Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl
description
Transcript of Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl
![Page 1: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/1.jpg)
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.
![Page 2: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/2.jpg)
„Temu, kto nie zna matematyki, trudno spostrzec głębokie piękno
przyrody.”
Richard Feynman
![Page 3: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/3.jpg)
TRÓJKĄTY PROSTOKĄTNE W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
Prostokątny (kartezjański) układ współrzędnych jest najpopularniejszym narzędziem służącym do określania położenia punktu na płaszczyźnie, czy też w przestrzeni. Dzięki własnością trójkątów prostokątnych w łatwy sposób możemy obliczyć długość odcinka narysowanego w układzie współrzędnych w oparciu o współrzędne jego końców.
![Page 4: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/4.jpg)
UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH.Przypomnijmy sobie jak odczytujemy dane z układu współrzędnych:
Punkt A ma współrzędne (-3; 5). W skrócie zapisujemy to tak: A = (-3; 5) .W nawiasie podajemy współrzędne zawszę w tej samej kolejności: najpierw oś X, potem oś Y.
Punkt = (x; y)
![Page 5: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/5.jpg)
DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.
Łatwo jest podać długość odcinka równoległego do którejś z osi układu – wystarczy policzyć ile kratek zajmuje (przez ile podziałek przechodzi)
Długość odcinka oznaczamy pionowymi kreskami:|AB| = 3|CD| = 4|EF| = 5
![Page 6: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/6.jpg)
DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.Możemy także obliczyć długość na podstawie
współrzędnych końców.A = (3; 5) , B = (3; 2)
|AB| = |5 – 2| = 3
UWAGATe same współrzędne osi X świadczą o tym, że odcinek
jest równoległy do osi Y. Te same współrzędne osi Y świadczą o tym, że odcinek jest równoległy do osi X.
![Page 7: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/7.jpg)
DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.
C = (-3; 3) , D = (-3; -1)|CD| = |3 – (-1)| = |3 + 1|= 4
E = (-6; -4) , F = (-1; -4)|EF| = |-6 – (-1)| = |-6 + 1| = |-5| = 5
W obliczeniach symbol |…| oznacza wartość bezwzględną. Długość nie może być ujemna.
![Page 8: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/8.jpg)
DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.
A jak obliczyć długość tego odcinka?
![Page 9: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/9.jpg)
DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.
Wystarczy umiejętnie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. A gdzie tu trójkąt prostokątny? A tutaj:
![Page 10: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/10.jpg)
DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.
Oznaczmy sobie:x = |BC| = 3 – odcinek równoległy do osi X
y = |AC| = 4 - odcinek równoległy do osi Y
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa mamy więc:|AB|2 = x2 + y2
|AB|2 = 32 + 42
|AB|2 = 9 + 16|AB|2 = 25|AB| = 5
![Page 11: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/11.jpg)
DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.
Pytanie: jak sobie poradzić gdy nie mamy rysunku? Spójrzmy inaczej na bieżący przykład. Współrzędne punktów A i B to: A = (4; -1) , B = (1, -5). Aby obliczyć długość odcinka oznaczonego przez nas przez x, wystarczy odjąć od siebie współrzędne „iksowe” i wyciągnąć z nich wartość bezwzględną:x = |4 – 1| = 3Analogicznie możemy obliczyć y, z tym, że odejmujemy współrzędne „igrekowe”:y = |-1 – (-5)| = |-1 + 5| = 4Dalsze obliczenia są takie same jak wcześniej.
![Page 12: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/12.jpg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 1.Oblicz długość odcinka którego końcami są punkty:
A = (2; -3) , B = (-1; -7).Postępujemy zgodnie ze wskazówkami z poprzedniej
planszy.x = |2 – (-1)| = |2 + 1| = 3
y = |-3 – (-7)| = |-3 + 7| = 4|AB|2 = 32 + 42
|AB|2 = 9 + 16 = 25|AB| = 5
![Page 13: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/13.jpg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 1.Oblicz długości boków narysowanego trójkąta.
Wypiszmy najpierw współrzędne punktów:A = (-2; 4) , B = (1; -3) ,C = (4; 2).Dla boku AB mamy:x = |-2 – 1| = |-3| = 3y = |4 – (-3)| = |4 + 3| = 7|AB|2 = 32 + 72
|AB|2 = 9 + 49 = 58|AB| = 58
![Page 14: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/14.jpg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1 – ciąg dalszy.Dla boku AC mamy:x = |-2 – 4| = |-6| = 6y = |4 – 2| = 2|AC|2 = 62 + 22
|AC|2 = 36 + 4 = 40|AC| = = 240 10
![Page 15: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/15.jpg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 1. – ciąg dalszyDla boku BC mamy:x = |1 – 4| = |-3| = 3y = |-3 – 2| = |-5| = 5|BC|2 = 32 + 52
|BC|2 = 9 + 25 = 24|BC| = 6224
![Page 16: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/16.jpg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 2.Oblicz odległość punktu A = (12; -5) od początku układu
współrzędnych.Początek układu współrzędnych to punkt O = (0; 0)
mamy więc dla odcinka AO:x = |12 – 0| = 12
y = |-5 – 0| = |-5| = 5 – do obliczeń wystarczy więc wziąć wartość bezwzględną ze współrzędnych
|AO|2 = 122 + 52
|AO|2 = 144 + 25 = 169|AO| = 13
![Page 17: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/17.jpg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 3. Czy punkt A = (-6; 8) leży na okręgu o promieniu 10 i początku w układzie współrzędnych?Aby punkt leżał na takim okręgu jego odległość od początku układu współrzędnych musi wynosić 10. Sprawdźmy dla punktu A:x = |-6| = 6y = |8| = 8|AO|2 = 62 + 82
|AO|2 = 36 + 64 = 100|AO| = 10A więc ten punkt leży na danym okręgu.
![Page 18: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/18.jpg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 4.Znajdź współrzędne punktów z rysunku.
Z rysunku można odczytać współrzędne x oraz promień koła. Mamy:r = 5A = (2; …) , B = (2; …)Współrzędną y znajdziemy korzystając z tego, że:|AO| = r = 5|BO| = r = 5
![Page 19: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/19.jpg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.ZADANIE 4 – ciąg dalszy.Mamy więc:52 = 22 + y2
25 = 4 + y2
25 – 4 = y2
y2 = 21W takim razie y = dla punktu A i y = - dla punktu
B. Zatem:A = (2; )B = (2; - )
21 21
21
21
![Page 20: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/20.jpg)
WZÓRJeśli ktoś woli mieć gotowy przepis na obliczanie długości odcinków w układzie współrzędnych w oparciu o podane już informacje może wyprowadzić wzór.Oznaczmy współrzędne dwóch punktów:P1 = (x1; y1) , P2 = (x2; y2)
Wtedy długości odcinków oznaczonych przez nas przez x i y obliczymy tak:x = |x1 - x2 |
y = |y1 - y2 |
A więc :|P1 P2 |2 = x 2 + y 2 = |x1 - x2 |2 + |y1 - y2 |2
![Page 21: Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081603/56814bed550346895db8cd08/html5/thumbnails/21.jpg)
WZÓRP1 = (x1; y1) , P2 = (x2; y2)
Wzór ten można nieco udoskonalić. Wiesz jak?
221
22121 yyxxPP