLim

xأما إذا

2 من اليمين فإننا نجد أن 3 بعد ذلك تقترب من xجعلنا

39 xLim

x−

+→؛ غير موجودة

2x9ألن 2وهكذا نجد أن ،x<3عندما سالبا يكون −

39 xLim

x−

→ . غير موجودة

:بالمثل2نجد أن

39 xLim

x−

+−→2ومساوية للصفر ولكن موجودة

39 xLim

x−

−−→ غير موجودة

2وبالتالي

39 xLim

x−

→ . غير موجودة

Theorem

LxfLim نهاية معرفة وموجودة xf)( يكون للدالة ax

=→

: ن إذا وفقط إذا كا)(LxfLimxfLim

axax==

−+ →→)()(

Copyright © 2010.



183

:مثال : حيثx=1عند xf)(الدالة أدرس نهاية

>+

<−=

1,1

1,2)(

2 xx

xxxf مع رسم الدالة.

:الحل :يسار واليمين فنحصل على القيم التالينوجد النهاية نمن ال )( ) 2 - ( 1 النهاية من اليسار

11==

−− →→xLimxfLim

xx

)( ) 1 ( 2 النهاية من اليمين 2

11=+=

++ →→xLimxfLim

xx

)( (بما أن 11

f (xLimxfLimxx +− →→

)( إذا ≠1

xfLimx→

غير موجودة

:تعریف : إذا تحققت العالقة التالية xf)(لدالة ) تكامل(دالة أصلية xF)(يقال إن

dxxfxFd )()( = )( أو المشتقة xf)( هو xF)(أي أن بمعنى أن تفاضل

)(xf

xd

xFd=.

Copyright © 2010.



184

:مثال 2تؤول إلى xدما هل توجد للدالة نهاية عن

>+

<−=

2,12

2,3)(

xx

xxxf مع رسم الدالة .

:الحل

212

)(

1)3()(

22

22

=

+=

=−=

++

−−

→→

→→

xLimxfLim

xLimxfLim

xx

xx

)()(22

xfLimxfLimxx

+−→→

≠Q

)( إنومنها نستنتج 2

xfLimx →

غير موجودة

:مثال أوجد نهاية الدالة

x

xxf

24)(

−+ .مع رسم الدالة x→0 عندما =

: الحل بالضرب في مرافق البسط

24

2424lim)(lim

00 ++++×−+=

→→ x

xx

xxf

xx

)24(

440 ++

−+=

→ xx

xLim

x

4

1

24

1

24

1lim

0=

+=

++=

→ xx

Copyright © 2010.



185

:مثال أوجد نهاية الدالة

8

4)(

3

2

−−

=x

xxf 2 عندما→x مع رسم الدالة.

: الحلmn نعلم أن

mm

nn

axa

m

n

ax

ax −

→=

−−

limوبالتالي يكون لدينا :

حيث أن 8

4)(

3

2

−−

=x

xxf 2 وباعتبار=a 2 و=n 3 و=m بذلك يكون لدينا :

3

1

6

2

2

1

3

22

3

2

2

2lim)(lim 32

33

22

22==×==

−−

= −

→→ x

xxf

xx

Copyright © 2010.



186

Algebraic Techniques For Farcing Limits ax عندما xf)( لحساب نهاية الدالة axنعوض في هذه الدالة عند → وقد نحصل =

وقد ال نحصل عليها عندئذ نتبع طرق أخرى سنتطرق على المطلوب كما يبين المثال أدناه . سفلةأإليها :مثال

)(2 أوجد نهاية الدالة xxf .x→2 عندما = : الحل

)(2 أن بما xxf 2تؤول إلى xعندما xf)( نبحث عن نهاية =

4)( 2

22==

→→xLimxfLim

xx . 2 إلى العدد x عندما تقترب4 تقترب من xf)( وهذا يعني أن

Theorems in Limits

.Limit of Constantنهاية المقدار الثابت .1bxf لدالة bLimxfLim نجد أن )(=

axax →→=)( .

:مثال)(5 أوجد نهاية الدالة =xf 3 عندما→x. : الحل 5)(

3=

→xfLimt

x . 5 منها نجد أن النهاية تساوي قيمة ثابتة وهي

:نهاية دالة كثيرة الحدود .2xxf لدالة xLimxfLim نجد أن )(=

axax →→=)( .

:مثالxxfية الدالة أوجد نها .x→−3 عندما )(= : الحل )3()(

33−==

−→−→xLimtxfLimt

xx .-3 منها نجد أن النهاية تساوي قيمة ثابتة وهي

Copyright © 2010.



187

.Limit of Sum functionsنهاية مجموع دالتين .3

)()()(لتكن الدالة xgxfxF )(,)( حيث=+ xgxfدالتان في xفإن : ( )

)()(

)()()(

xgLimxfLim

xgxfLimxFLim

axax

axax

→→

→→

+=

+=

:مثال)()56( أوجد نهاية الدالة 23 xxxf .x→−2 عندما =+ : الحل

282048)2(5)2(656)56( 232

2

3

2

23

2−=+−=−+−=+=+

−→−→−→xLimxLimxxLim

xxx

.Limit of Difference functions نهاية فرق دالتين. 4

)()()( لتكن xgxfxF )(,)( حيث =− xgxf دالتان في xفإن: ( ) )()()()()( xgLimxfLimxgxfLimxFLim

axaxaxax →→→→−=−=

:مثال)()2( أوجد نهاية الدالة 34 xxxf .x→1 عندما =−

: الحل1)1()1(22)2( 343

1

4

1

34

1=−=−=−

→→→xLimxLimxxLim

xxx

: وعموما إذا كانت±±±±±±= − )()(.................)()()()( 1321 xfxfxfxfxfxF nn

)(,)(,)(,..........,..)(,)(حيث 1321 xfxfxfxfxf nn−دوال في x فإن : )()(........)()()()( 1321 xfLimxfLimxfLimxfLimxfLimxFLim n

axn

axaxaxaxax →−→→→→→±±±±±=

:مثالxxxxxF لتكن الدالة ++−= 234 .x→1 نهاية الدالة عندما أوجد )(32

: الحل

31)1(3)1(2)1(

32- F(x)

234

1

2

1

3

1

4

11

=++−=

++=→→→→→

xLimxLimxLimxLimLimxxxxx

Copyright © 2010.



188

.Limit of products functions دالتين )ربض( جداء نهاية .5)().()(لتكن xgxfxF )(,)(حيث = xgxf دوال في x، فإن

( ) )()()()()( xgLimxfLimxgxfLimxFLimaxaxaxax →→→→

×=×=

:مثال)()12)(15( الدالة لتكن 23 +−−= xxxF 1عندما نهاية الدالة أوجد−→x .

)15)(12()( 23

11+−−=

−→−→xxLimxFLim

xx

( ) ( ) 61)1(51)1(2

)15()12(

23

2

1

3

1

=+−×−−−=

+×−−=−→−→

xLimxLimxx

عبارة عن جداء عدة دوال xF)(وعموما إذا كان

)(................)()()( 321 xfxfxfxf n×××× :فإن

)(................)()()()( 321 xfLimxfLimxfLimxfLimxFLim naxaxaxaxax →→→→→

××××=

.Limit of quotient functions نهاية قسمة دالتين.6لتكن الدالة

)(

)()(

xgxf

xF )(,)( حيث = xgxf دالتان في x 0و)( ≠xg فإن:

0)(,)(

)(

)(

)()( ≠=

=

→→

→

→→xgLim

xgLim

xfLim

xg

xfLimxFLim

axax

ax

axax

:مثال لتكن الدالة

15

62)(

2 −+

=xx

xF 0 نهاية الدالة عندما أوجد→x.

61

6

)15(

)62(

15

62)( 2

0

0

200−=

−=

−

+=

−+

=→

→

→→ xLim

xLim

xx

LimxFLimx

x

xx

:مثال

إذا كانت

=≠

=2,0

2,)(

2

x

xxxf اوجد )(

2xfLim

x →

: الحل إذن دائما هي قربها من اليسار واليمين x≠2 هذا يعني أن x→2نالحظ هنا أنه إذا كان

4)( 2

22==

→→xLimxfLim

xx

Copyright © 2010.



189

:مثال : معرفة بالعالقة f(x) إذا كانت x= 3نهاية الدالة أوجد

>+

≤−=

3,13

3,5)(

2

xx


: الحل)(5هي xf)( من اليسار فإن عبارة الدالة 3 إلى العدد xعندما تقترب 2 −= xxf ،وبالتالي:

45)3()5()( 22

33=−=−=

−− →→xLimxfLim

xx xf)( فإن عبارة الدالة ؛ من اليمين3 إلى العدد xعندما تقترب

)(13هي += xxf نجد أن وبالتالي: 413313)(

33=+=+=

++ →→xLimxfLim

xx

:مثال :معرفة بالعالقة g( t( د نهاية الدالة إذا كانت أوج

<−≥

=0,2

0,)(

2

tt

tttg 0 عندما →t .

: الحل)(2 هي g (t) من اليسار فإن عبارة الدالة 0 إلى العدد tعندما تقترب −= ttg ،وبالتالي:

220)2()(00

−=−=−=−− →→

tLimtgLimtt

Copyright © 2010.



190

)(2 هي g (t) من اليمين فإن عبارة الدالة 0لعدد إلى اtعندما تقترب ttg :وبالتالي، =00)( 22

00===

++ →→tLimxgLim

tt . وبالتالي فليس للدالة نهاية عند هذه النقطة، النهاية من اليمين ال تساوي النهاية من اليسارإذا .Limit of trigonometric functionsنهاية الدالة المثلثية .7

cxنهاية الدالة المثلثية عندما cxهو قيمة الدالة عند → = : مثال

1)0cos(cos0

==→

xLimx

0)0sin(sin0

==→

xLimx

:مثال : الدالة المعرفة بالعالقة أوجد نهاية

>

<−=

2,cos

2,1sin

)(π

π

xx


: الحل

نوجد نهاية الدالة عندما −

→2

πx:

011)1(sin)(

22

=−=−=−−

→→

xLimxfLim

xxππ

نوجد نهاية الدالة عندما +

→2

πx:

:إذا 0)()()(

222

===+−

→→→

xfLimxfLimxfLim

xxx ππ

π

0)(cos)(

22

==++

→→

xLimxfLim

xxππ

Copyright © 2010.



191

: البرهانQA: المقابللدينا من الشكل

oAQA

==θtan Q

πθθ <<= 0,sinMP M θθ :واضح أن tansin AQMP الن > < .

θ من مساحة >∆0AQاحة المثلث مس :كذلك فإن .∆AQP مساحة المثلث >∆OPA ي القطاع الدائر

A P 0

θsin2

1

2

1=×=∆ PMOAAOP

θtan2

1

2

1=×=∆ AMOAAOP

AOP: θθمساحة القطاع الدائري2

1

2

1 2r : إذا

θθθθθθ tansintan2

1

2

1sin

2

1<<⇒<<

Theorem

1: أثبت أن sin

0=

→ θθ

θLim

Copyright © 2010.



192

فإن θ<0 :بفرض أنθ

θθ

θ tan1

sin<<

: وبالتالي يكون لدينا

θθθ

cos

1

sin1 θ أو >>

θθ

cossin

1 >>

1cosوبما أن 0

=→

θθLim 1 يكون لدينا

sin1

0≥≥

→ θθ

θLim

1: إذاsin

0=

→ θθ

θLim وهو المطلوب

: البرهان :نستخدم طريقة الضرب في المرافق نحصل على

( ) ( )

001cos1

sinsin

cos1sin

cos1cos1

cos1cos1cos1cos1

00

2

0

2

0

00

=×=+

×=

+=

+−

=

++

×−

=−

→→

→→

→→

θθ

θθ

θθθ

θθθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

LimLim

LimLim

LimLim

:مثال

: أوجد نهاية الدالة المعرفة بالعالقةθ

θθ 2

5sin0→

Lim. : الحل :باستخدام المبرهنات السابقة

2

51

2

55

5sin

2

5

2

5sin00

=×=

=→→ θ

θθ

θθθLimLim

Theorem

0 : أثبت أن cos1

0=

−→ θ

θθLim

Copyright © 2010.



193

:مثال : أوجد نهاية الدالة المعرفة بالعالقة

θθ

θ 4tan

0→Lim.

: الحل : باستخدام المبرهنات السابقة

4

11

4

1cos

1sin

4

1

4

tan00

=×=

×=→→ θθ

θθ

θθθLimLim

:مثال

:عرفة بالعالقة أوجد نهاية الدالة المx

xxLimx 4

cos3320

−+→

. : الحل

: باستخدام المبرهنات السابقة( )

( )2

1032

4

1

cos132

4

1

4

cos33200

=+×=

−

+=−+

→→

x

xx

Limx

xxLim

xx

:مثال

20 :التاليةنهاية ال عين

cos1x

xLimx

−→

. : الحل

: باستخدام المبرهنات السابقة( )( )

( )xxxx

Limx

xLim

xx cos1

cos1cos1cos12020 +

+−=

−→→

( ) 21

21

1cos11sin

cos1cos1

2

2

02

2

0=×=

+×=

+−

=→→ xx

xLim

xxx

Limxx

Copyright © 2010.



194

:مثال : أوجد نهايات التالية

xxx

Limx

4

3

0 sintan

2→

−

2

cos1

2

ππ −−

→ x

xLim

x

1cos2

32

2

0 ++

−→ x

xxLim

x

: الحل نهاية الدالة-1

2

cos

2

ππ−→ x

xLimx

tx: بفرض أن =−2

π يكون

2

π→x ⇐→ 0t

1sin2

cos

2

cos00

2

−=−

=

+

=−

→→→ tt

Limt

tLim

x

xLim

ttx

π

ππ

نهاية الدالة -2 x

xxLimx 4

3

0 sin

tan→

: يكون لدينا

111cos

1

sin

cossin

sin

3

3

4

3

0

=×=×=

=

→

→

θθθ

xLim

xx

xxLim

x

x

نهاية الدالة -3 1

cos22

2

0 ++

→ xxx

Limx

:لدينا يكون بالتعويض المباشر

12020

1cos2

1cos2

2

2

02

2

0=

++

=+

+=

++

→→ xxx

Limx

xxLim

xx

Limit 0f a Power Function الدالة قوة نهاية .8

: مرفوعة إلى أسدالةنهاية [ ]

n

at

n

atxfLimxfLim

=

→→)()(

Copyright © 2010.



195

:مثال)()43(5 أحسب نهاية الدالة += xxf 2 عندما→x.

: الحل5

5

2

5

2)10()43()43( =

+=+

→→xLimxLim

xx

:مثال

xxfأحسب نهاية الدالة 3sin)( 2عندما =

π→x مع رسم الدالة.

: الحل

lim)(sinlim)1(1 : الدالة على الشكل التالية نوجد نهاي 3

3

22

==

=

→→xxf

xxππ

:مالحظة

)()()(إذا كانت xgxhxf a التي تنتمي إلى فترة مفتوحة حول العددx لجميع قيم≥≥axعدا LxfLimLxgLim وإذا كان =

axax==

→→)(,)(

LxhLimفإن ax

=→

)(

Copyright © 2010.



196

:مثال22 إذا كان 5)(25 xxfx ] في الفترة −≥≥− )( أوجد −1,1[

0xfLim

x→مع رسم

.الدالة : الحل

5)(

525

55

0

2

0

2

0

=∴

=−

=−

→

→

→

xfLim

xLim

xLim

x

x

x

Q

Q

:مالحظةإال أنه xf)(معرفتنا للصيغة الجبرية للدالة بالرغم من عدم جد أنه في هذا المثال ن

. تؤول إلى الصفرxعندما 5 نستطيع أن نقول أن نهايتها هي 7باستخدام الخاصية

:مثالxexxf أحسب نهاية الدالة 2.7cos)( x→0دما عن=

: الحل1110cos7cos.7cos 02

00

2

0=×=×=

×

=

→→→eeLimxLimexLim x

xx

x

x

:مثال

xxfx بفرض أن ≤≤ )(sinة أوجد نهاي )(xf 0 عند=x .

: الحل0sinlim : نعلم أن

0=

→x

x0lim و

0=

→x

x

lim)(0 : إذن0

=→

xfx

•

25 x−

)(xf

x25 −

-1 1

y

x

Copyright © 2010.



197

Indeterminate Cases

∞∞

=→

)()2( xfLimax

0

0)()1( =

→xfLim

ax

∞−∞=→

)()4( xfLimax

0)()3( ×∞=→

xfLimax

.التعيينوهناك طرق إلزالة عدم ،معينةفي هذه الحاالت تكون النهاية غير

: عدم التعيين:أوال0

0 Indeterminate form

،ويزال بالتحليل وقسمة البسط على المقام وباالختصار أو بالقيام بعملية طرح أو جمع .مثل الضرب بمرافق بسط أو مقام يحوي جذررى أو باستعمال طرق أخ

:مثال الدالة نهاية احسب

4

412)(

−−+

=x

xxf 4عندما→x .

: الحل

0

0

4

4124

=−

−+=

→ x

xLimx

يجب إزالة عدم التعيين

( )( ) ( )( )4124

4

4124

1612412

412

4

412

4

412

44

44

++−−

=++−

−+=

++++

×−

−+=

−−+

→→

→→

xx

xLim

xx

xLim

x

xx

xLim

xx

Lim

xx

xx

81

4412

8

1

4124

1

4=

−−+

=∴

=++

=

→ xx

Limx

:مثالية التالية احسب النها

xxx

Limx

−→

2

0 .

: الحلعدم التعيين

0

02

0=

−→ x

xxLimx

)1(1;0من أجل )1(

00≠−=−=

−→→

xxLimx

xxLim

xx

Copyright © 2010.



198

:مثال : احسب النهاية التالية

−++−−

−+−++−→ 22

1711522356

23456

1 xxxxx

xxxxxxLimx


0

0

22

1711522356

23456

1=

−++−−

−+−++−→ xxxxx

xxxxxxLimx

)1(نقوم بإخراج التعيين ، في هذه الحالة للتخلص من عدم x− عامل مشترك من البسط : وبالتحليل نجد،والمقام معا

)15()1( 42 −−− xxx =البسط )2)(1( 25 +−− xxx =المقام

0)2)1()1((

)1)1(51)(11(

)2(

)15)(1(

)2)(1(

)15()1(

22

171152

25

4

1

25

4

1

25

42

12356

23456

1

=+−

−−−=

+−−−−

=

+−−−−−

=

−++−−

−+−++−

→

→

→→

x

x

xx

Lim

xx

xxxLim

xxx

xxxLim

xxxxx

xxxxxxLim

:مثال

: احسب النهاية التالية9

62

2

3 −−+

−→ x

xxLimx

: الحل

عدم التعيين 0

0

9

62

2

3=

−−+

−→ xxx

Limx

فمن أجل

3;6

5

6

5

3

2

)3)(3(

)2)(3(

9

6332

2

3−≠=

−−

=−−

=−+−+

=−

−+−→−→−→

xxx

Limxxxx

Limx

xxLim

xxx

:مثال: احسب النهاية التالية

3

1222 2

3 −−−

→ xxx

Limx

Copyright © 2010.



199


0

0

3

1222 2

3=

−−−

→ xxx

Limx

42;3 من أجل)3(

)3)(42(

3

1222

3

1222 22

3≠+=

−−+

=−

−−=

−−−

→xx

xxx

xxx

xxx

Limx

10)42(3

12223

2

3=+=

−−−

∴→→

xLimx

xxLim

xx

:مثال احسب النهاية التالية

2

8126 23

2 ++++

−→ x

xxxLimx

.

0: الحل1

=∞→ x

Limx

عدد موجبx حيث


0

22

824248

2

8126 23

2=

+−+−+−

=+

+++−→ x

xxxLimx

:باستخدام القسمة المطولة نحصل على)2(

)2)(44(

2

8126 223

++++

=+

+++x

xxxx

xxx

44;2ومنه من أجل 2

8126 223

−≠++=+

+++xxx

xxxx

وبالتالي فإن 048444

2

8126 2

2

23

2=+−=++=

++++

−→−→xxLim

xxxx

Limxx

:مثال0, لدينا

x2

2 =∞→x

Lim 0x

3

5=

∞→xLim

0

1=

∞→ xLimx

عدد موجبx حيث

∞=++++ °

−−∞→

)..............( 11

1 axaxaxaLim nn

nn

x

,,......,0 حيث أن 1 >− aaa nn

Copyright © 2010.



200

:مثال)(352 :أحسب نهاية الدالة 23 +++= xxxxf عندما تسعى xإلى الالنهاية . : الحل

∞=+++=∞→∞→

)352( )( 23 xxxLimxfLimxx

: عدم التعيين:ثانيا∞∞ Indeterminate form

إلزالة عدم التعيين ∞نقسم البسط والمقام على ، ∞إلى x عندما يؤول المتغير∞ . المقام البسط أوالمتغير حامال أكبر أس في

:مثال :احسب النهاية التالية

12

2

+∞→ xx

Limx


∞∞

=+∞→ 12

2

xx

Limx

فيكون لدينا 2xنقسم حدود الدالة على

:مثال

احسب النهاية التالية 3

5

xx

Limx

+∞→

. : الحلعدم التعيين

∞∞

=+

∞→ 3

5

xx

Limx

. فيكون لدينا3x نقسم دوال الدالة على

01

00

1

5155 32

33

33

3=

+=

+=

+=

+∞→∞→∞→

xxLim

xxxxx

Limx

xLim

xxx

101

1

11

1

11 2222

22

2

2

=+

=+

=+

=+ ∞→∞→∞→ x

Limxxx

xxLim

x

xLim

xxx

Copyright © 2010.



201

:مثاللنهاية التالية ا احسب

2

5 3

xx

Limx

+∞→

. : الحلعدم التعيين

∞∞

=+

∞→ 2

5 3

xx

Limx

فيكون لدينا 2xتقسم حدود الدالة على،

∞=+

=+

=+

∞→∞→∞→ 1

333 23

22

225

2

5 xxLim

xxxxx

Limx

xLim

xxx Indeterminate form: ∞×0دم التعيين ع:ثالثا

نطبق طريقة التحليل الجبري ثم نقوم باالختصار والقيام بعملية ∞×0 إلزالة عدم التعيين للوصول إلى حالة الضرب والقسمة في حالة وجودهما

∞ أو ∞

0

وهذا ممكن دوما أو 0 . الوصول إلى حل مباشر


−+

→ xxxxLim

x 20

23 .

: الحل=×∞ عدم التعيين

−+

→0

2320 xxx

xLimx

110

23

12

3

1

23

1

)1(

2323

0

0020

=−

+=

−+=

−+=

−

+=

−+

→

→→→

xLim

xxxLim

xxxxLim

xxxxLim

x

xxx

:مثال

xxxf احسب نهاية الدالة cotsin)( . إلى الصفرعىتس x عندما = : الحل

: بالتعويض المباشر نحصل على ∞×==

→→→0cotsincotsin

000xLimxLimxxLim

xxx

1cos : منهاsin

cossincotsin

0000===

→→→→xLim

x

xLimxLimxxLim

xxxx

Copyright © 2010.



202

:مثالxexxf احسب نهاية الدالة .∞تسعى إلى x عندما )(=

: الحل : بالتعويض المباشر نحصل على

∞×== −

∞→∞→0)( x

xxxeLimxfLim

)(0 : منها ==∞→∞→ xxx e

xLimxfLim

:∞−∞ نستعمل نفس الطريقة السابقة إلزالة عدم التعيين :رابعا :مثال

: احسب النهاية التالية

−−

−→ 1

1

1

321 xx

Limx

:الحل=∞−∞ عدم التعيين

−−

−→ 1

1

1

321 xx

Limx

∞=×∞=

+

−−

=

+−

−−

=

−−

−

→

→→

2

5

)1(

13

1

1

)1)(1(

1

1

3

1

1

1

3

1

121

xxLim

xxxLim

xxLim

x

xx

Theorem

Raanax

axLim n

nn

ax∈=

−− −

→:1 :وبشكل عام فإن

Raam

n

ax

axLim mn

mm

nn

ax∈=

−− −

→:

Copyright © 2010.



203


2

233

2 −−

→ x

xLimx

. مع رسم الدالة : الحل

12)42()2(

)42)(2(

2

2 2

2

2

2

33

2=++=

−++−

=−−

→→→xxLim

x

xxxLim

x

xLim

xxx

:مثالاحسب النهاية التالية

4

643

4 ++

−→ x

xLimx

. : الحل

48)164()4(

)164)(4(

4

64 2

4

2

4

3

4=+−=

++−+

=++

−→−→−→xxLim

x

xxxLim

x

xLim

xxx

:مثال


164

2 −−

→ x

xLimx

. : الحل

: الحل بالتعويض المباشر واستخدام بعض الطرق التحليلية322424

2

2

2

16 314

2

44

2

4

2=×=×=

−−

=−− −

→→→ xxxLim

x

xLim

x

xLim

Copyright © 2010.



204

:مثال


813

4

3 −−

→ x

xLimx

. : الحل

:يض المباشر واستخدام بعض الطرق التحليلية الحل بالتعو43

3

4

3

3

27

81 3433

44

33

4

3=×=

−−

=−− −

→→ x

xLim

x

xLim

xx

:مثال


8364 −

−→ x

xLimx

.

: الحل : الحل بالتعويض المباشر واستخدام بعض الطرق التحليلية

( ) 322

364

2

3)64(

3

1

2

1

)64(

)64(

4

8

4

8

6

13

1

2

1

3

1

3

1

2

1

2

1

643

1

2

1

64364

=×=×=×=

−

−=

−

−=

−−

−

→→→

x

xLim

x

xLim

x

xLim

xxx

Copyright © 2010.



205

:مثال

احسب النهاية التالية x

xLimx

3273

0

−+→

. : الحل

: الحل بالتعويض المباشر واستخدام بعض الطرق التحليلية

27

1

9

1

3

1)27(

3

1

27)27(

)27()27(

2727

)27()27(

)27()27(

3)27(327

13

1

3

1

3

1

27

3

1

3

1

27

3

1

3

1

27

3

1

0

3

0

=×=×=

+−−+

=

−+−+

=

−+=

−+=

−+

−

→

→

→

→→

x

xLim

x

xLim

x

xLim

x

xLim

x

xLim

x

x

x

xx

Copyright © 2010.



206

Limits some of Common functions

11

)10

=

−→ x

eLim

x

x 718.2

11)2 ≈=

+

∞→e

xLim

x

x

0cos1

)30

=

−

→ xx

Limx

1sin

)40

=

→ xx

Limx

1ln

1)5

1=

−

→ xx

Limx

:مثال

.92

63

25

3

++++

∞→ xx

xxLimx

أوجد النهاية التالية : : الحل 5x بقسمة حدود الدالة بسط ومقام على

0001

000

921

631

)(

53

542

=++++

=

++

++=

∞→∞→

xx

xxx LimxfLimxx

:مثال

. ∞→x عندما 2332

(x) ++

=xx

f :الدالةنهاية أوجد

n لنفرض أن

n2

210 xa.........xaxaaP(x) ++++= nو

n2

210 xb.........xbxbbq(x) ++++= إذا كانت

)(

)(

xq

xPR(x) : ، فإن =

<

=

>∞±

=∞±→

mn

mnb

a

mn

xRLimn

n

x

,0

,

,

)(

Copyright © 2010.



207

: الحل : نجدxبقسمة البسط والمقام على

∞∞

=++

∞→ 23

32

x

xLimx

3

2

03

022

3

32

23

32=

++

=+

+=

++

∞→∞→

x

xLimxx

Limxx

:مثال إذا كانت

632

)( 2

−+

=x

xxfعندما أوجد نهاية الدالة∞→x.

: الحل منها نحصل علىx=∞نعوض عن

∞∞

=−+

+∞→ 63

2

2

xx

Limx

xxxx

Lim xx

xxLim

xx

Limxxx )63(

2)63(

2

632 2222

−+

=−

+=

−+

+∞→+∞→+∞→

)/63(

)/21(

)63(

/21

)63(

21222

xLim

xLim

xLim

xLim

x

xLim

x

x

x

x

x −

+=

−

+=

−+

=+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

+∞→

3

1

)0(63

)0(21

1 63

121 2

=−+

=−

+=

+∞→+∞→

+∞→+∞→

xLimLim

xLimLim

xx

xx

Copyright © 2010.



208

:مثال إذا كانت

23

52)(

2

2

++−

=xx

xxf,ة عندما أوجد نهاية الدال∞→x.

: الحل :نحصل على 2xبالقسمة على

3

221

3

52

lim)(lim

2

2

=++

−=

−∞→−∞→

xx

xxfxx

:مثال

احسب نهاية الدالة x

xxxf

3sin2sin)(

− .تؤول إلى الصفرx عندما =

: الحل1 : نعلم أن

sin

0=

→ xx

Limx

: وبالتالي

1323

3sin3

2

2sin2

3sin2sin3sin2sin

00

000

−=−=

−=

−=−

→→

→→→

xx

Limx

xLim

xx

Limx

xLim

xxx

Lim

xx

xxx

Copyright © 2010.



209

:مثال

ة احسب قيمة النهاي1212

+−

→∞ x

x

xLim .

: الحل : على الشكل التاليx→∞ ونوجد النهاية عندما x2 نقسم على

10101

21

1

21

1 =

+−

=+

−

∞→

x

x

xLim

:مثال

احسب نهاية الدالة x

xxf

3tan .x→0 عندما = )(

: الحل : بالتعويض المباشر نحصل على

003tan

0

=→ x

xLim

x x3tanلذلك نعوض عن

:بمتساوية فنحصل على

313cos

13sin3

cos1sin3cos

3sin3tan

00

0000

=×=

×=

×==

→→

→→→→

xLim

xx

Lim

xLim

xx

Limx

xx

Limx

xLim

xx

xxxx

Copyright © 2010.



210

Continuous of Functions: ]في المجال )مرةتمس( يقال عن الدالة أنها متصلة ]ba, إذا كان باإلمكان رسمها بدون

bxaانقطاع في النطاق " أي ال يوجد أي نوع من االنقطاع في المنحنى "≥≥ : الدالة رياضيا كاآلتي)استمرار( يعرف اتصال

ax عند )مستمرة (أنها متصلةf عن الدالة يقال :التاليةشروط ال إذا توفرت في الدالة =

Continuous Condition axالدالة معرفة عند .1 .أي موجودة ومحدودة" معرف a،)(afقيمة الدالة عند "=axتوجد نهاية للدالة عند .2 )(أي أن → xfLim

ax→ . موجودة

فإنه يجب أن تساوي نهاية الدالة عند نفس ؛af)(إذا كانت للدالة قيمة عند .3)()(النقطة afxfLim

ax=

→ .

. )مستمرة (فلن تكون الدالة متصلة" أو إحداها"قق الشروط السابقة أما إذا كانت لم تتح

عند نقطة أو أكثر )منقطعة( منفصلة)المستمرة(بعض أشكال الدوال غير المتصلة

0 انقطاع عند

y

)2( الحالة

aاع عند انقط

a x

xxf

1)( =

y

x

)1( الحالة

Copyright © 2010.



211

)3(الة الح

:نالحظإذا تم تعريف ،x=1 مثال يمكن جعل هذه الدالة متصلة عند) 1(أنه بالنسبة للحالة رقم

1 باآلتي 1الدالة عند 1

1)1( ==f، 1وبهذا تصبح نهاية الدالة عند→x تساوي قيمة الدالة

)x . )1()1=1عند1

ffLimx

=→

د وذلك لعدم وجو، قطاعال يمكن جعل الدالة متصلة عند نقطة االن) 3(في الحالة رقم

. نهاية للدالة عند نقطة االنقطاعax عند ستمرةيمكن أن تصبح الدالة م) 2(أما في حالة رقم ، إذا أمكن تعريف قيمة =)()( بحيث تصبح af)(للدالة afxfLim

ax=

→.

:مثال

3 : الدالةستمرارناقش ا3

352 2

≠−

−−= x,

xxx

f(x)مع رسم الدالة. : الحل

3123

312≠+=

−−+

= x,xx

) ) (xx( f(x)Q

aقطاع عند ان

1=a

1

1)(

2

−−

=xx

xf

x

y

Copyright © 2010.



212

:يةاالستمرارنطبق شروط اآلن وةعرفغير م f)3( أي أن x=3الدالة غير معرفة عند

7)12(3

3523

2

3=+=

−−−

→→xLim

x

xxLim

xx

)3(7وبالتالي لو وضعنا =fتصبح الدالة مستمرة ومعرفة كما في الشكل التالي :

:مثال

الدالة استمراريةناقش

≥<−

=0,2

0,2)(

x

xxf مع رسم الدالة.

: الحل

)()(

2)0(

00xfLimxfLim

f

xx −+ →→≠

=

)( أي أن0

xfLimx →

لعدم توفر الشرطين األول ،ستمرة غير مإذا الدالة، غير موجودة .والثالث

=≠−−

=∴3,7

3,352)(

2

x

xxxxf

Copyright © 2010.



213

:مثال

ناقش اتصال الدالة 11

1,2

1,2

1,2

)( ≤≤−

>

≤

<−

= x

xx

x

xx

xf . مع رسم الدالة

: الحل)(22 حيث أن

11==

−− →→ xxLimxfLim22 و)(

11==

++ →→xLimxfLim

xx بذلك فإن النهاية معرفة

2وتساوي )1()(2 يمة الدالة عندوكذلك ق

1==

→xfLimf

x عند النقطة متصلةالدالة هذا يعنى أن

1=x

Copyright © 2010.



214

f Continuous Function on Bounded interval a. يقال للدالة fفترة مفتوحة فيستمرة أنها دالة م ، ),( baعند كل ستمرةإذا كانت الدالة م

),( التي تنتمي إلىxقيم ba. b. يقال للدالةfفي فترة مغلقة سمرة أنها دالة م [ ]ba ),( إذا كانت متصلة في , ba

:وكانت

)()( bfxfLimbx

=−→

)()( afxfLimax

=+→

:مثال,4 :اآلتية الدالة استمرارية ناقش

4

9)(

2

≠−

−= x

x

xxf .

: الحل333909 22 ≥≥−→≥→≥→≥− xxxx

),3[]3,( البسط ∞∪−−∞∈x 04),4()4,( المقام ∞∪−−∞∈→≠− xx

),4()4,3[)3,( ∞∪∪−−∞∈∴x

.فقط في هذا النطاق المبين ستمرة وبهذا تكون الدالة م

a b

] a , b[ دالة مستمرة في

a b

) a , b( دالة مستمرة في

x

y y

x

Copyright © 2010.



215

:مالحظة

أيضا عند كل نقطة بحيث مستمرةية وكل دالة قياسالحدود مستمرةكثيرة دوال كل .1 . ال يساوي مقامها صفرا على خط األعداد الحقيقية

. عند كل نقطة تكون عندها الدالة معرفةمستمرة مثلثيه كل دالة .2

:مثال

: الدالةاستمرار ناقش 652

22435

+−

+−+=

xx

xxxf(x)مع رسم الدالة .

: الحل . دالة قياسيةxf)( من الواضح أن

0652 عداالحقيقية، األعداد مستمرة لكل دالة xf)( اإذ =+− xx ، عدا النقاط التي تحقق 0)2)(3( =−− xx 2,3 وهذا يعني == xx

}مستمرة على xf)( اإذ }3,2−R.

Theorem

gfإذا كانت الدالتان : مستمرتين فإن ,gfدول الجمع )(,)(والطرح , + fggf )*(والضرب , −− gf , والقسمة

fg

gf

)(,)( عدا قيم , xgxf ا ، دوال مستمرةالتي تجعل المقام صفر .

Copyright © 2010.



216

:مثال)(1sin اثبت أن الدالة += xxxf موضحا على مجموعة األعداد الحقيقية مستمرة دالة

.اإلجابة بالرسم : الحلxxgنعلم أن xxh وكذلك الدالة، عند أي عدد حقيقيمستمرةدالة )(= sin)( دالة =

)(1 وكذلك الدالة، كل األعداد الحقيقية على نطاقها وهو مجموعةمستمرة =xLدالة ثابتة ،)()()()(ي عند أي عدد حقيقمستمرةوهي دالة xLxhxgxf هي xf)(أي أن =×+

علىمستمرة دالة xf)(إذا مستمرةمضافا إلى ذلك دالة ، حاصل ضرب دالتين متصلتين . مجموعة األعداد الحقيقية

:مثال)(24إذا كانت xxf ] واثبت أنها متصلة على الفترة f ارسم مخطط الدالة =− ]2,2− : الحل

أي عدد بحيث c نفرض أن )(44)( 22 cfcxLimxfLim

cxcx=−=−=

→→ 22 ≤≤− c

)2(04)( 2

22

−==−=++

−→−→

fxLimxfLimxx

)(04)2(و 2

22

fxLimxfLimxx

==−=−−

→→

] على الفترة ستمرة مfإذا الدالة ]2,2−.

Copyright © 2010.



217

:مثال اوجد الفترات التي تكون الدالة

65

24)(

2

235

+−+++

=xx

xxxxf عندها مستمرة .

: الحل

32

0)3)(2(0652

==∴=−−→=+−

xorx

xxxx

3,2 عند كل النقط ما عدا مستمرة fإذا == xx ),2()3,2()3,(عند مستمرة f إذا +∞∪∪−∞

:مثال

إذا كانت

=

<<−+−

−

−=

=

3

3374

9

3

)(2

2

xifb

xifx

x

xifa

xf

ba اوجد ] على مستمرة f بحيث تكون الدالة , ]3,3−. : الحل]على مستمرة دالة fبما أن نوجد النهاية من اليسار واليمين −3,3[

bfxfLim

afxfLim

x

x

==

=−=

+

+

→

−→

)3()(

)3()(

3

3

• • ),3()3,2()2,( +∞∪∪−∞

IR

Copyright © 2010.



218

8

844794

)9(

)74)(9(

716

)74)(9(

74

74

74

9)(

8

844794

)9(

)74)(9(

716

)74)(9(

74

74

74

9)(

2

22

32

22

3

2

2

2

2

33

2

22

32

22

3

2

2

2

2

33

=∴=+=++=

−++−

=+−

++−=

++

++×

+−

−=

=∴=+=++=

−++−

=+−

++−=

++

++×

+−

−=

−−

−−

++

++

→→

→→

−→−→

−→−→

b

x

xxLim

x

xxLim

x

x

x

xLimxfLimand

a

x

xxLim

x

xxLim

x

x

x

xLimxfLim

xx

xx

xx

xx

:مثالادرس استمرارية الدالة

xxf

sin11

)(+

= : الحل

: لدينا

∈

−±−≠∈= NnnxRxDf ;)1(

2

1: π

fyxyx

Dyyx

LimxfLim ∈+

=+

=→→

;sin1

1

sin1

1)(

:إذا الدالة مستمرة في الفترات المفتوحةNnnn

Nnnn

∈

−

+−

∈

+−

+−

;22

3;2

2

1

;22

1;2

3

2

ππ

ππ

:مثال

إذا كانت

=≠+

=00

02)(

x

xxxf أم المستمرة بين إذا كانت الدالة .

: الحل)0(0واضح أن =f 2بينما)(lim

0=

→xf

x

)0(lim)( :بذلك تكون 0

xffx→

.مستمرة بذلك فإن الدالة غير ≠

Copyright © 2010.



219

:مثال .لنوني فإننا نحصل على هي الجدر اxf)(إذا كانت

: الحلn xgxgf )())(( =

n فإن مستمرة دالة xg)(وعليه إذا كانت ax

n

axxgxg )(lim)(lim

→→=

.موجودولكن بشرط إن الجدر النوني مستمرةبذلك فإن الدالة

Copyright © 2010.



220

:جد نهاية الدوال التاليةأو

إذا كانت -1 52

2

4 (x)

+=

xxx

f ، عندماأوجد نهاية الدالةx←1.

: الحل :نحصل على x=1نعوض عن بالتعويض المباشر

52

1 2

x4

+→ x

xLim

x 16

3125

2

5

)1(2

1)1(4

552

=

==

+=

f(x) 3) 252(إذا كانت -2 ++= xx ، عندماأوجد نهاية الدالةx←0 موضحا شكل .الدالة

: الحل : نحصل على x=0بالتعويض المباشر نعوض عن

22)0(5)0(2)252 ( 32

0=++=++

→xxLim

x

إذا كانت -3

123

)(2

++

=x

xxxf ، عندماأوجد نهاية الدالةx←1.

: الحل : نحصل على x=1مباشر نعوض عن بالتعويض ال

?

Copyright © 2010.



221

=++

→ 12x3

2

1 xx

Limx 2

5

1)1(

)1(2)13=

++2(

إذا كانت -4 x

xx f

48

24)(

−−

.x←2عندماأوجد نهاية الدالة ، = : الحل:بالتعويض المباشر نحصل على

00

4824

2

=−−

→ xx

Lim x

نحصل على حالة عدم .التعيين الطرق التحليليةمباستخدا :نحصل على

=−−

→ x

xLimx 48

24

2 2

1

4

2

24

22

22==

−−

→→ xxLim

x)(x)(

Lim

إذا كانت -51

1)(

3

1 −−

=→ x

xxf

x .x←1عندماأوجد نهاية الدالة ،

: الحل نحصل على حالة عدم التعيين x=1 بالتعويض المباشر نعوض عن


0

1

13

1=

−−

→ x

xLim

x

:نحصل على الطرق التحليليةمباستخدا 3)1(

1x

)1)(1(

1

1 2

1

2

1

3

1=++=

−++−

=−−

→→→xxLim

xxxLim

x

xLim

xxx

Copyright © 2010.



222

إذا كانت -6

1

12)(

2

+++

=u

uuxf،1 أوجد نهاية الدالة عندما−→x.

: الحل نحصل على حالة عدم التعيين x=−1بالتعويض المباشر نعوض عن

0

0

1

122

1=

+++

−→ u

uuLimu

عدم التعيين

:نحصل على الطرق التحليليةمباستخدا

=+

+=

+++

−→−→ 1

1

1

12 2

1

2

1 u

)(uLim

u

uuLim

uu ) ( uLim

u0111

1=+−=+

−→

كانت إذا -7 31

-1)(

y

yyf

− .y→1عندماأوجد نهاية الدالة ، =

: الحل نحصل على حالة عدم التعيين y=1بالتعويض المباشر نعوض عن

0

0

1

-131

=−→ y

yLimy


:نحصل على الطرق التحليليةمستخدابا

( )

[ ] 31111)y(

1

1)y(1)-y (

1

1 -

1

-1

323

1

3

3233

13131

=++=++=

−++

=−

=−

→

→→→

yLim

y

yLim

y

yLim

y

yLim

y

yyy

Copyright © 2010.



223

أوجد نهاية الدالة -82

256)(

8

−−

=x

xxf2 أوجد نهاية الدالة عندما→x.

: الحل : من خواص الدوال اآلسية نحصل على

102412882822

2256 7

88

2

8

2=×=×=

−−

−−

→→ xx

Limx

xLim

xx


1282)(

2

3

−−

=x

xxf4 عندما→x.


1242

32

4

42

16)2(2

161282

22

33

4

2

33

42

3

4

=××=−−

=

−−

=−−

→

→→

x

xLim

xx

Limxx

Lim

x

xx


28)(

4

3

−+−+

=x



Copyright © 2010.



224

3

1

4

1

3

1

3

1

44

3

4

81)81(

8)8(

381

28

−+

−+=

−+−+

→→

x

xLim

x

xLim

xx

( ) 272744

1814

64

181

41

1

813

1

81)81(

81)81(

8)8(

8)8(

4 3

34

111

3

1

4

1

4

1

3

1

3

1

4

=××=×=

××

×=

−+

−+×

−+−+

=

−−

→

x

xx

xLimx


9)(

4 −−

=x



632

81

4

12

1

81

81

3

9 4

1

2

1

4

1

4

1

2

1

2

1

444

=×=

=−

−=

−− −

→→x

xLim

x

xLim

xx

إذا كانت -1223

254(x)

2

23

+−−+−

=xx

xxx f ،2أوجد نهاية الدالة عندما→x.

: الحل نحصل على حالة عدم التعيين x=2بالتعويض المباشر نعوض عن

0

0

23

254

2

23

2=

+−−+−

→ xx

xxx Lim

x عدم التعيين


=+−

−+−→ 23

254

2

23

2 xx

xxx Lim

x ))(x(x

)x)(x(x Lim

x 12

122 2

2 −−+−−

→

=−

=→ 1

1

2

2 x-

)(xLimx

11212

==→

-) (x-Lim x

Copyright © 2010.



225

إذا كانت -13xx

xxf

3

3)(

2 −−

.x→3أوجد نهاية الدالة عندما، = : الحل

نحصل على حالة عدم التعيين x=3بالتعويض المباشر نعوض عن

0

0

3

323

=−−

→ xx

x Lim

x عدم التعيين

:نحصل على الطرق التحليليةم باستخدا

=−

=→ )x(x-

x Lim

x 3

3

3 )3)(3(

33 +−

−→ x xx

)x( Lim

x

36

1

)33(3

1

)3(

13

=+

=+

=→ xx

Limx

أوجد نهاية الدالة -142)3(

1)(

−=


: الحل : نحصل علىx=3بالتعويض المباشر نعوض عن

+∞==−→ 0

1

)3x(

1lim 23x

.وليس رقما على خط األعداد، تشير إلى السلوك+∞

Copyright © 2010.



226

24إذا كانت -15

24

0 3

42)(

xx

xxxf

x ++

=→

.x←0 أوجد نهاية الدالة عندما : الحل

نحصل على حالة عدم التعيين x=0عويض المباشر نعوض عن بالت

0

0

3

42

24

24

0=

++

→ xx

xxLim

x


3

4

3

42

)3(

)42(

3

422

2

022

22

024

24

0=

++

=++

=++

→→→ x

xLim

xx

xxLim

xx

xxLim

xxx

إذا كانت -16x

xxf

33)(

−+ .x→0أوجد نهاية الدالة عندما، =

: الحلبالضرب في مرافق البسط

xx

x

33lim

0

−+→

نحصل على

33

3333lim)(lim

00 ++++

×−+

=→→ x

xx

xxf

xx

32

1

33

1lim

)33(

33lim

00=

++=

++−+

=→→ xxx

xxx

إذا كانت -17

+=

hh f

11 (h) ، 0عندماأوجد نهاية الدالة→h.

: الحل نحصل على حالة عدم التعيين h=0بالتعويض المباشر نعوض عن

Copyright © 2010.



227

∞×=∞+×=

+

→0)(10

11

0 hh Lim

h


:نحصل على الطرق التحليليةمباستخدا =

+

→ hh Lim

h

11

0=

+

→ h

h h Lim

h

1

01)1 (

0=+

→hLim

h

إذا كانت -18

+=

xxxf

1 x→0عندماأوجد نهاية الدالة ، )(4

: الحل منها نحصل علىx=0نعوض عن

∞=+∞=

+

→0

14

0 xxLim

x

احسب نهاية الدالة -19

xx

xf3tan

)( .x→0 عندما = : الحل

:دوال المثلثية الن التعويض المباشر يعطي كمية غير معرفة كالتالي نستخدم خواص ال نعلم بأن الدالة

x

xx

3cos

3sin3tan : أي أن=

1133cos

1lim

3

3sinlim3

3cos

13sinlim3cos

3sin

lim3tan

lim

00

000

=×=×=

×===

→→

→→→

xxx

xxx

xxx

xx

xx

xxx

Copyright © 2010.



228


)1sin()(

−−

=x

xxf 1 عندما→x.

: الحلبالضرب في مرافق المقام

1

1

++

x

x على نحصل:

0)1(lim)1(

)1sin(lim

1)1(

)1sin(lim

1

1

1

)1sin(lim

1

)1sin(lim

11

111

=−×−

−−=

−×−−−

=++

×−−

=−−

→→

→→→

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

xx

xxx


x

xxxf

3sin2sin)(

− .x→0 عندما =

: الحل : نستخدم خواص الدوال المثلثية الن التعويض المباشر يعطي كمية غير معرفة كالتالي

1323

3sin3lim

22sin2

lim

3sinlim

2sinlim

3sin2sinlim

00

000

−=−=−=

−=−

→→

→→→

xx

xx

xx

xx

xxx

xx

xxx

ب نهاية الدالة احس-22x

xxf

3sin

2tan)( .x→0 عندما =


Copyright © 2010.



229

نعلم بأن الدالة x

xx

2cos

2sin2tan : أي أن=

3

2

3

12

3sin3

3lim

2cos

1lim

2

2sin2lim

3sin

1

2cos

2sinlim

3sin

2tanlim

000

00

=×=××

×=

→→→

→→

xx

xxx

xx

x

x

x

xxx

xx

الة احسب نهاية الد-23

xx

xxxf

5sin7

3tan5)(

−+

.x→0 عندما = : الحل

: نستخدم خواص الدوال المثلثية الن التعويض المباشر يعطي كمية غير معرفة كالتالي

457

35

5

5sin57

3

3tan35

lim5sin7

3tan5lim

00=

−+

=−

+=

−+

→→

xx

xx

xxxx

xx


3

2sin2tan)(

x

xxxf

− .x→0 عندما =


41222cos

1sin2

2

2sin2lim

2cos

12cos12sinlim

12cos

12sin

lim

2sin2cos

2sin

lim2sin2tan

lim

2

2

0

2020

3030

=××=××=

×−

×=−

×=

−=

−

→

→→

→→

xxx

xx

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xxx

x

xx

x

xx

xx

Copyright © 2010.



230


)(x-

x xf

+ .x→∞ أوجد نهاية الدالة عندما، =

: الحل

xx x

xx xLim

x-

x Lim

xx 86

53

86

53

−+

=+

+∞→+∞→x نحصل على ى عل بالقسمة

2

1

6

3

86

53==

++∞→+∞→

Limx-

x Lim

xx∞=x : يكون لدينا نعوض عن


4)( 3

2

-xxx

xf−

.x→∞أوجد نهاية الدالة عندما، = : الحل

: نحصل على∞=x عن ض والتعوي3x ىبالقسمة عل

=−

+∞→ 52

43

2

-x

xx Lim

x0

2

0

52

433

332

==−−

+∞→ xxx

xxxxLim xx


86

53(x)

x-x

f+

.x→∞عندماأوجد نهاية الدالة ، =

: الحل : نحصل على∞=x عن ض والتعويx ى بالقسمة عل

Copyright © 2010.



231

333

21

8653

8653

=−+

=+

+∞→+∞→ xxxxxx

Limx-

x Lim

xx


243)(

3

3

++−

=x

xxxfعندما ∞→x.

: الحل : نحصل على∞=x عن ض والتعويx3 ىبالقسمة عل

7

35

7

243

lim57

243lim

3

32

3

3

=+

+−=

++−

∞→∞→

x

xxx

xxxx


xxxf

1sin)( .x→∞ عندما =


x

xLimx

xLimxx 1

1sin

1sin

+∞→+∞→=

نفرض متغير أخر x

t1

→∞⇔→0 منها نجد أن = tx يكون لدينا بذلك:

1sin

0=

→ tt

Limt

Copyright © 2010.



232


11(x)

−

+=

x

x f ،أوجد نهاية الدالة عندما∞→x.


ee

xxx

x

x

x

x

=×=

+×

+=

+

−

∞→

−

∞→

1

11

11lim

11lim

22

xإذا كانت -31

x f

++=

4

11(x) ،أوجد نهاية الدالة عندما∞→x.


e

xx

xx

x

x

x

x

x

x

=

++×

++=

++=

++

−+

∞→

−+

∞→∞→

44

44

4

11

4

11lim

4

11lim

4

11lim


51(x)

+

+=

x

x f ،أوجد نهاية الدالة عندما∞→x.

: الحلtx من خواص الدوال اآلسية وبفرض : نحصل على=5

Copyright © 2010.



233

55

45

454

1

11

11lim

51lim

51lim

ee

tt

x

x

t

x

t

x

x

x

=×=

+×

+=

+=

+

∞→

+

∞→

+

∞→


csc20 +→ x

xxLimx

. : الحل

: من خواص الدوال المثلثية يكون لدينا

110

1

1sin

1sin

1

1

csc

20

2020

=+

=+

=

+

=+

→

→→

xx

x

Lim

xx

xLim

xxx

Lim

x

xx

) : أوجد نهاية الدالة المعرفة بالعالقة-34 )x

xxLimx

−−+→

11sin0

. : الحل

: تعويض المباشر نحصل علىالب ( )

0

011sin0

=−−+

→ x

xxLimx

Copyright © 2010.



234

بضرب النهاية في المقدار xx

xx

−−+−−+

11

: يكون لدينا11( )

( )

x

xxLim

xx

xxx

xxLim

xxx

Lim

x

x

x

−−+×=

−−+−−+

×−−+

=−−+

→

→

→

111

11

1111sin

11sin

0

0

0

وليجاد نهاية المقدارx

xx −++ : نضرب في المرافق على الشكل التالي11

( )1

2

2

11

2

11

2

11

1111

0

00

==−++

=

−++=

−++−++

×−−+

→

→→

xxLim

xxx

xLim

xx

xx

x

xxLim

x

xx

:x→0 عندمالدوال التالية أوجد نهاية ا-35

xxfxxf

xxfx f

coth)(tanh)(

cosh)(sinh(x)

====

: الحل0

2

11

2sinh

00=

−=

−=

−

→→

xx

xx

eeLimxLim

12

11

2cosh

00=

+=

+=

−

→→

xx

xx

eeLimxLim

Copyright © 2010.



235

02

0

cosh

sinhtanh

00===

→→ x

xLimxLimxx

∞===→→ 0

1

sinh

coshcoth

00 x

xLimxLimxx

:نهاية الدالة أوجد -36

xx

Limx

cosh2

∞→−

xx

Limx

sinh1

∞→−

: الحل : نستخدم خواص الدوال الزائدية

∞=−∞=−∞=

−=−

=

−

∞→

−

∞→∞→

−

∞→

02

222

sinh

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

xee

Lim

xe

Limx

eLim

xee

xx

Lim

: وكذلك بنفس الطريقة نحصل على

∞=+∞=+∞=

+=+

=

−

∞→

−

∞→∞→

−

∞→

02

222

cosh

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

xe

eLim

xe

Limx

eLim

xee

xx

Lim

التالية الةأدرس استمرارية الد -37

43

33)(

2 −−+

=xx

xxf

: الحل

)4)(1(

33)(

−−+

=xx

xxf

1,4ة عند الدالة غير مستمر == xx فتكون مستمرة عند جميعR ماعدا هاتين .النقطتين

Copyright © 2010.



236

: حيث أنx=2ادرس استمرارية الدالة عند -38

=

≠−−

=2,3

2,2

4)(

2

x

xx

xxf

: الحل4)2(lim

2

4lim

0

2

0=+=

−−

→→x

xx

xx

2الدالة غير مستمرة عند النقطة

فيها الدالة مستمرةأوجد الفترات التي تكون -394

25.9)(

22

−−−

=x

xxxf.

: الحل .xنوجد قيمة

092 ≥−x 33 منها ≥≥− x 025 2 ≥− x 55 منها −≥≥ x

04:بذلك نجد إن ≠−x 4{ وهذا يؤدي إلى{−R يتم إيجاده هو جميع الفترات التي تكون فيها الدالة مستمرة واآلن يتم إيجاد تقاطع هذه

]3,5[]4,3()5,4[ الفترة لتكون النتيجة UU−− .هذه هي الفترات التي تكون عندما الدالة مستمرة

Copyright © 2010.



237

)(3 الدالة ناقش استمراري -40 −= xxf 3 عند=x. : الحل

: نعلم بأن

<+−≥−

=

<−+−≥−−

=−=

3,3

3,3

03,3

03,33)(

xx

xx

xx

xxxxf

)3(1.033 :وبالتالي يكون =−=f 2.033)3(lim)(lim

33

=−=−=++

→→

xxfxx

3.033)3(lim)(lim33

=+−=−=−−

→→

xxfxx

lim)(lim)(0)3(: اإذ 33

fxfxfxx

===−+

→→

.IRوعند كل نقاط x=3 الدالة مستمرة عند

ناقش استمرارية الدالة -41

=

≠=

0,1

0,)(

x

xx

xxf .

: الحل : ندرس خواص الدالة

=

>

<−

=

=

>

<−

=

=

≠=

0,1

0,1

0,1

01

0,

0,

0,1

0,)(

x

x

x

x

xx

x

xxx

x

xx

xxf

:وبالتالي يكون1.1)0( =f

2.1)(lim0

=+

→

xfx

3.1)(lim

0

−=−

→

xfx

.x=0 عند ةالدالة غير مستمر

Copyright © 2010.



238

: دالة معرفة على األعداد الحقيقية على الشكل التاليxf)( إذا كانت -42

<≤≤+

<+

=1,

21,

1,

)( 3

2

xx

xbbx

xax

xf أوجد قيمةb,a لتكن )(xfدالة مستمرة .

: الحل أي نحسب النهايات من اليمين ومن x=2 وعند x=1 عند نناقش استمرارية الدالة :اليسار عند هاتين القيمتين

: على النحو التاليx=1 عندما -1 bbbxxf

xx

2)(lim)(lim 3

11

=+=++

→→

1lim)(lim و 11

==−−

→→

xxfxx

يجب أن تكون النهايتان السابقتان متساويتين أي أن x=1 مستمرة عند xf)(لكي تكون 12 =bمنها تكون قيمة

2

1=b .

: على النحو التاليx=2 عندما -2axf: واضح أن

x

+=+

→

4)(lim2

bxf و x

9)(lim2

=−

→

يجب أن تكون النهايتان السابقتان متساويتين أي أن x=2 مستمرة عند xf)(لكي تكون

2

1=a .

Copyright © 2010.



239

- We say that the number L is the limit of )(xf as x approaches to a and write

Lxfax

=→

)(lim If for all 0>ε there exists 0>δ such that:

δε <−⇒<− axLxf )( - Some common limits :

1sin

lim 0x

=→ x

x , 1

axlim −

→=

−− n

nn

naaxax

mn

mm

nn

am

n

ax

ax −

→=

−−

axlim , e

x

x

=

+

∞→

11lim

x

- If )(xf is defined near a for ax > , and that as x gets close to a when ever

)(xf gets close to L , is the right hand limit of )(xf as x approaches a and we write : Lxf

ax

=+

→

)(lim

- If )(xf is defined near a for ax < , and that as x gets close to a when ever )(xf gets close to L , then we say that L is the left hand limit of )(xf as x approaches a and we write:

Lxfax

=−

→

)(lim

- Theorem: Lxf

ax=

→)(lim exists if and only if the following conditions hold:

LxfIax

=−+

→

)(lim exists LxfII

ax

=−−

→

)(lim exists LxfxfIII

axax

==−−+

→→

)(lim)(lim exists - The function )(xf is continuous at the point ax = if the following conditions

hold: exists )(afI −

exists )(lim xfIIax →

− )()(lim afxfIII

ax=−

→

Summary

Copyright © 2010.



240

)()(lim bfxfbx

=−

→ , )()(lim afxf

ax

=−

→

- The function )(xf is continuous on an open interval ( )ba , if the function )(xf is

continuous at any point of ( )ba , .

- The function )(xf is continuous on a closed interval [ ]ba , if the function )(xf is continuous on ( )ba , and the function is defined at ba, such that :

- Theorem:

If )(xf is and )(xg are two continuous functions at ax = ,then:

1. )())(( xCfxCf = is continuous function at ax = .

2. )()())(( xgxfxgf ±=± is continuous function at ax = . 3. )()())(( xgxfxgf ×=× is continuous function at ax = . 4. 0)(,

)(

)())(( ≠= xg

xg

xfx

g

fis continuous function at ax = .

**********************

Copyright © 2010.



241

É وجدتأنلية الدوال التانهاية أوجد :1س1:

)4(

1lim

34 −−

−→ xa

x ،

34 )4(

1lim

−−

+→ xb

x ،

34 )4(

1lim

−−

→ xc

x

2:2

1lim

2 −+→ xx 3:

)4(

1lim

34 −+→ xx

4:)4(

1lim

34 −−→ xx 5:)43(lim

3xx

x+

→

É :رسم بينها مع قيم كل من النهايات التاليةأوجد :2س

( ) ( )1:

3

27lim

3

27lim

2

3

2

3 −−

−−−

−−→→ x

xb

x

xa

xx

( ) 2:624lim 23

4−+−

→xxx

x

3:)4(

1lim

34 −→ xx ( )

4:lim33

0 x

axax

−+→

( )5:

42

1/1

lim4 −

−

→ x

x

x

É :أوجد قيم النهايات التالية مستخدما نظريات النهايات :3س( )

1:13

lim3

2 x

xxx

+−−→

( ) 2:43lim 9

9xxx

x+−

→

3:4

65lim

2

2

1 −+−

→ x

xxx

4:3

9lim

481 −−

→ x

xx

5:1)43(

1)32(lim

5

3

1 −+−+ −

−→ x

xx

6:5sin7

3tan5lim

0 xx

xxx −

+→

( )

7:11

lim2

0 x

xx

−+→

8:23

lim2

2

1 xx

xxx −

+−→

9:1

56lim

2

2

1 −+−

→ x

xxx

10:381

28lim

4

3

0 −+−+

→ x

xx

Copyright © 2010.



242

11:9

3lim

9 −−

→ x

xx

12:16

1282lim

2

3

4 −−

→ x

xx

13:1)43(

1)32(lim

5

3

1 −+−+ −

−→ x

xx

14:lim0 x

aaxx

−+→

x :É→∞أوجد قيم النهايات التالية مستخدما القواعد السابقة في حالة :4س1:

1sinlim

xx

x ∞→ 2:

11lim

2−

∞→

+

x

x x

3:13

2lim

3

2

+++

∞→ xx

xx

4:2sin2tan

lim3x

xxx

−±∞→

5:5

1lim4+

∞→

+

x

x x 6:

12

12lim

+−

±∞→ x

x

x

7:4

11lim

x

x x

++

∞→ ( ) 8:57lim 22 xxxx

x+−+

±∞→

9:254

23lim

2

2

−−+

∞→ xx

xxx

10:372

522lim

23

23

++++−+

∞→ xxx

xxxx

11:)23(

32lim

5

+

+∞→ x

xx

12:733

945lim

2

2

+−−+

∞→ xx

xxx

( ) 13:10lim 22 +−+∞→

xxxx

14:11(lim −+−++∞→

xxxxxx

15:

1lim

2 xx

xx +

+±∞→

É: أوجد قيم النهايات اآلتية :5س

1:3,1

3,52)(

<>−

=x

xxxf 3عندما→x

2:1,32

1,)(

2

−<+−≥

=xx

xxxf 1 عندما−→x

É :ناقش استمرارية الدوال التالية عند النقطة المبينة: 6س

1:

1,1

1,1

1)(

=

≠−

−=

x

xx

xxf 1عند=x

Copyright © 2010.



243

2:

3,6

3,3

9)(

2

=

≠−−

=x

xx

xxf 3عند=x

3:2,6

2,2)(

<−≥

=xx

xxxf 2عند=x

4:

0,1

0,0

0,1

)(

>=

<−=

x

x

x

xf 0عند=x

الدوال عند النقط الموضحة أمام ) استمرار(أوجد قيم النهايات اآلتية ثم ادرس اتصال :7س

É :كل منها 1:

12

1(lim

0 xx

xx −+

−→

1,0 حيث == xx

2:34

952lim

2

32

3 +−−− −

→ xx

xxx

4,3 حيث == xx

3:63

3lim

2 xx

xx −−

−→

2,4 حيث == xx

4:1

1lim

2

3

1 −−

→ x

xx

3,1 حيث −== xx *******************

Copyright © 2010.



244

Copyright © 2010.



245

The Derivatives

)(ليكن لدينا منحني الدالة xf ، ونأخذ النقطتين( ))(, xfxو ])(,[ hxfhxQ ++ ),0( وx),0( البعد بين النقطتين hوعندها يكون hx كما في الشكل X المحور على+

:التالي

:PQميل الخط المستقيم عندها يكون

h)x(f)hx(f

m Qp

−+=

مماسا QPويصبح المستقيم ، Pتقترب من النقطةQ فإن النقطة h→0وعندما

) عند النقطةfلمنحنى الدالة ))(, xfxP ،ويكون ميله هو النهاية: Lxf

h

)x(f)hx(fLimmh

Qp ==−+

=→

)('0

')(ث رمزنا لقيمة النهاية بالرمز وحيمحدود عدد حقيقي Lحيث xf. ')( تسمى xf بالمشتقة األولى للدالةf عند النقطة ( ))(, xfxهندسي تفسير مشتقة ولل :التالي شكل مخطط كما في الf فالشكل البياني لدالة نمطية.هام

)لتكن ) ( ))(,,)(, ufuQxfxP الدالة نقطتين على منحنىf ،ميل الخط وQP المار

h

( ))(, hxfhxQ ++ ( ))(, xfxP

( x , 0 ) ( x + h , 0 ) x

y

• •

Copyright © 2010.



246

: والمستنتج من إحداثيات هاتين النقطتين هوP وQبالنقطتين( )

)(

)()(

xu

xfuf

−

ذا كانت إ−

. xعند مستمرة f الدالة QPوالخط المستقيم، Pعلى المنحنى ناحية Q ، تتحرك x من u فإنه عندما تقترب

.Pلمنحنى عند لوتقترب من المماس ، Pيدور حولويمكن جعله يقترب منه كما ، من ميل المماسQPنفترض أنه في نفس الوقت يقترب ميل ل

:ويمكن أن نقول، ذلك مجرد عملية نهائية ، لكنx قربا كافيا من قريبةuنريد باختيار ) QP ميل ( يساوى P ميل المماس عند

xuLim

→ :؛ إي أن

)('00

xfh

)x(fh)x(fLimPQLimhh

=−+

=→→

بشرط وجود هذه النهاية P وQ تعبر عن المسافة األفقية بينhحيث ) xاألكبر من و األقل من u يجب أن نأخذ في االعتبار قيم( xfy)(ماس للمنحنىهي ميل الم xعند f الدالة مشتقةأي أن عند النقطة=

( ))(, xfx.

فهي تعيين معدل تغير الدالة في أي موضع بالنسبة ، معنى فيزيائي هام أيضا للمشتقةنإ .x ـية لميل المماس لمنحني الدالة في الموضع المحدد بدلمتغيرها كما أنها تمثل القيمة العد

( ))(, xfxP

)(xfy =

•

•

Copyright © 2010.



247

:مثال)(2إذا كانت xxf ')( فاوجد .= af ألي a التعريف السابقةباستخدام. : الحل

xh

hxhLim

h

xhxhxLim

h

xhxLim

h

xfhxfLimxf

ahah

ahah

2

)2(2

)()()()('

222

22

=

+=

−++=

−+=

−+=

→→

→→

axLimax

22 =→

)(2في هذا المثال أثبتنا أن الدالة xxf xxfلها المشتقة = 2)(' هذا هو ميل المماس . =),(عند النقطةyللمنحنى 2xx 2 الدالة منحنى فيxy مثال يكون ميل المماس عند ، =

')1(2 هو)1,1(النقطة =f. ')2(4هو )4,2(وميل المماس عند النقطة =fعندما تزدادوx النقطة تتحرك

),( 2xx ألعلى على طول النصف األيمن للمنحنى والميلx2 يزداد للمماس.

')0(0 تكونx=0عند نقطة األصل =f ، 1,1(ميل المماس عند النقطةو(− ')1(2هو −=−fللمنحنىأليسر للنقط على النصف او ( )0<x ميل المماس عند كل يكون

.ابنقطة سال

x 2= المیل

-2المیل )1,1(

),( 2xx

2= المیل

x

y

•

• )1,1(− •

)0,0(

Copyright © 2010.



248

:عامةمالحظات )( نقطة عند ال f المشتقة األولى للدالة .1 ax :هي النهاية=

h)a(f)ha(f

Limafh

−+=

→ 0)('

) عند النقطة f الدالةيوتمثل ميل المستقيم المماس لمنحن ))(, afa. :التالية موجودة إذا كانت النهاية aالنقطة عند شتقاق قابلة لال f الة الد إننقول .2

h)a(f)ha(f

Limafh

−+=→ 0

)(' : النهايتانوهذا يعني أن

h

)a(f)ha(fLimafh

−+=

−→

−

0)(' ،

h

)a(f)ha(fLimafh

−+=

+→

+

0)('

.ومتساويتانمعرفتان ')( وتسمى −af بالمشتقة اليسرى عند العدد )a ( )( +′ af بالمشتقة اليمنى عند العدد)a (

:تعریف؛فإن المشتقة xدالة معرفة على فترة مفتوحة تحتوي العدد f إذا كانت )النقطة عندfاألولى للدالة ))(, xfxP=تعرف بالنهاية :

h

)x(f)hx(fLimxfh

−+=

→ 0 . بشرط وجود النهاية ')(

)(')(' afaf == +

a

x

y

Copyright © 2010.



249

:مثال

')(أوجد xgإذا كانت :

<+−

≥+−=

1,232

1,2)(

xxx

xxxxg

:الحل

1-u

0- 2)3u-(

1-u

(1) g - )(g)1('

2

11

+==

−− →→

− uLim

uLimg

uu

1- 2)-u(1-u

1)-)(u2(11

==−

=−− →→ uu

Limu

Lim

1-u 0- u)(

1-u (1) g - )(g

)1('2

11

+−==

++ →→

+ uLim

uLimg

uu

-1 )u - (1-u

1)-(u11

==−

=++ →→ uu

Limu

Lim

')1(')1(إذن +− = gg1 ( وبالتالي فإن ( g′موجودة وتساوي ( )1- :مثال)(232أوجد المشتقة األولى باستخدام التعريف للدالة ttf .ا مع رسم الدالة ومشتقاته=+

: الحل

tttt

Limt

xfttfLimS

tt ∆−−∆++

=∆

−∆+=

→∆→∆

22

00

32)(32)()('

t

tttttLim

t ∆−−∆+∆++

=→∆

222

0

32)(3632

tttLimt

tttLim

tt6)36(

)(360

2

0=∆+==

∆∆+∆

=→∆→∆

Copyright © 2010.



250

),( على الفترة المفتوحةلالشتقاق قابلة fن الدالةإنقول .3 ba ، لالشتقاقإذا كانت قابلة bcaنقطة في عند كل <<.

]على الفترة المغلفة لالشتقاق قابلة fنقول أن الدالة .4 ]ba لالشتقاق إذا كانت قابلة ، , :ومعرفة عند الطرفين أي أنعلى الفترة المفتوحة

)()(

)()(

bfLimxfLim

afLimxfLim

bhbh

ahah

−−

++

→→

→→

=

=

xfy)( إذا كانت .5 : فإنه يرمز للمشتقة األولى بالرموز التالية=[ ]

[ ])(

')('

xfxd

dxd

yd

yyDxfD (x)f xx

==

===

:بأنهعلما hxu بوضع xu فإن h→0فإنه عندما =+ : وإن→

h

xfhxfLimxfh

)()()('

0

−+=

→

:فتصبح المعادلة

xu

xfufLimxf

xu −−

=→

)()()('

:مثال3xf (x) :استخدم تعريف المشتقة إليجاد مشتقة الدالة .امع رسم الدالة ومشتقاته = : الحل

32233 33 hxhhxxh)(xh)f (x +++=+=+ ( )21233223 3333)()(x hxhxhxhxhhxxxfhf ++=−+++=−+

( )

( )2

222

0

22

0

0

3)('

333

33

)()()('

xxf

xhxhxLim

h

hxhxhLim

h

xfhxfLimxf

h

h

h

=∴

=++=

++=

−+=∴

→

→

→

Copyright © 2010.



251

:مثال)(73 :ريف المشتقة إليجاد مشتقة الدالةاستخدم تع −= xxfا مع رسم الدالة ومشتقاته. : الحل

( )

( )

( )

732

3

7373

3

73733

3

737)(3

73733

737)(3

)73(7)(3

737)(3

737)(3737)(3

737)(3

)()()(

0

0

0

0

0

0

−=

−+−=

−+−+=

−+−++−−+

=

−+−+−−−+

=

−+−+

−+−+×

−−−+=

−−−+=

−+=′

→

→

→

→

→

→

xxx

xhxh

hLim

xhxh

xhxLim

xhxh

xhxLim

xhx

xhx

h

xhxLim

h

xhxLim

h

xfhxfLimxf

h

h

h

h

h

h

Copyright © 2010.



252

:مثالxxfاثبت أن الدالة .x=0 النقطة التي فاصلتها عند ققابلة لالشتقاغير )(=

: الحل

100)0()0(

)0('000

==−+

=−+

=+++ →→→

+

hh

h

hLim

h

hLim

hfhf

Limfhhh

100)0()0(

)0('0000

−=−

==−+

=−+

=−−−− →→→→

−

h

hLim

h

hLim

h

hLim

h

fhfLimf

hhhh

x=0 عند ةغير موجود المشتقة ∴

:مثال : استخدم تعريف المشتقة إليجاد مشتقة الدالة

xxxxf +−= 23 52)(. : الحل

1106)('

)1510266()('

5251052662

)()(5)(2

)()()('

2

22

0

23223223

0

23

0

0

+−=∴

+−−++=

−+−++−−−+++=

+++−+=

−+=∴

→

→

→

→

xxxf

h

hxhxhxhLimxf

h

xxxhxhxhxhxhhxxLim

h

hxhxhxLim

h

xfhxfLimxf

h

h

h

h

Copyright © 2010.



253

:مثال)(56 : استخدم تعريف المشتقة إليجاد مشتقة الدالة 2 ++−= xxxf

: الحل

112)('

)1612()('

5656126

5)()(6

)()()('

0

222

0

2

0

0

+−=∴∆

+∆−−∆=

∆−−++∆++∆−∆−−

=

∆+∆++∆+−

=

∆−∆+

=∴

→∆

→∆

→∆

→∆

xxfx

xxxLimxf

x

xxxxxxxxLim

xxxxx

Lim

x

xfxxfLimxf

x

x

x

x

Copyright © 2010.



254

Derivative Rules

First Derivative for Algebraic Functions

1x عند مستمرةfالدالة فإن1xدالة قابلة لالشتقاق عند f إذا كانت نالحظ إنه .والعكس غير صحيح

kxfابتة دالة ثf الدالة إذا كانت -1 ')(0 :فإن مقدار ثابت k حيث )(= =xf f (x)=62 :المث

0=′ (x)f nxxfإذا كانت -2 ')(1: فإن يح موجب عدد صحn حيث)(= −= nxnxf

:ال مث 18)( xxf =

1718)(' xxf = :حيث تكون قابلة لالشتقاق أيضا fk قابلة لالشتقاق فإن الدالة f إذا كانت الدالة -3

xdfd

kfkxd

d=

:مثال)(29 إذا كانت xxf ')( فإن= xf

xxxf

xdxd

xxd

d

18)2(9)('

9)9(2

2

==

=

gfإذا كانت -4 gfالدالة : قابلتين لالشتقاق فإن دالتين, تكون قابلة لالشتقاق أيضا +)()())(( xg

xdd

xfxd

dxgf

xdd

+=+

:مثال)(2753 إذا كانت xxxxf xxxxf :فإن ،=++ 2715)(' 64 ++=

gfإذا كانت -5 gf فإن الدالة لالشتقاقدالتين قابلتين , ±اتكون قابلة لالشتقاق أيض.

)()())(( xgxd

dxf

xdd

xgfxd

d−=−

Copyright © 2010.



255

:مثال)(25إذا كانت xxxf −=

xxxf :فإن 25)(' 4 −= nffffإذا كانت ,..........,.........,, : دوال قابلة لالشتقاق321

nffffفإن الدالة ++++ فرق هذه الدوال تكون التي تمثل مجموع أو 321................ :منها نجد أنلالشتقاق قابلة

( ) )(..........)()()(........ 21321 xfxd

dxf

xd

dxf

xd

dxffff

xd

dnn +++=++++

:مثال42 إذا كانت 6311)( tttg ')(3246 : فإن =−+ tttg +−= :)الضرب(الجداء قانون -6gf إذا كانت : دالتين قابلتين لالشتقاق فإن,

)().()(.)())(.( xfxd

dxgxg

xd

dxfxgf

xd

d+=

:مثال)5(,)10( إذا كانت 32 −=−= xgxxfفإن :

[ ]

5020205

502052153

)52)(10()3)(5(

)10).(5())(.(

34

3434

322

32

+−−=

+−−+−=

−−+−=

−−=

xxx

xxxxx

xxxxx

xxxxd

dxgf

xd

d

:قانون القسمة -7

gfإذا كانت )(0 وكان xدالتين قابلتين لالشتقاق عند , ≠xg فإن الدالة

gf تكون

: وتكونx عندقلالشتقا قابلة

2)]([

)().()().(

)(xg

xgxd

dxfxf

xd

dxg

xg

f

xd

d−

=

Copyright © 2010.



256

إذا كان

−=

1)(

xx

xfفإن :

22

22

)1(

1

)1(

1

)1(

)1()1)(1(

)1(

)1()()()1(

1

−−

=−

−−=

−−−

=−

−−−=

−

xx

xx

x

xx

x

xxd

dxx

xdd

x

x

x

xd

d

nxyذا كانت إ -8 :عددا صحيحا موجبا فإنn عندما يكون =−1)( −−−= nxn

xd

yd

)(2 إذا كانت :مثال −= xxf فإن: 0,

22))(2()('

3312 ≠

−=−=−= −−− x

xxxxf 0 حيث≠x

xfy)( كانت إذا -9 : فإن=)(2

)('

xf

xfy

′=

xxy كانت إذا :مثال 52 3 : فإن=+

xx

xy

xx

xy

522

56'

522

)56(1'

3

2

3

2

+

+=→

+×

+×=

) كانت إذا -10 )nxfy ) : فإن=)( ) )(')(' 1 xfxfny n ×= −

)إذا كانت :مثال )32 22 xxy : فإن=+( ) ( )24223'

22 ++= xxxy

nإذا كانت -11 xfy ) : فإن=)( ) ( ) )(')(1

)(' 111

xfxfn

xfy nn ×== − 6إذا كانت :مثال 23 12 ++= xxyفإن :

)43()12(6

1'

)12('

26

523

6

123

xxxxy

xxy

+++=

++=−

Copyright © 2010.



257

Chain Rule Functions المشتقة على قانون إليجاد سنحاول الحصولو، درسنا الدالة التركيبيةأن لقد سبق

: األولى للدالة التركيبيةgfإذا كانت xgu)( دالتين قابلتين لالشتقاق وكان, : فإن الدالة التركيبية هي=

( ) )()())(( ufxgfxgfy === ο : بلة لالشتقاق كالتاليتكون قا

( ) ( )xdud

udyd

xgxgfxgfxd

dxdyd

.)(')(')( === ο

:مثالإذا كانت

53 )1(

1

+=

xy

د فاوجxd

yd مع رسم الدالة ومشتقاتها .

: الحل,1 نفرض أن

1 35

+== xuu

y امنها يكون لدين:

63

22

6

25

)1(

153.

5

)1(.1

.

+−

=−

=

+

==

x

xx

uxd

yd

xxd

d

uud

d

xd

ud

ud

yd

xd

yd

Copyright © 2010.



258

:مثال245إذا كانت 3,6 xxvvy أوجد =−=+

xd

yd.

:الحل

)64()3(5)64.(5

.

342434 xxxxxxvxdyd

xd

vd

vd

yd

xd

yd

++=+=

=

: مثالxuuy بفرض أن ln,sin 2 د أوج==

xd

yd.

: الحل : نعلم بأن

xd

ud

ud

yd

xd

yd'2cos'2 بذلك یكون لدینا =. uuuy =

بما أن x

u1

cos(ln(2 منھا یكون لدینا ='ln2

xx

x

xd

yd=

: مثالxeuuy بفرض أن sin,tan د أوج==

xd

ydمع رسم الدالة التركيبية .

: الحل:نعلم بأن

xd

ud

ud

yd

xd

ydxxeuواضح أن =. sincos'= منھا یكون لدینا ( ) xx xee

xd

yd sinsin2 cossec=

Copyright © 2010.



259

First Derivative for Power functions

nxyموجبا فإن المشتقة األولى للدالة عددا صحيحا nإذا كانت -11

: هي=

x≠0حيث 1

11 −= nx

ndx

dy

nإذا كانت m

xxf mn حيث أن )(= : فإن المشتقة هي؛أعداد صحيحة ,x 1≠0حيث

)('−

= n

m

xn

mxf

:مثال12إذا كان

1

xy .y'فأوجد ، = :الحل

12

1112

111

12

1

12

1

12

1

12

1'

x

xxy ===−

−

:مثال6إذا كانت

5

xy .y'فأوجد ، =

: الحل6

16

11

6

5

6

5

6

5

6

5'

x

xxy ===−

−

Copyright © 2010.



260

The Derivative of the Trig functions xxf إذا كانت -1 sin)( xxf : فإن= cos)(' =:

:اإلثبات

xxxxfh

hLimxLim

h

hLimxLim

h

hxLim

h

hxLimxf

h

xhxhxLimxf

h

xhxLimxf

h

xfhxfLimxf

xxf

hhhh

hh

h

h

h

cos)1.(cos)0.(sin)('

)sin(cos

)1)(cos(sin

)sin(cos)1)(cos(sin)('

sin)sin(cos)cos(sin)('

)(sin)(sin)('

)()()('

sin)(

0000

00

0

0

0

=+=

×+−

×=

+−

=

−+=

−+=∴

−+=

=

→→→→

→→

→

→

→Q

xxfإذا كانت -2 cos)( xxf : فإن= sin)(' −=

xxf إذا كانت-3 tan)( xxf :فإن = 2sec)(' = :اإلثبات

xxf

xxf

x

xxxf

x

xxxxxf

x

xxfxxf

2

22

22

2

sec)('

cos

1)('

cos

sincos)('

)(cos

)sin(sin)(coscos)('

cos

sin)(tan)(

=∴

=→+

=

−−=∴

=∴→=

Copyright © 2010.



261

xxf إذا كانت -4 sec)( xxxf : فإن= tansec)(' =

xxfإذا كانت -5 csc)( xxxf : فإن= csccot)(' −= :اإلثبات

xxxfxx

xxf

x

xxf

x

xxxf

xxfxxf

csc.cot)('sin

1.

sin

cos)('

sin

cos)('

)(sin

)).(cos1()0.(sin)('

sin

1)(csc)(

2

2

−=∴

−=→

−−=

−=∴

=∴→=

xxfإذا كانت -6 cot)( xxf :فإن= 2csc)(' −=

Copyright © 2010.



262

The derivative of the inverse Trig functions :أن الدالةلقد وجدنا عند دراسة الدوال المثلثية -

[ ] xx sin,1,12

,2

:sin →−→

−

ππ

1 وتحقق ةدالة مستمرة ومتزايد2

sin −=

−

π1 و2

sin =

π وهي دالة أحادية والدالة

1sinالعكسية هي ] .:بذلك تكون− ]

−→−−

2,

21,1:sin 1 ππ

xyلحساب مشتقة الدالة 1sin : نعلم أن=−yxxy sinsin 1 =⇔= −

:باشتقاق الطرفين نجد

yyyyy

2cos

1

cos

1''cos1 ==⇒=

منها 22 1

1

sin1

1'

xyy

−=

−=

:دراسة الدوال المثلثية أن الدالة لقد وجدنا عند -[ ] [ ] xx cos,1,1,0:cos →−→π

)دالة مستمرة ومتناقصة وتحقق ) 10cos ) و= ) 1cos −=π وهي دالة أحادية والدالة العكسية] .:بذلك تكون−1cosهي ] [ ]π,01,1:cos 1 →−−

xyلحساب مشتقة الدالة 1cos−=نعلم أن : yxxy coscos 1 =⇔= −

:باشتقاق الطرفين نجد

yyyyy

2sin

1

sin

1''sin1 −=−=⇒−=

:نحصل علىمنها

22 1

1

cos1

1'

xyy

−−=

−=

: لقد وجدنا عند دراسة الدوال المثلثية أن الدالة-[ ] xx tan,

2,

2,0:tan →

−→

πππ

Copyright © 2010.



263

=∞+دالة مستمرة ومتزايد وتحقق +→

xx

tanlim2

π=∞− و

−→

xx

tanlim2

π وهي دالة أحادية والدالة

1tanالعكسية هي :بذلك تكون−

−→−

2,

2:tan 1 ππ

R.

xyلة لحساب مشتقة الدا 1tan yxxy : نعلم أن=− tantan 1 =⇔= − :باشتقاق الطرفين نجد

yyyyy

22

2

tan1

1

sec

1''sec1

+=−=⇒=

+==

y

yy

yy

2

2

2

2

cos

sincos

cos

1sec

21 : وبالتالي يكون لدينا

1'

xy

+=

:مثالxy اثبت انه إذا كان 1cot−= ، فإن

21

1'

xy

+−

=. : الحل

xy بما أن 1cot−= فإن xx cot=وباشتقاق الطرفين نجد :

22

22

1

1

cot1

1

sec

1''cos1

xy

ycyyyec

+−

=+

=

=⇒−=

:مثالxy اثبت انه إذا كان 1sec−= ، فإن

1

1'

2 −=

xxy.

: لحلاxyبما أن 1sec−= فإن yx sec=وباشتقاق الطرفين نجد : 'tansec1 yyy= :وبالتالي يكون لدينا

yyy

tansec

1'

−=

)وبما أن )1sectansectan1 222 −=⇒=+ yyyy يكون لدينا

1

1

1secsec

1'

22 −

−=

−=

xxyyy

Copyright © 2010.



264

:مثالxecyنه إذا كان أاثبت 1cos فإن ، =−

1

1'

2 −

−=

xxy.

: الحلxecyبما أن 1cos ecxx فإن =− cos=

cos1' :وباشتقاق الطرفين نجد ecyy−= :يكون لديناو

1

1

1coscos

1

cotcos

1'

22 −

−=

−=

−=

xxyececyyecyy

:نتيجة :ن قاعدة السلسلة نستنتج العالقات التاليةم

sin))(( إذا كانت -1 1 xuy : فإن=−2)(1

)(''

xu

xuy

−=

cos)( إذا كانت -2 1 xuy : فإن=−2)(1

)(''

xu

xuy

−

−=

)(tan)( إذا كانت -3 1 xuxf : فإن=−2)(1

)(''

xu

xuy

+=

)(cot)( إذا كانت -4 1 xuxf : فإن=−2)(1

)('

xu

xuy

+−

=

)(sec)( إذا كانت -5 1 xuxf :فإن =−1)()(

)('

2 −=

xuxu

xuy

)(cos)( إذا كانت -6 1 xuecxf :فإن =−1)()(

)('

2 −

−=

xuxu

xuy

Copyright © 2010.



265

Derivative of Hyperbolic functions :ة خواص الدوال الزائدية نحصل علىمن تعريف ودراس

1 ( 2

sinhxx ee

x−−

) وبالتالي فإن = )2

'sinhxx ee

x−+

= ) :منها نحصل علىو ) xx cosh'sinh = :كما موضح بالشكل التالي

:علم بأن )22

coshxx ee

x−+

) وبالتالي فإن = )2

'coshxx ee

x−−

= ) : منها نحصل على ) xx sinh'cosh =

:ما موضح بالشكل التالي

Copyright © 2010.



266

: نعلم بأن)3x

xx

cosh

sinhtanh : وبالتالي فإن=

( ) xhxxx

xxx 22

22

22

sectanh1cosh

1

cosh

sinhcosh'tanh =−==

−=

:كما موضح بالشكل التالي

:علم بأن )4x

xx

cosh

sinhcoth :وبالتالي فإن=

( ) xhcxxx

xxx 22

22

22

seccoth1sinh

1

sinh

coshsinh'coth −=−==

−=

: كما موضح بالشكل التالي

Copyright © 2010.



267

5( x

hxcsinh

1sec :بالتالي فإن =

( )

xhxc

x

xxx

xx

hxc

cothsec

coth1

sinh1

sinhcosh

sinh

cosh'sec

2

−=−=

×−

−=

−=

: كما موضح بالشكل التالي

6 ( x

hxcosh

1sec :وبالتالي فإن=

( ) xhxxx

x

x

xhx tanhsec

cosh

1

cosh

sinh

cosh

sinh'sec

2−=×−=

−=

:ل التالي كما موضح بالشك

Copyright © 2010.



268

:مثال

اوجد dx

dy للدالة )cosh(sinh 32 xxy +=. : الحل

)sinh( : من اشتقاق الدوال الزائدية يكون لدينا2

3cosh2 3

3

22 x

x

xxx

dx

dy+=

:مثالاوجد

dx

dy للدالة ))cosh(sin(tanh xexy +=. : الحل

cos())sinh(sin(sec( :من اشتقاق الدوال الزائدية يكون لدينا 2 xxx eeexhdx

dy+=

:مثالاوجد

dx

dy للدالة )cosh(cos xy =. : الحل

: واضح أن الدالة تركيبية بذلك يكون لدينا( ) )sinh(cossinsin)sinh(cos))(cossinh(cos' ' xxxxxxy −=−==

Copyright © 2010.



269

:مثالاوجد

dx

dy للدالة xxy 22 sinhcosh +=. : الحل

:واضح أن الدالة تركيبية بذلك يكون لدينا

xx

xxxxy

coshsinh4

coshsinh2sinhcosh2' '

=+=

:مثالxxy للدالة y' اوجد 22 coshsinh مع الرسم ؟=−

: الحل :واضح أن مشتقة الدالة هي

0

sinhcosh2coshsinh2' '

=−= xxxxy

:طريقة ثانية للحل 1sinhcosh :نعلم بأن 22 =− xxوبالتالي يكون لدينا :

( ) 1sinhcoshcoshsinh 2222 −=−−=−= xxxxy '0 منه تكون قيمة المشتقة هي =y

Copyright © 2010.



270

Derivation of Inverse Hyperboli functions دية نستنتج العالقات من تعريف ودراسة خواص الدوال الزائدية العكسية والدوال الزائ :التالية

:−1sinh مشتقة الدالة -1xyyx :نعلم بأن 1sinhsinh : باشتقاق الطرفين نجد أن=⇐=−

yyyyyy

22 sinh1

1

cosh

1

cosh

1''cosh1

+===⇒=

منها 1

1'

2 +=

xy

1cosh مشتقة الدالة -2 −: xyyx :نعلم بأن 1coshcosh : باشتقاق الطرفين نجد أن=⇐=−

1cosh

1

sinh

1

sinh

1''sinh1

22−

===⇒=yyy

yyy

منها و1

1'

2 −=

xy

1tanh مشتقة الدالة-3 −: xyyx :نعلم بأن 1tanhtanh : باشتقاق الطرفين نجد أن=⇐=−

( ) 'tanh1'sec1 22 yyyyh −==

:منها نحصل على22 1

1

tanh1

1'

xyy

−=

−=

1cothلدالة مشتقة ا-4 −: xyyx :نعلم بأن 1cothcoth : باشتقاق الطرفين نجد أن=⇐=−

( )22

2

1

1

coth1

1''coth11

xyyyy

−=

−=⇒−=

:منها نحصل على

22 1

1

tanh1

1'

xyy

−=

−=

Copyright © 2010.



271

:مثالاوجد

dx

dy للدالة ( ) 13341 44sinh +− −+= xexxy. : الحل

:ون لدينامن اشتقاق الدوال الزائدية يك( )

( )441

124344sinh

34

231313341

−++

++−+= ++−

xx

xxeexxy xx

:مثال

اوجد dx

dy للدالة ( )x

xy1

sinh233sin(cosh 1 += −. : الحل

:من اشتقاق الدوال الزائدية يكون لدينا( )

( ) 1233sin(

)233cos(31sinh

1cosh233sin(cosh

12

12

−+

+

+

+

−= −

x

x

xxx

xdx

dy

:مثال

اوجد dx

dy للدالة ( )2

31 163tanh

xxxy +++= −.

: الحل :من اشتقاق الدوال الزائدية يكون لدينا

( ) 323

2 1

631

33

xxx

xdxdy

−++−

+=

:مثال اوجد

dx

dy للدالة xhy 1sec −=. : الحل

: باستخدام خواص الدوال المثلثية العكسية نجد أن

yhyxxhy

cosh

1secsec 1 ==⇒= −

Copyright © 2010.



272

بذلك تكون yy ee

x −+=

: وباشتقاق الطرفين نجد2

y

yy2cosh

'sinh1

−=

1coshsinh:ولكن 22 −= xxوبالتالي يكون لدينا :

2

2

22

2

2

2

22

1

1

1

1

11

1

1cosh

cosh

sinh

cosh'

xx

x

xx

x

x

y

y

y

yy

−−=

−−=

−

−=

=−

−=

−=

:مثال

dxاوجد

dy

522 للدالة +−= uuyإذا كان xxu cossinh مع رسم الدالة التركيبية ؟=+ : الحل

: والتي تكون على الصورة uنوجد مشتقة الدالة xxu sinhcosh' +=

'2'2'2')1( :نعلم بأن −=−= uuuuuy ) :بذلك تكون المشتقة على النحو التالي )( )1coshsinhsinhcosh' −++= xxxxy

Copyright © 2010.



273

The Derivation of Exponential and Logarithm functions

: و اللوغاريثميةساسية للدوال اآلسية نلخص فيما يلي بعض الخواص األxexIRIR تعرف expسية نرمز لها بالرمز أل الدالة ا- →→ ,:exp وهي دالة تقبل

)exp())'(exp( بشكل عاما ومشتقاته Rعلى االشتقاق xx فإنx=0 وإذا كانت =1)0exp( 0 == e الوحيدة التي تحقق هذه الخواصو وهي دالة حقيقية.

: وبصفة عامةRالدالة اآلسية دالة مستمرة ومتزايدة على -∞=

∞→

x

xelim 0 وlim =

−∞→

x

xe.

: تحقق الخاصية التاليةاألسية الدالة -yxyx eee ),(2لكل +=. Ryx ∈.

xex الدالة - وتعرف اللوغاريثمية وهي الدالة العكسية للدالة Rمستمرة ومتزايدة على → :التالي على الشكل

xxRR ln,:ln ) إذا →→ )yxey x ln=⇔= 2 لكل),( Ryx ∈. بشكل عاما ومشتقاته R الدالة اللوغاريثمية قابله لالشتقاق على -

xx

1)(ln' Rx لكل = ∈.

: وبصفة عامةR دالة مستمرة ومتزايدة على األسية الدالة -−∞=

+→)ln(lim

0x

x=∞+ و

+∞→)ln(lim x

x.

Copyright © 2010.



274

The derivation of Exponential functions : معرفة كما يليxf)(إذا كانت الدالة -1

0;)( >== aaxfy x aay : تعطى xf)(فإن المشتقة األولى للدالة x ln'=

: مثالxyإذا كانت :موضح بالرسم هو كما هفإن =3

3ln3' xy =

: معرفة كما يليxf)( الةإذا كانت الد -20;)( >== abaxfy x

aaby : تعطى xf)(فإن المشتقة األولى للدالة x ln'= : مثال

xxfإذا كانت 65)( :فإن =×6ln65)(' xxf ×=

: معرفة كما يليxf)(إذا كانت الدالة -3)()( xfabxf =

: تعطى كما يليxf)(فإن المشتقة األولى للدالة xfu)(ع بوض .x قابلة لالشتقاق في u حيث =

ubay =∴

Copyright © 2010.



275

dxdu

dudy

dxdy

.=∴

'ln uabaxd

yd u=∴

:مثال)543(إذا كانت 2

28)( ++= xxxf فأوجد )(' xf. : الحل

2ln2)3248()('

)46(2ln28)(')543(

)543(

2

2

××+=

+×××=++

++

xx

xx

xxf

xxf

e≅718.2 ذات األساس األسيةاشتقاق الدالة -4xeby معرفة xf)( كانت الدالة إذا : فإن=

)(ln' xxd

deeby x=

1ln : وحيث أن =e عليه فإن : xeby =' : مثال

xexf إذا كانت 53)( : فإن=xexf 515)(' =

Copyright © 2010.



276

The Derivative of Logarithm functions ')(إذا كانت -1 xfمعرفة كما يلي :

1,0;log ≠>= aaxby a

: تعطىxf)(فإن المشتقة األولى للدالة

x

eby alog

' = : مثال

6 3)( كانتإذا xLogy : فإن=

x

ey 6log3

=′ log)(إذا كانت -2 xfby a= 1,0 حيث ≠> aa فإن المشتقة األولى تكون كما يلي:

xfu)(بوضع x ubLogy قابلة لالشتقاق فيuحيث = a= :ومنه فإن المشتقة األولى

eLogu

ub

dx

du

du

dy

dx

dya

'. ==

: مثال3)6( إذا كانت 5xLogy : فإن=

Logex

Logex

x

x

Logxxy

1515

6

)30(3'

5

4

5

4

===

:معرفة كما يليxf)(إذا كانت -3xby ln=

: هي xf)(ولى للدالة فإن المشتقة األ

x

eby

ln' 1ln وحيث أن= =e بذلك

x

by ='

: مثالvyإذا كانت ln=فإن :

vdv

dy 1=

: مثال xyإذا كانت ln2=فإن :

xy

2'=

Copyright © 2010.



277

ln)(إذا كانت الدالة -4 xfby : يتم إيجادها كما يلي فإن المشتقة األولى =xfu)(بوضع uby أي أن x قابلة لالشتقاق في uحيث = ln=

:األولى تكونوبالتالي فإن المشتقة 1ln;ln. =

′== ee

uu

bxd

dududy

xdyd

uu

bxdyd

' y′

==∴

:مثال2lnأوجد المشتقة األولى للدالة xey x−=

xxx : الحل exxx

xexey −−−

−=

+−= 22 ln

22ln'

:مثالxxey أوجد المشتقة األولى للدالة x 2sinln2−=.

: الحل :تفاضل حاصل ضرب ثالثة دوال

xxexx

exxey xxx 2cosln22sin1

2sinln2' 222 −−− ++−=

Copyright © 2010.



278

derivative of Implicit functions xfy)(يقال عن الدالة اسطة دالة صريحة ألنه يمكن فيها التعبير عن الدالة بو=

وهذا هو الحال في معظم األحيان كما في الدوال المدروسة في هذا عام وبشكل xالمتغير :الكتاب على سبيل المثال كل الدوال التالية صريحة

10723 23 −−+= xxxy , 3+= xy, xy sin= , 8+= xy وتعطى المعادلة y عن الدالة xصيغ دالية ال يمكن فيها فصل المتغير داول أحيانا مع الولكن نت

),(0بالصيغة =yxfوهنا تسمى الدالة ضمنية فمثال المعادلة : xyxyxy 232 2222 =++− : في دالة ضمنية نتبع الخطوات التاليةy'إليجاد، x وحسابها بداللة yيصعب فيها فصل

:المباشرةبطريقة . 1 .xنشتق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير . أ .y وx بداللة كال منy'نحل المعادلة الناتجة لحساب. ب :مثالاوجد

dx

dy 53 للدالة 23 +=− yxxyx. : الحل يعنى وجود دالة x متعلقة بـy وهذا يعنى أن x بالنسبة لـ y اشتقاق هناالمطلوب

f حيث )(xfy لذلك علينا االشتقاق ضمنيا فنحصل ، غير واضحة لدينا f ولكن = :على

( )

xxy

xyyy

xyyxxyy

xyyxyyyx

yxyxyyxy

−+−

=∴

+−=−

+−=−

+=−+

2

3

32

32

23

3

6'

63'

6''3

'6)'3(

:مثال1543 : إذا كانت المعادلة 34 +=−+ xxyy دفأوج

dx

dy. : الحل :xنفاضل بالنسبة للمتغير

Copyright © 2010.



279

( ) ( )

34

512

51234

1543

3

2

23

34

++

=

=−+

+=−+

yx

xdyd

xxdyd

xdyd

y

xxd

dxyy

xdd

Logarithm differentiationاللوغاريتم تفاضل الدوال الضمنية بوساطة . 2 دالتان قابلتان للتفاضل عندئذ إليجاد المشتقة األولى للدالة xg)( و xf)(لنفرض

[ ] )()( xgxfy : نتبع الخطوات التالية= : الطرفين وعندها يكون لدينا lnنأخذ . 1

[ ] )(ln)()(lnln )( xfxgxfy xg == :نحصل علىل) 1(نشتق طرفي المعادلة . 2

)(ln)(')(

)(')(

'xfxg

xf

xfxg

y

y+=

: علىنحصلل yبـ ) 2(نضرب طرفي المعادلة . 3

+= )(ln)('

)(

)(')(' xfxg

xf

xfxgyy

:أنجد ن بما تساوي فy عننعوض. 4 [ ]

+= )(ln)('

)(

)(')()(' )( xfxg

xf

xfxgxfy xg

:مثالxxy للدالة y'أوجد . موضحا اإلجابة بالرسم= : الحلxxy طرفي المعادلة lnنأخذ xxxy نحصل على = x lnlnln نشتق ==

1ln النحو التاليىطرفي المعادلة عل1

ln'

+=×+= xx

xxy

y نضرب طرفي المعادلة

'1(ln(ln)1( :نحصل علىyبـ +=+= xxxyy x.

Copyright © 2010.



280

:مثالxxy للدالة y'أوجد tan)(sin=موضحا اإلجابة بالرسم . : الحلxxyمعادلة طرفي الlnنأخذ tan)(sin= نحصل على

xxxy x sinlntan)ln(sinln tan == النحو التالي ىنشتق طرفي المعادلة عل

1sinlnseccottansinlnsec' 22 +=+= xxxxxx

yy

:نحصل علىyنضرب طرفي المعادلة بـ )1sinlnseccottansinln(sec' 22 +=+= xxxxxxyy

xxyتعويض عن الب tan)(sin=نحصل على: )1sinlnseccottansinln(sec)(sin' 22tan +=+= xxxxxxxy x.

Copyright © 2010.



281

:مثالxxy للدالة y'أوجد )1( 2 += : الحلxxy طرفي المعادلة lnنأخذ )1( 2 1ln(ln(نحصل على =+ 2 += xxy نشتق

النحو التالي ىطرفي المعادلة عل

1

2)1ln(

1

2)1ln(

'2

22

22

+++=

+×++=

xx

xx

xxx

yy

نحصل علىyنضرب طرفي المعادلة بـ )

1

2)1(ln(

2

22

+++=

xx

xyy: xxy عنتعويضالب )1( 2 : عن نحصل على=+

)1

2)1(ln()1(

2

222

++++=

xx

xxy x :مثال5 للدالة y'أوجد

223

322

)4()1()1()1(

+−++

=xxxx

yة بالرسم موضحا اإلجاب.

: الحل

Copyright © 2010.



282

5 طرفي المعادلة لوغارثمنأخذ

1

223

322

)4()1(

)1()1(

+−++

=xx

xxy

نحصل على ل

+−++

= 223

322

)4()1(

)1()1(ln

5

1ln

xxxx

y

:وهذا يعنى أن ( )223322 )4ln()1ln()1ln()1ln(

5

1ln +−−−+++= xxxxy

)4ln(5

2)1ln(

5

3)1ln(

5

3)1ln(

5

2 22 +−−−+++= xxxx :اآلن نشتق ضمنيا طرفي المعادلة لنحصل على

45

4

1

1

5

3

1

1

5

6

1

1

5

2'22 +

−−

−+

++

=x

x

xxxy

y

5نضرب طرفي المعادلة بـ 223

322

)4()1(

)1()1(

+−++

=xxxx

y

:نحصل علىل

+−

−−

++

++−++

=45

41

153

156

11

52

)4()1()1()1(

'22

5223

322

xx

xxx

xxxxx

y

Copyright © 2010.



283

High- order derivatives xfy)(لتكن نت قابلة فإذا كاy'دالة قابلة لالشتقاق عندها يمكن حساب المشتقة =

وهكذا نتابع لحساب مشتقات من مراتب أعلى y"لالشتقاق يمكن حساب المشتقة الثانية :ولنرمز لهذه المشتقات بالشكل

)(ny, .......... ,)5(y , )4(y ,"'y,"y,'y .xf)( للدالة n المشتقة من المرتبة ny)(وتسمى

:مثال532 للدالة y ،"y ،'y'"أوجد 234 ++++= xxxxy. : الحل'3264 : على النحو التاليy': نوجد أوال 23 +++= xxxy

"21212 :وكذلك 2 ++= xxy '"1224 :ثم += xy )4(24 :منها نحصل على =y

:مثالxe للدالة y ،'y"، أوجد

xxsixxy 34 1

4 +++=. : الحل

xe : على النحو التاليy': وجد أوال ن x

xxy 32

3 31

4cos44' +−+=

xe: ثمx

xxxy 33

2 92

4sin1612" ++−=

:مثالxxxy للدالة y ،'y"، أوجد ln5 ++=.

: الحل : على النحو التاليy': وجد أوالن

xx

xy

15

2

1' 4 ++=

3 : ثم 3 2

204

1"

xx

xxy −+−=

Copyright © 2010.



284

:المث)cossin( إذا كان 1 xmy : برهن أن=−

0'")1( 22 =+−− ymxyyx : الحلن أواضح من ال

2

1

1)coscos('

x

mxmy

−

−= 21 في y' بضرب − x−

coscos('1( نحصل على 12 xmmyx : على الشكل التاليy" ثم نوجد−=−−)

1)cossin(('

1"1

2

1

2

2

x

mxmmy

x

xyx

−

−−−=

−−− −

−−=

−−−

−

2

12

2

2

1

)cossin('

1"1

x

xmmy

x

xyx

21ضرب في المقدارالب x−نحصل على : 0'")1( 22 =+−− ymxyyx

:مثالxy إذا كان . موضحا اإلجابة بالرسمy ،'y" أوجد =

: الحل : على النحو التاليy' : وجد أوال

xy

2

1' =

: نوجد ثمxx

y4

1" −=

Copyright © 2010.



285

إذا كانت -12

5

2

3−

−=xx

y أوجدdx

dy. :من خواص تفاضل كثيرات الحدود نحصل على: الحل

( )( ) 44

3

2

15

2

13

2

5

2

12

5

2

−−

−

+=−

−=∴

−=

xxxd

yd

xxyQ

)34()5(إذا كانت -2 22 +−= xxy أوجدdx

dyموضحا اإلجابة بالرسم . :من خواص تفاضل كثيرات الحدود نحصل على: الحل

222

222

22

)34()5)(34)(16(

)34()5)(8)(34(2

)5()34(

−++−=∴

−++−=

+−=

xxxxxd

yd

xxxxxd

yd

xxyQ


12

2

)7(

)32(

+

−=

x

xy

أوجد dx

dy.

:ية نحصل علىمن خواص تفاضل الدوال القياس: الحل

?

Copyright © 2010.



286

( )

3

12

122

2

3

12

3

2223

12

)7(

)7)(32(3

24

)7(

2)7(3

1)32()4()7(

+

+−

−

=

+

+−−+

=

−

−

x

xxxx

x

xxxxx

xdyd

1313إذا كانت -4 13 −++= xxy ،أوجدdxdyموضحا اإلجابة بالرسم .

:من خواص تفاضل الدوال الجذرية نحصل على: الحل

( )

2 1313

1412

2 1313

1412

2 1313

132

)1313(

132

)1313)(1(

)(2

)(')1(

13

−

−

−

−

−

++

−=∴

++

−==

++=

xx

xx

xd

yd

xx

xx

xy

xy

xd

yd

xxyQ

')( أوجد -5 xy ،333إذا كان sin xxy =.

:من خواص تفاضل الدوال اآلسية و المثلثية نحصل على: الحل

3323325

23323323

sin3cossin9'

)3(sin)3.cos.sin3('

xxxxxy

xxxxxxy

+=

+=

')( أوجد - 6 xy ،2إذا كانsec xy . موضحا اإلجابة بالرسم=

Copyright © 2010.



287

:من خواص تفاضل الدوال المثلثية نحصل على: الحلsectan)'(sec'نعلم أن uuux 'sec(tan2( : وبالتالي= 22 xxxy =

')(أوجد -7 xy ، إذا كانx

xy

cos1

sin

+=.

:من خواص تفاضل الدوال المثلثية نحصل على: الحل

xx

xxy

x

xxx

x

xxxxxy

cos1

1

)cos1(

cos1)('

)cos1(

sincoscos

)cos1(

)sin(sin))(coscos1()('

2

2

22

2

+=

++

=

+++

=+

−−+=

')( أوجد -8 xy ،333إذا كان )(sin xxy . موضحا اإلجابة بالرسم=

:من خواص تفاضل الدوال اآلسية و المثلثية نحصل على: الحل

3323235

33223233

)(sin3cos)(sin9'

)(sin33cos)(sin3'

xxxxxy

xxxxxxy

+=

+=

Copyright © 2010.



288

')( أوجد -9 xy ،3إذا كانcsc xy =. : الحل

3332

1

3322

13

32

1

2

133

csccotcsc2

3'

)csccot)(3()(csc2

1'

csc)(csccsc

xxxy

xxxxy

xyxyxy

−=

−=

=→=→=−

')( أوجد -10 xy ،إذا كان

=

xxy

1tan.

:ل المثلثية نحصل علىمن خواص تفاضل الدوا: الحل

−

=

−

+

=

xxxy

xxx

xy

1sec

11tan'

1sec

1.

1tan'

2

22

اوجد المشتقة األولى إذا كانت-11

xxy

22

102

1+×

. موضحا اإلجابة بالرسم= : الحل

22

2

2

)102(

)22)(10ln.10.2(1'

102

1

2

2

2

xx

xx

xx

xy

y

+

+

+

×

+×−=

×=Q

Copyright © 2010.



289

:منها نحصل علىxxxx

xx xxy

222

2

22

2

10

)1(10ln

)102(

)1)(10ln.10(4'

++

+ +−=

×

+×−=∴

xxyإذا كانت، وجد المشتقة األولى أ -12 32=. : الحل

[ ]23ln3'

)2(33ln3

)(3)3(.'

2

22

+=∴

+=

+=

xxy

xx

xxd

dxd

dxy

x

xx

xx

xeyإذا كانت، أوجد المشتقة األولى -13 x 3sin2−=. : الحل

( )

( )xxe

xexe

exxe

exd

dxx

xd

dey

xey

x

xx

xx

xx

x

3sin23cos3

3sin23cos3

)2(3sin)3cos3(

)(3sin)3(sin'

3sin

2

22

22

22

2

−=∴

−=

−+=

+

=

=

−

−−

−−

−−

−Q

Copyright © 2010.



290

235إذا كانت، أوجد المشتقة األولى-14 xy . موضحا اإلجابة بالرسم= : الحل

)3().5(ln5' 23 2

xxd

dy x=

'ln5)5)(6( : منها نحصل على23 xy x=

)3ln(2إذا كان، y'أوجد المشتقة األولى -15 += xy. : الحل

3

2)3(.

3

12'

)3ln(2

)3ln( 2

+=+

+=∴

+=+=

xx

xd

d

xy

xy

xyQ

ln)3( إذا كانy'أوجد المشتقة األولى -16 2 += xyموضحا اإلجابة بالرسم . :الحل

3

)3ln(2

)3(.3

1.)3ln(2

)3ln(.)3ln(2'

++

=

+

++=

++=

x

x

xxd

d

xx

xxd

dxy

Copyright © 2010.



291

إذا كانت ′yد أوج -17x

xy

cos1

sin

+ . موضحا اإلجابة بالرسم=

: الحل

xx

x

x

xxx

x

xxxxy

cos1

1

)cos1(

1cos

)cos1(

sincoscos

)cos1(

)sin)((sin))(coscos1(

2

2

22

2

+=

++

=

+++

=

+−−+

=′

)13(52 إذا كانت ′yاوجد -18 6 −+= xxy. : الحل

2/16 )52()13( −+= xxy

Copyright © 2010.



292

52

)8939()13(

52

)52()13(18)13(

52)131852

)13(

)13)(6(.)52()2.()52()2

1(.)13(

5

56

56

52/12/16

−−+

=

−−+++

=

−+×+−

+=

+−+−+=′ −

x

xx

x

xx

xxx

x

xxxy

xxy إذا كانت ′yأوجد -19 tansec=موضحا اإلجابة بالرسم . : الحل

)tan(sec

tansecsec

tansectansecsec'

22

23

2

xxSecx

xxx

xxxxxy

+=

+=

+=

log)53( إذا كانy'أوجد المشتقة األولى -20 23 −= xy:

: الحل

ex

xx

xd

de

xy

xy

322

32

23

log53

6)53(.log

53

1'

)53(log

−=−

−=∴

−=Q

Copyright © 2010.



293

أوجد -21dxdy إذا كانت

32 )764(

1

−+=

xxyموضحا اإلجابة بالرسم .

: الحل32 )764( −−+= xxy

4242

)764(

)34(6)68.()764(3

−++−

=+−+−=′= −

xx

xxxxy

dx

dy

منها 42 )764(

)34(6

−++−

=xx

x

dx

dy

tanlog)( إذا كانy'أوجد المشتقة األولى -222

3xey =.

: الحل

2

22

22

2

2

2

2

tan

sec2sec.

tan

1)(tan.

tan

1'

)(tanln 3

x

xxxx

x

x

x

x

e

eexe

xd

de

ee

xd

d

ey

ey

===∴

=Q

xf)(أوجد -23 43 إذا كانت ′ )13(.)52()( −+= xxxf. : الحل

)97()13()52(6

)]13()52(2[)13()52(6

)2()52(3.)13()3.()13(4.)52()(

32

32

2433

+−+=

−++−+=

+−+−+=′

xxx

xxxx

xxxxxf

Copyright © 2010.



294

وجد أ -24dx

dy 3إذا كانت 2 45)( +−== xxyxfموضحا اإلجابة بالرسم . 3/12: الحل )45( +−= xxy

)110.()45(3

1 3/22 −+−= − xxxdx

dy منها 3 2)425(3

110

+−

−=

xx

x

dx

dy

xf)(وجد أ-25 )()627(4 إذا كانت ′ ++= xxxf. : الحل

++++=′

62

27.)67(4)(

2

32

x

xxxxf

Copyright © 2010.



295

أوجد -26dx

dy إذا كانت xy 4tan 3=. : لحلا

xx

xx

xxy

4sec4tan12

)4sec4)(4(tan3

)4(.4sec.)4(tan3

22

22

22

=

=

=′

)5( إذا كانت ′yوجد أ -27 3xcoxy =. : الحل

)5sin(1515.)]5sin([ 3223 xxxxy −=−=′

xy إذا كانت ′yوجد أ -28 6sin=. : الحل

2/1)6(sin xy =

x

x

xxy

6sin

6cos3

)6(.6cos.)6(sin2

1' 2/1

=

= −

Copyright © 2010.



296

yxy إذا كانت ′yوجد أ -29 sin2=. :من خواص التفاضل الضمني نحصل على: الحل

)2).((sin).)(cos( 2 xyyyxy +′=′ yxyyxy sin2)cos( 2 +′=′ yxyyxy sin2)cos( 2 =′−′

yxyxy sin2)cos1( 2 =−′

)cos1(

sin22 yx

yxy

−=′

0654 إذا كانت ′yوجد أ -30 333 =+−+− xxyxxy. :من خواص التفاضل الضمني نحصل على: الحل

32

223

22332

22332

22332

75334

'

05334)7('

0533'4'7

053)3'(4)'3(4

xxyxyxy

y

xyxyxxyy

xyxyxyyxy

xyxyxyyyx

−+−+−

=

=−+−+−

=−+−−+

=−++−+

)sin(cos(0 إذا كانت ′yوجد أ -31 3 =+ yxxy.

: الحل')')(sin()cos(cos(

03')')(sin()(cos(cos(3

23

yxxyxyxy

xyyxyxyxyxy

+−

=+++−

أوجد -32dx

dyإذا كان xe yx = : الحل

yx

yx

yxyx

yxyx

yx

yx

ex

eyy

eyeyx

eyxey

eyxy

xe

−=∴

−=

=+

=+

=

1'

1'

1'

1)'(

Q

Copyright © 2010.



297

أوجد -33dx

dyإذا كان xey yx tan3 =. : الحل

yxyx

yx

yxyxyx

yxyxyx

yxyx

yx

eyxey

eyxy

eyxeyxeyy

xeyyxeyeyy

xyeyxyeyy

xey

32

42

4232

2342

232

3

3

sec'

sec)3('

sec''3

sec)'('3

tan

+−

=∴

−=+

=++

=++

=Q

02إذا كانت -34 22 =+− yyxx 1 فاثبت أن'=y. : الحل

122

22

22)22(

02222

)0()2( 22

=−−

=

−=−

=+−−

=+−

xy

xy

dx

dy

xyxydx

dydx

dyy

dx

dyxyx

dx

dyxyx

dx

d

122 إذا كانت ′yأوجد -35 =+ yx. : من خواص التفاضل الضمني نحصل على:الحل

y

xy

xyy

yyx

−=′

−=′=′+ 022

********************

Copyright © 2010.



298

- Let )(xfy = be defined on an open interval ( )ba, :

Then the derivative of )(xf at ( )bax ,∈ ,denoted by )(' xf , is defined by:

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

−+=

→

Whenever the limit exists. - The function )(xfy = is differentiable at the point 0xx = if the derivative of

)(xf exists at this point. That is , if

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(' 00

0

−+=

→ exists.

- Theorem: If the function )(xfy = is differentiable at the point 0xx = , Then this function is

continuous at this point. - Some lows of differentiations: Let C be a constant and )(xf and )(xg be two differentiable at the point x , then:

0:1 =Cdx

d

)('))((:2 xCfxCfdx

d=

)(')('))()((:3 xgxfxgxfdx

d±=±

)(')()()('))()((:4 xgxfxgxfxgxfdx

d+=×

0)(,))((

)()(')(')()

)(

)((:5

2≠

−= xg

xg

xfxgxfxg

xg

xf

dx

d

- The first derivative of the composite function (Chain rule) Let )(xf and )(xg be two differentiable functions at x , If )(ufy = and

)(xgu = , then composite function:

)())(())(( ufxgfxgfy === o Is differentiable at x :

dx

du

du

dy

dx

dy.=

- From Chain rule , we deduce the following laws:

[ ] [ ] )(')()(:1 1 xfxfnxfdx

d nn −=

Summary

Copyright © 2010.



299

0,)('.ln.:2 )()( >= axfaaadx

d xfxf

)('.:3 )()( xfeedx

d xfxf =

eLogxf

xfxfLog

dx

daa )(

)(')(:4 =

)(

)(')(ln:5

xf

xfxf

dx

d=

[ ] [ ] )(')(cos)(sin:6 xfxfxfdx

d=

[ ] [ ] )(')(sin)(cos:7 xfxfxfdx

d−=

[ ] [ ] )(')(sec)(tan:8 2 xfxfxfdx

d=

[ ] [ ] )(')(sec)(cot:9 2 xfxfcxfdx

d−=

[ ] [ ] [ ] )(')(tan)(sec)(sec:10 xfxfxfxfdx

d=

[ ] [ ] [ ] )(')(cot)(sec)(sec:11 xfxfxfcxfcdx

d−=

The derivative of the inverse Trig functions: [ ]

[ ]2

1

)(1

)(')(sin:1

xf

xfxf

dx

d

−=−

[ ][ ]2

1

)(1

)(')(cos:2

xf

xfxf

dx

d

−

−=−

[ ][ ]2

1

)(1

)(')(tan:3

xf

xfxf

dx

d

+=−

[ ][ ]2

1

)(1

)(')(cot:4

xf

xfxf

dx

d

+−

=−

[ ]1)()(

)(')(sec:5

2

1

−=−

xfxf

xfxf

dx

d

[ ]1)()(

)(')(sec:6

2

1

−

−=−

xfxf

xfxfc

dx

d

- If the variables x and y were given implicitly as in the equation 0),( =yxf then

to find 'y of the implicit function we follow these steps: 1. We differentiate both sides with respect to x .

Copyright © 2010.



300

2. We solve the resulting equation in 'y and find 'y as a function of yx, . - Let )(xf and )(xg be two differentiable functions to find first derivative of

[ ] )()( xgxfy = we follow the next steps: 1. Lake logarithm both sides then:

[ ] )(ln).()(lnln )( xfxgxfy xg == 2. differentiale both sides:

)(ln)(')(

)(')(

'xfxg

xf

xfxg

y

y+=

3. Multiplying by y :

+= )(ln)('

)(

)(')(' xfxg

xf

xfxgyy

4. Substituting by the value of y :

[ ]

+= )(ln)('

)(

)(')()(' )( xfxg

xf

xfxgxfy xg

*********************

Copyright © 2010.



301

')(أوجد المشتقة األولى -1 xf للدوال التالية باستخدام التعريف:É 64)(:1 xxf = )6)(3()(:2 2 −+= xxxf

34)(:3 23 −−= xxxf )5)(2)(1()(:4 −+−= xxxxf )1)(()(:5 23 −+= xxxxf

)sec()cos(sintan)(:6 324 xxxxf −+= )1)(12()(:7 2 −+= xxxf

xxxxf sin1013)(:8 3

2

7

4

−+= )tan(cosln)(:9 23

xxxexf x −++= xxxxf 153cotsec)(:10 24 −+=

المشتقة األولىأوجد -2dxdy موضحا اإلجابة بالرسمللدوال التالية : É

xxy cos:1 2= 4)12(

:2−

=x

xy

4)12(

:3−

=x

xy

4)12(:4

−=

x

xy

233 )98(.)76(:5 +−= xxy xxy sin:6 3=

xxxxy tancot2:7 2+= 3 3 278:8 += xy

3

3 310:9

xxy += 3/22 )169(

4:10

+=

xy

É : إذا كانتy'أوجد المشتقة األولى -3100:1 =+ yx 108:2 22 =+ yx

Copyright © 2010.



302

yxy cos:3 2 = xyxxyx =−+ tan)sin(2:4 2

)sec(cotcos:5 22 yxyxxy =+ )(

)sin()cot(:6

22 xcse

xyy

yx =+

)()ln(:7 )sin( xyxye x =+

)ln(sin()cot(:84

xyey

yx x =+

)1

cos(18:9 22

xyeyyx xy =+

)cot())(()(:10 3 xxcseyxxyx =−−

xeyإذا كانت -4 x sin= برهن أن: É 02'2" =+− yyy

É : أوجد المشتقة الرابعة لكل من الدوال التالية-5153:1 235 ++−= xxxy

12

:2 += xey

xy 3sin:3 = É :فيها كل مشتقةدرجة ثم حدد nمشقة الدوال التالية إلي الدرجة أوجد -6

1525:1 23 ++−= xxxy 13 2

:2 += xexy

95:3 2 +−= xxy

*****************

Copyright © 2010.



303

Application of the Derivatives

لها دور فاعل في والتي هذا الفصل بعض التطبيقات الهامة على المشتقات فينقدم :منهاوإيجاد حلول لكثير من المسائل التطبيقية

Equation of The Tangent and Normal Lines to a curve ),( والمار بالنقطة m ذي ميلنعلم أن معادلة الخط المستقيم 00 yx ما يليك تعطي:

)( 00 xxmyy −=− ),(وبما أن ميل المستقيم عند النقطة °° yx هو

)( °′= xfm :على الشكل معادلة المستقيم تكون فإن

)()( 000 xxx fyy −′=− أو

)()()( 000 xxx fxfy −′=− بشرط أن أيا من (−)1(وبما أن حاصل ضرب ميلي مستقيمين متعامدين يساوي

:أي أن) المستقيمين ال يوازي المحور الرأسي121 −=× mm

: لذلك فإن

21

1

mm

−أو =

12

1

mm

−=

) 0,0(: بشرط أن 12 ≠≠ mm :وبما أن المعادلة العامة للخط المستقيم هي

)( 00 xxmyy −=− :ميل العمودي على المماس يساوي مقلوب ميل المماس بإشارة مخالفةفإن )0)((,

)(

10

0

≠′′

−= xfxf

mعمودي

Copyright © 2010.



304

:بالتالي فإن معادلة العمودي على المماس هي)(

)(1

00

0 xxxf

yy −′−

)(أو −=)(

1)( 0

00 xx

xfxfy −

′−=−

:مثال :حيث f لمنحنى الدالةx=2 أوجد معادلة المماس ومعادلة العمودي على المماس عند

252)( 3 +−= xxxfا اإلجابة بالرسم موضح. :الحل),( يجب تعيين النقطة :أوال 00 yx 0 ويتم ذلك بإيجادy:

252)( 03000 +−== xxxfy

82)2(5)2(2 30 =+−=y

)8,2(),( 00 =∴ yx )(56 :اإذ 2 −=′ xxf

6)2(195 :هو x=2 ميل المماس عند 2 =−=m :بالتالي فإن معادلة المماس تكون على الصورة

)( 00 xxmyy −=− )2(198 −=− xy 03019أو =−− yx

3019منها و −= xy

= بما أن ميل العمودي على المماس 19

1− :ي على المماس هي معادلة العموداإذ

)2(19

18 −

−=− xy 015419 أو =−+ yx.

منها نحصل على19

154

19+

−=

xy

Copyright © 2010.



305

:مثال2522 ياكتب معادلتي المماس والعمودي على المماس للمنحن =+ yx عند النقطة

)4,3(. :الحل فيكون لدينا xاس نشتق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير إليجاد معادلة المم

022 =′+ yyx

yx

yxyy−

=′→−=′∴ 22 ومنها 4

3−=m

Qمعادلة المماس هي : )( 00 xxmyy −=−

449

43

)3(43

4

++−

=

−−

=−∴

xy

xy

02543

04

25

4

3

=−+

=−+

yx

yx

Qالعمودي على المماس)الناظم( ميل :

34

4311

1 =−−

=−

=m

m

Copyright © 2010.



306

Q العمودي على المماس هيمعادلة: )( 010 xxmyy −=− : معادلة العمودي هي∴

03403

4

443

4)3(

3

44

=−→=−

+−=→−=−

yxyx

xyxy

:مثال22لمنحنى لالعمودي على المماس )الناظم( اكتب معادلة xy −)3,1( عند النقطة =+

.موضحا اإلجابة بالرسم :الحل .′y من المشتقة mعندئذ نحسب ميل العمودي عليه 1mميل المماس و mلتكن xy: بما أن m=−2 منها ′=2

: عليهالعموديفإن ميل 2

1

2

11 =

−−

=m : معادلة العمودي على المماس هي∴

[ ])1(2

13 −−=− xy 1( ومنها(

2

13 +=− xy

321

21

++= xyومنها2

7

2

1+= xy كما في الشكل التالي:

Copyright © 2010.



307

:مثال

أوجد معادلة المماس والعمودي للمنحني x

xy

−=

4

3

.)4,2( عند النقطة :الحل

) :نحسب المشتقة )2

32

4

)4(3'

x

xxxy

−+−

:منها نوجد ميل المنحنى =

38

32

2

)8(2)4(123

==−

=m تكون معادلة المماس هي بذلك: )2(34 −=− xy 23ومنها −= xy )2(ومعادلة العمودي هي

3

14 −−=− xyومنها :

3

14

3

1−−= xyكما في الشكل التالي :

Copyright © 2010.



308

Rolles Theorem ),( لالشتقاق على قابلة fإذا كانت ba على )متصلة(مستمرة و[ ]ba وإذا كان,

0)()( == bfaf على األقل فإن هناك عنصر واحدc في ),( ba حيث: 0)(' =cf.

:البرهان)()()(إذا كان :أوال bfafxf ),( لكل == bax ∈ ')(0ثابتة وبالتالي فإن تكون دالة fفإن الدالة =xf لكل),( bax ∈ ),(إذا كان هناك :ثانيا bax )()( حيث أن∋ afxf )()( : فإن≠ afxf أو<

)()( afxf :، لنأخذ الحالة>

)1 ()()( afxf >

),( فيcهناك عدد ba ما يلي يحقق )()( cfxf ),(في x لكل ≥ ba الة ألن الد .متصلة ولهذا تكون لها قيمة عظمى

)()(0 اإذ ≤− cfxf إذا كان c العدد على يمين x0 فإن<− cx :وبذلك فإن

0c

)()(≥

−−

xcfxf

: ومن ذلك)1.........(0

)()()( ≥

−−

=′→ cx

cfxfLimcf

cx

0

y

a

c b x

مماس

0 a c1 b x c2 c3

y

Copyright © 2010.



309

−<0 فإنx على يسار العددcوإذا كان cxوبذلك : 0

)()(≤

−−

cxcfxf

:ومن ذلك)2.........(0

)()()( ≤

−−

=′→ cx

cfxfLimcf

cx

)(0 :نستنتج أن )2 (،)1(من =′ cf. على فترة مغلقة وقابلة لالشتقاق على تلكمستمرة f إذا كانت الدالةنجد أنه النظرية من

، الصفريالفترة وتساولفترة المفتوحة وقيمة الدالة عند بداية الفترة تساوي قيمة الدالة عند نهاية اbaبين cفإنه يوجد على األقل عنصر واحد )ويكون المماس عند النقطة , ))(, cfcموازيا

baبين c قد يكون هناك أكثر من وتلمحور السينا . المشتقة األولى صفراه تكون عند,

:مثالxxxf الذي يحقق نظرية رول للدالة (0,3) في الفترةcأوجد العدد 62)( 2 −=

:الحل)0()3(0حيث أن == ff على الفترة مستمرةوالدالة [ فترةوقابلة لالشتقاق على ال 3,0[ :فإنه )3,0(

64)( −=′ xxf 064(c) =−=′ cf

064 =−∴ c ∴=

23

cيحقق نظرية رول لهذه الدالة .

:مثال)()1( الذي يحقق نظرية رول للدالة (0,1) في الفترةcأوجد العدد 3 −= xxxf

:الحل)0()1(0 أن بما == ffعلى الفترة ستمرةوالدالة م [ وقابلة لالشتقاق على الفترة 1,0[

: فإنه)1,0(

x

xxxxf

2

)1(3)(

32 −

+=′

Copyright © 2010.



310

0 :نحصل على c نضع العدد 2

)1(3)(

32 =

−+=′

c

ccccf

33

33

32

71

71

016

02

)1(3

=⇒=

=−+

=−

+

cc

cc

c

ccc

3 :واضح أنمن ال

71

=cيحقق نظرية رول لهذه الدالة .

: مثال) فـي الفتـرة c برهن على وجود قيمتان للعدد الـذي يحقـق نظريـة رول للدالـة 2,0(

( )( )72)( +−= xxxxfمع رسم الدالة ؟ : الحل)0()2(0 أن بما == ff على الفترة ستمرةمكثيرة الحدود والدالة [ وقابلة لالشتقاق 2,0[

): عليها فإن )( ) ( ) ( )2772)(' −++++−= xxxxxxxf بوضع c بدال من x ) :نحصل على )( ) ( ) ( )2772)(' −++++−= cccccccf

: وبمساواتها بصفر نحصل على 027145 222 =−+++−+ cccccc 014103 منها يكون لدينا 2 =−+ cc وبالتالي

. تحققان النظرية cيكون هناك قيمتان للعدد

Copyright © 2010.



311

Mean Value Theorem ),( قابلة لالشتقاق على fإذا كانت baعلى )متصلة( مستمرة و [ ]ba فإن هناك ,

),( فيcعلى األقل عنصر واحد ba يحقق:

abafbf

f−−

=)()(

(c)' :البرهان

)(نعرف الدالة )()(

)()()( axab

afbfafxfxg −

−−

−−=

:أنكما تحقق شروط نظرية رول g نالحظ أنab

afbfxfg

−−

−′=′ )()()((x)

)( هناك اإذ b,ac )(0 :حيث أنو ∋ =′ xgمنها وab

afbfcf

−−

−′=′=)()(

)((c)g0

: أننجدومن ذلك ab

afbfcf

−−

=′ )()()(

)()( يكونتوضح هذه النظرية بأنه ليس من الضروري أن bfaf بينc لوجود عدد =ba ) يكون المماس عند النقطة , ))(, cfc بين النقطتين موازيا للخط الواصل

( ) ( ))(,,)(, bfbafa

0

y

a b x C x 0

y

a b x C

(a,f(a))

(b,(f(b))

x x

y

y a c1 b c2

Copyright © 2010.



312

:مثال)2(إذا كان

3

1)( 3 xxxf ] في الفترة cفاوجد العدد =+ الذي يحقق نظرية القيمة 3,0[

.الوسطى :الحل)2( حيث أن الدالة

3

1)( 3 xxxf :قاقوقابلة لالشت) كثيرة الحدود ( ة متصل=+

32

)( 2 +=′ xxf

: بحيث )3,0( بين cفإنه يوجد عدد 03

)0()11()(

−−

=′ ffcf

311

0309

22 =−−

=+c

بذلك فإن 3

5

3

5c 2 ±=→= c ،وحيث أن العدد

35

c )3,0(يقع خارج الفترة =−

الذي يحقق نظرية القيمة الوسطى هوc فإن العدد ∴ 3

5c =

:مثال) في الفترة c وضح لماذا ال يوجد عدد يحقق نظرية القيمة الوسطى للدالة −2,1(

xxf

1)( =.

:الحل]على الفترة مستمرة ح أن الدالة غير واض ]2,1− .x=0 يقع داخل الفترة والدالة غير معرفة عندما 0ن العدد أل

:مثال : باستخدام نظرية القيمة الوسطى برهن صحة ما يلي

baabab <∀−<− −− ,tantan 11. :الحلxxfبفرض أن 1tan)( ]االختياري) المجال(والفترة =− ]ba,نظرية عندئذ وبتطبيق

]القيمة الوسطى على هذه الدالة المستمرة والقابلة لالشتقاق على المجال ]ba,نجد:

Copyright © 2010.



313

abab

abafbf

cf−−

=−−

=′−− 11 tantan)()(

)(

21منها

1)(

xxf

+21 أي أن ′=

1)(

ccf

+ منها نحصل على ′=

abab

c −−

=+

−− 11

2

tantan

1

1

1ولكن 1

10

2<

+<

c ن المقام أكبر من البسط وكالهما موجبان أل

1إذاtantan 11

<−− −−

abab

abab: منها نحصل على −<− −− 11 tantan وهو المطلوب. Increasing and decreasing

y

x1 x x2

I f تناقصیة على الفترة

y = f ( x )

y

x1 x x2

I f تزایدیة على الفترة

y = f ( x )

:تعریف21دالة معرفة على فترة ما ولتكن fلتكن , xxعددين اختيارين في تلك الفترة عندئذ : a. تسمىf دالة متزايدة "increasing function " على الفترة إذا كان

)()( 12 xfxf > ⇒>∀ 12 xx b. تسمىf دالة متناقصة "decreasing function "إذا كان على الفترة

)()( 12 xfxf < ⇒>∀ 12 xx c. تسمى f دالة ثابتة "constant function "إذا كان على الفترة

)()( 12 xfxf Ixx لكل= ∈12 . تنتمي إلى نفس الفترة,

Copyright © 2010.



314

: مثال)(4ابحث تزايد الدالة xxf )0()0( وتناقصها على الفترتين = 21 ∞=−∞= ,L,L. :الحل21)(0, إذا كانت :أوال −∞∈,xx حيث:

0,0 12

21

<<<

xx

xx

Q

21 :أنوحيث xx 4وهذا يودي إلي >2

41 xx 12مثال < 116 هذا يؤدي إلي −>− >.

-),0(تكون تناقصية على الفترة xf)( الدالة ∴ ∞ ,0) ,( إذا كانت:ثانيا 21 ∞∈xx

أنحيث 0,0 12

21

>><

xx

xx

Q

21 وحيث أن xx < 4

241 xx <

xf)( الدالة ∴

على تزايديةتكون )0,(الفترة +∞

والشكل اآلتي يبين ذلك

f (x) = x4

تزایدیة

∞−

y

b ∞

تناقصیة

a

y

x1 x x2

f دالة ثابتة

y = f ( x )

Copyright © 2010.



315

كلما ∞−)(0, الشكل السابق نالحظ أن قيمة الدالة تتناقض على الفترة فيبالتدقيق 0) ,(في هذه الفترة وأن قيمة الدالة تتزايد على الفترة xازدادت قيمة كلما ازدادت ∞+

.في هذه الفترة x قيمة

:مالحظة :أن علمنا فيما سبق

يصنعها التي θظل الزاوية = في تلك النقطةمشتقة الدالة = في نقطةميل المماس .االتجاه الموجب لمحور السينات مع سالمما0 : صفر إذا كانتيساويال أن ميل المماس ب علما

2>> θ

π

:صفر إذا كانت <وأن ميل المماس 2

πθπ >> :ومن بيان الدالة الموضح بالشكل التالي نجد أن

كون تزايدية على الفترات التي يكون فيها المماس يصنع زاوية حادة مع تxf)( الدالة -1 .االتجاه الموجب لمحور السينات

على الفترات التي يكون فيها المماس يصنع زاوية منفرجة تكون تناقصيةxf)( الدالة -2 .مع االتجاه الموجب لمحور السينات

x

y

مماس مماس مماس

θθθ

R∈ y = f

Copyright © 2010.



316

:اإلثبات

21لتكن -1 , xx أي عددين في الفترة)( b,a 21بحيث يكون xx ولتكن >)(الدالة xf مستمرة على الفترة )( 21 x,x وقابلة لالشتقاق على الفترة )( 21 x,x

:لمتوسطة نجد أنفمن مبرهنة القيمة ا

12

12 )()()(

xx

xfxf cf

−−

=′

21 بما أن xx )(0: كما أن؛ > cf ) من الفرض ( ′<)()(0 اإذ 12 >− xfxf و بالتالي فإن: )()( 12 xfxf > )()(: وبذلك يتبين لنا أن 2121 xfxfxx <→< )( لتزايد وتناقص الدالة ينتج أن من التعريف السابقاإذ xf تكون متزايدة على

)(الفترة b,a.

.بطريقة مماثلة يمكن إثبات الجزء الثاني من المبرهنة -2 :مثال)(23ار الدالة باستخدم المبرهنة السابقة الخت xxf من حيث تزايدها وتناقصها على =−

:نالفترتين المبيتي)0, (-L1 ∞= ، )(0,L2 ∞=

:الحل23)( xxf −= xx f 6)( −=′∴

Theorem

La,b : وقابلة للتفاضل على الفترةL مستمرة على الفترة xf)(لتكن الدالة ⊆)( )( 0إذا كانت -1 >′ xf لجميع قيم )( b,ax )( تكون ∋ xf متزايدة على

)(الفترة b,a . )( 0إذا كانت -2 <′ xf لجميع قيم )( b,ax∈تكون )( xf متناقصة على الفترة

)( b,a.

Copyright © 2010.



317

L1-) ,0( للفترة تنتميxإذا كانت ) 1 : وبالتاليx>0 فإن =∞ 0)(06 >′→>− xfx 1Lx الدالة تزايدية لجميع قيم ∴ ∈

L)0,( تنتميxإذا كانت ) 2 2 : وبالتاليx<0 فإن =∞ 0)(06 <′→<− xfx 2Lxقيم الدالة تناقصية لجميع ∴ ∈ )(إذا كانت xf دالة حقيقية معطاة فقد يكون هناك عدد معلوم من الفترات التي هي

)(جزء من نطاق الدالة xf 0وتكون عليها)( >′ xf كما قد يكون هناك عدد معلوم )(نطاق الدالة من الفترات التي هي جزء من xf 0ويكون عليها)( <′ xf ولتحديد

:التعريف التاليتلك الفترات نورد -1Critical Point )( القيم الحرجة للدالة تعرف xf التي نطاقها الفترةLبأنها القيم :

( ]baLcx ,=∈= :اآلتيةلتي تحقق إحدى الشروط اa. 0(c) =′f b. (c)f ) غير معرفة ( غير موجودة ′c. القيمةc النهائية للفترة المغلقة القيمةهي L مغلقةال أو نصف.

ن عندها التي تكو xونبين هنا أنه إليجاد القيمة الحرجة للدالة يتم إيجاد قيم 0)( =′ xf

}أي }0)(:1 =′= xfxk :التي يكون عندها مشتقة الدالة غير موجودة أي xكما يتم إيجاد

}غير موجودة { )( :2 xfx k ′= Lkk, .......c,cc فإذا كانت n IU 2121 ∈

:ة من حيث أنفتكون الفترات التي يتم فيها اختبار الدال xf )(0 أو ′< )(0 xf <′:هي

( ] [ )121 ,),,(..,,........., caccbc n

Copyright © 2010.



318

xf or xf )(0)(0ونناقش ما إذا كانت بمعنى نناقش التزايد أو التناقص ′<′> .للدالة عند كل فترة من هذه الفترات

:مثال

2 :أوجد النقاط الحرجة للدالة 2

1

3

1 23 −−= xx y

:الحل نضعها تساوي صفر ونحل المعادلة ذات xنحسب المشتقة األولى للدالة بالنسبة للمتغير

.xالمجهول 0)1)(2(2)( 2 =+−=−−=′=′ x xxxx fy

x= 2 أوx=− 1منها و .x لـ في عبارة الدالة لكل قيمةنعوض

4

32)2(

2

1)2(

3

12 23 -

y x عند=→=−+=

6

192)1(

2

1)1(

3

11 23 =+−−−=→−= yx

x f )(وبما أن فإن النقاط الحرجة ، IR كثيرة حدود معرفة في مجموعة األعداد الحقيقية′ :هي

−

−

619

,1,3

4,2

:مثال32 :جة للدالةأوجد جميع القيم الحر 4)5()( −+= xxxf

:الحل3واضح أن الدالة تأخذ الشكل التالي

12 )4()5()( −+= xxxfوتكون مشتقتها كالتالي:

3

1

3

22 )4)(5(2)4()5(

3

1)( −++−+=′

−

xxxxxf

3

1

3

2

2

)4)(5(2

)4(3

)5()( −++

−

+=′ xx

x

xxf

3

2

2

)4(3

)4)(5(6)5()(

−

−+++=′

x

xxxxf

Copyright © 2010.



319

[ ]3

2

3

2

)4(3

)197)(5()(

)4(3

2465)5()(

−

−+=′→

−

−+++=′

x

xxxf

x

xxxxf

)(0تحقق النقاط الحرجة =′ xf أو )( xf غير موجودة′)(0إذا كانت =′ xf فإن:

0

)4(3

)197)(5(

32 =

−

++

x

xx

)5)(197(0إذا كان وفقط =−+ xx

7

195 =−= xorx

)( xf غير معرفة عندما المقام يساوي صفر ′0)4()4( 3 23

2

=−=− xx x=4 دماأي عن

:هي xفيمجموعة القيم الحرجة ∴

− 4,

7

19,5

-2Maximum and minimum values)( xf

)(للدالة )عظمى(ىصغرة قيم cf)(وإذا كانت xf على الفترة L فإننا نقول .cعند العدد ) عظمى(صغرىتأخذ قيمة fبأن

:تعريف)( لتكن xf دالة معرفة على الفترة L وليكن cعددا في هذه الفترة عندئذ : a. تسمى)(cf قيمة عظمى للدالة )( xf على الفترة L إذا كان:

Lx ∈∀ )()( cfxf ≤ b. تسمى)(cf قيمة صغرى للدالة )( xf على الفترة L إذا كان:

Lx ∈∀ )()( cfxf ≥

Copyright © 2010.



320

)وبذلك تكون النقطة ))(, cfc (على منحنى الدالة)خفضأ(هي أعلى نقطة( xf على),(الفترة baL =.

-3)(xf Maximum and Local minimum values Local

:تعریف : عندئذf عددا في نطاق الدالة cليكن

-a تسمى)(cf قيمة عظمى محلية للدالة )( xf إذا وجدت فترة مفتوحة تحتوي ),(: بحيث أنcعلى العدد bax ∈∀ ⇐≤ )()( cfxf

-b تسمى)(cf قيمة صغرى محلية للدالة )( xf إذا وجدت فترة مفتوحة ),( ba ),(: بحيث أنcتحتوي على العدد bax ∈∀ ⇐≥ )()( cfxf

b x x

y

a a b c

( ))(, cfc

c

( ))(, cfc

•

)(cf قيمة صغرى للدالة)(xf Iعلى الفترة

)(cf للدالة قيمة عظمى)(xf I على الفترة

y

Copyright © 2010.



321

0)(c f 4 =′ 0)(c f 2 =′

c f)(0 قیمة عظمى 3 =′

صغرىقیمة

Critical valuesجة الحرالقيم )(لتكن xf دالة مستمرة على المجال [ ]ba الفترة وقابلة لالشتقاق على ,

),( ba0 عندئذ ندعوxx )(0 نقطة حرجة إذا كان = 0 =′ xf أو )( 0xf غير ′ .موجودة

:يبين التعريف التالي طريقة إيجاد القيم القصوى المحلية باستخدام المشتقة األولى للدالة )(لتكن xf دالة مستمرة على المجال [ ]ba وقابلة لالشتقاق على المجال ,

),( ba ،0 كانتوإذاxx )(قيمة حرجة للدالة = xfعندئذ: ')(0إذا كان -1 >xf لجميع( )0, xax ')(0و∋ <xf لجميع( )bxx ,0∈

)(عندئذ يكون للدالة xf قيمة قصوى محلية )( 0xf 0عند النقطةxx =. ')(0 إذا كان-2 <xfلجميع قيم( )0, xax ')(0 و∋ >xf لجميع

( )bxx )(عندئذ يكون للدالة ∋0, xf قيمة صغرى محلية )( 0xf عند النقطة0xx =.

')(0كان إذا -3 >xf لجميع قيم( )bax ')(0أو∋, <xf لجميع( )bax ,∈ )(دالةال عندئذ ال تملك xf أي قيمة قصوى محلية أو صغرى محلية عند أي نقطة

),(0 bax ∈.

y

0)(c f 5 =′

0)(c f 1 =′

صغرىمة قی صغرى قیمة

قیمة عظمى

x c1 c2 c3 c4 c5

Copyright © 2010.



322

Absolute Min Max Values: قةالقيم القصوى المطل مجاال مغلقا عندئذ يكون fD ا مستمرة على نطاقها وكان نطاقه دالةf الدالةإذا كانت

.)شاملة (لهذه الدالة قيم قصوى مطلقة ]على فترة مغلقة المتصلة fخطوات إيجاد القيم القصوى للدالة ]ba ,:

]أوجد جميع القيم الحرجة في الفترة -1 ]ba ,. .c لكل قيمة حرجةcf)( احسب -2)(,)(احسب قيمة -3 bfaf.

يمة العظمى وبذلك تكون أكبر قيمة محسوبة هي الق) 3(، )2(قارن القيم المحسوبة في ] على الفترةfللدالة ]ba على fوأصغر قيمة محسوبة هي القيمة الصغرى للدالة ، ,

]الفترة ]ba ,.

: مثاللتكن

2

1)(

xxf = حدد ما إذا كانت أرسم الدالة و f متزايدة أو متناقصة على

الفترات المعطاة واوجد القيم القصوى على كل فترة [ ] ( ] ( ] [ ]2,1,1,2,)2,1(,2,1,2,1 −−−

:الحل

Copyright © 2010.



323

2تفاضل الدالة

1)(

xxf =هو

xxf

1)(' : نحصل على منها=−

00)(' <⇐> xxf 00)(' >⇐< xxf

الفترات التزايد التناقص القيم العظمى القيم الصغرى

4

1(2) =f 1(1) =f متناقصة [ ]2,1

4

1(2) =f متناقصة ال توجد ( ]2,1 )2,1( متناقصة ال توجد ال توجد(1)1 ال توجد =f متزايدة متزايدة ( ]1,2 −−

4

1(2) =f

] ليست متزايدة ليست متناقصة ال توجد ]2,1−

:مثال :د القيم القصوى المطلقة للدالةجأوجد القيم العظمى المحلية والقيم الصغرى المحلية ثم أو

[ ]3,3,3

14)( 3 −∈−= xxxxf

:الحل)2()2()(4)( 2 xxxfxxf +−=′→−=′

)(0 القيم الحرجة هي عندما ∴ =′ xf 2,2 −== xx

} القيم الحرجة هي ∴ }2,2− ) الفترات هي∴ ] [ )2,3,3,2,)2,2( −−−

)(وعلى ذلك فإنه يلزم تعيين إشارة xf :على هذه الفترات كما يلي′] إذا كانت ) 1 )2- , 3- ∈x 0 فإن)( <′ xf

.]2 , 3- ( تناقصية على الفترة xf )(فالدالة )(0 إنف x∋− )2,2( إذا كانت ) 2 >′ xf

.)2 , 2- ( تزايدية على الفترة xf )(فالدالة

Copyright © 2010.



324

) إذا كانت ) 3 ]3,2 ∈x 0 فإن)( <′ xf )تناقصية على الفترة xf )(فالدالة ]3,2.

x=−2الة قيمة صغرى محلية عند أن للد) 3 (،) 1(نستنتج من

وهي3

16(-2)

−=f

x=2نرى أن للدالة قيمة عظمى محلية عند ) 3 (،)2(ومن

وهي3

16(2) =f

3,3 بقي اختبار الدالة عند =−= xx ] 2- , 3-( رة وحيث أن قيمة الدالة تتناقص على الفت

] لجميع قيم ) , -- ,xx f -f 23)()3( ∈>∴ ]قيمة عظمى محلية على الفترة f= (3-)3-وبذلك تكون )2- , 3-

)كما يتضح أن قيمة الدالة تتناقص على الفترة ]3,2 )( (3) xff <∴

) لجميع قيم ]3,2∈x ) قيمة صغرى محلية على الفترةf= (3)3 وبذلك تكون ]3,2 .

:هيمما سبق نرى أن القيم العظمى المحلية للدالة 3(-3) ,

3

16(2) −== ff

: المطلقة هيالعظمى القيمة ∴

3

16(2) =f

:المحلية هيأما القيم الصغرى 3(3) ,

3

16(-2) =

−= ff

:المطلقة هي القيمة الصغرى∴ 3

16(-2)

−=f

:هووبيان الدالة

Copyright © 2010.



325

:مثال23 )(43 أنبفرض +−= xxxf تزايد وتناقص الدالة واحسب القيم فترات أوجد

.وارسم الدالة والعظمى الصغرى :الحل

:ها تزايد وتناقص الدالة نوجد مشتقتفترات لبيان xxxf 63)(' 2 =− ')(3)2( ومنها =− xxxf

3)2(0 ومنهاxf< ')(0: وبالتالي >−xx هذا يؤدي إلى ( ) ( )∞∞−∈ ,20, Ux والدالة )متزايدة في المجال ) ( )∞∞− ,20, U 0 وكذلك)(' <xf هذا يؤدي إلى ( ) 0)2(32,0 <−⇐∈ xxx

)والدالة متناقصة في المجال نحصل على القيم الصغرى والعظمى المحلية من خالل 2,0('00 أو x=2 انعدام المشقة =⇒= xy وبالتالي النقطة ( كما في هما نقطتين جدتين 2,0( :الجدول التالي

∞− 2 0 ∞− x

+ الدالة تزايدية

0 - الدالة تناقصية

0 + الدالة تزايدية

'y

∞+ 0 4 ∞− y

min max

)3,3(

)-3,-3(

3

16,2

−−

316

,2

Copyright © 2010.



326

4 Test first derivative for maximum and minimum values

التي I على الفترة المفتوحةالشتقاقوقابلة ل cدالة متصلة عند العدد الحرج fلتكن :نفسه عندئذ c، فيما عدا عند العدد cالعدد الحرج على تحتوي

a. إذا تغيرت إشارة)(' xf تغيرت( من سالب إلى موجب )(xf من تناقص إلى .xf)( تكون قيمة صغرى محلية للدالة cf)( فإن cعند العدد ) تزايد

b. إذا تغيرت إشارة)(' xf تغيرت( من موجب إلى سالب )(xf من تزايد إلى .xf)( تكون قيمة عظمى محلية للدالة cf)( فإنcعند العدد ) تناقص

c. 0إذا كانت)( >′ xf 0 أو)( <′ xf لكل I∈x ] فيما عدا عند العددc[ فإن )(cfال تعتبر قيمة قصوى محلية للدالة )(xf.

:مثال

)أوجد القيمة العظمى المحلية أو الصغرى المحلية للدالة )xxxf −= 8)( 3. :الحل

)()8(إذا 3

1

xxxf ),( نطاق الدالة هو بذلك=− ∞−∞

تحديد القيمة الحرجة 3

1)8()1()( 3

2

3

1

−+−=′∴

−

xxxx f

3

2

3

23

1

3

)83

3

)8(

x

xx

x

xx

−+−=

−+−=

0,20)2(4

3

48

3

2

3

2 ≠=→=−

=−

→ xx

x

x

x

x إذا

0=x ألن قيمة حرجة )( xf غير معرفة ′)(0 ألن قيمة حرجةx=2كذلك =′ xf :يكون تقسيم فترات االختبار كاآلتي وبذلك

),2(),2,0(),0,( ∞−∞

Copyright © 2010.



327

f (x) نقطة االختبار الفترة القيم القصوى المحلية الدالة ′)0,( ال توجد قيم صغرى وال عظمى تزايدية + 1- ∞− ال توجد قيم صغرى وال عظمى تزايدية + 1 )2,0(),2( توجد قيم عظمى محلية تناقصية ــ 3 ∞

3 وتساوي f)2( القيمة العظمى المحلية هي إذا 26

-5 Test second derivative for determine maximum and minimum values

)(0 وكان c في فترة مفتوحة تحوي عدادا الشتقاق دالة قابلة لf أنباعتبار =′ xfفإنه : ′′> )(0إذا كان )1 cf فإن )( cfة كبرى نسبية قيم. )(0إذا كان )2 >′′ c f فإن )( cfقيمة صغرى نسبية .

:مالحظةcf )(إذا كان - . كمية غير معرفة يستخدم االختبار األول′′= )(0إذا كان - cfيستخدم االختبار الثاني .

:مثال

)()8(حيث xf)(أوجد القيم الكبرى والصغرى المحلية للدالة 23

2

−= xxxf. :الحل

3

123

2

3

2)8()2()(

−

−+=′ xxxxx f

f (x)

c

0>′′y

0(c)f =′′

f (x)

c

0<′′y

0(c)f =′′

x x

Copyright © 2010.



328

3

1

22

3

1

23

5

3

1626

3

)8(22)(

x

xx

x

xxx f

−+→

−+=′

3

1

2

3

1

2

3

)2(8

3

168

x

x

x

x −→

−→

: القيم الحرجة هي∴ 2±=x 0 عندها)( =′ xf 0=x عندها )(' xf غير معرفة

)2,(,)2,0,()0,2,(),2( : الفترات هي∴ −−∞−∞ :نكون الجدول التالي

القيم القصوى المحلية f (x)الدالة 'f (x) نقطة االختبار الفترة)2,( −−∞

تناقصية - 2- توجد قيم صغرى محلية f -)2( تزايدية + -1 −)0,2(

توجد قيم عظمى محلية f (0) تناقصية - 1 )2,0(),2( توجد قيم صغرى محلية f )2( تزايدية + 3 ∞

:مثال)(xxxf 27أرسم الدالة 3 باستخدام االختبار أوجد القيم الكبرى والصغرى =−

. التفاضلي الثاني :الحل

0)9(3273)( 22 =−→−=′ xxx f 392 ±=→= xx

xxf 6)( =′′ لحرجة بالتفاضل الثاني باستخدام اختبار األعداد ا∴

018(3) >=′′f )3,)3(( قيمة صغرى والنقطة هي x=3عند ∴ f ←− )54,3(

Copyright © 2010.



329

0183)( <−=−′′f 3x قيمة كبرى عند ∴ )3,)3((النقطة هي و =− −− f ←− )54,3(

-6 Concaveity of a curve and infections points

)2,( −−∞ تناقصیة فترة

)0,2(− فترة تزايدية

)2,0( فترة تناقصیة

),2( ∞

فترة تزايدية

:تعریف إنه مقعر لألعلى إذا كانت I القابلة لالشتقاق في فترة fيقال لمنحنى الدالة

0)( >xf في الفترة I 0 ويقال أنه مقعر لألسفل إذا كانت)( <xfفي تلك الفترة . : ي دالة كاآلتيولذلك يمكن أن نختبر تقعر المنحني أل

′′< )(0 يكون مقعرا لألعلى إذا كانت fمنحنى الدالة - xf في الفترة I. ′′> )(0 يكون مقعرا لألسفل إذا كانت fمنحنى الدالة - xf في الفترة I.

b

0(x)f <′′

x a c b

0(c)f >′′ (c.f(c))

c a x

Copyright © 2010.



330

:Inflection point) االنعطاف(نقطة االنقالب ن أعلى إلى أسفل أو العكس ويكون عندها هي النقطة التي يتغير عندها تقعر المنحنى م

0)( =′′ cf ويقال للنقطة أنها نقطة انقالب إذا وجدت فترة مفتوحة ),( ba حوي عددا تc :بحيث

1. 0)( >′′ xf عندما cxa ′′> )(0و >> xf عندماbxc << 2. 0)( <′′ xfعندما cxa ′′< )(0و >> xf عندما bxc <<

:مثال3xyأوجد نقطة االنقالب للمنحنى =.

:الحل :نوجد المشتقة األولى ثم الثانية

xyxy 63 2 =′′⇒=′∴ 0060 =⇒=→=′′ xxy 0060 >→>→>′′∴ xxy 0060 <→<→<′′∴ xxy )0(0 , -xy ∞∈→<′′∴

) ,- 0 (0 ∞∈→>′′ xy )0,0(النقطة وهي يوجد نقطة انقالب x=0 عند ∴

f (x) نقطة االختبار الفترة نقطة االنقالب تقعر المنحنى ′) إلى أسفلمقعر - 1- ∞−),0( ))0(,0 f

),0( )0,0( إلى أعلىمقعر + 1 ∞

تقعر ألعلى

تقعر ألسفل

Copyright © 2010.



331

:مثال

3أوجد نقطة االنقالب للمنحنى

1

xy =. :الحل

3

232

3

1

3

1

x

xy ==′−

ىهذا يؤدي إل3

535 1

9

2

3

1

3

2

x

x y−

=

−=′′

−

001

0 35 <→<→>′′∴ x

xy

000

9

20 3 5

3

5 >→>→>−

→<′′ xx

x

y

) ىاألعل تقعر إلى ( y′′<0 تكون ∞−),0( الفترة ∴)0,(وفي الفترة ) سفل األتقعر إلى ( y′′>0 تكون ∞+

) توجد نقطة انقالب هي x=0 عند ∴ ))0(,0 f 0,0(وهي(.

f (x) نقطة االختبار الفترة نقطة االنقالب تقر المنحنى ′′ )0,0( ىعلأمقعر + -1 ∞−),0(),0( )0,0( سفلمقعر أ - 1 ∞

Copyright © 2010.



332

-7Graph curves : ما نبتع الخطوات اآلتيةيقوم برسم منحننلكي

)()(نوجد )1 xf, xf )( للدالة ′′′ xf. . والفترات التي تتناقص فيها الدالة،فيها الدالةحدد الفترات التي تتزايد ن )2 .حدد أنواع التقعر للمنحنى خالل الفترات المختلفةن )3 : النقاط المهمة على الرسم مثلبينن )4

مع ي نقاط تقاطع المنحن و نقاط القيمة الطرفية، نطاق االنقالب،النقاط الحرجة .yمحوروxمحور

1

xتقاطع مع

نھایة صغرى

نھایة كبرى yتقاطع مع

xتقاطع مع

نقطة طرفیة نقطة طرفیة

Copyright © 2010.



333

: مثال)(ارسم المنحنى للدالة xfy )(104 حيث = 34 +−= xxxf 10,10(في الفترة(−.

:الحل0)(124)( 23 =′→−=′ xfxxxf

0124 23 =−∴ xx 0)124(2 =−xx 3 x ,0 ==∴ x

xxxf 2412)( 2 −=′′ نوجد القيم الكبرى والصغرى بالتفاضل الثاني -

)3(24)9(12(3) −=′′f 072108 >−=

)17,3()3,)3(( توجد قيمة صغرى عند النقطة∴ f←−

:التقعر واالنقالب024120)( 2 =−→=′′ xxxf

0)2(12 =−xx 2,0 ==∴ xx

2)2,)2(()6,2(: نقطة االنقالب األولى هي −→→= fx 0)0,)0(()10,0( :نقطة االنقالب الثانية هي →→= fx

x 10- بينهما 0 بينهما 2 بينهما 3 بينهما 10الدالة - 1- + متزايدة

الدالة الدالة - 0 - متناقصة

f' متناقصةالتقعر + 1 + لألعلى

التقعر التقعر + 0 - لألدنى

f" لألعلى -17 3 - -6 - 10 + 14010 f

ال توجد نهاية نهاية

ال توجد صغرى نهاية

ال توجد نهاية

ال توجد نهاية

Copyright © 2010.



334

:مثال)(xxf sin ارسم منحنى الدالة ]على المجال = ]ππ 22 ,−.

:الحل]بما أن ]ππ 22 ,x −∈

x xfxxf 0cos0)(cos)( =→=′→=′ ..................,7,5, 3 , 1 n ,

2±±±±==∴

πnx

]فترةوالقيم الواقعة ضمن ال ]ππ 22 =±± n 1 , 3 ,........... : هي−, 0 sin0)(sin)( =→=′′→−=′′ xxfxxf

.................. , 2 , 1 ,0n , ±±==∴ πnx ]فترةالقيم الواقعة ضمن الو ]ππ 22 =±±± 0n, 1 , 2 , ............. :هي −,

التقعر لألعلى والدالة تزایده

التقعر متناقصة الدالة متناقصة

التقعر لألعلى والدالة تناقصیة

التقعر لألدنى

التقعر لألعلى

(0,10)

(-10 ,f(10)

Copyright © 2010.



335

x f)( نقطة االختبار الفترة الدالة ′

−−

23,2

ππ

35

π تزايدية + −

−

−−2

,2

3ππ

45

π تناقصية - −

−

2,

2

ππ 4π

تزايدية +

2

3,

2

ππ 4

5π - تناقصية

π

π2,

23

35

π + تزايدية

نهاية عظمى←

نهاية صغرى←


نهاية صغرى←


عند 2

3π

−=xتوجد نهاية عظمى

−

−)

23(,

23 ππ

f =

−

1,23π

عند 2π−

=x توجد نهاية صغرى

−−

)2

(,2

ππf =

−

−1,

2π

عند 2π=x توجد نهاية صغرى

)

2(,

2

ππf =

1,2

π

عند 2

3π

=x توجد نهاية صغرى ))2

3(f,2

3(ππ =

1,

23π

: التقعر ونقاط االنقالبf (x) نقطة االختبار فترةال االنقالب التقعر ′′

),2( ππ −− 23

π ألسفل - −

)0,( π− 2

π− + ألعلى

),0( π 2

π ألسفل -

)2,( ππ 23

π + ألعلى

ππ −=←− x)0,(

0)0,0( =← x

ππ =← x)0,(

π

Copyright © 2010.



336

xxf الدالة∴ sin)( = : عندةتزايدي

−

−

− πππππ

π 2,2

3

2,

22

3,2 UU

: تناقصية عند

−−

2

3,

22,

2

3 ππππU

2

3π

π π−

2

3π− 1 2

π

Copyright © 2010.



337

-8 Applications of Maximum and Minimum values

توجد عدة خطوات يجب اتبعاها العظمى،لحل المسائل التطبيقية التي تعتمد على القيم .المسائللحل مثل هذه

.اقرأ المسألة عدة مرات وتعرف على المعطيات والمطلوب .1 .ذلكطلب ة إن ارسم شكال بيانيا للمسأل .2 .معادالتاكتب المعطيات على صورة .3 . عظمى أو صغرىشكل قيمعلى حسابه تعرف على المتغير الذي يجب .4أوجد تفاضل هذا المتغير بالنسبة للمتغير اآلخر ثم ساوي هذا التفاضل بالصفر واوجد .5

.جذور هذه المعادلة

:مثال

.ا أكبر ما يمكن وحاصل ضربهم،24جد عددين موجبين حاصل جمعهما أو :الحل

yx نفرض أن العددين هما .z و حاصل ضربهما , x y yx −=→=+∴ 2424

224 x)- 24 ( x -x x z y x z ==→×= 0 =∴→

xd

zdأكبر ما يمكن maxzQ

0224224 =−→−= xxxd

zd

144)12).(12( ==∴ z , 121224 =−=y , 12= x z=144 كما أن y =12 و x =12إذا العددان هما

:مثالسم ونصف قطر 12أوجد حجم اسطوانة دائرية قائمة رسمت داخل مخروط ارتفاعه

االسطوانة والمخروط متطابقين بحيث يكون حجم االسطوانة إذا كان محور، سم4 قاعدته .أكبر ما يمكن

Copyright © 2010.



338

:الحل Vنفرض أن حجم االسطوانة

hπrV 2=∴ نصف قطر االسطوانة rو ارتفاع االسطوانة h :حيث ce)(ارتفاع االسطوانة = cde)(ثلث ارتفاع المثلث أي م حيث أن

cd

ec

bd

ab=

)4(344

12rh

r

h−=→

−=

)4(3)4(3v 322 rrrr −=−=∴ ππ )38(3 2rrπ

rd

vd−=

0)38(30 2 =−→= rrπrd

vd

03

80)38( ==→∴=− r,rrr

.)ال معنى له( إذا هذا الحل مرفوضr=0 ال يمكن أن يكون إذا الحل هو

3

8=r وبما أن حجم االسطوانة هو: hπrV : منها يكون لدينا=2

9256

)38

-(4)38

(3

r)(4)38

(3 2

π

π

π

=

×=

−×=V

:مثال)sec)/2اسطوانة دائرية قائمة يتزايد طولها بمعدل m رها بمعدل ويتناقص نصف قطsec)/1( m اللحظةاوجد معدل تغير حجمها عند هذه ، متر02 كان طولها فإذا. :الحل

:اذإ V وحجمها r ونصف قطرها lنفرض أن طول االسطوانة

d c 4

e

a

h

b

r 12

Copyright © 2010.



339

tdld

rltdrd

rtdVd

lrV

mlmtdld

mtdrd

2

2

2

20,sec/2,sec/1

ππ

π

+=∴

=

==−=

Q

:بالتعويض بالقيم المعطاة يكون

sec/40

2)5(20)1(52

3

2

m

tdVd

π

ππ

=

×+×−×××=

:مثال

1622 معادلتهايالدائرة التنقطة تتحرك حول =+ yx النقطة إحداثي وعندما يكون sec/20 بمعدل قدره السيني اإلحداثي يزداد −)6,2( mاإلحداثييير فكم يكون معدل تغ

. في تلك اللحظةيالصاد :الحل

1622 :بما أن معادلة الدائرة هي =+ yx . بالنسبة للزمننقوم بالتفاضل

)1(022 →=+tdyd

ytdxd

x

)1( في المعادلة −)6,2(بالتعويض بــ

sec/547.11)6(2

)20)(2(2

)6(2)20)(2(220

)6(2)2(2

0)6(2)2(2

mtdyd

tdyd

tdyd

tdxd

tdyd

tdxd

tdyd

tdxd

=→=

=→=

=

=+−

Q

Copyright © 2010.



340

:مثالاوجد ، بالغاز انكمش بفعل الغاز بحيث احتفظ بشكله الكرويون على شكل كرة مليء بل

.π1000طول نصف قطره عندما يكون نسبة معدل نقص حجمه إلى معدل نقص قطره تساوى :الحل

π1000: =tdrd

tdVd

3بما أن حجم الكرة يساوى

3

4rv π=فإن :

dt

drr

dt

dv 2

3

43 π=تالي يكون لدينا بال:

22 4:4 rdt

dr

dt

dv

dt

drr

dt

dvππ =→=

1000410004 22 =→= rr ππ 2502502 =⇒= rr

-9L'H0pital rule

قاعدة أوبتيال صيغة( مبرهنة -10

0:( lim)(lim)(0 : دالتين فيهماxg)( و xf)(لتكن ==

→→xgxf

axax

الذي I المفتوح فترةدالتان قابلتان للتفاضل على الxg)( و xf)(عدا ذلك فإن وفيما axيحوي النقطة ')(0 وكذلك فإن = ≠xg ماعدا ax : عندئذ=

)('lim

)('lim

)(lim

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

ax

→

→

→

→ =

.إذا كانت النهاية اليمنى موجودة :مثال

:الدالةنهاية قيمة أوجد x

exf

x 1)(

2 − .الدالةبيان موضحاx←0 عندما =

:الحل :بالتعويض المباشر نحصل على

0

01lim)(lim

2

00=

−=

→→ x

exf

x

xx

Copyright © 2010.



341

:باستخدام قاعدة أوبتيال نحصل على

221

2lim

1lim 0

2

0

2

0===

−→→

ee

xe x

x

x

x

:مثال

:أوجد قيمة نهاية الدالة 12

cos1)( 2 +−

+=

xx

xxf

π عندما x←1. :الحل

:بالتعويض المباشر نحصل على

00

12cos1

lim)(lim211

=+−

+=

→→ xxx

xfxx

π

:باستخدام قاعدة أوبتيال نحصل على

0

0

22

sinlim

12

cos1lim

121=

−−

=+−

+∴

→→ xx

xxx

xx

πππ :ىباستخدام قاعدة أوبتيال مرة آخري نحصل عل

22

)1(

2

coslim

22

sinlim

222

11

ππππππ=

−−=

−=

−−

∴=→→

xx

xxx

Copyright © 2010.



342

صيغةلوبيتالقاعدة ( مبرهنة -2∞ ):x←0 عندما∞

: دالتين فيهماxg)( و xf)(لتكن ∞==

→→)(lim)(lim xgxf

axax

الذي Iدالتان قابلتان للتفاضل على المجال المفتوح xg)( و xf)(وفيما عدا ذلك فإن axيحوي النقطة ')(0 وكذلك فإن = ≠xg ماعدا ax : عندئذ=

∞∞

==→→ )('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xfaxax

.موجودافي حال وجود الطرف األيمن

صيغة للوبيتاقاعدة ( مبرهنة -3∞ ):∞←xعندما∞

: دالتين فيهماxg)( و xf)(لتكن ∞==

∞→∞→)(lim)(lim xgxf

xx

الذي Iلمفتوح افترةدالتان قابلتان للتفاضل على الxg)( و xf)(وفيما عدا ذلك فإن axيحوي النقطة ')(0 وكذلك فإن = ≠xg ماعدا ax : عندئذ=

∞−∞==→→ )('

)('lim

)(

)(lim

xgxf

xgxf

axax

.إذا كان الطرف األيمن موجودا

:مثال

xe :أوجد قيمة نهاية الدالة x

xf2

)( .x→∞ عندما = :الحل


∞∞

==→∞→∞ xxx e

xxf

2

lim)(lim : نحصل علىلوبيتالباستخدام قاعدة

∞∞

==∴∞→∞→ xxxx e

xex 2

limlim2

Copyright © 2010.



343

: مرة آخري نحصل علىلوبيتالباستخدام قاعدة 0

22lim

2lim =

∞==∴=

∞→∞→ xxxx eex

:مثال

)tan(sec)( :أوجد قيمة نهاية الدالة xxxf عندما =−2π.


∞−∞=−=→→

)tan(seclim)(lim22

xxxfxx

ππ

ل إصالح هذه النهاية لتصبح من شكل ونحا0

. لوبيتال ونطبق عليها قاعدة 0

0

0

cos

sin1lim

cos

sin

cos

1lim

)tan(seclim)(lim

22

22

=

−

=

−=

−=

→→

→→

x

x

x

x

x

xxxf

xx

xx

ππ

ππ

: نحصل علىلوبيتالباستخدام قاعدة

01

0

sin

cos

cos

sin1lim)(lim

22

=−

=−−

=

−

=→→

xx

xx

xfxx

ππ

:ثالم

:أوجد قيمة نهاية الدالة

−= xc

xxf sec

1 .x←0 عندما )(

:الحل=∞−∞ :بالتعويض المباشر نحصل على

−=

→→xc

xxf

xxsec

1lim)(lim

00

نحاول إصالح هذه النهاية لتصبح من شكل 0

.لوبيتال ونطبق عليها قاعدة 0

Copyright © 2010.



344

0

0

sin

sinlim

sin

11limsec

1lim)(lim

0000=

−=

−=

−=

→→→→ xx

xx

xxxc

xxf

xxxx


0

0

sincos

1coslim

sin

sinlim)(lim

000=

+−

=−

=∴→→→ xxx

x

xx

xxxf

xxx

: مرة آخري نحصل علىلوبيتالباستخدام قاعدة 0

2

0

cos2sin

sin

sincos

1coslim

0==

+−−

=+−

∴→ xxx

x

xxx

xx

:مثال) ::أوجد قيمة نهاية الدالة ) 2

1

cos)( xxxf .x←0 عندما = :الحل

)نفرض ) 2

1

cos xxy :نحصل على الطرفين lnخذ ونأ =( )

22

coslncosln

1ln

x

xx

xy ==

:نأخذ نهاية الطرفين نحصل على

0

0coslnlimlnlim 200

==→→ x

xy

xx


0

0

cos2

sinlim

2cos

sin

limcosln

lim)(lim00200

=−

−

==∴→→→→ xx

x

xx

x

x

xxf

xxxx

2

1

cos2sin2

coslim

cos2

sinlimlnlim)(lim

0000

−=

+−−

=−

==→→→→ xxx

xxx

xyxf

xxxx

( ) 2

11

0

2

1

0

2coslim

ln2

1)limln(

−

→

−

→

=⇒

=−

=

ex

ey

xx

x

Copyright © 2010.



345

لية متزايدة أو متناقصة وأوجد جميع النقاط حدد المجاالت التي تكون فيها الدالة التا -11003036 :الدالة الحدية وارسم هذه 345 ++−= xxxy.

:الحل234 :مشتقة الدالة هي 9012030' xxxy :التي التي تكون على الشكل =−+

)34(30)304010(3' 2222 +−=+−= xxxxxxy :في حالة

0)1)(3(034

0)34(0'2

22

>−−⇒>+−⇒

>+−⇒>

xxxx

xxxy

) التزايد فتراتإذا ) ( )∞∞−∈ ,31, Ux '0)34(0 :أما في حالة 22 <+−⇒< xxxy

): التناقص هوفترةوفي هذه الحالة )3,1∈x '10 أو x=3 :في حالة =⇒= xy

) :يوالنقاط الحدية ه ) و 0,1( :و وبيان الدالة ه0,3(

?

Copyright © 2010.



346

xxxf إذا كان -2 8)( 2 ] تحقق نظرية القيمة الوسطى على الفترة f فأثبت أن =− ]8,1 ، . في تلك الفترة يحقق المبرهنةC دواوجد العد

:الحل)1(81)1(7 :نوجد كال من 2 −=−=f

0)8(88)8( 2 =−=f ')(82: المشتقةنوجد −= xxf نضع Cx ')(82 فنحصل على= −= CCf وبتعويض

:في القانون نحصل على

17

7082

18

)1()8()('

=+

=−

−−

=

C

ffCf

] وهي تقع في الفترة C=5.4منها قيمة ]8,1. )(30204 إذا كانت-3 2 +−= xxxfاثبت أن f تحقق نظرية رول على الفترة [ ]4,1

')(0التي تحقق Cواوجد قيم =Cf. :الحل

)1(1430204 :نوجد كال من =+−=f 1430)4(20)4(4)4( 2 =+−=f

)1()4(14 :منها نجد أن == ff ')(208 :نوجد مشتقة الدالة −= xxf نعوض عن Cx ونساويها بصفر =

208)(' −= CCf 0208 =−C منها

2

5=C4 : وضح أن

2

50 . فهي تحقق مبرهنة رول>>

:أوجد قيمة نهاية الدالة -4xx

eexf

xx

sin)(

−−

=−

. موضحا بيان الدالةx←0ندما ع :الحل


Copyright © 2010.



347

0

0

sinlim)(lim

00=

−−

=−

→→ xx

eexf

xx

xx


∞==−

−=

−− −

→

−

→ 02

cos1lim

sinlim

00 xee

xxee xx

x

xx

x

3 :أوجد قيمة نهاية الدالة -5

_sin)(

xxx

xf .بيان الدالة موضحا x←0 عندما = :الحل


0

0_sinlim)(lim

300==

→→ x

xxxf

xx


0

0

3

1_coslim

20=

→ xx

x

: مرة أخرى نحصل علىلوبيتالباستخدام قاعدة

6

1

6

sin_lim)(lim

00−==

→→ xx

xfxx

Copyright © 2010.



348

:أوجد قيمة نهاية الدالة -6x

xxf

1sin)(

−

.x←0ا عندم= :الحل


0

0sinlim)(lim

1

00==

−

→→ x

xxf

xx


11

1

1

lim2

0=−

→

xx

) :أوجد قيمة نهاية الدالة -7 )xx

xf2ln

)( .∞←x عندما = :الحل

) :علىبالتعويض المباشر نحصل )∞∞

==∞→∞→ x

xxf

xx

2lnlim)(lim

: نحصل علىلوبيتالباستخدام قاعدة ∞∞

=×

∞→ 1

1ln2

lim xx

x


−∞=−=−

×=

∞→∞→∞→x

x

xxfxxx

2lim1

12

lim)(lim

2

) :أوجد قيمة نهاية الدالة -8 )xe

xxf

21ln)(

+ . موضحا بيان الدالة∞←x عندما =


( ) ∞∞

=+

=∞→∞→ xxx e

xxf

21lnlim)(lim


Copyright © 2010.



349

∞∞

=+

=

+

=∞→∞→∞→ x

x

x

x

xxx ee

ee

xf2

21lim

212

1lim)(lim


12

lim)(lim2

==∞→∞→ x

x

xx ee

xf

:أوجد قيمة نهاية الدالة -9x

xxf

)ln(ln)( .∞←x عندما =


∞∞

==∞→∞→ x

xxf

xx

)ln(lnlim)(lim


0ln

1lim

1

1

ln

1

lim)(lim ==×

=∞→∞→∞→ xx

xxxfxxx

xexxf :أوجد قيمة نهاية الدالة -10 −= . موضحا بيان الدالة∞←x عندما )(2 :الحل

:لمباشر نحصل علىبالتعويض ا ∞∞

==∞→∞→ xxx e

xxf

2

lim)(lim

Copyright © 2010.



350

: نحصل علىلوبيتالباستخدام قاعدة ∞∞

==∞→∞→ xxx e

xxf

2lim)(lim

0 : مرة أخرى نحصل علىلوبيتالباستخدام قاعدة 2

lim)(lim ==∞→∞→ xxx e

xf

xxxf :أوجد قيمة نهاية الدالة -11 ln)( →+ عندما =2 0x. :الحل

==×∞ :بالتعويض المباشر نحصل على ++ →→

0lnlim)(lim 2

00xxxf

xx

: نحصل علىلوبيتالباستخدام قاعدة ∞∞−

==++ →→

2

00 1ln

lim)(lim

x

xxf

xx

: مرة أخرى نحصل علىلوبيتالباستخدام قاعدة 0

2

1lim

12

1lim)(lim 2

0300=−=

−=

+++ →→→x

xxxf

xxx

:استخدم اختبار المشتقة األولى إليجاد القيم الكبرى والصغرى للدالة -12296)( 23 −+−= xxxxf موضحا اإلجابة بالرسم. :الحل

:نوجد مشتقة الدالة على الشكل التالي

)3)(1(3

9123)(' 2

−−=+−=

xx

xxxf

Copyright © 2010.



351

')(0حلول المعادلة =xf1: هي=x3 و=xوبالتالي يكون لدينا:

x −∞ بينهما 1 مابينه 3 بينهما ∞ + 0 - 0 + 'f

): متزايدة في الفترتينوبالتالي الدالة )و −∞,1( فترة ومتناقصة في ال3,∞(( ) ةبرى محلية عند النقطوبالتالي الدالة تملك نهاية ك3,1( ونهاية صغرى محلية عند 2,1()النقطة )2,3 :كما موضح في الجدول التالي−

∞ 3 1 ∞− x ∞+ 2- 2 ∞− y

min max

23 :استخدم اختبار المشتقة األولى إليجاد القيم الكبرى والصغرى للدالة -13 12)( xxxf −= .موضحا اإلجابة بالرسم

:الحل')(3243)8( :نوجد المشقة للدالة 2 −=−= xxxxxf ')(0 بوضع =xf لىنحصل ع:

8=x 00 أو)(' =⇒= xxf '')(6246)4( :نوجد المشنقة الثانية للدالة −=−= xxxf

( )3,1

( )1,∞−

( )0,2

( )2,3 −

Copyright © 2010.



352

: نجد أنx=0عند 024)('' <−=xf وبالتالي فإن النقطة ( هي نهاية كبرى محلية0,0(

: فإنx=8وعند 024)('' >=xf وبالتالي فإن النقطة ( )256,8 . هي نهاية صغرى محلية−

:كما موضح في الشكل التالي

xxxf :الدالةأرسم -14 12)( 3 اختبار المشتقة األولى إليجاد القيم الكبرى مباستخدا=− .والصغرى

:الحل .Rأن نطاق الدالة هو نالحظ-1 y=0 فإن x=0 عندما -2

)12(0 فإن y=0عندما 2 =−xx32 : وبالتالي فإن=x 32 أو−=x 0 أو=x ) :نقاط التقاطع مع المحورين هي ) و 0,32( ) و−0,32( )0,0

: التزايد والتناقصفترات لنحدد اآلن -3 )2)(2(3)4(3123)(' 22 +−=−=−= xxxxxf

Copyright © 2010.



353

2−=x20 أو)(' =⇒= xxf :كما في الجدول التالي

x −∞ بينهما -2 بينهما 2 بينهما ∞ + 0 - 0 + 'f

) : التزايد هيفترات ) و 2,∞( )2,−∞− ) :ص هيق التنافترات )2,2−

لحدية نوجد النهايات ا-4

∞ 2 2- ∞− x ∞+ 16- 16 ∞− y

min max

) هناك نهاية كبرى محلية عند النقطةاإذ النقطة دغرى محلية عن ونهاية ص−16,2(( )16,2 −.

:أوجد نقاط االنقالب للدالة -15x

xxf1

)( 2 .موضحا اإلجابة بالرسم =− :الحل .y''يجب أن نحسب

( )16,2−

( )0,32−

( )16,2 −

( )0,32

Copyright © 2010.



354

: بما أن x

xxf1

)( 2 −=

2 :فإن

12)('

xxxf +=

:منها نجد أن3

2

3

3

3

3

2

)1)(1(2

)1(22222)(''

x

xxx

x

x

x

x

xxf

++−=

−=

−=−=

''0 بوضع =y 10 :نحصل على'' =⇒= xy

x −∞ بينهما 0 بينهما 1 بينهما ∞ + 0 - II + ''f

) فترة الي أعلى فىإلالمنحني مقعر ) فترة وفي ال−∞,0( في أسفلىومقعر إل 1,∞()المجال )ونقطة االنقالب عند 1,0( : كما موضح في الشكل التالي0,1(

علما ، بغطاء شكل اسطوانة دائرية قائمة على 2100cmبحجم يراد صنع علب للمشروب -16

بأن للغطاء حافة تساوي 10

أبعاد هذه العلب بحيث تكون أوجد، من ارتفاع االسطوانة1 .بأقل التكاليف

Copyright © 2010.



355

:الحلhrvحجم العلبة ب االرتفاع عندها هوhنصف القطر وهو rبفرض 2π=

hr منها 2100 π=∴ بذلك نجد أن :2

100r

hπ

= المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين + مساحة الحافة = مساحة الشريحة

)10

11(2

)10

(2

10222 2

hrr

hrhr

hrrrhA

+=

++=

++=

π

π

πππ

.ولتقليل التكاليف يجب جعل هذه المساحة أصغر ما يمكن

2 لديناو

100r

hπ

:وبالتالي يكون =

rrA

hrhrA

2202

)10

(2

2 +=

++=

π

π

2 :نحصل على rبالنسبة لـ Aوبتفاضل

2204

rr

dr

dA−= π

=0 نحصل على القيمة القصوى عندماو drdA أي أن:

cmr

rr

r

25.3110

022040220

4

3

1

32

≈

=

=−→=−

π

ππ

)25.3(2: منها نحصل علىو 100

π=h

لقيم تمثل نهاية صغرى أم عظمى نحسب ولمعرفة هل هذه ا2

2

drAd

0 :فنجد440

232

2

>+=rdr

Ad π . فعال القيم المحسوبة تمثل نهاية صغرى للمساحةاإذ

h

r

Copyright © 2010.



356

أوجد أكبر حجم اسطوانة دائرية قائمة من الممكن أن تمس حافتي قاعدتها السطح -17 . Rالداخلي لقشرة كروية نصف قطرها

:الحل نوجد عالقة بين نصف قطر بداللة متغير واحدV حجم االسطوانة ننعبر ع لكي

: لدينافيثاغورثحسب نظرية ، hوارتفاعها rاالسطوانة

222

22

2

4

1

2

hRr

rh

R

−=

+

=

)4

1(

)4

1(

32

22

2

hhR

hRh

hrV

−=

−=

=

π

π

π

نحسب vللحجم ولحساب القيمة العظمى dhdvعلى النحو التالي :

043 22 =

−= hR

dhdV π

) :منها نحصل على )13

2

4

3 22 RhRh =⇒=

) :عندئذ )23

2

3

222 Rr

RRr =⇒−=

0: وبحساب المشتقة الثانية23

2

2

<−= hdh

vd πتكون النهاية عظمى . :كما أن

9

34

9

32

3

32 232

max

RRRRV

ππ =

−

−=

h

r

R

Copyright © 2010.



357

) في الساعة العاشرة صباحا من نقطة إحداثياتها A أبحرت سفينة -18 متجهة نحو 10,40( من Bساعة وفي نفس الوقت أبحرت سفينة / كيلومتر50بسرعة ) yالمحدد(الشمال

)نقطةال السفينتان اقرب ما يمكن ساعة غربا متى تصبح / كيلومتر60 بسرعة 40,80( . من بعضهما وكم المسافة بينهما عندئذ

:الحل t50=الزمن ×السرعة= قد قطعت مسافة A تكون tبعد زمن قدره )وتكون إحداثياتها )tA 5010,40 = غربا وأصبحت إحداثياتها t60 قد قطعت مسافة Bوفي نفس الوقت تكون

( )40,6080 tB :ويكون البعد بينهما−22 )5030()6040( ttD −+−=

222 :أي أن )5030()6040( ttD −+−= :نحصل علىوضعها مساوية للصفر و t بالنسبة لـ2Dوبتفاضل

0)50)(5030(2)60)(6040(22

=−−+−−= ttdt

dD

:منها نحصل علىو4461

0)54(5)64(6

==−−−−

t

tt

بذلك فإن الزمن 61

44=t ساعة

012200وبما أن 2

2

>=dt

Dd 23.262 إذا النهاية صغرى ويكون =D أي أن kmD 13.5≅.

( )40,80B• شمال

غرب شرق

( )10,40A• جنوب

Copyright © 2010.



358

- The equation of the tangent line to the curve )(xfy = at the point ),( 11 yxp is given by:

mxx

yy=

−−

1

1

Where m is a slope of the tangent line at the point ),( 11 yxp , that is dx

dym = .

- The normal to the tangent line has the equation:

mxx

yy 1

1

1 −=−−

- Rolle's Theorem: Let )(xf be continuous function on [ ]ba , , and differentiable on ),( ba . If 0)()( == bfaf , then there exists at least one number ),( bac ∈ such that

0)(' =cf . - The mean value Theorem: If )(xf is continuous function on [ ]ba , , and differentiable on ),( ba , then there

exists at least one number ),( bac ∈ such thatab

afbfcf

−−

=′ )()()( .

- Theorem1:(L'Hopital rule 0

0 form)

Let )(xf and )(xg functions such that 0)(lim)(lim ==→→

xgxfaxax

and suppose that

)(xf and )(xg are differentiable on an open interval I containing a , and that

0)(' ≠xg ,except possibly at a itself. Then:

)(')('

lim)()(

limxgxf

xgxf

axax →→=

Provided the second limit exists:

Theorem2:(L'Hopital rule ∞∞

form)

Let )(xf and )(xg functions such that ∞==→→

)(lim)(lim xgxfaxax

and suppose that

)(xf and )(xg are differentiable on an open interval I containing a , and that

0)(' ≠xg ,except possibly at a itself. Then:

Summary

Copyright © 2010.



359

)('

)('lim

)(

)(lim

xgxf

xgxf

axax →→=

Provided the second limit exists: Theorem3:(L'Hopital infinite limit)

Let )(xf and )(xg function such that ∞==∞→∞→

)(lim)(lim xgxfxx

and suppose that

)('

)('lim

xg

xfx ∞→

exists Then;

)('

)('lim

)(

)(lim

xgxf

xgxf

xx ∞→∞→=

Provided the second limit exist: Test for an Increasing or Decreasing function: A differentiable function )(xf is:

a) increasing on the interval ( )ba, if 0)(' >xf for all ( )bax ,∈ .

b) decreasing on the interval ( )ba, if 0)(' <xf for all ( )bax ,∈ . Steps for finding where )(xf is increasing and where decreasing:

1Step : Find the derivative )(' xf

2Step : Set up a table that solves the two inequalities: 0)(' >xf and 0)(' <xf

Like that: x x medal

0x medal 1x medal b

'f + 0 - 0 + First Derivative test: Let )(xf denote a differentiable function.Find )(' xf and set up table to determine where )(xf is increasing and where it is decreasing.

1- If )(xf is increasing to the left of a point A on the graph of )(xf and is

decreasing to the right of A , then at the point A there is a local maximum.

2- If )(xf is decreasing to the left of a point A on the graph of )(xf and is

increasing to the right of A , then at the point A there is a local minimum.

Steps for graphing function: 1- Find the domain of )(xf . 2- Locate the intercepts of )(xf .

Copyright © 2010.



360

3- Determine where )(xf is increasing and where it is decreasing. 4- Find any local maxima or local minima. 5- Locate all points on the graph of )(xf at which the tangent line is either

horizontal or vertical. 6- Determine the end behavior and locate any a symptotes. Concaring up ; concave Down:

Let )(xf derote a function that is differentiable on the interval ( )ba,

1- The graph of )(xf is concring up words on ( )ba, , if throughout ( )ba, , the tangent lines to the graph of )(xf lie bellow the graph.

2- The graph of )(xf is concaring downwards on ( )ba, , if throughout ( )ba, ,the tangent lines to the graph of )(xf lie above the graph.

Test for concavity: Lat )(xfy = be a function and let )('' xf be its second derivative. Inflection point: An inflection point of a function )(xf is a point on the graph of )(xf at which the concavity of )(xf changes. Second Derivative Test: Let )(xfy = be a function that is differentiable on an open interval I and suppose that the second derivative )('' xf exists on I.Also suppose C is a number in I for which 0)( =cf .

1- If 0)('' <xf , then at the point ( )( )cfc (, there is a local maximum.

2- If 0)('' >xf , then at the point ( )( )cfc (, there is a local minimum. 3- If 0)('' =xf , the test is inconclusive and the First Derivative Test must be used.

************************

Copyright © 2010.



361

:متناقصةة أو من الدوال التالية التي تكون فيها الدوال متزايدكل على فتراتحدد ال -1

1:8)( 2 xxxf −= 2:5242)( 3 +−= xxxf 3:3)( 3 xxxf += 4:593)( 23 +++−= xxxxf 5:)2()1()( 3 −−= xxxf 6:)2()1()( 3 −−= xxxf

.)1(أوجد القيم العظمى والصغرى للدوال في التمرين -2

:اليةأوجد نقاط االنقالب و ارسم الدوال الت -3 1:12510)( 23 +++= xxxxf 2:62)( 46 xxxf −= 3:1)( 3 −= xxf ( ) 4:1)(

22 −= xxf 5:28)( 42 xxxf −= 6:243)( 34 +−= xxxf

7:2515)( 35 xxxf −= 8:2)( 3

2

xxf −=

.مى وحاصل ضربهما قيمة عظ12أوجد عددين صحيحين مجموعهما -4

لكي يكون لها أبعادها متر مكعب أوجد 64لــحاوية اسطوانية ذات قاعدة دائرية تتسع -5 . ما يمكنسطح اصغر

أوجد معدل تغير ، يتزايد r قدم ونصف قطر قاعدته 8 مخروط دائري قائم ارتفاعه -6 .r=6 عندما r بالنسبة لـsمساحة سطحه

متر ومقطعة عبارة عن شبة منحرف متساوي الساقين قاعدته 10حوض مائي طوله -7

متر فإذا كان الماء يرتفع بمعدل 2 متر وارتفاعه 5 متر والعليا 3 السفلى48

متر 1 .معدل دخول الماء إلى الحوض أوجد مترا واحددقيقة عندما كان عمق الماء

:أحسب قيم النهايات التالية -8 1:

sin)(

xx

eexf

xx

−−

=−

x←0عندما

Copyright © 2010.



362

2:sin

)(2x

xxxf

− x←0عندما =

3:sin

)(1

x

xxf

−

x←0عندما =

4:)(ln

)(2

x

xxf ∞←x عندما =

5:)21ln(

)(xe

xxf

+ ∞←x عندما =

6:ln)( 2 xxxf ←xعندما =+

0 7:

)ln(ln)(

lx

xxf ∞←x عندما =

8:)( 2 xexxf ∞←x عندما = 9:)21()(

1

xxxf x←0 عندما =− 10:)3(cos)(

5

xxxf ←xعندما =+

0

11:1

)(sin x

xxf

= عندما x←

+

0

12:1

1

ln

1)(

−−=

xxxf عندماx←1

13:)1

tan()(x

xxf ∞←x عندما = 14:)cotsec()( xxcxf x←0 عندما =−

**********************

Copyright © 2010.



363

Anti-Derivative and Integral

دراسة الدوال والعالقات الهامة وكذلك حساب التفاضل وهو تابعنا في الفصول السابقة لفرع األساسي اآلخر ل والتكامل وسنوجه اهتمامنا فيما يلي لأحد الفرعين األساسين التفاض معنيين فيما يتعلق بحساب التكامل) تكامل(م كلمة وتأخذ اليو للموضوع وهو حساب التكامل

يعطي جمع ، ....يبين الكل لـ (( يغير الفنيكون مماثال للتعريف ويكاد المعنى األكثر عمقا .)Webster( ..)).أو مجموع

لوضوح في إيجاد المساحات المحددة ظاهر اويكون المعنى الرياضي لهذه الكلمة .وأطوال المنحنيات ومراكز الثقل وتطبيقات أخرى، المختلفةيات وأحجام المجسماتبمنحن .هات مشتقتفهو إيجاد دالة أعطي) يكامل(ما المعنى الرياضي الثاني لفعل أ

Anti-Derivative functions

: تعريفRIfكن ت ول.R من غير خالفترة I ليكن الدالة دالة مستمرة نقول أن:→

RIF قابلة لالشتقاق على الفترة F تإذا وفقط إذا كان f دالة أصلية للدالة :→IوكانfF ='.

cxF نجد أن الدوالومن التعريف تكون أن يمكن اختياري عدد ثابت c حيث)(+ . والسبب يرجع لكون مشتقة العدد الثابت تساوى صفرxf)(للدالة ) تكامل (أصلية دوالكلها فإنه يوجد عدد غير منته من الدوال األصلية أصيلةنستنتج انه إذا وجدت لدالة ما دالة

:التاليا بالعدد الثابت ويكون لدينا التعريف تختلف عن بعضهاله

:تعريف : إذا تحققت العالقة التاليةxf)(لدالة ) تكامل(دالة أصلية xF)(يقال إن

dxxfxFd )()( = dxxf هو xF)( أن بمعنى أن تفاضل الدالة أي )( أو أن المشتقة )(

)(xf

xdxFd

=

Copyright © 2010.



364

:أمثلة xdxxd حيث أن 45 5)( cxxdx :فإن = +=∫ 545 xdeed بما أنو xx 33 3)( cexde :فإن = xx +=∫ 333 xdxxxdوبما أن 22 sin2)(cos ) :فإن =− ) cxxdxx +=∫ 22 cossin2 .للتفاضل )لالشتقاق ( التكامل هو العملية العكسية أننى يعوهذا

Common Integrals )):كثيرة االستعمال((شائعة سنذكر العديد من القواعد الهامة إليجاد تكامل الدوال ال

:أمثلة

∫

∫∫

+−

=−

+−=−

+=

cxxd

cxxd

cxxd

3

5

3

5)3

77)2

55)1

:تعريفcxF هو دالة xf)(تكامل دالة : عدد ثابت وبحيث يكونc حيث )(+

)()(

xfxdxFd

=

cxFxdxfبالرمز xf)(ويرمز لتكامل الدالة +=∫ )()( . بثابت التكاملc ويسمى العدد الثابت xf)(ويقرأ بالتكامل غير المحدود لدالة

تكامل العدد الثابت : 1قاعدة : عدد ثابت عندئذ a ليكن

∫ += caxxda حيث cثابت التكامل .

:2قاعدة ∫ +

+=

+

cnx

xdxn

n

1

1

Rn , ثابت التكامل c حيث n=−1 باستثناء ∈ .

Copyright © 2010.



365

:أمثلة

∫

∫ ∫

∫

+=+=

+−=+−

=++−

==

+=++

=

+

−+−−

+

cxcx

xdx

cx

cx

cx

xdxxdx

cxcx

xdx

5

715

2

5

2

3

3144

4

413

3

7

5

57

)3

3

1

314

1)2

4

1

13)1

: أمثلة

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

+==

+=+−

−=++−

−=−=−

+=++

==

−−

−+−−

+

cxxdxxdx

cx

cx

cx

xdxxdx

cxcx

xxdx

3

1

3

2

3

2

2

2133

3

514

44

5355)3

12

213

222

)2

57

14777)1

: 3قاعدة النتيجة عامل ثابت من تحث إشارة التكامل أو إدخاله دون أن تتغيريمكن إخراج

∫ :أي أن ∫= xdxfaxdxfa )()(

: 4قاعدة تكامل المجموع الجبري لعدة دوال يساوي المجموع الجبري لتكامالت هذه

:الدوال أي أن)(,)(إذا كانت xgxf دوال قابلة للتكامل في xفإن :

[ ] ∫∫ ∫ +=+ xdxgxdxfxdxgxf )()()()( )(,)(,)(.........,,.)(وبصفة عامة إذا كانت 321 xfxfxfxf n دوال قابلة للتكامل

: فإن xفي [ ]

∫∫∫∫

±±±

=±±±

xdxfxdxfxdxf

xdxfxfxf

n

n

)(..........)()(

)(..........)()(

21

21

Copyright © 2010.



366

:أمثلة

( )∫ ∫ ∫∫ ++−=++−=+−=+− cxxx

cxxx

xdxdxxdxxdxx 53

52

23

5252)1 2323

22

cxxcxx

dxxxdxxdx

xdxxdx

x

++=+−

−=

−=−=

−

−+−+

−∫ ∫∫∫∫

22

3131

2

1

32

1

33

3

2

22

2

3

2)(1

22

)2

cxxx

xdxxdxxdxxdx

xx

++−=

−−=

−−

−

−∫ ∫∫∫126

252

5

32

2

6

1

323

2)3

:أمثلة ( ) ( )

( ) ( ) ( )c

xc

uxduuxdxx

nxuxu

xdxx

+−

=+==−∴

==→−=

−

∫∫

∫

5

62

5'662

4,6'62

662)1

5354243

23

243

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )c

xc

uxdxxxdxx

xuxu

xdxx

+−

=+=−=−∴

=→−=

−

∫∫

∫

24

2

6.

4

142

4

12

4'2

2)2

646354354

34

354

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )∫ ∫

∫ ∫

++=++∴

+=+=→+=

++=++

xdxxxxdxxx

xxuxxu

xdxxxxdxxx

1333

113

1333'3

1313)3

22

1323

223

22

1323

:5قاعدة :عندئذ يكون) −1( عدد يخالف العددn و x دالة في u لتكن

cnu

xduun

n ++

=∫+

1'

1

. ثابت التكاملc حيث n=−1 باستثناء

Copyright © 2010.



367

( ) ( )∫ ∫ ++=+=+==++∴ cxxcucu

xduuxdxxx 2

332

32

3

2

123 3

9

2

9

2

233

1'

3

113

( )( )

( )( )

cx

cx

xdxxx

xdx

++

−=+

+−+

=

+=+

+−

−

∫ ∫

42

152

5252

1

1

4

1

15

1

121

2)4

( )

cx

cu

duuudxxx

xuxu

xdxxdxxx

+−=

+−=−=

−=→=

+=

∫ ∫

∫ ∫−

3

cos

3sincos

sin'cos

12sincos)5

3

322

522

( )c

x

cu

duuux

xdx

xuxu

x

xdx

+=

+==

=→=

∫∫

∫

2

ln

2'

ln

1'ln

ln)6

2

2

Copyright © 2010.



368

:احسب التكامالت التالية ( ) 1(32 4 xdxx∫ −

:الحل

( ) cxxcxx

xdxxdxxdxx +−=+−=−=− ∫∫∫ 52

352

3

42

14

5

3

3

4

53

2

323232

2(2

43 2

4xd

xx

x∫

+−

:الحل

cxxxcxxx

xdxxdxxdxxdx

xx

++−−=++−−

=

+−=

+−

−−

−− ∫∫ ∫∫

2

133

2

133

2

1242

4

434

21

23

43

3

2432

43

( ) 3(32

xdxx∫ −

:الحل

( ) ( )

cxxxxcxxx

xdxxx

xdxxxxdxx

+

+−=++−=

+−=

+−=−

∫

∫∫

65

12

7

26

5

12

7

2

96

963

232

3

2

5

2

7

2

1

2

3

2

5

22

12

?

Copyright © 2010.



369

4(111

432 xdxxx∫

++

:الحل( )

cxxx

cxxx

xdxxxxdxxx

+−−−=+−

+−

+−

=

++=

++

−−−

−−−∫∫

32

321

432432

3

1

2

11

321

111

( ) 5(13332 xdxx∫ −

:الحل( )

( ) ( ) ( ) cxxdxx

xuxu

xdxx

+−=−

=→−=

−

∫

∫

4232

2

32

138

1613

2

1

6'13

133

( ) ( ) 6(242 324 xdxxx∫ ++

:الحل( ) ( )

( ) ( ) ( ) cxxxdxxx

xuxxu

xdxxx

++=++

+=→+=

++

∫

∫

34324

34

324

23

1242

24'2

242

7(12 xdxx∫ + :الحل

( )

( ) ( ) cxxdxx

xuxu

xdxxxdxx

++=+

=→+=

+=+

∫

∫∫

2

322

12

2

2

122

13

112

2

1

2'1

11

Copyright © 2010.



370

( ) 8(255 627 xdxx∫ +

:الحل( )

( ) ( ) ( ) cxxdxx

xuxu

xdxx

++=+

=→+=

+

∫

∫

37627

67

627

2521

13525

7

1

35'25

255

( ) 9(41 xdx∫ −

:الحل( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) cxcx

xdxxdx

uxu

xdxxdx

+−−=+−

−=

−−−=−

−=→−=

−=−

∫∫

∫∫

2

3

2

3

2

12

1

2

1

416

141

3

2

4

1

41)4(4

141

4'41

4141

( ) 10(5 23 3 xdxx∫ +

:الحل( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) cxcx

xdxxxdxx

xuxu

xdxxxdxx

++=++=

+=+

=→+=

+=+

∫∫

∫∫

3

433

43

23

1323

13

23

23

1323 3

54

15

4

3.

3

1

353

15

3'5

55

Copyright © 2010.



371

( )

11(32

312

xdxx

x∫

+

+

:الحل( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 22

12

2

122

12

2

2

12

2

32321

2.

2

1

323122

13231

31262'32

323132

31

xxcxx

xdxxxxdxxx

xxuxxu

xdxxxxdxx

x

+=++=

++=++

+=+=→+=

++=+

+

∫∫

∫∫

−−

−

( ) ( ) 12(13 253 xdxxx∫ −−

:الحل( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) cxxcxx

xdxxxxdxxx

xxuxxu

xdxxx

+−=+−=

−−=−−

−=−=→−=

−−

∫∫

∫

6363

253253

223

253

318

13

6

1.

3

1

1333

113

1333'3

13

( ) 13(33

632 xdxx∫ − :الحل

( )( )( ) ( ) ( ) cxxdxxxdxx

dxxuxu

xdxx

+−=−−−=−

=→−=

−

∫∫

∫

73632632

23

632

37

13333

3'3

33

Copyright © 2010.



372

Trig functions Integrals

:قواعد التكاملa. باعتبار الدالة المعرف في بداية الفصل و لحساب التكاملاألساسي تعريفبتطبيق ال

: للتفاضل يكون لدينا القوانين التالية األساسيةللقوانين المعاكسة

: تكون بالشكل التاليالة الجيبتكامل د∫ +−= cxxdx cossin)1

: فإن القانون السابق يكون كالتاليxأما إذا كانت الزاوية دالة في ∫ +−= cuxduu cossin')2

: التمام تكون بالشكل التاليتكامل دالة جيب∫ += cxxdx sincos)3

: فإن القانون السابق يكون كالتاليxة في أما إذا كانت الزاوية دال ∫ += cuxduu sincos')4

: تكون بالشكل التاليتكامل دالة الظل cxxdx +=∫ seclntan

: فإن القانون السابق يكون كالتاليxأما إذا كانت الزاوية دالة في cuxduu +=∫ seclntan'

:أمثلة : احسب التكامالت التالية

cxxdxxdx +−== ∫∫ 4cos4

14sin4

4

14sin)1

cxxdxxdx +== ∫∫ 2sin2

12cos2

2

12cos)2

( )

cxx

xdxxdx

xdxxdxxdxx

+−−+=

−−−+=

−++=−++

∫∫

∫ ∫∫

)32sin(3

1)23(cos

3

1-

)32cos(33

1)23(sin3

3

1

)32cos()23(sin)32cos()23(sin)3

Copyright © 2010.



373

( )

( ) ( )

( ) cx

cu

uduu

xdx

xxd

x

x

xuxu

xdx

x

+−=

+=

−=

−−−=

−

−=→−=

−

∫

∫∫

∫

2cos6

cos6

sin'6

2sin3.

2

1)2(3

2sin3

2

1'2

2sin3)4

b. األساسية للتفاضل يكون على القوانيندام باالعت لحساب التكاملاألساسيبتطبيق القانون

:لدينا القوانين التالية

xyمل الدالة تكا :1 قاعدة 2sec= ∫ += cxxdx tansec2

: التالية فيكون لدينا القانونx دالة في uإذا كانت ∫ += cuxduu tansec' 2

xy تكامل الدالة :2 قاعدة 2csc= ∫ +−= cxxdx cotcsc2

: فيكون لدينا القانون التالية x دالة في uنت إذا كا ∫ +−= cuxduu cotcsc' 2

xxy تكامل الدالة :3 قاعدة tansec= cxxdxx +=∫ sectansec

:ن لدينا القانون التالية فيكوx دالة في uإذا كانت cuxduuu +=∫ sectansec'

xxy تكامل الدالة :4 قاعدة cotcsc= ∫ +−= cuxdxx csccotcsc

: فيكون لدينا القانون التالية x دالة في uإذا كانت ∫ +−= cuxduuu csccotcsc'

Copyright © 2010.



374

xyامل الدالة تك :5 قاعدة cot= cxxdx +−=∫ csclncot

:فيكون لدينا x دالة في uإذا كانت cuxduu +−=∫ csclncot'

xyتكامل الدالة :6قاعدة sec= ∫ ++= cxxxdx tanseclnsec

:فيكون لدينا x دالة في uإذا كانت ∫ ++= cuuxduu tanseclnsec'

xyتكامل الدالة :7قاعدة csc= ∫ +−= cxxxdx cotcsclncsc

:فيكون لدينا x دالة في uإذا كانت ∫ +−= cuuxduu cotcsclncsc'

:أمثلة : احسب التكامالت التالية

( ) ( ) ( ) cxxdxxxdxx ++=+=+ ∫∫ 12secln41

12tan441

12tan)1 222 cxxdxxdx +== ∫∫ )4tan(

4

1)4(sec4

4

1)4(sec)2 22

) عدد ثابتaحيث )∫ + xdaxx 32 5sec)3

( ) ( )

( ) ( ) caxax

xdaxxxdaxx

xuaxu

++++=

+=+

=→+=

∫∫33

3232

23

5tan5secln15

1

5sec1515

15sec

15'5

( )

( ) ( )

( ) ( ) cxx

xdxx

xdx

xx

uxu

xdx

x

++−+=

+=+

=→+=

+

∫∫

∫

ln32cotln32cscln3

1

ln32csc3

3

1ln32csc

3'ln32

ln32csc)4

Copyright © 2010.



375

=++∫ xdxxx )1cot()1csc(2)5 22 xuxu 2'12 =→+=

cx

xdxxx

++−=

=++∫)1csc(

)1cot()1csc(2

2

22

=++++++∫ xdxxxxxxxx )tan()sec()123()6 23232

123' 223 ++=→++= xxuxxxu

cxxx

xdxxxxxxxx

+++=

=++++++∫)sec(

)tan()sec()123(

23

23232

=++∫ xdxxx )7tan()72()7 2

72'72 +=→+= xuxxu

cxx

cu

xduu

++=

+=

=∫

)7(sec

)(sec

'tan

22

2

Copyright © 2010.



376

: احسب التكامالت التالية 1(

33csc

322∫

− xd

xx.

c :الحل x

xdx

xxdx

x +

−=

−−−=

− ∫∫ 3

3cot3

3csc3

3csc33

223

22

( ) ( ) 2(2cot2csc 332∫ xdxxx. :الحل

( ) ( ) ( ) ( )

( ) cxcx

xdxxxxdxxx

+−=+−=

= ∫∫33

332332

2csc6

12csc

6

1

2cot2csc66

12cot2csc

3(45 2

1

∫−

− xdx.

cxxxdx :الحل +

−=−∫

−2

1

2

1

24545

4(

45tan

3∫

−

xdx

x.

:الحل

cx

cuuduxdxx

xdx

x

+

−=

+==

−=

−

∫∫∫4

5secln2

1

secln2

1tan

2

1

45tan

2

2

1

45tan

33

?

Copyright © 2010.



377

5(2

7cot∫

− xd

x.

:الحل c

xxd

xxd

x+

−=

−

−−=

− ∫∫ 2

7cscln22

7cot2

12

27cot

( )

6(7

9ln53cos∫

+xd

xx.

:الحل ( )

( ) ( )

( ) cxcuuduu

xdxx

xdx

xx

uxu

xdx

x

++=+==

+=+

=→+=

+

∫

∫∫

∫

9ln53sin35

1sin

35

1cos'

35

1

9ln53cos5

7

1.

5

1

7

9ln53cos

5'9ln53

7

9ln53cos

7(6cos)6sin49(cos∫ + xdxx. :الحل

cx

xdxxxdxx

xdxudxu

xdxx

++=

+=+

=→+=

+

∫∫

∫

)6sin49sin(24

1

6cos)6sin49(cos2424

16cos)6sin49(cos

6cos246sin49

6cos)6sin49(cos

Copyright © 2010.



378

( ) 8(3sin3cos 2∫ − xdxx. :الحل

( ) ( )( )

( ) cxxxdxx

cxxdxxxdxx

xdxxxdxdxx

xdxxxxxdxx

+−=−∴

+==

−=−=

+−=−

∫

∫∫

∫∫∫∫∫

3sin3

13sin3cos

3sin3

13sin3cos3

3

13sin3cos

3sin3cos23sin3cos21

3sin3sin3cos23cos3sin3cos

22

2

222

Q

9(cot∫ xdx. :الحل

cxxdx

cxcxcxxdx

xxdx

+−=∴

+−=+−=+−==

∫∫ ∫ −

csclncot

csclnsinlnsinlnsin

coscot 1

Copyright © 2010.



379

Trig function Integrals Inverse .ة العكسية التي سابق دراستهاقواعد تكامل الدوال المثلثيبعض سنورد في هذا البند

:أمثلة c : احسب التكامالت التالية

x

x

xd+

=

−−∫ 3

sin9

)1 1

2

( )

cx

x

xxd+

+

=+−

−∫ 4

1sin

116

2)2 1

2

cx

x

xd+

=

+

− −∫ 7cos

7

1

49)3 1

2

:أمثلة c : احسب التكامالت التالية

x

x

xd+

=

+−∫ 3

tan3

1

9)1 1

2

cx

x

xxd+

=

+−∫ 4

tan4

1

16

2)2

21

4

cx

x

xd+

+

=++

−∫ 5

1tan

5

1

)1(25)3 1

2

:2قاعدة : عندئذ يكونx دالة في u لتكن c

a

u

aua

du+

=

+−∫ 1

22tan

c و1a

u

aua

du+

=

+− −∫ 1

22cot

1

.كامل ثابت التcحيث

:1قاعدة : عندئذ يكونx دالة في u لتكن c

a

u

ua

du+

=

−

− −∫ 1

22cos وc

a

u

ua

du+

=

−−∫ 1

22sin

. ثابت التكاملcحيث

Copyright © 2010.



380

Exponential and Logarithm Integrals

: قواعد التكامل :أمثلة : احسب التكامالت التالية

cxdx

x +=∫ 3ln

33)1

cxdxdx

xx +−

=−−

=∫ ∫−

−−

5ln

5.

3

15)3(

3

15)2

333

cxdxxdxx

xx +==∫ ∫ 6ln

6.

4

164

4

16)3

2

222

22

:مثال∫ :التاليمل احسب التكا +−− xdex xx 122

)1(

1:القاعدة )1(,1عددا موجبا يخالف aإذا كان ≠aفإنه يكون لدينا القاعدة التالي :

ca

axda

xx +=∫ ln

: فيكون لدينا القاعدة التاليxة قابلة لالشتقاق في دال u إذا كانت وبصورة عامة

ca

axdau

uu +=∫ ln

'

:2القاعدة eaإذا كان : فيكون لدينا ما يلي=

ce

exde

xx +=∫ ln

1ln لكن =eوبالتالي يكون لدينا القاعدة التالي : cexde xx +=∫

فيكون لدينا القاعدةx دالة قابلة لالشتقاق فيuانت إذا كوبصورة عامةcexdeu :التالي uu +=∫ '

Copyright © 2010.



381

:الحل

cecexdeu

xdexxdex

xxuxxu

xxuu

xxxx

+=+==

−=−∴

−=−=→+−=

+−

+−+−

∫

∫∫12

1212

2

2

22

2

1

2

1'

2

1

)1(22

1)1(

)1(222'12

:مثال ) :التالياحسب التكامل ) xdex xx−∫ − sin1cos :الحل 1cos'sin لدينا −=→−= xuxxu : فإنوبالتالي

( ) cecexdeuxdex xxuuxx +=+==− −− ∫∫ sinsin '1cos

xd : التالياحسب التكامل :مثال e

ex

x

∫ − 2.

:الحل xxلدينا eueu =→−= '2 cecuxd : فإن وبالتالي

u

uxd

e

e xx

x

+−=+==− ∫∫ 2lnln

'

2

xd : التالياحسب التكامل :مثال

xxx

∫ ++212

4

3

. :الحل

2'224)12( لدينا 334 +=+=→+= xxuxxu

3:القاعدة :ينا القاعدة التالي فيكون لدx دالة قابلة لالشتقاق في u إذا كانت

cuxduu

+=∫ ln'

Copyright © 2010.



382

: فإن وبالتالي

cxxcuxdu

u

xdxx

xxd

xx

x

++=+==

++

=+

+

∫

∫∫

2ln2

1ln

2

1'

2

12

)12(2

2

1

2

12

4

4

3

4

3

∫:احسب التكامل التالي :مثال +

+xd

xx

xx

2sin

2cos2

. :الحل

cxxcuxdu

u

xdxx

xxxd

xx

xx

xxxxuxxu

xdxx

xx

++=+==

++

=+

++=+=→+=

++

∫

∫∫

∫

2sinlnln2

1

'

2

1

2sin

)2cos(2

2

1

2sin

2cos

)2cos(22cos22'2sin

2sin

2cos

2

22

2

2

Copyright © 2010.



383

:احسب التكامالت التالية

( ) 1(12cos∫ ++− xdxe x. :الحل

( ) cxxexdxe xx ++−−=++ −−∫ 2sin2

112cos

( ) 2(sin22 cos2∫ −+ xdxe xx.

:الحل ( )

( ) ceceudexdxe

xdxudxxu

xdxe

xxuuxx

xx

+=+==−

−=→+=

−

++

+

∫ ∫

∫

cos2cos2

cos2

222sin22

)sin2(cos2

sin22

( ) 3(11

2

1

xdeexde

e xx

x

x −

+=+

∫∫.

:الحل ( )

( )

cece

cuuduxdee

xdeudeu

xdeexde

e

xx

xx

xx

xx

x

x

++=++=

+==+

=→+=

+=+

∫∫

∫∫

−−

−

12)1(2

21

1

11

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

?

Copyright © 2010.



384

4(12

2

1

xdexxdxe x

x −

∫∫ −=.

:الحل

ceceude

dxexxdex

dxxudxu

xdexxdxe

xuu

xx

xx

+−=+−=−=

−−=

−=→=

=

∫

∫∫

∫∫

−−

−

−−

−−

−

1

22

21

22

1

11

1

5(3

2352∫ − xdexx.

:الحل

ceudexde

udxdxdudu

xde

xx

x

ux

xxx

x

+−=−=

−=→−=→−=

−−

−

∫∫

∫

22

2

35352

222

352

3ln21

3ln21

3

3ln2

133ln3235

3

6(5csc2 25cot1 tdtt∫ +. :الحل

ccudtdt

udtdttdtudtu

tdt

tuut

t

+−=+−=−=

−=→−=→+=

++

+

∫∫

∫

5cot125cot1

22

25cot1

22ln5

12

2ln5

12

5

15csc2

5

15csc5csc55cot1

5csc2

Copyright © 2010.



385

7(2

2

2533

25

xdexxdx

e xx

∫∫−−−

−

=.

:الحل

ceceudexdex

udxdxxdxudxu

xdexxdx

e

xuux

xx

+=+==

=→=→−=

=

−−

−

−−−

−−−

−−

−

∫∫

∫∫

22

22

25253

332

2533

25

4

1

4

1

4

14

1425

8(2ln3

∫+

xdx

e x

.

:الحل

∫∫∫∫

+===

=

−

−+

cxexdexdxex

xdeexxdx

e xx

3331

2ln312ln3

22)2(

( ) 9(1

722

∫ + xdeex xx.

:الحل ( )

( ) ( ) cecu

uduxdeex

udxdexxdexudeu

xdeex

xxx

xxx

xx

++=+==+

=→=→+=

+

∫∫

∫

887

7

7

116

1

82

1

2

11

2

121

1

222

222

22

Copyright © 2010.



386

( ) 10(1sec 22∫ − xdee xx. :الحل

( )

( )

( ) ( ) ceecuu

uduxdee

udxdexdeudeu

xdee

xx

xx

xxx

xx

+−+−=++=

=−

=→=→−=

−

∫∫

∫

1sec1tanln2

1sectanln

2

1

sec2

11sec

21

21

1sec

22

22

222

22

11(

52

2

2

2

∫ +xd

e

exx

x

.

:الحل

cecuu

udxd

e

ex

udxdexxdexudeu

xde

ex

x

x

x

xxx

x

x

++=+==+

=→=→+=

+

∫∫

∫

5ln4

1ln

4

1

4

1

5

4

145

5

2

2

2

222

2

2

2

2

2

222

2

2

12(

2cos2sin

2sin2cos∫ +

−xd

xx

xx. :الحل

cxxcuudu

u

xdxx

xxxd

xx

xx

xxxxuxxu

xdxx

xx

++=+==

+−

=+−

−=−=→+=+−

∫

∫∫

∫

2cos2sinln2

1ln

2

1'

2

12cos2sin

)2sin2(cos2

2

1

2cos2sin

2sin2cos

)2sin2(cos22sin22cos2'2cos2sin2cos2sin

2sin2cos

Copyright © 2010.



388

Substitution Integral ) عندئذ يمكن تركيب الدالة xg)(و xf)(الدالتان ليكن لدينا ))()( xgfxgf =o uxgوبفرض أن قابلة للمكاملة يكون uf)( فإذا كانت uf)( تصبح لدينا الدالة )(=

)التركيب ))()( xgfxgf =oوسنميز حالتين ، قابل للمكاملة :

:الحالة األولى :التكامل بالتعويض وفق قاعدة السلسلة

∫duufإلى الشكلفي هذه الحالة نحاول الوصول من خالل إجراء تغير في )( : التاليةباألمثلة هالمتحول سنشرح

( )( )∫ +++ xdxxx 5225)1 2 252 :نفرض أن ++= xxu نفاضل الطرفين نحصل على ( )dxxdu 52 ثم =+

: على الشكل التالي بذلك يصبح التكاملاومشتقاته uنعوض عنC

uduu +=∫ 2

2 : بما تساويه فنجدuنعوض عن

( )( ) ( )C

xxxdxxx +

++=+++∫ 2

255225

222

∫ xdex x2

2)2 2xu :نفرض أن xdxdu نفاضل الطرفين نحصل على = u ثم نعوض عن=2 : بذلك يصبح التكامل على الشكل التالياومشتقاته

Cedue uu +=∫ : بما تساويه فنجدuنعوض عن

Cexdex xx +=∫22

2

:الحالة الثانية :طريقة التعويض في الدوال المثلثية

:ض الموضحة جانب كل جذرإذا حوي التكامل أي من الجذور التالية نتبع طريقة التعوي

Copyright © 2010.



389

−=

=⇒−−

θθ

θ

22

222

sin1cos

sin1 b

ax

xba

−=

=⇒−−

1sectan

sec2

22

222

θθ

θba

xaxb

+=

=⇒+−

θθ

θ

22

222

tan1sec

tan3 b

ax

xba

:أمثلة

:أحسب التكامالت التالية

∫− 22 94

16)1

xx

xd

θsin :نفرض أن 3

2=x فاضل الطرفين نحصل على بتθθ ddx cos

3

2منها =

على نعوض في الجذر نحصل θθθ cos2cos4sin494 222 ==−=− x

:مالحظةولكن هنا يمكن ،يجب أن نضع إشارة القيمة المطلقةكامل محدود تإذا كان لدينا

θθ التغاضي عنها وسنضع coscos : فيكون لدينا=

( )

∫ ∫

∫

+−===

=

Cdd

d

θθθθθ

θθθθ

cot12csc12sin

12

cos3

2

cos2sin9

416

22

2

dxx∫ − 249)2 θsin :نفرض أن

2

3=xالطرفين نحصل علىفاضل بتθθ ddx cos

2

3منها نعوض =

:في الجذر نحصل على

Copyright © 2010.



390

C

d

d

d

dd

+

+=

+=

=

=

−=

−

∫

∫

∫

∫∫

4

2sin

22

92

2cos1

2

9

cos2

9

cos2

3cos3

cos2

3sin99cos

2

3sin

2

349

2

22

θθ

θθ

θθ

θθθ

θθθθθθ

x1sin لكن 2

3 −=θ و θθθ cossin22sin منها =2

3

21

3

222sin

−

= xxθ

:وبالتالي يكون لديناCxxxdxx +−+=− −∫ 212 49

9

4sin

3

249

Products of Trig functions :يكون التكامل في هذه الحالة على حسب درجة الدوال المثلثية

dxxxلحساب التكامل : أوال mn cossin∫نميز بين الحاالت التالية: من خالل cos ونحول الباقي إلىsinنترك واحد من: فرديا n إذا كان -1

xxالعالقة 22 cos1sin xu بالتعويض بفرض أن التكاملثم نجري =− cos=. :مثال

∫xdxx: احسب التكامل التالي 43 cossin. :الحل

: القاعدة السابقة نحصل علىمباستخدا

( )∫∫∫

−=

=

xdxxx

xdxxxxdxx

42

4243

coscos1sin

cossinsincossin

xuنفرض أن cos= فاضل الطرفين نحصل علىتوب: dxxdu sin−= :تعويض نحصل علىالب

Copyright © 2010.



391

( ) ( )

Cxx

Cuu

duuuuduuxdxx

++−

=

++−

=

−−=−−= ∫∫∫

7

cos

5

cos

75

1cossin

75

75

644243

من خالل العالقةsin ونحول الباقي إلىcos نترك واحد من: فرديا m إذا كان -2

xx 22 sin1cos ux بالتعويض مفترضين أن التكاملوبعدها نجري =− =sin. :مثال ∫xdxx: احسب التكامل التالي 23 sincos. :الحل : القاعدة السابقة نحصل علىمباستخدا

( )∫∫∫

−=

=

xdxxx

xdxxxxdxx

22

2223

sinsin1cos

sincoscossincos

xuنفرض أن sin=فاضل الطرفين نحصل علىت وب: dxxdu cos=

:ويض نحصل علىتعالب ( ) ( ) C

xxC

uuduuuuduu +−=++=−−=− ∫∫ 5

sin

3

sin

531

53534222

. إلجراء الحساب2 أو 1في هذه الحالة يمكن استخدام البند : انفردي m و n إذا كان -3 :مثال ∫xdxx: احسب التكامل التالي 35 sincos. :الحل :لى القاعدة السابقة نحصل عمباستخدا

( )∫∫∫

−=

=

xdxxx

xdxxxxdxx

cossinsin1

sincoscossincos

322

3435

xuنفرض أن sin=فاضل الطرفين نحصل علىت وب: dxxdu cos=

:تعويض نحصل علىالب

Copyright © 2010.



392

( ) ( ) ( )

Cx

xx

Cuuu

duuuuduuuuuduu

+++=

++−=

+−=+−=− ∫∫∫

8

sinsin

3

1

4

sin

24

2211

86

4

754

753342322

دة التكامل إلى شكل زوجيان عندها نستخدم قوانين ضعف الزاوية إلعاmوn إذا كان -4 :إجراء المكاملة وصيغ ضعف الزاوية هي يمكن فيه

2

2cos1sin)3 2 x

x−

و =2

2cos1cos)2 2 x

x+

xxx و = cossin22sin)1 = :مثال xdxx: احسب التكامل التالي 22 cossin∫. :الحل : القاعدة السابقة نحصل علىمباستخدا

( )( )

( )

CxxCx

x

dxxdx

x

dxx

dxx

dxxx

xxxdxx

+−=+−=

−=

−=

=

−=

+−=

+×

−=

∫∫

∫

∫

∫

∫

∫∫

4sin32

1

8

1

4

4sin

8

1

8

1

4cos8

1

8

12

4cos1

4

1

2sin4

1

2cos14

1

2cos12cos14

12

2cos1

2

2cos1cossin

2

2

22

dxxx :إذا كان لدينا التكامل: ثانيا mn∫ sectan نميز الحاالت التالية: باستخدام sec ونحول الباقي إلىsec و واحده منtanنترك واحد من: فردياn إذا كان -1

1sectanالعالقة 22 −= xx وبعدها نفرض xu sec=.

Copyright © 2010.



393

:مثال ∫xdxx: احسب التكامل التالي 53 sectan.

:الحل : القاعدة السابقة نحصل علىمباستخدا

( )∫∫∫

−=

=

xdxxxx

xdxxxxxdxx

sectansec1sec

sectansectansectan

42

4253

xuنفرض أن sec=فاضل الطرفين نحصل علىت وب: dxxxdu sectan=

:تعويض نحصل علىالب ( )

Cxx

Cuu

uduu

+−=

+−=−∫

5

sec

7

sec

571

57

5742

من خاللtan ونحول الباقي إلىxxsecsec2نترك اثنان من: زوجيm إذا كان-2xxالعالقة 22 tan1sec xu ونستخدم التحويل =+ tan=.

:مثال∫xdxx: التالي احسب التكامل 42 sectan.

:الحل : القاعدة السابقة نحصل علىمباستخدا

xdxxxxdxxx ∫∫ = 22222 sincoscossecsectan xuنفرض أن tan=فاضل الطرفين نحصل علىت وب: dxxdu 2sec=

:عندها يصبح التكامل على الشكل التالي ( ) ( )

Cxx

Cuu

duuuuduu

++=

++=

+=+ ∫∫

5

tan

3

tan

53

1

53

53

4222

Copyright © 2010.



394

إليجاد 2 أو 1 عندها يمكن استخدام أي من البندين ازوجي mفرديا وnن إذا كا -3 .التكامل

عندها كل تكامل سوف يحل بطريقة مختلفة وال توجد ا فرديmو ا زوجيn إذا كان -4 .قاعدة عامة

:مثال xd: احسب التكامل التالي

x

x∫ 3

5

cos

sin. :الحل : السابقة نحصل علىالقواعد مباستخدا

( )xd

x

xxxd

x

xxxd

x

x∫∫∫

−==

3

22

3

4

3

5

cos

sincos1

cos

sinsin

cos

sin xuنفرض أن cos=فاضل الطرفين نحصل علىت وب: dxxdu sin−=

:عندها يصبح التكامل على الشكل التالي ( ) ( )

CxxLnx

duuu

du

u

du

duu

uuud

u

uxd

x

x

+−+=

−+−=

+−−=

−−=

∫∫ ∫

∫∫∫

22

3

3

42

3

22

3

5

cos2

1cos2sec

2

1

2

211

cos

sin

:مثال ∫xdxx: احسب التكامل التالي 45 sectan. :الحل : القواعد السابقة نحصل علىمباستخدا

( ) xdxxxxx

xdxxxxxdxx

sectansec1sec

sectansectansectan

322

3445

∫∫∫

−=

=

xuنفرض أن sec=فاضل الطرفين نحصل علىت وب: dxxxdu tansec=

:عندها يصبح التكامل على الشكل التالي

Copyright © 2010.



395

( ) ( )( )

Cxxx

Cuuu

duuuu

duuuuuduu

++−=

++−=

+−=

+−=−

∫∫∫

4

sec

6

sec2

8

sec

46

2

8

2

121

468

468

357

324322

:مثال∫xdxx: احسب التكامل التالي 25 cossin؟

:الحل : القواعد السابقة نحصل علىمباستخدا

22

2245

)cos1(sin

)(sinsinsinsinsin

xx

xxxxx

−=

==

xuنفرض cos= بتعويض في التكامل نحصل على :

cxxx

cuuu

duuuu

duuuu

duuuxdxx

+−−=

+−−=−−=

+−=

−=

∫

∫∫∫

7

cos

5

cos2

3

cos

75

2

3)2(

)21(

)1(cossin

753

753642

242

22225

Copyright © 2010.



396

Integration by parts

vduudvuvd :نجد دالتينتفاضل حاصل ضرب من قانون +=)( ∫∫: العالقة نحصل على الطرفين تكاملب += vduudvuv :يء قانون التكامل بالتجزا نحصل علىومنه

∫حساب التكامل وبهذه الطريقة نكون قد انتقلنا من vdu حساب التكامل إلى ∫ udv .vd و u اختيار أحسنا إذا األول يكون عادة اقل صعوبة من الذي :اآلتية األمثلة فيوطريقة استخدام هذه القاعدة موضحة

:مثال ∫حساب نريد أننانفرض xdxx sinال ينطبق عليه ألنهيمكن حسابه مباشرة لكن ال

.بالتجزيء ولذلك سنحسب هذا التكامل بطريقة التكامل المباشرة من قوانين التكامل أيxdudxu ولنفرض =→=

xvxdxvd cossin −=→=

cxxx

xdxxxxdxx

++−=

+−= ∫∫sincos

coscossin

:مثال ∫ :يلياحسب ما xdex x. :الحل

فنحاول حسابه باستعمال التكامل ة إيجاد تكامل هذه الدالة مباشرأننا ال نستطيع:نالحظ .يءبالتجز

xdudxu أنلنفرض =→=

2

2xvxdxvd =→=

∫∫ −= udvvuvdu

Copyright © 2010.



397

∫∫ ومنه فإن −= xdex

ex

xdex xxx

22

22

∫ولكن التكامل xde

x x

2

نستخدم فيها احد قوانين أن يمكن التي التكامالت ليس من2vduالمباشر وذلك بسبب اختيار التكامل إيجاد نحاول اإذ ، غير موفقأو اختيار خاطئا ,vduنفرضه لـ أخراختيار , xdudxu ولنأخذ xx و =→= evxdevd =→=

∫ :قانون نطبق ال ∫−= udvvuvdu cxeceexxdeexxdex ومنه xxxxxx +−=+−=−= ∫∫ )1(

.الذي تم في المثال صحيح االختيار اذإ

:مثال∫اوجد تكامل xdxln.

:الحل ∫ قاعدة تكامل تحسب أي نأخذ لم أننانالحظ xdxln أخذ بو التعويض المذكورة سابقال طريقة هذا المثال يمكن حساب التكامل باستعماففي

xz ln= xdedxexz وبالتالي zz =→=→= ln

zdeede لديناzd

ed zzzz

=→=

zdexd ومنه z= zdezedzxdx التكامل السابق يصبحاإذ zz ∫∫∫ ==ln

:وحسب المثال السابق czezdez zz +−==∫ )1(

cxxcxexdx فإنليوبالتا x +−=+−=∫ )1(ln)1(lnln ln بالتجزيءويمكن حسابه مباشرة باستعمال التكامل

Copyright © 2010.



398

ولنأخذ xd

xudxu

1ln =→=

xvxdvd =→=

∫∫ : بالتجزيءولنطبق قانون التكامل −= udvvuvdu :فيكون لدينا

cxxcxxx

xdxxxdx

xxxxdx

+−=+−=

−=−= ∫∫∫)1(lnln

ln1

lnln

:مثال∫xdxاوجد تكامل 2sin.

:الحل :يليلنفرض ما

xvxdxvd

xdxudxu

cossin

cossin

−=→==→=

∫∫ بالتجزيءوبتطبيق قانون التكامل −= udvvuvdu يكون لدينا:

( )

cxxcxxxxdx

cxxxxdx

cxxxxdxxdx

xdxxxxxdx

xdxxdxxxdxxxxdx

xxxx

xdxxxxdx

++−=++−=∴

++−=→

++−=+→

−+−=→

−+−=−+−=∴

−=→=+

+−=

∫

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

∫∫

2

12sin

4

1

2

1cossin

2

1sin

cossinsin2

cossinsinsin

sincossinsin

sincossinsin1cossinsin

sin1cos1cossin

coscossinsin

2

2

22

22

222

2222

22

Q

:ن خالل استخدام صيغة ضعف الزاويةهناك طريقة ثانية لحل هذا المثال م -

2

2cos1sin 2 x

x−

:ي يكون لديناوبالتال =

Copyright © 2010.



399

Cxx

dxxdx

dxx

xdx

+−=

−=

−=

∫∫

∫∫

2

2sin

2

2

2cos

2

2

2cos1sin 2

.بالتجزيءوهي النتيجة ذاتها التي حصلنا عليها بطريقة التكامل

:مالحظة تكامل إلى طريقة التكامل بالتجزئة تنقلنا من حساب تكامل صعب أنكما هو واضح

vdu عن اختيارأدقابسط لكن هذا يتوقف بصورة ض حاالت االختيار قدم بعلذلك سن,vuحاالت اختيار ،المناسب ,. :األولىالحالة xdex كان التكامل من الشكلإذا axn∫

xdnxudxuنفرض nn 1−=→= axaxونفرض e

avxdevd

1=→=

:مثال∫ :يلياحسب ما xdex x2.

:الحل :لنفرض ما يلي

xx evxdevd

xdxudxu

=→=

=→= 22

∫∫ بالتجزيءوبتطبيق قانون التكامل −= udvvuvdu يكون لدينا: dxxeexxdex xxx ∫∫ −= 222

cxexdexولكن وجدنا في المثال السابق أن xx +−=∫ : وبالتالي يكون لدينا)1([ ] Cxeexxdex xxx +−−=∫ )1(222

Copyright © 2010.



400

:الحالة الثانيةxdxxn الشكلالتكامل منكان إذا ωcos∫ من الشكلأو xdxxn ωsin∫

xdnxudxuنفرض nn 1−=→= xvxdxvd ونفرض للشكل األول ω

ωω sin

1cos =→=

xvxxdvd الثانيونفرض للشكل ωω

ω cos1

sin −=→= :مثالxdxx احسب التكامل cos∫.

:الحل :أننفرض

xvxdxvd

xdudxu

sincos =→==→=

: فإن بالتجزيءوحسب قانون التكامل

cxxx

xdxxxxdxx

++=

−= ∫∫cossin

sinsincos

:الحالة الثالثةxdxxn كان التكامل من الشكلإذا ln∫

هذه الحالة نفرض فيxxd

udxu =→= ln ونفرض1

1

+=→=

+

nx

vxdxvdn

n :مثالxdxx :احسب التكامل ln2∫.

:الحل xd نفرض

xudxu

1ln ولنفرض =→=

3

32 x

vxdxvd =→= : فإن بالتجزيءوبتطبيق قانون التكامل

cxxx

cx

xx

xdx

xx

xxdxx

+−=+−=

−= ∫∫3

333

332

9

1ln

33.

3

1ln

3

1

3ln

3ln

Copyright © 2010.



401

:الرابعةالحالة xdxeax التكامل من الشكلكان لدينا إذا ωsin∫ من الشكلأو xdxe ax ωcos∫

xdaeudeu نفرض axax =→= xvxxdvd ونفرض للشكل األول ω

ωω cos

1sin −=→=

xvxdxvd الثانيونفرض للشكل ωω

ω sin1

cos =→= :مثال

xdxe احسب التكامل x 2sin3∫. :الحل :أننفرض

xvxdxvd

xdeudeu xx

2cos21

2sin

3 33

−=→=

=→=

: فإن وبالتالي

∫∫ +−== xdxeexxdxeI xxx 2cos2

3cos

2

12sin 333

1 نضع3

3

2

3cos

2Iex

eI x

x

+−= xdexI اآلننحسب x∫= 3

1 cos بالتجزيء التكامل أخرى ونحسب مرة أننفرض

xvxdxvd

xdeudeu xx

2sin21

2cos

3 33

=→=

=→=

xdxeexxdexI :ومنه فإن xxx 2sin

2

32sin

2

1cos 333

1 ∫∫ −== I األصلي التكامل فينرجع ونعوض

+−=+→

−+−==

∫∫

∫∫

xxexdxexdxe

xdxeexexxdxeI

xxx

xxxx

2sin4

3cos

2

12sin

4

92sin

2sin4

92sin

4

3cos

2

12sin

333

3333

Copyright © 2010.



402

+−=→

+−=→

∫

∫

xxexdxe

xxexdxe

xx

xx

2sin4

3cos

2

1

13

42sin

2sin4

3cos

2

12sin

4

13

33

33

:يلي المطلوب حسابه يعطى بما لتكامال اإذ( )xx

exdxe

xx 2sin3cos2

132sin

33 +−=∫

:مثال ∫ احسب التكامل xdxx )2sin( 23.

:الحل xdxudxu نفرض أن 22 =→=

)2cos( ونفرض أن4

1)2sin( 22 xvxdxxvd −=→=

: نحصل على بالتجزيءوبتطبيق قانون التكامل

cxxx

xdxxxxxdxx

++−=

+−= ∫∫

)2sin(8

1)2cos(

4

1

)2cos(2

1)2cos(

4

1)2sin(

222

22223

:مثال ∫ :التكاملاحسب xdxxx tansec.

:الحل xdudxu نفرض أن =→= xvxdxxvd ونفرض أن sectansec =→= : نحصل على بالتجزيءوبتطبيق قانون التكامل

cxxxx

xdxxxxdxxx

++−=

−= ∫∫tanseclnsec

secsectansec

Copyright © 2010.



403

:احسب التكامالت التالية

1(cos 2∫ xdx. :الحل

∫∫ لدينا = xdxxxdx coscoscos 2 xdxudxu أننفرض sincos −=→= xvxdxvd أننفرض sincos =→= : نحصل علىبالتجزيءوبتطبيق قانون التكامل

xdxxx

xdxxxxdx

)cos1(cossin

sincossincos

2

22

∫∫∫

−+=

+=

xdxxdxxxdx ومنه فإن ∫ ∫∫ −+= 22 coscossincos

cx

xcx

xxudx

cxxxxdx

++=++=→

++=→

∫

∫

22sin

41

2cossin

21

cos

cossincos2

2

2

ضعف الزاوية يمكن حل هذا المثال بطريقة ثانية من خالل صيغة

أي2

2cos1cos2 x

x+

= .ونحصل على النتيجة ذاتها

2()35ln(∫ + xdx. :الحل

xd أننفرض x

udxu35

5)35ln(

+=→+=

xvxdvd أنونفرض =→= يكون لدينا بالتجزيءحسب قانون التكامل

?

Copyright © 2010.



404

cxxx

cxxxxxdx

xdxx

xdx

xxxxd

x

xxxxdx

+−+

+=

+++−+=+

+−+=

+−+

−+=+

−+=+

∫∫

∫∫∫

)35ln(5

3

)35ln(5

3)35ln(

35

3)35ln(

35

335)35ln(

35

5)35ln()35ln(

3(3∫ − xdex x. :الحل

xdudxu أننفرض =→= xx أنونفرض evxdevd 33

3

1 −− −=→= : نحصل على بالتجزيءوبتطبيق قانون التكامل

cxecexexdeexxdex xxxxxx +

+−=+−−=+−= −−−−−− ∫∫ 3

1

3

1

9

1

3

1

3

1

2

1 333333

4(4∫ + xdxx. :الحل xdudxu أننفرض =→=

2 أنونفرض

3

2

1

)4(3

2)4( +=→+= xvxdxvd

:نحصل على بالتجزيء قانون التكاملوبتطبيق cxxxxdxxxxdxx ++++=+−+=+ ∫∫ 2

5

2

3

2

3

2

3

)4(15

4)4(

3

2)4(

3

2)4(

3

24

∫ − 5(31 xdex x.

:الحل xdudxu أننفرض =→= xx أنونفرض evxdevd 3131

3

1 −− −=→=

Copyright © 2010.



405

: نحصل علىبالتجزيءوبتطبيق قانون التكامل

cxe

eex

xdeexxdex

x

xx

xxx

+

+−=

−−=

+−=

−

−−

−−− ∫∫

3

1

3

19

1

3

13

1

3

1

31

3131

313131

6(35∫ xdex x.

:حلال xdexvdxu أنبفرض x323 , منها يكون لدينا ==

3

3

1,3 2 xevxdxud ==

333

333

)1(3

1

3

1

3

13

1

33

235

xxx

xxx

exceex

xdexexxdex

−=+−=

−=∴ ∫∫

7(2∫ xdex x. :الحل xdxudxu أننفرض 22 =→= xx أنونفرض evxdevd =→= : نحصل على بالتجزيءوبتطبيق قانون التكامل

∫∫ −= xdexexxdex xxx 222

∫ اآلنلنحسب xdex x التكامل بالتجزئة أخرى ونستعمل مرة xdudxu ولنأخذ xxو =→= evxdevd =→=

:نحصل على بالتجزيء قانون التكاملنطبقcexceexxdeexxdex xxxxxx +−=+−=−= ∫∫ )1(

ج حساب التكامل المطلوب فنحصل على الناتفينعوض

Copyright © 2010.



406

cexx

cexexxdex

x

xxx

++−=

+−−=∫)22(

)1(2

2

22

∫ +

8(94 2x

xd. :الحل

θtan :نفرض أن 3

2=x نحصل على ونفاضل الطرفين θθ ddx 2sec

3

2=

:نحصل علىلمنها نعوض في التكامل

Cx

Cd

d

dd

+

=

+==

+=

==

+

−

∫

∫

∫∫

3

2tan

6

16

1

6

1tan44

sec

12

2

tan44

sec

3

2

tan3

294

sec3

2

1

2

2

2

2

2

2

θθ

θθθ

θθθ

θ

θθ

∫ 9(sin 5 dxx. :الحل : أننجد الزاويةباستخدام خواص ضعف

( )( )

( ) xdxxx

dxx

dxxxdxx

sincoscos21

sincos1

sinsinsin

42

22

225

∫∫

∫ ∫

+−=

−=

=

xuنفرض cos=فيكون dxxdu sin−= وبالتعويض نجد : ( )

( ) ( ) cxxx

cuuu

duuudxx

+++−=

+++−=

+−−=∫ ∫

53

53

425

cos5

1cos

3

2cos

5

1

3

2

21sin

Copyright © 2010.



407

∫ 10(sectan 42 dxxx. :الحل

( ) dxxxx

dxxxxdxxx

222

22242

sec1tantan

secsectansectan

+=

=

∫∫ ∫

xuنفرض tan=فيكون dxxdu 2sec= وبالتعويض نجد : ( )

( )

cxx

cuu

duuu

duuudxxx

++=

++=

+=

+=

∫∫ ∫

35

35

24

2242

tan3

1tan

5

13

1

5

1

1sectan

∫ 11(5sincos3 dxxx.

:الحل xuنفرض 5sin=فيكون dxxdu 5sin5−= وبالتعويض نجد :

( )

cx

cx

cu

duu

dxxxdxxx

+−=

+−=

+−=

−=

−−=

∫

∫ ∫

5cos20

14

5cos

5

1

45

1

5

1

5sin5cos5

15sincos

4

4

3

33

( )∫ + 12(13 4 dxx. :الحل 13نفرض += xuفيكون dxdu : وبالتعويض نجد =3

( )

( ) cx

cuduudxx

++=

+==+ ∫∫5

544

1315

115

1

3

113

Copyright © 2010.



408

13(2∫ xdex x. :الحل : فارضين أنبالتجزيءكامل ن xdudxu نفرض أن xvxdxvd ونفرض أن =→= tansec 2 =→= : نحصل على بالتجزيءوبتطبيق قانون التكامل

cxxx

dxxxxxdex x

++=

−= ∫∫coslntan

tantan2

14(tansec∫ xdxxx. :الحل : فارضين أنبالتجزيءكامل ن xdudxu نفرض أن =→= xvxxdxvd ونفرض أن sectansec =→= :نحصل على بالتجزيء وبتطبيق قانون التكامل

cxxxx

dxxxxxdxxx

++−=

−= ∫∫tanseclnsec

secsectansec

15(sin3∫ xdxx. :الحل :ضين أن فاربالتجزيءكامل ن xdxudxu نفرض أن 23 3=→= xvxxdvd ونفرض أن cossin −=→= : نحصل على بالتجزيءوبتطبيق قانون التكامل

dxxxxxxdxx ∫∫ +−= cos3cossin 233 ∫dxxxبالتجزيء التكامل نتابع حساب التكامل الحاصل cos2 فنحصل على ناتج التكامل.

Copyright © 2010.



409

Partial Fractions Integration by

:تمهيدتسمى الدالة

)(

)()(

xgxf

xF )(,)( كانت إذا بدالة كسرية = xgxf في حدود تيكثير x.

:مثال : الدوال التالية

)1(1

,1)1(

,112

,11

2322 +++

++−

+−

xxxxx

xx

xxدوال كسرية .

32: لتاليةبينما الدوال ا

2,

sin,

lnx

x

xex

xx x . ليست بدوال كسرية+−

. تسمى كسرا حقيقياxF)( فإن xg)( اقل من درجة xf)( كانت درجة إذا : مثلحقيقي بمجموع كثيرة حدود وكسر حقيقييمكن التعبير عن كسر غير

1

1

1

122

3

++

−=+−

x

xx

x

x :من الشكل) كسور جزئية( بمجموع كسور بسيطة حقيقيويمكن التعبير عن كل كسر

krxA

)( − أو

kcxbxa

BxA

)( 2 ++kcxbxa أنحيث + )( 2 ليس له لالختزال قابل غير ++

. حقيقيةجذوراكسور (بسيطة يمكن كتابتها بمجموع كسور التي على الكسور دراستناوسنقتصر : الحاالت التاليةإلىوسنتطرق ) جزئية

:األولىالحالة )(,)( كانت إذا xgxf في كثيرات حدود x ويمكن كتابة )(xg الصورة في

)........().........)()(()( 321 nrxrxrxrxxg ++++= :أنحيث

nrrrr ≠≠≠≠ .............321 وذا كانت

)(

)()(

xgxf

xF : الصورة في كسرا حقيقيا فإنه يمكن وضعه =

n

n

rxA

rxA

rxA

rxA

xgxf

+++

++

++

+= ..................

)()(

3

3

2

2

1

1

nAAAA : أنحيث ,..........,,, . يجب تعيينهاثوابت 321

Copyright © 2010.



410

:مثال التاليالكسر فرق

4

122 −

+x

x جزئيةه مجموع كسورإلى . :الحل 21 الثابتين أننفرض , AAيليققان ما يح: )1(

22)2)(2(

12

4

12 212 →

++

−=

+−+

=−+

x

A

x

A

xx

x

x

x 21حيث , AA ثوابت يجب تعيينها

:نوحد المقامات فيصبح لدينا

4)2()2(

412

221

2 −−++

=−+

xxAxA

xx

42 في المعادلة طرفينضرب −xفنحصل على : )2()2(12 21 −++=+ xAxAx

: xهذه المعادلة صحيحة من اجل كل عدد 2)2(1)22()22(فنحصل على x=−2 نأخذ 21 −−++−=+− AA

ومنه43

43 22 =→−=− AA 2)2(1)22()22( فنحصل على x=2 نأخذ 21 −++=+ AA ومنه

45

45 11 =→= AA 21نعوض , AA فيصبح لدينا)1( المعادلة في :

21

43

21

45

412

2 ++

−=

−+

xxxx

:مثال

xd اوجد التكامل x

x∫ −

+4

122

. :الحل : انه ال يمكننا استخدام احد قوانين التكامل مباشرة ولكن من المثال السابق لدينا : نالحظ

21

43

21

45

412

2 ++

−=

−+

xxxx

Copyright © 2010.



411

اإذ( ) ( )[ ]

( ) ( ) CxxLn

cxx

cxx

xdx

xdx

xdx

x

++−=

++−=

+++−=

++

−=

−+

∫ ∫∫

4 35

35

2

22

22ln4

1

2ln4

32ln

4

52

1

4

3

2

1

4

5

4

12

:ألولىالحالة ا

)(,)(ا كانت إذ xgxf كثيرات حدود في x ويمكن كتابة )(xgفي الصورة : nrxxg )()( Nn حيث أن =+ ∈

و كانت )(

)()(

xgxf

xF : كسرا حقيقيا فإنه يمكن وضعه في الصورة =

nn

nn

rx

A

rx

A

rxA

rxA

xgxf

)()(..................

)()()(

)(1

12

21

++

+++

++

+= −

−

nAAAAحيث ,..........,,, يجب تعيينها ثوابت 321 :مثال

الكسرفرق 3)1(

2

+−

xx جزئيةال ه كسورإلى.

:الحل 321 الثوابت أننفرض ,, AAAيلي ما تحقق: )2(

)1()1(1)1(

23

32

213

→+

++

++

=+−

xA

xA

xA

xx 321حيث ,, AAA ثوابت يجب تعيينها

. المقامات فيصبح لدينانوحد

332

21

3 )1(

)1()1(

)1(

2

+++++

=+−

x

AxAxA

x

x

)1(3 في المعادلة طرفينضرب +xفنحصل على : 32

21 )1()1(2 AxAxAx ++++=−

xهذه المعادلة صحيحة من اجل كل عدد 30021 فنحصل على x=−1 نأخذ A++=−− 33 ومنه −=A

Copyright © 2010.



412

3212:فنحصل على x=0 نأخذ AAA ++=− 1221 ومنه 132 AAAA −=→−+=− 3 :فنحصل على x=1 نأخذ

22

21 )2()2(21 AAA ++=−

2413441)1(3 ومنه فإن 1121 −−+=−→−+=− AAAA 0011232241 1111 =→=+−=→−−+=−→ AAAA

110 : فإنوبالتالي 22 =→−= AA 321نعوض ,, AAA فيصبح لدينا)2( المعادلة في :

323 )1(

3

)1(

1

)1(

2)(

+−

+=

+−

=xxx

xxf

:مثالxd اوجد التكامل

xx

∫ +−

3)1(

2.

:الحل :نه ال يمكننا استخدام احد قوانين التكامل مباشرة ولكن من المثال السابق لديناأنالحظ

323 )1(

3

)1(

1

)1(

2

+−

+=

+−

xxxx

اإذ++++−=

+−

+=

+−

−−

∫ ∫∫21

32)

)1(2

3)1(

)1(

13

)1(

1

31(

2

xx

xdx

xdx

xdx

x

:مالحظة :التالي المثال في آن واحد كما هو موضح فييمكن استعمال الحالتين

:مثال الكسر فرق

)1()1(

132 −−

−

xx

x كسوره الجزئيةإلى .

:الحل لدينا

22 )1)(1(13

)1)(1)(1(13

)1()1(13

−+−

=−+−

−=

−−−

xxx

xxxx

xxx

321 أننفرض ,, AAAيليا تحقق م:

Copyright © 2010.



413

)3()1()1(1)1)(1(

132

3212

→−

+−

++

=−+

−x

AxA

xA

xxx 321حيث ,, AAA ثوابت يجب تعيينها

والثانية معا األولى استعملنا الحالتين أننا : نالحظ :نوحد المقامات فيصبح لدينا

)1)(1(

)1()1)(1()1(

)1)(1(13

232

21

2 −−++−++−

=−−

−xx

xAxxAxAxx

x

)1)(1( في المعادلة طرفينضرب 2 −− xxفيكون لدينا : )1()1)(1()1(13 32

21 ++−++−=− xAxxAxAx

:xجل كل عدد أهذه المعادلة صحيحة من 3)1(1)11()11)(11()11( فنحصل علىx=1 نأخذ 32

21 ++−++−=− AAA

122 ومنه 33 =→= AA فنحصل على x=−1 نأخذ

)11()11)(11()11(1)1(3 322

1 +−+−−+−+−−=−− AAA 144 ومنه 11 −=→=− AA

3)0(1)10()10)(10()10( فنحصل على x=0 خذنأ 322

1 ++−++−=− AAA 111 ومنه فإن 312321 =++=→+−=− AAAAAA 321نعوض ,, AAA فيصبح لدينا )3( المعادلة في :

22 )1(1

)1(1

11

)1)(1(13

−+

−+

+=

−+−

xxxxxx

:مثال xd اوجد التكامل

xxx

∫ −−−

)1()1(13

2.

:الحل الكسريقفر تإلى نحتاج أننا : نالحظ

)1()1(

132 −−−

xx

x ومن المثال السابق لدينا

22 )1(1

)1(1

11

)1)(1(13

−+

−+

+=

−+−

xxxxxx

:اإذ xd

xxd

xxd

xxd

xx

x∫∫∫∫ −

+−

++

=−+

−22 )1(

1

)1(

1

1

1

)1)(1(

13

Copyright © 2010.



414

cxx

x

cxxxxdxx

x

+−

−+−

=

+−−−++−=−+

− −∫

1

1

1

1ln

)1(1ln1ln)1)(1(

13 12

:مثال xd :يالتكامل التالاوجد

xx

xxx∫ −

−−+4

822953

23. :الحل

}واضح إن الدالة مستمرة على الفترة }2,2,0 −−R باستخدام الطرق السابقة تكون لدينا :صيغة التفريق التالية

2

3

2

425

4

822953

23

−+

+++=

−−−+

xxxxx

xxx

:وبذلك يكون التكامل على الشكل التالي

( ) ( )( ) CxxxLnx

CxLnxLnxLnx

dxxxx

xdxx

xxx

+−++=

+−++++=

−+

+++=

−−−+

∫∫

342

3

23

225

232425

2

3

2

425

4

82295

:مثال :اوجد التكامل التالي

( )( )xd

xx∫ ++ 221

1.

:الحل }واضح إن الدالة مستمرة على الفترة }1,2 −−−R باستخدام الطرق السابقة تكون لدينا

:صيغة التفريق التالية

( )( ) ( )22 2

1

2

1

1

1

21

1

+−

+−

+=

++ xxxxx

:وبذلك يكون التكامل على الشكل التالي

( )( ) ( )

Cx

xLn

x

Cx

xLnxLn

dxxxx

xdxx

+++

++

=

++

++−+=

+−

+−

+=

++ ∫∫

2

1

2

12

121

2

3

2

1

1

1

21

122

Copyright © 2010.



415

Fundamental Theorem :

: تعريفRIf ولكن .R من خالمجاال غير I ليكن ] حيث I مستمرة على دالة :→ ]baI عندئذ =,

)()(نسمى العدد aFbF xdxf بالرمزهونرمز إلي، f للدالةb وaد منو التكامل المحد−b

a∫ أو )(

tdtfb

a∫ )()()()( :أي أن )( aFbFxFxdxf

b

a

b

a

. f دالة أصلية للدالةF حيث ∫==−

: تعريف]ليكن ]ba ] دالة مستمرة من f وليكن .Rمن خال مجاال مغلقا غير , ]( )Rbaf ,,،

)ولتكن ) mmmm RRtttt ×∈= +

−1

,1,2,1,0210 ,......,,....,, λλλλδ تقسيم للمجال[ ]ba , )عندئذ نرمز بالرمز )σ,fSإلي المقدار ( ) ( ) ( )k

m

kkk fttfS λσ ∑

−

=+ −=

1

0) ونسمى ,1 )σ,fS

) فالمجموعδ وفقا للتقسيم الموضح فيf للدالةRiemannمجموع ريمان )σ,fS يمثل )المجموع الجبري لمساحات المستطيالت التي أبعادها ) ( )kkk ftt λ×−+1.

)ولما كان واضحا أن مجموع ريمان )σ,fS الدالةكون يقترب في حالةfمن ، مستمرةax ن والمستقيميxمحور ال وfلسطح المحصور بين منحني الدالة المساحة الجبرية ل =

bxو ]عندما تصغر المساحة في الفترات = ]1, +ii ttأي يقترب إلي الصفر صغرا متناهياxdxfكاملتمنها نستنتج أن ال

b

a∫ f الدالة ى يعبر عن المساحة المحصورة بين منحن)(

ax ن والمستقيميxمحور الو bx و= : التاليل كما موضح في الشك.=

Copyright © 2010.



416

:مثال∫ التالياحسب التكامل

2

1

xdx.

:الحل

2

3

2

1

2

4

2

2

1

22

1

=−==∫x

xdx

:مثال ∫ التالياحسب التكامل +−

3

0

3 )14( xdxx.

:الحل

4

15

4

21318

4

8103

2

34

4

3

2

4

4)14(

24

3

0

243

0

3

==+−=−

+

×−=

+−=+−∫ x

xxxdxx

:مثال ) :أوجد ناتج التكامل التالي )∫ +++

2

2--

34 105 xdxxx

:الحل :يواضح أن الدالة كثيرة حدود فإن تكاملها يكون على النحو التال

( )

0

202

02

4

32

5

6420

2

02

4

32

5

64

102

5

45105

2

2

2452

2--

34

=

+++−

+++=

+++=+++

−∫ x

xxxxdxxx

:تعريف] دالة مستمرة على المجال xf)( لتكن الدالة ]ba تكامال xF)( ولتكن ,

:إن التكامل المحدود يعطى بما يلي فxf)(غير محدود للدالة )()()()( aFbFxFxdxf

b

a

b

a

−==∫

Copyright © 2010.



417

a

c

b x

y

2A1A

:مثال

∫: احسب التكامل التالي 2

0

cos

π

θθ d

:الحل

10sin2

sinsincos 20

2

0

=−==∫πθθθ

π

π

d

Properties of Definite Integral :

1. )( abcxdcb

a

cbaحيث ∫=− .ثوابت ,,

2. 0)( =∫a

a

xdxf

] قابلة للتكامل في الفترة xf)( ا كانتإذ .3 ]ba ثابتا حقيقيا فإن c وكان bإلى a من,)(xfc والتكامل هو قابلة للتكامل في هذه الفترة كذلك:

xdxfcxdxfcb

a

b

a∫∫ = )()(

)(,)(إذا كان .4 xgxfدالتين قابلتين للتكامل في الفترة من aإلى bفإن :

)()(,)()( xgxfxgxf :اإذدوال قابلة للتكامل في نفس الفترة −+

[ ] xdxgxdxfxdxgxfb

a

b

a

b

a∫∫∫ ±=± )()()()(

bcaإذا كان .5 ] قابلة للتكامل في الفترة xf)(وكانت الدالة >> ]ba :فإن ,

21)()()( AAxdxfxdxfxdxfc

b

b

a

c

a

+=+= ∫∫∫

Copyright © 2010.



418

)()( كانإذا .6 xgxf ] في النطاق xلجميع قيم ≤ ]ba :فإن ,

∫∫ ≥b

a

b

a

xdxgxdxf )()(

:مثال ∫ احسب التكامل التالي

6

2-

5 xd.

:الحل 402)5(65

6

2-

=−=∫ xd

:مثال∫ أوجد التكامل اآلتي

3

2-

2 ) 56 ( x d-x.

:الحل 45)1016()1554(52 ) 5-6 (

3

2

33

2-

2 =+−−−=−=−∫ xxxdx

:مثال ∫ :أوجد التكامل التالي

2

1-

23 ) 1( x d- x

:الحل

14

4051

2

1

7

128

7

128

2

1

7

1

)12()1(

2

1

47

2

1

362

1

23

=

−+

−−

++=++=

++=+

−

−−∫∫

xxx

xdxxxdx

:مثال

∫ حسب التكامل التاليا −

2

1

xdx.

:الحل

<−≥

=0

0

xif,x

xif,xxQ

Copyright © 2010.



419

:ومنه فإن

∫∫∫−−

+−=2

0

0

1

2

1

xdxxdxxdx

25

024

21

022

2

0

20

1

2

=−++=+−

=−

xx

:مثال

∫ :أوجد ناتج التكامل التالي 4

0

22 sectan

π

xdxx.

:الحل

21

)01(21

0tan4

tan21

tan21

sectan 224

0

24

0

22 =−=

−

==∫

πππ

xxdxx

:مثال∫ :أوجد ناتج التكامل التالي −+−

1

1-

2 1)(3323 xdxxx.

:الحل ∫ إليجاد −+−

1

1-

2 1)(3323 xdxxx 323نستخدم التعويض 2 +−= xxu

xdxud فنحصل على )26( :يكون لديناومنه =−

∫ −+− xdxxx 1)(3323 2 2

322

3

)323(3

1

3

2

2

1u

2

1+−=×== ∫ xxuud

−=−=

+++−=

+−=−+−∴−−

∫

)221(3

8)261(8

3

1

3)2(3-3)2(33

1

)323(3

11)(3323

2

3

2

3

1

1

2

32

1

1

2 xxxdxxx

:مثال) ::أوجد ناتج التكامل التالي )∫ −+

1

1-

3 1242 x dxx.

Copyright © 2010.



420

:الحل ( )

0122

4

4

212

2

4

4

2

122

4

4

2 1242

1

1

241

1-

3

=

++−

−+=

−+=−+

−∫ xxxx dxx

:مثال∫ :أوجد الخطأ فيما يلي

3

1-2

1

x dx

.

:الحل

3

41

3

11

13

1

3

1-2

−=−−=−=−

∫ xx d

x

ولكن الدالة المكاملة ،هذا الحساب يجب أن يكون خاطئا الن الجواب سالب 2

1)(

xxf =

ة الموجبة في أي مجال يعطي قيمة الدالموجبة دوما وهذا يناقض الخاصة القائلة أن تكامل .موجبة فما الخطأ

ن الخطأ يكمن في إننا ال يمكن أن نطبق النظرية األساسية للتكامل المحدود في المجال إ ] مستمرة فيه وإذا الحظنا أن xf)(ال تكون ]3,10 ند غير مستمرة عxf)( وأن ∋−

0=xنعرف الخطأ المرتكب. :في نهاية هذه الفقرة نورد

:أهم الخصائص األساسية للتكامل المحدود)(إذا كان .1 xfفترةدالة مستمرة في ال[ ]ba, وكانتbxa ) فإن>> ) dttfxg

x

a دالة )(=∫

.أيضامستمرة ] الفترة دالة مستمرة في xf)( إذا كان .2 ]ba ) فإن , ) 0=∫ dxxf

a

a

)()(إذا كانت . 3 xgxf ] الفترة في ≤ ]ba ) فإن , ) ( ) dxxgdxxfb

a

b

a∫∫ ≥

] الفترةالة مستمرة في دxf)(إذا كان . 4 ]ba ) فإن , ) dxxfdxxfa

b

b

a∫∫ −= )(

] الفترة دالة مستمرة في xf)(إذا كان. 5 ]ba,وكانتbca ) فإن >> ) ( ) ( ) dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

a

a∫∫∫ +=

Copyright © 2010.



421

] الفترةي دالة مستمرة فxf)(إذا كان .6 ]ba ) فإن , ) ( ) dxxfdxxfa

a

a

a∫∫ ≤

] الفترة دالة مستمرة في xf)(إذا كان .7 ]ba :فإن ,

( ) ( )

=

∫∫− fdxxf

f

dxxf aa

a 2زوجیة دالة

0فردیة دالة

0

)إذا كان . 8 ) 0≥xf الفترة في bxa ) عندها يكون ≥≥ ) 0≥∫ dxxfb

a

)إذا كان .9 ) )(xgxf bxa الفترة في ≤ ) عندها يكون ≥≥ ) dxxgdxxfb

a

b

a∫∫ ≥ )(

:مثال ∫ :أوجد ناتج التكامل التالي +−

1

1-

24 3)2( xdxx

:الحل )(32 : أن الدالة :نالحظ 24 +−= xxxfدالة زوجية ألن :

( ) ( ) )( f32)( 24 xxxxf =+−−−=−

15

76

15

382

15

451032

33

2

5

12

33

2

52

3)2( 23)2(

1

0

35

1

0

241

1-

24

=

=

+−

=

+−=

+−=

+−=+− ∫∫

xxx

xdxxxdxx

:مثال ∫ :أوجد ناتج التكامل التالي

4

4--

63 tansin

π

π

xdxx.

:الحل xxxf: نالحظ أن الدالة 63 tansin)( : فردية ألن=

( ) ( ) )(tansintansin)( 6363 xfxxxxxf −=−=−−=− .المحدوديكون الناتج مساويا للصفر حسب قواعد األساسية للتكامل

Copyright © 2010.



422

:امل التاليالتك أحسب قيمة -1xx

dx42

4

6

cossin∫π

π

.

:الحل xu :نفرض أن tan=منها نحصل على :

xxx

dx

xx

dx

xx

dx42

24

6

42

4

6

42

4

6

costancos

cossincossin ∫∫∫ ==

π

π

π

π

π

π

xولكن x

22

tan1cos

1) وكذلك =+ )

xx

2

'

cos

1tan : ومنها نحصل على=

( )

27

38

3

4

32

1

21

11

cossin

1

3

1

3

22

1

3

1

222

1

3

142

4

6

+=

++−=

++=

+=

∫

∫∫

uu

u

duuu

duuuxx

dxπ

π

:التكامل التالي أحسب قيمة -2 x

xdxI

sin1

sin2

0 += ∫

π

.

:الحل tx :نجري التحويل التالي 1tan2 أي أن=−

2tan2

xt مالحظين نعوض في التكامل=

22

2

1

2

2tan1

2tan2

2cos

2tan2

2cos

2tan2sin

t

tx

xxxxx

x+

=+

:نحصل علىتعويض في التكامل الب ===

?

Copyright © 2010.



423

( ) ( )dttt

t

dtt

t

tt

t

I

22

1

0

2

2

21

0

11

4

1

2

1

21

1

2

++=

+×

++

+=

∫

∫

: لذلك نفرق الكسراواضح إن التكامل أصبح كسر

( ) ( ) ( ) ( ) 2222 11111

4

t

C

t

B

t

A

tt

t

++

++

+=

++

:بعد إجراء الحسابات نحصل على قيم للثوابت على النحو التالي0,2,2,0 ==−== CDBA؛

:كما أن

( )

12

1

2tan2

1

2

1

2

1

0

1

22

1

0

−=

++=

+−

+=

−

∫

πt

t

dttt

I

:التكامل التالي أحسب قيمة -3

x

x

e

dxe2

1

0 1 +∫.

:الحل :نحول التكامل إلي الشكل التالي

( )( )

dxe

e

e

dxex

x

x

x

2

'1

02

1

0 11 +=

+ ∫∫

xeu :رض أن نف dxeduنفاضل الطرفين نحصل على = x= :ض في التكامليعوبالتمنها

4tan

tan11

1

1

12

12

1

0

π−=

=+

=+

−

−∫∫

e

uu

du

e

dxe ee

x

x

Copyright © 2010.



424

dx :التكامل التالي أحسب قيمة -4 xx

xx

sincos

cossin 22

0 +∫π

.

:الحل عالقة وبأخذ الxf)(سنرمز لدالة ما تحت التكامل بـ

( ) 1sincoscossin2 2 −+= xxxx االعتبار نجد أن بعين: ( )[ ]

( )

( ) ( )

( )xx

xx

xx

xxxx

xx

xxxxf

sincos2

sin

4

1

4

2cos

4

2sin

sincos2

sinsincossin

2

1

sincos2

sin1sincos)(

2

2

+−+−=

+−+=

+−+

=

:ض في التكامل نحصل علىيعوبالت و

( )

( )4

1sincosln

4

1

8

2sin

8

2cos

sincos2

sin

4

1

4

2cos

4

2sin

sincos

cossin

2

0

2

0

22

0

=++−−

=

+

−+−=+ ∫∫

π

ππ

xxxx

dxxx

xxdx

xx

xx

dx :التكامل التاليأحسب قيمة -5xx

xxx

23

322

234

3 +−+−−

∫.

:الحل :بقسمة البسط على المقام يكون لدينا التكامل التالي

( )( )

3

4

2

9

1

2

2

1

1

2

11

21

11

23

32

4

3

4

3

2

4

3

4

32

234

3

Lnx

xLnx

x

dxxx

x

dxxx

xdxxx

xxx

+=−−

++=

−−

−++=

−−++=

+−+−−

∫

∫∫

Copyright © 2010.



425

:التكامل التالي أحسب قيمة -6 ( )

dxx

xx22

31

0 2

1

+

++∫.

:الحل باستخدام تفريق الكسور نوجد

( ) ( )22222

3

222

1

+

++

++

=+

++

x

DCx

x

BAx

x

xx نوجد قيمة الثوابت

1,0,1,1 ===−= CDBA

( ) ( ) 2122

1

02

1

022

31

0 22

1

2

1IIdx

x

xdx

x

xdx

x

xx+=

++

++−

=+

++∫∫∫

: كالتالي1Iنوجد قيمة

( )

( )

243

2

2

1

042

1

3

2

2

1

0tan2

1

2

1tan

2

12

2

13

2

1

2tan

2

12

2

1

2

1

2

11

1

0

11

0

2

2

1

02

1

0

1

π

π

+=

−+=

−++−=

++−=

++

+−

=

−−

−

∫∫

Ln

Ln

LnLn

xxLn

dxx

dxx

xI

: كالتالي2I ثم نوجد قيمة

( ) ( )dx

x

xdx

x

x22

1

022

1

0 2

2

2

1

2 +=

+∫∫

: نستخدم طريقة التعويض كالتالي22 :نفرض أن += xuبتفاضل الطرفين نحصل على dxxdu 2=: :عندما

3,1

2,0

====

ux

ux

: نحصل على 2Iبالتعويض في التكامل

( ) 12

1

4

1

6

1

2

1

2

1

2

2

2

13

22

3

222

1

0

2 =+−===+

= ∫∫ uu

dudx

x

xI

:بذلك تكون قيمة التكامل على الشكل التالي

( ) 12

1

243

2

2

1

2

122

31

0

++=+

++∫

πLndx

x

xx

Copyright © 2010.



426

:التكامل التاليأحسب قيمة -7xx

dxI

sincos35

2

0 ++= ∫

π

.

:الحل tu :تكامل بالتعويض مفترضينالنجري 1tan أي أن=−

2tan

xt : فنجد أن=

21 t

dtdx

+=,

2

2

1

1cos

t

tx

+−

=, 21

2sin

t

tx

+=

:بالتعويض نجد

−=

+=

++

=++

=

++

++−

+=

++=

−−

−

∫∫

∫∫

15

1tan

15

3tan

15

2

15

12tan

15

2

2

1

4

154

1

2

1

2

1

135

1

sincos35

11

1

0

1

2

1

02

1

0

2

22

2

1

0

2

0

t

t

dt

tt

dt

dtt

t

t

t

txx

dxI

π

dx :التكامل التالي أحسب قيمة -8 x

x

1

13

41

0 ++

∫.

:الحل نجد أن القسمة المطولةباستخدام

1

13

4

++

x

x تساوي1

1

1

133

4

+−

+=++

x

xx

x

x: بذلك يكون التكامل :على الشكل التالي

( )213

1

0

1

03

41

0 1

1

1

1IIdx

x

xdxxdx

x

x+=

+−

+=++

∫∫∫

:1Iنوجد

2

1

2

1

0

21

0

==∫x

dxx

: باستخدام تفريق الكسر2Iثم نوجد

( )( ) 111

1

1

1223 +−

++

+=

+−+−

=+

−xx

CBx

x

A

xxxx

x

x

x

:قيم للثوابت على النحو التاليبعد إجراء الحسابات نحصل على

Copyright © 2010.



427

3

1,

3

2,

3

2=−== CBA

( )

( ) ( ) ( )23

21

3

11

3

2

1

12

3

1

13

2

1

1

1

0

21

0

2

1

0

1

03

1

0

2

LnxxLnxLn

dxxx

x

x

dxdx

x

xI

=+−−+=

+−−

−+

=+

−= ∫∫∫

):بذلك تكون قيمة التكامل هي )23

2

2

121 LnIII +=+=

dx: أحسب قيمة التكامل التالي-9

xx

x

107

522

6

4 +−+

؟∫

: الحل1072نعلم بان +− xx 1072)2)(5( : بذلك نحصل على −−=+− xxxx

:صبح الكسر على الشكل التالي بذلك ي

52)5)(2(

52

−+

−=

−−+

x

B

x

A

xx

x

:منها يكون لدينا

)2()5(32 −+−=+ xBxAx B وAنوجد قيمة كال من

:منها يكون التكامل على النحو التالي B=1 وA=−1 من المعادلة السابقة تكون قيمة

2

1ln

2

5ln

52107

526

4

6

4

6

42

6

4

=−−

=−

+−

−=+−

+∫∫∫ x

x

x

dx

x

dxdx

xx

x

Copyright © 2010.



428

Applications of Integrals وإيجاد والهندسية د يعتبر أداة فعالة في حل بعض المسائل الفيزيائيةوالتكامل المحد

.المنحنيات هي إحدى تلك المسائل بينالمساحة المحصورة

Area Between Curves:المساحة بين منحنين .1

إذا كان لدينا منطقة محصورة بين منحنين فإننا نحدد المنطقة المغلقة لهذين المنحنين ثم :ة للمنحنين كما موضح في األمثلة التاليةالتقاطع بالنسب نوجد نقاط

:مثال :التاليين المنحنينأوجد المساحة المحصورة بين

26,01 xxyxy 1,3 والمستقيمين ++==− == xx.

:الحل

: من رسم المنحنين ونقاط تقاطعهما يكون لدينا

x

26 xxy −=

1=x

3=x

01 =++ xy

A

y

Copyright © 2010.



429

( )

unitsquare

xxxxdxxAdA

xdxxAd

xdxxxAd

xxyxy

3

64

3

11

2

793

2

63

3

1

2

7)17(

)17(

))1(()6(

6,01

3

1

323

1

23

1

2

2

2

=

−+−

−+=

−+=−+==∴

−+=∴

+−−−=∴

−==++

∫∫

Q

:مثال :آلتيةأوجد المساحة المحددة بالمعادالت الثالث ا

02672,02625,02353 =+−=−−=−+ yxyxyx :الحل

هذه المستقيمات تقاطع نقاط خط مستقيم نوجدتجميع هذه المعادالت تمثل معادال .الثالثة

)4,1(,)6,8(,)1,6( ونقاط التقاطع هي

]نقسم الفترة ] إلى فترتين 8,1[ ] و6,1[ فترة لدينا سطح محصور بين وفي كل 8,6[

21 : منحنين AdAdAd +=∴

21 AdAdA ∫+∫=

02672 =+− yx 2A

02353 =−+ yx

02625 =−− yx

•

•

•

)4,1(

)6,8(

)1,6(

x

y

1A

Copyright © 2010.



430

[ ] [ ]

xdxxxdxx

dxyyxdyyAdAdAd

−−++

+−−+=

−+−=+=

)265(2

1)262(

7

1)233(

5

1)262(

7

1321221

dx14

234

14

31xdx

35

31

35

31xA

8

6

6

1

−

−+

−=∴ ∫∫

( )

( )

( ) unitsquare

xx

xx

xdxxdxA

5.1314

189

14

34

14

155846880

14

1

2

25

35

31

)6(2342

6318234

2

831141

2

16

2

36

35

31

2342

3114

1

235

31

) 234 31- (14

1)1(

35

31

23

8

6

26

1

2

8

6

6

1

==+=−+

=

+−

+−+

−−

−=

+

−+

−=

−+−=∴ ∫∫

:مثال,,0,2 أوجد المساحة المحصورة بالمنحنيات 2 ===−= − xxeyey xx.

:الحل xdeeAd :م نحدد حدود التكاملنرسم أوال ث xx )( 2 +=∴ −

unisquareeeee

eexdeeA xxxx

2424

2

0

222

0

)1(2

1

2

1

2

1

2

1)(

++−=

−

+

−=

+−=+=

−−

−−∫

y

0=x

xd

2=xxey 2−=

x

xey −=

Copyright © 2010.



431

:مثال2xy أوجد المساحة المحصورة بين المنحنين xyو = =. :الحل 20,1: نوجد تقاطع المنحنين xxxx =⇐==

( )3

1

3

1

2

31

32

3

1

0

32

3

21

0

=−=−=−∫xx

dxxx

:Volumes of Revolution ة الدورانيمجسماتالحجوم .2

. نحصل على سطح دورانيxy مستوي من x محورال منحنى مستوي حول تم دورانإذا وإليجاد ،حول محور معين ة من دوران مساحة مستويالناتجنحصل على المجسم وبمعنى أخر =bx و =ax النقطتين بين x0بفرض أن محور الدوران سمات من هذه المجحجم مجسم .dxوطولها yعبارة عن تجمع مجموع أقراص اسطوانية قطرهانالحظ أنه

xdyπxdAvdyπA 22 ==→= xdyπVمنها نحصل على و

b

a

2∫=∴

( ) ( )∫∫∫ ===∴b

a

b

a

b

a

xdxfπx dxfxdyπV 222 )()(π

xd

Copyright © 2010.



432

:مثال)(1الناتج من دوران الدالة أوجد الحجم 2 += xxf حول المحورx 1من−=x إلى 1=x. :الحل

( ) xdxxdxf πV 221

1

21

1

)1()( +==∴ ∫∫−−

π

unitcubic

xxx

xdxxV

π

ππ

π

ππ

15

56

15

302062

3

4

5

2

13

2

5

11

3

2

5

1

3

2

5)12(

1

1

35

2241

1

=

++

=

++=

−−−−

++=

++=++=

−−∫

:ثالم أوجد حجم نصف كرة باستخدام طريقة المجسمات الدورانية والناتج من دوران ربع دائرة

.xمحور حول :الحل

222 xry −=Q

y xdyπvd 2=

xdx rπxdyπVrr

)( 22

0

2

0

−==∴ ∫∫

y

xd 1 x 1−

1

x r

222 rxy =+

y

xd

Copyright © 2010.



433

a b x

y

r

xxr0

33

3

1.V

−= π

unitcubicrrr 333

3

2)0()

3

1(

ππ =

−−=

:مثالمعادلة القطع x0 المتولد من دوران القطع الناقص حول ألدورانيالمجسم حجم احسب

1هي الناقص2

2

2

2

=+b

y

a

x. :الحل

xdyπVنعوض في المعادلة a

a

2∫−

:نحصل علىف yعن قيمة =

( )

unitcubicab

dxxaa

bxdyπV

a

a

a

a

3

4

2

2

222

22

π

π

=

−== ∫∫−−

Arc Length Surface Area:من منحنىطول قوس حساب .3

يؤولمنحنى هو نهاية طول مضلع مرسوم داخل هذا القوس عندما أي قوس من الطول .عدد أضالعه إلى الالنهاية

dxxfSb

a∫ += 2)('1

Copyright © 2010.



434

: يصبح الطول على النحو التاليةسيطي المنحني بمعادالت وأعطيوفي حال

dtyxSt

t∫ +=2

1

22 ''

:مثال)sin(احسب طول المنحنى ttax )cos( و=− ttax ]في المجال =− ]π2,0.

:الحل ')cos1( :بتفاضل المنحني نحصل على tax tay و=− sin' =

:وبالتعويض في قانون المسافة بين نقطتين نحصل على)

2

1sin(2)cos1(2'' 222 atayx =−=+

:بذلك يكون لدينا

unitcubicata

dttaS

8)2

1cos(22

)2

1sin(2

2

0

2

0

=

−=

= ∫π

π

Main Theorem in Integral:دو التكامل المحدفينظرية القيمة الوسطى .4] المستمرة في الفترة xf)( الدالة لتكن ]ba, عندئذ نجد إن هناك قيمة [ ]baC بحيث ∋, :يكون

)()()( Cfabdxxfb

a

−=∫

] في المجال xf)( بالقيمة الوسطى للدالة Cf)(نسمي القيمة ]ba,. :مثالdxx :حقق نظرية القيمة الوسطى للتكامل التالي 2

1

1∫−

.

:الحل :حسب النظرية السابقة يكون لدينا

221

1

2)(2 CCfdxx ==∫−

Copyright © 2010.



435

3

2

3

1

3

1

3

1

1

32

1

1

=+==−−

∫x

dxx

:إذا 3

12

3

2 22 =⇒= cc منها يكون لدينا :

3

1±=c القيمتان مقبولتان ألنهما داخل الفترة.

:مثال :حقق نظرية القيمة الوسطى للتكامل التالي

dxx31

1∫−.

:الحل :حسب نظرية القيمة الوسطى يكون

( )Cfx

dxx 204

1

1

43

1

1

===−−

∫ :واضح أن

( ) 3220 CCf == :وهذا يؤدى إلى

[ ]1,10 −∈=C

Copyright © 2010.



436

Improper Integrals

dxxfسبق وعرفنا في فقرة سابقة التكامل المحدود b

a

دالة معرفة ومستمرة f حيث ∫)(

] المغلقفترةعلى ال ]ba ستكون محدودة على هذا f وبينا أنه إذا وجد هذا التكامل فإن الدالة , .المجال معرفة fتعميم مفهوم التكامل المحدود إلى الحالة التي تكون فيها الدالة بسنقوم اآلن

] :على احد المجاالت التالية )∞,a أو( ]b,∞− أو ( )∞∞− وسنسمى التكامل في هذه , :وتكون على الشكل التالي أو معمم من النوع األول معتالالحالة تكامال

f محدودة ولكن الدالة فتراتأما التكامالت المعتلة من النوع الثاني فهي تكامالت على ] المكاملة الفترةتعاني من نقطة واحدة على األقل داخل ]ba ,.

وفي هذا المقرر سنقصر دراستنا على النوع األول ألهميته الكبيرة أثناء دراسة .تحويالت ال بالس وتحويالت فورييه

:مثالننا نهتم بحساب مساحة المنطقة المحصورة بمنحني الدالة إلنفرض

2

1

xy ومحور =

x=1السينات الواقعة على يمين المستقيم :الحل dxن هذه المساحة تعطى بالتكامل إ

xS

21

1∫∞

=

: الشكل التاليىفي الواقع يمكن حساب هذه المساحة عل

111

1111

12

1

=

+

−=

+

−=

−

==∞→∞→∞→∞→ ∫ t

Limtt

Limtx

Limtdxx

LimtStt

t

t

t

t

1

Copyright © 2010.



437

Improper Integral :تعريف التكامل المعتل ] معرفة ومستمرة على المجالxf)(بفرض أن الدالة )∞,aعندها نقول أن التكامل

dxxfa

)(∫∞

dxxf إذا وجد التكامل ا ويكون متقارب معتالt

a

]لكل ∫)( )∞∈ ,at وعندها

dxxfLimtdxxf :نكتب t

at

a

)()( ∫∫ ∞→

∞

dxxfل مشابه نعرف التكامل المعتل وبشك=b

)(∫∞−

dxxfLimtdxxf ونقول أنه متقارب إذا وجدت النهايةb

tt

b

)()( ∫∫ −∞→∞

) لكل = ]bt ,∞−∈.

dxxf وأخيرا نعرف التكامل المعتل )(∫∞

∞−

ن ونقول أنه متقارب إذا كان التكامليي

dxxfالمعتلين التالين متقاربين a

)(∫∞

dxxf وa

)(∫∞−

ونكتب ذلك في هذه الحالة على الشكل

dxxfLimtdxxfLimtdxxf :التاليt

at

a

tt

)()()( ∫∫∫ ∞→−∞→

∞

∞−

+=

.Rأي نقطة من aحيث :مثالdx كان التكامل المعتلما حدد إذا

xS

1

1∫∞

. متقاربا أم ال=

:الحل :وبالتالي يكون لدينا a=1 المعتل من النوع األول حيث التكاملهذا ن إ


( ) 11)(

1

1

1

−∞=−=

=

∞→

∞→ ∫t

t

t

t

tLnLimt

dxx

LimtS

إذا النهاية غير موجودة والتكامل متباعد1

xxf

1)( =

Copyright © 2010.



438

:مثالdx التي تجعل التكامل المعتل Pأوجد قيمة

xS

P

1

1∫∞

. متقاربا=

:الحل dxالحظ في المثالين السابقين أن

x

1

1∫∞

dxمتباعد وأن x

S2

1

1∫∞

.متقارب = : منجد حسب التعريف P≠1 :لذلك سنفرض اآلن أن

−

−=

+−==

−∞→

+−

∞→∞→

∞

∫∫

11

1

1

1

1

1

1

1

11

pt

tp

t

t

tP

tLimt

P

P

xLimt

x

dxLimtdx

xS

:نميز الحالتين 01 فإن P<1عندما ) 1 >−P 0 :وبالتالي

11

=−∞→ pt tLimt بذلك يكون لدينا:


1

11

1 −=∫

∞

∞→ pdx

xLimt

pt P<1 عندما

.والتكامل متقارب في هذه الحالة 01 فإنP>1عندما ) 2 <−P وبالتالي: ∞=−∞→ 1

1pt t

Limt والتكامل المعتل متباعد في هذه .الحالة

:نتيجة dxالتكامل المعتل

x p

1

1∫∞

.P≥1 ومتباعد عندما P<1متقارب عندما

: Theoremمبرهنة

] دالة معرفة ومستمرة على المجال fلتكن )∞,a وتأخذ فيIR الموجبة عندئذdxxfالتكامل المعتل

a

)(∫∞

: بحيث يكونM يتقارب إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي موجب

Mdxxft

a

≤∫ ] وذلك مهما تكن )( )∞∈ ,at

Copyright © 2010.



439

A comparison test : اختبار المقارنة] معرفتان ومستمرتان على المجال g وfن بفرض أن الدالتي )∞,a ولنفرض أن

)()( xfxg ≤ ،[ )∞∈∀ ,ax عندئذ: dxxfإذا كان التكامل -1

a

)(∫∞

dxxg متقاربا فإن التكامل a

)(∫∞

.ارب متق

dxxgإذا كان التكامل -2a

)(∫∞

dxxg فإن التكامل متباعدا a

)(∫∞

.متباعد

:مثالdxe التكامل المعتلبين أن x2

0

−∞

. متقارب∫

:الحل :حسب خواص التكامل نستطيع أن نكتب

dxedxedxe xxx 222

1

1

00

−∞

−−∞

∫∫∫ +=

dxeأما بالنسبة للتكامل الثاني ، منتهيةن التكامل األول هو تكامل محدود قيمتهإ x2

1

−∞

∫

]فإنه )∞∈ ,1x 2فإنxx xx: وبالتالي> ee −− < : ولدينا2

( ) ( ) 11

1

11

2

−−−

∞→

−

∞→

−

∞→

−∞

=−=−=

= ∫∫

eeeLimteLimt

dxeLimtdxe

x

x

xx

x

xx

x

x

.حسب نظرية المقاربة

Theorem

] دالة معرفة ومستمرة على المجال fلتكن )∞,a وتأخذ فيIRالموجبة dxxfعتلعندئذ التكامل الم

a

)(∫∞

: يتقارب إذا وفقط إذا تحقق الشرط التالي

[ ) εε <⇒∞<<≤∞∈∃>∀ ∫v

u

dxxfvuca )(,,:0

Copyright © 2010.



440

:كامالت المعتلة التالية متقاربة باستخدام اختبار المقارنة بين أي من الت-1

dxx

xdx

exdx

x

xx

++ ∫∫∫

∞∞∞ 1.3

1.2

sin.1

12

12

2

1

:الحل 1sinنعلم أن. 1 ≤x1 وبالتالي يكونsin 2 ≤x ومنها

22

2 1sin

xx

x وقد وجدنا أن التكامل المعتل ≥

dxx 2

1

1∫dxمتقارب وبالتالي فإن التكامل المعتل ∞

x

x2

2

1

sin∫ متقارب حسب اختبار ∞

.ةالمقارنxexنعلم أن. 2 ] لكل ≥ )∞∈ ,1x وبالتالي يكون: ( ) xx eex 222 فإن x≤1وبما أن >=

xex x +<وبالتالي يكون 22

22

11

xex x<

+dxوبما أن التكامل المعتل x≤1حيث

x 21

1∫∞

dxوبالتالي فإن التكامل المعتل التكامل المعتل متقارب وبالتالي فإنex x2

1

1

+∫∞

متقارب

.ةحسب اختبار المقارنيمكن بسهولة إثبات أن . 3

xx

x 11>

] عندما + )∞∈ ,1x ونعلم من مثال سابق أن التكامل

] عندما )∞∈ ,1x ونعلم من مثال سابق أن التكامل dxx P

1

1∫ P≥1 متباعد من أجل∞

dxوبتطبيق اختبار المقارنة نجد أن x

x+∫∞ 1

1

. متباعد

:لتكامل المعتل التالي متقاربا التي تجعل اPأوجد قيم -2 ( )

dxLnxx p

1

1∫∞

.

:الحل :نميز حالتين :وبالتالي يكون P=1 عندما.1

?

Copyright © 2010.



441

( ) ( ) dxLnxx

LimtdxLnxx e

te

11∫∫∞

∞→

∞

=

)نفرض أن ) uxLn du : فيكون =x

dx=:

exعندما txعندما و u=1فإن = Lntuفإن = : إذا =( ) ∞=−==

∞→∞→∞→ ∫ 0)(

1LntLnLimtLnuLimt

u

duLimt

t

tLn

t

t

et

: وبالتالي يكون P≠1 عندما.2

( )( )

( )[ ]1)(1

1

1

11

1

)(

1

1)(

1

−+−

=

+−==

+−

+−

∞→ ∫∫p

tLnpp

tLn

tp

t

e

tLnp

upu

duLimtdx

xLnx

:t→∞ولنحسب هذه النهاية عندما : يكون P<1عندما -أ

( )( ) 1

11

−=∫∞→ p

dxxLnx

Limtp

t

et

. والتكامل متقارب

: يكون P>1 عندما -ب ( )( )

∞=∫∞→dx

xLnxLimt

p

t

et

. والتكامل متباعد1

:مالحظة .يمكن استخدام معيار المقارنة لحل هذا المثال

dxex قيمة التكامل المعتل احسب-3 xn −∞

∫0

.n=3,2,1,0 لكل

:الحل 0101! :فإن n=0عندما

00

=×==−=∞−−

∞

∫ xx edxe

1101! :فإن n=1عندما 0

00

=×==+−= −∞

∞−−∞

∫∫ dxeexdxxe xxx

:فإن n=2عندما !2202

00

22

0

=+=+−= −∞

∞−−∞

∫∫ dxxeexdxex xxx

Copyright © 2010.



442

:فإن n=3عندما

!323030

0

33

0

=×+=+−= −∞

∞−−∞

∫∫ dxxeexdxex xxx

! :نتيجة 0

ndxex xn =−∞

∫

∫dxx التكامل المعتل بين أن -4 ∞

∞−

∫=0متباعد وأن −

∞→dxxLimt

t

tt

ماذا تستنتج؟

:الحل :واضح أن

∞+−∞=

=+

−==

+=

+=

∞→−∞→

∞→−∞→

∞−∞−

∞

∞−

∫∫

∫∫∫

22

22

0

0

00

tLimt

tLimt

dxxLimtdxxLimt

dxxdxxdxx

tt

t

tt

t

. والنهاية عدم تعين أي غير موجودة :الحظ أن

x 0 دالة فردية وبالتالي=∫−

dxxa

a

: مما سبق نجد أن

0== ∫∫−

∞→

∞

∞−

dxxLimtdxxt

tt

.أي أن العالقة ليس متفقة دائما

Copyright © 2010.



443

Integrals Definitions: Definite Integral : Suppose )(xf is continuous on [ ]ba, . Divide [ ]ba, into n subintervals of width x∆ and choose ix from each interval.Then:

xxfLimtdxxfn

ii

n

b

a

∆= ∑∫=

∗

∞→)()(

1 Anti –Derivative function: An anti –derivative of )(xf is a function )(xF , such that

)()(' xfxF = .

Indefinite Integral :

CxFdxxf +=∫ )()( , where )(xF is an anti – derivative of

)(xf . Fundamental Theorem of Calculus: Part I: If )(xf is continuous on [ ]ba, and

)()()(' xfdttfdxd

xgx

a

== ∫ .

Part II: If )(xf is continuous on [ ]ba, , )(xF is an anti – derivative of )(xf Then :

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

−==∫

Variants of part I:

[ ])()(')()(

xufxudttfdxd xu

a

=∫

[ ])()(')()(

xvfxvdttfdxd b

xv

=∫ [ ] [ ])()(')()(')(

)(

)(

xvfxvxufxudttfdxd xu

xv

=∫ Properties:

( ) dxxfCdxxCfb

a

b

a∫∫ =− )(1

C is constant

)()()()(2 aFbFxFdxxfb

a

b

a

−==− ∫

( ) 03 =− ∫ dxxfa

a

Summary

Copyright © 2010.



444

( )[ ] ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

a

a∫∫∫ ±=±− )(4

( ) dxxfdxxfa

b

b

a∫∫ −=− )(5

( ( ) ( ) ( ) dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

a

a∫∫∫ +=−7

) bca ≤≤

( ) ( ) dxxfdxxfa

a

a

a∫∫ ≤−8

[ ] ( ) ( ) dxxgdxxfbaxxgxfa

a

a

a∫∫ ≥⇒∈⇒≥− ,,)()(9

If ( ) 0≥xf on bxa ≤≤ Then ( ) 0≥∫ dxxf

a

a

If ( ) Mxfm ≥≤ on bxa ≤≤ Then ( ) ( ) ( )abMdxxfabma

a

−≤≤− ∫

If ( ) )(xgxf ≥ on bxa ≤≤ Then ( ) dxxgdxxfb

a

a

a∫∫ ≥ )(

Common Integrals: CKxKdx +=− ∫1 CK , are constants

1,1

12 1 −≠+

+=− +∫ nCx

ndxx nn

1,1

13 1 ≠+

+−=− +−−∫ nCx

ndxx nn

CbaxLnabax

dx++=

+− ∫

14

Cxqp

qCx

q

pdxx qp

q

q

p

q

p

++

=++

=− ++

∫1

1

15

Trigonometric Functions:

is functions on x u Cuduu +−=− ∫ cossin1

Cuduu +=− ∫ sincos2

CuLnduu +=− ∫ sectan3 CuLnduu +=− ∫ sincot4

CuuLnduu ++=− ∫ tansecsec5

Copyright © 2010.



445

CuuLnduu +−=− ∫ cotcsccsc6 Cuduuu +=− ∫ sectansec7

Cuduuu +−=− ∫ csccotcsc8

Cuduu +=− ∫ tansec9 2

Cuduu +−=− ∫ cotcsc10 2

( ) CuuLnuuduu +++=− ∫ tansectansec

2

1sec11 3

( ) CuuLnuduu +−+−=− ∫ cotcsccsc

2

1csc12 3

Inverse Functions:

Is function on x u Cuuuduu +−+=− −−∫ 211 1sinsin1

Cuuuduu +−−=− −−∫ 211 1coscos2

( ) CuLnuuduu ++−=− −−∫ 211 12

1tantan3

Cau

ua

du+

=

−− −∫ 1

22sin4

Ca

u

aauu

du+

=

−− −∫ 1

22sec

15

Cau

auadu

+

=

+− −∫ 1

22tan

16

Cauau

Lnaua

du+

−+

=−

− ∫ 21

722

CuauLna

uau

duua +−++−=−− ∫ 222

2222

228

CauuLna

auu

duau +−+−−=−− ∫ 222

2222

229

Ca

uaua

uduua +

+−=−− −∫ 1

22222 sin

2210

Ca

uaauau

auduuau +

−

+−−

=−− −∫ 12

22 cos2

22

211

Copyright © 2010.



446

Hyperbolic functions:

x Cuduu دالة فيuحيث +=− ∫ coshsinh1 Cuduu +=− ∫ sinhcosh2

( ) CuLnduu +=− ∫ cothtanh3 Cuhu +=− −∫ sinhtansec4 1

Chu +=− ∫ csc5 Chuuhu +−=− ∫ sectanhsec6

Chuuhu +−=− ∫ csccothcsc7

Cuduuh +=− ∫ tansec8 2

Cuduuh +−=− ∫ cothcsc9 2

Standard Integration Techniques: U- Substitution The substitution )(xgu = will convert

duufdxxgxgfbg

ag

b

a

)()('))(()(

)(∫∫ =

Using dxxgdu )('= .

Integration by parts :

duvuvudv ∫∫ −= and

duvuvdvub

a

b

a

b

a∫∫ −= .

Choose u and dv from integral and compute du by differentiating u and compute

v using vdv =∫ .

Products and (some) Quotients of Trig Functions For dxxx mn∫ cossin we have

the following: 1.

n odd : Strip 1 sine out and convert rest to cosines using x22 cos1sin −= , Then use the substitution ux =cos .

2. m odd : strip 2 cosine out and convert rest to sines using xx 22 sin1cos −= , the use the substitution ux =sin .

3. n and m both odd : use either 1 or 2. 4.

n and m both even :use double angle or half angle formulas to reduce the integral into a form that can be integrated.

Copyright © 2010.



447

Formulas: 1cossin1 22 =+− θθ

θθ 22 csccot12 =+− ( ) θθθ cossin22sin3 =−

( ) θθθθθ 2222 sincos1cos2sin212cos4 −=−=−=−

For dxxx mn∫ sectan we have the following :

1.

n odd : Strip 1 tangent and 1 secant out and convert the rest to secants using 1sectan 22 −= x , Then use the substitution xu sec= .

2. m even : strip 2 secants out and convert rest to tangents using xx 22 tan1sec += , then use the substitution xu tan= .

3. n and m both even: use either 1 or 2. 4. n even and m odd :Each integral will be dealt with differently.

Trig Substitutions: If the integral contains the following root use the given substitution and formula to convert into an integral functions.

θθθ 22222 sin1cossin1 −==⇒−− andb

axxba

1sectansec2 22222 −==⇒−− θθθ andb

axaxb

θθθ 22222 tan1sectan3 +==⇒+− andba

xxba

Partial Fractions:

To integrate dxxqxp

∫ )()( where the degree of )(xp is smaller than the degree of

)(xq . Factor denominator as completely as possible and find the partial fraction decomposition of the rational expression. Integrate the partial fraction decomposition (P.F.D) for each factor in the denominator. we get term(s) in the decomposition according to the following table:

Factor )(xq Term in (P.F.D)

bax+ bax

A

+ cbxax ++2

cbxax

BAx

+++

2

Copyright © 2010.



448

( )kbax+ ( ) ( )kk

bax

A

bax

A

bax

A

+++

++

+.........

221

( )kcbxax ++2 ( ) ( )k

kk

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

++

+++

++

++

+++

222.......

22211

Net Area:

dxxfb

a∫ )( represents the net area between )(xf and the x-axis with area above x-

axis is positive and area below x-axis is negative.

+

-

Area Between curves: The general formulas for the two main cases for each are ,

[ ] [ ] dxionlowerfunctionupperfunctAxfyb

a

−=⇒= ∫)( & ⇒= )(yfx

[ ] [ ] dyonleftfunctiionrightfunctAd

c

−= ∫

If the curves intersect then the era of each portion must be found individually. Here are Some sketches of a couple possible situations and formulas for couple of possible cases:

)(xf

)(yg )( yf

a b

[ ] dxxgxfA

b

a

)()( −= ∫ [ ] dyygyfAd

c

)()( −= ∫

Copyright © 2010.



449

)(xf

)(xg

a c b [ ] [ ] dxxfxgdxxgxfA

b

c

c

a

)()()()( −+−= ∫∫

Volumes of Revolution: The two main formulas are:

dyyAVanddxxAV ∫∫ == )()(

Arc length surface Area: The three basic formulas are:

)(2, oxtrotateaboudsySAdsL

b

c

b

a

π∫∫ ==

)(2 oytrotateaboudsxSAb

c

π∫= Where ds is dependent upon the form of the function being worked with as follows:

bxaxfyifdxyds ≤≤=+= )('1 2 byayfxifdy

dy

dxds ≤≤=

+= )(1

2

btatgytfxifdxxyds tt ≤≤==+= )()('' 22

bafrifdd

drrds ≤≤=

+= θθθ

θ)(

22

Improper Integral : An integral is an integral with one or two infinite limits. Infinite Limit :

dxxfLimtdxxft

at

a

)()(.1 ∫∫ ∞→

∞

=

Copyright © 2010.



450

dxxfLimtdxxfb

tt

b

)()(.2 ∫∫ −∞→∞

= Provided both integrals are convergen dxxfLimtdxxfLimtdxxf

t

at

a

tt

)()()(.3 ∫∫∫ ∞→−∞→

∞

∞−

+=

Comparison Test for Improper Integrals : Then , On [ )∞,a If )()( xfxg ≤ Con v. 1. If dxxf

a

)(∫∞

con v , Then dxxga

)(∫∞

Divg. 2. If dxxga

)(∫∞

divg, Then dxxfa

)(∫∞

0>a Then : Useful fact :If And diverges for 1≤p 0>p Converges if dx

x Pa

1∫∞

********************

Copyright © 2010.



451

د للدوال وص التكامل غير المحد باستخدام التعريف و خصائالتكامالت التاليةأوجد -1

É:التالية ∫ −− dxxx )cos3sin2(2 ∫

+− dx

xx2

3

sin

1sin1

∫ +− dxxx 216 ∫− dxxx)ln(

5 ∫ +−

2414

xdx

∫ −−

2549

xdx ∫ +− dxxx 218 ∫ −− dxx217

∫− xdxx ln12 5 ∫ +−

4111

xxdx ∫ +

−x

x

edxe

110

∫− xdxxx cossin15 ∫− xdxx sin14 2 ∫− dxex x313 ∫− dxex x218 ∫− xdxeax cos17 ∫ +

+− dx

xxx

cos1

sin16

É :تالية باستخدام طريقة التعويض للدوال الالتكامالت التاليةأحسب -2( )21 xu += ∫ +− dxx 122 ( )21 xu += ∫ +− dxxx 5211

( )xu 5cos=dxxx∫− 5sin5cos4 ( )24 += xu ( )∫ +− dxxx 2cos3 43 ( )13 += xu ∫ +− dxxx 16 32 ( )24 xu += ( )∫ +− dxxx

10245 ( )xu 21+=

( )∫ +− dx

x 321

48 ( )xu = ∫− dx

x

xsin7

É : للدوال التاليةيء بطريقة التجزالتكامالت التاليةأحسب -3∫− dxLnxx 23 ∫− dxex x32 ∫− dxxLnx1 ∫− dxxxLn 26 ∫− dxxx 2cos5 dxxx∫− sin4

É : للدوال التاليةالتجزيء بطريقة التكامالت التاليةأحسب -4

( )( )∫ −+−

− dxxx

x231

12 ( )( )∫ +−

+− dx

xx

x

11

121

( )( ) dxxxx

x∫ +−−

−−

451

24

2 ( )( )( )∫ +−−

+−− dx

xxx

xx

135

13

2

Copyright © 2010.



452

É : للدوال التاليةالتجزيء بطريقة التكامالت التاليةوجد قيمة أ -5

∫ +−−

452

24

5

xxdxx 51 << x 11 <<− x ∫ −

−)1(

12 xx

dx

11 <<− x ∫ +−++−

)1)(1(4

22 xxxxdx ∫ ++

−−

32

123

2 xxx 32 <<− x

∫ −+

− dxxx

32

4

)1(

16 63 <<− x 10 << x∫ −−

++− dx

xxxxx

)2)(1(

15

4

É : للدوال التاليةالتكامالت التاليةأوجد قيمة -6dxxx∫ −+−

3

1

2 323 dxx∫−

2

0

tan2

π

dxxe x cos11

0∫−

dxx 52

0

8 sincos6 ∫−

π

dxx82

0

sin5 ∫−

π

dxxe x∫−1

0

4

dx693

1∫−

− ( ) dxx 3488

2

+− ∫ dxx 53

1

7 ∫−

−

dxx 4

2

1

312 ∫− dxx 5

43

1

11 ∫−

− ( ) dxxx 24

0

3110 −+− ∫

dxxcos152

∫−π

π

dxx3

5

5

314 ∫

−

− dxx5

2

2

113 ∫

−

−

dxx 4

2

0

318 ∫− dx

x

117

4

1∫− ( ) dxxx 5

2

0

216 +− ∫

θθπ

dcsc212

0∫− ( ) dxxx+− ∫ 320

1

0

dtt2

4

1

sec19 ∫−

π

dxx

x2

1

1 1

tan24

+− ∫

−

( ) dxx 123 62

2

+− ∫−

θθθ

π

dcotcsc226

0∫−

É : للدوال التاليةالتكامالت التاليةأوجد قيمة -7

≤<≤≤−

− ∫− π

ππ

π 20,sin

0,:)(1

xx

xxdxxf

Copyright © 2010.



453

≤<

≤≤− ∫ 21,

1,:)(2

5

42

0 xx

xaxdxxf

12المحصورة فوق المنحني أوجد المساحة -8 += xy ى وتحت المنحنxy والمستقيمان =0=x 1و=xموضحا اإلجابة بالرسم .

2xyالمنحنين أوجد المساحة المغلقة المحصورة بين -9 22و = xxy موضحا =− .بالرسم ةاإلجاب

وجد المساحة التقريبية للقطاع المحصور بين المنحيينأ -1012 +

=x

xyو xxy −= 4

.اإلجابة بالرسم موضحا

xy أوجد المساحة المحصور بين المنحيين -11 sin=و xy cos= في المجال

2,0π

.بالرسم اإلجابة موضحا

322الناتج من دوران القطع المكافئ أحسب الحجم -12 xxy ] في المجال =− حول2,0[ .oyالمحور

xy من دوران المساحة المحصورة بين المنحنينالحجم الناتجأحسب -13 2xy و= حول =

.oyالمحور

)(21 تحقق من نظرية القيمة الوسطى للدالة -14 xxf ] في المجال =+ ]2,1−.

É :أعد التمرين السابق على الدوال التالية والمجاالت المعطاة -1521)()2 ttxf += , [ ]5,0 [ ]1,1− , 2)()1 xxf =

4,0

π,θθ tansec)()4 =xf xxf cos)()3 = ,

2,0

π

[ ]2,0,22 1)()6 xxxf += 2)()5 xxxf −= , [ ]2,0

[ ]6,1,21

1)()8

xxf

+= xxxf 34 sincos)()7 = , [ ]π,0

[ ]1,0,xxxf += 1)()9

Copyright © 2010.



454

É : من الحاالت التاليةكلوجد المساحة المحصورة بين المنحنيات في أ -162202 xy −=− , 122 −= xy 0=y, 61 2 −−=− xxy

04 =+− yx , yyx 32 += 213 xy −=− , xy −= 1 2,,6 2 ==− xxyxy

2sin5

xy

π=− , xxy 22 −=

É :المعطاة أحسب الحجم الناتج من دوران السطح المحصورة بين المنحنيات-17ox 2,21 المحور حول xyy ==−

oy 3,12 المحور حول 2 −=+=− xyyx x 29,03=−1 المحور حول yxx −==− y 22=−1 المحور حول 9,14 xyxy −=+=−

******************

Copyright © 2010.



455

Algebra Cheat Sheet

:Arithmetic Operationsالعمليات الحسابية

bca

cba

=

−2 )(1 cbaacab +=+−

bac

cba =

−4

cab

cb

a =

−3

bdbcad

dc

ba −

=−−6 bdbcad

dc

ba +

=+−5

cb

ca

cba

+=+

−8 cdab

dcba

−−

=−−

−7

bc

ad

dcba

=

−10 0,9 ≠+=+

− acba

acab

: Exponent Propertiesخصائص األسس

nmmn

m

n

aa

aa

−− ==−

12

mnmn aaa +=−1

0,14 0 ≠=− aa ( ) nmmn aa =−3

n

nn

ba

ba

=

−6

( ) nnn baab =−5

nn

aa

18 =− −

n

nnn

ab

ab

ba

−

−−−

=

=

−7

( )mn

n

mm

n

aaa11

9 =

=−

Copyright © 2010.



456

:Properties Of Radicalsخصائص الجذورnnn baab ×=−2 nn aa

1

1 =−

0,4 ≠=− bb

aba

n

n

n

nmm n aa =−3

aan n =−6 زوجيعدد n إذا كان

aan n =−5 ي عدد فردnإذا كان

:Properties Of Inequalities خصائص المتبايناتcbcaba −<−⇒<−2 cbcaba +<+⇒<−1

c

b

c

acandba <⇒><− 04 bcaccandba <⇒><− 03

cb

ca

candba >⇒<<− 06 bcaccandba >⇒<<− 05

:Properties of Absolute valueخصائص القيمة المطلقة

02 ≥− a

<−≥

=−0

01

aifa

aifaa

baab =−4 aa =−−3

baba +≤+−6 0,5 ≠=− bb

a

ba

baorbaba

babba

>−<⇒>

<<−⇒<−6 baorbaba −==⇒=−7

Distance Formula :صيغة المسافة بين نقطتين2

122

1221 )()(),(1 yyxxppd −+−=−

:Middle of Line Pieceةصيغة منتصف قطعة مستقيم

++

−2

,2

1 1212 yyxxm

Copyright © 2010.



457

Factoring Formulas :تحليل الصيغ ))((1 22 axaxax −+=−−

( ) 222 22 aaxxax ++=+−

( ) 222 23 aaxxax +−=−− ( ) ( )( )bxaxabxbax ++=+++− 24

( ) 32233 335 axaaxxax +++=+−

( ) 32233 336 axaaxxax −+−=−−

( )( )22337 aaxxaxax +−+=+−

( )( )22338 aaxxaxax ++−=−− ( )( )nnnnnn axaxax +−=−− 229

: فردي فإنnإذا كان ( )( )( )( )121

121

...

...10

−−−

−−−

−+−+=+

+++−=−−

nnnnn

nnnnn

aaxxaxax

aaxxaxax

إشارة كثیرة الحدود متناوبة

:Logarithms Propertiesاللوغاريثمات خصائص xx elogln2 =− y

a bxxy =⇒=− log1

718281828.24 =− e xx 10loglog3 =−

01log6 =− b 1log5 =− bb

xb xb =− log8 xb xb =− log7

yxxy bbb loglog)(log10 +=− xrx br

b loglog9 =−

( ) { }+

=>=− RxxDom b 0log12 yxyx

bbb logloglog11 −=

−

Copyright © 2010.



458

Common Algebraic Errors

التي تتلخص في وسنذكر بعض األخطاء التي يقع فيها الطالب وذلك لعدم معرفتهم بها :الجدول التالي

∞=≠−

0

2,0

0

21

=≠− 0

2

0,2

2

02

933 2 ≠−−

( ) 5324 xx ≠−

ca

ba

cba

+≠+

−5

3232

16 −− +≠

+− xx

xx bx

a

bxa+≠

+− 17

( ) ( )[ ]aaxxaaaxxa +−=−−−−≠−−− 1,18

( ) 2229 axax +≠+−

axax +≠+− 2210

xaax +≠+−11

( ) nnn axax +≠+−12 nnn axax +≠+−13

( ) ( )2214 abaxbxa +≠+− 222215 axxa −−≠−−

b

ac

cba

c

ab

c

ba

≠

≠

− ,16

Copyright © 2010.



459

Factoring and Solving

Quadratic Formula: طريقة المميز والقانون -02 : نعلم بأن معادلة الدرجة الثانية تكون على النحو التالي =++ cbxax

acb :نكون المميز على الشكل التالي 42 −=∆ :كون يومنها

a

bx

22,1

∆±−=

يوجد جدران حقيقيان مختلفان ∆<0 كانإذا . يوجد جدر حقيقي مكرر واحد∆=0 كانإذا .جذور حقيقية ال توجد ∆>0 كانإذا

px حالة خاصة في حالة px عندئذ 2= p≠0 بحيث =±

: Completing The square المربع كاملإكمالطريقة -02 لحل المعادلة =++ cbxaxنتبع الخطوات التالية:

.a ىنقسم المعادلة عل -1 .ننقل الثابت إلى الطرف الثاني -2 .ها ونطرحها من المعادلة السابقة ونربعها ونضيفxنأخذ نصف أمثال -3 .العناصر الثالثة األولى متطابقة -4 .ننقل العدد إلى الطرف الثاني -5 صفر يوجد جذر الطرف الثاني وإذا كانانإذا كان الطرف الثاني موجب يوجد جذر -6

. ال توجد جذورسالب الطرف الثانيواحد وإذا كان

0532 :ى النحو التالي إذا كان لدينا معادلة عل:فمثال =−− xx :الحل

532 =− xxالخطوات السابقة يكون لدينا م منها وباستخدا :

2

29

2

3

4

29

2

3

2

35

2

33

2

222

±=−

=

−

−

+=

−

+−

x

x

xx

Copyright © 2010.



460

Functions and graphs:

:Constant Function الدالة الثابتة -axf :التي تأخذ الشكل التاليتسمى الدالة ayأو )(= هو بيان هذه الدالةدالة ثابتة و =

) أفقي يمر بالنقطة مستقيم )a,0.

:Linear Function )الخط المستقيم( الدالة الخطية -bmxy :التي تأخذ الشكل التاليتسمى الدالة مالخط المستقيميل mيسمىدالة خطية =+

)مستقيم يمر بالنقطة بيان الدالة خط و )b,0 وله الميلm.

Slope : الميل- :الشكل التاليب يحسب

12

12

xx

yym

−−

)معادلة مستقيم يمر بنقطة و= )11 , yx وميله

mيه)( 11 xxmyy −+=.

:Parabola Function دالة القطع المكافئ-) :التي تأخذ الشكل التالي -1 ) khxay +−= a<0وهو بيان مفتوح لألعلى إذا كان 2

) وذروته النقطة a>0ومفتوح لألسفل إذا كان )kh,. cbxaxy :التي تأخذ الشكل التالي -2 ++= وهو بيان مفتوح لألعلى إذا كان 2

0>a 0ومفتوح لألسفل إذا كان<a وذروته النقطة

−−

a

bf

a

b

2,

2.

cbyayx :التي تأخذ الشكل التالي -3 ++= a<0إذا كان وهو بيان مفتوح لليمين 2

وذروته النقطة a>0ومفتوح لليسار إذا كان

−

−

a

b

a

bf

2,

2 Circle: ) : التاليمتأخذ الشكل العا ) ( ) 222 rkyhx r دائرة نصف قطرها هابيان −+−=

)ومركزها النقطة )kh,. 222 : التاليم تأخذ الشكل العاkh==0حالة خاصة عندما - ryx مركزها نقطة (+=

)األصل

Copyright © 2010.



461

Ellipse

) : التاليميأخذ الشكل العا ) ( )1

2

22

2

=−

+−

bky

ahxله المركزيبيانه شكل بيضو ( )kh,

.b وراسي aله نصفي قطرين أفقي و==0حالة خاصة عندما - kh1 : التاليم تأخذ الشكل العا

2

22

2

=+b

y

a

x

Hyperbola: ) : التاليميأخذ الشكل العا ) ( )

12

22

2

=−

−−

b

kx

a

hyبيانه قطع زائدي له فرعان أحدهما

هما ميالبينقارمن يوح لألعلى والثاني مفتوح لألسفل وخطمفتa

b في نقطة هومركز ±

.نتقاطع المقاربي==0حالة خاصة عندما - kh 1 : التاليمالشكل العاالمعادلة تأخذ

2

22

2

=−bx

ay

Trig Functions

:القات المثلثية من الشكل التالييمكن توضيح الع الوتر

المقابل

المجاور

تقع بينθواضح أن الزاوية2

0πθ :نه نكون الجدول التالي للنسب المثلثية وم≥≥

الوترالمجاور

=− θcos2 الوتر

المقابل=− θsin1

المقابلالوتر

=− θcsc4 المجاورالمقابل

=− θtan3

المقابلالمجاور

=− θcot6 المجاور الوتر

=− θsec5

θ

Copyright © 2010.



462

:Unit Circle Trigفي دائرة الوحدة المثلثية العالقات -عالقات الدائرة على دائرة الوحدة أي دائرة نصف قطرها واحد في هذه الحالة سندرس

:ومركزها نقطة األصل والتي تأخذ الشكل التالي

:الجدول التالي يبين العالقات الهامة لهذه الدائرة

y

1csc2 =− θ

x

y=− θtan1

y

x=− θcot4

x

1sec3 =− θ

Unit Circle حدةدائرة الو

θ

Copyright © 2010.



463

)من أجل أي زوج مرتب على دائرة الوحدة )yx θsin=y , θcos=xيكون, :فمثال

2

3

3

5sin −=

π,

2

1

3

5sin =

π

Facts and Properties:مثلثية حقائق وخصائص - : المثلثية لدوالالي يبين نطاق ومدى كل االجدول الت

θcos2 −1cos1 :ومدهاR :نطاقها ≤≤− θ

θsin1 − 1sin1 : ومدهاR:نطاقها ≤≤− θ

θcsc4 −

) : انطاقه ) Znn ∈≠ ,πθ 1csc1csc:ومدها ≥−≤ θθ or

θtan3 −

Znn: انطاقھ ∈

+≠ ,

2

1πθ

−∞≥≥∞ :ومدھا θtan θcot6 −

):طاقھا ن )πθ n≠ −∞≥≥∞:ومدھا θcot

θsec5 −Znn :نطاقھا ∈

+≠ ,

2

1 πθ

1sec1sec :ومدھا ≥−≤ θθ or

Period Trig functions) الدوال المثلثية دوارأ( حالة خاصة - : ة الجدول دور كل دالة مثلثيينحدد ف

ωπ2

=Tلھا دورة ωθcos2− ωπ2

=Tلھا دورةωθsin1 −

ωπ2

=Tلھا دورة ωθcsc4 − ωπ

=Tرةلھا دو ωθtan3 −

ωπ

=Tلھا دورة ωθcot6 − ωπ2

=Tلھا دورة ωθsec5 −

Formulas and Identities: العالقات بين الدوال المثلثية -θθ 22 csc1cot3 =+− θθ 22 sec1tan2 =+− 1cossin1 22 =+− θθ

Double Angle Formulas: صيغ ضعف الزاوية-

1csc22cos2 2 −=− θθ θθθ 22 sincos2cos1 −=− ( ) θθ 2sin212cos4 −=− ( ) θθθ cossin22sin3 =−

Copyright © 2010.



464

Even / odd Formulas: صيغ الفردية والزوجية -

)زوجية ) θθ coscos2 ) فردية −−= ) θθ sinsin1 −=−− )فردي ) θθ csccsc4 )فردية −−=− ) θθ tantan3 −=−−

)فردية ) θθ cotcot6 )زوجية −−=− ) θθ secsec5 =−−

Periodic Formulas: صيغ الدور-

( ) θπθ cos2cos2 =+− n

( ) θπθ sin2sin1 =+− n ( ) θπθ csc2csc4 =+− n ( ) θπθ tantan3 =+− n

( ) θπθ cotcot6 =+− n ( ) θπθ sec2sec5 =+− n

:الدرجاتو )الراديان(صيغ بين نصف قطرية -Digress to Radians Formulas

π

ππ

tx

xt

x

t

180180180

=

=⇒=

Half Angle Formulas :المجموع والفرق والزاوية )قطرية( عالقات نصف-

( )θθ 2cos12

1sin1 2 −=−

( )θθ 2cos12

1cos2 2 +=−

( )

θθ

θ2cos1

2cos1tan3 2

+−

=−

( ) bababa sincoscossinsin4 ±=±− ( ) bababa sinsincoscoscos5 ±=±−

( )ba

baba

tantan1

tantantan6

±±

=±−

Product to sum formulas :إلى مجموع) جداءال( ضرب تحويل الصيغ -

( ) ( )[ ]bababa +−−=− coscos2

1sinsin1

Copyright © 2010.



465

( ) ( )[ ]bababa ++−=− coscos2

1coscos2

( ) ( )[ ]bababa −++=− sinsin

2

1cossin3

( ) ( )[ ]bababa −−+=− sinsin

2

1coscos4

Sum to Product Formulas: المجموع إلى الضرب تحويل صيغ-

2cos

2sin2sinsin1

bababa

−+=+−

2sin

2cos2sinsin2

bababa

−+=−−

2cos

2cos2coscos3

bababa

−+=+−

2sin

2sin2coscos4

bababa

−+−=−−

Cofunction Formulas: صيغ اإلرجاع إلى الربع األول-

θθπ

sin2

cos2 =

−− θθπ

cos2

sin1 =

−−

θθπ

sec2

csc4 =

−− θθ

πcot

2tan3 =

−−

θθπ

tan2

cot6 =

−−

θθπ

csc2

sec5 =

−−

Copyright © 2010.



466

Inverse Trig functions

: للدوال المثلثية العكسية في الجدول التالي ننيسنذكر أهم العالقات والقواyxxy sinsin1 1 =⇔=− −

yxxy coscos2 1 =⇔=− −

yxxy tantan3 1 =⇔=− −

Domain and Range : نطاق ومدى الدوال المثلثية العكسية-

xy 1sin1 −=− 11:نطاقها ≤≤− xومدها :

22

ππ≤≤

−y

xy 1cos2 −=− 11: نطاقها ≤≤− xومدها :π≤≤ y0

xy 1tan3 −=− −∞≥≥∞:نطاقها xومدها :

22

ππ≤≤

−y

Inverse Properties :خصائص الدوال العكسية

( ) θθ =− − sinsin2 1

( ) xx =− −1sinsin1 ( ) θθ =− − coscos4 1

( ) xx =− −1coscos3 ( ) θθ =− − tantan6 1

( ) xx =− −1tantan5

Alternate notation:المصطلحات المرادفة

xx arcsinsin1 1 =− −

xx arccoscos2 1 =− −

xx arctantan3 1 =− −

Copyright © 2010.



467

Low in Trig:العالقات في المثلث :ت المثلثية من الشكل التالييمكن توضيح العالقا

αcos22 222 bccba −+=− cba

γβα sinsinsin1 ==−

γcos24 222 abbac −+=−

βcos23 222 accab −+=−

( )

( )βα

βα

+

−=

+−

−

2

1tan

2

1tan

6ba

ba

( )

γ

βα

2

1sin

2

1cos

5−

=+

−c

ba

( )

( )γα

γα

+

−=

+−

−

2

1tan

2

1tan

8ca

ca

( )

( )αβ

αβ

+

−=

+−

−

2

1tan

2

1tan

7cbcb

a β

c

γ α

b

Copyright © 2010.



468

Limits

Precise Definition:التعريف الدقيق LxfLimنقول أن

ax=

→ إذا وجدنا لكل )(

0>ε0عدد>δوكان : δε <−⇐<− axLxf )(

:Working Definitionالتعريف العملي LxfLimنقول أن

ax=

→ عندما نجعل L تقترب من xf)( إذا استطعنا أن نجعل )(

x تقترب منaودون أن نجعل ax =.

: Right hand limitالنهاية من اليمين LxfLimنقول أن

ax

=+

→

عندما نجعل L تقترب من xf)( إذا استطعنا أن نجعل )(

x تقترب منa بقيم أكبر منها فقط ( )ax >.

: Left hand limit ليسارالنهاية من اLxfLimنقول أن

ax

=−

→

عندما نجعل L تقترب من xf)( إذا استطعنا أن نجعل )(

x تقترب منaمنها فقط صغر بقيم أ ( )ax <.

: Limit at Infinity عند الالنهايةالنهاية LxfLimنقول أن

x=

∞→ تأخذ عندما L تقترب من xf)( إذا استطعنا أن نجعل )(

xقيم كبيرة لدرجة كافية . . قيم سالبة كبيرةxوعندها يجب أن تأخذ x→∞− وبشكل مشابه عندما

: Limit at Infinityة الالنهاي عند النهاية=∞نقول أن

→)( xfLim

ax عندما كبيرة لدرجة كافية موجبةقيمxf)(أخذت إذا

. aمنxتقترب

Copyright © 2010.



469

=∞−وبشكل مشابه عندما →

)(xfLimtax

لدرجة كافية ة قيم سالبة كبيرL تكون .aمنxعندما تقترب

العالقة بين النهاية والنهايات من الطرفين Relationship between the limit and one – sided limit:

: نهاية من اليسار واليمينالنوضح العالقة بين نهاية الدالة بشكل عام وLxfLimxfLimLxfLim

axaxax

==⇔=−+

→→→)()()(

:وكذلك)()()( غير موجودة xfLimxfLimxfLim

axax

ax →→→⇒≠

+

Properties and Rules خصائص وقواعد إيجاد النهاياتxfLim)( نإذا كانت كال النهايتي

ax→xgLim)( و

ax→ثابت اختياري C موجودتان وكان

:فإن

[ ] )()(.1 xfLimCxCfLimaxax →→

=

[ ] )()()()(.2 xgLimxfLimxgxfLimaxaxax →→→

±=±

[ ] )()()()(.3 xgLimxfLimxgxfLimaxaxax →→→

×=× 0)(,

)(

)(

)(

)(.4 ≠=

→→

→

→xgLim

xgLim

xfLim

xg

xfLim

axax

ax

ax

[ ] [ ]nax

n

axxfLimxfLim )()(.5

→→=

[ ] nax

n

axxfLimxfLim )()(.6

→→=

Copyright © 2010.



470

±∞Basic Limit Evaluations at :±∞حساب نهايات أساسية عند

:±∞ة الدالة عندما بعض القوانين العامة إليجاد نهاي0.1 =∞=

−∞→∞→

x

x

x

xeLimandeLim

−∞=∞=+

→∞→)()(.2

0

xLnLimandxLnLimx

x

00.3 =⇒>∞→ rx x

bLimr

0,0.4 =⇒∈∀∈>−∞→ rx

r

x

bLimRxRxandr

=∞ زوجي nحيث

±∞→

n

xxLim.5

−∞=∞=−∞→+∞→

n

x

n

xxLimandxLim.6

n فردي يث ح

+++=∞ زوجي nحيث

±∞→)sgn(.......7 01 aaxaxaLim n

nx

فردي n حيث

∞=+++

+∞→)sgn(.......8 01 aaxaxaLim n

nx

+++=−∞ فردي n حيث

−∞→)sgn(.......9 01 aaxaxaLim n

nx

تعني العبارة )sgn(a إشارة العددx.

Copyright © 2010.



471

Evaluation Techniques

:Continuous functions الدوال المستمرة -

axمستمرة عند النقطةxf)( إذا كانت الدالة )()(عندها = afxfLimax

=→

.

: Continuous functions and Composition الدوال المستمرة والتركيب -

bxfLim وكانت bمستمرة عند النقطةxf)(إذا كانت الدالة ax

=→

: عندئذ يكون)(( ) ( ) )()()( bfxgLimfxgfLim

axax==

→→

: Factor and Cancel حلل واختصر - :نقدم مثال توضيحي على ذلك

42

6

)2(

)6)(2(

2

124222

2

2=

+=

−+−

=−

−+→→→

xLim

xxxx

Limxx

xxLim

xxx

: Rationalize Numerator / Enumeratorفق ا الضرب بالمر- :نقدم مثال توضيحي على ذلك

108

1

)3)(9(

1

)3)(81(

93

3

81

3

81

3

929

2929

−=

++−

=+−

−=

++

×−

−=

−−

→→

→→

xxLim

xx

xLim

x

x

x

xLim

x

xLim

xx

xx

:combine Rational Expressions توحيد المقامات - :نقدم مثال توضيحي على ذلك

20

0

00

1

)(

1

)(

1

)(

)(1111

xhxxLim

hxx

h

hLim

hxx

hxx

hLim

xhxhLim

x

x

xx

−=

+−

=

+

−=

++−

=

−

+

→

→

→→

Copyright © 2010.



472

: L'Hopital Ruleبيتال لو قاعدة -: إذا كانت

0

0

)(

)(

)(

)(=

∞±∞±

=→→ xg

xfLimor

xg

xfLim

axax

:عندئذ يكون)('

)('

)(

)(

xg

xfLim

xg

xfLim

axax →→ −∞ أو +∞ أن يكونaويمكن لـ =

: Polynomials at infinity كثيرة الحدود عند الالنهاية-

حساب النهاية وأردنا كثيرتي حدود xg)( وxp)(إذا كانت )(

)(

xg

xfLimx ±∞→

عندها نخرج

.في البسط والمقام ونحسب النهايةxأكبر أس لـ :نقدم مثال توضيحي على ذلك

2

3

25

43

25

43

5

43 2

2

22

2

2 −=

−

−=

−

−

=−

−−∞→−∞→−∞→

x

xLim

xx

xx

Limxx

xLim

xxx

: Limit Piecewise functions نهايات الدوال المعرفة مقطعيا-

)( حساب النهاية أردناإذا 2

xgLimx −→

حيث

−≥−−<+

=231

25)(

2

xifx

xifxxgحسب ن

:النهاية من الطرفين( ) 95)( 2

22

=+=−−

−→−→

xLimxgLimxx

( ) 731)(

22

=−=++

−→−→

xLimxgLimxx

)(ن مختلفتان فإن يوبما أن القيمت 2

xgLimx

−−→

ن أما لو كان الطرفان متساوي.موجودة غير

.فإن للنهاية القيمة ذاتها

: Some Continuous functions بعض الدوال المستمرة - :التي تكون مستمرة عندهاxسنورد فيما يلي قائمة ببعض الدوال المستمرة وقيم لـ

.Rكثيرات الحدود مستمرة على -1

Copyright © 2010.



473

. ماعدا القيم التي تعدم المقامRالدوال الكسرية مستمرة على -23- n x) nمستمرة على ) فرديR. 4- n x) nمستمرة على ) زوجي+

R ( )0≥x. 5- xe مستمرة على R. 6- )(xLnمستمرة من أجل ( )0>x. 7- xcosو xsin مستمرة على R. 8- xtanو xsec مستمرة على Rقيم ما عدا ال

−− ,.......

2

3,

2,

2,

2

3......,

ππππ.

9- xcotو xcsc مستمرة على R ما عدا القيم { },.......2,,0,,2......, ππππ −−.

:Intermediate Value Theorem نظرية القيمة الوسطية -]دالة مستمرة على المجالxf)(بفرض ]ba,و M عدد اختياري يقع بين

)(afو)(bf عندئذ يوجد عددCبحيث يكون bC MCf ويكون 0>> =)(.

Derivatives

Derivatives Definition and notation

: دالة مستمرة عندها تعرف المشتقة بالعالقة xf)( إذا كانت -

h

xfhxfLimxf

ah

)()()('

−+=

→

xfy)( إذا كانت - : فإن جميع المصطلحات التالية تعبر عن المشتقة=( ) )()(')(' xDfxf

dx

d

dx

dy

dx

dfyxf =====

xfy)( إذا كانت - ax فإن جميع المصطلحات التالية تعبر عن قيمة المشتقة عند = =:

( ) )()(')(' aDfxfdx

d

dx

dy

dx

dfyaf

aaaa

=====

Copyright © 2010.



474

Interpretation of Derivative :تفسير المشتقةxfy)( إذا كانت - : عندئذ=1. )(' afm xfy)(حني هي ميل خط المماس للمن= ax عند = ومعادلة خط المماس =

axعند النقطة )('))(( : يعطى بالمعادلة = axafafy −+=. 2. )(' af (لتغير ) اآلني (اللحظيهي المعدل(xf عند ax =. ')( عندهاxهو موقع هدف في اللحظة xf)(إذا كان .3 xf هي سرعة الهدف عند

. =axالنقطة

Copyright © 2010.



475

// Basic properties / Formulas / Rules

عددان حقيقيان n و C دالتان قابلتان لالشتقاق وكان xg)( وxf)(إذا كانت :اختياريان عندها يكون

:أهم الخصائص العامة) ثابت C حيث ) ( )xfCxfC

xd

d')(1 =−

) أي عددn حيث ) 12 −=− nn nxxxd

d

( ) ( )( ) ( ) ( )'''3 xgxfxgxf ±=±− ) ثابت C حيث ) 04 =− C

xd

d

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )'''5 xgxfxgxfxgxf +=×− )الجداء(قاعدة الضرب

)) قاعدة الكسر ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )2

'''

6xg

xgxfxgxf

xg

xf −=

−

)) قاعدة السلسلة ( )( ) ( ) ( )xgxgfxgfxd

d')(')(7 =−

( ) )()( )('8 xgxg exgexd

d=−

)(0 حيث ≠xg ( ))(

)(')(9

xg

xgxgLn

xd

d=−

Common Derivatives

Polynomials:كثيرات الحدود -1) ثابت C حيث ) 01 =− C

xd

d ( ) 12 =− x

xd

d

( ) CCxxd

d=−3

( ) 14 −=− nn nCxCxxd

d

Copyright © 2010.



476

Trig Function:الدوال المثلثية -2( ) xx

xd

dcossin1 =−

( ) xxxd

dsincos2 −=−

( ) xxxd

d 2sectan3 =−

( ) xxxxd

dtansecsec4 =−

( ) xxxxd

dcotcsccsc5 −=−

( ) xxxd

d 2csccot6 −=−

Inverse Trig Functions:العكسية الدوال المثلثية -3( )

2

1

1

1sin1

xx

xd

d

−=− −

( )2

1

1

1cos2

xx

xdd

−

−=− −

( )2

1

1

1tan3

xx

xd

d

+=− −

( )1

1sec4

2

1

−=− −

xxx

xd

d

( )1

1csc5

2

1

−

−=− −

xxx

xd

d

( )2

1

1

1cot6

xx

xd

d

+−

=− −

Exponential / Logarithm Functions :وغارثمية اآلسية و اللالدوال-4 ( ) aaa

xd

d xx ln1 =−

( ) xx eexd

d=−2

( ) ( ) 0,1

ln,0,1

ln3 ≠=>=− xx

xxd

dx

xx

xdd

( ) 0,ln

1log4 >=− x

axx

xd

da

Copyright © 2010.



477

Hyperbolic Trig functions :القطعية الزائدية الدوال -5( ) xx

xd

dcoshsinh1 =−

( ) xxxd

dsinhcosh2 =−

( ) xhxxd

d 2sectanh3 =−

( ) xhxhxxd

dtanhsecsec4 −=−

( ) xhxhxxd

dcothcsccsc5 −=−

( ) xhxxd

d 2csccoth6 −=−

Chain Rule Variants:حاالت من قاعدة السلسلة-6 :نطبق قاعدة السلسلة على بعض الدوال

[ ] [ ] )(')()(1 1 xfxfnxfxd

d nn −=−

[ ] )()( )('2 xfxf exfexd

d=−

[ ])(

)(')(3

xf

xfxLnf

xd

d=−

[ ] )(cos)(')(sin4 xfxfxfxd

d=−

[ ] )(sin)(')(cos5 xfxfxfxd

d−=−

[ ] )(sec)(')(tan6 2 xfxfxfxd

d=−

[ ] )(tan)(sec)(')(sec7 xfxfxfxfxd

d=−

[ ]

[ ]2

1

)(1

)(')(sin8

xf

xfxf

xd

d

−=− −

Copyright © 2010.



478

[ ][ ]2

1

)(1

)(')(cos9

xf

xfxf

xd

d

−

−=− −

[ ][ ]2

1

)(1

)(')(tan10

xf

xfxf

xd

d

+=− −

Higher Order Derivative:المشتقات من مراتب عليا -7 : للمشتقة الثانية بالشكل التالييرمز

( ) )()('')('' 22

2

2

2

2

2

xfDxfdx

d

dx

yd

xd

fdyxf =====

:وتعرف على الشكل التالي ( )')(')('' xfxf =

.أي أنها مشتقة المشتقة األولى

:بالشكل التالي) nمن المرتبة ( يرمز للمشتقة النونية - xd

fdxf

n

n

n

=)(

) :لتالي وتعرف على الشكل ا )'1 )()( xfxf nn −= )أي أنها مشتقة المشتقة من المرتبة )1−n.

Implicit differentiation: التفاضل الضمني -8xfy)( والدالة xنصادف دوال يمتزج فيها المتغير ةغير سهلمعا في صيغة ضمنية =لحدود التي ا ونعزل نفاضل الدالة الضمنية y' لحساب المشتقة ااآلخر وعندههما عن عزل أحداال

ولتوضيح هذه الفكرة نورد المثال y و x بداللة كل منy' ثم نكتب صيغة y'تحوي xyyxeللدالة الضمنية y'أوجد :يالتال yx 11sin2392 +=+−

cos'23'92'11 :نشتق الطرفين فنجد 32292 +=++−− yyyyxyxyxe yx منها نحصل على:

yeyx

yxey

yx

yx

cos92

3211'

923

2292

−−−−

=−

−

Copyright © 2010.



479

9 Increasing / Decreasing- Concave Up /Down

Critical points: النقاط الحرجة -cxنقول عن النقطة :إذا تحقق أحد الشرطينxf)( أنها نقطة حرجة للدالة = 1 .0)(' =cf 2 .)(' cfغير موجودة .

Increasing / Decreasing التزايد والتناقص-')(0إذا كان .1 >xf لجميع قيم xفي مجال Iعندئذ نقول أن)(xf دالة تزايده في

.Iالمجال')(0إذا كان .2 <xf لجميع قيمxفي مجال Iعندئذ نقول أن)(xf المجالمتناقصة في دالةI. ')(0إذا كان . 3 =xf لجميع قيم xفي مجال Iعندئذ نقول أن)(xfالمجال دالة ثابتة فيI.

Concave Up / Concave Down التقعر لألعلى والتقعر لألدنى - '')(0إذا كان .1 >xf لجميع قيم x في مجال I عندئذ نقول أن )(xf تتقعر نحو دالة

.Iالمجال األعلى في '')(0إذا كان .2 <xf لجميع قيم x في مجال I عندئذ نقول أن )(xf دالة تتقعر نحو

.Iالمجال األدنى في

Increasing points ) االنعطاف( نقاط االنقالب -

cxنقول عن النقطة إذا تغير التقعر عند النقطة xf)(أنها نقطة انعطاف للدالة=cx '')(0و = =xf .

Copyright © 2010.



480

10 Extreme

Absolute Extreme: النهاية المطلقة-

cxنقول عن . 1 )()(إذا كانxf)( أنها نقطة نهاية كبرى مطلقة للدالة= xfcf لجميع ≤ . في نطاق الدالةxقيم

cxنقول عن . 2 )()(إذا كانxf)( أنها نقطة نهاية صغرى مطلقة للدالة= xfcf لجميع ≥ . في نطاق الدالةxقيم

Fermat's Theorem: نظرية فيرمات -

cx عنديةنهاية حدxf)(إذا كان للدالة cxعندئذ تكون النقطة= نقطة حرجة للدالة =)(xf.

Extreme Theorem: نظرية القيمة الحدية -

] مستمرة على المجال xf)(إذا كان للدالة ]ba,عندئذ يوجد عددان c و dبحيث يكون : 1 .bca bda و ≥≥ ≤≤. 2 .)(cfالمغلق هي نهاية كبرى مطلقة قي المجال [ ]ba,. 3 .)(df المغلق هي نهاية صغرى مطلقة قي المجال [ ]ba,.

11 Finding Absolute Extreme ] المغلق الفترةعلىxf)(د النهاية المطلقة لدالة مستمرة إليجا ]ba,نستخدم الخطوات :التالية] في المجالxf)(الحرجة للدالة جميع النقاط نجد .1 ]ba, . . ل منها عند كxf)(نحسب قيم. 2 .bf)( و af)( نحسب كال من . 3 ولتحديد القيم المطلقةسابقةلتحديد القيمة المطلقة العظمى نأخذ أكبر قيمة من القيم ال . 4

.الصغرى نأخذ أصغر قيمة بين القيم السابقة

Copyright © 2010.



481

12 Relative (local) Extreme cxنقول عن . 1 )()( إذا كانxf)( أنها قيمة عظمى مكانية للدالة = xfcf لجميع ≤

.c قرب xقيم cxنقول عن . 2 )()( إذا كانxf)(صغرى مكانية للدالة أنها قيمة = xfcf لجميع ≥

.c قرب xقيم

13 First Derivative

cx إذا كانت cx عندئذxf)( نقطة حرجة للدالة = : ستكون=')(0 إذا كان xf)(نهاية عظمى مكانية للدالة . 1 >xfة على يسار النقط cx و=

0)(' <xf على يمين النقطةcx =. ')(0 إذا كان xf)( نهاية صغرى مكانية للدالة. 2 <xfة على يسار النقط cx و=

0)(' >xf على يمين النقطةcx =. ')( إذا كان xf)(لن تكون نهاية حدية نسبية للدالة .3 xfرة ذاتها على طرفي له اإلشا

cxالنقطة = .

14 Second Derivative Test

cxإذا كانت ')(0 وكانxf)( نقطة حرجة للدالة = =cfعندئذ cx : ستكون='')(0 إذا كان xf)( مكانية للدالة نهاية عظمى. 1 <xf. '')(0 إذا كان xf)(نهاية صغرى مكانية للدالة . 2 >xf. '')(0أو نهاية صغرى مكانية أوال تكون إذا كان ربما تكون نهاية عظمى مكانية. 3 =xf .

15 Finding Relative Extreme and classify critical points

.xf)(نوجد جميع النقاط الحرجة للدالة . 1 .نستخدم اختبار المشتقة األولى أو اختبار المشتقة الثانية لكل نقطة حرجة . 2

Copyright © 2010.



482

Mean Value Theorem:ية القيمة الوسطى نظر-

] دالة مستمرة على مجال مغلق xf)(إذا كان للدالة ]ba, وقابلة لالشتقاق على

)المفتوح المجال )ba,عندئذ يوجد عددbca : بحيث يكون>>

ab

afbfcf

−−

=)()(

)('

Copyright © 2010.



483

Integrals

Definite Integral

] دالة مستمرة على xf)(لنفرض أن ]ba,ولنقسم المجال [ ]ba,إلى n مجاال جزئيا∗ ولنخذ ∆xبعرض

ixمن كل مجال منها عندئذ :

∑∫=

∗

∞→∆=

n

ii

n

b

a

xxfLimtdxxf1

)()(

Anti- Derivative:الدالة األصلية')()( بحيثxF)(هي دالة xf)(الدالة األصلية للدالة xfxF =.

Indefinite Integral

: التالي ويكون على الشكلCxFdxxf +=∫ )()(

.ثابت C وxf)( دالة أصلية للدالة xF)(حيث

Fundamental Theorems for calculate Integrals

]على الفترة مستمرة xf)(إذا كانت الدالة. 1 ]ba,عندها تكون الدالة dttfxgx

a∫= )()(

]هي أيضا مستمرة على الفترة ]ba,ويكون : )()()(' xfdttf

dxd

xgx

a

== ∫.

] مستمرة على الفترة xf)(إذا كانت الدالة. 2 ]ba,وكانت )(xF دالة أصلية للدالة )(xfعندئذ :

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

−==∫

Copyright © 2010.



484

//Basic properties / Formulas / Rules

:أهم الخصائص العامة)ثابت C حيث ) dxxfCdxxCf ∫∫ =− )(1

2)()()()(دالة أصلية Fحيث aFbFxFdxxfb

a

b

a

−==− ∫

( ) dxxfCdxxCfb

a

b

a∫∫ =− )(3

( ) 04 =− ∫ dxxfb

a

( )[ ] ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a∫∫∫ ±=±− )(5

( ) dxxfdxxfa

b

b

a∫∫ −=− )(6

)bca ≤≤ (

( ) ( ) ( ) dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a∫∫∫ +=−7

( ) ( ) dxxfdxxfb

a

b

a∫∫ ≤−8

[ ] ( ) ( ) dxxgdxxfbaxxgxfb

a

b

a∫∫ ≥⇒∈⇒≥− ,,)()(9

( ) ( )abCdxxCfb

a

−=− ∫10

) إذا كان - ) 0≥xfفي المجال bxa ) عندها يكون ≥≥ ) 0≥∫ dxxfb

a

) إذا كان - ) )(xgxf bxa في المجال≤ ) عندها يكون ≥≥ ) dxxgdxxfb

a

b

a∫∫ ≥ )(

Copyright © 2010.



485

Common Integrals

Polynomials:كثيرات الحدود -1Cxdxثابت C حيث +=− ∫1

CK حيث CKxKdxثوابت , +=− ∫2

1,1

13 1 −≠+

+=− +∫ nCx

ndxx nn

1,1

14 1 ≠+

+−=− +−−∫ nCx

ndxx nn

CbaxLnabax

dx++=

+− ∫

15

Cxqp

qCx

qp

dxx qp

q

q

p

q

p

++

=++

=− ++

∫1

1

16

Trig Functions :الدوال المثلثية -2x Cuduu دالة في u حيث +−=− ∫ cossin1 CK حيث Cuduuثوابت , +=− ∫ sincos2

CuLnduu +=− ∫ sectan3 CuLnduu +=− ∫ sincot4

CuuLnduu ++=− ∫ tansecsec5

CuuLnduu +−=− ∫ cotcsccsc6 Cuduuu +=− ∫ sectansec7

Cuduuu +−=− ∫ csccotcsc8

Cuduu +=− ∫ tansec9 2

Cuduu +−=− ∫ cotcsc10 2

Copyright © 2010.



486

( ) CuuLnuuduu +++=− ∫ tansectansec2

1sec11 3

( ) CuuLnuduu +−+−=− ∫ cotcsccsc

2

1csc12 3

Exponential / Logarithm Functions:الدوال اآلسية و اللوغارثمية -3x Cedue دالة في u حيث uu +=− ∫1

CLnaa

duau

u +=− ∫2

CuLnuuduLnu +−=− ∫3 ( ) Ceuduue uu +−=− ∫ 14

CuLnLnuu

du+=− ∫ )(

)ln(5

( ) Cbubbuaba

edubue

auau +−

+=− ∫ cossin)sin(6

22

( ) Cbubbuaba

edubue

auau ++

+=− ∫ sincos)cos(7

22

Inverse Trig Functions:الدوال المثلثية العكسية -4x Cuuuduu دالة فيu حيث +−+=− −−∫ 211 1sinsin1

Cuuuduu +−−=− −−∫ 211 1coscos2

( ) CuLnuuduu ++−=− −−∫ 211 12

1tantan3

Cau

ua

du+

=

−− −∫ 1

22sin4

Ca

u

aauu

du+

=

−− −∫ 1

22sec

15

Ca

u

aua

du+

=

+− −∫ 1

22tan

16

Cau

auLn

aua

du+

−+

=−

− ∫ 2

17

22

CuauLna

uau

duua +−++−=−− ∫ 222

2222

228

Copyright © 2010.



487

CauuLna

auu

duau +−+−−=−− ∫ 222

2222

229

Ca

uaua

uduua +

+−=−− −∫ 1

22222 sin

2210

Ca

uaauau

auduuau +

−

+−−

=−− −∫ 12

22 cos2

22

211

Hyperbolic Trig functions: الزائديةمثلثية لالدوال ا-5x Cuduu دالة فيu حيث +=− ∫ coshsinh1

Cuduu +=− ∫ sinhcosh2 ( ) CuLnduu +=− ∫ cothtanh3

Cuhu +=− −∫ sinhtansec4 1 Chu +=− ∫ csc5

Chuuhu +−=− ∫ sectanhsec6 Chuuhu +−=− ∫ csccothcsc7

Cuduuh +=− ∫ tansec8 2

Cuduuh +−=− ∫ cothcsc9 2

Copyright © 2010.



488

Standard Integration Techniques

Substitution :)تغير المتحول (التكامل بالتعويض -1)إذا أعطينا التكامل ) ( ) dxxgxgf

b

a∫ =xgu)( عندها نجزئ تغير متحول )('

) :وسوف نحصل على التكامل ) ( ) duufdxxgxgfbg

ag

b

a∫∫ =

)(

)(

)(')(

Integration by parts:يءلتجزالتكامل با -2 إذا أعطينا التكامل

duvuvudv ∫∫ −= : التالي التكاملنكونعندها

duvuvdvub

a

b

a

b

a∫∫ −=

.vفاضل ن و duكامل نثم dv وuحيث نختار

:بالتعويض في الدوال المثلثيةالتكامل -3

Substitution integration by Trig function :استخدم التكامل بالتعويض وفق الصيغ التالية جذور مثلثيةإذا كان التكامل يحوي

θθθ 22222 sin1cossin1 −==⇒−− andb

axxba

1sectansec2 22222 −==⇒−− θθθ andb

axaxb

θθθ 22222 tan1sectan3 +==⇒+− andb

axxba

Copyright © 2010.



489

Partial functions:الدوال الكسرية تكامل -4dx التكامل كان لديناإذا

xqxp

∫ )(أقل من درجة xp)(وكانت درجة كثيرة الحدود )(

: طريقة تفريق الكسور وفق الجدول التاليلى عندها نلجأ إxq)(كثيرة الحدود

صیغة الكسر بالتفریق xq)(عامل في bax+

bax

A

+ cbxax ++2

cbxax

BAx

+++

2

( )kbax+ ( ) ( )k

k

bax

A

bax

A

bax

A

+++

++

+.........

221

( )kcbxax ++2

( ) ( )kkk

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

++

+++

++

++

+++

222.......

22211

Products of Trig Functions

dxxx :إذا كان لدينا التكامل: والأ mn∫ cossin :نمیز الحاالت التالیة

من خالل العالقةcos ونحول الباقي إلىsinنترك واحد من: فرديا n إذا كان -1

xx 22 cos1sin uxنفرض وبعدها =− =cos. من خالل sin ونحول الباقي إلىcosنترك واحد من: فرديا m إذا كان -2

xxالعالقة 22 sin1cos ux وبعدها نفرض =− =sin. .2 أو 1فرديا بأن واحد نتبع البند mوnإذا كان -3 زوجيا بأن واحد نستخدم صيغة ضعف الزاوية لتحويل التكامل لشكل mوn إذا كان -4

.يمكن مكاملته

dxxx :إذا كان لدينا التكامل: ثانيا mn∫ sectan

Copyright © 2010.



490

:نمیز الحاالت التالیة من sec ونحول الباقي إلىsec و واحد منtanنترك واحد من: فرديا nا كان إذ -1

1sectanالعالقة باستخدام 22 −= xx وبعدها نفرض xu sec=. من خالل xtan ونحول الباقي إلىxxsecsec2 مناثناننترك : زوجيا mإذا كان -2

xxالعالقة 22 tan1sec xu ونستخدم التحويل =+ tan=. .2 أو 1 نتبع البند زوجيا mوفرديا nإذا كان -3 . بأسلوب مختلفلال توجد قاعدة وكل تكامل يكام فردياmو زوجياnإذا كان -4

*******************

Copyright © 2010.



491

&

أحمد عبد .رمضان محمد جهيمة، د. ، د"الجزء األول الطبعة الثالثة"التفاضل والتكامل .1 . الكتاب الجديدة المتحدة العالي هب الريح، دار

حسن مصطفى . عبد الشافي عبادة، د. أسس علم الرياضيات التفاضل والتكامل، د .2 جدة الطبعة -جامعة الملك عبد العزيز (طلعت عبد الناصر، كلية العلوم . العويض، د

. دار الفكر العربي ) م2001 - ه1421(األولى

.تكامل، سلسلة شوم، ترجمة فايز فوق العادة مسألة محلولة في حساب التفاضل وال3000 .3

، المملكة العربية السعودية، المؤسسة 2إلكترونيات وكهرباء، رياضيات تخصصية .4 .العامة للتعليم الفني والتدريب المهني، اإلدارة العامة لتصميم وتطوير المناهج

ع من منشورات جامعة السابلاحمد محمد عبد المتعا.الحسبان ومبادئ التفاضل، د .5 .أكتوبر بمصراتة

. عمران قوبا، الجامعة االفتراضية السورية. ، د)1(الرياضيات .6

.موفق ألحمصي وآخرون، جامعة دمشق.، أ)2( الرياضيات .7

توماس منشورات جامعة ) الجزء األول(حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية .8 .الفاتح

دورفي، كلية مونت هوليوك . ه.ليف وليمل والهندسة التحليلية تأحساب التفاضل والتكام .9 - جمهورية مصر - دار كاكجروهيل للنشر -محمد علي محمد السمري . ترجمة د .القاهرة

10. Brief Calculus , Michael Sullivan , Chicago State university.

11. Calculus I ,Paul Dawkins , USA , Lamar university.

12. Calculus , Gilbert strange ,Massachusetts Institute of Technology.

Copyright © 2010.



math-gate.commath-gate.com/uploads/books/كتاب اساسيات التفاضل...

Documents

Transcript of math-gate.commath-gate.com/uploads/books/كتاب اساسيات التفاضل...