Materiales complementarios

Presentación

Ecuaciones de primer grado

IdentidadesUna identidad es una expresión de

igualdad que se cumple para todo valor que asignemos a las variables en ella.Ejemplo:

(x+5)(x-5)=x2-25

No importa qué valor asignemos a la variable x, la igualdad siempre producirá valor verdadero.

Una ecuación, por el contrario, no es verdadera para cualquier valor de sus variables. Es más, puede ocurrir que no existan valores reales que permitan que la igualdad produzca un valor verdadero.

Resolver una ecuación es buscar y encontrar, si es posible, todos los valores de sus variables que satisfacen la igualdad; es decir, que hacen que se produzca un valor verdadero. Estos valores, si existen, se denominan raíces o soluciones de la ecuación.

Ecuaciones

Existen diferentes tipos de ecuaciones. Esto depende de las expresiones que se comparan con la igualdad. Existen ecuaciones algebraicas y no algebraicas.

Las ecuaciones algebraicas, a su vez, se clasifican en:ecuaciones polinomialesecuaciones racionalesecuaciones radicalesecuaciones de valor absoluto

Ecuaciones

• Una ecuación es polinomial si se puede reducir a la expresión de un polinomio igualado con cero.

• Su forma algebraica es:

Ecuación Polinomial

P(x)=0

• Es la que relaciona fracciones algebraicas por medio de la igualdad. Es importante señalar que, una fracción algebraica tiene variables tanto en su numerador como en su denominador.

• La forma general de una ecuación racional es:

Ecuación racional

( ) ( )( ) ( )

P x M xQ x N x

• Es la que tiene radicales en su expresión; es decir, tiene raíces de cualquier índice.Ejemplo:

Ecuación radical

9 1 8 5x x

Ecuaciones de primer grado

También conocidas como ecuaciones lineales porque al graficarlas en el plano cartesiano su gráfica es la de una línea recta, se pueden expresar en la forma general:

ax+b=0que es una expresión donde la variable tiene como máximo exponente a la unidad.

El proceso por el cual estas ecuaciones se pueden resolver se denomina “despeje” y consiste en agrupar todos los términos que contengan variables en una lado de la igualdad y, en el otro lado de ella, las cantidades sin variables.

Este proceso se realiza moviendo términos de un lado de la igualdad al otro, respetando las reglas para que la igualdad continúe siendo verdadera, llamadas “reglas de despeje”.

Reglas de despejeÉstas tiene su base en las propiedades de la igualdad.

Propiedad de identidad:x=x:”Una cantidad es igual a sí

misma”.Propiedad de simetría:

Sí a=b, entonces b=a: “Si una cantidad es igual a una

segunda y ésta es igual a una tercera, entonces la primera y la tercera son iguales”.

Propiedad transitiva:Si a =b y b=c, entonces a=c:

“Si una cantidad es igual a una segunda y ésta es igual a una tercera, entonces la primera y la tercera son iguales”.

Propiedad transitiva:Si a =b y b=c, entonces a=c:

“Si una cantidad es igual a una segunda y ésta es igual a una tercera, entonces la primera y la tercera son iguales”.

Reglas prácticasSólo se puede mover una cantidad

que afecte a TODAS las que le acompañan en su lado de la igualdad al otro lado. Si no afecta TOTALMENTE a todas sus compañeras, no se puede mover.

Reglas prácticasSi una cantidad se mueve de un lado

al otro de la igualdad (porque cumple la condición anterior), ésta pasará al otro lado realizando la operación inversa a TODA la expresión que se localice al otro de la igualdad; es decir, si está sumando, pasa al otro restando; si está multiplicando, pasa al otro lado dividiendo ; si está como potencia, pasa al otro lado cono raíz: etcétera.

Ejemplo usando propiedadesResuelve la ecuación 4x – 7 = 13

Queremos que el término que tiene la variable x quede solo. Sumemos 7, a ambos lados de la unidad:

4x – 7 + 7 = 13 + 74x – 7 + 7 = 204x = 20

Ejemplo usando propiedades

que lleva a la expresión:

4 04 4

2x

Para que la variable x quede sola, debemos dividir ambos lados entre 4:

4 54x

de donde, finalmente se tiene que:

5x

Ejemplo usando las reglas prácticas

4x-7=134x=13+7

De la misma ecuación, queremos que el término de x quede solo en el lado izquierdo. Movemos el 7 al lado derecho, como esta restando pasará sumando:

que simplificando es:

204x

4x=20Ahora movemos el 4, como está

multiplicando pasa dividiendo:obteniendo

finalmente5x