CONCEPTOS BASICOS DE TRANSFORMADA DE LA PLACE

INTRODUCCION.-En el clculo elemental se estudi la derivacin e integracin los cuales gozan de la operacin de linealidad, es decir.d/dx( 3x3 + 2x2) = 3d/dx(x3) + 2 d/dx(x2)(3x3 +2 x2) dx = 3 x4/4 + 2 x3/3 +c.La Operacin de Linealidad de la derivacin e integracin transforman esencialmente una funcin en otra expresin por ejemplo.(d/dx) x3 = 3x2 , x3dx = X4/4 +C , nosotros estamos interesados en una integral impropia que transforma una funcin F(t) en otra funcin de parmetro S, al cual se le llamara transformada de Laplace , es decir, que la transformada de la place es una operacin que transforma una funcin F(t) en otra funcin de parmetro SDEFINICION DE TRANSFORMADA DE LAPLACE.-Transformada de Laplace puede encontrarse a partir de su definicin como una integral impropia que se calcula mediante el uso de un lmite infinito Dentro de las propiedades ms importantes de esta transformacin es la linealidad ya que al ser una integral esta propiedad se hereda. La transformada de Laplace por definicin es una integral que va desde menos infinito a ms infinitoSe llama transformada de la place de F, siempre que el limite existe.Simblicamente a la transformada de la place de F se denota por: L{f(t)}

a la Funcin f se la llama transformada Inversa de la Place de F, suele representarse con el smbolo L(f),y con frecuencia se escribe tambin F(s) = L{f(x)}

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LA PLACE DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES.

Ejemplos Calcular L{f(t)} donde F(t) es dado :F(t) = t4 + sen 4t + cos7t.F(t) = Sen 20 tF(t) = Cos 2 4 tF(t) = Sen t CostF(t) = Sen2 t

L{f(t)} = 4!/(S 5) + 4/(S2+16) + S/(S2+49)

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS DE LA PLACE.a) PROPIEDAD DE LINEALIDAD.-Propiedad de Linealidad de Que la Transformada de una Combinacin lineal de Funciones es una combinacin lineal de las transformadas para alfa y beta constantes.

calcular L{f(t)}, donde F(t) = t2+cos2t+ e3tL{f(t)}=L{t2+cos2t+ e3t}=L{t2}+L{cos2t}+L{e3t} , = 2/S3 + S/(S2+4) + 1/(S-3)b)PRIMERA PROPIEDAD DE TRASLACION.Supongamos que f es una funcin F(s) tal que exista F(s) =L{F(t)}

Ejemplosi F(t) = t3e4t, hallar L{f(t)}L{t3} = 3!/S4 , entoncesL{t3 e4t} = F(S-4) = 3*2*1/(S-4)4 = 6/(S-4)4si F(t) = e-tcos2t , hallar L{f(t)}L{cos2t} = S/(S2+4) = F(S-(-1)) = F(S+1) L{e-tcos2t } = F(S+1) = S+1/[(S+1)2+4] = S+1/(S2+2S+1+4) =(S+1)/(S2+2S+5)c)SEGUNDA PROPIEDAD DE TRASLACION

Esta Propiedad surge en la practica cuando hay tiempos de retraso en la alimentacion de energia a sistemas electricos se llama tiempo de retardod) PROPIEDAD DEL CAMBIO DE ESCALA

ejemplo hallar :L{sen 7t } = 1/(S2+1) =F(S) Entonces L{sen t } = 1/(S2+1) =F(S) Entonces.L{sen 7t } = (1/7)*1/ {(S/7)2+1} L{sen 7t } = (1/7)*1/{(S2/49+1}L{sen 7t } = (1/7)*1/{(S2+49)/49}L{sen 7t } = (1/7)*49/{(S2+49)}L{sen 7t } = 7/(S2+49)TRANSFORMADA DE LA PLACE DE LA MULTIPLICACION POR POTENCIA DE tn .

Demostrar que L{tcosat } =(S2-a2)/(S2+a2)2L{tcosat } =(-1)1*d/ds*L(cosat) = =-1d/ds{s/s2+a2}=-{(S2+a2)-S(2S)}/(S2+a2)2= -{(S2+a2-2S2)}/(S2+a2)2= -{(-S2+a2)}/(S2+a2)2= (S2-a2)/(S2+a2)2hallar L{t(3sen2t-2cos2t)}=(-1)*d/ds* L(3sen2t-2cos2t)=(-1)*d/ds*{3*(2/(s2+4) -2(S/S2+4)}=(-1)*d/ds*{6/(S2+4)- 2S/(S2+4)}=d/ds*{(2S-6)/(S2+4)}= {(S2+4)*2 (2S-6)*2S}/(S2+4)2= {(2S2+8 4S2+12S)}/(S2+4)2= (-2S2+12S+8)/(S2+4)2TRANSFORMADA DE LA PLACE DE LA DIVISION POR " t"

Ejemplo .-Demostrar que:L{(e-at b-bt)/t}=Ln{(S+b)/(S+a)}L{e-at} - L{b-bt } = 1/(S-(-1)) 1/(S-(-b))L{e-at} - L{b-bt } = 1/(S+1) -1/(S+b) = f(s)Ahora Aplicando la Transformada de la Divisin.L{(e-at b-bt)/t}= L{f(t)}= F(s)

L{(e-at/t}- L{(e-bt/t}L{(e-at}- L{(e-bt} = 1/(S+a) 1/(S+b) =(F(s) pero s tiende a u.1/(u+1) 1/(u+b) =(F(s) {(1/(u+a) -1/(u+b)}du= Ln(u+a) Ln(u+b) = Ln{(u+a)/(u+b)}dividiendo para u=Ln{ (u/u +a/u)/(u/u +b/u)}=Ln{(1 +a/u)/(1+b/u)REEMPLAZADO POR INFINITO Y POR S= Ln{ (1 + a/inf)/(1+b/infinito)}-Ln{(1+a/s)/(1+b/s) = Ln{(1+0)/(1+0)}-Ln{((s+a)/s)/((s+b)/s)}= Ln1-Ln{(S+a)/(S+b)}= 0- Ln{(S+a)/(S+b)}=-{Ln(s+a)-Ln(S+b)}= Ln(S+b)-Ln(S+a) = Ln{(S+b)/(S+a)}L{(e-at b-bt)/t} =Ln{(s+b)/(s+a)}RESOLVER EL SIGUIENTE EJERCICIOCalcular : L{(cost cosht)/t}L{(cost cosht)/t} = L{(cost)/t}-L{(cosht)/t}={(s/(s2+1)} - {(s/s2-1)} ahora s tiende a u={(u/(u2+1)} - {(u/u2-1)}=={(u/(u2+1)} - {(u/u2-1)}={(u/(u2+1)} - {(u/u2-1)}={(u/(u2+1)} - {(u/u2-1)}={(u/(u2+1)} - {(u/u2-1)} = ()Ln(u2+1) (1/2)*Ln(u2-1) = 1/2Ln{(u2+1)/(u2-1)}Reemplazando por infinito y por s1/2Ln{(u2/u2+1/u2)/(u2/u2-1/u2)}1/2{Ln {(1+0)/(1-0)}-Ln{(1+1/s2)/(1-1/s2)}}1/2{Ln 1-Ln{((S2+1)/s2)/((s2-1)/s2)}}1/2{0-Ln{((S2+1)/(s2-1)}} {0-Ln{((S2+1)/(s2-1)}}1/2{-Ln{((S2+1)-Ln(s2-1)}}1/2{-Ln{((S2+1)+Ln(s2-1)}}1/2{Ln{((S2-1)-Ln(s2+1)}}1/2{Ln(S2-1)/(s2+1)}L{(cost cosht)/t}=1/2{Ln(S2-1)/(s2+1)}

EJERCICIO 3hallar L{(1-et+sen2t)/t}=L{(1/t)}-L{(et/t)}+ L{(sen2t)}= 1/S 1/(S-1) + 2/(S2+4) pero S tiende a U= 1/U 1/(U-1) +2/(U2+4)= = Ln u Ln(u-1) +2 ((1/2)*arctang u/2)= Ln(u/(u-1)) +arctang u/2= Ln( u/u/(u/u -1/u)) + arctang (u/u)/(2/u)= Ln(1/(1 -1/)) + arctang (1/( )= Ln(1)+ arctang= Ln(1) +/2-{(Ln(s/(s-1) +arctang s/2}= 0 +/2 {Ln S- Ln(s-1)}- arctang s/2= /2 - LnS +Ln(S-1) arctang s/2= /2 + ln(S-1)/S arctang (s/2)Ejercicio Calcular L{(et-cost/t)}L{(et)}-L{(cost)}= 1/(S-1) s/(S2+1) = F(s) Propiedad de la DivisionS tiende a uL{(et-cost/t)} = L{(et-cost/t)}=ln(u-1)-1/2(ln(u2+1) = ln{(u-1)/(u2+1)1/2 }= Ln(u/u-1/u)/(u2/u2+1/u2)= ln(1-0)/(1+o)1/2 = ln(1/1) = 0 =-ln(s-1)/ (s2+1)1/2=-{ Ln(S-1)- Ln(s2+1)1/2 }= Ln(s2+1)1/2 Ln(s-1) = Ln((s2+1)1/2/(S-1)desarrollar el siguiente ejercicioDemostrar que L {(sen2 t)}= ln(S2+4)/S2= 1/2L{1-cos2t} =1/2{1/s s/(s2+4)}=F(s)L {(sen2 t)}= =1/2{lnu -1/2Ln(u2+4)}= lnu ln(u2+4) == 1/2Ln u/u 1/4Ln(u2/u2 +4/u)Ln1 -1/4 ln(1+0) = 0-0-{1/2 lnS 1/4Ln(s2+4)}= 1/4ln(S2+4)- 1/2lnS = 1/4{ln(S2+4) 2LnS}= 1/4{ln(S2+4) LnS2}= 1/4ln{(S2+4)/S2 }Demostrar que L(et-cost)/t)}=ln{(S2+1)1/2/(S-1)}=L{(et-cost)/t}=L{(et)} - L{(cost)} = S/(S2+1)S tiende a U= = = Ln(u-1) 1/2ln(u2+1)=ln(u/u -1/u) 1/2ln(u2/u2+ 1/u2)= Ln(1- 1/) 1/2Ln(1 +1/)=Ln(1-0) 1/2Ln(1+0) = Ln1 -1/2ln 1= 0

Reemplazando S-{ln(S-1) 1/2ln(S2+1)}= 1/2ln(S2+1)-Ln(S-1)=Ln{(S2+1)1/2/(S-1)}Ejercicio.Demostrar que L {[et(cost-1)]/ t)}= ln{(S-1)/[(S-1)2+1]1/2}L{[etcost)]} -{et} =

TRANSFORMADA DE LA PLACE DE LA DERIVADA.Los Siguientes teoremas que se van a estudiar, referentes a la transformada de la place de la derivada se utilizan bastante en la resolucion de las ecuaciones diferenciales.a) TEOREMA.-Consideramos una funcion continua F:[0, R y que F(t) sea continua por tramos, y de orden exponencial en [0, R

Apliquese una transformada de La place a la ecuacion diferencial.dy/dt 3y = e2t ,sujeta a y(0)= 1L{(dy/dt)} -L{3y}= L{e2t }Pero: L{(dy/dt)}=sL{(y)}-y(0) y L{e2t } = 1/(S-2)Por Lo tanto dy/dt 3y = e2t es igualsL{y }- y(0)- 3L{y }= 1/(s-2)L{y }(s-3) -1 = 1/(s-2)L{y } = {1/(s-2) +1}/(s-3)L{y } = {(1+(S-2))/(s-2)}/(s-3) L{y } = {(1+S-2)/(s-2)}/(s-3)L{y } = {(S-1)/((s-2)(s-3))}RTAEJEMPLO 2b)Teorema 2L{F"(t)} = S2L{F(t)} SF(0+) - F' (0+)APLIQUESE UNA TRANSFORMADA A AMBOS MIENBROS DE LA ECUACION DIFERENCIAL.4Y"(t )+y(t) = -2 Sujeta y(0)=0 ; Y' (0)=1/2 Primeramente Aplicamos la transformada a ambos miembros de la ecuacin diferencial4L{Y"(t)} -L{y(t)}= L{-2}4S2 L{y(t)}-4SY(0)-4Y' (0) + L{y(t) = -2/SL{y(t)}(4S2 +1) -0 -2 = -2/SL{y(t)}(4S2 +1) = -2/S +2L{y(t)}(4S2 +1) = (-2 +2S)/SL{y(t)}(4S2 +1) = {(-2 +2S)/{S(4S2 +1)}}Generalizando si F(n-1) : [0,+R, es una funcion continua por tramos y de orden exponencial entonces.L{F(n)(t)}=SnL{F(t)}-S n-1F(0+)-S n-2F'(0+)-.-S(n-2)(0+)-F(n-1)(0+)L{F(n)(t)}= SnL{F(t)}- n-1-i F(i)(0+)Calcular L{tn} = L(n!) = n!/S, de donde se tiene. n!/S = L{Dtn*tn} = SnL{tn}-S n-1F(0+)-S n-2 F'(0+) -.-F (n-1)(0+). n!/S = SnL{tn}- 0-0- -0 por lo tanto L{tn}L{tn} )= n! / S n-1 para S 0TRANSFORMADA DE LA PLACE DE INTEGRALESTeorema Consideramos una funcion F: [0,+R continua por tramos y de orden exponencial, entonces:L{F(t)= F(s) =L{F(t)}-LEjemplo

Hallar L{ eatsentdtL{sent} = 1/(s2+1)L{tsent}=- L{sent}=- ( 1/(S2+1) = -{(S2+1)0- 1*2S)}/(S2+1)2 = + 2S/(S2+1)2 L{tsent}=2S/(S2+1)2 L{eattsent}=2*(S-a)/{(s-a)2+1}2 = f(s)L{ eatsentdt = = 2(s-a)/[S(S-a)2 +1]2

Hallar L{t2 sentdt}L{sent} = 1/(s2+1)L{tsent}= L{sent}=(-1)1 ( 1/(S2+1) = -{(S2+1)0- 1*2S)}/(S2+1)2 = + 2S/(S2+1)2 L{ sentdt = {(2S/(S2+1)}- sentdt

L{ eatsentdt = {sent}- sentdt