Material de apoyo números complejos Matemáticas Fundamental
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Matemática Fundamental II M.Sc. Carmen María Triminio Zavala INTRODUCCIÓN En la resolución de ecuaciones algebraicas de segundo grado o de orden superior, con frecuencia aparecen casos en que las soluciones contienen radicales de números negativos. Esta operación de radicación produce un resultado que no pertenece al conjunto de los números reales. Con el conjunto de los números aprendidos hasta ahora, el de los Reales, nos arreglamos para encontrar solución a muchísimas operaciones, así por ejemplo: En esta ecuación 3⋅x = -7 el valor de x es el número real –7/3 Inclusive para x 2 – 7 = 0, cuyo resultado, el valor de x, es el número irracional cuyo cuadrado es 7. Pero la cosa se pone distinta frente a una situación así: x 2 = -4Sabemos que √ −4 ≠ { + 2 pues ∧2 2 =+ 4 −2 pues∧−2 2 =+ 4 Entonces decimos que √ −4 no tiene solución en el campo de los Números Reales!! La imposibilidad de resolver situaciones como éstas, crea nuevamente la necesidad de extender el concepto de número, dando origen a la ampliación del conjunto de los números reales, mediante la introducción de los Números Complejos (C). Se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, que verifica la propiedad:
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LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Introducción Representacióngráfica
Suma/restaMult/división
Forma polar
MultiplicaciónDivisió
n
Paso de forma polar a
binómicaPaso de forma
binómica a polar
Matemática Fundamental II M.Sc. Carmen María Triminio Zavala
INTRODUCCIÓN
En la resolución de ecuaciones algebraicas de segundo grado o de orden superior, con frecuencia aparecen casos en que las soluciones contienen radicales de números negativos. Esta operación de radicación produce un resultado que no pertenece al conjunto de los números reales.
Con el conjunto de los números aprendidos hasta ahora, el de los Reales, nos arreglamos para encontrar solución a muchísimas operaciones, así por ejemplo:
En esta ecuación 3⋅x = -7 el valor de x es el número real –7/3
Inclusive para x2 – 7 = 0, cuyo resultado, el valor de x, es el número irracional cuyo cuadrado es 7.
Pero la cosa se pone distinta frente a una situación así:
x2 = -4Sabemos que √−4 ≠{ +2 pues∧22=+4−2 pues∧−22=+4
Entonces decimos que √−4 no tiene solución en el
campo de los Números Reales!!
La imposibilidad de resolver situaciones como éstas, crea nuevamente la necesidad de extender el concepto de número, dando origen a la ampliación del conjunto de los números reales, mediante la introducción de los Números Complejos (C).
Se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, que verifica la propiedad:
i2 = − 1
Un número imaginario puro es un múltiplo de la unidad imaginaria de la forma bi, donde b pertenece a los reales e i es la raíz cuadrada de –1. Pueden hacerse las 4 operaciones racionales de suma, diferencia, producto y cociente de dos números imaginarios puros, solo que el producto y el cociente dan como resultado números reales.
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Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que. Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible.
Dado que un número real es de distinta naturaleza que un número imaginario puro, se define un número complejo z como la suma de un número real y uno imaginario puro de la siguiente forma:
z = a + bi , con a y b como números reales e i como la raíz cuadrada de menos uno ( √−1).
Definimos alNúmero Complejo como aquel Ente Numérico compuesto por un par ordenado(a ; b) de números reales. El primero se llama parte real, y se escribea=Re(a) El segundo se llama parteimaginaria, y se escribeb= Im(a)
Usaremoszpara designar a un número complejo.Dos nº complejos son iguales si lo son cada una de sus partes: a + b = c + d i a = c y b = dDos complejos son conjugados cuando tienen la misma parte real y partes imaginarias opuestas. El
conjugado se representa por
Ejemplo: Encuentra el conjugado de cada número
Dos complejos son opuestos cuando lo son tanto la parte real como la imaginaria.z = a + b i -z = -a – b i
REPRESENTACIÓN GRÁFICA.
El punto que representa a un número complejo se llama “afijo”. Si unimos el origen con el afijo, tenemos el vector representante de un número complejo.
Para representar un número complejo o de la forma a + bi, se utiliza un sistema de coordenadas rectangulares, en el cual la parte real se representa en el eje horizontal y la imaginaria en el eje vertical.
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Valor Absoluto: Es la distancia entre el origen y el punto que representa al número complejo. El valor absoluto o módulo de un número complejo a + bi está definido como: |a + bi| = √a2+b2
Ejemplo:|-4+2i| = √ (−4 )2+22= √ 20 = 2√ 5
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS:
RESUELVA:
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RESUELVA:
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RESUELVA:
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RESUELVA:
FORMA POLAR
Z = a + bi es un conjunto representado en forma binómica, y que podemos verlo representado en el plano en el punto (a, b). También podemos verlo asociado a un módulo z y a un ángulo α (alfa) que llamaremos argumento quedando z = rα
Multiplicación en forma polar
Para multiplicar en forma polar, multiplicamos los números y sumamos sus grados.
EJEMPLO:
División en forma polar
Dividimos los números y restamos sus grados. EJEMPLO:
Paso de forma polar a binómica
Para pasar de forma polar a forma binómica utilizamos la forma trigonométrica
z = r · cosx + 2senx i = r (cox + i senx).
EJEMPLO:z=z= 2(cos14°+ i sen 14°) z= 1,94+0,48 i
Paso de forma binómica a polar:
Tenemos z = a + bi y para asarlo a forma polar hacemos su módulo r =
Luego sacamos su cotgtgx = x = arctg b/a
EJEMPLO: z=3+4i r= tgx=X= 53.13°
Trabajo práctico a entregar sábado 10 de noviembre 2012
1. Dibujar los siguientes números complejos en el plano complejo:
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a. z = -3-2i b. z = 3 + 4i c. z = –4 + i d. z= 1 – 3i2. Pasar los números complejos del ejercicio anterior a forma polar.3. Resuelva las siguientes operaciones con números complejos:
