Materi Program 16

8/15/2019 Materi Program 16

1/39

Tinjauan Integal

1. ∫ − 22 A Z dz

= (Pecahan Partial)

2. ∫ − 22 Z Adz

(Pecahan Partial)

3. ∫ + 22 A Z dz

(Substitusikan Z = A tan θ )

4. ∫ − 22 A Z

dz

(Substitusikan Z = A cosh θ )

. ∫ − 22 Z A

dz

(Substitusikan Z = A sin θ )

!. ∫ + 22 A Z

dz

(Substitusikan Z = A sinh θ )

". ∫ + dz A Z 22 (Substitusikan Z = A sinh θ )

#. ∫ − dz A Z 22 (Substitusikan Z = A cosh θ )

$. ∫ − dz Z A 22 (Substitusikan Z = A sin θ )

1%. dx xc xba∫ ++ 22 cossin

1

11. dx xc xba

∫ ++ cossin1

1 1. Tijauan Integal ∫ − 22 A Z dz

&ari 'ebahasan kita engenai integral An*a akan engetahui bah+a 'en,ebut

*a'at *i-aktorkan *an *engan *eikian -ungsi tersebut *a'at *ituliskan *ala

bentk pecahan – pencahan parsialnya


2/39

( ) ( ) A Z

Q

A Z

P

A Z A Z A Z ++

−=

+−=

−11

22

&iana P *an / a*alah konstanta

∴ 1 = P(Z 0 A) 0 /(Z A)

Subsitusikan Z = A ∴ 1 = P(2A) 0 /(%) ∴ P = A2

1

Subsitusikan Z = A ∴ 1 = P(%) 0 / ( 2A) ∴ / = A2

1−

A Z A A Z A A Z +⋅−

−⋅=

−∴

1

2

11

2

1122

∫ ∫ ∫ +−

−

=

−

∴ dZ A Z A

dZ

A Z A

dZ

A Z

1

2

11

2

1122

= . . . . . . . . . . . . . . .

2

( ) C A Z In A

A Z In A

dZ A Z

++⋅−−⋅=−∫ )(2

1

2

1122

=

Ini a*alah hasil 'ertaa *ari sebilan hasil stan*ar ,ang akan kita turunkan

*ala 'rogra ini. asil hasil 'enting untuk *ingat agar kita ti*ak engulangi

'ekerjaan secara ter'erinci *ala tia' contoh se'erti ,ang akan An*a lihat nanti.

ita ketahui ∫ +

+

−=

− C

A Z

A Z In

AdZ

A Z 2

11

22

C Z

Z IndZ

Z dZ

Z +

−−

=−

=−

∴∫ ∫ 44

#

1

4

1

1!

1222

*an( )

C x

x Indx

Z dZ

Z +

+−

=−

=−∫ ∫

2

1

1

12

22

('erhatikan bah+a *a'at *itulis sebagai kua*rat *ari akar kua*ratn,a sen*iri)

5a*i ∫ +

+−

=

−

C A Z

A Z In

AdZ

A Z 2

1122

C A Z

A Z In A + +−⋅2

1


3/39

Salinlah hasil ini kedalam buku catatan Anda dan lanjutkan ke frame 3

3

ita iliki

&engan *eikian ∫ =− ...............22 Z dZ

∫ =−

............"2 Z

dZ

4

=−

=− ∫ ∫ 222 2 Z

dZ

Z

dZ

( )∫ ∫ =

−=

− 222 "" Z

dZ

Z

dZ

Sekarang bagaiana *engan ,ang berikut ini 6

dx x x

∫ ++ 241

2

sekilas integral ini ti*ak terlihat se'erti hasil stan*ar atau se'erti contoh contoh

,ang telah kita bahas sejauh ini 7alau'un *eikian ari kita tulis kebali

'en,ebun,a sebagai berikut.

82

0 48 0 2 = 82

0 48 0 2 (ti*ak seorang 'un ,ang ebantah ini)sekarang kita elengka'i bentuk kua*rat *ari *ua suku 'ertaa *engan

enabahkan koe-esien 8

82 0 48 0 2 = 82 0 22 02 0 22

*an tentun,a kita harus engurangin,a *engan bilangan ,ang saa ,aitu 4

untuk teta' enjaga kebenaran *ari i*entitas ini.

( ) 22

422424

2

222

−+=

−+++=++∴

x

x x x x

∫ +

+−

⋅ C Z

Z In

"

"

"2

1

C Z

Z In +

+−

⋅

1%

1

∫ +

+−

=− C A Z A Z

In A A Z

dZ 122


4/39

∫ ++ dx x x jadi 241

2 *a'at *itulis ∫ dx..................

1

anjutkan ke frame !

5 =++∫ dx x x 241

2

eu*ian kita *a'at enuliskan konstanta 2 sebagai kua*rat *ari akarn,a.

∴ =++∫ dx x x 24

12

An*a akan elihat akan bah+a integral seula telah *ituliskan kebali *ala

bentuk ∫ − dZ A Z 221

*iana *ala kasus ini Z = (8 0 2) *an A = 2 .Sekarang

hasil stan*arn,a a*alah

∫ − dZ A Z 221

= C A Z

A Z In

A+

+−

2

1

&engan en*istribusikan 'ern,ataan 'ern,ataan untuk Z ke A ke *ala hasil

ini kita akan e'eroleh

=++∫ dx x x 24

12 ( )∫ −+ dx x 22 )2(2

1 = C

x

x In +

++

−+∫

22

22

22

1

9egitu kita eneukan 'ern,ataan 'ern,ataan untuk Z ke A selanjutn,a

tinggal ensubsitusikan 'ern,ataan ini ke *ala hasil stan*arn,a.

anjutkan ke frame "

69erikut ini a*alah contoh ,ang lain

∫ ++ dx x x 4!1

2

Pertaa taa kita elengka'i bentuk kua*rat *ari *ua suku 'ertaa

'en,ebutn,a *engan enabahkan kua*rat setengah koe-esien 8 *an

engurangin,a *engan bilangan ,ang saa

( )∫ −+− dx x 221

2

( )∫ −+ dx x 22 )2(21


5/39

x x x x !4! 22

+=++ 0 4

( )( ) ( ) 22

2

22

3

3

$43!

−+=−+=

−+++=

x

x

x x

5a*i ∫ ++ dx x x 4!1

2 = ( ) ( ) dx

x∫

−+22

3

1

= . . . . . . . . . . . . . .

7

&an satu lagi untuk An*a kerjakan sen*iri

:arilah ∫ ++ dx x x 1#1%1

2

#iika Anda telah selesai$ lanjutkan ke frame %

8 ∫ ++ dx x x 1#1%1

2 =

arena 1#1%2 ++ x x = x x 1%2 + 01#

( ) ( ) ( )2222

""

21#1%

−−=−−=

−+++=

x x

x x

∫ ++∴ dx x x 1#1%1

2 = C

x

x In +

+−−+

"

"

"2

1

anjutkan ke frame &

9 sekarang bagaiana *engan ,ang ini 6

C x

x Indx

x x+

+−−+

=++∫ 3

3

2

1

4

12

C x

x In +

+−−+

"

"

"2

1


6/39

∫ −− dx x x 421

2

;ntuk elengka'i bentuk kua*ratn,a se'erti ini kita lakukan sebelun,a

koe-esien *ari 82 harus 1.


7/39

C x

x In +

+−−−

⋅==21=1

=21=1

212

1

C

x

x In +

+−

−−=

=21=1

=21=1

212

1

2. sekarang dengan cara yang mirip sekali, mari kita turunkan hasil standar

yang kedua dengan meninjau ∫ − 22 A Z dz

Integrala ini iri' *engan ,ang terakhir sehingga *a'at *icari *engan

enggunakan 'ecahan 'arsial.

erjakan seuan,a en*iri *an tentukan hasil uu,a.

'emudian lanjutkan ke frame(( dan periksalah pekerjaan Anda

11

arena( ) ( ) Z A

Q

Z A

P

Z A Z A A Z ++

−=

+−=

−11

22

∴ 1 = P(Z 0 A) 0 /(Z A)

Subsitusikan Z = A ∴ 1 = P(2A) 0 /(%) ∴ P = A2

1

Subsitusikan Z = A ∴ 1 = P(%) 0 / (2A) ∴ / = A2

1−

∫ ∫ ∫ −−⋅⋅=−∴ dZ Z A AdZ Z A AdZ A Z 1

211

211

22

( ) ( ) C Z A In A

Z A In A

+−⋅−+⋅=2

1

2

1

C Z A

Z A In

AdZ

Z A+

−+

=−

∴ ∫ 211

22 (2)

Salinlah bentuk stan*ar ,ang ke*ua ke *ala buku catatan An*a *an ban*ingkan

*engan hasil ,ang 'ertaa. e*ua hasil ini sangat iri'.

anjutkan ke frame ()

∫ +

−+

=−

C Z A

Z A In

AdZ

Z A 2

1122


8/39

12

5a*i kita 'roleh

Perhatikan contoh bagaiana iri'n,a ke*ua hasil ini.

Sekarang akan *iberikan bebera'a contoh untuk bentuk stan*ar ,ang

ke*ua

!nt!h 1

C x

x Indx

xdx

x+

−+

−=

−∫ ∫ 33

!

1

3

1

$

1222

!nt!h 2

( ) C

x

x Indx

x

dx x

+

−+

=−

=−∫ ∫

2

1

3

1

1

222

!nt!h 3

...................3

1 2 =−∫ dx x

13

!nt!h 4

∫ −+ dx x x 2!31

ita lengka'i bentuk kua*rat *ala 'en,ebut se'erti sebelun,a teta'i kita

harus berhati hati *engan tan*a tan*an,a *an jangan lu'a koe-esien *ari 82

harus 1.

5ika keja*ian se'erti ini

3 0 !8 82 = 3 (82 !8 )

∫

∫

+

−

+

=−

+

+−

=−

A Z

A Z

In A Z A

dZ

A Z

A Z In

A A Z

dZ

2

1

2

1

22

22

C x

x In +

−+

3

3

32

1


9/39

Perhatikan bah+a kita elakukan suku 82 *an suku 8 *i *ala tan*a kurung

*engan tan*a negati- *iluar. Tentu saja suku !8 *i*ala tan*a kurung. Sekarang

kita *a'at elengka'i. 9entuk kua*rat *i *ala tan*a kurung *an

menambahkannya *engan bilangan ,ang saa *iluar tan*a kurung (karena seua

suku *i *alak tan*a kurung bernilai negati-).

5a*i 3 0 !8 82 = 3 (82 !8 0 32) 0 $

= 12 (8 3)2

=(2 3 )2 (8 3)

?aka *ala kasus ini A = 2 3 *an Z = (8 3)

∫ −+∴ dx

x x2

!3

1 =

( )∫ −− dx

x

2

332

1

= . . . . . . . . . . . .

14

9erikut ini a*alah contoh lagi *aa *engan ti'e ,ang saa

!nt!h 5

∫ −− dx x x 24$1

Pertaa taa kita lakukan 'roses @elengka'i bentuk kua*rat.

$ 48 0 82 = $ (82 0 48 )

= $ (82 0 48 0 22 ) 0 4

= 13 (8 0 2)2

= ( 13 )2 (8 0 2)2

?aka *ala kasus ini A = 13 *an Z = (8 0 2)

Sekarang kita tahu bah+a C Z A

Z A In

AdZ

Z A+

−+

=−

∴ ∫ 211

22

Sehingga contoh ini

∫ −− dx

x x2

4$

1= . . . . . . . . . . . .

C x

x In +

+−−+332

332

34

1


10/39

15

!nt!h 6.

∫ −+ dx x x 2241

Ingat bah+a kita 'ertaa kali harus engeluarkan -aktor 2 *ari 'en,ebutn,a agar

koe-esien *ari 82 tere*uksi enja*i 1.

∫ −+∴ dx x x x 22 241 = ∫ −+

dx x x 22

2

121

Sekarang kita lanjutkan se'erti sebelun,a.

222

x x −+ x x 2(

2

2 −−= )

( )

( )

( ) ( ) 2

2

22

13

1

2

"

1122

−−=

−−=

++−−=

x

x

x x

∫ −+∴ dx x x x 22 241

= . . . . . . . . . . . .

(5angan lu'akan -aktor 2 ,ang telah kita keluarkan *ari 'en,ebabn,a)

16

C

x

x In +

+−

−+

13

13

34

1

C x

x In +

+−−+213

213

132

1


11/39

9aik sekarang satu contoh lagi.

!nt!h 7

Tentukan

∫ −+ dx

x x 2!!

1

A'a ,ang 'ertaa kali ,ang harus kita lakukan 6

17

9enar. ?ari kita lakukan hal itu

∫ −− dx x x 2!!1

= ∫ −+dx

x x 2

!

2

!

1

1

Sekarang An*a *a'at elengka'i bentuk kua*ratn,a se'erti biasa *an

selesaikanlah.

'emudian lanjutkan ke frame (%

18

arena

∫ −− dx x x 2!!1

= ∫ −+dx

x x 2

!

2

!

1

1

+−=−− x x x x !

!

!

! 22

222

2

2

3...

3$

3

2

3$

2

$

3

!

!

+

=

+−=

+

++−=

x x

x x

9uat koe-esien *ari 82 enja*i B

Artin,a keluarkan -aktor *ari 'ern,ebut

∫ −− dx x x 2!!1

= C x

x In +

−−++23$

33$

3$2

1


12/39


13/39

&i sini 'en,ebutn,a ti*ak *a'at *i -aktorkan ja*i kita ti*ak *a'at enera'kan

aturan aturan 'ecahan 'arsial. Sekarang kita beralih ke subsitusi ,ang berarti

kita encoba encari subsitusi untuk Z ,ang eungkinkan kita enuliskan

integral *ala bentuk ,ang su*ah kita ketahui bagaian cara en,elasaikann,a

?isaln,a kita subsitusikan Z = A tan θ

?aka Z2 0 A2 = A2 tan2 θ 0 A2 = A2 (1 0 tan2 θ ) = A2 sec2 θ

Selain itu θ θ

2sec Ad

dZ = ,aitu *Z = A sec2 θ *θ

Integraln,a enja*i

∫ + 22 A Z dZ

*Z = C A

d A

d A A

+⋅==⋅ ∫ ∫ θ θ θ θ θ

11secsec

1 222

Ini eru'akan hasil ,ang se*ehana teta' kita ti*ak *a'at ebiarkan begitu saja

karena θ a*alah Cariabel ,ang baru kita asukan ke*ala 'en,elesaian *iatas.

ita harus en,atakan θ *ala Cariable seula Z

Z = A tan θ θ tan=∴ A

Z

C A

Z

AdZ

A Z +

=

+∴ −∫ 122 tan

11

,ambahkan hasil kali pada catatan bentuk – bentuk standar Anda

21

!nt!h 1.

C x

dx x

dZ x

+

=

+=

−−∫ 4tan4

1

4

1

1!

1 1222

C A

Z

AdZ

A Z +

=

+−∫ 122 tan

11


14/39

!nt!h 2

∫ =+− 3%1%1

2 x x

Se'erti biasa kita lengka'i bentuk kua*rat 'a*a 'en,ebut

D2 0 1%8 03% x x 1%2 += 03%

( ) ( ) ( )22222

23%1%

++=++=

−+++=

x x

x x

∫ ++∴ 3%1%1

2 x x ( ) ( )∫

++= dx

x22

1

= . . . . . . . . . .

22

9egitu An*a su*ah engetahui bentuk stan*arn,a An*a *a'at encari

'ern,ataan 'ern,ataan untuk Z *an A *ala seua contoh *an keu*ian

ensubsitusikan *ala hasil stan*ar tersebut. erjakan sen*iri contoh ,ang

berikut ini.

!nt!h 3

Tentukanlah dx x x∫ ++ 32122

12

Eangkah +aktu ,ang cuku' untuk e'elajarin,a. Ingat seua aturan ,ang telah

*igunakan sehingga An*a ti*ak akan salah.

#ika Anda sudah men*erjakan$ lanjutkan ke frame )3 dan Pekerjaan Anda

23

tan

1 1 +

+

⋅ − x

C x

dx x x

+

+

=+−

−∫ "

3tan

"2

1

32122

1 12


15/39


16/39

Z = A sin θ A

Z =∴ θ sin

A

Z 1sin−=∴θ

( ) C

A Z dZ

Z A+

=

−∫ −1

22sin1

Ini a*alah bentuk stan*ar berikut,a ja*i catatlah *ala buku catatan An*a

eu*ian lanjutkan ke -rae 2.

25

∫ −

dx

Z A 22

1c

A

Z +

= −1sin

:ontoh 1 ∫ −

dx

x22

1 = ∫ −−

dx

x x24

1c

x+

+= −

3

2sin 1

:ontoh 2 ∫ −−

dx

x x223

1

se'erti 223 x x −− )22(3 x x +−=

1)12(3 2 +++−= x x x

222 )1(2)1(3 +−=+−= x x

ja*i *ala kasun ini A = 2 *an Z = ( 8 0 1)

∫ ∫ +−=

−−dx

x

dx

x x 222 )1(2

1

23

1

c x

+

+= −

2

1sin 1

*engan cara seru'a

contoh 3

. ∫ −−dx

x x2

4

1............................


17/39

26 ∫ −−

dx

x x2

4

1c

x+

+= −

3

2sin 1

karena

48 82 = (82048)

= (82048022) 0 4

= $ (802)2

= 32

(802)2

c x

dx x x

+

+=

−−∴ ∫ − 3

2sin

4

1 12

Sekarang ,ang ini

:ontoh 4

Tentukan ∫ −−dx

x x221214

1

Sebelu kita *a'at elengka'i bentuk kua*ratn,a kita harus engubah koe-isien

*ari 82 enja*i 1 artin,a kita harus ebagi 14 128 28 2 *engan 2 teta'i

'erhatikan bah+a ini akan enja*i 2 kalau *ikeluarkan *ari tan*a akar

∫ −−dx

x x221214

1∫ −−

= dx x x 2!"

1

2

1

27

∫ −−dx

x x221214

1c

x+

+= −

4

3sin

2

1 1

arena


18/39

∫ −−dx

x x2

21214

1∫ −−

= dx x x 2!"

1

2

1

"!882 = "(820!8)

= "(820!8032)0$

= 1!(803)2

= 42(803)2

ja*i A = Z = (803)

c A

Z dz

Z A+

=

−∫ −122 sin

1

c x

dx

x x

+

+=

−−

∴ −∫ 43

sin2

1

21214

1 12

28

. ?arilah sekarang kita lihar integral stan*ar berikutn,a *engan cara ,ang saa

;ntuk enentukan ∫ − 22 A Z

dZ

ita coba lagi untuk encari seubstitusi ,ang

cocok untuk Z teta'i ti*ak a*a substitusi trigonoetri ,ang akan engubah

-ungsi tersebut enja*i bentuk ,ang *a'at kita tangani. &engan *eikian kita

harus beralih ke i*entitas i*entitas hi'erbolik *an ensubstitusikan Z = a sinhθ

?aka )1(sinhsinh 2222222 +=+=+ θ θ A A A A Z

Ingatlah 1sinhcosh1sincosh 2222 +=∴=− θ θ θ θ

θ θ coshcosh 222222 A A Z A A Z =+∴=+∴

selain itu θ θ θ θ

d AdZ Ad

dZ coshcosh =∴=

ja*i

∫ ∫ ∫ +===

+cd d A

A A Z

dZ θ θ θ ϑ

θ

cosh.

cosh

1

22

teta'i Z = A sinh θ

=∴=∴ −

A

Z s.nh

A

Z 1sinh θ θ

c A

Z

A Z

dZ +

=

+∴ −∫ 122 sinh


19/39

29

selain ruus ini ke *ala buku catatan An*a untuk re-erensi *i keu*ian hari.

?aka ...............4

1

2=

+∫ dx

x

c x

dx x

+

=

+−∫ 2sinh4

1 12

Sekali lagi ,ang harus kita lakukan ti*ak lain a*alah encari 'ern,ataan untuk Z

*an A *ala contoh *an ensubstitusikann,a ke *ala bentuk stan*arn,a.Sekarang An*a *a'at engerjakan ,ang ini sen*iri

Tentukan dx x x

∫ ++ 121

2

30

dx x x∫ ++ 121

2 c

x

+

+

−= 232

1sinh

Inilah 'en,elesaiann,a secara ter'erinci

82 0 8 0 12 = 82 0 8 0 12

= 82 0 8 04

212

2

2

−+

=22

2

23

2

+

+ x

sehingga Z =2

+ x *an A =

2

23

c

x

dx

x x

+

=++

∴ ∫ −2=23

2

sin12

1 12

c

x

+

+

=

−

23

2sinh 1


20/39

sekarang kerjakan satu lagi

∫ =

++..................

1#2

1

2

dx

x x

31

( )c

x+

+

−"

221sin

2

1

Inilah 'engerjaann,a

dx

x x

dx x x

∫ ∫ ++

=++

2

14

1

2

1

1#2

1

22

2

14

2

14 22 ++=++ x x x x

4

2

124

22 −+++= x x

2

")2( 2 ++= x

2

2

2

")2(

++= x

ja*i Z = (802) *an

2

"

∫ +

+

=++

∴ − c x

dx x x

2

"

2sinh

2

1

1#22

1 1

c x

++

= −"

)2(sinh

2

1 1

32


21/39

sekarang kita akan enurunkan hasil stan*ar ,ang lain

Tinjaulah ∫ + 22 A Z dZ

&i sini substitusin,a a*alah Z = A cosh c

Z2 A2 cosh2 θ A2 = A2 (cosh2 θ 1) = A2 sinh2 θ

θ sinh22 A A Z =−∴

5uga Z = A cosh θ *Z = A sin θ *θ

∫ ∫ +===−∴ cd d A

A A Z

dZ θ θ θ θ

θ sinh

sinh

122

Z = A cosh θ c A

Z

A

Z +

−=∴=∴ 1coshcosh θ θ

c A

Z

A Z

dZ +

=

−∴ −∫ 122 cosh

Ini eru'akan hasil stan*ar keena ,ang telah kita turunkan. Salinlah ke *ala

catatan An*a

33

c A

Z

A Z

dZ +

=

−∴ −∫ 122 cosh

:ontoh 1

c Z

x

dZ +

=

−−∫ 3cosh$1

2

contoh 2

.............1!

1

2=

++∫ dx

x x

An*a *a'at engerjakan sen*iri ,ang ini. ?eto*en,a saa se'erti contoh

sebelun,aB lengka'i saja bentukkua*ratn,a *an carilah Z *an A *ala kasus ini

*an keu*ian substitusikan ke *ala hasil stan*arn,a.


22/39

34

c x

dx

x x

+

+−=

++∫

22

31cosh

1!

1

2

&i ba+ah ini a*alah uraiann,a.

82 0 !8 0 1 = 82 0 !8 0 1

= 82 0 !8 03201$

= (803)2#

= (803)2(2 2 )2

5a*i Z = ( 803 ) *an A =22

∫ ∫ −+++

∴222 )22()3(

1

1!

1

x

dx

x x

c x

+

+= −

22

3cosh 1

?arilah sekarang kita lihat kebali hasil hasil ,ang telah kita 'elajari sejauh ini

sehingga kita *a'at ebangingkan satu saa lain

35

9erikut ini a*alah bentukbentuk stan*ar tersebut *engan eto*e ,ang

bersangkutan *ala setia' kasus

1. c A Z

A Z In

A A Z

dZ +

+−

=−∫ 2

122 Pecahan 'arsial

2. c Z A

Z Z In

A Z A

dZ +

−+=

−∫ 21

22 Pecahan 'arsial

3. c A

Z

A A Z

dZ +

=

−−∫ 122 tan

1Substitusi Z = A tan θ


23/39

4. c A

Z

Z A

dZ +

=

−

−

∫ 1

22 sin Substitusi Z = A sin θ

. c A

Z

A Z

dZ +

=

+

−

∫

1

22 sin Substitusi Z = A sin θ

!. c A

Z

A Z

dZ +

=

−

−

∫ 1

22cosh Substitusi Z = A cosh θ

Perhatikan bah+a tiga ruus ,ang 'ertaa ebentuk satu kelo'ok (tan'a

tan*a akar)

Perhatikan bah+a tiga ruus berikutn,a ebentuk kelo'ok *engan tan*a akar

*i 'en,ebutn,aAn*a harus berusaha untuk engingat keena ruus ini karena An*a *ihara'kan

untuk engetahui *an a'u untuk enguti' *an enggunakan *ala berbagai

contoh

36

An*a akan ingat bah+a *ala Progra engenai -ungsi-ungsi hi'erbolik kita

telah e'eroleh ruus sinh1 8 = in G8 0 12 + x H

∴ − A

Z 1sinh

++= 12

2

A

Z

A

Z In

+

+=2

22

A

A Z

A

Z In

++=

A

A Z

A

Z In

22

sinh1

++=

A

A Z Z In

A

Z 22

*engan cara ,ang seru'a

−+

=

−

A

A Z Z In

A

Z 22

1cosh


24/39

Ini berarti integral stan*ar *an ! *a'at *ituliskan sebagai -ungsi hi'erbolik

inCers atau *ala bentuk logarita tergantung kebutuhan

37

Tiga integral stan*ar ,ang belu kita bahas a*alah

". ∫ − dZ Z A .22 #. ∫ + dZ A Z .22 $. ∫ − dZ A Z .

22

&ala setia' kasus substitusi ,ang cocok saa *engan substitusi ,ang *igunakan

untuk integral ,ang bersangkutan *i ana bentuk tersebut uncul sebagai

'en,ebutn,a.

Artin,a untuk ∫ − dZ Z A .22 substitusi Z = A sin θ

∫ + dZ A Z .22 substitusi Z = A sinh θ

∫ − dZ A Z .22 substitusi Z = A cosh θ

&engan enggunakan substitusi substitusi ini kita akan e'eroleh hasilhasil

berikut

∫ − dZ Z A .22 c A Z A Z

A Z A +

−+

= −−

2

22112 sinsin2

∫ + dZ A Z .22 c

A

A Z Z

A

Z A+

+

+

= −−

2

2211

2

sinsinh2

∫ − dZ A Z .22 c

A

Z

A

A Z Z A+

−

+= −1

2

222

cosh2

asilhasil ini lebih ruit *an lebih sulit untk *iingat teta'i eto*e

'enggunaann,a saa *engan hasilhasil sebelun,a. Salinlah ketigan,a.

38

?arilah kita lihat bagaian cara e'eroleh hasil ,ang 'ertaa *ari ketiga hasil

ini

∫ − dZ Z A .22

Substitusi Z = A sin θ


25/39

∫ ∫

∴ A2 Z2 = A2 A2 sin2 θ = A2(1sin2 θ ) = A2 cos2 θ

∴ dZ Z A .22 − = cos θ 5uga *Z = A cos θ *θ

∫ − dZ Z A .22 = A cos θ .A cos θ *θ = A2 cos2 θ *θ

c A

c A +

+=+

+=

2

cossin2

24

2sin

2

22 θ θ

θ θ θ

Sekarang sin θ = A

Z *an cos2 θ = 1

A

Z A

Z

Z A

A

Z 22

2

22

2

2

cos1 −

=∴−

=−= θ

∫ −∴ dZ Z A .22

−+

= −

A

Z A

A

Z

A

Z A 2212

.sin2

c A

Z A Z

A

Z A

+

−+ =

−2

221

2

sin2

&ua ruus lainn,a *iturunkan *engan cara ,ang seru'a.

39

9erikut ini a*alah sebuah contoh

∫ ++ dZ / x .1342

Pertaataa lengka'ilah bentuk kua*ratn,a *an cari Z *an A se'erti

sebelun,a. 9enar lakukan hal tersebut.

40222 3)2(134 ++=++ x x x

Sehingga *ala kasus ini = 8 0 2 *an A = 3

∫ ∫ ++=++∴ dx xdx x x .3)2(.134 222

Integral ini berbentuk

c A

A Z Z

A

Z Adx A Z +

+

+

=+ −∫ 2

221

222 sin

2.


26/39

5a*i *engan ensubsitusikan 'ern,ataan'ern,ataan untuk Z *an A akan

*i'eroleh

∫ =++ ........................1342

dx x x

41

( )c

x x x xdx x x +

+++

+

+−=++∫ $

1342

3

21sinh

2

$.134

22

ita akan elihat bah+a untuk enggunakan bentukbentuk stan*ar ini kita

han,a 'erlu elengka'i bentuk kua*ratn,a se'erti ,ang telah kita kerjakan *ala

contohcontoh ter*ahulu encari 'ersaaan 'ersaaan untuk Z *an A *an

keu*ian ensubstitusikan 'ersaaan'ersaaan ini ke *ala hasilhasil ,ang

*i'eroleh. Ini berarti An*a sekarang *a'at en,elesaikan integralintegral ,ang

ungkin bera*a *i luar jangkauan an*a sebelu An*a e'elajari Progra ini

Sekarang seke*ar reCisi tan'a elihat catatancatatan An*a selesaikanlah

integral integral berikut

(a) ................22

=−∫ A Z dZ

(b) ................22 =−∫ Z AdZ

(c) ................22 =+∫ A Z dZ

42

C A Z

A Z In

A A Z

dZ +

+−

=−∫ 2

122

C Z A

Z A In

A Z A

dZ +

−+

=−∫ 2

122

C A

Z

A A Z

dZ +

=

+−∫ 122 tan

1

&an sekarang kelo'ok ,ang ke*ua


27/39

∫ =− ................22 Z AdZ

................22

=

+∫ A Z dZ

................22

=−∫ A Z dZ

43

c A

Z

Z A

dZ +

−=

−∫ 1sin22

c A

Z

A Z

dZ +

−=

+∫ 1sinh22

c A

Z

A Z

dZ +

−=

−∫ 1cosh22

An*a ungkin ti*ak ingat *engan kelo'ok ,ang ketiga teta'i *i sini akan

*ituliskan kebali. Eihatlah ketigan,a sekali lagi

c A

Z A A Z AdZ Z A +

−+

=− −∫ 2

221222sin

2.

c A

Z A

A

Z AdZ Z A +

+

+

=+ −∫ 2

221

222 sin

2.

c A

Z

A

A Z Z AdZ A Z +

−

+=− −∫ 12

22222 cosh

2.

Perhatikan bah+a akar kua*rat *ala hasiln,a a*alah akar ,ang saa *engan

,ang a*a *ala tan*a integral untuk asingasing kasus.

Inilah akhir *ari bagian khusus *ala Progra ini teta'i asih a*a integral

integral lainn,a ,ang ebutuhkan substitusi jenis tertentu ja*i sekarang kita

akan ebahas satu atau *ua *iantaran,a.

44


28/39

Integral berbentuk ∫ ++ dx xc xba 2cossin1

2

:ontoh 1

Tinjaulah ∫ + dx2cos31 ,ang berbe*a *engan seua integral ,ang telah kita

bahas sebelun,a. Integral ini 'astilah bukan salah satu *ari bentukbentuk

stan*ar.

unci *ari eto*en,a a*alah ensubtitusikan t= tan 8 ke *ala integral tersebut.

Tentu saja tan 8 ti*ak ter*a'at *ala integral teta'i jika tan 8 = t kita segera

akan *a'at encari 'ern,ataan'ern,ataan untuk sin 8 *an cos 8 ,ang *in,atakan

*ala t. Jabarlah sketsan,a ja*i

Tan 8 =121

sint

t x

+∴

21

cost

t x

+∴

Selain itu karena t = tan8 akadx

dt = sec2 8 = 1 0 tan2 8 = 1 0 t2

22 11

1

r

dr dx

t dx

dt

+=∴

+=∴

aka 3 cos2 =2

2

2

2

21

34

1

133

1

13

t

t

t

t

t +

+=

+

++=

+

+

ja*i integraln,a sekarang enja*i dx

x.cos3

12

∫ + 22

2

1.34

1

t

dx

xt

t

+++

= ∫ dx

xt .

34

12∫ +=

dx

t

.

3

4

1

3

1

2∫

+=

*an *ari a'a ,ang telah kita lakukan *ala bagian sebelun,a integral ini

a*alah ................


29/39

45

c

t dx

t +

=+

−

∫ 3=2tan

2

3

3

1.

3

4

1

3

1 1

2

ct +

= −2

3tan

2

3

3

1 1

Kang terakhir karena t= tan 8 kita *a'at kebali ke Cariabel a+al *an

e'eroleh

c x

dx x

+

=+

−∫ 2tan3

tan32

1.

cos3

1 12

46

?eto*en,a akan saa untuk seua integral berbentuk

dx xc xba.

cossin

122∫ ++

&ala 'ratekn,a bebera'a koe-isienn,a ungkin saja nol *an *engan *eikian

sukusuku ,ang bersangkutan hilang *ari -ungsi tersebut. Teta'i eto*e

'en,elesaiann,a teta' saa.

Junakanlah substitusi t = tan 8. Itulah kunci utaan,a

&ari *iagra

sin 8 = ......................................

kita 'erolehcos 8 = ...................

47

21sin

t

t x

+= B

21

cost

t x

+=


30/39

ita juga 'erlu engubah Cariabeln,a

t = tan 8222 1tan1sec t x x

dx

dt +=+==∴

.................B1

12

=+

=∴ dxt dx

dt

48

&engan *ibekali oleh substitusi substitusi ini kita *a'at en,elesaikan seua

integral berti'e ini. :ara ini ti*ak eberikan kita hasil stan*ar teta'i eberi

kita suatu eto*e stan*ar.

ita akan engerjakan satu contoh lagi *ala -rae berikutn,a teta'i

sebelun,a substitusisubstitusi a'akah ,ang kita aksu* tersebut 6

sin 8 = .........................

cos 8 = .......................

49

21sin

t

t x

+=

21

cost

t x

+=

9aik sekarang satu contoh lagi.

:ontoh 2 Tentukanlah dx x x.

cos4sin2

122∫ +


31/39

&engan enggunakan substitusi *i atas *an bah+a *8 = 21 t

dt

+ kita akan

e'eroleh 2 sin2

8 0 4 cos2

8 = 2

2

22

2

1

42

1

1

1

2

t

t

t t

t

+

+

=+

++

22

2

22142

1

cos4sin2

1

t

dt

t

t dx

x x +++

=+

∴ ∫ ∫

dt t ∫ += 2

1

2

12

= .........................

50 ct

+

−

21tan

22

1

*an karena t = tan 8 kita *a'at kebali ke Cariabel seula sehingga

c x

dx x x

+

=

+−∫

2

tantan

22

1

cos4sin2

1 122

Sekarang satu soal lagi untuk An*a kerjakan sen*iri

Ingatlah substitusisubstitusi

r = tan 8 sin 8 =21 t

t

+

cos = 21 t

t

+

*8 =)1(

2t

dr

+

baik ja*i inilah contoh berikutn,a

:ontoh 3

...............1cos2

12

=+∫ dx x


32/39

51 c

xdx

x +

=+

−

∫ 3tan

tan3

1

1cos2

1 12

9erikut ini a*alah 'engerjaann,a

2 cos2 8 0 1 =2

2

2

2

2

3

1

121

1

2

t t

t

t

t

t +

+=

+

++=+

+

22

2

2 1.

3

1

1cos2

1

t

dt

t

t dx

x +++

=+

∴ ∫ ∫

cdx

t

+

−=+

=

∫ 31

1tan

3

1

3

12

c x +

= −

3

tantan

3

1 1

5a*i setia' kali kita ingin en,elesaikan integral seaca ini *engan sin 2 8

*anatau cos2 8 *ala 'en,ebutn,a kunci *ari keseluruhan 'en,elesaiann,a

a*alah *engan elakukan substitusi t = ..............

52 t = tan 8

Sekarang arilah kita tinjau integral dx x

∫ += cos41

Integral ini jelas bukan salah satu *ari ti'e terakhir karena -ungsi trigonoetri

*ala 'en,ebutn,a a*alah cos 8 *an bukan cos2 8

Sebenarn,a integral ini a*alah salah satu contoh integral *ari kelo'ok

berikutn,a ,ang akan kita 'elajari *ala Progra ini. Pa*a uun,a integral

integral tersebut berbentuk

dx xc xba

∫ ++ cossin1

artin,a ter*a'at sinus *an cosinus *ala 'en,ebut teta'i

ti*ak *ikua*ratkan.

53


33/39

Integral berti'e dx xc xba

∫ ++ cossin1

uncin,a kali ini a*alah *engan substitusi t =2

x

&ari sini kita *a'at encari 'ern,ataan 'ern,ataan seru'a untuk sin2

x*an cos

2

x *ari *iagra se*erhana se'erti sebelun,a teta'i ini juga berarti bah+a kita

harus en,atakan sin 8 *an cos 8 *ala bentukbentuk rasio trigonoetri

setengan su*ut ja*i 'roses ini ebutuhkan 'ekerjaan ,ang se*ikit lebih ban,ak

teta'i han,a se*ikit ja*i jangan ebutuhkan 'ekerjaan ,ang se*ikit lebih

ban,ak teta'i han,a se*ikit ja*i jangan en,erah begitu saja. Ini jauh lebih

u*ah *ari ke*engarann,a.

Pertaa taa arilah kita turunkan substitusi substitusi secara ter'erinci.

t = tan2

x

212sin

t

t x

+=∴

2

12

cos

t

t x

+

=∴

sin 8 = 2 sin2

x cos

2

x 2 . 222 1

2

1

1.

1 t

t

t t

t

+=

++

cos 8 = cos2 2

x sin2

2

x=

2

2

2

2

21

1

1.

1

1

t

t

t

t

t +−

=++

Selain itu karena t = tan2

x

+==

2tan1

2

1

2sec

2

1 22 x x

dx

dt

2

1 2t +=

21

2

t dt

dx

+=

21

2

t

dt dx

+=

ja*i kita 'eroleh

jika t = tan2

x sin 8 = 21

2

t

t

+

cos 8 = 2

2

1

1

t

t

+

−


34/39

21

2

t

dt dx

+=

A*a baikn,a kita engingat substitusisubstisusi ini untuk *i'akai *ala contoh

contoh. 5a*i salinlah ke *ala buku catatan An*a untuk re-erensi *ikeu*ian

hari. eu*ian kita akan sia' untuk enggunakann,a.

54

:ontoh 1 ∫ + xdx

cos4

&engan enggunakan substitusi t = tan 2

x

kita *a'atkan

0 4 cos 8 = 0 4( )( )2

2

1

1

t

t

+−

2

2

2

22

1

$

1

44

t

t

t

t t

++

=+

−++=

∫ +∴ xdx

cos4= ∫ +

+2

2

$

1

t

t . ∫ +=+ 22 $12

t

dr

t

dt

= ..........................

55 ct

+

−3

tan3

2 1

= c x +

−

3

2=tantan

3

2 1

9erikut ini satu contoh lagi:ontoh 2

∫ + x xdx

cos4sin3

*engan enggunakan substitusi t = tan2

x

3 sin 8 0 4 cos 8 =2

2

2 1

)1(4

1

!

t

t

t

t

+−

++


35/39

2

2

1

4!4

t

t t

+−+

=

22

2

1

2.

4!4

1

cos4sin3 t

dt

t t

t

x x

dx

+−+

+=

+∴

∫ ∫ dt

t t ∫ −+= 2232

1

dt

t t ∫

−+=

2

2

31

1

2

1

Sekarang lengka'ilah bentuk kua*rat *i *ala 'en,ebut se'erti ,ang telah kita

lakukan sebelun,a *ala Progra ini *an keu*ian selesaikanlah.

56 c x x

In +

−+

2=tan24

2=tan21.

1

karena

−−=−+

2

31

2

31 22 t t t

1!

$

4

3

2

31

2

2 +

+−−= t t

2

4

3

1!

2

−−= t

22

4

3

4

−

= t

&engan *eikian integraln,a a*alah

∫

−−

= dt

t

22

4

3

4

1

2

11

ct

t In +

+−−+

=4=34=

4=34=

2

2

1

ct

t In +

−+

=2

2=1

1

ct

In +

−+=2

tan21

1


36/39

c x

x In +

−+=

2=tan24

2=tan21

1

&an ini satu lagi untuk An*a kerjakan sen*iri. Selesaikanlah keu*ian 'eriksalah

'ekerjaan An*a *engan -rae berikutn,a.

:ontoh 3

...........................cossin1

=−+∫ dx x x

dx

57 c x x

In + + 2=tan12=tan

9eriku ini a*alah 'engerjaan,a

I 0 sin 8 cos 8 = 102

2

2 1

1

1

2

t

t

t +−

−+

2

22

1

121

t

t t t

++−++

=

( )

2

2

1

2

t

t t

++

=

( ) dt

t t t

dt

t t

t I ∫ ∫ +=++

+=

222

2 1

1

2.

2

1

( )dt t t 21

1.

1

+= ∫

= ct

t In +

+1

= c x

x In +

+ 2=tan12=tan

58

$ada skala 1 sampai se#erapa yakinkah anda #ah%a anda dapat&

• ?enghitung intergral ,ang intergraln,a berbentuk L1 ( )6= 22 A Z −•

?enghitung intergral ,ang intergraln,a berbentuk 1 ( )6= 22

A Z +


37/39

• ?enghitung intergral ,ang intergraln,a berbentuk 1 6= 22 Z A −• ?enghitung intergral ,ang intergraln,a berbentuk 1 6= 22 A Z +• ?enghitung intergral ,ang intergraln,a berbentuk 1 6= 22 A Z −•

?enghitung intergral ,ang intergraln,a berbentuk 1 6=22

Z A

−• ?enghitung intergral ,ang intergraln,a berbentuk 1 6= 22 A Z + *an

6= 22 A Z −• ?enghitung intergral ,ang intergraln,a berbentuk 1 { } xc xba 22 cossin ++

6

• ?enghitung intergral ,ang intergraln,a berbentuk 1 } xc xba cossin ++ 6

Tentukanlah inergral intergral berikut

1. dx x 24$

1

−∫ 2. ∫ −+ 32 x x

dx

3. ∫ ++ $#2 2 x xdx

4. dx x 1!32

1

2 +∫

. ∫ −+ 2#$ x xdx

!. ∫ −− dx x x 21

". dx x x 1!1%

1

2 −+∫

#. ∫ + xdx

2sin21

$. ∫ + x xdx

sin3cos2

1%. ∫ xdxsec

Tentukanlah inergral intergral berikut.

1. ∫ ++ 1122 x xdx

2. ∫ −− 212# x xdx

3. ∫ ++ !%142 x xdx

4. ∫ ++−

1!4

#2

x x

x


38/39

.4#12

2 ++∫

x x

dx

!.2141" x x

dx

+−∫

". dx x x

dx

3!1!2 ++

∫

#. dx x x

x

212

!2 +−

−∫

$. ∫ + x xdx

cos2

1%. x x

dx x22

2=

% cossin4 +∫

11. ∫ ++

2

x x

dx

12. dx x

x x x

∫ ++−

1

3432

23

13. ∫ −− dx x x 223

14.2

4

2 #! x x

dx

−−∫

1.2142 −−

∫ x x

dx

1!. ∫ + x xdx

22 cos$sin4

1". ∫ − x xdx

cos4sin3

1#. dx x

x

−∫ 21

%

1$. dx x

dx x

21

3

−

+∫

2%. dx x

x

∫ − cos2cos

21.( ) ( )

dx x x

x x∫ ++

+−42

142

22. ∫ + xdx

2cos4

23. dx x

x

$

2

2 +

+∫

24."2 2 =−

∫ x x

dx

2. ( ) ( ) x x

dx

−+∫ 424

1

2!.

∫ − θ θ θ

22

cossin2

d


39/39

2".1%2

3

2 ++

+∫

x x

x

2#. ∫ −− dx x xd

221

θ

2$.( ) 222% xa

dxa

+∫

3%.( ) ( )∫ ++ 22

2

2a xa x

dxa

Materi Program 16

Documents

Transcript of Materi Program 16