Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl
description
Transcript of Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl
![Page 1: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/1.jpg)
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.
![Page 2: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/2.jpg)
„Żadne drzewo nie rośnie bez korzeni, podobnie i ludzie więdną
bez rozsądku.”
Tales z Miletu
![Page 3: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/3.jpg)
TWIERDZENIE O PROSTYCH PRZECINAJĄCYCH SIĘ PRZECIĘTYCH PROSTYMI RÓWNOLEGŁYMI.
TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA TALESA.
Oba twierdzenia wymienione w temacie tej lekcji wynikają bezpośrednio z twierdzenia Talesa. Pierwsze z nich obrazuje trochę inne, ogólniejsze podejście do twierdzenia Talesa a drugie, jak mówi sama nazwa, jest twierdzeniem do niego odwrotnym.
![Page 4: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/4.jpg)
TWIERDZENIE O PROSTYCH PRZECINAJĄCYCH SIĘ PRZECIĘTYCH
PROSTYMI RÓWNOLEGŁYMI.Jeżeli dwie proste przecinające się przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednej prostej
są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugiej prostej.
![Page 5: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/5.jpg)
PRZYKŁADY.PRZYKŁAD 1.Oblicz długość odcinka oznaczoną jako x.
Na podstawie twierdzenia o prostych przecinających się przeciętych prostymi równoległymi układamy proporcje i rozwiązujemy ją.
2 x = 3 4∙ ∙2x = 12 |: 2 x = 6
![Page 6: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/6.jpg)
PRZYKŁADY.PRZYKŁAD 2.Oblicz długość odcinka oznaczoną jako x.
Układamy i rozwiązujemy odpowiednią proporcję:
15 x = 60 12∙ ∙15x = 720 | :15x = 48
![Page 7: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/7.jpg)
TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA TALESA.
Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi i odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na
drugim ramieniu, to proste te są równoległe.
![Page 8: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/8.jpg)
PRZYKŁADY.PRZYKŁAD 1.Czy proste k i l są równoległe?
Sprawdzamy czy odpowiednie odcinki są proporcjonalne.
A więc proste k i l są równoległe.
![Page 9: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/9.jpg)
PRZYKŁADY.PRZYKŁAD 2.Czy proste k, l i m są równoległe?
Sprawdzamy czy odpowiednie odcinki są proporcjonalne.
Pierwszy ułamek wystarczy skrócić przez 2 a drugi rozszerzyć przez 2 aby otrzymać ostatni ułamek, a więc proste k, l i m są równoległe.
![Page 10: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/10.jpg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 1.Oblicz x i y jeżeli wiadomo, że x + y = 27.
Należy zbudować odpowiedni układ równań. Pierwsze równanie już mamy:x + y = 27.Drugie równanie otrzymamy z proporcji:
8y = 10x
![Page 11: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/11.jpg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 1 – ciąg dalszy.Otrzymujemy układ równań, który rozwiązujemy
metodą przeciwnych współczynników.
18y = 270 |: 18 y = 15x + 15 = 27x = 27 – 15x = 12
![Page 12: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/12.jpg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 2.Korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa uzasadnij, że dla dowolnego trójkąta ABC odcinek łączący środki boków AC i BC jest równoległy do boku AB. Uzasadnij, że odcinek ten jest dwa razy krótszy od boku AB.Zaczniemy od wykonania rysunku przedstawiającego sytuację z zadania.
![Page 13: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/13.jpg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 2 – ciąg dalszy.Mamy: |AD| = |DC| = 0,5|AC|,|BE| = |EC| = 0,5|BC|,a więc:
- na mocy twierdzenia odwrotnego do
twierdzenia Talesa odcinki AB i DE są równoległe.
![Page 14: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/14.jpg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 2 – ciąg dalszy.Udowodniliśmy już, że odcinki DE i ABsą równoległe, możemy więc terazskorzystać z twierdzenia Talesa.|DC| = 0,5|AC|Z twierdzenia Talesa wynika proporcja:
0,5|AB||AC| = |DE||AC| /: |AC| 0,5|AB| = |DE| - długość odcinka DE jest równa połowie odcinka AB.
![Page 15: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/15.jpg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 3.Wykaż, że odcinki łączące środki kolejnych boków dowolnego czworokąta tworzą równoległobok.Zaczynamy od rysunku:
Na rysunku zaznaczyliśmy przerywanymi liniami przekątne czworokąta ABCD. Przyjrzyjmy się trójkątom ABD i BCD. Spełniają one warunki poprzedniego zadania a więc możemy skorzystać z jego wyników.
![Page 16: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/16.jpg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 3 – ciąg dalszy.W oparciu o zadanie 2 stwierdzamy,że odcinek EF jest równoległy doodcinka BD i ma długość 0,5|BD|. Analogicznie odcinekGH jest równoległy do odcinkaBD i ma długość 0,5|BD|. Skoro odcinki EF i GH są równoległe do tego samego odcinka (BD) są też równoległe do siebie, mają także jednakową długość (0,5 |BD|). Powtarzając rozumowanie dla trójkątów ABC i ACD udowadniamy, że czworokąt EFGH jest równoległobokiem.
![Page 17: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/17.jpg)
TWIERDZENIE O ODCINKU ŁĄCZĄCYM ŚRODKI BOKÓW TRÓJKĄTA.
Zadanie 2, to tak naprawdę dowód twierdzenia, które możemy sformułować następująco:
Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa
połowie długości tego boku.
|DE| = 0,5|AB|
![Page 18: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081809/568159a1550346895dc6f087/html5/thumbnails/18.jpg)
TWIERDZENIE O LINI ŚRODKOWEJ TRAPEZU.
Dowód tego twierdzenia jest podobny do dowodu twierdzenia poprzedniego - spróbuj udowodnić je samodzielnie.
Odcinek łączący środki boków AD i BC trapezu ABCD (AB || CD) jest równoległy do podstaw i jego długość
jest równa połowie sumy długości podstaw.
|EF| = 0,5(|AB| + |CD|)