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MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA
PROYECTO MATECO 3.1416
Jesús Muñoz San Miguel
Septiembre 2020
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PROYECTO MATECO 3.1416 es un proyecto de libro de Matemáticas para la
Economía que recoge resultados de carácter general y conocimiento común so-
bre los distintos temas de Matemáticas que el Departamento de Economía Apli-
cada I de la Universidad de Sevilla imparte en los distintos grados y comenzó
recogiendo material acumulado a lo largo del tiempo, tanto por mí como por
otros compañeros, por lo que también incluye algunos temas que se trataban en
las correspondientes licenciaturas. El proyecto está siempre en construcción y se
modifica sin previo aviso.
NO LO IMPRIMA
TARDE O TEMPRANO TENDRÁ UNA VERSIÓN OBSOLETA
Esta obra está editada bajo una licencia de Cultura Libre
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Índice general
Introducción 1
El uso de los símbolos en matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
El sistema de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Nociones sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Nociones sobre funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Nociones sobre lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Sistemas de computación algebraica 9
I CÁLCULO DIFERENCIAL 15
1. Funciones reales de una variable real 17
1.1. Concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2. Continuidad de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3. Derivada de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.1. La derivada como tasa de variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.2. La función derivada y las reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.3. Consecuencias de la derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
i
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ii ÍNDICE GENERAL
1.3.4. Elasticidad de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.5. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.6. Convexidad y concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4.1. Funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4.2. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.4.3. Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.5. Aproximación lineal y diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.6. Aproximación no lineal y fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.7. Extremos de funciones reales de una variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2. Funciones reales de varias variables 77
2.1. El espacio n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3. Derivadas parciales y vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.4. Aproximación lineal y diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.5. Derivadas sucesivas y matriz hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
II CÁLCULO INTEGRAL 145
3. Integral indefinida de funciones de una variable 147
3.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.2. Descomposición en integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
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ÍNDICE GENERAL iii
3.3. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.4. Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.5. Integración por cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.6. Integración de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.7. Integración de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4. Integral definida de funciones de una variable 195
4.1. La integral definida como área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.2. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5. Integrales de funciones de dos variables. 215
5.1. La integral doble como volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.2. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
III ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES 243
6. Matrices y sistemas lineales. 245
6.1. Matrices y operaciones con matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.2. Determinantes de matrices cuadradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.3. Rango de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.4. Sistemas de ecuaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.5. Métodos clásicos de resolución de sistemas lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
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iv ÍNDICE GENERAL
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
7. El espacio vectorial Rn. 307
7.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
7.2. Las bases como sistemas de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
7.3. Subespacios vectoriales de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
7.4. Operaciones con subespacios vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
8. Diagonalización 381
8.1. Introducción a las aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
8.2. Diagonalización de endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
8.3. Diagonalización de matrices cuadradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
9. Formas cuadráticas sobre Rn. 427
9.1. Expresión matricial y analítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
9.2. Expresiones diagonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
9.3. Clasificación de formas cuadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
9.4. Clasificación de formas cuadráticas restringidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
IV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO 461
10. Cálculo de límites. 463
10.1. Límite de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
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ÍNDICE GENERAL v
10.2. Límite de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
10.3. Diferenciabilidad de funciones mediante límites dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
11. Integrales impropias. 475
11.1. Integrales impropias de primera especie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
11.2. Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
11.3. Integrales impropias de tercera especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
12. Integrales dependientes de parámetros. 511
12.1. Integrales paramétricas definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
12.2. Integrales paramétricas impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
12.3. Funciones eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
13. Teoremas relativos a la diferenciación. 523
13.1. Teorema de Euler para funciones homogéneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
13.2. Regla de la cadena para funciones vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
13.3. Teorema de la función implícita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
14. Aproximación no lineal de funciones 569
14.1. Fórmula de Taylor para funciones con una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
14.2. Fórmula de Taylor para funciones con varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
14.3. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
-
vi ÍNDICE GENERAL
15. Aproximación de funciones por series. 597
15.1. Sucesiones y series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
15.1.1. Sucesiones y series numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
15.1.2. Cálculo en diferencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
15.1.3. Sucesiones y series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
15.2. Desarrollo de Taylor en serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
V PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA 627
16. Introducción a la Programación Matemática 629
16.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
16.2. Análisis gráfico de problemas con dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
16.3. Resolución de problemas con Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
16.4. Planteamiento de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681
17. Programación no lineal 705
17.1. Programación no lineal sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
17.2. Programación no lineal con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
17.2.1. Multiplicadores de Lagrange y condiciones de Karush-Kuhn-Tucker . . . . . . . . 722
17.2.2. Interpretación económica y análisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 736
17.2.3. Condiciones de optimalidad de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746
18. Programación lineal 751
-
ÍNDICE GENERAL vii
18.1. Formulación primal de un programa lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751
18.2. Algoritmo del simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
18.3. Algoritmo dual del simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767
18.4. Formulación dual de un programa lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
VI ÁLGEBRA AMPLIADA 785
19. Números complejos y ecuaciones 787
20. Aplicaciones lineales 791
20.1. Concepto de aplicación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791
20.2. Caracterización de las aplicaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794
20.3. Operaciones con aplicaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805
20.4. Cambio de base en aplicaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817
21. Exponencial de una matriz. 823
21.1. Formas canónicas de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823
21.2. Potencia de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832
21.3. Exponencial de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836
22. Productos escalares y normas 845
22.1. Productos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845
22.2. Normas vectoriales y matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849
22.3. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853
-
viii ÍNDICE GENERAL
22.4. Diagonalización por congruencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858
23. Uso de parámetros y valores críticos. 861
VII SISTEMAS DINÁMICOS 881
24. Sistemas dinámicos continuos con una variable 883
24.1. Sistemas dinámicos continuos y ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883
24.2. El problema de valor inicial en un sistema de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
24.3. Resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892
24.3.1. Ecuaciones diferenciales separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892
24.3.2. Ecuaciones diferenciales homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893
24.3.3. Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes . . . . . . . . . . . . . . . 895
24.3.4. Ecuaciones diferenciales lineales y reducibles a ellas . . . . . . . . . . . . . . . . 899
24.4. Sistemas dinámicos lineales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903
24.4.1. Estructura de las soluciones de una ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 903
24.4.2. Solución de las ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 907
24.5. Sistemas dinámicos univariantes con Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916
24.6. Algunas aplicaciones económicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926
25. Sistemas dinámicos continuos con varias variables 929
25.1. Sistemas dinámicos continuos y sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929
25.2. Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930
25.2.1. Estructura de las soluciones de un sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931
-
ÍNDICE GENERAL ix
25.2.2. Solución de sistemas de ecuaciones con coeficientes constantes . . . . . . . . . . 934
25.3. Solución de sistemas multivariantes con Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 950
25.4. Estudio gráfico de sistemas autónomos con Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953
25.5. Algunas aplicaciones económicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959
26. Sistemas continuos autónomos y estabilidad 965
26.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965
26.2. Estabilidad de los sistemas univariantes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969
26.3. Estabilidad de los sistemas multivariantes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 971
26.4. Estabilidad de los sistemas univariantes de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973
26.5. Algunas aplicaciones económicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975
27. Sistemas dinámicos discretos 979
27.1. Sistemas dinámicos discretos y ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979
27.2. Sistemas dinámicos lineales univariantes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983
27.3. Sistemas dinámicos lineales univariantes de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 987
27.3.1. Estructura de las soluciones de una ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 987
27.3.2. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990
27.4. Sistemas de ecuaciones lineales multivariantes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 1000
27.4.1. Estructura de las soluciones de un sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . 1000
27.4.2. Sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 1003
27.5. Solución de sistemas discretos con Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013
-
x ÍNDICE GENERAL
28. Sistemas autónomos discretos y estabilidad 1017
28.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017
28.2. Estabilidad de sistemas autónomos univariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023
28.2.1. Puntos fijos y diagramas de escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023
28.2.2. Ciclos periódicos y sus órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027
28.3. Estabilidad de sistemas lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1030
28.3.1. Sistemas dinámicos lineales univariantes de orden superior . . . . . . . . . . . . . 1030
28.3.2. Sistemas dinámicos lineales multivariantes de primer orden . . . . . . . . . . . . 1032
28.4. Algunas aplicaciones económicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033
Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038
VIII TEORÍA DE JUEGOS 1041
29. Juegos no cooperativos con información completa estáticos 1043
29.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043
29.2. Representación de juegos en forma estratégica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049
29.3. Resolución por dominancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052
29.4. Equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058
29.5. Estrategias mixtas y equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061
29.6. Juegos simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070
29.7. Juegos de suma cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071
29.8. Modelos de duopolio con competencia en cantidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078
30. Juegos no cooperativos con información completa dinámicos 1085
30.1. Representación de juegos en forma extensiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085
-
ÍNDICE GENERAL xi
30.2. Juegos con información perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088
30.3. Juegos con información imperfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093
30.4. Juegos repetidos finitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096
30.5. Juegos repetidos infinitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100
30.6. La tragedia de los comunes (juegos markovianos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104
31. Juegos no cooperativos con información incompleta estáticos 1123
31.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123
31.2. Juegos bayesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127
31.3. Equilibrios en juegos bayesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1130
31.3.1. Equilibrio en estrategias dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1130
31.3.2. Equilibrio bayesiano de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132
32. Juegos cooperativos de utilidad transferible 1145
32.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145
32.2. Forma coalicional de un juego UT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146
32.3. Soluciones de conjunto en juegos UT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152
32.4. Valores en juegos UT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157
32.5. Índices de poder en juegos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1160
33. Dinámica de los modelos de Cournot 1163
33.1. Modelos de Cournot estáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164
33.1.1. Modelos con demanda lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166
33.1.2. Modelos con demanda isoelástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169
33.1.3. Modelos generales con concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172
-
xii ÍNDICE GENERAL
33.2. Dinámica de mejor respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174
33.3. Modelos con ajuste dinámico de la respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179
33.3.1. Ajuste parcial de la producción propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179
33.3.2. Formación de expectativas sobre la producción rival . . . . . . . . . . . . . . . . 1185
33.3.3. Ajuste producción propia y formación expectativas sobre producción rival . . . . . 1188
33.4. Modelos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193
IX OPTIMIZACIÓN DINÁMICA 1203
34. Control óptimo continuo 1205
34.1. Introducción a los métodos variacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205
34.2. Fundamentos del control óptimo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218
34.3. Principio del óptimo de Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1221
Bibliografía 1241
-
Introducción
El uso de los símbolos en matemáticas.
En el estudio de las matemáticas lo primero que necesitamos es conocer su lenguaje y, en particular, sus
símbolos. Algunos símbolos, que reciben el nombre de constantes lógicas, representan un objeto matemáti-
co definido, como los números (0, 1,√
2, π). Otros símbolos son las variables y se utilizan para representar
un elemento no especificado de un conjunto dado. Dicho conjunto recibe el nombre de conjunto universal de
la variable o dominio de variación, en el cual cada elemento del conjunto es un posible valor de la variable.
Además también se emplean otros símbolos para representar operaciones y relaciones entre constantes
lógicas y variables. Estos símbolos reciben el nombre genérico de signos y son de tres clases: signos de
operación, signos de relación y signos de agrupación. Los signos básicos de operación son: suma, resta,
multiplicación y división, que se indican con los correspondientes signos de la aritmética. Los signos de
relación se emplean para indicar la relación que existe entre dos cantidades y los principales son el signo
igual y los signos de mayor y menor. Como signos de agrupación se utilizan paréntesis, corchetes y llaves
e indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero.
Por ejemplo, cuando escribimos x2 − 16 = (x + 4)(x − 4), los símbolos 16 y 4 son números concretos y
la letra x es un símbolo que representa a un número cualquiera. El signo igual nos indica que la expresión
a su izquierda es igual a la expresión a su derecha. El número 2 sobre la x nos indica que debemos elevar
1
-
INTRODUCCIÓN
la variable al cuadrado y los signos + y − que debemos sumar o restar los números correspondientes a la
variable. Los paréntesis nos indican que debemos sumar y restar 4 a la variable antes de multiplicar.
Este tipo de expresiones reciben el nombre de igualdades y son de dos tipos. Tenemos una ecuación
cuando la variable x es el símbolo de un número desconocido que queremos averiguar y en este caso
los números que verifican la ecuación reciben el nombre de soluciones de la ecuación. En determinados
casos, como en el ejemplo que hemos visto, la igualdad es válida para cualquier número representado por
la variable x. En este caso decimos que la igualdad es una identidad y a veces sustituimos el signo de
igualdad (=) por el el símbolo de identidad (≡). El signo de igualdad también se usa de otras formas, por
ejemplo, para definir funciones como f (x) = 3x + 1 o en fórmulas como A = πr2, la cual nos permite
obtener el área de un círculo, A, en función de su radio, r.
Cuando se trabaja con varias variables utilizamos letras distintas para representarlas. Normalmente, las
cantidades desconocidas y las variables de las funciones se representan por las últimas letras del alfabeto
(x, y, z) y las cantidades conocidas o fijas por las primeras letras del alfabeto (a, b, c). También utilizamos
estas letras cuando en una expresión queremos representar constantes numéricas que pueden tomar distintos
valores, en cuyo caso reciben el nombre de parámetros. Si el número de variables es grande utilizamos
subíndices para distinguir unas de otras (x1, x2, . . .).
El sistema de los números reales.
Los números que usamos para contar son los llamados naturales (1, 2, 3, . . . ) y forman un conjunto que
se representa por N. Las reglas de la aritmética; adición, sustracción, multiplicación y división; hacen que
aparezca otro tipo de números, como el cero (0) y los números negativos (-1, -2, -3, . . . ), que junto a los
naturales forman los números enteros, cuyo conjunto se representa por Z.
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-
INTRODUCCIÓN
La multiplicación y la división hacen que aparezcan los números racionales, que son los que se pueden
escribir en la forma a/b, donde a y b son enteros. El conjunto de números racionales se representa por Q e
incluye a los números enteros, ya que un entero n se puede representar por n/1.
Operaciones más complejas hacen que aparezcan números, como√
2, que no corresponden a ninguna
fracción. Esto lleva a ampliar el conjunto de números al conjunto de los números reales, que se representará
porR, para lo que vamos a construir una recta que nos va a permitir representar todo tipo de números como
la longitud de un segmento: la recta real.
Para construir la recta real se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta que represente el
cero o punto origen y se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente
al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica. Cada punto sobre esta recta es un número. Los
números naturales son los correspondientes múltiplos de la longitud del segmento a la derecha del origen y
los enteros negativos los situados a su izquierda.
Los números racionales positivos representados por a/b corresponden a la división del segmento que
representa a a en b partes y los racionales negativos son análogos pero a la izquierda del origen. De este
modo, cada número racional se puede asociar a un punto de la recta real. Sin embargo, no todos los puntos
de ella representan números racionales. Los números irracionales corresponden a los puntos que quedan en
la recta real después de que se hayan marcado en ella los racionales. Entre ellos están:√
2, que corresponde
a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1; π, que corresponde a la longitud de una circunferencia
de diámetro 1: o el número e, que no corresponde a ninguna longitud fácil de definir.
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-
INTRODUCCIÓN
Como los números racionales son insuficientes para medir todas las longitudes posibles, se utiliza la
notación decimal en la que cada combinación de dígitos (0, 1, 2, ..., 9) define un número como una suma de
dígitos por potencias de 10. Por ejemplo, 176 = 1× 102 + 7× 101 + 6× 100. De esta forma se puede obtener
todo número natural y, con el uso de los signos + y -, todos los enteros, tanto positivos como negativos.
La coma decimal permite obtener algunos números racionales no enteros, como, por ejemplo 54 :54 =
1, 25 = 1 + 2 × 110 + 5 ×1
102 . Sin embargo, con un número finito de cifras decimales no se obtienen todos
los racionales. Para obtener todos los números racionales se consideran fracciones decimales periódicas, en
las que se repite indefinidamente una sucesión finita de dígitos a partir de un cierto lugar en la expresión
decimal, como, por ejemplo, 11/7 = 1, 571428 571428 . . ..
Al incluir las fracciones decimales arbitrarias se obtienen todos los números reales, de forma que un
número real es un número de la forma
±m, α1α2α3 . . .
donde m es un entero y αn (n = 1,2...) son dígitos del 0 al 9.
La expresión decimal de un número, que no siempre es fácil de obtener, nos permite además distin-
guir los números racionales de los irracionales: las fracciones decimales periódicas son números racio-
nales y las fracciones decimales no periódicas son números irracionales. Por ejemplo, son irracionales
π = 3, 14159265358979 . . . y e = 2, 71828182845904 . . .
Es importante señalar que las operaciones de la aritmética entre números reales tienen como resultado
números reales, excepto la división por cero, que no está definida.
Nociones sobre conjuntos.
Aunque no hemos definido formalmente lo que es un conjunto, hemos visto algunos conjuntos de nú-
meros: los naturales, enteros, racionales y reales. Lo que los caracteriza es que forman una colección de
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INTRODUCCIÓN
objetos de la misma naturaleza que se ven como un todo. Estas colecciones se llaman conjuntos y los obje-
tos son los elementos del conjunto. Se considera que dos conjuntos son iguales si cada elemento de uno es
un elemento del otro. Sólo hay un conjunto que no tiene elementos: el conjunto vacío, que se denota por ∅.
La manera más sencilla de definir un conjunto es dar una lista de sus elementos entre dos llaves (el
orden no importa). Sin embargo, este tipo de definición sólo es posible para conjuntos finitos y algunos
conjuntos son infinitos. En este último caso, una forma de definir el conjunto es caracterizar a sus elementos,
determinando qué tipo de elementos son y cuáles son sus propiedades. Por ejemplo, para definir el intervalo
de números reales comprendidos entre dos números a y b (con a < b) distinguimos dos casos
(a, b) = {x ∈ R/a < x < b} abierto [a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b} cerrado
En ambas definiciones se usan llaves { } para designar al conjunto, que se define en dos partes. A la
izquierda de la barra se designa un elemento típico del conjunto (la barra / se lee tal que y a veces se
sustituye por dos puntos). En nuestro caso, el símbolo ∈, que se lee pertenece, nos indica que un elemento
del conjunto, x, pertenece al conjunto de los números reales, R. A la derecha de la barra se especifica la
propiedad (o propiedades) que cumplen los elementos del conjunto. En ambos casos, nos indican que los
elementos del conjunto están entre a y b. En el primer caso no se incluyen los extremos y en el segundo sí.
Otro concepto importante dentro de la teoría de conjuntos es el de subconjunto. De forma que un con-
junto A es un subconjunto de un conjunto B si todos los elementos de A son también elementos de B. Se
escribe A ⊆ B y se lee A está contenido en B. Si son conjuntos distintos decimos que A es un subconjunto
propio de B. Las operaciones básicas entre conjuntos son unión, intersección y diferencia de conjuntos:
A unión B son los elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos:
A ∪ B = {x/x ∈ A ó x ∈ B}
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INTRODUCCIÓN
A intersección B son los elementos que pertenecen a ambos conjuntos:
A ∩ B = {x/x ∈ A y x ∈ B}
A menos B son los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B:
A \ B = {x/x ∈ A y x < B}
I El símbolo < indica que un elemento no pertenece al conjunto y se lee x no pertenece a B.
Nociones sobre funciones
Una regla que asocia a los elementos de un conjunto origen elementos de otro conjunto final recibe el
nombre de correspondencia. Cuando a los elementos del conjunto origen les asigna un único elemento del
conjunto final recibe el nombre de aplicación y si los elementos de ambos conjuntos son números el de
función (real de variable real). Por ejemplo, la regla que a cada número le asigna su cuadrado, f (x) = x2, es
una función, ya que un número tiene un único cuadrado. Sin embargo, la regla que a cada número le asigna
el número del que es cuadrado no es una función, ya que a un número positivo le asocia dos números (4 es
el cuadrado de 2 y -2).
Podemos definir una función mediante varias reglas parciales sin más que comprobar que en los puntos
comunes estas reglas definen el mismo número. Por ejemplo, la función valor absoluto es
f (x) = |x| =
x si x ≥ 0
−x si x ≤ 0
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INTRODUCCIÓN
Nociones sobre lógica
Hay afirmaciones que son ciertas o falsas, a las que llamanos enunciados o proposiciones. Sin embargo,
cuando una afirmación incluye variables no siempre se puede afirmar que sea cierta o falsa. Por ejemplo,
la expresión x > 1 no es ni verdadera ni falsa, y no lo será hasta que no reemplacemos a la variable x por
algún número. Este tipo de expresiones reciben el nombre de proposiciones abiertas y es posible darles un
valor de verdad si se utilizan cuantificadores.
Un cuantificador es una expresión que afirma que una condición se cumple para un cierto número de
individuos. Dos de estos cuantificadores son el cuantificador universal y el cuantificador existencial. El
primero afirma que una condición se cumple para todos los individuos de los que se está hablando y se
representa por el símbolo ∀ (que se lee para todo). El segundo afirma que la condición se cumple para al
menos uno de los individuos y se representa por el símbolo ∃ (que se lee existe). Así, podemos asignar
un valor de verdad a la expresión ∀x : x > 1. Sin embargo, esta expresión es falsa si consideramos que
el dominio de variación de x son todos los números reales y verdadera si consideramos que el dominio
de variación son todos los naturales pares. Por tanto, en una proposición es imprescindible especificar el
dominio de variación de las variables.
También hay proposiciones que se construyen a partir de otras proposiciones, como x ≥ 0, que es una
abreviatura de la proposición x > 0 ó x = 0. Esta proposición será verdadera bien si x es positiva o bien
si x es cero. Para representar situaciones parecidas, construimos a partir de otras proposiciones una nueva
proposición cuyo valor de verdad depende del valor de verdad de las proposiciones que la forman. Para ello,
utilizamos las conectivas lógicas:
p ∧ q es la proposición que es verdadera sólo cuando son verdaderas p y q (se lee p y q).
p ∨ q es la proposición que es verdadera si p es verdadera o q es verdadera (se lee p o q).
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INTRODUCCIÓN
¬p es la proposición que es verdadera si p es falsa y falsa si p es verdadera (se lee no p).
p⇒ q es la abreviatura de ¬p∨q y es verdadera cuando p y q son dos proposiciones tales que cuando
p es verdadera lo es también q (se lee p implica q).
p ⇔ q es la abreviatura de (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) y es verdadera cuando p y q son dos proposiciones
tales que p es verdadera si y sólo sí q es verdadera (se lee p si y sólo sí q).
En un razonamiento lógico utilizamos la implicación (⇒) y la equivalencia (⇔) para llevar el control de
cada paso, de forma que cuando tenemos proposiciones abiertas, el uso de una implicación p⇒ q significa
que para cada valor de la variable para el que p sea verdadera también lo es q y el uso de la equivalencia
p⇔ q añade que sólo es válida q para esos valores de la variable.
También utilizamos las implicaciones y equivalencias para enunciar teoremas, ya que todo teorema se
puede formular como una implicación P ⇒ Q en la que P representa una o varias proposiciones, que
son las premisas del teorema ,y Q representa una o varias proposiciones, que son sus conclusiones. En
este contexto, si es cierto que P ⇒ Q decimos que P es una condición suficiente para Q o que Q es una
condición necesaria para P. Si es cierto que P⇔ Q decimos que P es una condición necesaria y suficiente
para Q (o que Q es una condición necesaria y suficiente para P).
Para demostrar un resultado del tipo P ⇒ Q empezamos en las premisas P y mediante implicaciones
sucesivas llegamos hasta la conclusión Q. Esta técnica se llama una demostración directa. Sin embargo,
a veces hay que dar una demostración indirecta de la implicación. En este caso partimos de que Q no es
cierta y, sobre esta base, probamos que P tampoco puede ser cierta. Para ello nos basamos en que p ⇒ q
es equivalente a ¬q ⇒ ¬p. Un tercer método de demostración basado en esta equivalencia es la reduc-
ción al absurdo, en la que suponemos simultáneamente que P es cierta y que Q no lo es. Al llegar a una
contradicción tenemos demostrado el teorema.
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Sistemas de computación algebraica
Un sistema de computación algebraica o CAS (Computer Algebra System) es un programa desarrollado
como herramienta específica para Matemáticas que realiza cálculos simbólicos y trata las expresiones como
símbolos, evitando realizar aproximaciones. La mayoría de los CAS se divide en dos partes: un núcleo que
realiza los cálculos y una interfaz que introduce datos y recibe resultados. En nuestro caso, utilizaremos
Maxima, que además de ser software libre gratuito, tiene versión para android y, al no tener propósito
comercial, proporciona toda la información sobre los algoritmos que utiliza para los cálculos. El núcleo del
sistema es el propio Maxima y la interfaz es un programa externo, que en nuestro caso va a ser WxMaxima.
La interfaz se comunica con el núcleo mediante archivos que reciben el nombre de hojas de trabajo
(worksheets). El núcleo procesa las órdenes que recibe de ella, para lo que dispone de procedimientos
y funciones pre-programadas a las que nos referiremos como comandos para evitar confusiones con las
funciones que analizamos. Las órdenes se denominan inputs y siguen, con algunas diferencias, la notación
matemática usual. Una vez introducidos se envían al núcleo pulsando “Intro” que los procesa y devuelve
una o varias salidas con los resultados, que se denominan outputs. Al evaluar una instrucción si queremos
que muestre el resultado terminamos con un punto y coma y si no con el símbolo del dolar.
Independientemente de que se muestren o no, los outputs van siendo numerados y nos podemos referir
a ellos por su número, %on para el output n, o por su posición relativa respecto al input que estamos
introduciendo, % para el último calculado y %th(n) para el output n pero contando hacia atrás.
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http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_4.html#IDX15http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_4.html#IDX17
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SISTEMAS DE COMPUTACIÓN ALGEBRAICA
I Si hay algún error el núcleo devuelve un mensaje con el error y no realiza ningún cálculo.
I Al introducir el signo de cierre de interrogación seguido del nombre de un comando ?comando, nos
aparece un breve resumen tanto de su formato como de su uso.
Como variables podemos utilizar cualquier letra o combinación de caracteres y en ellas podemos alma-
cenar cualquier tipo de elemento. Para realizar la asignación se utiliza el signo de dos puntos simple (:) o
doble (::), cuya diferencia es que el segundo evalúa ambos lados de la asignación.
En muchos casos los datos y resultados se presentan en listas, que son conjuntos ordenado de elementos
de cualquier tipo, [elem1, . . . elemn]. Estas listas son fundamentales en un CAS y en Maxima podemos
generarlas siguiendo un patrón, para lo que hay dos comandos con ligeras diferencias: makelist y create_list.
( % i1) makelist (x=i, i, [a, b, c]); /*create_list (x=i, i, [a, b, c]);*/
[x = a, x = b, x = c] ( % o1)
( % i2) makelist (aˆi, i, 1,10); /*create_list (aˆi,i,1,10);*/
[a, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10] ( % o2)
( % i3) makelist (aˆi, i, 1,10,2); /* con salto (2)*/
[a, a3, a5, a7, a9] ( % o3)
( % i4) create_list (iˆj, i, 1,3, j, 1,3); /* doble iteración*/
[1, 1, 1, 2, 4, 8, 3, 9, 27] ( % o4)
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http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_4.html#IDX18http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_6.html#IDX201http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_6.html#IDX202http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_5.html#IDX138http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_5.html#IDX125http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html
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SISTEMAS DE COMPUTACIÓN ALGEBRAICA
Para extraer elementos de una lista utilizamos el comando part, donde para extraer el elemento i de la
lista list en vez de part(list, i) podemos escribir list[i] y si este elemento es una lista para extraer de ella
directamente su elemento j escribimos list[i][ j] o part(list, i, j)
I La longitud de una lista es el número de elementos en primera instancia (length(list)).
Además de los comandos más o menos básicos que incluye Maxima, hay conjuntos de comandos rela-
cionados que reciben el nombre de paquetes para poder utilizarlos se cargan con el comando load(paquete).
Maxima incluye la mayoría de los símbolos y funciones matemáticas, así como múltiples comandos. El
formato básico es el que se emplea normalmente al escribir expresiones matemáticas y para hacer operacio-
nes solo hemos de introducir la expresión. Así, para sumar y restar usamos los signos + y -. Para multiplicar
y dividir usamos el signo * y la barra /. Para elevar un número a otro utilizamos el signo ˆ.
Los comandos se escriben en minúsculas y tienen el nombre en inglés correspondiente a la función o ac-
ción que realizan (sus opciones también tienen nombres descriptivos y no las comentaremos normalmente).
En particular, utilizamos el comando expand para hacer que Maxima desarrolle los cálculos simbólicos.
( % i1) 2+5*3ˆ2;
47 ( % o1)
( % i2) (a+b)ˆ2;
(b + a)2 ( % o2)
( % i3) expand( %);
b2+2ab+a2 ( % o3)
( % i4) (a+b)*(a-b);
(a − b) (b + a) ( % o4)
( % i5) expand( %);
a2 − b2 ( % o5)
( % i6) 2*cos(5* %pi/6);
−√
3 ( % o6)
( % i7) float( %);
−0.86602540 ( % o7)
( % i8) log(2* %e);
log (2 %e) ( % o8)
( % i9) float( %);
1.693147 ( % o9)
Maxima permite definir funciones, para lo que se utiliza el signo igual precedido de dos puntos (:=), de
forma que para calcular su valor en un punto solo hay que indicarlo. Otra forma de definir una función es
mediante el comando define que siempre evalúa la expresión con la que definimos la función y se utiliza
para definir funciones que dependen de otras funciones
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SISTEMAS DE COMPUTACIÓN ALGEBRAICA
( % i1) f(x):=xˆ2+1;
f(x) := x2 + 1 ( % o1)
( % i2) f(2);
5 ( % o2)
( % i3) define(g(x),f(x+1)-1);
g(x) := (x + 1)2 ( % o28)
El signo igual (=) se utiliza tanto en igualdades y ecuaciones como para indicar los valores de una
variable, en cuyo caso se calcula el correspondiente valor de la función utilizando los comandos ev y at. La
diferencia se aprecia al sustituir en ciertas expresiones, ya que el comando ev realiza la sustitución antes de
evaluar la expresión y el comando at después. Siempre podemos impedir la evaluación de una expresión
anteponiendo un apostrofe (’) y forzar su evaluación anteponiendo dos (”):
( % i4) ev(f(x),x=2);
5 ( % o4)
( % i5) at(f(x),x=2);
5 ( % o5)
( % i6) ’f(2);
f(2) ( % o6)
Para definir una función a trozos utilizamos una evaluación condicional del tipo
si condición entonces acción 1 en otro caso acción 2
mediante la instrucción if cond then ac1 else ac2.
Por ejemplo, la función valor absoluto se puede definir con una evaluación condicional (hay un comando
para su cálculo directo, abs):
( % i1) f(x):=if x≥0 then x else -x;
f(x) := if x>=0 then x else−x ( % o1)
Para la representación gráfica utilizamos el paquete draw a través de wxMaxima. En este caso, podemos
incluir los gráficos en el documento anteponiendo a los comandos el prefijo "wx".
Así, podemos representar funciones explícitas en las que la variable dependiente depende directamente
de la función y funciones implícitas en las que tenemos una relación entre las variables dependiente e
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SISTEMAS DE COMPUTACIÓN ALGEBRAICA
independiente. Otra posibilidad es representar la gráfica en forma paramétrica (válida para cualquier curva
descrita por parámetros).
( % i1) wxdraw2d(explicit(xˆ2, x, -10,10))$
( %i2) wxdraw2d(implicit(xˆ2=y, x, -10,10,y,0,100))$
( %i3) wxdraw2d(parametric(k,kˆ2,k,-10,10));$
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Bloque I
CÁLCULO DIFERENCIAL PARA
FUNCIONES REALES DE VARIABLES
REALES
15
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Tema 1
Funciones reales de una variable real
1.1. Concepto de función
Definición 1.1 Una función (real de variable real) es una correspondencia (o regla), f , que a cada número
x le asigna un único valor f (x). ♣
Definición 1.2 Sea f : D ⊆ R −→ R una función
El dominio de f , D, son los puntos en los que está definida
Dom( f ) = {x ∈ R/∃ f (x)}.
La imagen, rango o recorrido de f son los valores que toma en R
Im( f ) = {y ∈ R/∃x ∈ D con f (x) = y}.
La gráfica de f es su representación en el plano formada por el conjunto de puntos
Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/ f (x) = y}. ♣
17
-
Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL
Ejemplo 1.3
La función f (x) = c está definida para todo número y sólo tiene un resultado. Por tanto, su dominio
está formado por todos los números reales y su imagen por el número c. Su gráfica son los puntos del
plano que verifican la ecuación y = c:
Dom( f ) = R Im( f ) = {c} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = c}.
La función f (x) = x está definida para todo número y todo número es un resultado. Por tanto, su
dominio y su imagen están formados por todos los números reales. Su gráfica son los puntos del
plano que verifican la ecuación y = x (la bisectriz del primer cuadrante):
Dom( f ) = R Im( f ) = R Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = x}.
La función f (x) = x2 está definida para todo número y todo número positivo es el cuadrado de un
número. Por tanto, su dominio está formado por los números reales y su imagen por los números
reales positivos. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y = x2:
Dom( f ) = R Im( f ) = {y ∈ R/y ≥ 0} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = x2}.
La función f (x) = x3 que a cada número le asigna su cubo está definida para todo número y todo
número es el cubo de algún número. Por tanto, su dominio y su imagen están formado por todos los
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
números reales. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y = x3:
Dom( f ) = R Im( f ) = R Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = x3}. ♣
Ejemplo 1.4
-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
f HxL= x
-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
f HxL= - x
-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-2
-1
1
2
x=y2
La función f (x) =√
x está definida para todo número positivo y su resultado es el número positivo del
que es cuadrado. Por tanto, su dominio y su imagen están formado por todos los números positivos.
Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y =√
x:
Dom( f ) = {x ∈ R/x ≥ 0} Im( f ) = {y ∈ R/y ≥ 0} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y =√
x}.
La función f (x) = −√
x está definida para todo número positivo y su resultado es el número negativo
del que es cuadrado. Por tanto, su dominio está formado por todos los números positivos y su imagen
están formado por todos los números negativos. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la
ecuación y = −√
x:
Dom( f ) = {x ∈ R/x ≥ 0} Im( f ) = {y ∈ R/y ≤ 0} Graf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = −√
x}.
La función f (x) =√
x y la función f (x) = −√
x verifican la ecuación implícita x = y2, que no define
una función pero une en la misma gráfica las gráficas de ambas funciones. ♣
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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL
Nota La función f es par si f (−x) = f (x) en su dominio e impar si f (−x) = − f (x). En el primer caso es
simétrica con respecto al eje OY y en el segundo con respecto al origen. Por ejemplo, la función f (x) = x2
es par, f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x), y la función f (x) = x3 es impar, f (−x) = (−x)3 = −x3 = − f (x). Sin
embargo, la función f (x) =√
x no es ni par ni impar y, de hecho, no está definida para valores negativos. ♣
Nota (Funciones lineales) Una función lineal se puede escribir como f (x) = mx + b donde m y b son
constantes reales y su gráfica es la recta y = m x + b. Está definida en todo R y su imagen es también todo
R (salvo para m = 0 que es una función constante).
m=tangHΘL
b
Θ
-2 -1 1 2 3 4
La constante b es la altura del corte de la función con el eje
OY y determina su desplazamiento con respecto al origen, hacia
arriba si es positiva y hacia abajo si es negativa. La constante
m es la tangente del ángulo de inclinación de la recta con el eje
OX, [m = tan(θ)], recibe el nombre de pendiente y determina la
inclinación de la recta.
En una función lineal cuando la variable pasa de un valor inicial
x0 a un valor x el aumento que experimentan los valores de la
función, que denotamos por 4y, es proporcional al incremento
de la variable, que denotamos por 4x. Por tanto, la pendiente
es la constante de proporcionalidad (4y = m4x) y representa
el aumento que experimentan los valores de la función cuando
aumentamos la variable x en una unidad.
Dy=mDx
Dx
Obsérvese que si m > 0 la recta es una función creciente y si m < 0 decreciente. ♣
Ejemplo 1.5 (leyes de la oferta y la demanda)
� La ley de la demanda establece que existe una relación inversa entre la cantidad demandada de un bien
y su precio, de forma que, si el resto de factores de los que depende se mantienen constantes, cuando el
precio de un producto aumenta la cantidad demandada baja y cuando el precio baja la cantidad demandada
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
aumenta (existen ciertas excepciones). La función que relaciona la cantidad demandada del bien, d, y el
precio al que se demanda, p, se escribe como d = D(p) y recibe el nombre de curva de demanda. Cuando
consideramos que la demanda depende linealmente del precio tenemos D(p) = a − bp con a, b > 0
b representa la sensibilidad de los demandantes al precio (pendiente de la recta negativa).
� La ley de la oferta, contrariamente, establece que existe una relación directa entre la cantidad ofertada
de un bien y su precio, de forma que, si el resto de factores de los que depende se mantienen constantes,
cuando el precio de un producto aumenta la cantidad ofertada también aumenta y cuando el precio baja
también baja (existen ciertas excepciones). La función que relaciona la cantidad ofertada del bien, s, y el
precio al que se demanda, p, se escribe como s = S (p) y recibe el nombre de curva de oferta. Cuando
consideramos que la oferta depende linealmente del precio tenemos S (p) = c + dp con c, d > 0
d representa la sensibilidad de los oferentes al precio (pendiente de la recta positiva). ♣
En general una función f es creciente si ∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 =⇒ f (x1) ≤ f (x2) (estrictamente si
f (x1) < f (x2)). Es decreciente si ∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 =⇒ f (x1) ≥ f (x2) (estrictamente si f (x1) > f (x2)). Si
cumple alguno de los casos anteriores decimos que f es monótona.
Observación Estas propiedades son propiedad globales de la función y cuando decimos que una función
es monótona lo que en realidad queremos decir es que es monótona en su dominio. De la misma forma,
cuando decimos que una función es monótona en un punto lo que en realidad queremos decir es que es
monótona en un entorno del punto. ♣
Nota Si denotamos y0 = f (x0) e y = f (x) tenemos la ecuación punto-pendiente de la recta
y − y0 = m(x − x0)
en la que dados dos puntos obtenemos la pendiente como la relación entre los incrementos m = y1−y0x1−x0 .
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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL
Esto permite escribir la ecuación de la recta que pasa por dos puntos como
x − x0x1 − x0
=y − y0y1 − y0
♣
Observación Sólo para b = 0 la función f (x) = mx + b es realmente una aplicación lineal que tiene unas
propiedades especiales que estudiaremos dentro del bloque de Álgebra; lo que hace que a veces se distinga
entre función afín (b , 0) y función lineal (b = 0). ♣
Nota (Polinomios) Las funciones polinómicas están definidas en todo R y para n natural son funciones
de la forma
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + ··· + anxn con a0, a1, . . . , an ∈ R.
Cuando el grado del polinomio es dos, p(x) = ax2 + bx + c, tenemos una parábola vertical con vértice
V(− b
2a, p
(− b2a
))
Este vértice es un mínimo si a > 0 (parábola convexa) y un máximo si a < 0 (parábola cóncava).
a > 0V
X
YfHxL=ax2+bx+c
a < 0V
X
YfHxL=ax2+bx+c
Puede tener hasta dos puntos de corte con el eje OX que se obtienen mediante la fórmula
ax2 + bx + c = 0 =⇒ x = −b ±√
b2 − 4ac2a
♣
PROYECTO MATECO 3.1416 Página 22
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
Nota (Funciones inversas) Para definir la inversa de una función ésta debe ser inyectiva (elementos dis-
tintos tienen imágenes distintas), en este caso asocia a cada x ∈ Im( f ) el único y tal que f (y) = x
f −1(x) = y⇔ f (y) = x
Cuando la función es sobreyectiva (todo elemento del espacio final es imagen de algún elemento) la inversa
está definida siempre. Cuando es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva) la inversa también lo es. En todos los
casos, la gráfica de f −1 es la imagen simétrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante de la gráfica de f
(el dominio de f −1 es la imagen de f y su imagen es el dominio de f ).
Las funciones estrictamente monótonas son inyectivas y, por tanto, siempre admiten inversa. Por ejem-
plo, f (x) = x3 es estrictamente creciente en su dominio y admite inversa. Aunque f (x) = x2 no es ni
creciente ni decreciente en su dominio, sí es creciente en [0,+∞) y admite inversa en dicho intervalo. ♣
Nota (Funciones potencia)
� Las potencias de exponente natural, n, se definen para todo x ∈ R como f (x) = xn
Cuando tomamos valores crecientes de x hacia +∞ la función xn crece más rápido cuanto más grande es
el exponente n y cuando nos acercamos a cero los valores de la función se acercan a cero tanto más rápido
cuanto más grande es el exponente n
x4
x3x2
x
0.5 1.0 1.5 2.0
1
2
3
4
5
x4x3x2
x
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
� Las potencias de exponente negativo, n = −m con m ∈ N, se definen para x , 0 como f (x) = x−m = 1xm
Cuando tomamos valores crecientes de x hacia +∞ las potencias de exponente negativo x−m (m > 0) se
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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL
acercan a cero tanto más rápido cuanto más grande es m y cuando nos acercamos a cero crecen hacia +∞
tanto más rápido cuanto más grande es m
x-4 x-3x-2
x-1
1 2 3 4 50.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x-4x-3
x-2x-1
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20
5
10
15
20
25
� Las raíces n-ésimas f (x) = n√
x son las funciones inversas de las potencias de exponente natural.
Así, la función f (x) = 3√
x es la función inversa de f (x) = x3 en todo su dominio, pero la función
f (x) =√
x es la función inversa de f (x) = x2 para x ≥ 0 y para definirla consideramos como dominio el
intervalo [0,+∞).
y x3y x
y x3
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4 y x2
y x
y x
1 2 3 4
1
2
3
4
� Las potencias de exponente racional están definidas para x > 0 y x = 0 si pq > 0 como f (x) = xpq =
q√xp
� Las potencias de exponente real están definidas para x > 0 como f (x) = lı́mq→x xq con q ∈ Q. ♣
Ejercicio 1.6 Determinar el dominio de las siguientes funciones
(a) f (x) =√
x2 + x +√
x − 3 (b) f (x) = 13√x + 6
(c) f (x) =1
4√x + 6
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
Maxima 1.7 Determinar el dominio de las siguientes funciones:
(a) f (x) =√
x2 − 3x + 2 (b) g(x) = 1√x2 − 3
Solución Para determinar el dominio de la función necesitamos ayudar al programa indicando las condi-
ciones que tiene que cumplir la función mediante desigualdades que se descomponen mediante los coman-
dos fourier_elim y solve_rat_ineq (tenemos que cargar previamente el paquete del mismo nombre).
En el primer caso imponemos que el argumento de la raíz sea mayor o igual que cero y en el segundo
que sea estrictamente mayor que cero (está dividiendo).
( % i1) load(fourier_elim)$ ( % i2) load(solve_rat_ineq)$
( % i3) f(x):=sqrt(xˆ2-3*x+2)$ ( % i4) ineq1:xˆ2-3*x+2>=0$
( % i5) fourier_elim([ineq1],[x]);
[x = 1]or[x = 2]or[2 < x]or[x < 1]
( % o5)
( % i6) solve_rat_ineq(ineq1);
[[x=2]] ( % o6)
( % i7) g(x):=1/sqrt(xˆ2-3)$ ( % i8) ineq2:xˆ2-3>0$
( % i9) fourier_elim(ineq2,[x]);
[x2 − 3 > 0] ( % o9)
( % i10) solve_rat_ineq(ineq2);
[[x < −√
3], [x >√
3]] ( % o10)
1.2. Continuidad de funciones de una variable
Definición 1.8 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R, x0 ∈ [a, b].
f es continua en x0 si el límite de f (x) cuando x tiende a x0 es el valor de la función en x0
lı́mx→x0
f (x) = f (x0)
donde el límite es l si ∀� > 0 ∃δ > 0/x ∈ [a, b] y 0 < |x − x0| < δ =⇒ | f (x) − l| < �.
f es continua en [a, b] si es continua en todos los puntos de (a, b), en a el límite por la derecha es f (a)
y en b el límite por la izquierda es f (b). ♣
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http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_77.html#IDX2823http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html
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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL
Observación Una función es discontinua en un punto si no es continua en el punto pero es continua en
un entorno reducido (no estamos interesados en los distintos tipos de discontinuidad). ♣
-0.5 0.5 1.0 1.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.5 0.5 1.0 1.5
0.5
1.0
1.5
1 2 3 4
2
4
6
8
1 2 3 4
1
2
3
Funciones discontinuas en un punto
Nota Los polinomios son funciones continuas en todo R. El producto de un número por una función
continua, la suma de funciones continuas, el producto de funciones continuas y la composición de funciones
continuas son funciones continuas. Sin embargo, el cociente de funciones continuas sólo es una función
continua en los puntos en los que no se anula el denominador. ♣
Nota Las funciones racionales se expresan como cociente de dos funciones polinómicas,
f (x) =P(X)Q(X)
Sólo están definidas cuando el denominador, Q(x), no se anula. Su dominio es el conjunto de los números
reales menos el conjunto de raíces del denominador y en este dominio la función es continua.
Ejercicio 1.9 Estudiar la continuidad de f (x) =−3x + 5
x2 − 3x + 2
SoluciónIgualamos a cero el denominador
x2 − 3x + 2 = 0⇔ x = 3 ±√
32 − 4 · 22
=
2
1
-10 -5 5 10X
-4
-2
2
4
Y
La función es continua en su dominio, que es Dom( f ) = {x ∈ R/x , 1, 2} = R \ {1, 2}. ♣
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
Nota El comportamiento en el infinito de una función racional depende de los términos de mayor grado de
numerador y denominador. Así, cuando los términos de mayor grado son positivos si el grado del numerador
es mayor que el grado del denominador crecen a infinito y si el grado del denominador es mayor que el grado
del numerador decrecen a cero con el eje OX como asíntota. Cuando los grados son iguales se acercan a un
valor constante (acercándose según una asíntota horizontal). ♣
Ejercicio 1.10 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
(a) f (x) =x2 + xx − 3 (b) f (x) =
x2 − 1x2 + 3x + 2
(c) f (x) =
√x + 1x − 1
(d) f (x) =
√x2 − 2x + 1
3√x2 − 1
(e) f (x) =x
x2 + 1(f) f (x) =
4√x + 6
Proposición 1.11 (Teoremas clásicos) Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R continua en [a, b] entonces
(Teorema de Bolzano). Si f (a) y f (b) tienen distinto signo existe c ∈ (a, b) con f (c) = 0.
(Teorema de los valores intermedios o de Darboux) Si c1, c2 ∈ [a, b] con c1 < c2 y f (c1) , f (c2), f
alcanza cualquier valor entre f (c1) y f (c2).
(Teorema de Weierstrass) f tiene máximo y mínimo absoluto en algún punto de [a, b]. ♣
1.3. Derivada de funciones de una variable
1.3.1. La derivada como tasa de variación
El valor de la derivada en un punto marcará el ritmo del cambio que experimenta el valor de una variable
cuando se produce un cambio infinitesimal en el valor de la variable de la que depende. Para analizar cómo
responde la variable a este cambio consideramos una función que las relaciona, y = f (x).
Así, partimos de un valor x0 para la variable independiente, al que le corresponde un valor f (x0), y
tomamos otro valor x1, al que le corresponde un valor f (x1).
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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL
El incremento de la variable independiente es 4x = x1 − x0 y
el incremento de la variable dependiente 4y = f (x1) − f (x0) (el
valor x1 se escribe como x1 = x0 + 4x).P
Q
Dy
Dx
x0 x0+Dx
f Hx0L
f Hx0+DxL
La tasa media de variación de y con respecto a x nos indica la variación relativa de una variable con
respecto a la otra:
4y4x =
f (x1) − f (x0)x1 − x0
=f (x0 + 4x) − f (x0)
4x .
Para estudiar como varía la variable dependiente con respecto a
la variable independiente cerca del punto en el que nos encontra-
mos buscamos que la diferencia con el otro punto sea cada vez
más pequeña y calculamos el límite de la tasa media de varia-
ción.
Dy
Dx
Dy
Dy
Dy
x0
f Hx0L
De este modo, obtenemos la tasa instantánea de variación de y con respecto a x en x0, que recibe el
nombre de derivada de la función en x0 y se denota por f ′(x0).
Definición 1.12 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R y x0 ∈ (a, b).
La derivada de f en x0
f ′(x0) = lı́m4x→0f (x0 + 4x) − f (x0)
4x = lı́mx→x0f (x) − f (x0)
x − x0.
f es derivable en x0 si este límite existe.
f es derivable en un intervalo abierto si es derivable en todos los puntos del conjunto. ♣
Nota (Interpretación geométrica de la derivada) La tasa media de variación entre los puntos P y Q corres-
ponde a la pendiente de la recta que corta a la gráfica y = f (x) en estos puntos.
PROYECTO MATECO 3.1416 Página 28
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
P
Q
Dy
Dx
x0 x0+Dx
f Hx0L
f Hx0+DxL
P
Q
P
Q
P
Q
x0
Cuando 4x tiende a cero, el punto Q se mueve sobre la gráfica acercándose a P y la pendiente de la recta
secante se aproxima a la pendiente de la recta tangente, de forma que la derivada de la función en x0 es la
pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f (x) en el punto P(x0, f (x0)). ♣
Nota (Interpretación económica de la derivada) En Economía la tasa instantánea de variación también
recibe el nombre de tasa marginal de variación pues se interpreta como el incremento en el valor de la
función cuando la variable dependiente se incrementa en una unidad. Sin embargo, aunque el incremento
que marca la derivada es relativo y por unidad, ambos conceptos solo coinciden si el incremento de una
unidad es relativamente pequeño con respecto a las unidades en las que medimos la variable. ♣
Ejemplo 1.13 (Coste marginal) Cuando se producen muchas unidades del producto podemos considerar
que un incremento de una unidad es un incremento pequeño y podemos escribir
C′(x0) = lı́m4x→0C(x0 + 4x) −C(x0)
4x ≈C(x0 + 1) −C(x0)
1= C(x0 + 1) −C(x0),
con lo que la derivada en x0 (tasa instantánea de variación del coste con respecto al número de unidades
producidas) es aproximadamente el coste adicional de producir una unidad más de producto cuando ya se
han producido x0 unidades del mismo o coste marginal.
Así, si el coste de producir x kilogramos de un determinado producto medido en euros viene dado por
la función C(x) = x2 + 3x + 100 y estamos produciendo 100 kilogramos del producto el coste adicional que
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hay que soportar para producir la unidad ciento uno es C(101) − C(100) = 10.604 − 10.400 = 204 y la
derivada de la función es
C′(100) = lı́m4x→0
C(100 + 4x) −C(100)4x = lı́m4x→0
(100 + 4x)2 + 3(100 + 4x) + 100 − 104004x = 203
Como el incremento de una unidad es un incremento pequeño en relación a las 100 unidades producidas
la derivada de la función, es una aproximación bastante buena del coste marginal real. En este caso la
derivada es 203 euros/kilo y el coste marginal real es de 204 euros/kilo. ♣
I La derivada marca el ritmo del cambio que experimenta la variable dependiente cuando se produce
un cambio en la variable independiente y cuanto mayor es el valor de la derivada mayor es el cambio que
experimenta la variable dependiente.
I Si la derivada es positiva a un aumento de la variable independiente le corresponde un aumento
de la variable dependiente y si es negativa a un aumento de la variable independiente le corresponde una
disminución de la variable dependiente.
1.3.2. La función derivada y las reglas de derivación
Definición 1.14 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R.
Si f es derivable en (a, b) la función derivada de f asocia a cada x su derivada
f ′ : x ∈ (a, b) −→ f ′(x) ∈ R. ♣
Nota Las distintas notaciones que se usan para la función derivada de una función y = f (x) son:
y′ o f ′(x), cuyo valor en un punto x0 se escribe como y′(x0) o f ′(x0);
dydx
od fdx
, cuyo valor en un punto x0 se escribe comodydx
∣∣∣∣∣x0
od fdx
∣∣∣∣∣x0
♣
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
Para obtener el valor de la derivada de una función en un punto sin tener que aplicar la definición, que a
veces es bastante complicado, se pueden combinar las reglas de derivación y las derivadas de las funciones
elementales.
Proposición 1.15 (Reglas de derivación) Sean f , g : [a, b] ⊆ R −→ R derivables en x ∈ (a, b).
1. Regla del múltiplo constante (k ∈ R): (k f )′(x) = k f ′(x).
2. Regla de la suma: ( f + g)′ (x) = f ′(x) + g′(x).
3. Regla del producto: ( f · g)′ (x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).
4. Regla del cociente:(
fg
)′(x) =
f ′(x)g(x) − f (x)g′(x)g2(x)
siempre y cuando g(x) , 0. ♣
Derivadas de las funciones elementalesf (x) f ′(x) f (x) f ′(x)xa axa−1 x ∈ R a ∈ R n
√x 1
nn√
xn−1x > 0 n ∈ N
ex ex x ∈ R ax ax ln a x ∈ R a > 0
ln x1x
x > 0 loga x1
x ln ax > 0 a > 0
sen x cos x x ∈ R arc sen x 1√1 − x2
−1 ≤ x ≤ 1
cos x − sen x x ∈ R arc cos x −1√1 − x2
−1 ≤ x ≤ 1
tan x 1 + tan2 x x , π2 ± nπ (n ∈ N) arctan x1
1 + x2x ∈ R
Maxima 1.16 En el ejemplo 1.13 utilizamos la definición para calcular la derivada de la función de costes.
Si utilizamos las reglas de derivación se tiene: C′(x) = 2x + 3, con C′(100) = 2(100) + 3 = 203
En Maxima utilizamos el comando diff, con distintas opciones para sustituir en un punto.
( % i1) f(x):=xˆ2+3*x+100;
f(x) := x2 + 3 ∗ x + 100
( % o1)
( % i2) diff(f(x),x);
2 ∗ x + 3 ( % o2)
( % i3) ev( %,x=100);
203 ( % o3)
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( % i4) at( %th(2),x=100);
203 ( % o4)
( % i5) ev(”(diff(f(x),x)),x=100);
203 ( % o5)
( % i6) at(diff(f(x),x),x=100);
203 ( % o6)
Proposición 1.17 (Regla de la cadena) Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R, g : [c, d) ⊆ R −→ R.
Si f es derivable en x0 ∈ (a, b) y g es derivable en f (x0) ∈ (c, d) entonces g ◦ f es derivable en x0
(g ◦ f )′(x0) = g′( f (x0)) f ′(x0) ♣
Nota (Interpretación económica) Si y = y(x) y x = x(t) se tiene y = y(t) y la tasa de variación de y respecto
a t es producto de la tasa de variación de y respecto a x por la tasa de variación de x respecto a t
dydx
∣∣∣∣∣t=
dydx
∣∣∣∣∣x(t)
dxdt
∣∣∣∣∣t
♣
Maxima 1.18 Sea f (x) =√
x donde x = k0 + k1t + k2ea t.
Calcular la derivada de f con respecto a t componiendo la función y aplicando la regla de la cadena.
( % i2) f(x):=sqrt(x);
g(t):=k0+k1*t+k2* %eˆ(a*t);
f(x) :=√
x ( % o1)
g(t) := k0 + k1t + k2 %eat ( % o2)
( % i3) at(diff(f(x),x),x=g(t))*diff(g(t),t); /*Regla de la cadena*/
a k2 %eat + k1
2√
k2 %eat + k1t + k0( % o3)
( % i4) diff(f(g(t)),t); /* Composición */
a k2 %eat + k1
2√
k2 %eat + k1t + k0( % o4)
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
Proposición 1.19 (función inversa) Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R continua e inyectiva en [a, b].
Si f es derivable en x0 ∈ (a, b) con f ′(x0) , 0 entonces f −1 es derivable en y0 = f (x0) con
( f −1)′(y0) =1
f ′(x0). ♣
Nota (Interpretación económica) Si y = y(x) y la tasa de variación de y respecto a x es no nula entonces
x = x(y) y la tasa de variación de x respecto a y es la inversa de la tasa de variación de y respecto a x. ♣
Ejercicio 1.20 Obtener el dominio, estudiar la continuidad y calcular la derivada de las siguientes funcio-
nes determinando las condiciones que deben verificarse para que la derivada esté definida.
(a) f (x) = x + 3x2 − 5x3 − x4 (b) f (x) =√
2x2 + 3x − 1 (c) f (x) = x − 1x2 − 5x + 6
(d) f (x) = x3√
2x + 1 (e) f (x) = x2 3√
x (f) f (x) =1
x3 + 1
(g) f (x) =
√2x − 3√
2x + 1(h)
√2x − 32x + 1 ♣
1.3.3. Consecuencias de la derivabilidad
Hasta ahora hemos estado suponiendo que ante una variación infinitesimal en la variable independiente
se produce una variación infinitesimal en la variable independiente, de forma que está implícita la hipótesis
de que la función que relaciona estas variables es continua.
Proposición 1.21 Sean f : [a, b] ⊆ R −→ R y x0 ∈ (a, b).
Si f es derivable en x0 entonces f es continua en x0. ♣
Ejemplo 1.22 Una función puede ser continua sin que exista su derivada. Así, una función continua que
tenga tangente vertical no es derivable, ya que el cambio de valor de la función es demasiado brusco.
Una función continua que presente “picos” tampoco es derivable, ya que aunque el cambio de valor de la
función no es brusco, sí lo es el cambio de dirección.
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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
fHxL= x3
-2 -1 1 2
0.5
1.0
1.5
2.0
fHxL=ÈxÈ
I La función f (x) = 3√
x es continua enR y no es derivable en cero (su tangente es vertical y su derivada
en cero diverge a infinito)
f ′(0) = lı́m4x→0
f (0 + 4x) − f (0)4x = lı́m4x→0
3√4x4x = ∞.
I La función valor absoluto, f (x) = |x|, es continua en todo R pero no es derivable en cero, ya que si
calculamos su derivada como f (x) = x para x ≥ 0 y f (x) = −x para x ≤ 0 el límite por la izquierda y el
límite por la derecha son distintos
f ′(0) = lı́m4x→0
f (0 + 4x) − f (0)4x = lı́m4x→0
|4x|4x =
lı́m4x→0−
−4x4x = −1
lı́m4x→0+
4x4x = 1
. Obsérvese que podemos definir la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda de una función en
un punto considerando los límites laterales (cuando tienen sentido). En este caso, la función valor absoluto
tendría en cero derivada por la izquierda -1 y por la derecha 1. ♣
Proposición 1.23 Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces
f es creciente en (a, b) si y sólo si f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b).
f es decreciente en (a, b) si y sólo si f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b). ♣
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
Ejemplo 1.24 (leyes de la oferta y la demanda).
Como la ley de la demanda establece que existe una relación inversa entre la cantidad demandada de un
bien y su precio la derivada de la curva de demanda D(p) es negativa, D′(p) < 0. Contrariamente, como la
ley de la oferta establece una relación directa entre la cantidad ofertada de un bien y su precio la derivada
de la curva de oferta S (p) es positiva, S ′(p) > 0. ♣
Cuando una función f (x) es derivable en un inter-
valo que contiene a cierto punto, podemos aproximar
la función en un entorno del punto por la recta tan-
gente a la gráfica en dicho punto si en vez de los va-
lores reales de la función consideramos los valores
correspondientes a la recta tangente.
Cuando consideramos los valores correspondientes a la recta tangente obtenemos la aproximación
lineal o aproximación de Taylor de orden uno
f (x) ≈ f (x0) + f ′(x0)(x − x0).
Maxima 1.25 Si la función de demanda es Q(p)=1500-20p-pˆ2 y el precio actual es de 10 euros
Representar la función de demanda y su recta tangente en el precio actual.
Determinar la demanda mediante la aproximación lineal si el precio sube 2 céntimos. ¿Cuál es el
valor exacto?.
( % i1) Q(p):=1500-20*p-pˆ2$
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( % i5) /* recta tangente*/
p0:10$
q0:Q(p0)$
m:at(diff(Q(p),p),p=p0)$
define(g(p),q0+m*(p-p0));
g(p) := 1200 − 40 (p − 10) ( % o5)
( % i6) wxplot2d([Q(p),g(p)], [p,0,20])$
( % t6)
( % i9) q0+m*0.02 /*Aproximación lineal con ∆q=m*∆p*/
Q(10.02); /* Demanda exacta */
1199.2 ( % o8)
1199.1996 ( % o9)
Ejercicio 1.26 Calcular la derivada de las siguientes funciones en el punto indicado y representarlas junto
la correspondiente aproximación lineal (recta tangente en el punto).
(a) f (x) = 2x ln(x) en x0 = 1 (b) f (x) = ln(2x + 32x + 1
)en x0 = 1/2 (c) f (x) =
ex − 3e2x1 + ex
en x0 = 0. ♣
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
Proposición 1.27 (Teoremas clásicos) f : [a, b] ⊆ R −→ R continua en [a, b] y derivable en (a, b)
(Teorema de Rolle) Si f (a) = f (b) existe c ∈ (a, b) con f ′(c) = 0.
(Teorema del valor medio o de los incrementos finitos) Existe c ∈ (a, b) con f ′(c) = f (b) − f (a)b − a .
(Teorema de los valores intermedios para derivadas) Si c1, c2 ∈ (a, b) con f ′(c1) , f ′(c2)
la derivada alcanza cualquier valor entre f ′(c1) y f ′(c2). ♣
1.3.4. Elasticidad de una función
Nota (Elasticidad de una función) La derivada es una medida de la respuesta de la función a los cam-
bios en la variable dependiente que depende de las unidades en las que medimos ambos factores. Como
medida relativa del grado de respuesta de la demanda se considera la variación porcentual en la función
ante variaciones porcentuales en la variable, que recibe el nombre de elasticidad y cuando los cambios son
infinitesimales es
E(x) = lı́m4x→0
4y4xyx
=f ′(x)
f (x)x
=x f ′(x)
f (x)
Ejemplo 1.28 Obtener las elasticidades de f (x) = ln(x2 + 1) y g(x) =√
x − 2. ♣
Ejemplo 1.29 ¿Hay alguna relación entre las elasticidades de la función f (x) = u(x)v(x) y las elasticida-
des de las funciones u(x) y v(x)?. ♣
Ejemplo 1.30 (Elasticidad precio de la demanda) La elasticidad precio de la demanda mide el grado de
respuesta de la demanda considerando la variación porcentual en la demanda ante variaciones porcentua-
les en el precio. Se suele tomar en valor absoluto (es negativa para bienes que se ajustan a la ley de la
demanda) y permite clasificar los bienes en función del grado de respuesta de la demanda:
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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL
la demanda es relativamente inelástica si el efecto es relativamente pequeño y su elasticidad es menor
que uno, de forma que el cambio porcentual en la cantidad demandada es menor que el cambio
porcentual en el precio (si su elasticidad es cero la demanda es perfectamente inelástica)
la demanda es de elasticidad unitaria si su elasticidad es igual a uno y el cambio porcentual en la
cantidad demandada es igual que el cambio porcentual en el precio.
la demanda es relativamente elástica si el efecto es relativamente grande y su elasticidad es mayor
que uno, de forma que el cambio porcentual en la cantidad demandada es mayor que el cambio
porcentual en el precio (si su elasticidad es infinita la demanda es perfectamente elástica). ♣
Maxima 1.31 Si la función de demanda es Q(p) = 1500 − 20p − p2 y el precio actual es de 10e:
a) Determinar la elasticidad de la función de demanda al precio actual.
b) Determinar para qué rango de precios la función de demanda es elástica y para cuáles inelástica. ♣
Solución
( % i1) Q(p):=1500-20*p-pˆ2;
Q(p) := 1500 − 20p − p2 ( % o1)
( % i2) define(elas(p),expand(p*diff(Q(p),p,1))/Q(p));
elas(p) :=−2p2 − 20p
−p2 − 20p + 1500 ( % o2)
( % i3) elas(10);
−13
( % o3)
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TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
( % i4) load(fourier_elim)$
( % i5) fourier_elim([elas(p)
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Definición 1.32 Sea f : [a, b] ⊆ R −→ R derivable en (a, b).
Si la función derivada de f es derivable en (a, b) decimos que f es dos veces derivable en (a, b) y que
la función que asocia a cada x ∈ (a, b) la derivada de f ′ es la función derivada segunda de f , f ′′
f ′′ : x ∈ (a, b) −→ ( f ′)′(x) ∈ R.
En general, f es k veces derivable en (a, b) si f , f ′, . . . , f ′(k−1) son derivables ∀x ∈ (a, b) y la función
derivada k-ésima de f , f ′(k), es la función que as