ANLISE COMBINATRIA

PAGE 22

ANLISE COMBINATRIA

1. IntroduoA Anlise Combinatria trata basicamente dos problemas de contagem das possibilidades com que um acontecimento pode ocorrer.

Contar diretamente os possveis resultados de uma experincia , em geral, muito trabalhoso se as possibilidades so muito numerosas. Por isso desenvolveremos as chamadas tcnicas de contagem indireta.

A Combinatria estuda o nmero de possibilidades de ocorrncia de um determinado acontecimento, e seu estudo de grande interesse nos mais variados campos. O qumico o utiliza, ao estudar as possveis unies entre os tomos; o diretor de uma escola, ao distribuir os professores pelas classes; o diretor de trnsito, ao determinar quantos smbolos so necessrios para emplacar todos os automveis de seu Estado. Mas, geralmente, a Combinatria utilizada na indstria e na cincia em todos os nveis, associada Probabilidade e Estatstica.

2. Contagem Informal

2.1. Princpio fundamental:

Analisemos as seguintes situaes:

a) Ao jogarmos uma moeda poder ocorrer cara (K) ou coroa (C). Jogando-a novamente poderemos ter, outra vez, cara (K) ou coroa (C). Considerando o acontecimento formado pelos dois lanamentos sucessivos, podemos ter para resultado 2x2 possibilidades.

1 Lanamento 2 Lanamento Resultado

K (K,K)

K

C (K,C)

K (C,K)

C

C (C,C)

b) De quantos modos distintos podemos entrar numa casa com 2 portes e 3 portas?

O nmero de modos distintos

de entrarmos nesta casa

2x3 = 6.

c) Numa urna existem bolas vermelhas (V), pretas (P) e amarelas (A). Uma bola retirada, tem sua cor observada e devolvida urna. Qual o nmero de resultados possveis em trs extraes sucessivas?

1 Extrao 2 Extrao 3 Extrao Resultado

V VVV

V P VVP

A VVA

V VPV

V P P VPP

A VPA

V

VAV

A P VAP

A VAA

V PVV

V P PVP

A PVA

V PPV

P P P PPP

A PPA

V PAV

A P PAP

A PAA

V AVV

V P AVP

A AVA

V APV

A P P APP

A APA

V AAV

A P AAP

A AAA

O nmero de resultados possveis 27 ( 3 x 3 x 3 ).

2.2. "rvore de possibilidades":

O esquema mostrado acima chamado "rvore de possibilidades" . Ela ajuda na visualizao de quais e quantas so as possibilidades.

Vejamos mais alguns exemplos:

a) Da cidade A at a cidade B pode-se viajar de trem ou de navio.Existem duas companhias ferrovirias e duas de navegao. Em todas elas as passagens so de trs categorias: 1, 2 e turista. De quantos modos uma pessoa pode fazer sua escolha?

TREM NAVIO Companhia Classe Companhia Classe

1 1

C1 2 C1 2

turista turista

1 1

C2 2 C2 2

turista turista

A pessoa pode viajar de trem de 6 (2 x 3) modos ou de navio de 6 (2 x 3) modos. Ento, existem (2 x 3) + (2 x 3) isto 12 modos de se viajar de A at B.

b) Duas equipes de basquete (A e B) vo decidir um campeonato pelo sistema " melhor de trs ". Quantas so as possveis seqncias de resultados que determinam a campe?

VENCEDOR VENCEDOR VENCEDOR

1 Jogo 2 Jogo 3O Jogo

A AA

A A ABA

B

B ABB

A BAA

A

B B BAB

B BB

Temos 6 seqncias possveis de resultados (AA), (ABA), (ABB), (BAA), (BAB) e (BB). Nos casos (AA), (ABA) e (BAA), a equipe A ser a campe. Nos outros casos, a campe ser a equipe B.

A " rvore " foi til para verificarmos quais eram as possibilidades.

c) Quatro times vo disputar um quadrangular de futebol, jogando no mesmo local, cada um com os outros trs uma nica vez. Quantos jogos sero realizados?

B A x B *

A C A x C **

D A x D

A B x A *

B C B x C

D B x D

A C x A **

C B C x B

D C x D

A D x A

D B D x B

C D x C

Cada um dos quatros times faz trs jogos. O nmero total de jogos obtido multiplicando 4 por 3 e dividindo por 2, j que, por exemplo, o jogo do time A com o time B o mesmo que de B com A, devendo ser contado uma vez s. Portanto, o nmero de jogos

2.3. O princpio fundamental da contagem:

Se um acontecimento composto de p etapas sucessivas e:

n1 o nmero de modos de ocorrncia da 1 etapa;

n2 o nmero de modos de ocorrncia da 2 etapa;

...............................................................................;

...............................................................................;

...............................................................................;

np o nmero de modos de ocorrncia da p etapa; ento o acontecimento pode ocorrer de:

n1 - n2 - n3 ... np modos

Exerccios

01. Uma moeda lanada trs vezes. Qual o nmero de seqncias possveis de cara e coroa?

02. Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1, 2 e 3 lugares?

03. Uma pessoa lana uma moeda sucessivamente at que ocorram duas caras consecutivas, ou quatro lanamentos sejam feitos, o que primeiro ocorrer. Quais as seqncias de resultados possveis ?

04. Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?

05. Um edifcio tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa poder entrar no edifcio e sair por uma porta diferente da que usou para entrar?

06. Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poder ele se vestir com um terno, uma camisa e um par de sapatos?

07. De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionrio, cujas respostas para cada pergunta so: sim ou no?

08. Uma prova consta de 20 testes tipo Verdadeiro ou Falso. De quantas formas uma pessoa poder responder os 20 testes?

09. Quantos anagramas podemos formar, batendo ao acaso em 6 teclas (escolhidas entre as 26 existentes), numa mquina de escrever ? Entre eles consta o anagrama TECTEC?

10. Quantos nmeros de trs algarismos (iguais ou distintos) podemos formar com os dgitos 1, 2, 3, 7 e 8?

11. Temos um conjunto de 10 nomes e outro de 20 sobrenomes. Quantas pessoas podem receber um nome e um sobrenome, com estes elementos?

12. Seis dados distintos so lanados simultaneamente. Quantas seqncias de resultados so possveis, se considerarmos cada elemento da seqncia com o nmero obtido em cada dado?

13. Quantos nmeros telefnicos com sete dgitos podem ser formados, se usarmos os dgitos de 0 a 9?

14. Quantos automveis podem ser licenciados se cada placa contm duas letras e quatro dgitos?

15. Em determinada cidade os nmeros de telefones so constitudos de seis dgitos. Qual o aumento na quantidade disponvel de telefones, ao se passar para o sistema com 7 dgitos, supondo que o primeiro digito, nessa cidade, no pode ser zero?

16. Uma corrida disputada por n atletas. Quantas so as possibilidades de colocao nos trs primeiros lugares?

17. Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal de eixos Ox e Oy. Ele pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Quantas trajetrias ele pode percorrer se der exatamente quatro passos?

18. As letras em cdigo MORSE so formadas por seqncias de traos (-) e pontos (.), sendo permitidas repeties. Por exemplo:

(-; . ; - ; . ; . ). Quantas mensagens podem ser representadas:

a) usando exatamente trs smbolos?

b) usando no mximo oito smbolos?

19. Quantos divisores positivos tem o nmero 3 888?

20. Em um baralho de 52 cartas, cinco cartas so escolhidas sucessivamente. Quantas so as seqncias de resultados possveis:

a) se a escolha for feita com reposio?

b) se a escolha for feita sem reposio?

21. Duas pessoas, Ana e Ben, praticam um jogo, onde em cada partida h um nico vencedor. O jogo praticado at que um deles ganhe duas partidas consecutivas, ou quatro partidas tenham sido jogadas, o que ocorrer primeiro. Quais as seqncias possveis de ganhadores?

22. De quantos modos podemos colorir, em um mapa, os trs estados da regio Sul, dispondo de seis cores e devendo usar uma delas para cada estado?

23. Cinco cavalos disputam um preo. Qual o nmero de resultados possveis para os trs primeiros lugares?

24. Se seis cavalos disputam um preo, de quantos modos diferentes podem se classificar?

25. Um salo tem dez portas. Pergunta-se:

a) Quantas so as possibilidades de uma pessoa entrar por uma porta e sair pela outra?

b) Quantas so as possibilidades de uma pessoa entrar e sair?

26. Se n o nmero de portas de um salo, quantas so as possibilidades de entrarmos por uma delas e sairmos pela outra?

27. Para cadastrar seus clientes, uma empresa utiliza 5 dgitos. Os algarsmos utilizados so 9, 8, 7, 6 e 5. Quantos clientes podero ser cadastrados?

28. Existem quatro estradas de rodagem e trs de ferro entre as cidades X e Y. Quantos so os diferentes percursos para fazermos uma viagem de ida e volta, utilizando obrigatoriamente rodovia e ferrovia?

29. a) Quantas placas de automveis,( com letras e algarismos diferentes),formadas com duas letras e quatro algarismos podem ser feitos com as letras A, B e C, e os algarismos mpares?

b) Se mudarmos o "sistema" para 3 letras (A, B e C) com os mesmos nmeros, qual o aumento ocasionado no nmero de veculos licenciados?

30. Para se dirigir a uma cidade temos seis estradas com trnsito nos dois sentidos. Quantas so as maneiras que pode um carro entrar ou sair? E entrar e sair?

Respostas:

01) 8 02) 24 03) rvore 04) 7200 05) 56 06) 600 07) 212

08) 220 09) 266 - sim 10) 125 11) 200 12) 66 13) 107

14) 262 . 104 15) 8,1 . 106 16) n (n-1) (n-2) 17) 16 18) a) 8 b) 510

19) 30 20) a) 525 b) 52.51.50.49.48 21) rvore 22) 120

23) 60 24) 720 25) 90/100 26) n (n-1) 27) 3125

28) 24 29) a)720 b) 0 30) 12/363. Tcnicas de Contagem

3.1. Arranjos

Veremos agora a caracterizao dos diferentes tipos de "agrupamentos": arranjos, permutaes e combinaes. Se esses agrupamentos no possuem elementos repetidos, so chamados de agrupamentos simples; caso contrrio so ditos compostos ou com repetio.

Definio: Dado um conjunto E de n elementos, chamamos arranjos simples dos n elementos de E, tomados p a p, as seqncias formadas de p elementos distintos, escolhidos dentre os n elementos disponveis, diferindo pela ordem ou pela natureza de seus elementos.

Indicamos por

ou An,p que se l: arranjo de n, p a p.

Observao: p est sob a condio de 1 ( p ( n.

Exemplo: Se E = { a,b,c,d }, com a, b, c e d distintos, os arranjos desses 4 elementos tomados 1 a 1 so as seqncias:

a; b; c; d; ===> A4,1 = 4

1 fator

Se tomarmos esses 4 elementos 2 a 2, teremos:

(a,b) (a,c) (a,d) ; (b,a) (b,c) (b,d) ;

(c,a) (c,b) (c,d) ; (d,a) (d,b) (d,c) ( A4,2 = 4 x 3 = 12

2 fatores

Se arranjarmos esses 4 elementos 3 a 3, teremos:

abc abd acb acd adb adc

bac bad bca bcd bda bdc

cab cad cba cda cdb cbd

dab dac dba dca dbc dcb

A4,3 = 4 x 3 x 2 = 24

3 fatores

Nmero de ArranjosSejam n elementos e n posies numeradas de 1 a n. Vamos dispor esses n elementos nessas n posies, de tal forma que:

1) Todos ocupem a 1 posio;

2) Todos ocupem a 1 e 2 posies;

3) Todos ocupem a 1, 2 e 3 posies;

4) Todos ocupem a 1, 2, 3 e 4 posies;

.

.

.

p) Todos ocupem a 1, 2, 3, 4, ... e p-zima posies;

.

.

.

n) Todos ocupem a 1, 2, 3, 4,...,p-zima, ... e n-zima posies

Assim teremos:

An,1An,2An,3An,4... An,pAn,n

posices1234... pn

n agrup.nn(n-1)n(n-1) (n-2)n(n-1)(n-2)(n-3)n(n-1)(n-2)(n-3)...[n-(p-1)]n(n-1)(n-2)(n-3)...[n-(p-1)]...1

Portanto:

An,1 = n

An,2 = n(n-1)

An,3 = n(n-1)(n-2)

An,4 = n(n-1)(n-2)(n-3)

.

.

An,p = n(n-1)(n-2)...(n-p+1)

.

( I )

.

An,n = n(n-1)(n-2)...(n-p+1)...1

( II )

3.2. Fatorial ( ! )

Denomina-se fatorial de n, n ( N, ao produto de todos os nmeros naturais de 1 at n. Indica-se por: n! ou |n.

Exemplos: 7! = 1.2.3.4.5.6.7 = 5 040

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 20

3! 3!

n! = 1.2.3.4. .... . n

Observao: Por definio, o fatorial de zero 1, isto 0! = 1 .

Consideremos a expresso ( I ) acima:

An,p = n (n -1) (n -2)... (n - p+1)

Multiplicando e dividindo esta expresso por: (n - p). (n - p-1)... 1 , teremos:

=Desse modo, a expresso fica reduzida a:

An,p =

Exemplo: A4,3 =

Agora, vamos considerar a expresso (II) da pgina anterior:

An,n = n (n-1) (n-2) ... (n-p+1)... 1 = n !

Os arranjos que tm n = p so denominados permutaes de n, e indicados por Pn.

Pn = n !

An,n = Pn (

Exemplo: P7 = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040

Exerccios Resolvidos

01. Represente as expresses de forma mais simples, desenvolvendo os fatoriais:

a)

b)

c)

02. Resolver a equao: (x + 4 ) ! + ( x + 3 ) ! = ( x + 2 ) ! . 15

x2 + 4x + 3x + 12 + x + 3 = 15

= x2 + 8x = 0

= x1 = 0

= x2 = -8 (no convm; pois ( N)

S ={0}

E x e r c c i o s

31. Calcular:

32. Quantos nmeros compreendidos entre 100 e 1 000 so formados por algarismos diferentes entre si, escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5?

33. Quantos so os nmeros compreendidos entre 1 000 e 2 000, formados por 4 algarismos escolhidos entre 1, 3, 5, 7 e 9, distintos entre si?

34. Entre os arranjos ternrios das letras A, B, C, D e E, quantos contm a letra A?

35. Quantos nmeros de 5 algarismos se pode formar, de tal modo que tenham os trs primeiros algarismos mpares e os 2 ltimos pares, sem repetir nenhum algarismo?

36. Considerando os anagramas da palavra "repblica", pergunta-se:

a) Qual o total deles?

b) Quantos terminam em A?

c) Quantos comeam por R?

d) Quantos comeam por R e terminam por A?

e) Quantos comeam por consoante?

f) Quantos terminam em vogal?

g) Quantos comeam por consoante e terminam por vogal?

h) Quantos tem ICA juntas e nesta ordem?

i) Quantos tem ICA juntas em qualquer ordem?

j) Quantos tem ICA juntas nesta ordem, terminando o anagrama?

l) Quantos tem ICA juntas em qualquer ordem terminando o anagrama?

37. Formados e dispostos em ordem crescente todos os nmeros que se obtm permutando os algarismos 1,2,4,6 e 8, que lugar ocupa o nmero 68412?

38. Resolver a equao:

39. Mostre que:

a)

b) n! - (n-1)! = (n-1)! (n-1)

40. Resolver a equao: x (x + 1) . A16,x-1 = A16,x+141. Calcular:

42. Mostrar que: An-1,p + p. An-1,p-1 = n. An-1,p-143. Quantos so os nmeros de 3 algarismos, todos distintos, que existem no nosso sistema de numerao?

44. Cada linha telefnica nova formada por 7 algarismos, divididos em dois grupos: um formado pelos 3 algarismos que distingue os centros telefnicos, e outro por 4 algarismos que distingue as linhas do mesmo centro. Supondo que s os algarismos de cada grupo so distintos, quantas linhas telefnicas comeando com o nmero 2 podero ser lanadas?

45. De quantos modos distintos podem ser escritas as letras da palavra ALICE, tal que no estejam juntas duas vogais e duas consoantes?

46. Quantos nmeros compreendidos entre 3 000 e 4 000, formados por algarismos distintos, podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7?

47. Quantos nmeros mpares compreendidos entre 2 000 e 7 000, podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 6, 8 e 9, de modo que no figurem algarismos repetidos?

48. Dos nmeros inteiros compreendidos entre 1000 e 3000, quantos apresentam ao menos um algarismo repetido?

49. Quantos so os anagramas da palavra ROMA que no apresentam vogais juntas?

50. Formados e dispostos em ordem crescente os nmeros que se obtm permutando-se os algarismos 2, 3, 4, 8 e 9, que lugar ocupa o nmero 43892?

Respostas

31. (n-p)2 35. 1 200 37. 95o 44. 362 880

32. 60 36. a) 9! 38. 2

b) 8! 40. 8 45. 12

33. 24 c) 8!

d)7! 41. (n-4)2 46. 60

34. 36 e)5.8!

f)4.8! 43. 648 47. 84

g) 20.7! 48. 991

h) 7! 49. 12

i) 6.7! 50. 58

j) 6!

l) 6.6!

*******************************

Exerccios Gerais - Fixao / Recuperao

51. De quantos modos podemos colocar 6 livros em uma estante onde eles cabem exatamente?

52. De quantas formas 5 pessoas podem ficar em fila indiana?

53. Seis pessoas ficam em p, uma ao lado da outra, ao posarem para uma foto. De quantos modos podero se dispor, se duas delas devem ficar juntas?

54. Quantos anagramas da palavra PERNAMBUCO tm P, E e R juntas, em qualquer ordem? E nessa ordem?

55. Quantos so os anagramas da palavra PERMUTANDO?

56. De quantos modos 5 pessoas podem sentar em um banco de 5 lugares se duas delas querem ficar juntas?

57. Das permutaes das letras a, b, c, d, e, f, g e h, quantas comeam por a, b, c (em qualquer ordem) e terminam por f?

58. Uma famlia de 5 pessoas tem um carro de 5 lugares. De quantos modos podem se acomodar no carro se:

a) s uma delas sabe dirigir;

b) s duas delas sabem dirigir;

c) todas sabem dirigir.

59. Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas pessoas podem se sentar, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas?

60. O segredo de um cofre formado por 3 dgitos distintos. Qual o nmero mximo de tentativas que dever fazer uma pessoa para conseguir abr-lo?

61. Uma linha ferroviria tem 16 estaes. Quantos tipos de bilhete devem ser impressos, se cada tipo deve assinalar a estao de partida e de chegada respectivamente?

62. Obter o valor que pode ser asumido pela varivel x sabendo que

63. Quantas anagramas da palavra FILTRO comeam por consoante?

Respostas:

51. 720 52. 120 53. 240 54. a) 6.8! b) 8! 55. 10!

56. 48 57. 144 58. a) 24 b) 48 c) 120 59. 72

60. 720 61. 240 62. 6 63.480

******************************

3.3. COMBINAES

Conceituando Combinao:

Dados n elementos distintos de natureza qualquer, denominamos combinao desses n elementos de ordem ou classe p, p ( n, a todo agrupamento que pode ser formado tomando-se p dos n elementos dados, de tal forma que dois agrupamentos difiram pela natureza de seus elementos.

Indicamos por: Cn,p ou C

ou

e lemos: combinao de n, p a p.

Lei de formao - nmero de agrupamentos

Vejamos a seguinte situao: Temos um conjunto de 4 elementos a, b, c, d ou

seja A = {a,b,c,d}. Consideremos todos os seus subconjuntos diferentes do vazio:

{a} ; {b} ; {c} ; {d} C

= 4

{a,b) ; {a,c} ; {a,d} ; {b,c) ; {b,d) ; {c.d} C4,2 = 6

{a,b,c} ; {a,b,d} ; {a,c,d} ; {b,c,d} C

= 4

{a,b,c,d} C4,4 = 1

Consideremos, agora, todos os subconjuntos de A formados por 3 elementos isto C4,3:

{a,b,c,} ; {a,b,d} ; {a,c,d} ; {b,c,d}

Em cada um desses subconjuntos, permutaremos todos os elementos (P3) obtendo 24 agrupamentos:

a,b,c ; a,c,b ; b,a,c ; b,c,a ; c,a,b ; c,b,a

a,b,d ; a,d,b ; b,a,d ; b,d,a ; d,a,b ; d,b,a

a,c,d ; a,d,c ; ...

b,c,d ; b,d,c ; ...

Assim: 4 . P3 = 24 ( = A4,3 )

C

Portanto: C

. P3 = A

( C4,3 =

De um modo geral, teremos:

Cn,p =

ou Cn,p =

(

Exemplo: C7,3 =

*******************************

Exerccios

64. De um grupo de 12 alunos, deseja-se escolher trs para formar uma comisso. De quantos modos a comisso pode ser formada?

65. Quantos produtos de trs fatores se obtm com os fatores 2, 3, 5, 7 e 9?

66. Numa assemblia h 27 deputados: 21 governistas e os demais oposicionistas. Quantas comisses podemos formar com sete deputados, sendo quatro membros do governo e trs da oposio?

67. Tomam-se quatro pontos sobre uma reta s e sete pontos sobre uma reta t, paralela a s. Quantos quadrilteros existem com vrtices nos pontos considerados?

68. Numa classe h onze moas e sete rapazes. Quantas combinaes de cinco elementos podemos formar, de modo que em cada comisso as moas tenham maioria?

69. Sobre os lados de um tringulo marcam-se 3, 5 e 6 pontos respectivamente. Quantos tringulos com vrtices nesses pontos podemos formar?

70. Num plano, so dados 20 pontos, dos quais 3 nunca esto alinhados, exceto 5 deles que esto sobre uma mesma reta. Quantas retas esses pontos determinam?

71. Calcular: 0! + (

) + 20 .

72. Resolver a equao: Cx,9 + Cx,8 - Cx+1,9 = 0

73. Quantos produtos de 3 fatores distintos se obtm com os fatores 2, 3, 5, 7 e 11?

74. Quantas comisses de 5 membros se podem formar numa classe de 15 alunos?

75. Resolva a equao: C 19,x = 3.C19,x-176. Sabendo-se que

, calcular o valor de p.

77. Dado um conjunto de 7 pontos de uma circunferncia, quantos polgonos existem cujos vrtices pertencem ao conjunto?

78. Sobre uma reta marcam-se 10 pontos. Sobre outra reta, paralela primeira, marcam-se 8 pontos. Quantos tringulos obtm-se unindo trs quaisquer desses pontos?

79. Quantos conjuntos de 5 cartas, contendo exatamente 3 ases, podem ser extrados de um baralho de 52 cartas?

80. Calcular o nmero de diagonais de um polgono convexo de n lados.

81. Quantas diagonais tem um octgono convexo?

82. Calcular a soma A7,2 + C6,1 + C 11,10.

83. Calcular o valor da funo

para n = 8.

84. Resolver as equaes:

a) n! = 12 . ( n-2 ) ! b) (n+1) ! - n ! = 7n

(n-1)!

c) 2Cn,4 = Cn,n-2

85. Simplifique:

86. Obter o nmero de elementos de um conjunto, sabendo que ele tem 45 subconjuntos binrios.

Respostas

64. 220 71. 3 78. 640 85. 3 ( n-3 )

65. 10 72. x ( 9 79. 4512 86. 10

66. 119700 73. 10 80.

67. 126 74. 3003 81. 20

68. 5775 75. S = {5} 82. 59

69. 333 76. p = 1 83.

70. 181 77. 99 84. a ) { 4 }

b ) { 7 }

c ) { 5 }

*********************************

3.4. Permutao com Elementos Repetidos

Analisando a palavra ANA , desejamos obter todos os seus anagramas:

ANA ; AAN ; NAA

Observe que o nmero de anagramas da palavra ANA no P3, j que temos 1 elemento repetido ( a letra A ).

Vejamos agora os anagramas da palavra RAPADURA. Como RAPADURA tem letras repetidas (3 letras A e 2 letras R), vamos comear calculando quantas so as possibilidades de colocao das 3 letras A. Temos 8 posies e 3 letras, e portanto:

Colocadas as 3 letras A, vamos calcular quantas so as possibilidades de colocao para as duas letras R. Temos agora apenas 5 posies:

Fixadas as 3 letras A e as 2 letras R, vamos calcular as possibilidades de colocao das demais letras. Temos agora somente 3 posies e 3 letras:

P3 = 3!

Ento, o nmero de anagramas :

Este exemplo pode tambm ser visto como o nmero de permutaes de oito elementos. Mas, nesse caso, no se trata de permutaes simples (pois h 3 letras A e 2 letras R).

Vamos indicar o nmero dessas permutaes por

, onde o ndice inferior o nmero total de elementos, e cada um dos ndices superiores representa a quantidade de elementos repetidos. Observe ento que:

=

Da mesma forma, o nmero de anagramas da palavra CAPACIDADE, que tem 10 letras, com 3 letras A, 2 letras C e 2 letras D :

De um modo geral, o nmero de permutaes com elementos repetidos dado por:

****************************

E x e r c c i o s

87. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ANALTICA ?

88. Temos 3 bandeiras brancas e 3 vermelhas. Dispondo-as ordenadamente num mastro, quantos sinais podemos emitir?

89. Uma moeda lanada 20 vezes. Quantas seqncias diferentes de caras e coroas existem com 10 caras e 10 coroas?

90. Quantos nmeros de seis algarismos podemos formar permutando os algarismos 2, 2, 3, 3, 3 e 5?

91. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ESTATSTICA, terminando com A?

Respostas:

87. 30240 88. 20 89.

90. 60 91. 151200

****************************

Permutao Circular

Seja o problema: de quantas maneiras podemos dispor 4 pessoas ( a, b, c e d ) em torno de uma mesa circular?

Resolver esse problema determinar o nmero de permutaes circulares de 4 elementos distintos. Este nmero indicado por

.

Antes de explicarmos a origem dessa frmula, convm entender o que uma permutao circular. Quando percorremos a circunferncia no sentido anti-horrio, a partir de um mesmo elemento, encontrando seqncias iguais temos uma permutao circular idntica.

Por exemplo:

A

C B ACDB

D

B

A D ACDB

C

Vejamos como obter uma expresso que nos leve ao clculo das permutaes circulares:

b c

A

d

d

b b

c

c

A

A

b c

d

b

A

b

a c d

a P'2 = 1. P'1 c A

P'1 = 1 c b

d d b

c A

A

P'3 = 2. P'2

c c

b

d A

P'4 = 3. P'3

Notemos que:

a) Disposto a, temos uma possibilidade para dispor b ;

b) Dispostos a e b, temos duas possibilidades para dispor c;

c) Dispostos a, b e c, temos trs possibilidades para dispor d.

Assim temos:

P'1 = 1 = 1

P'2 = 1.P(1 = 1

P'3 = 2.P(2 = 2

P'4 = 3. P'3 = 6 ( ( P'4 = 1. 2. 3 = 3! = 6 )

P'5 = 4. P'4 = 24

Em conseqncia temos: P'n-1 = (n - 2). P'n-2 P'n = (n - 1). P'n-1 P'n = 1. 2. 3 ... (n - 2) . (n - 1)

Isto :

P'n = ( n - 1 ) !

Exemplo: De quantas maneiras podemos dispor 5 pessoas em torno de uma mesa ?

P'5 = ( 5 - 1 ) ! = 4 ! = 24

E x e r c c i o s

92. De quantas formas 12 crianas podem formar uma roda?

93. Quantos colares podemos formar usando quatro contas, todas diferentes?

94. De quantas formas 6 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular?

95. De quantas formas podemos colorir uma hlice de 3 ps com as cores vermelha, azul e verde, distintamente?

96. De quantas formas 4 casais podem acomodar-se ao redor de uma mesa, para disputar uma partida de truco?

Respostas:

92. 11 ! 93. 6 94. 120 95. 2 96. 7!

E x e r c c i o s G e r a i s

96. De quantos modos diferentes podemos jogar no jogo da loto, se em cada volante assinalamos apenas 5 dezenas?

97. Quantos subconjuntos de 3 elementos o conjunto A = {1,3,5,7,9} possui?

98. Quantos subconjuntos de 4cartas, contendo exatamente dois ases, podem ser formados com um baralho?

99. Em um grupo de 10 pessoas, 6 falam Ingls e 4 falam Italiano.Quantas comisses de 5 pessoas podemos formar, de modo que em cada comisso fiquem 3 pessoas que falam Ingls e 2 que falam Italiano?

100. Qual o polgono regular que tem 35 diagonais?

101.De quantas formas 8 sinais "+" e 4 sinais "_", podem ser colocados em uma sequncia ?

102. Quantos nmeros de 4 algarismos podemos escrever com os algarismos 5, 6 e 8 ?

103. Um cofre possui um disco com 12 letras. A palavra que abre o cofre tem 5 letras. Quantas tentativas mal sucedidas podem ser efetuadas por uma pessoa que desconhea a palavra chave?

104. Qual o total de nmeros mltiplos de 4, com quatro algarismos distintos, que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

105. Em um nibus h 5 lugares vagos. Duas pessoas tomam o nibus. De quantos modos elas podem se sentar?

106. Seis pessoas em fila gastam 10 segundos para mudarem de ordem. Qual o tempo necessrio para todas as mudanas possveis?

107. Considere a palavra MAPOFEI. Quantos so os anagramas em que no esto juntas duas vogais?

108. Qual o nmero de permutaes distintas possveis com as letras da palavra PARALELA, comeando todas com a letra P?

109. Qual o nmero de maneiras diferentes de colocar, em uma linha de um tabuleiro de xadrez (8 posies), as peas brancas (2 torres, 2 cavalos, 2 bispos, a rainha e o rei)?

110. Num plano temos 16 pontos; 9 deles pertencem a uma reta. Quantas circunferncias podemos passar por 3 quaisquer daqueles pontos?

111. Um Qumico dispe de 10 substncias. De quantos modos poder associar 6 dessas substncias se existem somente duas que no podem ser juntadas porque haver exploso?

112. Se Cn,2 + 2An,2 + 100 = A2n,2 , qual o valor de n ?

113. Entre 6 livros de autores diferentes uma pessoa quer escolher trs para presentear:

a) trs amigos (um livro para cada um);

b) um s amigo com os 3 livros.

Quantas so as maneiras que a pessoa tem de presentear com os livros, em cada situao?

114. Dados 6 alunos e 5 professores, quantas comisses com 4 pessoas podem ser formadas de modo que em cada comisso figurem no mnimo 2 professores?

115. De um grupo de 9 professores, 5 lecionam Matemtica. Quantas comisses de 3 componentes podem ser formadas de modo que em cada uma comparea pelo menos um professor de Matemtica?

116. Se An,3 = 3Cn,4 . Qual o valor de n ?

117. Considerando os anagramas da palavra ALUNO:

a) quantos comeam por vogal?

b) quantos comeam por vogal e terminam por consoante?

c) quantos comeam e terminam por consoantes?

d) quantos apresentam as vogais AUO juntas, nesta ordem?

e) quantos apresentam as vogais juntas, porm em qualquer ordem?

118. Deseja-se dispor em fila cinco crianas: Marcelo, Rogrio, Reginaldo, Daniele e Mrcio. Calcule o nmero das distintas maneiras que elas podem ser dispostas de modo que Rogrio e Reginaldo fiquem sempre vizinhos.

119. Tenho 5 livros, dos quais dois so de Geografia. De quantos modos posso arrum-los de modo que os dois de Geografia nunca estejam juntos?

120. Com os dgitos 0, 1, 2, 3 e 5 , quantos:

a) nmero de 5 algarismos divisveis por 5 podemos formar?

b) nmeros de 5 algarismos distintos, divisveis por 5 podemos formar?

121. Considere os nmeros obtidos do nmero 31 567, efetuando-se todas as permutaes de seus algarismos. Qual o lugar ocupado pelo nmero 51 637:

a) colocando esses nmeros em ordem crescente?

b) colocando esses nmeros em ordem decrescente?

122. (UNICAMP - 88) Numa Kombi viajam 9 pessoas, das quais 4 podem dirigir. De quantas maneiras diferentes possvel acomod-las na Kombi (3 no banco da frente, 3 no banco do meio e 3 no banco de trs) de forma que uma das 4 que dirigem ocupe o lugar da direo?

123. Com os algarismos 0, 1, 3, 4 e 9, quantos nmeros divisveis por 10 e de trs algarismos podemos formar?

124. Na montagem de um teste de mltipla escolha, com 5 alternativas distintas, sendo uma nica correta, qual o nmero de modos distintos de ordenar as alternativas de maneira que a nica correta no seja nem a primeira nem a ltima?

125. Uma prova consta de 10 questes cuja resposta para cada uma "verdadeiro" ou "falso". De quantas formas um aluno pode responder as 10 questes da prova?

126. (CESGRANRIO) Se

, ento a1984 igual a:

a)

b) 1984 c) 1983 d)

e)

Respostas

96. 75.287.520 101. 495 106. 2h 111. 140

97. 10 102. 81 107. 144 112. 8

98. 6.768 103. 125-1 108. 420 113. a) 120

99. 120 104. 96 109. 5 040 b) 20

100. Decnogo 105. 20 110. 476 114. 215

115. 80 118. 48 123. 20

116. 11 119. 72 124. 72

117. a) 72 120. a) 1.000 125. 1 024

b) 36 b) 42 126. c

c) 12 121. a) 51

d) 6 b) 70

e) 36 122. 161.280

COMBINAES COMPLEMENTARES

Duas combinaes de mesmo nmero de elementos so ditas complementares se a soma das suas ordens for igual ao nmero de elementos dados. Isto :

Cn,p = Cn,n-pExemplos: C7,3 = C7,4 C6,0 = C6,6 C5,1 = C5,4PARTIES ORDENADASSeja a seguinte situao:

De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em 3 salas (x, y e z) de modo que em x fiquem 4 pessoas, em y fiquem 3 pessoas e em z tambm 3 pessoas?

C 10,4. C6,3. C3,3 = 4 200

De quantos modos 12 pessoas podem ser repartidas em 3 grupos, tendo cada grupo 4 pessoas?

C 12,4.C8,4.C4,4E x e r c c i o s

127. De quantas formas 12 estudantes podem ser divididos e colocados em 3 salas, sendo 4 na primeira, 5 na segunda e 3 na terceira?

(Resp.: 27 720)

128. Um grupo de 10 viajantes para para dormir num hotel. S havia 2 quartos com 5 lugares cada um. De quantas formas eles puderam se distribuir para dormir naquela noite?

(Resp.: 252)

129. (MACK) De quantos modos 8 pessoas podem ocupar duas salas distintas, devendo cada sala conter pelo menos 3 pessoas? (Resp.: 182)

130. Um baralho tem 52 cartas. De quantos modos podemos distribu--las entre 4 jogadores, de modo que cada um receba 13 cartas? (Resp.: 52 / (13!) 4 )

131. De quantas formas 20 alunos podem ser colocados em 4 classes - - A, B, C e D, ficando 5 alunos por classe? ( Resp.: 20! / (5!) 4 )

132. Com os dgitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, de quantas formas podemos permut-los de modo que os nmeros mpares fiquem sempre em ordem crescente? (Resp.: 210)

************************

E x e r c c i o s G e r a i s

133. Cinco ciclistas disputam a prova do quilmetro. Quantas possibilidades de classificao existem para os trs primeiros lugares? (Resp.: 60)

134. Uma casa comercial tem disposio de seus clientes trs marcas de refrigeradores, cada uma em quatro tamanhos e trs cores diferentes. De quantos modos possveis pode um cliente escolher um desses refrigeradores? (Resp.: 36)

135. Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver duas letras e trs algarismos? (nmero de letras: 26) (Resp.: 676 000)

136. Quantos nmeros pares de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 9? (Resp.: 1 344)

137. Uma corrida disputada por 5 motos. Quantas so as possibilidades de classificao? (Resp.: 120)

138. Num hospital, h 3 vagas para trabalhar no banco de sangue. Se 10 funcionrios se candidatam, de quantas formas distintas essas vagas podem ser preenchidas? (Resp.: 120)

139. Deseja-se formar uma comisso de 5 membros a partir de 8 senadores e 6 deputados, de modo que nessa comisso tenha pelo menos 2 representantes de cada uma das duas classes. Calcule o nmero de diferentes comisses que podem ser assim formadas? (Resp.: 1 400)

140. Com 7 professores de Matemtica e 5 professores de Fsica, deseja-se formar um comisso de 5 membros.

a) Quantas dessas comisses tm somente 2 professores de Matemtica?

b) Quantas dessas comisses tm pelo menos 2 professores de Matemtica?

a) 210; b) 756)

141. Usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, determine quantos nmeros podem ser escritos nos seguintes casos:

a) os nmeros tm 3 algarismos;

b) os nmeros tm 3 algarismos distintos;

c) os nmeros tm 3 algarismos e so maiores que 300;

d) os nmeros tm 3 algarismos distintos e so maiores que 300;

e) os nmeros tm 3 algarismos e so pares;

f) os nmeros tm 3 algarismos distintos e so pares;

g) os nmeros tm 3 algarismos distintos e so mltiplos de 5;

h) os nmeros tm 3 algarismos distintos e possuem sempre o algarismo 7.

(Resp.: a)512; b)336; c)384; d)252; e)192; f)126; g)42; h)126

142. Usando as 23 letras do nosso alfabeto, mais as letras k, w e y e os algarismos de 0 a 9, quantos automveis podem ser licenciados se cada placa tem 3 letras seguidas de 4 algarismos? (Resp. 263.104 )

143. Coloque uma situao, relacionada ao seu cotidiano, que pode ser solucionada com a ajuda da Anlise Combinatria.

PAGE 22

_871148029.unknown

_871148039.unknown

_871148046.unknown

_871148053.unknown

_967988816.unknown

_967989182.unknown

_967989994.unknown

_967988817.unknown

_967987718.unknown

_871148050.unknown

_871148043.unknown

_871148045.unknown

_871148042.unknown

_871148034.unknown

_871148037.unknown

_871148038.unknown

_871148035.unknown

_871148031.unknown

_871148033.unknown

_871148030.unknown

_871148014.unknown

_871148021.unknown

_871148023.unknown

_871148027.unknown

_871148022.unknown

_871148017.unknown

_871148019.unknown

_871148015.unknown

_871148002.unknown

_871148008.unknown

_871148010.unknown

_871148011.unknown

_871148009.unknown

_871148005.unknown

_871148006.unknown

_871148004.unknown

_871147991.unknown

_871147997.unknown

_871148000.unknown

_871148001.unknown

_871147998.unknown

_871147993.unknown

_871147996.unknown

_871147992.unknown

_871147985.unknown

_871147988.unknown

_871147989.unknown

_871147987.unknown

_871147983.unknown

_871147984.unknown

_871147980.unknown

_871147981.unknown

_871147979.unknown