1

Matemàtiques de l’antic Egipte Treball de recerca

Maria Perramon Saura 2n. Batxillerat D

Treball de recerca Tutor: Daniel Bentué

Curs 2008-2009

2

Índex

1. Pròleg pàg.3 2. Introducció. pàg.7 3. Bloc 1. Orígens de la matemàtica Egípcia pàg.8

3.1. Escriptura pàg.8 3.2. Numeració jeroglífica pàg.9

3.2.1. Fonemes de la numeració egípcia pàg.10 3.3. Fraccions pàg.10 3.4. Mesures pàg.13

3.4.1. Mesura de longitud pàg.13 3.4.2. Mesura de superfícies pàg.15 3.4.3. Mesura de capacitat pàg.15 3.4.4. Ull d’Horus. El mite de les subdivisions de heqat pàg.16

3.5. Escriptura hieràtica pàg.19 3.6. Jocs d’escriptura i símbols numèrics pàg.20 3.7. Cosmologia egípcia pàg.23

3.7.1. Calendari egipci pàg.23 3.8. Documentació matemàtica pàg.25

3.8.1. Papir Rhind pàg.25 3.8.2. Papir de Moscou pàg.25 3.8.3. Papir de Berlín pàg.26

4. Bloc 2. Aritmètica pàg.27 4.1. Suma i resta pàg.27 4.2. Multiplicació i divisió. pàg.27

4.2.1. Pas a pas. Procés de multiplicació pàg.27 4.2.2. Procés de divisió pàg.28

4.3. Equacions i sistemes d’equacions pàg.28 4.4. Superfícies i àrees pàg.30

4.4.1. Superfícies rectangulars pàg.31 4.4.2. Superfícies triangulars pàg.32

4.4.2.1. Teorema de Pitàgores pàg.33 4.4.2.2. Àrea del trapezi pàg.34 4.4.2.3. Àrea del trapezoide pàg.36

4.4.3. Àrea d’un cercle pàg.36

4.4.3.1. Número pàg.37

3

4.4.3.2. L’àrea d’un cercle per “Pitàgores” pàg.38 4.4.3.3. Àrea d’una semiesfera pàg.40

4.4.4. Volums pàg.40 4.4.4.1. Volum d’un cub o base rectangular pàg.40 4.4.4.2. Volum d’un cilindre pàg.41

4.4.5. Piràmides truncades pàg.41 5. Bloc 3. Piràmide de Kheops pàg.45

5.1. Volum de la piràmide de Kheops pàg.46 5.2. Apotema de la piràmide pàg.46 5.3. Inclinació de la piràmide pàg.47

5.4. El número pàg.48 5.4.1. El teorema de Fibonacci pàg.48 5.4.2. El pentàgon pàg.50 5.4.3. Relació de Phi amb la piràmide pàg.50 5.4.4. Relació de Pi amb la piràmide pàg.51

6. Bibliografia pàg.52 7. Conclusió pàg.54

4

1. Pròleg (carta a la Maria)

Maria, celebro molt que t'hagis decidit fer un treball sobre la matemàtica i

l’arquitectura a l'antic Egipte. El desenvolupament de les matemàtiques es deu

a la necessitat de resoldre problemes d'ordre pràctic, repartir menjar entre els

treballadors, fer construccions, preveure el temps atmosfèric,… tanmateix la

matemàtica es desmarca aviat de la ciència i pren el seu propi camí perquè la

ciència parteix dels fets (conclusions) per arribar a les lleis que els expliquen

(les premisses), mentre que la matemàtica és deductiva i parteix dels axiomes

(premisses) per arribar als teoremes (conclusions). La ciència és sempre

provisional mentre que la matemàtica és eterna. La realitat física l'anem

descobrint i redescobrint contínuament, mentre que la matemàtica es va

ampliant. Aquelles operacions matemàtiques emprades pels egipcis, al cap de

milers d'anys continuen tenint la mateixa validesa.

La matemàtica, a més, ha arribat a ser espiritual i, com és això? Doncs

veuràs, la raó àuria és bella per la seva simplicitat, és un número, i a la vegada

en l’expressió de la raó àuria hi sublimem moltes idees.

El matemàtic, com el pintor o el poeta és un constructor de models. La

bellesa del model augmenta quan la seva utilitat es fa universal i eterna, com la

raó àuria, que és aplicable per a explicar l’expansió de l’univers, els canons

estètics, els pentagrames musicals, la disposició de les pipes en un gira-sol o la

forma d’un cargol.

5

Celebro la teva elecció perquè les matemàtiques a l’arquitectura no

solament t’aproparan a la tècnica, la qual cosa és molt important ja que a la

vida hem de tenir contacte amb la realitat i tocar de peus a terra, sinó també

t’apropen a la saviesa que, com la matemàtica, és coneixement útil per

universal i atemporal.

……….…

Les noves tecnologies de la informació ens posen tant a l’abast el

coneixement que cada dia les matèries científiques es tornen més i més

interdisciplinaris. Per aquesta raó vull explicar-te que em suggereix a mi el tema

d’Egipte. Potser aquesta reflexió que et faig com a economista et pugui servir.

El pare de l’economia moderna, Adam Smith, va inventar un concepte

que anomenava la “mà invisible”. Imagina’t la quantitat de persones que hi ha al

món i lo difícil que podria ser organitzar a tanta gent. En canvi no és difícil quan

hi ha uns mecanismes automàtics que fan que tothom sàpiga que ha de fer. I

això son els mercats. Per guanyar-se la vida es tracta de ser competitiu.

Doncs això ens ho explicava Adam Smith en el segle XVIII, fa quatre

dies, si tens en compte la durada de civilitzacions anteriors, com Egipte que

durà 4000 anys. Una eternitat!

Doncs bé, fa temps que m’interesso per descobrir si hi havia

mecanismes automàtics o mans invisibles en les grans civilitzacions. Encara

que no hi havia tanta gent, aquests imperis antics també eren grans i extensos i

havien de ser difícils d’organitzar. A part el poder el tenen les persones i tal

com és la naturalesa humana les accions dels governants solen estar regides

per l’ambició a curt termini i no pas per la cooperació. Això també passa amb

algunes col·lectivitats animals. Les termites tenen molt poc desenvolupada la

intel·ligència i en canvi realitzen en cooperació unes construccions complexes.

En el cas dels humans, Adam Smith mostrà que en determinades

circumstancies on actuen aquests automatismes socials, el comportament

individualista pot acabar sent una bona manera de cooperar entre els individus

i sobreviure socialment. Aquesta és la qüestió doncs, saber quins són els

mecanismes automàtics que fan que tota l’organització funcioni sense cap

direcció centralitzada aparent.

6

En primer lloc l’economia d’Egipte depèn del Nil. Els egipcis van

aprendre a aprofitar cada cop millor aquest recurs natural. Van fer

embassaments, canals,…Segons Adam Smith 1 els canals que permetien la

navegació fluvial entre els pobles més importants serien una de les causes més

importants del precoç progrés egipci.

Però a part d’això, hi ha el probl