Material Suplementario

Introducción a la

teoría de conjuntos

crodzmateupra.wordpress.com

Universidad de Puerto Rico en Arecibo

Departamento de Matemáticas

Original: Prof. Yuitza T. Humarán Martínez

Adaptación: Prof. Caroline Rodríguez

Conjunto

Un conjunto es una colección bien definida

de objetos.

“Bien definida” se refiere a que para cualquier elemento

que consideramos, podemos determinar si está o no, en el

conjunto. Esto es, hay que evitar definir conjuntos que

dependan de opiniones o preferencias.

Ejemplos

Conjuntos bien definido

– El conjunto de las vocales del alfabeto españon.

– El conjunto de los profesores de matemáticas de la

UPRA durante el primer semestre del 2012-2013.

Conjunto que NO está bien definido

– El conjunto de los mejores sabores de mantecado

– El conjunto de los actores más guapos de Hollywood

Elementos

A los objetos que forman un conjunto se les llama

elementos.

Se dice que un elemento pertenece al conjunto o

que es miembro del conjunto.

Por ejemplo,

– “a” es elemento del conjunto de vocales de la

lengua española.

– “azul” es elemento del conjunto de los colores

primarios.

Notación de lista para conjuntos

Un conjunto puede representarse haciendo la lista de sus

elementos separados por comas y entre llaves. Esta

notación se conoce como forma de listado o lista.

Por ejemplo:

1. El conjunto de las vocales de la lengua española se

denota

{a, e, i, o, u}.

2. El conjunto de los colores primarios se denota

{azul, rojo, amarillo}.

Notación de conjuntos

Se utilizan letras mayúsculas, como A, B, C,…, para

denotar o representar conjuntos.

Por ejemplo:

– El conjunto de las vocales de la lengua española se

puede denotar,

V = {a, e, i, o, u}

– El conjunto de los colores primarios se puede denotar,

C = {azul, rojo, amarillo}.

Notación de elementos

Un elemento cualquiera de un conjunto se denotan con una

letra minúscula.

Para un conjunto A, escribimos a ∈ A si a es elemento de A

(a pertenece al conjunto A).

Si b NO es elemento de A, escribimos b ∉ A.

Por ejemplo:

– Sea B = {☼, ♫, ☺, □} entonces,

• ☺∈ B

• @ ∉ B

Conjunto vacío

El conjunto vacío o nulo, es el conjunto que no contiene

elementos.

Se denota como { } o Ø.

Por ejemplo:

– El conjunto de los estudiantes de este salón que han

ido al satélite de la Tierra, la luna.

Naturales

Números de conteo

– {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

– A este conjunto se le asigna la letra N.

– N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Nota: La elipsis, …, se utiliza para denotar que el conjunto

continúa, siempre y cuando se entienda cuál es el patrón

que genera los elementos.

Notación constructiva para conjuntos

Otra representación para un conjunto es la forma

constructiva o generadora de conjuntos.

Al igual que en forma de listado se utilizan llaves.

Ejemplo:

– El conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, …, 10} en notación

descriptiva se puede escribir,

A = { a | a es un natural menor que 11} ó

A = { a | a es un natural menor o igual a 10}

A = {a∈N | a < 11}

A = {a∈N | a ≤ 10}

Notación de lista a constructiva

Ejemplo: Escriba el conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, 100}

en notación constructiva.

C = {x ∈ N | x < 101}

C = {x | x ∈ N y x < 101}

C = {x ∈ N | x ≤ 100}

C = {x | x ∈ N y x ≤ 100}

Observación: D = {x | x ≤ 100}, es un conjunto distinto, ya que

D contiene TODOS los números menores o iguales a 100.

Por ejemplo,

0 ∈ D pero 0 ∉ C;

-50 ∈ D pero -50 ∉ C;

½ ∈ D pero ½ ∉ C

2 ∈ D pero 2 ∉ C

25.35 ∈ D pero 25.35 ∉ C

Notación descriptiva a lista

Ejemplo: Escriba el conjunto en forma

descriptiva usando notación de conjuntos y

en forma de lista: El conjunto de los

naturales entre 5 y 10

Solución:

forma generadora: {x ∈ N | 5 < x < 10}

forma de lista: {6, 7, 8, 9}

Subconjunto

C es subconjunto de D y escribimos

C D si cada elemento de C es también un

elemento del conjunto D.

Por ejemplo:

Sea D = {1, 2, 3, %, 0} y

C = {%, 1} entonces,

C D.

¿D es subconjunto de D?

Ejemplo

Si A = {lunes, martes, jueves} y

B = {lunes, martes, viernes} entonces

B no es subconjunto de A.

– ¿Por qué?

– Porque B tiene un elemento(viernes)

que no es elemento de A.

– Si B no es subconjunto de A, escribimos

B A.

Conjunto universo

El conjunto universo es el conjunto que contiene todos los elementos de los conjuntos bajo consideración.

Se denota U.

Por ejemplo:

– A = {1, 2, 3, 5, 7}

– B = {2, 4, 6, 8}

– C = {2, 5, 10}

– El conjunto universo más pequeño para estos conjuntos es:

U={1, 2, 3,4,5,6,7,8,10}

Otro conjunto universo podría ser:

U={1, 2, 3,4,5,6,7,8,9,10}

Operación de conjuntos: Complemento

• El complemento de un conjunto A, denotado A’ o

𝐴 , es el conjunto de todos los elementos del

conjunto universo, U, que no pertenecen al

conjunto A.

• Ejemplo: Sea U={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} y

(1) A = {1, 2, 4, 10} entonces,

A’ = {3, 6, 7, 8, 9}

(2) B = { 2, 4, 6, 8, 10}

B’ = {1, 3, 7, 9}

Operación de conjuntos: Unión

Para los conjuntos A y B la unión de A

y B está dada por:

A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}.

Este conjunto contiene a los elementos

en A o en B o en ambos.

Ejemplo

Si A = {2, 4, 6, 8, 10},

B = {6, 8, 10, 12, 14} y

C = {14, 16, 18}, determine:

A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

A ∪ B ∪ C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

Ejemplo

Sea C = conjunto de los números

Cardinales.

Entonces, C se puede definir como

C = 𝑁 ∪ {0}

ya que C = {0, 1, 2, 3, 4,…}

Operación de conjuntos: Intersección

Para A, B la intersección de A y B está

dada por:

A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}.

Este conjunto contiene todos los

elementos que están en A y en B

simultáneamente.

Ejemplo

Si A = {2, 4, 6, 8, 10},

B = {6, 8, 10, 12, 14} y

C = {2, 16, 18}, determine:

1. A ∩ B =

2. A ∩ C =

3. B ∩ C =

{6, 8, 10}

{2}

{ }

Conjuntos disyuntos

Si A ∩ B = Ø entonces A y B son

conjuntos disyuntos.

Dos conjuntos son disyuntos si no

tienen elementos en común.

Por ejemplo,

Si A= {Jesús, María, José} y

B = {Juan, Esther, Angel}

Entonces A y B son disyuntos.

Si A= {1, 2, 3} y

B = {1.1, 1.2, 1.3}

Entonces A y B son disyuntos.

Práctica

Determinar si los siguientes conjuntos son

disyuntos o no.

1. el conjunto de los números naturales impares y

el conjunto de los números naturales pares

2. F = { tiza, profesor, regla}

E = { pizarrón, tiza, borrador}

3. V = {v | 6 < v ≤ 12}

W = {w | 12 < w ≤ 20}

4. N = conjunto de los números naturales

C = conjunto de los números cardinales

Práctica 1

En los ejercicios siguientes si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A= {1, 2, 4, 5, 8} B = {2, 3, 4, 6} Determine: a) B’ =

b) A ∩ B’ =

c) A′ ∪ (A ∩ B) =

d) (A U B)’ =

{1, 5, 7, 8}

{1, 5, 8}

3, 6, 7 ∪ {2,4} = 2, 3, 4, 6, 7

({1, 2, 3, 4, 5, 6, 8})’ ={7}

Práctica 2

En los ejercicios siguientes si U = {0,1, 2, 3, 4, 5, …} A= {1, 2, 3, 4, … }

B = {4, 8, 12, 16, …} C= {2, 4, 6, 8, … } Determine: a) A ∪ B =

Examimenos: A={1,2,3,4,…7,8,9,…11,12,13…15,16,17,… } B = {4, 8, 12, 16, …} Como cada elemento de B es natural, B A. Por lo tanto, A ∪ B = A

∅

Práctica 2- continucación

En los ejercicios siguientes si U = {0,1, 2, 3, 4, 5, …} A= {1, 2, 3, 4, … }

B = {4, 8, 12, 16, …} C= {2, 4, 6, 8, … } Determine: c) A’ ∩ C =

0 ∩ 2, 4, 6, 8… = ∅

Examimenos: A′={0}

C = {2, 4, 6, 8, …} Por lo tanto, A’ ∩ C =

Práctica 2- continucación

En los ejercicios siguientes si U = {0,1, 2, 3, 4, 5, …} A= {1, 2, 3, 4, … }

B = {4, 8, 12, 16, …} C= {2, 4, 6, 8, … } Determine: c) (B U C)’ U C=

C’ U C = U

Examimenos:

C= {2, 4, 6, 8, …,10, 12, 14, 16… } B = {4, 8, 12, 16, …} Note B C, por lo tanto (B U C) = C Y por definición de complemento,