Materi Statmat II
Transcript of Materi Statmat II
8/16/2019 Materi Statmat II
http://slidepdf.com/reader/full/materi-statmat-ii 1/16
Fitriani Agustina, JurPend.Math, UPI
1
Distribusi Pendekatan
(Limiting Distributions) Ada 3 teknik untuk menentukan distribusipendekatan:1. Teknik Fungsi Distribusi
Contoh2. Teknik Fungsi Pembangkit Momen
Contoh3. Teknik Teorema Limit Pusat
Contoh
8/16/2019 Materi Statmat II
http://slidepdf.com/reader/full/materi-statmat-ii 2/16
Fitriani Agustina, JurPend.Math, UPI
2
Teknik Fungsi Distribusi
Definisi:
Misalkan F n(x) fungsi distribusi dari peubah acak X n yang bergantung pada bilangan bulat positifn. Apabila F(x) merupakan fungsi distribusi dari
X sedemikian sehingga untuksetiap X dimana F(x) kontinu, maka dikatakanpeubah acak X n memiliki distribusi pendekatan(limiting distribution ) dengan fungsi distribusipendekatannya adalah F(x) .
x F x F Lim nn
8/16/2019 Materi Statmat II
http://slidepdf.com/reader/full/materi-statmat-ii 3/16
Fitriani Agustina, JurPend.Math, UPI
3
Teknik Fungsi Pembangkit Momen
TeoremaMisalkan peubah acak X n mempunyai fungsidistribusi F n( x ) dan fungsi pembangkit momennya
Mn(t ) = M(t;n ) ada, untuk setiap n dan .Jika ada fungsi distribusi F( x ) dan fungsi pembangkitmomennya M( t ), sedemikian sehingga
maka X n dikatakan mempunyai distribusi pendekatandengan fungsi distribusi F( x )
0, h
t h
t M nt M n
;lim
8/16/2019 Materi Statmat II
http://slidepdf.com/reader/full/materi-statmat-ii 5/16
Fitriani Agustina, JurPend.Math, UPI
5
Contoh 3
Misalkan X n adalah peubah acak berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan = n. Jika peubahacak , maka tentukan distribusipendekatan dari Y n dengan menggunakan FPM.
Untuk menyelesaikan contoh soal di ataspertama-tama terlebih dahulu menentukan fkp dariXn, dan menentukan FPM dari X n.
Selanjutnya menentukan FPM dari Y n dan apakahnilai
,
n
n X Y n
n2
t M nt M n
;lim
8/16/2019 Materi Statmat II
http://slidepdf.com/reader/full/materi-statmat-ii 6/16
Fitriani Agustina, JurPend.Math, UPI
6
Apabila ternyata maka Yn
mempunyai distribusi pendekatan .
Apabila sebuah peubah acak mempunyai distribusipendekatan maka kita dapat menggunakan distribusipendekatan itu sebagai distribusi yang sebenarnya.
t M nt M n
;
lim
8/16/2019 Materi Statmat II
http://slidepdf.com/reader/full/materi-statmat-ii 7/16
Fitriani Agustina, JurPend.Math, UPI
7
Teknik Dalil Limit Pusat
Pada teknik ini, peubah acak yang merupakan jumlahdan rata-rata tersebut dengan menggunakantransformasi tertentu (angka baku) akan berdistribusi
normal baku.
8/16/2019 Materi Statmat II
http://slidepdf.com/reader/full/materi-statmat-ii 8/16
Fitriani Agustina, JurPend.Math, UPI
8
Pada perkuliahan sebelumnya telah membahasbahwa, jika X 1, X2, X3, . . . , X n menunjukkan sampel
acak dari distribusi normal yang mempunyai rerata μdan varians σ 2, maka peubah acak
berdistribusi N(0, 1) untuk setiap n anggota bilanganasli. Sekarang akan membahas suatu teorema yangsangat penting, yang salah satu hasilnya mengatakanbahwa, jika X 1, X2, X3, . . . , X n adalah suatu sampelacak berukuran n dari sebarang distribusi yang
n
n X
Z
n
i
i
n1
X n
Z n
8/16/2019 Materi Statmat II
http://slidepdf.com/reader/full/materi-statmat-ii 9/16
Fitriani Agustina, JurPend.Math, UPI
9
mempunyai mean μ dan varians 0 < σ 2 < ∞, maka
Teorema Limit Pusat
Misalkan X 1, X2, X3, . . . , X n adalah suatu sampelacak berukuran n dari suatu distribusi yangmempunyai mean μ dan varians 0 < σ 2 < ∞, maka
1,0: N Z X n
Z d n
n
1,0:1 N Z X n
n
n X Z d n
n
ii
n
8/16/2019 Materi Statmat II
http://slidepdf.com/reader/full/materi-statmat-ii 11/16
Fitriani Agustina, JurPend.Math, UPI
11
Kekonvergenan Stokastik
Misalkan F n(x) merupakan fungsi distribusi daripeubah acak X n yang distribusinya bergantung padabilangan bulat positif n.
Apabila c menunjukkan sebuah konstanta yang tidakbergantung pada n, maka peubah acak X n dikatakankonvergen stokastik ke-c jika dan hanya jika untuk
setiap ε > 0 berlaku:
1lim c X P nn
8/16/2019 Materi Statmat II
http://slidepdf.com/reader/full/materi-statmat-ii 12/16
Fitriani Agustina, JurPend.Math, UPI 12
Penentuan konvergen stokastik sebuah statistikterhadap parameternya atau konstanta dapat
dinyatakan sebagai konvergen dalam peluang.Misalkan X 1, X2, X3, . . . , X n adalah barisan daripeubah acak yang didefinisikan atas ruang sampel
yang sama S. Misalkan pula X adalah peubah acaklain yang didefinisikan atas ruang sampel S.
8/16/2019 Materi Statmat II
http://slidepdf.com/reader/full/materi-statmat-ii 13/16
Fitriani Agustina, JurPend.Math, UPI 13
Definisi
Xn dikatakan konvergen dalam peluang ke-Xdinotasikan dengan jika untuk setiap ε > 0berlaku
Penyelesaian masalah konvergen dalam peluangdapat dilakukan dengan menggunakanketidaksamaan Chebysev’s, yaitu
X X P n
0lim X X P nn
2
1lim
k k X P x xn
8/16/2019 Materi Statmat II
http://slidepdf.com/reader/full/materi-statmat-ii 14/16
Fitriani Agustina, JurPend.Math, UPI 14
Langkah-langkah untuk penentuan konvergenstokastik:
1. Gunakan ketidaksamaan Chebyshev’s
2. Tentukan rerata dan variansi dari statistiknya
3. Substitusi nilai rerata dan variansi tersebut kedalam ketidaksamaan Chebyshev’s
4. Lakukan modifikasi terhadap nilai di dalam hargamutlaknya, sedemikian hingga nilai tersebutsesuai dengan yang diharapkan
5. Misalkan dengan sudah disubstitusikan
dan diperoleh nilai k.
xk x
8/16/2019 Materi Statmat II
http://slidepdf.com/reader/full/materi-statmat-ii 16/16
Fitriani Agustina, JurPend.Math, UPI 16
Teorema-teorema dalam distribusi pendekatan
Misalkan F n(u) dan F n(v) merupakan fungsi distribusidari peubah acak U n dan V n yang distribusinyabergantung pada bilangan bulat positif n. Jika
dan (c ≠ 0, c > 0, d ≠ 0) dan P(Un
< 0) = 0,maka:
1. dan
2.3. dan
4.
cU P n
d V P
n
1 P n
d V
1 P n
cU
cU P
n
d cV U P nn cd V U P
nn
d
c
V
U P
n
n