Material Básico Sup. Pesq. - UEL · 2016. 9. 8. · 2 AntonioEdsonGonçalves...

ELETRODINÂMICA

ANTONIO EDSON GONÇALVES

8 de setembro de 2016

2

Antonio Edson Gonçalves

Depto de Física - Centro de Ciências Exatas

Universidade Estadual de Londrina

Cx. Posta 86100 -Londrina - Paraná

[email protected]

05.06.2016

Sumário

1 Eletrostática 91.1 A função Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 A Lei de Gauss: uma abordagem geométrica . . . . . . . . . . 101.3 A função de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 O Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Condições de Contorno em Eletrostática I 192.1 Esfera condutora isolada na presença de uma carga puntiforme 222.2 Expansão em Funções Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Séries e Transformadas de Fourier em espaços curvos . 29

3 Condições de Contorno em Eletrostática II 313.1 Teorema de Adição de Harmônicos Esféricos I . . . . . . . . . 313.2 Teorema de Adição de Harmônicos Esféricos II . . . . . . . . . 333.3 Teorema de Adição dos Harmônicos Esféricos III . . . . . . . 40

4 Multipolos Eletrostáticos 454.1 Expansão multipolar do potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Expansão multipolar par o campo elétrico . . . . . . . . . . . 514.3 O cálculo das derivadas para o dipolo e quadrupolo. . . . . . 514.4 Observações gerais acerca de multipolos . . . . . . . . . . . . . 534.5 O campo escalar e vetorial de um dipolo . . . . . . . . . . . . 544.6 O significado geométrico do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . 58

4.6.1 A diferença básica entre o dipolo elétrico e o magnético 604.7 Expansão multipolar da energia de uma distribuição de cargas

em um campo externo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5 Magnetostática 735.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2 A Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3 Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3

4 SUMÁRIO

5.4 Equações Diferenciais para a Magnetostática . . . . . . . . . . 845.5 O Potencial Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.6 O Potencial Vetor e Indução Magnética de um Anel com Cor-

rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.7 Campos Magnéticos de Distribuições de Correntes Localizadas 91

5.7.1 O limite Não Relativístico da Equação de Dirac . . . . 1025.8 Força, Torque e Energia de uma Distribuição de Corrente Lo-

calizada, em um Campo de Indução Externo . . . . . . . . . . 1065.8.1 Hamiltoniano de Interação Hyperfina . . . . . . . . . . 1105.8.2 Autofunções radiais e o Deslocamento Hiperfino . . . . 126

6 Potencial Retardados 1336.1 Propriedades de Funções Retardadas . . . . . . . . . . . . . . 133

7 Comentários e Complementos dos Problemas Propostos 1377.1 Problema 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.2 Problema 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Appendix 145

Referências Bibliográficas 145

Índice 147

Lista de Figuras

1.2.1 Geometria da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Lei de Gauss: carga exterior da esfera . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Angulo Sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.0.1 Garga próxima condutor Aterrado Isolado . . . . . . . . . . . 202.0.2 Placa Condutora Carga Puntiforme . . . . . . . . . . . . . . . 202.0.3 Esfera isolada descarregada na presença de uma carga punti-

forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.1 Esfera Condutora de raio a, nas presença de carga q e imagem q′ 22

3.2.1 Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2 Sistema de Coordenadas Girado . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.1 Rotação do estado |k〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.1 Tabela de alguns HE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.1.2 Tabela alguns HE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4.1 4-Polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5.1 Geometria para calculo campo dipolo . . . . . . . . . . . . . . 554.6.1 Calculo co campo médio nas regiões a e b . . . . . . . . . . . 614.6.2 Sistema coordenadas para integração . . . . . . . . . . . . . . 674.7.1 Exemplo de distribuição de cargas na presença de campo externo 70

5.1.1 Arranjo geométrico ilustrativo da conservação da garga . . . . 755.2.1 Geometria Lei Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2.2 Indução magnética fio infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3.1 Dois circuitos de correntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3.2 Geometria para a Lei de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . 815.3.3 Força entre fios paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.4.1 Geometria Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.5.1 Potencial vetor cilindro finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.5.2 Potencial Vetor de um fio finito . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.6.1 Construção geométrica para o cálculo do potencial vetor A . . 90

5

6 LISTA DE FIGURAS

5.7.1 Divergente da fonte de indução magnética . . . . . . . . . . . 935.7.2 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.7.3 Superfície Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.8.1 Comportamento da função k(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.8.2 função de onda radial normalizada multiplicada por r para o

estado 1s1/2e Z = 28. A abcissa é expressa em r/(~/mec) e osubscrito nr refere-se à função de onda não relativística. . . . 128

5.8.3 Estado 2s1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.8.4 Estado 2p1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.8.5 Estado 2p3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.8.6 Níveis de energia do átomo de hidrogêneo . . . . . . . . . . . . 131

7.1.1 Geometria da esfera carga interior: Método Imagem . . . . . . 1387.1.2 Condições Contorno Vetores Campo Elétrico . . . . . . . . . . 1397.1.3 Carga na presença esfera condutora isolada . . . . . . . . . . . 141

Lista de Tabelas

7

8 LISTA DE TABELAS

Capítulo 1

Eletrostática

Introdução

Discutiremos alguns tópicos selecionados acerca de eletrostática uma vez queo assunto já é bastante discutido nos cursos básicos de graduação. Opta-mos por dar preferência aos teoremas diferenciais e integrais envolvendo asequações de Laplace e Poisson visto a grande utilidade destas equações noscálculos dos potenciais eletrostáticos envolvendo condições de contorno.

As equações básica da eletrostática são derivadas das equações de Maxwell

∇ ·D = ρ,∇× E + ∂B∂t,= 0

∇ ·B = 0,∇×H = J+∂D∂t

.

(1.0.1)

1.1 A função Delta de Dirac

Em coordenadas curvilineares a função delta é escrita como

δ(x− x0) =3∏i=1

δ(ξi − ξi0)hi

, (1.1.1)

onde os hi são os coeficientes de Lamé

hi =

√√√√ 3∑i=1

(∂x∂ξi

)2

(1.1.2)

9

10 CAPÍTULO 1. ELETROSTÁTICA

Figura 1.2.1: Geometria da Lei de Gauss

1.2 A Lei de Gauss: uma abordagem geomé-trica

Considere uma superfície esférica de raio r = |x| cujo centro O coincide coma origem do sistema de coordenadas, como esquematizado na Fig. (1.2.1).

Nesta figura o vetor posição r′ refere-se à posição da distribuição de cargasrelativa a O do sistema S, portanto em coordenadas esféricas o da distribui-ção de cargas possui as coordenadas (r′, θ′, φ′) enquanto que ao observador(posição onde mede-se o campo) refere-se o vetor r e portanto o observadorpossui as coordenadas (r, θ, φ).

Consideramos primeiramente o caso em que r > r′. Como a esferade raios r envolve toda a distribuição de cargas torna-se mais simples trans-ladarmos a origem do sistema de coordenadas para o CM das cargas, o queequivale a fazer r′ = 0. Esta geometria corresponde àquela da figura elípticana Fig.(1.2.1). Considere então o cálculo do campo elétrico sobre a superfícieesférica de raio r, note que a integração é feita sobre as coordenadasdo observador e não sobre àquelas da distribuição de cargas. Sejaentão

ΦE =˛S

E · nda,

onde o vetor unitário n é o vetor normal à superfície e θ é o angulo entre a

1.2. A LEI DE GAUSS: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA 11

Figura 1.2.2: Lei de Gauss: carga exterior da esfera

normal e a direção do campo elétrico naquele ponto, então

ΦE =˛S

[ˆ 14πε0

ρ(r′)|r|3

(r) dv′]· nda

= q

4πε0

˛rr3 · nr

2dΩ

= q

4πε0

˛n · ndΩ

= q

4πε0

ˆΩdΩ = q

4πε04π

= q

ε0,

onde a carga q é dada por

q =ˆV

ρ(r′)dv′.

A outra situação na qual a distribuição de cargas encontra-se forada esfera definida pelo vetor posição do observador, portanto r′ > r.A geometria desta configuração está esquematizada na Fig. (1.2.2).

A fim de simplificarmos os cálculos, giramos o sistema de coordenadasda configuração inicial a qual depende dos três parâmetros da distribuiçãode cargas e dos três do observador, enfim há o angulo γ que é função deθ′, θ, φ′, φ, como mostrado na figura. O giro é feito de forma a alinhar o


eixo z na direção do vetor posição da distribuição de cargas, finalizando coma configuração geométrica da segunda figura na qual o angulo θ torna-se oangulo entre os vetores r e r′, e consequentemente

cos γ = cos θ cos θ′ + senθsenθ′ cos(φ− φ′) = cos θ,uma vez que θ′ = 0. Com esta escolha o fluxo do campo elétrico no ponto deobservação (superfície da esfera S) será

ΦE =˛S

[ˆ 14πε0

ρ(r′)|r− r′|3

(r− r′) dv′]· nda

= 14πε0

ˆV

dv′ρ(r′)[˛

S

1|r− r′|3

(r− r′) · nda], n = r

r.

Trabalhando somente com a integra de superfície termos

IS =˛S

1|r− r′|3

(r− r′) · nda

=ˆ

Ω

(r − r′ cos θ)(r2 − 2rr′ cos θ + r′2)3/2 r

2senθdθdφ

= 2πˆ

r3

(r2 − 2rr′ cos θ + r′2)3/2 senθdθ

− 2πˆ

r′r2 cos θ(r2 − 2rr′ cos θ + r′2)3/2 senθdθ

≡ I1 − I2.

Calculamos separadamente cada integral, para I1 fazemos a mudança devariável

u = r2 − 2rr′ cos θ + r′2 =⇒ du = 2rr′senθdθ

=⇒ senθdθ = du

2rr′ ,

para obtermos

I1 = 2πr3ˆ (r+r′)2

(r−r′)2u−3/2 du

2rr′

= πr2

r′(−2)u−1/2

∣∣∣(r+r′)2

(r−r′)2

= −2πr2

r′

1√(r + r′)2

− 1√(r − r′)2

,

1.2. A LEI DE GAUSS: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA 13

que para este caso r′ > r é necessário inverter a raiz√

(r − r′)2 −→√

(r′ − r)2 =r′ − r, fornecendo então para o resultado da primeira integral

I1 = −2πr2

r′

[ 1r + r′

− 1r′ − r

]= −2πr

2

r′−2r

r′2 − r2 = 4πr3

r′ (r′2 − r2) .

A segunda integral I2 será

I2 = 2πˆ

r′r2 cos θ(r2 − 2rr′ cos θ + r′2)3/2 senθdθ

= 2πr′r2ˆ π

0

cos θ(r2 − 2rr′ cos θ + r′2)3/2 senθdθ.

Novamente fazermos

u = r2 − 2rr′ cos θ + r′2 =⇒ du = 2rr′senθdθ =⇒ senθdθ = du

2rr′ ,

u ≡ a− b cos θ, a ≡ r2 + r′2, b ≡ 2rr′

fornecendo que

I2 = 2πr′r2ˆ (a+b)

(a−b)2

a− ubu3/2

du

b

= 2πr′r2

b2

ˆ (a+b)

(a−b)2(a− u)u−3/2du

= 2πr′r2

b2

a (−2)u−1/2

∣∣∣(a+b)2

(a−b)2− 2 u1/2

∣∣∣(a+b)2

(a−b)2

= −4πr′r2

b2

a

[1√a+ b

− 1√a− b

]+√a+ b−

√a− b

Devido que

a+ b = (r + r′)2

a− b = (r′ − r)2, r′ > r


teremos

I2 = − 4πr′r2

(2rr′)2

a

[1√a+ b

− 1√a− b

]+√a+ b−

√a− b

= −πr′

a[ 1r + r′

− 1r′ − r

]+ r + r′ − (r′ − r)

= −π

r′

a[ −2rr′2 − r2

]+ r + r′ − (r′ − r)

= −2πr

r′

(r2 + r′2

) [ −1r′2 − r2

]+ 1

= −2πr

r′

[r′2 − r2 − (r2 + r′2)

r′2 − r2

]

= 4πr3

r′ (r′2 − r2) .

Segue diretamente dos cálculos anteriores que

I1 + I2 = 0,

portanto o fluxo do campo elétrico é nulo nesta situação em que o vetorposição do observador r é menor que o vetor posição da distribuição decargas ou seja as fontes estão fora da superfície.

Resumindo encontramos que˛S

E · nda =q/ε0 se q está no interiror de S

0 se q está no exteriror de S(1.2.1)

1.3 A função de GreenApresentamos um “muito” breve resumo acerca das funções de Green e dasequações diferenciais por elas satisfeitas. O material aqui apresentado é umacoletânea das referências [1, 2] e das notas de aula do curso de eletrodinâmicada pós-graduação.

A ideia básica é demonstrar que

∇2(

1|x− x′|

)= −δ(x− x′), (1.3.1)

onde

δ(x− x′) =0, se x 6= x′,∞, se x = x′.

(1.3.2)

1.3. A FUNÇÃO DE GREEN 15

A segunda equação é equivalente às equações∞

−∞

d3x′f(x′)δ(x− x′) = f(x),

∞

−∞

d3x′δ(x− x′) = 1, se f(x) = 1.

A Eq. (1.3.1) é um caso particular de uma classe de soluções mais geraisG(x− x′) chamadas de funções de Green da equação diferencial

∇2G(x− x′) = −4πδ(x− x′). (1.3.3)Considere então o cálculo do Laplaciano da função φ(x). Por simplicidade

escolhemos a fonte na origem do sistema de coordenadas, ou seja em x′ = 0.Se a origem do sistema de coordenadas for excluída, segue diretamente que

∇2φ(x) = 1r

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

1r

)= 0, se x 6= 0; |x| = r.

Quando a origem das coordenadas faz parte do domínio da função φ, aequação anterior não é nula mas singular, neste caso o cálculo do Laplacianodo campo φ pode ser feito de, pelo menos, duas formas:

A. Utilizando o teorema da divergência de Gauss com a fonte numaposição arbitrária do espaço. Neste caso

r = x− x′

˛V · ndS =

ˆ

V

∇ ·Vdv,

e notando que a lei de Gauss a integral de superfície é sobre as coordenadasdo observador, temos

ˆ

V

∇2 1|x− x′|

dv =ˆ

V

∇ ·∇ 1|x− x′|

dv =˛ [∇ 1|x− x′|

]· ndS.

Note que o operador ∇ opera somente nas coordenadas do observador enão nas coordenadas da distribuição de cargas. O gradiente vale

∇ 1|x− x′|

= − er|x− x′|2

,


Figura 1.3.1: Angulo Sólido

e

˛ [∇ 1|x− x′|

]·ndS = −

˛ex−x′

|x− x′|2·ndS = −

˛ (x− x′) · ndS|x− x′|3

= −˛dΩ.

Com dΩ um elemento de angulo sólido subentendido pelo elemento desuperfície dS no ponto de observação, veja a figura (1.3.1).

O angulo sólido pode ser calculado explicitamente:

Ω =˛ (x− x′) · ndS

|x− x′|3.

É necessário distinguir duas situações: cargas dentro e fora do volumedefindo pelo vetor posição do observador, como mostrado anteriormente.

Resumindo nossos resultados anteriores, encontramos

ˆ

V

∇2 1|x− x′|

dv =−4π se o ponto de observação (medida) estiver no interior de S,

0 se o ponto de observação (medida) estiver no exterior de S.

1.3. A FUNÇÃO DE GREEN 17

Portanto podemos substituir o integrando por

∇2 1|x− x′|

= −4πδ(x− x′).

B. Utilizando o processo limite. Neste caso considera-se o cálculo daintegral

I = lima→0

ˆ

V

∇2(

1√r2 + a2

)dv.

O laplaciano do integrando vale

∇2(

1√r2 + a2

)= 1r

d2

dr2

(r√

r2 + a2

)= − 3a2

(r2 + a2)5/2 ;

I = − lima→0

ˆ

V

3a2

(r2 + a2)5/2dv′ = − lim

a→03a2ˆ

V

r2senθdrdθdφ(r2 + a2)5/2 = − lim

a→03a24π

ˆ0

r2dr

(r2 + a2)5/2 ,

fazendo a mudança de variável r = a tan θ, dr = a sec2 θdθ obtém-se queˆ R

0

r2dr

(r2 + a2)5/2 = r3

3a2 (a2 + r2)3/2

∣∣∣∣∣R

0= R3

3a2 (a2 +R2)3/2

portantoI = − lim

a→03a24π R3

3a2 (a2 +R2)3/2 = −4π.

Com estes resultados ficou demonstrado de duas formas que a a função

− 14π∇

2 1|x− x′|

= δ(x− x′),

é uma representação da função delta com a função

φ = 1|x− x′|

sendo um caso particular de uma classe mais geral de funções denominadasde funções de Green G(x − x′) que satisfazem a equação 1.3.3. Em geral asolução desta equação é

G(x− x′) = 1|x− x′|

+ F (x, x′), (1.3.4)

sendo necessário que∇′2F (x, x′) = 0.


Neste método, dada um campo satisfazendo uma equação diferencial parcialda forma

∇2ψ(x) = −ρ(x), (1.3.5)e a correspondente equação para a função de Green

∇2G(x− x′) = −4πδ(x− x′).

1.4 O Teorema de GreenEm muitos problemas de eletrostática em que as fontes discretas ou contínuassão localizadas e não há condições de fronteiras nas superfícies, a forma maissimples de se buscar uma solução é utilizando a equação integral para opotencial eletrostático

Φ(r) = 14πε0

ˆV

ρ(r′)|r− r′|

dv′.

Entretanto na grande maioria dos problemas as distribuições de cargas nãosão triviais e pode ser necessário o conhecimento do campo em regiões emque existe fontes e regiões nas quais não há fontes. Neste caso o campo e/ousua derivada normal deve ser especificada nas superfícies fronteiras. Nestescasos a busca de uma solução pela

Veja a página 252 of Modern Electrodynamics para explicação da Condi-ções de Contorno de Neumann!!

Capítulo 2

Condições de Contorno emEletrostática I

Introdução

Este texto é uma adaptação informal da referência [1] com material coletadode várias outras referências.

O potencial eletrostático de duas cargas puntiformes de mesma inten-sidade e sinais opostos é nulo em todo um plano situado a meia distânciadas cargas. Este plano geométrico pode ser substituído por plano condutoraterrado na presença de uma única carga puntiforme, em suma o potencialde duas cargas puntiforme iguais e com sinais opostos é igual ao potencialde uma única carga puntiforme na presença de um plano condutor aterrado.Esta técnica de se identificar uma dada distribuição de cargas com uma equi-valente de uma outra distribuição na presença de condutores aterrados ouisolados é denominada de método imagem. [3]

Uma carga externa, −q < 0, próxima a um condutor aterrado induziráneste uma carga total q, igual e oposta a da carga externa de forma que opotencial na superfície do condutor seja nulo, note que a carga total (cargaexterna mais a carga induzida na esfera) é nula. Se o condutor estiver isolado,acontecerá uma separação de cargas em sua superfície e neste caso a cargatotal será igual a carga externa.Veja a figura islustrativa, Fig. (2.0.1)

Alguns exemplos de distribuições de cargas que simulam problemas equi-valentes de imagens eletrostáticas são comentados nas figuras a seguir. Afigura Fig. (2.0.2) contém a representação esquemática de uma carga punti-forme localizada próxima a uma superfície condutora aterrada e a geometriado correspondente sistema com a carga imagem.

Um outro arranjo consistindo de uma esfera condutora isolada e com carga

19

20CAPÍTULO 2. CONDIÇÕES DE CONTORNO EM ELETROSTÁTICA I

Figura 2.0.1: Garga próxima condutor Aterrado Isolado

Figura 2.0.2: Placa Condutora Carga Puntiforme

21

Figura 2.0.3: Esfera isolada descarregada na presença de uma carga punti-forme

total nula na presença de uma carga puntiforme é esquematizado na figuraFig. 2.0.3. Uma carga puntiforme q é colocada a uma distância d do centro daesfera de raio a. O campo devido a este sistema pode ser calculado a partir dosistema equivalente, com a carga imagem, através da superposição de campos.Tendo em mente que a carga externa q redistribuirá a carga nula na superfícieda esfera condutora de forma que a carga total do sistema continua sendosomente a carga externa q. No equilíbrio eletrostático podemos visualizaro potencial elétrico deste sistema como sendo resultante da superposição dopotencial de três cargas: a carga induzida na superfície da esfera, a cargaimagem e a carga puntiforme q, de forma que a carga total seja preservada,ou seja

+q = +q − q′ + q′.

A carga +q′ considerada como uma distribuição uniforme localizada no centroda esfera, portanto na origem do sistema de coordenadas.


Figura 2.1.1: Esfera Condutora de raio a, nas presença de carga q e imagemq′

2.1 Esfera condutora isolada na presença deuma carga puntiforme

Como uma ilustração do método imagem, considere o problema de se deter-minar o potencial no ponto P no espaço, localizado com relação a origem dosistema de coordenadas pelo vetor posição do obsevador 1x exterior a umaesfera condutora de raio a, aterrada e na presença de uma carga puntiforme qsituada a uma distância y, com y > a da origem do sistema de coordenadas.A geometria do problema está esquematizada na Fig. (2.1.1)

Utilizando a geometria da figura, o potencial no ponto P rfesultante dasuperposição linear dos potenciais das cargas q e q′ é

Φ(x) = 14πε0

[q

|x− y|+ q′

|x− y′|

], (2.1.1)

onde usaremos a notação

x = xn, y = yn′, y′ = y′n′.

1Observador pode ser um equipamento que mede a intensidade do campo no ponto P

2.1. ESFERA CONDUTORA ISOLADA NA PRESENÇA DE UMA CARGA PUNTIFORME23

Temos duas incógnitas e uma equação! Enfim, precisamos expressar y′e q’ emfunção dos parâmetros conhecidos y, a, e a carga q que são as grandezas queestabelecem a configuração ou “estado do sistema”. Por isto reescrevemos aEq. (2.1.1) como

Φ(x) = 14πε0

[q

|x− y|+ q′

|x− y′|

]= 1

4πε0

q

x∣∣∣n− y

xn′∣∣∣ + q′

y′∣∣∣ xy′

n− n′∣∣∣ .

Impondo que o potencial seja nulo na superfície da esfera, x = a, uma vezque a mesma está aterrada, obteremos as seguintes condições válidas paraqualquer angulo cos γ = n · n′:

q

a= −q

′

y′, (2.1.2)∣∣∣∣n− y

xn′∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ xy′n− n′∣∣∣∣∣ . (2.1.3)

A segunda condição pode ser reescrita como

√1− 2y

xcos γ +

(y

x

)2=

√√√√1− 2 xy′

cos γ +(x

y′

)2

, (2.1.4)

Esta condição será satisfeita para todo cos γ somente se

y

x= x

y′. (2.1.5)

As duas equações Eq. (2.1.2) e Eq. (2.1.5) fornecem as condições

q′ = −ayq, y′ = a2

y. (2.1.6)

que substituídas na Eq. (2.1.4) fornecem a seguinte expressão para o poten-cial

Φ(x) = 14πε0

q

|xn− yn|− qa

y∣∣∣xn− a2

yn′∣∣∣ . (2.1.7)

O que faremos agora é redundante, mas não trivial. Este potencial deve ser


nulo na superfície da esfera, |x| = a, então

Φ(an) = 14πε0

q

|an− yn′|− qa

y∣∣∣an− a2

yn′∣∣∣

= 14πε0

q√a2 − 2ay cos γ + y2 −

qa

y√a2 − 2a3

ycos γ + a4

y2

= 1

4πε0

q√a2 − 2ay cos γ + y2 −

q

y√

1− 2ay

cos γ + a2

y2

= 1

4πε0

q√a2 − 2ay cos γ + y2 −

q√y2 − 2y2 a

ycos γ + y2 a2

y2

=⇒

Φ(an) = 0. (2.1.8)

Como deve ser!

2.2 Expansão em Funções OrtogonaisSoluções das equações de Laplace e/ou Poisson via expansão em bases orto-normais é uma técnica bastante útil para uma grande classe de problemas,se não a maioria deles. A escolha mais adequada de uma base particular de-pende da simetria do problema, certamente qualquer base pode ser utilizadaentretanto uma escolha mais adequada, explorando a simetria, simplifica emmuito o problemas e cálculos. Para recordar brevemente a expansão em fun-ções ou bases ortonormais, faremos uma breve revisão do assunto. Considereuma base discreta completa e ortonormal

|n〉, 〈n |m〉 = δnm,∑n

|n〉〈n| = I. (2.2.1)

como também uma base contínua ortonormal e completa

|x〉 , 〈x |x′〉 = δ(x− x′),ˆdx |x〉〈x| = I (2.2.2)

Subentende-se que a soma na base discreta estende-se a quantos forem oselementos da base, que podem ser infinitos. Com relação à base contínuaos limites de integração podem ser intervalos finitos ou infinitos da reta.Ainda vale observar que as bases podem ser reais ou complexas. Utilizandoestas duas bases e suas correspondentes propriedades de completeza podemoscombiná-las para obter

2.2. EXPANSÃO EM FUNÇÕES ORTOGONAIS 25

〈m |n〉 = 〈m | I |n〉 = 〈m|ˆdx |x〉〈x| |n〉 = δmn

A expressão 〈x |n〉 representa um dado elemento do |n〉 na representação dascoordenadas o qual passamos a representar como

un(x) ≡ 〈x |n〉 , (2.2.3)

e o correspondente dual

u∗n(x) = 〈n |x〉

Desta forma obtivemos a relação de ortogonalidade da base discreta na re-presentação das coordenadas

ˆdxu∗m(x)un(x) = δnm. (2.2.4)

Em princípio uma função arbitrária mas bem comportada (analítica e dequadrado integrável) pode ser expandida nesta base da forma

f(x) =∑n

cnun(x), (2.2.5)

sendo os coeficientes na expansão dados pela equação

cn =ˆdxf(x)u∗n(x), (2.2.6)

que segue da relação de ortogonalidade da base. Esta forma dos coeficien-tes segue do fato de termos assumido que a base é ortogonal e completa.Entretanto podemos conjeturar se esta é a melhor escolha para os coeficien-tes. Pergunta-se: qual o significado de melhor? Resposta: a melhor significaàquela que minimiza o erro na identificação

f(x)←→∑n

anun(x)

O erro E associado a esta correspondência é definido como

EN =ˆV

dx

∣∣∣∣∣f(x)−∑n

anun(x)∣∣∣∣∣2

e calcular o valor que extremiza EN em função dos coeficientes. Isto é imedi-ato,


∂E∂ai

= ∂

∂ai

ˆdx

[|f(x)|2 − f(x)

∑n

a∗nu∗n(x)− f ∗(x)

∑n

anun(x) +∑nm

ana∗m(x)un(x)u∗m(x)

]

=ˆdx

[−f ∗(x)

∑n

δinun(x) +∑nm

δina∗mun(x)u∗m(x)

],

fornecendo portanto que

∂E∂ai

= 0 =⇒ −´dxf ∗(x)ui(x) + a∗i = 0

∂E∂a∗i

= 0 =⇒ −´dxf(x)u∗i (x) + ai = 0

=⇒ ai =

ˆdxf(x)u∗i (x)

que são exatamente os coeficientes expressos na equação Eq.(2.2.6); ou sejaa utilização desta expansão é consistente.

A substituição da equação Eq.(2.2.6) na equação Eq. (2.2.5) fornece

f(x) =∑n

ˆf(y)u∗n(y)dyun(x) =

ˆdy

∑n

u∗n(y)un(x)f(y)

=⇒∑

n

u∗n(y)un(x)

= δ(x− y)

indicando a completeza da base nos índices discretos.Como um exemplo concreto e trivial utilizamos as funções seno e cosseno

como uma base apropriada para a expansão de dadas funções. Para istoutilizamos os resultados

ˆ π

−πcos(mθ) cos(nθ)dθ =

2π, m = n = 0,πδmn m,n 6= 0,

(2.2.7)

para a função seno:ˆ π

−πsen(mθ)sen(nθ)dθ =

2π, m = n = 0,πδmn m,n 6= 0,

(2.2.8)

e para a combinação das funçõesˆ π

−πcos(mθ)sen(nθ)dθ = 0 (2.2.9)

Estas expressões podem ser ajustadas as condições mais apropriadas para adescrição de problemas específicos em eletromagnetismo, ou seja em proble-mas em que a caracterização de um dado comprimento seja necessária. Para


isto é necessário redimensionar as relações de ortogonalidade para introdu-zirmos um parâmetro a caracterizando um comprimento ao longo de umadada direção, digamos o eixo x. Dado que θ é um parâmetro adimensional,escolhemos θ = Cx para que os limites de integração fiquem definidos entre−a/2e a/2, para isto é necessário que

θ = Cx, θ = π, x = a/2 =⇒ π = Ca =⇒ C = 2πa

que fornece a mudança de variável

θ = 2πxa

=⇒ x = aθ

2πe consequentemente a relação de ortogonalidade

2πa

ˆ a

−acos(m2πx

a) cos(n2πx

a)dx =

2π, m = n = 0,δmn, m, n 6= 0

Se definirmos as base normalizadas como√2asen(2πmx

a),

√2a

cos(2πmxa

),

teremos as seguintes relações de ortogonalidadeˆ a/2

−a/2

√2asen(2πmx

a)√

2asen(2πnx

a)dx = δmn, (2.2.10)

com uma relação análoga para a base cosseno. Utilizando estas bases, a sérieque corresponderá a expansão Eq.(2.2.5) será

f(x) = A0

2 +∞∑m=1

[Am cos(2πmx

a) +Bmsen(2πmx

a)], (2.2.11)

com os coeficientes na expansão dados (relação de ortogonalidade) por

Am = 2a

ˆ a/2

−a/2f(x) cos(2πmx

a)dx,

Bm = 2a

ˆ a/2

−a/2f(x)sen(2πmx

a)dx

Se as funções ortogonais forem definidas em mais de uma dimensão, as fór-mulas expressas nas equações Eqs. ((2.2.1)) até Eqs. (2.2.5) possuem gene-ralizações óbvias. Suponha que o espaço seja 3−d , que seja compacto e que


as bases ortogonais em cada dimensão sejam ul(ξ), vm(ζ), wn(κ), então umafunção arbitrária f(x, y, z) pode ser expandida como

f(ξ, ζ, κ) =∑l,m,n

clmnul(ξ)v(ζ)wn(κ),

com os coeficiente na expansão sendo dado por

almn =ˆdξdζdκf(ξ, ζ, κ)u(ξ)v(ζ)wn(κ).

Certamente as relações de ortogonalidade em termos de deltas de Kro-necker ou delta de Dirac dependem de serem os espaço compacto ou não.

Como um importante exemplo, considere a integral de Fourier que de fatoutiliza uma combinação das base ortogonais sen e cos . considere o conjuntoortogonal completo

un(x) = 1√aeı(2πmx/a), m = 0,±1,±2, · · · (2.2.12)

definida no intervalo [−a/2, a/2]. Desta forma a expansão da funções f será

f(x) =∑m

cm1√aeı(2πmx/a), (2.2.13)

comcm = 1√

a

ˆ a/2

−a/2dxf(x)eı(2πmx/a) (2.2.14)

Considere a passagem do espaço compacto para o não compacto, ou sejaestendemos ±a/2 −→ ±∞, obtendo (onde que k = 2πm/a)

corrigindo2πma

−→ k,∑m −→

´dm = a

2π

´∞−∞ dk,

. (2.2.15)

Com estas substituições as equações Eq.(2.2.13) e Eq. (2.2.14) tornam-se

f(x) = a

2π

ˆ ∞−∞

dkc(k) 1√aeı(kx)

o que sugere escolhermos

cm(k) =√

2πac(k). (2.2.16)

Desta forma teremos


f(x) = 1√2π

ˆ ∞−∞

dkc(k)eı(kx), (2.2.17)

ec(k) = 1√

2π

ˆ ∞−∞

dxf(x)e−ı(kx). (2.2.18)

As condições de ortogonalidade e completeza são

12π

ˆ ∞−∞

dxe−ı(k−k′)x = δ(k − k′), (2.2.19)

12π

ˆ ∞−∞

dke−ı(x−x′)k = δ(x− x′). (2.2.20)

2.2.1 Séries e Transformadas de Fourier em espaçoscurvos

Capítulo 3

Condições de Contorno emEletrostática II

IntroduçãoSomente tópicos selecionados.

3.1 Teorema de Adição de Harmônicos Esfé-ricos I

Uma função arbitrária definida sobre a esfera pode ser expandida na basedos harmônicos esféricos como

g (θ, φ) =∞∑l=0

l∑m=−l

AlmYml (θ, φ) , (3.1.1)

onde os coeficientes na expansão são obtidos utilizando a ortogonalidade dabase

ˆ 2π

0dφ

ˆ π

0dθ sin θ [Ylm (θ, φ)]∗ Yl′m′ (θ, φ) = δll′δmm′ . (3.1.2)

fornecendo

Alm =ˆ

ΩdΩY ∗lm(θ, φ)g(θ, φ) (3.1.3)

Substituindo a Eq. (3.1.3) na Eq. (3.1.1) teremos

31

32CAPÍTULO 3. CONDIÇÕES DE CONTORNO EM ELETROSTÁTICA II

g(θ, φ) =ˆv

dΩ′ ∞∑l=0

l∑m=−l

Y ∗lm(θ′, φ′)Y (θ, φ) g(θ′, φ′),

segue a óbvia relação de completeza da base nos índices discretos

∞∑l=0

l∑m=−l

Y ∗lm(θ′, φ′)Y (θ, φ) = δ(cos θ − cos θ′)δ(φ− φ′) (3.1.4)

Dado que o angulo γ entre os vetores x e x′, relacionam-se com os ângulosθ, θ′, φ, φ′ via

r · r′ = cos γ = cos θ cos θ′ + senθsenθ′ cos(φ− φ′). (3.1.5)

Isto significa que podemos expandir a delta

δ(Ω− Ω′) = δ(cos θ − cos θ′)δ(φ− φ′)

na base dos polinômios de Legendre somente no angulo γ:

δ(cos θ − cos θ′)δ(φ− φ′) =∞∑l=0

BlPl (cos γ) (3.1.6)

Os polinômios de Legendre também formam uma base ortogonalˆ 1

−1dxPl(x)Pl′(x) = 2

2l + 1δll′ , (3.1.7)

ou após a transformação de variáveis x = cos γˆ π

0dγsenγPl(cos γ)Pl′(cos γ) = 2

2l + 1δll′ . (3.1.8)

Utilizando a Eq. (3.1.8), obtemos para o coeficiente Bl:

Bl = 2l + 12

ˆ π

0dγsenγPl(cos γ)δ(cos θ − cos θ′)δ(φ− φ′)

= 2l + 12

ˆ π

0dγsenγPl()

3.2. TEOREMA DE ADIÇÃO DE HARMÔNICOS ESFÉRICOS II 33

Figure 1: The two vectors ~r and ~r ′ are denoted in this figure by x and x ′, respectively. The angle betweenthe two vectors is denoted by γ.

Note that if one sets ℓ = 1 in the addition theorem and employs P1(cos γ) = cos γ, thenthe result coincides with eq. (21) (check this!). That is, the addition theorem generalizesthe geometric relation exhibited by eq. (21).

To prove the addition theorem, we first note that

−r2~∇2Pℓ(cos γ) = ℓ(ℓ+ 1)Pℓ(cos γ) . (22)

This result is justified by considering a coordinate system in which the z-axis is alignedalong ~r ′. In this coordinate system, γ is the polar angle of the vector ~r. Noting that

Pℓ(cos γ) =

√4π

2ℓ+ 1Y 0ℓ (γ, β) ,

where β is the corresponding azimuthal angle in the new coordinate system, it then followsthat eq. (22) is a consequence of eq. (15). However, ~∇2 is a scalar operator which isinvariant with respect to rigid rotations of the coordinate system. The length r is alsoinvariant with respect to rotations. Thus, eq. (22) must be true in the original coordinatesystem as well!

By virtue of eq. (21), Pℓ(cos γ) can be viewed as a function of θ and φ (where θ′ and φ′

are held fixed). Thus, we can expand this function in a Laplace series,

Pℓ(cos γ) =

ℓ∑

m=−ℓ

bm(θ′, φ′)Y m

ℓ (θ, φ) , (23)

where the coefficients bm depend on the fixed parameters θ′ and φ′. Note that this Laplaceseries is of the form given by eq. (19) as a result of eq. (22). We solve for the coefficientsbm in the usual way,

bm(θ′, φ′) =

∫Pℓ(cos γ)Y

mℓ (θ, φ)∗dΩ . (24)

Using eq. (21), we must evaluate

bm(θ′, φ′) =

∫Pℓ(cos θ cos θ

′ + sin θ sin θ′ cos(φ− φ′))Y mℓ (θ, φ)∗dΩ ,

7

Figura 3.2.1: Coordenadas Esféricas

3.2 Teorema de Adição de Harmônicos Esfé-ricos II

Dados dois vetoresx = (r, θ, φ), x′ = (r′, θ′, φ′),

os quais estão especificados por suas coordenadas em um sistema esférico,como mostra a figura (3.2.1).

O angulo γ entre esses dois vetores pode ser facilmente obtido dos vetoresunitários

cos γ = x · x′ = cos θ cos θ′ + senθsenθ′ cos(φ− φ′), (3.2.1)

Nesta expressão o cos γ é função dos ângulos θ, θ′, φ, φ′. Nosso objetivo édemonstrar o teorema de adição dos harmônicos esféricos dado por

Pl (cos γ) = 4π2l + 1

l∑m=−l

Ylm(θ, φ)Y ∗lm(θ′, φ′). (3.2.2)

que relaciona os polinômios de Legendre no angulo γ em função dos polinô-mios ou harmônicos esféricos em função dos ângulos θ, θ′, φ, φ′ sendo portantoa generalização da E. (3.2.1). Note que para l = 0 obtemos 1 = 1, para l = 1,utilizando a propriedade

Yl,−m(θ, φ) = (−1)mY ∗lm(θ, φ) (3.2.3)obtemos


P1(cos γ) = 4π2 + 1

[Y1−1(θ, φ)Y ∗1−1(θ′, φ′) + Y10(θ, φ)Y ∗10(θ′, φ′)

+Y11(θ, φ)Y ∗11(θ′, φ′)]

= 4π3 [(−)Y ∗11(θ, φ)(−)Y11(θ′, φ′) + Y10(θ, φ)Y ∗10(θ′, φ′)

+Y11(θ, φ)Y ∗11(θ′, φ′)]

= 4π3

[ 38π senθsenθ

′eı(φ′−φ) + 3

4π cos θ cos θ′+

+ 38π senθsenθ

′e−ı(φ′−φ)

]= senθsenθ′ cos(φ− φ′) + cos θ cos θ′ = n · n′.

Para provar este teorema, considere inicialmente a equação de Laplace emcoordenadas esféricas

∇2Φ = 1r

∂2

∂r2 (rΦ) + 1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ∂Φ

∂θ

)+ 1r2 sin2 θ

∂2Φ∂φ2 = 0, (3.2.4)

= 1r2

∂

∂r

(r2∂Φ∂r

)+ 1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ∂Φ

∂θ

)+ 1r2 sin2 θ

∂2Φ∂φ2 = 0(3.2.5)

≡ 1r2

∂

∂r

(r2∂Φ∂r

)+ L2Φ

r2 = 0, (3.2.6)

sendo a solução desta equação dada por

Φ(r, θ, φ) =∞∑l=0

l∑m=−l

(Almr

l +Blmr−l−1

)Ylm(θ, φ) (3.2.7)

=∞∑l=0

l∑m=−l

ClmUl(r)r

Ylm(θ, φ), (3.2.8)

podemos reescrevê-la, utilizando a equação

d2Uldr2 = l(l + 1)Ul

r2 ,


na forma

∇2Φ =∞∑l=0

l∑m=−l

Clml(l + 1)r3 UlYlm(θ, φ)

+∞∑l=0

l∑m=−l

ClmUl(r)r

L2Ylm(θ, φ) = 0

=⇒∞∑l=0

l∑m=−l

ClmUl(r)r

[l(l + 1)r2 + L2

]Ylm(θ, φ) = 0.

Segue diretamente desta equação que

L2Ylm(θ, φ) + l(l + 1)r2 Ylm(θ, φ) = 0.

Dado que os harmônicos esféricos não depende da variável r e utilizandoa equação (3.2.6) obtemos a seguinte equação

−r2∇2Ylm(θ, φ) = l(l + 1)Ylm(θ, φ) (3.2.9)

Considere um sistema de coordenadas que foi girado de forma que o eixo zficará alinhado ao longo do eixo x′ (veja a figura (3.2.2)) . Neste sistema oangulo θ entre o vetor x e o eixo z passará a ser o angulo γ, enquanto que oangulo φ passará a ser um novo angulo β uma vez que a rotação leva o planoxy em um novo plano x′y′.

A relação de ortogonalidade das funções de Legendre de segunda espécieé

ˆ 1

−1dxPm

l (x)Pml′ (x) = 2

2l + 1(l +m)!(l −m)!δll

′ . (3.2.10)

Segue portanto que uma base ortonormal, em coordenadas esféricas, podeser definida por

Ylm (θ, φ) =

√√√√2l + 14π

(l −m)!(l +m) P

ml (cos θ) eimφ . (3.2.11)

De onde segue que

Y 0l (θ, φ) =

√2l + 1

4π P 0l (cos θ) =⇒ Pl(cos θ) =

√4π

2l + 1Yl(θ, φ),

a qual para o sistema girado pode ser reescrita como

Pl(cos γ) =√

4π2l + 1Yl(γ, β).


Dado que o operador ∇2e a variável r são invariantes por rotação, a Eq.(3.2.9) é invariante por rotações (obviamente, já que o operador e o modulodo vetor r o são!), é válido escrevermos

−r2∇2Ylm(γ, β) = l(l + 1)Ylm(γ, β) =⇒ −r2∇2Pl(γ) = l(l + 1)Pl(γ).

No entanto a Eq. (3.2.1) expressa a dependência do angulo γ em termosdos ângulos θ, θ′, φ, φ′. Se assumirmos que os ângulos θ′, φ′ são parâmetrosmantidos fixos, o angulo γ será função dos ângulos θ e φ, neste caso ficaválida a seguinte expansão

Pl(cos γ) =l∑

m=−lAm(θ′, φ′)Ylm(θ, φ), (3.2.12)

cujos coeficientes Am(θ′, φ′) são funções dos ângulos θ′ e φ′ mantidos fixos eportanto considerados parâmetros 1. Note que esta expansão é da forma

gl (θ, φ) =l∑

m=−lAmYlm (θ, φ) ,

a qual satisfaz à equação

−r2∇2gl(θ, φ) = l(l + 1)gl(θ, φ).

Os coeficientes am são obtidos da forma usual, Eq. (3.1.2) sendo

Am =ˆ 2π

0dφ

ˆ π

0dθ sin θPl(cos γ)Y ∗lm(θ, φ)

=ˆ 2π

0dφ

ˆ π

0dθ sin θ×

Pl(cos θ cos θ′ + senθsenθ′ cos(φ− φ′))Y ∗lm(θ, φ).

(3.2.13)

A integração desta expressão não é trivial. Para contornarmos este problema,deduziremos o valor do coeficiente Al indiretamente, utilizando as proprie-dades dos harmônicos esféricos sob rotações. Para isto considere um sistemade coordenadas no qual o eixo z foi foi orientado na direção do eixo x′, nestesistema o vetor x possui γ como eixo polar e β como o azimutal, veja a Fig.(3.2.2).

1O que está implícito nesta afirmação é que os coeficientes Am dependem da orientaçãodo sistema de coordenadas, o que é quase óbvio!


Figura 3.2.2: Sistema de Coordenadas Girado

Os ângulos θ e φ são funções dos ângulos γ e β, consequentemente é válidaa seguinte expansão 2

Y ∗lm(θ, φ) =l∑

m′=−lBmm′Ylm′(γ, β). (3.2.14)

Nesta expressão a expansão é somente no índice m′ e não em l, isto porqueo ângulo γ é de fato igual ao ângulo θ, portante devemos ter o mesmo l. Istojá não acontece para o ângulo φ que não é igual ao ângulo β por isto a somaem m′. Utilizando a relação de ortogonalidade encontramos

ˆ π

0

ˆ 2π

0senγdγdβY ∗lm(θ, φ)Y ∗lp(γ, β) =

l∑m′=−l

Bmm′

ˆ π

0

ˆ 2π

0senγdγdβ

×Y ∗lp(γ, β)Ylm′(γ, β)

=l∑

m′=−lBmm′δm′p

2A expansão foi escolhida no complexo do harmônico por simplicidade, mas não énecessário.


fornecendoBmm′ =

ˆ π

0

ˆ 2π

0senγdγdβY ∗lm(θ, φ)Y ∗lm′(γ, β) (3.2.15)

Introduzimos a notação abreviada

dΩγ ≡ senγdγdβ (3.2.16)

para o ângulo sólido no sistema girado. Sendo o nosso objetivo o cálculo doscoeficientes Am na Eq. 3.2.13 fazemos m′ = 0 na Eq. 3.2.15, obtendo

Bm0 =ˆ π

0

ˆ 2π

0senγdγdβY ∗lm(θ, φ)Y ∗l0(γ, β)

=√

2l + 14π

ˆ π

0

ˆ 2π

0senγdγdβY ∗lm(θ, φ)P 0

l (cos γ)

=√

2l + 14π

ˆΩdΩγY

∗lm(θ, φ)Pl (cos γ) .

Dado que sob rotação dos eixos de coordenadas os módulos dos vetores eoutros escalares não mudam, também não muda o elemento diferencial desuperfície o qual também é um invariante

r2dΩ = r2dΩγ, (3.2.17)

reescrevemos a Eq. com a ajuda da Eq. 3.2.13, como

Bm0 =√

2l + 14π Am(θ′, φ′). (3.2.18)

De outra forma, a expressão para o coeficiente Bm0 pode ser obtida direta-mente da Eq. 3.2.14. Para isto note que

Ylm(0, β) =

√√√√2l + 14π

(l −m)!(l +m)!P

ml (1) eimβ

=

√√√√2l + 14π

(l −m)!(l +m)!δ0me

imβ

=√

2l + 14π δ0m. (3.2.19)

A função geradora dos polinômios de Legendre

1√1− 2xt+ t2

=∞∑l=0

Pl(x)tl,


fornece diretamente que Pl(1) = 1, enquanto que a relação entre os polinô-mios de Legendre e os polinômios associados de Legendre

Plm(x) = (−1)m(1− x2

)m/2 dm

dxmPl(x) (3.2.20)

fornecePlm(1) = δm0.

Então

limγ→0

Y ∗lm(θ, φ) = limγ→0

l∑m′=−l

Bmm′Ylm′(γ, β)

=l∑

m′=−lBmm′

√2l + 1

4π δ0m′

= Bm0

√2l + 1

4π

=⇒ Bm0 =√

4π2l + 1 lim

γ→0Y ∗lm(θ, φ).

Entretanto, no limγ→0, os vetores r e r′ coincidem ou seja r = r′ e portantoas suas coordenadas angulares θ = θ′ e φ = φ′. Isto significa que vale aidentidade

limγ→0

Y ∗lm(θ, φ) = Y ∗lm(θ′, φ′) =√

2l + 14π Bm. (3.2.21)

Isolando a expressão de Bm0 e substituindo na Eq. (3.2.18) obtemos

√4π

2l + 1Y∗lm(θ′, φ′) =

√2l + 1

4π Am(θ′, φ′)

=⇒ Am(θ′, φ′) = 4π2l + 1Y

∗lm(θ′, φ′) (3.2.22)

Substituindo a Eq. (3.2.22) na Eq. (3.2.12) obtemos o teorema de adiçãodos harmônicos esféricos na forma

Pl(cos γ) = 4π2l + 1

l∑m=−l

Y ∗lm(θ′, φ′)Ylm(θ, φ) (3.2.23)


ou ainda na forma


l∑m=−l

√√√√2l + 14π

(l −m)!(l +m)!P

ml (cos θ′) e−imφ′

×

√√√√2l + 14π

(l −m)!(l +m)!P

ml (cos θ) eimφ

= Pl (cos θ′)Pl (cos θ) +l∑

m=1

(l +m)!(l −m)!P

−ml (cos θ′) eimφ′P−ml (cos θ) e−imφ +

l∑m=1

(l −m)!(l +m)!P

ml (cos θ′) e−imφ′Pm

l (cos θ) eimφ

Dado queP−ml (x) = (−1)m (l −m)!

(l +m)!Pml (x) (3.2.24)

obtemos a expressão para o teorema em funções dos polinômios de Legendre

Pl(cos γ) = Pl (cos θ′)Pl (cos θ) +

2l∑

m=1

(l −m)!(l +m)!P

ml (cos θ′)Pm

l (cos θ) cos(φ− φ′)(3.2.25)

3.3 Teorema de Adição dos Harmônicos Es-féricos III

De uma forma espetacular provaremos este teorema.A representação unitária do grupo de rotações é dada pelos elementos

de matriz do operador de rotação D(R). Uma rotação especificada por umadireção n e pelo parâmetros de rotação φ, o seu elemento de matriz é definidopor

D(j)m′m(R) = 〈j,m′| exp

(−ıJ · n

~

)|j,m〉 (3.3.1)

Note que o mesmo índice j aparece em ambos os lados do elemento de matriz.Isto acontece porque o operador D(R) comuta com o operador J2

[D(R), J2

]= 0,

sendo portanto que os autovalores do estado girado também são autovaloresdo estado original os quais são j(j + 1)~2

3.3. TEOREMA DE ADIÇÃO DOS HARMÔNICOS ESFÉRICOS III 41

D(R)J2 |j,m〉 = J2D(R) |jm〉 = j(j + 1)~2 |jm〉

significando que rotações não alteram o valor de j e por isto se construirmoso elemento de matriz entre estados com j e j′, somente os estados com j = j′

serão não nulos devido à ortogonalidade dos estados. 3

A representação unitária do grupo de rotações é um grupo, portantosatisfaz, entre outras, a relação de fechamento∑

m′′D

(j)m′m′′(R1)D(j)

m′′m(R2) = D(j)m′m(R1R2) (3.3.2)

onde o produto R1R2 representa uma única rotação. Dado que esta é umarepresentação unitária do grupo de rotações, ela satisfaz

D(j)m′m(R−1) = D

(j)∗m′m(R) (3.3.3)

Iremos agora considerar estes elementos do operador de rotação para o casoespecial de rotações ortogonais num subespaço do espaço de HilbertH . Paraisto construímos o estado geral |n〉, obtido pela rotação do estado

∣∣∣k⟩:|n〉 = D(R)

∣∣∣k⟩ (3.3.4)

por um operador de rotação D(R), construído de forma apropriada comoesquematizada na Fig. (3.3.1).

A única mudança que fazemos é nos nomes dos ângulos objetivando apadronização com a literatura corrente:

β −→ θ, α −→ φ.

Na notação dos ângulos de Euler4 esta escolha fornece

D(l)m′m(R) = D

(l)m′m(α = φ, β = θ, γ = 0) (3.3.5)

= 〈l,m′| exp(−ıJzφ

~

)exp

(−ıJyθ

~

)exp

(−ıJz0

~

)|l,m〉

= 〈l,m′| exp(−ıJzφ

~

)exp

(−ıJyθ

~

)|l,m〉 (3.3.6)

= e−ım′φ 〈l,m′| exp

(−ıJyθ

~

)|l,m〉 . (3.3.7)

3Veja por exemplos os elementos de matriz dos operadores J± que não são diagonaisno número m mas o são no número j.

4Segundo a notação utilizada na referência [4]


Figura 3.3.1: Rotação do estado∣∣∣k⟩

3.3. TEOREMA DE ADIÇÃO DOS HARMÔNICOS ESFÉRICOS III 43

Utilizando a completeza da base∑lm

|l,m〉〈l,m| = I, (3.3.8)

reescrevemos a Eq. (3.3.4) como

|n〉 =∑l

∑m

|l,m〉〈l,m|D(R)∑l′m′|l′,m′〉〈l′,m′|

∣∣∣k⟩ .Dado que o operador de rotação não altera j e que estados com diferentes jsão ortogonais teremos

|n〉 =∑l

∑mm′|l,m〉〈l,m|D(R) |l,m′〉〈l,m′|

∣∣∣k⟩ .

〈l,m′| |n〉 =∑mm′〈l,m′| |l,m〉〈l,m|

×D(R) |l,m′〉〈l,m′|∣∣∣k⟩

=∑m

〈l,m|D(R) |l,m〉〈l,m|∣∣∣k⟩

=∑m

D(l)m′m

⟨l,m

∣∣∣ k⟩ (3.3.9)

O produto interno⟨l,m

∣∣∣ k⟩ e de fato este produto é exatamente Y ∗lm(θ, φ)calculado em θ = 0 com φ indeterminado.5. Já vimos anteriormente Eq.(3.2.19)que

Y ∗lm(θ, φ)|θ=0 =√

2l + 14π δ0m. (3.3.10)

Dado que o produto interno 〈l,m′| |n〉 é simplesmente um vetor arbitrário nabase esférica, sendo portanto um harmônico esférico arbitrário e considerandoa Eq. (3.3.10) teremos que

Y ∗lm′(θ, φ) =√

4π2l + 1D

(l)m′0 (3.3.11)

ou

D(l)m0(θ, φ, γ = 0) =

√4π

2l + 1Y∗lm′(θ, φ) (3.3.12)

5É exatamente um vetor alinhado ao longo do eixo z portanto teremos θ = 0 e φindeterminado.


Utilizando a relação de fechamento Eq. (3.3.2), para a representaçãoortogonal com m = 0, m′ = 0, j −→ l teremos

D(l)00(R1R2) =

∑m′′

D(l)0m′′(R1)D(l)

m′′0(R2). (3.3.13)

Devido que D(l)0m′′ = D

(l)∗m′′0 e que D(l)

00(R1R2) = D(l)∗00 (R1R2) e utilizando a Eq.

(3.2.11)

Ylm (θ, φ) =

√√√√2l + 14π

(l −m)!(l +m) P

ml (cos θ) eimφ,

a Eq. resultará em√4π

2l + 1Y∗l0(γ, β) =

∑m

√4π

2l + 1Ylm(θ1, φ1)√

4π2l + 1Y

∗lm(θ2, φ2)

=⇒ Pl(cos γ) = 4π2l + 1

l∑m=−l

Ylm(θ1, φ1)Y ∗lm(θ2, φ2). (3.3.14)

O único ponto a ser esclarecido é que

R(θ1, φ1)R(θ2, φ2) = R(γ, β)

o que obviamente é verdade da regra de composição de rotações, o que éequivalente à completeza do grupo!

Capítulo 4

Multipolos Eletrostáticos

Uma distribuição de cargas restrita a uma região finita do espaço que bre-vemente denominamos de distribuição localizada de cargas, descrita por umcampo escalar ρ(x′) o qual é diferente de zero somente dentro de um volumeesférico1 de raio R centrado na origem do sistema de coordenadas.

4.1 Expansão multipolar do potencialDado que o potencial desta distribuição é dado por

Φ(r) = 14πε0

ˆV

ρ(r′)|r− r′|

dv´, (4.1.1)

o qual pode ser reescrito utilizando

1|r− r′|

= 1

r

√1− 2

(r′

r

)cos γ +

(rr′

)2=∞∑l=0

Pl(cos γ) rl<

rl+1>

, r ≡ r>, r′ ≡ r<.

(4.1.2)Utilizando o , podemos reescrever a expressão anterior como

1|r− r′|

=∞∑l=0

4π2l + 1

l∑m=−l

Ylm(θ, φ)Y ∗lm(θ′, φ′) rl<

rl+1>

. (4.1.3)

Substituindo a Eq. (4.1.3) na Eq. (4.1.1) obteremos

1Não necessariamente o volume precisa ser esférico, entretanto devido a ideia de sefazer a expansão para o cálculo do campo longe da distribuição, certamente a distribuiçãoesférica é a mais apropriada

45

46 CAPÍTULO 4. MULTIPOLOS ELETROSTÁTICOS

Φ(r) = 14πε0

∑lm

4π2l + 1

ˆV

ρ(r′)Ylm(θ, φ)Y ∗lm(θ′, φ′) r′l

rl+1dv´

= 14πε0

∑lm

4π2l + 1qlm

Ylm(θ, φ)rl+1 , (4.1.4)

onde definimosqlm ≡

ˆV

Y ∗lm(θ′, φ′)ρ(r′)r′ldv´. (4.1.5)

Esses coeficientes são chamados de momentos de multipolos. A interpre-tação física destes coeficientes fica clara após reescrevermos alguns termosutilizando as tabelas (4.1.1) e (4.1.2):

q00 =ˆV

Y ∗00(θ′, φ′)ρ(r′)r′0dv´ = 14πq, (4.1.6)

Neste ponto é mais claro introduzirmos definições

p =ˆv

x′ρ(r′)dv′ (4.1.7)

Qij =ˆV

(3x′ix′j − r′2δij

)ρ(r′)dv′ (4.1.8)

Os resultados a seguir, obtidos utilizando as equações Eq. (4.1.8), serãousanos adiante:

Q11 = 2x′2 − y′2 − z′2,Q12 = 3x′y′,Q22 = 2y′2 − x′2 − z′2,Q13 = 3x′z′,Q23 = 3y′z′,Q33 = 3z′2 − r′2

de onde seque que

Q11 − Q22 = 3x′2 − 3y′2, Q11 − Q12 − Q22 = 3x′2 − 3x′y′ − 3y′2

4.1. EXPANSÃO MULTIPOLAR DO POTENCIAL 47

q11 =´VY ∗11(θ′, φ′)ρ(r′)r′1dv´ = −1

2

√3

2π

´Ve−ıφ

′ sin θ′ρ(r′)r′dv′

= −12

√3

2π

´V

(x′ − ıy′) ρ(r′)dv′ = −√

38π (px − ıpy) .

q10 =´VY ∗10(θ′, φ′)ρ(r′)r′1dv =

√3

4π

´V

cos θ′ρ(r′)r′dv′

=√

34π

´Vz′ρ(r′)dv′ =

√3

4πpz .

,

(4.1.9)q22 = 1

4

√152π

´Ve−ı2φ

′sen2θρ(r′)r′2dv′ = 14

√152π

´V

(x′ − ıy′)2 ρ(r′)dv′

= 14

√152π

´V

(x′2 − ı2x′y′ − y′2) ρ(r′)dv′ = 13×4

√152π

´V

(3x′2 − ı2× 3x′y′ − 3y′2) ρ(r′)dv′

= 112

√152π (Q11 − 2ıQ12 −Q22)

q21 = −12

√152π

´Ve−ıφsenθ cos θρ(r′)r′2dv´ = −1

2

√152π

´Ve−ıφsenθ cos θρ(r′)r′2dv´

= −12

√152π

´V

(x′ − ıy′) z′ρ(r′)dv´ = −16

√152π (Q23 − ıQ23)

q20 = 14

√5π

´V

(3 cos2 θ − 1) ρ(r′)r′2dv´ = 14

√5π

´V

(3z′2 − r′2) ρ(r′)dv´

= 12

√5

4πQ33

Os outros termos, como por exemplo q2−1, podem ser obtidos utilizando-

se a Eq. (3.2.3)

ql−m =ˆV

Y ∗l−m(θ′, φ′)ρ(r′)r′ldv´

= (−1)mˆV

Ylm(θ′, φ′)ρ(r′)r′ldv´ = (−1)mq∗lm. (4.1.10)

Podemos calcular os momentos de multipolos em coordenadas cartesianas.Para isto fazemos a expansão em série de Taylor do potencial em coordenadascartesianas, porém é conveniente adotarmos para o campo escalar

Φ(r) = 14πε0

ˆV

ρ(r′)|r− r′|

dv′

a notação

f(r, r′)δ(θ′−0)δ(φ′−0) = 1|r− r′|

= 1√(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

= 1√(xi − x′i)

2,


Figura 4.1.1: Tabela de alguns HE

4.1. EXPANSÃO MULTIPOLAR DO POTENCIAL 49

Figura 4.1.2: Tabela alguns HE


onde a soma sobre índices repetidos está subentendida. Esta expressão podeser expandida para r fixo, como

f(r, r′) = 1√(xi − x′i)

2=

∞∑n=0

(x′i∂i′)nn! f(r, r′)

∣∣∣∣∣x′i=0

= f(r) + x′i∂i′f(r, r′)|x′i=0 + 12! (x′i∂i′)

2f(r, r′)

∣∣∣x′i=0

+O(x′3i ).

Antes de substituirmos esta expressão naquela do potencial é necessário iso-larmos os termos que compõe os correspondentes momentos de multipolos,para isto note que

∂′if(r, r′) = −∂if(r, r′),

assim podemos escrever

f(r,r′) = f(r)− x′i∂if(r, r′)|x′i=0 + 12! (x′i∂i)

2f(r, r′)

∣∣∣x′i=0

+O(x′3i ),

que fornecerá para a expansão do potencial

Φ(r) = 14πε0

ˆV

ρ(r′)|r− r′|

dv′

= 14πε0

ˆV

[f(r)− x′i∂if(r, r′)|x′i=0 + 1

2! (x′i∂i)2f(r, r′)

∣∣∣x′i=0

+O(x′3i )]ρ(r′)dv′

= 14πε0

ˆV

[1r− x′i∂i

1r

+ 12x′ix′j∂i∂j

1r

+O(x′3i )]ρ(r′)dv′

= 14πε0

[1r

ˆV

ρ(r′)dv′ − ∂i1r

ˆV

x′iρ(r′)dv′ + 12∂i∂j

1r

ˆV

x′ix′jρ(r′)dv′ +O(x′3i )

]

= 14πε0

q

r− 1

4πε0

(∂i

1r

ˆV

x′iρ(r′)dv′)

+ 14πε0

(12∂i∂j

1r

ˆV

x′ix′jρ(r′)dv′

)+O(x′3).

Esta expressão sugere que o potencial pode ser expandido como uma contri-buição de multipolos como

Φ(r) =∞∑l=0

Φ(2l)(r), (4.1.11)

4.2. EXPANSÃO MULTIPOLAR PAR O CAMPO ELÉTRICO 51

onde cada termo de 2l−polo é

Φ(1) = 14πε0

q

r,⇐⇒ monopolo,

Φ(2) = − 14πε0

[(∂i

1r

)ˆV

x′iρ(r′)dv′],⇐⇒ dipolo,

Φ(4) = 14πε0

[12∂i∂j

(1r

)ˆV

x′ix′jρ(r′)dv′

],⇐⇒ quadrupolo,

Φ(2l) = 14πε0

[12∂i · · · ∂il

(1r

)ˆV

x′i · · ·x′ilρ(r′)dv′],⇐⇒ 2l − polo.

4.2 Expansão multipolar par o campo elétrico

4.3 O cálculo das derivadas para o dipolo equadrupolo.

Isto é mais um exemplo do que propriamente uma seção. O cálculo dasderivadas que aparecem nas expressões anteriores é imediato:

∂i1r

= −xir3 ,

∂j∂i

(1r

)= −δij

r3 + 3xixjr5 = 1

r5

(3xixj − r2δij

),

enquanto que os correspondentes integrandos sãoˆV

x′iρ(r′)dv′ = pi, (4.3.1)ˆV

x′ix′jρ(r′)dv′ = Qij,

conforme as equações Eq. (4.1.7) e Eq. (4.1.8).Note que o segundo integrandona expressão anterior não pode ser escrito em termos do momento de qua-drupolo uma vez que está incompleto. Isto pode ser remediado observandoque para r 6= 0 a equação de Laplace fornece

∂2i

1r

= 0,

que pode ser reescrita como

δij∂i∂j1r

= 0,


e sendo este termo nulo, a sua multiplicação por um fator apropriado paraconstruirmos o tensor de quadrupolo não alterará o valor do potencial, poristo escolhemos

−16

ˆV

r′2ρ(r′)dv′δij∂i∂j1r

= 0,

que adicionado à Eq. (4.3.1)fornece a seguinte expressão

12∂i∂j

(1r

) 13

ˆV

3x′ix′jρ(r′)dv′ + 0 = 12∂i∂j

(1r

) 13

ˆV

3x′ix′jρ(r′)dv′ − 16

ˆV

r′2ρ(r′)dv′δij∂i∂j(1r

)

= 16

[ˆV


)ρ(r′)dv′δij

]∂i∂j

(1r

)

= 16Qij

(3xixj − r2δij)r5

Utilizando estas expressões, reescrevemos os potenciais do dipolo e quadru-polo como

Φ(2)(r) = 14πε0

x · pr3 , (4.3.2)

Φ(4)(r) = 14πε0

16Qij

(3xixj − r2δij)r5 . (4.3.3)

As nove quantidades

Qij =ˆV


)ρ(r′)dv′

são as componentes de um tensor simétrico de segunda ordem, assim sendo elepode ser diagonalizado por uma transformação ortogonal e restarão somentetrês elementos independentes. Note entretanto que o traço deste tensor énulo ∑

i

Qii = 0,

portanto restarão somente duas componentes independentes. Neste caso(como também do momento de inércia) diagonalizar o tensor de momentode quadrupolo significa alinhar o eixo do sistema de referência com o eixo desimetria da distribuição de cargas. Um caso particular que pode acontecer éàquele da distribuição de cargas ser simétrica com relação ao eixo z , nestecaso teremos somente um elemento independente, já que

Q11 +Q22 +Q33 = 0 =⇒ Q33 = −2Q11 = −2Q22.

4.4. OBSERVAÇÕES GERAIS ACERCA DE MULTIPOLOS 53

O caso especial em que o quadruplo é axial, o potencial dado na Eq. 4.3.3srá reduzida à seguinte expressão

Φ(r) = 16Q11

(3x1x1 − r2)r5 + 1

6Q22(3x2x2 − r2)

r5 + 16Q33

(3x3x3 − r2)r5

= −16Q33

2(3x1x1 − r2)

r5 − 16Q33

2(3x2x2 − r2)

r5 + 16Q33

(3x3x3 − r2)r5

= −16Q33

2

[3x2 + 3y2 − 6z2 − 2r2 + 2r2

r5

]

= −16Q33

2

[3r2sen2θ cos2 φ+ 3r2sen2θsen2φ− 6r2 cos2 θ

r5

]

= −16Q33

2

[3sen2θ − 6 cos2 θ

r3

]=

= −16Q33

2

[3 (1− cos2 θ)− 6 cos2 θ

r3

]

= 16Q33

2

[9 cos2 θ − 3

r3

]

= 12Q33

r3

[32 cos2 θ − 1

2

]= 1

2Q33

r3 2√π

5Y20(θ, φ).

Segue finalmente queΦ(r) =

√π

5Q33

r3 Y20(θ, φ) (4.3.4)

4.4 Observações gerais acerca de multipolosO potencial de uma distribuição arbitrária de cargas (discreta ou contínua)pode sempre ser expressa como uma expansão em multipolos. Em geraltodos os termos da expansão estarão presentes contribuindo para o potencial,embora cada termo seguinte de ordem mais alta na expansão decrescerá comum fator de r−1. Por isto a expansão converge rapidamente para valores der que são grandes comparado a dimensão da distribuição de cargas.

Particularmente, por causa da geometria de uma dada distribuição decargas nem todos os momentos de multipolos contribuirão, alguns serão nu-los e a contribuição será devido a somente alguns momentos de multipolosespecíficos. Por exemplo em uma distribuição de cargas consistindo de duascargas puntiformes de mesma intensidade e sinais diferentes, a contribuiçãode monopolo será nula (já que a carga total é nula) , sendo que o próximoe único termos a contribuir é o de momento de dipolo. Um outro exemploconsiste da configuração mostrada na Fig. ((4.4.1)).


Figura 4.4.1: 4-Polo

Neste caso a contribuição de monopolo é nula já que a soma total dascargas é nula, o mesmo acontece para o momento de dipolo uma vez que estádistribuição consiste de dois dipolos alinhados e com direções opostas, segueportanto que o próximo e único termos a contribuir é o relativo ao momentode quadrupolo. Estes exemplos anteriores de monopolo, dipolo e quadrupoloilustram distribuições de cargas com simetria axial e dispostas de tal formaque o potencial num ponto r é devido a um único termo da série e estesexemplos são chamados de multipolos puros.

Em geral, mesmo os momentos de multipolos iniciais da série desapa-reçam, o primeiro próximo momento não nulo é chamado de momento demultipolo puro, mas em geral outros termos da série, com momentos de mul-tipolos maiores poderão não ser nulos.

Falar não invariância translação

4.5 O campo escalar e vetorial de um dipoloO dipolo é formado por duas cargas elétricas puntiformes de mesma inten-sidade e sinais diferentes, separadas por uma distância d. Para explorarmosa simetria desta distribuição adotamos a geometria esquematizada na Fig.

4.5. O CAMPO ESCALAR E VETORIAL DE UM DIPOLO 55

Figura 4.5.1: Geometria para calculo campo dipolo

(4.5.1). As coordenadas das cargas q1 e q2 são (em um mixe de coordenadasesféricas e cilíndricas)

r′1 = d

2 z, θ′1 = 0, (4.5.1)

r′2 = −d2 z, θ′2 = π. (4.5.2)

O tensor q1m (ou momentos de multipolos) possui três componentes já quem = 0,±1, entretanto devido a distribuição de cargas ser axial (de fatoalinhamos o eixo z ao longo do eixo de simetria da distribuição da car-gas) o campo não dependerá da coordenada azimutal φ, portanto somentea componente m = 0 contribuirá. Concluindo, devemos calcular somente acomponente q10do momento de dipolo:

q10 =ˆV

Y ∗10(θ′, φ′)ρ(r′)r′1dv =√

34π

ˆV

z′ρ(r′)dv′,


utilizando os resultados das Eqs. (4.1.9). Note entretanto que o primeiropasso é calcular a integral sobre a distribuição de cargas, para isto escrevemos

ρ(r′) =∑i

qiδ(r′ − ri) = q1δ(r′ − r1) + q2δ(r′ − r2)

= eδ(r′ − d

2 z)− eδ(r′ + d

2 z) (4.5.3)

= e1

r′2 sin θ

[δ(r′ − d

2)δ(θ′ − 0)δ(φ′ − 0)− δ(r′ − d

2)δ(θ′ − π)δ(φ′ − 0)]

(4.5.4)

Utilizando esta distribuição para fazermos a integral de volume que aparecena Eq. (4.5.3) teremos

q10 =ˆV

r′ cos θ′[eδ(r′ − d

2 z)− eδ(r′ + d

2 z)]r′2 sin θ′dr′dθ′dφ′

=ˆ 2π

0

ˆ π

0

ˆ ∞0

r′2 sin θ′dr′dθ′dφ′[eδ(r′ − d

2)δ(θ′ − θ1)δ(φ′ − φ1)r′2 sin θ′

− eδ(r′ + d

2)δ(θ′ − θ2)δ(φ′ − φ2)r′2 sin θ′

]r′ cos θ′

= e

ˆ π

0

ˆ ∞0

dr′dθ′[δ(r′ − d

2)δ(θ′ − 0)]r′ cos θ′

− eˆ π

0

ˆ ∞0

dr′dθ′[δ(r′ − d

2)δ(θ′ − π)]r′ cos θ′

= ed

2 − e(d

2 cosπ) = ed.

Substituindo na expressão do tensor q10 de momento de dipolo, encontramos

q10 =√

34πed ≡

√3

4πp .

Da do que a carga total do sistema é nula, e termos de mais altos momen-tos de multipolos se anulam, temos um exemplo de um momento de multipolopuro. Segue da Eq. (4.1.4)

Φ(r) = 14πε0

∑lm

4π2l + 1qlm

Ylm(θ, φ)rl+1 ,

4.5. O CAMPO ESCALAR E VETORIAL DE UM DIPOLO 57

para l = 1, m = 0 que

Φ(r) = 14πε0

4π3 q10

Y10(θ, φ)r2

= 13ε0

√3

4πp

√3

4π cos θr2 ,

fornecendo o potencial de um dipolo elétrico

Φ(r) = 14πε0

p cos θr2 = 1

4πε0

p · rr2 . (4.5.5)

Nesta expressão o vetor unitário r está na direção do vetor posição r,do ob-servador e o momento de dipolo p está alinhado ao longo do eixo z, portantop = pz. O Campo elétrico pode ser calculado de duas formas. Primeiro comoo gradiente da Eq. (4.5.5):

E = −∇Φ(r) = − 14πε0

[∇( 1

r3 )p · r + 1r3∇(p · r)

].

Dado que

∇(p · r) = p ·∇r +:0r ·∇p + p×

(

:0∇×r)

+ r×(

:0∇×p)

= pi∂ixjej = piejδij = p.

Substituindo na expressão do campo elétrico obteremos

E = − 14πε0

(−3p · rr

r4 + pr3

)= 1

4πε0

[3 (p · r) r− p

r3

](4.5.6)

para o campo elétrico de um dipolo elétrico alinhado com o eixo polar.O campo pode ser obtido de outra forma, simplesmente colecionando as

componentes

E = −∇Φ(r) = −

ˆˆ∂Φ(r)

∂rr +

ˆˆr

∂Φ(r)∂rθ + φ

rsenθ

0∂Φ(r)∂φ

,donde temos as seguintes componentes

Er = 14πε0

2p cos θr3

Eθ = 14πε0

psenθr3

Eφ = 0

. (4.5.7)


Tendo em mente as relações entre os vetores unitários em coordenadas esfé-ricas e cartesianas

r = senθ cosφx+ senθsenφy + cos θz,θ = cos θ cosφx+ cos θsenφy − senθz,φ = −senφx+ cosφy

, (4.5.8)

bem como a transformação inversa2

x = senθ cosφr + cos θ cosφθ − senφφ,y = senθsenφr + cos θsenφθ − cosφφ,z = cos θr − senθθ

, (4.5.9)

Utilizando as Eq. vetor campo elétrico pode ser escrito como3

E = 14πε0

[2p cos θr3 r + psenθ

r3 θ

]

= 14πε0

( 1r3

) (2p cos θr + psenθθ

)= 1

4πε0

( 1r3

)[2p cos θr + p (cos θr − z)]

= 14πε0

( 1r3

)[3p cos θr − p] .

Comocos θ = z · r,

obtemos

E = 14πε0

3 (p · r) r − pr3 (4.5.10)

4.6 O significado geométrico do LaplacianoO Laplaciano de um campo, escalar ou vetorial, é definido como o divergentedo gradiente do campo. Em geral este pode ser escrito como

∇2Φ = 1√|g|∂µ

(√|g|gµν∂νΦ

), (4.6.1)

2A matriz é ortogonal!3Como o dipolo está alinhado ao longo do eixo z o sistema possui simetria azimutal,

portanto o potencial no ponto r não depende da coordenada φ a qual escolhemos nula.

4.6. O SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DO LAPLACIANO 59

que para variedades curvilineares assume a forma

∇2Φ = 1h1h2h3

[∂1

(h2h3

h1∂1Φ

)+ ∂2

(h1h3

h2∂2Φ

)+ ∂3

(h1h2

h3∂3Φ

)].

(4.6.2)Para nossos propósitos, basta considerar o sistema de coordenadas mais sim-ples, neste caso cartesianas, na qual o operador assume a forma

∇2Φ = ∂i∂iΦ,

com a soma em i = 1, 2, 3 implícita.Considere o cálculo do valor médio do potencial Φ no volume cúbico de

lados a

Φ = 1a3

˚ a/2

−a/2Φ(x, y, z)dxdydz.

A expansão do campo escalar em série de Taylor acerca de um ponto r0

Φ(r) = exi∂iΦ(r)∣∣∣r0

= Φ(r0) + xi∂iΦ(r)|r0+ 1

2 ∂i∂jΦ(r)xixj|r0+O(x3

i ).

Substituindo esta expansão na integral, termo a termo, teremos

I1 = 1a3

˚ a/2

−a/2Φ(r0)dxdydz = Φ(r0),

I2 = 1a3

˚ a/2

−a/2xi∂iΦ(r)|r0

dxdydz

= ∂iΦ(r)|r0

1a3

˚ a/2

−a/2xidxdydz.

Dado que

∂1Φ(r)|r0

1a3

˚ a/2

−a/2xdxdydz = ∂1Φ(r)|r0

a2

a3

ˆ a/2

−a/2xdx

= ∂1Φ(r)|r0

a2

a3

x2

2

∣∣∣∣∣a/2

−a/2

= 0.


O próximo termo é o quadrático

I3 = 12 ∂i∂jΦ(r)|r0

1a3

˚ a/2

−a/2xixjdxdydz =

= 12 ∂i∂iΦ(r)|r0

1a3

˚ a/2

−a/2xixidxdydz

+ 12∑i 6=j

∂i∂jΦ(r)|r0

1a3

:0˚ a/2

−a/2xixjdxdydz

= 12 ∂i∂iΦ(r)|r0

a2

a3

x3

3

∣∣∣∣∣a/2

−a/2

= 1

2 ∂i∂iΦ(r)|r0

a2

a3

(13a3

4

)= a2

24 ∂i∂iΦ(r)|r0

todos os termos com potencias ímpares de xi se anularão. Mantendo a ex-pansão até segunda ordem teremos

Φ = Φ(r0) + a2

24 ∂i∂iΦ(r)|r0+O(r4

0). (4.6.3)

Esta expressão pode ser reescrita como

∇2Φ = 24a2

[Φ(r)− Φ(r0)

], (4.6.4)

explicitando o significado geométrico do Laplaciano: a diferença entre o valormédio do campo calculando na vizinhança r de r0 e o valor do campo em r0é proporcional ao Laplaciano.

4.6.1 A diferença básica entre o dipolo elétrico e omagnético

Escrever a motivação para esses cálculos.O objetivo é o cálculo do campo médio, potencial elétrico, para as regiões

esféricas que incluem ou não as distribuição de cargas mostrada na Fig.(4.6.1). Considere uma distribuição localizada de cargas que dão origema um potencial Φ e campo E no espaço. Queremos calcular o valor médio dopotencial Φ e do campo E no volume esférico de raio R para as configuraçõesmostradas na Fig. (4.6.1), uma das quais contém a distribuição de cargas ea outra não. Escolhemos a origem do sistema de coordenadas no centro daesfera para efetuarmos os cálculos.


Figura 4.6.1: Calculo co campo médio nas regiões a e b

Para isto utilizaremos a Eq. (4.6.4) e a equação de Poisson,

∇2Φ(r) = −ρ(r)ε0

. (4.6.5)

Calculamos o valor médio do potencial em uma região do espaçocom fontes. O valor médio pode ser calculado explicitamente para r′ < R,integrando nas coordenadas do observador r que mede o valor médio docampo. Como as cargas estão dentro do volume de integração usamos aexpansão

1|r− r′|

=∞∑l=0

4π2l + 1

l∑m=−l


rl+1>

com r< = r′ e r> = R, e tendo em mente a Eq. (4.1.4), escrevemos

Φ = 1V

ˆΦ(r)dv = 1

V

14πε0

ˆV

dv′ˆρ(r′)r2senθdrdθdφ

|r − r′|

= 14πε0V

∑lm

4π2l + 1qlm

ˆ R

0

ˆYlm(θ, φ)rl+1 r2drdΩ

= 14πε0V

∑lm

4π2l + 1qlm

(R2−l

2− l

)ˆYlm(θ, φ)dΩ.

Note que a expressão anterior diverge na origem para valores de l ≥ 2, poréma ortogonalidade dos polinômios resolvem este problema. Para calcularmos


a integral angular escrevemos

I =ˆYlm(θ, φ)senθdrdθdφ

=√

4πˆYlm(θ, φ)Y ∗00(θ, φ)dΩ

=√

4πδl0δm0,

fornecendo para o valor médio do potencial

Φ = 14πε0V

∑lm

4π2l + 1qlm

(R2−l

2− l

)√4πδl0δm0

=√

4πε0V

q00R2

2 =√

4πε0V

q√4π

R2

2 =⇒

Φ = 32

( 14πε0

)q

R= 3

2Φ(R). (4.6.6)

O próximo cálculo refere-se ao valor médio do potencial em umaregião sem fontes. Esta situação refere-se ao caso (b) da Fig. (4.6.1).Utilizando a equação

Φ = 1V

ˆΦ(r)dv = 1

V

14πε0

ˆV


|r − r′|,

e a expansão

1|r− r′|

=∞∑l=0

4π2l + 1

l∑m=−l


rl+1>

,


com r< = r e r> = r′obtendo

Φ = 1V

14πε0

ˆV


|r − r′|

= 14πε0V

∞∑l=0

4π2l + 1

l∑m=−l

ˆV

dv′ˆYlm(θ, φ)Y ∗lm(θ′, φ′) rl

r′l+1ρ(r′)r2senθdrdθdφ

= 14πε0V

∞∑l=0

4π2l + 1

l∑m=−l

ˆr′>R

ˆΩ′dΩ′ρ(r′)r′2dr′

r′l+1 Y ∗lm(θ′, φ′)

×ˆ R

0r2+ldr

ˆΩdΩYlm(θ, φ)

= 14πε0V

∞∑l=0

4π2l + 1

l∑m=−l

ˆr′>R


r′l+1 Y ∗lm(θ′, φ′)ˆ R

0r2+ldrδl0δm0

√4π

= 4π4πε0V

ˆr′>R


r′

:1√4πY ∗00(θ′, φ′)R

3

3

= 1ε0V

R3

3

ˆr′>R

ˆΩ′dΩ′ρ(r′)r′dr′.

Comparando esta expressão com àquela do potencial

Φ(r) = 14πε0

ˆV

ρ(r′)|r− r′|

dv´,

notamos que

Φ(0) = 14πε0

ˆV ′

ρ(r′)|r′|

r′2senθ′dr′dθ′dφ′

= 14πε0

ˆV ′ρ(r′)r′dr′dΩ′,

que a menos de uma constante é o integrando da expressão para o valormédio do potencial, sendo assim encontramos que

Φ = Φ(0). (4.6.7)

Este resultado marcante segue diretamente da interpretação geométricado operador Laplaciano. Se a região é livre de fontes o Laplaciano do campoé zero, portanto o valor médio do campo nesta região é igual ao valor dopotencial na origem da região.

Temos duas situação distintas:Não há fontes. Calculamos o valor médio do campo em uma região

que não havia fontes dentro da superfície de integração definida pela posição


R do observador, neste caso obtivemos que o valor médio,Φ, é igual ao valordo campo na origem Φ(0).

Se houver fontes, a diferença entre o valor médio do potencial e o valorpotencial na origem é proporcional ao Laplaciano, que neste caso não é nulo esim fornece a equação de Poisson. Para avaliarmos o potencial na origem dosistema de coordenadas, consideramos uma situação simplificada do cálculodo potencial no interior e exterior de uma distribuição uniforme de cargas

Φ(0) = 14πε0

ˆV

ρ(r′)|r′|

r′2senθ′dr′dθ′dφ′

= ρ0

4πε04πa

2

2 = 14πε0

Q4πa3

34πa

2

2

= 32πε0

Q

a,

sendo a a dimensão da distribuição de cargas. Resumindo, o campo na origemnão é igual ao valor médio do campo na vizinhança da origem, portanto

Φ 6= Φ(0),e

Φ− Φ(0) ∝ ∇2Φ,de fato os nossos resultados anteriores fornecem que

Φ− Φ(0) = 32Φ(R)− 3

2ε0

Q

a

= 32

[ 14πε0

Q

R

]− 3

2πε0

Q

a

= 3Q2πε0

( 14R −

1a

)= − 3Q

2πε0

4R− a4Ra

= − 3Q8πε0

4R− aRa

de acordo com o teorema anteriormente provado.O objetivo é o cálculo do campo elétrico médio para as regiões

esféricas que incluem ou não as distribuição de cargas mostrada na Fig.(4.6.1). Considere uma distribuição localizada de cargas ρ(x′) que dá origema um campo E(r) no espaço. Queremos calcular o valor médio do campo Eno volume esférico de raio R para as configurações mostradas na Fig. (4.6.1),uma das quais contém a distribuição de cargas e a outra não. Escolhemos aorigem do sistema de coordenadas no centro da esfera.


O valor médio do campo elétrico no interior da esfera de raio R éˆr<R

Edv =ˆr<R

(−∇Φ) dv.

Utilizando o teorema da divergênciaˆV

∇ψdv =ˆS

ψnda, (4.6.8)

reescrevemos a integral do campo elétrico comoˆr<R

Edv = −ˆS

Φ(r)nda

onde a integral está sendo efetuada na posição onde se mede ocampo, ou seja

ˆr<R

Edv = −ˆS

Φ(r)nR2senθdθdφ,

onden = r

r.

Substituindo a expressão do potencial escrito em séries de potencia em r,introduzindo o elemento de angulo sólido dΩ e tomando-se o cuidado que otensor de multipolo qlm depende das coordenadas da distribuição de cargas,ou seja devemos lembrar que

qlm ≡ˆV

Y ∗lm(θ′, φ′)ρ(r′)r′ldv´,

conforme a Eq. (4.1.5) . Adicionalmente expressamos o vetor unitário nem termos dos harmônicos esféricos e polinômios de Legendre. Para istoutilizamos a Eq. (3.2.11)

Ylm (θ, φ) =

√√√√2l + 14π

(l −m)!(l +m)!P

ml (cos θ) eimφ,

para expressarmos o vetor unitário n como

n = −12

√8π3 (Y11 + Y ∗11) x− ı12

√8π3 (Y11 − Y ∗11) y +

√4π3 Y10z

= −12P

11 (cos θ)

(eimφ + e−imφ

)x− ı12P

11 (cos θ)

(eimφ − e−imφ

)y + P 0

1 (cos θ)z

= −P 11 (cos θ) cos(φ)x + P 1

1 (cos θ)sen (φ) y + P 01 (cos θ)z


e calcular o valor médio do campo quando a distribuição de cargas estána origem da esfera ( que coincide com a origem do sistema de coordena-das).

ˆr<R

Edv = − 14πε0

ˆS

∑lm

4π2l + 1qlm

Ylm(θ, φ)rl+1 nR2senθdθdφ

= − R2

4πε0

∑lm

4π2l + 1qlm

ˆΩ

Ylm(θ, φ)rl+1 n(θ, φ)dΩ

= − R2

4πε0

∑lm

4π2l + 1qlm

ˆΩ

Ylm(θ, φ)rl+1

×

−12

√8π3 (Y11 + Y ∗11) x− ı12

√8π3 (Y11 − Y ∗11) y +

√4π3 Y10z

dΩ

= −12

√8π3

R2

4πε0

∑lm

4π2l + 1qlm

ˆΩ

Ylm(θ, φ)rl+1

×[− (Y11 + Y ∗11) x− ı (Y11 − Y ∗11) y + 2√

2Y10z

]dΩ

= −12

√8π3

R2

4πε0

∑lm

4π2l + 1

qlmrl+1

ˆΩYlm(θ, φ)

×[−(−Y ∗1−1 + Y ∗11

)x− ı

(−Y ∗1−1 − Y ∗11

)y + 2√

2Y10z

]dΩ

= −12

√8π3

R2

4πε0

∑lm

4π2l + 1

qlmrl+1

×[− (−δl1δm−1 + δl1δm1) x− ı (−δl1δm−1 − δl1δm1) y + 2√

2δl1δm0z

]

= −12

√8π3

R2

4πε0

4π3

[−(−q1−1

r2 + q11

r2

)x− ı

(−q1−1

r2 −q11

r2

)y + 2√

2q10

r2 z]

= −12

√8π3

R2

4πε0

4π3

[(q1−1 − q11

r2

)x + ı

(q1−1 + q11

r2

)y + 2√

2q10

r2 z].

Para calcularmos cada um termos separadamente usamos

ql−m = (−1)mq∗lm


Figura 4.6.2: Sistema coordenadas para integração

q1−1 − q11 =√

38π [(px + ıpy) + (px − ıpy)] = 2

√8π3 px,

q1−1 + q11 =√

38π [− (px + ıpy) + (px − ıpy)] = −2ı

√8π3 py,

q10 = ı

√3

4πpz.

Segue destes resultados que

ˆr<R

Edv = −R2

3ε0

pr2 . (4.6.9)

Note porém que neste caso o vetor posição r é o vetor posição do observadoro qual se encontra na superfície da esfera, portanto r = R, fornecendo então

ˆr<R

Edv = − p3ε0

. (4.6.10)

Consideremos agora a outra situação na qual o interior da esfera nãocontém a distribuição de cargas. Para isto nos referimos à Fig. (4.6.2)para efetuarmos a integração. Para esta configuração utilizamos a expansãocom r< = R e r> = r′


ˆr<R

Edv = −ˆS

Φ(r)nda

= − 14πε0

ˆS

[ˆV

∞∑l=0

Pl(cos γ)ρ(r′)rl<rl+1>

dv′]

nda

= − 14πε0

∞∑l=0

ˆS

ˆV

[Pl(cos γ)ρ(r′)Rl

r′l+1 dv′]

nR2senθdθdφ

= − R2

4πε0

∞∑l=0

ˆV

dv′ρ(r′)Rl

r′l+1

ˆS

Pl(cos γ)nsenθdθdφ.

A integral no angulo sólido pode ser calculada como anteriormente


l∑m=−l

Y ∗lm(θ′, φ′)Ylm(θ, φ)

ˆS

Pl(cos γ)nsenθdθdφ = 4π2l + 1

l∑m=−l

ˆS

Y ∗lm(θ′, φ′)Ylm(θ, φ)nsenθdθdφ

= 4π2l + 1

12

√8π3

l∑m=−l

ˆS

Y ∗lm(θ′, φ′)Ylm(θ, φ)

×[−(−Y ∗1−1 + Y ∗11

)x− ı

(−Y ∗1−1 − Y ∗11

)y + 2√

2Y10z

]dΩ

= 4π2l + 1

12

√8π3

l∑m=−l

Y ∗lm(θ′, φ′)[− (−δl1δm−1 + δl1δm1) x− ı (−δl1δm−1 − δl1δm1) y + 2√

2δl1δm0z

]

= 4π2l + 1

12

√8π3

δl1 [− (−Y ∗l−1(θ′, φ′) + Y ∗l1(θ′, φ′))

x

−ı(−Y ∗l−1(θ′, φ′)− Y ∗l1(θ′, φ′)

)y + 2√

2Y ∗l0(θ′, φ′)

]

= 4π2l + 1δl1n

′(θ′, φ′).

Substituindo na equação para a média do campo teremosˆr<R

Edv = − R2

4πε0

∞∑l=0

ˆV

dv′ρ(r′)Rl

r′l+14π

2l + 1δl1n′(θ′, φ′)

= − R3

4πε0

4π3

ˆV

dv′ρ(r′)r′2

n′(θ′, φ′).

4.7. EXPANSÃO MULTIPOLAR DA ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS EM UM CAMPO EXTERNO. 69

Dado que o campo elétrico no ponto r é dado por

E(r) = 14πε0

ˆV

ρ(r′)|r− r′|3

(r− r′)dv′,

vemos que na expressão anterior a integral de volume é calculada sobre ocampo na origem do sistema de coordenadas, portanto

ˆr<R

Edv = 4πR3

3 E(0).

Esta equação indica que o valor médio do campo elétrico em umaregião esférica livre de fontes é igual ao volume da região vezeso valor do campo no centro da esfera.

Este interessante resultado está plenamente de acordo com o significadogeométrico do Laplaciano, discutido anteriormente na seção (4.6).

4.7 Expansão multipolar da energia de umadistribuição de cargas em um campo ex-terno.

A energia de uma distribuição localizada de corrente descrita pela densidadeρ(x′), colocada em um campo escalar externo Φ(x) é 4

W =ˆρ(x)Φ(x)d3x. (4.7.1)

Se o potencial Φ(x) variar pouco na região onde existe uma distribuição decargas ou equivalentemente se a a dimensão da distribuição localizada decargas for pequena com relação a dimensão em que a variação do potencialé apreciável, veja a figura ilustrativa Fig. ,é válida a expansão

Φ (x) = Φ (0) + x · ∇Φ (0) + 12∑

xixj∂2Φ (0)∂xi∂xj

+O(x3)

que utilizando a definição de E(x) = −∇Φ(x) reescrevemos como4Compare com a equação Eq. (1.53) do livro texto e explique o porquê da ausência do

fator /1/2. Resposta: não é energia total de interação de sistemas de partículas-partículase sim partículas em campo externo, não importa que gera o campo externo e por isso∇ ·E = 0.


Figura 4.7.1: Exemplo de distribuição de cargas na presença de campo ex-terno

Φ (x) = Φ (0)− x · E (0)− 12∑

xixj∂Ej (0)∂xi

+O(x3).

Devido que E é um campos externo (portanto longe de suas fontes), elesatisfaz ∇ · E = 0, por isto podemos adicionar o termos

16r

2∇ · E(0) = 16∑i,j

r2∂Ej∂xi

δij0,

para forçar o traço nulo no tensor de quadrupolo. Desta forma obtemos

Φ(x) = Φ (0)− x · E (0)− 16∑(

3xixj − r2δij) ∂Ej (0)

∂xi+O(x3)

Substituindo na Eq.(4.7.1) teremos

W =ˆV

ρ(x)[Φ (0)− x · E (0)− 1

6∑(

3xixj − r2δij) ∂Ej (0)

∂xi+O(x3)

]d3x

= qΦ (0)− p · E (0)− 16∑

Qij∂Ej (0)∂xi

+ˆV

ρ(x)O(x3)d3x. (4.7.2)

Esta expansão possui uma expressiva utilidade entre outras, em física nuclear.Para detalhes da aplicação em radiação quadripolar e modelos de distribuiçãoda matéria e/ou carga nuclear veja a Blatt and Weisskopf.

A energia de interação entre dois dipolos p1 e p2 pode ser obtida dire-tamente da Eq. (4.7.2) utilizando o campo de um dipolo, Eq. (4.5.10). Ainteração mútua será

W12 = −p1 · E2 = p1 · p2 − 3 (p1 · n) (p2 · n)4πε0 |x1 − x2|3

, (4.7.3)

4.7. EXPANSÃO MULTIPOLAR DA ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS EM UM CAMPO EXTERNO. 71

onde n é um vetor unitário na direção x1 − x2 e assume-se que x1 6= x2. De-talhes da energia de interação entre dois dipolos foi considerada no problema???.

Capítulo 5

Magnetostática

5.1 IntroduçãoIniciaremos nosso estudo de Magnetostática, ou seja dos fenômenos magné-ticos gerados por correntes estacionárias. Num contexto histórico o mag-netismo é muito antiga, por exemplo o ímã natural teve como um de seusdescobridores um pastor chamado Magnes a aproximadamente 2500 anos no-tou que seu cajado e suas sandálias, que continham partes de ferro, ficavamfortemente aderidas em alguns tipos de pedras na região da montanha deIda na Grécia. Já a bússola foi inventada pelos Chineses por volta de 205ACdurante a dinastia Han. As pesquisas de William Gilbert, um físico e médicoinglês sobre o magnetismo terrestre, data de 1600.

Diferentemente da eletrostática, as leis básicas da magnetostática nãoseguiram diretamente dos contatos do homem com materiais magnéticos de-vido a várias razões, entretanto todas elas estão associadas à diferença radicalentre magnetostática e eletrostática: não existe até o momento experimentoque comprove a existência de monopolos magnéticos. Isto indica que osfenômenos magnéticos são muitos diferentes dos fenômenos elétricos e quedurante muito tempo não se conhecia relação entre eles.

A entidade básica na descrição de fenômenos magnéticos é o que conhe-cemos e denominamos de dipolo magnético. Na presença de materiais mag-néticos o dipolo tende a se alinhar em uma certa direção, que por definição éa direção do campo de indução magnética, B, que chamaremos brevementede indução magnética, desde que o dipolo seja um “dipolo teste” . O móduloda indução magnética pode ser inferida do torque mecânico exercido sobre odipolo

N = µ×B, (5.1.1)

onde µ é o momento magnético do dipolo.

73

74 CAPÍTULO 5. MAGNETOSTÁTICA

Houve um avanço na compreensão dos fenômenos magnéticos quandodescobriu-se a sua interação com correntes. Correntes são produzidas porcargas em movimento, convenciona-se que uma corrente gerada devido aomovimento de cargas positivas, sendo descrita por uma densidade de correnteJ que mede o fluxo de partículas positivamente carregadas através de umadada seção transversal, por unidade de área, por unidade de tempo.

A conservação da carga é expressa através da equação de continuidadeque é uma lei de conservação

∇ · J + ∂ρ

∂t= 0, (5.1.2)

expressando o fato físico que a diminuição de cargas dentro de um dadovolume V corresponde ao fluxo de cargas através da borda do volume. O ar-ranjo geométrico esquematizado na Fig. (5.1.1) proporcional uma referênciageométrica para deduzirmos a Eq. (5.1.2).

A quantidade de cargas no interior do volume V cujo bordo S = ∂V é

ρ =ˆV

ρ(r)dv.

Não havendo criação ou destruição de cargas no interior do volume V , certa-mente a variação no tempo da quantidade de cargas dq/dt deverá ser com-pensada pelo fluxo de cargas através da borda (fronteira) do volume, ou seja

dq

dt∝ˆS

J · nds,

dado que a uma diminuição da quantidade de cargas no interior do volumecorresponde a um aumento no exterior obtemos que

dq

dt= −ˆS

J · nds,

que pode ser reescrita como

d

dt

ˆV

ρ(r)dv +ˆS

J · nds = 0⇐⇒ˆV

∂ρ(r)∂t

dv +ˆS

J · nds = 0,

se a fronteira de integração for fixa. Esta equação pode ser reescrita comouma equação diferencial como

ˆV

∂ρ(r)∂t

dv +ˆV

∇ · Jdv = 0⇐⇒ˆV

(∂ρ(r)∂t

+∇ · J)dv = 0,

5.2. A LEI DE BIOT-SAVART 75

Figura 5.1.1: Arranjo geométrico ilustrativo da conservação da garga

que fornece a Eq.(5.1.2).No estudo de fenômenos magnéticos estacionário, não há cargas em mo-

vimento portanto∂ρ

∂t= 0,

consequentemente∇ · J = 0

indicando que nos fenômenos magnéticos lidamos com correntes estacioná-rias:

J(t2) = J(t1).

As equações básicas da magnetostática podem ser obtidas diretamente dasequações de Maxwell Eq.

5.2 A Lei de Biot-SavartA relação básica expressando os resultados do experimento Indução magné-tica B. Considerando dl um elemento infinitesimal de comprimento de umcircuito fechado (porque o fluxo é fechado), esquematizado na Fig. (5.2.1).


Figura 5.2.1: Geometria Lei Biot-Savart

dB = kIdl× (x− x′)|x− x′|3

. (5.2.1)

Nesta equação, I é q corrente que flui no circuito fechado e tem a mesmadireção do elemento dl, x é o vetor posição do ponto de medida do campo(observador), x′o vetor posição do elemento dl, medidos com relação a origemO do referencial. Já a constante k foi introduzida para ajustar a dimensãoem um dado sistema de unidades. Como os mais úteis para nossos propósitossão o MKS e CGS, temos que

k =µ04π , no MKS1c, no CGS.

Algumas características desta equação

• é proporcional à corrente I

• como a lei de Coulomb, é proporcional ao inverso do quadrado da dis-tância

Advertência: Dado esta analogia, pode se pensar em interpretar a Lei deBiot-Savart como o análogo magnético da lei de Coulomb e identificar

5.2. A LEI DE BIOT-SAVART 77

Idl como o correspondente da carga elétrica q.Isto não está correto umavez que a carga elétrica é conservada, ou seja é uma fonte puntiformeque satisfaz à equação da continuidade, entretanto isto não acontececom dl já que para o elemento do circuito, a corrente surge do nada eapós percorrer o elemento retorna para o nada. Resumindo, a Lei deBiot-Savart como escrita não satisfaz a equação da continuidade e defato o que faz sentido é a expressão para todo o circuito fechado a qualé consistente com ∇ ·B = 0.

Para uma carga puntiforme Idl = qdtdl = qv a Eq. (5.2.1) reduz-se a

B = kqv× (x− x′)|x− x′|3

.

Apesar da semelhança com a Eq. (5.2.1) válida para um elemento decorrente e apesar desta forma incitar a semelhança com a Lei de Coulomb,estritamente falando ela não é correta já que é válida para pequenas veloci-dades v c e partículas com pequenas acelerações, sendo que a Eq. (5.2.1)levando-se em conta a aceleração e efeitos relativísticos, permanece válidaquando integrada sobre todo o circuito. Está é uma discussão nada trivialque não será considerada aqui.


O campo eletromagnético de uma carga puntiforme acelerada escrito nosistema métrico é

E = q

(n− β) (1− β2)

K3R2 + n× [(n− β)× a]c2K3R

,

B = q

(β × n) (1− β2)

K3R2 + (a · n) (β × n)c2K3R

+ a × nc2K3R

,

B = n× E.

Nas expressões anteriores definimos

n ≡RR, R = |x− xe|,

β ≡ uc≡ 1c

dxe(t′)dt′

, t′ = t− |x− xe|c

K ≡ 1− β · n,

Para acelerações desprezíveis e velocidades v c o campo magnético podeser aproximado para

B = q(β × n)R2 = q

c

v× (x− xe)|x− xe|3

,

que é a Lei de Biot-Savart para uma partícula puntiforme com carga q.

Podemos fazer a soma linear dos elementos diferenciais dl, ou seja integrara Eq. (5.2.1)ao longo de um dado circuito, que aqui representamos pela curvaΓpara obter a Lei de Biot-Savart na forma

B = µ0

4π

ˆΓIdl′ × (x− x′)|x− x′|3

. (5.2.2)

Exemplo 5.2.1. Considere o cálculo da indução magnética a uma distânciaR de um fio infinito que é percorrido por uma corrente estacionária I.

Utilizando a geometria da Fig. (5.2.2) teremos

dl′ = −dy′e2,

x = Re1,

x′ = y′e2,

5.3. LEI DE AMPÈRE 79

Figura 5.2.2: Indução magnética fio infinito

segue portanto que

dl′ × (x− x′) = −dy′e2 × (Re1 − y′e2) = Rdy′e3,

|x− x′|3 =(R2 + y′2

)3/2.

Substituindo na expressão do campo teremos

B = e3µ0IR

4π

ˆ ∞−∞

dy′

(R2 + y′2)3/2 .

Fazendo a mudança de variável

y′ = R tan θ=⇒ dy′ = R sec2 θdθ,

R2 + y′2 = R2 sec2 θ,

teremos

B = e3µ0IR

4π

ˆ π/2

−π/2

R sec2 θd

R3 sec2 θ= µ0I

2πRe3

5.3 Lei de AmpèreOs experimentos de Ampére não fornecem diretamente uma relação entre ascorrentes e a indução magnética B, mas sim a força que atua em um fio que


Figura 5.3.1: Dois circuitos de correntes

é percorrido por uma corrente J exposto a um campo externo B. Dada aexpressão da força de Lorentz

F = q (E + v×B) , (5.3.1)

que na ausência de um campo elétrico pode ser reescrita como

F = qv×B,

que para um elemento de circuito pode ser reescrita como

dF = dqdldt×B = lim

∆t−→0

∆q∆l∆t ×B = Idl×B, (5.3.2)

fornecendo um elemento de força que atua no elemento de circuito dl.Considere conhecida a origem do campo externo B ou seja que este é pro-duzido por uma corrente I em outro circuíto, como mostrado na figuraFig.(5.3.1).

Neste caso interpretamos a Eq. (5.3.2) como

dF12 = I1dl1 ×B2

a força sobre o circuito C1 devido ao cirbuito C2 que gera um campo “externo”de indução magnética B2na posição do circuito C1. Uma outra figura, Fig.(5.3.2), com o sistema de coordenadas explicita e esclarece este geometria.


Figura 5.3.2: Geometria para a Lei de Ampere

A expressão integral para a força que o circuito C2 exerce sobre o cirguitoC1é

F12(x1) = µ0

4πI1I2

˛ ˛dl1 × (dl2 × x12)

|x12|3, (5.3.3)

ondex12 = x1 − x2.

Esta equação expressa matematicamente os resultados dos experimentos deAmpere para força entre condutores portadores de correntes. É interessantecolocar esta expressão em uma forma mais simétrica que destaca a validadeda terceira lei de Newton, para isto utilizamos a propriedade

dl1 × (dl2 × x12) = dl2 (dl1 · x12)− x12 (dl1 · dl2) ,

e calculamos

dl2 (dl1 · x12)|x12|3

= −dl2(dl1 ·∇1

1|x12|

)

= −dl2[(∇1

1|x12|

)· dl1

]

= −dl2d1

(1|x12|

),


que é um diferencial total e cuja integração em um circuito fechado se anula.Desta forma ficamos com

F12(x1) = −µ0

4πI1I2

˛ ˛ (dl1 · dl2) x12

|x12|3. (5.3.4)

Nesta forma fica evidente que esta expressão satisfaz a terceira lei de Newtone que também é uma lei que depende do inverso do quadrado da distânciaentre fonte-ponto de medida.

Exemplo 5.3.1. Força entre dois condutores paralelos e infinitos, com cor-rentes I1 e I2 sepadados por uma distância d. Veja a geometria esquematizadana Fig. (5.3.3)

Utilizando a Eq. (5.3.3)

dl1 = dy1(−j)dl2 = dy2(−j)x12 = x1 − x2

= di− y2(j),

consequentemente

dl1 × (dl2 × x12) = dy1dy2 (−j)× [(−j)× (di− y2(j))]= −ddy1dy2i.

Substituindo na integral teremos

F12(x1) = µ0

4πI1I2

˛ ˛−ddy1dy2i|di− y2(j)|3

= −iµ0

4πI1I2Ld

˛ ˛dy1dy2

|di− y2(j)|3

= −iµ0

4πI1I2Ld

ˆdy2

(d2 + y22)3/2

= −iµ0

4πI1I2Ld

ˆdy2

(d2 + y22)3/2

A integral é facilmente resolvida utilizando y = d tan θ, sendo que

dy = d sec2 θdθ,

teremos ˆdy2

(d2 + y22)3/2 =

ˆ π/2

−π/2d

sec2 θdθ

d3 sec3 θ= 2d2


Figura 5.3.3: Força entre fios paralelos

e segue que

F12(x1) = −iµ0

4πI1I2Ld2d2 =⇒

F12(x1)L

= −iµ0

2πI1I2

d.

Esta expressão fornece a força por unidade de comprimento no fio 1 que éproporcional as correntes e inversamente proporcional à distância entre osfios . Note que a força é atrativa para as correntes fluindo no mesmo sentido.

Podemos fazer o mesmo exemplo anterior utilizando a Eq.(5.3.4), somentepara efeito de compreensão.

Exemplo 5.3.2. Força entre dois condutores paralelos e infinitos, com cor-rentes I1 e I2 sepadados por uma distância d. Veja a geometria esquematizadana Fig. (5.3.3). Utilizando a Eq. (5.3.4) teremos

F12(x1) = −µ0

4πI1I2

˛ ˛ (dy1 · dy2) (di− y2(j))(d2 + y2

2)3/2

= −iµ0

2πI1I2

dL+ j

µ0

4πI1I2L

:0˛ (dy2) y2

(d2 + y22)3/2 ,

uma vez que o integrando é ímpar. O resultado concorda com o obtidoanteriormente, com deve ser!


Os resultado anteriores podem ser generalizados para os casos em que acorrente está distribuida dobre uma superfície, assim teremos

F =ˆ

J(x)×B(x)d3x, (5.3.5)

e

N =ˆ

x× (J×B) d3x. (5.3.6)

5.4 Equações Diferenciais para a Magnetos-tática

As equações diferenciais da magnetostática pode ser obtidas diretamente dasequações de Maxwell Eq. (1.0.1)

∇ ·B = 0,∇×B = µ0J,

para fontes estacionárias e correntes estacionárias. De fato nosso objetivo éobter estas equações da Eq. (5.2.2). Para isto utilizamos

(x− x′)|x− x′|3

=∇′ 1|x− x′|

,

na equação

B(x) = µ0

4π

ˆΓIdl′ × (x− x′)|x− x′|3

= µ0

4π

ˆJ(x′)× (x− x′)|x− x′|3

d3x′

= µ0

4π

ˆJ(x′)×

(∇′ 1|x− x′|

)d3x′ (5.4.1)

=∇×(µ0

4π

ˆJ(x′)|x− x′|

d3x′). (5.4.2)

Segue diretamente desta equação que

∇ ·B = 0. (5.4.3)

5.4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA A MAGNETOSTÁTICA 85

A expressão para a indução magnética B também pode ser utilizada paracalcularmos o seu rotacional

∇×B =∇×[∇×

(µ0

4π

ˆJ(x′)|x− x′|

d3x′)]

=

:0

∇[µ0

4π

ˆ∇ ·

(J(x′)|x− x′|

)d3x′

]

−∇2[(

µ0

4π

ˆJ(x′)|x− x′|

d3x′)]

= −µ0

4π

ˆ∇2 J(x′)|x− x′|

d3x′

= −µ0

4π

ˆJ(x′)∇2 1

|x− x′|d3x′

= −µ0

4π

ˆJ(x′) [−4πδ(x− x′)] d3x′

= µ0J(x).

Uma palavra acerca da nulidade do anulamento de uma integral na expressãoanterior: ˆ

∇ ·(

J(x′)|x− x′|

)d3x′ =

ˆ∇ ·

(J(x′)|x− x′|

)d3x′

=ˆ

J(x′) ·∇(

1|x− x′|

)d3x′

= −ˆ

J(x′) ·∇′(

1|x− x′|

)d3x′

= −˛S

(J(x′)|x− x′|

)· n′dS ′

+ˆ ∇′ · J(x′)|x− x′|

d3x′ = 0,

para correntes estacionárias. Resumindo nosso resultado anterior, temos aLei de Ampere na forma diferencial

∇×B = µ0J (5.4.4)

A equação para o rotacional da indução magnética pode ser reescritautilizando o teorema de Stokesˆ

s

[∇×B] · ndS =˛

ΓB · dl = µ0

ˆS

J · ndS . (5.4.5)


Figura 5.4.1: Geometria Teorema de Stokes

A titulo de completeza, apresentamos sem prova o teorema de Stokes.

Teorema 5.4.1. Teorema de Stokes. O fluxo do rotacional de um campovetorial V através de uma superfície aberta S é igual a circulação da compo-nente tangencial do campo ao longo da curva Γ que é o bordo da superfícieS : ˆ

s

[∇×V] · ndS =˛

ΓV · dl.

Veja a geometria na figura Fig.

5.5 O Potencial VetorAs equações Eq. (5.4.3) admite como solução

B =∇×A (5.5.1)

e segue diretamente da forma da Eq. (5.4.1) o potencial vetor

A(x) = µ0

4π

ˆV

J(x′)|x− x′|

d3x′ +∇Ψ(x). (5.5.2)

Pelo menos duas características deste potencial são : é proporcional ao in-verso da distância e possui a direção da corrente. Adicionamos o gradiente de

5.5. O POTENCIAL VETOR 87

um campo escalar uma vez que o campo de indução magnética não é alteradopor este fator. Esta expressão contém um termo adicional que é chamadode campo de gauge e a invariância da indução magnética pela adição destetermo é chamada de invariância de gauge que será discutida em mais detalhesposteriormente.

Como já observado anteriormente, as duas equações básicas da magne-tostática são

∇ ·B = 0,∇×B = µ0J.

Escrevendo o rotacional da indução magnética em termos do potencial vetorteremos

∇× (∇×A) =∇∇ ·A−∇2A = µ0J.

Como a indução magnética é invariante de gauge, podemos escolher o campoescalar Ψ(x) de tal forma que force o potencial vetor satisfazer a equação dePoisson. Isto acontecerá se o campo escalar satisfizer à equação de Poisson

∇ ·A(x) = µ0

4π

:0ˆV

∇ ·(

J(x′)|x− x′|

)d3x′ +∇2Ψ(x),

como já provado anteriormente, enfim

∇2Ψ(x) = 0 =⇒∇ ·A(x) = 0, (5.5.3)

denominado de Gauge de Coulomb devido a ausência da dependência tem-poral. Neste caso teremos o problema padrão da propagação do sinal comvelocidade infinita. Retornando à equação para o rotacional do rotacional dopotencial vetor, encontramos que

∇2A = −µ0J, (5.5.4)

ou seja o potencial vetor satisfaz à equação de Poisson.

Exemplo 5.5.1. Para uma partícula puntiforme com carga e, a corrente é

J(x′) = eveδ(xe − x′),

onde xe é o vetor posição da carga e. Neste caso o potencial possui a forma

A(x) = µ0

4πeve|x− xe|

.

Note que o potencial vetor possui a direção da velocidade da partícula.


Figura 5.5.1: Potencial vetor cilindro finito

Exemplo 5.5.2. O potencial vetor de um cilindro de comprimento L comuma distribuição uniforme de corrente.

Considere o arranjo esquemático da Fig. (5.5.1).O potencial vetor de um fio de “comprimento 2L”. Utilizando a geometria

da Fig. (5.5.2)e trabalhando em coordenadas cilíndricas, para calcularmos o potencial

A(x) = µ0

4π

ˆV

J(x′)|x− x′|

d3x′

teremos que

x = ρi,x′ = z′j,

J = Iδ(ρ′)2πρ′ j,

5.5. O POTENCIAL VETOR 89

Figura 5.5.2: Potencial Vetor de um fio finito

que fornece a expressão para o potencial vetor na forma

A(x) = µ0

4π

ˆ ∞0

ˆ 2π

0

ˆ L

−L

Ijδ(ρ′)2πρ′√ρ2 + z′2

ρ′dρ′dθ′dz′

= µ0I

4π jˆ L

−L

dz′√ρ2 + z′2

= µ0I

4π ln(z′ +

√ρ2 + z′2

)∣∣∣∣L−L

k

= µ0I

4π ln(√

ρ2 + L2 + L√ρ2 + L2 − L

)k

A expressão da indução magnética é

B =∇×A

= 1h1h2h3

εijk (hiei) ∂j (hkAk)

= 1ρεij3 (hiei) ∂j (A3)

= 1ρ

[ε123ρ

:0∂θ (A3) + ε213ρθ∂ρ (A3)

]= θ

µ0I

4π2L

ρ√L2 + ρ2 .


Figura 5.6.1: Construção geométrica para o cálculo do potencial vetor A

Para um fio infinito obteremos

B = µ0I

2πρ θ.

5.6 O Potencial Vetor e Indução Magnéticade um Anel com Corrente.

Como uma ilustração da aplicação da teoria desenvolvida anteriormente, con-sideramos o cálculo do potencial vetor A e da indução magnética B de umanel de raio a no qual circular uma corrente I. A geometria do problemaestá esquematizada na Fig. (5.6.1).

A densidade de corrente J do anel está no plano xy e pode ser decompostacomo

J = J cos(φ′ + π

2 )x + Jsen(φ′ + π

2 )y

= −Jsen(φ′)x + J cos(φ′)y

= Jφ′.

Este problema também pode ser resolvido em coordenadas cilíndricas queparece a mais natural, entretanto seguiremos o autor. A intensidade dacorrente pode ser expressa, em coordenadas esféricas (veja a Eq. (1.1.1)), emtermos da distribuição delta como

J = Iδ(r′ − a)δ(θ′ − π

2 )r′

= Iδ(r′ − a)δ(cos θ′)

r′senθ′ .

5.7. CAMPOS MAGNÉTICOS DE DISTRIBUIÇÕES DE CORRENTES LOCALIZADAS91

Note que a integralˆJ · ndv =

ˆV

Jφ · φr′2senθ′dr′dθ′dφ′

= I2πa.

Substituindo a expressão do vetor J naquela do potencial vetor teremos

A(x) = µ0

4π

ˆV

J(x′)|x− x′|

d3x′

= µ0

4π

ˆV

I δ(r′−a)δ(cos θ′)r′senθ′√

r2 − 2rr′ cos γ + r′2φ′r′2senθ′dr′dθ′dφ′

= µ0

4πIaˆV

φ′√

r2 − 2ra cos γ(θ′ = π/2) + a2dφ′.

Dado quecos γ = cos θ cos θ′ + senθsenθ′ cos(φ− φ′),

segue quecos γ(θ′ = π/2) = senθ cos(φ− φ′).

Sem perda de generalidade escolhemos φ = 0para obtermos

cos γ(θ′ = π/2) = senθ cos(φ′)

e finalmente

A(x) = µ0

4πIaˆV

−sen(φ′)x + cos(φ′)y√r2 − 2rasenθ cos(φ′) + a2

dφ′.

A integração na direção x é nula já que o integrando é uma função ímpar,resta portanto somente a componente y a qual é

Aφ(r, θ) = µ0

4πIaˆ 2π

0

cos(φ′)√r2 − 2rasenθ cos(φ′) + a2

dφ′.

O restante é um longo cálculo.

5.7 Campos Magnéticos de Distribuições deCorrentes Localizadas

Vamos estudar as propriedades de uma distribuição geral de correntes, locali-zada em uma pequena região do espaço, por pequena subentende-se relativa


a escala de comprimento de interesse do observador. O tratamento desteproblema pode seguir os métodos daquele utilizado na expansão dos mul-tipolos eletrostáticos, utilizando os harmônicos esférico. Entretanto, comouma primeira abordagem trataremos o problema considerando somente ostermos mais significativos na contribuição da expansão, ou seja manteremossomente termos de menor ordem na expansão de r′/r.

Dado que

A(x) = µ0

4π

ˆV

J(x′)|x− x′|

d3x′

e que1

|r− r′|=∞∑l=0

4π2l + 1

l∑m=−l


rl+1>

para os dois primeiros termos na expansão, com a escolha óbvia

r< = r′, r> = r,

o potencial vetor será

A(x) = µ0

4π

ˆV

J(x′)4πrY00(θ, φ)Y ∗00(θ′, φ′) + 4π

3

1∑m=−1

Y1m(θ, φ)Y ∗1m(θ′, φ′) r′

r2

d3x′

= µ0

4πr

ˆV

J(x′)d3x′ + µ0

3r2

1∑m=−1

ˆV

J(x′)Y1m(θ, φ)Y ∗1m(θ′, φ′)r′d3x′.

O primeiro termo DEVE SER NULO. Isto é consequência da não existênciade monopolos magnéticos.Esta afirmação pode ser provada de várias formas.A mais intuitiva é consideras a integral de volume da corrente

ˆV

J(ξ)h1h2h3d3ξ

como composta de um grande número de circuitos elementares de correntes Ino interior do volume. É preciso lembrar que estes circuitos são fechados emconformidade com a não existência de monopolos magnéticos. A geometriado problema está esquematizada na Fig. (5.7.1)

A corrente J que flui no volume finito V é

J =∑l

Jl =∑

Ilδ(ξ1 − ξ1i)δ(ξ2 − ξ2i)

h1h2e3.


Figura 5.7.1: Divergente da fonte de indução magnética

Substituindo na integral e somando sobre todos os l−circuitos elementaresde correntes que compões a densidade de corrente J, teremosˆ

V

J(ξ)h1h2h3d3ξ =

ˆ ∑l

Ilδ(ξ1 − ξ1l)δ(ξ2 − ξ2l)

h1h2e3h1h2h3d

3ξ

=∑l

Il

ˆe3h3dξ3

=∑l

Il

˛dsl = 0.

A integral é nula porque integramos um diferencial exato em um intervalofechado. A relação entre o diferencial exato e uma corrente com divergentezero é que todas as linhas de correntes devem ser fechadas.

Uma outra forma de se obter este resultado é notando que

∇ · (φJ) = J ·∇φ+ φ∇ · J. (5.7.1)

Dado que precisamos calcularˆV

J(x)d3x =3∑i=1

ˆV

Ji(x)eid3x,

é apropriado escolhermos na Eq. (5.7.1), φ = xi e tendo em conta que∇ · J = 0, teremos

∇ · (xiJ) = J · (ekδki) = Ji.


Podemos portanto escrever a integral volumétrica da corrente como

3∑i=1

ˆV

Ji(x)eid3x =3∑i=1

ˆV

∇ · (xiJ)eid3x,

que por simplicidade integramos em coordenadas cartesianas

3∑i=1

ˆV

∇ · (xiJ)eid3x =3∑i=1

eiˆV

∇ · (xiJ)d3x

=3∑i=1

eiˆV

∇ · (xiJ)d3x

=3∑i=1

ei˛S

[(xiJ)] · ndS

= 0.

Note que cada componente separadamente é nula.Uma maneira mais elegante de se provar que a integração de volume de

fontes localizadas de indução magnética é nula, é observando que na superfíciefronteira do volume, as densidades de correntes devem ser vetores tangentesa superfície. Como este volume está imerso R3seu bordo ∂V é uma superfícieS2 que pode ser parametrizada por x = x(u, v),

x(u, v) = (x(u, b), y(u, b), z(u, b)).

O plano tangente a S no ponto P , representado por Tp(S) tem como base∂x∂u,∂x∂v

= xu, xv. .

Um vetor w ∈ Tp(S) pode ser decomposto nessa base como segue: w é ovetor velocidade α′(0) da curva α = x β, onde β : (−ε, ε) −→ U, dado porβ(t) = (u(t), v(t)), com β(0) = q = x−1(p). Desta forma

α′(0) = d

dt(x β)(0) = d

dtx(u(t), v(t))(0)

= xuu(0) + xvv(0) = w.

Já um vetor unitário normal à superfície pode ser imediatamente construídocomo

N = xu × xv|xu × xv|

.


Utilizando estes resultado para a integral de corrente, primeiro notando que

∇ · J = 0 =⇒ J =∇× I.

Dado que o vetor J está definido no interior do volume V e no máximo nasuperfície S tal que

∂V = S,

podemos escrever que

J = Juxu + Jvxv.

Temos a seguinte equação

∇× I = Juxu + Jvxv =⇒I = IN,

onde é um vetor unitário perpendicular à superfície, sendo que temos umabase no espaço definida pelos três vetores

xu, xv, N .

Utilizando estes resultados, calculamos a integral de volume da corrente:

ˆV

Jd3x =ˆ

V

∇× Idx

=ˆS

N× Ida

=ˆS

N× INda

= 0.

Vamos trabalhar o próximo termo na expansão. De fato este não é o cami-nho mais apropriado, mas vale como um exercício com harmônicos esféricos.


Considere a somam=1∑m=−1

Y1m(θ, φ)Y ∗1m(θ′, φ′) = Y1−1(θ, φ)Y ∗1−1(θ′, φ′) + Y10(θ, φ)Y ∗10(θ′, φ′)

+ Y11(θ, φ)Y ∗11(θ′, φ′)= (−)Y ∗11(θ, φ)(−1)Y11(θ′, φ′) + Y10(θ, φ)Y10(θ′, φ′)+ Y11(θ, φ)Y ∗11(θ′, φ′)

= 2<Y11(θ, φ)Y ∗11(θ′, φ′) + 34π cos θ cos θ′

= 2× 38π senθsenθ′ cos(φ− φ′) + 3

4π cos θ cos θ′

= 34π [cos θ cos θ′ + senθsenθ′ cos(φ− φ′)]

= 34π cos γ.

Com isto a expressão do potencial vetor ficará

A(x) = µ0

3r2

ˆV

J(x′) 34π cos γr′d3x′

= µ0

4πr3

ˆV

J(x′)rr′ cos γd3x′

= µ0

4πr3

ˆV

J(x′)x · x′d3x′.

A próxima tarefa é calcularmos ou reexpressarmos a integral em função daárea definida pelo circuito, para isto é necessário sempre ter em conta quea todas operações vetoriais miraculosas na magnetostática funcionam porconta da conservação da corrente

∇ · J = 0.

Levando este resultado em conta consideramosˆV

J(x′)x · x′d3x′ =ˆV

J(x′)xix′id3x′

=ˆV

ejJjxix′id3x′

Note que em coordenadas curvilineares os vetores unitários e′j não são cons-tantes e não podemo ser retirados do sinal de integral. Este problema (daintegração) pode ser resolvido de duas formas: em coordenadas cartesianos,


o que não é restritivo já que o resultado da integral não deve depender dosistema de coordenadas utilizados; outra forma é considerar explicitamentea integração em coordenadas curvilineares com

e′j = 1∣∣∣∂x′∂ξj

∣∣∣ ∂x′

∂ξj= 1hj

∂x′

∂ξj

d3x′ = h1h2h3dξ1dξ2dξ3,

o que obviamente não é o melhor caminho! Utilizaremos coordenadas carte-sianas para obter ˆ

V

J(x′)x · x′d3x′ = e′jxiTij,

Tij ≡ˆV

x′iJjd3x′. (5.7.2)

Dado que

∇ ·(x′ix′jJ)

= x′ix′j∇ · J + x′jJ ·∇x′i + x′jJ ·∇x′i

= 0 + x′jJi + x′iJj,

cuja integral de volume forneceˆv

∇ ·(x′ix′jJ)d3x′ =

˛S

(x′ix′jJ)· nda′ = 0 =

ˆV

(x′jJi + x′iJj

)d3x′

=⇒ Tij + Tji = 0 . (5.7.3)

Obtemos um tenso Tij que é antissimétrico

Tij = −Tji.Substituindo na expressão do potencial vetor, teremos

A(x) = µ0

4πr3

ˆV

J(x′)x · x′d3x′ = µ0

4πr3 e′jxiTij

= µ0

4πr3 e′jxi(1

2Tij + 12Tij

)= µ0

8πr3 e′jxi (Tij − Tji)

= µ0

8πr3 e′jxiˆV

(x′iJj − x′jJi

)d3x′ = µ0

8πr3

ˆV

(Jx · x′ − x′x · J) d3x′

= µ0

4πr312

ˆV

[x× (J× x′)] d3x′ = µ0

4πr3 x×[

12

ˆV

[(J× x′)] d3x′]

= µ0

4πr3

[12

ˆV

x′ × Jd3x′]× x.


Define-seM = 1

2x′ × J(x′) (5.7.4)

como a densidade de momento magnético ou magnetização e a integral

m ≡ˆV

12 [x′ × J(x′)] d3x =

ˆV

M d3x′ (5.7.5)

como o momento magnético . Estes resultados fornecem a expressão emprimeira aproximação para o potencial vetor de uma distribuição de correnteslocalizadas

A(x) = µ0

4πm× x|x|3

= µ0

4πm× x|x|2

. (5.7.6)

Neste caso a primeira contribuição para o potencial vetor é do termo dedipolo, e a Eq. (5.7.6) representa o potencial vetor de um dipolo magnéticojá que o monopolo é nulo. Note a semelhança entre esta equação e àquelado potencial escalar de um dipolo elétrico, Eq. (4.5.5), por isto tendo comoreferência a Eq. (4.5.6) escrevemos diretamente a expressão para a induçãomagnética de um dipolo magnético

B(x) = µ0

4π

[3 (m · x) x−m

|x|3

]. (5.7.7)

A indução magnética é proporcional ao momento magnético a varia com oinverso do cubo da distância, como é esperado comportamento de um campode dipolo.

Se a densidade de corrente consistir de um circuito restrito a um plano,ou seja

J(x) = Iδ(ξ1)h1

δ(ξ2)h2

e3,

teremos que

m = 12

ˆV

[x′ × J(x′)] d3x

= I

2

ˆV

x′ × δ(ξ1)h1

δ(ξ2)h2

e3h1h2h3dξ1dξ2dξ3

= I

2

ˆx′ × e′3h3dξ

′3

= I12

ˆx′ × dl′. (5.7.8)


Figura 5.7.2: Teorema de Green

Como o circuito de corrente está em um plano

12

ˆx′ × dl′ = 1

2

ˆ(x′1dl′2 − x′2dl′1) e′3. (5.7.9)

Para calcularmos esta integral utilizaremos o Teorema de Green, antes porémvamos deduzi-lo do Teorema de Stokes Generalizado () [5].

Teorema 5.7.1. Seja ω uma p− forma definida sobre uma variedade dife-renciável M e c uma (p+ 1) cadeia de simplexos, então

ˆ∂cω =ˆ

cdω. (5.7.10)

Segue diretamente deste teorema que para 1−forma ω teremos e a 2−cadeiade simplexos (uma superfície 2− d aberta) teremos

ω = P (x1, x2)dx1 +Q(x1, x2)dx2,

dω = ∂idxi ∧ P (x1, x2)dx1 + ∂idxi ∧Q(x1, x2)dx2

=[∂Q(x1, x2)

∂x1− ∂P (x1, x2)

∂x2

]dx1 ∧ dx2,

que substituída no TSG fornece o Teorema de Green no planoˆ∂S

P (x1, x2)dx1 +Q(x1, x2)dx2 =ˆS

[∂Q(x1, x2)

∂x1− ∂P (x1, x2)

∂x2

]dx1dx2,

que é um caso especial do Teorema de Stokes para uma superfície no planox1x2. Veja o esquema geométrico na figura Fig. (5.7.2), para a qual fazemosa correspondência ω ←→ v = Pe1 +Qe2.

Retornando a Eq. (5.7.9) onde utilizamos o com

Q(x1, x2) = x1, P (x1, x2) = −x2,


Figura 5.7.3: Superfície Regular

segue do Teorema de Green que a Eq. (5.7.9) ficará

12

ˆ(x′1dl′2 − x′2dl′1) e′3 = 1

2

ˆS

[∂x1

∂x1− ∂(−x2)

∂x2

]dx1dx2

=ˆS

dx1dx2

que é a área da região S.A beleza da geometria[6]: Seja x : U −→ S um sistema de coordenadas

em uma superfície regular S ⊂ R3e seja R = x(Q) uma região limitada de Scontida em x(U). Então R tem uma área dada por

A(R) =¨Q

xu × xvdudv (5.7.11)

Veja a figura Fig. (5.7.3).Dado que os vetores xu e xv pertencem ao plano S 1

∂z

∂u= ∂z

∂v= 0,

portanto

xu × xvdudv =(∂x

∂u,∂y

∂u, 0)×(∂x

∂v,∂y

∂v, 0),

=(

0, 0, ∂x∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u

)dudv

1de fato isto é verdade localmente, mas abrindo mão de toda rigorosidade...


Introduzindo ωω = dx(u, v) ∧ dy(u, v),

temos que a 2-formas

ω =(∂x

∂udu+ ∂x

∂vdv

)∧(∂y

∂udu+ ∂y

∂vdv

)

=(∂x

∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u

)du ∧ dv, .

Dado que a área independe da parametrização, fazemos a escolha trivial 2

u = x, v = −y, obtendoω = dx ∧ dy,

seguindo da Eq. (5.7.11) que

A(R) =¨Q

xu × xvdudv =¨S

dxdye3,

já orientada segundo as regras de integração de formas.Com este resultado a Eq. (5.7.8) pode ser escrita como

m = IA , (5.7.12)

que é uma equação muito útil principalmente em aplicações da antiga teoriaquântica.

Se a distribuição de correntes é devido a um dado números de cargaspuntiformes qi, com massasmi e com velocidades vi , localizadas nas posiçõesxi,podemos reescrever a densidade de corrente como

J =∑i

qiviδ(x′ − xi)

o que fornecerá para o momento magnético a expressão

m = 12∑i

qixi × vi = 12∑i

qimi

Li, (5.7.13)

que mostra claramente a relação entre o momento magnético e momentoangular. Se a razão carga-massa sor a mesma para todas as partículas ou setodas partículas são elétrons ou prótons ou até quarqs, teremos

m = q

2M∑i

Li = q

2M L. (5.7.14)

2O que é possível utilizando uma translação e uma rotação


Esta é a forma explicita da relação momento magnético - momento angu-lar clássica que vale para o movimento orbital, mesmo na escala atômica.Entretanto se generalizamos esta expressão para incluir o momento angulartotal

m = q

2M L −→ q

2M J,

com J = L+S , sendo S o spin da partícula, veremos que esta expressãoprevê o valor incorreto para o momento magnético do elétron, ou seja parao spin puro (L = 0), esta equação prediz que

m = q

2M S,

o que é praticamente metade do valor observado experimentalmente. Isto le-vou os físicos a postulares que o elétron possui um fator g = 2(1, 00116). Defato esta discrepância resulta da incapacidade do modelo clássico descreverum comportamento quântico que tem origem relativística. Este não é o pri-meiro exemplo no qual a tentativa de estender conceitos ou modelos clássicospara descrever efeitos quânticos levam a conclusões erradas, incompletas ouinconsistentes.

5.7.1 O limite Não Relativístico da Equação de DiracÉ necessário destacar que nesta subseção utilizamos a convenção que e < 0.

A título de refinamento[7, 8, 9], o momento magnético do elétron seguecorretamente da equação de Dirac que é uma equação quântica-relativísticaportanto invariante sob o grupo de Lorentz (de fato Poincaré) que descrevecorretamente a dinâmica de partículas carregadas com spin 1/2,em particularo elétron. A equação de Dirac para um elétron livre com carga e, é3(

ı~/∂ −mc)ψ = 0, (5.7.15)

onde costuma-se definir/A ≡ γµAµ, (5.7.16)

para qualquer operador ou spinor de Dirac. As matrizes que aparecem nestaexpressão

(γµ) =(γ0,γ

),

são denominadas de matrizes de Dirac e definidas como

γ0 =(

1 00 −1

),γ =

(0 σ−σ 0

), (5.7.17)

3Estamos utilizando a assinatura (+,-,-,-) e a convenção e < 0.


ondeσ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ıı 0

), σ1 =

(1 00 −1

), (5.7.18)

são as familiares matrizes de Pauli. As matrizes de Dirac satisfazem à álgebrade Clifgord

γµ, γν = 2ηµν , (5.7.19)onde ηµνé a matriz métrica no espaço de Minkowisk e as chaves na Eq.(5.7.19) representam relações de anticomutação das matrizes de Dirac.

Na presença de um campo eletromagnético externo, utilizamos mão doacoplamento minimal

pµ −→ pµ − e

cAµ, (5.7.20)

ondeAµ = (Φ, A) , CGS (5.7.21)

para escrevermos a Equação de Dirac para um elétron interagindo comum campo eletromagnético externo Aµcomo[(

/p−e

c/A)ψ −mcψ

]= 0,

que pode ser reescrita em termos de um Hamiltoniano H como(ı~γµ∂µ −

e

cγµAµ

)ψ −mcψ = 0 =⇒

γ0(ı~∂0 −

e

cA0

)ψ + γ ·

(ı~∇+ e

cA)ψ −mcψ = 0. (5.7.22)

Esta equação pode ser colocada na forma

ı~∂ψ

∂t= −ı~cγ0γ ·∇ψ − eγ0γ ·Aψ + eΦψ +mc2γ0ψ (5.7.23)

H = H0 +HI

H0 = −ı~cγ0γ ·∇+mc2γ0 = cγ0γ · p +mc2γ0,

HI = −eγ0γ ·A + eΦ.

Introduza as matrizesαi = γ0γi =

[0 σi

σi 0

], (5.7.24)

tal que

ı~∂ψ

∂t= −ı~cα ·∇ψ − eα ·Aψ + eΦψ +mc2γ0ψ. (5.7.25)


As equações Eq. (5.7.23) ou Eq. (5.7.25) expressam a interação mínimade uma partícula com carregada (elétron) com um campo eletromagnéticoextermo. Para destacar a analogia com a teoria clássica recordamos as equa-ções de Hamilton para uma partícula carregada interagindo com um campoeletromagnético externo

q = q, H(q, p) ,p = q, H(q, p) ,

H(q, p) = 12m

(p− e

cA)2

+ eΦ

= p2

2m −e

mcp ·A + e

2mcA2 + eΦ,

que com exceção do termo de autointeração do campo eletromagnético é aversão clássica do operador Hamiltoniano na equação de Dirac Eq. (5.7.23).Isto sugere a correspondência

pm←→ αc,

sugerindo que a matriz αc seja o operador velocidade correspondente à va-riável dinâmica p

mda teoria clássica.

Defini o operador momento generalizado

π = p− e

cA (5.7.26)

e as relação campo-potencial

E = −∇Φ− 1c

∂A∂t,

B =∇×A.

Considere o limite não relativístico da Eq. (5.7.25), utilizando a represen-tação para as matrizes de Dirac, expressas nas equações Eq. (5.7.17) e Eq.(5.7.24) e expresse o 4−spinor ψ como um spinor de duas componentes

ψ(x) =[ϕ(x)χ(x)

], (5.7.27)

que substituída na Eq. (5.7.25) resulta em

ı~∂

∂t

[ϕ(x)χ(x)

]= cσ · π

[χ(x)ϕ(x)

]+ eΦ

[ϕ(x)χ(x)

]+mc2

[ϕ(x)−χ(x)

].


No limite não relativístico a energia de repouso mc2 é a maior energia envol-vida no problema, e por isto consideremos[

ϕ(x)χ(x)

]= e(−ımc2/~)t

[ϕ(x)χ(x)

], (5.7.28)

onde agora ϕ e χ são funções que variam fracamente no tempo e que sãosoluções da equação acoplada

ı~∂

∂t

[ϕ(x)χ(x)

]= cσ · π

[χ(x)ϕ(x)

]+ eΦ

[ϕ(x)χ(x)

]− 2mc2

[0

χ(x)

]. (5.7.29)

Se a energia cinética e de interação partícula-campo for pequena em compa-ração com a energia de repouso do elétron mc2, a segunda das Eqs. (5.7.29)pode ser aproximada como

χ = σ · π2mc ϕ. (5.7.30)

Esta equação revela que χ é uma pequena componente do spinor ψ em com-paração com a grande componente ϕ. Relativamente a ϕ, a componente χé reduzida por um fator v/c 1 no limite não relativístico. Substituindo aEq. (5.7.30) na primeira das Eqs. (5.7.29) obtemos a seguinte equação parao spinor ϕ de duas componentes

ı~∂ϕ

∂t=(σ · πσ · π

2m

)ϕ+ eΦϕ, (5.7.31)

que pode ser reduzida utilizando as propriedades das matrizes de Pauli

σiσj = δij + ıεijkσk, (5.7.32)

como

σ · πσ · π =(δij + ıεijkσk

)πiπj

= π2 + ıσ · (π × π)

= π2 − e~cσ ·B, (5.7.33)

que substituída na Eq.(5.7.31) fornece

ı~∂ϕ

∂t=

(p− e

cA)2

2m − e~2mcσ ·B + eΦ

ϕ (5.7.34)

que é a conhecida equação de Pauli. Resumindo obtivemos do limite nãorelativístico da Equação de Dirac, Eq. (5.7.15) a Equação de Pauli Eq.


(5.7.34). As duas componentes do spinor ϕ são suficientes para acomodar osdois graus de liberdade de spin de uma partícula com spin semi-inteiro 1/2e o fator giromagnético g = 2 correto surge naturalmente e explicitamenteno limite não relativístico da equação. Para explicitar esta propriedade,reduziremos ainda mais a Eq. (5.7.34) considerando a interação de umapartícula com um campo magnético uniforme

B =∇×A =⇒ A = 12B× r,

fornecendo

ı~∂ϕ

∂t=

(p− e

2cB× r)2

2m − e~2mcσ ·B + eΦ

ϕ∼[

p2

2m −ep ·B× r

2mc − e~2mcσ ·B + eΦ

]ϕ

para as maiores contribuições. Dado quep ·B× r = B · L,

temos que

ı~∂ϕ

∂t=[

p2

2m −eB · L2mc −

e~2mcσ ·B + eΦ

]ϕ

=[

p2

2m −e

2mc (L + 2S) ·B + eΦ]ϕ.

Nesta expressãoL = r× p, S = ~

2σ,

é o momento angular orbital e o spin do elétron, respectivamente, com au-tovalores ±~/2 e o coeficiente de interação campo magnético-spin forneceo momento magnético correto4 para o elétron que corresponde a um fatororbital g = 2.

5.8 Força, Torque e Energia de uma Distri-buição de Corrente Localizada, em umCampo de Indução Externo

Se uma distribuição de correntes finita é submetida a um campo de indu-ção externo B(x), este fica sujeito a forças e torques de acordo com a lei de

4Certamente com relação aos dados experimentais!

5.8. FORÇA, TORQUE E ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CORRENTE LOCALIZADA, EM UM CAMPO DE INDUÇÃO EXTERNO107

Ampere Eq. (5.3.3). As expressões gerais para a força e torque são dadaspelas equações Eq. (5.3.5) e Eq. (5.3.6), respectivamente. Se a induçãomagnética varia lentamente para distâncias da ordem da dimensão da distri-buição de correntes, podemos obter expressões aproximadas para as forças,torque e correntes considerando a expansão da indução magnética em sériede Taylor para encontrar os termos dominantes ou que mais contribuem. Ocampo B(x) pode ser expandido na vizinhança de um ponto apropriado, porexemplo na origem da distribuição de correntes

B(x) = B(0) + x ·∇B(0) +O(x2)

que substituído na Eq. (5.3.5) fornece

F =ˆ

J(x′)×[B(0) + x ·∇B(0) +O(x2)

]d3x′

≈[ˆ

J(x′)d3x′]×B(0) +

ˆd3x′J(x′)× [x′ ·∇B(0)] .

Duas observações relativas à expressão anterior: a primeira é queˆ

J(x′)d3x′ = 0,

como já provamos anteriormente para distribuições de correntes estacioná-rias. A segunda é que o campo na origem B(0) pode ser calculado da Eq.

B(x) = µ0

4π

ˆΓIdl′ × (x− x′)|x− x′|3

=⇒

B(0) = −µ0

4π

ˆΓIds× r′

|r′|3,

que não depende das variáveis de integração que aparecem na expansão daexpressão da força, bem como o operador ∇ que atua na posição onde ocampo é calculado, neste caso o 0. Isto significa que primeiro atuamos como operador para depois substituir o valor da posição que é a origem! Por istoo termos a contribuição não nula para a força será

F =ˆd3x′J(x′)× [x′ ·∇B(0)] .

O termo entre colchetes pode ser escrito em termo de um produto vetorialnotando que

x′ × [∇×B(0)] =∇ [x′ ·B(0)]− x′ ·∇B(0). (5.8.1)


Como o campo de indução B(0), é um campo externo5, ele satisfaz

∇×B(0) = 0,

e portanto a Eq. (5.8.1) fornece

x′ × [∇×B(0)] = 0 =∇ [x′ ·B(0)]− x′ ·∇B(0) =⇒∇ [x′ ·B(0)] = x′ ·∇B(0), (5.8.2)

permitindo que rescrevamos a expressão da força como

F =ˆd3x′J(x′)× [x′ ·∇B(0)]

=ˆd3x′J(x′)×∇ [x′ ·B(0)] .

Utilizando a identidade vetorial

∇× (ψa) =∇ψ × a + ψ∇× a,

com a = J e ψ = x′ ·B(0), teremos

∇× [x′ ·B(0)J(x′)] = [∇x′ ·B(0)]× J(x′) + x′ ·B(0):0

∇× J(x′)

F = −ˆd3x∇× [x′ ·B(0)J(x′)]

= −∇×ˆd3x [x′ ·B(0)J(x′)] .

Utilizando a Eq. (5.7.2) com o campo B no lugar do vetor x teremos que

F = −12∇×

ˆd3x [(J(x′)B(0) · x′ − x′B(0) · J(x′))]

= −12∇×

ˆV

[B(0)× (J× x′)] d3x′

= 12∇×

ˆV

[B(0)× (x′ × J)] d3x′

=∇× [B(0)×m] .

5De fato, na eletrostática vale a relação ∇ × B = µ0J,entretanto para um campoexterno, como neste caso, fora da região de fontes o rotacional se anula.


Dado que

∇× [B(0)×m] = B(0):0∇ ·m−m:0

∇ ·B(0) + m ·∇B(0)−B(0) ·:0∇m

e que

∇ (m ·B) = m ·∇B(0)+B(0) ·:0∇m+m×(

:0

∇×B(0))

+B(0)×:0

(∇×m) ,

teremos

F =∇× [B(0)×m] = m ·∇B(0)=∇ (m ·B) . (5.8.3)

entre as muitas, uma das aplicações características desta expressão é no cál-culo da força que atua em um feixe de átomos de prata em um campo deindução inomogêneo, ou seja no experimento de Stern-Gerlach . Desta ex-pressão obtemos diretamente a expressão para a energia de uma distribuiçãofinita de correntes em um campo de indução externo

U = −m ·B. (5.8.4)

A expressão para o torque sobre a distribuição de correntes pode ser obtidautilizando a Eq. (5.3.6)

N =ˆ

x′ × [J(x′)×B(0)] d3x′

=ˆ

[J(x′)x′ ·B(0)−B(0)x′ · J(x′)] d3x′.

O segundo integrando é nulo, isto por conta da densidade de corrente serestacionária. Para provar este resultado pode-se utilizar a identidade

∇ · (fJ) = J ·∇(f) + f∇ · J = J ·∇(f),

dado que ∇ · J = 0. A integral de volume desta expressão forneceˆV

∇ · (fJ)d3x =˛S

(fJ) · nda = 0 =ˆV

J ·∇(f)d3x,

válida para uma distribuição de correntes localizadas. Seja f = r2,então

∇ · (r2J) = J ·∇(r2) = Ji∂ir2

= 2Jixjδij = 2J · x


O teorema da divergência forneceˆV

∇ · (r2J)d3x =˛ (

r2J)· nda = 0,

para correntes localizadas. O primeiro termo na integral é o resultado per-sistente que temos nos deparado nos cálculos anteriores, por isto teremos

N =ˆV

J(x′)x′ ·B(0)d3x′

=[

12

ˆV

x′ × Jd3x′]×B(0) =⇒

N = m×B(0). (5.8.5)

5.8.1 Hamiltoniano de Interação HyperfinaComo um exemplo de aplicação da Eq.(5.8.4) discutiremos o limite não re-lativístico na equação de Dirac para o átomo de hidrogêneo.

A interação de um átomo, com um6 elétron, com um campo magnéticoexterno é denominada de efeito Zeeman e se levarmos em conta a o spindo elétron, o efeito é denominado de efeito Zeeman anômalo, tendo já sidotratada anteriormente.

Nosso objetivo atual é a compreensão da interação hyperfina que corres-ponde ao desdobramento das linhas espectrais do átomo, devido a interaçãodo momento magnético do elétron com o momento magnético do núcleo atô-mico. Este tratamento, [11], [12, 13, 14] não será exato mas bastante geral,como será visto ao longo do desenvolvimento do problema.

Novamente consideramos a equação de Dirac Eq. (5.7.25)

ı~∂ψ

∂t= −ı~cα ·∇ψ − eα ·Aψ + eΦψ +mc2γ0ψ

para um átomo com um único elétron. Vamos considerar a descrição re-lativística do elétron (partícula de Dirac) enquanto que o (núcleo) prótoné considerado uma fonte de campo no contexto da teoria de Pauli, ou sejapartícula com não relativística com spin 1/2 [15].

Consideramos o campo de um núcleo puntiforme de massa infinita comcarga Ze7 e momento magnético nuclear

µn = ~gnI. (5.8.6)6Consideramos somente átomos com um elétron. Certamente que a discussão pode ser

estendida à átomos com vários elétron, o que não é trivial Veja a referência [10].7A carga elementar e pode ser positiva, negativa ou nula, mas aqui vamos considerá-la

e < 0, posteriormente.


Os potenciais escalar e vetor neste caso serão

Φ(r) = Ze

r,A(r) = µn × r

|r|3, (5.8.7)

Valem algumas observações: a origem do referencial está no núcleo consi-derado de massa infinita8; a expressão do potencial segue diretamente daEq. (5.7.6); para fins de comparação é melhor reescrevermos a equação deDirac para um elétron com carga −|e| considerando o spinor consistindo doproduto de uma função temporal e outra espacial, como se pode fazer parapotenciais independentes do tempo.

Ψ(x) = φ(ct)ψ(r),

ondeφ(ct) = e−ı(Et)/~,

com o que conduz para a derivada temporal

ı~∂φ(ct)∂t

= Eφ(ct).

Com isto reescrevemos

E ′ψ = −ı~cα ·∇ψ − eα ·Aψ + eΦψ +mc2γ0ψ, (5.8.8)

com E ′ a energia relativística, da qual visando considerar o limite não rela-tivístico, subtraímos a energia de repouso9

E ′ = E +mc2, E mc2. (5.8.9)

Como feito anteriormente, consideramos o spinor de quatro componentes

ψ(r) =[ϕ(r)χ(r)

], (5.8.10)

composto de dois spinores de duas componentes. Note que agora os spinoresdependem somente das coordenadas espaciais, e isto estará subentendido nas

8Sendo a massa do próton consideravelmente, 4 ordens de grandeza, maior que a doelétron, está suposição se justifica e com isto torna-se desnecessária a utilização da Equaçãode Dirac para a descrição da dinâmica do próton.

9A expressão relativística para a energia é E′2 = p2c2 +m2c4que no limite não relativís-tico pode ser aproximada para E′ = mc2

√1 + (p2c2/m2c4) ∼ mc2 (1 + 1

2 (p2c2/m2c4))

=p2

2m +mc2.


equações posteriores. Utilizando as equações Eqs(5.8.9). (5.7.17), (5.7.24) e(5.7.27) na equação de Dirac independente do tempo, Eq. (5.8.8)teremos

(E +mc2)[ϕ(x)χ(x)

]=−ı~c

[0 σσ 0

]·∇

−e[

0 σσ 0

]·A + eΦ

[1 00 1

]+mc2

[1 00 −1

] [ϕ(x)χ(x)

]que corresponde as duas equações acopladas

(E +mc2)ϕ = cσ ·(−ı~∇− e

cA)χ+

(eΦ +mc2

)ϕ,

(E +mc2)χ = cσ ·(−ı~∇− e

cA)ϕ+

(eΦ−mc2

)χ,

que podem ser reescritas como

(E − eΦ)ϕ = cσ ·(−ı~∇− e

cA)χ,

(E − eΦ + 2mc2)χ = cσ ·(−ı~∇− e

cA)ϕ.

(5.8.11)

A segunda destas equações mostra claramente que a componente χ émenor que a componente ϕ por um fator da ordem de v/c ou seja, no limitenão relativístico

E − eΦ + 2mc2 ∼ 2mc2,

e

2mc2χ = cσ ·(−ı~∇− e

cA)ϕ =⇒

χ =cσ ·

(p− e

cA)

2mc2 ϕ

∼ cσ · p2mc2 ϕ = σ · v

2c ϕ.

Utilizando a Eq. (5.8.11) , isolamos a componente χda segunda equação esubstituímos na primeira, obtendo

(E − eΦ)ϕ = cσ ·(−ı~∇− e

cA) [ 1

(E − eΦ + 2mc2)

]cσ ·

(−ı~∇− e

cA)ϕ.

(5.8.12)Introduzindo a notação

1(E + |e|Φ + 2mc2) = 1

2mc21

(1 + E+|e|Φ2mc2 )

≡ k(r)2mc2 , (5.8.13)


reescrevemos a Eq. (5.8.12) como

(E − eΦ)ϕ = 12mσ ·

(−ı~∇− e

cA)k(r)σ ·

(−ı~∇− e

cA)ϕ =⇒

E − eΦ− 12mσ ·

[(ı~∇+ e

cA)]k(r)

[σ ·

(ı~∇+ e

cA)]

ϕ = 0,

onde identificamos o Hamiltoniano

(E −H)ϕ = 0,

H ≡ H(0) +H(1),

H(0) = eΦ + 12mσ · (ı~∇) k(r)σ · (ı~∇) ,

H(1) = 12m [σ · (ı~∇)] k(r)

[σ ·

(e

cA)]

+ 12m

[σ ·

(e

cA)]k(r) [σ · (ı~∇)]

+ 12m

[σ ·

(e

cA)]k(r)

[σ ·

(e

cA)].

Na aproximação não relativística que estamos considerando o último termopode ser desprezado porque depende do quadrado de v/c. De fato este termocorresponde a autointeração do campo, sendo relevante nas correções radio-ativas que não serão consideradas nesta análise. Desta forma o hamiltonianoaproximado que descreve a interação hyperfina será

HH(0) +H(1),

H(0) = eΦ + 12mσ · pk(r)σ · p,

H(1) = − 12m [σ · p] k(r)

[σ ·

(e

cA)]− 1

2m

[σ ·

(e

cA)]k(r) [σ · p] .

(5.8.14)O Hamiltoniano H(0) corresponde ao Hamiltoniano de um elétron em umcampo central contendo a energia cinética com correções relativísticas, a inte-ração Coulombiana e a interação spin órbita. Já O Hamiltoniano H(1)contémtermos de energia linear no momento magnético nuclear. O spinor ϕ é daforma

ϕ =[ϕ1ϕ2

]=[ϕ10

]+[

0ϕ2

],

correspondentes aos autoestados de spin

|+〉 =[10

],

|−〉 =[01

].


O primeiro termo de H(1)pode ser reescrito utilizando o comutador

[pi, k(r)] = −ı~∂k(r)∂xi

,

que fornece

p k(r) = k(r)p− ı~rr

dk(r)dr

,

como

12m [σ · p] k(r)

[σ ·

(e

cA)]

= e

2mc (σ · p) k(r) (σ ·A)

= e

2mcσ · [pk(r)] (σ ·A)

= e

2mcσ ·[k(r)p− ı~r

r

dk(r)dr

](σ ·A)

= ek(r)2mc (σ · p) (σ ·A)− ı~e

2mc1r

dk(r)dr

(σ · r) (σ ·A) .

Substituindo na expressão de H(1) teremos

H(1) = −ek(r)2mc (σ · p) (σ ·A) + ı~e

2mc1r

dk(r)dr

(σ · r) (σ ·A)

− ek(r)2mc (σ ·A) (σ · p) . (5.8.15)

Dado que(σ · a) (σ · b) = a · b + ıσ · (a × b) ,

podemos reescrever o Hamiltoniano anterior como

H(1) = −ek(r)2mc (p ·A + 2A · p)− ıek(r)

2mc σ · (p×A + A× p)

+ ı~e2mc

1r

dk(r)dr

(r ·A)− e

2mc~r

dk(r)dr

σ · (r×A) .

O fator 2 que multiplica o potencial vetor é devido à relação de comutação

p · (Aψ) = p ·Aψ + A · (pψ) ,

ou seja na expressão deH(1)o operador p opera somente no potencial vetor A.Substituindo a expressão explicita do potencial vetor Eq. (5.8.7) e calculando


separadamente cada contribuição teremos:

p ·A = p · µn × r|r|3

= −ı~∇ · µn × r|r|3

∇ · µn × r|r|3

=(∇ 1r3

)· (µn × r) + 1

r3∇ · (µn × r)

=

:

0f(r)r · (µn × r) + 1

r3

(µn ·

:0∇× r + r ·*0

∇×m)

= 0.

A · p = µn × r|r|3

· p = 1r3 (µn × r) · p

= 1r3 (r× p) · µn = L · µn

r3 ,

r ·A = r · µn × r|r|3

= 1r3

:0

r · (µn × r) = 0,

r×A = r× µn × r|r|3

= 1r3 r× (µn × r)

= 1r3

[µnr

2 − r (µn · r)],

p×A = −ı~B,

A× p = µn × r|r|3

× p = 1r3 (r× p)× µn = 0,

devido que∇× µn = 0.

Resumindo os resultados anteriores

p ·A = 0,

A · p = L · µnr3 ,

r ·A = 0,

r×A = 1r3

[µnr

2 − r (µn · r)],

p×A = −ı~B,A× p = 0.


O campo magnético B é o campo devido ao dipolo magnético do núcleo(próton), no CGS é

B(x) = 3 (µn · x) x− µn|x|3

= 3 (µn · r) r− µnr3 ,

na notação que utilizamos neste problema específico. Substituindo estes re-sultados na Eq. (5.8.15) do Hamiltoniano de interação obteremos

H(1) = −ek(r)2mc

(2L · µn

r3

)− ıek(r)

2mc σ ·[(−ı~) 3 (µn · r) r− µn

r3

]

− e

2mc~r

dk(r)dr

σ · 1r3

[µnr

2 − r (µn · r)]

= −e~γ~k(r)2mc

(2L · Ir3

)− ~2γ~ek(r)

2mc σ ·[

3 (I · r) r− Ir3

]

− e

2mc~r

dk(r)dr

σ · ~γ~r3

[Ir2 − r (I · r)

]= µBγ~

2k(r)

(L · Ir3

)+ 2k(r)

[3 (I · r) (r · S)− I · S

r3

]

+2µBγ~r

dk(r)dr

1r3

[S · Ir2 − (S · r) (I · r)

]= 2µBγ~ (h1 + h2) . (5.8.16)

Onde utilizamos o magneton de Bohr

µB ≡ −e~

2mec= |e|~

2mec. (5.8.17)

O magneton nuclear de um núcleon com spin 1/2 é

µN = e~2mpc

, (5.8.18)

e o momento magnético é definido como

µN = gµN~

I ≡ γI, (5.8.19)

onde (infelizmente a notação é confusa devido esta convenção) o fator giro-magnético nuclear é definido como a razão

γ ≡ gpµN~

= gpe

2mpc(5.8.20)


Figura 5.8.1: Comportamento da função k(r)

e definimos operadores h1 e h2 como

h1 = k(r)r3 [I · (L− S) + 3 (I · r) (r · S)] ,

h2 = k′(r)r2 [S · I− (S · r) (I · r)] ,

O hamiltoniano Eq. (5.8.16) é uma expressão bastante rigorosa no contextodo limite não relativístico aqui considerado, Eq. (5.8.9). Certos aspectos daestrutura molecular podem ser levados em conta para avaliarmo a contribui-ção da função k(r), Eq. (5.8.13). O comportamento desta função e de suaderivada estão esquematizado está esquematizado na Fig. (5.8.1).

O parâmetro r0 é definido como

r0 = e2

2mc2 ,

e vale 1, 4089 × 10−15m, ou seja é da ordem de 1fermi. Para o átomo dehidrogênio, o raio médio do estado fundamental ou raio de Bohr do átomode hidrogênio

a0 = ~2/mee2 = ~

mec

~ce2 = ~

mec

1α

= 3, 86× 10−13× 137, 036 = 5, 29× 10−11m

vale aproximadamente 0, 5 × 10−10m, portanto 5 ordens de grandeza maiorque o raio do próton.


A mudança entre os sistemas de unidades CGS e MKS (SI) pode serefetuada de forma prática comparando as expressões da lei de Coulombe a Força de Lorentz nos dois sistemas ou seja:

Unidades Gaussianas Unidades SIF = q1q2

r2 F = 14πε0

q1q2r2

F = q(E + v

c×B

)F = q (E + v×B)

Comparando estas expressões encontramos que a passagem do sistemaCGS −→SI é feita segundo as regras:

q −→ q√4πε0

, E −→√

4πε0E,B −→ c√

4πε0B =√

4πµ0B

A Fig. (5.8.1) indica que k(r) varia fortemente até distâncias da ordemde 4r0 tendendo a 0 quando r0 −→ 0, para distâncias maiores é praticamenteigual a unidade. Já a derivada da função, k′(r) varia fortemente nas proxi-midades do núcleo assumindo o valor máximo 1 em r0 = 0, já para valoresmaiores que 4r0 a função k′ praticamente se anula.

No cálculo dos autovalores de energia, efetuamos cálculos do tipoˆd3xψ∗(x) (h1 + h2)ψ(x).

A matriz densidadeρ = ψ∗ψ,

pode ser separada (via projetores) como

ρ = ρesf + ρnesf ,

correspondendo às contribuições esféricas e não esféricas da função de onda,em outras palavras ρesf contém somente estados esfericamente simétricoscom l = 0, denominados de estados-s, ρnesf contém estados com l 6= 0 nãoesféricos.

Considere a integral envolvendo h1

I1 =ˆ ∞

0r2drd

ˆdΩ [ρesf + ρnesf ]h1

=ˆ ∞

0r2dr

ˆdΩρesfh1

+ˆ ∞

0r2dr

ˆdΩρnesfh1.


Dado o comportamento da função k(r) é apropriado separarmos as integraisem dois termos: um envolvendo desde a origem até distâncias da ordem de4r0 ≡ εe o outro não, ou seja

I1 =ˆ ε

0r2dr

ˆdΩρesfh1 +

ˆ ∞r>ε

r2dr

ˆdΩρesfh1

+ˆ ε

0r2dr

ˆdΩρnesfh1 +

ˆ ∞r>ε

r2dr

ˆdΩρnesfh1.

Na região r > ε a função k(r) pode ser substituída por 1 convertendo asegunda e quarta integral em

ˆ ∞r>ε

r2dr

ˆdΩρesfh1 =

ˆ ∞r>ε

r2dr

ˆdΩρesf

1r3 [I · (L− S) + 3 (I · r) (r · S)] .

Para calcularmos esta integral escrevemos os produtos internos em forma dediádicas

120 CAPÍTULO 5. MAGNETOSTÁTICA'

&

$

%

Resumo dos resumos. Uma diádica pode ser representada de três formasdistintas, todas com o mesmo significado. Seja a e b em 3− d,então

A = ab = (axi + ayj + azk) (bxi + byj + bzk)= axbxii + axbyij + axbzik+ aybxji + aybxjj + aybzjk+ azbxki + azbykj + azbzkk,

ou, mudando a notação,

A = ab ≡ abT = a ⊗ b =

a1a2a3

(b1 b2 b3)

=

a1b1 a1b2 a1b3a2b1 a2b2 a2b3a3b1 a3b2 a3b3

Note que ab 6= ba e que a diádica identidade é

I = ii + jj + kk ≡

1 0 00 1 00 0 1

.Muito poucas operações . Seja A uma diádica genérica, ou seja

A =

A11 A12 A13A21 A22 A23A31 A32 A33

e a um vetor genérico, então

A · a = A11a1i + A21a1j + A31a1k+ A12a2i + A22a2j + A32a2k+ A13a3i + A23a3j + A33a3k= (A11a1 + A12a2 + A13a3) i+ (A21a1 + A22a2 + A23a3) j+ (A31a1 + A32a2 + A33a3) k,

que é um vetor. Note queA · a 6= a · A.

O produto interno com a diádica unidade resulta

a · I ≡ (axi + ayj + azk) · (ii + jj + kk)= axi + ayj + azk = a.


−I · S + 3 (I · r) (r · S) = I · [3rr− I] · S

= I ·[3rrr2 − I

]· S

na qual desprezamos a interação spin-órbita frente a interação spin-núcleo.A integralˆ ∞r>ε

r2dr

ˆdΩρesf

1r3 [I · (L− S) + 3 (I · r) (r · S)] =

ˆ ∞r>ε

r2dr

ˆdΩρesf

1r3 I ·

[3rrr2 − I

]· S

=ˆ ∞r>ε

r2drρesf1r3

ˆdΩI ·

[3rrr2 − I

]· S

= 0,

já que

ˆdΩI ·

[3rrr2 − I

]· S =

ˆdΩI ·

3

sen2θ cos2 φ sen2θ cosφsenφ senθ cosφ cos θsen2θ cosφsenφ sen2θsen2φ senθsenφ cos θsenθ cosφ cos θ senθsenφ cos θ cos2 θ

−1 0 0

0 1 00 0 1

· S.

Dado que a matriz dos ângulos é simétrica calculamos os elementos diagonais:ˆdΩsen2θ cos2 φ =

ˆ π

0sen3θdθ

ˆ 2π

0cos2 φdφ

=[

cos3 θ

3 − cos θ]π

0

[φ

2 −sen(2φ)

4

]2π

0

=[(−1

3 + 1)−(1

3 − 1)]

[π]

= 4π3 ;

ˆdΩsen2θsen2φ =

ˆ π

0sen3θdθ

ˆ 2π

0sen2φdφ

= 43

ˆ 2π

0sen2φdφ

= 43

[φ

2 + sen(2φ)4

]2π

0

= 4π3 ;


ˆdΩ cos2 θ =

ˆ π

0senθ cos2 θdθ

ˆ 2π

0dφ

= −13 cos3 θ

∣∣∣∣π0

2π

= 4π3 .

Os elementos fora da diagonal sãoˆdΩsen2θ cosφsenφ = 0,ˆdΩsenθ cosφ cos θ = 0,ˆdΩsenθsenφ cos θ = 0,

porque todas são funções ímpares. A integral se resume àˆdΩI ·

[3rrr2 − I

]· S = I ·

3

4π3 0 00 4π

3 00 0 4π

3

− 4π

1 0 00 1 00 0 1

· S

= 0.

A integração na vizinhança do núcleo pode ser aproximada comoˆ ε

0r2dr

ˆdΩρesfh1 ∼ ρesf

ˆ ε

0r2dr

ˆdΩh1,

devido que nesta região a função de onda do elétron é praticamente constante.Note que os cálculos anteriores foram efetuados sobre as variáveis angularesda densidade de probabilidade ρ probabilidade e que o resultado nulo obtidoé independente das propriedades radiais das densidade de probabilidade. Ouseja a contribuição nula para esta integral independe de quão pequeno éo valor do parâmetro ε. Isto significa que a contribuição para a integralna origem do sistema de coordenadas pode ser calculada considerando-selim ε −→ 0 nas integrais, ou seja

limε−→0

I1 = limε−→0

ˆ ε

0r2dr

ˆdΩρesfh1 +

:0limε−→0

ˆ ∞r>ε

r2dr

ˆdΩρesfh1

= limε−→0

ρesf (0)ˆ ε

0r2dr

ˆdΩh1

= limε−→0

ρesf (0)k(0)ˆ ε

0

r2

r3dr

ˆdΩ [−I · S + 3 (I · r) (r · S)] .


Dado que (veja as equações Eqs. (5.7.6) e (5.7.7))

−∇ ·(

IS · rr2

)= [−I · S + 3 (I · r) (r · S)]

r3 ,

reescrevemos a integral anterior como

limε−→0

I1 = limε−→0

ρesf (0)k(0)ˆdv∇ ·

(−I

S · rr2

)

= limε−→0

ρesf (0)k(0)˛S

da ·(−I

S · rr2

)

= − limε−→0

ρesf (0)k(0)˛S

dar · IS · rr2 .

Fazendo esta integração obtemos

˛S

da · IS · rr2 =

˛S

r2senθdθdφI · r r · Sr2

=ˆ

senθdθdφI · rr · S

=ˆ

senθdθdφI · (rr) · S

= I ·

4π3 0 00 4π

3 00 0 4π

3

· S= 4π

3 I · S,

seguindo portanto que

limε−→0

I1 = − limε−→0

ρesf (0)k(0)4π3 I · S −→ 0.

Conclusão: o valor esperado do operador h1 é nulo para as autofunçõesesféricas (l = 0). Para estados não esféricos, a contribuição na origem podeser descartada (a função de onda anula-se na origem), sendo que as contri-buições principais são provenientes de regiões da ordem de centenas de r0 nasquais k(r) = 1. Desta forma para estados não esféricos a contribuição do


operador h1 será

limε−→0

I1 = limε−→0

ˆ ε

0r2dr

ˆdΩρnesfh1 + lim

ε−→0

ˆ ∞r>ε

r2dr

ˆdΩρnesfh1

= limε−→0

ˆ ε

0r2dr

ˆdΩ:0ρnesfh1 + lim

ε−→0

ˆ ∞r>ε

r2dr

ˆdΩρnesf

k(∞)r3 [I · (L− S) + 3 (I · r) (r · S)]

= limε−→0

ˆ ∞r>ε

r2dr

ˆdΩρnesf

1r3 [I · (L− S) + 3 (I · r) (r · S)] ,

(5.8.21)

que representa o termo dipolar no operador de Hamilton h1 contribuindosomente para estados não esféricos com a origem excluída. Note que o zeronesta discussão é relativo! Ou seja o zero nas autofunções de Dirac é bemmenor que o zero nas autofunções de Schrodinger!

Considere a integral envolvendo h2,o termo de contato de Fermi

I2 =ˆ ∞

0r2drd

ˆdΩ [ρesf + ρnesf ]h2

=ˆ ∞

0r2dr

ˆdΩρesfh2 +

ˆ ∞0

r2dr

ˆdΩρnesfh2

=ˆ ∞

0r2dr

ˆdΩρesf

k′(r)r2 [S · I− (S · r) (I · r)] +

ˆ ∞0

r2dr

ˆdΩρnesf

k′(r)r2 [S · I− (S · r) (I · r)] . (5.8.22)

Uma característica importante nesta equação é que I2 depende da derivadada função k(r). Esta função tem o seguinte comportamento, como pode serestimado do gráfico

k′(r) =0, r 6= 0,6= 0 r = 0,

sendo que ˆ ∞0

drk′(r) = k(∞)− k(0) = 1− 0 = 1,

e ˆ ∞0

k′(r)r2 r2drdΩ = 4π =⇒ 1

4π

ˆ ∞0

k′(r)r2 r2drdΩ = 1,

e dado que a definição da função delta forneceˆV

δ(r)r2senθdrdθdφ = 1,


pode-se representark′(r)r2 −→ 4πδ(r), (5.8.23)

sendo o fator 4π necessário porque o lado esquerdo desta equação não contémo angulo sólido. Substituindo a Eq. (5.8.23) na Eq. (5.8.22) teremos

I2 =ˆ ∞

0r2dr

ˆdΩρesf4πδ(r) [S · I− (S · r) (I · r)] +

ˆr2dr

ˆdΩ:0ρnesf4πδ(r) [S · I− (S · r) (I · r)]

=ˆ ∞

0r2dr

ˆdΩρesf4πδ(r) [S · I− (S · r) (I · r)] ,

porque os termos não esféricos não contribuem nas regiões próximas ou naorigem devido a presença da função delta de Dirac na origem! Desta formasomente estados s contribuem para o termo de contato de Fermi. Dado queρesf não possui dependência angular, a equação anterior pode ser reescritacomo

I2 =ˆ ∞

0r2drρesf

ˆdΩδ(r) [S · I− (S · r) (I · r)]

=ˆ ∞

0r2drρesfδ(r)

ˆdΩS ·

[I− rr

r2

]· I,

Calculando a integração angularˆdΩS ·

[I− rr

r2

]· I =

ˆ 2π

0dφ

ˆ π

0senθdθ

S ·

1 0 0

0 1 00 0 1

− sen2θ cos2 φ sen2θ cosφsenφ senθ cosφ cos θsen2θ cosφsenφ sen2θsen2φ senθsenφ cos θsenθ cosφ cos θ senθsenφ cos θ cos2 θ

· I

= S ·

4π

1 0 00 1 00 0 1

−

4π3 0 00 4π

3 00 0 4π

3

· I

= 4πS ·

23 0 00 2

3 00 0 2

3

· I = 8π

3 S · I,

que substituída na equação de I2 resulta em

I2 =ˆ ∞

0r2drρesfδ(r)

8π3 S · I. (5.8.24)

A contribuição do operador h2 fornece a interação dipolo-dipolo coincidentesna origem do sistema de coordenadas. Temos portanto identificado todos ostermos do Hamiltoniano, Eq. (5.73) da referência [1]


5.8.2 Autofunções radiais e o Deslocamento Hiperfino

A função de onda do elétron, solução da equação de Dirac, varia apreciavel-mente para distâncias da ordem de grandezas atômicas, já para distâncias daordem da ordem das dimensões nucleares ou seja desde 1 até 100fermis (Noteque mesmo para 100fermi o núcleo é ainda 3 ordens de grandeza menor queo átomo) a função de onda é praticamente constante.

Para tornar esta discussão mais concreta, apresentamos[10] as autofun-ções solução da equação de Dirac 10.

Para j = l + 1/2.

u1 = g(r)√l +m+ 1/2

2l + 1 Yl,m−1/2(θ, ϕ),

u2 = −g(r)√l −m+ 1/2

2l + 1 Yl,m+1/2(θ, ϕ),

u3 = −ıf(r)√l −m+ 3/2

2l + 1 Yl+1,m−1/2(θ, ϕ),

u4 = −ıf(r)√l +m+ 3/2

2l + 1 Yl+1,m+1/2(θ, ϕ).

Para j = l − 1/2.

u1 = g(r)√l −m+ 1/2

2l + 1 Yl,m−1/2(θ, ϕ),

u2 = g(r)√l +m+ 1/2

2l + 1 Yl,m+1/2(θ, ϕ),

u3 = −ıf(r)√l +m− 1/2

2l + 1 Yl+1,m−1/2(θ, ϕ),

u4 = ıf(r)√l −m− 1/2

2l + 1 Yl+1,m+1/2(θ, ϕ).

onde as autofunções normalizadas f e g são

10Veja as Eqs.(14.7, 14.8) e Eq.(14.37) desta edição.


f = −

√Γ(2γ + n′ + 1)

Γ(2γ + 1)√n′!

√1− ε

4N (N − κ)

( 2ZNa0

)3/2e− ZrNa0

( 2ZrNa0

)γ−1×[

n′F (−n′ + 1, 2γ + 1, 2ZrNa0

) + (N − κ)F (−n′, 2γ + 1, 2ZrNa0

)]

g = −

√Γ(2γ + n′ + 1)

Γ(2γ + 1)√n′!

√1 + ε

4N (N − κ)

( 2ZNa0

)3/2e− ZrNa0

( 2ZrNa0

)γ−1×[

−n′F (−n′ + 1, 2γ + 1, 2ZrNa0

) + (N − κ)F (−n′, 2γ + 1, 2ZrNa0

)]

onde

κ = ± αZ√1− ε2

− (l + 1) se j = l + 12 ,

l se j = l − 12 ,

γ = ±√κ− α2Z2

ε = E

E0= 1√

1 +(

αZn−k+

√k2−α2Z2

)2,

n ≡ n′ + 12 ,

k = |κ| = j + 12 ,

N =√n2 − 2n′

(k −√k2 − α2Z2

),

α = e2

~c.

Os gráficos seguintes esboçam o comportamento de algumas autofunçõescom relação a distância radial r medida em unidade αa0 = 5, 29×10−11m[16].

Todos estados com k = 1exibem uma divergência fraca nas funções radiaisf e g em r = 0, porém de quadrado integrável. Este é um comportamentotípico de funções de onda relativísticas.

Como um exemplo específico apresentamos o spinor do estado 1s consi-


Figura 5.8.2: função de onda radial normalizada multiplicada por r para oestado 1s1/2e Z = 28. A abcissa é expressa em r/(~/mec) e o subscrito nrrefere-se à função de onda não relativística.

Figura 5.8.3: Estado 2s1/2


Figura 5.8.4: Estado 2p1/2

Figura 5.8.5: Estado 2p3/2


dere 11

ψn=1, j= 12 , s=

12

= 1√4π

( 2a0

)3/2√ 1 + γ

2Γ(1 + 2γ)

(2ra0

)γ−1e− ra0

10

ı(1−γ)α

cos θı(1−γ)α

sin θeıϕ

,(5.8.25)

ψn=1, j= 12 , s=−

12

= 1√4π

( 2a0

)3/2√ 1 + γ

2Γ(1 + 2γ)

(2ra0

)γ−1e− ra0

01

ı(1−γ)α

sin θe−ıϕ− ı(1−γ)

αcos θ

,(5.8.26)

ondeγ =√

1− α2, Z = 1.No limite não relativístico γ −→ 1 o spinor correspondente à partícula sereduz a autofunção de Schrodinger, enquanto que o spinor correspondente aantipartícula vai a zero.

Reescrevendo a expressão para os autovalores de energia como

En = mc2√1 +

(αZ

n−(j+ 12 )+√

(j+ 12 )2−α2Z2

)2. (5.8.27)

Na classificação dos autovalores de energia expressos na Eq. ((5.8.27)) costuma-se utilizar a notação espectroscópica não relativística, ou seja pelo númeroquântico l (momento angular orbital), e número quântico de momento angu-lar total j.Na tabela seguinte listamos alguns valores

n l j Enj

1s1/2 1 0 1/2 mc2√1− Z2α2

2s1/2 2 0 1/2 mc2√

1+√

1−Z2α2

2

2p1/2 2 1 1/2 mc2√

1+√

1−Z2α2

22p3/2 2 1 3/2 mc2

2

√4− Z2α2

Os estados 2s1/2 e 2p1/2 são degenerados os quais correspondem aos au-toestados de paridade opostas com os mesmos n j, ou seja

j = 12 =

l + 1/2, l = 0, para autofunção par,l − 1/2, l = 1, para funções ímpares.

11Veja a ref. [10], particularmente as Eq.(14.39) e Eq. (14.40)


Figura 5.8.6: Níveis de energia do átomo de hidrogêneo

O estado 3p3/2 possui maior energia que o estado 2p1/2. A diferença de energiasendo aproximadamente [

mc2(Zα)4] (

1 +O(Zα2))

tem como causa a interação spin-órbita, que é denominada se separação deestrutura fina. É muito interessante comparar os resultados teóricos com asobservações experimentais para o átomo de hidrogênio H. Os resultados sãocoletados na figura Fig. ((5.8.6))

Nesta figura destacamos a separação hiperfina decorrentes da interaçãospin-spin entre elétron atômico e próton, a separação fina decorrente do aco-plamento spin-órbita e o deslocamento Lamb-schift decorrente da interaçãodo elétron com o campo de radiação quantizado. Uma discussão mais deta-lhada destes efeitos pode ser encontrada nas referências [10, 9, 4][17]. Umacaracterística da interação hiperfina é a separação das linhas em dubletosresultantes da composição do momento angular total (orbital e intrínseco)


do elétron com o spin do próton. A magnitude desta interação pode ser cal-culada utilizando o termo de interação spin-spin do hamiltoniano h2 expressona equação Eq. (5.8.24)

I2 =ˆ ∞

0r2drρesfδ(r)

8π3 S · I = ρesf (0)8π

3 S · I,

donde temos que

∆E = 2µBγ~ |ψnj(0)|2⟨l,

12

∣∣∣∣S · I ∣∣∣∣l, 12

⟩.

Dado que J = S + I

S · I = 12(J2 − S− I2

)⟨l,

12

∣∣∣∣S · I ∣∣∣∣l, 12

⟩=⟨l,

12

∣∣∣∣ 12(J2 − S2 − I2

) ∣∣∣∣l, 12

⟩= ~2

2 [j(j + 1)− s(s+ 1)− I(I + 1)]

= ~2

2

[j(j + 1)− 3

2

]=−

3~2

4 , j = 0, para o singleto,~2

4 , j = 1, para o tripleto.

A título de estimativa, calculamos diferença de energia para o estado funda-mental utilizando as autofunções solução da equação de Schrodinger12

δE = 2µBγ~ |ψnj(0)|2 8π3

(~2

4 + 3~2

4

)

= 16π3 µBγ~ |ψnj(0)|2 ~2

= 16π3

e~2mec

gpe

2mpc~

14π

( 2a0

)3 12~

2

= 23e2~4gp

4mempc2

(2mecα

~

)3

= 12mec

2α2[

83gpα

2(me

mp

)], (5.8.28)

que é reduzida pela ração me/mp com relação ao deslocamento da energia deestrutura fina.

12Para um cálculo exato utilizando os spinores de Dirac, veja a ref. [16]

Capítulo 6

Potencial Retardados

IntroduçãoA ser escrito

6.1 Propriedades de Funções RetardadasO objetivo desta seção é o de introduzir uma notação apropriada para ocálculo de campos retardados, destacando as operações com o operador dife-rencial nabla.

Utilizamos a notação [] para indicar o “simbolo retardado” ou seja quandoo argumento deste simbolo contiver uma função, ela deverá ser calculada notempo retardado. Mais explicitamente, seja

f = f(x′, y′, z′, t′),

r =√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2,

t′ = t− r

c.

(6.1.1)

Estas funções geralmente ocorrem no integrando de campos retardados quedependem de distribuições de fontes causais, ou seja em campos do tipo

V(x, y, z, t) =ˆV

f(x′, y′, z′, t)r

dv′,

V(x, y, z, t) =ˆV

f(x′, y′, z′, t− r/c)r

dv′.

(6.1.2)

Na primeira integral, o campo V medido no tempo t é devido fontes tambémno tempo t, ou em outras palavras, na primeira expressão o valor do inte-grando é o que o integrando assume no mesmo momento em que o campo

133

134 CAPÍTULO 6. POTENCIAL RETARDADOS

V está sendo determinado (medido). Na segunda integral, o valor do inte-grando é o que o integrando assume em um tempo anterior t′ = r − r/c, aotempo t em que o campo está sendo determinado (medido). Campos comeste comportamento são chamados de campos retardados.

Quando da aplicação do operador diferencial ∇nestes campos, devemostem em conta que ele opera não somente na dependência explicita da função fnas coordenadas, mas também na dependência implicita via tempo retardadot′ que depende de r. Além disso devemos ter em conta que ∇pode operar

• nas coordenadas sem linha o que será indicado por ∇,

• nas coordenadas com linha o que será indicado por ∇′,

• ∇ pode operar na função retardada mantendo-se t constante,

• ∇ pode operar na função retardada mantendo-se t′ constante.

Devido à todas essas possibilidades estabelecemos a seguinte notação

∇atua nas coordenadas do campo,

∇′atua nas coordenadas das fontes,

[∇f ] ou [∇′f ] atua considerando-se t− r/c constante

∇ [f ] ou∇′ [f ] atua considerando-se t constante.

Como um exemplo calculamos a operação

∂x′ [X]y′,z′,t ,

ondeX = X(x′, y′, z′, t′) = X(x′, y′, z′, t− r/c).

A notação utilizada indica que a derivada parcial é calculada considerando-sey′, z′, t constantes e X é um campo escalar ou vetorial calculado no temporetardado, ou seja [X]. Desta forma teremos

∂x′ [X]y′,z′,t = ∂ [X]∂x′

∣∣∣∣∣y′,z′,t−r/c

+ ∂ [X]∂ (t− r/c)

∣∣∣∣∣x′,y′,z′

∂ (t− r/c)∂x′

.

Para esclarecer a notação observamos que no primeiro termo, [X] é umafunção das coordenadas x , x′ e do tempo retardado t−r/c e a notação |y′,z′,tindica que a derivada é efetuada considerando-se y′, z′, e t, na expressãot− r/c, constantes.

6.1. PROPRIEDADES DE FUNÇÕES RETARDADAS 135

No segundo termo a derivada parcial na variável t− r/c é calculada comx′, y′, z′constante, como a dependência nestas variáveis é via a função r, po-demos considerar a derivada como

∂ [X]∂ (t− r/c)

∣∣∣∣∣x′,y′,z′

−→ ∂ [X]∂ (t)

∣∣∣∣∣x′,y′,z′

justamente porque não há derivada com relação às coordenadas com linhadas quais r é função.

O último termo pode ser facilmente calculado, fornecendo

∂ (t− r/c)∂x′

= −1c

∂r

∂x′= −1

c

∂√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

∂x′= x− x′

cr.

Calculando as derivadas parciais nas outras coordenadas e escrevendo o re-sultado na forma vetorial, teremos

∇′ [X] = [∇′X] + rcr

∂ [X]∂t

(6.1.3)

= [∇′X] + rc

∂ [X]∂t

.

Considere o cálculo análogo para as coordenadas sem linha

∂x [X]y′,z′,t =

0∂ [X]∂x

∣∣∣∣∣y′,z′,t−r/c + ∂ [X]∂ (t− r/c)

∣∣∣∣∣x,y,z

∂ (t− r/c)∂x

.

O primeiro termo do segundo membro é nulo porque X não depende ex-plicitamente das variáveis x, y, z, já no terceiro termo podemos fazer comoanteriormente a derivada somente no tempo porque para x, y, z constantesfará com que reste somente a variável t. O último termo pode ser calculado,fornecendo

∂ (t− r/c)∂x

= −1c

∂r

∂x= −1

c

∂√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

∂x= −x− x

′

cr.

Colecionando todos estes resultados encontramos que

∇ [X] = − rcr

∂ [X]∂t

= r′c

∂ [X]∂t

(6.1.4)

Utilizando as Eq. (6.1.3) e Eq. (6.1.4) pode-se escrever que

∇′ [X] = [∇′X]−∇ [X] ,

ou[∇′X] = ∇′ [X] +∇ [X] (6.1.5)

136 CAPÍTULO 6. POTENCIAL RETARDADOS

Capítulo 7

Comentários e Complementosdos Problemas Propostos

7.1 Problema 2.2Considere o arranjo composto de uma esfera condutora aterrada e de raioa, centrada na origem do sistema de coordenadas, com uma carga q a umadistância y < a da origem do sistema de coordenadas. Veja a Fig (7.1.1)

Para fins de comparação, utilizamos a mesma notação do livro texto. Opotencial no interior da esfera (região onde não há carga imagem!) pode serobtido por superposição linear, sendo

Φ(x) = 14πε0

[q

|x− y|+ q′

|x− y′|

]

= 14πε0

[q

|xn− yn′|+ q′

|xn− y′n′|

].

Note que esta equação é exatamente a equação (2.2) do livro texto, portantotodos os resultados lá obtidos são válidos tendo-se o cuidado que:

• Na configuração da Fig. (7.1.1) o vetor posição do observador estádefinido para x ≤ a, como também a posição da carga.

• A densidade superficial de cargas induzidas na superfície da esfera podeser calculada como

(E2 −E1) · n = 4πσ,

expressão que pode ser obtida da aplicação da Lei de Gauss do arranjogeométrico da Fig.

137

138CAPÍTULO 7. COMENTÁRIOS E COMPLEMENTOS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS

q’

a

xyg

y’

y

y’

q

Figura 7.1.1: Geometria da esfera carga interior: Método Imagem

7.1. PROBLEMA 2.2 139

Figura 7.1.2: Condições Contorno Vetores Campo Elétrico


Neste caso o campo não nulo é o vetor E1e segue que

E1 · n = −4πσ.

Todos os resultados são os mesmos, considerando as observações anteriores.Considere a esfera condutora descarregada e isolada. Sabemos

que a presença de uma carga externa 1 induzirá uma carga na superfície daesfera que não será uniformemente distribuída dado que a carga externa épuntiforme e quebra a simetria do espaço exterior à esfera. Entretanto acarga total sobre a esfera continua sendo nula e na configuração de equilíbriopodemos considerar esta distribuição como uma carga proporcional não nulalocalizada no centro da esfera, de mesmo sinal da carga real no exterior daesfera. Isto porque a carga imagem que está localizada em y ≤ a possui sinaloposto ao da carga externa e sendo a carga total do sistema somente a cargaexterna q teremos obrigatoriamente que

q = q − |q′|+ |q′|. (7.1.1)

Esta decomposição, veja Fig. (7.1.3) nos permite tratar o potencial em umponto x no espaço exterior a esfera como um campo escalar resultante dasuperposição dos campos das três cargas:

Φ(x) = 14πε0

[q

|x− y|− |q′||x− y′|

+ |q′||x|

].

Se esta esfera possuir adicionalmente uma carga Q, a expressãopode ser prontamente reescrita com

Φ(x) = 14πε0

[q

|x− y|− |q′||x− y′|

+ Q+ |q′||x|

], (7.1.2)

uma vez que a carga Q distribuída uniformemente na superfície da esfera(equilíbrio) pode ser considerada como uma carga puntiforme Q em seu cen-tro, onde já havia uma carga |q′|.

Considere a carga q na presença de uma esfera mantida a umpotencial fixo V . O potencial de uma esfera condutora isolada mantida aum potencial fixo V é o mesmo (lei de Gauss) que o potencial de uma cargapuntiforme na origem do sistema de coordenadas, medido a uma distância ada origem, ou seja

V = 14πε0

Q

a=⇒ Q = 4πε0V a.

1Se a carga for interna será induzida uma densidade superficial de cargas no condutor,que pela lei de Gauss é exatamente igual à carga no interior da esfera.

7.1. PROBLEMA 2.2 141

q-q’q’

Figura 7.1.3: Carga na presença esfera condutora isolada


Neste caso a Eq. (7.1.2) deve ser modificada simplesmente se expressando acarga Q em termos do potencial V , ficando

Φ(x) = 14πε0

[q

|x− y|− |q′||x− y′|

+ 4πε0V a

|x|

]

= 14πε0

[q

|x− y|− |q′||x− y′|

]+ V a

|x|. (7.1.3)

Note que na superfície da esfera os dois primeiros termos se anulam e opotencial reduz-se ao esperado. Veja também que o potencial V englobaa carga induzida cuja contribuição, no comentário anterior, foi levada emconta considerando-se a carga imagem localizada na origem do sistema decoordenadas a qual coincide com o centro da esfera. O que eu quero dizer éque V a = 1

4πε0(Q+ |q′|).

7.2 Problema 2.5Em termos gerais o cálculo da energia do sistema via integração da força nãoé problema. O trabalho realizado por um agente externo sobre a carga paradeslocá-la desde a posição A até a posição B numa região do espaço ondeexiste um campo externo é

W = −ˆ B

A

F · ds,

onde o sinal negativo leva em conta o trabalho realizado pelo agente externosobre a carga. Dado que a que atua sobre a carga é conhecia, o trabalho paradeslocar a c arga do ponto r > a até ∞ é simplesmente 2

W = −ˆ ∞r

F · ds = −ˆ ∞r

− 14πε0

q2

a2

(a

y

)3 (1− a2

y2

)u−2

· udy =

= 14πε0

q2

a2

ˆ ∞r

(a

y

)3 (1− a2

y2

)−2

dy = q2a

8πε0 (r2 − a2) . (7.2.1)

Vamos comparar este resultado com o resultado que segue da discussão doconceito de energia da seção 1.11 e da utilização do potencial

Φ(x) = 14πε0

q

|xn− yn′|− qa

y∣∣∣xn− a2

yn′∣∣∣ .

2A força é atrativa!

7.2. PROBLEMA 2.5 143

A energia potencial do sistema, conforme a equação Eq. (1.50) do livrotexto é

W = 14πε0

n∑i=1

∑j<i

qiqj|xi − xj|

= 14πε0

qq′

|x− y′ |

= 14πε0

q(− qa

r

)∣∣∣rn− a2

rn∣∣∣ = − q2

4πε0

1r∣∣∣rn− a2

rn∣∣∣

= − q2

4πε0

1r√r2 − 2a2 + a4

r2

= − q2

4πε0

[1√

r4 − 2a2r2 + a4

]

= − q2

4πε0

[1

(r2 − a2)

]. (7.2.2)

Este resultado foi obtido considerando-se x = y = r já que o campo deve sermedido na posição da carga q que está sendo deslocada desde o infinito atéo ponto r onde é medida a energia do sistema.

Este resultado difere daquele para a energia do sistema, e as diferençasentre as equações Eq. (7.2.1) e Eq. (7.2.2) ocorrem devido a que:

• o sinal negativo indica o trabalho realizado por um agente externo paradesassociar o sistema

• a perda do fator 1/2 no cálculo anterior sem levar em conta que aposição da carga imagem depende da posição da carga q.

Utilizando a equação acima para o potencial obteremos o mesmo resultado amenos do termo que diverge em x = y = r que é a contribuição da autoenergiado sistema.


Fazer um resumo adequado das solução da Equação de Dirac para o átomode H. Explicar que esta solução corresponde ao Hamiltoniano H(0).

Esclarecer os números quânticos orbitais e de spin para comparar as comoa distribuição de probabilidade angular se comporta na teoria relativística enão relativística.

testando uma equação numerada.

ı~∂ψ (.0.3)

Referências Bibliográficas

[1] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, John Wiley &Sons Inc., New York, USA, 1999.

[2] P. Morse, H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, Vol. I and II,Mack-Graw-Hill, Inc., New York, USA, 1953.

[3] M. P. Wolfgang K. H. Panofsky, Classical electricity and magnetism,2nd Edition, Dover Books on Physics, Dover Publications, 1962.

[4] J. J. Sakuray, Modern Quantum Mechanics, Addison Wesley PublishingCompany, New York, 1994.

[5] H. Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sci-ence, Dover Publications, Inc., New York, USA, 1989.

[6] M. P. do Carmo, Geometria Diferencial das Curvas e Superfícies, sextaEdition, SBM, 2014.

[7] F. Gross, Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, 1st Edi-tion, Wiley Science Paperback Series, John Wiley & Sons.

[8] D. B. Walter Greiner, Relativistic quantum mechanics: wave equations,3rd Edition, Springer, 2000.

[9] J. J. Sakurai, Advanced quantum mechanics, Addison Wesley, 1967.

[10] E. E. S. Hans A. Bethe, Quantum Mechanics of One-and-Two-ElectronAtoms, 1st Edition, Springer, 1977.

[11] E. Fermi, Über die magnetischen momente der atomkerne, Zeitschriftfür Physik 60 (5-6) (1930) 320–333.

[12] G. Breit, Possible effects of nuclear spin on x-ray terms, Physical Review35 (12) (1930) 1447–1451.

145

146 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[13] G. Breit, DERIVATION OF H Y P E R F I N E STRUCTURE FOR-MULAS, Phys. Rev. 37 (1929) (1931) 51.

[14] R. A. Frosch, H. M. Foley, Magnetic hyperfine structure in diatomicmolecules, Physical Review 88 (6) (1952) 1337–1349.

[15] S. M. Blinder, The Hype&e Interaction, Journal of Molecular Spectros-cop 5 (1960) 17–23.

[16] M. Rose, Relativistic Electron Theory, John Wiley & Sons, INC. NewYork, 1961.

[17] D. S. Bjorken J.D., Relativistic Quantum Mechanics, 1964.

Índice Remissivo

Aárea, 100átomo de hidrogêneo., 110

Ccálculo do campo elétrico sobre a su-

perfície esférica, 10campos retardados, 134

Ddensidade de momento magnético, 98diádicas, 119dipolo magnético, 98

Eefeito Zeeman, 110elétrico de um dipolo elétrico, 57elétron livre, 102equação de Dirac, 102

Fforça de Lorentz, 80

GGauge de Coulomb, 87

Iindução magnética, 73indução magnética de um dipolo mag-

nético, 98interação hyperfina, 110invariância de gauge, 87

LLaplaciano, 58

limite não relativístico, 111linear no momento magnético nuclear,

113

Mmagneton de Bohr, 116matrizes de Dirac, 102matrizes de Pauli, 103método imagem, 19momento magnético, 98, 101multipolo puro, 54

Pparâmetro r_0, 117potencial de um dipolo elétrico, 57potencial eletrostático, 18potencial vetor, 86

Rraio de Bohr, 117

Sseparação de estrutura fina, 131

Tteorema de adição dos harmônicos es-

féricos, 39Teorema de Green, 99teorema de Stokes., 86Teorema de Stokes Generalizado, 99teorema em funções dos polinômios

de Legendre, 40teorma de adição dos harmônicos es-

féricos, 33termo de contato de Fermi, 124

147

148 ÍNDICE REMISSIVO

Vvalor médio do potencial, 61vetores unitários em coordenadas es-

féricas, 58

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