Actividades para

resolver con

GeoGebra

y

Resolución de

Problemas2º ENCUENTRO: 24 de octubre de 2011

ACTIVIDAD 1: Sistemas de EcuacionesResolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando GeoGebra:

IR A LA RESOLUCIÓN

xy

yx

421

1

Pasos para resolver el Sistema de ecuaciones:

e_1 : x + y = -1 (en la Barra de Entrada Algebraica). e_2 : -1 + 2 y = 4 x Utilizar la herramienta “Intersección de dos

objetos” y señalar e1 y e2

Editar las imágenes para obtener la apariencia deseada.

Para escribir el conjunto solución utilizar la herramienta

“Insertar Texto” y escribir: “Solución: S={” + A + “}” (siendo A el punto de intersección de las rectas).

OBSERVACIÓN IMPORTANTE EN CUANTO AL USO DE LA HERRAMIENTA “INSERTAR TEXTO”: Entre comillas se escribe el texto estático, y se conecta con el texto dinámico a través del signo +.

ABC

ACTIVIDAD 2:EJERCICIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Resolver gráficamente con Geogebra:

1. Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r: -2x+ 5y = 4 por el punto A = (2,4).

2. Determinar la ecuación explícita de cada una.

CONTINUANDO CON EL EJERCICIO ANTERIOR…

3. Analizar las condiciones de paralelismo y perpendicularidad, mostrarlas gráficamente.

IR A LA RESOLUCIÓN

PASOS PARA LA RESOLUCIÓN A=(2,4) (en la Barra de Entrada Algebraica). r: -2x + 5y = 4 Con la herramienta “Recta Paralela” señalar A y r

(trazar una paralela por A a la recta r). Con la herramienta “Recta Perpendicular” trazar

una perpendicular a la recta r. En el menú contextual de cada recta obtenida

cambiar la forma de expresión de cada una (para obtener la expresión factorizada).

Con la herramienta “ Pendiente” determinar la pendiente de cada recta.

Con la herramienta “Insertar Texto” escribir el cálculo del producto de las pendientes de las rectas perpendiculares y la igualdad de las pendientes de las paralelas. (Editar el aspecto visual de toda la construcción)

ABC

ACTIVIDAD 3: PROBLEMAS Y FUNCIONES…

Resolver el siguiente problema utilizando GeoGebra:

En un medio de cultivo se introdujeron 500 bacterias que comenzaron a reproducirse. Al cabo de cierto tiempo se modificó el medio y el número de bacterias comenzó a disminuir. Se supone que la cantidad de bacterias, al cabo de “x” minutos, está dada por la fórmula:

a) Representar gráficamente e indicar las variables en los ejes.

b) ¿En qué momento la cantidad de bacterias alcanzó su máximo? ¿Cuántas bacterias había en ese momento?

c) ¿Se extingue la población de bacterias en algún momento? Ajustar gráfica al dominio en el contexto del problema.

d) Obtener la expresión factorizada de la función.

50040)( 2 xxxf

Resolución del problema

IR A LA RESOLUCIÓN

Pasos para la resolución…

(en la Barra de Entrada Algebraica).

Indicar variables y unidades de medida en cada eje utilizando el menú contextual de la vista gráfica.

Utilizar el comando Extremo[f] (en la barra de entrada algebraica) para determinar el máximo.

Utilizar el comando Raíces [f] para determinar el momento en el que se extinguen las bacterias.

Utilizar el comando Función [f,0,50] para acotar el dominio de la función, y ocultar la anterior, renombrar la nueva como f.

Editar toda la construcción para hacer visibles todas las respuestas al problema.

50040)( 2 xxxf

Usar GeoGebra como ayuda para resolver el siguiente problema:

Dos operadoras de telefonía móvil ofrecen sus servicios con las siguientes tarifas:

Los precios son exactos, no se practica el redondeo al minuto superior en ningún caso.a) Crear una tabla de valores del costo total según los minutos

consumidos en un mes, desde 0 minutos hasta 200 minutos (de 20 en 20).

b) Dibujar los valores hallados en una gráfica Costo – Tiempo.c) Determinar la expresión algebraica que muestra la relación Costo

– Tiempo para cada empresa.d) ¿Cuánto cobra cada operadora por 110 minutos al mes?e) ¿A partir de cuántos minutos de consumo mensual resultará más

económica la oferta de “Pulgar” que la de “Yastá”.

Operadora Tarifa fija mensual ($)

Costo por minuto ($)

Pulgar 20 0,1

Yastá 0 0,25

ACTIVIDAD 4:PROBLEMA;Tablas y Fórmulas

RESOLUCIÓN

IR A LA RESOLUCIÓN

Pasos para la resolución… Construimos la tabla de valores. Introducimos los cuatro primeros puntos.· En la celda A1 de la Hoja de Cálculo introducimos (0, 20)· En la celda A2 de la Hoja de Cálculo introducimos (20, 22)· En la celda B1 de la Hoja de Cálculo introducimos (0, 0)· En la celda B2 de la Hoja de Cálculo introducimos (20, 5)Ahora usaremos el arrastre propio de las hojas de cálculo para crear rápidamente el resto de los puntos.· Seleccionamos A1 y A2 y arrastramos la esquina inferior derecha hasta A11.· Seleccionamos B1 y B2 y arrastramos la esquina inferior derecha hasta B11.· Seleccionamos A1:A11, seleccionando A1 y arrastrando (no la esquina inferior, sino laselección) hasta A11. Hacemos clic derecho y elegimos "Crea Lista". Se creará la lista L1.· Seleccionamos B1:B11, seleccionando B1 y arrastrando hasta B11. Hacemos clic derecho y elegimos "Crea Lista". Se creará la lista L2.· Herramienta Ajuste Lineal. Indicamos las listas L1 y L2.Entrada:Pulgar = Función[0.1 x + 20, 0, ∞] (para ajustar al dominio del problema)Yastá = Función[0.25 x, 0, ∞]x = 110 Con herramienta Intersección indicamos el punto de corte de la gráfica de Pulgar con la verticalx = 110, de la gráfica de Yastá con esa vertical y de las gráficas de Pulgar y de Yastá.Editar toda la construcción para hacer visibles las respuestas del problema.

ACTIVIDAD 5:RESOLVIENDO TRIÁNGULOS…(TEOREMA DEL COSENO)

Resolver y comprobar utilizando Geogebra:“Dos carreteras se cruzan en un punto P (formando

un ángulo de 42º). El Edificio Situado en R está a 368 m de P, mientras que el situado en S está a 426 m de P. ¿A qué distancia están los edificios entre sí?”

PROBLEMA RESUELTO

IR A LA RESOLUCIÓN

PASOS PARA RESOLVER EL PROBLEMA…

Construimos un puntos R (con la barra de herramientas, luego renombrar).

Creamos el segmento RP, utilizando la barra de entrada algebraica, el comando segmento[]; entre los corchetes definimos el punto inicial y longitud: segmento[R,368], renombramos el punto final P.

Marcamos el ángulo, también con la barra de herramientas, “ángulo dada su amplitud”. Indicamos un punto lateral R, luego el vértice P y por último nos permitirá definir la amplitud y el sentido. Obtenemos así R’.

Creamos la circunferencia con centro en P y radio 426 utilizando la barra de herramientas, “circunferencia dado su centro y su radio”.

Trazamos la semirrecta PR’(utilizando la barra de herramientas) y hallamos la intersección de la misma con la circunferencia anterior. Nombramos al punto obtenido S. Luego ocultamos la circunferencia, el punto R’ y la semirrecta.

Trazamos los segmentos PS y RS (con la barra de herramientas) y mostramos su medida utilizando el botón secundario, posicionándonos sobre dichos objetos.

Luego podemos dar color y formato adecuado a la imagen.

EJERCICIOS OPCIONALES1. Resolver gráficamente las siguientes operaciones con los números

complejos y :

2. Resolver con GeoGebra el siguiente ejercicio:

Sea construir la gráfica y hallar los ceros o raíces, el/los máximos y/o mínimos y la expresión factorizada.

3. Dados los puntos: A=(1;2); B=(4;3); C=(-1;-3) y D=(5;7):

a) Construir el polígono que tiene a dichos puntos como vértices.

b) Aplicar a dicho polígono una traslación horizontal de 3 unidades.

c) Aplicar una simetría axial con respecto al eje de las abscisas.

d) Aplicar una rotación, con respecto al origen de coordenadas, de 60º.

e) Aplicar una homotecia de razón 2 con respecto al origen de coordenadas.

Crear archivos distintos para cada transformación.

4. En la figura s // t y m r: si =52º

hallar el resto de los ángulos indicados.

(Realizar la construcción con GeoGebra)

iZ 51 iZ 422

21 ZZ 21 ZZ 2

1

Z

Z21.ZZ

5436162)(/: 234 xxxxfRRf