Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02
Click here to load reader
-
Upload
narutokakasi -
Category
Documents
-
view
76 -
download
11
Transcript of Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02
![Page 1: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/1.jpg)
Surfiani
![Page 2: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/2.jpg)
TRANSFORMASI
![Page 3: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/3.jpg)
![Page 4: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/4.jpg)
Unsur tetap Kolineasi Identitas Isometri Involusi
![Page 5: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/5.jpg)
KOLINEASI
![Page 6: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/6.jpg)
ISOMETRI
![Page 7: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/8.jpg)
1. Diketahui )1,12()),(( yxyxT
a. Selidiki apakah T suatu kolineasi
b. Selidiki apakah T suatu involusi a. )1,12()),(( yxyxT
112
''
dengan )','(),(yx
yx
yxyxT
ambil persamaan garis 0 cbyaxg
diperoleh 1'1'
21'12'
yyyy
xxxx
sehingga ')( ggT
0)2
('2
'
0)1'2
1''
cbabyax
cybxag
Karena g’ adalah garis maka T merupakan kolineasi.
![Page 9: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/9.jpg)
a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)
T T
TT=T2
112
''
dengan )','(),(yx
yx
yxyxT
1'1'2
''''
dengan )'',''()','(yx
yx
yxyxT
234
1)1(1)12(2
1'1'2
''''
dengan )'',''(),(2
yx
yx
yx
yx
yxyxT
Jadi )2,34()),((2 yxyxT
![Page 10: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/10.jpg)
Jika V transformasi dan W transformasi, berkenaan sifat V dan W sebagai fungsi,
maka dapat didefinisikan komposisi atau hasil kali dari V dan W. Seperti halnya
menyusun komposisi dua fungsi maka komposisi WV , W dikerjakan dahulu
baru V. Jadi ))(()( AWVAWV .
Kemudian untuk menyingkat, seringkali ditulis 2, VVVVWWV
![Page 11: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/11.jpg)
Hasil kali dua transformasi akan merupakan transformasi.
Bukti :
Ambil V dan W adalah transformasi dari bidang ke bidang semula, maka V•W
merupakan transformasi bila dapat dibuktikan bahwa V•W adalah pemetaan
bidang kepada bidang dan bahwa V•W satu-satu.
Ambil sebarang titik Q’’
Karena V transformasi )'(''' QVQQ
Karena W transformasi )(' QWQQ
Sehingga )'('' QVQ
)(
))((QWVQWV
Berarti setiap titik pasti merupakan hasil fungsi V•W terhadap salah satu titik
dalam bidang. Kemudian karena V dan W fungsi satu-satu, maka V•W juga akan
merupakan fungsi satu-satu.
Terbukti bahwa V•W adalah transformasi.
![Page 12: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/12.jpg)
1. Diketahui 1,3)),((dan 2,)),(( 21 yxyxTyxyxT
a. Carilah 21TT
b. Kenakan 21TT pada persamaan garis yang melalui (-4,-6) dan sejajar dengan
0532 yxg Jawab: a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)
T2 T1
T1T2
13
''
dengan )','(),(2 yx
yx
yxyxT
'2'
''''
dengan )'',''()','(1 yx
yx
yxyxT
223
)1(23
'2'
''''
dengan )'',''(),(21 yx
yx
yx
yx
yxyxTT
Jadi )22,3()),((21 yxyxTT
![Page 13: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/13.jpg)
a. Persamaan garis melalui (-2,-3) dan sejajar dengan 0532 yxg
Karena sejajar maka 21 mm
352523
0532
xy
xyyx
Jadi 32,
32
21 mm
05324293
)2(32)3(
)()( 11
yxxy
xy
xxmyyh
223
''
dengan )','(),(21 yx
yx
yxyxTT
12122'
3'3'
yyyy
xxxx
Jadi h'(h)21 TT
028'3'4
053'236'2
051'2133'2
yx
yx
yx
![Page 14: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/14.jpg)
1. Diketahui )1,12()),(( yxyxT
a. Selidiki apakah T suatu involusi
b. Kenakan T pada 2xy
a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)
T T
TT=T2
112
''
dengan )','(),(yx
yx
yxyxT
1'1'2
''''
dengan )'',''()','(yx
yx
yxyxT
234
1)1(1)12(2
1'1'2
''''
dengan )'',''(),(2
yx
yx
yx
yx
yxyxT
Jadi )2,34()),((2 yxyxT
![Page 15: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/15.jpg)
a. T pada 2xy
22'2)'('
2'2)'('2
4'2)'(2'2
)1'()1'(22
)1'(1')(
2
2
2
2
2
xxy
xxy
xxy
xy
xyhT
![Page 16: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/17.jpg)
S merupakan geseran apabila terdapat suatu ruas garis berarah AB sedemikian sehingga untuk setiap titik P pada bidang V berlaku S(P)=P’ dengan PQ=AB. Selanjutnya geseran dengan vektor geser AB dinyatakan sebagai SAB
A B
P’ P
![Page 18: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/18.jpg)
CDABSS CDAB
Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,
genjangjajar CABDSS CDAB
Geseran adalah suatu isometri
![Page 19: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/19.jpg)
CDABSS CDAB Bukti :
1) CDABSS CDAB
Ambil titik P dan kenakan S dengan vektor geser AB.
Berarti ')( PPSAB berarti 'PPAB .
Karena CDAB SS maka ' berarti ')( PPCDPPSCD .
Karena 'PPAB
'PPCD
Maka akibatnya CDAB
2) CDAB SSCDAB
Ambil P dan kenakan ABS berarti '')( PPABPPSAB .
Karena ' maka PPCDCDAB .
Sehingga ')( PPSCD
')( PPSAB
Maka akibatnya CDAB SS
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa CDABSS CDAB
![Page 20: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/20.jpg)
Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,
genjangjajar CABDSS CDAB
Bukti : 1) genjangjajar CABDSS CDAB
Dengan dalil 2.1 diperoleh bahwa jika
CDABSS CDAB
Karena CDABSS CDAB berakibat BDAC
Jadi CABD jajar genjang.
2) CDAB SSCABD genjangjajar
CABD jajar genjang, berarti terdapat 2 pasang sisi yang sejajar dan
sama panjang, yaitu CDAB
BDAC
Karena CDAB dengan dalil 2.1 (jika CDAB SSCDAB )
Jadi CDAB SS
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa genjang.jajar CABDSS CDAB
![Page 21: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/21.jpg)
Geseran adalah suatu isometri Bukti :
1)
=
'')( PPABPPSAB
'')( QQABQQS AB
Akibatnya '' QQPP
Akan dibuktikan PQQP ''
'PP dan Q tidak segaris, dengan dalil 2.2 PQQ’P’ jajar genjang
Berakibat PQQPPQQP ''''
2)
'PP dan Q segaris
PQQP
PQQP
QQPPPPQQPQ
PPPQQP
''akibat
'' maka
'' karena ''
''''
Jadi S isometri
A B
P P’
Q Q’
P Q’ Q P’
![Page 22: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/22.jpg)
Y
XO
B(a,b)
P(x,y)
P’(x’,y’)
b
a
a
b
ba
OB
byax
ba
yx
SOB
![Page 23: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/23.jpg)
vektor
ba
OB
koordinattitik ),( baB
Q(c,d)
P(a,b)
bdac
PQ
![Page 24: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/24.jpg)
Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)1) Carilah rumus SAB dan SBA?2) Kena Apakah SBA kolineasi? 3) kan SBA pada garis h di mana h melalui
titik A dan tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=9.
4) Apakah SBA involusi?5) Apakah SBA isometri?6) Apakah hasil kali SAB dan SBA?
![Page 25: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/25.jpg)
Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)◦ Apakah SBA kolineasi?
◦ Kenakan SBA pada garis h di mana h melalui titik A dan tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=0.
◦ Apakah SBA involusi?
◦ Apakah SBA isometri?
◦ Apakah hasil kali SAB dan SBA ?
![Page 26: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/26.jpg)
TeoremaHasil kali dua geseran SAB dan SCD akan
merupakan geseran lagi dengan
T T’
T’’
A B
CDABPQ
C
D
P
Q
![Page 27: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/27.jpg)
A
B
C
D
Y
P(x1,y1)
O X
Q(x2,y2)
![Page 28: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/29.jpg)
Setengah putaran terhadap titik P
(dengan pusat P) dilambangkan
dengan Hp, adalah pemetaan yang
memenuhi untuk sebarang titik A
di bidang V :
1.Jika A ≠ P maka titik P titik
tengah AA’
Hp(A)=A’
2.Jika A = P maka Hp(A)=P=A
A
A’
P
![Page 30: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/30.jpg)
Bukti :Akan ditunjukkan Hp2=IAmbil A, kenakan Hp sehingga Hp(A)=A’Kenakan A’ dengan Hp, maka
Hp(A’)=AHp(Hp(A))=A’=AHp2(A)=AHp2=I
Jadi Hp involusiA P A’
Hp
Hp
![Page 31: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/31.jpg)
TEOREMASetengah putaran adalah isometri
Bukti :Ambil titik P, A dan B yang tidak segaris.P sebagai pusat putar.
A
B
P
B’
A’
Kenakan A dengan Hp,
sehingga Hp(A)=A’ dengan
AP=PA’.Kenakan B dengan Hp,
sehingga Hp(B)=B’ dengan
BP=PB’.
![Page 32: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/32.jpg)
Lanjutan
Perhatikan ∆APB dan ∆A’PB’Karena AP=PA’
BP=PB’Maka ∆APB dan ∆A’PB’ kongruen (s, sd, s)Akibat : AB=A’B’Jadi setengah putaran adalah isometri
belakang)(bertolak ''PBAAPB
![Page 33: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/33.jpg)
XO
Y
A(x,y)
A’(x’,y’)
P(a,b)
Ambil P(a,b) sebagai
pusat putar.
Hp memetakan
A(x,y) ke A’(x’,y’).
![Page 34: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/34.jpg)
Diperoleh hubungan bahwa :
Jadi jika P(a,b) maka :Hp = (x,y)→(x’,y’) dengan
ybyyybyyb
xaxxxaxxa
2''22
'
2''22
'
ybxa
yx
22
''
![Page 35: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/35.jpg)
LATIHANDiketahui A(-3,-5) dan B(-2,3)1.Carilah HA•HB
2.Apakah HA•HB involusi?
3.HB memetakan ∆KLM ke∆K’L’M’ dengan K(3,5), L(-5,-4) dan M(5,6). Carilah koordinat K’, L’ dan M’
4.Carilah Q s.d.s HA•HB(Q)=P dengan P(-4,7)
![Page 36: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/36.jpg)
1. Diketahui A(4,4), B(2,-5) dan P(6,4), tentukan HA•HB(P) dan HB•HA(P).
2. Diketahui P(3,2). Tentukan Hp((1,3)) dan Hp-1 ((2,4)).
3. Misalkan L={(x,y)│x2+y2=25}.Tentukan L’=HB•HA(L) jika A(2,1) dan B(-3,5).
4. Misalkan g={(x,y)│y=5x+3} dan A(2,3), B(-1,-2) dan
C(3,5). Tentukan SAB•Hc(g).
![Page 37: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/37.jpg)
Bukti :
TEOREMAHasil kali dua setengah putaran merupakan geseran
P
BA C
P’
P’’
![Page 38: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/38.jpg)
Ambil titik P, A dan B tidak segaris, kenakan P dengan HA sehingga :HA(P)=P’ berlaku PA=AP’HB(P)=P’ berlaku P’B=BP’’Berarti :HB(P’)=P’’HB(HA(P))=P’’HB•HA(P)=P’’
Karena PA=AP’ dan P’B=BP’’Maka AB merupakan garis tengah sejajar alas PP’ dalam ∆PP’P’’ sehingga PP’’=2ABBerarti HA•HB merupakan geseran atau HA•HB=SAC dengan AC=2AB
![Page 39: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/39.jpg)
Hasil kali geseran dan setengah putaran ???
![Page 40: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/40.jpg)
Diketahui koordinat P(-2,8) dan R(0,10) serta ∆A’B’C’ dengan A’(5,1) B’(-3,-4) dan C’(1,-5). Carilah ∆ABC sehingga :HR•HP(A)=A’
HR•HP(B)=B’
HR•HP(C)=C’
Jawab :A(1,-3) B(-7,-8) C(-3,-9)
![Page 41: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/41.jpg)
Diketahui koordinat E(-5,-1) F(1,4) G(-2,-8)1. Apakah hasil dari HF•HG
Jawab : (6-x, 22-y)2. Jika HF•HG=SED carilah koordinat D
Jawab : (1, 21)3. Kenakan HE•HF pada garis g di mana g melalui E dan
tegak lurus garis yang melalui F dan G4. Apakah hasil dari HF•HE•HG
5. Selidiki apakah HG•SEF involusi
Find the answers by yourself, pasti bisa!!!
![Page 42: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/42.jpg)
![Page 43: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/43.jpg)
Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan bayangan yang tergantung pada acuannya.
![Page 44: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/44.jpg)
Refleksi terhadap sumbu xRefleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan yaitu A’(a’, c’), demikian juga untuk titik B dan titik C.Diperoleh persamaan bahwa :
a’ = a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
1 00 -1xT
Dengan notasi matrik :
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(a, -c) sumbu x
1 00 -1x
x x xT
y y y
![Page 45: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/45.jpg)
Sama seperti refleksi terhadap sumbu x menghasilkan persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’ = c dan seterusnya. sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(-a, c) sumbu y
Dengan notasi matrik :
-1 0 0 1y
x x xT
y y y
-1 0 0 1yT
![Page 46: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/46.jpg)
Refleksi terhadap titik asal (0,0)
Menghasilkan persamaan :a’= - a, dan c’ = -c,b’= - b, dan c’ = -c,d’= - d, dan c’ = -c,sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
(0,0)
-1 0 0 -1
T
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(-a,-c) titik(0,0)
(0,0)
-1 0 0 -1
x x xT
y y y
Dengan notasi matrik :
![Page 47: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/47.jpg)
Refleksi terhadap garis y = xMenghasilkan persamaan :a’= c, dan c’ = a,b’= c, dan c’’ = b,d’= e, dan e’ = d dan seterusnyasehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
0 11 0y xT
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(c,a) y = x
0 11 0y x
x x xT
y y y
Dengan notasi matrik :
![Page 48: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/48.jpg)
Refleksi terhadap garis y = - x Menghasilkan persamaan :a’= -c, dan c’ = -a,b’= -c, dan c’’ = -b,d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya, sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : 0 -1
-1 0y xT
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(-c,-a) y =- x
0 -1-1 0y x
x x xT
y y y
Dengan notasi matrik :
![Page 49: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/49.jpg)
Refleksi terhadap garis y = hSumbu x digeser sejauh h, menghasilkan persamaan :a’= a, dan c’ = 2h-c,b’= b, dan c’ = 2h-c,d’= d, dan e’ = 2h-e, sehingga notasi persamaan matrik transformasinya adalah :
1 0 00 -1 2
x xy y h
![Page 50: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/50.jpg)
Bukti :Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x
yang baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’, y’) dengan :
Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru menjadi :
Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula dengan memakai translasi diperoleh:
0 x x xy y h y h
1 0 0 -1
x x xy y h y h
0 2
0 1 0 0
- 2 0 -1 2
x x xy y h h y h
x xy h y h
![Page 51: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/51.jpg)
Refleksi terhadap garis x = kSekarang yang digeser adalah sumbu y sejauh k, menghasilkan persamaan :a’= 2k-a, dan c’ = c,b’= 2k-b, dan c’ = c,d’= 2k-d, dan e’ = e, sehingga notasinya adalah :
A(a,c) A’(2k-a,c)
x=k
-1 0 20 1 0
x x ky y
Dengan notasi matrik :
![Page 52: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/52.jpg)
Contoh Soal :Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan
titik sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-y.
Jawab :Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua
tahap yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari refleksi terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang terjadi direfleksikan terhadap sumbu-y.
![Page 53: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/53.jpg)
Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :
![Page 54: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/54.jpg)
Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y
![Page 55: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/55.jpg)
Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’ dengan
titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11).
![Page 56: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/56.jpg)
![Page 57: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/57.jpg)
Telah dibahas bahwa :◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu
sejajar adalah berupa geseran.◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu
yang saling tegak lurus adalah berupa setengah putaran.
Apakah hasil kali 2 pencerminan jika kedua sumbu sebarang???
![Page 58: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/58.jpg)
Ambil sebarang sumbu s dan t yang berpotongan di P.Sebuah titik A sebarang dikenai Ms dan Mt , berarti :Ms(A) = A’Mt(A’) = A’’Jadi, Mt(A’) = A’’
Mt(Ms(A)) = A’’ (Mt•Ms)(A) =A’’
Ambil Q titik tengah AA’ Ambil R titik tengah A’A’’
![Page 59: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/59.jpg)
Akibat pencerminan :
1. QPA'mAPQm
PRA'm2 QPA'2m 'APA'mmaka t)s,(mJika
'RPA' mPRA'm
PR)A'mQPA'm(2
2. PA = PA’
PA’ = PA’’
Jadi PA = PA’’
Sehingga Mt•Ms menghasilkan :
1. PA = PA’’
2. t)titik(s,Pdan t)(s,mdengan 2 'APA'm
![Page 60: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/60.jpg)
Putaran terhadap P dengan sudut θ sebagai sudut putar dilambangkan dengan RP,θ adalah pemetaan yang memenuhi :◦ RP,θ (P) = P
◦ Rp,θ (A) =A’ di mana PA=PA’ dan
P = pusat putarθ = sudut putar
![Page 61: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/61.jpg)
Jika θ = 0o maka RP,θ = I Jika θ = 180o maka RP,θ = HP
Jika α = β maka α = β + k•360o, dengan k anggota B+
Sudut θ positif jika arah berlawanan jarum jam
![Page 62: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/62.jpg)
Sebarang putaran RP,θ selalu dapat dianggap sebagai hasil kali 2 pencerminan, satu terhadap sumbu s dan satu terhadap sumbu t.
P = titik (s,t) Jadi, hasil kali 2 pencerminan Mt•Ms :
◦ Jika s//t maka Mt•Ms = SAB dengan AB = 2 jarak (s,t)◦ Jika s tidak sejajar t maka Mt•Ms = Rp,θ dengan P = titik
(s,t) dan ◦ Jika s tegak lurus t maka Mt•Ms = RP,θ = HP
![Page 63: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/63.jpg)
Dengan pusat putar (0,0)
Ambil sumbu cermin s dan t di mana s berimpit dengan sumbu x dan t garis melalui (0,0)
dengan 2cos2sin
m
RP,θ dinyatakan sebagai hasil kali pencerminan :
Sumbu s, y = 0
Ms : (x,y) → (x’,y’) dengan
yx
yy
yx
yx
1)(1.2
1)(0.2
''
yx
1001
![Page 64: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/64.jpg)
Sumbu t, xy2cos2sin
, maka 2sin2cos xy
0)290sin()290cos(
)290cos()290sin(
yx
xy
Mt : (x’,y’) → (x’’,y’’) dengan
cossin
2''
2cos2sin2sin2cos
''''
pyx
yx
''
cossinsincos
0''
)180(cos)180(sin)180(sin)180(cos
yx
yx
![Page 65: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/65.jpg)
Mt•Ms : (x,y) → (x’,y’) dengan
''
cossinsincos
''''
yx
yx
yx
yx
cossinsincos
1001
cossinsincos
Jadi, jika P(0,0) maka :
RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan
yx
yx
cossinsincos
''
![Page 66: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/66.jpg)
Dengan pusat putar P(a,b)
Ambil suatu koordinat dengan pangkal P(a,b) dari suatu sumbu yyxx //dan // .
Terhadap sumbu yPx koordinat C(x,y) dan C’(x,y).
RP,θ : (x,y) →(x’,y’) dengan
yx
yx
cossinsincos
''
Bila terhadap sumbu XOY, koordinat C(x,y) dan C’(x’,y’)
ba
yx
OPOCPCyx
ba
yx
OPOCPCyx
''
''''
![Page 67: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/67.jpg)
Jadi
yx
yx
cossinsincos
''
bbaaba
yx
ba
ba
yx
yx
ba
yx
ba
yx
cossinsincos
cossinsincos
cossinsincos
cossinsincos
''
cossinsincos
''
Jadi jika pusat putar P(a,b) maka
RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan
qp
yx
yx
cossinsincos
''
dengan
cossinsincos
babqbaap
Suatu transformasi yang dipenuhi 1sincos 22 merupakan putaran.
![Page 68: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/68.jpg)
1. Kesebangunan mempertahankan besar sudut Misalkan diberikan sebarang sudut < ABC dan T(<ABC) = <A’B’C’. Diperoleh | A’B’| = k| AB| , | B’C’| = k| BC| , dan | A’C’| = k| A’C’| . Sehingga segitiga A’B’C’ sebangun dengan segitiga ABC. Diperoleh besar sudut A’B’C’ sama dengan besar sudut ABC. Jadi terbukti bahwa kesebangunan mempertahankan besar sudut. Akibat langsung dari bukti ini adalah kesebangunan juga mempertahankan ketegaklurusan.
![Page 69: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/69.jpg)
Definisi Misal P suatu titik tertentu dan k 0. Transformasi DP,k disebut suatu dilatasi terhadap P dengan faktor k jika a. DP,k (P)=P. b. Untuk sebarang titik QP, DP,k(Q) = Q’ dengan PQ’=kPQ dan
Q’ pada PQ untuk k>0 kemudian Q’ pada P/ Q untuk k<0. Teorema
Untuk sebarang garis g dan g’=DP,k(g) berlaku : a. g’=g jika P terletak pada g. b. g’/ / g jika P tidak terletak pada g.
![Page 70: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/70.jpg)
Teorema Hasil kali suatu dilatasi dan suatu isometri adalah suatu similaritas. Sebaliknya, suatu similaritas selalu dapat dinyatakan sebagai hasilkali suatu dilatasi dan suatu isometri. Teorema
Untuk sepasang segitiga yang sebangun ABC dan A’B’C’ terdapat tepat satu similaritas L yang membawa A ke A’, B ke B’ , dan C ke C’
![Page 71: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/71.jpg)
1. Rumus Dilatasi Misalkan titik P(x,y) suatu titik tertentu. T(a,b) sebarang titik dengan T’(a’,b’) sedemikian hingga T’=DP,k(T). Kemudian p adalah vektor posisi dari P(x,y), t’ vektor posisi dari T’(a’,b’) dan t vektor posisi dari T(a,b) T’(a’,b’) P(x,y) t’ x T(a,b) t
Sehingga dengan menggunakan aturan vektor dan matriks diperoleh: PT’ = k(PT) t’-x = k(t-x)
![Page 72: Materi Ajar Geometri Transformasi 121106041007 Phpapp02](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102503/577c7f341a28abe054a3a794/html5/thumbnails/72.jpg)
atau
y-bx-a
kyb'xa'
sehingga
yx
k)(1ba
kb'a'