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Materiais Manipuláveis

Isabel Vale- ESEVC 1

Instituto Politécnico de Viana do Castelo

Escola Superior de Educação


Isabel Vale

Departamento de Matemática, Ciências e Tecnologia



Outubro de 2002 1ª edição-2ª tiragem - 100 exemplares

Edição do Laboratório de Educação Matemática (LEM)




Desde os tempos mais remotos que o recurso a materiais concretos no

ensino-aprendizagem Matemática tem sido uma constante. O uso de materiais na

sala de aula, iniciado no séc. XIX com Pestalozzi, tem tido altos e baixos e nem

sempre foram bem aceites ou mesmo usados correctamente. Fizeram-se muitas

investigações, sobretudo durante os anos 60-70, sobre a sua utilização e os

resultados não têm sido muitas das vezes conclusivos. De qualquer modo existem

muitas situações didácticas onde os materiais se mostraram de grande utilidade,

apesar de ser necessário ter em atenção vários aspectos, entre eles a própria

organização da sala de aula.

Os Materiais Didácticos

Apesar de se ter atravessado uma época, a da chamada Matemática

Moderna, em que se valorizavam os aspectos mais formais da matemática,

recorrendo a um simbolismo e rigor excessivos, havendo consequentemente uma

desvalorização do uso de materiais sobretudo os que requeriam manipulação,

como se os conceitos tratados fossem matemática de ordem menor, hoje as coisas

são bastante diferentes. Basta ler o que Normas (NCTM,1989/1991) referem

relativamente aos materiais didácticos, para concluir que se deve valorizar e

encorajar os professores de matemática a utilizar diversos materiais mais do que

dar ênfase aos símbolos matemáticos convencionais.



Numa sala de aula, quando se desenrola todo o processo de ensino-

aprendizagem, há necessidade de recorrer a determinados suportes educativos.

Esses suportes a que o professor tem acesso são variados. Desde a “voz”, o

quadro preto e o giz, que podemos identificar como os recursos primários, até aos

livros de texto, fichas, feijões, paus de gelado, acetatos, gráficos, sólidos,

geoplanos, material multibase, barras cuisenaire, calculadoras simples e gráficas,

computadores, etc., e mais recentemente com o avanço da tecnologia o vídeo e a

Internet.

Vejamos algumas definições de material didáctico.

Para Gagné (1971), os materiais didácticos fazem parte do ambiente de

aprendizagem e são eles que estimulam a aprendizagem no aluno. Para Hole

(1977) são todos os meios de aprendizagem e ensino. Para Mansutti (1993) são

recursos a ser utilizados na acção combinada de aprendizagem e formação. Para

Ribeiro (1995) é qualquer recurso a ser utilizado na sala de aula com o objectivo

de promover a aprendizagem. Estas perspectivas são convergentes quando

afirmam que os materiais didácticos são todos os materiais a que recorremos

durante o processo de ensino-aprendizagem.

A literatura mostra que não se tem desenvolvido suficiente investigação

sobre as relações entre os materiais didácticos e o processo de ensino-

aprendizagem. A que se conhece tem-se debruçado principalmente sobre o livro

de texto, calculadoras, computadores e os manipuláveis. A investigação tem dado

atenção especial ao livro de texto, como sendo o material mais usado pelos

professores do nível básico, e que indiscutivelmente tem uma grande influência

no que é ensinado (Lindquist,1996). Nos últimos 20 anos, com o aparecimento

das calculadoras e computadores, a investigação tem dado grandes contributos na

influência que estes materiais têm no ensino da matemática, e hoje é praticamente



inegável o seu valor educativo (APM, 1988; Papert, 1989; Ponte, 1997;

NCTM,1980; Waits, 1997).

Como se pode constatar, os materiais didácticos são bastante diferentes uns

dos outros. Entre eles iremos dar atenção especial aos materiais do tipo:

geoplano, material multibase e barras cuisenaire que fazem parte de um conjunto

chamado materiais manipuláveis. Estes materiais são os mais referidos na

literatura da educação matemática sobretudo para os níveis mais elementares.

Comecemos por identificar o que é um material manipulável. As definições

revistas não diferem muito umas das outras. Vejamos algumas.

Serrazina (1991) refere que são objectos, instrumentos ou outros media que

podem ajudar os alunos a descobrir, entender ou consolidar conceitos

fundamentais nas diversas fases de aprendizagem. Para Jacobs (1998) são

objectos usados pelos alunos que lhes permitem aprender activamente

determinado conceito. Nas definições anteriores confunde-se o conceito de

material manipulável com o de material didáctico, nas que se seguem é

acrescentado a estas um aspecto que é o de “objectos que podem ser tocados”.

Para Reys (1982) materiais manipuláveis são objectos ou coisas que o aluno seja

capaz de sentir, tocar, manipular e movimentar. Podem ser objectos reais que têm

aplicação nos afazeres do dia-a-dia ou podem ser objectos que são usados para

representar uma ideia. Assim, nem todos os materiais didácticos são

manipuláveis. Para Fernandes et al. (1985) são objectos que o aluno é capaz de

sentir, tocar, mexer, moldar. Hynes (1986) refere que são modelos concretos que

envolvem conceitos matemáticos, apelam aos vários sentidos e podem ser tocados

e movimentados pelos alunos. Para Ribeiro (1995) os materiais manipuláveis são

objectos concretos que incorporam conceitos matemáticos, apelam a diferentes

sentidos e podem ser tocados, movidos, rearranjados e manipulados pelas

crianças.



Se não há dúvida de que um geoplano é um material manipulável, o que

dizer por exemplo de um gráfico, ou de um desenho? Exemplos como estes há

vários e são usados ao longo do percurso escolar em Matemática para comunicar.

Estes são alguns dos recursos que permitem dar significado à Matemática e

descrever ideias matemáticas. É muitas vezes mais fácil para os alunos falar de

modelos físicos ou pictoriais do que de ideias abstractas. Mas será que estes são

modelos manipuláveis? Se inferirmos das definições anteriores que estes são

qualquer coisa que está em movimento, então os gráficos ou os desenhos não o

são pois são estáticos. Contudo, o avanço da tecnologia fez com que nenhum

destes instrumentos matemáticos necessitasse de ser estático. Através da

tecnologia pode-se ter acção na sala de aula. Os alunos podem manipular objectos

de maneiras que não eram possíveis até então. Por exemplo, pode-se pedir ao

computador para dar uma vista de cima, de baixo, de lado etc., quer de um gráfico

quer de um desenho. A linguagem LOGO e o software dinâmico para o ensino da

geometria como o Cabri-Géomètre e o Geometer's Sketchpad são disso exemplos.

Segundo Mason (1995) os objectos no ecrã proporcionam uma nova forma de

instrumento ou material manipulável.

Não será pois de incluir neste grupo, dos manipuláveis, as calculadoras

gráficas e os computadores? Vejamos se a perspectiva de Schultz (1989) pode

ajudar a clarificar. Segundo esta autora o termo manipulável implica que o aluno

manipule o modelo. Contudo ela classifica os modelos de acordo com o seu uso

em: manipuláveis activos, manipuláveis passivos e não-manipuláveis. Os

manipuláveis activos são modelos concretos que permitem uma manipulação

directa, como por exemplo, as barras cuisenaire ou o material multibase. São os

materiais que as definições anteriores referem e que são aquelas que englobam

maior consenso. Quando os alunos observam o professor a manipular modelos

para demonstrar determinado conceito ou procedimento então os modelos são



manipuláveis passivos. Quando os modelos estão presentes mas não são

manipulados dizem-se não-manipuláveis. É o caso do material multibásico

desenhado por exemplo em fichas de trabalho ou em livros de texto. Estes não-

manipuláveis requerem destrezas de visualização espaciais onde os alunos

possam imaginar efectuar algumas acções sobre eles. Segundo esta autora os

computadores oferecem oportunidades de manipular modelos segundo estas três

perspectivas. Para Sowell (1989) os materiais manipuláveis incluem quer as

representações concretas quer as pictoriais

Atendendo às várias interpretações que os materiais manipuláveis podem ter,

tentar-se-á elaborar uma categorização dos materiais didácticos—todos os

materiais a que recorremos para promover o ensino-aprendizagem da Matemática.

Com base nas propostas apresentadas por alguns investigadores (Lesh, 1979;

Bruner, 1962; Fennema, 1982; Sowell, 1989; Schultz, 1989) podemos dividir os

materiais didácticos em três tipos: concretos, pictoriais e abstractos/simbólicos.

(Figura 1)

Materiais didácticosConcreto

Pictoriais Simbólicos

Figura 1. Materiais Didácticos

Os materiais concretos permitem que os alunos trabalhem em contacto

directo com eles; permitem uma representação de uma ideia matemática através

de objectos a três dimensões. Os materiais pictoriais permitem que os alunos



observem apresentações audiovisuais, observem demonstrações pelo professor ou

usem desenhos ou imagens de materiais concretos; permitem uma representação

de ideias matemáticas entre o concreto e o simbólico e são usadas normalmente

em livros de texto. Os materiais simbólicos permitem que os alunos ouçam, leiam

e escrevam com papel e lápis; permitem uma representação de uma ideia

matemática através de numerais e sinais aceites universalmente e que indicam

uma operação ou relação matemática.

Os materiais concretos podem ser divididos em dois tipos: materiais comuns

e materiais educacionais. Os materiais comuns são os materiais que usamos com

diversas finalidades na vida de todos os dias p.e. paus de gelado, feijões,

espelhos, folhas de papel, dinheiro, etc. Os materiais educacionais são materiais

especificamente construídos para serem usados na sala de aula com fins

educativos p.e. ábaco, geoplano, mira, livros de texto, fichas, etc.

Os materiais educacionais apareceram sobretudo para ultrapassar os limites

dos materiais comuns. É o caso do Mira, que aparece para ultrapassar o problema

dos espelhos serem opacos, permitindo ao aluno ver as duas partes simétricas.

Os materiais manipuláveis são materiais concretos, de uso comum ou

educacional, que permitem que durante uma situação de aprendizagem apelem

para os vários sentidos dos alunos devendo ser manipulados e que se caracterizam

pelo envolvimento activo dos alunos p.e. ábaco, geoplano, folhas de papel.

Conforme refere Reys (1982) nem todos os materiais concretos são materiais

manipuláveis. Por exemplo, o livro de texto é um material concreto mas não é

manipulável neste sentido.

Além destes materiais concretos podemos introduzir como materiais

didácticos as calculadoras e os computadores e também os jogos. Godiño (1998)

considera as calculadoras e os computadores, como manipuláveis que põem em



jogo não a percepção tácita, mas a percepção visual e/ou auditiva, e nesse sentido

chama-lhes manipuláveis gráfico-textuales-verbais.

Materiais ConcretosMateriaisManipuláveis

Materiais Comuns Materiais

Educacionais

Calculadoras ecomputadores

Jogos


Figura 2. Materiais concretos

Na literatura revista é muitas vezes utilizada a designação de material

manipulável como sinónimo de material concreto.

A Necessidade do Concreto ao Longo dos Tempos

No Passado

O homem tem recorrido à ajuda de materiais concretos para o ajudar em

actividades matemáticas desde os tempos mais longínquos. Por exemplo, o

homem primitivo começou por usar marcas num bastão para fazer a contagem das

ovelhas; usou pedras; usou a corda com nós; etc. Mais tarde, com a introdução

do sistema de numeração indo-árabe, aparece o ábaco. Este foi um dos primeiros

materiais construídos especificamente para trabalhar conceitos de aritmética,

tendo sido o eclesiástico Gerbert (930-1003) que aprofundou as aplicações do



ábaco. Posteriormente aparecem na geometria a régua, o compasso e o esquadro.

No séc. XVI existem gravuras onde se pode ver o uso destes instrumentos. Por

volta do séc. XV, materiais como o ábaco desapareceram das escolas de então

quando apareceram novos métodos de cálculo — os algoritmos. Não era pois

necessário usar os materiais concretos para encontrar um resultado, bastava que o

aluno mecanizasse determinadas “regras” de cálculo. Os métodos de ensino não

eram mais do que instruções que os alunos deveriam seguir até atingir

determinado fim.

Ensinar Matemática utilizando materiais manipuláveis foi reintroduzido e

recomendado pelos fundadores da Escola Activa, Comenius e Pestalozzi, que

apesar de serem homens de épocas e com histórias diferentes defenderam os

mesmos princípios e, mais tarde por Decroly e Montessori. A partir de então

foram vários os pedagogos (e.g. Castelnuovo, Dienes, Gattegno, Cuisenaire) que

lhes fizeram referência e que introduziram novos materiais didácticos e novas

metodologias de ensino. Hoje temos à nossa disposição centenas de materiais

disponíveis para usar na aula de Matemática. Segundo Castelnuovo (1978), os

princípios fundamentais da educação defendidos por Comenius e de Pestalozzi

podem ser traduzidos em duas palavras: o método activo, o ensino por ciclos e o

ensino intuitivo-construtivo.

O trabalho de Comenius (1592-1670), teólogo e pedagogo, teve grande

influência da educação. Defendia um ensino por ciclos, isto é, um mesmo tema

deveria ser abordado em vários níveis de ensino em fases sucessivas. Não se

tratava de mudar de temas mas sim de tratar os mesmos de maneiras diferentes à

medida da compreensão e das possibilidades dos alunos, seguindo um ponto de

vista sempre mais amplo estendendo-se em espiral. Esta abordagem em ciclos

sugere uma forma de organizar o ensino da Matemática, onde “aquele que

aprende hoje reforce aquilo que aprendeu ontem e abra caminhos para o que



aprenderá amanhã”. Este tipo de ensino ainda é contemplado nos nossos

programas oficiais para alguns tópicos. Comenius tinha como princípio que os

alunos deveriam aprender a usar todos os seus sentidos e não apenas palavras.

Sugeria o uso de objectos do dia-a-dia ou pelo menos as suas representações na

sala de aula. Deixou um livro famoso, Didáctica Magna, que foi bastante

importante nas escolas da época e que foi feito propositadamente com esse fim,

onde esboçou um programa educativo que ia desde as escolas infantis até à

graduação superior.

Pestalozzi (1746-1827) insiste na constante actividade por parte do aluno.

Fala-nos de actividade, de energia activa e de intuição. Intuir significa olhar para

dentro, olhar com atenção; na sua origem o significado era estático; significava

contemplar a verdade em sentido platónico. Este significado foi evoluindo e de

estático chegou a dinâmico. Para Pestalozzi, a intuição é uma construção. O

ensino só é verdadeiro e educativo quando provém da actividade das crianças.

Este método activo dá ênfase ao papel do aluno no processo de construção do seu

próprio conhecimento. Este método privilegia o trabalho com materiais concretos

aproveitando toda a energia natural das crianças. Segundo Szendrei (1996)

Pestalozzi é o pai do uso sistemático de experiências sensoriais nas escolas. Para

ele, a observação e os sentidos são os primeiros passos a dar no processo de

aprendizagem. Construiu, por exemplo, três tabelas para o ensino da Aritmética

aos alunos. Também inventou centenas de exercícios para serem resolvidos pelos

alunos.

No Nosso Século

A partir dos trabalhos de Comenius e Pestalozzi, os professores tinham

ferramentas que podiam manipular, permitindo-lhes ilustrar conceitos e



procedimentos matemáticos e constituir um bom ambiente de aprendizagem. É

assim que passado quase um século aparecem pedagogos como Decroly (1871-

1932) e Montessori (1870-1952).

Decroly foi médico e psicólogo e desenvolveu um método em que materiais

comuns de todos os dias como feijões, paus, conchas, castanhas, eram essenciais

no ensino da Matemática na sala de aula. Utilizava no ensino da medida, antes

das unidades standard, unidades ocasionais. Decroly foi um grande defensor do

papel que os jogos educativos tinham no ensino.

Montessori foi educadora, psicóloga e médica e dedicou-se sobretudo à

construção de materiais manipuláveis para ajudar crianças com problemas de

aprendizagem em Aritmética. Montessori trabalhou sobretudo com crianças

mentalmente deficientes e culturalmente desfavorecidas. Os seus métodos de

ensino ficaram conhecidos pela designação de Método Montessori o qual dava

grande importância ao treino sensorial num ambiente organizado. Para ela eram

importantes essas experiências no desenvolvimento cognitivo.

Foram Decroly e Montessori que iniciaram o estudo da pedagogia científica

estudando e ampliando as visões de Comenius e de Pestalozzi, inspirando-se

contudo de diferentes maneiras, ou seja apresentam variantes do método activo. O

de Montessori é activo-sintético e o de Decroly é activo-analítico. Estes métodos

têm como finalidade o passo do concreto para o abstracto. O método activo-

sintético de Montessori é um método construtivista, onde o aluno tenta identificar

um a um os elementos de um todo. Passa em seguida à sua organização global

num sistema mais complexo. O método activo-analítico de Decroly baseado na

psicologia da forma ou da gestalt defendia que a observação global do fenómeno

conduz à decomposição do fenómeno, à analise. E é com base na psicologia que

Decroly mostra que o global é um processo intelectual típico da criança.



Estes métodos foram criticados pela psicologia moderna, pois é uma

pedagogia que não é “livre”. A criança é obrigada a seguir certos passos que são

sugeridos pelo professor ou pelo próprio material com que trabalha. E é

justamente esta liberdade da construção matemática que se pretende e que está

contemplada na psicologia de Piaget.

Piaget (1896-1980) é um defensor da escola activa mas a concepção que tem

do material, ou seja do recurso ao objecto e à acção é distinta da dos pedagogos

referidos anteriormente. Segundo Sprinthall & Sprinthall (1993), Piaget defende

que a aprendizagem será melhorada por experiências activas ou do tipo “mãos-à-

obra” combinadas com a reflexão consciente. A máxima de Piaget afirma “saber

de cor não é saber”. Segundo ele a memorização passiva não significa

necessariamente que o aluno tenha realmente aprendido ou compreendido

determinado conceito. Para Piaget (1977) o material não deve ser, por exemplo,

uma necessidade para o ensino do número mas servir no desenvolvimento de

certas leis que depois serão necessárias para a aquisição do conceito de número.

Tais leis consideram-se como pertença da criança desde a mais tenra idade. Piaget

acreditava que os quatro níveis ou estádios desenvolvimento cognitivo da criança

são úteis para o educador pois realçam o facto de que os modos de pensar das

crianças, linguagem e acções diferem quer em quantidade quer em qualidade das

dos adultos. Piaget dizia que as crianças não são pequenos adultos logo não

podem ser tratados como tal em situações de aprendizagem. Pode-se concluir do

trabalho de Piaget para a sala de aula que as crianças aprendem melhor a partir de

actividades concretas. A implementação desta teoria nas escolas vai alterar

substancialmente o papel do professor e a natureza do ambiente na sala de aula. O

professor torna-se menos “fornecedor de informação” e mais um facilitador da

aprendizagem da criança. Isto é, será ele quem promove e guia a aprendizagem da

criança mais do que ensinar tudo directamente. A oportunidade de trocar ideias,



discutir e avaliar as suas próprias ideias e as dos outros promove na criança uma

visão mais crítica e realista de si mesmo e dos outros. Apesar de ser verdade,

segundo Piaget, que na adolescência a necessidade de experiências concretas é de

algum modo reduzida devido à evolução de novos e mais sofisticados sistemas de

conceitos, já não é verdade que essa dependência seja eliminada.

Os materiais manipuláveis são ajudas significativas para a aprendizagem em

qualquer dos estádios. As imagens mentais e as ideias abstractas dos alunos são

baseadas nas suas experiências. Assim os alunos que vêem e manipulam vários

tipos de objectos têm imagens mentais mais claras e podem representar ideias

abstractas mais completamente do que aqueles cujas experiências são mais

pobres. De acordo com Piaget, a maioria das crianças do ensino básico está no

estádio das operações concretas. Quer isto dizer que necessitam de se apoiar em

objectos concretos que lhes facilitam a elaboração de raciocínios lógico-

matemáticos. Isto significa que os conceitos matemáticos devem ser aprendidos

com apoio de modelos concretos e simbólicos.

Dienes (1975) estudou e expandiu largamente as ideias de Piaget e

contribuiu para o desenvolvimento das perspectivas cognitivistas da

aprendizagem matemática. A sua maior preocupação—assim como a de Piaget—

tinha a ver com o envolvimento dos alunos no processo de aprendizagem, através

do uso de material concreto, defendendo o uso de materiais manipuláveis pela

criança. Recordemos os princípios de Dienes em relação ao ensino da

matemática: (a) o princípio dinâmico—sugere que a verdadeira compreensão de

um novo conceito é um processo evolutivo envolvendo a criança em três fases.

Preconiza actividades informais e estruturadas, manipulação e experimentação;

(b) o princípio de variabilidade perceptual—sugere que um conceito que é

aprendido é maximizado quando é apresentado à criança através de uma

variedade de contextos e envolvimentos físicos. Defende a apresentação de um



conceito em situações diversas; (c) o princípio da variabilidade matemática—

sugere que a generalização de um conceito matemático é realçada quando as

variáveis irrelevantes são sistematicamente modificadas enquanto as variáveis

relevantes continuam constantes. Dá ênfase a que todas a variáveis de um

conceito devem ser exemplificadas; (d) o princípio construtivista—defende que a

construção deve sempre preceder a análise. Isto é, a criança deve ter

oportunidades de desenvolver os seus conceitos de um modo global intuitivo

começando com as suas próprias experiências. Para Dienes há duas espécies de

pensadores, o construtivista e o analítico. Tentando estabelecer um certo

paralelismo com Piaget podemos dizer que o construtivista está no estádio das

operações concretas e o analítico está no estádio das operações formais.

Dienes construiu os famosos blocos Dienes, vulgarmente chamados material

multibásico, que permitem ajudar os alunos a compreender o conceito de base dos

sistemas de numeração. Também introduziu actividades com diferentes balanças

com feijões para ajudar os alunos a compreenderem propriedades das operações

aritméticas, sobretudo a propriedade comutativa.

Bruner (1962) foi influenciado pelo trabalho de Jean Piaget e trabalhou com

Zoltan Dienes onde compartilharam muitas das suas perspectivas. Segundo ele

podemos considerar uma ideia ou conceito em três níveis diferentes: motor,

icónico e simbólico. O período motor envolve manipulação de objectos ou

experiências directas. No período icónico a criança pensa com imagens mentais

sobre objectos concretos. O modo de aprendizagem neste nível é baseado no uso

de meios visuais: filmes, desenhos, diagramas e outros. A aprendizagem

simbólica é o estádio onde se usam os símbolos abstractos para representar a

realidade. Estas interpretações são importantes e são interactivas.

Os manipuláveis ajudam a compreender ideias abstractas a partir de

situações concretas e problemáticas. Esta análise psicológica contudo mostra que



os manipuláveis são apenas uma parte do processo de desenvolvimento dos

conceitos matemáticos. Segundo Lesh (1979), outros modos de representação,

por exemplo, pictorial, verbal, simbólica e situações da vida real também têm um

papel a desempenhar. Quando se aprende um conceito novo é importante que os

alunos “vejam” o conceito a partir de várias perspectivas ou interpretações. Lesh

criou um modelo (Figura 3) que traduz as mudanças entre os vários modos de

representação e que foi uma adaptação a partir do trabalho de Bruner (Behr, Lesh,

et al. 1992). Os materiais manipuláveis correspondem ao nível inactivo de

Bruner, os desenhos ao nível icónico e os símbolos escritos ao nível simbólico.

Lesh acrescentou os símbolos falados e as situações de vida real e salientou a

interdependência entre os vários modos. Reflectindo sobre este modelo podemos

ver que estas mudanças não podem ser feitas a não ser que a criança perceba o

conceito que está subjacente em cada um dos modos. Esta compreensão e

reinterpretação são importantes no processo cognitivo e necessitam de ser

encorajadas no processo de ensino-aprendizagem. A investigação poderá dizer

qual o caminho, através do modelo, que é crucial no processo de ensino

aprendizagem. A investigação pode também indicar em que é que os

manipuláveis facilitam a aquisição de conceitos e a resolução de problemas. A

resolução de problemas move-se a partir de situações reais para o simbolismo

matemático. Segundo Post (1988) os manipuláveis ajudam na medida em que

estão a meio entre o mundo real das situações problemáticas concretas e o mundo

abstracto das ideias e do simbolismo (oral e escrito) da matemática. Eles são

símbolos visto que são feitos de materiais concretos, que por sua vez representam

situações da vida real. Os materiais manipuláveis ajudam então na aprendizagem

pois permitem que, a partir da realidade a criança chegue ao nível simbólico.



Figura 3. Modelo de Lesh

Reys (1982) identifica alguns aspectos a partir da comparação de várias

teorias de aprendizagem que fundamentam o uso de materiais manipuláveis no

ensino/aprendizagem da Matemática. (1) a formação de conceitos é a essência da

aprendizagem em Matemática; (2) a aprendizagem baseia-se na experiência; (3) a

aprendizagem sensorial é a base de toda a experiência; é o cerne da

aprendizagem; (4) a aprendizagem caracteriza-se por estádios distintos de

desenvolvimento; (5) a aprendizagem melhorou com a motivação; (6) a

aprendizagem constrói-se do concreto para o abstracto; (7) a aprendizagem requer

Desenhos

Simbolos escritos

Simbolos falados

MateriaisManipuláveis

Situações da vida real

Simboliza

Concretiza

Descreve

Age



participação/envolvimento activa(o) do aluno; e (8) a formação de abstracções

matemáticas é um processo longo. A lista apresentada não é exaustiva e os

aspectos focados não são independentes mas estão bastante interligados.

Os Manipuláveis na Aula de Matemática

Apesar de os materiais manipuláveis poderem ter um papel relevante no

processo de ensino e de existirem numerosas propostas feitas nesse sentido, o seu

uso nunca chegou a generalizar-se (APM, 1988; Worth, 1986). Algumas das

razões apontadas pelos professores para não os utilizarem é que, normalmente, os

materiais comercializados são muito caros, se tiverem de os construir necessitam

de muito tempo e organizar as aulas é muito mais complicado e demorado. Por

outro lado, Worth (1986), refere que uma razão para não serem utilizados na

prática é a atenção que se deu à resolução de problemas como sendo o foco do

ensino da matemática em todos os níveis a partir dos anos 80 e por outro lado a

ênfase sobre o ensino e aprendizagem da matemática recorrendo aos

computadores. Neste ponto analisa-se a investigação sobre os manipuláveis na

sala de aula e que consequentes sugestões didácticas.

Porquê e Para Quê

Uma das principais finalidades do ensino da matemática de hoje é ensinar os

alunos a tornarem-se resolvedores de problemas, flexíveis e reflexivos, que

possam aplicar as ideias matemáticas numa grande variedade de situações. Esta

finalidade é muito diferente das de alguns anos atrás baseadas apenas em cálculos

básicos com papel e lápis. Assim, um currículo que tenha como objectivo que os

alunos valorizem a matemática, sejam confiantes das suas capacidades, façam



conexões matemáticas, se tornem resolvedores de problemas e aprendam a

raciocinar e a comunicar matematicamente, pede envolvimento activo dos alunos

na aprendizagem que ocorre na sala de aula. Numa perspectiva construtivista do

conhecimento, um ambiente de aprendizagem onde se recorra a materiais

manipuláveis é favorável a uma aprendizagem significativa (Bruner, 1960 ;

Dienes, 1975; Piaget, 1977; Reys, 1982)

Pimm (1996) refere que um dos possíveis modos de trabalhar

matematicamente é trabalhar com manipuláveis. No ensino da Matemática é

necessária acção (real e virtual), reflexão e a capacidade de ser capaz de

comunicar ambas. Os manipuláveis são boas fontes para isso. A Matemática

começa muitas das vezes com acções sobre os objectos mas não pode ficar por aí.

Os alunos devem passar da exploração directa sobre o objecto para a exploração

virtual das possibilidades.

Quando se usa manipuláveis há o perigo de que os alunos fiquem apenas

pela manipulação. Um conjunto de materiais não oferece de imediato

experiências matemáticas: pode nem conter ou gerar matemática; somente as

pessoas com a sua mente o podem fazer. Por isso um papel central da actividade

do professor é ajudar os alunos a tornarem-se mais capazes de fazer isso por eles

próprios. Por outro lado, a utilização de muitos materiais só por si não constitui

uma garantia de haver aprendizagem significativa. Mais importante que o

material a utilizar é a experiência vivida pelos alunos visto que só ocorre

aprendizagem se essa experiência for significativa. É ao professor que compete

decidir como e quando determinados materiais devem ser utilizados. Os materiais

podem ser uma ferramenta bastante valiosa desde que o professor saiba como

usá-los e quais são as suas limitações. Por isso o professor deve conhecer os

materiais de que necessita, saber usá-los e propor actividades específicas para

chegar a determinado conceito.



Para que um aluno se torne um resolvedor de problemas deve compreender

completamente os conceitos matemáticos; não apenas memorizar passos

prescritos para chegar à resposta correcta. Muito alunos vêem a matemática como

uma colecção de regras arbitrárias para memorizar e por conseguinte são levados

a não gostar do assunto. Os professores devem fazer todos os possíveis para

mudar esta concepção errada e os manipuláveis poderão ser uma ajuda para

ensinar activamente determinado conceito.

Se deve dar-se ênfase ao uso dos manipuláveis no ensino da matemática,

deve-se então dar preferência (em muitos casos) à elaboração de material pelo

professor e pelo aluno. A construção de materiais na sala por professores e alunos

é uma experiência única de interacção em que professores e alunos aprendem.

Além disso, a construção de materiais reflecte a personalidade e estilo de quem a

faz e acrescenta um atractivo que os materiais comprados não possuem.

Paolo Boero (1999) tem uma posição radical em relação ao uso de materiais

na sala de aula, em particular aos materiais educacionais e aos jogos. Defende

apenas o uso de materiais comuns (e.g. calendários, dinheiro, termómetros,

réguas , mapas, etc.) ou acontecimentos (e.g. sombras, etc.) e ocasionalmente

materiais construídos pelos alunos durante as aulas (e.g. modelos do edifício da

escola). Privilegia o material de uso comum ou construído pelos alunos em

detrimento dos materiais educacionais. Não defende os jogos na sala de aula pois

para ele a matemática é diferente de um jogo. Não defende os materiais

educacionais pelas seguintes razões: (1) os conceitos que são desenvolvidos

através de materiais comuns permitem o contacto com experiências fora da escola

e uma transferência imediata com situações da vida real, o que normalmente não

acontece com os materiais educacionais; (2) os materiais comuns foram

seleccionados pela evolução cultural da espécie humana, fazendo a ligação da

histórica construção de conceitos e procedimentos matemáticos; (3) é necessário



menos tempo para ensinar com materiais comuns; (4) ao usar os materiais

educacionais o professor está a cortar o possível feedback que os alunos lhe

poderiam dar se usassem materiais comuns onde todos são peritos naturais.

Fennema (1982) refere que as crianças preferem o uso de materiais

concretos por causa da novidade e porque dão significado às ideias matemáticas.

Como Actuam na Construção de Conceitos

O ensino de um conceito novo de matemática (independentemente do nível)

deve sempre começar com o nível concreto, onde os alunos usarão manipuláveis,

passar de seguida para o estádio semi-concreto, onde os alunos observam as

demonstrações do professor, e finalmente progredir para o estádio abstracto, onde

os alunos usarão somente a simbologia. São os objectos concretos que permitem a

transferência para o nível abstracto. Cada novo conceito introduzido com

manipuláveis permite que a matemática se torne viva e dê significado a ideias

abstractas através de experiências com objectos reais. Este ensino torna os alunos

participantes activos no processo de aprendizagem. Numa situação de

aprendizagem com materiais estes apelam, através do contacto e da

movimentação, aos vários sentidos da criança envolvendo-a fisicamente, e é

através desta interacção que se dá a aprendizagem. Deste modo, aprender, torna-

se um processo activo de construção do conhecimento com significado para a

criança. Estes pressupostos fazem parte de uma perspectiva construtivista do

conhecimento onde este é criado a partir do envolvimento activo do aluno que,

reflectindo sobre as suas acções físicas e mentais, vai organizando o seu mundo

físico. A abstracção matemática nas crianças inicia-se na sua interacção com o



meio, depois com os materiais concretos até chegar aos conceitos matemáticos.

Os materiais não só mostram o caminho para a compreensão conceptual, como

providenciam experiências nas quais as crianças podem transferir as suas

compreensões de um conceito para outro. A construção de conceitos matemáticos

é um processo longo que requer envolvimento activo do aluno e vai progredindo

do concreto para o abstracto.

Não é suficiente para os alunos observar a demonstração do uso dos

materiais em determinado contexto. O acto de manipular permite ao aluno

experienciar padrões e relações que são o foco da matemática. Há muito pouca

discordância, entre os educadores matemáticos, em relação à importância das

experiências no nível concreto para a aprendizagem da matemática, visto que a

matemática trata com abstracções. Um grande objectivo do ensino da matemática

é ajudar os alunos a aprender a operar eficientemente no nível simbólico-

abstracto com uma compreensão dos conceitos ou destrezas em questão. O

propósito dos manipuláveis é ajudar os alunos a passar a ponte entre o concreto e

o abstracto da matemática. Muitos alunos têm dificuldade na compreensão de

determinados conceitos porque são incapazes de fazer a ligação entre o mundo

físico e abstracto, ou seja não conseguem passar a “ponte”. Esta “ponte” mental é

bastante complexa. Contudo é necessário clarificar “a ponte” entre o uso do

material concreto e o conceito e o professor tem que estar atento para ajudar o

aluno a fazer essa passagem. Analisemos um exemplo dado por Szendrei (1996).

No tema das Simetrias (axiais) podemos pedir aos alunos que construam com a

ajuda de um espelho ou Mira as imagens de cada um dos triângulos (Figura 4)



A B C D

Figura 4. Figuras simétricas

Pode-se constatar que as quatro situações não são o mesmo para todos os

alunos. Muitos dos alunos que conseguem resolver a questão A, terão alguma

dificuldade em resolver a situação B e dificilmente resolverão a situação C, pois é

complicado de perceber quando o espelho ou a linha do Mira corta a figura. A

questão D também suscita problemas aos alunos pois o espelho não está em frente

ao triângulo. Na situação A e B o espelho “matemático” comporta-se quase como

um espelho “real”. Nas situações C e D já não acontece isso. Mesmo usando um

Mira só podemos obter uma parte da imagem do espelho “matemático” . Na

situação D o espelho “real” tem comprimento mas o espelho “matemático” não

tem. Partindo das propriedades do espelho real o professor deve levar o aluno às

propriedades do espelho matemático. Os alunos devem conseguir ver as

diferenças existentes entre os dois.

Como Usá-los



Depois de reconhecer que um ambiente de aprendizagem que recorra à

utilização de materiais concretos permite experiências matemáticas mais eficazes

(APM, 1988; Fennema, 1973; Fennema & Franke, 1992; Joyner, 1990; NCTM,

1985, 1991, 1994; Sowell, 1989; Suydam & Higgins, 1977; Suydam, 1986) há

necessidade de saber como utilizá-los. Transformar em finalidade de hoje que os

alunos sejam parte activa no ensino da matemática requer uma renovação no

modo de organizar e ensinar na aula de matemática. Os professores terão de

estabelecer ambientes que encorajem, entre outros aspectos, o uso de

manipuláveis para ajudar os alunos a atingir aqueles objectivos. A maior

dificuldade é saber como gerir os materiais eficientemente. Os materiais podem

ser um desafio para lidar, pois acrescentam muito mais actividade e barulho e

requerem espaço e organização. Mas podem ser implementados com sucesso com

um pouco de planificação e reflexão.

Há muito que os educadores subscrevem que o recurso a situações da vida

real e a representações concretas e pictoriais, durante o processo ensino-

aprendizagem, ajuda os alunos a compreender significativamente conceitos

abstractos; os alunos interiorizam e visualizam melhor quando trabalham com

vários modelos. Assim, para facilitar a aprendizagem, os professores devem saber

como interpretar e representar os conceitos matemáticos que pretendem que os

seus alunos aprendam. Contudo, aquele professor que nunca aprendeu

matemática de um modo activo e nunca trabalhou com materiais pode ter

dificuldade ao tentar usar os manipuláveis na aula pela primeira vez. A utilização

dos manipuláveis não é um fim em si mesmo, mas um meio para a introdução de

conceitos e não só, torna-se indispensável que os professores aprofundem o seu

contacto com os vários tipos de material existente, pois só tendo adquirido um

completo à vontade no seu manuseamento poderão com eficácia escolhê-los e

utilizá-los adequadamente com os seus alunos na sala de aula.



Constata-se que quando os alunos usam materiais começam a gostar de

matemática, pois ficam libertos da “ansiedade matemática”. Os alunos devem

usar os materiais activamente e com regularidade. Caso contrário serão sempre

uma curiosidade e uma fonte de confusão na sala de aula, mais do que uma fonte

de trabalho. Não só para a introdução de determinado conceito mas também na

resolução de actividades investigativas, onde surgem novas ideias matemáticas.

Por outro lado os alunos deverão ter tempo suficiente para trabalhar com os

materiais manipuláveis.

OJogo

Uma actividade que muitas vezes é associada com os materiais manipuláveis

são os jogos, vertente lúdica para o ensino da Matemática.

Desde sempre que os matemáticos deram uma atenção muito especial aos

jogos participando activamente neles e a partir daí têm, em muitos casos,

descoberto novos campos e modos de pensar da matemática. Já nos métodos de

Decroly o jogo desempenhava um papel muito importante. Podemos referir dois

exemplos históricos de como a resolução de determinados desafios propostos a

matemáticos deram origem a novos ramos da Matemática. Um é o problema do

Cavaleiro de Méré (séc. XVII) que consiste em saber como devem ser as apostas

de dois jogadores de dados, e que foi proposto a Pascal. Da correspondência tida

entre este e Fermat surgiu a moderna Teoria de Probalidades. Ou então o

problema das Sete Pontes de Königsberg que consiste em determinar um percurso

que cruze todas e cada uma das pontes uma e uma só vez, proposto por Euler

(séc. XVIII) tendo a sua solução constituído o início de um novo ramo da

Matemática: a Teoria dos Grafos e com ela a Topologia.



O aspecto lúdico da Matemática pode servir como um meio muito eficaz de

motivação a todos os níveis de ensino e para todos os alunos. O potencial dos

jogos é quase inesgotável e podem ser utilizados com vários propósitos. Segundo

Ponte (1986) a importância social adquirida nos últimos anos pelo divertimento e

procura de prazer tem levado a que os jogos e outras actividades lúdicas

comecem a ser vistas como potenciais contribuições para o processo de

aprendizagem. Quando se pretende iniciar os alunos na Matemática, o jogo pode

tornar o trabalho mais motivante, estimulante, agradável e, para alguns, até

apaixonante. Seria desejável que os professores aprendessem a aproveitar os

estímulos e motivações que este espírito do jogo pode ser capaz de difundir junto

dos alunos (Guzmán, 1991). Os programas de Matemática, em particular os do 2º

ciclo do ensino básico, fazem referência ao recurso de jogos (e.g. pp. 18, 34, 39,

41) contemplando o aspecto lúdico da Matemática como componente

metodológica a utilizar nas aulas de Matemática quando referem que se considera

importante a descoberta da dimensão lúdica da Matemática integrando nesta

perspectiva actividades desafiadoras para o aluno e por eles aceite com prazer.

Contudo a introdução dos jogos na sala de aula tem dividido educadores. Os que

se opõem a essa introdução estão preocupados com o facto de os alunos poderem

adquirir uma imagem negativa da Matemática como disciplina. Os outros

defendem que os jogos podem desenvolver no aluno o poder de comunicação,

aspecto tão importante em matemática, assim como familiarizá-lo com sistemas

axiomáticos através das suas regras.

Apesar de existirem diferenças substanciais entre a prática do jogo e a

matemática, estes podem ser uma boa combinação educacional para o ensino da

matemática. Assim como nem todos os jogos servem para desenvolver

competências e destrezas matemáticas. Matos (1986) refere que as situações

problemáticas colocadas por muitos jogos permitem explorações didácticas muito



ricas relacionando diferentes conteúdos matemáticos, além de induzir uma

componente de motivação nos alunos. Mais do que o jogo em si é a atitude do

professor e a sua capacidade de dinamizar actividades de “investigação” a partir

dele que pode fazer da utilização dos jogos uma actividade com um valor

educacional relevante, proporcionando momentos de aprendizagem interessantes

e provocando discussões que podem levar quer a novas aprendizagens quer a

novas atitudes e representações dos alunos face a uma matemática que de uma

forma geral lhes parece desprovida de realidade.

Apesar de nem todos os jogos serem propícios a desenvolver conceitos e

destrezas matemáticas, desempenham um papel bastante importante na aula de

matemática. Penso que todos nós já vivenciámos quer com alunos crianças quer

com alunos adultos, o entusiasmo com se envolvem criando um ambiente

bastante activo quando em determinados momentos se lhes propõem jogos

didácticos. A pratica dos jogos contribui favoravelmente para o desenvolvimento

matemático associado a um desenvolvimento pessoal e social do aluno.

Quando Usá-los

Em relação aos anos de escolaridade. Parece existir unanimidade quanto

ao sucesso dos materiais manipuláveis com crianças durante os anos mais

elementares, ou seja, na escolaridade obrigatória, o que já não acontece em

relação a anos posteriores. Uma revisão de literatura sobre a utilização dos

materiais manipuláveis no ensino da matemática efectuada por Sowell (1989),

pode ser resumida no seguinte. Alguns estudos deixam as conclusões sobre a

eficácia dos materiais para os leitores (Beougher,1967; Brousseau, 1973;

Fitzgerald,1972; Kieren, 1969). Outros estudos dizem que os materiais

manipuláveis são benéficos para as crianças mais novas mas que são



desnecessários para as mais velhas (Fennema, 1972; Friedman,1978; Wilkinson,

1974). Outros referem que os alunos que aprendem bem Matemática em

ambientes laboratoriais onde os manipuláveis são usados, podem ter também

bons resultados noutros ambientes de aprendizagem (Vance & Kieren, 1971). Por

fim, outros estudos referem que os manipuláveis têm mais sucesso do que se não

fossem utilizados, em qualquer nível da escolaridade obrigatória (Suydam

&Higgins, 1977; Sowell, 1989). Segundo afirmam Hart et al. (1981), muitos

educadores acreditam que o uso de materiais concretos no ensino da Matemática

é crucial indiferentemente da idade de quem aprende com eles.

Em relação aos conteúdos. Os manipuláveis são frequentemente usados

para actividades numéricas nos primeiros anos de escolaridade; contudo este é um

uso bastante limitado dos materiais. Eles são importantes na abordagem dos mais

variados temas e desde o jardim de infância até ao ensino secundário. Podemos

dizer que a regularidade do seu uso estará na razão inversa do nível em que se

encontra. Quer isto dizer que os alunos mais novos necessitarão de mais tempo e

mais actividades com materiais concretos do que os outros, mas qualquer aluno

de qualquer idade beneficiará da sua utilização no momento certo. Os materiais

não são só necessários para os níveis mais elementares, pois aprender Matemática

requer dos alunos de todas as idades uma participação activa. As destrezas e

conceitos introduzidos a alunos mais velhos aumentam de complexidade. Por

exemplo, enquanto os alunos do 2º ciclo já não precisam de material manipulável,

por exemplo multibase, para conseguir adicionar (este conceito está já adquirido

ao nível abstracto) terão necessidade de modelos concretos para introduzir, por

exemplo, a multiplicação de números fraccionários ou para descobrir

determinadas relações geométricas.

Alguns alunos poderão não necessitar sempre ou mesmo nunca dos materiais

para ter sucesso, mas aumentarão com certeza a sua compreensão dos conceitos e



das situações problemáticas se os utilizarem. Muitos deles passarão rapidamente

para o nível abstracto apenas com a exemplificação do professor, outros irão ter

de manipular mais vezes o material e efectuar mais actividades para lá chegar.

Outro uso dos materiais muito comum é em actividades de remediação com

alunos que não percebam determinado conceito depois do professor ter explicado

várias vezes. Eles podem ser importantes, mas não como último recurso. Na

verdade, necessitam de fazer parte integrante do dia-a-dia da aula de matemática,

não apenas como técnicas de remediação. Se os materiais forem utilizados

correctamente e frequentemente os alunos poderão adquirir conceitos

matemáticos sólidos.

Reys (1982) sugere algumas qualidades que os materiais manipuláveis

devem possuir para que possam ser utilizados com algum sucesso. Os materiais

devem (1) proporcionar uma representação, tão próximo quanto possível, do

conceito matemático ou das ideias a ser exploradas; (2) representar o conceito

matemático sem ambiguidades; (3) ser motivantes; (4) ser adequados aos

conceitos que se estão a abordar e ao nível de escolaridade a que se destinam; (5)

proporcionar uma base para a abstracção; e (6) proporcionar manipulação

individual.

Castelnuovo (1978) refere que uma das dificuldades existente no ensino da

Aritmética em contraste com a Geometria deve-se à falta de figura, do desenho,

do “modelo”, sobre os quais nos podemos apoiar visualmente. Esta maior

abstracção do estudo dos números em relação às figuras conduziu desde a

Antiguidade a aproximar os dois campos, idealizando uma imagem visual do

número. Sabemos como o número inteiro foi para os pitagóricos uma

configuração de pontos. Foi baseando-se nestas configurações que os pitagóricos

descobriram “harmonia” entre os números, propriedade aritmética, ainda que



oculta, que resulta das propriedades das figuras; substituem-se demonstrações

geométricas por procedimentos algébricos.

Existem tópicos onde os manipuláveis se revestem de extrema importância.

É o caso, por exemplo, no estudo dos números fraccionários. Aprender números

fraccionários é uma das tarefas mais difíceis para os alunos do ensino básico. Esta

dificuldade manifestada pelos alunos deste nível não deve ser surpresa atendendo

à complexidade dos conceitos envolvidos. Uma maneira de ultrapassar esta

dificuldade é usar manipuláveis variados como por exemplo: círculos, barras

Cuisenaire, dobragens de papel, blocos padrão, etc. que irão permitir modelar

um� número fraccionário e operações com números fraccionários (Behr, M.,

Harel, G., Post, T. e Lesh, R., 1992). O uso de manipuláveis é crucial no

desenvolvimento do conceito de, pois ajuda os alunos a construir referências

mentais que lhes permitirão desempenhar tarefas com números fraccionários com

significado. É importante para os alunos nos anos iniciais cortar e colorir partes

de um todo quando são solicitados a identificar ou adicionar números

fraccionários. É igualmente importante para um aluno manipular números

fraccionários quando se está a aprender a multiplicar ou a dividir números

fraccionários. [Antes de multiplicar 1/2 x 1/3, deve-se, por exemplo, deixar o

aluno dobrar papel em terços e colorir um terço. Depois tornar a dobrar o papel

em metades e colorir uma metade numa cor diferente. As cores sobrepostas

corresponderão a 1/6. Esta actividade ajudará os alunos a compreender que o

produto de duas números fraccionários é menor do que um ou ambos os factores].

Bezuk e Cramer (1989), em relação ao estudo dos números fraccionários,

encorajam os professores a usar um ensino que envolva activamente os alunos

recorrendo ao uso de manipuláveis antes do trabalho formal com símbolos e

operações. Bezuk (1988) refere que muitas das dificuldades que os alunos



manifestam quando trabalham com manipuláveis são devidas ao seu uso

inadequado e ao serem postos de lado demasiado cedo.

Fennema e Franke (1992) ao analisarem um estudo efectuado com alunos da

formação inicial sobre o estudo dos números fraccionários detectaram que estes

futuros professores, apesar de conhecerem as regras e os procedimentos para

dividir por 1/2, aparentemente foram incapazes de traduzir esse conhecimento

numa forma que pudesse ajudar os alunos a compreender o conceito. Apesar de

estes alunos durante a formação terem tido um ensino onde se trabalhou várias

representações de números fraccionários, recorrendo a manipuláveis, este ensino

parece não ter tido impacto no que os professores ensinam ou no que os alunos

aprendem.

Os materiais manipuláveis são usados com bastante sucesso no ensino da

Geometria, desde os níveis mais elementares até ao secundário. Isto porque a

Geometria pelas suas possibilidades de concretização, sugere um ensino em que

qualquer opção de estratégia utilize material manipulável além dos correntes

materiais de desenho assim como sugere abordagens através de uma grande

variedade de situações problemáticas. A ideia principal é que os conhecimentos

geométricos se adquirem pelo contacto e manipulação das figuras. As

transformações que se vão operando no material é que levam o aluno a conhecer

as propriedades de uma figura.

Conforme Castelnuovo (1978) refere, para um ensino da geometria intuitiva

de carácter construtivista um desenho é insuficiente havendo por isso necessidade

de recorrer a bases concretas. A atenção de um aluno não se detém, com espírito

de investigação, sobre um modelo que permaneça estático. Para que um modelo

atraia a atenção é necessário que seja móvel. Então não é o material em si o

objecto de atenção, mas sim as transformações que se efectuam sobre ele. E é

através de uma série contínua de tentativas - o que não é possível com o desenho -



que os alunos descobrem relações e propriedades, facilitando o passo do concreto

para o abstracto. Deduzir a expressão da área do círculo, através da manipulação

de círculos que se cortam em sectores, é muito mais interessante e significativa,

permitindo conhecimentos mais sólidos e duradouros do que aprendê-la apenas

por memorização.

O estudo no ensino secundário das secções planas de alguns sólidos, tema

bastante importante porque põe em relação a geometria espacial com a geometria

do plano, reveste-se de grandes dificuldades para os alunos sobretudo quando têm

de determinar secções planas efectuadas sobre eles, mesmo começando com o

cubo. No entanto os modelos físicos neste caso ajudam bastante.

Em relação ao ensino da Geometria e das suas relações com os manipuláveis

é de referir a teoria proposta pelos van Hiele (Dina e Pierre). Esta aparece quando

materiais hoje bastante comuns tinham acabado de aparecer; Cuisenaire, com as

suas barras em 1952 e Gattegno com o geoplano em 1954, mas só por volta de

1984 é que se tornam acessíveis traduções para inglês de alguns dos seus

trabalhos mais importantes.

Os van Hiele consideram que a aprendizagem da geometria se desenvolve

numa sequência de cinco níveis de compreensão: Visualização, Análise, Dedução

informal; Dedução formal e Rigor, que descrevem as características do processo

do pensamento (Quadro 1). Os três primeiros níveis têm relevância para a

geometria escolar, enquanto que os outros níveis, sobretudo o último, são

verificados em trabalhos de matemáticos. Nível 0 (nível básico) - Visualização — as figuras são entendidas de acordo com a sua

aparência

Nível 1 - Análise — as figuras são o conjunto das suas propriedades

Nível 2 - Dedução informal (ordenação; abstracção) — as propriedades são ordenadas

logicamente

Nível 3 - Dedução formal — a geometria é entendida como um sistema axiomático



Nível 4 - Rigor — os sistemas axiomáticos são estudados Quadro 1. Níveis de Aprendizagem de Geometria

De acordo com experiências apropriadas de ensino, o modelo assegura que o

aluno se move sequencialmente a partir do nível inicial ou básico (visualização)

onde o espaço é simplesmente observado - as propriedades das figuras não são

explicitamente reconhecidas, até ao mais alto nível, rigor, que diz respeito aos

aspectos formais da dedução.

Na perspectiva desta teoria um rectângulo, por exemplo, é entendido

diferentemente pelo aluno nos vários níveis. No nível 0 o aluno baseia a sua

resposta num contexto visual e é capaz de o reconhecer entre outras figuras.

Utiliza expressões do tipo “é parecido com uma porta”. No nível 1 o aspecto

visual começa a perder importância e reconhece a figura pelas sua propriedades

as quais lista, sem serem vistas redundâncias. Utiliza expressões do tipo “tem

quatro lados, é fechada, dois lados são compridos, dois lados são menores, lados

opostos paralelos, com quatro ângulos rectos, etc.” No nível 2 o aluno tenta listar

o menor número de propriedades, baseando-se nas relações entre teoremas.

Utilizará expressões do tipo “é um paralelogramo com quatro ângulos rectos”. No

nível 3 o aluno procura provar o facto dedutivamente.

Segundo Crowley (1987) os van Hiele defendem que o progresso dos alunos

é feito através de níveis mais dependentes do ensino que recebem do que da idade

ou maturidade. Contudo, o método e organização do ensino assim como os

conteúdos e materiais usados são áreas importantes a considerar durante esse

processo. Se um aluno está no nível 2 e o professor utiliza uma linguagem do

nível 3 o aluno não percebe, pois a comunicação é impossível. Eles pressupõem

que há diversos níveis de aprendizagem e que a passagem de um nível para o

seguinte deve ocorrer através de uma sequência de fases de ensino. Com vista ao

que propõem, indicam cinco fases sequenciais de aprendizagem: (1) Informação,



fase de diálogo e actividade entre professor e aluno, sobre os objectos a estudar.

São feitas observações e perguntas e é introduzido vocabulário específico neste

nível.; (2) Orientação dirigida, os alunos exploram os tópicos a estudar através de

materiais que o professor sequencialmente introduz; (3) Explicação, baseando-se

nas suas construções, os alunos expressam os seus conhecimentos sobre o que

observaram. O papel do professor é mínimo; (4) Orientação livre, os alunos

exploram actividades mais complexas, que podem ser completadas de várias

maneiras; (5) Integração, os alunos revêem e resumem o que aprenderam, de

modo a formarem uma rede de conhecimentos sobre os objectos e as suas

relações. No fim desta fase, os alunos obtiveram um nível novo de pensamento.

Os autores afirmam que a criança deve ser confrontada com uma grande

variedade de experiências geométricas, dando bastante importância à utilização

de diversos materiais sobretudo nos primeiros níveis. No nível básico

(visualização), as formas geométricas são reconhecidas com base na sua

aparência física como um todo. Devem providenciar-se aos alunos oportunidades

de manipular, colorir, dobrar e construir formas geométricas. Criar formas -

copiando figuras em papel ponteado, papel com malha (quadriculado, triangular,

...) ou construindo (usando geoplanos, geoplanos circulares ou recortes); desenhar

figuras; construir figuras com paus, palhinhas ou com manipuláveis, blocos

padrão, etc. No nível 1 (análise) as propriedades das figuras surgem a partir das

formas. Devem providenciar-se aos alunos oportunidades de medir, colorir,

dobrar, cortar, modelar e pavimentar a fim de identificar propriedades das figuras

e outras relações geométricas. No nível 2 (Dedução informal) as propriedades

começam a ordenar-se. Devem providenciar-se aos alunos oportunidades de

estudar relações desenvolvidas no nível 1, olhando para inclusões e implicações;

trabalhar no geoplano, por exemplo, mudar um quadrilátero para trapézio,

trapézio para paralelogramo, paralelogramo para rectângulo... e indicar o que é



requerido em cada uma das transformações. No nível 3 (Dedução formal) a

natureza da dedução é compreendida. Devem providenciar-se aos alunos

oportunidades de identificar informação sugeridas por figuras; identificar o que é

dado e o que se pretende provar; usar várias técnicas de demonstração.

Algumas reflexões

Durante anos tem-se recomendado a utilização de várias formas de

representação de conceitos matemáticos no processo de ensino-aprendizagem,

sobretudo recorrendo a materiais concretos. A razão apontada é que as crianças

aprendem melhor quando as ideias são apresentadas com materiais concretos.

Apesar do apelo intuitivo ao uso dos materiais, algumas investigações efectuadas

parecem não ser muito conclusivas quanto à eficácia dos materiais concretos na

sala de aula. Contudo, acredita-se que quer situações reais quer representações

concretas ou pictoriais ajudam os alunos a compreenderem determinados

conceitos matemáticos abstractos (Fennema e Franke, 1992).

Hiebert e Carpenter (1992) apresentam algumas razões que ajudam a

compreender alguns dos efeitos ambíguos da interacção com os materiais

concretos. Na perspectiva destes autores, dizer que uma criança compreende

determinado ideia que lhe é apresentada com materiais concretos é dizer que a

criança construiu relações que conduzem a uma estrutura de conexões contendo

representações dos materiais e as suas interacções com eles. Isto pode acontecer

por duas razões: ou representando os materiais de modo que estes os liguem com

estruturas já existentes ou então construindo relações que conduzam à

reorganização de estruturas. Consequentemente, é importante considerar quer as

estruturas internas que os alunos já possuem quer as actividades na sala de aula

que conduzem à construção de relações entre as representações internas.



Sobre a ineficácia dos materiais em determinadas situações aqueles autores

apontam duas razões para esse facto. Por um lado, se os alunos não trazem com

eles os conhecimentos que o professor espera, não será fácil para eles

relacionarem as suas interacções com os materiais com as estruturas já existentes.

Eles não interpretam os materiais do modo que o professor espera que o façam e

o uso de materiais concretos dará possivelmente origem apenas a conexões

inadequadas. Por outro lado, resultados negativos com os materiais concretos

podem aparecer devido a duas características das actividades desenvolvidas na

sala de aula nas quais os alunos se envolvem. A primeira diz respeito à distância,

muitas das vezes existente, entre o material concreto e as relações matemáticas

que pretendemos que eles representem; quanto mais próxima a correspondência

entre as características mais evidentes dos materiais e as relações matemáticas,

mais apoio contextual existe para os alunos construírem as conexões pretendidas.

A correspondência entre as relações pretendidas na situação e os materiais

concretos pode ir desde uma correspondência muito próxima contextualmente

reforçada a uma distante com poucas pistas de apoio. Neste último caso, o

material concreto toma as características de um símbolo arbitrário em vez de uma

concretização natural. Contudo, por um material ser mais distante do que outro

das intenções pretendidas não significa necessariamente que tenha menos

utilidade. A segunda característica das actividades que podem ajudar a explicar a

eficácia do uso de materiais concretos na compreensão dos alunos tem a ver com

o contexto social em que os materiais são usados. Quer isto dizer que a

comunicação que se estabelece na sala de aula é fundamental pois vai permitir

que os alunos se foquem nas relações que pretendemos. A interacção que se

estabelece é um poderoso meio de captar a atenção dos alunos e que se centra na

troca de experiências. Os materiais, ao proporcionarem objectivos diferentes,

fazem com que se compartilhem variadas discussões. Quando o professor



selecciona determinado tipo de materiais, é porque pensa que são importantes, do

seu ponto de vista; contudo ele não tem garantia de que os alunos vejam as

mesmas relações nos materiais que ele. Só através das discussões que se geram na

sala de aula é que professor e alunos podem falar sobre as possíveis relações e

chegar aquelas que são de interesse para o fim em vista. É na interacção com os

materiais e dos alunos com alunos sobre os materiais que estes serão capazes de

construir, através de discussões na aula, as relações pretendidas. Por este facto o

contexto social no qual os materiais são usados podem influenciar, pelo menos

em parte, a sua eficácia (ou não) na ajuda à compreensão pelos alunos (pp. 70-

71).

A acrescentar a estas considerações diria o seguinte. Muitas vezes força-se a

utilização de um modelo concreto para introduzir, clarificar ou justificar

determinados conceitos ou propriedades. Digo força-se pois o que sucede é que o

modelo em vez de ajudar a clarificar muitas vezes só complica a situação. Por

exemplo, no conjunto dos números inteiros relativos quando se introduz a adição

de números com o mesmo sinal ou de sinais contrários, as barras chinesas

permitem justificar os resultados aos alunos, e mesmo com agrado. Contudo não é

aconselhável utilizar o mesmo modelo para a multiplicação uma vez que tentar

concretizar a situação com o mesmo material é bastante artificial e complicada,

tornando-se a tarefa muito mais simples se recorremos a justificações com base

noutras propriedades.

A Investigação em Portugal

Quem frequentou o ensino primário na década de 60 talvez recorde que nas

aulas de Matemática desse tempo, além do quadro preto o material que se

utilizava era o livro de texto, que era único, não havia mais nada. Mais tarde, no



Liceu, o único material manipulável eram os sólidos geométricos, e só nas aulas

de Desenho e de Ciências. Mais tarde, fins da década de 70, quem começava a

leccionar, só tinha à sua disposição os sólidos geométricos e um círculo

trigonométrico enorme pregado nas paredes que muito poucas pessoas usavam.

Hoje a realidade é diferente. Há poucos alunos durante o seu percurso escolar

obrigatório que, além do livro de texto, não tenham tido contacto, formal ou

informalmente, com pelo menos um destes materiais didácticos: o material

Dienes, vulgarmente chamado de material multibásico, o geoplano, a calculadora

e o computador. Em Portugal, nos anos 70, houve uma equipa liderada por Vítor

Pereira (do Centro de Investigação Pedagógica da Fundação Calouste

Gulbenkian) que trabalharam conceitos matemáticos a partir de materiais

manipuláveis entre eles as barras Cuisenaire e o material Dienes assim como

outros materiais não estruturados. Contudo os materiais manipuláveis foram

introduzidos de uma forma sistemática e generalizada nas então acabadas de

instalar Escolas Superiores de Educação, sobretudo pelos professores que tinham

obtido pós-graduações nos Estados Unidos na época áurea dos “manipulativos”

na década de 80. A partir de então os manipuláveis são estudados com maior ou

menor ênfase nas disciplinas de Didáctica da Matemática para o ensino básico.

Na segunda metade da década de 80 são várias as sessões realizadas, um pouco

por todo o país, e sobretudo nos Profmats (Encontros Nacionais de Professores de

Matemática), para divulgação das potencialidades educativas de alguns materiais

sobretudo do geoplano. Nos Profmats, sobretudo de 1989 e 1991, realizaram-se

várias sessões sobre os materiais manipuláveis no ensino da matemática onde

foram debatidas questões relacionadas com a sua utilização e referidas

experiências realizadas com sucesso no ensino básico e também no secundário.

Não há referência a investigações efectuadas especificamente sobre os

materiais manipuláveis no processo ensino-aprendizagem da matemática, contudo



existem algumas investigações que envolveram ou fizeram referência aos

manipuláveis. Analisemos algumas dessas investigações.

A maior parte dos estudos desenvolveu-se com professores do ensino básico

(Fernandes, 1985b; Costa, 1985; Loureiro e Serrazina, 1994; Serrazina, 1993 e

1998) um no ensino secundário e 3º ciclo (Rodrigues, 1993) e um que envolveu

professores de todos os anos de escolaridade (APM, 1998). Estes estudos

envolveram grande número de professores e onde foram diagnosticadas, na maior

parte, necessidades de formação e/ou a importância atribuída aos materiais.

Apenas dois estudos trabalharam com alunos (do 2º ciclo) e os temas tratados

foram os conceitos de área/perímetro e números fraccionários (Fernandes, 1990;

Pires, 1995)

Fernandes (1985b) fez um estudo sobre as necessidades de formação dos

professores do 1º ciclo de Viana do Castelo. Em relação ao conhecimento e à

utilização que fazem dos materiais manipuláveis na sala de aula constatou que

geralmente são mal conhecidos pelos professores e que são pouco usados nas suas

aulas. A maioria dos professores inquiridos (cerca de 331) dizia utilizar as barras

cuisenaire; menos de metade dos professores dizia utilizar os blocos lógicos;

enquanto que outros materiais como o geoplano e o material multibásico

raramente eram utilizados na sala de aula por todos os professores por

desconhecimento. Esta última conclusão mostra a necessidade de formação a

nível dos materiais que foi manifestada por aqueles professores.

Costa (1985) fez uma investigação onde, entre outros aspectos, estudou as

necessidades de formação dos professores de matemática do 2º ciclo da Ilha da

Madeira. A autora conclui que as escolas destes professores não estavam

equipadas com materiais educativos e os poucos que estavam disponíveis não

eram muito usados, por conseguinte os professores recorriam ao uso de materiais

muito raramente. Os materiais mais frequentemente usados eram o retroprojector,



seguidos de formas e sólidos geométricos. As perguntas do questionário, a que os

professores tiveram de responder, que estavam relacionadas com materiais foram

respondidas por uma percentagem muito baixa de professores o que leva a

concluir que a omissão de respostas se deve ao facto de que os professores não

estavam familiarizados com eles, talvez devido a uma falha na sua formação

académica.

Fernandes, H. (1990) fez um estudo com alunos do 5º ano de escolaridade,

onde procurou avaliar a eficácia de três métodos de ensino na aprendizagem do

conceito de número racional. Num desses métodos usou materiais manipuláveis,

noutro materiais e computador e o terceiro era o método tradicional. Destes

estudos concluiu que, no final da unidade didáctica, não foram encontradas

diferenças significativas entre os métodos utilizados, sobretudo nos dois

primeiros.

Serrazina (1993) efectuou um estudo com professores do 1º ciclo baseado

num questionário cujos vários itens estavam agrupados em cinco categorias: a

natureza da matemática; a matemática escolar; educação matemática; o valor da

matemática e o gosto pela matemática. Através deste questionário foi detectado

que a maioria dos professores concorda com a utilização dos materiais

(manipuláveis e calculadoras) no processo ensino-aprendizagem, embora a

percentagem de acordo com a utilização das calculadoras seja menor do que com

os outros materiais.

Rodrigues (1993) num estudo que efectuou sobre as perspectivas dos

professores, do 3º ciclo e secundário, sobre o ensino da matemática, constatou

que aqueles professores privilegiavam o uso do quadro e o giz, seguido do livro

de texto, cadernos de exercícios e fichas de trabalho. Os materiais manipuláveis,

calculadoras e retroprojector eram muito pouco utilizados.



Loureiro e Serrazina (1994) participaram num estudo de natureza

qualitativa entre 1991 e 1995 no âmbito de um projecto intitulado Utilização de

Materiais na Resolução de Problemas cujo objectivo foi produzir materiais que

possam contribuir para o desenvolvimento da resolução de problemas e da

utilização de materiais manipuláveis no ensino da Matemática para o 1º ciclo.

Com base em dois estudos de caso as autoras concluem que dois dos professores

de uma escola do 1º ciclo são entusiastas da utilização dos materiais manipuláveis

no ensino aprendizagem da matemática e consideram inconcebível a

aprendizagem da matemática sem o suporte de materiais. Vão até mais longe ao

afirmarem que a formação de professores deve contemplar a manipulação de

materiais. Contudo estes professores não conseguiram sensibilizar os seus colegas

para uma nova forma de ensinar matemática.

Pires (1994a, 1994b) investigou as concepções e processos de resolução de

problemas relacionados com os conceitos de área e de perímetro em alunos do 6º

ano de escolaridade. Este estudo teve como objectivo, entre outros, saber como os

alunos encaram a utilização de materiais na sua aprendizagem matemática. Os

materiais utilizados foram a régua e esquadro, geoplano, puzzles, modelos em

cartolina, materiais de uso corrente e calculadoras. O estudo conclui que para a

maioria dos alunos a área revelou-se um conceito mais complicado do que o

perímetro (surgindo algumas confusões quando abordados em conjunto),

reflectindo-se essa complexidade quer nas concepções e processos de resolução

mais diversificados quer em maiores dificuldades na comunicação dos seus

pontos de vista. Quando são utilizados modelos concretos os alunos apresentam

melhores desempenhos. Neste sentido recomenda que para o estudo destes

conceitos se deve diversificar as abordagens e proporcionar aos alunos situações

de aprendizagem em que estes tenham oportunidade de experienciar e discutir.

Em relação á utilização de materiais, para o qual os alunos responderam a um



questionário, pode concluir-se o seguinte. O estudo das atitudes dos alunos em

relação ao uso dos vários materiais mostra que nunca ou quase nunca têm

dificuldades em os utilizar. Consideram os materiais interessantes e divertidos,

com os quais se pode aprender facilitando-lhes a aprendizagem e a realização de

actividades com autoconfiança Preferem ambientes de aprendizagem onde se

trabalha em grupo e se utilizem materiais. Os materiais que os alunos preferiram

foram o geoplano e os puzzles.

Ribeiro (1995) fez um estudo “A Matemática, o seu ensino e os materiais

didácticos” sobre as concepções de professores do 1º ciclo. Neste estudo, entre

outros aspectos, desenvolveu um programa de formação com o objectivo de

promover a utilização de materiais manipuláveis pelos professores. Nos dois

professores que acompanhou detectou que a utilização dos materiais

manipuláveis no processo de ensino-aprendizagem é quase nula, pois não são

vistos como importantes, consideram-nos sobretudo um meio de motivação. Para

eles os materiais não estimulam o desenvolvimento de conceitos por parte dos

alunos. O quadro para aqueles professores tem-se mostrado adequado e suficiente

para as suas necessidades lectivas.

Serrazina (1998) desenvolveu em profundidade um estudo com três

professores do 1º ciclo do ensino básico em que o principal objectivo era

compreender as complexas relações que existem entre concepções, conhecimento

e práticas lectivas. Neste estudo a autora acompanhou aqueles professores durante

três anos e analisou a sua evolução. A evolução de cada professor foi estudada em

relação a três aspectos principais: com a matemática e a educação matemática,

como eles viam o novo currículo, em particular a resolução de problemas e os

materiais manipuláveis, e as suas práticas lectivas. Foi constatado que todos

aqueles professores mudaram as suas visões sobre o ensino e aprendizagem da

matemática e tentaram fazê-lo de modo a que os seus alunos se envolvessem em



actividades através do uso de manipuláveis. Pelo menos todos aumentaram a sua

autoconfiança em ensinar matemática e a sua motivação para mudar as suas

visões. As mudanças parecem estar relacionadas com a resolução de problemas e

o papel dos manipuláveis no ensino e aprendizagem da matemática.

Mais recentemente o projecto Matemática 2001 (APM, 1998) efectuou um

estudo sobre o ensino e aprendizagem da Matemática nos diversos níveis de

ensino básico e secundário. Em relação à utilização dos materiais didácticos

utilizados pelos professores na sua prática lectiva concluiu que o manual

adoptado é utilizado com muita frequência por cerca de 80% dos professores de

todos os níveis de ensino. Em relação aos materiais manipuláveis e jogos

didácticos a frequência de utilização é muito baixa em qualquer dos ciclos - cerca

de 90% dos professores em cada ciclo raramente os utilizou. Uma das

justificações dadas para este facto é de que as escolas estão mal apetrechadas com

este tipo de material e aquelas que eventualmente o têm ou foi construído na

própria escola ou trazido pelos professores ou alunos. Estes autores recomendam

que a prática pedagógica deve utilizar situações de trabalho que envolvam

contextos diversificados e a utilização de materiais que proporcionem um forte

envolvimento dos alunos na aprendizagem, nomeadamente os materiais

manipuláveis entre outros.

Ponte e al. (1998) num estudo que efectuaram sobre a investigação

efectuada em Portugal nos últimos dez anos concluíram em relação à utilização

de materiais didácticos que se utilizam muito pouco, com excepção dos

tradicionais quadro e giz e eventualmente de manuais escolares. As novas

tecnologias, apesar das fortes recomendações dos programas, ainda estão pouco

integradas nas práticas pedagógicas. Segundo estes autores esta reduzida

utilização de materiais está na tradição de ensino que valoriza a exposição pelo



professor e a resolução de exercícios em detrimento de modos de trabalhar que

favoreçam o protagonismo do aluno no processo de aprendizagem.

Destas investigações pode-se inferir que se tem estudado muito pouco o

uso de materiais manipuláveis no ensino da matemática escolar e aquela que

existe privilegia o 1º ciclo. Os resultados indicam que o uso de materiais

manipuláveis na sala de aula é reduzido e à semelhança do que acontece noutros

países os professores optam pelo uso do quadro e giz. As investigações que

utilizaram os manipuláveis no processo de ensino-aprendizagem de determinados

conceitos não é conclusiva em relação aos seus benefícios, o que está também de

acordo com resultados internacionais.

Recomendações Programáticas e Curriculares

A importância do uso dos manipuláveis há muito que tem sido reconhecida

pelos educadores matemáticos, e sendo assim aqueles devem constar dos

currículos de Matemática. Segundo Sowell (1989) os materiais manipuláveis já

eram contemplados nos currículos de matemática dos anos 30. Pode-se constatar

pelo documento Overview and Analysis of School Mathematics Grades K-12, que

foi elaborado pela comissão NACOME (National Advisory Comittee on

Mathematics Education) entre 1974 e 1975, que designaremos por relatório

NACOME, que havia então uma grande dose de entusiasmo em relação a

actividades de laboratório e uso de materiais manipuláveis para os níveis de

escolaridade K-12. Para isso contribuía um tipo de ensino em que a aprendizagem

necessitava de interacção com os materiais e dos alunos com alunos, baseando-se

no conceito de ensino activo onde as crianças deviam “fazer matemática”. Dava-



se ênfase a fazer matemática mais do que simplesmente aprender matemática.

Havia propostas de que a instrução regular era enriquecida com o uso de alguns

materiais manipuláveis para darem corpo a algumas ideias matemáticas mais

abstractas. Um projecto mostrou que durante 23 anos alunos de todos os níveis

gostaram mais e melhoraram as suas atitudes quando ensinados por professores

que tinham formação específica no uso de materiais e actividades de laboratório.

Worth (1986) dá uma panorâmica geral sobre o que se passa em relação

aos manipuláveis nos Estados Unidos, dizendo que o NCTM publicava há 50

anos um livro sobre a importância dos manipuláveis na educação matemática.

Mais tarde, nos anos 60, continuou-se a dar importância a estes materiais

reforçando a ideia de que devem ser dadas amplas oportunidades aos alunos para

manipularem fisicamente objectos. Este encorajamento continuou através dos

anos 70. Numa revisão da investigação feita por Suydam e Higgins (1976) estes

autores concluíram que a importância do uso dos manipuláveis era defendida

numa grande variedade de tópicos e em qualquer nível de ensino. Nos anos 80 a

An Agenda for Action (NCTM, 1980) continuava a defender o uso dos

manipuláveis. Mais recentemente as Normas continuam a defender os

manipuláveis para os anos 90.

Uma vez que as Normas tiveram uma grande influência na elaboração dos

Programas Nacionais vejamos mais de perto estes dois documentos.

As Normas (1991) são claras quando referem que os livros de texto, por

muito bons que sejam, não são suficientes para ensinar e aprender matemática.

Por isso recomendam que as salas de aula devem estar equipadas com

calculadoras, computadores e materiais concretos. “Todas as salas de aula estarão

apetrechadas com conjuntos de materiais manipuláveis (por exemplo, cubos,

placas, geoplanos, escalas, compassos, réguas, transferidores, papel ponteado) (p.

80)”. Esta recomendação é baseada no facto de que “as crianças são indivíduos



activos que constroem, modificam e integram ideias interagindo com o mundo

físico, com os materiais e com outras crianças. Assim sendo é evidente que a

aprendizagem da matemática deve ser um processo activo (...). Os professores

têm de criar um ambiente que encoraje as crianças a explorar, desenvolver, testar,

discutir e aplicar ideias. Têm de ouvir as crianças atentamente e guiar o

desenvolvimento das suas ideias. Têm de usar frequentemente materiais

manipuláveis em actividades que impliquem o raciocínio de forma a fomentar a

aprendizagem de ideias abstractas (p.21)”. Mais à frente na p. 133 referem que “

Os alunos descobrem relações e desenvolvem o sentido espacial ao construírem,

desenharem, medirem, visualizarem, compararem, transformarem e classificarem

figuras geométricas”. As Normas 2000 (1998) continuam a defender os

manipuláveis para todos os níveis a par da tecnologia e de outras ferramentas

como um modo de os alunos se envolverem activamente na aprendizagem da

matemática

Sendo os professores responsáveis pela qualidade das actividades

matemáticas em que os alunos se envolvem, as Normas Profissionais (1994)

referem que os professores devem valorizar e encorajar a utilização de diversos

instrumentos mais do que dar demasiada ênfase aos símbolos matemáticos

convencionais. Devem começar por saber que existe uma grande de variedade de

materiais para o ensino da Matemática: colectâneas de problemas, programas de

computador, fichas com exercícios, puzzles, materiais manipuláveis,

calculadoras, livros de texto e outros, logo devem ser ensinados a usar estes

materiais para ajudar as crianças a aprender matemática.

O que dizem os programas oficiais em relação aos materiais não é diferente

do que dizem as Normas. O Ministério da Educação, através das suas publicações

sobre as orientações de implementação dos novos programas aquando da

Reforma em 1991, faz várias referências à necessidade de se utilizarem materiais



manipuláveis dos mais variados tipos na implementação dos novos programas de

Matemática para o ensino básico. No 1º ciclo, o programa (ME, 1990) refere na

Introdução que devem ser dadas oportunidades aos alunos de realizarem

experiências de aprendizagem activa (...) que garantam efectivamente o direito ao

sucesso escolar de cada aluno. Entendendo que as aprendizagens activas

pressupõem que os alunos tenham oportunidade de viver situações estimulantes

de trabalho escolar que vão da actividade física e da manipulação de objectos e

meios didácticos à descoberta permanente de novos percursos e de outros saberes.

Na disciplina de Matemática nos suportes de aprendizagem, o programa refere na

p.129 que “sendo os objectos de Matemática entes abstractos é importante que os

conceitos e relações a construir possam ter um suporte físico. Se por um lado a

manipulação do material pode permitir a construção de certos conceitos, por

outro lado pode servir também para a representação de modelos abstractos desses

conceitos”. Mais à frente também referem a importância que alguns jogos podem

ter no desenvolvimento de competências necessárias à resolução de problemas a

par do enorme prazer que proporcionam. No 3º ciclo, o programa (ME, 1991b)

refere que um programa que se pretende ligado à experiência e à intuição

pressupõe a possibilidade de largo uso de materiais diversificados entre eles os

manipuláveis. Em particular ao longo do tema Geometria são feitas bastantes

referências ao uso de materiais manipuláveis, de modo a permitir-lhes descobrir

relações e propriedades entre os elementos estudados, podendo coexistir aspectos

lúdicos e de interesse prático, características estas eminentemente favoráveis à

aprendizagem.

Vejamos em particular o que se pode ler no respeitante ao 2º ciclo do ensino

básico. Na edição sobre a organização curricular e programas (ME, 1991a) de

Matemática, na Introdução podemos ler “No 2º ciclo é indispensável a

manipulação de materiais variados (objectos de uso corrente, modelos de sólidos



geométricos, geoplanos, puzzles, ...) como suporte de actividades de exploração

que favoreçam a formulação de conjecturas, etapa fundamental da actividade

matemática”(p.148). Mais à frente na secção Recursos diz “Um programa que se

pretende ligado à experiência e à intuição pressupõe a possibilidade de largo uso

de materiais diversificados: - materiais simples do quotidiano(...); - materiais de

desenho e medição, (...)”(p. 166). No Programa de Matemática para o 5º e 6º anos

de escolaridade do ensino básico (ME,1991d) na secção das observações e

sugestões metodológicas também são diversas as referências à sua utilização ao

longo dos vários conteúdos, não só nos conteúdos do âmbito da Geometria mas

também no âmbito do Número. Ao longo das sugestões metodológicas são feitas

as seguintes referências no âmbito da Geometria. No 1º tema do 5º ano, Sólidos

Geométricos, lê-se “(...) a manipulação de objectos de uso corrente e de modelos

de sólidos geométricos deve ser o ponto de partida para o estudo a realizar

[Identificar e descrever sólidos geométricos]”(p. 17). Mais à frente é referido que

“os alunos devem manipular modelos de sólidos enquanto disso sentirem

necessidade”. No 3º tema, Áreas, faz referência também a materiais estruturados

“(...) o retomar da aprendizagem já feita no 1º ciclo permitirá aos alunos duma

maneira informal, através de actividades de desenho em papel quadriculado, em

papel ponteado, utilizando o geoplano, tangram, etc, aprofundar e ampliar os seus

conhecimentos sobre áreas.”(p. 20). Mais à frente, no 6º ano, no 3º tema,

Construção de Quadriláteros, pode-se ler “A utilização de material manipulável

como por exemplo, palhinhas, pequenas barras de cartolina e tachas, podem

facilitar a intuição, estimular a realização e a validação de conjecturas, levar à

descoberta da desigualdade triangular.” (p. 35). e na p.36 “ O uso de materiais

como o geoplano, o papel ponteado, o papel quadriculado, é indispensável para a

exploração deste tema [simetrias]”.



No âmbito do Número as referências aos materiais são mais modestas,

apesar de serem sugeridas por outros organismos: Por exemplo em Normas

(1991) recomenda-se o uso de manipuláveis em diversas situações numéricas (pp.

111, 122, 131,...). No 5º ano, no 6º tema, Números Racionais, podemos ler “O

estudo dos números fraccionários deve incluir diferentes tipos de representações

gráficas. Sugere-se ainda a utilização de materiais manipuláveis: sectores

circulares em papel, geoplano, material Cuisenaire, calculadoras, multibásicos,

...)” (p. 24). Estas referências são apontadas como indispensáveis e indissociáveis

da actividade matemática e fazem parte integrante do processo de construção do

conhecimento por parte do aluno. Há conteúdos onde a sua abordagem deve ser

feita exclusivamente pela via experimental recorrendo a materiais. É, por

exemplo, o caso da descoberta da fórmula que relaciona o perímetro de um

círculo com o seu diâmetro. Noutros casos a sua utilização é indispensável por

exemplo no caso das simetrias e noutros são referidos apenas como sugestões e a

manipulação por parte do aluno é feita apenas enquanto tiver necessidade disso.

Muitos dos materiais referidos são do quotidiano mas outros são mais

estruturados podendo ser adquiridos no mercado ou então elaborado pelo aluno

como é o caso por exemplo do Geoplano e do Tangram.

As referências nos programas oficiais em relação à utilização e

diversificação de materiais no ensino da matemática no ensino básico é bastante

clara, o que vimos de uma maneira mais pormenorizada no caso do 2º ciclo. Mais

recentemente Abrantes et al. (1999) sobre a Matemática na Educação Básica

defende a construção e manipulação de materiais. Esta é uma visão ampla,

quando em particular referem que o desenvolvimento desta capacidade envolve

“a construção material de objectos, como no caso do cubo ou outros sólidos

geométricos, de desenhos geométricos com regra e esquadro e de construções no

computador” (p.85).



No ano lectivo de 97/98 foi introduzido o programa ajustado de Matemática

para os 10º, 11º e 12º anos e aqui os recursos a serem utilizados também são

bastante variados e para além das calculadoras gráficas que fazem parte

integrante do processo ensino-aprendizagem, aparecem os computadores e os

materiais manipuláveis. Assim podemos ler na p. 10 “A Didáctica prevista para a

Matemática no ensino secundário pressupõe a possibilidade de uso de materiais e

equipamentos diversificados como por exemplo: material de desenho para o

quadro e trabalho individual; material para o estudo da Geometria (sólidos

geométricos construídos em diversos materiais: placas, arames, palhinhas,

acetatos, plástico,...); calculadoras gráficas, computadores, etc.)”. Ainda sugere à

semelhança do que existe em algumas Escolas Superiores de Educação e

Universidades que deve tender-se para a constituição nas escolas Secundárias de

Laboratórios de Matemática que integrem estes recursos e outros que se venham a

revelar necessários. Penso que a introdução sobretudo dos materiais manipuláveis

de forma explícita veio desafiar uma concepção dos professores e tentar quebrar

uma certa relutância que grande parte dos professores deste nível de ensino

tinham sobre o ensino da Matemática com recurso a materiais manipuláveis. Com

efeito, para estes professores os manipuláveis não são vantajosos para os alunos

pois "infantilizam" o ensino e tratam os assuntos como fossem conceitos

“menores”; quanto mais formal for o ensino mais importante este é. Isto por um

lado por outro há a concepção de que os materiais assim como o recurso à

intuição devem estar presentes apenas no ensino da matemática nos anos mais

elementares, pois nos outros os assuntos devem ser tratados de um modo mais

formal, mais dedutivo. É esta a concepção que parece prevalecer ainda hoje. É de

referir que, por exemplo, no âmbito da Geometria a visualização espacial só pode

ser "treinada" através de uma componente experimental e esta passa

obrigatoriamente pelo recurso a materiais manipuláveis, entre outros, e em



qualquer nível de escolaridade. Como refere Alsina (1990) que o uso de materiais

não é uma questão de idade mas sim de uma eficaz utilização docente, e por este

motivo estes podem ter sentido em qualquer nível de escolaridade.

Síntese

Os alunos parecem aprender Matemática, segundo uma perspectiva

construtivista, de um modo mais eficaz quando recorrem a materiais

manipuláveis e se lhes dá oportunidade de interagirem uns com os outros,

sobretudo nos níveis iniciais de escolaridade. Os materiais permitem que os

alunos reflictam sobre as suas experiências e comuniquem uns com os outros

originando uma aprendizagem mais significativa e duradoura. O reconhecimento

da importância de actividades práticas recorrendo a materiais manipuláveis com

vista à atribuição de significado a uma ideia passando gradualmente à exposição

clara dessa ideia abstraindo do material, foi defendida ao longo dos tempos em

educação matemática por vários autores (e.g. Bruner, Gattegno, Montessori,

Pestalozzi, Piaget). Contudo apesar de também haver recomendações nesse

sentido dos programas oficiais de matemática para todos os níveis de escolaridade

até ao 12º ano, ainda não há uma prática eficaz nesse sentido nas nossas escolas,

onde a maior parte dos professores não os utilizam com os seus alunos. Isto

poderá ser uma consequência da falta de conhecimento e de familiaridade com os

manipuláveis, aspecto este que está ligado à visão que o professor tem da sua

profissão, mas não só, tem também muito a ver com as concepções que o

professor tem sobre a matemática e o seu ensino e aprendizagem.



O aspecto lúdico é importante no processo de aprendizagem, por isso os

materiais quando associados ao jogo poderão proporcionar momentos agradáveis

com um forte envolvimento dos alunos — a situação ideal de aprendizagem

(embora possa ser questionável) é aquela em que a actividade é de tal modo

agradável, que aquele que aprende a considere não como um trabalho, mas como

um jogo.

Algumas das investigações efectuadas parecem não ser muito conclusivas

quanto à eficácia dos materiais concretos na sala de aula. Apesar destes resultados

devemos continuar a utilizá-los mas com a convicção de que eles não são a

panaceia para todos os problemas de aprendizagem em Matemática, pois como

refere Pimm (1995, p.15) “Usar materiais manipuláveis no ensino da matemática

é sempre um meio para atingir um fim, e não um fim em si mesmo”. Há temas

que serão bastante mais complicados de introduzir se não tiverem um suporte

físico para o fazer, assim os materiais poderão ser um suporte valioso na sala de

aula sobretudo para actividades problemáticas e para a comunicação matemática

entre os alunos. Contudo de nada valerão se, por um lado, o aluno não os quiser

utilizar e, por outro, se o professor não tiver sólidos conhecimentos científicos e

didácticos, conhecimentos sobre a sua utilização e potencialidades e se não

permitir que o aluno tenha um papel activo e reflexivo na construção do seu saber

permitindo que discuta com ele e com os colegas sobre as tarefas propostas. Não

esquecer também que a organização e ambiente de trabalho na sala de aula será

completamente diferente da aula tradicional.



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