IEM-453

CONTENIDO

I. INTRODUCCION

RESEÑA HISTORICA

CONCEPTOS BASICOS

o SISTEMAS DE CONTROL

o CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

o SERVOMECANISMO

o INGENIERIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

o MODELOS MATEMATICOS

II. DIAGRAMA DE BLOQUES Y FLUJOGRAMAS

DIAGRAMA DE BLOQUES

o Tipos de diagrama de bloques y sus elementos

o ELEMENTOS DE UN DIAGRAMA DE BLOQUE

o PROCEDIMIENTO PARA DIBUJAR UN DIAGRAMA DE BLOQUES

o ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES

o EJEMPLO

FLUJOGRAMAS

o DEFINICION

o EQUIVALENCIA ENTRE UN DIAGRAMA DE BLOQUES Y UN

FLUJOGRAMA

o ELEMENTOS DE UN FLUJOGRAMA

o REGLA DE MASON

o EJEMPLO

III. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL

DEFINICION

CRITERIO DE ESTABILIDAD

o ESTABILIDAD ABSOLUTA

o ESTABILIDAD RELATIVA

EJEMPLO

IV. ERROR DE REGIMEN PERMANENTE

CONCEPTO DE ERROR

ERROR DE REGIMEN PERMANENTE

ENTRADA ESCALON

ENTRADA RAMPA

ENTRADA PARABOLICA

TIPOS DE SISTEMAS

o TIPO CERO (0)

o TIPO UNO (1)

o TIPO DOS (2)

TABLA DE ERRORES

EJERCICIOS

V. RESPUESTA DE FRECUENCIA

DEFINICION

CARACTERISTICA DE REPUESTA A LA FRECUENCIA

o DIAGRAMA DE BODE

o DIAGRAMA DE NYQUIST

ANALISIS DE LA GRAFICA DE BODE

CONSTRUCCION DE LA GRAFICA DE BODE

o EJEMPLO 1

o EJEMPLO 2

INICIO

INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL

RESEÑA HISTORICA.

El control automático ha desempeñado una función vital en el avance

de la ingeniería y la ciencia. Además de su extrema importancia en los

sistemas de vehículos espaciales, de guiado de misiles. Robóticas y

similares, el control automático se ha vuelto una parte importante e integral

de los procesos modernos industriales y de manufactura. Por ejemplo, el

control automático es esencial en el control numérico de las maquina-

herramientas de la industria de manufactura, en el diseño de pilotos

automáticos en las industrias aeroespaciales, y en el diseño de automóviles

y camiones en la industria automotriz.

El primer trabajo significativo en control automático fue el regulador de

velocidad centrifugo de James Watt para el control de velocidad de un

maquina de vapor. En el siglo XVIII. Otros grandes aportes en etapa inicial

de la teoría de control fueron realizados por otros grandes científicos como:

En 1922 Minorsky trabajo en los controles automáticos para dirigir

embarcaciones y mostró que la estabilidad puede determinarse apartir de

las ecuaciones diferenciales que describen el sistema. También en 1932,

Nyquist diseño un procedimiento relativamente simple para determinar la

estabilidad en sistema de control de lazo cerrado con base en la respuesta

en lazo abierto en estado estable cuando la entrada aplicada es una

sinusoidal. Otro gran aporte fue hecho por Hanzen quien en 1934 introdujo

el término de servomecanismo para los sistemas de control de posición. En

los últimos años se han hechos grandes aportes a los sistemas de control

con el uso del computador en los análisis de ecuaciones arrojando

resultados con mayor presicion.

CONCEPTOS BASICOS.

SISTEMAS DE CONTROL.

Un sistema de control no es mas que un conjunto de componentes

físicos conectados de tal manera que el conjunto se pueda comandar, dirigir

o regular a si mismo o ha otro sistema.

LOS SISTEMAS DE CONTROL SE CLASIFICAN EN:

Sistema de control de ciclo abierto o sin realimentación.

Sistema de control de ciclo cerrado o con realimentación.

El sistema de ciclo abierto se caracteriza por tener una relación fija entre la

respuesta de salida y la respuesta de entrada, sin observar dicha salida

durante la operación normal del sistema. El control consiste en disponer de

la señal de mando de entrada, para que la salida corresponda a una relación

previamente establecida.

Esquema de un sistema de ciclo abierto

La señal de entrada no es mas que el estimulo o excitación que se aplica al

sistema desde una fuente de energía externa generalmente con el fin de

producir departe del sistema de control una respuesta especificada.

La señal de salida o respuesta del sistema no es más que la respuesta

obtenida del sistema de control que puede ser igual o no, a la respuesta

especificada que la entrada implica.

Esquema de un sistema de ciclo cerrado

El sistema de ciclo cerrado se fundamenta en observar y comparar la señal

de salida con la señal de entrada, las diferencias entre estas señales

Elemento

del Sistema

Elemento de

realimentación

Señal de

Salida

Señal de

Entrada

+

±

Elemento

del Sistema

Señal de

Salida

Señal de

Entrada

Elemento

del Sistema

Elemento de

realimentacion

Señal de

Salida

Señal de

Entrada

+

±

representan errores. El sistema de ciclo cerrado ajusta automáticamente la

señal de salida para minimizar los errores.

SERVOMECANISMO.

Este es un sistema electromecánico de control de ciclo cerrado en el cual la

respuesta es la posición, la velocidad, la aceleración u otra característica

posición-tiempo de un eje mecánico.

Un servomecanismo generalmente esta constituido por elementos

electromecánicos y eléctricos combinados en forma tal que proporcionan la

función de control deseada (θ, ω, α,….., etc.), para convertir la señal de

entrada con una forma compatible con la naturaleza de servomecanismo,

puede requerirse un dispositivo transductor de entrada. Normalmente el

transductor de entrada proporciona una señal eléctrica al sistema.

Algunos transductores de entrada son:

A) Potenciómetro (tipo resistivo), proporcionan entrada angular al eje.

B) Termómetro Resistivo, proporcionan entrada por temperatura.

C) Par Termo-eléctrico, proporciona entrada por temperatura.

El transductor de realimentación, controla y mide la respuesta del

servomecanismo en su eje de salida y la convierte en una señal de la misma

naturaleza del transductor de entrada, generalmente en una señal eléctrica.

Algunos transductores de realimentación son:

A) Tacómetro, voltaje de salida proporcional a la velocidad del eje.

B) Potenciómetro, voltaje de salida proporcional a la posición angular

del eje.

Transductor

de Entrada

Servo_

Amplificador

Señal de

Entrada

Señal de

Salida

Transductor de

Retroalimentacion

+

±

Señal Electrica

Señal Mecanica

El elemento de comparación o comparador, recibe una señal de la entrada y

del transductor de realimentación, las compara y proporciona una salida

relacionada con su diferencia. Esta salida es una medida de la falta de

correspondencia (señal de error) entre la señal de entrada y la salida. Las

señales que entran y salen al elemento comparador deben de ser

compatible.

INGENIERIA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL.

La ingeniería de los sistemas de control consiste en el análisis y el diseño

de las configuraciones de los sistemas de control.

El análisis, es la investigación de las propiedades de un sistema existente, y

el diseño, es la elección y el ordenamiento de los componentes del sistema

para desempeñal una tarea especifica.

Existen dos métodos para el diseño:

1. Diseño por análisis, este se efectúa al modificar las características de

la configuración de un sistema existente o estándar.

2. Diseño por síntesis, el cual se efectúa al definir la forma del sistema

directamente de sus especificaciones.

Modelos o representaciones de sistemas de control.

Para resolver un problema de sistema de control, debemos especificar o

describir la configuración del sistema y sus componentes de una forma que

facilite el análisis o el diseño.

En el estudio de sistemas de control se usan extensamente tres

representaciones básicas (modelos) de los sistemas y sus componentes:

1. Modelos matemáticos en forma de ecuaciones diferenciales y/u otras

relaciones matemáticas como son transformada de Laplace y la

transformada Z.

2. Diagrama de Bloques.

3. Gráficos de flujo de señales.

Las características básicas de los sistemas de control son:

A) Estabilidad

B) Exactitud

C) Rapidez de respuesta

MODELOS MATEMATICOS.

SISTEMA LINEAL.

Un sistema es lineal cuando hay una relación de proporcionalidad entre la

variable de entrada y la variable de salida, por eso para decidir si un

sistema es lineal o no, es necesario construir la ecuación matemática que lo

describe. Entonces podemos afirmar que para que un sistema sea lineal

debe ser descrito por una ecuación lineal, es decir por una ecuación en

cuyos términos aparezcan las variables dependientes o sus derivada elevada

a la primera potencia además que no tengan productos, cocientes, ni

funciones trascendentes de dichas variables.

Un sistema de control ideal debe cumplir con las propiedades de

superposición y homogeneidad.

Si £[f(t) = F(s) → £[A f(t) = A F(s)

Superposición.

Si una señal de entrada X1(t) produce una salida Y1 (t) y una señal de

entrada X2(t) produce una salida Y2(t), entonces X1(t)+X2(t) produce una

salida Y1(t)+Y2(t), esto sucede si el sistema cumple con la propiedad de

superposición.

Si £[X(t) = Y(s) → £[X1(t)+X2(t)] = Y1(s)+Y2(s)

Ejemplo:

Sea X(t) = 20+sen 10t

£[X(t)] = £[20+sen 10t] = £[20]+ £[sen 10t] = 20/s + 10/[s²+(10)²]

Homogeneidad.

Este principio indica que si multiplicamos la entrada por un escalar, la

salida queda multiplicada en esa misma proporción, o sea, que si una señal

Sistema

Lineal

X1

X2

X3

Y1

Y2

Y3

de entrada X(t) produce una salida Y(t), entonces un señal de entrada kX(t)

me producirá una salida kY(t).

Si £[f(t)] = F(s) → £[k f(t)] = k F(s)

Ejemplo:

£[20sen 10t] = 20{10/[s²+(10)²]}

Linealidad = Superposición + Homogeneidad

Matemáticamente

n

i

tCiYitY1

)()( , siendo Ci → constante cualquiera.

El sistema línea o el comportamiento dinámico de un sistema lineal vienen

dado por una ecuación diferencial de la forma siguiente.

Yat

Ya

t

Ya

t

Yda

n

n

nn

n

n 011

1

1 ...... Xbt

Xb

t

Xb

t

Xdb

n

n

nn

n

n 011

1

1 ......

En donde:

X(t) → Señal de entrada, Y(t) → Señal de salida o respuesta del sistema

Si 01210121 ,,,......,,,,......, bbbbbaaaaa nnnn → son constante, esto es, que no

varían con el tiempo, entonces tendremos un sistema lineal invariable con

el tiempo.

Sistema

Lineal

CX1

CX2

CX3

CY1

CY2

CY3

Sistema

X(t) Y(t)

Sistema kX(t) kY(t)

Sistema X(t) Y(t)

Nota: Todos los sistemas de control preferiblemente deben de ser lineales,

cerrado, automático e invariable con el tiempo.

También existen sistemas lineales no homogéneos cuya ecuación

diferencial general se representa de la forma siguiente:

particularsoluc

p

ariacomplementsolucin

c

generalsoluc

YYY..

En ingeniería tendremos,

)](____[_

_

)__( tXentradaladedependepermanenteregimenderespuesta

rp

ceroatiendeiatransistor

respuestaT

sistemadelrespuesta

YYY

La respuesta transitoria depende de las raíces de las ec. Característica y de

ella depende que el sistema se estable o no.

Función de Transferencia.

Es la relación existente entre la transformada de Laplace de la salida y la

transformada de Laplace de la entrada con condiciones iniciales iguales a

cero.

)(

)(

)(

)(0_.

)}({

)}({)(

sD

sN

sX

sYinicialcond

tx

tysF

Donde N(s)=0 → ceros del sistema, D(s)=0 → polos del sistema y

Y(s) = F(s) * X(s).

Teorema del valor inicial.

Este teorema nos permite conocer las condiciones iniciales de un sistema.

Si £[f(t)] = F(s) → lim f(t) = lim s F(s)

t→ 0 s→ ∞

Ejemplo: Sea e2

100)(t

tf

Lim )100( e2t

= lim (100) + lim )(e)0(2

= 100 + 1 = 101

t→ 0 t→ 0 t→ 0

Sistema X(t) Y(t)

Aplicando transformada de Laplace tenemos:

)(2

200101

)2(

)2(100

)2(

1100][]100[)]([

2

2

e sFss

s

ss

ss

sstf

t

Aplicando el teorema, tenemos:

lim s F(s) = lim s ss

s

2

)200101(2

= lim

2

)200101(

s

s

s→∞ s→∞ s→∞

si aplicamos derivada arriba y debajo de la función, tenemos:

lim 2

)200101(

s

s=

1

101= 101

s→∞

Teorema del valor final.

Este teorema lo aplicamos cuando nesecitamos conocer las condiciones

finales del sistema.

Si £[f(t)] = F(s) → lim f(t) = lim s F(s)

t→ ∞ s→ 0

Ejemplo: Sea e2

100)(t

tf

, aplique el teorema del valor final.

UNIDAD II. DIAGRAMA DE BLOQUES Y FLUJOGRAMA.

DIAGRAMA DE BLOQUES.

Un sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las

funciones que lleva a cabo cada componente en la ingeniería de control, por

lo general se usa una representación denominada Diagrama de Bloques,

que no es más que una representación grafica de las funciones que lleva a

cabo cada componente y el flujo de señales entre ellos. También dicho

diagrama muestra las relaciones existentes entre los diversos componentes.

A diferencia de una representación matemática puramente abstracta, un

diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar en forma más realista el

flujo de señales del sistema real.

Tipos de diagrama de bloques y sus elementos.

1. Diagrama de bloques de un sistema de ciclo abierto, en este tipo de

sistema se enlazan una con otra todas las variables del sistema

mediante bloques funcionales y esto no es mas que un símbolo que

representa la operación matemática que sobre la señal de entrada

hace el bloque para producir la salida. Por lo tanto un diagrama de

bloques de un sistema de control de ciclo abierto muestra

explícitamente una propiedad unilateral.

2. Diagrama de bloques de un sistema de ciclo cerrado, la naturaleza

del sistema de ciclo cerrado se ve claramente en la figura, la salida

del bloque, C(s) se obtiene multiplicando la función de transferencia

G(s), por la entrada del bloque E(s). Cualquier sistema lineal puede

representarse mediante un diagrama de bloques formado por punto

de suma, bloques y puntos de toma. En un sistema de ciclo cerrado

cuando la salida se alimenta al punto de suma para compararse con la

entrada, es necesario convertir la forma de la señal de salida en la de

la señal de entrada. Esta conversión se consigue mediante el

elemento de realimentación, cuya función de transferencia es H(s).

La función del elemento de realimentación es la de modificar la

salida antes de compararla con la entrada. (En la mayor parte de los

casos, el elemento de realimentación es un sensor que mide la salida

del proceso, la cual se compara con la entrada y se genera la señal de

Función de

transferencia

G(s)

Entrada Salida

error.) Las ventajas de la representación mediante diagrama de

bloques general de todo el sistema con solo conectar los bloques de

los componentes de acuerdo con el flujo de señales y en que es

posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño

general del sistema.

3. Punto de sumas, este símbolo indica una operación de suma. El signo

más o menos de cada flecha indica si la señal debe sumarse o

restarse. Es importante que la cantidades que se sumen y se resten

tengan las mismas dimensiones unidades.

4. Punto de toma, a partir de este punto la señal de un bloque va de

modo concurrente a otros bloques o punto de sumas.

5. Sistemas de ciclo cerrado sujeto a perturbación, este caso se produce

cuando en el sistema se presentan dos entradas (la entrada de

referencia y la perturbadora). En un sistema lineal, cada una de las

G(S)

H(s)

R(s) +

-

+ B(s)

E(s)

C(s)

R(s) E(s)=R(s)±C(s)

C(s)

+

±

Aquí tanto entran como salen señales

C(s)

C(s)

Aquí solo salen señales

entradas puede tratarse de forma independiente, y las salidas

correspondientes a cada entrada pueden sumarse para obtener la

salida.

6. completa. La forma en que se introduce cada entrada en el sistema

se muestra en el punto de suma mediante un signo de más o de

menos.

ELEMENTOS DE UN DIAGRAMA DE BLOQUES:

R(s) → Señal de entrada

C(s) → Señal de salida

P(s) → señal perturbadora

G(s) → Función de transferencia de avance

H(s) → Función de transferencia de realimentación

C(s)/R(s) → Razón de control

E(s) →

PROCEDIMIENTO PARA DIBUJAR UN DIAGRAMA DE BLOQUES.

1. Escriba las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de

cada componente del sistema.

2. Luego tome las transformadas de Laplace de dichas ecuaciones,

suponiendo que las condiciones iniciales son cero.

3. Luego represente individualmente en forma de bloque cada ecuación

transformada por el método de Laplace.

4. Por ultimo integre los elementos en un diagrama de bloques

completo.

G1(s) G2(s)

H(s)

R(s) +

±

±

P(s)

C(s) +

Ejemplo: Construya el diagrama de bloques a partir del siguiente circuito.

Donde, R

tvotviti

)()()(

y

C

tdtivo

)()(

Entonces en el dominio de la frecuencia tenemos:

(a) R

sEosEisI

)()()(

y (b)

Cs

sIEo

)(

Si lo representamos como bloques tenemos:

El circuito representado como un diagrama de bloques es el siguiente:

Álgebra de los Diagramas de Bloques:

a) Bloques en series o en cascada.

1/R +

-

Eo(s)

I(s) Ei(s)

(a)

1/Cs

I(s) Eo(s)

(b)

1/R 1/Cs

Eo(s) Ei(s) +

-

I(s)

G1 G2 G3

C(s) R(s)

= G1G2G3

C(s) R(s)

b) Bloques en paralelo.

c) Simplificación de un sistema de lazo cerrado.

C(s)= G(s)E(s) = G[R(s)-B(s)] = G[R(s)-H(s)C(s)] =

= G(s)R(s)-G(s)H(s)C(s) = C(s)-G(s)H(s)C(s) = G(s)R(s) =

= C(s)[1+G(s)H(s)] = G(s)R(s) → )()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sC

d) Traslación de un punto de suma.

Hacia delante de un bloque.

G1

G2

≈ G1±G2 C(s)

C(s) R(s) R(s)

±

+

G

H

G1/(1+GH)

C(s) R(s) +

R(s)

-

C(s)

≈

E(s)

G ≈

1/G

G

±

+ C(s) R(s)

R1(s)

+

±

R1(s)

R(s) C (s)

C(s)=C1(s)±R1(s)=

GR(s)±R1(s) C(s)=[R(s)±(1/G)R1(s)]G=

GR(s)±R1(s)

Más allá de un bloque.

e) Traslación de un punto de toma.

Hacia delante de un bloque.

Más allá de un bloque.

G

G

G

±

C(s) R(s) +

R1(s)

R1(s)

R (s) C(s)

±

+

C(s)=[R(s)±R1(s)]G(s)

C(s)=GR(s)±GR1(s)

[R(s)±R1(s)]G(s)

≈

G R(s) C(s)

C(s)

≈ G

G

R(s) C(s)

C(s)

C(s)=GxR(s) C(s)=GxR(s)

G G

G

C(s) C(s) R(s) R(s)

C(s) R(s)

C(s)=GxR(s) R(s)=C(s)/G →C(s)=GxR(s)

Ejemplo:

Determine la razón de control [C/R], del diagrama de bloques dado a

continuación:

a) Trasladando el punto hacia delante del bloque G2, tenemos:

b) Reduciendo los bloques en series, tenemos:

c) Reduciendo los bloques en paralelos y la 1ra forma canónica,

tenemos:

G4

G1 G2G3

H1G2

H2

R(s) C(s) + +

+ +

- +

2

1 3

G1

H1

G4

G3 G2

H2

R(s) C(s) + + +

- +

+

1

2

3

G4

G1 G2 G3

H1 G2

H2

R(s) C(s) + +

+ +

- +

2

1 3

d) Reduciendo los bloques en serie, tenemos:

e) Reduciendo la forma canónica, tenemos:

G4+G2G3

H2

R C

+

-

G1

-------------

1-G1G2H1

G1(G4+G2G3)

-------------------

-1-G1G2H1

H2

C

+

R

-

G1G4+G1G2G3

---------------------

C 1-G1G2H1

--- = ---------------------------------

R 1 + [G1G4+G1G2G3]H2

----------------------

1-G1G2H1

C G1G4+G1G2G3

--- = ------------------------------------------

R 1-G1G2H1+[G1G4+G1G2G3]H2

b) FLUJOGRAMA, DIAGRAMA DE FLUJO o GRAFICO DE

FLUJO DE SEÑALES.

Los flujogramas al igual que los diagramas de bloques son representaciones

graficas de los sistemas de controles que nos permiten determinar las

relaciones funcionales de los distintos componentes y el flujo de señales

entre ellos.

Los flujogramas se componen de nudos y ramas, los nudos representan las

variables del sistema y estos se unen entre si mediante ramas que

representan las funciones de transmisión o ganancia de los distintos

componentes.

EQUIVALENCIA ENTRE UN DIAGRAMA DE BLOQUES Y UN

FLUJOGRAMA

ELEMENTO DE UN FLUJOGRAMA.

Nudo de entrada. Es aquel del cual solo salen ramas (x).

Nudo de salida. Es aquel al cual solo llegan ramas (y).

Nudo mixto. Es aquel del que salen y llegan ramas (a,b,c,d,e,f).

Trayectoria. Es una sucesión unidireccional de ramas a lo largo de la

cual no se repite ningún nudo mas de una vez (x,a,,b o c,d,c).

Trayectoria directa. Es una trayectoria que va desde el nudo de

entrada hasta el nudo de salida, sin que se repita ningun nudo más de

una vez.

Trayectoria de realimentación. Es la que comienza en un nudo y

termina en ese mismo nudo (a,b,e,f,a), (c,d,c), (a,b,c,d,e,f,a).

Ganancia de una Trayectoria. Es el producto de la ganancia de todas

las ramas que intervienen o aparecen en esa trayectoria.

La trayectoria c-d-c, tiene como ganancia G4H1.

La trayectoria a-b-c, tiene como ganancia G1G2.

REGLA DE MASON.

n

i

iTi

TG 1.. , Ganancia total

Ti →Ganancia de i-esima trayectoria

n → Número de trayectoria directa

∆ → Determinante del flujograma

∆ = 1-∑L1+∑L2+∑L3+…….+(-1)^m∑Lm

Siendo m → numero de trayectoria de realimentación (lazos)

∑L1 → Suma de ganancia de todos los lazos

∑L2 → Suma de los productos de las ganancias de todas las

combinaciones posibles de cada dos (2) lazos que no se toquen.

∑L3 → Suma de los productos de las ganancias de todas las

combinaciones posibles de cada tres (3) lazos que no se toquen.

Y así sucesivamente hasta suma de ∑Lm.

Obs.: Dos lazos no se tocan cuando no tienen ningun nodo en comun.

∆i → Es el valor de ∆ evaluado cuando se eliminan todos los lazos que

tocan la trayectoria i.

EJEMPLO:

Apartir del siguiente Diagrama de Bloques construya el Flujograma equivalente y obtenga la ganancia total.

G1

G4

G3 G2

H2

H1

R(s) C(s)

+ +

- +

+ + b a

c

d

e

f

n

i

iTi

TG 1..

Trayectorias Directas

N=2 T1=G1G2G3

T2=G1G4

Trayectorias de Realimentación m=3

l1=-G1G2G3H2

l2=-G1G4H2 l3=G1G2H1

∆=1+(-1)^m∑Lm=1-∑L1+∑L2-∑L3

∑L1=l1+l2+l3=-G1G2G3H2-G1G4H2+G1G2H1

∑L2=∑L3=0

de donde, ∆=1+G1G2G3H2+G1G4H2-G1G2H1

∆1=1-∑L1+∑L2-∑L3, ∑L1=∑L2=∑L3=0 ∆1=1

∆2=1-∑L1+∑L2-∑L3, ∑L1=∑L2=∑L3=0 ∆2=1

De donde la ganancia total del sistema es:

12124123211

413212211..

HGGHGGHGGG

GGGGGTTTG

TEMA III. CRITERIO DE ESTABILIDAD.

Para determinar la estabilidad de un sistema hay que conocer las siguientes condiciones:

Un sistema es estable si permanece en su posición original a no ser que sea

excitado por una fuente externa y en tal caso volverá a su posición original una

vez desaparezca todas las perturbaciones.

Un sistema es estable si toda señal de entrada limitada produce una señal de

salida también limitada.

Un sistema es estable si su respuesta transitoria tiende a cero cuando el tiempo

tiende a infinito.

Atendiendo a la estabilidad los sistemas pueden ser clasificado en:

1. Sistema Estable

2. Sistema Inestable

3. Estabilidad Limite o Marginalmente Estable

La condición necesaria y suficiente para que un sistema sea estable es que las raíces de

la ecuación característica (Polos del sistema) tengan partes reales negativas, en caso

contrario, esto es que las raíces de la ecuación característica tengan por lo menos una

raíz con parte reales positivas entonces el sistema será inestable.

Notas:

No todas las raíces deben ser positivas, por lo menos una positiva entonces el

sistema será inestable.

Cuando todas las raíces son negativas entonces el sistema será estable.

Sistema Marginalmente Estable o Estabilidad Límite:

Un sistema será marginalmente estable o de estabilidad límite cuando no habiendo

raíces con parte real positiva existe por lo menos una raíz con parte real igual a cero.

Existen dos criterios de estabilidad y son:

1. Criterio de Estabilidad Absoluta, con este criterio se puede saber cuando un

sistema es o no es estable, y esto se obtiene mediante los siguientes métodos:

Criterio de Routh

Criterio de Hurwitz

Criterio de la fracción continuada

2. Criterio de Estabilidad Relativa, con este criterio se puede determinar el grado

de estabilidad de un sistema y esto se logra mediante los siguientes métodos:

Diagrama de Bode

Diagrama de Nyquist

Método de Lugar raíces

CRITERIO DE ROUTH.

Este es un método que se utiliza para determinar la estabilidad de un sistema que se

puede aplicar a una ecuación característica de n-esimo orden de la forma,

0..... 01

12

22

21

1

asasasasasa n

nn

nn

n

Sabemos que la ec. Característica se aplica apartir de un sistema de lazo cerrado de la

forma:

Donde el criterio se aplica utilizando la tabla de Routh que se define como:

En donde ..,........,1 0, caractecladecoeflosSonann aa y

G(s)

H(s)

-

+

R(s) C(s) 1+G(s)H(s)=0 → Ec. Caract.

(o polos del sistema)

El criterio de Routh establece que el número de cambio de signos de la primera columna

de su arreglo es igual al número de raíces con parte real positiva. Esto significa que para

que el sistema sea estable no debe de haber cambio de signo en la primera columna del

arreglo.

EJEMPLO:

Determine la estabilidad del sistema cuya ec. característica es la siguiente:

01632248 1234 ssss

Casos Especiales

a) Un Cero en la primera columna del arreglo de Routh

b) Una Fila de cero

Ejemplo (1ra. forma)

1.a.) 0266 1234 ssss

(2da. forma)

Hacemos s=1/x, para formar una nueva ec. Característica cuyas raíces sean las inversas

de las raíces de la ec. dada 02)/1(6)/1(6)/1()/1( 1234 xxxx

, Mult. Por x4,

tendremos 01662 1234 xxxx

B) Determine la estabilidad del sistema representado por la siguiente ecuación:

04162520104 123456 SSSSSS

EJEMPLO:

Determine los valores de k que hacen el siguiente sistema Estable, lo que lo hacen

Inestable, y lo que lo hacen de Estabilidad Limite, ósea el rango de estabilidad, apartir

del siguiente diagrama de bloques:

32

4)(

34

2

SS

kSkSsG

)()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sR

, De donde 1+G(s)H(s)=0 → Ec. Característica

Como H(s)=0 → 1+G(s)=0, será igual a la ec. caract.

032

41

34

2

SS

kSkS

,

032

4

1

134

2

SS

kSkS

,

032

)4()32(34

234

SS

kSkSSS

De donde la Ecuación del sistema es:

0)3(42 1234 kSkSSS

Aplicando la tabla de Routh, tenemos:

G(s) R(s) C(s)

+

-

PRACTICA:

Utilizando el criterio de Routh determine la Estabilidad o rango de Estabilidad de los

siguientes sistemas:

1. 01024 1245 SSSS

2. 011212 1234 SSSS

3. 015129362 12345 SSSSS

4.

1/s 1/[(s+5)(s+15)(s+20)]

(s+20)

R(s) C(s)

+

-

a)

b) +

-

+

-

c)

K(s+3)/s(s+1)(s+6)

k 1/(s+3)(s+4)

1/s

R(s) C(s)

C(s) R(s)

UNIDAD IV. ERROR DE REGIMEN PERMANENTE

CONCEPTO.

Dado el sistema de realimentación (forma canónica), definido por el diagrama siguiente:

La razón control o función de lazo abierto del sistema se puede escribir como:

)()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sC

(1)

)(£)()(*)()(1

)()( 1- sctCsR

sHsG

sGsC

, Resp. del Sistema

)2()(*)()( sGsEsC

Sustituyendo la ec. (2) en la (1), tenemos:

)()(1

)()(

)()(1

)(

)(

)()(

sHsG

sRsE

sHsG

sG

sR

sGsE

errordesEte __ señal)}({£)( -1

INICIO

Error en Régimen Permanente erp(t).

finalvalorteoremassEteterpsoot

__)(lim)(lim)(0

)()(1

)(lim)(

0 sHsG

SsRterp

s

Si planteamos el error de régimen permanente para diferentes tipos de entradas,

tenemos:

G(s)

H(s)

R(s) C(s)

-

+

donde el error para una entrada escalón es:

)()(lim1)]()([lim]1[lim

][lim

)()(1

)/(lim)(

000

0

0 sHsG

A

sHsG

A

sHsG

sAsterp

sss

s

s

posiciondeconstesHsGKpdondeens

__,)()(lim,_0

Kp

Aterp

1)(

INICIO

)()(lim)]()([lim][lim

][lim

)()(1

)/(lim)(

000

02

0 sHssG

A

sHssGs

A

sHsG

sAsterp

sss

s

s

Kv

Aterp

1)(

velocidaddeconstesHssGKvdondeens

__,)()(lim,_0

INICIO

r(t)

t

r(t)=At

R(s)=£r(t)=A/s^2

b) Entrada Rampa

r(t)

t

A

r(t)=A=Const.

R(s)=£r(t)=A/s

a) Entrada Escalon

Para t≤0, r(t)=0

Para t>0, r(t)=A

)()(lim

2

)]()([lim][lim

]2[lim

)()(1

)/2(lim)(

2

0

2

0

2

0

03

0 sHsGs

A

sHsGss

A

sHsG

sAsterp

sss

s

s

.___),()(lim_,2

)( 2

0aceldeconstsHsGsKadonde

Ka

Aterp

s

INICIO

TIPOS DE SISTEMAS:

)1(

)1(

)(

)(

)(

)()()(

1

1

1

1

ss

sk

pss

Zsk

sD

sNsHsG

i

m

i

n

i

n

i

i

m

i

n

i

n

i

en donde: Zi - Son los ceros

Pi - Son los polos

K - Factor de ganancia

N - Tipo de sistema o número de polos en el origen menos numero de ceros en

el origen.

Si N=0, decimos que el sistema es tipo cero

Si N=1, decimos que el sistema es tipo uno Si N=2, decimos que el sistema es tipo dos

Si N=3, decimos que el sistema es tipo tres

INICIO

a) Sistema tipo cero (0).

)1(

)1(

)(0

)(

)()(

1

1

1

1

s

sk

pss

Zsk

sHsG

i

m

i

i

n

i

i

m

i

i

n

i

r(t)

t

r(t)=At^2

R(s)=£r(t)=2A/s^3

c) Entrada Parabolica

de donde:

0

1

1

1

1

00)0(

)0(

lim)]()([lim K

p

Zk

p

Zk

sHsGKp

i

m

i

i

n

i

i

m

i

i

n

i

ss

permanenteregenErrorK

Atrp ____,

1)(

0

00)]()([lim][lim)]()([lim000

psss

v xKsHsGxssHssGK

0

)(A

K

At

v

rp

00)]()([lim][lim)]()([lim0

2

0

2

0

p

sssv xKsHsGxssHsGsK

0

22)(

A

K

At

a

rp

INICIO

B) SISTEMA TIPO (1).

de donde:

n=1

00)(

)(lim)]()([lim 0

1

1

1

1

1

00

k

px

Zk

pss

ZsksHsGKp

i

m

i

i

n

i

i

m

i

i

n

i

ss

01

)(

oo

Atrp

0

1

1

00

)(

)(

lim)]()([lim k

pss

zssk

sHssGKm

i

i

n

i

i

ssv

finitovalork

A

K

At

v

rp _)(0

00

)(

)(

lim)]()([lim 0

1

1

2

0

2

0

xk

pss

Zsks

sHsGsKm

i

i

n

i

i

ssa

0

22)(

A

K

At

a

rp

INICIO

c) Sistema tipo 2.

de donde:

n=2

00)(

)(lim)]()([lim 0

1

1

1

1

1

00

k

px

Zk

pss

ZsksHsGKp

i

m

i

i

n

i

i

m

i

i

n

i

ss

01

)(

oo

Atrp

00)(

)(lim)]()([lim 0

1

1

1

2

1

00

k

px

Zk

pss

ZssksHssGKv

i

m

i

i

n

i

i

m

i

i

n

i

ss

0)(

oo

A

K

At

v

rp

0

1

2

1

2

0

2

0

)(

)(

lim)]()([lim k

pss

Zsks

sHsGsKm

i

i

n

i

i

ssa

finitovalork

A

K

At

a

rp _22

)(0

INICIO

TABLA DE ERRORES

Tipo de

Sistema

Constante de Error Error para

escalón Rampa Parábola

Kp Kv Ka A/s A/s² 2A/s³

0 Ko 0 0 A/(1+Ko) ‘ ‘

1 ‘ Ko 0 0 A/Ko ‘

2 ‘ ‘ Ko 0 0 2A/Ko

3 ‘ ‘ ‘ 0 0 0

Observando la tabla llegamos a las siguientes conclusiones:

1. El valor del error en régimen permanente es inversamente proporcional a los

coeficientes de errores Kp, Kv, Ka.

2. Conforme aumenta el tipo de error disminuye cada integración y aumenta el tipo

de error. c/integración adicional agrava el problema de la estabilidad, esto es un

aumento exagerado del tipo de sistema producirá un sistema inestable.

3. Un aumento exagerado de la constante de error con el objetivo de disminuir el

error en régimen permanente puede producirnos un sistema Inestable.

4. La estabilidad y el error deben de analizarse de forma conjunta debido a su

interrelación.

INICIO

EJERCICIO:

1. Determine el Error de Régimen permanente en el diagrama de bloques dado, ttr 3)( = 3t

2. Un Sistema con realimentación unitaria y negativa tiene una función de

transferencia de avance )3)(1(2

)2()(

sss

sksG y se le aplica una

entrada r(t)=0.5t². ¿Para que valores de k es el 75.0)( trp ?.

3. Dado el diagrama de bloques y la entrada mostrada, Determinar el Error de

Régimen permanente.

INICIO

s²+2s+3 (s+10)/s R(s) C(s)

4/s 1/(s+10)(s+20) X(s) Y(s)

x(t)

y(t)

3

2

1

0

1 2 3

VI. RESPUESTA A LA FRECUENCIA.

Se llama respuesta a la frecuencia, a la respuesta en régimen permanente de los sistemas

cuando la señal de entrada es una onda sinusoidal de amplitud constante y frecuencia

variable.

)]()[cos()( 0

)(

0 RR

wtj wtjsenwtRRtr R

)]()[cos()( 0

)(

0 cc

wtjwtjsenwtCCtc c

RC

j

jjwt

jjwt

wtj

wtj

Rc

R

C

R

c

R

C

xR

xC

R

C

tr

tc

,)(

)( )(

0

0

0

0

)(

0

)(

0

jxR

C

tr

tc

0

0

)(

)( ,

En donde fasedeAnguloamplituddelacionR

CRC ___,__Re

0

0

Nota: La relación de amplitud y el ángulo son característica importante de la respuesta a

la frecuencia.

Si a un sistema linear caracterizado por la ecuación:

011

1

1011

1

1

)(...

)()()(...

)()(b

dt

tdrb

dt

trdb

dt

trdba

dt

tdca

dt

tcda

dt

tcda

n

n

nn

n

nn

n

nn

n

n

Le aplicamos una señal de entrada jwtRtr 0)( y una señal de salida )(

0)( wtjCtc ,

entonces tendremos: jwtn

n

n

n

n

n

n

n

wtj RbjwbjwbjwbajwajwajwaC 001

1

101

1

1

)(

0 ])(...)()([])(...)()([

Aajwajwajwa

bjwbjwbjwb

R

C

tr

tcn

n

n

n

n

n

n

n

jwt

wtj

01

1

1

01

1

1

0

)(

0

)(..)()(

)(..)()(

)(

)(

Si a la ecuación diferencial dada en (A) le aplicamos transformada de Laplace,

tendremos:

BaSaSaSa

bSbSbSb

sR

sCsF

n

n

n

n

n

n

n

n

01

1

1

01

1

1

..

..

)(

)()(

Sistema C(t) R(t)

A sen wt B sen wt

Comparando la ecuación (A) y (B), tenemos que:

jwsjwFsF

tr

tc

)()()(

)(

Nota: La función de transferencia en el dominio de la frecuencia se puede obtener

apartir de la función de transferencia en el dominio de (jw) con solo sustituir S por jw.

)()()()()(

jwFme wFwjIwRjwF

Las características de la respuesta a la frecuencia pueden ser obtenidas a partir de:

1) Trazados Logarítmicos (Diagrama de Bode)

Nota: El eje de (w) es logarítmico y el eje de (Ø) y Co/Ro es aritmético.

2) Trazados Polar o Diagramas de Nyquist.

ANÁLISIS DE BODE (GRAFICA DE BODE)

A) Unidades de Frecuencias

1) Octava. Cuando la relación de w2/w1 es igual a 2, decimos que hay una octava.

Ejemplo:

a) De w1=3 a w2=6, decimos que hay una octava

b) De w1=2 a w2=16, tenemos que w2/w1=16/2=8=2³, entonces decimos que hay

tres octava (2-4-8-16).

2) Década. Cuando la relación de w2/w1 es igual a 10, decimos que hay una

década.

Ejemplo:

a) De w1=20 a w2=200, decimos que hay una década por ser w2/w1=200/20=10.

w

Ø

w

Co/Ro

Re

jIm

b) De w=5 a w2=5000, tenemos que w2/w1=5000/5=1000=10³, entonces decimos

que hay tres décadas (5-50-500-5000).

B) Unidades de Angulo. Grado

C) Unidades de Magnitud. dB

20 Log (relación de amplitud) = 20 Log [Co/Ro] = 20 Log |F(jw)|

La función de transferencia en el dominio de la frecuencia se puede generalizar como

sigue:

M

m

R

k mkmk

km

n

Q

i

ib

w

jwjw

wjwjw

jwk

jwF

1 1

21

]2

1[)1()(

)1(

)(

La función de transferencia incluye Q ceros en el eje real, N polos en el origen, M pares

de polos en el eje real, R pares de polos complejos conjugados.

R

i

w

jw

w

M

m

m

nQ

i

ib

mkmk

k jwjw

jwjwkjwF

1

22

1

1

)()(1log20)1log(20

log20)1log(20log20)(log20

Y el diagrama de bode puede determinarse sumando las graficas debida a cada factor

individual. Además la grafica del ángulo de fase separada se obtiene como:

Q

i

M

m

R

kww

ww

miwmk

mkko tgwtgNwtg

1 1 1

211

)90(

1

)( 2)()(

Que es simplemente la suma de los ángulos de fases debido a cada factor individual de

la función de transferencia.

En la función de transferencia tenemos cuatros (4) factores y son:

1) Factor Constante Kb

2) Polos (o ceros) en el origen (jw)

3) Polos (o ceros) en el eje real (1+jwτ)

4) Polos (o ceros) complejos conjugados 22 )()(1mm w

jw

w jw

ientoamortiguamdeeCoeficient

naturalfrecuenciawm

__

_

CONSTRUCCIÓN GRAFICA DE BODE.

1. F(jw)=Kb --- Factor constante

][log20log20 )( dBkF bdBjw

2. jwF jw

wwjwF ojw log20log20log20log2090)(

w 0.1 1 10 100 1000

20 Log w -20 0 20 40 60

20 Log w – Representa una recta con pendiente de 20n dB/dC

3. )1( jwF jw

2/12222

)( )1(1)1( jwF j

)1log(2/120)1(log20log20 22/122

)( xjwF jw )1log(10 2

0)1log(10,1

dB_01.3)2log(10)11log(10,1

,log20)log(10,1 2 lo cual representa una grafica con pendiente de

20 dB/dc.

20 Log Kb

Kb<0

20 Log |F(jw)|

Grafica de Magnitud

F(jw)

Grafica del Angulo de Fase

w w 0

0.1

0º

0.1

Para Kb>0

OBS.: Generalmente trabajamos con Kb>0

Para la grafica del ángulo Ø= .

Con la condición de quien define su variación es la frecuencia de corte , de donde el

ángulo solo varia en dos década una década anterior a la frecuencia de corte y una

década posterior, ejemplo de /10 a y de a x10 y a partir de aquí se hace

constante (ver grafica adjunta).

4. Para =

2/22222/

)( )1(1)1( NN

N

j jwF =

222/22

)( 1log10)1log(2/20)1(log20log20 NxNwF N

jw

De donde:

0)1log(10,1 Tiende a cero

EJEMPLO 1:

Apartir de la función de transferencia dada a continuación, construya las resultantes de

las graficas de Bode.

2)180/)(130/(

)10(10)(

ss

sssF

jwssiss

ss

ss

s

_

)180/)(130/(

)110/(100

)180/)(130/(

)1010)(10(1022

dCdBNapendientecongraficaatiendeNN 20______log20log101 2

2)180/)(130/(

)110/(100)(,

jwjw

jwjwjwFtenemos

2111 )180/()130/()110/(10)( jwjwjwjwjwF

No. Factor Frec. Corte

Wc

Grafica de magnitud Angulo de fase

Ø

1 Kb=100 -- Recta const. en

20log100=40dB

Ø=0º por ser Kb>0, rect.

const.

2 Jw

N=1

-- Pasa por 0dB en w=1

y crece con pend.

20N dB/dC=20dB/dC

Recta const. en 90N, por

ser la parte real de factor=0

3 (jw/10+1)

N=1

Wc=1/τ, τ=1/10,

Wc=10

Wc≤10, 0dBال

Wc>10, crece a 20Nال

dB/dC, como N=1,

crece a 20dB/dC

Wc≤1, Ø=0ºال

Wc=10, Ø=45N=45ºال

Wc≥100, Ø=90N=90ºال

4 (jw/30+1)

N=-1

Wc=30 الWc≤30, 0dB

Wc>30, crece a 20Nال

dB/dC, como N=1,

crece a 20dB/dC

Wc≤3, Ø=0ºال

Wc=30, Ø=45N=45ºال

Wc≥300, Ø=90N=90ºال

5 (jw/80+1)

N=-1

Wc=80 الWc≤80, 0dB

Wc>80, crece a 20Nال

dB/dC, como N=1,

crece a 20dB/dC

Wc≤8, Ø=0ºال

Wc=80, Ø=45N=45ºال

Wc≥800, Ø=90N=90ºال

EJEMPLO 2:

Apartir de la función de transferencia dada a continuación, construya las resultantes de

las graficas de Bode.

2)180/)(13/(

)20(5)(

ss

sssF

jwssiss

ss

ss

ss

_

)180/)(13/(

)120/(100

)180/)(13/(

)2020)(20(522

2)180/)(13/(

)120/(100)(,

jwjw

jwjwjwFtenemos

2111 )180/()13/()120/(100)( jwjwjwjwjwF

No. Factor Frec. Corte

Wc

Grafica de magnitud Angulo de fase

Ø

1 Kb=100 -- Recta const. en

20log100=40dB

Ø=0º por ser Kb>0, rect.

const.

2 Jw

N=1

-- Pasa por 0dB en w=1

y crece con pend.

20N dB/dC=20dB/dC

Recta const. en 90N, por

ser la parte real de

factor=0, osea Ø=90º recta

constante.

3 (jw/20+1)

N=1

Wc=1/τ, τ=1/20,

Wc=20

Wc≤20, 0dBال

Wc>20, crece a 20Nال

dB/dC, como N=1,

crece a 20dB/dC

Wc≤2, Ø=0ºال

Wc=20, Ø=45N=45ºال

,Wc≥200, Ø=90N=90ºال

recta constante

4 (jw/3+1)

N=-1

Wc=3 الWc≤3, 0dB

Wc>3, crece a 20Nال

dB/dC, como N=-1,

crece a -20dB/dC

Wc≤0.3, Ø=0ºال

Wc=3, Ø=45N=-45ºال

,Wc≥30, Ø=90N=-90ºال

recta constante.

5 (jw/80+1)

N=-2

Wc=80 الWc≤80, 0dB

Wc>80, crece a 20Nال

dB/dC, como N=-2,

crece a -40dB/dC

Wc≤8, Ø=0ºال

Wc=80, Ø=45N=-90ºال

,Wc≥800, Ø=90N=-180ºال

recta constante.

GRAFICA DE MAGNITUD

GRAFICA DEL ANGULO DE FASE

PRACTICA:

I. CAP. 1 (Introducción).

1.- Investigar el funcionamiento del regulador de Velocidad de James Watt, indicar

cuales son las señales de entrada y de salida. Razonar si se trata de un sistema de

lazos abierto o de lazo cerrado.

2.- Definir los siguientes conceptos:

a) Servosistema.

b) Servomecanismo.

c) Regulador.

d) Transductor.

3.- Dar un ejemplo de un transductor.

4.- Explique lo que se entiende por realimentación. Señales la diferencia entre la

realimentación negativa y la realimentación positiva.

5.- En la columna de la izquierda se dan los nombres de algunos transductores, y en

la de la derecha, la señal que mide cada uno de ellos, pero en otro orden relaciones

estas columnas.

a) Amplificador con fototransistor ___ Señal sonora

b) Potenciómetro ___ Senal luminosa

c) Micrófono ___ Temperatura

d) Dinamo Taquimetriíta ___ Penal eléctrica

e) Termopar ___ Posición

f) Resistencia conectada en divisor ___ Velocidad

de tensión.

6.- En el problema anterior diga cual es la naturaleza de la senal de salida de cada

uno de los transductores mencionados.

II. CAP. 2 (Diagrama de Bloques y Flujograma)

1. Dibuje el diagrama de bloques correspondiente al siguiente conjunto de

ecuaciones:

a) X=(2+8s)V

b) U=10V

c) U=(5+4s)Y

Considere que la senal de entrada es X y la salida es Y.

2.- Escriba el conjunto de ecuaciones correspondiente al diagrama de bloques

siguiente. Otorgue nombres a su criterio a las variables internas.

3.- Determine C/R para el siguiente sistema.

4.- Reduzca a un solo bloque los diagramas de bloques siguientes:

Datos: G1=1/(s+8), G2=1/(s²+2), G3=1/s, H1=0.5

G1 G2 G3

H2

G5

G4

R C +

- - -

+ + +

H2

G1 G2 G3 G4

H1 H2

H3

R C + + + -

- -

G1 G2 G3

H2

H1

H3

R C +

- -

- + +

5.- Determinar el valor de C para el siguiente sistema:

5.- Determinar el valor de C/R2 para el siguiente sistema:

6.- Determinar la salida C del sistema anterior cuando ambas entradas R1 y R2

actúan simultáneamente.

7.- Convierta en flujograma los diagramas de bloques dados en los ejercicios 2,3 y

4, y obtenga la ganancia total (GT), en cada uno de los diagramas convertidos en

flujograma.

G1 G3

H2

H1

R1 C +

- -

+ + + +

R2

G2

H3

-

G1 G3

H2

H1

R1 C +

- -

- + + +

R2 R3

R4

+

+

+

G2 G3 G1

H1

R C +

+ -

+ + +

III. ESTABILIDAD.

Utilizando el criterio de Routh determine la Estabilidad o rango de Estabilidad de

los siguientes sistemas:

4. 01024 1245 SSSS

5. 011212 1234 SSSS

6. 015129362 12345 SSSSS

IV. ERROR DE REGIMEN PERMANENTE.

1. Determine el Error de Régimen permanente en el diagrama de bloques dado, ttr 3)(

4.

1/s 1/[(s+5)(s+15)(s+20)]

(s+20)

R(s) C(s)

+

-

a)

b) +

-

+

-

c)

k(s+3)/s(s+1)(s+6)

k 1/(s+3)(s+4)

1/s

R(s) C(s)

C(s) R(s)

2. Un Sistema con realimentación unitaria y negativa tiene una función de

transferencia de avance )3)(1(2

)2()(

sss

sksG y se le aplica una

entrada r(t)=0.5t². ¿Para que valores de k es el 75.0)( trp ?.

3. Dado el diagrama de bloques y la entrada mostrada, Determinar el Error de

Régimen permanente.

s²+2s+3 (s+10)/s R(s) C(s)

4/s 1/(s+10)(s+20) X(s) Y(s)

x(t)

y(t)

3

2

1

0

1 2 3

V. DIAGRAMA DE BODE.

Apartir de las funciones de transferencias dada a continuación construya las graficas de

bode.

)150/)(160/(2

)40(25.0)(

jwjwjw

jwjwF

)170/(2)130/(

)120/()(

jwjw

jwjwjwF

)1025.0(2)1125.0(

)15.0(10)(

jwjwjw

jwjwF

)10125.0)(3(

)7(10)(

jwjw

jwjwjwF