Material elaborado por Mara Terezinha Mariotti, Rodrigo...

___________________________________________________________________ Material elaborado por Mara Terezinha Mariotti, Rodrigo Coral e Carla Regina Kuss Ferreira Atualizado por Milton Procópio de Borba

Este texto é apenas um resumo para orientação e auxilio do aluno, maiores informações sobre a matéria devem ser extraídas dos livros. Os alunos não devem se apegar apenas neste material.

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1. TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

As tabelas resumem as informações obtidas da amostra ou da população. Essas

tabelas podem ser construídas sem ou com perda de informações.

As tabelas sem perda de informação são construídas listando-se os valores da

variável referentes à amostra ou população, um em cada linha e marcando-se quantas

vezes cada um desses valores se repete. Essa quantidade recebe o nome de freqüência.

Por isso, a tabela que relaciona o valor da variável com a freqüência correspondente

recebe o nome de “Tabela de Distribuição de Freqüência”.

Quando a variável assume muitos valores a tabela sem perda de informação

pode ficar muito grande. Daí surge a necessidade de agrupar os dados em intervalos de

classe, com limite inferior e limite superior. Essa tabela mostra uma perda de

informação, pois os valores originais da variável não aparecem mais individualmente.

Ao usar a Tabela de Distribuição de Freqüências com intervalos de classe ganhamos em

simplicidade, mas perdemos em pormenores.

Para cada classe a quantidade de vezes em que cada valor aparece é marcada.

Cada valor da variável deve pertencer a apenas uma das classes.

A Tabela de Distribuição de Freqüência com perda de informação reorganiza

os valores em ordem crescente ou decrescente de grandeza, tal que uma característica da

população é dividida em classes, indicando-se a quantidade de ocorrências em cada

classe, relacionando cada valor (ou intervalo) com a sua freqüência.

Uma companhia fabrica tubos de PVC. De cada lote fabricado, alguns tubos são

inspecionados pelo controle de qualidade da empresa. Nesta inspeção são coletadas

algumas medidas como: diâmetro interno, diâmetro externo e comprimento do tubo. Os

dados a seguir são referentes aos diâmetros internos (em milímetros) de 60 tubos de

PVC.



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Tabela 1: Tabela Primitiva

73,8 72,9 74,3 74,0 73,6 74,1 73,5 73,4 72,8 73,7 73,6 73,5 72,5 73,3 74,2 72,0 72,4 74,5 73,6 74,2 74,0 72,8 73,8 72,5 72,5 73,3 73,0 73,2 73,0 73,9 73,4 73,8 74,0 73,5 73,2 73,5 72,7 73,4 73,2 73,6 72,6 73,2 73,7 73,1 74,6 73,5 73,5 72,9 73,9 73,1 73,6 73,3 73,9 74,1 73,4 73,0 73,0 74,2 74,6 72,7

Esses dados são chamados de dados primitivos e são mostrados sem seguir

ordem alguma. O ideal seria ordená-los para então poder separá-los em classes. Quando

ordenamos os dados transformamos a “Tabela Primitiva” em uma tabela ordenada,

chamada de Rol.

Tabela 2: Rol

72,0 72,7 73,0 73,2 73,3 73,5 73,6 73,8 74,0 74,2 72,4 72,7 73,0 73,2 73,4 73,5 73,6 73,8 74,0 74,2 72,5 72,8 73,0 73,2 73,4 73,5 73,6 73,8 74,0 74,3 72,5 72,8 73,0 73,2 73,4 73,5 73,6 73,9 74,1 74,5 72,5 72,9 73,1 73,3 73,4 73,5 73,7 73,9 74,1 74,6 72,6 72,9 73,1 73,3 73,5 73,6 73,7 73,9 74,2 74,6

Com a tabela ordenada fica fácil visualizarmos o menor valor de diâmetro e o

maior valor de diâmetro. Assim, podemos calcular a amplitude amostral (AA), que é a

diferença entre o maior valor e o menor valor que a variável assume no problema.

AA = xmax - xmin

Nesse caso, a amplitude amostral é AA = 74,6 – 72,0 = 2,6 mm.

Para calcular o número de classes (i) ou categorias que devemos utilizar para os

60 diâmetros, usamos a Regra de Sturges:

i = 1 + 3,3. log n



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Essa regra nos dá o número de classes em função do tamanho da amostra.

Assim, i = 1 + 3,3. log 60 = 6,8678 ~ 7 (arredonda-se sempre para o número inteiro

mais próximo, pois o número de classes deve ser inteiro).

A Tabela de Distribuição de Freqüências terá 7 classes e amplitude amostral 2,6

mm.

A amplitude do intervalo de cada uma das classes (h) é encontrado através da

fórmula:

iAA

=h

A amplitude do intervalo de classe é 4,0~3714,0=76,2

=i

AA=h

Com os valores de AA , i e h podemos iniciar a construção da Tabela de

Distribuição de Freqüência.

A tabela deverá ter 8 linhas, uma para o cabeçalho e uma para cada uma das 7

classes. Inicialmente o número de colunas deve ser 3 ( uma para numerar as classes,

outra para os intervalos de classe e a 3ª. para as freqüências simples (f i) de cada classe,

como mostra a tabela a seguir.

Tabela 3: Tabela de Distribuição de Freqüência Simples

i Diâmetros (mm) f i

1 72,0├ 72,4 1

2 72,4├ 72,8 7

3 72,8 ├ 73,2 10

4 73,2├ 73,6 17

5 73,6 ├ 74,0 13

6 74,0├ 74,4 9

7 74,4├ 74,8 3

Importante: o arredondamento do i deve ser sempre e fetuado

para cima usando o mesmo número de casas decimais d os elementos

da amostra para que nenhum elemento fique fora da t abela.



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Como foi montada a Tabela de Distribuição de Freqüência

Para montar a tabela você deverá seguir os passos:

1ª. COLUNA: i

Inicialmente numeramos a 1ª. coluna de 1 a 7, pois temos 7 classes.

2ª. COLUNA: diâmetros (mm)

A primeira classe deve ter como limite inferior (li) o menor valor que a variável

diâmetro assume no problema, ou seja, l1 =72,0 mm. Como o valor de h = 0,4 o limite

superior (Li) deve ser 72,0 acrescido de h = 0,4. Logo, o limite superior da primeira

classe será L 1 = 72,4 mm.

O limite superior de uma classe aparece sempre como o limite inferior da

classe seguinte. Assim, o limite inferior da 2ª classe será l2 = 72,4 mm. O limite

superior da 2ª classe é igual ao limite inferior da desta classe acrescido de h (L 2 = 72,8

mm). Desta forma calculamos todos os limites inferiores e superiores como mostra a

tabela acima.

O símbolo├ colocado entre o limite inferior e o limite superior de cada classe

representa a notação de intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. Isso significa

que em cada uma das classes o limite superior não entra na contagem, mas entra como

limite inferior da classe seguinte. Apenas a última classe pode incluir os dois limites

(inferior e superior) se o valor de h for exato (sem a necessidade de arredondamento).

Como já citado anteriormente, cada valor da variável deve pertencer a apenas uma das

classes.

Se olharmos na tabela ordenada (Rol) notamos que o valor de diâmetro 72,4 mm

aparece uma vez. O valor 72,4 mm é o limite inferior da 1ª classe e também o limite

superior da 2ª classe.



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3ª. COLUNA: f i

Em qual das duas classes essa freqüência deve aparecer? Usando a notação

de intervalos adotada aqui (├) devemos inserir essa freqüência (o valor 72,4 mm

aparecendo uma vez) na 2ª classe.

Assim, sistematizamos da seguinte forma:

• na 1ª classe contamos todas as ocorrências de diâmetros entre 72,0 mm e

72,4 mm, exceto o diâmetro 72,4 mm já que este entrará na próxima

classe (f1 = 1);



classe (f2 = 7);



classe (f3 = 10);



classe (f4 = 17);



classe (f5 = 13);



classe(f6 = 9);

• na 7ª e última classe contamos todas as ocorrências de diâmetros entre

74,4 mm e 74,8 mm. Como esta é a última classe o valor pode ser

contado, se houver, pois não existe uma classe posterior à última (f7 = 3).

• A soma de todas as freqüências simples (f i) é igual ao tamanho da

amostra (n). Assim, f1+ f2+ f3+ f4+ f5+f6+ f7 = n ou Σ fi = n.

Mas a Tabela de Distribuição de Freqüências não pára por aí. Existem outras

freqüências que podem ser calculadas.



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Freqüências Relativas (fri): são as freqüências simples transformadas em

percentuais. Calculamos pela razão entre a freqüência simples e o tamanho da amostra.

As freqüências relativas têm o intuito de permitir a análise ou facilitar comparações.

100.nf

=fr ii e Σ fr i = 100%

Calculando as freqüências relativas das 7 classes temos:

%7,1...66666,1100.60

1100.1

1 ≈===n

ffr

%7,11...66666,11100.60

7100.2

2 ≈===n

ffr

%7,16...66666,16100.60

10100.3

3 ≈===n

ffr

%3,28...33333,28100.60

17100.4

4 ≈===n

ffr

%7,21...66666,21100.60

13100.5

5 ≈===n

ffr

%0,15100.60

9100.6

6 ===n

ffr

%0,5100.60

3100.7

7 ===n

ffr

%1,1000,50,157,213,287,167,117,1 =++++++=Σ ifr

O somatório das freqüências relativas deve ser igual a 100% e não igual a

100,1%. Isso acontece devido aos arredondamentos. Quando ocorre de termos um

somatório diferente de 100% devemos compensar essa diferença na maior parcela, pois

nessa parcela ocorre o menor erro percentual. Nesse caso a maior parcela é o valor da

freqüência relativa da 4ª classe (fr 4 = 28,3%). Para que a soma das freqüências relativas

passe de 100,1% para 100% a freqüência relativa da 4ª classe deve passar de 28,3% para

28,2% (fr 4 = 28,2%).

Assim, %0,100=0,5+0,15+7,21+2,28+7,16+7,11+7,1=frΣ i .



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Freqüências Acumuladas (Fi): é o total das freqüências de todos os valores

inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.

Fk = f1 + f2 + ... + fk ou Fk = Σf i (i = 1, 2,..., k)

Calculando as freqüências acumuladas das 7 classes temos:

1=f=F 11

8=7+1=f+F=f+f=F 21212

18=10+8=f+F=f+f+f=F 323213

35=17+18=f+F=f+f+f+f=F 4343214

48=13+35=f+F=f+f+f+f+f=F 54543215

57=9+48=f+F=f+f+f+f+f+f=F 656543216

60=3+57=f+F=f+f+f+f+f+f+f=F 7676543217

Freqüências Relativas Acumuladas (Fri): é a soma das freqüências relativas

de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.

Fr k = fr1 + fr2 + ... + frk ou Fr k = Σfr i =100% (i = 1, 2,..., k)

Calculando as freqüências relativas acumuladas das 7 classes temos:

%7,1=fr=Fr 11

%4,13=7,11+7,1=fr+Fr=fr+fr=Fr 21212

%1,30=7,16+4,13=fr+Fr=fr+fr+fr=Fr 323213

%3,58=2,28+1,30=fr+Fr=fr+fr+fr+fr=Fr 4343214

%0,80=7,21+3,58=fr+Fr=fr+fr+fr+fr+fr=Fr 54543215

%0,95=0,15+0,80=fr+Fr=fr+fr+fr+fr+fr+fr=Fr 656543216

%0,100=0,5+0,95=fr+Fr=fr+fr+fr+fr+fr+fr+fr=Fr 7676543217

Ponto Médio (xi): é o ponto que divide uma classe em duas partes iguais.



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2L+l

=x iii

Calculando os pontos médios de cada uma das 7 classes temos:

2,72=2

4,72+0,72=

2L+l

=x 111

6,72=2

8,72+4,72=

2L+l

=x 222

0,73=2

2,73+8,72=

2L+l

=x 333

4,73=2

6,73+2,73=

2L+l

=x 444

8,73=2

0,74+6,73=

2L+l

=x 555

2,74=2

4,74+0,74=

2L+l

=x 666

6,74=2

8,74+4,74=

2L+l

=x 777

Repare que: x2 – x1 = x3 – x2 = x4 – x3 = x5 – x4 = x6 – x5 = x7 – x6 = h = 0,4.

Assim:

x2 = x1 +h = 72,2 + 0,4 = 72,6

x3 = x2 +h = 72,6 + 0,4 = 73,0

x4 = x3 +h = 73,0 + 0,4 = 73,4

x5 = x4 +h = 73,4 + 0,4 = 73,8

x6 = x5 +h = 73,8 + 0,4 = 74,2

x7 = x6 +h = 74,2 + 0,4 = 74,6

A seguir você pode visualizar a Tabela de Distribuição de Freqüência

Completa.



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Tabela 4: Tabela de Distribuição de Freqüências Completa

Histograma

É um gráfico de barras verticais, fornecendo a freqüência para cada intervalo de

classe.

Exercícios Propostos

1. Um radar da polícia rodoviária registrou as velocidades de 50 veículos em

uma rodovia, obtendo-se os seguintes dados (velocidades em km/h), já ordenados de

forma crescente. Construa a tabela de distribuição de freqüência completa e o

Histograma.

35,9 65,6 68,0 74,0 77,2 78,5 79,3 80,0 80,7 83,0 36,8 65,7 70,2 75,0 77,9 78,6 79,6 80,0 80,9 83,1 50,3 67,2 71,9 75,3 78,1 79,0 79,6 80,0 81,0 83,7 55,4 67,8 73,6 75,6 78,2 79,2 79,9 80,2 81,6 85,0 60,7 68,0 73,9 77,0 78,3 79,2 80,0 80,5 82,0 90,6

i Diâmetros (mm) f i fr i (%) F i Fr i (%) xi

1 72,0├ 72,4 1 1,7 1 1,7 72,2

2 72,4├ 72,8 7 11,7 8 13,4 72,6

3 72,8 ├ 73,2 10 16,7 18 30,1 73,0

4 73,2├ 73,6 17 28,2 35 58,3 73,4

5 73,6 ├ 74,0 13 21,7 48 80,0 73,8

6 74,0├ 74,4 9 15,0 57 95,0 74,2

7 74,4├ 74,8 3 5,0 60 100,0 74,6

Σ fi = 60 Σ fr i =100,0



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2. Foram ensaiados 100 corpos de prova de aço ABNT 1020, e obtidas as

seguintes medidas referentes à sua tensão de ruptura (em kgf/mm2), já ordenadas de

forma crescente. Com base nos dados, construa a tabela de distribuição de freqüência

completa e o Histograma.

3. A tabela abaixo traz os comprimentos (em cm) de 28 componentes

eletrônicos. Construa a tabela de distribuição completa e o Histograma.

4,3 3,9 4,5 4,6 4,3 4,1 4,3 4,5 3,2 3,7 3,5 2,9 4,1 4,0 3,8 4,2 4,2 4,2 4,5 4,3 4,3 4,4 4,2 3,8 4,5 4,5 4,0 4,5

4. Uma empresa fabricante de lâmpadas deseja testar uma parte de sua produção.

Selecionou 60 lâmpadas de 100W e deixou-as ligadas até te que queimassem. O tempo

de vida útil de cada uma delas está registrado na tabela abaixo. Construa a tabela de

distribuição completa e o Histograma.

35,8 36,5 37,2 37,9 38,6 38,8 39,1 39,9 40,5 41,3 36,0 36,6 37,3 38,0 38,6 38,8 39,2 40,0 40,5 41,5 36,0 36,7 37,3 38,0 38,7 38,9 39,2 40,0 40,6 41,5 36,0 36,7 37,3 38,1 38,7 38,9 39,2 40,1 40,7 41,5 36,1 36,7 37,4 38,1 38,7 39,0 39,2 40,1 41,0 41,7 36,1 36,8 37,4 38,2 38,8 39,0 39,3 40,2 41,1 41,7 36,2 36,8 37,4 38,2 38,8 39,0 39,3 40,2 41,1 41,9 36,3 37,0 37,4 38,5 38,8 39,0 39,3 40,3 41,2 42,0 36,4 37,1 37,5 38,5 38,8 39,0 39,7 40,4 41,3 42,0 36,5 37,1 37,5 38,6 38,8 39,1 39,8 40,5 41,3 42,2

684 796 859 939 773 697 693 721 832 902 1004 857 819 907 1038 912 1005 952 836 888 962 1096 994 918 868 905 926 786 852 870 893 922 1016 760 860 899 911 938 1093 1016 859 971 924 1041 742 920 848 977 1005 1080 821 852 876 1014 1052 773 909 762 984 954



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2. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU MEDIDAS DE POSIÇ ÃO

Para melhor caracterizar um conjunto de valores que uma variável pode assumir

é preciso escolher um valor único que represente todos os valores dessa amostra. As

medidas de posição ou tendência central sugerem uma concentração dos dados em torno

delas. Essas medidas são:

• Média;

• Moda;

• Mediana.

2.1 Média da Amostra (x )

“A média de um conjunto de números é um valor que, levando em conta a

totalidade dos elementos do conjunto, pode substituir a todos, sem alterar determinada

característica desse conjunto”. (LOPES, 1999, p.24)

Para calcular a média deve-se multiplicar cada valor pelo número atribuído à sua

importância no conjunto, somar todos os produtos obtidos e dividir o total pela soma

dos pesos.

Dados agrupados

i

ii

fΣf.xΣ

=x

Lembre-se que ifΣ = n.

Dados não agrupados

n

xx iΣ

=

onde,

x é a média da amostra de n elementos (é uma estatística);

n é o números de elementos da amostra;



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ix (i = 1, 2, 3, ... , n) são os valores das n observações.

1. Um aluno fez 3 avaliações. Na 1ª. obteve nota 8,0, na 2ª. obteve nota 4,0 e na

3ª. obteve nota 6,0. Qual foi a sua média?

Resolução: As 3 provas tem pesos iguais, logo devemos somar as 3 notas e

dividir o resultado da soma por 3. Daí: 0,6=3

0,6+0,4+0,8=x .

2. Um aluno fez 3 avaliações, 2 provas e 1 trabalho. Obteve nas provas 5,0 e 9,0,

respectivamente. No trabalho obteve nota 9,0. O trabalho tem peso 1 e cada prova tem

peso 2. Qual foi a sua média?

Resolução: Devemos multiplicar cada nota pelo peso que lhe é atribuído, somar

todos esses produtos e dividir pela soma dos pesos. Daí:

4,7=1+2+2

1.0,9+2.0,9+2.0,5=x .

3. Calcule a média da tabela 4.

Resolução: O ideal é criar uma coluna na Tabela de Distribuição de

Freqüência responsável pelos resultados dos produtos de cada valor pelo peso

correspondente (xi.fi), como mostra a tabela 6.

Tabela 5: Tabela de Distribuição de Freqüências com o Cálculo da Média

i Diâmetros (mm) f i fr i (%) F i Fr i (%) xi xi.fi

1 72,0├ 72,4 1 1,7 1 1,7 72,2 72,2

2 72,4├ 72,8 7 11,7 8 13,4 72,6 508,2

3 72,8 ├ 73,2 10 16,7 18 30,1 73,0 730,0

4 73,2├ 73,6 17 28,2 35 58,3 73,4 1247,8

5 73,6 ├ 74,0 13 21,7 48 80,0 73,8 959,4

6 74,0├ 74,4 9 15,0 57 95,0 74,2 667,8

7 74,4├ 74,8 3 5,0 60 100,0 74,6 223,8

Σ fi = 60 Σ fr i =100,0 Σ xi.fi = 4409,2



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Os cálculos:

2,72=1.2,72=f.x=f.x 11ii

2,508=7.6,72=f.x 22

0,730=10.0,73=f.x 33

8,1247=17.4,73=f.x 44

4,959=13.8,73=f.x 55

8,667=9.2,74=f.x 66

8,223=3.6,74=f.x 77

Assim,

2,4409=8,223+8,667+4,959+8,1247+0,730+2,508+2,72=f.xΣ ii

A média será mmfi

fxx ii 5,73...486666,73

60

2,4409. ≈==Σ

Σ= (usando uma casa

decimal, pois todos os elementos da amostra têm uma casa decimal).

2.2 Moda da Amostra (Mo)

A moda é o valor da variável que aprece com mais freqüência, ou seja, o valor

que aparece mais vezes.

Numa Tabela de Distribuição de Freqüência com perda de informação a

classe com maior freqüência é chamada de classe modal e o valor da moda é dado pelo

ponto médio da classe modal.

Dados agrupados

2L+l

=Mo ii



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Dados não agrupados: Valor que ocorre com maior freqüência de uma

sequencia de dados numéricos dispostos em ordem crescente ou decrescente.

Observação: Quando há apenas uma moda a amostra denomina-se modal; duas

ou mais modas, bimodal. Se todos os valores ocorrerem a mesma quantidade de vezes a

amostra é considerada amodal.

1. Considere os valores: 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6. Qual é o valor da moda?

Resolução: A moda é o valor que mais vezes se repete. Assim, para os dados

acima, Mo = 3.

2. Calcule a moda dos dados contidos na tabela 4.

Resolução: A tabela 4 mostra uma freqüência 17 (marcada em cinza na tabela)

como a maior delas. Logo, a 4ª. classe é a classe modal. O valor da moda é o ponto

médio da classe modal. Assim, Mo = 73,4 mm (marcada em cinza na tabela).

Tabela 6: Tabela de Distribuição de Freqüências Completa com o Cálculo da

Moda

i Diâmetros (mm) f i fr i (%) F i Fr i (%) xi

1 72,0├ 72,4 1 1,7 1 1,7 72,2

2 72,4├ 72,8 7 11,7 8 13,4 72,6

3 72,8 ├ 73,2 10 16,7 18 30,1 73,0

4 73,2├ 73,6 17 28,2 35 58,3 73,4

5 73,6 ├ 74,0 13 21,7 48 80,0 73,8

6 74,0├ 74,4 9 15,0 57 95,0 74,2

7 74,4├ 74,8 3 5,0 60 100,0 74,6



___________________________________________________________________

15

Σ fi = 60 Σ fr i =100,0

2.3 Mediana da Amostra (Md)

A mediana é o valor que se encontra no centro de um conjunto de valores,

estando a amostra ordenada.


mediana é calculada seguindo os passos:

• Calculamos 2n

;

• Calculamos as freqüências acumuladas de todas as classes (Fi);

• Marcamos na Tabela de Distribuição de Freqüência qual é a

freqüência acumulada imediatamente superior à 2n

- está é a classe

mediana;

Dados agrupados:

• Usamos a fórmula: h.f

F-2

1n

lMdi

(ant)

i

−

+= , onde:

l i é o limite inferior da classe mediana;

n é o tamanho da amostra;

F(ant) é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana;

f i é a freqüência simples da classe mediana;

h é a amplitude do intervalo de classe.

Dados não agrupados:

A mediana assim como a média também fornece uma medida de posição central.



___________________________________________________________________

16

Para a obtenção do valor da mediana é necessário que os dados sejam arranjados em

ordem crescente (do menor para o maior).

A mediana é o valor situado no meio da seqüência de observações.

Definição da mediana:

Com os dados já arranjados em ordem crescente, temos duas formas para

obtenção da mediana:

a) Para um número ímpar de observações a mediana é o valor central das observações.

Usamos a fórmula do posicionamento:

2

1+= nentoPosicionam

onde,

n é o número de observações da amostra.

Exercício ilustrativo: retornemos ao exemplo do número de alunos nas salas de aula do

IST. Em nosso exemplo temos 5 salas de aula (número ímpar de observações) com as

seguintes observações:

46 54 42 46 32

Devemos então ordenar os dados de forma crescente:

32 42 46 46 54

Deve-se então localizar o posicionamento da mediana através da formula do

posicionamento:

32

15

2

1 =+=+= nentoPosicionam

então temos,

32 42 46 46 54



___________________________________________________________________

17

1 2 3 4 5

MEDIANA = 46

Para um número par de observações a mediana é a média dos dois valores centrais.

Exercício ilustrativo: retornemos exercício dos alunos recém formados no curso de

Tecnologia em Qualidade e Produtividade, neste exemplo temos uma amostra com um

número par de observações (12 observações).

2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Podemos notar nos dados acima (já em forma ordenada), não temos nem um valor

central específico, e se usarmos a fórmula do posicionamento teremos o seguinte

resultado:

5,62

112

2

1 =+=+= nentoPosicionam

desta forma, pagamos os dois valores centrais (posição 6 e posição 7) e fazemos a

média.

24052

24202390 =+=MEDIANA

1. Considere os valores: 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6. Qual é o valor da mediana?

Resolução: A mediana é o valor central da série. Assim, Md = 3.

2. Considere os valores: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Qual é o valor da mediana?



___________________________________________________________________

18

Resolução: A mediana é o valor central da série. Como está série tem n = 8,

calculamos a mediana pela média entre os valores centrais. Assim,

5,10=2

11+10=Md .

3. Calcule a mediana dos dados da tabela 4.

Resolução: Para calcular a mediana devemos seguir os passos:

• 30=2

60=

2n

;

• As freqüências acumuladas estão na tabela marcadas em cinza;

• A classe mediana é a 4ª classe (marcada em negrito), pois é a que tem

freqüência acumulada imediatamente superior a 30;

• mmhf

n

lMdi

i 5,73...47,734,0.17

)18-5,29(2,73.

F-2

1(ant)

≈=+=

−

+=

(usando uma casa decimal, pois todos os elementos da amostra têm uma casa

decimal).

Tabela 7: Tabela de Distribuição de Freqüências Completa com o Cálculo da

Mediana

i Diâmetros (mm) f i fr i (%) Fi Fr i (%) xi

1 72,0├ 72,4 1 1,7 1 1,7 72,2

2 72,4├ 72,8 7 11,7 8 13,4 72,6

3 72,8 ├ 73,2 10 16,7 18 30,1 73,0

4 73,2├ 73,6 17 28,2 35 58,3 73,4

5 73,6 ├ 74,0 13 21,7 48 80,0 73,8

6 74,0├ 74,4 9 15,0 57 95,0 74,2

7 74,4├ 74,8 3 5,0 60 100,0 74,6

Σ fi = 60 Σ fr i =100,0



___________________________________________________________________

19


1. Calcule a média, a moda e a mediana das amostras A, B e C:

• Amostra A: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15, 16;

• Amostra B: 3, 6, 9, 11, 12, 13;

• Amostra C: 3, 3, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8, 9.

2. Calcule as medidas de posição do exercício proposto1 do capítulo 1.

3. Calcule as medidas de posição do exercício proposto 2 do capítulo 1.



3. MEDIDAS DE VARIABILIDADE OU MEDIDAS DE DISPERSÃO

Verificou-se, ao longo da história da Estatística, que a mais importante e

também a mais usada medida de posição é a média. Porém, sozinha, a média não

fornece toda a informação necessária para descrevermos todos os valores referentes a

uma amostra.

Considere, por exemplo, os valores de duas amostras, A e B:

• Amostra A: 1, 5, 6, 9, 11, 12, 12, 15, 18, 21, 22.



___________________________________________________________________

20

• Amostra B: 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 14, 14.

Embora as duas amostras tenham a mesma média, 12, percebemos que a amostra

A tem uma variabilidade maior do que a amostra B.

Isto indica que é necessário um outro tipo de medida para distinguir os dois

conjuntos dados. Observando os dados, percebemos que o conjunto B apresenta valores

concentrados em relação a média, enquanto que o conjunto A apresenta valores

dispersos (espalhados) em relação à média.

Por isso, além de uma medida de posição, necessitamos de uma outra medida

que possa exprimir a variabilidade dos valores em relação a uma determinada

referência.

As medidas que tratam desta característica são chamadas medidas de

variabilidade ou medidas de dispersão.

São elas:

• Amplitude Total (AT);

• Variância da Amostra (σσσσ 2);

• Desvio Padrão ou Erro Padrão da Amostra (σσσσ);

• Coeficiente de Variação (CV) e

Ainda:

• Dervio Médio;

• Amplitude Modal.

3.1 Amplitude Total da Amostra (AT)

A amplitude total da amostra é a diferença entre o maior e o menor valor

observado.

AT = xmax - xmin

Evidentemente, quanto maior for o valor da amplitude total, maior será a

variabilidade do conjunto.



___________________________________________________________________

21


amplitude total da amostra é calculada pela fórmula:

AT = L k – l1

onde L k é o limite superior da última classe e l1 é o limite inferior da 1a. classe.

A amplitude total é uma medida que considera somente os valores extremos,

ignorando todos os outros, o que poderia levar a uma interpretação pouco acertada a

respeito dos dados.

1. Calcule a amplitude total do exemplo para dados não agrupados:

• Amostra A: 1, 5, 6, 9, 11, 12, 12, 15, 18, 21, 22.

• Amostra B: 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 14, 14.

Resolução:

Amostra A: AT = xmax - xmin = 22 – 1 = 21

Amostra B: AT = xmax - xmin = 14 – 10 = 4

2. Calcule a amplitude amostral dos dados da tabela 6 para dados agrupados.

Tabela 6: Tabela de Distribuição de Freqüências com o Cálculo da Média

i Diâmetros (mm) f i fr i (%) F i Fr i (%) xi xi.fi

1 72,0├ 72,4 1 1,7 1 1,7 72,2 72,2

2 72,4├ 72,8 7 11,7 8 13,4 72,6 508,2

3 72,8 ├ 73,2 10 16,7 18 30,1 73,0 730,0

4 73,2├ 73,6 17 28,2 35 58,3 73,4 1247,8

5 73,6 ├ 74,0 13 21,7 48 80,0 73,8 959,4

6 74,0├ 74,4 9 15,0 57 95,0 74,2 667,8

7 74,4├ 74,8 3 5,0 60 100,0 74,6 223,8

Σ fi = 60 Σ fr i =100,0 Σ xi.fi = 4409,2



___________________________________________________________________

22

Resolução:

Lk =74,8 mm (marcado na tabela em cinza)

l1 = 72,0 mm (marcado na tabela em cinza)

AT = Lk – l1 = 74,8 – 72,0 = 2,8 mm.

3.2 Variância da Amostra (σσσσ 2)

A amplitude total é uma medida de variabilidade instável, pois tem o

inconveniente de levar em conta apenas os dois valores extremos. Essa medida indica

apenas uma aproximação da dispersão do conjunto.

Por esse motivo, buscou-se outra medida que levasse em consideração todos os

valores da amostra e não somente os extremos. A média revelou-se o ponto de

referência adequado. Tendo a média como ponto de referência calcularemos as

diferenças de cada um dos valores em relação à média e somaremos essas diferenças

para obter um total geral.

Ainda considerando o exemplo da amostras A e B, podemos calcular:

Amostra A: 1, 5, 6, 9, 11, 12, 12, 15, 18, 21, 22.

Média da amostra A: 12=11

22+21+18+15+12+12+11+9+6+5+1=x

Para a amostra A temos: (12 – 1) + (12 – 5) + (12 – 6) + (12 – 9) + (12 – 11) +

(12 – 12) + (12 – 12) + (12 – 15) + (12 – 18) + (12 – 21) + (12 – 22) = 11 + 7 + 6 + 3 +

1 + 0 + 0 + (-3) + (-6) + (-9) + (-10) = 0

Amostra B: 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 14, 14.

Média da amostra B:

12=11

14+14+13+12+12+12+12+11+11+11+10=x

Para a amostra B temos: (12 – 10) + (12 – 11) + (12 – 11) + (12 – 11) + (12 –

12) + (12 – 12) + (12 – 12) + (12 – 12) + (12 – 13) + (12 – 14) + (12 – 14) = 2 + 1 + 1 +

1 + 0 + 0 + 0 + 0 + (-1) + (-2) + (-2) = 0



___________________________________________________________________

23

Embora seja uma medida intuitiva, essa soma sempre será igual a zero, pois o

total das diferenças positivas anula-se com o total das diferenças negativas.

Observando-se as parcelas, notamos que o que torna o total igual a zero é o sinal

da diferença. Sendo assim, uma segunda tentativa foi ignorar o sinal, trabalhando com

essas diferenças em módulo.

Para a amostra A, considerando todas as diferenças em módulo teremos como

resultado da soma: 11 + 7 + 6 + 3 + 1 + 0 + 0 + 3 + 6 + 9 + 10 = 56.

Para a amostra B, considerando todas as diferenças em módulo teremos como

resultado da soma: 2 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 2 + 2 = 10.

Repare que novamente caracterizamos a amostra A com variabilidade maior

do que a amostra B.

Mas em Matemática, efetuar operações com módulos é geralmente muito

trabalhoso. Optou-se, então, por tentar tirar o sinal de diferença sem a utilização do

módulo. A solução encontrada foi elevar ao quadrado cada uma dessas diferenças e

somá-las. Daí:

Para a amostra A:

112 + 72 + 62 + 32 + 12+ 02 + 02 + (-3)2 + (-6)2 + (-9)2 + (-10)2 = 442.

Para a amostra B:

22 + 12 + 12 + 12 + 02 + 02 + 02 + 02 + (-1)2 + (-2)2 + (-2)2 = 16.

Comprovamos mais uma vez que a amostra A é mais dispersa que a amostra B.

Como a variabilidade ou dispersão das séries de dados deve ser expressa por

uma síntese, desejamos encontrar um único valor que, levando em conta todos os

outros, não altere a sua característica e que possa representar toda a série. Esse valor

denomina-se variância da amostra e calcula-se através da fórmula:



___________________________________________________________________

24

1-n

)x-x.(f 2ii2 Σσ =

Onde:

2i )x-x( é o valor de cada diferença entre o valor da variável e a média da

amostra ao quadrado.

if é a quantidade de vezes que cada desvio acontece

1-n representa o grau de liberdade, ou seja, a quantidade de comparações

independentes que podem ser feitas entre as n unidade da amostra.

Ainda para as amostras A e B, temos os seguintes valores de variância:

Para a amostra A:

2,4410

442

1-n

)x-x.(f 2ii2 ===

Σσ

Para a amostra B:

6,110

16

1-n

)x-x.(f 2ii2 ===

Σσ

A variância da amostra é a medida de variabilidade resultante da divisão por

(n-1) da soma das diferenças ao quadrado entre cada valor da amostra e a média da

amostra.

Ocorre que no cálculo da variância, ao elevar ao quadrado a diferença entre

cada valor e a média da amostra, a unidade de medidas dos valores originais é também

elevada ao quadrado. Ou, seja, resolvemos o problema da dificuldade de trabalhar com

módulos e criamos um problema com as unidades de medida, havendo uma unidade

para a medida de posição e outra para a medida de dispersão. Para que as unidades

sejam iguais, torna-se necessário extrair a raiz quadrada positiva da variância da

amostra. Fazendo isso, define-se a mais importante medida de dispersão de uma

amostra, chamada desvio padrão.



___________________________________________________________________

25

3.3 Desvio Padrão da Amostra (σσσσ )

O desvio padrão da amostra é calculado por:

1-n

)x-x.(f 2ii2 Σσσ ==

Calcule a variância e o desvio padrão dos dados da tabela 6.

Resolução: Inicialmente, para facilitar os cálculos incluiremos uma coluna para

colocar os resultados de 2ii )x-x.(f . A média dos dados foi calculada no item 1.7

(exemplo 3). Na tabela 1.8.1 a coluna está marcada em cinza.

Os cálculos:

mm5,73=x

69,1=73,5)-2,72.(1=)x-x.(f=)x-x.(f 2211

2ii

67,5=73,5)-6,72.(7=)x-x.(f 2222

50,2=73,5)-0,73.(10=)x-x.(f 2233

17,0=73,5)-4,73.(17=)x-x.(f 2244

17,1=73,5)-8,73.(13=)x-x.(f 2255

41,4=73,5)-2,74.(9=)x-x.(f 2266

63,3=73,5)-6,74.(3=)x-x.(f 2277

24,19=63,3+41,4+17,1+17,0+50,2+67,5+69,1=)x-x.(fΣ 2ii

A variância da amostra é:

22

ii2 mm33,0...32610169,059

24,19

1-n

)x-x.(f≈===

Σσ

O desvio padrão da amostra é:



___________________________________________________________________

26

mm6,0...57105314,059

24,19

1-n

)x-x.(f 2ii ≈===

Σσ .

Tabela 7: Tabela Distribuição de Freqüência com Desvio Padrão

3.4 Coeficiente de Variação (CV)

Karl Pearson, matemático inglês (1857-1936), que contribuiu

significativamente para a ciência Estatística, desenvolveu uma medida denominada

coeficiente de variação e calculada da seguinte forma:

100.x

CVσ=

O coeficiente de variação é a grandeza relativa do desvio padrão da amostra

quando este é comparado com a média da amostra e é expresso em forma de

porcentagem.

i Diâmetros

(mm)

f i fr i

(%)

Fi Fr i

(%)

xi xi.fi 2ii )x-x.(f

1 72,0├ 72,4 1 1,7 1 1,7 72,2 72,2 1,69

2 72,4├ 72,8 7 11,7 8 13,4 72,6 508,2 5,67

3 72,8 ├ 73,2 10 16,7 18 30,1 73,0 730,0 2,50

4 73,2├ 73,6 17 28,2 35 58,3 73,4 1247,8 0,17

5 73,6 ├ 74,0 13 21,7 48 80,0 73,8 959,4 1,17

6 74,0├ 74,4 9 15,0 57 95,0 74,2 667,8 4,41

7 74,4├ 74,8 3 5,0 60 100,0 74,6 223,8 3,63

Σ fi

=

60

Σ fr i

=

100,0

Σ xi.fi

=

4409,2

2ii )x-x.(fΣ =19,24



___________________________________________________________________

27

Karl Pearson (1857 – 1936)

Calcule o coeficiente de variação dos dados da tabela 7.

Resolução: Como a média é igual a mm5,73=x e o desvio padrão igual a

mm6,0=s , o coeficiente de variação será:

%8,0816326,0100.5,73

6,0 ≈==CV

3.5 Desvio Médio

No lugar de elevar ao quadrado os desvios de cada medida (para anular o efeito do sinal), usa-se o módulo.

Desvio Médio n

x-x.f iiΣ=

3.6 Amplitude Modal Na media de posição Moda, só nos interessava a medida mais freqüente. Como medida de dispersão, queremos saber qual é esta freqüência. Amplitude Modal = quantidade de medidas iguais á Moda

Conheça a biografia de Karl Pearson no endereço ele trônico

http://www.ccet.ufrn.br/hp_estatistica/biografias/p earson.html .



___________________________________________________________________

28


1. Calcule a amplitude total, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de

variação das amostras A e B para os dados não agrupados:

• Amostra A: 30 km, 30 km, 30 km;

• Amostra B: 20 km, 30 km, 40 km.

2. Calcule a amplitude total, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de

variação das amostras X, Y e Z para os dados não agrupados:

• Amostra X: 70, 70, 70, 70, 70;

• Amostra Y: 68, 69, 70, 71, 72;

• Amostra Z: 5, 15, 50, 120, 160.

3. Calcule as medidas de dispersão do exercício proposto 1 do capítulo 1.




Material elaborado por Mara Terezinha Mariotti, Rodrigo...

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