Materialy so zapornou permitivitou a permeabilitou.

Peter MarkosFyzikalny ustav SAV, Dubravska cesta 9, 845 11 Bratislava

Vyvoj fotonovych krystalov ukazal, ze niektore umele kompozity mozu mat’ v urcitom intervalefrekvenciı zapornu efektıvnu permitivitu aj magneticku permeabilitu. V clanku diskutujem niektoreelektro magneticke vlastnosti takychto materialov: zaporny index lomu, zosilnenie evanescentnycvln, a ich vyuzitie pri konstrukcii sosovky s nulovou zobrazovacou chybou (perfect lens).

PACS numbers:

UVOD

Historia vyskumu “left-handed” materialov siaha azdo r. 1968, kedy Veselago [1] popısal elektromagentickevlastnosti hypotetickych latok so zapornou permitivitouε aj permeabilitou µ. Veselago ukazal, ze hoci sa taketomaterialy v prırode nevyskytuju, Maxwellove rovnice ichexistenciu nevylucuju.

Oznacenie takychto materialov ako “left-handed” (LH)materialy [2] pochadza od Veselaga. Ak totiz napısemeMaxwellove rovnice pre monochromaticku rovinnu vlnu

~k × ~E =ωµ

c~H, ~k × ~H = −ωε

c~E (1)

vidıme, ze v prıpade ε < 0 a µ < 0 je vzajomna orientaciavektorov ~k, ~E a ~H dana pravidlom l’avej ruky, na rozdielod klasickych, “right-handed” (RH) materialov.

Veselagova praca zostala takmer nepovsimnuta az do r.2000, kedy skupina D.R. Smitha (UC San Diego) [3] real-izovala teoreticke napady J. Pendryho [4–6] a zostrojilaprve struktury, u ktorych sa z meranı transismie pred-pokladali zaporne ε a µ.

Pendryho teoreticke a Smithove experimentalne pracevyvolali necakane burlivu diskusiu: negatıvny indexlomu, zaporny lom elektro magneticke vlny na rozhranıRH - LH materialu [7] ale predovsetkym Pendrym pred-povedana moznost’ konstrukcie dokonalej sosovky [8](perfect lens - sosovky, ktora nema ziadnu zobrazovaciuchybu) sl’ubovali na jednej strane zaujımave aplikacie,vyvolavali vsak aj pochynosti, ci ich teoria neodporujezakladnym fyzikalnym princıpom. Ukazala sa aj potrebazovseobecnit’ “ucebnicove” vzt’ahy [9, 10], ktore sıce“kazdy pozna”, ale ktore implicitne predpokladaju, zemagneticka permeabilita µ ≡ 1.

Clanok diskutuje niektore elektro magneticke vlast-nosti LH materialov. Jeho spracovanie je dane aj mojouosobnou skusenost’ou z numerickych simulaciı LH ma-terialov v skupine C. Soukoulisa v Ames Laboratory,Iowa. Niektore ine fyzikalne problemy , ktore studiumLH materialov prinieslo, su diskutovne naprıklad vclankoch Pendryho [11] (pozri aj [12]).

FYZIKALNE VLASTNOSTI LH MATERIALOV

Veselago upozornil, ze LH material umoznuje transmi-siu elektro-magnetickej vlny. Vlnova rovnica

∇2 ~E = εµ∂2 ~E

∂t(2)

ma totiz riesenie

~E(~r, t) = ~Eei~k.~r−ωt, (3)

vzdy, ked’ sucin εµ je kladny. Tuto podmienku splnatak RH material s ε > 0 a µ > 0, ako aj “left-handed”material.

Orientacia Poyntingovho vektora

~S =c

4π~E × ~H (4)

vsak od materialovych vlastnostı nezavisı. Porovnanımrovnıc (1) a (4) dostaneme, ze na rozdiel od RH ma-terialov, v LH materiali je orientacia vlnoveho vektora aPoyntingovho vektora opacna (obr. 1)

~k.~S < 0. (5)

Opacna orientacia vektorov ~k a ~S znamena, ze fazovarychlost’, v = ω/k je zaporna: faza vlny sa sıri vsmere opacnom, ako energia. Zapornu fazovu rychlost’potvrdili numericke simulacie [13]. Preto sa LH materialyoznacuju aj ako “Backward wave medium”.

Uz Veselago upozornil, ze permitivita aj permeabilitav LH materiali musia zavisiet’ od frekvencie, inak by en-ergia EM pol’a,

U =1

2π

∫

dω

[

∂(εω)

∂ωE2 +

∂(µω)

∂ωH2

]

, (6)

bola zaporna. Frekvencna zavislost’ permitivity aj per-meability vedie, v sulade s Kramers - Kronigovymirelaciami, k tomu, ze permitivita aj permeabilita su vovseobecnosti komplexne: ε = ε′+iε′′, µ = µ′+iµ′′. Ener-gia vyjadrena vzt’ahom (6) je samozrejme kladna, pretozekauzalita vyzaduje splnenie nerovnostı [10]

∂(ωε)

∂ω> 0,

∂(ωµ)

∂ω> 0. (7)

2

Ak je ε < 0 aj µ < 0, potom aj index lomu,

n =√

εµ, (8)

musı byt’ zaporny [14]. Znamienko pred odmocninouv rovnici (8) je totiz jednoznacne urcene z poziadavkykauzality (obr. 2). V pasıvnom materiali musia byt’imaginarne casti permitivity, permeability aj idexu lomukladne.

Zaporny index lomu znamena, ze na rozhranı medziklasickym RH a LH materialom nastava zaporny lom EMvlny (obr. 3).

Zaporny lom EM vlny umoznuje vytvorit’ planarnusosovku. (obr. 4). LH vrstva s ε = µ = −1 skoncen-truje vsetky luce, vychadzajuce z bodoveho zdroja, doohniska na druhej strane vstvy.

Pendry [8] predpovedal, ze planarna sosovka z LH ma-terialu bude mat’ rozlisovaciu schopnost’ lepsiu, ako jevlnova dlzka pouzitej EM vlny. V idealnom prıpade ε =µ = −1 by taka sosovka mala zobrazit’ l’ubovol’ne maledetaily. Tento vysledok, zdanlivo odporujuci “zdravemurozumu”, je zalozeny na vypocte transmisie T evanes-centnej vlny E exp(−κz) cez planarnu vrstvu LH ma-terialu. Po dosadenı ε = µ = −1 a k = iκ do ucebnicovejformuly pre transmisiu

T−1 = cosnk` − i

2

[

z + z−1]

sin nk` (9)

totiz dostaneme T = exp κ` (parameter z je impedancia,z =

√

µ/ε ≡ 1 v nasom prıpade). Transmisia evanes-centnej vlny exponencialne narasta so sırkou planarnejvrstvy.

Samozrejme, v RH prostredı evanescentna vlna expo-nencialne klesa (obr. 5). V ohnisku je jej amplitudaidenticka s amplitudou v zdroji. Vd’aka schopnostizrekonstruovat’ aj evanescentne komponenty elektromag-netickeho pol’a vznika v ohnisku dokonaly obraz zdroja,ktory s pouzitım sosovky z klasickeho materialu nikdynie je mozny.

Pretoze oba parametre - permitivia aj permeabilita- menia znamienko realnej casti na rozhranı medzi RH

x

z

y

ε > 0 µ > 0 ε < 0 µ < 0

~S ~k

~E

~H

~S~k

~E

~H

FIG. 1: Orientacia elektrickeho a magnetickeho pol’a ( ~E, ~H)

vzhl’adom na vlnovy vektor ~k a Poyntingov vektor ~S v kla-

sickom materiali a LH mediu. V LH materiali su vektory ~k a~S opacne orientovane a fazova rychlost’ je zaporna.

εµn

Real

Imag

FIG. 2: Material so zapornou permitivitou aj permeabilitoumusı mat’ zaporny index lomu. Z dvoch riesenı rovnice n =√

εµ je totiz fyzikalne relevantne len to s kladnou imaginarnoucast’ou, n′′ > 0, pre ktore je realna cast’, n′, zaporna.

a LH materialom, umoznuje taketo rozhranie excito-vat’ povrchove vlny oboch polarizaciı [15]. Excitacia

povrchovych vln umoznuje rozhodnut’ o “l’avorukosti”skumaneho materialu.

STRUKTURA LH MATERIALU

Pendry a kol. [4, 5] ukazali, ze pravidelna mriezkatenkych kovovych drotov sa chova ako medium sozapornou efektıvnou premitivitou

εeff = 1 −ω2

p

ω2 + iωγe

. (10)

Vzt’ah (10) ma tvar Drudeho formuly s plazmovoufrekvenciou ωp ≈ c2

0/2πa2 ln(a/r). ωp je funkciou

������������� ���� ������ �

��

�����

�����

������� ��

�����

�����

�� ��

�����

������

!"

#$

%&

'

() �

) �

FIG. 3: Negatıvny lom elektro - magnetickej vlny na rozhranı“right handed” a “left handed” materialov. V LH materialisa vlna sıri v smere zaporneho uhla lomu. Zobrazena je ori-

entacia Poyntingovho vektora ~S a vlnoveho vektora ~k.

3

ε = µ = 1 ε = µ = −1 ε = µ = 1

a ` = a + b b

�� ����

FIG. 4: Transmisia elektromagnetickych lucov cez planarnuvrstvu sırky ` s ε = −1 a µ = −1. Luce emitovane z bodovehozdroja leziaceho vo vzdialenosti a od vrstvy sa stretnu vohnisku na pravej strane vrstvy. Vzdialenost’ ohniska odvrstvy je b = ` − a. Druhe ohnisko, v ktorom sa vsetky lucepretınaju, sa nachadza vo vnutri vrstvy. Pretoze povrchovaimpedanica z = 1, je odraz na rozhraniach nulovy.

polomeru drotov r a vzajomnej vzdialenosti drotov a (c0

je rychlost’ svetla vo vakuu). Pre a ∼ 3 mm je ωp pri-blizne 10 GHz. Ku kvalitatıvne rovnakemu zaveru, hocina zaklade roznych fyzikalnych predstav, dospeli aj ineskupiny [17–19]. Vzt’ah (10) bol potvrdeny aj numer-ickymi simulaciami [20] (obrazok 6).

Mriezka tenkych drotov je samozrejme silne ani-zotropna. Formula (10) platı len pre elektro magnetickuvlnu, sıriacu sa v smere kolmom na droty a polarizovanutak, ze ~E je rovnobezna s drotmi. Pre druhu polarizaciuje εeff ≈ 1.

Pre vyvoj LHM bola rozhodujuca praca [6], ktorastudovala rezonancnu magenticku odozvu kovovychprerusenych prstencov (split ring resonators - SRR, obr.7). Magneticka odozva pravidelnej mriezky takychto prs-

z0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

E(z)

a bl=a+b

FIG. 5: Transmisia evanescentnej elektromagnetickej vlnycez planarnu vrstvu s ε = −1 and µ = −1. Evanescentna vlnaklesa exponencialne so vzdialenost’ou od zdroja: e−κz pokial’nedosiahne povrch LH vrstvy. Vo vnutri LH vrstvy expo-nencialne rastie: e+κz, a po jej opustenı opat’ klesa, takze jejamplituda v ohnisku je identicka amplitude v mieste zdroja..

tencov na frekvencne zavisle vonkajsie pole ~H exp iωt,kolme na rovinu prstencov, je dana efektıvnou magnet-ickou permeabilitou

µeff = 1 − Fω2

ω2 − ω20

+ iγω(11)

s rezonancnou frekvenciou ω0. Pre prstence s priemeromw = 3 mm sa ω0 nachadza v oblasti 2-10 GHz, v zavislostiod strukturnych parametrov prstencov. Kvalitatıvnapredpoved’ [6]

ω2

0 =3ac2

0

π ln(2c/d)r3, (12)

bola potvrdena numerickymi simulaciami [21, 22].Kombinacia oboch mriezok umoznila vznik prveho LH

materialu [3]. Najjednoduchsia struktura LH materialuje schematicky zobrazena na obr. 8. Material pozostavaz elementarnych “atomov”. Kazdy z nich obsahuje dvaprerusene prstence a tenky drot. Periodickym opako-vanım v smeroch x a y, kolmych na smer sırenia EMvlny, sa zıska makroskopicky material.

Takyto material je samozrejme silno anizotropny: LHvlastosti mozeme ocakavat’ len pri prechode EM vlny vsmere osi z, polarizovanej s ~E ‖ y a ~H ‖ x. Pre opacnepolarizovanu vlnu oba parametre, permitivita aj perme-abilita, rovne 1. Sırenie EM vln v smere osi x nie jemozne, pretoze efektıvna permitivta je nad’alej zaporna,ale permeabilita je kladna. Pre vlnu, sıriacu sa v smereosi y, nie je prıtomnost’ prstencov ani drotov podstatna:oba parametre, permitivita aj permeabilita, su kladne.

Obrazok 9 zobrazuje prvu realnu LH strukturu [3].Vzorka pozostavala len z jedinej vrstvy prstencov atyciek.

Vzorka z obr. 9 je jednorozmerna, pretoze transmisiaelektro magnetickej vlny je mozna len v jedinom smere.

4 6 8 10 12 14Frequency [GHz]

−15

−10

−5

0

5

50100200 50100200

ε’eff

10xε’’eff

FIG. 6: Efektıvna permitivita mriezky tenkych kovovychdrotov zıskana z numerickych dat pre transmisiu [20]. Sym-boly oznacuju data zıskane pre roznu diskretizaciu priestoru(elementarna bunka, v ktorej sa nachadza jedny drot, je rozde-lena na N × N - N=50, 100, 200 castı, v ktorych je in-tenzita pol’a aproximovana konstantou). Pretoze system jetranslancne invariantny v smere drotov, uloha je efektıvnedvojrozmerna. Data potvrdzuju teoreticku predpoved’ (10).

4

d c g

r

w

FIG. 7: Rezonator vytvoreny z dvoch prerusenych kovovychprstencov (split ring resonator - SRR). Casovo zavislevonkajsie magneticke pole Heiωt, kolme na rovinu prsten-cov, indukuje v prstencoch elektricky prud. V okolı re-zonacnej frekvencie, ω0, je magneticka odozva prstencov takasilna, ze vysledne magneticke pole ma opacne znamienko akovonkajsie pole. Pravidelna mriezka prerusenych prstencovvytvara medium so zapornou efektıvnou permeabilitou.

Tento nedostatok prekonala dvojrozmerna vzorka na obr.10 [7, 16],ktora umoznuje sırenie elektro magnetickej vlnyv dvoch smeroch kolmych na tenke droty. Doteraz sanepodarilo skonstruovat’ izotropnu 3D strukturu.

EXPERIMENTALNE A NUMERICKE

VYSLEDKY

Prvym experimentom bolo meranie transmisie elektro-magnetickej vlny cez vzorku na obr. 9. Z transmisie sanepriamo usudilo, ze vzorka ma LH vlastnosti. Podstataexperimentu je ukazana na obr. 11.

Dolezitym experimentom bolo meranie lomu elek-tro magnetickej vlny na rozhranı LH vzorka - vzduch.Pretoze LH struktury su silne anizotropne, musel sa lomvlny merat’ na vystupe vlny zo vzorky (obr. 12).

Experiment [7] skutocne nameral maximum intenzity

X Z

Y

FIG. 8: Schematicka struktura elementarnej bunky naj-jednoduchsieho LH materialu. Samotny LH material po-zostava vznikne periodickym opakovanım elementarnej bunkyv smeroch x a y. Kazda elementarna bnka obsahuje na dielek-trickej podlozke umiestnene dva kovove prerusene prstence,ktore vytvaraju zapornu magneticku odozvu. Zaporna per-mitivita je vytvorena kovovymi drotmi (elementarna bunkaobsauje len cast’ jedneho z nich). Elektromagneticka vlna

dopada v smere z a je polarizovana s ~E ‖ z a ~H ‖ x.

FIG. 9: Prvy experimentalne testovany LH material [3]

vlny v smere jej zaporneho lomu. Tieto vysledky bolipodrobene tvdej kritike. Garcia a kol. naprıklad ukazali,

FIG. 10: Dvojrozmerna LH struktura [7, 16], umoznjucasırenie LH vlny v l’ubovol’nom smere vo vodorovnej rovine,pokial’ je vlna polarizovana s ~E v zvislom smere. Prstence ajtenke droty su nanesene z opacnych stran na tu istu dielek-tricku podlozku.

6 7 8 9 10 11 12Frekvencia [GHz]

10−28

10−24

10−20

10−16

10−12

10−8

10−4

100

Tra

nsm

isia

len prstencetenke drotyleft−handed

FIG. 11: Transmisia elektromagnetickej vlny polarizovanej~E ‖ y cez tri struktury: Periodicku mriezku prstencov(prerusovana ciara): transmisia je blızka k 1, okrem re-zonancneho intervalu frekvenciı, v ktorom sa predpokladaµ < 0. Pre periodicku mriezku tenkych kovovych drotov jetransmisia vel’mi mala, pretoze ε < 0 pre ω < ωp. Plna ciaraje transmisia cez kombinaciu mriezky prstencov a drotov.Transmisia je blızka k 1 v rezonancnom intervale frekvenciı.Tieto vysledky su konzistentne s predstavou, ze tenke drotyvytvaraju medium so zapornou permitivitou a prerusovaneprstence vytvaraju medium so zapornou efektıvnou perme-abilitou.

5

dopadajuca vlna

kladny lom (n>0)

zaporny lom (n<0)

FIG. 12: Experimentalna realizacia zaporneho lomu EM vlny.LH vzorka ma tvar klinu. Pretoze LH material je anizotropny(transmisia EM vlny je mozna len v jednom smere, meria salom vlny na vystupe vlny do prostredia. EM vlna dopadakolmo na l’avu podstavu, a lame sa pri vystupe do prostrediana sikmej hrane.

ze podobne vysledky moze priniest’ aj absorbcia vo vnutrivzorky: maximum intenzity zodpoveda najkratsej drahevlny vo vzorke [23]. Pre dokaz zaporneho lomu vlny jepreto potrebne pouzit’ podstatne vacsie vzorky a merat’intenzitu prechadzajucej vlny vo vacsej vzdialenosti odrozhrania. Tieto kriteria splna neskorsı experiment [24].

Najjednoduchsie numericke simulacie predpokladajuhomogenny LH system. Finite difference time domain(FDTD) metoda umoznuje studovat’ transmisiu vlny vrealnom case. Takto mozno simulovat’ zaporny lom vlnyna RH - LH rozhranı, zapornu fazovu rychlost’ [13], ex-

citaciu povrchovych vln, fungujucu planarnu sosovku,analyzovat’ jej rozlisovaciu schopnost’. Tieto vysledkypotvrdzuju, ze LH materialy “v princıpe” mozu exis-tovat’. Viacere pocıtacove simulacie mozno najst’ na[25] alebo web strankach hlavnych protagonistov, reps.odporcov LH materialov.

Numericka analyza realnych struktur (obr. 10) jet’azka, pretoze realisticka vzorka je charakterizovana ro-zlicnymi dlzkovymi skalami. Polomer prstenca je napr. 3mm, ale hrubka naparenej kovovej vrstvy je len ∼ 17µm.V nasich numerickych simulaciach, zalozenych na metodetransfer matice, nedokazeme diskretizovat’ priestor stakym jemnym rozlısenım (toto dokaze komercny soft-ware, napr. Micro Wave Studio, ktory ale ma zasa inenevyhody). Nase numericke vysledky su preto vacsinoukvalitatvne. Napriek tomu su dolezite pre technologickyvyvoj, pretoze prıprava LH vzorky je v sucasosti pomernedraha a casovo narocna.

Numericke data umoznuju z transmisie a reflexie najst’efektıvne parametre struktury [26]. Ak predpokladame,ze LH material mozeme povazovat’ za homogenny, potomtransmisia T a reflexia R pre planarnu vrstvu su urcenevzt’ahmi (9) a

R

T= − i

2

[

z − z−1]

sin nk` (13)

9 9.5 10 10.5 11 11.5 12Frekvencia [GHz]

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Inde

x lo

mu

Re nIm n

Re(n)<0

Im(n)=10−2

FIG. 13: Index lomu zıskany z numerickych dat pre transmi-siu a reflexiu.

kde z =√

µ/ε je impedancia, n =√

εµ je index lomu a `je sırka vrstvy. Riesenie rovnıc (9, 13) da frekvencnuzavislost’ indexu lomu. Prıkladom takejto analyzy sudata na obr. 13.

FYZIKALNE PRINCIPY EXISTENCIE LH

MATERIALOV

Spravy o LH materialoch vyvolali pomerne kon-traverzu diskusiu. Jednou z najvaznejsıch namietokproti koncepcii LH materialov boli tvrdenia, ze ich ab-sorbcia musı byt’ vel’mi vel’ka. Tieto obavy vzbudzo-vala aj necakane mala experimentalne merana trans-misia cez prve LH vzorky. Nast’astie, tato predpoved’ sanepotvrdila. Naprıklad numericke data pre index lomuna obr. 13 davaju imaginarnu cast’ indexu lomu len∼ 10−2. Malu absorbciu mozeme vysvetlit’ tym, ze v GHzoblasti je permitivita kovov taka vel’ka (∼ 107i [9]), zeelektro magneticke pole do kovovych komponentov temernevnika. Hlavnou prıcinou absorbcie v LH materiali supreto straty v dielektrickej podlozke. Vyberom vhodnehomaterialu sa v sucasnych LH strukturach dosiahla trans-misia blızka k 1.

Mnohe namietky proti existencii zaporneho lomu EMvlny boli postavene na mylnych predstavach o smeresırenia EM vlny. Valanju et al. [27] tiez argumentovali,ze zaporny lom vlny narusa kauzalitu [28].

Vaznou otazkou bolo aj to, ci si v LH strukturachmozeme dovolit’ definovat’ efektıvu permitivitu a per-meablitu, parametre, vhodne pre popis homogennychsystemov. Struktura na obr. 8 ma priestorovu period-icitu 3.3 mm a rezonancnu frekvenciu 10 GHz. Pomervlnovej dlzky EM vlny k priestorovej periode, λ/a je pri-blizne 10, a je este mensı v rezonancnej oblasti, kde indexlomu LH struktury (v absolutnej hodnote) moze byt’� 1.Je preto otazne, ci v takomto materiali ma permitivitaa permeabilita svoj fyzikalny vyznam. Rozsiahle numer-icke simulacie naozaj potvrdili, ze periodicita LH mriezkyje dolezita. Naprıklad v rezonancnej oblasti, ω ∼ ω0

6

dostavame z numerickych dat zapornu imaginarnu cast’efektıvnej permitivity (ε′′ < 0), co v prıpade pasıvnehomaterialu nie je mozne. Takyto problem ale nevznikav pomerne sirokom frekvencom pase (obr. 13), kde je−1 < n < 0.

Problemy s priestorovou periodicitou mozno elimino-vat’ a takmer dokonalu rezonancnu zavislost’ permeablity,(11) mozno dosiahnut’ redukciou rezonancnej frekvencieprstencov. Ak je pomer λ/a > 50, potom numerickedata pre mriezku prstencov aj LH material potvrdzujuspravnost’ vzt’ahov (10,11) pre efektıvne parametre [29].

Z hl’adiska aplikaciı LH materialov bolo potrebnehlbsie porozumiet’ interakcii prstencov a drotov, akoaj elektricku odozvu prstencov. V prvej aproximaciisa tato odozva zanedbala. Podrobna analyza [30]ul’ahcuje interpretaciu experimentalnych dat. Umoznujeo.i. rozhodnut’, ci transmisne maximum v spekte tej -ktorej vzorky je naozaj LH.

FOTONOVE KRYSTALY

Pre uplnost’ je treba spomenut’ aj druhu cast’ LH ma-terialov: fotonove krystaly. Notomi [31], a po nom mnohıd’alsı [32, 33] v numerickych simulaciach ukazali , ze narozhranı vzduch - fotonovy krystal moze nastat’ zapornylom EM vlny (obr. 14).

Fotonovy krystal, studovany na obr. 14 pozostava zpravidelnej mriezky dielektrickych tyciniek s priestorovouperiodou a porovnatel’nou vlnovej dlzke prechadzajucejvlny. V jeho frekvencnom spektre (obr. 15) exis-tuje oblast’ frekvenciı, v ktorej ω je klesajucou funckiou~k. Efros [35] argumentuje, ze v tejto oblasti je moznedefinovat’ zapornu efektıvnu permitivitu aj permeabilitufotonoveho krystalu.

Fotonovy krystal je samozrejme ovel’a vhodnejsı pre ex-perimentalny vyskum, ako komplikovane LH struktury.Neobsahuje kovove komponenty, v ktorych vzdy hro-cia absorbcne straty. Jeho priestorovu strukturu navysemozno jednoducho skalovat’ a tym menit’ pracovnufrekvenciu. Preto sa zda byt’ vhodnejsım kandidatompre konstrukciu dokonalej sosovky. Viacere skupinyuz ohlasili, ze sa im podarilo experimentalne dosiah-nut’ rozlisovaciu schopnost’ podstatne mensiu, ako λ[34]. Napriek tomu vladne voci fotonovym krystalomskepsa. Ich vel’kym handicapom je skutocnost’, ze povr-chove vlny, typicke pre LH medium, sa na na povrchufotonoveho krystalu podarı excitovat’ len vtedy, ked’ sapovrch krystalu narusı. Niektore teoreticke prace (napr.[36]), tvrdia, ze fotonovy krystal nie je schopny zosil-nit’ evanescentne vlny. Ak je toto tvrdenie pravdive, po-tom su fotonove krystaly pre pre konstrukciu dokonalychsosoviek prakticky nepouzitel’ne a doterajsie experi-menty dokazujuce superrozlisovaciu schopnost’ sosovieksi vyziadaju inu fyzikalnu intepretaciu.

FIG. 14: Zaporny lom elektro magnetickej vlny na rozhranıvzduch - fotonovy krystal [33].

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Γ Μ Γ Κ

� �� �

� � �

� � ��

�

� ��� �

�

�

� � ������� �� � � �

� � � �� � � �

� � � � �� � � �� � � �� � � �� � �

FIG. 15: Typicka struktura frekvencneho spektra fotonovehokrystalu. V blızkosti hornej hranice druheho pasu je frekven-cia klesajucou funkciou vlnoveho vektora, a to pre vsetkysmery sırenia vlny (spodny obrazok). V tejto frekvencnejoblasti sa ocakava zaporny lom EM vlny na rozhranı vzduch- fotonovy krystal (obr. 14) Je mozne prisposobit’ strukturufotonoveho krystalu tak, aby disperzny zakon bol izotropny,ω ∼ −k2.

ZAVER

Dalsı vyvoj LH materialov bude smerovat’ kukonstrukcii izotropnych struktur. Nie je t’azke predstavit’si trojrozmernu LH strukturu, ktora sa v numerickychsimulaciach bude spravat’ ako izotropne medium [37].Taketo vzorky sa vsak nateraz v laboratoriach nepodarilopripravit’.

Doteraz diskutovane vzorky pracuju v oblasti 10 GHz.Samozrejme vznika otazka, ci je mozne skonstruovat’LH materialy s pracovnou frekvenciou blızkou k vidi-tel’nemu svetlu. Posun do vyssıch frekvenciı (∼ THz)vyzaduje predovsetkym miniaturizovat’ celu strukturu.Typicka vel’kost’ elementarnej bunky sa musı zmensit’na ∼ µm. Prve vzorky pozostavajuce z niekol’kych

7

vrstiev prerusenych prstencov [38] naznacuju, ze aj vtejto oblasti maju prstence zapornu magneticku odozvu.Pre ich vyuzitie vsak bude podstatna analyza elektro-magnetickych strat v LH systeme. Zatial’ co v olastiGHz maju kovy typicku permitivitu εm ∼ 107i, takzekov mozeme povazovat’ za idealny bezstratovy vodic, jepermitivita kovu v THz oblasti podstatne nizsia. Nie jepreto jasne, ci bude mozne odstranit’ absorbcne stratyv kovovych komponentoch. Straty v THz materialochbudu preto pravdepodobne podstatne vyssie, ako v GHzoblasti. Naprıklad posledna navrhnuta LH struktura,zlozena z malych kovovych tyciek (vel’kosti 170 × 750nanometrov) sıce vykazuje v okolı frekvencie 200 THzzaporny index lomu n≈ − 0.5 [39], ale imaginarna cast’indexu lomu, n′′ ∼ 2−4 je taka vel’ka, ze takyto materialsa za LH material de facto neda povazovat’.

Trvalou vyzvou je, samozrejme, konstrukcia LHsosovky, ktora, aj ked’ nie dokonala, dokaze zobrazit’ de-taily mensie ako vlnova dlzka.

[1] V. G. Veselago, Sov. Phys. Usp. 10, 509 (1968) [Usp. Fiz.Nauk 92, 517 (1967)].

[2] V literature sa pouzıva aj nazov NIM (negative index ma-terial), DNM (double negative material) alebo Backward-wave medium. Posledny nazov zdoraznuje skutocnost’, zefazova rychlost’ je zaporna.

[3] D. R. Smith et al. Phys. Rev. Lett. 84, 4184 (2000).[4] J. B. Pendry et al. Phys. Rev. Lett. 76, 4773 (1996).[5] J. B. Pendry et al. J. Phys.: Condens. Matt. 10, 4785

(1998).[6] J. B. Pendry et al. IEEE Trans. on Microwave Theory

and Techn. 47, 2057 (1999).[7] R. A. Shelby, D. R. Smith, and S. Schultz, Science 292,

77 (2001).[8] J. B. Pendry, Phys. Rev. Lett. 85, 3966 (2000)[9] J. D. Jackson, Classical Electrodnamics (3rd ed.) J. Wil-

ley and Sons, 1999

[10] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, L. P. Pitaevskii, Electro-dynamics of Continuous Media, Pergamo Press, 1984

[11] J. B. Pendry, Contemp. Phys. 45, 191 (2004); J. B.Pendry, D. R. Smith, Phys. Today 57, 37 (2004)

[12] V. Dvorak, cs. cas. fyz. 54, 56 (2004)[13] R. W. Ziolkowski, E. Heynman, Phys. Rev. E 64, 056625

(2001)[14] D. R. Smith and N. Kroll Phys. Rev. Lett. 85, 2933

(2000)[15] R. Ruppin, Phys. Lett. A 277, 61 (2000)[16] R. A. Shelby et al. Appl. Phys. Lett. 78, 489 (2001).[17] M. Sigalas et al., Phys. Rev. B 52, 11744 (1995)[18] A. K. Sarychev and V. M. Shalaev, cond-mat/0103145[19] A. L. Pokrovsky and A. L. Efros, Phys. Rev. Lett. 89,

093901 (2002).[20] P. Markos and C. M. Soukoulis, Optics Letters 28, 846

(2003).[21] T. Weiland et al., J. Appl. Phys. 90, 5419 (2001).[22] P. Markos and C. M. Soukoulis, Phys. Rev. E 65, 036622

(2002).[23] V. Sanz et al. Phys. Rev E. (2003)

[24] C. G. Parazzoli et al. Phys. Rev. Lett. 90, 107401 (2003).[25] Optics Express, e-casopis, vol’ne prıstupny na

www.opticsexpress.org[26] D. R. Smith et al. Phys. Rev. B 65, 195104 (2002).[27] P. M. Valanju et al., Phys. Rev. Lett. 88, 187401 (2002)[28] J. B. Pendry, reply to [27], Phys. Rev. Lett. 90, 029703

(2003)[29] Th. Koschny et al. Phys. Rev. B 71, 245105 (2005).[30] Th. Koschny et al. Phys. Rev. Lett. 93, 107402 (2004).[31] M. Notomi, Phys. Rev. B 62, 10696 (2000)[32] S. Foteinopoulou et al., Phys. Rev. Lett. 90 107402

(2003)[33] R. Moussa et al., Phys. Rev. B. 71 085106 (2005)[34] E. Cubukcu et al. Phys. Rev. Lett. 91, 207401 (2003)[35] A. L. Efros and A. L. Pokrovsky, Solid St. Comm. 129,

643 (2004).[36] A. L. Efros et al. http://www.arxiv.org/abs/cond-

mat/0503494[37] Th. Koschny et al. Phys. Rev. B 71 (2005)[38] T. J. Yen et al. Science 303, 1494 (2004).[39] V. M Shalaev et al. http://www.arxiv.org/abs/physics/0504091