MOMENTUM LINEAR

danTUMBUKAN

vp m≡(9-1)

xx mvp =

yy mvp =

zz mvp =

(9-2)

Hukum Newton II :dt

dpF = (9-3)

Laju perubahan momentum

Bagaimanakah momentum benda yang terisolasi, yaitu tidak ada

gaya yang bekerja pada benda tersebut ?

dtd Fp =(9-4) Impuls

Momentum Linear :

∫=−=∆ f

i

t

tif dtFppp(9-5)

Impuls :

pFI ∆=≡ ∫ f

i

t

tdt(9-6)

Impuls suatu gaya F sama denganperubahan momentum benda.

Teorema Impuls-MomentumF

tti tf

∫∆≡ f

i

t

tdt

tFF

1(9-7)

Gaya rata-rata :

Untuk F konstan :

t∆=∆= FpI (9-9)

t∆=∆= FpI (9-8)

KEKEKALAN MOMENTUM LINIERUNTUK SISTEM DUA PARTIKEL

m1

p1 = m1v1

m2 p2 = m2v2

p1

p2

F21

F12

dtd 1

12

pF =

dt

d 221

pF =

02112 =+ FF

2112 FF −=Hukum Newton III

021 =+dt

ddt

d pp 0)( 21 =+ ppdtd

konstan21 =+= ppP (9-10)

fxix PP = fyiy PP = fziz PP =

21 ppP +=

Momentum partikel di dalam suatu sistem tertutup selalu tetap

Hukum kekekalan momentum

ffii mmmm 22112211 vvvv +=+ (9-11)

(9-12)ffii 2121 pppp +=+

TUMBUKAN

+

++

F12

F21

p

He4

F12 F21

m1 m2

Interaksi antar partikel yang berlangsung dalam selang waktu yang sangat singkat Gaya impulsiv

Diasumsikan jauh lebih besar

dari gaya luar yang ada Kontak langsung

Proses hamburan

F

t

F12

F21

∫=∆ 2

1 212tt dtFp

dt

dpF = (9-3)

∫=∆ 2

1 121tt dtFp

2112 FF −=Hukum Newton III

21 pp ∆−=∆

021 =∆+∆ pp

0)( 21 =+∆ pp konstan21 =+= ppP

Pada setiap tumbukan jumlah momentum sistem sesaat sebelum tumbukan adalah sama dengan jumlah momentumnya sesaat setelah tumbukan

Hukum kekekalan momentum berlaku pada setiap tumbukan

Klasifikasi Tumbukan

Tumbukan Lenting Sempurna Berlaku hukum kekekalan momentum dan kekekalan energi

Tumbukan Lenting Sebagian Energi mekanik berkurang(tak berlaku hukum kekekalan energi mekanik)

Tumbukan Tak Lenting sama sekali Setelah tumbukan kedua partikel menyatu

v1iv2i

m1m2

Sebelum tumbukan

vf

m1 + m2

Setelah tumbukan

Hukum kekekalan momentum :

Untuk tumbukan tak lenting sama sekali dalam satu dimensi

fii vmmvmvm )( 212211 +=+ (9-13)

21

2211

mmvmvm

v iif +

+= (9-14)

Untuk tumbukan lenting sempurna dalam satu dimensi

v1iv2i

m1m2

Sebelum tumbukan

v1f

m1

Setelah tumbukan

m2

v2f

Hukum kekekalan momentum :

ffii vmvmvmvm 22112211 +=+ (9-15)2222

12112

12222

12112

1ffii vmvmvmvm +=+ (9-16)

)()( 22

222

21

211 iffi vvmvvm −=−

))(())(( 2222211111 ififfifi vvvvmvvvvm +−=+− (9-17)

)()( 222111 iffi vvmvvm −=− (9-18)

iffi vvvv 2211 +=+

)( 2121 ffii vvvv −−=− (9-19)

+−+

+

=21

121

21

12

2mmmm

vmm

mv if (9-21)

+

+

+−=

21

21

21

211

2mm

mv

mmmm

v if (9-20)

TUMBUKAN DALAM DUA DIMENSI

v1i

m1

m2

Sebelum tumbukan Setelah tumbukan

v1f

v2f

m1

m2

θφ

v1f sin θ

v1f cos θ

v2f cos φ

-v2f sin φ

Komponen ke arah x : φθ coscos 221111 ffi vmvmvm += (9-24a)

φθ sinsin0 2211 ff vmvm −= (9-24b)

Jika tumbukan lenting sempurna : 2222

12112

12112

1ffi vmvmvm += (9-24a)

Pusat Massa Sistem Partikel

PM x

m1

m2

y1

y2

Y

X

⊗

yc

21

2211

mm

ymymyc +

+≡

Bagaimana jika massanya lebih dari dua ?

n

nnc mmm

ymymymy

+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≡

21

2211

Bagaimana jika massanya tersebar di dalam ruang ?

∑

∑=

=

=n

ii

n

iii

m

ym

1

1

M

ymn

iii∑

= =1

M

ymy

n

iii

c

∑= =1

M

xmx

n

iii

c

∑= =1

M

zmz

n

iii

c

∑= =1

kjir ˆˆˆcccc zyx ++=

M

zmymxm iiiiiic

kjir

ˆˆˆ ∑+∑+∑=

M

zyxm iiiic

)ˆˆˆ( kjir

++∑=

M

m iic

∑= rr kjir ˆˆˆ

iiii zyx ++=

Bagaimana untuk benda pejal (sistem partikel kontinyu) ?

Y

X

Z

∆mi

ri

⊗

rc

PM

M

miic

∑ ∆≈ rr

M

mii

mc

i

∑ ∆=→∆

rr

0lim

∫= dmMc rr1

∫= xdmM

xc1

∫= ydmM

yc1

∫= zdmM

zc1

Gerak Sistem Partikel

∑=dt

dm

Mi

ir1

M

m ii∑= vdt

d cc

rv =Kecepatan :

∑= p = P∑= iic mM vvMomentum :

Percepatan :dt

d cc

va = ∑=

dt

dm

Mi

iv1

∑= iimM

a1

∑= iic mM aa ∑= iFdt

dP=

0=∑ iF 0=dt

dP konstan== cMvP

v

M+∆m

vp )( mMi ∆+=

M

v+∆v

∆m

ve

Kecepatan bahan bakar relatip terhadap roket

v - ve

)()()( emMmM vvvvv −∆+∆+=∆+

mM e∆=∆ vv

Untuk interval waktu yang sangat pendek :

dmvMdv e=

dMdm −=

Massa bahan bakaryang terbakar

Pengurangan massa roketdMMd evv −=

∫ ∫−=f

i

f

i

M

Me M

dMd

v

vvv

=−

f

ieif M

Mlnvvv