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Matemáticas

RECOPILACIÓN DE EJERCICIOS

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2

ÍNDICE

EJE NÚMEROS PÁGINA - Números Enteros……………………………………………………………………………………….. 4 - Números Racionales………………………………………………………………………………….. 10 - Aproximación por redondeo y truncamiento…………………………………………….. 15 - Potencias.………………………………………………………………………………………………….. 16 - Números Reales.………………………………………………………………………………………… 20 - Aproximación por exceso y defecto.………………………………………………………….. 22 - Raíces………………………………………………………………………………………………………… 26 - Logaritmos………………………………………………………………………………………………… 37 - Números Complejos………………………………………………………………………………….. 42

EJE ÁLGEBRA

- Álgebra básica: Productos Notables y Factorización…………………………………… 64 - Fracciones Algebraicas……………………………………………………………………………….. 65 - Ecuaciones…………………………………………………………………………………………………. 66 - Ecuaciones Literales…………………………………………………………………………………… 69 - Función Lineal y función afín……………………………………………………………………… 72 - Sistemas de ecuaciones…………………………………………………………………………….. 75 - Función exponencial, logarítmica y raíz cuadrática……………………………………. 83 - Ecuación y función cuadrática…………………………………………………………………… 85 - Inecuaciones…………………………………………………………………………………………….. 90 - Función potencia………………………………………………………………………………………. 93 - Interés simple y compuesto……………………………………………………………………… 93 - Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Función Inversa……………………. 100

EJE GEOMETRÍA

- Área y perímetro………………………………………………………………………………………. 104 - Plan cartesiano…………………………………………………………………………………………. 104 - Vectores en 2D y 3D………………………………………………………………………………….. 105 - Congruencia……………………………………………………………………………………………… 105 - Transformaciones Isométricas………………………………………………………………….. 120 - Circunferencias…………………………………………………………………………………………. 123 - Teorema de Thales………………………………….……………………………………………….. 132 - Teoremas de Euclides y Pitágoras……………………………………………………………… 135 - Homotecia………………………………………………………………………………………………… 139 - Ecuación de la recta…………………………………………………………………………………... 149 - Geometría en 3D………………………………………………………………………………………. 153 - Planos en el espacio…………………………………………………………………………………. 162 - Ecuación vectorial de la recta…………………………………………………………………… 164 - Cuerpos geométricos: área y volúmenes………………………………………………….. 166

3

EJE DATOS Y AZAR - Análisis de gráficos y tablas……………………………………………………………………….. 180 - Medidas de tendencia central…………………………………………………………………... 182 - Medidas de posición…………………………………………………………………………………. 189 - Medidas de dispersión………………………………………………………………………………. 193 - Muestreo aleatorio……………………………………………………………………………………. 202 - Técnicas de combinatoria………………………………………………………………………….. 204 - Probabilidad: Regla de La Place…………………………………………….…………………… 225 - Variable aleatoria discreta…………………………………………………………………………. 252 - Ley de los grandes números………………………………………………………………………. 264 - Función de probabilidad y función de distribución……………………………………. 265 - Probabilidad condicionada……………………………………………………………………….. 291 - Valor esperado, varianza, desviación típica o estándar…………………………….. 304 - Modelo binomial………………………………………………………………………………………. 315 - Variable aleatoria continua y función de densidad…………………………………… 324 - Distribución normal y tipificación…………………………………………………………….. 330 - Teorema central del límite……………………………………………………………………….. 342 - Aproximación de la probabilidad normal a la binomial…………………………….. 346 - Intervalos de confianza…………………………………………………………………………....

348

- Soluciones eje números…………………………………………………………………………… 360

- Soluciones eje álgebra……………………………………………………………………………… 361 - Soluciones eje geometría…………………………………………………………………………. 362 - Soluciones eje datos y azar………………………………………………………………………. 363

INSTRUCCIÓN ESPECÍFICA:

Si 𝑍 es una variable aleatoria continua, tal que 𝑍~𝑁(0,1) y donde la parte sombreada de la figura

representa a 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧), entonces se verifica que:

4

EJE: NÚMEROS

1) Si 2𝑛 representa un número par y 𝑚 un número impar, ¿Cuál delas siguientes opciones corresponde a un número par?

A) 2𝑛 +𝑚 B) 2𝑛 −𝑚 C) 𝑚 − 2𝑛 + 2 D) 10𝑛 + 3𝑚 E) 𝑚 − 1 + 2𝑛

2) Si 𝑎 y 𝑏 son dos números enteros cuyas ubicaciones en la recta numérica están representados

en la figura 1, entonces siempre se cumple que:

A) 𝑎 ∙ 𝑏 > 0

B) −𝑎: 𝑏 < 0

C) 𝑎 + 𝑏 > 0

D) 𝑎 − 𝑏 > 0

E) 𝑎:−𝑏 > 0

3) ¿Cuántas cifras tiene el resultado de la multiplicación de 21998 ∙ 52000?

A) 1999 B) 2000 C) 2001 D) 2002 E) 2003

4) El producto de tres naturales distintos es 144, ¿Cuál es la mayor suma de ellos?

A) 20 B) 52 C) 72 D) 75 E) 146

5) Si 𝑏 es el triple de 𝑐, con 𝑏 ≠ 0 y 𝑐 ≠ 0, entonces es verdadero:

A) 𝑐

𝑏= 3

B) 𝑏

𝑐 no pertenece al conjunto de los números enteros

C) 𝑐

𝑏 pertenece al conjunto de los números enteros

D) 𝑏

𝑐 es un número primo

E) 𝑐

𝑏 es un número natural

5

6) Sean 𝑡1, 𝑡2, 𝑡3 𝑦 𝑡4 cuatro números pares consecutivos. Respecto a esta sucesión, siempre es correcto afirmar que la suma entre:

I) Todos los términos es un múltiplo de 4. II) 𝑡2 𝑦 𝑡3 es divisibles por 𝑡4. III) 𝑡2 𝑦 𝑡4 es igual al doble de 𝑡3.

Es (son) verdadera(s):

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

7) ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) falsa(s)?

I) Al sumar dos enteros de distinto signo, se conserva el signo del mayor.

II) Al multiplicar dos enteros de distinto signo, el resultado es negativo.

III) Al dividir dos enteros negativos, el resultado es positivo.

A) Ninguna

B) Sólo I

C) Sólo II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

8) Al descomponer el número 360 en sus factores primos se obtiene 𝑎3 ∙ 𝑏2 ∙ 𝑐

Entonces, 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 es igual a:

A) 10

B) 6

C) 4

D) 0

E) -1

6

9) Si 𝑎 es un número compuesto impar menor que 10, entonces 𝑎 − 1 es:

I) Primo

II) Compuesto

III) Impar


A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

10) Si 𝑎 < 0, entonces |𝑎| − 𝑎 =

A) 2a B) 0 C) −2a D) −2 E) −a

11) ¿Cuántos números pares hay entre -6 y 4?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 2

12) Si 𝑎 ∈ ℤ−y 𝑏 ∈ ℤ+; ¿Cuál (es) de las siguientes expresiones siempre es (son) menor (es) que cero?

I) a – b II) a + b III) a( a – b)

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

7

13) ¿Cuál es el dígito de la unidad de 232?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 0

14) Si −𝑎 es un entero negativo, entonces:

I) 𝑎 es entero positivo II) 𝑎 ∈ 𝑁 III) 𝑎 < −𝑎

Es (son) siempre verdadera(s):

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

15) Si 𝑎 y 𝑏 son números reales negativos tales que 𝑎 < 𝑏, ¿Cuál de las siguientes alternativas también es un número negativo?

A) 𝑏 − 𝑎 B) −𝑎 − 𝑏 C) 𝑎𝑏 D) (𝑏 − 𝑎)(𝑏 + 𝑎) E) (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

16) Si −𝑃 es un número entero negativo

I) 𝑃 es entero negativo II) 𝑃 ∈ 𝑁 III) 𝑃 < −𝑃

Es (son) siempre verdadera(s):


8

17) ¿Cuál(es) de las proposiciones siguientes es (o son) falsa(s) si 𝑎 < 0?

I) 𝑎 − 3𝑎 > 0 II) 𝑎3 > 0

III) 𝑎−𝑎

𝑎< 0

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

18) Si 𝑚 > 𝑛, 𝑝 > 𝑞 y 𝑞 = 𝑚, entonces es falso que:

A) 𝑝 > 𝑞 B) 𝑝 > 𝑚 C) 𝑞 > 𝑛 D) 𝑛 > 𝑝 E) 𝑚 > 𝑛

19) Se cumple que 𝑝3 ∙ 𝑞3 < 0 si:

A) 𝑝 > 0 𝑦 𝑞 = 0 B) 𝑝 = 0 𝑦 𝑞 < 0 C) 𝑝 < 0 𝑦 𝑞 > 0 D) 𝑠 > 0 𝑦 𝑞 > 0 E) 𝑠 < 0 𝑦 𝑞 < 0

20) Si 𝑚𝑛 < 0 y 𝑚 > 0, entonces siempre es verdad que:

A) 𝑚 + 𝑛 < 0 B) 𝑚 − 𝑛 > 0 C) 𝑛 −𝑚 > 0 D) 𝑚 + 𝑛 > 0

E) −𝑚

𝑛< 0

21) La suma de tres números enteros consecutivos es 0. Con respecto a estos números, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La suma del menor y el mayor es 0 II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor III) El mayor menos el menor es 0.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

9

22) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto al número n 22

, si

se sabe que n2 8 ?

I) Es divisible por 16 II) Es un múltiplo de 8 III) Es el sucesor par de 30

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

23) Si x es un número entero e y un número entero negativo, ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es (son) siempre enteros no negativos?

I) 3 2x y

II) 2

xy + 2

III) 2xy 1

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III

24) Un gasfíter cobro $50.000 por reparar una cocina. Si gastó $27.000 en repuestos y cobra $7.500 por la hora de trabajo, ¿Cuántas horas se demoró en hacer el trabajo?

A) 2 horas 4 minutos B) 3 horas C) 3 horas 2 minutos D) 3 horas 6 minutos E) 3 horas 4 minutos

10

25) Se puede determinar que la expresión 𝑎−𝑏

𝑐, con 𝑎, 𝑏 y 𝑐 números enteros y 𝑐 ≠ 0, representa

un número entero positivo, si:

(1) (𝑎 − 𝑏) es múltiplo de 𝑐. (2) 𝑏 ≤ 𝑎.

A) (1) Por si sola B) (1) Por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

26) 7,007

8,008

A) 0,785

B) 0,875

C) 0,876

D) 0,857

E) Ninguna de las anteriores

27) 0, 3 ∙ 9 + 0,03 ∙ 90 + 0,003 ∙ 900 =

A) 9

B) 0, 9

C) 0,09

D) 6

E) 0,003

28) Si 𝑃 = 0,0001; 𝑄 = 0,001 y 𝑅 = 0,1; entonces el valor de 𝑃 + 𝑅 ∙ 𝑄 es:

A) 0,0011 B) 0,0001 C) 0,0002 D) 0,00011 E) 0,00021

29) (0,1: 0,001) − 0,1 =

A) 99,0 B) 99,9 C) 90,9 D) 0,9 E) 0,09

11

30) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 0,42 −1

45 resulta un número decimal finito.

II) 0, 7: 0, 5 resulta un número decimal infinito periódico. III) 2,339 + 0, 9 resulta un número decimal infinito.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

31) 1−

2

3

1+1

1−23

=

A) 1

12

B) 1

6

C) 1

4

D) 1

2

E) 1

32) ¿Cuál de los siguientes números está entre 1

4 𝑦

2

3?

A) 1 9⁄

B) 1 5⁄

C) 4 5⁄

D) 3 14⁄

E) 3 10⁄

33) ¿Cuál de las siguientes alternativas representa a un número racional?

A) 0,7070070007…

B) √8

C) √3 − √5 D) 𝜋2 E) 0,123321123321…

12

34) Sean 𝑎 y 𝑏 números irracionales distintos. ¿Cuál de los siguientes números es siempre un irracional?

A) 𝑎 + 𝑏 B) 𝑎 ∙ 𝑏

C) 𝑎

𝑏

D) 𝑎 − 𝑏 E) Ninguno de ellos

35) Si 𝑎 es un número racional, entonces: ¿Cuál de los siguientes es SIEMPRE un número Irracional?

A) 1

𝑎+20

B) 1

𝑎−20

C) 1

𝑎+√2

D) 1

𝑎+2,3

E) 1

𝑎−0,3

36) Si 𝑃 =2

5 y 𝑄 =

3

5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es la menor?

A) 𝑃 𝑄⁄

B) 𝑄 𝑃⁄

C) 𝑃 ∙ 𝑄 D) 𝑄 − 𝑃 E) 𝑄2 + 𝑃2

37) Si 𝑎 = 0,5 y 𝑏 = 0,25, ¿Cuál de las siguientes desigualdades es (o son) verdadera(s)?

I) 𝑎𝑏 > 𝑎2 II) 𝑎𝑏−1 > 𝑏

III) 𝑎

1−𝑏< 𝑏

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

13

38) Si 𝑎 = 1 ∶ 1

4, 𝑏 = 2 ∶

3

4 y 𝑐 = 3 ∶

1

8 . ¿Cuál de las siguientes alternativas siguientes indica un

orden decreciente?

A) 𝑎 > 𝑏 > 𝑐 B) 𝑐 > 𝑎 > 𝑏 C) 𝑎 > 𝑐 > 𝑏 D) 𝑏 > 𝑎 > 𝑐 E) 𝑐 > 𝑎 > 𝑏

39) ¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera si 𝑡 =0,125

0,0625?

A) 𝑡 =1

2

B) 𝑡 < 0,2

C) 𝑡 <1

50

D) 𝑡 = 2 E) 𝑡 > 4

40) 𝑃 es la mitad de 𝑄si:

A) La mitad de 𝑄 es 1

4 de 𝑃

B) 2

5 de 𝑄 es

2

5 de P

C) La cuarta parte de 𝑄 es 1

2 de 2𝑃

D) La cuarta parte de 𝑄 es 1

8 de 𝑃

E) 3

10 de 𝑄 es

3

5 de 𝑃

41) Al resolver

1

9+1

18+1

27+1

361

4+1

8+1

12+1

16

se obtiene:

A) 1 2⁄

B) 3 4⁄

C) 4 3⁄

D) 4 9⁄

E) 9 4⁄

14

42) ¿Cuál de los siguientes pares de números, no permite que se ubique un número racional

entre ellos?

A) 0 y 1

B) 0,89 𝑦 0, 9

C) 2,39 𝑦 2,40

D) 1

3 𝑦

1

2

E) √23

y √2

43) Al simplificar el producto 1 1 1 1

1 1 1 ... 12 3 4 n

se obtiene:

A) 1

n

B) 2

n

C) 2 n 1

n

D)

2

n n+1

E) 1

n+1

44) 0,2 0,2 0,002:0,02

A) –0,20 B) –0,08 C) 0 D) 0,18 E) 0,20

45) Doña Juanita desea repartir 4.800 gr de semillas a sus gallinas, pavos y patos. La cuarta parte se las reparte a las gallinas, los dos tercios del resto a los pavos y lo que queda a los patos. ¿Qué grupo de aves recibe mayor cantidad de semillas?

A) Patos B) Pavos C) Gallinas D) Gallinas y patos E) Todos reciben la misma cantidad de alimento

15

46) Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son tres racionales positivos, se puede saber cuál es el menor si:

(1) 𝑎 − 𝑏 =−1

4

(2) 𝑎 − 𝑐 =−1

2

A) (1) Por sí sola B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) y (2) E) Se requiere información adicional

47) Si se redondea a la milésima el número 7,1445 obtengo:

A) 7,14 B) 7,15 C) 7,144 D) 7,145 E) 7,150

48) ¿Cuánto se obtiene al truncar a la centésima el número 5,2359?

A) 5,23 B) 5,24 C) 5,25 D) 5,235 E) 5,236

49) ¿Cuánto se obtiene al aproximar por redondeo a la milésima el número 2,9995?

A) 2,999 B) 2,990 C) 2,900 D) 2,000 E) 3,000

50) Si a es igual a 2

3 truncado a la décima y b es igual a

5

6 truncado a la centésima, entonces el

producto entre a y b, truncado a la centésima es igual a A) 0,50 B) 0,48 C) 0,49 D) 0,58 E) 0,55

16

51) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) −24 + 32 = −7

II) (9

4)2: 0, 6 = (1,5)5

III) Todo número racional multiplicado por su recíproco resulta igual a 1.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

52) ¿En cuál de las siguientes expresiones el resultado es un número entero?

I) (0,2)−1

II) 32∙56∙7∙11−2

3−7∙5∙11−3

III) 0,0068

0,02

A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en I y en II D) Sólo en I y en III E) Sólo en II y en III

53) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) (0,4)−2: (0,2)−2 =1

4

II) (25 ∙ (−3)5)2 ∙ (−6)4 = (−6)14

III) 812 + 811

416= 2 ∙ 32


17

54) El resultado de (6 ∙ 1011)(1,3 ∙ 1012) es:

A) 7,3 ∙ 1023 B) 7,8 ∙ 1023 C) 7,8 ∙ 1012 D) 7,8 ∙ 10−1 E) 7,8 ∙ 10123

55) Si 𝑎 = 1,2 ∙ 1099 y 𝑏 = 9 ∙ 1099 entonces, 𝑎 + 𝑏 en notación científica es:

A) 1,02 ∙ 1099 B) 1,02 ∙ 10100 C) 1,2 ∙ 10100 D) 1,02 ∙ 10198 E) 10,2 ∙ 1099

56) Si 𝑟 y 𝑠 son números reales negativos, con 𝑟 ≠ 𝑠, entonces ¿En cuál de las siguientes alternativas el resultado es siempre positivo?

A) 𝑟𝑠2 B) 2(𝑟 + 𝑠) C) (𝑟𝑠)−1 D) 𝑟2 − 𝑠2

E) 1

𝑟−𝑠

57) ¿Qué expresión equivale a 64 + 63?

A) 62 B) 63 ∙ 5 C) 63 ∙ 7 D) 63 ∙ 5 ∙ 7 E) 63 ∙ 3 ∙ 2

18

58) ¿Cuál es la relación correcta entre los números 𝑎 = 2010, 𝑏 = 1020 y 𝑐 = 405?

A) 𝑎

𝑏= 1 𝑦

𝑐

𝑏> 1

B) 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑏= 1

C) 𝑎

𝑏> 1 𝑦

𝑐

𝑎> 1

D) 𝑏

𝑎> 1 𝑦

𝑎

𝑐> 1

E) 𝑏

𝑐> 1 𝑦

𝑐

𝑎> 1

59) Si 𝑥 = 22 + 22 𝑦 𝑤 = 44 + 44 + 44 + 44, entonces 𝑤

𝑥 es igual a:

A) 212 B) 213 C) 27 D) 228 E) 28

60) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa (s)?

I) 48 ∙ 163 = 225 II) El promedio entre 230 + 260 es 229(1 + 230)

III) (−22)3 = −26

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) Sólo I y III

61) ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es o son verdadera(s)?

I) 8 ∙ 232= 29

II) 325 ∙ 83 + 325 ∙ 83 = 235 III) 650 = 425 ∙ 925


19

62) Si 24 ∙ 38 = 𝑛 ∙ 64, entonces 𝑛 =

A) 12 B) 24 C) 27 D) 54 E) 81

63) ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

A) (1

−2)4=

1

24

B) 0: (1

2)2= 0

C) −24 = −42 D) 5 ∙ 30 = 1

E) 7−3 =1

343

64) −23

2+(

1

2)−2

2

3

2 =

A) −45 B) −381 C) −135 D) −1.143 E) Ninguna de las anteriores

65) [(0,111… )−2]0,25

A) 0,3 B) 1 C) 3 D) 9 E) 27

66) El valor de 42002 ∙ 32002

62002 ∙ 22002 es:

A) 1 B) 2 C) 12 D) 4

E) 1 2⁄

20

67) (0,1)−1+(0,9)3

(0,12)−1=

A) 0,2 B) 1, 2 C) 1,2 D) 1, 3 E) 1,3

68) ¿Cuál de las siguientes alternativas es el resultado de reducir la expresión 6𝑛−2 ∙ 3𝑛+2 ∙ 22?

A) 9𝑛 B) 18 C) 18𝑛

D) (1

36)𝑛

E) (1

36)−𝑛

69) Sean dos números 𝑎 y 𝑏 tales que 𝑏 > 1 y 0 < 𝑎 < 1. ¿Cuál de las siguientes expresiones es mayor?

A) 𝑎2𝑏 B) 𝑎𝑏+1 C) 𝑎𝑏 D) 𝑏𝑎𝑏 E) (1 + 𝑎)𝑏

70) 72𝑛−1 − 49𝑛−1 − (1

49)−𝑛+1

A) 5 ∙ 49𝑛−1 B) 5 ∙ 7𝑛−1 C) 72𝑛−1 D) 49𝑛−1 E) 𝑁𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠

71) El resultado de 1

1+1

1+11+1

a qué conjunto(s) pertenece(n)?

I) Naturales II) Racionales III) Reales


21

72) El resultado de (1

5)2+1

5

(1

5)−1 ∙ 5

3 a qué conjunto(s) pertenece(n)?

I) Naturales II) Enteros III) Reales


73) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si 𝐴 y 𝐵 son números irracionales, y 𝐴 es el opuesto de 𝐵, entonces −𝐴

𝐵 es un número

irracional.

II) Si 𝐴 y 𝐵 son números irracionales, y 𝐵 es el inverso multiplicativo de A, entonces 𝐵

𝐴 es

un número racional. III) Si 𝐴 es un número irracional y 𝐵 es un número entero positivo, entonces 𝐴𝐵 es un

número irracional.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) I, II y III E) Ninguna de ellas

74) Al efectuar la siguiente operación 0,1010010001…+ 0,0101101110… se obtiene como resultado, un número:

A) Natural B) Irracional C) Entero D) Real E) Ninguno de los anteriores

22

75) Si "𝑝" es un número real distinto de cero, entonces siempre se cumple que:

I) 3𝑝 < 4𝑝 II) 3 − 𝑝 < 4 − 𝑝 III) 1 < 2𝑝2


76) El número racional 22

7 es una muy buena aproximación del número irracional

𝜋 = 3,14159…. Al poner ambos números en una calculadora se obtendrá una igualdad cuando:

I) Trunque ambos números a la segunda cifra decimal. II) Redondee ambos números a la segunda cifra decimal. III) Aproxime por defecto ambos números a la segunda cifra decimal.


A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

77) ¿Cuánto se obtiene al aproximar por exceso a la centésima el número 3,8642

A) 3,864 B) 3,87 C) 3,80 D) 3,90 E) 3,88

78) ¿Cuánto se obtiene al aproximar por defecto a la milésima el número 𝑒? Sabiendo que 𝑒 = 2,71828…

A) 2,700 B) 2,710 C) 2,718 D) 2,719 E) Ninguna de las anteriores

23

79) Respecto del número 62

7 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Redondeado a la unidad es 8. II) Truncado a la décima es 8,8. III) Redondeado a la milésima por exceso es 8,857.

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

80) Considerando el número irracional 𝐴 = 0,987221443279… ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝐴 truncado a la décima es menor que A aproximado por defecto a la décima. II) 𝐴 aproximado por exceso a la milésima es 0,988 III) 𝐴 aproximado por defecto a la centésima es 0,98


81) Los primeros números del desarrollo decimal de 𝛑 son 3,141592653. Al aproximarlo a 𝟑, 𝟏𝟒

es falso que se esté realizando por:

I) Una aproximación por exceso II) Una aproximación por defecto III) Una aproximación por redondeo

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

82) La diferencia entre 0,12 y 0, 1, en ese orden, aproximada por defecto a la centésima es:

A) 0,1 B) 0,01 C) 0,001 D) 0 E) 1

24

83) El resultado de: 1

3+1

3:1

3+1

3∙1

3 aproximado por exceso a la décima es:


84) El resultado de (1

3+1

6+2

7), truncado a la décima es

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,8 E) 0,7

85) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), respecto a la expresión

decimal 1

8?

I) El dígito de la milésima es un número impar. II) Es un número decimal finito. III) El número truncado al dígito de la décima es 0,1.


86) Si 𝑋 es la mejor aproximación por defecto a la décima de 2,64575131 e Y es la aproximación por exceso a la décima de 3,16227766, entonces el valor de (X + Y) aproximado a la unidad por redondeo es:

A) 5,84 B) 5,74 C) 6 D) 5,8 E) 5,7

25

87) ¿Cuál es el error que se produce al aproximar 3

8 por exceso a la décima?

A) -0,025 B) -0,25 C) 0,25 D) 0,025 E) 0,5

88) Al usa una calculadora para el calcular el valor de √7 se obtiene:

2,645751311064591

De este número se tienen los siguientes valores: 𝑎 = Aproximación a la décima por exceso 𝑏 = Aproximación a la décima por defecto 𝑐 = Redondeo a la décima 𝑑 = Truncamiento a la décima

Con esta información, es correcto que:

A) 𝑎 = 𝑏 B) 1 − 𝑎 = 1,7 C) 𝑐 − 𝑑 = 0 D) 𝑐 − 𝑑 = 1 E) 𝑎 = 𝑐

89) ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) Falsa(s)?

I) Aproximar por truncamiento un número positivo corresponde a una aproximación por defecto del mismo número

II) Al redondear un número, éste es siempre mayor que el número original III) La semisuma de la aproximación por exceso con la aproximación por defecto de un número es siempre igual al número original

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

26

90) Si 9M 0,6

2

, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El recíproco de M es 6

23

II) Al redondear M a la décima resulta lo mismo que truncarlo a la misma posición. III) Al aproximar M por exceso a la centésima resulta 3,84.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III

91) Tres personas multiplican los números 0,26 y 0,666. El primero de ellos trunca el producto a la milésima, el segundo de ellos lo redondea a la décima y el tercero lo aproxima por exceso a la centésima. ¿Cuál es la suma de todas las aproximaciones?


92) Si 𝑝 = 25√73

, entonces √𝑝 es igual a:

A) 25√75

B) 25√76

C) 5√73

D) 5√77

E) 5√76

93) Si √7 es aproximadamente 2,6457, entonces √0,28 redondeado a la milésima es:

A) 2,645 B) 0,2646 C) 0,53 D) 0,529 E) 5,291

94) 94) Si √1,2 = 𝑎, entonces √1200

A) 𝑎√10 B) 10𝑎 C) 100𝑎

D) 10𝑎√10 E) Ninguna de las anteriores

27

95) [1

√3+

1

√6] :√3

2

A) 4

√27

B) 1 + √2

C) 12+2√6

3

D) 2√3

3

E) 2+√2

3

96) (2√3 − 3√2)2=

A) 6(5 − √6)

B) 18√6

C) 6(5 − 2√6)

D) √6 + 18

E) −6(1 + √6)

97) √𝑎2𝑏3

∙ √𝑎𝑏2

A) 𝑎𝑏

B) √𝑎𝑏3

C) √𝑎𝑏6

D) 𝑎𝑏√𝑎𝑏3

E) 𝑎𝑏√𝑎𝑏26

98) ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?

A) √2 < 2,1

B) √10 < 3,2

C) √40 < 6,5

D) √57 < 6,9

E) √72 < 9,1

28

99) Para que la expresión 𝑏 ∙ (3 − √3) corresponda a un número racional, el valor de 𝑏 puede

ser:

I) (3 − √3)

II) 6 + 2√3

III) 1

3 − √3

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III

100) Sean los números 𝑝, racional y 𝑞 = √𝑝4 . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) 𝑝 + 𝑞 es siempre irracional II) 𝑞2 puede ser entero III) 𝑞𝑝 puede ser un número real

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

101) Si 𝐴 = √11, 𝐵 = |−8

3|, 𝐶 =

√65

2 y 𝐷 = 2√3, entonces el orden de los números de mayor

a menor es:

A) C, D, A, B B) D, A, B, C C) C, B, A, D D) C, D, B, A E) D, C, A, B

102) Si 𝑎 = 1, 9; 𝑏 = 3√2 y 𝑐 = 2√3, ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?

A) 𝑏 < 𝑎

B) 𝑎 ∙ 𝑏 <𝑐

𝑎

C) 𝑏 ∙ 𝑐 < 𝑎

D) 𝑏

𝑐< 𝑎

E) 𝑏+𝑐

𝑎=

𝑏2+𝑐2

𝑎2

29

103) ¿Cuál(es) de la(s) siguientes afirmación(es) es o son falsa(s)?

I) 21

3 = √23 II) √163

= 8√23

𝐼𝐼𝐼) 2√25

= √265

IV) (2√3)2= 6

A) Sólo III B) Sólo II, III y IV C) Sólo I, II y IV D) Sólo I, II y III E) Todas son falsas

104) ¿Cuál(es) de la(s) siguientes afirmación(es) es o son verdadera(s)?

I. √−27𝑎3𝑏5𝑐63

= 3𝑎𝑏𝑐2 √𝑏23

II. √0,000325 = 5−1

III. √(√3 − 3)2= √3 − 3

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

105) El valor de √35+35+353

√36+36+36+36

A) 1 2⁄

B) 1 3⁄

C) 1 6⁄

D) 3 2⁄

E) 9 2⁄

106) Al aplicar propiedades en el siguiente ejercicio √𝑎4𝑥−43

: √𝑎𝑥−13

se obtiene:

A) 𝑎3𝑥−3 B) 𝑎𝑥+1

C) 𝑎3𝑥

D) 𝑎𝑥−1

E) √𝑎3𝑥−53

30

107) Reducir: 2√3 − 3√32 + √75 − 3√8

A) 7√3 − 18√2

B) 7√3 − 6√2

C) 7√3 − 60√2

D) 27√3 − 18√2

E) 27√3 + 6√2

108) Al resolver: 2√2√2√23

se obtiene:

A) 2 ∙ √12812

B) 2 ∙ √84

C) 4 ∙ √84

D) 2 ∙ √24

E) 2 ∙ √64

109) Resolver: √63

∙ √218

∙ √3

A) √315 ∙ 2618

B) √27 ∙ 31018

C) √315 ∙ 2718

D) √39 ∙ 218

E) Ninguna de la anteriores

110) 2

√43 =

A) √23

B) √33

C) √2

D) √43


111) Racionalizar: 2+√2

√6

A) 6

B) 2√18

3

C) 2√3+2√6

3

D) √6+√3

6

E) √6+√3

3

31

112) √3+2√2

2√2−√3=

A) 4√6

B) 2√6+17

11

C) 4√6+11

5

D) 4√6+11

11


113) Si √ √𝑎𝑚𝑛

= 𝑝 y 𝑞 = √𝑝𝑚 , con 𝑚, 𝑛 y 𝑎 ∈ 𝑍+. ¿Cuál de las siguientes igualdades es

correcta?

A) 𝑎 = 𝑞𝑛𝑚

B) 𝑎 = 𝑞𝑚

𝑛

C) 𝑎 = 𝑞𝑛

𝑚

D) 𝑎 = 𝑞𝑛𝑚2

E) 𝑎 = 𝑞𝑚𝑛2

114) Si se considera que el valor aproximado de √5 dado por la calculadora es 2,236067978,

𝑛 es √5 aproximado por exceso a la décima, 𝑚 es √5 aproximado por defecto a la décima y

𝑟 = √(𝑚 − √5)2+√(√5 − 𝑛)

2, entonces 𝑟 es igual a:

A) -0,1 B) 0,1 C) 0,01 D) -0,0001 E) 0

115) Al ordenar en forma decreciente los números

𝑎 = 3 + √5, 𝑏 = √8 + 2 y 𝑐 = 3√2 − 1, se obtiene:

A) 𝑐, 𝑏, 𝑎 B) 𝑎, 𝑏, 𝑐 C) 𝑏, 𝑎, 𝑐 D) 𝑐, 𝑎, 𝑏 E) 𝑏, 𝑐, 𝑎

32

116) Sean 𝑎, 𝑏 números positivos y √𝑎𝑏 = 1, entonces √𝑏 + 1=

A) 1

√𝑎+1

B) 1+√𝑎

√𝑎

C) √𝑎+1

𝑎

D) √𝑎 + 1

E) 1 +1

𝑎

117) Si √23

es aproximadamente 1,25992 y √3 es aproximadamente 1,73205, entonces

√4 ∙ 276

aproximado por redondeo tiene como primera cifra decimal:

A) 9 B) 8 C) 3 D) 2 E) 1

118) Si 𝑝 es un número primo, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s)?

I) 2√𝑝 ∙ √𝑝 es un número irracional.

II) 2√𝑝 − √𝑝 es un número irracional.

III) √𝑝

2𝑃12

es un real.


119) ¿Cuál(es) de los siguientes números es (o son ) irracionales?

I) √0, 9 II) √0, 4 III) √0, 2


33

120) ¿Cuál de los siguientes números es el más cercano a √2 en la recta numérica?

A) 1,0 B) 1,2 C) 1,4 D) 1,7 E) 2,0

121) Si 𝐴 = 2 + √6, 𝐵 = √15 y 𝐶 = √26 − 3, entonces:

A) 𝐴 < 𝐵 < 𝐶 B) 𝐴 < 𝐶 < 𝐵 C) 𝐶 < 𝐵 < 𝐴 D) 𝐶 < 𝐴 < 𝐵 E) 𝐵 < 𝐴 < 𝐶

122) ¿Cuál de los siguientes números es irracional?

A) √9

4

B) √16

25

C) √5

4

D) √121

100

E) √169

196

123) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) √(−8)−2 =1

−8

II) √(3 − 𝜋)2 = 0,14

III) √23

∙ √24

> √12712


34

124) ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es o son FALSA(S)?

I) √𝑎𝑛𝑏

∙ √𝑝𝑏𝑛

= √𝑎𝑛 ∙ 𝑝𝑏𝑏𝑛

II) (√𝑎 − 𝑏 + √𝑏 + 𝑎)2= 2(𝑎 + √𝑎2 + 𝑏2)

III) 2

√10<

√10

5

A) Solo I B) Sólo III C) Solo I y II D) I, II y III E) Ninguna

125) ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) siempre número(s) irracional(es). Sabiendo que 𝑎 es un número racional?

I) (𝑎 + √7)2

II) (𝑎 − 𝜋)(𝑎 + 𝜋) III) (√3 ∙ 𝑎)2


126) Sea 𝑝 = 5 − √7, entonces: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 𝑝 > 2,5 II) 𝑝 es irracional III) El recíproco de 𝑝 es un número racional


127) ¿Cuál de los siguientes números es mayor que 3 pero menor o igual que 4?

A) √9

B) 3 4⁄

C) 4 3⁄

D) √3,5

E) √10

35

128) El valor de √13 − 4√3 ∙ (1 + 2√3) es:

A) −11 B) 11 C) 12

D) 5√3

E) 22√3 − 11

129) Con respecto al número √0,25 se puede afirmar que es:

I) Racional II) Irracional III) Real


130) El valor de la expresión 3 4 3 4

2 2 2 2 2 2 2 2 , es un número:

A) Irracional negativo B) Entero negativo C) Racional no entero D) Irracional positivo E) Entero positivo

131) Si 3 1 3 1 m , entonces el valor de 2m

2 es:

A) 2 3 2 2

B) 3 2

C) 1

D) 2 3

E) 4 3 4 2

36

132) Si 𝑥 es un número irracional, entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) 𝑥2 es positivo II) 𝑥2 es racional III) 𝑥−1 es irracional


133) En la figura, el punto O representa al 0 en la recta numérica real y además es el centro

de la semicircunferencia. Si B se ubica en el punto √3 y el segmento AC mide 1. ¿Qué

número representa A en la recta numérica?

A) 1

B) √3 − 1

C) √3

2

D) 2

E) √2

134) La expresión √84 + 84 es equivalente a:

A) 8 B) 12 C) 32

D) 32√2 E) 64√2

37

135) Sea 𝑟 = 𝑥√3 y 𝑠 = 𝑥 + √3. Los números 𝑟 y 𝑠 son racionales, si:

(1) 𝑥 es un número irracional negativo.

(2) 𝑥 es el inverso aditivo de √3.

A) (1) Por si sola B) (2) Por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) y (2) E) Se requiere información adicional

136) Determine el valor de 𝑙𝑜𝑔3(0, 1) es:

A) −1 3⁄

B) −2

C) 1 3⁄

D) 2

E) √93

137) 𝑙𝑜𝑔 0,1 + 𝑙𝑜𝑔 1 − 𝑙𝑜𝑔 100 =

A) 𝑙𝑜𝑔 (0,1 + 1 + 100) B) 𝑙𝑜𝑔 (0,1 ∙ 1 ∙ 100) C) −2 D) −2,5 E) −3

138) Si 𝑙𝑜𝑔 2 = 𝑥 y 𝑙𝑜𝑔 7 = 𝑦, entonces el valor de 𝑙𝑜𝑔 140 es:

A) 1 + 𝑥 + 𝑦 B) 10 + 𝑥 + 𝑦 C) 𝑥 + 𝑦 D) 10 + 𝑥𝑦 E) 10𝑥𝑦

139) Si log 2 = 0,3010, entonces log 8 =

A) 0,93 B) 0,6020 C) 2,408 D) 0,903 E) No puede ser calculado con la información dada.

38

140) Determine cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsas?

I) 2 𝑙𝑜𝑔3√345=

5

2

II) log 24 = 3 log 2 + log 3

III) log𝑎

𝑏=

𝑙𝑜𝑔𝑎

𝑙𝑜𝑔𝑏

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

141) 𝑙𝑜𝑔 √3

𝑙𝑜𝑔 (1

3)=?

A) 1 2⁄

B) −1 2⁄

C) 1 6⁄

D) 3√3 E) Otro valor

142) ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?

A) log 1 ∙ log 25 = 2 log 5 B) log 15 : log 2 = log 7,5

C) log1

3∙ log 6 = log 2

D) log 5

log 4= log 5 − log 4

E) log1

1.000< −2

143) Si log5 3 =7

10, 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, entonces log5 375 es igual a:

A) 57

10

B) 27

10

C) 35

2

D) 37

10

E) 7

5

39

144) El valor de 𝑥 en la ecuación 𝑎𝑥 = 𝑏𝑐 es:

A) 𝑙𝑜𝑔𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑐 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 B) 𝑙𝑜𝑔𝑎 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑐 C) 𝑙𝑜𝑔𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑐

D) 𝑙𝑜𝑔𝑏+𝑙𝑜𝑔𝑐

𝑙𝑜𝑔𝑎


145) 𝑙𝑜𝑔216−𝑙𝑜𝑔3

1

27

𝑙𝑜𝑔636=

A) 7 2⁄

B) 7 6⁄

C) 17 6⁄

D) 11 2⁄

E) 1 2⁄

146) Si log 𝑥 = 𝑦, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 log 0,1𝑥3

A) -1 + 3x B) -1 + 3y C) -10 + 3y D) 10 + 3x E) 30y

147) Si log 2 = 𝑚, log 3 = 𝑛 y log 5 = 𝑝, entonces 𝑙𝑜𝑔 (24

√55 )=

A) 𝑛 +𝑚 − 𝑝

B) 3𝑛 +𝑚 −𝑝

5

C) 15𝑚+5𝑛−𝑝

5

D) 3𝑚 + 𝑛 + 5𝑝 E) Ninguna de las anteriores

148) Si log 𝑎3 = 6, entonces 1 − log 𝑎 es:

A) 0 B) – 1 C) – 2 D) – 5 E) – 6

40

149) 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑑𝑐 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑑2 =

A) 1 B) 2 C) 0 D) b E) Otro valor

150) La expresión 𝑙𝑜𝑔 (𝑎

𝑏2𝑐) es equivalente a:

A) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 − 2𝑙𝑜𝑔 𝑏 + 𝑙𝑜𝑔 𝑐 B) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 − 2 𝑙𝑜𝑔 𝑏 + 2 𝑙𝑜𝑔 𝑐 C) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 − 2 𝑙𝑜𝑔 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔 𝑐 D) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 − 2 𝑙𝑜𝑔 𝑏 − 2 𝑙𝑜𝑔 𝑐 E) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 + 2𝑙𝑜𝑔 𝑏 + 𝑙𝑜𝑔 𝑐

151) La siguiente expresión: 2 𝑙𝑜𝑔 𝑎 −3

4 𝑙𝑜𝑔 𝑏 − 5 𝑙𝑜𝑔 𝑧 + 𝑙𝑜𝑔 10𝑧, es equivalente a:

A) 𝑙𝑜𝑔 𝑎2

√𝑏34

∙𝑧

B) 𝑙𝑜𝑔 𝑎2

√𝑏34

∙(2𝑧)5

C) 𝑙𝑜𝑔 √𝑏34

∙ 𝑧4

𝑎2

D) 𝑙𝑜𝑔 𝑎2 ∙ 10𝑧

√𝑏34

∙𝑧5

E) 𝑙𝑜𝑔 (2𝑎 −3

4𝑏 − 5𝑧 + 𝑧)

152) Siendo 𝑙𝑜𝑔 5 = 𝑎, entonces ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) 𝑙𝑜𝑔 50 = 1 + 𝑎 B) 𝑙𝑜𝑔 125 = 3𝑎 C) 𝑙𝑜𝑔 2 = 1 − 𝑎 D) 𝑙𝑜𝑔 25 = 𝑎2

E) 𝑙𝑜𝑔 (1

2) = 𝑎 − 1

41

153) Calcula el valor de 𝑥 si 𝑥 = 4𝑙𝑜𝑔48

A) 4 B) 8 C) -8 D) -4 E) Otro valor

154) Si 5 𝑙𝑜𝑔 94

𝑥 − 3 𝑙𝑜𝑔94

𝑦 + 2 𝑙𝑜𝑔94

𝑧 =1

2, entonces el valor de

𝑥5∙ 𝑧2

𝑦3 es:

A) 2 3⁄

B) 3 4⁄

C) 4 3⁄

D) 3 2⁄

E) No se puede determinar

155) ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?

I) log6 log10 log6 II) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 =

𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎

III) El valor de log 6 = 0,7781, si log 2 = 0,3010 y log 3 = 0,4771

A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

156) ¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?

A) 𝑙𝑜𝑔3 > 𝑙𝑜𝑔5 B) 2𝑙𝑜𝑔5 < 3𝑙𝑜𝑔2

C) 𝑙𝑜𝑔√73

> 𝑙𝑜𝑔√11 D) 𝑙𝑜𝑔23 > 𝑙𝑜𝑔47

E) 𝑙𝑜𝑔10

𝑙𝑜𝑔2= 𝑙𝑜𝑔5

42

157) Si 𝑙𝑜𝑔√1003

= 𝑝, 𝑙𝑜𝑔𝑞 (8

125) = −3 y 𝑙𝑜𝑔 2

3

𝑟 = −2. ¿Cuál es el valor de 𝑝𝑞𝑟?

A) 4 15⁄

B) 15 4⁄

C) 3 5⁄

D) 5 3⁄


158) Si 𝑙𝑜𝑔32 = 𝑎, 𝑙𝑜𝑔57 = 𝑏 y 𝑙𝑜𝑔278 = 𝑐, entonces: ¿Cuál es la relación correcta?

A) 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 B) 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 C) 𝑐 < 𝑎 < 𝑏 D) 𝑎 = 𝑐 < 𝑏 E) 𝑏 < 𝑐 = 𝑎

159) Si 𝑙𝑜𝑔√𝑎3

= 𝑝 y 𝑙𝑜𝑔𝑏4 = 𝑞. ¿Cuál de las siguientes expresiones es siempre igual a

𝑙𝑜𝑔√𝑎𝑏?

A) 12𝑝+𝑞

4

B) 12𝑝+𝑞

8

C) 3𝑝+𝑞

8

D) 3𝑝

2+𝑞

4

E) 3𝑝

2−𝑞

4

160) Sea la ecuación de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 una ecuación con coeficientes reales, donde 𝑎 ≠ 0. Suponga que las soluciones 𝑥1 y 𝑥2 son raíces de esta ecuación y son imaginarias puras. Entonces:

I) (𝑥1 + 𝑥2) es solución de la ecuación. II) (𝑥1 + 𝑥2) es un número imaginario puro. III) (𝑥1 + 𝑥2) es un número real.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

43

161) Al resolver (13 − √−4) − (−5 + √−9) obtengo:

A) 18 − 5𝑖 B) 18 + 𝑖 C) 18 − 𝑖 D) 8 + 𝑖 E) 8 − 𝑖

162) ¿Cuál de los siguientes números complejos se ubicaría en el tercer cuadrante del plano de Argand?

A) 1 + 3𝑖 B) 2 − 4𝑖 C) −4𝑖 D) −2 + 3𝑖 E) −2 − 10𝑖

163) Si 𝑧 = 3 + 4𝑖, entonces ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 𝑧 = 3 − 4𝑖 II) 𝑧 ∙ 𝑧 = 25 III) |𝑧| = 25

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) I, II y III E) Ninguna

164) Al resolver: 𝑖 + 𝑖2 + 𝑖3 + 𝑖4 obtenemos:

A) 0 B) 𝑖5 C) 𝑖2 D) −𝑖 E) 𝑖9

165) Al resolver √5

√−10 se obtiene:

A) 2𝑖

B) √2𝑖

2

C) −√2𝑖

2

D) √2

2


44

166) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es siempre verdadera?

A) 𝑧 + 𝑧 = 2𝑅𝑒(𝑧)

B) Si 𝑤 ≠ 0, entonces |𝑧|

|𝑤|= |

𝑧

𝑤|

C) Si 𝑧 ≠ 0, entonces 𝑧−1 =𝑅𝑒(𝑧)−𝐼𝑚(𝑧)

|𝑧|

D) 𝑖5 = 𝑖 E) Ninguna de las anteriores

167) Las soluciones de la ecuación 𝑥2 + 6 = 2𝑥, son:

A) Reales iguales B) Reales distintas C) Complejas conjugadas D) Una real y la otra compleja E) Ninguna de las anteriores

168) ¿Dónde se comete un error en el siguiente desarrollo?

(1) − 36 = (6𝑖)2 (2) = 6𝑖 ∙ 6𝑖

(3) = √−36 ∙ √−36

(4) = √−36 ∙ −36

(5) = √1296 (6) = 36

A) En (1) B) Al pasar de (1) a (2) C) Al pasar de (2) a (3) D) Al pasar de (3) a (4) E) Al pasar de (4) a (5)

169) Sea el número complejo 𝑝 = 𝑎 + 𝑏𝑖, con 𝑎 y 𝑏 números reales distintos de cero, ¿Cuál de las siguientes igualdades es siempre verdadera?

A) || = 𝑎2 + 𝑏2 B) 𝑝 ∙ (1 + 0𝑖) = 𝑎

C) 𝑝−1 =𝑎−𝑏𝑖

𝑎2+𝑏2

D) 𝑝 − = 0 E) 𝑝 ∙ = 𝑝2

45

170) Si 𝑘 es un número real, ¿Para qué valor de 𝑘 la parte real e imaginaria del número

complejo 2+𝑖

𝑘+𝑖 son iguales?

A) -3 B) 1 C) 2 D) -1 E) 3

171) ¿Cuál de las siguientes opciones tiene como resultado un número imaginario puro?

I) 21 zz . Si iz 321 y iz 522

II) 21 zz . Si iz 211 y iz 22

III) 2

1z . Si iz 11

A) Sólo I B) Sólo II C) I y III D) II y III E) I, II y III

172) El inverso multiplicativo de i21 es:

A) i5

2

5

1

B) i5

2

5

1

C) i5

2

5

1

D) i21

E) i21

173) El valor de 112i es:

A) 0 B) 1 C) -1 D) I E) -i

46

174) El valor de 13i es:

A) 0 B) 1 C) -1 D) i E) -i

175) El valor de 6511 ii es:

A) 64 B) -64 C) 32 D) -32 E) 16


A) 1 B) -1 C) i D) –i E) 2i

177) Si iz 31 entonces 2z es:

A) 8 – 6i B) -8 + 6i C) -8 – 6i D) 6 + 8i E) -6 + 8i

178) Si iz 53 , entonces 21 zz es:

A) 18 – 25i B) -18 - 25i C) 18 + 25i D) 20 + 25i E) -20 + 25i

47

179) El valor de 5432

11111

iiiii es:

A) 0 B) 1 C) -1 D) i E) -i

180) Si iz 21 , iz 22 y iz 243 , entonces 32

1

1zz

z

A) i5

4

5

8

B) i5

4

5

8

C) i5

8

5

4

D) i5

8

5

4

E) i5

8

5

4

181) Si 𝑧1 = 4 − 2𝑖 y 𝑧2 = 5 + 6𝑖, entonces 𝑅𝑒(𝑧1𝑧2) es:

A) 9 B) 12 C) 14 D) 20 E) 32

182) Son soluciones de la ecuación 0522 xx

I i21 II i21 III 2

A) I y II B) I y III C) II y III D) Sólo III E) Ninguna

48

183) La diferencia entre los complejos 1z y 2z es: i63 , si 𝑧2 = 2𝑧1; entonces 2z vale:

A) - 3 – 6i B) - 6 -12i C) 3 – 6i D) 6 – 12i E) 6 + 12i

184) Si iz 1 y 12 zA , entonces A vale:

A) i2

1

B) i2

1

C) i21

D) i21

E) i1


A) i2

B) i2

C) i2

1

D) i2

1

E) i1

186) En la igualdad iix 312 , x vale

A) 0 B) 1 C) 2 D) -1 E) 3

187) En la igualdad iiyix 712 los valores de x e y respectivamente son:

A) 2 y 3 B) 3 y 2 C) 2 y -3 D) 3 y -2 E) -2 y -3

49

188) Para que i

ix

1 sea una imaginario puro, x debe valer:

A) 1 B) -1 C) 0 D) 2 E) -2

189) En la ecuación ziiz 22131 , z vale:

A) 2 B) -2 C) 2i D) -2i E) 1-2i

190) El valor de Cz que satisface la ecuación 01

zz

A) Cualquier complejo B) 1 y -1 C) 1-2i D) i E) -i

191) Si iz 211 y iz 32 , entonces 2

1

z

z es:

A) 2

5

B) 3

5

C) 3

1

D) 3

2

E) 1

50

192) El valor absoluto de 34

10

ii

i

es:

A) 2

B) 2

1

C) 2

2

D) 1

E) 2

2

193) El conjugado de 1125 ii es:

A) i1

B) i1

C) i2

1

2

1

D) i2

1

2

1

E) i2

1

2

1

194) Un complejo cuya parte real es 3 y cuyo valor absoluto es 13 es:

A) i23

B) i23

C) i23

D) i33

E) i33

195) ¿Cuáles son las raíces de la ecuación 1782 xx ?

A) 62 y

B) 35 y

C) iyi 26

D) iyi 44

E) 334433 y

51

196) ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación 8632

xx

A) 11 y

B) iy1

C) iy 1

D) iy 1

E) iyi

197) 02 CBxAx es una ecuación cuadrática donde A , B y C son constantes reales

y A distinto de cero. Las raíces 1x y 2x de esta ecuación son imaginarias, entonces:

I) 21 xx también es solución de la ecuación.

II) 21 xx también es un número imaginario

III) 21 xx es un número real

¿Cuál(es) de las afirmaciones es (son) correcta(s)?


198) Se define la operación entre dos números imaginarios, a y b, dada por ibaba

Respecto a la operación , ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es SIEMPRE verdadera?

A) ba es un número real.

B) ba es un número imaginario.

C) Si dbyca entonces dcba , para dc, imaginarios.

D) Si ba entonces 0ba E) Ninguna de las anteriores

52

199) Dados dos números complejos, iz 351 y iz 242 , se afirma que:

I) 9Re 21 zz

II) izz 21Im

III) 8ImRe 2121 zzzz

¿Cuál(es) de las siguientes es (son) correcta(s)?


200) ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a i

i

32

23

?

A) i13

5

13

12

B) i13

5

13

12

C) 13

12

13

5i

D) i13

12

13

5

E) i13

12

13

5

201) ¿Bajo qué condición la expresión dicbia es un número imaginario?

A) da

B) db C) ca

D) cb

E) ba

53

202) Sea z el conjugado de un número complejo biaz . Respecto a z se afirma que:

I) Es de la forma bia II) Gráficamente corresponde a una simetría respecto al eje imaginario del plano de Argand

III) zz Re)Re(



203) El módulo de un número complejo z se define como:

22ImRe zzz

Al respecto, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A) Si 21 zz entonces 21 zz .

B) El módulo del conjugado de z es mayor que el módulo de z . C) El módulo del conjugado de z es igual que el módulo de z D) El módulo del conjugado de z es menor que el módulo de z E) Ninguna de las anteriores.

204) ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 1

11

i

ii?

A) i1

B) i1

C) 1i

D) i1

E) 2

54

205) Sean a, b, c y d números reales positivos tales que dcba , al respecto se afirma que:

I) dicbia

II) dicbia ReRe

III) dicbia ImIm



206) Si 1

𝑧= 3 + 𝑖, ¿cuál es el valor de z ?

A) 3

10 10

i

B) 3

10 10

i

C) 1 3

10 10

i

D) 1 3

10 10

i

E) 5

i

207) Si ,a b y se verifica la igualdad 2a i

ib i

, entonces a b

A) -1

B) -3

C) 2

D) -4

E) Otro valor

55

208) Si a un punto z del plano de Argand se le aplica una rotación en 90° en sentido anti horario y posteriormente se traslada al origen, se obtiene el punto:

A) zi z

B) zi i

C) zi

D) iz iz

E) Ninguno de los anteriores.

209) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I. Al sumar un número real con un número complejo se obtiene un número imaginario puro.

II. Al sumar dos números imaginarios puros no conjugados, se obtiene un número imaginario puro.

III. Al multiplicar un número imaginario puro con un número real distinto de cero, se obtiene un número imaginario puro.

A) Sólo II

B) Sólo III

C) I y II

D) II y III

E) I y III

210) El recíproco de la parte imaginaria de 2 8

2 3 2 3i i

es:

A) 18

13

B) 13

18

C) 1

18

D) 18

13

E) Otro valor

56

211) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA con respecto a los números complejos?

A) La suma entre un número complejo y su conjugado coincide con el doble de su parte real.

B) El producto entre un número complejo y su conjugado coincide con el cuadrado de su módulo.

C) El cociente entre el conjugado de un complejo no nulo y el cuadrado de su módulo coincide con el recíproco de su conjugado.

D) Si un número complejo coincide con su conjugado, entonces es un número real.

E) La diferencia entre un número complejo y su conjugado coincide con el doble de su parte imaginaria.

212) Sean ,b c . En la ecuación2 0x bx c , una de las raíces es 2 3i . ¿Cuál es el

valor de b ?

A) 3

B) -3

C) 4

D) -4

E) -5

213) Sean ,a b . Si z a bi es un número complejo tal que2 7 24z i , entonces

2b

A) 3

B) 9

C) -9

D) -5

E) Otro valor.

214) (−1 + 𝑖)20 =

A) 1 + 𝑖20

B) 20𝑖C) −20𝑖D) 1024E) −1024

57

215) 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 (1 + 2𝑖)𝑧 − 5 = 0. Entonces 𝑥𝑦=?

A) -1

B) 1

C) -2

D) 2

E) 3

216) 4 3 7 4z i . El módulo de z es:

A) 1

B) 3

C) 2

D) 15

E) Ninguna de las anteriores.

217) Si 𝑧1 = (3𝑥 − 4𝑦) + 𝑖 y 𝑧2 = 24 + (𝑥 + 𝑦)𝑖 , 𝑧1 = 𝑧2 entonces 2 2x y es:

A) 1

B) 7

C) 13

D) 20

E) 25

218) Se dan los complejos 1z y 2z por el diagrama. Entonces es o son verdaderas:

I) 1 2z z

II) 1 2z z

III) 1 2 0z z

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

-b

Z2 z

P

X

Y

a

b

-

0

z

Q

0 a

b P

Q

Z1

X

Y

58

219) Dada la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tal que 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales, con 𝑎 ≠ 0 y 𝑎(3 − 5𝑖)2 + 𝑏(3 − 5𝑖) + 𝑐 = 0, donde (3 − 5𝑖) es un número complejo. El producto de las soluciones es:

A) 34 B) −3 − 5𝑖 C) 34 − 15𝑖 D) −2 E) Indeterminable con los datos dados.

220) Para que el producto de los complejos 1z b ai y 𝑧2 = 𝑏 + (𝑎 −5

𝑏) 𝑖 sea real, entonces:

A) 2 2 5a

a bb

B) 2 2 5a

b ab

C) 5ab

D) 2 5ab

E) 2 5ab

221) Si 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, y se verifica la igualdad

𝑎 + 𝑖

𝑏 + 𝑖= 2 + 𝑖

Entonces 𝑎 + 𝑏 =

A) -1 B) -3 C) 2 D) -4 E) Otro valor

222) Si 𝑓: 𝐶 → 𝐶 y 𝑔: 𝐶 → 𝐶 son funciones de variable compleja tales que 𝑓(𝑧) = 𝑖𝑧 y 𝑔(𝑧) = 𝑧, ¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la función identidad en C?

A) (𝑓 𝑜 𝑓)(𝑧) B) (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑧) C) (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑧) D) (𝑔 𝑜 𝑔)(𝑧) E) Ninguna de ellas

59

223) El número complejo 𝑧 =2𝑚−2𝑖

1−𝑖 , con 𝑚 un número real e 𝑖 la unidad imaginaria, se puede

expresar como:

A) ( 𝑚 + 1) + ( 1 – 𝑚) ∙ 𝑖

B) ( 𝑚 – 2)

C) ( 𝑚 – 1) + ( 𝑚 – 1) ∙ 𝑖

D) ( 𝑚 + 1) + ( 𝑚 – 1) ∙ 𝑖

E) ( 𝑚 – 2) ∙ 𝑖

224) Si 4𝑖 ∙ ( 𝑥 + 𝑦𝑖) = 8 entonces 𝑥 + 𝑦 =

A) -2

B) 8 + i

C) 2

D) 6

E) 0

225) El valor de la expresión (1 + 𝑖) + (2 + 𝑖2) + (3 + 𝑖3) + (4 + 𝑖4) +⋯+ (15 + 𝑖15) es:

A) 121

B) 120

C) 119

D) 120 – i

E) 120 + i

226) Sea z un número complejo. Si el conjugado de z se multiplica por el inverso aditivo de z, siempre resulta

A) El inverso aditivo del cuadrado del módulo de z.

B) El módulo de z.

C) El cuadrado del módulo de z.

D) El inverso aditivo del módulo de z.

E) Ninguno de los resultados anteriores.

60

227) Si 𝑧1 = 5 − 3𝑖, 𝑧2 = 2 + 4𝑖 y 𝑧3 = 8 − 𝑖, entonces

𝑅𝑒(𝑧1) + 3 ∙ 𝐼𝑚(𝑧3) − 𝐼𝑚(𝑧2) =

A) -2

B) -1

C) 0

D) 4

E) 12

228) Dados los números complejos 𝑢 = 2(3 + 𝑖) − 𝑖 + 5𝑎 y 𝑤 = 5(5 + 𝑖) + 𝑏𝑖 − 3. Si 𝑢 = 𝑤,

entonces los valores de 𝑎 y 𝑏 son respectivamente.

A) 15

5 𝑦 6

B) 3 𝑦 6

C) 31

5 𝑦 4

D) 16

5 𝑦 − 4

E) 32

5 𝑦 − 4

229) La gráfica del complejo 3 − 4𝑖, está representada en la opción:

61

230) Para que el número complejo (3𝑘 + 2𝑖)(3 − 𝑖) sea imaginario puro 𝑘 debe ser:

A) 0

B) 9

2

C) 2

9

D) −9

2

E) −2

9

231) El número equivalente a (1 + √3𝑖)4

es:

A) 8 + 8√3𝑖

B) 8 − 8√3𝑖

C)−8 + 8√3𝑖

D)−8 − 8√3𝑖

E)−2 − 8√3𝑖

232) Si “i” es la unidad imaginaria, al efectuar la siguiente operación se obtiene:

A) –i

B) 0

C) 1

D) 256

E) 512i

233) ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones es verdadera para los complejos 𝑧1, 𝑧2 y 𝑧3 de lafigura?

I) 𝑧1 = 𝑧3II) |𝑧2| = |𝑧1|III) −𝑧1 = 𝑧2

A) Solo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

16 16

2 1 i 1 i

62

234) Sea 𝑧 un número complejo de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖. Al operar 2𝑧2 + 𝑧𝑧 se obtiene:

A) 3𝑎2 − 𝑏2 − 4𝑎𝑏𝑖 B) 3𝑎2 + 𝑏2 + 4𝑎𝑏𝑖 C) 3𝑎2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑏𝑖 D) 3𝑎2 + 3𝑏2 + 4𝑎𝑏𝑖 E) 3𝑎2 − 𝑏2 + 2𝑎𝑏𝑖

235) El producto de (𝑖𝑛+1)2 ∙ 𝑖𝑚+1 es igual a -1, si:

(1) 2𝑛 +𝑚 = 0

(2) 𝑛 =1

2 y 𝑚 = 2

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por si sola, (1) y (2)

E) Se requiere información adicional

236) El número complejo z es un número imaginario puro si:

(1) Re( ) Im( )z z

(2) Re( ) Im( ) Im( )z z z

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional.

63

237) Si 𝑧, 𝑤 ∈ 𝐶 , se puede determinar el valor de z w si:

(1) w z (2) Re( ) 4z

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




238) Se puede determinar el valor de n si:

(1) 1n n es un número imaginario puro

(2) n es primo

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




239) Se puede determinar el valor de 𝑧 que pertenece al conjunto de los números complejos si:

(1) 𝑅𝑒(𝑧) = 0 (2) 𝑧 ∈ 𝑅

A) (1) Por si sola B) (2) Por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola (1) y (2) E) Se requiere información adicional

64

240) Se puede determinar el valor de 𝑧 ∈ 𝐶 si:

(1) |𝑧| = 1

(2) 𝑅𝑒(𝑧) =√2

2


241) Se puede determinar el valor de 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁

(1) 𝑖𝑚 = 𝑖𝑛 (2) 𝑚 + 𝑛 = 6


EJE ÁLGEBRA

242) Si 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 y 3𝑏 − 𝑎 + 𝑐 = 5. ¿Cuánto vale 𝑏 − 𝑎?

A) 5

B) 10

C) 5 2⁄

D) 2 5⁄

E) 2

243) Si el área de una figura plana está representada por la expresión:

I) 𝑥3 − 𝑦3, entonces la figura puede ser un rectángulo donde sus lados son (𝑥 + 𝑦) y (𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2). II) 2𝑥2 − 25𝑦4, entonces la figura puede ser un rectángulo de lados (2𝑥 − 5𝑦2) y (𝑥 + 5𝑦2). III) 𝑥2 + 6𝑥 + 9, entonces la figura puede ser una cuadrado de lado (𝑥 + 3).


A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Sólo I y III

E) Ninguna de ellas

65

244) En los rectángulos en que el largo (𝑥) es igual al triple del ancho, el área de ellos en función del largo es:

A) (3𝑥)2 B) 3𝑥2

C) 1

9𝑥2

D) 𝑥2

E) 1

3𝑥2

245) La expresión (𝑥2 + 2𝑥 − 15) representa el área, en unidades cuadradas, del rectángulo

ABCD de la figura adjunta, cuyo largo es (𝑥 + 5) unidades. Si el largo aumenta en 2 unidades

y su ancho disminuye 1 unidad, entonces una expresión que representa la variación del área

del nuevo rectángulo con respecto del rectángulo original, en unidades cuadradas es:

A) 𝑥 + 7

B) 𝑥2 − 2𝑥 − 8 C) 𝑥 − 13 D) −4𝑥 E) −23

246) Si 𝑎 + 𝑏 = 10 y 𝑎𝑏 = 9, entonces el valor de (𝑎2 + 8𝑎𝑏 + 𝑏2) es:

A) 54

B) 109

C) 154

D) 172

E) Indeterminable con los datos dados.

247) En los números reales, ¿Cuál es el conjunto de todos los números 𝑥, para los cuales la

expresión 𝑥2−3𝑥−10

𝑥2+9 se indetermina?

A) 5, −2 B) −5,2 C) −3,3 D) −9 E) ∅

66

248) En un terreno rectangular de largo (6𝑥 + 4) metros y ancho (3𝑥 + 2) metros se

construye una piscina rectangular de (3𝑥 − 2) metros de largo y (𝑥 + 2) metros de ancho y

se embaldosa el resto del terreno. Si 𝑥 >2

3 y el área de la región embaldosada es 125 metros

cuadrados, ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite determinar el valor de 𝑥?

A) 15𝑥2 + 20𝑥 + 12 = 125

B) 15𝑥2 + 28𝑥 + 4 = 125

C) 15𝑥2 + 28𝑥 − 4 = 125

D) 15𝑥2 − 20𝑥 + 12 = 125

E) 15𝑥2 + 28𝑥 + 12 = 125

249) Determine cuál o cuáles de las siguientes alternativas es falsa(s)

I) La fracción 𝑥2−16

5−2𝑥 se anula para 𝑥 = 4 𝑦 𝑥 = −4 .

II) La fracción 4𝑥+1

𝑥2−1 se indetermina solo para 𝑥 = 1.

III) La fracción 𝑥2+6𝑥+9

𝑥2+2𝑥−15 se indetermina para 𝑥 = −3


250) Dado los números reales positivos 𝑥 e 𝑦, tales que 𝑥2 + 9𝑦2 = 10𝑥𝑦 con 𝑥 > 3𝑦, ¿Cuál

es el valor de la expresión 𝑥+3𝑦

𝑥−3𝑦?

A) -4 B) -2 C) 2 D) 4 E) No se puede determinar un valor numérico

251) Suponiendo que 𝑥 e 𝑦 son reales distintos de cero, y que:

𝑥𝑦 =𝑥

𝑦= 𝑥 − 𝑦, luego 𝑥 + 𝑦 es igual a:

A) −3 2⁄

B) −1 2⁄

C) 0

D) 1 2⁄

E) 3 2⁄

67

252) Si x 0 es un número real tal que 1x 3,

x ¿cuáles son los valores de 2

2

1P x

x y

de 4

4

1Q x

x , respectivamente?

A) 9 y 81 B) 7 y 49 C) 7 y 47 D) 7 y 5 E) Ninguno de los pares anteriores

253) ¿Para qué valor de x la expresión 𝑥2+𝑥−12

2𝑥2+7𝑥−4 se anula?

A) 0 B) 3 C) −4 D) 1 E) 3 y -4

254) Si 𝑎 ≠ −1, 𝑎𝑥+1−𝑎𝑥−1

𝑎+1=

A) 2

1

a

a

B) 2

1

a

a

C) 2

1a

D) 1x xa a

E) 1x xa a

255) Para 𝑥 ≠ 0, la expresión (1 +1

𝑥2:1

𝑥) +

1

𝑥2 es igual a:

A) 𝑥3+𝑥+1

𝑥2

B) 1+𝑥(𝑥+1)

𝑥2

C) 1+𝑥2+𝑥

𝑥

D) (𝑥+1)2

𝑥2

E) 𝑥2+𝑥+2

𝑥2

68

256) Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑝 números reales, tales que 𝑎 > 𝑏 y 𝑝 =𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2

𝑎2−𝑏2. ¿Cuál de las siguientes

afirmaciones es siempre verdadera?

A) 𝑝 = −1 B) 𝑝 = 0 C) Si 𝑏 < 0, entonces 𝑝 > 1 D) 𝑝 > 1 E) 𝑏 < 0, entonces 𝑝 < 1

257) Si 𝑥 es distinto de 𝑎, de −𝑎 y de 0, entonces 2𝑥2−2𝑎2

𝑥2−𝑎𝑥:4𝑥+4𝑎

𝑥−𝑎+2𝑎

𝑥 es igual a:

A) 2(𝑥−𝑎)

𝑥

B) −𝑎

𝑥

C) 𝑥+𝑎

𝑥−𝑎

D) 2

E) 3𝑎+𝑥

2𝑥

258) En la ecuación 𝑥𝑎2 − 𝑥𝑏2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2, con 𝑎 y 𝑏 números reales tal que 𝑎 ≠ 𝑏, se

puede determinar el valor numérico de 𝑥, si se sabe que:

(1) 𝑏 = 2𝑎

(2) El 50% de (𝑎 + 𝑏) es 6.

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola


D) Cada una por si sola (1) ó (2)


259) La edad de un padre es tres veces la edad de su hijo, hace 6 años la edad del padre fue 5 veces la edad del hijo. ¿Cuántos años tienen que transcurrir para que la edad del padre sea dos veces la edad del hijo?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

69

260) ¿Cuál de las siguientes opciones no es una ecuación con una sola solución?

A) 2 + 4𝑥 − 2𝑥 − 1 = 1

B) 4𝑥 + 6 = 6(𝑥 + 2) − 4𝑥

C) (𝑥 + 4)(𝑥 + 2) = (𝑥 − 2)(𝑥 − 6) D) 5(𝑥 + 2) = 4𝑥 − 1

E) 4(𝑥 − 1) − 2𝑥 = −4 + 2𝑥

261) ¿Cuál es el valor de 𝑥 si 𝑥

2+

𝑥

22+

𝑥

23+

𝑥

24= 15?

A) 8 B) 15 C) 16 D) 32 E) 64


I) 2, 3 ∈ ]21

10 ,16

5[

II) 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 6

III) 𝑎𝑥+𝑎𝑥+𝑎𝑥+𝑎𝑥

𝑎𝑥+𝑎𝑥= 𝑎2𝑥


263) Para qué valor de 𝑝 , la ecuación 2−𝑥

𝑥+4= 𝑝, no tiene solución

A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) -1

70


I) La ecuación 3𝑥 + 1 = 5𝑥 − 3, tiene única solución. II) La ecuación 2𝑥 + 𝑥 + 5 = (2𝑥 + 1) + (𝑥 − 9) no tiene solución III) La ecuación 4𝑥 + 8 = 4(2 + 𝑥) tiene infinitas soluciones

A) Sólo I B) Solo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) Sólo I, II y III

265) Sean 𝑝 y 𝑞 números reales no nulos y 𝑝 ≠ 1, el valor de 𝑥 en la ecuación

1

𝑞−𝑝

𝑥=

1

𝑝𝑞−1

𝑥 es:

A) 0 B) 1 C) −𝑞 D) 𝑝𝑞 E) −𝑝𝑞

266) ¿Qué condición debe cumplir el parámetro 𝑎 , para que la ecuación

𝑎(𝑥 + 𝑎) − 𝑥 = 𝑎(𝑎 + 1) + 1 no tenga solución?

A) 𝑎 = −2 B) 𝑎 = 2 C) 𝑎 = 0 D) 𝑎 = −1 E) 𝑎 = 1

267) ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a "𝑥" en la ecuación de primer grado

5𝑝 = 10𝑝𝑥 − 5𝑥, con 𝑝 ≠ 1 2⁄ ?

A) 𝑝

2𝑝+1

B) 𝑝

2𝑝−1

C) 𝑝

5𝑝−1

D) 2𝑝

2𝑝−1


71

268) En la ecuación con 𝑛 ≠ 1: 2 + 𝑛𝑥 = 𝑛 + 𝑥 + 1 , el valor de 𝑥 es:

A) 2𝑛−1

2

B) 𝑛−1

𝑛

C) 𝑛−1

2𝑛

D) 1 E) 0

269) ¿Qué valor(es) debe tener "𝑝" para que la ecuación en 𝑥, 7

2𝑥 − 𝑝𝑥 = 3 −

𝑥

2 tenga solución

única?

A) 𝑝 < −4 B) 𝑝 > 4 C) 𝑝 ≠ 4 D) 𝑝 < 4 E) 𝑝 = 4

270) ¿Para qué valor de m la ecuación 2mx x , no tiene solución?

A) 1 B) -1 C) 0 D) 2 E) -2

271) Si 𝑥2 + 52 = (𝑝 − 𝑥)2 , entonces x es igual a:

A) 𝑝2−52

2

B) 𝑝2−52

2𝑝

C) 𝑝−5

2

D) 𝑝2−5

2𝑝

E) 𝑝+5

2

72

272) Si 2𝑝−3𝑏

2=

2(𝑏+𝑝)

3 , entonces 𝑝 es siempre igual a:

A) 13𝑏

2

B) −5𝑏

2

C) 13𝑏

10

D) 5𝑏

2


273) ¿Cuál es el valor de 𝑚 si se cumple que: (2𝑎 − 𝑏)2 = 4𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑚?

A) 𝑎𝑏 B) −𝑎𝑏 C) 2𝑎𝑏 D) −2𝑎𝑏 E) −4𝑎𝑏

274) Los datos de la tabla adjunta representan una función lineal 𝑓(𝑥). Si 𝑎 ≠ 0 , ¿Cuál es el

valor de 𝑏

𝑎?

𝒙 𝒇(𝒙)

9 3

−15 −5

𝑎 𝑏

A) 3

B) -3

C) 1

3

D) −1

3

E) √3

73

275) Si A es el área de un círculo y P su perímetro, entonces P en función de A se expresa como:

A) A

P(A)2

B)

2 A

P(A)

C)

2A

P(A)

D) P(A) 2A

E) P(A) 2 A

276) Sea 𝑎 un número real distinto de cero y 𝑓 la función definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, con dominio los números reales. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones es FALSA, respecto a 𝑓 para algún valor de 𝑎?

A) La imagen de 𝑎 es un número real no negativo. B) La imagen del triple de un número es el triple de la imagen del número C) La preimagen del cero es cero. D) La preimagen de un número entero es un número entero. E) La imagen de la suma de dos números reales es la suma de sus imágenes.

277) Si se supone que un modelo para la temperatura T en grados Celsius (°𝐶), de un líquido recién vertido en un recipiente está dado por 𝑇(𝑡) = 80 − 10𝑡, donde 𝑡 es el tiempo transcurrido en minutos desde el instante en que fue vertido. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La temperatura disminuye en función del tiempo. II) La temperatura del líquido disminuye a razón de 10°C por segundo. III) El líquido fue vertido a 80°C.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

278) Si 𝑓 y 𝑔 son funciones con dominio el conjunto de los números reales definidas por

𝑓(𝑥) =2𝑥−5

2 y 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1, entonces 𝑔(𝑓(𝑥)) es igual a:

A) 2(𝑥 − 3) B) 2𝑥 + 6 C) 2(𝑥 − 2) D) (𝑥 − 3)(𝑥 − 3) E) 𝑥 − 6

74

279) ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones se puede(n) escribir como una función de la forma

𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥, con 𝑘 una constante y con dominio el conjunto de los números reales positivos?

I) El área de una circunferencia en función de su radio.

II) La altura de un triángulo equilátero en función de su lado.

III) El cateto de un triángulo rectángulo isósceles en función de su hipotenusa.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

280) Sean las funciones 𝑓, 𝑔 𝑦 ℎ, todas con dominio el conjunto de los números reales,

definidas por 𝑓(𝑥) =−1

2𝑥, 6𝑥 − 3𝑔(𝑥) − 3 = 0, 6𝑥 + 5ℎ(𝑥) − 15 = 0. ¿Cuál de las

siguientes afirmaciones es verdadera?

A) 𝑓(𝑥) es inversamente proporcional a 𝑥.

B) Las rectas que representan a las gráficas de las funciones 𝑓 y 𝑔 son paralelas

C) La recta que representa la gráfica de 𝑔 intersecta al eje de las ordenadas en el punto

(0,1)

D) 𝑔(3) = ℎ(5) + 8 E) 2𝑓(2) = ℎ(5)

281) Si 𝑓 y 𝑔 son funciones, ambas con dominio en conjunto de los números reales, definidas

por 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 6 y 𝑔(𝑥 − 3) = 4𝑥 − 2. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥)?

A) 4𝑥 + 16 B) 4𝑥 + 34

C) 4𝑥 + 22 D) 4𝑥 − 22 E) 4𝑥 − 34

75

282) Sea 𝑓 una función, con dominio el conjunto de los números reales, definida por

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥𝑛, con 𝑚 un número real distinto de cero y 𝑛 un número entero positivo, tal que

0 < 𝑛 ≤ 3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) Para cualquier 𝑚 y 𝑛, las gráficas de las funciones son simétricas respecto al origen.

B) Si 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), entonces 𝑎 = 𝑏, para todo 𝑛 y 𝑚.

C) La función 𝑓 no puede ser decreciente.

D) Si para 𝑛 = 1 se tiene que 𝑓 se denota por 𝑔, para 𝑛 = 2 se tiene que 𝑓 se denota por ℎ y para

𝑛 = 3 se tiene que 𝑓 se denota por 𝑡, entonces hay al menos un punto donde se intersectan las

gráficas de 𝑔, ℎ y 𝑡.

E) Para 𝑚 > 0 y para 𝑛 un número par, el recorrido de 𝑓 es el conjunto de los números reales

positivos.

283) Sea 2𝑓(𝑥) = 𝑥 ; 𝑥 − 𝑔(𝑥) + 1 = 0 y ℎ(𝑥 + 1) = 2𝑥 + 3. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Las rectas que representan a las gráficas de las funciones 𝑓 y 𝑔 son perpendiculares.

II) Las rectas que representan a las gráficas de las funciones 𝑔 y ℎ se intersectan en el punto (0,1).

III) ℎ (−1

2) = 0

A) solo I B) solo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

284) Dado el sistema de ecuaciones 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑚𝑐𝑥 − 𝑑𝑦 = 𝑛

. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones

es (o son) siempre verdadera(s)?

I) Si 𝑎

𝑐≠

𝑏

𝑑, el sistema tiene única solución.

II) Si 𝑎

𝑐=

𝑑

𝑏=

𝑚

𝑛, el sistema tiene infinitas soluciones

III) Si 𝑎

𝑐=

𝑏

𝑑≠

𝑚

𝑛, el sistema no tiene solución


76

285) Hallar el valor de 𝑝 de modo que el sistema no tenga soluciones:

(𝑝 − 1)𝑥 + 2𝑦 = −3(𝑝 + 2)𝑥 + 4𝑦 = −1

A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) No se puede determinar

286) ¿Cuánto debe valer 𝑝 si el sistema: 𝑝𝑥 = 3 + 2𝑦 − 𝑥𝑝𝑥 + 𝑦 = 1

no tiene solución?

A) −1 2⁄

B) 1 3⁄

C) 1 2⁄

D) −1 3⁄

E) No existe tal valor de 𝑝

287) ¿Cuánto debe valer 𝑘 si el sistema: (𝑥 − 𝑦)𝑘 + 𝑥 = 2(𝑦 + 1)

6𝑥 − 8𝑦 − 4 = 0 tiene infinitas

soluciones?

A) 4 B) -3 C) 3 D) 2 E) -2

288) ¿Cuánto debe valer "𝑟" si el sistema 𝑟𝑥 − 𝑟𝑦 = 2 + 2𝑦 − 𝑥

6𝑥 − 8𝑦 = 4 tiene única solución?

A) 𝑟 ≠ −2 B) 𝑟 = 2 C) 𝑟 ≠ 2 D) 𝑟 = 3 E) 𝑟 ≠ 3

289) En el sistema 𝑥 = 1 − 5𝑦𝑘𝑥 = 6 − 2𝑦

determine el valor de 𝑘 para que el sistema no sea

compatible:

A) 2

B) 16⁄

C) −52⁄

D) 10

E) 25⁄

77

290) El sistema 2𝑥 − 𝑦 = 36𝑥 − 3𝑦 = 9

A) Tiene solución única B) Tiene infinitas soluciones C) Tiene dos soluciones D) No tiene solución E) No se puede determinar

291) Los valores de 𝑥 e 𝑦 respectivamente del siguiente sistema de ecuaciones son:

12

𝑥+15

𝑦= 6

3

𝑥+4

𝑦=2

3

A) −3

10 y

3

14

B) 3

14 y

−3

10

C) 3

7 y

−3

10

D) 3

14 y

3

10


292) ¿Qué relación deben cumplir 𝑎 y 𝑏 en el sistema 𝑎𝑥 + 3𝑦 = 5𝑏𝑥 + 2𝑦 = 6

para que éste no tenga

solución?

A) 𝑎 = 3𝑏 B) 𝑎 = 2𝑏

C) 𝑎 =2

3𝑏

D) 𝑎 =3

2𝑏

E) 𝑎 =1

3𝑏

293) En el sistema 2√𝑦 + 𝑥 − 3√𝑦 − 𝑥 − 3 = 0

3√𝑦 − 𝑥 + 5√𝑥 + 𝑦 − 18 = 0, 𝑥 e 𝑦 valen, respectivamente:

A) 4 y 5 B) 5 y 4 C) 3 y 2 D) -2 y 5 E) 4 y -2

78

294) ¿Cuál(es) de los siguientes sistemas no tiene(n) solución?

I) 𝑥 − 2𝑦 = 14𝑥 − 8𝑦 = 1

II) 2𝑥 − 𝑦 = 54𝑥 − 2𝑦 = 10

III) 𝑥 − 3𝑦 = 2

5𝑥 − 15𝑦 = 10


295) ¿Cuál(es) de los siguientes sistemas tiene(n) solución única?

II) 2𝑥 − 2𝑦 = 14𝑥 − 𝑦 = 1 − 𝑦

II) 4𝑥 − 𝑦 = 5

2(2𝑥 − 1 + 𝑦) = 10 + 2𝑦 III)

4𝑥 − 𝑦 = 93𝑥 + 𝑦 = 7


296) El sistema

01236

042

yx

tyx , tendrá infinitas soluciones si 𝑡 es igual a:

A) – 4 B) – 1 C) 1 D) 2 E) 4

297) ¿Cuál es el valor de m para que el siguiente sistema dado tenga infinitas soluciones?

5𝑥 − 𝑦 = 9

(𝑚 + 1)𝑥 − 4𝑦 = 36

A) 4 B) 5 C) 19 D) 20 E) 36

79

298) ¿Cuál de las siguientes figuras representa la intersección de 43 yx con

0 yx ?

A) B) C)

D) E) 299) En un cajón solo hay fichas blancas y rojas. De estas, 𝑎 son rojas y 3𝑏 son blancas. Si se

saca la quinta parte de las fichas rojas, entonces el cajón queda con un total de 70 fichas. En cambio, si se agrega un 50% del total de fichas blancas y se quitan 2 fichas rojas, entonces el cajón queda con un total de 93 fichas. ¿Cuál es el total de fichas que había inicialmente en el cajón?

A) 50 B) 60 C) 80 D) 81 E) 82

300) Dado el siguiente sistema de ecuaciones: 𝐿1: 5𝑥 − 𝑦 = 9

𝐿2: (𝑎 − 1)𝑥 − 5𝑦 = 45

Si se resta el valor de "𝑎" que hace que el sistema tenga infinitas soluciones, con el valor de la pendiente de 𝐿1 y el resultado, se resta con el coeficiente de posición de 𝐿1. ¿Qué valor se obtiene?

A) 12 B) 20 C) 22 D) 30 E) 45

80

301) Dado el siguiente sistema de ecuaciones: 3𝑥 +𝑚𝑦 = 𝑛1,5𝑥 + 2𝑦 = 5

, si 𝑚 y 𝑛 toman los valores que

hacen que el sistema tenga infinitas soluciones. ¿Cuál es el resultado de 𝑚2

𝑛 ?


302) Sea el siguiente sistema de ecuaciones 2𝑥 − 𝑦 = 4𝑥 + 𝑎𝑦 = −3

. ¿Cuál(es) de las siguientes

proposiciones es (o son) verdadera(s)?

I) Si 𝑎 =−1

2, el sistema no tiene solución.

II) Si 𝑎 =1

2, el sistema tiene única solución y además las rectas se intersectan

perpendicularmente. III) Si 𝑎 = 2, el sistema tiene única solución.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

303) El sistema 𝑎𝑥 + 6𝑦 = 26𝑥 + 𝑏𝑦 = 3

tendrá infinitas soluciones si y sólo si:

A) 𝑎 = 6 B) 𝑎 = 6 y 𝑏 = 6 C) 𝑎 = 4 y 𝑏 = 9 D) 𝑎 = 12 y 𝑏 = 18 E) 𝑎 = 9 y 𝑏 = 4

304) En el sistema de ecuaciones 𝑎 ≠ −𝑏, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 1

, luego (𝑥 + 𝑦)−1 =

A) 1 B) 𝑎 − 𝑏 C) 𝑎 + 𝑏

D) 1

𝑎+1

𝑏

E) 𝑎𝑏

81

305) Dado el siguiente sistema de ecuaciones 3𝑥 + 2𝑦 = 6𝑝𝑥 + 4𝑦 = 𝑞

, si 𝑝 y 𝑞 toman los valores que

hacen que el sistema tenga infinitas soluciones. Entonces 𝑞

𝑝 vale:


306) El sistema de ecuaciones mostrado a continuación, con 𝑎 y 𝑏 no nulos, verifica que 𝑥 +𝑦 es igual a:

(𝑎𝑥)2 − (𝑏𝑦)2 = 1𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 1

A) 𝑎−1 B) 𝑎−1 + 𝑏−1 C) 0

D) 4𝑎 +1−4𝑎2

𝑏

E) 1 +1−𝑎

𝑏

307) Sea el sistema 𝑥 − 𝑦 − 𝑢 = 0𝑥 − 2𝑦 − 3𝑢 = 0

determine 𝑥: 𝑦

A) 2 1⁄

B) 2 3⁄

C) −1 2⁄

D) 1 2⁄


308) Se tienen $15.500 en monedas de $100 y $500. Si en total hay 75 monedas, Entonces la cantidad de monedas de 100 menos la cantidad de monedas de 500 es:

A) 15 B) 20 C) 30 D) 35 E) 55

82

309) Un vehículo ha recorrido 𝑝𝑞 kilómetros, donde 𝑝 es el dígito de las decenas y 𝑞 el dígito de las unidades. La suma de los dígitos que componen dicho número es 10. Quince kilómetros más adelante ha recorrido 𝑞𝑝 kilómetros, donde 𝑞 es el dígito de las decenas y 𝑝 el dígito de las unidades. ¿Cuál de los siguientes sistemas permite determinar los kilómetros recorridos?

A) 𝑝 + 𝑞 = 10𝑝 − 𝑞 = 15

B) 𝑝 + 𝑞 − 10 = 0

𝑝𝑞 = 15

C) 𝑝 + 𝑞 = 109𝑝 − 9𝑞 = 15

D) 𝑝 + 𝑞 = 10

𝑝 − 𝑞 =−5

3

E) 𝑝 + 𝑞 = 10

𝑞 − 𝑝 =3

5

310) El par de números 𝑥 =−5

2 e 𝑦 =

3

5 es solución del sistema

𝑎𝑥 − 𝑦 = 43𝑥 − 𝑏𝑦 = 2

El valor de √(25𝑎 − 6𝑏)

A) 5 B) 7 C) 49 D) 64 E) No está definido en los reales

311) Jorge retira del banco $5.750.000.- en billetes de $5.000 y $20.000.- Si le entregaron en

total 550 billetes, ¿Cuántos billetes de $20.000 recibió?

A) 120

B) 150

C) 200

D) 350

E) 400

312) La solución del sistema de ecuaciones 𝑥 − 2𝑦 = 52𝑥 − 𝑦 = 7

es el punto:

A) (4,-1) B) (3,-1) C) (-3,1) D) (-3,-1) E) (1,-3)

83

313) ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la función 𝑦 = √𝑥2?

314) Sean 𝑓 y 𝑔, tales que, 𝑔(𝑥) = 4, para 𝑥 ≥ 3; 𝑔(𝑥) = −4 para 𝑥 < 3 y 𝑓(𝑥) = √𝑥, para 𝑥 ≥ 0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝑓(𝑔(𝑥)) no está definida para 𝑥 < 3. II) 𝑓(𝑔(4)) = 𝑔(𝑓(4)) III) 𝑔(𝑓(𝑥)) está definida para todos los números reales.


315) Si 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + √𝑥2 + 21, entonces 𝑓(−2) es igual a:

A) 1

B) 2 + √17 C) 3 D) 7 E) Ninguno de los valores anteriores

316) Si 𝑓(𝑥) = 4 ∙ 2𝑥−2, entonces 𝑓(−1) es:

A) 2 B) 2−1

C) 1 4⁄

D) 4

E) 1 8⁄

84

317) Si 𝑓(𝑥) = 2−1𝑥2 tiene como dominio el conjunto de los números reales, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El gráfico de 𝑓 intersecta a la recta de ecuación 𝑦 = 𝑥 en dos puntos. II) El gráfico de 𝑓 es el mismo que el de 𝑔(𝑥) = 2−1𝑥4. III) El gráfico de 𝑓 tiene su vértice en el origen (0,0).

A) Sólo I B) Sólo III C) Solo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

318) Sea la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 𝑘, cuyo dominio es el intervalo [−𝑘

2, ∞[. Si

la pre-imagen de 4 es 3, ¿Cuál es el valor de 𝑘?

A) -14

B) -6

C) 10

D) 4

E) 16

319) Sea la función 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥 − 1. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función, respectivamente?

A) ]−∞,−1] 𝑦 [−1,+∞[ B) ]−∞,−1] 𝑦 [1, +∞[ C) ]−∞, 1] 𝑦 [−1,+∞[ D) ]−∞, 1] 𝑦 [1, +∞[ E) ]−∞,−1] 𝑦 [0, +∞[

320) La función real que está mejor representada en la figura del gráfico de la figura adjunta es:

A) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 𝑝 − 𝑞

B) 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 𝑞 − 𝑝

C) ℎ(𝑥) = √𝑥 + 𝑝 + 𝑞

D) 𝑗(𝑥) = √𝑥 + 𝑞 + 𝑝

E) 𝑘(𝑥) = √𝑥 − 𝑝 + 𝑞

85

321) La ecuación 𝑦 − 𝑎 = 0, representa una función constante, ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) Su dominio es el conjunto de los números reales. II) Su recorrido es 𝑎. III) Su representación gráfica es una recta paralela al eje de las ordenadas.


322) Sea la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con 𝑎 ≠ 0. ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Si 0a , entonces la función tiene un máximo.

II) Si 0c , la gráfica de la función pasa por el origen.

III) Si 0, 0 0b a y c , entonces la gráfica de la función intersecta al eje x en dos

puntos.


323) La función 273)( 2 xxxf se representa gráficamente. ¿Qué gráfico le representa

mejor?

86

324) La altura ℎ de un clavadista (en metros) en función 𝑡 del tiempo que transcurre desde que

salta del trampolín (en segundos) está dada por la ecuación ℎ = 100 + 𝑡 − 5𝑡2. ¿En qué

momento se encuentra a una altura de 58 metros?

A) 3 segundos después del lanzamiento B) 4 segundos después del lanzamiento C) 14 segundos después del lanzamiento D) 16 segundos después del lanzamiento E) 3 y 14 segundos después del lanzamiento

325) El vértice de la parábola que representa a la función 2

4 1 3f x x

corresponde al punto:

A) 1, 3

B) 2, 7

C) 4, 2

D) 1, 3

E) 1, 19

326) Para que la función 𝑓: 𝐴 → 𝐵, definida por 2

3 2 1 f x x , sea biyectiva,

¿cuál debe ser el dominio y cuál el recorrido, respectivamente?

A) IR y IR+

B) 2, y 1,

C) 2, y 1,

D) 2, y 1,

E) 2, y 1,

327) Daniel para una tarea debe cortar, en forma rectangular, un cartón cuya área debe ser de 1.000 𝑐𝑚2, donde el largo (𝑥) debe exceder al ancho en 25 𝑐𝑚. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite a Daniel determinar el largo y el ancho del cartón en 𝑐𝑚?

A) 𝑥2 − 25𝑥 − 1000 = 0 B) 𝑥2 + 25𝑥 − 1000 = 0 C) 𝑥2 − 25 = 1000 D) 𝑥2 + 25 − 1000 = 0 E) 4𝑥 + 25 − 1000 = 0

87

328) Sea la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑎𝑥 + 2, con 𝑎 ≠ 0 y dominio el conjunto de los números reales. El valor de 𝑥 donde la función alcanza su valor mínimo es:

A) −1 B) 2𝑎 C) −2𝑎 D) −4𝑎2 + 2 E) 4𝑎2 + 2

329) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a las funciones de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑝, con dominio los números reales?

I) Si 𝑝 = 0 la gráfica de 𝑓 tiene su vértice en el origen (0,0). II) Si 𝑝 < 0, entonces la ordenada del punto donde la gráfica 𝑓 intersecta al eje de las

ordenadas es positiva. III) Si 𝑝 > 0, entonces la gráfica intersecta al eje X en dos puntos.


330) Las soluciones de la ecuación 2(𝑥2 − 6𝑥 + 9) = 5 están representadas en:

A) 3 ±√5

2

B) −3 ±√5

2

C) 3±√10

2

D) −3±√10

√2

E) 3 ±√10

2

331) ¿Cuál es el conjunto de todos los valores de 𝑝, para que la ecuación en 𝑥, (𝑥 − 2𝑝)2 + 4𝑝 = 0 ; tenga dos soluciones reales y distintas?

A) ]0,∞[ B) ]−∞, 0] C) ]−∞, 0[ D) [0,∞[ E) ∅

88

332) Se amarra con un cordel una vaca en la esquina de una reja con el objetivo de que paste en un prado que se representa en la zona achurada de la figura 2. ¿Cuál debe ser la longitud del cordel para que al alargarlo 12 m, el área en que pueda pastar la vaca se cuadruplique?

A) 4 m B) 6 m C) 10 m D) 12 m E) 24 m

333) Un profesor tiene una cuerda de largo M 𝑐𝑚 y con la totalidad de la ella construye los

bordes de un rectángulo no cuadrado de área 𝐴 𝑐𝑚2. ¿Cuál de las siguientes expresiones

representa la longitud del lado menor de dicho rectángulo, en 𝑐𝑚?

A) 𝑀−√𝑀2−4𝐴

2

B) 𝑀+√𝑀2−4𝐴

2

C) 𝑀−√𝑀2−16𝐴

4

D) 𝑀+√𝑀2−16𝐴

2

E) 𝑀−√𝑀2−16𝐴

2

334) La altura 𝑓(𝑡) alcanzada, medida en metros, de un proyectil se modela mediante la

función 𝑓(𝑡) = 10𝑡 − 𝑡2, donde 𝑡 se mide en segundos desde que se lanza hasta que toca

el suelo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones se puede(n) deducir de esta información?

I) El proyectil cae a 10 metros de distancia de donde fue lanzado.

II) A los 10 segundos desde que el proyectil es lanzado, éste alcanza su altura máxima.

III) A los 10 segundos el proyectil cae al suelo.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

89

335) Si la ecuación (3𝑝 − 3)𝑥2 + 2(3𝑝 − 1)𝑥 + 3𝑝 − 1 = 0, en 𝑥, con 𝑝 un número real

distinto de 1, tiene dos soluciones reales distintas, entonces:

A) 𝑝 =1

3

B) 𝑝 = 3

C) 𝑝 >1

3

D) 𝑝 < 3

E) 𝑝 <1

3

336) La parábola que representa a la gráfica de una función cuadrática, cuyo domino es el

conjunto de los números reales, intersecta al eje de las ordenadas en el punto 𝐴(0,3) y tiene

su vértice en el punto 𝐵(−2,−1). ¿Cuál de las siguientes funciones, con dominio el conjunto

de los números reales, está asociada a esta parábola?

A) 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

B) ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 2

C) 𝑝(𝑥) =𝑥2

2− 2𝑥 + 2

D) 𝑚(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 3


337) Sean las funciones 𝑓 y 𝑔, ambas con dominio en conjunto de los números reales, definidas

por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 y 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 4)2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) Las gráficas de 𝑓 y 𝑔 se intersectan en el segundo cuadrante.

II) Si 𝑥 = 4, entonces 2𝑓(𝑥) − 3𝑔(𝑥) + 700 = 40.

III) Las pre-imágenes del 7 según la función 𝑓 son 3 y -3.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

90

338) ¿Cuál(es) de la siguientes relaciones se representa(n) como una función cuadrática?

I) El radio "𝑟" de un cono de altura 6 en función de su volumen. II) El lado de un rectángulo de área 25 𝑐𝑚2 en función del otro lado 𝑥. III) El lado de un cuadrado en función de du diagonal 𝑑.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) Ninguna de ellas

339) Si 0 ya a b , ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s)?

I) a b a b

II) a b b a

III) a b b a A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

340) ¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos contiene elemento(s) que satisfacen la inecuación 2 7 12x x ?

I) El conjunto de los números reales menores que 5 II) El conjunto de los números reales mayores que 5 III) El conjunto formado solo por el número 5

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

341) Ivan tiene una cierta cantidad de dinero en monedas de $500. Si le regalaran otras 4 de estas monedas, tendría menos de $30.000, pero si gastara $5.000 le quedarían más de 10 monedas de $500. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera, con respecto al dinero que tiene Ivan?

A) Tiene $10.000 B) Tiene $28.000 C) Tiene más de $28.000 D) Tiene más de $10.000 y menos de $28.000 E) Tiene más de $5.000 y menos de $30.000

91

342) La solución gráfica del sistema de inecuaciones 53

514

x

x es:

343) En un ∆ 𝐴𝐵𝐶, 𝐵𝐶 = 𝑛, 𝐴𝐶 = 𝑥 + 1 y 𝐴𝐵 = 2𝑥 + 1. Si 𝑥 ≥ 1, entonces 𝑛 pertenece al intervalo:

A) ]𝑥; 3𝑥 + 2[ B) ]−𝑥; 3𝑥 + 2[ C) ]𝑥; 3𝑥 − 2[ D) ]1; 3𝑥 + 2[ E) ]1 + 𝑥; 3𝑥 + 2[

344) Si a los números mayores que -4 y menores que -1 se les resta −𝑎 y luego se divide por

el número entero negativo 𝑝, entonces los números que se obtienen son siempre mayores

que:

A) 1−𝑎

𝑝

B) 𝑎+1

𝑝

C) 𝑎−4

𝑝

D) 4−𝑎

𝑝

E) 𝑎−1

𝑝

92

345) Sean 𝑎 y 𝑏 números reales tales que 0 < 𝑎 < 𝑏. El intervalo solución para 𝑥 en el sistema

de inecuaciones 𝑏𝑥 + 𝑎 < 𝑏𝑎𝑥 + 𝑏 > 𝑎

es:

A) ]−∞,𝑏−𝑎

𝑏[

B) ]𝑎−𝑏

𝑎,𝑏−𝑎

𝑏[

C) ]𝑎−𝑏

𝑎, +∞[

D) ]𝑏−𝑎

𝑏, +∞[

E) ]−∞,𝑎−𝑏

𝑎[

346) Si 0 < x < 1, entonces ¿cuál(es) de las siguientes desigualdades es (son) verdadera(s)?

I) 2 – 2x < 2 + 2x

II) 3 – 2x < 3 – x

III) 1 + 2x < (1 + x) 2

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

347) Si 0 x 1 , entonces se cumple que:

A) x x

B) 1

xx

C) 1

xx

D) 4 2x x

E) 3x x

348) ¿Cuáles son todos los valores de "𝑥" que satisfacen simultáneamente las inecuaciones 1

𝑥+2> 1 𝑦 2𝑥 + 1 ≤ 3 − 𝑥 ?

A) 𝑥 < −1 𝑦 𝑥 ≠ −2 B) −2 < 𝑥 < −1

C) 𝑥 ≤2

3 𝑦 𝑥 ≠ −2

D) −2 < 𝑥 ≤2

3

E) −1 < 𝑥 ≤2

3

93

349) Si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, con 𝑎, 𝑏 𝜖ℝ 𝑦 𝑎 ≠ 0, entonces su función inversa esta dado por

A) 𝑓−1(𝑥) =𝑥

𝑏− 𝑎

B) 𝑓−1(𝑥) =1

𝑎𝑥+𝑏

C) 𝑓−1(𝑥) =𝑥

𝑎− 𝑏

D) 𝑓−1(𝑥) =𝑥−𝑏

𝑎

E) 𝑓−1(𝑥) =1

𝑎𝑥+1

𝑏

350) ¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor a la función real 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥)5 + 1?

351) Si $ 50.000 se invierten al 10% de interés compuesto anual, ¿cuál es el capital total después de dos años?

A) $ 60.000 B) $ 60.500 C) $ 70.000 D) $ 90.000 E) $ 110.000

94

352) Si un capital C se invierte a una tasa anual de 𝑟 por ciento de interés compuesto 𝑛 veces al año, entonces la cantidad P en al cuenta al final de 𝑡 años está dada por:

𝑃 = 𝐶 (1 +𝑟

100𝑛)𝑛𝑡

Al invertir $50.000 al 6% anual de interés compuesto trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de:

A) 50.000 ∙ (1,06)4 B) 50.000 ∙ (1,06)3 C) 50.000 ∙ (1,18)4 D) 50.000 ∙ (1,015)3 E) 50.000 ∙ (1,015)4

353) Viviana deposita en una financiera $ 100.000 al 2% de interés compuesto mensual. ¿Cuál es el valor más cercano a lo que ganará al cabo de tres meses, si no hace retiros ni depósitos en ese período?

A) $ 106.000 B) $ 106.121 C) $ 6.000 D) $ 8.080 E) $ 6.121

354) Una persona dispone de un capital inicial 𝐶0 y desea efectuar un depósito a plazo. En un banco le ofrecen duplicar su capital al cabo de 3 años con una tasa de interés compuesta anual, pero no le indican el valor de ella. ¿Cuál sería el valor de dicha tasa de interés?

A) 100(√23

+ 1)%

B) 100(√23

− 1)%

C) 100(√𝐶03 )%

D) 100(√2𝐶03 − 1)%

E) 100(√𝐶0

2

3− 1)%

95

355) Agustina depositó $ 800.000 en un banco al 5% de interés compuesto anual. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular el tiempo, en años, en que su dinero se duplicará, sin hacer depósitos ni retiros en ese tiempo?

A) 𝑙𝑜𝑔 (1.600.000−800.000

1,5)

B) log 1.600.000−log800.000

log 1,5

C) 𝑙𝑜𝑔 (1.600.000

800.000∙1,05)

D) 𝑙𝑜𝑔 (1.600.000−800.000

1,05)

E) 𝑙𝑜𝑔1.600.000−𝑙𝑜𝑔800.000

𝑙𝑜𝑔1,05

356) Pedro gana $200. 000. 000 en un juego de azar y decide depositar la mitad de este dinero en un banco a régimen de interés compuesto. Si el interés acordado con el banco es del 1,02% por períodos de 90 días; entonces, luego de 4 períodos de capitalización, ¿a cuánto asciende el capital acumulado de Pedro, suponiendo que no hace retiros ni depósitos adicionales de dinero y que la tasa de interés se mantiene fija?

A) A $ (4 ∙1,02

100∙ 100.000.000)

B) A $ (1,02

100∙ 100.000.000)

C) A $ ((1,02

100)4∙ 100.000.000)

D) A $ (100.000.000 ∙ (1 + 4 ∙1,02

100))

E) A $ (100.000.000 ∙ (1 +1,02

100)4)

357) ¿Cuánto debe invertir una persona, en régimen de interés compuesto, para obtener $ 5. 000. 000 en un período de 3 meses, si la tasa de interés es del 1,5% mensual?

A) $5∙106

(1,015)3

B) $5∙106

(1,15)3

C) $5 ∙ 106 ∙ (1,015)3

D) $5 ∙ 106 ∙ (1,15)3


96

358) Un capital de $P se deposita en un banco que ofrece el 0,5% de interés compuesto mensual. Si no hay retiros ni depósitos adicionales de dinero, ¿Cuál es el capital acumulado al cabo de 3 meses?

A) $(𝑃 + 1,005)

B) $3,015 𝑃

C) $1,015 𝑃

D) $1, 005 𝑃

E) $(1, 005)3 𝑃

359) Un capital de $P se deposita en un banco que ofrece el 1,2% de interés compuesto mensual. Si no hay retiros ni depósitos adicionales de dinero, ¿Cuál es el capital acumulado de 5 meses?

A) $(𝑃 ∙ 1,25)

B) $(𝑃 ∙ 1,125)

C) $(𝑃 ∙ 1,0125)

D) $(𝑃 + 1,25)

E) $(𝑃 + 1,0125)

360) Un capital de $P se coloca en un banco de interés simple. Si el interés acordado con el banco es del 0,85% por períodos de 35 días; entonces, luego de 6 períodos de capitalización, ¿a cuánto ascienden las ganancias obtenidas por este capital, suponiendo que no hay depósitos adicionales de dinero y que la tasa de interés se mantiene fija?

A) A $ (6 ∙0,85

100∙ 𝑃)

B) A $ (0,85

100∙ 𝑃)

6

C) A $ (0,85

100)6∙ 𝑃

D) A $ [𝑃 ∙ (1 + 6 ∙0,85

100)]

E) A $ [𝑃 ∙ (1 +0,85

100)6]

97

361) Se depositan $350. 000 en un banco al 10% mensual simple. ¿En cuánto tiempo el monto acumulado es el triple de lo depositado inicialmente?

A) 2 meses B) 5 meses C) 10 meses D) 20 meses E) 24 meses

362) En una tienda comercial, se pagaron 10 cuotas de $28. 000 por un articulo. ¿Cuál fue la tasa de interés simple aplicada si el artículo tenía un precio contado de $200. 000?

A) 0, 04 % B) 0,4% C) 4% D) 25% E) 0,25%

363) Se depositan $100. 000 con 5% de interés compuesto mensual. ¿Cuánto dinero se habra ganado una vez que transcurran 2 meses?

A) $ 10. 250 B) $110. 250 C) $ 11.025 D) $111. 025 E) Otro valor

364) Si $20.000 se invierten al 2% de interés simple mensual. ¿Cuál es el capital acumulado al cabo de 2 años?

A) $20. 800 B) $21. 480 C) $29. 600 D) $48. 960 E) Ninguno de los valores anteriores

365) Constanza deposita $ 3. 650. 000 en una entidad bancaria a un interés compuesto trimestral del 3%. ¿Qué expresión representa la cantidad de dinero que tendrá Constanza, al cabo de 24 meses?

A) $3. 650. 000 ∙ (1, 3)8 B) $3. 650. 000 ∙ (1,03)24 C) $3. 650. 000 ∙ (1, 03)8 D) $3. 650. 000 ∙ (1, 03)4 E) $3. 650. 000 ∙ (1, 03)3

98

366) Emilia abre una cuenta de ahorro con $100. 000, a un interés del 7%. Se puede determinar el dinero que tendrá al cabo de 5 años si:

(1) El interés es simple anual.

(2) El interés es compuesto.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

367) ¿Cuál es la tasa de interés compuesto que permite acumular un capital de $ 1.331.000 al cabo de 3 meses, siendo el capital inicial de $ 1.000.000?

A) 5 % B) 7 % C) 10 % D) 12 % E) 15 %

368) ¿A qué interés simple anual debe depositarse un capital de $ 1.000 durante 4 años, para obtener una ganancia de $700?

A) 1,75 % B) 17 % C) 17,5 % D) 17,7 % E) 18 %

369) Si $40.000 se invierten al 10% de interés compuesto anual, ¿Cuál es el capital total despues de 3 años?

A) $44.000 B) $50.000 C) $52.000 D) $53.000 E) $53.240

99

370) Un capital de $500.000 se deposita en un banco que ofrece un 3% de interés mensual. Al cabo de 9 meses, en un régimen de interés simple, ¿Cuánto es el nuevo capital?

A) $535.000 B) $545.000 C) $590.000 D) $630.000 E) $635.000

371) Aldo realiza un depósito de $3.500.000 en un banco a un interés simple mensual de un 2,5%. ¿Qué ganancia obtendrá en un período de medio año?

A) $402.000 B) $515.000 C) $525.000 D) $625.000 E) $635.000

372) ¿Qué capital debe invertirse en un negocio que rinde el 15% de interés simple anual, para obtener $2.400.000 de utilidad en 4 años?

A) $ 400.000 B) $ 460.000 C) $4.000.000 D) $4.500.000 E) $6.000.000

373) Juan deposita en un Banco $10.000.000 a un interés simple trimestral del 4%. Al cabo de 9 meses, ¿Cuánto es el capital final?

A) $11.200.000 B) $11.810.000 C) $11.180.000 D) $11.108.000 E) $11.080.000

374) Hernán tiene 18 años y deposita un capital al 8% de interés simple anual. ¿Qué edad tendrá Hernán cuando el capital se triplique?

A) 25 años B) 43 años C) 48 años D) 54 años E) 68 años

100

375) Al invertir $900.000 a un interés compuesto del % 6 anual, al término de 5 años, se tendrá, en pesos, una cantidad de

A) 9 ∙ 105 ∙ (1,05)4 B) 9 ∙ 105 ∙ (1,05)5 C) 9 ∙ 105 ∙ (1,05)6 D) 9 ∙ 105 ∙ (1,06)6 E) 9 ∙ 105 ∙ (1,06)5

376) Sea 𝑓: ]−∞, 3] → 𝐴, definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3|. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 𝑓 es inyectiva II) Si 𝐴 es [0,∞[ entonces 𝑓 es epiyectiva. III) Si 𝑓 es biyectiva, entonces su inversa es 𝑓−1(𝑥) = −𝑥 + 3 con 𝑥 ∈ 𝐴.


377) De la función x x 2 f , definida en IR , se puede afirmar que:

I) Está definida para todos los números reales mayores o iguales que 2. II) 𝑓(𝑥) es inyectiva en el intervalo [2,∞ +[

III) El punto de coordenadas 5, 3 pertenece al gráfico de xf .

Es(son) verdadera(s)?

A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

101

378) Sea 𝑓: 𝐴 → 𝐵, definida por 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)2 + 3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es (son) verdadera(s)?

I) f es inyectiva si 𝐴 = ]−∞,2] II) f es sobreyectiva si 𝐵 = ]−∞, 3]

III) Si f es biyectiva, entoces su inversa puede ser 𝑓−1 = √𝑥 − 3 + 2

A) Solo I B) Solo II C) Solo II, III D) Solo I y III E) I, II y III

379) Sea 𝑓: ]−∞, 2] → 𝐵, definida por 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)2. ¿Cuáles de las siguientes


I) 𝑓 es inyectiva.

II) Si 𝐵 es [0, ∞[, entonces 𝑓 es epiyectiva.

III) Si 𝑓 es biyectiva, entonces su inversa es 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 2, con 𝑥 en 𝐵.

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III


I) La función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = −𝑥3 , cuyo domino es el conjunto de los números

reales, es biyectiva.

II) Sean 𝑓(𝑥) y 𝑓−1(𝑥) entonces (𝑓𝑜𝑓−1)(𝑥) = 𝑥

III) Si ℎ: 𝑆 → 𝑆 es una función sobreyectiva, entonces ℎ es inyectiva.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

102

381) Sea : IR 5 f → IR 1 , definida por 𝑓(𝑥) =𝑥−4

𝑥+5 . Entonces la función inversa de

𝑓 es:

A) 1 4

5

xf x

x

B) 1 5

4

xf x

x

C) 1 5 4

1

xf x

x

D) 1 4 5

1

xf x

x

E) 1 5 4

1

xf x

x

382) Dada la función 𝑓(𝑥) =2𝑥−5

3 definida para todos los reales, hallar el valor de 𝑓−1(−3)?

A) 2 B) -2

C) −11 3⁄

D) -1

E) 1 2⁄

383) Se tiene la siguiente función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) La pendiente de la recta que pasa por el vértice y un punto cualquiera de la parábola

tiene pendiente positiva. II) Si se traza una recta paralela al eje x corta a la parábola en dos puntos. III) El vértice pertenece al eje y.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) Ninguna

103

384) En la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑎𝑥 +1

9. ¿En qué intervalo debe estar 𝑎 para que

este corte al eje X en dos puntos?

A) ]−∞,−2

3[ ∪ ]

2

3, ∞ +[

B) ]−∞,−2

3] ∪ [

2

3, ∞ +[

C) ]2

3, ∞ +[

D) ]−2

3,2

3[

E) 𝑁𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠

385) Dada la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) Su vértice tiene coordenadas (1,2)

II) Intercepta al eje y en el punto (3,0)

III) Tiene dos soluciones complejas



I) La función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2, cuyo dominio es el conjunto de los número reales, es inyectiva.

II) Si las funciones 𝑓 y ℎ son inyectivas, ambas con dominio el conjunto de los números reales, entonces (𝑓 𝑜 ℎ )es inyectiva.

III) La función 𝑓: 𝑅 → 𝑅 definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥3 es biyectiva.

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I , II y III

104

EJE: GEOMETRÍA

387) En la figura, DEFG es un rombo. ¿Cuánto mide el ángulo x?

A) 22,5° B) 67,5° C) 90° D) 112,5° E) 122,5°

388) La figura ABCD es un cuadrado y E es punto medio del lado AB , siendo AC

diagonal y DE un segmento. ¿Cuál es el valor del perímetro de la figura achurada?

A) 2 2 5

B) 3 2 2 5

C) 6 2 2 5

D) 2 3 2 2 5

E) 3 2 2 5

389) El área del triángulo con vértices en los puntos 3, 4 , 3, 1 y 1, 3 A B C es:

A) 16

B) 13 61

2

C) 13 53

2

D) 12

E) 10

105

390) Un jardín circular de 12 m de diámetro está sembrado de pasto; pero es atravesado por un camino pavimentado recto de 3 m de ancho, de modo que uno de sus bordes pasa por el centro. En consecuencia, el área sembrada, en metros cuadrados, es:

A) 35 9 3 [m2]

B) 30 9 3 [m2]

C) 30 6 3 [m2]

D) 30 9 3 [m2]

E) 35 9 3 [m2]

391) Se tiene un triángulo 𝐴𝐵𝐶 donde 𝐴(−2,3), 𝐵(4,3) y 𝐶(6, 𝑎). ¿Cuál debe ser el valor de 𝑎 para que el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶 sea 36?

A) 6 B) 12 C) 15 D) 18 E) 36

392) Si las coordenadas de los vértices de un triángulo son 𝐴(1,1), 𝐵(5,1) y 𝐶(3,3), ¿Cuál es

el área del triángulo, en unidades cuadrada?

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

393) Si en el plano cartesiano de la figura adjunta se representan y , entonces (2 − ) es:

A) (5,9) B) (3,9) C) (-4,0) D) (9,5) E) Ninguno de los valores anteriores.

106

394) Si 𝑝 < 0, entonces la magnitud del vector (−𝑝)(𝑝2, 𝑝2) es:

A) √2𝑝2 B) −𝑝5 C) −𝑝 D) 2𝑝3

E) −√2𝑝3

395) Dados = (𝑎, 2) y = (3,4). ¿Cuál de los siguientes números puede ser el valor de 𝑎 para que la longitud de sea el doble de la longitud de ?

A) √96

B) √104

C) √46

D) √21 E) 1

396) Si = (3

2, 6) y = (−

3

2, −6), entonces 4 − 2 es igual a:

A) (3,0) B) (9,0) C) (9,12) D) (3,12) E) (9,36)

397) En el plano cartesiano de la figura adjunta, se ubican los vectores y . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 3 = (12,15)

II) + = (7,1)

III) − = (−3,−4)


107

398) Se pueden determinar las coordenadas del extremo de un vector dado , que tiene la misma dirección y origen que de la figura adjunta, si se sabe que:

(1) y tienen el mismo sentido. (2) El módulo de es igual al doble del módulo de .

A) (1) Por si sola B) (2) Por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) y (2) E) Se requiere información adicional

399) Los vértices de un hexágono regular definen los vectores de la figura. ¿Cuál de las

siguientes relaciones es INCORRECTA?

A) + + 𝑐 = 0

B) 𝑒 + 𝑑 = −

C) 𝑒 − 𝑐 =

D) 𝑑 + = −2𝑐

E) 𝑒 − 𝑑 = 3𝑐

400) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. Dos vectores son distintos si tienen sentidos opuestos.

II. Dos vectores son iguales si tienen igual magnitud.

III. Si dos vectores son iguales entonces tienen el mismo sentido.

A) Sólo I.

B) Sólo II.

C) Sólo I y II.

D) Sólo I y III.

E) Sólo II y III.

401) Sobre una partícula actúan dos fuerzas, como indica la figura. El módulo de la fuerza

resultante es:

A) 3 𝑁

B) 15 𝑁

C) 21 𝑁

D) 225 𝑁


𝑒

𝑑

𝑐

𝑎

𝑏

9 𝑁

12 𝑁

108

402) En el romboide 𝐴𝐵𝐶𝐷 de la figura, el vector 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 es igual al vector:

A) 𝐴𝐶

B) 𝐷𝐶

C) 𝐵𝐶

D) 𝐴𝐵

E) 𝐴𝐷

403) Si = (2, 1); = (0, 1) entonces ∙ =

A) 1

B) 2

C) 3

D) (2, 1)

E) (0, 1)

404) La ponderación entre 𝜆 = 5 y = (1, 5) es:

A) 5

B) 25

C) ( 1, 5)

D) ( 5, 25)


405) En la figura, el vector resultante de + − tendrá la dirección y sentido indicado en:

A) ←

B)

C) ↑

D)

E)

406) El vector 3 se muestra en la figura, entonces el vector es el que se muestra en:

A)

B)

C) →

D) ←

E)

𝐴 𝐵

𝐶 𝐷

𝑢 𝑣

𝑤

3𝑥

109

407) 𝑎 tiene la misma dirección que 𝑏 , pero su módulo es el doble y su sentido es opuesto,

entonces el vector 𝑎 − 𝑏 es igual a:

A) −𝑎

B) −𝑏

C) 𝑏 − 𝑎

D) −3𝑏

E) 3𝑏

408) Sean vectores 𝑎 = (2, 3), 𝑏 = (−7, 2) y 𝑐 = (2,−4) entonces 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 :

A) (−3, 1)

B) (11, 9)

C) (−11, 9)

D) (7, −3)

E) (−1, 3)

409) El módulo o magnitud del vector 𝑤 = (−2,−3):

A) √−13

B) √13

C) √6

D) −5

E) 5

410) Sean los vectores 𝑢 = (−14, 8), 𝑣 = (4, 0) y 𝑤 = (−2, 6). ¿Cuál es el valor de la

expresión ((𝑢 + 𝑣 ) + 𝑤 )?

A) (−12, 2)

B) (−8, 14)

C) (−12, 14)

D) (−8,−2)

E) ( 8, 2)

110

411) En la figura, 𝑂𝐴𝐵𝐶 es un cuadrado de lado 4 𝑚, 𝑂𝐵 y 𝐴𝐶 son diagonales. ¿Cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. 𝐶𝐵 y 𝑂𝐴 son equivalentes.

II. 𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝑂 es un vector nulo

III. 𝑂𝐵 se puede representar por 4𝑖 + 4𝑗

A) Sólo I.

B) Sólo II.

C) Sólo I y II.

D) Sólo II y III.

E) I, II y III.

412) Sean 𝑢 = (4, 2), 𝑤 = (3,−3) ¿Cuál es el valor de la expresión

(𝑤 − 𝑢 ) + (𝑤 + 𝑢 )?

A) (1, 0)

B) (2, 3)

C) (6, −6)

D) (−6, 6)


413) Un vector anclado en el origen tiene módulo igual a 9 unidades, y la ordenada de su

extremo es 3. ¿Cuál es la coordenada de la primera componente, sabiendo que está ubicado

en el segundo cuadrante?

A) 6

B) 6√2

C) −6

D) −6√2

E) −12

414) Los vectores de la figura tienen la misma magnitud.

Si 𝑟 = 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 , entonces el vector que mejor representa la dirección de 𝑟 es:

A)

B)

C)

D)

E) ↑

𝐶

𝑂 𝐴

𝐵

𝑏 𝑎 𝑐

111

415) Un vector está caracterizado por:

I. Su longitud. II. Su dirección. III. Su sentido. IV. Su origen.

A) Sólo I y II.

B) Sólo I y III.

C) Sólo I y IV.

D) Sólo I, II y III.

E) I, II, III y IV.

416) Sea el vector 𝐴𝐵 . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. ‖𝐴𝐵 ‖ = ‖𝐵𝐴 ‖ II. 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 III. 𝐴𝐵 = −𝐵𝐴

A) Sólo I.

B) Sólo II.

C) Sólo III.

D) Sólo I y II.

E) Sólo I y III.

417) Sean los puntos 𝑃 = (2,−1) y 𝑄 = (−2, 4). ¿Cuál es el valor de ‖𝑃𝑄 ‖?

A) 13

B) 49

C) √13

D) √97


418) Dados los puntos 𝑃 = (1,−1

2) y 𝑄 = (−2, 4), ¿Cuál es el valor de ‖𝑃𝑄 ‖?

A) √85

4

B) √41

C) √117

4

D) −√85

4


112

419) En una planicie, un niño de 1,4 m de altura sostiene un volantín que se encuentra a una

altura de 25 m, con un hilo en línea recta hacia él, en ángulo de elevación 45º. El largo del

hilo extendido es:

A) 23,6√2𝑚

B) 24√2𝑚

C) 25√2𝑚

D) 50√2𝑚

E) 47,2√2𝑚

420) Dados los vectores 𝑎 = (3,−4) y 𝑏 = (−5, 3), entonces la suma de ellos es:

A) ( 6, 9) B) (−2,−1)

C) (−2, 6)

D) (−9,−1)

E) ( 8, 7)

421) Si 𝑢 = ( 1, √5) y 𝑣 = ( 𝑥, 2), ¿Qué valor debe tener 𝑥 para los vectores tengan igual magnitud?

A) 2

B) −√2

C) ±√2

D) √2

E) ±2

422) ¿Qué ángulos forman los vectores unitarios y ?

A) 0°

B) 45°

C) 60°

D) 90°

E) 180°

423) La norma del vector 𝑒 = ( −15,−8) es:

A) 23

B) −23

C) −17

D) 15

E) 17

113

424) Sean 𝑢 = (√5, √7) y 𝑣 = (√45, √63). ¿Cuál es el valor de 𝑢 ∙ 𝑣 ?

A) −6

B) 36

C) ( 21, 15)

D) ( 15, 21)


425) En el vector 𝑎 = ( 3

2 , 𝑦), y para que su norma sea 2,5 el valor de 𝑦 debe ser:

A) 5

B) 2

C) −2

D) 2 ó −2

E) 4

426) Sean 𝑘 = √3 y los vectores 𝑢 = (√3 + 1, 2) y 𝑣 = (2, √3 + 1). ¿Cuál es el valor

de 𝑘(𝑢 + 𝑣 )?

A) (3 − √3, 3 − √3)

B) (3 − √3, √3 − 3)

C) (3 + √3, 3 + √3)

D) (3 + 2 √3, 3 + 3√3)


427) En la figura, N es el punto medio del lado TR, entonces 𝑆𝑁 equivale a:

A) 𝑠 +𝑟

2

B) 𝑠

2+𝑟

2

C) 𝑠 −𝑟

2

D) 𝑠

2−𝑟

2

E) 𝑠 − 𝑟

114

428) En una semicircunferencia de centro O, se dibujan los vectores 𝑂𝑅 = 𝑠 y 𝑂𝑇 = 𝑡. Según esto la alternativa FALSA es:

A) 𝑆𝑇 = 𝑠 + 𝑡

B) 𝑅𝑇 = 𝑡 − 𝑠

C) 𝑠 = 𝑡

D) 𝑂𝑅 + 𝑂𝑆 =

E) 𝑆𝑇 + 𝑅𝑇 = 2𝑡

429) Si = (1,1), = (1,2) y 𝑐 = (3,6), entonces ¿Cuáles de los siguientes vectores son linealmente dependientes?

I) , 𝑐

II) ,

III) , 𝑐


430) Si = (3,1) y = (2,5), entonces + es:

A) (5,6) B) (1,-4) C) (-1,4) D) (5,7) E) (3,6)

431) Si = (−2,3) y = (3,−1), entonces el vector unitario de 2 − 3 es:

A) −11𝑖 + 9𝑗 B) −13𝑖 + 3𝑗 C) −13𝑖 + 9𝑗 D) −5𝑖 + 3𝑗 E) Otro valor

432) El valor de 𝑘 para que = (𝑘,−2) y = (2,3) posean igual módulo es:

A) 0 B) 3 C) -3 D) 3 o -3 E) Falta información

115

433) De los vectores = (2,−1); = (−1,−2); = (−4,2) y = (4,2) son perpendiculares.

A) , B) , C) , D) , E) ,

434) Dados = (−2, 𝑝) y = (𝑞, 𝑝 + 1), los valores de p y q para que + = (−3,7)son:

A) 𝑝= 4; 𝑞= -5 B) 𝑝=3; 𝑞=1 C) 𝑝=3; 𝑞= -1 D) 𝑝=4; 𝑞= 1 E) Ninguna de las anteriores

435) ¿Cuál es el módulo del vector 𝑃𝑄 , Si P(7,2) y Q(9,-4)?

A) 4√5

B) √60

C) 16√5

D) 2√10 E) Ninguna de las anteriores

436) La magnitud del vector = (6, 𝑥) es de 10 unidades. Si el vector está ubicado en el primer cuadrante del plano cartesiano. ¿Cuál es el valor de x?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

437) En el siguiente plano cartesiano. ¿Cuáles son las coordenadas del vector resultante de la

adición de los vectores 𝐴 y ?

A) (-3,5) B) (4,-9) C) (-6,-1) D) (1,-4) E) (-7,2)

116

438) La suma de los vectores (4,7) y (-1,1) no tiene la misma dirección del vector: A)(3,6) B)(3,8) C)(1,8/3) D)(9,24) E) (-3,-8)

439) En la figura, el triple de la suma entre 𝑟 y 𝑠 es:

A) (-4,3) B) (-12,6) C) (-8,-4) D) (4,16) E) (-6,-12)

440) Sean los vectores = (3,5), = (𝑣, 𝑤) y 𝑐 = (8,6). ¿Qué valores deben tener 𝑣 y 𝑤,

respectivamente, para que (( + ) sea el doble de 𝑐 ?

A) 5 y 1 B) 1 y 5 C) 13 y 7 D) 7 y 13 E) 13 y 1

441) El siguiente vector tiene componentes:

A) ⟨4,11,3⟩ B) ⟨3,12,3⟩ C) ⟨3,4,12⟩ D) ⟨4,3,11⟩ E) Ninguna de las anteriores

117

442) Las componentes del vector 𝐴𝐵 , con 𝐴= (3,-2,7) y 𝐵=(-6,7,5) son:

A) ⟨−3,−5, 3⟩ B) ⟨−9,−9, 2⟩ C) ⟨−9,−9,−2⟩ D) ⟨3, −5, 2⟩ E) Ninguna de las anteriores

443) ¿Cuál es la longitud del vector = (4, 𝑦), si + (−3,−8) = (1,−4)?

A) 4

B) 4√2 C) 8

D) 8√2 E) 16

444) ¿Cuáles son las coordenadas del vector 𝐴𝐶 que traslada un punto A(-4,5) hasta B(-9,6) y desde B lo traslada 3 unidades paralelamente al eje X en sentido positivo y 7 unidades paralelamente al eje Y en sentido negativo, transformándolo así en el punto C?

A) (3,-7) B) (-13,11) C) (-1,-2) D) (-2,-6) E) (2,6)

445) Se definen los vectores = (2,4), y = (−1,3) y 𝑐 = (𝑥, 𝑦), entonces ¿Cuál de las siguientes opciones 𝑥 + 𝑦 = 6?

A) 3 + 2 = 𝑐

B) 2 − 3 = 𝑐

C) 3 + 2 = 2𝑐

D) 2 + 3 = 𝑐

E) 3 − 2 = 𝑐

446) Sean los vectores = (2,−3) y = (−1,1). Si 𝑚 ∙ + 𝑝 ∙ = (3,2), con 𝑚 y 𝑝 números reales, ¿Cuál es el valor de 𝑝?

A) -13 B) -9 C) -7 D) -5 E) 17

118

447) En la figura, PQRS es un rombo ubicado en el espacio. Las coordenadas del vértice R son:

A) (-1,1,1) B) (1,1,2) C) (-1,2,2) D) (1,1,1) E) (2,2,-1)

448) Sean = (−2,1) y 𝑝 = (𝑎,−1) vectores en el plano cartesiano, con 𝑎 un número real. Si 2 ∙ 𝑝 − 𝑏 ∙ = (4,2), con 𝑏 un número real, ¿Cuál es el valor de 𝑎?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12

449) Sean los vectores = (3,5), = (𝑣, 𝑤) y 𝑐 = (8,6). ¿Qué valores deben tener 𝑣 y 𝑤,

respectivamente, para que ( + ) sea el triple de 𝑐?

A) 5 y 1 B) 1 y 5 C) 13 y 7 D) 7 y 13 E) 21 y 13

450) Dados los vectores 𝑝 = (0,−1), 𝑞 = (1,0), 𝑟 = (2,−4), 𝑠 = (−3,2) y 𝑡 = (4,−8). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?

I) 𝑡 − 2𝑟 , se ubica en el primer cuadrante.

II) 𝑠 −1

2𝑟 , se ubica en segundo cuadrante.

III) 𝑞 − 𝑝, se ubica en el eje de las ordenadas.

A) Solo I B) Solo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

119

451) Dados = (𝑚, 3) y = (4,3), ¿Cuál de los siguientes números puede ser el valor de 𝑚 para que la longitud de sea el doble de la longitud de ?

A) √41

B) √99

C) √91

D) √109

E) √129

452) Si 𝑎 < 0, entonces la magnitud del vector (−𝑎)(𝑎4, 𝑎4) es:

A) 𝑎√2

B) 𝑎2√2

C) −𝑎5√2

D) −𝑎2√2 E) −𝑎5

453) Si en el plano cartesiano de la figura adjunta se representan y , entonces (3 −

2)

es:

A) (4,6)

B) (−4,6) C) (−2,12) D) (−2,−6)

E) (−4,−6)

454) Considere los vectores 𝑝(5,−2), (2,8), 𝑟(10,4) y 𝑠(−4,2). ¿Cuál(es) de las siguientes


I) El vector (2𝑝 − 𝑟) pertenece al tercer cuadrante.

II) El vector ( − 𝑠) pertenece al primer cuadrante.

III) 𝑝 + = 𝑟 + 𝑠

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

120

455) En la figura, los triángulos PTR y SVQ son congruentes. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) TR es paralelo a VQ II) PT es paralelo a SV III) < RQV ≅< RPT


Demre

456) En el cuadrado de la figura 4, si ∆𝐷𝑃𝐴 ≅ ∆𝐶𝑃𝐵, entonces se puede concluir que el ∆𝐴𝑃𝐵 es siempre

A) Rectángulo B) Isósceles rectángulo C) Isósceles D) Obtusángulo E) Equilátero

Demre

457) Dos triángulos son congruentes cuando ellos tienen:

A) Los tres pares de ángulos correspondientes iguales B) Los tres pares de lados correspondientes iguales C) El mismo perímetro D) La misma forma E) La misma área

Demre

458) En la figura, PRQ TSU, donde los vértices correspondientes son P y T; R y S; Q y U. Si el ángulo QPR mide 40° y el ángulo TSU mide 80°, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El ángulo TUS mide 60°.

II) El STU es escaleno. III) PQ < TU


Demre

121

459) En la figura 1, 𝑀𝑁𝑃𝑄 es un trapecio isósceles, 𝑆 pertenece a 𝑄𝑁 y 𝑅 pertenece a 𝑀𝑃. Si 𝑂 es la intersección de las diagonales, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) ∆𝑀𝑅𝑄 ≅ ∆𝑁𝑆𝑃 II) ∆𝑂𝑆𝑃 ≅ ∆𝑁𝑆𝑃 III) ∆𝑀𝑂𝑄 ≅ ∆𝑁𝑂𝑃

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

Demre

460) En la figura 2, 𝐶𝐷 es una altura del triángulo 𝐴𝐵𝐶. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO permite concluir que el triángulo 𝐴𝐷𝐶 sea congruente con el triángulo 𝐵𝐷𝐶?

A) 𝛼 = 𝛽 B) 𝐷 es punto medio de 𝐴𝐵 C) 𝛼 + 𝛽 = 90° D) 𝐴𝐶 = 𝐶𝐵 E) 𝐶𝐷 es un eje de simetría del triángulo 𝐴𝐵𝐶

Demre

461) En un triángulo acutángulo 𝐴𝐵𝐶 se traza la altura 𝐶𝐷 , luego este segmento se prolonga de manera tal que 𝐶𝐸 = 2𝐶𝐷 y 𝐷 pertenece a 𝐶𝐸 . ¿Cuál(es) de las siguientes es (son) siempre verdadera(s)?

I) ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴𝐵𝐸 II) ∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐴𝐷𝐸 III) ∆𝐴𝐷𝐸 ≅ ∆𝐵𝐷𝐶


Demre

122

462) Los puntos 𝑀,𝑁, 𝐺 𝑦 𝐻 están en los lados de los triángulos 𝐴𝐵𝐶 y 𝐸𝐷𝐹 a la vez, como se muestra en la figura adjunta. Si 𝐷 pertenece a 𝐵𝐶 , 𝐴𝑀 = 𝑀𝑁 = 𝑁𝐵 y 𝐸𝐹 //𝐵𝐶 , entonces es siempre verdadero que:

A) ∆𝐴𝑀𝐻 ≅ ∆𝑀𝑁𝐹 B) ∆𝐵𝑁𝐷 ≅ ∆𝑀𝑁𝐹 C) ∆𝐺𝐷𝐶 ≅ ∆𝑀𝑁𝐹 D) ∆𝐸𝐺𝐻 ≅ ∆𝐺𝐶𝐷 E) ∆𝐴𝑀𝐻 ≅ ∆𝐺𝐷𝐶

Demre

463) En la figura adjunta el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es isósceles, 𝐷 𝑦 𝐸 son puntos en la base 𝐵𝐶 . Se puede determinar que ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐴𝐶𝐸, si se sabe que:

(1) El triángulo 𝐴𝐷𝐸 es isósceles. (2) < 𝐵𝐴𝐷 =< 𝐸𝐴𝐶

A) (1) Por sí sola B) (2) Por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.

Demre

464) En el ABC de la figura, se tiene que RBC SCB . ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) RBC BSC

II) SBC RCB

III) BR CS

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III

123

465) En el triángulo escaleno ABC de la figura adjunta, se dibuja la mediana 𝐷𝐸 . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) 𝐶𝐹 ≅ 𝐷𝐸 B) 𝐴𝐸 ≅ 𝐴𝐷 C) 𝐷𝐶𝐹 ≅ 𝐷𝐸𝐹 D) 𝐴𝐷𝐸 ≅ 𝐷𝐶𝐹 E) ∆𝐴𝐷𝐸 ≅ ∆𝐵𝐹𝐸

466) En un triángulo acutángulo isósceles ABC de base 𝐴𝐵 se traza la altura 𝐶𝐷 , luego este

segmento se prolonga de manera tal que 𝐶𝐸 = 2𝐶𝐷 y 𝐷 pertenece a 𝐶𝐸 . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdaderas(s)?

I) ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴𝐵𝐸 II) ∆𝐵𝐷𝐶 ≅ ∆𝐴𝐷𝐶 III) ∆𝐴𝐷𝐸 ≅ ∆𝐵𝐷𝐶


467) ¿Cuál es el punto simétrico de (-3,4) con respecto a la recta 𝑦 = −1?

A) (-4,3) B) (-4,-1) C) (-3,-6) D) (-2,3) E) (-4,-3)

124

468) Se rota el triángulo de la figura izquierda en torno al origen del sistema de ejes coordenados, en 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj, y luego se traslada dos unidades en forma vertical hacia abajo. La nueva figura que se obtiene es:

469) Si el punto P(-1 , 4) rota 90º con centro en el punto ( 0 , 2 ) y sentido negativo, queda

ubicado en las coordenadas:

A) (1,4) B) (4,1) C) (2,3) D) (-2,1) E) (-1,-4)

470) Sea 𝑅(𝑥, 𝑦) la rotación con centro en (1 , 2) con un ángulo de rotación de 90° en sentido

negativo. Sea 𝑇(𝑥, 𝑦) la traslación según el vector (−2 , −1). Al efectuar primero 𝑅, y luego

𝑇 sobre el punto (-2 , 5) se obtiene como resultado:

A) (2,4) B) (3,-3) C) (-7,1) D) (3,7) E) (-1,-3)

125

471) Al cuadrado PQRS de la figura, con dos lados paralelos al eje x , cuyo centro está en el origen O del sistema de ejes coordenados, se le aplica una o varias rotaciones en 90° alrededor del origen y/o reflexiones con respecto al eje x . ¿En cuál de las siguientes opciones la figura NO puede ser imagen de PQRS después de aplicar una o varias de estas transformaciones isométricas?

472) Si al punto (𝑝, −𝑞), con 𝑝 y 𝑞 números positivos, se le aplica una simetría con respecto al eje Y y luego una rotación de 270° con centro en el origen, entonces se obtiene siempre el punto.

A) (𝑞, 𝑝) B) (−𝑞, 𝑝) C) (−𝑝,−𝑞) D) (𝑞, −𝑝) E) (𝑝, 𝑞)

473) Sea 𝐿: 𝑦 = 𝑥 una recta en el plano. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Una simetría de 𝐿 con respecto al eje 𝑋 da el mismo resultado que una simetría de 𝐿 con

respecto al eje Y. II) Si a 𝐿 se le aplica una simetría con respecto al punto (1,0), resulta una recta

perpendicular a 𝐿. III) Si al punto (1,0) se le aplica una simetría con respecto a 𝐿, se obtiene el punto

(-1,0).


126

474) Al punto (2, −5) se le aplica una traslación obteniéndose el punto (−4,6). Si al punto

(3

2,1

5) se le aplica la misma traslación, entonces se obtiene el punto:

A) (−9

2;56

5)

B) (9

2;6

5)

C) (−1

2;6

5)

D) (−9

2;6

5)

E) (−1

2;56

5)

475) De acuerdo a la figura 4, ¿Con cuál de las siguientes transformaciones isométricas en el plano se puede obtener el triángulo B a partir del triángulo A?

I) Con una simetría y luego una traslación II) Con una rotación con centro (3,0) III) Con una simetría, una traslación y dos simetrías


476) Si al triángulo de vértices 𝑀(1,−2), 𝑁(−2,9) y 𝑃(2,−5) se le aplica una rotación con

centro en el origen del sistema de ejes coordenados, se obtiene un triángulo de tal forma

que el vértice homólogo a 𝑀 es 𝑀´(−2,−1). ¿Cuáles de los siguientes puntos corresponden

a los otros dos vértices del triángulo homólogo?

A) (−2,9) 𝑦 (5,2) B) (9,2) 𝑦 (5, −2) C) (9,2) 𝑦 (−5,−2)

D) (−9,−2) 𝑦 (5,2) E) (−9,−2) 𝑦 (−5,2)

477) Considere el triángulo ABC, donde dos de sus vértices son 𝐴(−2,3) y 𝐵(1,3). Si a este

triángulo se le aplica una traslación de modo que la imagen del punto A pertenece al eje de

las ordenadas y está a la misma distancia del origen que se encuentra A. ¿Cuál de las

siguientes coordenadas podrían corresponder a la imagen del punto B?

A) (−3,√13)

B) (−3,−√13)

C) (1, √13)

D) (3,−√13)

E) (3, √13 + 3)

127

478) El triángulo rectángulo de la figura adjunta, se rota sucesivamente con centro en el origen

del sistema de ejes coordenados, en 30° y en sentido antihorario. ¿En cuál de las siguientes

opciones se muestra mejor la opción en que queda el triángulo después de 90 rotaciones?

479) En la figura se tiene un triángulo ABC rectángulo en C. Además se tiene que AC = BC = 1. La medida del radio de la semicircunferencia de centro O es:

A) 1

√2

B) 3 − 2√2 C) 0,5

D) 2√2 − 2

E) √2 − 1

480) La figura representa una circunferencia de centro en O. Si 4 , 6 AC cm CD cm

y DC AB , entonces CO es igual a:

A) 2 cm B) 2,5 cm C) 4 cm D) 6,5 cm E) 9 cm

128

481) En la figura, A, B, C son puntos en el círculo de centro O y radio 4 cm.

Si 𝐴𝐵 ⊥ 𝑂𝐶 𝑦 𝑃𝐶 = 1 , la medida de 𝐴𝐵 =

A) √7

B) 2√3

C) √3

D) 2√7 E) 2

482) En la figura, O es un punto interior del triángulo ABC, AO OC OB . Si OBA 40 , entonces el ACB mide:

A) 20° B) 40° C) 50° D) 70° E) 90°

483) En la circunferencia de centro O de la figura, 𝑃𝐷 y 𝑃𝐴 son secantes. Si AP = 16 cm, CP = 8 cm y BP = 6 cm, entonces la medida de 𝐷𝐶 es:

A) 4 cm B) 6 cm C) 8 cm D) 10 cm E) 12 cm

484) En la figura adjunta, los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 pertenecen a la circunferencia de centro O. Si 𝛼: 𝛽: 𝛾 = 1: 2: 3 y < 𝐵𝑂𝐴 = 120°, entonces el arco 𝐶𝐵 mide:

A) 50° B) 90° C) 100° D) 120° E) 130°

129

485) En la circunferencia de la figura adjunta los puntos A, B, D y F pertenecen a ella, 𝐴𝐶 y 𝐵𝐹 se intersectan en E, el punto D está en 𝐴𝐶 y 𝐶𝐵 es tangente a la circunferencia en B. Determine cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA.

A) Si 𝐹𝐸 = 4 𝑐𝑚, 𝐸𝐵 = 6 𝑐𝑚 y 𝐴𝐸 = 2 𝑐𝑚 entonces 𝐸𝐷 = 12 𝑐𝑚. B) Si 𝐵𝐶 = 6, 𝐴𝐷 = 5 𝑐𝑚, entocnes 𝐶𝐷 = 4 𝑐𝑚. C) Si el arco AB mide 50° y el arco 𝐵𝐷 mide 30°, entonces el ángulo 𝐵𝐶𝐷 mide 10°. D) Si el arco 𝐹𝐴 mide 70° y el arco 𝐵𝐷 mide 30° , entonces e ángulo 𝐵𝐸𝐴 mide 50°. E) < 𝐴𝐹𝐵 ≅< 𝐴𝐷𝐵

486) En la circunferencia de centro O y radio 10 cm de la figura 5, 𝐶𝐷 = 5 𝑐𝑚. ¿Cuánto mide el segmento 𝐴𝐵?

A) √3 𝑐𝑚

B) 5√3 𝑐𝑚

C) 10√3 𝑐𝑚

D) 15√3 𝑐𝑚 E) 5 𝑐𝑚

487) En la figura 7, 𝐴𝐵 es diámetro de la circunferencia de centro O, 𝐴𝐷 es una cuerda, el ángulo 𝐷𝐴𝐵 = 40° y la recta 𝐹𝐷 tangente a la circunferencia en el punto 𝐷 intersecta a la prolongación de 𝐴𝐵 en 𝐹. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Los triángulos 𝐴𝑂𝐷 𝑦 𝐹𝐵𝐷 son semejantes entre sí. II) El triángulo 𝐴𝑂𝐷es isósceles.

III) El triángulo 𝐹𝑂𝐷 es rectángulo y semejante al triángulo 𝐴𝐷𝐵.


130

488) En la circunferencia de la figura adjunta, las cuerdas 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 se intersectan en 𝑃,

𝐴𝑃 =1

3 𝑐𝑚 y 𝑃𝐵 =

3

4 𝑐𝑚. Si 𝑃𝐶: 𝑃𝐷 = 4: 1. Entonces la medida de la cuerda 𝐶𝐷 es:

A) 4

5 𝑐𝑚

B) 1

4 𝑐𝑚

C) 1

16 𝑐𝑚

D) 1 𝑐𝑚

E) 5

4 𝑐𝑚

489) En la circunferencia de centro O, 𝑃𝑆 y 𝑃𝑅 la intersectan en los puntos Q, S y R, el punto

O está en 𝑃𝑆 y 𝑇 está en la circunferencia, tal como se muestra en la figura adjunta. Si la

medida de 𝑃𝑄 es igual al radio de la circunferencia y 𝑆𝑃𝑅 = 20°, entonces la medida del

𝑄𝑇𝑆 es:

A) 70°

B) 90°

C) 80°

D) 75°

E) 85°

490) En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, los puntos A, B, C y D pertenecen a

ella, 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷 y los puntos M y N pertenecen a los segmentos 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷, respectivamente.

¿Cuál de las siguientes relaciones puede ser FALSA?

A) 𝑂𝐶 ≅ 𝑂𝐴

B) 𝐵𝑀 ≅ 𝑀𝐴

C) 𝐴 ≅ 𝐷

D) 𝑂𝑁 ≅ 𝑂𝑀

E) COD≅ 𝐴𝑂𝐵

131

491) En la circunferencia de la figura adjunta los puntos A, B, D y F pertenecen a ella, 𝐴𝐶 y 𝐵𝐹

se intersectan en E, el punto D está en 𝐴𝐶 y 𝐶𝐵 es tangente a la circunferencia en B. Si

𝐸𝐹 = 8 𝑐𝑚, 𝐸𝐷 = 4 𝑐𝑚, 𝐴𝐸 = 1 𝑐𝑚 y 𝐶𝐵 = 6. Entonces (𝐷𝐶 + 𝐸𝐵) es igual a:

A) 9

2 𝑐𝑚

B) 9

4 𝑐𝑚

C) 1

2 𝑐𝑚

D) 80

7 𝑐𝑚

E) 4 𝑐𝑚

492) En la figura adjunta 𝑃𝑅 y 𝑆𝑈 son diámetros de la circunferencia que se intersectan en O,

el punto Q pertenece a ella y los segmentos 𝑄𝑆 y 𝑃𝑅 se intersectan en 𝑇. Si 𝑄𝑇𝑅 = 126°

y 𝑄𝑂𝑈 = 78°, entonces la medida de 𝛼 es:

A) 87°

B) 39,5°

C) 43,5°

D) 54°

E) 43°

493) En la figura, O es el centro de la circunferencia. Se puede conocer el valor del x , si se conoce la medida de:

(1) OCB (2) AOC

A) (1) por si sola B) (2) por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

132

494) En la figura adjunta, 𝐴𝐷 = 30; 𝐶𝐷 = 16 𝑦 𝐴𝐵 = 15. ¿Cuánto mide 𝐵𝐸 ?

A) 8 B) 17 C) 18 D) 30 E) 31

495) En el ABC de la figura, una expresión que representa a x en términos de a, b

y c es:

A) 𝑎𝑏

𝑐

B) 𝑐𝑎

𝑏

C) 𝑏(𝑏+𝑐)

𝑎

D) 𝑎𝑏

𝑏+𝑐


496) En el triángulo 𝐴𝐵𝐸 de la figura adjunta, 𝐴𝐵 //𝐶𝐷 . Si 𝐴𝐵 = 3𝑏, 𝐴𝐶 = 3𝑎 y 𝐶𝐸 = 𝑎, entonces 𝐶𝐷 es igual a:

A) 3

4𝑏

B) 3

4𝑎𝑏

C) 4

3𝑎𝑏

D) 𝑎

E) 4

3𝑎

497) En el triángulo de la figura adjunta, el punto D pertenece al segmento AB y el punto E pertenece al segmento BC, 𝐷𝐵 = 12 𝑐𝑚 y 𝐵𝐸 = 13 𝑐𝑚. Si el área del triángulo ABC es cuatro veces el área del triángulo BED, entonces ¿Cuál de las siguientes medidas se cumplen en la figura? A) 𝐶𝐸 = 39 𝑐𝑚 B) 𝐴𝐷 = 40 𝑐𝑚 C) 𝐴𝐵 = 26 𝑐𝑚 D) 𝐴𝐶 = 20 𝑐𝑚 E) 𝐵𝐶 = 52 𝑐𝑚

133

498) En la figura 3, 𝐴𝐵 = 5 𝑐𝑚, 𝐴𝐸 = 13 𝑐𝑚 y 𝐵𝐶 = 36 𝑐𝑚. La medida de 𝐴𝐷 es:

A) 26 𝑐𝑚 B) 30 𝑐𝑚 C) 39 𝑐𝑚 D) 52 𝑐𝑚 E) 60 𝑐𝑚

499) Si ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹, donde 𝐴𝐵 es homólogo con 𝐷𝐸 , 𝐴𝐵 = 𝑎 𝑐𝑚 y 𝐷𝐸 = 4𝑎 cm, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) Si el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶 es 8 𝑐𝑚2, entonces el área del triángulo 𝐷𝐸𝐹 es 32 𝑐𝑚2 B) El perímetro del triángulo 𝐷𝐸𝐹 es la cuarta parte del perímetro del triángulo 𝐴𝐵𝐶. C) 𝐴𝐵 / /𝐷𝐸 , 𝐴𝐶 / /𝐷𝐹 y 𝐵𝐶 / /𝐸𝐹 D) La altura trazada desde C a la base AB, es la cuarta parte de la altura trazada desde F a la

base DE E) Ninguna de las anteriores.

500) El plano de un dormitorio rectangular está a una escala 1: 10. Si el largo del dormitorio en el plano es de 0,8 m y el ancho 60 cm, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El largo del dormitorio es de 8 m. II) Si en el dormitorio hay una cama de 2 m de largo, entonces en el plano la representación

de la cama tiene un largo de 0,02 m. III) Si se quiere ampliar el largo del dormitorio es 1,5 m, entonces el largo del dormitorio en

el nuevo plano sería de 95 cm.


134

501) ¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos de condiciones, por separado, permite(n)

determinar que un triángulo PQR es semejante a otro triángulo TUV?

I) 𝑅𝑃𝑄 = 50°, 𝑄𝑅𝑃 = 60°, 𝑈𝑉𝑇 = 60° y el ángulo exterior al 𝑈𝑇𝑉 mide

130°. II) 𝑃𝑅 = 2 𝑐𝑚, 𝑃𝑄 = 3 𝑐𝑚, 𝑅𝑄 = 4 𝑐𝑚, 𝑇𝑉 = 6 𝑐𝑚, 𝑇𝑈 = 9 𝑐𝑚 𝑦

𝑉𝑈 = 8 𝑐𝑚.

III) 𝑃𝑄 = 5 𝑐𝑚, 𝑃𝑅 = 4 𝑐𝑚, 𝑄𝑃𝑅 = 50° , 𝑇𝑈 = 15 𝑐𝑚, 𝑇𝑉 = 12 𝑐𝑚, 𝑈𝑇𝑉 = 50°

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

502) En el triángulo ABC de la figura adjunta, D pertenece a 𝐴𝐶 , E pertenece a 𝐵𝐶 y 𝐷𝐸 //𝐴𝐵 .

Si 𝐴𝐵 = 36 𝑐𝑚, 𝐵𝐶 = 18 𝑐𝑚, 𝐶𝐸 = 12 𝑐𝑚 y 𝐶𝐷 = 9 𝑐𝑚, entonces el perímetro del trapecio

𝐴𝐵𝐸𝐷 es:

A) 69

2 𝑐𝑚

B) 141

2 𝑐𝑚

C) 21

2 𝑐𝑚

D) 151

2 𝑐𝑚

E) 45 𝑐𝑚

503) En la figura adjunta, 𝐸𝐹 ∥ 𝐷𝐺 ∥ 𝐴𝐵 . ¿En qué razón divide interiormente D al segmento

𝐸𝐵 ?

A) 4:3 B) 2:4 C) 3:5 D) 3:4 E) otra razón

135

504) En el trazo 𝑃𝑄 de la figura, PR : PQ = 2 : 5 y RS : RQ = 1 : 4. Entonces, PR : SQ =

A) 1 : 4 B) 3 : 8 C) 5 : 9 D) 8 : 3 E) 8 : 9

505) En la figura 4, 𝐴𝐶 = 32 𝑐𝑚 y 𝐴𝐶: 𝐴𝐷 = 2: 5. La medida del segmento 𝐶𝐷 es igual a:

A) 16 cm B) 32 cm C) 48 cm D) 80 cm E) 96 cm

506) En el trazo 𝐴𝐵 de la figura 6, 𝐴𝐵: 𝐶𝐷 = 8: 1 y 𝐴𝐶: 𝐷𝐵 = 4: 3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) 𝐴𝐵:𝐷𝐵 = 8 ∶ 5 B) 𝐴𝐷: 𝐶𝐷 = 4 ∶ 3 C) 𝐶𝐷: 𝐶𝐵 = 1 ∶ 3 D) 𝐶𝐵: 𝐴𝐷 = 4 ∶ 5 E) 𝐴𝐵:𝐴𝐶 = 8 ∶ 5

507 ¿Con cuál de las siguientes condiciones el trazo 𝐴𝐵 de la figura adjunta NO es divido

interiormente por el punto 𝑃 en la razón 3: 2. Con 𝐴𝑃 > 𝑃𝐵?

A) 𝐴𝑃 = 6 𝑐𝑚 y 𝑃𝐵 = 4 𝑐𝑚

B) 𝑃𝐵

𝐴𝐵=

6

15

C) 0, 6𝐴𝑃 = 𝑃𝐵 D) 𝐴𝑃 = 15𝑎 𝑐𝑚 y 𝑃𝐵 = 10𝑎 𝑐𝑚

E) 𝐴𝑃 = (3 + 6 )𝑐𝑚 y 𝑃𝐵 = (2 + 6) 𝑐𝑚

508) En el triángulo ABC rectángulo en A, de la figura; ADCD . Entonces CD

A) 25 B) 144

C) 65

12

D) 25

12

E) 60

136

509) En la figura se muestra un triángulo rectángulo en A y un rectángulo construido sobre el

segmento BD cuya área es de 36 cm2, B, D y C son puntos colineales y 𝐴𝐷 es altura.

Se puede determinar la medida de la altura AD si:

(1) 𝐷𝐹 = 𝐷𝐶

(2) 𝐴𝐶 = 10 𝑐𝑚

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

510) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, 𝐷𝐸 es perpendicular a 𝐶𝐵, 𝐶𝐷 es

perpendicular a 𝐴𝐵 y 𝐸𝐹 es perpendicular a 𝐶𝐷. Si 𝐶𝐹 = 1 y 𝐹𝐸 = √3, entonces 𝐴𝐷 =

A) 3

4√3

B) 3

2√2

C) 2

3√2

D) 1

3√3

E) 4

3√3

137

511) En un triángulo ABC rectángulo en C cuya hipotenusa mide 𝑝, la medida de la proyección de un cateto sobre ella es 𝑚. ¿Cuál de las siguientes expresiones siempre representa al cuadrado de la medida del otro lado y de la altura relativa a la hipotenusa respectivamente?

A) 𝑝2 −𝑚𝑝 y 𝑚𝑝 −𝑚2

B) 𝑝2 +𝑚𝑝 y 𝑚𝑝 −𝑚2

C) 𝑝2 −𝑚𝑝 y 𝑚𝑝 +𝑚2

D) 𝑚𝑝 − 𝑝2 y 𝑚𝑝

E) 𝑚𝑝 − 𝑝2 y 𝑚𝑝 −𝑚

512) El triángulo 𝐴𝐵𝐶 de la figura 9 es rectángulo en 𝐶, 𝑀 y 𝑁 son los puntos medios de los

lados respectivos, 𝐷 está en 𝐴𝐵 , 𝑃 en 𝐶𝑁 , 𝑅 en 𝑀𝑁 y 𝐷𝑃 𝐶𝐵 . Si 𝐶𝐷 = 6 y

𝐷𝐵 = 8√2 𝑐𝑚, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El área del triángulo 𝐶𝐷𝐵 es 24√2 𝑐𝑚2

II) 𝑁𝐵 = √41 𝑐𝑚 III) ∆𝐴𝐶𝐵~∆𝑃𝑅𝑁


513) En el ∆𝐴𝐵𝐶 de la figura adjunta, D pertenece a 𝐴𝐵 . ¿Cuánto es (𝑎 + 𝑏)?

A) 9 5⁄

B) 18 5⁄

C) 24 5⁄

D) 42 5⁄

E) 48 5⁄

138

514) En la figura adjunta, ABCD es un trapecio rectángulo en A y en D, con

𝐷𝐸𝐴 = 𝐴𝐶𝐵 = 𝐶𝐹𝐵 = 90°, E pertenece al segmento AC y F pertenece al segmento AB. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

I) 𝐴𝐷 ∙ 𝐴𝐹 = 𝐴𝐶 ∙ 𝐷𝐸

II) 𝐷𝐸 ∙ 𝐹𝐵 = 𝐶𝐹 ∙ 𝐸𝐶

III) 𝐴𝐷2 + 𝐴𝐹2 = 𝐴𝐹 ∙ 𝐴𝐵

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

515) En la figura, 𝐷𝐸 = 𝐴𝐵 = 10. Se puede determinar la magnitud AC si se sabe que:

(1) 8AD

(2) 5EC

A) (1) por si sola B) (2) por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

516) Si al triángulo ABC de vértices 𝐴(0,2), 𝐵(2,1) y 𝐶(1,1) se le aplica una homotecia de

centro (4,4) y razón de homotecia −1

2 , ¿Cuál es la imagen de 𝐴?

A) (6,5)

B) (8,6)

C) (12,8)

D) (-8,-6)

E) (2,3)

139

517) A un triángulo de coordenadas A(3,4); B(1,1) y C(5,-2) se le aplica una homotecia con centro en el origen del sistema cartesiano y de razón -2. La distancia entre los puntos 𝐵´ Y 𝐶 es:

A) 3 B) 6 C) 9 D) 7 E) 5

518) La arista de un cubo mide 1 m al aplicar una homotecia a cada una de las aristas con razón 2 lo que se obtiene es un cubo de volumen igual a:

A) 4 𝑚3 B) 8 𝑚3 C) 2 𝑚3 D) 1 𝑚3 E) 16 𝑚3

519) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdaderas para una homotecia de razón 1

3?

A) La figura homotética tiene el triple del área de la figura original. B) Cada lado de la figura homotética mide el triple de los lados respectivos de la figura

original. C) La figura homotética tiene un tercio del área de la figura original. D) Cada lado de la figura homotética mide un tercio de lados respectivos de la figura original. E) Nada se puede decir acerca de la figura homotética sin saber su centro de homotecia.

520) La figura homotética de A con respecto al punto O y de razón 3

4 está dada correctamente

en:

140

521) Para que un hexágono homotético a otro dado se encuentre dentro de la figura original y no invertido, la homotecia debe cumplir que:

A) Tenga razón mayor que 1 y el centro de homotecia esté fuera del hexágono original. B) Tenga razón positiva y menor que 1 y el centro de homotecia esté fuera del hexágono

original. C) Tenga razón positiva menor que 1 y el centro de homotecia esté en uno de sus vértices o

dentro de la figura original. D) Tenga razón mayor que 1 y el centro de homotecia esté en uno de sus vértices o dentro

de la figura original. E) Nunca su figura homotética estará dentro de la original.

522) ¿Cuál de las siguientes figuras representa(n) una homotecia de razón negativa?


523) En la figura se muestra una homotecia de centro O que transforma el triángulo ABC en el triángulo DEF. Si OC > OF, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta respecto a esta homotecia?

A) La razón de homotecia es menor que -1 B) La razón de homotecia es igual a -1 C) La razón de homotecia es mayor que -1 y menor que 0. D) La razón de homotecia es mayor que 0 y menor que 1. E) La razón de homotecia es mayor que 1.

141

524) Se ha efectuado una transformación homotética al triángulo ABC, a partir del centro de homotecia O que se encuentra al exterior de dicha figura para obtener el triángulo homotético A´B´C´. Si OA = 10 y OA´ = OA + 15, entonces la razón de homotecia es:

A) 2 : 5 B) 4 : 25 C) 5 : 2 D) 10 : 15 E) 15 : 10

525) El extremo A de un trazo es el punto (4,2). Si se le aplica una homotecia de razón 2 y de centro en el punto (-1,1), entonces, el punto homotético de A será el punto de coordenadas:

A) (9,3) B) (3,9) C) (-9,-3) D) (11,-1) E) (-11,-1)

526) Con respecto a una homotecia, es verdadero que:

I) La figura homotética se superpone con la figura original siempre que la razón de homotecia sea 1, independiente de donde se encuentre el centro de homotecia.

II) La figura homotética contiene a la original siempre que la razón de homotecia sea mayor que 1, sin importar donde encuentre el centro de homotecia.

III) La figura homotética contiene a la original siempre que la razón de homotecia sea

mayor que 1, solo si el centro de homotecia se encuentra en uno de sus vértices o al interior de la figura original.


142

527) Dado el ABC y al aplicar una homotecia de factor 2 se obtuvo el GHI y una de factor 0,5 para obtener el DEF

¿Cuál(es) de las siguiente(s) afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Si 6OA cm entonces 3OD cm.

II) Si 4OC cm entonces 8CI cm.

III) Si GH = 8 cm y 10GI cm entonces el área del triángulo ABC es 212 cm .


528) En la figura se observa una homotecia de factor 2,5. Si el perímetro del triángulo 𝐴´𝐵´𝐶´ es de 35 cm. ¿Cuál es el perímetro del triángulo ABC? A) 7 cm B) 14 cm C) 17,5 cm D) 87,5 cm E) 107 cm

143

529) En la figura P´Q´R´S´ es el homotético del polígono PQRS, con origen en el punto O y razón de homotecia r. Si QR=10, Q´R´=4 y RS=8, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝑟 =5

2

II) PQ//P´Q´

III) R´S´=16

5


530) En la figura el polígono ABCD es base de homotecias de origen O. Si OB=3, BB´=2 y OB´´=10, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) La homotecia A´BĆ´D´ se logra con razón 5/3. B) En las dos homotecias, r > 1. C) Perímetro de A´BĆ´D´= 2 ∙ 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜, de ABCD.

D) 5𝐴𝐵 = 3𝐴´𝐵´ E) B´Ć´´//BC

531) Si la razón de homotecia de dos polígonos es (2:3), ¿Cuál es la razón entre sus áreas?

A) 2:3 B) 4:9 C) 4:3 D) 3:2 E) 9:4

144

532) Si a un triángulo ABC de coordenadas A(-3,-2), B(3,-2) y C(3,6) se le aplica una homotecia

con factor 𝑘 =1

3 con centro en uno de sus vértices, el nuevo perímetro medirá:

A) 72 unidades B) 8 unidades C) 12 unidades D) 36 unidades E) No es posible determinarlo

533) Dado el triángulo ABC al cual se le aplica una homotecia con centro P y razón 𝑘 =−1

2 y se

obtiene el triángulo A´B´C´. La figura que mejor representa esta transformación es:

534) A un cuadrado de vértices A(2,2), B(2, -2), C(-2, -2) y D(-2 , 2) se le aplica una homotecia de factor 𝑘 = 3, con centro en el origen (0,0). Con respecto a las siguientes afirmaciones, marque la alternativa que determine la(s) verdadera(s) y falsa(s):

i) La figura resultante es un cuadrado ii) La figura resultante es una ampliación de la original iii) La figura resultante contiene el vértice A´(3,3)

A) V – F – V B) F – F – F C) F – V – F D) V – V – V E) V – V – F

145

535) A un pentágono de área 108 𝑐𝑚2 se aplica una homotecia de razón 𝑘 =1

3, obteniéndose

un pentágono de área: A) 12 𝑐𝑚2 B) 324 𝑐𝑚2 C) 36 𝑐𝑚2 D) 972 𝑐𝑚2 E) 108 𝑐𝑚2

536) Si al triángulo equilátero de la figura se le aplica una homotecia de razón menor que -1, ¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor un resultado posible de obtener?

537) En la figura se muestran dos homotecias: una de centro O y razón de homotecia 2 que

transforma a ABCD en PQRS y la otra de centro O y razón de homotecia 0,5 que transforma a ABCD en EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si BQ es igual a 5 cm, entonces BF es igual a 2,5 cm.

II) 𝑂𝐻 =1

3𝑆𝐻

III) EH // PS


146

538) Si en el gráfico de la figura 10, el triángulo DEF es el homotético del triángulo ABC con centro de homotecia el punto (4,-1), ¿Cuál es la razón de homotecia?

A) 1 ∶ 2

B) √13: 1 C) 2 ∶ 1

D) 1 ∶ √2 E) No se puede determinar

539) En la figura se muestra una homotecia de centro 0 y razón – 2,5 que transforma al triángulo ABC en el triángulo DEF. Si < 𝐴𝐵𝐶 = 60° y BC = 8, ¿Cuál es la medida del segmento FG?

A) 10√3

B) 10√2

C) 8√3

5

D) 20√2

E) 20√3

540) Una homotecia de razón 3𝑥 + 3𝑥+1 + 32𝑥 con centro en (2,3) transforma el punto (3,4) en el punto (23,24). Si x es un número real. ¿Cuál es el valor de 𝑥?

A) 7 B) 3 C) 1 D) -7 E) 𝑙𝑜𝑔37

147

541) En la figura, el triángulo ABC, rectángulo en C, genera la figura homotética A`B`C`con

centro en O y razón de homotecia r.

De acuerdo a la figura, es verdadero que:

I) ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴`𝐵`𝐶`

II) 𝐵𝐶 ⊥ 𝐴`𝐶` III) r<0

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III

542) En la siguiente figura se muestran dos cuadriláteros 𝐴𝐵𝐶𝐷 y 𝑀𝑁𝑃𝑄 homotéticos con centro O de homotecia, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si la razón de homotecia es 1

3, entonces

Á𝑟𝑒𝑎 𝐴𝐵𝐶𝐷

Á𝑟𝑒𝑎 𝑀𝑁𝑃𝑄=

1

3

II) 𝐵𝐶 //𝑁𝑃

III) Si la razón de homotecia es 2

3 y el perímetro de 𝐴𝐵𝐶𝐷 es 20, entonces el perímetro de

𝑀𝑁𝑃𝑄 es 30.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo II y III D) Sólo I y II E) I, II y III

148

543) En la figura 9 se muestran dos homotecias: una de centro O y razón de homotecia 2 que transforma a ABCD en PQRS y la otra de centro O y razón de homotecia 0,5 que transforma a ABCD en EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝐻𝐺 / /𝑆𝑅 II) Si 𝐹𝑄 es igual 15 cm, entonces 𝑂𝐹 es igual a 5 cm

III) 𝑂𝐶 =1

2𝑂𝑅

A) Sólo I B) Solo II C) Solo I y III D) Sólo I y II E) I, II y III

544) En los cuadrados OABC y KLMN de la figura 27, los perímetros son 4 y 8 cm respectivamente. Se puede determinar la distancia entre A y K, si se conoce:

(1) La razón de homotecia (2) El centro de homotecia

A) (1) Por si sola B) (2) Por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.

149

545) En la figura, y a b son números reales, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) La pendiente de L es negativa

II) El punto ,a b pertenece a la recta L

III) La recta de ecuación a

y xb

es perpendicular a L.

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

546) La ecuación que representa a la recta de la figura es:

A) 2 3 6 0x y a

B) 3 2 6 0x y a

C) 2 3 6 0 x y a

D) 3 2 6 0x y a

E) 2 3 6 0 x y a

547) El punto (2,-3) es el centro de una circunferencia que pasa por el punto (5,3), ¿Cuál es el radio de esta?

A) 3

B) 3√5 C) 6

D) √85

E) 4√5

548) La recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑎 − 1 representada en la figura siguiente intersecta al semieje positivo Y, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝑎 > 1 II) Corta al eje Y en (0,-1) III) 𝑎(1 − 𝑎) < 0

A) Solo I B) Solo II C) Sólo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

150

549) Si la ecuación de la recta 𝐿1 es 𝑥 +𝑦

2−1

2= 0, la recta 𝐿2 intersecta al eje 𝑌 en el punto

(0, −2) y 𝐿1/ /𝐿2, entonces 𝐿2 intersecta al eje 𝑋 en el punto:

A) (1,0) B) (−1,0) C) (−2,0) D) (2,0) E) (0,0)

550) Si la ecuación de recta es 𝑥

2−

𝑦3

2

− 5 = 0, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) La pendiente de la recta es 3

4.

II) La gráfica intercepta al eje de las abscisas en el punto (10,0). III) Su coeficiente de posición es -5


551) Si 𝑃 y 𝑄 son dos puntos ubicados en el eje de las ordenadas que están a una distancia de

√34 del punto (3,1), entonces la distancia entre 𝑃 y 𝑄 es:

A) 4 B) 5 C) 6 D) 10

E) √10

552) Si (𝑎, 𝑏) son las coordenadas del punto de intersección de las rectas 𝐿1: 𝑥 − 2𝑦 = 6 y 𝐿2: 5𝑥 − 5𝑦 = 15 entonces (𝑎 + 𝑏) es igual a:

A) 0 B) -3 C) 3 D) -5 E) Ninguna de las anteriores

151

553) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la recta que contiene a 𝐴𝐵 en la figura

adjunta?

A) 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 B) 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 C) 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

D) 2𝑥 + 2𝑦 − 2 = 1 E) 𝑥 + 𝑦 − 7 = 0

554) Sea la recta 𝐿 de ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛. Si 𝑚 ≠ 0, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones


I) La recta de ecuación −𝑚𝑥 + 𝑦 − 𝑝 = 0, se puede obtener mediante una traslación de la

recta 𝐿.

II) La recta de ecuación −𝑝𝑥 + 𝑦 − 𝑛 = 0 se puede obtener mediante una rotación centrada

en (0, 𝑛) de la recta 𝐿.

III) La recta 𝐿 pudo haberse obtenido mediante una traslación de la recta de ecuación −𝑚𝑥 +

𝑦 = 0.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo II y III

D) Solo I y III

E) I, II y III

555) Sean 𝐴(𝑎, 𝑏) 𝑦 𝐵(𝑐, 𝑑) dos puntos en el plano cartesiano con, 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 números reales

y 𝑎 ≠ 𝑐. Si 𝐿 es la recta que pasa por ambos puntos y 𝑚 su pendiente, ¿Cuáles de las siguientes

afirmaciones es siempre verdadera?

A) 𝑚 =𝑐−𝑎

𝑑−𝑏

B) El punto (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) pertenece a 𝐿.

C) 𝐿 intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,𝑚𝑎 + 𝑏)

D) 𝐿 intersecta al eje de las abscisas.

E) Una ecuación de 𝐿 está dada por 𝑦 − 𝑑 −𝑚𝑥 +𝑚𝑐 = 0

152

556) Sean 𝐿1:−𝑝𝑥 + 3𝑦 = 1 y 𝐿2: −3𝑥 + 𝑝𝑦 = −3 dos rectas del plano cartesiano, con 𝑝 un

número real distinto de cero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre

verdadera(s)?

I) Si 𝑝 ≥ 3 entonces 𝐿1 y 𝐿2 intersectan en infinitos puntos.

II) Si 𝑝 = −3 entonces 𝐿1 y 𝐿2 son paralelas.

III) Si 𝑝 = 1 entonces 𝐿1 y 𝐿2 son perpendiculares.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

557) Sea 𝐴 y 𝐵 puntos del plano, 𝐴(𝑎, 𝑐) y 𝐵(𝑏, 𝑑). Se puede decir que la pendiente de la recta que pasa por A y B es negativa si:

(1) 𝐵 está en el segundo cuadrante y 𝐴 está en el tercer cuadrante. (2) 𝑏 < 𝑎 y 𝑑 > 𝑐

A) (1) Por si sola B) (2) Por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

558) Sean los puntos 𝑅(1, 𝑝) y 𝑆(𝑝, 1) en el plano cartesiano, con 𝑝 un número real mayor que 1. Se puede determinar el valor númerico de 𝑝, si se conoce:

(1) La distancia de 𝑅 al origen. (2) La longitud del segmento 𝑅𝑆.


559) En el espacio, el punto (2,3,4) corresponde a:

A) Abscisa 3, ordenada 4 y cota 2 B) Abscisa 2, ordenada 2 y cota 3 C) Ordenada 3, abscisa 4 y cota 2 D) Ordenada 3, cota 4 y abscisa 2 E) Cota 4, ordenada 2 y abscisa 3

153

560) En el cubo en la figura, el punto Q tiene coordenadas (0,4,0). Entonces: ¿Cuál(es) de las siguientes alternativas es o son FALSA(S)?

I) Las coordenadas de 𝑃 son (4,0,4). II) Las coordenadas de T no son (4,4,4). III) Las coordenadas de 𝑉 son (0,0,4).


561) Considere el siguiente paralelepípedo. Si la medida de 𝐴𝐵 es el doble de la de 𝐷𝐻. Entonces: ¿Cuál(es) de las siguientes alternativas es o son verdadera(s)?

I) Las coordenadas del punto 𝐸 son (5,0,6). II) Las coordenadas del punto 𝐵 son (6,10,0). III) Las coordenadas del punto 𝐺 son (0,10,6).


562) Dado el triángulo 𝑃𝑄𝑅 posicionado con sus vértices en los ejes. Determine las

coordenadas del punto 𝐴, sabiendo que la distancia del segmento 𝑃𝐴 es igual a la distancia del segmento 𝐴𝑄 .

A) (3

2, 0,1)

B) (1,3

2, 0)

C) (3

2, 1,0)

D) (5

2,3

2, 0)


154

563) Respecto a la figura 5: Se ha trazado un segmento paralelo al segmento 𝑆𝑃 , donde 𝑁 es el punto medio del segmento 𝑃𝑈 . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) Las coordenadas del punto 𝑃 son (3,2,0). II) Las coordenadas del punto 𝑈 son (0,5,2).

III) Las coordenadas del punto medio del segmento 𝑀𝑁 son (3

2, 0,

5

2)


564) En la figura 6 se muestra un paralelepípedo recto con tres de sus aristas en los ejes coordenados. Si 𝐴 y 𝐵 son los puntos medios de dos de las aristas y el vértice 𝑃 tiene coordenadas (4, −6,−10), entonces: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Las coordenadas del punto 𝐴 son (4,0, −5). II) Las coordenadas del punto 𝐵 son (0,0, −5). III) Las coordenadas del punto 𝑅 son (4,−6,0)


155

565) En la figura 7 se muestra un cubo de arista 1. Si el vértice 𝑄 está en el eje de las Ordenadas, el vértice 𝑅 está en el origen y el vértice 𝑆 en el eje de las abscisas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Las coordenadas del punto 𝑃 son (1,−1,1).

II) El punto medio del segmento 𝑃𝑆 tiene coordenadas (−1

2,−1

2,1

2).

III) Las coordenadas del punto 𝑆 son (−1,0,0).


566) En la figura adjunta se presentan cuatro cubos congruentes entre sí de manera que poseen caras en común, en un sistema de coordenadas de tres dimensiones. Si uno de los vértices de estos cubos coincide con el origen del sistema de coordenadas, mientras que algunas de las aristas coinciden con los ejes, y el vértice 𝐴 tiene por coordendadas (3,3,3), entoces: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Las coordenadas del vértice 𝐵 son (3,6,−3).

II) La distancia entre el vértice 𝐶 y el origen es 3√6. III) El triángulo 𝐴𝐵𝐶 es isósceles en 𝐴.


156

567) En la figura 9 se tiene un paralelepipedo de vértices A, B, C, D, E, F, G y H, de manera que los vértices B, D y E están en los ejes coordenados y el vértice A está en el origen. Si P es el punto medio de 𝐹𝐻 y las coordendas del punto 𝐺 son (6,10,4). Entoces: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El punto medio del segmento 𝐸𝐶 es (3,5,2). II) Las coordenadas del punto 𝑃 son (3,5,4).

III) La distancia del segmento 𝐻𝐶 es 2√13.


568) Considere el paralelepípedo de la figura 10, si 𝑃 tiene coordenadas (3,0,0), 𝑄 tiene

coordenadas (0,4,0) y 𝑅 tiene coordenadas (0,0,5). ¿Cuál es la distancia del segmento 𝑅𝑆 ?

A) 2√5

B) 5√2

C) 3√5


569) En la figura 11 se muestra un cubo de arista 6 con tres de sus vértices en los ejes coordenados y uno en el origen. Si la cara lateral derecha está dividida en tres franjas congruentes, entonces la distancia del segmento 𝑃𝑄 es:

A) 2√11

B) 4√22

C) 2√22


570) En la figura 12 el triángulo 𝑃𝑄𝑅 tiene vértices 𝑃(5,0,0), 𝑄(0,5,0) y 𝑅(0,0,5). ¿Cuál es el área del triángulo 𝑃𝑄𝑅?

A) 25

2√3

B) 5

2√3

C) 2√3

D) 5√3

E) 5√2

157

571) En el sistema tridimensional de la figura se ubican los puntos A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) y D(1,0,1). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

I) El punto medio del segmento 𝐷𝑂 tiene coordenadas (1

2, 0,

−1

2).

II) 𝐴𝐷 es perpendicular a 𝐴𝐵

III) El perímetro del triángulo 𝐶𝐵𝐷 es (1 + √2 + √3)


572) En la figura 14 se muestran siete cubos en el espacio con sus caras coincidentes y sus aristas en los ejes coordenados. Si las aristas de los cubos miden una unidad. ¿Cuántas unidades de distancia hay entre el punto 𝑃 y el punto 𝑄?

A) √17

B) √19

C) √22

D) √24

E) √26

573) Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC equilátero de la figura 15 son 𝐴(2,0,0), 𝐵(0,2,0) y 𝐶(0,0,2). Si 𝐶𝐷 es altura, entonces ¿Cuáles son las coordenadas del punto D?

A) (1,1,1) B) (0,1,1) C) (1,1,0)

D) (√2, √2, 0)

E) (√2, √2, 2)

158

574) En la figura 16 se muestra el cubo de arista a. El ∆𝐸𝐵𝐷 es:

A) Equilátero B) Isósceles no equilátero C) Isósceles rectángulo D) Rectángulo en D E) Rectángulo en B

575) El triángulo ABC de la figura 11 tiene sus vértices ubicados en las coordenadas 𝐴 = (1,0,0), 𝐵 = (0,1,0) y 𝐶 = (0,0,1). Su área y su perímetro miden, respectivamente.

A) 1

2√2 y 3√2

B) 1

2√3 y √2

C) √3 y 3√2

D) 1

2√3 y 3√2

E) 1

2√2 y √2

Demre

576) En el cubo de la figura 15, la longitud de la arista es 3 y un vértice está en el origen (0,0,0). Si el punto M tiene coordenadas (3,1,0) y cada arista se ha dividido en tres partes iguales, ¿Cuáles son las coordenadas del punto S?

A) (2,3,3) B) (3,3,3) C) (3,3,2) D) (2,2,3) E) (3,2,3)

Demre

577) En la figura 17 se muestra el cubo de arista a. El ∆𝐸𝐵𝐷 es:

A) Equilátero B) Isósceles no equilátero C) Isósceles rectángulo D) Rectángulo en D E) Rectángulo en B

Demre

159

578) En la figura 17, las coordenadas de los puntos D y F son (0,5,2) y (3,0,2) respectivamente. ¿Cuál(es) de las afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El perímetro del rectángulo AOEF es 10 unidades. II) El área del rectángulo OCDE es 10 unidades cuadradas.

III) El segmento AC mide √34 unidades.


Demre

579) En la figura 17 se muestra un cubo de arista 2. Si el vértice A está en el punto (0,0,0), la

arista 𝐴𝐷 está en el eje Z y el vértice B está en el eje Y, entonces las coordenadas del vértice E son:

A) (0,2,0) B) (0,-2,0) C) (2,-2,0) D) (-2,2,0) E) (-2,0,2)

Demre

580) En la figura 18, se tienen los puntos A(0,0,1), B(1,0,0) y C(0,1,0). Si M es el punto medio del trazo BC y O es el origen del sistema de ejes coordenados. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El plano que pasa por O, A y M es perpendicular al que pasa por O, B y C. II) El plano que pasa por O, A y B es perpendicular al que pasa por A, B y C. III) El plano que pasa por O, A y B es perpendicular al que pasa por O, A y C.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

Demre

160

581) El cubo de la figura tiene vértices A, B, C, D, E, F, G y H. Si AE= 5 cm, ¿Cuál de las

siguientes afirmaciones es FALSA?

A) BG= 5√2 cm

B) 𝐸𝐻 ⊥ 𝐺𝐻

C) BH= 5√3 cm

D) 𝐴𝐷 // 𝐹𝐺

E) 𝐵𝐺𝐻 es isósceles.

582) Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC equilátero de la figura 16 son (2,0,0), (0,2,0) y (0,0,2). Si 𝐶𝐷 es altura, entonces ¿Cuáles son las coordenadas del punto D?

A) (1,1,1) B) (0,1,1) C) (1,1,0)

D) (√2, √2, 0)

E) (√2, √2, 2)

583) Las coordenadas de los vértices del triángulo 𝐴𝐵𝐶 de la figura 22 son 𝐴(4,0,0), 𝐵(0,4,0) y 𝐶(0,0,4). Si 𝐶𝐷 es altura, entonces: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La altura 𝐶𝐷 mide 2√3.

II) El perímetro del triángulo 𝐴𝐷𝐶 es [2√2(3 + √3)].

III) La medida del ángulo 𝐷𝐶𝐵 es 30°.


584) En la figura 23, las coordenadas de los vértices del triángulo 𝐴𝐵𝐶 son 𝐴(2,0,0), 𝐵(0,2,0) y 𝐶(0,0,5). La altura del triángulo 𝐴𝐵𝐶 que cae sobre el lado 𝐴𝐵 mide:

A) 2√6 B) 5

C) 3√3

D) √29

E) √31

161

585) El paralelepípedo recto se sitúa en un sistema cartesiano tridimensional tal como lo ilustra la figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto 𝐷?

A) (𝑎, 𝑏, 𝑐) B) (0, 𝑎, 𝑐) C) (𝑎, 0, 𝑐) D) (𝑏, 0, 𝑐) E) (0, 𝑏, 𝑐)

586) Las coordenadas del triángulo de la figura son las siguientes: 𝐴(4,0,0); 𝐵(0,1,0) y 𝐶(0,02), entonces:

I) La distancia entre 𝐴 y 𝐵 es 17. II) El punto medio del segmento 𝐴𝐶 está determinado por las coordenadas (4,0,2). III) El triángulo 𝐴𝐵𝐶 es escaleno.

Es(son) verdadera(s):

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas

587) En la siguiente figura se muestran los puntos 𝐵(4,0,0), 𝐴(1,0,0) y 𝐸(4,3, 𝑎) en el espacio, el cuadrilátero 𝐴𝐵𝑄𝐶 es un cuadrado, entonces la distancia de 𝑀 a 𝑄 es:

A) √𝑎2 + 18

B) √𝑎2 + 6 C) 𝑎 + 9

D) 𝑎 + 3√2 E) 3𝑎

588) Sean los puntos 𝑃(1,𝑚,−𝑛) y 𝑄(0, 𝑛,𝑚) en el espacio. Se puede determinar la longitud del segmento 𝑃𝑄 si:

(1) 𝑚 + 𝑛 = 6 (2) 𝑚2 + 𝑛2 = 22

A) (1) Por si sola B) (2) Por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) y (2) E) Se requiere información adicional.

162

589) Sea el triángulo de vértices 𝑃(𝑎, 0,0), 𝑄(0, 𝑎, 0) y 𝑅(0,0, 𝑏) en el espacio. Se puede determinar la medida del ángulo 𝑅𝑄𝑃 si:

(1) < 𝑃𝑅𝑄 = 100° (2) < 𝑄𝑃𝑅 = 40°

A) (1) Por si sola B) (2) Por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por si sola, (1) y (2) E) Se requiere información adicional.

590) Un plano queda determinado mediante:

I) Tres puntos cualesquiera II) Una recta y un punto no contenida en ella III) Dos rectas paralelas no coincidentes.


591) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) Dos planos en el espacio siempre se intersectan II) Dos rectas en el espacio o son paralelas o se intersectan. III) Una recta es paralela o intersecta a un plano.


592) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) Tres puntos determinan un plano B) Dos rectas determinan un plano. C) Dos rectas no paralelas determinan un plano. D) Una recta y un punto que no pertenezca a la recta, determinan un plano. E) Todas las anteriores.

163

593) Determine la posición relativa de los siguientes planos 𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 + 4 = 0

−3𝑥 − 3𝑦 + 15𝑧 − 1 = 0

A) Paralelos B) Perpendiculares C) Secantes D) Coincidentes E) Ninguna de las anteriores

594) Determine la posición relativa de los siguientes planos 𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 + 4 = 0

−3𝑥 − 3𝑦 + 15𝑧 − 12 = 0

A) Paralelos B) Perpendiculares C) Secantes D) Coincidentes E) Ninguna de las anteriores

595) Al intersectar dos planos no paralelos y no coincidentes se obtiene:

A) Un plano B) Una recta C) Un punto D) Dos rectas E) El conjunto vacío

596) Si el punto (2𝑚,−3, 1 − 𝑚) pertenece al plano 𝑃: 5𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 4 = 0. ¿Cuál es el valor numérico de 𝑚?

A) 1

B) −5 7⁄

C) −7 9⁄

D) 2

E) −9 7⁄

597) El punto (2, 𝑘, −1) pertenece al plano (𝑥, 𝑦, 𝑧)/ 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0 si:

A) 𝑘 = 1

B) 𝑘 =−1

2

C) 𝑘 =1

2

D) 𝑘 =5

2

E) 𝑘 = −5

2

164

598) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales corresponde a la ecuación

4𝑥 + 7𝑦 − 46 = 0 A) (𝑥, 𝑦) = (2,−6) + 𝜇(−4,−46) B) (𝑥, 𝑦) = (4,2) + 𝜇(46,4)

C) (𝑥, 𝑦) = (2,−6) + 𝜇(4,7) D) (𝑥, 𝑦) = (−6,10) + 𝜇(7,−4) E) (𝑥, 𝑦) = (−8,7) + 𝜇(4,−7)

599) La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos (1,0,1) y (2,1,0),

considerando 𝑡 ∈ 𝑅.

A) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,0,1) + 𝑡(2,1,0) B) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,−1,1) + 𝑡(2,0,1)

C) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3,1,1) + 𝑡(−1,1 − 1) D) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,0,1) + 𝑡(−1,−1,1) E) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1,1,−1) + 𝑡(1,0,1)

600) Dada La ecuación cartesiana de la recta 𝑥−5

2=

𝑦−1

3; 𝑧 = 4, su ecuación vectorial es:

A) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5,1,4) + 𝑡(2,3,0) B) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,3,0) + 𝑡(5,1,4) C) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5,1,0) + 𝑡(2,3,0)

D) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−5,−1,4) + 𝑡(2,3,0) E) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−5,−1,−4) + 𝑡(2,3,0)

601) Sea la recta 𝐿 de ecuación: (𝑥, 𝑦) = (1,1) + 𝑡(2,1), luego ¿Cuál de las siguientes alternativas representa a otra recta perpendicular a 𝐿?

A) (𝑥, 𝑦) = (2,2) − 𝑡(2,1) B) (𝑥, 𝑦) = (2,2) − 𝑡(1,1)

C) (𝑥, 𝑦) = (2,2) − 𝑡(1,−2) D) (𝑥, 𝑦) = (2,2) + 𝑡(−2,−1) E) Ninguna de las anteriores

165

602) Dadas las siguientes ecuaciones vectoriales, con 𝑡 ∈ ℝ, ¿cuál de ellas contiene al punto

P(-4 , 6)?

A) (𝑥, 𝑦) = (6,−4) + 𝑡(−1,2) B) (𝑥, 𝑦) = (−5,4) + 𝑡(−4,6) C) (𝑥, 𝑦) = (−4,5) + 𝑡(−2,4) D) (𝑥, 𝑦) = (4,6) + 𝑡(1,1) E) (𝑥, 𝑦) = (0,0) + 𝑡(−4,6)

603) Si = (1,2,3) y 𝑑 = (2,4,2), entonces ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa a la

recta con vector de posición y vector director 𝑑?

A) 𝑥−2

1=

𝑦−4

2=

𝑧−2

3

B) 𝑥−1

2=

𝑦−2

4=

𝑧−3

2

C) 𝑥−1

1=

𝑦−2

2=

𝑧+1

3

D) 2(𝑥 − 1) + 4(𝑦 − 2) + 2(𝑧 − 3) = 0 E) Ninguna de las anteriores

604) Sean los puntos 𝐴(−3,2,5) y 𝐵(2,−4,−6) dos puntos en el espacio. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A y B?

A) (12,−16,−28) B) (7, −10,27) C) (2, −4,6) D) (3, −2,8) E) Ningún punto pertenece

605) En las opciones se muestran ecuaciones vectoriales, para 𝑡 variando en los números reales, ¿En cuál de ellas la recta asociada NO pasa por el origen?

A) (𝑡) = 𝑡(−1,−2,−3) B) 𝑝(𝑡) = (2,4,8) + 𝑡(1,2,4) C) (𝑡) = (−5,10,−15) + 𝑡(1,−2,3) D) (𝑡) = (9,−3,12) + 𝑡(−3,−1,−4) E) (𝑡) = (8,2, −10) + 𝑡(4,1, −5)

606) La ecuación vectorial de la recta que pasa por P= ( -1, 2, 4) y Q= ( 1, 7, 1) corresponde a:

A) (x, y, z)= ( -1, 2, 4) + λ ( -2, 5, -3) B) (x, y, z)= ( -1, 2, 4) + λ ( 1, 7, 1) C) (x, y, z)= ( 1, 7, 1) + λ ( 2, 9, -5) D) (x, y, z)= ( 1, 7, 1) + λ ( 2, 5, -3) E) x, y, z)= ( -1, 2, 4) + λ ( 1, 7, 1)

166

607) Para que las rectas dadas a continuación sean paralelas, L1 : x – y – 2 = 0 y L2 : ( x , y)= ( 1, 2) + λ (k, 2) el valor de k debe ser:

A) K= 1 B) K= 2 C) K= 0,5 D) K= -2 E) K= -1

608) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales corresponde a la ecuación cartesiana 3x – 5y + 59= 0

A) (x, y) = (8, -7) + λ ( -5, -3) B) (x, y) = (-3, 10) + λ ( -5, 59) C) (x, y) = (-8, 7) + λ ( 5, 3) D) (x, y) = (-3, 10) + λ ( 3, -5) E) (x, y) = (-8, 7) + λ ( 59, 5)

609) ¿Cuál es la ecuación cartesiana asociada a ( x, y) = ( -2, 4) + λ ( 1, 7)?

A) 7x + y + 18= 0 B) -2x + 4y + 17 = 0 C) 7x – 2y + 18 = 0 D) -2x + 4y = 0 E) -7x + y – 18 =0

610) La ecuación simétrica de la recta (x, y) = ( 2, 7) + λ ( -2, 5) es:

A) x−2

2=

y−7

5

B) 2−x

2=

y−7

5

C) 2−x

2=

7−y

5

D) 2−x

−2=

y−5

7

E) x−2

−2=

5−y

7

611) ¿Qué punto NO pertenece a la recta (x, y) = ( 1, -4) + λ ( -1, -1)?

A) ( 1, -4) B) ( 0, -5) C) ( -1, -6) D) ( 0, 0) E) ( 4, -1)

167

612) Respecto de la ecuación vectorial de la recta que se muestra:

( x, y, z) = (-3, 2, -1) + λ (4, -1, 0), con λ R ¿Qué afirmación (es) es (son) verdadera(s)?

I. El punto ( 1, 1, -1) pertenece a la recta. II. Las coordenadas del vector posición son ( -3, 2, -1) III. Las coordenadas del vector director son (4, -1, 0)


613) Si las ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio vienen dadas por: x= 2 - 3λ y= 1 + λ z= -2 + 5λ ¿Qué ecuación vectorial representa la recta?

A) ( x, y, z) = ( 2, 1, -2) + λ ( 3, 1, 5) B) ( x, y, z) = ( 2, 1, 2) + λ ( 3, 1, 5) C) ( x, y, z) = ( 2, 1, -2) + λ (-3, 1, 5) D) ( x, y, z) = (-2, 1, 2) + λ (-3, 1, 5) E) ( x, y, z) = ( 2, 1, -2) + λ ( 3,-1,-5)

614) ¿Cuál de los siguientes pares de rectas son paralelas? Con λ R

A) L1 : ( x, y, z) = ( 1, 2, 3) + λ ( 5, 3, -1) L2 : ( x, y, z) = ( 4, 0, 1) + λ ( 3, 5, -1)

B) L1 : ( x, y, z) = ( 9, 0, 0) + λ ( 12, 9, 6) L2 : ( x, y, z) = ( 9, 0, 0) + λ ( 1, 2, 3)

C) L1 : ( x, y, z) = ( 5, 1, -2) + λ ( 6, -2, 0)

L2 : ( x, y, z) = ( 0, 4, 2) + λ (4,−4

3, 0)

D) L1 : ( x, y, z) = ( 1, 0, 8) + λ ( 3, 4, 7)

L2 : ( x, y, z) = ( 6,-7, 1) + λ ( -3, 4, -7)

E) L1 : ( x, y, z) = ( 5, -2, 12) + λ ( 5, -2, 12) L2 : ( x, y, z) = λ ( 1, 1, 1)

168

615) Si A es un punto de la recta CD y B es un punto que no pertenece a ella, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) A, C y D son colineales. B) Existe una recta perpendicular a CD que pasa por B. C) Existe un plano que pasa por B y CD. D) Existe un único plano que contiene CD. E) Existe un plano que pasa por A, B y C.

616) ¿A qué recta pertenecen los puntos A ( -3, 2), B ( 0, -7) y C ( -4, 5)? Con λ R

A) ( x, y) = ( 1 + 2 λ, -1 + 3 λ) B) ( x, y) = ( 2 - λ, -1 + 2 λ) C) ( x, y) = (-1 + 2 λ, 3 - 2 λ) D) ( x, y) = (-2 - λ, -3 + 2 λ) E) ( x, y) = (-3 + λ, 2 - 3 λ)

617) Para determinar la ecuación vectorial de una recta en el espacio es necesario conocer:

(1) Dos puntos en el espacio. (2) Un punto y un vector director.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.

618) ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación vectorial 𝑝(𝑡) = (3,4,1) + 𝑡(−1,2,1)?

A) ( 0, 0, 0) B) ( 5, 0, 0) C) ( 0, 3, 4) D) ( 0, 10, 4) E) ( 2, 0, 2)

619) De las siguientes ecuaciones vectoriales, con k ℛ, ¿En cuál de ellas la recta asociada pasa por el origen?

A) 𝑝(𝑡) = (3,4,1) + 𝑡(−1,2,1) B) 𝑠(𝑘) = (2,6) + 𝑘(4,−2)

C) 𝑡(𝑘) = (2,−1) + 𝑘(6,−3) D) 𝑝(𝑘) = (4,2) + 𝑘(−4,2) E) (𝑘) = (−6,10) + 𝑘(3,10)

169

620) ¿Cuál es la ecuación cartesiana de la recta paralela al vector = (3,2) y que pasa por el punto P ( 1, 5)?

A) 2x – 3y + 13 = 0 B) 2x + 3y + 13 = 0 C) 2x + 3y – 13 = 0 D) 2x – 3y + 17 = 0 E) 2x – y + 17 = 0

621) ¿Cuál de las siguientes alternativas es SIEMPRE verdadera?

A) Si dos rectas en el espacio no se intersectan entonces son paralelas. B) Tres puntos determinan un plano. C) La intersección entre un plano y una recta es un punto. D) La intersección de dos planos es una recta. E) La intersección de tres planos distintos perpendiculares entre sí, es un punto.

622) ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenece(n) a la recta de ecuación vectorial (x, y, z) = ( 2, 0, -1) + k ( 0, 5, 1)?

I) ( 2, 0, -1) II) ( 2, 5, 0) III) ( 2, -5, -2)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) Todas

623) Determinar el valor del parámetro k para que el punto A ( 5, 9, 13) pertenezca a la recta de ecuación ( x, y, z) = ( -1, 0, 1) + k ( 2, 3, 4).

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

624) Dadas la siguientes recta 𝐿1: 𝑣(𝑘) = (𝑥, 𝑦) = (4, 2) + 𝑘(4,−2),

𝐿2: 𝑣(𝑘) = (𝑥, 𝑦) = (2,5) + 𝑘(2,−1), 𝐿3: 𝑣(𝑘) = (𝑥, 𝑦) = (4,5) + 𝑘(6,4), se puede afirmar que es(son) verdadera(s):

I) 𝐿1 ∕∕ 𝐿2 II) 𝐿1 ⊥ 𝐿3 III) 𝐿2 ⊥ 𝐿3

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo II y III D) Sólo I y III E) I, II y III

170

625) Si la recta pasa por el punto ( -1, 2, 3) y tiene como vector director ( 2, 1, 3), entonces tiene por ecuación paramétrica:

A) ( x, y, z) = ( -2k, k, 3k) B) ( x, y, z) = ( -k, 2k, 6k) C) ( x, y, z) = ( 1 + 2k, -2 + k, -3 + 3k) D) ( x, y, z) = ( -1 - 2k, 2 - k, 3 + 3k) E) ( x, y, z) = ( -1 + 2k, 2 + k, 3 + 3k)

626) La ecuación vectorial de una recta L en el espacio es (x, y, z) = ( 1, 1, 1) + ( 2, 0, 4). Al respecto, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La ecuación cartesiana de L es 2x – z – 1= 0 para y = 1 II) El punto de coordenadas ( 7, 1,13) pertenece a L

III) Una recta paralela a L es ( x, y, z) = ( 3, 1, 5) + ( 2, 0, 4)


627) ¿Cuál es el punto de intersección de las rectas (x, y) = (1, 3) + t(-3, 0) y ( x, y) = ( -3, 5) + 𝑘( -2, -1)?

A) ( -7, 3) B) ( -2, 1) C) ( 0, 0) D) ( 5, 4)

E) (8

3, 3)

628) Sea la ecuación vectorial de la recta, L: ( x, y) = ( p1, p2) + k(v1, v2). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Sus ecuaciones paramétricas están dadas por: x= 𝑝1 + k𝑣1 y= 𝑝2 + k𝑣2.

II) Sus ecuaciones paramétricas están dadas por: x= 𝑝1 + k𝑝1 y= v2 + k𝑣2.

III) Si v1, v2 son distintos de cero, se cumple que 𝑥−𝑝1

𝑣1=

𝑦−𝑝2

𝑣2.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

171

629) ¿En qué punto del espacio, una recta cuyas ecuaciones paramétricas son: x = 1 – t, y = t, z = 1 + t intersecta al plano 2x – y + z = 1?

A) ( 0, 0, 0) B) ( 0 ,1, 2) C) ( 1, 1, 0) D) ( 1, 2, 0) E) ( 1, 2, 1)

630) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y (7, -2)?

A) ( 2, 1) + ( 5, 1)

B) ( 2, 1) + ( 5, 3)

C) ( 7, -2) + ( 2, 1)

D) ( 2, 1) + ( 7, -2)

E) ( 2, 1) + ( -5, 3)

631) La ecuación cartesiana de la recta de ecuación vectorial V(t) = ( 3, -1) + t( 4, -2) es igual a:

A) x – 2y + 1 = 0

B) 7x – 3y – 4 = 0

C) x + 2y – 1 = 0

D) x – 2y – 5 = 0

E) x + 2y – 5 = 0

632) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la ecuación vectorial de la recta cuya ecuación cartesiana es 2x – y + 3 = 0?

A) ( 1, 2) + ( 0, 3)

B) ( 1, -1) + ( 2, 3)

C) ( 1, -1) + ( 1, 2)

D) ( 0, 3) + ( 1, 2)

E) ( 1, 2) + ( 0, -1)

633) ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela a la recta de ecuación vectorial v(t)= ( 2 – t, 3 + 2t)?

A) ( 1 – t, 3 – 2t) B) ( 5 – 3t, 3 + 6t) C) ( 2 + t, 3 + 3t) D) ( 2 + 2t, 3 + t) E) ( 2 – 4t, 3 – 12t)

172

634) ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a la recta de ecuación 6x – 3y + 40 = 0?

A) ( 1, -1) + t( -2, 1) B) ( 3, 1) + t( -1, -2) C) ( 3, -1) + t( 1, -2) D) ( 0, 0) + t( 2, 1) E) ( 1, 2) + t( -2, -1)

635) ¿Para qué valor de t, el punto A(13, -7) pertenece a la recta de ecuación V(t)= ( 9, -5) + t( 2, -1)?

A) 1

2

B) 1

C) -1

D) 2

E) -2

636) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales corresponde a la ecuación de la recta x + 2y – 1= 0?

A) ( 3 - 2, 1 - )

B) ( 4, 1 - 2)

C) ( 3 + 4, 4 + 2)

D) ( 3 + 2, -1 - )

E) ( -1 - 2, )

637) Respecto a la recta de ecuación ( -5, 1) + t( 1, 4) se puede afirmar que:

I) El punto ( -4, 5) no pertenece a la recta.

II) El punto ( 0, 0) no pertenece a la recta.

III) Tiene la misma dirección que la recta de ecuación y – 4x = 2.

IV) Cuando t= -1, el punto de la recta es ( -6, -3).

A) Sólo I y II B) Sólo III y IV C) Sólo I y IV D) Sólo II, III y IV E) Todas

173

638) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales representa a la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, -1, 2) y ( 2, 1, 1)?

I) r()= ( 3, -1, 2) + ( 2, 1, 1)

II) r()= ( 3, -1, 2) + ( 1, -2, 1)

III) r()= ( 2, -1, -1) + (−1

2, 1,

−1

2)


639) ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenece(n) a la recta de ecuación vectorial

r()= ( -1, 3, -2) -( 2, 3, -1)? I) ( -5, -3, 0) II) ( -1, 3, -2)

III) (1,3

2,−1

2)


640) La pendiente de la recta de ecuación vectorial r()= ( -2, 1) + ( 1, -3) es:

A) -3

B) −1

2

C) −1

3

D) 1 E) 3

641) ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación

(-5, 8, 3) + t( -2, -1, 4), con t ℜ? A) ( 1, 2,5) B) ( -4, 15, 1) C) ( 7, 4, 27) D) ( -9, 12, 11) E) ( -1, 10, -5)

174

642) Si t varía en los reales, entonces la ecuación vectorial de una recta en el espacio que pasa por los puntos ( 1, 0, 2) y ( -2, -1, 1) es:

A) ( 1, 0, 2) + t( -2, -1, 1) B) ( -2, -1, 1) + t( -1, -1, 3) C) ( 1, 0, 2) + t( -3, -1, -1) D) ( -2, -1, 1) + t( 3, 1, -1) E) ( -2, -1, 1) + t( 1, 0, 2)

643) Si la recta L en el espacio pasa por los puntos ( -4, 1, 3) y ( 1, -5, 0), ¿Cuál es la ecuación continua de la recta L?

A) 𝑥+4

5= −𝑦+1

6=

−𝑧+3

3

B) −𝑥+4

3= 𝑦−1

4=

−𝑧+3

3

C) 𝑥−4

5= 𝑦−1

6=

𝑧−3

3

D) −𝑥−4

3= −𝑦+1

4=

𝑧+3

3

E) −𝑥−4

5= 𝑦+1

6=

𝑧+3

3

644) La ecuación simétrica de la recta de ecuación vectorial ( 2, 1, 3) + ( 3, -1, 3) es:

A) 𝑥−2

3= 1−𝑦

1=

𝑧−3

3

B) 𝑥−2

3= 𝑦−1

1=

𝑧−3

3

C) 2−𝑥

3= 1+𝑦

1=

𝑧−3

3

D) 𝑥−2

3= 𝑦−1

1=

𝑧+3

3

E) 𝑥−2

3= 𝑦+1

1=

3𝑧−1

3

645) ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta de la ecuación vectorial (x, y) = (3, 1) + k( 2, 0)?

I) ( 3, 0) II) ( 1, 1) III) ( 7, 1)


175

646) Dadas las siguientes rectas 𝐿1: 𝑣(𝑘) = (𝑥, 𝑦) = (4, 2) + 𝑘(4,−2),

𝐿2: 𝑣(𝑘) = (𝑥, 𝑦) = (2, 5) + 𝑘(2,−1), 𝐿3: 𝑣(𝑘) = (𝑥, 𝑦) = (4, 5) + 𝑘(6, 34), se puede afirmar que es(son) verdadera(s):

I) 𝐿1 y 𝐿2 son paralelas.

II) 𝐿1 y 𝐿3 son perpendiculares.

III) 𝐿2 y 𝐿3 son perpendiculares.

A) Sólo I.

B) Sólo II.

C) Sólo II y III.

D) Sólo I y III.

E) Todas.

647) Si la recta ℒ ∈ ℝ3 pasa por el punto 𝑃(−1, 2, 3) y tiene como vector director =

(2, 1, 3) entonces tiene por ecuación paramétrica:

A) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−2𝑘, 𝑘, 3𝑘)

B) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑘, 2𝑘, 6𝑘)

C) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1 + 2𝑘, −2 + 𝑘,−3 + 3𝑘)

D) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1 − 2𝑘, 2 − 𝑘, 3 − 3𝑘)

E) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( −1 + 2𝑘, 2 + 𝑘, 3 + 3𝑘)

648) Se tiene dos rectas en el plano, 𝐿1 𝑦 𝐿2, cuyas ecuaciones son 𝐿1:(𝑥, 𝑦) =

𝑡(−3, 𝑎 + 1) + (1, 𝑏) y 𝐿2:(𝑥, 𝑦) = 𝑠 (1

2, 𝑏 − 1) + (1, 𝑎), con s y t números reales.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) Si a + 1 = b – 1, entonces 𝐿1 es paralela a 𝐿2.

B) Si ab = – 1, entonces 𝐿1 es perpendicular a 𝐿2.

C) 𝐿1 intersecta al eje Y en b.

D) Si (a + 1)( b – 1) = 3

2, entonces 𝐿1es perpendicular a 𝐿2.

E) El punto (1

2, 𝑏 − 1) pertenece a la recta 𝐿2.

176

649) Dado el triángulo de vértices 𝐴(2,1,0), 𝐵(−2,3,2), 𝐶(−2,3,4), ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a una recta que pasa por el vértice C y por el punto medio de 𝐴𝐵 ?

A) 𝑥+2

2= 3 − 𝑦 =

4−𝑧

2

B) 𝑥+2

2= 3 + 𝑦 =

4−𝑧

3

C) 𝑥+2

2= 3 − 𝑦 =

4−𝑧

3

D) 𝑥 + 2 = 3 − 𝑦 =4−𝑧

3


650) Se tienen dos rectas en el plano, 𝐿1 y 𝐿2, cuyas ecuaciones son

𝐿1: (𝑥, 𝑦) = 𝑡(1, 𝑎 + 2) + (2, 𝑏) y 𝐿2: (𝑥, 𝑦) = 𝑢(−2, 𝑏 − 1) + (1, 𝑎), con 𝑡 y 𝑢 números reales. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) Si 𝑎 + 2 = 1 − 𝑏 entonces 𝐿1 es paralela a 𝐿2.

B) Si 𝑎(𝑎 − 𝑏) = 2(2 − 𝑏) entonces 𝐿1 es perpendicular a 𝐿2.

C) 𝐿1 intersecta al eje 𝑌 en el punto (0 , 2𝑎 + 4 + 𝑏).

D) El punto (3, 2𝑏 − 2 + 𝑎) pertenece a la recta 𝐿2.

E) 2(𝑎 + 2) =4

𝑏−1, entonces 𝐿1 es perpendicular a 𝐿2.

177

651) Considere los puntos 𝐴 y 𝐵 de la figura adjunta. Si el punto (𝑥0, 5, 𝑧0) pertenece a la

recta que pasa por los puntos A y B. ¿Cuáles son los valores de 𝑥0 y 𝑧0?

A) 𝑥0 = 0, 𝑧0 = 14 B) 𝑥0 = 14, 𝑧0 = 4 C) 𝑥0 = 14, 𝑧0 = 0 D) 𝑥0 = −12, 𝑧0 = 0

E) 𝑥0 = 12, 𝑧0 = 3

652) ¿Cuál es el volumen en unidades cubicas del cuerpo geométrico que resulta al girar el

triángulo sobre el eje z?

A) 75𝜋 B) 45𝜋 C) 25𝜋 D) 15𝜋

E) 15

2𝜋

653) En la siguiente figura se muestran un cuarto de circunferencia de radio 2𝑟 y una semicircunferencia de radio 𝑟 . Estas figuras se hacen rotar indefinidamente en torno al eje X y forman una semiesfera y una esfera, respectivamente. ¿Cuál es la relación correcta entre el volumen de la semiesfera y la esfera?

A) Los volúmenes son iguales B) El volumen de la esfera es el doble de la semiesfera C) El volumen de la semiesfera es el doble de la esfera D) El volumen de la esfera es el cuádruple del volumen de la semiesfera E) El volumen de la semiesfera es el cuádruple del volumen de la esfera

178

654) En la figura 12, se tiene una semicircunferencia de radio 3 cm y diámetro 𝐴𝐵 , donde el triángulo isósceles 𝐴𝐵𝐶 está inscrito en ella. Si se hace girar la región achurada, en forma indefinida, en torno a la recta L, se genera un cuerpo cuyo volumen, es centímetros cúbicos, es:

A) 18𝜋 B) 9𝜋

C) 9𝜋

2

D) 18𝜋 − 2

E) 4

3𝜋

655) Se obtiene un solo cono recto si se hace girar indefinidamente un

I) Triángulo equilátero en torno a uno de sus ejes de simetría.

II) Triángulo rectángulo en torno a su hipotenusa.

III) Triángulo rectángulo en torno a un determinado cateto.


A) Solo I

B) Sólo III

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

656) Se tiene un cuadrilátero de vértice (3, 𝑝), (3,0), (8,0) y (8,4𝑝), con 𝑝 un número real

positivo. Si el volumen del cuerpo generado al rotar indefinidamente este cuadrilátero en

torno al eje de las abscisas es 140𝜋 unidades cúbicas, entonces 𝑝 es:

A) 1

√3 unidades

B) 2 unidades

C) 1

2 unidades

D) 1

4√2 unidades

E) Indeterminable con los datos entregados

179

657) En la figura adjunta, ABFG y BCDF son cuadrados congruentes, con F el punto medio de

𝐸𝐵 . Si el polígono ACDEFG se hace girar indefinidamente en torno a 𝐴𝐶 , entonces se tiene un

cuerpo formado por:

A) Dos cubos y un triángulo

B) Un cilindro y un cono

C) Un cono truncado

D) Un cilindro y un cono truncado

E) Un cilindro y una pirámide

658) El círculo de centro (0,0,0) y radio 5 cm de la figura adjunta está totalmente contenida

en el plano 𝑦𝑧. Si este círculo se desplaza según el vector (8,0,0), entonces el volumen del

cuerpo generado por el barrido de este círculo es:

A) 100π cm3

B) 120π cm3

C) 200π cm3

D) 220π cm3

E) 320π cm3

180

EJE DATOS Y AZAR

659) El gráfico adjunto muestra el registro de las masas de los sacos guardados en una bodega, de manera que todos los intervalos son de la forma [𝑎, 𝑏[, excepto el último que es de la forma [𝑐, 𝑑]. Según la información del gráfico, es FALSO afirmar que:

A) Menos del 25% de los sacos se encuentra en el intervalo [5,10[. B) 65 sacos tiene una masa mayor o igual a 15 kilos C) Hay 20 sacos más en el tercer intervalo que en el quinto intervalo. D) Hay 160 sacos guardados en la bodega. E) 35 sacos tienen una masa menor a 5 kilos.

660) En el histograma de la figura adjunta se muestra la distribución de las masas corporales, en kg, de un grupo de personas, donde los intervalos del histograma son de la forma ]𝑎, 𝑏]. Según este gráfico, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) 58 personas tienen una masa corporal menor o igual que 60 kg. B) El rango de las masas corporales es menor o igual que 50 kg. C) En total hay 80 personas en el grupo. D) Menos de la mitad de las personas tienen una masa corporal de a lo menos 50 kg. E) Un 35% de las personas tienen una masa corporal menor o igual que 40 kg.

181

661) El histograma de la figura 15 muestra la distribución de las edades de un grupo de personas, en donde no se han indicado las edades de ellas. Se puede determinar la media aritmética de las edades dadas en el gráfico, si se conoce:

(1) El valor de la mediana de la distribución (2) La suma de todas las marcas de clases de los intervalos de la distribución.

A) (1) Por si sola B) (2) Por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola, (1) y (2) E) Se requiere información adicional

662) El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg. ¿Cuánto pesa el quinto si la suma de los 4 primeros es 302?

A) 78 B) 68 C) 62 D) 58 E) 72

663) La tabla adjunta muestra las edades de 220 alumnos de un colegio. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Edad (años) 15 16 17 18 19

Alumnos 50 40 60 50 20

I) La moda es 17 años II) La mediana es mayor que la media III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 18 años.


182

664) Las fichas del peso de 10 niños, marcan en promedio 20 kg. En la oficina de control se pierde una ficha y se sabe que el promedio del resto es 19 kg. ¿Cuál es el peso del niño al que le perdieron la ficha?

A) 39 kg B) 29 kg C) 21 kg D) 20 kg E) 19 kg

665) De 50 controles acumulativos, Juan lleva promedio 6,3. Si le dan la posibilidad de borrar las tres peores pruebas, que son: 3,1; 2,7 y 3,7; entonces, su nuevo promedio será:

A) 6,5 B) 6,4 C) 6,3 D) 6,2 E) No se puede determinar

666) En un curso de 50 personas, 25 alumnos obtuvieron promedio 5,2; 20 alumnos obtuvieron promedio 5,7 y los demás promedio 6,4. El promedio del curso fue:

A) 5,70 B) 5,76 C) 5,52 D) 5,60 E) 5,80

667) Los datos corresponden al número de alfajores que se venden diariamente en un quiosco durante 18 días. De las siguientes afirmaciones cual(es) es(son) verdadera(s)?

31 22 13 19 6 31 9 19 16

7 22 25 11 28 18 30 15 31

I) La moda es menor que la mediana y que la media II) La media es menor que la moda y la mediana III) La media es mayor que la mediana.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Ninguna

183

668) La tabla de distribución de frecuencias de la figura corresponde a las estaturas de un grupo de 100 personas. 𝐶 = 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒, 𝑓 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎. La moda, media y mediana se encuentran, respectivamente, en las clases: 𝐶 Estatura (cm) 𝑓

𝑎 [1,2 − 1,4[ 10

𝑏 [1,4 − 1,6[ 34

𝑐 [1,6 − 1,8[ 28

𝑑 [1,8 − 2,0[ 24

𝑒 [2,0 − 2,2] 4

A) 𝑏, 𝑏, 𝑏 B) 𝑐, 𝑏, 𝑐 C) 𝑏, 𝑑, 𝑐 D) 𝑏, 𝑐, 𝑐 E) 𝑐, 𝑐, 𝑏

669) Si las notas de Esteban en una asignatura son: 3, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 3, 4 y de estas notas se cambia un 6 por un 7. ¿Cuál(es) de las siguientes medidas de tendencia central cambia(n)?

I) La moda II) La mediana III) La media aritmética

A) Solo II B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) Ninguna

670) La distribución de notas de un curso de 100 estudiantes es la indicada en la tabla. Entonces, con la información disponible, es posible estimar que el promedio aritmético de las notas es:

Intervalo Frecuencia Absoluta

1,5 ≤ 𝑁 < 2,5 5

2,5 ≤ 𝑁 < 3,5 22

3,5 ≤ 𝑁 < 4,5 30

4,5 ≤ 𝑁 < 5,5 31

5,5 ≤ 𝑁 < 6,5 12

Total 100

A) 3,73 B) 4,23 C) 4,53 D) 5,03 E) 5,53

671) La siguiente tabla muestra los valores de una variable 𝑋 y sus respectivas frecuencias. ¿Cuál es el valor de la mediana?

𝑿 Frecuencia

4 4

5 8

6 10

7 20

8 8

A) 5,5 B) 6 C) 6,5 D) 7 E) 7,5

184

672) De acuerdo a la siguiente muestra: 𝑎 + 2, 𝑎 + 4, 𝑎 + 6, 𝑎 + 6, 𝑎 + 6, 𝑎 + 4, 𝑎 +2, la suma de la mediana y la moda es:

A) 2(𝑎 + 6) B) 2𝑎 + 10 C) 𝑎 + 12 D) 2𝑎 E) 𝑎 + 2

673) Los datos de una muestra son todos números naturales consecutivos, si no hay ningún dato repetido y la mediana de la muestra es 11,5, entonces ¿Qué cantidad de datos no puede ser?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8

674) Si los resultados de una muestra estadística son todos ellos pares consecutivos y hay un total 102 datos, entonces ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

I) El promedio es par. II) La mediana es impar. III) La amplitud es par.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) Ninguna

675) Si una muestra estadística es formada por datos numéricos enteros positivos consecutivos, entonces dado que hay una cantidad par de datos y no se repite ninguno, la mediana puede ser:

A) 10 B) 10,5 C) 10,7 D) 10,8 E) 11

185

676) La siguiente tabla muestra un estudio de edades hecho en un grupo de lectores, ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa (s).

I) La amplitud o rango de la muestra es 11 años. II) La moda es 8 III) La media es aproximadamente 14 años.

Edades N° de alumnos

10 a 12 años 5

13 a 15 años 7

16 a 18 años 8

19 a 21 años 5

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) Ninguna de las anteriores

677) La tabla adjunta muestra la distribución de frecuencias de una variable estadística 𝑋. Si 𝑚 y 𝑝 son números enteros positivos tales que 𝑝 > 4𝑚, entonces es correcto afirmar que:

I) La mediana de la distribución se encuentra en el segundo intervalo. II) La distribución tiene dos modas.

III) El promedio de 𝑋, obtenido a partir de la marca de clase, es 5

2(𝑝 − 𝑚).

𝑿 Frecuencia

[𝑝 − 4𝑚; 2𝑝 − 3𝑚[ 𝑝 + 1

[2𝑝 − 3𝑚; 3𝑝 − 2𝑚[ 𝑝 − 1

[3𝑝 − 2𝑚; 4𝑝 −𝑚] 𝑝 + 1

Es (son) verdadera(s)


186

678) A un grupo de mujeres se les preguntó acerca de su masa corporal. Sus respuestas se

resumen en el histograma de la figura adjunta, donde los intervalos son de la forma [𝑎, 𝑏[ y

el último de la forma [𝑐, 𝑑]. Según la información del gráfico es verdadero que:

A) Sólo una mujer de las entrevistadas tiene una masa corporal menor que 64 kg. B) Exactamente, un 20% de las mujeres entrevistadas tiene una masa corporal entre

[60,64[. C) La mediana de las masas corporales está en el intervalo [64,66[. D) La moda de las masas corporales es 7. E) Exactamente, un 32% de la mujeres entrevistadas tiene una masa entre [68,72[.

679) La tabla adjunta muestra algunos datos que corresponden a una encuesta sobre el porcentaje de satisfacción por un producto, que manifestó el total de personas encuestadas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) El intervalo modal es [80,85[. B) 50 personas contestaron la encuesta. C) El 50% de los encuestados tiene menos de un 80% de satisfacción por el producto. D) El 10% de los encuestados tiene menos de un 70% de satisfacción por el producto. E) Ninguna de las personas encuestadas tiene un 100% de satisfacción por el producto.

187

680) Si la tabulación del peso de 40 niños recién nacidos se muestra en la tabla adjunta, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) La mediana se encuentra en el tercer intervalo II) Un 5% de los recién nacidos pesó 4 o más kilogramos. III) La moda se encuentra en el intervalo 3,5 – 3,9.

Peso (kg) N° de niños

2,5 – 2,9 5

3,0 – 3,4 16

3,5 – 3,9 17

4,0 – 4,4 2


681) La tabla adjunta muestra algunos de los datos que resultan de encuestar a un grupo de adultos mayores sobre la edad que tienen. Con respecto a los datos de esta tabla, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) La marca de clase del tercer intervalo es 67,5 B) El rango de la variable edad es 15 años. C) La frecuencia relativa porcentual del segundo intervalo es 18% D) La moda se encuentra en el intervalo [66,69[ E) La mediana se encuentra en el intervalo [66,69[

682) Al observar los grupos de datos P y Q de la tabla adjunta, se puede deducir que:

P 2 4 6 6 10 12

Q 2 4 6 6 10 11

A) Las modas y medias aritméticas de P y Q son iguales. B) Las medias aritméticas y las medianas de P y Q son iguales. C) La media aritmética de P es menor que la de Q. D) La mediana es la misma en P y Q. E) La moda y mediana de P y Q son distintas.

188

683) De acuerdo a la información dada por la tabla de distribución de frecuencias de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Para algún valor de p, el promedio puede ser 6 II) Para cualquier valor positivo posible de p menor que 7, la mediana es 5

III) a = 0,2 solo si p = 7


684) El gráfico adjunto muestra la distribución de frecuencias de una variable discreta X. En

esta distribución es posible calcular la media aritmética de X, si:

(1) 𝑥1 = 3; 𝑥2 = 4; 𝑥3 = 5; 𝑥4 = 6 (2) 4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 41


685) El tercer cuartil de los datos 3; 2; 5; 5; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 10; 11; 20 es:

A) 10,5 B) 8 C) 8,5 D) 9,5 E) Ninguno de los valores anteriores

x Frecuencia Absoluta

Frecuencia Relativa

4 6 5 4 a 6 p 7 3

189

686) Si la tabla adjunta muestra intervalos de minutos diarios que un grupo de 80 personas habla por teléfono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas?

I) El primer cuartil se encuentra en el mismo intervalo que el percentil 20. II) La mediana se encuentra en el tercer intervalo. III) El tercer intervalo se encuentra en el mismo intervalo que el percentil 75.

Minutos N° de personas [0,10[ 25 [10,20[ 23 [20,30[ 15 [30,40[ 10 [40,50] 7

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

687) La tabla adjunta muestra la distribución de los puntajes obtenidos por los alumnos de un curso en una prueba de matemática. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

Intervalo de

puntaje Frecuencia

10-19 6

20-29 8

30-39 12

40-49 5

50-59 9

I) La moda es de 35 II) La mediana es 34,5 III) El tercer cuartil es 47,2


688) La tabla adjunta muestra la distribución de sueldos de 45 personas de una empresa. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Tramo Número de

personas Sueldo en pesos: Desde- hasta

A 3 ]650.000 − 750.000]

B 2 ]550.000 − 650.000]

C 5 ]450.000 − 550.000]

D 15 ]350.000 − 450.000]

E 13 ]250.000 − 350.000]

F 7 ]150.000 − 250.000]

I) Hay exactamente 20 personas que ganan a lo menos $350.000 de sueldo. II) La mediana de la distribución se encuentra en el tramo D. III) El primer cuartil es 284.615

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

190

689) La distribución de pensiones en miles de pesos que recibe un grupo de adultos mayores se presenta mediante el siguiente diagrama de caja y bigote. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correctas?

I) El 25% de los pensionados gana más de $750.000 II) El promedio de las pensiones es $650.000 III) El 25% de las personas gana a lo menos $300.000


690) La tabla siguiente muestra los valores aproximados de la distribución en quintiles del ingreso familiar per cápita en Chile. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) El 60% tiene un ingreso mayor a 71 mil pesos B) El 20% tiene un ingreso entre 118 mil y 333 mil pesos C) El 20% tiene un ingreso mayor a 182 mil pesos D) El 40% tiene un ingreso no mayor a 71 mil pesos. E) El 60% tiene un ingreso a lo menos de 118 mil pesos.

691) El ingreso de Felipe está ubicado entre el segundo y tercer decil. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones respecto a este ingreso en relación a la población es (son) verdadera (s)?

I) Es inferior al 25%. II) Es superior al 20%. III) Es superior al 22%.


191

692) A continuación se presenta una tabla que indica la cantidad de agua consumida mensualmente por las familias de una ciudad. En base a lo anterior. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si 𝑥 es 70, entonces el percentil 74 se encuentra en el intervalo [12,18[.

II) Si 𝑥 es 20, entonces el decil 4 se encuentra en el intervalo [6,12[.

III) Si 𝑥 es 10, entonces el cuartil 2 se encuentra en el intervalo [12, 18[

Cantidad de agua

Consumida (𝒎𝟑)

Cantidad de personas

[0,6[ 40

[6,12[ 𝑥

[12,18[ 120

[18,24[ 20

A) Sólo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

693) En la tabla adjunta se muestran los resultados de la longitud de unos troncos cortados en un aserradero. Según los datos de la tabla, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones No se puede deducir?

Longitud (cm)

Frecuencia

(𝒙𝒊)

Marca de Clase (𝒇𝒊)

Marca de clase por

frecuencia (𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊)

[30,32[ 4 31 124

[32,34[ 7 33 231

[34,36[ 9 35 315

[36,38[ 12 37 444

[38,40] 8 39 312

Total: 1.426

A) El intervalo modal es [36,38[.

B) La media de la variable es 35,65.

C) El intervalo donde se encuentra el primer cuartil se encuentra en el intervalo

[32,34[.

D) Un 10% de los troncos mide más de 30 cm y menos de 32 cm.

E) El tercer cuartil se encuentra en el intervalo [36,38[.

192

694) En un grupo de datos la mediana es 𝑚 y la media es . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) El percentil 80 es mayor que .

B) El primer cuartil es 𝑚

2.

C) El dato más repetido es 𝑚.

D) El percentil 70 es mayor o igual que m.

E) 𝑚 =

695) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a un conjunto de datos con media igual a 5,1 y primer cuartil igual a 2?

696) De acuerdo a los 100 datos de la tabla adjunta, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El segundo cuartil se ubica en el intervalo [50,55[. II) El intervalo donde se ubica el percentil 50 coincide con el intervalo modal. III) Los datos que son mayores o iguales a 55 corresponden a menos de un 50% del total de

los datos


193

697) La tabla adjunta representa un estudio estadístico acerca de la producción de las parcelas de una región, agrupándolas en intervalos dependiendo de las toneladas de hortalizas que producen por temporada.

De acuerdo con esta información. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) informaciones es(son) falsas?

I) La mediana está en el intervalo 31 - 40 II) La moda está en el intervalo 51 – 60 III) El tercer cuartil se encuentra en el intervalo 51 - 60

A) Solo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

698) El rango del siguiente conjunto de datos es:

3,7,8,11,1,10,15,20,21,22,24,23 A) 12 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23

699) ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera (s)?

I) La desviación estándar es un número real no negativo. II) La diferencia entre un dato y el promedio de la muestra puede ser negativa. III) El rango es una medida de dispersión que puede ser negativa.

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

194

700) Debido a los malos resultados de la prueba de Matemática el profesor decide subir lasnotas en dos décimas. ¿Cuál de los siguientes estadígrafos no cambia?

I) MediaII) RangoIII) Varianza

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

701) En un supermercado todo los fines de semana los artículos están rebajados en un 10%,si se considera una muestra de 100 artículos, entonces ¿Cuál(es) de los siguientesestadígrafos de la muestra también variarían en el mismo porcentaje?

I) MediaII) RangoIII) Desviación estándar

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) I, II y III

702) La desviación estándar de los datos 4𝑎, 4𝑏 y 4𝑐 es 0,16, entonces la desviación estándarde los datos 𝑎, 𝑏 y 𝑐 es igual a:

A) 0,1B) 0,04C) 0,16D) 0,64E) 1

703) Si se consideran dos muestras, en una de ellas el peso promedio de un mamut adulto se estimaba en 7.500 kg con una desviación estándar de 500 kg, y en la otra, el peso promedio de un ratón es de 30 gramos, con una desviación estándar de 5 gramos. De acuerdo con estos datos, se puede determinar que:

A) Ambas muestras tiene igual dispersiónB) La muestra de los mamuts es más homogénea que la de los ratonesC) La muestra de los ratones es más homogénea que la de los mamuts.

D) Una muestra para el peso de los mamuts siempre tendrá mayor dispersión que una muestra para el peso de los ratones.

E) No es posible comparar su dispersión

195

704) Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 números positivos con varianza 𝜎2 y media , entonces es FALSO afirmarque:

A) Si 𝑛 > 0, entonces la varianza de 𝑎 + 𝑛, 𝑏 + 𝑛, 𝑐 + 𝑛 y 𝑑 + 𝑛 es (𝜎2 + 𝑛).B) Si 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑, entonces 𝜎2 = 0.C) La varianza de 3𝑎, 3𝑏, 3𝑐, 3𝑑 es de 9𝜎2.D) Si 𝑞 > 0, entonces la media aritmética de 𝑎 + 𝑞, 𝑏 + 𝑞, 𝑐 + 𝑞, 𝑑 + 𝑞 es ( + 𝑞).E) La varianza y la desviación estándar pueden ser iguales.

705) Se tiene cuatro números naturales de la forma (2𝑝 − 1), (2𝑝 + 1), (2𝑝 + 3) y (2𝑝 + 5).La media aritmética y la desviación típica de ellos, son respectivamente:

A) (2𝑝 + 2) y √6

B) (2𝑝 + 2) y √5

C) (2𝑝 + 1) y 2√3

D) (8𝑝 + 8) y √5

E) (8𝑝 + 2) y 2√6

706) Se tiene un conjunto formado por el número positivo "𝑛", por la mitad de 𝑛 y por el doblede 𝑛 La desviación estándar del conjunto dado, es siempre:

A) √7

6 𝑛

B) √1

2 𝑛

C) 1

3√7

2 𝑛

D) √5

6 𝑛

E) Independiente del valor de 𝑛

707) Con respecto a la tabla de frecuencias adjunta, ¿Cuál(es) de la siguientes proposicioneses (son) verdadera(s)?

Edad(años) N° de niños [0 − 4[ 2 [4 − 8[ 1 [8 − 12[ 2

I) El promedio es 6.II) El total de datos es 5.

III) La desviación estándar es √12,8

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

196

708) En una familia las edades de sus hijos son 3, 4, 7, 9 y 12 años. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si todos aumentaron un año, entonces la media sería 5 unidades mayores.II) La muestra es amodal.

III) La desviación estándar es de √10,8 años.

A) Solo IIB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) Solo II y III

709) La varianza de los datos de la tabla es:

Dato Frecuencia

12 3

13 1

14 4

15 2

A) 0,5B) 0,575C) 1,11D) 1,25E) 1,438

710) Una prueba consta de 40 preguntas y fue respondida por 70 alumnos obteniéndose unpromedio de 30 respuestas correctas con una varianza igual a 9. Si el puntaje de la prueba secalcula mediante la fórmula:

𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 = 4 ∙ 𝑛°𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 + 64

¿Cuál es la desviación estándar para el puntaje?

A) 6B) 10C) 12D) 36E) 100

711) Se tienen cuatro números 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 cuya varianza es 𝜆, entonces la varianza de𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧 𝑦 𝑘𝑤, siendo 𝑘 un número natural, es:

A) 4𝑘𝜆B) 𝑘4𝜆C) 𝑘2𝜆

D) √𝑘𝜆E) 4(𝑘 + 𝜆)

197

712) De acuerdo a la tabla adjunta, ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)verdadera(s)?

𝑥𝑖 (𝑥𝑖 − )2

4 𝐵 5 1

6 0

7 𝐴 8 4

I) 𝐴 + 𝐵 = 3

II) La desviación estándar es √2.III) La varianza es 2.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo II y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de las anteriores

713) Si todos los datos de una muestra se incrementan en 4 unidades, entonces la varianza:

A) Se incrementa en 4 unidadesB) Se incrementa en 2 unidadesC) Queda igualD) Se incrementa en un 25%E) Se incrementa en un 50%

714) Si todos los datos de una muestra se multiplican por 4, ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera (s)?

I) El promedio se cuadruplica.II) La desviación típica se cuadruplica.III) La varianza se duplica.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

198

715) Al analizar los puntajes de los 4 controles realizados por Juan y Pedro, se tuvieron lossiguientes resultados.

Juan Pedro

Promedio 613 613

Desviación estándar

54,47 168,74

De acuerdo con esta información, ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera (s)?

I) Juan tiene puntajes más cercanos a su promedio.II) Ambos han obtenido los mismos puntajes en los controles.III) Existe un error en el cálculo de las desviaciones estándar de Pedro o de Juan,

porque ambos tienen el mismo promedio.

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

716) En una muestra de 10 datos se obtiene una desviación estándar igual a 1,5, Si a cadaelemento de la muestra se agregan 10 unidades entonces la nueva desviación estándar yvarianza son, respectivamente:

A) 101,5 102,25 B) 101,5 12,25 C) 11,5 12,25 D) 1,5 102,25 E) 1,5 2,25

717) ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) Una desviación estándar pequeña, significa que los datos están concentrados cerca dela media aritmético.

B) Una desviación estándar grande, indica poca confianza en la media aritmética.C) La desviación estándar siempre es no negativa.D) Dos muestras con igual número de datos y con la misma media aritmética, tienen

desviaciones estándar iguales.E) La desviación estándar siempre se mide en la misma unidad que los datos.

199

718) Se tiene una muestra de datos 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3 y 𝑛4, donde 𝜇 es el promedio. Si a la muestra se le agrega un dato 𝑝. ¿Cuál de la siguientes afirmaciones es o son verdaderas?

I) Si 𝑝 = 𝜇 la desviación estándar aumenta. II) Si 𝑝 = 0 la desviación estándar disminuye.

III) Si 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3, 𝑛4 y 𝑝 son enteros consecutivos, la desviación estándar es √2.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

719) ¿Cuál es la correcta relación de las desviaciones estándar entre los datos de las tablas A y B?

Tabla B

Variable Frecuencia

555.553 3

555.555 4

555.557 2

Total 9

Tabla A

Variable Frecuencia

3 3

5 4

7 2

Total 9

A) 𝑆𝐴 = 1.000 ∙ 𝑆𝐵 B) 𝑆𝐴 = 555.555 ∙ 𝑆𝐵 C) 𝑆𝐴 < 𝑆𝐵 D) 𝑆𝐵 > 𝑆𝐴 E) 𝑆𝐴 = 𝑆𝐵

720) Si el promedio y la varianza de una población compuesta por los números 1, 3, 𝑝, 𝑞 son 3 y 2 respectivamente, entonces el valor de (3𝑝2 + 3𝑞2) es:

A) 12 B) 34 C) 64 D) 102 E) 202

721) Si las edades en años, de una población de 8 niños son 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11 y 19, entonces su desviación estándar, en años es:

A) √26

B) √13

C) √13

2

D) √26

2


200

722) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si todos los datos numéricos de una población son iguales, entonces la desviaciónestándar de esta población es 0.

II) Si dos poblaciones de datos numéricos tienen igual promedio, entonces sus varianzasson iguales.

III) Si todos los datos de una población son aumentados en 𝑘, con 𝑘 un enteropositivo, entonces su varianza no se altera.

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo II y IIID) Sólo I y IIIE) I , II y III

723) Se tienen los siguientes valores de una variable X:

1 1 5 9

¿Cuál de los siguientes estadísticos de X es Falso?

A) La mediana es 3B) La media aritmética es 4C) El rango es 8D) La varianza es 11E) La desviación estándar es 8

724) Se define la variable aleatoria X como la cantidad de minutos de atraso de una personaa su trabajo en un cierto día. En la tabla adjunta se muestra la función de probabilidad de 𝑋.Dado que el valor esperado de 𝑋 es 1,35 minutos entonces su desviación estándar es:

𝑘 0 1 2 3 4

𝑃(𝑋 = 𝑘) 1

3

1

4

1

5

1

6

1

20

A) √3,35 minutos

B) √1,8225 minutos

C) √1,5275 minutos

D) √1,95 minutosE) Ninguna de las anteriores

201

725) Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son tres números enteros cuya desviación estándar es 𝜎, entonces la desviación estándar de 𝑛 + 𝑎, 𝑛 + 𝑏, 𝑛 + 𝑐 con 𝑛 un número entero positivo, es:

A) 𝑛2𝜎 B) 𝜎

C) √𝑛𝜎 D) 𝑛𝜎 E) 2𝑛𝜎

726) Se tienen los siguientes datos de una variable X.

10, 12, 14, 16 Respecto de los estadígrafos de X se afirma que:

I) Mediana (X) = 13 II) Varianza (X) = 5 III) Rango (X) = 6

Es(son) verdadera(s): A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III

727) Se tiene una muestra de 𝑛 elementos con media 𝜇 y desviación estándar 𝜎. Considere una nueva muestra formada por el doble de cada elemento de la muestra original, aumentada en 5. Con respecto a la nueva muestra, se puede afirmar que:

A) Su media es 2𝜇 + 5 y su varianza 2𝜎. B) Su media es 𝜇 + 5𝑛 y su desviación estándar 2𝜎. C) Su media es 2𝜇 y su desviación estándar 2𝜎 + 5. D) Su media es 2𝜇 + 5 y su varianza 4𝜎2. E) Su media es 𝜇 + 5𝑛 y su varianza estándar es 2𝜎 + 5.

728) Se puede determinar la mediana de una población de 100 datos si:

(1) La media aritmética es 39

(2) La varianza es 0


202

729) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) características de una muestra aleatoria simple?

I) Todos los elementos de la muestra tienen la misma probabilidad de ser elegidos. II) El muestreo se puede obtener reponiendo o no reponiendo los elementos. III) El promedio de la muestra es siempre igual al promedio de la población.


730) Si en una tómbola hay 10 bolitas numeradas del 1 al 10 y se quiere seleccionar una muestra de tamaño 3. ¿Cuántas muestras de ese tamaño se pueden seleccionar, sin reposición?

A) 30

B) 103 C) 310 D) 120 E) 240

731) Sea A un conjunto cuyos elementos son los números primos entre 10 y 30. ¿Cuántas muestras de tamaño 2 se pueden obtener con los elementos del conjunto, con reposición?

A) 15 B) 21 C) 64 D) 4 E) 49

732) En una población de 𝑛 habitantes el promedio de edad es de 32 años. Se extrae un determinado número de muestras de igual tamaño y se calcula la media muestral de cada una de ellas. Si 𝑝 es el resultado de promediar las medias muestrales, entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) El valor de 𝑝 se aproxima a 32 años. II) La moda de la población es 𝑝 años.

III) De la población se pueden extraer sin reposición 𝑛!

5!∙(𝑛−5)! Muestras distintas de 5

personas cada una.

A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

203

733) Respecto al muestreo aleatoria simple, se puede afirmar que:

I) Los elementos de la población de estudio se extraen al azar. II) Cada elemento extraído de la población de estudio tienen la misma probabilidad de

ser parte de la muestra. III) La población se divide en grupos de características similares.


734) En la población 𝑃, 𝑄, 𝑅 y 𝑆 se han extraído todas las muestras de tamaño 2 y se ha calculado el promedio de cada muestra, los que se muestran en la tabla siguiente. ¿Cuál es la media de la población?

Promedio de la muestra

𝑃, 𝑄 53 𝑃, 𝑅 54 𝑃, 𝑆 55 𝑄, 𝑅 57 𝑅, 𝑆 59 𝑄, 𝑆 58

A) 53 B) 55 C) 56 D) 58 E) 60

735) Dada una población compuesta por 𝑛 números enteros, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si de esta población se pueden extraer en total 10 muestras de tamaño 3, sin reemplazo y sin orden, entonces 𝑛 = 5.

II) Desde la población se extraen todas las muestras posibles, sin orden y sin reposición, de tamaño 2, y a cada una de ellas se les calcula su promedio. Si el promedio de todos estos promedios es 𝐴, entonces el promedio de los 𝑛 datos de la población es 𝐴.

III) Desde una población se extraen todas las muestras posibles, con reemplazo de tamaño 5 y a cada una de ellas se calcula su promedio siendo el promedio de todos esos promedios igual a P. Ahora, desde la población se extraen todas las muestras posibles, sin reemplazo, de tamaño 6 y a cada una de ellas se calcula su promedio, siendo el promedio de todos estos promedios igual a T. Luego 𝑇 ≠ 𝑃.

A) Sólo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III

E) I, II y III

204

736) Sea la población 𝑃 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15. Si desde P se extraen todas las muestras posibles, sin reposición y sin orden, de tamaño 10, y a cada una de ellas se les calcula el promedio. ¿Cuál es la suma de todos estos promedios?

A) 8.008 ∙ 7,5 B) 8.008 ∙ 8 C) 3.003 ∙ 8 D) 3.003 E) 8.008

737) De una población de 10 elementos se consideran todas las M muestras de tamaño 6, sin orden y sin reposición, que se pueden seleccionar. Si el promedio aritmético de cada una de

ellas es 𝑓(𝑥) =1

𝑥−

1

𝑥+1, cuando 𝑥 ∈ 1,2,… ,𝑀, donde 𝑓(1) corresponde al promedio de

la primera muestra, 𝑓(2) al promedio de la segunda muestra, y así sucesivamente. ¿Cuál es la media aritmética de la población?

A) 210

211

B) 210

C) 1

211

D) 210

212

E) 1

738) Sea una población 𝐴 = 2,4,6,8,10. Si desde 𝐴 se extraen todas las muestras posibles, sin reposición y sin orden, de tamaño 2 y a cada una de ellas se le calcula el promedio, ¿Cuál es la suma de todos estos promedios? A) 10 B) 12 C) 6 D) 60 E) No se puede determinar

739) ¿Cuántos números menores que 400 se pueden formar con las cifras 2,3,5,6,7,9 si no repite ninguna?

A) 76 B) 70 C) 20 D) 40 E) 400

205

740) Una persona debe viajar desde Maipú a la reina, para ello dispone de 3 buses de acercamiento a la estación de metro de las rejas, luego se puede bajar en la estación Baquedano y tomar la línea 5 o en Tobalaba y tomar la línea 4, entonces ¿dé cuantas maneras lo puede hacer?

A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 10

741) Un joven dispone de dos pantalones distintos y cinco poleras diferentes, entonces ¿De cuantas maneras distintas se puede vestir con dichas prendas?

A) 2 B) 4 C) 7 D) 10 E) 25

742) En una universidad se forma una comisión de 4 personas integrada por 3 profesores de matemática y 1 de física. Si se pueden elegir entre 8 y 4 profesores respectivamente. ¿Cuántas comisiones diferentes se pueden formar?

A) 4 B) 56 C) 66 D) 224 E) 1344

743) Si se cuenta con 5 hombres y 6 mujeres para formar un equipo de trabajo compuesto por dos hombres y dos mujeres. ¿De cuantas maneras distintas se puede hacer?

A) (112) ∙ (

112)

B) (114)

C) (52) ∙ (

62)

D) (112)

E) 2 ∙ (112)

206

744) ¿Cuántos números distintos pueden formarse entre 1.000 y 2.000 con los dígitos del conjunto 1,3,4,7 si estos no se repiten?

A) 4!B) 3!C) 2!D) 1E) 3! ∙ 4!

745) En un cumpleaños habían 24 personas las que al llegar se saludaron entre sí, luego elnúmero de saludos fue:

A) 12 ∙ 23B) 24 ∙ 23C) 48D) 24 ∙ 24E) 6 ∙ 24

746) ¿Cuántos números de 3 cifras, divisibles por 5, se pueden formar con los dígitos delconjunto 0,1,2,3,4?

A) 4!B) 4! ∙ 3!C) 12D) 3!E) 20

747) Carolina, Daniela, Antonia y Victoria pertenecen a un grupo. Un profesor debe elegir ados de ellas para realizar un trabajo de matemática. ¿Cuál es el máximo número decombinaciones de parejas que se puede formar con estas cuatro niñas?

A) 8B) 2C) 6D) 12E) 16

748) Si 6 personas se ordenan en una fila al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellasqueden una junto a otra?

A) 1/6B) 2/3C) 5/6D) 1/2E) 1/3

207

749) En el restaurante “Arnaldo Carin”, se ofrece una cena de fin de año donde el menú consiste en: entrada (palta reina, tomate relleno o camarón con salsa), plato de fondo (bife de chorizo, salmón a la mantequilla o pato silvestre) y postre (copa de helado 2 sabores o postre de frutas al natural). Si el menú está conformado por una entrada, un plato de fondo y un postre, ¿Cuántas combinaciones distintas se pueden formar?

A) 8 B) 9 C) 18 D) 27 E) 36

750) ¿De cuantas maneras se pueden ordenar 2 libros de matemáticas y 3 de castellano, si los de la misma materia deben estar juntos?

A) 6 B) 5 C) 12 D) 18 E) 24

751) ¿De cuantas maneras distintas se pueden sentar en una banca de 6 asientos, 4 personas?

A) 60 B) 24 C) 120 D) 360 E) Ninguna de las anteriores

752) ¿Cuántos planos distintos determinan 6 puntos en el espacio si nunca hay más de 3 puntos en un mismo plano?


753) ¿Cuántos números hay entre 2000 y 3000 que tengan todas sus cifras distintas?

A) 3024 B) 504 C) 24 D) 720 E) 336

208

754) Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 ¿Cuántos números distintos de tres cifras distintas se pueden formar de modo que el 5 siempre ocupe el lugar de las decenas?

A) 60 B) 10 C) 27 D) 20 E) 12

755) ¿Cuántas palabras cualquiera de 8 letras, pueden formarse con permutación de las letras de la palabra “TENNESSE”?


756) Luis tiene 10 amigos de los cuales invitara a su matrimonio solamente a 7. ¿De cuántas maneras puede hacer la invitación si dos de sus amigos no pueden asistir juntos?

A) 56 B) 64 C) 36 D) 44 E) 128

757) En una clase hay 10 niños y 5 niñas. ¿De cuantas maneras puede escoger el profesor un grupo de 3 alumnos?


758) Con la misma clase del problema anterior, ¿Cuántos grupos se pueden formar con una sola niña?


209

759) ¿De cuantas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, secretario y tesorero de un club deportivo sabiendo que hay 10 candidatos?

A) 120 B) 720 C) 55 D) 504 E) 84

760) ¿De cuantas formas distintas se pueden sentar cinco personas alrededor de una mesa circular si todos se pueden sentar?

A) 24 B) 15 C) 120 D) 25 E) 10

761) Un amigo le quiere regalar a otro a lo más dos libros y los quiere elegir entre 10 que le gustan. ¿De cuantas formas puede hacerlo?

A) 90 B) 55 C) 45 D) 30 E) 10

762) ¿De cuantas maneras 2 peruanos, 4 colombianos y 3 paraguayos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?


763) Se tienen 7 personas, ¿De cuantas maneras se pueden sentar 4 de ellas en una mesa circular?


210

764) A una reunión asisten 15 personas y todos intercambian saludos, ¿Cuántos saludos se han intercambiado?

A) 210 B) 182 C) 91 D) 105 E) 24

765) Con los dígitos 1, 3, 5 y 7 ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar?

A) 8 B) 2 C) 6 D) 12 E) 24

766) ¿Cuántas palabras, de 6 letras diferentes, con la “O” en el cuarto puesto, pueden hacerse con las letras de la palabra “MEDICO”?.

A) 6 B) 24 C) 48 D) 120 E) 146

767) ¿De cuantas formas diferentes se pueden cubrir los puestos del presidente, vicepresidente y tesorero de un club de futbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

A) 220 B) 1320 C) 396 D) 660 E) 1728

Use el mismo grupo para los problemas 768, 760 y 770. El grupo está compuesto por 5 hombres y 7 mujeres.

768) Se quiere formar un comité de 2 hombres y 3 mujeres. ¿De cuantas formas puede formarse si cualquier hombre o mujer puede pertenecer al comité?


211

769) ¿De cuantas formas puede formarse si una mujer determinada debe pertenecer al comité?

A) 70 B) 200 C) 350 D) 150 E) 140

770) ¿De cuantas maneras se puede formar el comité si dos hombres determinados no pueden estar en el comité?

A) 630 B) 315 C) 105 D) 210 E) 35

771) Con las cifras 1, 2 y 3, ¿Cuántos números de 5 cifras pares pueden formarse?

A) 243 B) 81 C) 405 D) 36 E) 120

772) ¿De cuantas formas pueden sentar en una fila de 5 asientos: 2 hombres, 2 mujeres y un niño de modo que a la derecha e izquierda del niño se encuentre siempre una mujer?

A) 12 B) 18 C) 8 D) 36 E) 24

773) ¿Cuántos diccionarios bilingües hay que editar si consideramos los idiomas español, inglés, francés, portugués y alemán?

A) 2 B) 5 C) 10 D) 9 E) 7

212

774) Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distingue entre sí, ¿De cuantas formas posibles pueden ordenarse?


775) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los números del 1 al 9?

A) 9!/3! B) 999 C) 93 D) 9!/6! E) 9!/(6!3!)

776) En una localidad, la patente de un auto se forma con una vocal en la primera posición y a continuación tres de los dígitos ordenados de distinta forma sin repetirlos. ¿Cuántas patentes como máximo existirían en la localidad?

A) 30 patentes B) 32 patentes C) 720 patentes D) 2520 patentes E) 3600 patentes

777) ¿De cuantas maneras distintas pueden ordenarse 5 libros distintos, uno al lado del otro?

A) 20 B) 60 C) 120 D) 5 E) 240

778) Se tienen 6 libros de historia, física, arte, manualidades, mecánica y cocina. ¿Cuántas formas hay para ubicarlos en una repisa, uno al lado del otro, si se quiere que los libros de historia y arte estén siempre en los extremos?

A) 16 B) 16∙3! C) 2∙3! D) 2∙4! E) 8!

213

779) ¿Cuántos números distintos de 4 cifras pueden escribirse con los dígitos pares, si estos no pueden repetirse?

A) 96 B) 8 C) 12 D) 24 E) 48

780) ¿De cuantas formas se pueden agrupar las letras de la palabra SALERO de modo que las vocales siempre permanezcan en lugares pares?

A) 6 B) 10 C) 18 D) 36 E) 9!

781) ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con los dígitos del conjunto 0,2,3,5,7 pudiendo repetirse estos números?

A) 19 B) 100 C) 500 D) 125 E) 250

782) Se tienen 720 elementos. ¿Cuántos grupos de 6 elementos se pueden formar sin reposición y sin orden?

A) 720 ∙ 719 ∙ 718 ∙ 717 ∙ 716 ∙ 715 B) 720 ∙ 6! C) 714! D) 720! E) 719 ∙ 718 ∙ 717 ∙ 716 ∙ 715

783) De un grupo formado por 6 físicos y 5 químicos, se quiere formar una comisión, la cual estará integrada, en total por 3 físicos y 2 químicos. ¿Cuántas comisiones distintas se pueden formar?

A) 30 B) 200 C) 256 D) 300 E) 462

214

784) De un conjunto de 𝑛 elementos distintos, con 𝑛 > 3, se extraen todas las muestras posibles, sin orden y sin reposición, de tamaño 3. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa siempre el número total de estas muestras?

A) 𝑛(𝑛 − 1) B) 3𝑛 C) 𝑛3

D) 𝑛!

3! ∙(𝑛−3)!

E) 𝑛!

3!

785) De un grupo de 6 médicos generales y 5 cirujanos, todos de distintas edades, se quiere formar una comisión presidida por el cirujano de más edad del grupo, la cual estará integrada en total, por 3 médicos generales y 3 cirujanos. ¿Cuántas comisiones distintas se pueden formar?

A) 100 B) 110 C) 120 D) 121 E) 200

786) El número de todas las posibles muestras distintas, sin orden y sin reposición, de tamaño 3 que se pueden formar con un total de 10 elementos, es:

A) 45 B) 120 C) 210 D) 252 E) 720

787) Un programa computacional genera números de cuatro dígitos distintos entre sí y ningún dígito puede ser cero. ¿Cuántos de estos números están formados con exactamente 3 números primos?

A) 4! (43) (51)

B) 3! (43) (51)

C) 4! (53) (41)

D) 4! (42) (53)


215

788) Se tiene una población compuesta por las fichas 1, 2, 3, 4, 4, 5, y 6. ¿Cuál es la cantidad de todas las posibles muestras (sin reposición y sin orden) de tamaño 2 que pueden extraerse desde esta población?

A) 7 B) 14 C) 15 D) 21 E) 35

789) Un taller fabrica fichas plásticas y le hacen un pedido de fichas impresas con todos los números de tres dígitos que se pueden formar con el 0, el 1, el 2, el 3 y el 4. ¿Cuál es el triple del pedido?

A) 100 B) 125 C) 180 D) 300 E) 375

790) Si se forman palabras de 5 letras (con o sin significado) con las letras de la palabra PROBLEMA, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 120 palabras contienen solo consonantes II) 240 palabras tienen a E y A en los extremos III) 7! palabras empiezan con L


791) El número de todas las posibles muestras distintas, sin orden y sin reposición, de

tamaño 4 que se pueden formar con un total de 10 elementos, es

A) 10 B) 1000 C) 70 D) 210 E) 5040

216

792) ¿Cuántos números pares de tres cifras distintas se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4 y 5?

A) 30 B) 52 C) 72 D) 90 E) 120

793) Al lanzar un dado y una moneda, ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 36

794) En un local de comida rápida, Patricio puede escoger un combo que contiene una de 5 hamburguesas distintas y una bebida entre 4 sabores distintos ó bien un jugo entre 2 sabores distintos y todo esto acompañado de papas fritas. ¿Cuántos combos distintos puede armar Patricio?

A) 11 B) 13 C) 18 D) 30 E) 40

795) ¿Cuál es el valor de (𝑚 + 𝑛), si se sabe que 8!

𝑚! ∙ 𝑛! Es igual a 14?

A) 5 B) 7 C) 9 D) 12 E) 18

217

796) ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a !4 ?

I) !2!2

II) !1!1!1!1

III) 212

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas

797) ¿Cuál de los siguientes números no es divisor de ?!6

A) 8 B) 9 C) 10 D) 14 E) 18

798) Sea p el sucesor de q . Entonces !p es

A) !1q

B) !ppq

C) !1 qq

D) !1 qp

E) !1 qp

799) Cuatro parejas de esposos se sientan en torno a una mesa para jugar a las cartas. Si las parejas deben quedar juntas entonces. ¿De cuantas maneras se pueden ubicar?

A) 7! B) 149 C) 124 D) 100 E) 96

800) ¿De cuantas maneras se pueden ubicar 5 autos en una fila en un estacionamiento?

A) 5 B) 10 C) 25 D) 120 E) 125

218

801) ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden hacer con todas las letras de la palabra ELEMENTO?

A) 3!

B) 5! C) 8!

D) !5

!8

E) !3

!8

802) ¿De cuántas maneras distintas se puede sentar una familia de 7 integrantes alrededor de una mesa circular?

A) !4!3

B) !4!3

C) !6

D) !7

E) !1!7

803) Si se lanza un dado 3 veces consecutivas y en cada ocasión se anota el resultado, la cantidad de combinaciones posibles es:

A) 6! B) (3+6)! C) 18!

D) 63

E) 36

804) En un campamento de fútbol participan 8 equipos locales. ¿De cuántas maneras distintas pueden ser ocupados los tres primeros lugares?

A) 6 B) 21 C) 56 D) 336 E) 512

805) ¿Cuál es el valor de ?6

3

4

2 CC


219

806) Una señora tiene 9 amigos de confianza, ¿De cuántas maneras puede invitar a comer a 5 de sus amigos?

A) 5! B) 9! C) 45 D) 105 E) 126

807) ¿Cuantas formas distintas hay de ordenar la palabra PATATA?


808) Si una población se compone de 7 elementos, entonces el número de muestras de tamaño 4, sin reposición, es:

A) 12 B) 25 C) 35 D) 210 E) 840

809) ¿Cuántos números distintos de tres cifras se pueden formar, de manera que todas ellas sean impares?

A) 5 B) 25 C) 60 D) 125 E) 625

810) Una tómbola contiene cinco bolitas azules y cuatro bolitas rojas. ¿De cuantas formas se pueden escoger tres bolitas azules y dos bolitas rojas?

A) 60

B) 120

C) 12

D) 126

E) 10

220

811) El rey David, con sus nueve fieles caballeros, se sientan en la famosa mesa redonda. ¿De cuántas formas se puede sentar el rey con sus caballeros?

A) 8! B) 9! C) 10! D) 11! E) 9! ∙ 11!

812) Un grupo de ocho estudiantes deben hacer una fila. Si hay seis mujeres y en los extremos se ubican los hombres, ¿Cuántas filas diferentes pueden formarse?

A) 120 B) 126 C) 720 D) 1.440 E) 40.320

813) ¿Cuántas palabras con o sin sentido, se pueden formar con todas las letras de la palabra MAIMONIDES?

A) 10!

B) 10 ∙ 2 ∙ 3

C) 10 + 2 + 3

D) 10!

2!∙2!

E) 10!

4!

814) Si el número de combinaciones de n objetos tomados de dos en dos es igual a 15, ¿Cuál es el valor de n?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

221

815) En la final de un concurso hay seis hombres y ocho mujeres, de los que pueden ganarsólo tres hombres y cuatro mujeres. ¿Cuántos grupos de ganadores distintos se puedenformar?

A) 1.800B) 1.400C) 90D) 3.432E) 400

816) En una junta de vecinos de 10 personas se debe elegir un presidente, un vicepresidentey un tesorero. ¿De cuántas maneras distintas puede formarse este comité?

A) 504B) 5.040C) 120D) 720E) 1.000

817) En un barco hay seis banderas, cuatro rojas y dos azules. ¿Cuántas señales diferentes sepueden formar con estas seis banderas, ubicadas en una línea vertical?

A) 15B) 720C) 30D) 48E) 26

818) Todos los años se selecciona una delegación de cuatro estudiantes de un colegio, paraasistir al concurso anual de atletismo. Si hay doce estudiantes, siendo dos de ellos hermanos,que no están dispuestos a asistir el uno sin el otro. ¿De cuantas maneras puede escogerse ladelegación?

A) 255B) 210C) 70D) 135E) 45

819) En una heladería hay 5 variedades de sabores para escoger: chocolate, vainilla, lúcuma,frutilla y naranja. Para un cono se pueden escoger tres de estos sabores, sin orden específicoy sin repetirlo. ¿Cuántas combinaciones distintas de sabores se pueden escoger?

A) 5B) 10C) 15D) 20E) 25

222

820) Una persona tiene 8 pares diferentes de zapatos. Tomando en cuenta que nunca repite la elección del mismo par de zapatos durante la semana. ¿De cuántas formas diferentes puede elegir los zapatos que usará durante una semana?

A) 1 B) 5 C) 7 D) 8 E) 10

821) ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar cuatro libros de física, tres de química y cinco de matemática en un estante lineal, si los libros de cada asignatura deben estar siempre juntos?

A) 4! ∙ 3! ∙ 5! B) 4! ∙ 3! ∙ 5! ∙ 3 C) 4! ∙ 3! ∙ 5! ∙ 3! D) 4 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 3 E) 12!

822) En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 pasteles? Considere que puede repetir su elección.

A) 10 B) 15 C) 25 D) 125 E) 126

823) Con las letras A,B,C,D,E,F y G se desea formar códigos de tres letras. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Es posible formar un total de 210 códigos diferentes, sin repetición de letras. II) Es posible construir 343 códigos, si en un mismo código se permite la repetición de

letras. III) Es posible construir sólo 5 códigos, en los cuales aparece la letra A en primer lugar y

la letra E en el último lugar y se permite la repetición de letras.


223

824) Una familia compuesta por: un papá, una mamá y dos hijos se sienta a la mesa para almorzar, si solo el papá siempre mantiene su lugar, entonces: ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar a la mesa para almorzar?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 24

825) Una urna contiene 13 bolas negras, 12 rojas y 7 blancas. ¿Cuál es el menor número de extracciones para tener la certeza que hay a lo menos una de cada color?

A) 3 B) 19 C) 21 D) 26 E) 28

826) Siendo 𝑛 distinto de cero, si (𝑛+1)!−𝑛!

(𝑛−1)!= 7𝑛, entonces 𝑛 es igual a:

A) 7 B) 0 y 7 C) 10 D) 1 E) 2

827) ¿Para qué valor de 𝑥 de tal modo que se cumpla que (𝑥2) = 10?

A) 4 B) 5 C) 4 y 5 D) 10 E) 12

828) Cuatro parejas de esposos se sientan en torno a una mesa para jugar a las cartas. Si las parejas deben quedar juntas entonces: ¿De cuantas maneras se pueden ubicar?

A) 7! B) 149 C) 124 D) 100 E) 96

224

829) ¿Cuántos grupos de 5 personas se pueden formar entre 4 niños y 7 niñas si debe haber por lo menos 2 niñas incluidas?


830) ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) (𝑛𝑝) = (

𝑛𝑞), si 𝑝 + 𝑞 = 𝑛

II) 2!+3!+4!

16= 2!

III) (𝑛0) = 0


831) Se entregan dos premios a un grupo de personas. Se puede saber el número de formas en que se reparten, si:

(1) El grupo está formado por dos hombres y tres mujeres. (2) Una persona no puede recibir los dos premios.

A) (1) Por sí sola B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

832) Se puede saber el número de formas distintas como se deben disponer alrededor de una mesa un grupo de seis personas, si:

(1) La mesa tiene forma circular. (2) La mesa tiene dispuestas seis sillas.


225

833) Con las letras de una palabra, se puede saber la cantidad de palabras de cinco letras con o sin sentido que se forman, si:

(1) La palabra tiene 3 consonantes diferentes. (2) La palabra tiene 2 vocales distintas.


834) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es son verdadera(s)?


835) Si P es una función de probabilidad en un experimento aleatorio donde se definen dos

sucesos A y B, con 0AP y 0)( BP , ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅. II) 𝑃(𝐴𝐶) = 1 − 𝑃(𝐴). III) Si A y B son complementarios y 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, entonces 𝐴 ∪ 𝐵 = Ω (Ω es todo el

espacio muestral).

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

226

836) Si dos sucesos A y B tienen intersección no vacía, entonces la probabilidad de que no ocurran ambos a la vez es lo mismo que:

A) 1 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) B) 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐵) C) 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴) D) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) E) Ninguna de las anteriores

837) Si 𝐴 y 𝐵 son dos sucesos mutuamente excluyentes y la probabilidad de 𝐴 es 0,2 y la de 𝐵 es 0,5. Entonces, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es:

A) 0,7 B) 0,01 C) 0,3 D) 0,1 E) 0

838) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones permiten afirmar que los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes?

I) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵/𝐴) II) 𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴) III) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)


839) Dado un experimento aleatorio y dos sucesos A y B, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝑃(𝐴𝐶) = 1 − 𝑃(𝐴) II) 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) III) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

227

840) De acuerdo a la regla de Laplace de cálculo de probabilidades. Si se tienen dos

probabilidades P(A) Y P(B) de suceso para los eventos A y B, respectivamente y además se

cumple que 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ≠ 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). ¿Qué podemos conjeturar sobre los eventos A y

B?

A) Es más probable que ocurran de manera conjunta, es decir, 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) > 𝑃(𝐴) +

𝑃(𝐵). B) Es más probable que ocurran de manera disjunta, es decir, 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) < 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).

C) Es igual de probable que ocurran ambos, es decir, 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).

D) Es menos probable que ocurra A que B, es decir 𝑃(𝐴) < 𝑃(𝐵).

E) Es menos probable que ocurra B que A, es decir𝑃(𝐵) > 𝑃(𝐴)

841) Dados los sucesos A y B ¿Cuál de las alternativas representa al suceso “Ocurra A pero no B”.

A) 𝐴 ∪ 𝐵𝐶 B) 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 C) 𝐴 ∩ 𝐵 D) 𝐴 ∪ 𝐵 E) 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶

842) Si la probabilidad de que ocurra un suceso D es 1

7. ¿Cuál es la probabilidad de 𝐷𝐶 ∪ 𝐷?

A) 1 7⁄

B) 3 7⁄

C) 6 7⁄

D) 8 7⁄

E) 1

843) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) Se verifica que si los sucesos A y B son independientes entonces 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵). II) Se verifica que si los sucesos A y B son dependientes entonces

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵/𝐴). III) Se verifica que si A y B son sucesos no excluyentes, entonces 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)


228

844) Al tener el siguiente suceso: “Se tiene una urna con 5 bolitas rojas y 2 azules, se extrae una bolita y no se devuelve a la urna. Determinar la probabilidad que al realizar dos extracciones estas sean del mismo color”.

¿Con qué fórmula debo calcular la probabilidad solicitada?

I) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) II) P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B/A) III) P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B)


845) Respecto al siguiente suceso: “Se lanza un dado normal, se registra su número y luego se vuelve a lanzar el dado y se suma su número con el del primer lanzamiento” Es verdadero afirmar siempre que:

I) Son sucesos complementarios II) Son sucesos independientes III) Son sucesos dependientes


846) Considere el siguiente suceso: “Lanzar un dado normal y definir el evento A como obtener un número par y el suceso B como obtener un número menor a 2”. Es correcto afirmar que:

I) Son eventos independientes II) Son eventos excluyentes III) Son eventos no excluyentes


229

847) Considere el siguiente suceso: “Lanzar un dado normal y definir el evento A como obtener un número par y el suceso B como obtener un número impar”. Es correcto afirmar que:

I) Son eventos complementarios II) Son eventos excluyentes III) Son eventos no excluyentes

A) Sólo B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

848) Una bolsa contiene galletas de tres sabores distintos: 8 de chocolate, 9 de frambuesa y 13 de manzana, todas de igual peso y tamaño. Si una persona saca galletas al azar, una a una, y luego se come la galleta extraída, ¿Cuál es la probabilidad de que las primeras dos galletas sean de manzana y la tercera de chocolate?

A) 13

30∙13

30∙8

30

B) 13

30+12

29+

8

28

C) (13

30+12

29) ∙

8

28

D) 13

30∙12

29∙8

28

E) 13

30+13

29+

8

28

849) En una bolsa hay 5 fichas rojas, 2 azules y 3 amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos de ellas la primera sea azul y la segunda sea roja?

A) 8

10∙5

10

B) 2

10∙5

9

C) 2

10∙4

9

D) 1 −2

9∙5

9


230

850) En un cofre hay 10 aros de perlas de igual peso y tamaño, de los cuales 5 son blancos, 4 son rosados y 1 negro. Si se extraen 3 aros al azar, ¿Cuál es la probabilidad de extraer un aro blanco, un aro negro y nuevamente uno blanco en ese orden y sin reposición?

A) 1,5% B) 2% C) 2, 7% D) 3% E) Ninguna de las anteriores

851) Un grupo de estudiantes de cuarto medio realizó una encuesta que arrojó los siguientes resultados: El 40% de los encuestados ve películas por Netflix, el 33% las ve por Internet y el 20% en utiliza ambos medios para ver películas, el resto no ve películas. Determine cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s).

I) La probabilidad de que al seleccionar una persona al azar y este vea solo películas por

cable es un 0,13. II) La probabilidad de que al escoger una persona al azar y esta vea solo películas por

netflix es un 20%. III) Existe un 53% de probabilidad de escoger una persona al azar y esta no vea películas.

A) Sólo I B) Sólo III C) Solo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

852) En una tómbola hay diez bolitas blancas, seis azules y dos rojas. Si se sacan al azar dos bolitas una tras otra sin reposición, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que ambas no sean blancas?

A) 8

18∙7

18

B) 8

18+

7

17

C) 8

18∙7

17

D) 10

18∙9

17

E) 10

18+

9

17

231

853) Se tiene una caja 𝐴 que contiene cuatro tarjetas rojas y cinco azules, y una caja B que contiene tres tarjetas rojas y seis azules, todas las tarjetas de igual forma y tamaño. Si desde cada caja se extrae una tarjeta al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?

A) 13 27⁄

B) 8 28⁄

C) 10 27⁄

D) 5 27⁄

E) 14 27⁄

854) En una caja hay 6 bolitas verdes, 10 rojas y 4 azules. Si se sacan tres bolitas sin reposición, ¿Cuál es la probabilidad de que saque una verde, después una azul y finalmente una roja?

A) 6

20+

4

20+10

20

B) 6

20+

4

19+10

18

C) 6

20∙4

19∙10

18

D) 1

20∙1

19∙1

18

E) 1

20+

1

19+

1

18

855) Se tienen diez tarjetas numeradas del 0 al 9. Si se extrae una de ellas, se repone y se extrae una segunda tarjeta, ¿Cuál es la probabilidad de que ambas tarjetas estén numeradas por el mismo valor?

A) 0,01 B) 0,01 C) 0,1 D) 0,2 E) 0,5

856) Se quiere crear una clave secreta compuesta por cuatro dígitos. Si solo se pueden utilizar los números 2, 3, 4, 5 y 6, pudiendo repetir dígitos, ¿Cuál es la probabilidad de que una clave comience con el número 5?

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5

232

857) Para un concurso se debe elegir un jurado de tres personas. Si hay ocho candidatos y Juan es uno de ellos, ¿Cuál es la probabilidad de que Juan no sea jurado?

A) 0

B) 5 8⁄

C) 1 2⁄

D) 3 8⁄

E) 1

858) Si en un costurero hay siete botones de diferentes colores y se pondrán en fila, en un chaleco, ¿Cuál es la probabilidad de que el botón rojo quede en primer lugar?

A) 1 7⁄

B) 2 7⁄

C) 3 7⁄

D) 5 7⁄

E) 6 7⁄

859) ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?

I) En el experimento aleatorio “lanzar tres veces una moneda”, tiene un espacio muestral de tres elementos.

II) En el experimento aleatorio “lanzar dos monedas distintas”, su espacio muestral tiene 6 elementos.

III) El suceso complementario del espacio muestral es el conjunto vacío.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Ninguna de ellas

860) Isabel tiene 15 fichas en una caja y va a escoger aleatoriamente cinco de ellas. ¿Cuál es la probabilidad de que entre las cinco fichas escogidas esté su favorita?

A) 2 3⁄

B) 1 2⁄

C) 1 3⁄

D) 1 6⁄

E) 1 9⁄

233

861) En el experimento aleatorio lanzar tres monedas, ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) ejemplo (s) de evento (s) mutualmente excluyente (s)?

I) “Obtener exactamente dos caras” y “Obtener exactamente dos sellos” II) “Obtener a lo más una cara” y “Obtener a lo más un sello” III) “Obtener exactamente un sello” y “Obtener a lo menos una cara”

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) Ninguna de ellas.

862) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado normal, no salga un número primo?

A) 1/3 B) 1/4 C) La misma que salga par D) La misma que salga un 3 E) La misma que salga un múltiplo de 4

863) Se lanza una moneda 3 veces y se obtienen 3 caras, ¿Cuál es la probabilidad que la cuarta vez se obtenga cara?

A) 1

2

B) 1

4

C) 3

4

D) 3

8

E) 7

16

864) Si se lanzan tres monedas, ¿Cuál de los siguientes eventos es imposible?

A) Obtener al menos una cara. B) Obtener como máximo un sello. C) Obtener exactamente dos caras. D) Obtener un sello y tres caras. E) Obtener como máximo dos caras.

234

865) Si se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 10 puntos?

A) 2

36

B) 3

36

C) 7

36

D) 11

36

E) 12

36

866) En una caja se encuentran 12 tarjetas numeradas de 1 al 12, las tarjetas que tienen impreso un número primo son verdes, las que tienen impreso un múltiplo de 4 son amarillas y el resto rojas. ¿Cuál es la probabilidad que al extraer una tarjeta, esta sea de color rojo?

A) 1

4

B) 1

3

C) 5

12

D) 7

12

E) 2

3

867) ¿Cuál es la probabilidad de que se obtengan 3 caras al lanzar una moneda 4 veces?

A) 1

3

B) 1

4

C) 2

3

D) 3

4

E) 1

64

868) Un matrimonio tiene 4 hijos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?

I) La probabilidad de que sean 4 hijos varones es 1

4

II) La probabilidad de que sean 2 varones y 2 damas es 3

8

III) La probabilidad de que sean a lo menos dos hijos varones es 11

16


235

869) Al lanzar 5 monedas, ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)? I) La probabilidad de obtener 3 caras, es igual a la de obtener 3 sellos. II) La probabilidad de obtener a lo más una cara, es igual a la probabilidad de obtener a

lo menos 2 sellos. III) La probabilidad de obtener 4 sellos, es igual a la mitad de la probabilidad de obtener

3 sellos.

A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

870) Si se lanza un dado, ¿Cuál es la probabilidad que el resultado corresponda a un número mayor que 4 o a un número primo?

A) 1

6

B) 1

3

C) 2

3

D) 5

6


871) Se tiene una moneda cargada, en que la probabilidad de obtener cara es 1 3⁄ . ¿Cuál es

la probabilidad que salga cara en solo uno de los tres lanzamientos?

A) 4 9⁄

B) 1 3⁄

C) 3 8⁄

D) 4 27⁄

E) 2 3⁄

872) En el curso 4°A hay el doble de mujeres que de hombres y en 4°B hay 5 hombres menos que mujeres. Si la probabilidad de elegir un alumno que sea hombre es la misma en ambos cursos, entonces. ¿Cuántos alumnos en total tiene el 4°B?

A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35

236

873) En un mazo de cartas inglesas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una pica, un corazón, un diamante, un trébol, y nuevamente un corazón, en ese orden y sin reposición?

A) 13

52∙13

51∙13

50∙13

49∙13

48

B) 13

52∙ 4 +

12

48

C) 13

52+13

51+13

50+13

49+12

48

D) 13

52∙13

52∙13

52∙13

52∙12

51

E) 13

52+13

52∙13

52∙13

52∙12

51

874) Una compañía de seguros debe elegir a una persona para desempeñar cierta función de entre 50 aspirantes. Entre los candidatos, algunos tienen título universitario, otros poseen experiencia previa en el área de seguros y algunos cumplen ambos requisitos como se indica en la tabla adjunta:

Título Sin título

Con experiencia 5 10

Sin experiencia 15 20

Si se elige un aspirante al azar entre los 50, entonces. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones


I) La probabilidad de que el elegido tenga experiencia es 3

10

II) La probabilidad de que el elegido tenga título es 2

5

III) La probabilidad de que el elegido no tenga experiencia es 5

10

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I , II y III

875) En un viaje de gira de estudio 1.200 alumnos deben escoger entre dos opciones, un

crucero por Oceanía y/o un viaje a Europa. Si 1

4 escoge solo Oceanía,

2

3 escoge solo Europa

y 1

12 ambos, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno escogido al azar escoja sólo

uno de estos viajes?

A) 11 12⁄

B) 1 12⁄

C) 1 4⁄

D) 5 12⁄

E) 7 12⁄

237

876) Al lanzar un dado cargado, la probabilidad de que salga un número impar es el triple de la probabilidad de que salga un número par. Si se lanza un dado dos veces, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que ambos lanzamientos se obtenga un número impar?

A) 1

4

B) 1

16

C) 3

16

D) 9

16

E) 12

16

877) Se tienen 5 bolitas blancas y 3 negras en una urna y 5 blancas y 7 negras en otra urna. ¿Cuántas bolitas blancas es necesario traspasar desde una urna a la otra para que la probabilidad de sacar una bolita negra sea la misma en ambas urnas?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

878) En una urna con fichas azules, blancas, rojas y verdes, la probabilidad de escoger una ficha azul o blanca es 0,4. Si en la urna hay 15 fichas de las cuales 7 son verdes entonces ¿Cuál es el número de fichas rojas?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 2 E) 3

879) Un concurso consiste en elegir una de tres cajas que se encuentran tapadas dentro de las cuales hay sobres y solo uno de ellos contiene el premio. La caja 1 tiene 8 sobres, la caja 2 tiene 5 sobres y la caja 3 tiene 4 sobres ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s).

I) La probabilidad de ganar si escoge la caja 3 es 1

12

II) Si el concursante ganó, la probabilidad que el sobre provenga de la caja 2 es 8

23

III) Si el concursante pierde, la probabilidad que el sobre provenga de la caja 1 es 35

97


238

880) En una población hay 1.000 jóvenes entre hombres y mujeres, los cuales practican un solo deporte, entre Futbol y Tenis. De los hombres 340 practican Futbol y 230 Tenis. Además 180 mujeres practican Futbol. Si escogemos un joven al azar, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y practique Tenis?

A) 25

48

B) 22

25

C) 1

4

D) 23

100

E) 43

100

881) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 4 sellos, si se lanza una moneda 5 veces?

A) 1

16

B) 1

32

C) 4

32

D) 5

32

E) 10

32

882) En un grupo de 80 deportistas, la cuarta parte de ellos juega tenis, la quinta parte práctica natación y la décima parte práctica ambos deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un deportista escogido al azar practique tenis o natación?

A) 16

80

B) 20

80

C) 28

80

D) 36

20

E) 44

80

883) En cada una de dos bolsas hay fichas rojas y blancas. En la primera bolsa las fichas rojas duplican a las blancas y en la segunda bolsa las fichas blancas son 5 menos que las rojas. Si la probabilidad de sacar una ficha blanca, es la misma en ambas bolsas, ¿Cuántas fichas hay en la segunda bolsa?

A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35

239

884) Al contestar 3 preguntas de verdadero o falso. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?

I) La probabilidad de contestar erróneamente solo 2 preguntas es 3

8

II) La probabilidad de contestar correctamente a lo menos 2 preguntas es 3

8

III) La probabilidad de no contestar ninguna pregunta correctamente es 1

8


885) Si se lanzan n monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas muestre un sello?

A) 1

2

B) 𝑛

2

C) (1

2)𝑛

D) (1 −1

2)𝑛

E) 1 − (1

2)𝑛

886) Se tienen dos urnas A y B con pelotas blancas y rojas. En la urna A hay 3 pelotas rojas y 6 blancas, en la urna B hay 5 rojas y 2 blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona con los ojos vendados escoja una pelota roja de cualquier urna?

A) 1/2 B) 1/4 C) 5/14 D) 11/21 E) Ninguna de las anteriores.

240

887) En la bolsa A hay 5 bolitas rojas y 6 azules, mientras que en la bolsa B hay 4 rojas y 5 azules. ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) falsa (s)?

I) La probabilidad de sacar una roja en ambas bolsas es la misma. II) La probabilidad de sacar una azul de la bolsa A más la probabilidad de no sacar azul

en la bolsa B, es 1/2 III) Si todas las bolitas se reúnen en una sola bolsa, entonces la probabilidad de sacar

una azul es 55%

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Todas

888) Si se lanzan 3 monedas normales, entonces ¿Cuál es la probabilidad de sacar a lo menos una cara?

A) 1/8 B) 1/3 C) 3/8 D) 5/8 E) 7/8

889) En una caja hay dos bolitas rojas, 3 azules y 5 amarillas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita que no sea roja?

A) 0,2 B) 0,3 C) 0,5 D) 0,7 E) 0,8

890) Para ganar un concurso una persona debe extraer 4 bolitas de una tómbola que contiene 12 bolitas verdes y 5 rojas, todas de igual peso y tamaño. ¿Cuál es la probabilidad que tiene de ganar si para ello ninguna de las tres primeras extracciones debe ser una bolita roja?

A) 11

34

B) 12

17∙11

16∙10

15∙9

14

C) 5

17∙4

16∙3

15

D) 12

17∙11

17∙10

17∙13

17


241

891) Una persona contesto cada una de las 75 preguntas de la PSU de matemática al azar. ¿Cuál es la probabilidad que haya tenido todas las respuestas correctas?

A) 5

75

B) (1

5)−75

C) (1

5)75

D) √755


892) De un matrimonio que tuvo 5 hijos. ¿Cuál es la probabilidad que de ellos hayan sido a lo menos 4 hombres?

A) 1

8

B) 5

32

C) 3

16

D) 5

16

E) 16

16

893) ¿Cuál es la probabilidad de acertar con clave correcta en un candado de 4 “ruedas”, donde cada “rueda” cuenta con los dígitos del 0 al 9. Conociendo además que la clave correcta solo tiene dígitos pares sin repetir?

A) 120

94

B) 4!

104

C) 1

120

D) 60

104

E) 5!

10!

894) ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado 4 veces seguidas no se obtenga ningún 4?

A) 1

64

B) 1

44

C) (5

6)4

D) 125

126

E) (2

3)4

242

895) Una caja contiene 8 bolitas rojas y 5 negras, todas de igual peso y tamaño. Si se extraen dos bolitas. ¿Cuál es la probabilidad de que no sean del mismo color?

A) 8

13∙5

12

B) 8

13+

5

12

C) 8∙5

13

D) 13

12

E) 20

39

896) Al extraer dos cartas al azar de un naipe ingles de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad que ambas sean ases?

A) 4

52+

3

51

B) 1

26

C) 4

52∙4

51

D) 2

663

E) 1

221

897) Se tienen dos cajas idénticas que contienen cada una bolitas de igual peso y tamaño. En la primera hay dos bolitas blancas y tres azules, mientras que la segunda tiene 4 blancas y una azul. Al extraer una bolita de la caja al zar, ¿Cuál es la probabilidad que la bolita sea blanca?

A) 2

3

B) 1

5

C) 3

5

D) 1

2

E) 4

5

898) Un juego consiste en lanzar sucesivas veces un dado, hasta que la cara superior muestre seis puntos, en cuyo caso el juego termina. ¿Cuál es la probabilidad que el juego termine en el tercer lanzamiento?

A) 25 216⁄

B) 1 18⁄

C) 1 36⁄

D) 1 216⁄

E) 1

6+1

6+1

6

243

899) De un naipe inglés, que consta de 52 cartas de cuatro tipos; corazón, diamante, espada y trébol con números del 1 al 13, se toman 4 cartas. ¿Cuál es la probabilidad que todas correspondan a números distintos?

A) 51

52∙50

51∙49

50

B) 5

16

C) 3

51

D) 3

52

E) 16

17∙22

5∙8

49

900) En un curso de 60 alumnos de habla hispana, 1 3⁄ habla inglés, 1 4⁄ habla francés y 1 10⁄

los dos idiomas. ¿Cuál es la probabilidad que un alumno elegido al azar hable aparte del idioma español, solo un idioma?

A) 1

2

B) 29

60

C) 1

4

D) 23

60

E) 7

12

901) Cierta tarde, en una pastelería que solo vende torta de pila o lúcuma, 38 personas compraron una torta. Aquellos que llevaron la de lúcuma excedieron en 6 a los que prefirieron piña. Si de los compradores, 12 fueron mujeres y 4 de ellas llevaron torta de piña, ¿Cuál es la probabilidad que al revisar las boletas de compra, una de ellas corresponda a un cliente hombre que prefirió torta de piña?

A) 2 19⁄

B) 6 19⁄

C) 4 19⁄

D) 7 19⁄

E) 10 19⁄

902) Al lanzar tres dados, ¿Cuál es la probabilidad de que no salga ningún 3?

A) 1 2⁄

B) 215 216⁄

C) 25 216⁄

D) 1 36⁄

E) 125 216⁄

244

903) En una tómbola hay 20 bolitas, entre rojas, verdes y azules. La probabilidad de extraer una roja es de 1/5 y de sacar una verde es 1/4 ¿Cuántas bolitas son azules?

A) 9 B) 4 C) 5 D) 11 E) 10

904) Formando palabras con o sin sentido con las letras de la palabra PADRE, ¿Cuál es la probabilidad que las vocales queden juntas?

A) 9/10 B) 2/3 C) 3/5 D) 1/5

E) 4!∙2!

5!

905) Esteban, José, Daniela y Pedro, deben formar parejas, para que cada una de ellas realice un trabajo de matemáticas o de historia. Si las parejas o los trabajos se reparten al azar ¿Cuál es la probabilidad de que Esteban y Daniela realicen el trabajo de matemáticas?

A) 1/6 B) 1/12 C) 1/2 D) 1/3 E) 1/24

906) En una bolsa hay cuatro bolitas, de color verde, rojo, amarillo azul, todas de igual peso tamaño. Si se sacan al azar una a una todas las bolitas, ¿Cuál es la probabilidad de extraer la roja antes que la amarilla?

A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 5/6 E) 4/5

907) Una tómbola contiene 5 bolitas blancas y 6 negras. Si se extraen 2 bolitas al azar, la probabilidad que ambas sean negras es:

A) 3/11 B) 360/121 C) 36/121 D) 2/11 E) Ninguna de las anteriores

245

908) Si se responde al azar una prueba de verdadero y falso, de 4 preguntas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de responder 3 correctas es 1 4⁄ .

II) La probabilidad de responder a lo menos 3 correctas es 15 16⁄ .

III) La probabilidad de responder a lo menos 3 correctas es 5 16⁄ .


909) Al lanzar una moneda 5 veces seguidas, ¿Cuál es la probabilidad que salga cara en los primeros tres lanzamientos y sello en los dos últimos?

A) 1/3 B) 2/3 C) 1/4 D) 1/8 E) 1/32

910) Si al lanzar una moneda ha salido cara, ¿Qué probabilidad hay que al lanzar un dado salga un seis?

A) 1/2 B) 3/4 C) 2/5 D) 2/3 E) 1/6

911) Juan y María tienen 6 hijos, ¿Cuál es la probabilidad que de ellos hayan tenido a lo menos 4 hombres?

A) 1/8 B) 22/32 C) 15/64 D) 5/32 E) 22/64

246

912) Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de que se obtenga un número impar o múltiplo de 3.

A) 1/2 B) 2/3 C) 1/3 D) 1/6 E) 5/6

913) Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40 cartas. Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean revés.

A) 1/100 B) 1/5 C) 1/130 D) 23/130 E) 1/20

914) Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga ningún 6?

A) 0 B) 1/1296 C) 10/3 D) 2/3 E) 625/1296

915) En un naipe de 40 cartas se toman 3 cartas distintas. Calcular la probabilidad de que sean números distintos.

A) 1/64.000 B) 3/40 C) 1/59.280 D) 4/3.705 E) 192/247

916) El 25% de los habitantes de una villa de 200 personas son jubilados, otro 25% son estudiantes. Si al 80% de los jubilados, al 10% de los estudiantes y al 20% del resto de la población les gusta la música clásica entonces, la probabilidad de que elegida una persona al azar le guste este tipo de música es:

A) 13

40

B) 1

3

C) 2

3

D) 1

120

E) 3

4

247

917) La probabilidad de que una pareja compre una casa o un auto, o ambos son 0,20; 0,15 y 0,03 respectivamente, ¿Cuál es la probabilidad de que compre al menos uno de estos bienes?

A) 0,38 B) 0,32 C) 0,35 D) 0,62 E) 0,68

918) En una bolsa hay en total 30 bolitas del mismo tipo numeradas en forma correlativa del 1 al 10. Si se extrae al azar una bolita de la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de que esta tenga un número de un dígito o un número múltiplo de 10?

A) 1

9∙1

2

B) 9

30+

3

29

C) 1

9+1

2

D) 9

30+

3

30

E) 9

30∙3

30

919) En una caja se tiene una tarjeta con el número 1, otra con el número 2 y una tercera con el número 3, todas de igual forma y tamaño. Se extraen dos tarjetas al azar, una tras otra y sin reposición, anotando el valor de cada una de ellas. Si alguno de los valores extraídos es un número par, entonces el resultado del experimento será igual a la suma de ambos valores; en cambio, si ambos valores extraídos son números impares, entonces el resultado del experimento será igual al producto de ambos valores. El espacio muestral del experimento es:

A) 3,5 B) 2,4,6 C) 1,4,9 D) 1,3,4,5,9 E) 2,3,4,5,6

920) Se lanza una moneda y dos dados comunes, uno a continuación del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que en la moneda salga sello y de que el número del primer dado sea el doble que el número del segundo?

A) 1 12⁄

B) 1 24⁄

C) 21 36⁄

D) 2 3⁄

E) 1 2⁄

248

921) ¿Cuál(es) de la siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Al lanzar un dado común, para que salga un 5 es necesario lanzarlo como mínimo 5 veces. II) Al lanzar una moneda tres veces, los casos favorables de obtener dos caras es la misma de

obtener dos sellos. III) Al lanzar ocho dados comunes a la vez, la probabilidad de que en todos ellos aparezca un

6 es 0.


922) Se tienen tres cajas con tres bolitas, una de color azul y dos de color blanco, en cada una de ellas y todas las bolitas son del mismo tipo. Si se extrae al azar una bolita de cada caja, ¿Cuál es la probabilidad de que éstas sean dos azules y una blanca?

A) 2 3⁄

B) 2 27⁄

C) 2 9⁄

D) 4 27⁄

E) 1 9⁄

923) Si 𝑃 es una función de probabilidad en un experimento aleatorio donde se definen los sucesos A y B, con 𝑃(𝐴) ≠ 0 y 𝑃(𝐵) ≠ 0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces 𝑃(𝐴/𝐵) = 0. II) Si A y B son independientes, entonces 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) III) Si A y B son eventos independiente 𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐵/𝐴)


249

924) Se cuenta con una caja con 3 monedas: una normal, una donde la probabilidad de

obtener cara es de 1

6 y otra con 2 caras. Se selecciona una moneda al azar y luego se lanza.

¿Cuál es la probabilidad de que salga cara?

A) 1

2

B) 2

5

C) 5

9

D) 2

9


925) Tres niños escriben al azar una de las siguientes vocales: a, e, i. ¿Cuál es la probabilidad que los tres hayan escrito la misma vocal?

A) 1

9

B) 1

27

C) 2

27

D) 1

3


926) Una enciclopedia tiene 5 tomos (numerados), si se colocan al azar en un librero, ¿Cuál es la probabilidad de que queden ordenados numéricamente (en sentido creciente o decreciente)?

A) 1 30⁄

B) 1 60⁄

C) 1 15⁄

D) 3 14⁄


927) Dentro de una bolsa hay 𝑥 bolas blancas e 𝑦 bolas negras, tales que 𝑥 + 𝑦 = 30. Si la

probabilidad de sacar una bola blanca es 2

15. ¿Cuántas bolas negras hay?

A) 2 B) 4 C) 13 D) 14 E) 26

250

928) En una caja hay en total 40 bolitas del mismo tipo, unas de color rojo, otras de color azul y otras de color negro. Al sacar una bolita al azar de la caja, se puede determinar la probabilidad de que esta sea de color negro, si se sabe que:

(1) Al extraer al azar una bolita de la caja, la probabilidad de que sea negra es igual a la probabilidad de que sea roja.

(2) La cantidad de bolitas azules que hay en la caja es la mitad de la cantidad de bolitas rojas que hay en la caja.


929) En una caja hay 22 fichas de color azul, rojo y blanco, de las cuales 10 son rojas. Se puede determinar la probabilidad de sacar una ficha azul, si:

(1) La probabilidad de sacar una ficha roja o blanca es 9 11⁄ .

(2) La probabilidad de sacar una ficha blanca es 4 11⁄ .

A) (1) Por si sola B) (2) Por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

930) Al lanzar dos dados, podemos conocer los números, si:

(1) El producto de ellos es 12 y a lo más hay un número impar. (2) La diferencia entre el mayor y el menor es el neutro multiplicativo.


251

931) Un estudiante tiene un estuche con lápices de pasta, mina y a tinta. Si saca un lápiz sin mirar, se puede determinar la probabilidad de que se un lápiz pasta, si:

(1) La probabilidad de sacar un lápiz mina es 1 3⁄ .

(2) Hay 6 lápices en total y uno de ellos es tinta.


932) En una bolsa hay 6 chocolates entre rellenos y no rellenes. Si se saca un chocolate al azar, entonces se puede saber la probabilidad de que este sea relleno, si:

(1) Se sacaron 2 chocolates y eran rellenos. (2) La razón entre rellenos y no rellenos es 1: 2


933) La probabilidad de extraer una bola roja de una caja es 1 4⁄ . La probabilidad de extraer

una bola azul se puede calcular, si:

(1) El total de bolas que hay en la caja es 12. (2) En la caja hay bolas rojas, blancas y azules.


934) Se tiene una bolsa con fichas verdes y rojas de igual tamaño y peso. Se puede determinar la probabilidad de sacar una ficha roja si:

(1) El número de fichas rojas es mayor que el número de fichas verdes (2) El número total de fichas es 36

A) (1) por si sola B) (2) por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adiciona

252

935) Una variable aleatoria es:

A) Una propiedad B) Un suceso C) Una función D) Un conjunto E) Un experimento

936) ¿Cuál de las siguientes variables aleatorias es discretas?

A) Tiempo de espera en la fila de una caja de supermercado B) Temperatura máxima registrada diariamente en una ciudad C) Masa de un recién nacido D) Cantidad de combustible que una persona le coloca a su vehículo semanalmente E) Número de reclamos diarios que recibe una empresa de telecomunicaciones

937) ¿Cuál (es) de los siguientes enunciados define una variable aleatoria discreta?

I) Consumo de kilos-watt hora durante una semana. II) Número de clientes que esperan pagar en la caja de un supermercado. III) Número de llamadas que recibe un celular en una hora.


938) ¿Cuál (es) de los siguientes enunciados define una variable aleatoria continua?

I. Cantidad de gasolina consumida por un vehículo. II. Tiempo necesario para armar un puzle de 1.500 piezas. III. El consumo diario de agua potable de un condominio.


253

939) En un test de 5 preguntas de verdadero y falso, se define la variable aleatoria X como el número de preguntas falsas que se obtiene. ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera (s)?

I) El recorrido de la variable aleatoria es 1,2. II) El espacio muestral del experimento tiene 32 casos posibles. III) Los resultados para la variable aleatoria X son equiprobables.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III

940) En el experimento de lanzar un dado común se define la variable aleatoria 𝑋 como la cantidad de números impares obtenidos, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El recorrido de 𝑋 es 1,3,5 II) 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑃(𝑋 = 1)

III) El valor esperado de 𝑋 es 1

2.


941) Se lanzan dos dados no cargados y se define la variable aleatoria 𝑋 =𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 de la diferencia de los puntajes. ¿Cuál es la probabilidad de que 𝑋 = 5?

A) 1 9⁄

B) 1 12⁄

C) 1 36⁄

D) 5 36⁄

E) 1 18⁄

254

942) Una caja contiene dos tarjetas numeradas con el 1 y el 2 y se define la variable aleatoria 𝑋: 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑠𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠, con reposición. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝑋 es una variable aleatoria discreta II) El espacio muestral tiene 3 elementos III) 𝑅𝑒𝑐𝑋: 2,3,4

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

943) Al lanzar un dado de seis caras no cargado y considerando la variable aleatoria 𝑋: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟. ¿Cuál de los siguientes valores tiene una sola preimagen?

A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7

944) En el experimento de lanzar dos dados comunes, se define la variable aleatoria 𝑋 como el valor absoluto de la diferencia de los números que se obtienen. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A) 𝑃(𝑋 ≥ 0) = 1

B) 𝑃(𝑋 ≥ 2) =10

21

C) 𝑃(𝑋 = 0) =6

36

D) El recorrido de 𝑋 es 0,1,2,3,4,5 E) 𝑃(𝑋 ≤ 5) = 1

255

945) Una bolsa tiene 30 tarjetas, de las cuales tres de ellas tienen un DOS, cuatro de ellas tienen un CINCO, cinco de ellas tienen un SEIS, siete de ellas un DIEZ, cinco de ellas un ONCE y seis de ellas un CATORCE. Se realiza el experimento de extraer una tarjeta al azar y se define la variable aleatoria 𝑋 es 𝑃. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 𝑃(𝑋 = 10) > 𝑃(𝑋 = 11)

II) 𝑃(𝑋 = 6) = 1 6⁄

III) 𝑃(𝑋 = 14) = 1 5⁄


946) Se realiza un experimento que consiste en laza simultáneamente tres monedas de distinto color y se define la variable aleatoria 𝑋 como la cantidad de sellos obtenidos Si 𝑋 toma el valor 2. ¿Cuántos elementos del espacio muestral de este experimento cumplen con esta condición?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

947) Se lanza una moneda cuatro veces y se define la variable aleatoria 𝑋 como el número de sellos obtenidos. ¿Cuál es el valor de 𝐹(2)?

A) 0,3125 B) 0,3750 C) 0,6250 D) 0,6875 E) 0,9375

948) Se define la variable aleatoria 𝑋, como el valor absoluto de la diferencia de los puntos en el lanzamiento de los dos dados, entonces 𝑃(𝑋 ≤ 3) es:

A) 1 9⁄

B) 2 6⁄

C) 3 6⁄

D) 4 6⁄

E) 5 6⁄

256

949) En una caja se tiene 5 bolitas numeradas con el número 1; cuatro con el número 2; tres con el número 3; dos con el número 4 y una bolita con el número 5, todas de igual tamaño y peso. Si se escoge una bolita al azar de la caja y la variable aleatoria 𝑋 corresponde al número marcado en la bolita ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a la función de probabilidad 𝑃(𝑋 = 𝑛)?

A) 1

𝑛

B) 2

5−

𝑛

15

C) 𝑛

15

D) 6 −𝑛

15

E) 5

𝑛

950) En una bolsa hay 10 fichas, todas de igual peso y tamaño; 4 fichas son de color blanco y 6 son rojas. Si se define la variable aleatoria 𝑋 como la cantidad de fichas de color blanco que se obtienen en las extracciones indicadas a continuación, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si se extraen 3 fichas a la vez, los valores de 𝑋 son 0,12,3,4 II) Si se extraen 6 fichas a la vez los valores de la variable aleatoria 𝑋 son 0,1,2 III) Si se extraen 5 fichas a la vez los valores de 𝑋 son 0,1,2,3,4


951) Una bolsa contiene 10 cubitos de igual tamaño, 4 dorados, 3 plateados y 3 blancos. Si se extraen, sin reposición, 3 cubitos y se definen las siguientes variables aleatorias con sus recorridos, entonces. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) El recorrido es 1,2,3 si la variable aleatoria 𝑋 es número de cubitos plateados. II) El recorrido es 1,2,3,4 si la variable aleatori 𝑌 es número de cubitos dorados. III) El recorrido es 3,4 si la variable aleatoria 𝑍 es un cubito de cada color.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I, II y III E) Ninguna de las anteriores

257

952) Una bolsa contiene 5 fichas enumeradas del 5 al 9. Si se extraen 3 fichas una tras otra sin reposición y se define la variable aleatoria 𝑍 como el menor valor de fichas sacadas, entonces ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) FALSA(S)?

I) El espacio muestral tiene 6 elementos. II) 𝑃(𝑋 = 5) = 2𝑃(𝑋 = 6) III) El recorrido de 𝑍 es 5,6,7,8,9


953) Se lanza dos veces un dado y se define una variable aleatoria 𝑋 de la siguiente manera: Se designa el valor 1 cuando el primer número es mayor que el segundo; o si los dos números son iguales y -1 si el primer número es menor que el segundo. Entonces ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) 𝑃(𝑋 = 0) =6

36

B) El recorrido de la variable aleatoria es −1,0,1 C) 𝑃(𝑋 = −1) = 𝑃(𝑋 = 1)

D) 𝑃(𝑋 = 1) =5

36


954) Se tiene un dado cargado donde la probabilidad de obtener un número par es un tercio de la probabilidad de obtener un número impar. Se define la variable aleatoria 𝑋 como el número obtenido, entonces. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la correcta?

A) La probabilidad de obtener un número primo es 5

6

B) 𝑃(𝑋 = 2) = 3𝑃(𝑋 = 5) C) 𝑃(𝑋 < 3) = 𝑃(𝑋 > 4) D) 𝑃(𝑋 = 6): 𝑃(𝑋 = 1) = 3: 1 E) Ninguna de las anteriores

258

955) En dos cubos se han impreso, en cada uno de ellos, dos números uno, dos números cero y dos números -1. Si se lanza uno tras otro, y se define la variable aleatoria 𝑊 como la suma de los cuadrados de los números obtenidos por las caras obtenidas, entonces. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) El recorrido de la variable aleatoria es −2,−1,0,−1,−2. II) 𝑃(𝑊 = −1) = 𝑃(𝑊 = 1) III) 𝑃(𝑊 = 1) = 𝑃(𝑊 = 2)

A) Solo I B) Solo III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de las anteriores

956) Una caja contiene 13 bolitas de la misma forma y tamaño, enumeradas del 1 al

13. Si se extraen 6 bolitas al azar una tras otra, sin reposición, y se define la variable

aleatoria 𝑋 como la cantidad de bolitas que tienen un número compuesto, ¿Cuál es

el recorrido de la variable aleatoria?

A) 1,2,3,4,5,6

B) 0,1,2,3,4,5,6

C) 2,3,4,5,6

D) 0,2,3,4,5,6

E) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

957) Con respecto a la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

𝑿 𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊) 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙𝒊) 10 0,11 0,11

20 0,19 0,3

30 𝑀 𝑁

40 0,23 0,67

50 0,17 0,84

60 𝑄 1

I) 𝑁−𝑄

2= 𝑀

II) 𝑀 +𝑄 = 𝑃(𝑋 ≤ 20) III) 𝑃(𝑋 > 40) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 30)


259

958) Según las estadísticas en el centro de la ciudad el 20% de las familias no tienen hijos, un 35% tienen hijos, un 30% tienen 2 hijos y un 15% tienen tres hijos. Si se define la variable aleatoria 𝑋 como el número de hijos de una familia escogida al azar en el centro de la ciudad, ¿Cuál es la probabilidad de que 𝑋 > 1?

A) 0,30 B) 0,35 C) 0,45 D) 0,55 E) 0,80

959) Un estuche contiene solo 10 lápices del mismo tipo, de los cuales 3 son azules, 2 son rojos y 5 negros. Si se extraen simultáneamente, al azar 6 lápices del estuche y se define la variable aleatoria 𝑋 como el número de lápices azules extraídos, ¿Cuáles son todos los posibles valores de 𝑋?

A) 0, 1, 2 y 3 B) 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 C) 1, 2 y 3 D) 1, 2, 3, 4, 5 y 6 E) 0, 2, 3, 4, 5, 6 y 7

960) Una caja contiene en total 10 fichas del mismo tipo y solo de dos colores, 𝑚 son azules y 𝑛 son rojas. Si se extraen a alzar 5 fichas a la vez de la caja y se define la variable aleatoria 𝑋 como el número de fichas azules que se obtienen, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si 4𝑚 = 6𝑛, entonces los posibles valores de 𝑋 son: 0,1,2,3,4,5. II) Si 𝑛 = 𝑚 + 4, entonces los posibles valores de 𝑋 son: 0,1,2,3.

III) Si 𝑚

𝑛= 1, entonces los posibles valores de 𝑋 son: 0,1,2,3,4,5.


260

961) Una urna contiene 10 bolitas, todas del mismo tipo, cuatro están marcadas con el 1, dos con el número 2 y el resto con el número 3. Se saca una bolita al azar de la urna y se registra su número y se devuelve a la urna, luego se saca otra bolita al azar y se registra su número. SI se define la variable aleatoria 𝑋 como “La suma de los números de las bolitas extraídas”. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Los valores que puede tomar la variable aleatoria 𝑋 son 1, 2, 3, 4, 5 ó 6.

II) 𝑃(𝑋 = 3) =2

25

III) 𝑃(𝑋 = 4) =9

25

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) Ninguna de las anteriores

962) En el experimento de lanzar dos dados comunes se define la variable aleatoria 𝑋 como el valor absoluto de la diferencia delos números que se obtienen. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) 𝑃(𝑋 > 0) =5

6

B) 𝑃(𝑋 = 2) > 𝑃(𝑋 = 3)

C) 𝑃(𝑋 = 0) =1

6

D) El recorrido de 𝑋 es 1,2,3,4,5

E) 𝑃(𝑋 > 0) = 1 − 𝑃(𝑥 = 0)

963) Se lanza dos veces un dado, y se define la variable aleatoria X como el producto de los puntos obtenidos. ¿Cuántos elementos tiene el recorrido de la variable aleatoria X?


261

964) En el experimento de lanzar tres monedas, se define una variable aleatoria como el número de caras que se obtienen. Si p es la probabilidad de que la variable aleatoria tome

el valor 0 y q es la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor 2, entonces

p q es:

A) 3

8

B) 3

4

C) 1

2

D) 2

3

E) Ninguno de los valores anteriores

965) Se define la variable aleatoria X como el número de llamadas de urgencia a un servidor y se sabe que P(X = 3) = 0,1; P(X = 2) = 0,2; P(X = 1) = 0,4; siendo 3 el número máximo de llamadas posibles. ¿Cuál es la probabilidad que se reciba a lo más una llamada?

A) 0,70 B) 0,60 C) 0,40 D) 0,30 E) 0,21

966) Si definimos la variable aleatoria X como la cantidad de ases obtenidos al extraer 4 cartas, sin reposición, de una baraja inglesa, entonces 𝑃(𝑋 = 4)

A) 4

52

B) (4

52)4

C) 4! ∙ 48!

52!

D) 1

12

E) 1

13

262

967) Se lanza una moneda no cargada 3 veces y se define la variable aleatoria 𝑋 como el

número de caras obtenidas. ¿Cuál(es) de los siguientes valores corresponden a posibles

resultados que pueda tomar la variable 𝑋?

I) 0

II) 1

III) 2

IV) 4

A) Sólo I y II

B) Sólo I, II y IV

C) Sólo II, III y IV

D) Sólo I, II y III

E) I, II, III y IV

968) Un bolso contiene 14 bolitas del mismo tipo, de las cuales 10 son blancas y 4 son rojas. Si se extraen simultáneamente, al azar, 5 bolitas del bolso y se define la variable aleatoria X como el número de bolitas blancas extraidas, ¿cuáles son todos los posibles valores de X?

A) 1, 2, 3, 4 y 5

B) 0, 1, 2, 3 y 4

C) 1, 2, 3 y 4

D) 0, 1, 2, 3, 4 y 5

E) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10

969) Se lanzan dos dados normales y se define la variable aleatoria 𝑋 com la diferencia en

valor absoluto de los resutlados obtenidos. 𝑃(𝑋 = 0) es:

A) 0

B) 1 6⁄

C) 1 12⁄

D) 1

E) Otro valor

263

970) En un lapicero hay 3 tipos de lápices , 4 rojos, 5 azules y 1 verde.Si se extraen simultaneamente, 3 lápices y se define la variable aleatoria X como el número de lápices rojos extraidos, ¿Cuáles son todos los posibles valores de X?

A) 1, 2 y 3

B) 0, 1, 2 y 3

C) 0, 1, 2, 3 y 4

D) 1, 2, 3 y 4

E) 0, 1, 2, 3, 4 y 5

971) En la siguiente tabla se muestran las edades de un grupo de jóvenes que asistió a una

graduación.

Edad (años) Frecuencia

16 2

17 12

18 10

19 2

Se eligen dos jóvenes al azar y se define la variable aleatoria 𝑋 como el valor absoluto de la

diferencia de sus edades. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmación(es) es o son falsa(s)?

I) 𝑃(𝑋 = 0) =113

325

II) 𝑃(𝑋 = 3) =4

325

III) 𝑃(𝑋 = 2) =44

325

A) Sólo I

B) Solo II

C) Sólo II y III

D) I, II y III

E) Ninguna

264

972) De los siguientes ejemplos de diferentes variables aleatorias: ¿cuál(es) es(son) discreta(s)?

I) Cantidad de hermanos de una persona. II) Número de hijos de una familia del colegio. III) Tiempo para armar un rompecabezas.


973) Si se lanza 3.600 veces una moneda, entonces el número de caras que saldrá será:

A) Exactamente 1.800 veces B) Exactamente 3.600 veces C) Exactamente 1.300 veces D) Aproximadamente 1.800 veces E) Aproximadamente 3.600 veces

974) Si se lanza una moneda 1000 veces seguidas, registrándose sus resultados. ¿Cuál es la probabilidad en este conjunto de lanzamientos de haber obtenido cara?

A) 50% B) Menos del 50% C) Cercana al 50% D) Más del 50% E) No es posible determinar

975) Si se lanza 1.200 veces un dado común, entonces el número 3 saldrá

A) Exactamente 240 veces B) Exactamente 200 veces C) Exactamente 120 veces D) Aproximadamente 240 veces E) Aproximadamente 200 veces

976) Si se lanzan 2.000 veces dos dados comunes, entonces según la Ley de los Grandes Números, ¿En qué porcentaje, aproximadamente, de esas repeticiones ocurrirá que el producto de los números obtenidos será un número par?

A) 25% B) 30% C) 50% D) 75% E) 80%

265

977) Se realiza el siguiente experimento: se lanza un dado no cargado 3000 veces y en 500 de

ellas se obtiene un número 1. Al respecto se puede afirmar siempre que

A) La probabilidad teórica de obtener el número 1 al lanzar el dado es menor que la

probabilidad experimental de obtener el número 1 al lanzar el dado.

B) La probabilidad teórica de obtener el número 1 al lanzar el dado es mayor que la probabilidad experimental de obtener el número 1 al lanzar el dado

C) La probabilidad teórica de obtener el número 1 al lanzar el dado coincide con la probabilidad experimental de obtener el número 1 al lanzar el dado.

D) La probabilidad teórica de obtener el número 1 al lanzar el dado coincide con la probabilidad experimental de obtener el número 2 al lanzar el dado.


978) Se lanzarán simúltaneamente 4 monedas, definiendo la función de variable aleatoria 𝑓

como el número de caras que resultan.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝑓 es una función de variable aleatoria continua II) La probabilidad de que resulte al menos 1 cara es igual a 1 − 𝑓(0) III) La probabilidad de que resulte a lo más 1 cara es igual a 𝑓(0) + 𝑓(1)

Es (son) correcta(s): A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III

266

979) En una variable aleatoria discreta 𝑋 que tiene la siguiente función de probabilidad:

𝑓(𝑥) =

𝑘(𝑥2 − 1) 𝑠𝑖 𝑥 = 2, 3,4𝑘𝑥

4𝑠𝑖 𝑥 = 1, 5

0 𝐸𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

El valor de 𝑘 es:

A) 3 2⁄

B) 2 55⁄

C) 2 90⁄

D) 2 29⁄

E) 1 26⁄

980) En el experimento de lanzar una moneda tres veces, se define la variable aleatoria 𝑋

como el número de sellos obtenidos en los tres lanzamientos. ¿Cuál de los siguientes gráficos

representa la función de probabilidad de la variable aleatoria 𝑋?

A) B)

C) D)

E)

267

981) En una variable aleatoria discreta X que tiene la siguiente función de probabilidad

𝑓(𝑥) = 𝑘(9 − 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 = 5,6,7,8

0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

El valor de k es:

A) 2 3⁄

B) 1 9⁄

C) 1 15⁄

D) 1 10⁄

E) 1 5⁄

982) La función de probabilidad de la variable aleatoria 𝑋 viene dada por la tabla.

𝑿𝑰 -2 -1 0 1 2

𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊) 0,08 0,32 0,05 a 0,32

Entonces, cuál(es) de la(s) siguientes afirmaciones es o son verdadera(s):

I) 𝑃(𝑋 = 1)= 0,23 II) 𝑃(𝑋 ≥ 1) =0,55 III) 𝑃(𝑋 ≤ −1) = 0,4

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

983) La siguiente tabla muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria 𝑋.

𝑥𝑖 1 2 3 4

𝑃(𝑋

= 𝑥𝑖)

𝑘

2 3𝑘 5𝑘

3 2𝑘

¿Cuál debe ser el valor de 𝑘?

A) 1 43⁄

B) 6 43⁄

C) 8 43⁄

D) 9 43⁄

E) Ninguno de los valores anteriores

268

984) La siguiente tabla muestra la distribución de una variable aleatoria discreta

𝑥 0 1 2

𝑓(𝑥) 0,2 3𝑎 2𝑎

¿Qué valor debe tener 𝑎 para que 𝑓(𝑥) sea una función de probabilidad?

A) 1 B) 0,8 C) 0,16 D) 0,32 E) 0,48

985) ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función de probabilidad?

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) Ninguna de ellas

986) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa con respecto al gráfico?

A) 𝑃(𝑋 = 10) = 0 B) 𝑃(𝑋 = 3) = 0,2 C) 𝑃(𝑋 = 1) < 𝑃(𝑋 = 2) D) ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) = 1

3𝑖=0

E) 𝑃(𝑋 > 1) = 0,6

269

987) La siguiente tabla muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria 𝑋.

𝒙𝒊 0 1 2 3 4

𝑷(𝑿

= 𝒙𝒊)

2𝑎 3𝑎 4𝑝 6𝑝 2𝑎

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) Si consideramos que 𝑝 =𝑎

2 entonces 𝑃(𝑋 = 3) = 0,25.

II) Si consideramos que 𝑎 = 3𝑝, entonces 𝑃(𝑋 = 4) =6

31.

III) Si consideramos que 𝑎 = 𝑝, entonces 𝑃(𝑋 = 2) =2

17

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

988) Una caja contiene 10 bolitas, todas del mismo tipo, tres numeradas con el 0, cuatro

numeradas con el 1, y tres numeradas con el 2. Se saca una bolita al azar de la caja, se registra

su número y no se devuelve a la caja, luego se saca otra bolita al azar y se resgistra su número.

Si se define la variable aleatoria 𝑋 como “el producto de los números” de las bolitas

extraídas”, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Todos los valores que puede tomar la variable 𝑋 son 0, 1 ó 2.

II) 𝑃(𝑋 = 4) =1

15

III) 𝑃(𝑋 = 2) =8

30

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

270

989) El gráfico de la figura adjunta representa la función de distribución acumulada de una

variable aleatoria discreta 𝑋. Si el recorrido de 𝑋 es 1,2,3,4 y 𝑃(𝑋 = 1) = 0,1. ¿Cuál es el

valor de 𝑃(𝑋 = 2)?

A) 2 5⁄

B) 3 5⁄

C) 1 10⁄

D) 1 15⁄

E) Indeterminable con los datos dados.

990) Se mide el tiempo de respuesta de un grupo de personas frente a una pregunta de cálculo mental y se encontró que tardaban 1, 2, 3, 4 ó 5 segundos en contestar. La función de

probabilidad asociada al tiempo 𝑡 que demoran en responder es 𝑓(𝑡) =𝑡

15. ¿Cuál es la

probabilidad de que una persona demore menos de 4 segundos en contestar?

A) 4 15⁄

B) 6 15⁄

C) 1 5⁄

D) 3 5⁄

E) 1 3⁄

991) Sea 𝑋 una variable aleatoria de función de probabilidad 𝑃 y función de distribución 𝐹, la que se define como:

F(x) =

2

15 , si x = 1

8

15, si x = 2

5

6, si x = 3

1, si x = 4

Para 𝑥 en el conjunto 1,2,3,4. ¿Cuál es el valor de 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 3)?

A) 1

6

B) 3

10

C) 7

15

D) 7

10

E) 41

30

271

992) Sea 𝐹(𝑥) la función de distribución de la variable aleatoria 𝑋, entonces 𝑓(2) es igual a:

𝐹(𝑥) =

0 , 𝑠𝑖 𝑥 < 00,125 , 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 10,5 , 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 20,875 , 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 31 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

A) 0,875 B) 0,75 C) 0,5 D) 0,375 E) 0,25

993) Sea 𝑋 u na variable aleatoria cuyo dominio es 𝐴 = 0,1,2,3, entonces la función de distribución para esta variable aleatoria siempre cumplirá con las afirmaciones:

I) 𝑃(𝑥 ≥ 3) = 𝑃(𝑥 = 3) II) 𝑃(𝑥 < 3) = 1 − 𝑃(𝑥 ≥ 3) III) 𝑃(𝑥 ≤ 3) = 1 IV) 𝑃(1 < 𝑥) = 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 3)

A) Solo I y III B) Solo II y IV C) Solo I, II y III D) Solo I, II y IV E) Todas

994) Si 𝐹(𝑥) es una función de distribución y 𝑓(𝑥) la función de probabilidad de la variable aleatoria 𝑋 con 𝐷𝑜𝑚(𝑋) = 1,2,3,4,5. ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?

A) 𝐹(5) = 1 B) 𝐹(3) > 0 C) 𝐹(1) > 𝑓(1) D) 𝐹(2) = 𝑓(2) + 𝑓(1) E) 𝐹(4) − 𝐹(3) = 𝑓(4)

995) Según el gráfico de la función de distribución 𝐹(𝑥), se puede afirmar que:

I) Los valores de 𝑋 son: 1 y 2 II) 𝑓(1) = 0,5 III) 𝑓(2) = 1


272

996) La siguiente tabla muestra la distribución de una variable aleatoria discreta:

𝑥 0 1 2

𝑓(𝑥) 0,3 3𝑎 2𝑎 ¿Cuál es el valor de 𝑓(2)?

A) 0,14 B) 0,8 C) 0,16 D) 0,32 E) 0,28

997) El siguiente gráfico representa la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria 𝑋 = 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑜. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera con respecto al gráfico?

A) Los resultados son equiprobables B) La distribución es simétrica C) 𝑃(𝑋 > 2) = 0,7 D) 𝑃(3 ≤ 𝑋 < 5) = 0,4 E) La probabilidad de obtener un par es igual a la de obtener un impar.

998) Se tiene una función de probabilidad 𝑓: 𝐴 → [0,1], donde 𝑓(𝑥) =𝑥3−3𝑥

1170 y 𝐴 =

4,5,6,7,8. ¿Cuál es el valor de 𝐹(7)?

A) 0,58 B) 0,51 C) 0,49 D) 0,45 E) 0,32

273

999) Según el gráfico de la función de distribución 𝐹(𝑋), se puede afirmar que:

I) 𝐹(𝑋) = 0,35; 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2 II) 𝑓(1) = 𝐹(1) III) 𝐹(3) − 𝐹(1) = 𝐹(2)


1000) Sea 𝑓 una función probabilidad de la variable aleatoria 𝑋, definida por:

𝑓(𝑥) = 𝑡(5 − 2𝑥); 𝑠𝑖 𝑥 = 12𝑡𝑥 ; 𝑠𝑖 𝑥 = 20 ; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠

Luego el valor de 𝑡 es:

A) 1 5⁄

B) 3 4⁄

C) 1 11⁄

D) 1 7⁄

E) Otro valor

1001) La distribución de probabilidades de una variable aleatoria discreta, viene dada por la tabla:

𝑥 1 2 3 4 5

𝑃(𝑋) 0,15 14⁄ 0,2 𝑚 0,15

Entonces el valor de 𝑃(𝑋 ≥ 3) es:

A) 0,750 B) 0,250 C) 0,600 D) 0,400 E) Otro valor

274

1002) Respecto al experimento 𝐸 = 𝐿𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑎𝑠 𝑎𝑙 𝑎𝑖𝑟𝑒, si se define la variable aleatoria 𝑋 como cantidad de sellos obtenidos, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝑋(𝑐𝑎𝑟𝑎, 𝑐𝑎𝑟𝑎) = 0 II) 𝑃(𝑋 = 1) = 0,5 III) 𝑃(𝑋 = 1) = 2 ∙ 𝑃(𝑋 = 2)


1003) Una caja contiene 3 bolas blancas y 2 bolas negras, todas exactamente iguales y solo se diferencian en su color. Una persona saca simultáneamente tres de esas bolas. Se define la variable aleatoria 𝑋 como el número de bolas negras que obtuvo en la extracción. Con respecto a 𝑋, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝑃(𝑋 = 0) = 0,1 II) 𝑃(𝑋 = 1) = 0,2 III) 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 0,7

A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de las anteriores

1004) Si 𝑝 es una función de probabilidad definida por 𝑃(𝑋 = 𝑥) =

2𝑘

9 𝑠𝑖 𝑥 = 0

𝑘

12 𝑠𝑖 𝑘 = 4 ó 5

2𝑘 𝑠𝑖 𝑘 = 1 ó 2 ó 3𝑘

9 𝑠𝑖 𝑥 = 6

Entonces el valor de 𝑘 es

A) 5 13⁄

B) 25 26⁄

C) 27 53⁄

D) 2 13⁄

E) 3 26⁄

275

1005) Diego lanza 2 dados comunes y define la variable aleatoria 𝑋 como la suma de los números que se obtienen al lanzar dichos dados. Si 𝑃 es la función de probabilidad. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I) 𝑃(𝑋=3) =1

18

II) El dominio de la función 𝑃 es ]2,12]

III) 𝑃(𝑋≥3) =35

36

IV) El valor de 𝑥 solo puede ser 2, 3, 4, 5 ó 6

A) Solo II B) Solo I y III C) Solo III y IV D) Solo I, II y IV E) Solo II y IV

1006) Se tiene un dado de cuatro caras, con sus caras marcadas del 1 al 4. Un experimento consiste en lanzar el dado dos veces y se define la variable aleatoria 𝑋 como la suma de los resultados de ambos lanzamientos. Si 𝑃 corresponde a la función de probabilidad en el experimento descrito, ¿Cuál es el valor de 𝑃(3 ≤ 𝑋 ≤ 5)?

A) 1 7⁄

B) 3 16⁄

C) 3 7⁄

D) 1 2⁄

E) 9 16⁄

1007) Se lanzan cuatro monedas simultáneamente, definiendo la función de variable aleatoria 𝑓 como el número de caras que resultan, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝑓 es una función de variable aleatoria continua.

II) La probabilidad que resulte al menos una cara es (1 − 𝑓(0))

III) La probabilidad que resulte a lo más una cara es 𝑓(0) + 𝑓(1)


276

1008) La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta 𝑋 viene dada por la tabla

𝑥𝑖 1 2 3 4 5

𝑃𝑖 0,1 0,3 𝑎 0,2 0,3 ¿Cuál es el valor de 𝑃(𝑋 = 3)?

A) 0,2 B) 0,5 C) 0,9 D) 0,1 E) 1

1009) La siguiente función 𝑓 se define para una variable aleatoria discreta 𝑋 como

𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 3𝑘𝑥 𝑠𝑖 𝑥 = 0 ó 1𝑘(8 − 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 = 2 ó 3 ó 40 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

¿Cuál debe ser el valor del parámetro 𝑘, para que 𝑓 pueda ser una función de probabilidad?

A) 1 14⁄

B) 1 15⁄

C) 1 18⁄

D) 1 22⁄

E) 1 21⁄

1010) La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria 𝑌.

𝑌 1 2 3 4 5

𝑓(𝑌) 1

2𝛼

𝛼 0,15 2𝛼 3

4𝛼

Entonces, el valor de 𝛼 es:

A) 0,05 B) 0,02 C) 0,024 D) 0,2 E) 0,24

277

1011) El gráfico adjunto muestra la función de probabilidad 𝑓 de un experimento aleatorio asociado a la variable aleatoria 𝑋. Si los valores que puede tomar 𝑋 son 1,3,5,7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) Si 𝐹 es la función de distribución asociada a 𝑋, entonces 𝐹(5) = 0,5. B) El valor esperado de 𝑋 es 5.

C) La desviación estándar de 𝑋 es 4

3√3.

D) Si 𝐹 es la función de distribución asociada a 𝑋, entonces 𝐹(3) = 0,16. E) 𝑓(7) = 0,5.

1012) En el experimento de lanzar una moneda y un dado común, se define la variable aleatoria 𝑋 como la suma entre el número de sellos y la cantidad de números primos obtenidos. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la función de probabilidad de variable aleatoria 𝑋?

1013) Sea 𝑋 una variable aleatoria discreta y F su función de distribución de probabilidad

acumulada. Si 𝐹(−2) =1

4 y 𝐹(1) = 1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre

verdadera?

A) El recorrido de 𝑋 es el conjunto −2,1. B) 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑃(𝑋 = −1) C) 𝐹(−2) = 0

D) 𝑃(𝑋 = −1) =1

3


278

1014) Sea 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥, con 𝑘 una constante, la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 𝑋 que tiene como recorrido el conjunto 1, 3, 6, 8, 12. Si 𝑔 es la función de distribución de probabilidad acumulada de 𝑋, entonces 𝑔(6) es:

A) 1 2⁄

B) 1 3⁄

C) 2 3⁄

D) 1 5⁄

E) 1 6⁄

1015) En el experimento de lanzar dos dados comunes 200 veces, se define la variable aleatoria 𝑋 como el número de veces en los cuales la suma de los dos dados es menor que 5. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a 𝑃(𝑋 > 1)?

A) 1 − [(5

6)200

+ 200 ∙ (1

6) ∙ (

5

6)199]

B) 1 − [(5

6)200

+ (1

6) ∙ (

5

6)199]

C) 1 − [(1

6)200

+ 200 ∙ (1

6) ∙ (

5

6)199]

D) 1 − (1

6)200

E) 1 − (5

6)200

1016) El gráfico de la figura adjunta representa la función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta 𝑋. Si el recorrido de 𝑋 es 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑃(𝑋 = 𝑏) = 0,2. ¿Cuál es el valor de 𝑃(𝑋 = 𝑎)?

A) 2 10⁄

B) 3 10⁄

C) 6 10⁄

D) 8 10⁄

E) 5 10⁄

279

1017) Sea 𝑓 la función de probabilidad de la variable aleatoria 𝑋 definida por:

𝑓(𝑥) 𝑘(5 − 𝑥), 𝑠𝑖 𝑥 = 1, 2, 3𝑘𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 = 40 , 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

El valor de 𝑘 es:

A) 1 10⁄

B) 1 13⁄

C) 1 15⁄

D) 1 26⁄


1018) En el experimento de lanzar una moneda tres veces, se define la variable aleatoria 𝑋

como el número de sellos obtenidos en los tres lanzamientos. ¿Cuál de los siguientes gráficos

representa la función de probabilidad de la variable aleatoria 𝑋?

B) B)

C) D)

E)

280

1019) El gráfico de la figura muestra la función de distribución acumulada de probabilidad de una variable aleatoria X. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?

I) P X 2 P X 3

II) P X 3 0,5

III) P 0 X 2 0,3


1020) Sea 𝑋 una variable aleatoria continua cuya función de probabilidad es:

𝑓(𝑥) 2𝑘𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 36𝑘 𝑠𝑖 3 < 𝑥 ≤ 50 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Si 𝑘 es un número real positivo, entonces 𝑘 es:

A) 1

24

B) 1

12

C) 1

21

D) 1

30


1021) Sea f la función de probabilidad de la variable aleatoria X definida por:

casootroen

xsikx

xsikx

xsikx

xf

0

32

2

1)5(

)( Determine el valor de “𝑘”

A) 2

1

B) 8

1

C) 10

1

D) 12

1


281

1022) Se lanza una moneda 4 veces y se define la variable aleatoria discreta X: número de sellos

obtenidos. ¿Cuál es el valor de 3F ?

A) 0,3125 B) 0,375 C) 0,625 D) 0,6875 E) 0,9375

1023) Si f es una función de probabilidad asociada de distribución F, ¿Cuál es el valor de a y

b , respectivamente?

A) 0,10 y 0,75 B) 0,15 y 0,35 C) 0,15 y 0,75 D) 0,05 y 0,75 E) 0,5 y 0,85

1024) El siguiente gráfico representa la función de distribución de una variable aleatoria X. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

I 9,02 F

II 6,012 f

III 2)2()3( fFF


1025) Para la variable aleatoria 𝑋 se define la función de probabilidad 𝑃(𝑋 = 𝑚) =𝑘

𝑚, con 𝑚

en el conjunto 1,2,3 y 𝑘 un número real. El valor de 𝑘 es:

A) 1 6⁄

B) 1 3⁄

C) 1 2⁄

D) 6 11⁄

E) 3 5⁄

31

2

125,0

01,0

xsi

xsib

xsi

xsi

xF

325,0

25,0

1

01,0

xsi

xsi

xsia

xsi

xf

282

1026) La siguiente tabla representa los valores de la función de probabilidad asociada a una variable aleatoria X. ¿Cuál es el valor de 𝑃(𝑥 = 4)?

𝑥𝑖 1 2 3 4 5 6

𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 6𝑘 𝑘 2𝑘 4𝑘 5𝑘 6𝑘

A) 1 24⁄

B) 1 12⁄

C) 1 4⁄

D) 1 6⁄

E) 5 24⁄

1027) Una ruleta de 4 sectores numerados del 1 al 4 se divide de tal forma que posee la siguiente función de probabilidad:

𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) =

0,3 , 𝑠𝑖 𝑥 = 10,4 , 𝑠𝑖 𝑥 = 20,1 , 𝑠𝑖 𝑥 = 30,2 , 𝑠𝑖 𝑥 = 40 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Si 𝐹 es la función de distribución de la ruleta, ¿Cuál es el valor de F(3)?

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,5 D) 0,7 E) 0,8

1028) Sea 𝑋 una variable aleatoria, con recorrido 1,2,3,4 tal que su función de probabilidad es:

𝑃(𝑋 = 𝑛) =

2

11 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1

3𝑘

22 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 2

𝑘

11 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 3

3

22 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 4

0 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Si 𝐹es la función de distribución asociada a P, entonces 𝐹(2) es igual a:

A) 19 22⁄

B) 13 22⁄

C) 9 11⁄

D) 9 22⁄

E) 3 11⁄

283

1029) Se da cierto suceso en el cuál se define una variable aleatoria 𝑋 con función de

probabilidad 𝑃(𝑋 = 𝑥) =3𝑥

26+

1

13 cuyo dominio es el conjunto 0,1,2,3. Si 𝐹 es la función de

distribución asociada a 𝑃 entonces 𝐹(2) es igual a:

A) 1 13⁄

B) 5 26⁄

C) 15 26⁄

D) 1 E) Ninguna de las anteriores.

1030) Un experimento consiste en extraer dos bolitas, una tras otra y sin reposición, de una caja que contiene una bolita blanca, una bolita negra y una verde. Se define la variable aleatoria 𝑋 como la cantidad de bolitas verdes obtenidas después de realizar el experimento. Si 𝑃 es la función de probabilidad del experimento, entonces 𝑃(𝑋 = 1) es igual a:

A) 1 9⁄

B) 1 6⁄

C) 1 3⁄

D) 4 9⁄

E) 2 3⁄

1031) Se lanzan dos dados normales y se define a variable aleatoria 𝑋 como el valor absoluto entre la diferencia de los resultados obtenidos. Si la función de probabilidad de 𝑋 es 𝑃. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

I) 𝑃(𝑋 > 5) =1

18

II) 𝑃(𝑋 = 1) > 𝑃(𝑋 = 2)

III) 𝑃(𝑋 = 0) =1

6

A) Solo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) I, II y III E) Ninguna

284

1032) Sea 𝑋 una variable aleatoria de función de probabilidad 𝑃 y función de distribución

𝐹(𝑋 = 𝑎) =𝑎2

25 , para 𝑋 en el conjunto 1,2,3,4,5. El valor de 𝑃(𝑋 = 3) es:

A) 1 25⁄

B) 3 25⁄

C) 7 25⁄

D) 9 25⁄

E) 1 5⁄

1033) La función de probabilidad se expresa como 𝑃(𝑥) =𝑥2+5

50, para 𝑥 = 1,2,3 𝑜 4. ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones con respecto a la función mencionada es(son) verdadera(s)?

I) La expresión no corresponde a una función de probabilidad. II) 𝑃(𝑥 < 4) < 0,58 III) 𝑃(𝑥 = 4) = 42%


1034) Se mide el tiempo de respuesta de un grupo de personas frente a una pregunta de cálculo mental y se encontró que tardaban 1, 2, 3, 4 ó 5 segundos en contestar. La función de

probabilidad asociada al tiempo 𝑡 que demoran en responder es 𝑓(𝑡) =𝑡

15. ¿Cuál es la

probabilidad de que una persona demore menos de 3 segundos en contestar?

A) 4 15⁄

B) 6 15⁄

C) 1 5⁄

D) 3 5⁄

E) 1 3⁄

285

1035) Considere X una variable aleatoria discreta, cuya función de probabilidad es la siguiente:

𝑓(𝑥) =

𝑝 + 0,1 𝑠𝑖 𝑥 = 10,26 𝑠𝑖 𝑥 = 20,2 + 3𝑝 𝑠𝑖 𝑥 = 30 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

De acuerdo a la función anterior, ¿Cuál es la probabilidad asociada a 𝑥 = 3?

A) 0,15 B) 0,20 C) 0,50 D) 0,53 E) 0,55

1036) La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable 𝑋.

𝑿 1 2 3 4 5 𝑃(𝑋 = 𝑥) 0,15 0,2 0,35 n 2n

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El recorrido de 𝑋 es 1,2,3,4,5. II) El valor de 𝑛 es 0,3.

III) 𝑃(𝑋 > 3) = 0,65.


286

1037) Sea 𝑋 una variable aleatoria de función de probabilidad 𝑃 y función de distribución 𝐹, la que se define como:

F(x) =

2

15 , si x = 1

8

15, si x = 2

5

6, si x = 3

1, si x = 4

Para 𝑥 en el conjunto 1,2,3,4. ¿Cuál es el valor de 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 3)?

A) 1 6⁄

B) 3 10⁄

C) 7 15⁄

D) 7 10⁄

E) 41 30⁄

1038) Sea 𝑓 una función de probabilidad de la variable aleatoria 𝑋, definida por:

𝑓(𝑥) = 𝑡(5 + 2𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 = 12𝑡𝑥 𝑠𝑖 𝑥 = 20 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Entonces el valor de 𝑡 es:

A) 1 5⁄

B) 3 4⁄

C) 1 11⁄

D) 1 7⁄

E) Otro valor

1039) Una bolsa contiene 4 cubos azules y 3 verdes, el experimento consiste en sacar dos cubos uno tras otro sin reposición. Si se define la variable aleatoria X: número de cubos azules obtenidos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Los valores de la variable aleatoria son 0,1,2 II) El máximo de cubos azules que se pueden obtener en el experimento es cuatro.

III) 𝑃(𝑋 = 1) =4

7

A) Solo II B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I , II y III

287

1040) Se define la variable aleatoria 𝑋 como el número de hijos (varones) que puede tener un matrimonio que tiene tres hijos. Esta situación se representa gráficamente de la siguiente manera:

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?

I) El dominio tiene 4 elementos.

II) 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 2⁄

III) 𝐹(2) = 7 8⁄


1041) El gráfico de la figura muestra la función de distribución acumulada de probabilidad de una variable aleatoria X. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?

I) P X 2 P X 3

II) P X 3 0,5

III) P 0 X 2 0,3


288

1042) Se lanzarán simúltaneamente 4 monedas, definiendo la función de variable aleatoria 𝑓

como el número de caras que resultan. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) 𝑓 es una función de variable aleatoria continua II) La probabilidad de que resulte al menos 1 cara es igual a 1 − 𝑓(0) III) La probabilidad de que resulte a lo más 1 cara es igual a 𝑓(0) + 𝑓(1)

Es (son) correcta(s): A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III

1043) Se tiene en una tómbola cuatro bolitas azules y tres bolitas rojas, todas de igual peso y tamaño. Un experimento consiste en extraer tres bolitas al azar, una a una y sin reposición, y se define la variable aleatoria 𝑋 como el número de bolitas azules extraídas. Si 𝑓 es la función de probabilidad asociada a 𝑋 y 𝐹 es la función de distribución de probabilidad de esta variable, entonces ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El recorrido de 𝑋 es el conjunto 0,1,2,3

II) 𝑓(2) =18

35

III) 𝐹(2) =31

35


289

1044) La gráfica de una función de probabilidad de una variable aleatoria es la siguiente:

Considerando 𝑓 su función de probabilidad y 𝐹 su función de distribución: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 𝐹(2) = 0,3 II) 𝐹(5) = 0,8 III) 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 4) = 0,6

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

1045) Se tiene un dado con forma de tetraedro regular, con sus caras numeradas del 1 al 4. Un experimento consiste en lanzar el dado dos veces y se define la variable aleatoria 𝑋 como la suma de los resultados de ambos lanzamientos. Si 𝑃 corresponde a la función de probabilidad en el experimento descrito. ¿Cuál es valor de 𝑃(3 < 𝑋 ≤ 6)?

A) 0,600 B) 0,625 C) 0,750 D) 0,875 E) 0,950

1046) Sea 𝑋 una variable aleatoria de función de probabilidad 𝑓(𝑥) =𝑎

𝑥2. Si 𝑋 solo puede

tomar valores 2,3 y 6. ¿Cuál es la probabilidad de que 𝑋 tome el valor 3 ó 6?

A) 2 3⁄

B) 9 11⁄

C) 45 49⁄

D) 7 18⁄

E) 5 14⁄

290

1047) Sea x una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad se muestra en la tabla adjunta

𝑥 -3 -2 0 1 2

𝑓(𝑥) 2𝑝2 1

9 𝑝 2

9 𝑝2

Entonces, el valor de 𝑝 es:

A) 1 6⁄

B) 1 3⁄

C) 2 3⁄

D) 5 6⁄

E) 1 9⁄

1048) Se tiene una variable aleatoria 𝑋 en el conjunto 1,2,3,4 de función de probabilidad 𝑃 y función de distribución 𝐹. Es posible determinar el valor numérico de 𝐹(𝑋 = 3), si:

(1) 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) =4

7

(2) 𝑃(𝑋 = 1) = 2(𝑃𝑋 = 4)

A) (1) Por si sola B) (2) Por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.

1049) Sea 𝑋 una variable aleatoria en el conjunto 0,1,2,3 con función de probabilidad 𝑓 y función de distribución 𝐹. Se puede determinar el valor numérico de 𝐹(2) si:

(1) 𝑓(3) = 0,2 (2) 𝐹(1) = 0,3

A) (1) Por si sola B) (2) Por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.

291

1050) La siguiente tabla muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria 𝑋

𝑥 0 1 2 3

𝑓(𝑥) 0,1 𝑎 0,3 𝑏 Entonces, se puede determinar el valor de 𝑎 y 𝑏 si:

(1) 𝐹(2) = 0,6 (2) 2𝑓(1) = 𝑓(3)


1051) La variable aleatoria 𝑋 tiene como recorrido el conjunto 0,1,2,3,4 y 𝐹 es la función de distribución de probabilidad asociada a la variable 𝑋. Se puede determinar el valor de 𝐹(3), si:

(1) 𝐹(2) = 0,26 (2) La probabilidad de que 𝑋 tome el valor 3 es 0,23

A) (1) Por si sola B) (2) Por si sola C) Ambas junta, (1) y (2) D) Cada una por si sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

1052) Al lanzar al aire dos dados, uno a continuación del otro, de distintos colores, se observa que la suma de los números que aparece es de por lo menos siete. La probabilidad de que en el segundo dado aparezca el cuatro es:

A) 4

21

B) 5

21

C) 6

21

D) 7

21

E) 8

21

292

1053) Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad que la suma de sus caras sea menor que 8 si se sabe que dicha suma ha sido múltiplo de 4?

A) 1/4 B) 1/3 C) 1/12 D) 1/8 E) 16

1054) Si al lanzar un dado ha salido 5, ¿Qué probabilidad hay de que al lanzarlo nuevamente sume con el primer resultado un número mayor o igual a 8?

A) 1/2 B) 3/4 C) 2/5 D) 2/3 E) 1/6

1055) Se lanza un dado y sale 4. Qué probabilidad hay de que al lanzarlo nuevamente sume con el primer resultado un número menor que 9?

A) 1 9⁄

B) 5 6⁄

C) 7 36⁄

D) 4 9⁄

E) 2 3⁄

1056) Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea menor que 6, si sabemos que dicha suma ha sido múltiplo de 4?

A) 1/3 B) 1/4 C) 5/18 D) 3/10 E) Ninguna de las anteriores

1057) Se lanza un dado común y aparece un 4, ¿Cuál es la probabilidad de que en un segundo lanzamiento se obtenga un número que sumado con 4 sea primo?

A) 1

6

B) 1

4

C) 1

3

D) 1

2

E) 2

3

293

1058) Si una automotora sortea uno de sus vehículos, donde sus características se especifican en la tabla adjunta. ¿Cuál es la probabilidad que sea automático, sabiendo que es una camioneta?

Tipos de automóviles

Mecánicos Automáticos

Camioneta 10 2

Auto 12 6

A) 0,06 B) 0,16 C) 0,17 D) 0,26 E) 0,3

1059) Un colegio ofrece a sus estudiantes varias actividades culturales, entre ellas teatro y danza. El 20% de los estudiantes del colegio participa en danza, el 12% participa en teatro y el 8% de los estudiantes del colegio participa en danza y teatro. Si se escoge al azar un estudiante del colegio, ¿Cuál es la probabilidad de que éste participe en danza si se sabe que participa en teatro?

A) 4 25⁄

B) 2 5⁄

C) 2 3⁄

D) 1 3⁄

E) 1 5⁄

1060) La probabilidad de que un feriante venda fruta un día determinado dado que está

lloviendo es 2

3. Si la probabilidad de que venda y llueva ese día es

1

6, ¿Cuál es la probabilidad

de que NO llueva ese día?

A) 2 3⁄

B) 1 3⁄

C) 3 4⁄

D) 1 4⁄

E) 1 2⁄

294

1061) Se cuenta con dos monedas, una común y una que está acuñada con dos sellos. Se escoge una moneda al azar y se lanza. Si sale sello, ¿Cuál es la probabilidad de que se haya lanzado la moneda acuñada con dos sellos?

A) 2

3

B) 1

2

C) 1

4

D) 1

3

E) 3

4

1062) La probabilidad de que una pareja vaya al cine un día determinado dado que fueron a

cenar es 1

3. Si la probabilidad de que vayan al cine y a cenar ese día es

1

4, ¿Cuál es la

probabilidad de que NO vayan a cenar?

A) 3 4⁄

B) 1 4⁄

C) 1 12⁄

D) 2 5⁄


1063) En el experimento que consiste en extraer una carta de la baraja inglesa (cartas de 4 pintas; trébol, pica, corazón y diamante, 13 de cada pinta) y los sucesos sean

𝐴 = 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑎𝑧ó𝑛 y 𝐵 = 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑑𝑜𝑠. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) veradera(s)?

I) 𝑃(𝐴/𝐵) > 𝑃(𝐵/𝐴)

II) 𝑃(𝐴/𝐵) =1

4

III) 𝑃(𝐵/𝐴) < 1

13


295

1064) En una tómbola están todos los números naturales comprendidos entre el 4 y el 55, incluidos. Si se saca un número al azar y se obtiene un divisor de 80. ¿Cuál es la probabilidad que ese número sea primo?

A) 1 5⁄

B) 1 7⁄

C) 3 7⁄

D) 3 10⁄


1065) Se tienen dos urnas A y B. La urna A contiene cuatro bolitas rojas y seis negras, y la urna B contiene dos bolitas negras y ocho rojas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita roja, dado que proviene de la urna A?

A) 1 5⁄

B) 1 3⁄

C) 2 5⁄

D) 3 5⁄

E) 4 5⁄

1066) Una urna tiene 20 fichas, numeradas del 1 al 20. Si se extrae una ficha al azar y este es un número par, entonces. ¿Cuál es la probabilidad que sea múltiplo de seis?

A) 3 20⁄

B) 1 2⁄

C) 3 5⁄

D) 3 10⁄

E) 1 10⁄

1067) Se cuenta con dos monedas, una común y una que está acuñada con dos sellos. Se escoge una moneda al azar y se lanza. Si sale sello, ¿Cuál es la probabilidad de que se haya lanzado la moneda acuñada con dos sellos?

A) 1 2⁄

B) 3 4⁄

C) 1 4⁄

D) 1 3⁄

E) 2 3⁄

296

1068) Para un curso avanzado de Matemática se matriculan 40 estudiantes, de los que solo 30 asisten regularmente a las clases. Aprueban el curso el 80% de los que asisten regularmente y el 10% de los que no lo hacen. Si de los estudiantes que aprobaron el curso se escoge uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya asistido regularmente a las clases?

A) 13% B) 48% C) 60% D) 87% E) 96%

1069) En un curso universitario, el 20% de los estudiantes tiene un promedio de notas suficiente para aprobar el ramo. El profesor, preocupado por esta situación, decide dar una bonificación a los alumnos reprobados que asisten a clases regularmente. Con esta bonificación un 40% de los que reprobarían lograrán aprobar el ramo.

Al escoger un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga bonificación dado que aprobó el ramo?

A) 8/13 B) 5/13 C) 5/8 D) 7/13 E) 7/8

1070) Cuando dos amigas salen a divertirse, el 30% de las veces van al cine y el resto de las veces van a comer. Cuando van al cine, el 60% de las veces van a bailar después y el resto de las veces vuelven inmediatamente a su casa. En cambio, cuando van a comer, solo el 20% de las veces vana a bailar después y el resto de las veces vuelven inmediatamente a su casa. Si las dos amigas fueron a bailar, ¿Cuál es la probabilidad de que primero hayan ido al cine?

A) 18% B) 30% C) 42,5% D) 56,25% E) 75%

297

1071) Un negocio que vende cámaras digitales obtiene la mitad de sus productos en una fábrica chilena, otro 15 % de sus productos los obtiene de una fábrica china y el resto en una fábrica inglesa. Se sabe además que las mujeres compran 30 % de las cámaras provenientes de la fábrica chilenas, 60 % de los productos provenientes de la fábrica china y un 40 % de las cámaras de la fábrica inglesa. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona compre una cámara digital proveniente de la fábrica china, dado que es hombre?

A) 1 31⁄

B) 2 31⁄

C) 3 31⁄

D) 4 31⁄


1072) Marco, está próximo a dar la PSU y después de un estudio, llegó a la conclusión que la

probabilidad de que le vaya bien en la PSU dado que haya estudiado es de 3

4 y la probabilidad

de que no haya estudiado es de 2

7 . Entonces: ¿Cuál es la probabilidad de que le vaya bien y

haya estudiado?

A) 20 21⁄

B) 15 28⁄

C) 5 7⁄

D) 6 28⁄


298

1073) La tabla adjunta muestra el resultado obtenido en una encuesta realizada por unos estudiantes de un colegio, donde quisieron averiguar si las personas preferían ganarse un premio de una rifa para veranear en cuba o en chile. La tabla resume los resultados, según ella: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

Cuba Chile Total

Hombre 240 360 600

Mujer 350 250 600

Total 590 610

I) Al elegir una persona al azar y esta es mujer, la probabilidad de que prefiera Cuba

para veranear es 7

12.

II) Al elegir al azar entre las personas que prefieren Chile para veranear, la probabilidad

que sea hombre es 36

61.

III) Al elegir una persona al azar. La probabilidad que prefiera Cuba, sabiendo que es

hombre es 0,4.


1074) En un colegio a los alumnos de un curso se les fijaron dos pruebas el mismo día, el 54% de los estudiantes estudió matemática, el 69% estudió sociales y el 35% estudiaron para ambas evaluaciones. Al seleccionar un estudiante que estudió matemática. ¿Cuál es la probabilidad que también haya estudiado sociales?

A) 35% B) 64,81% C) 50,72% D) 54% E) 69%

1075) Se ha realizado un estudio y se llegó a la conclusión que Alexis Sánchez cuando llueve, la

probabilidad de que haga un gol es 1 5⁄ . Si la probabilidad de que no llueva es 2 3⁄ , ¿Cuál es

la probabilidad de que llueva y Alexis haga un gol?

A) 1 15⁄

B) 2 15⁄

C) 1 5⁄

D) 3 5⁄


299

1076) Se lanza un dado común y si sale uno, se extrae una bolita de la bolsa “A”; y si no sale

uno, la extraemos de “B”. La bolsa “A” contiene 3 bolas rojas y 5 verdes, la bolsa B contiene

6 bolas rojas y 4 verdes. ¿Cuál es la probabilidad que una bolita sea sacada de la bolsa A, si

se sabe que es roja?

A) 1 2⁄

B) 1 3⁄

C) 1 9⁄

D) 9 16⁄

E) 15 16⁄

1077) La probabilidad de sufrir cierta enfermedad es de 1

8. Cuando una persona padece esta

enfermedad, la probabilidad de que los médicos la detecten es de 9

10, y si no la padece, la

probabilidad de que los médicos la detecten (falso positivo) es de 1

30. Si una persona fue al

médico y le detectaron la enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad que la padezca?

A) 25 34⁄

B) 26 34⁄

C) 27 34⁄

D) 9 80⁄


1078) El pronóstico del tiempo para el fin de semana en Santiago, indica que existe un 75% de probabilidad de que llueva. En la autopista que atraviesa la ciudad existe una curva peligrosa, en la que la probabilidad de que ocurra un accidente cuando está lloviendo es de un 10%, mientras que la probabilidad de que ocurra un accidente cuando no llueve es de un 2%. Si ese día ocurrió un accidente en dicha curva de la autopista, ¿Cuál es la probabilidad de que no haya estado lloviendo?

A) 5% B) 15% C) 6,25% D) 8% E) 7,25%

300

1079) Una urna contiene 3 bolitas rojas numeradas del 1 al 3 y 6 bolitas amarillas numeradas del 1 al 6. Al extraer una bolita al azar resultó ser un número par, ¿Cuál es la probabilidad que la bolita sea roja?

A) 1 2⁄

B) 1 3⁄

C) 1 9⁄

D) 4 9⁄

E) 1 4⁄

1080) Se tiene una caja con 3 monedas, de igual forma y peso: se tiene una normal, una cargada

donde la probabilidad de obtener sello es 5

6 y otra con 2 caras. Se selecciona una moneda al

azar y luego se lanza. Si se sabe que ha salido cara. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido de la moneda normal?

A) 1 3⁄

B) 1 10⁄

C) 1 5⁄

D) 3 10⁄

E) 1 2⁄

1081) En el experimento que consiste lanzar un dado de 8 caras y los sucesos sean 𝐴 = 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 y 𝐵 = 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 5. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I) 𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐵/𝐴)

II) 𝑃(𝐴/𝐵) =1

3

III) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 1

3


1082) Al realizar un estudio estadístico, se concluyó que el 50% de la población fuma cigarros y que el 10% fuma cigarros y es hipertensa. Si se escoge una persona al azar y esta fuma: ¿Cuál es la probabilidad de que sea hipertensa?

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5

301

1083) Sean los sucesos dependientes 𝐴 y 𝐵. Si 𝑃(𝐴) =1

3 , 𝑃(𝐵) =

1

4 y 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =

1

5.

Entonces 𝑃(𝐴/𝐵) es:

A) 4 5⁄

B) 3 4⁄

C) 1 4⁄

D) 3 5⁄

E) 1 3⁄

1084) Se lanzan dos dados normales, y se suman sus puntos. Si la suma ha sido 5. ¿Cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un 4?

A) 1 18⁄

B) 1 6⁄

C) 1 3⁄

D) 1 2⁄

E) 1 5⁄

1085) Se lanzan dos dados comunes no cargados de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que en alguno de ellos haya salido un 4, si se sabe que presentan una diferencia de dos unidades?

A) 1 5⁄

B) 1 4⁄

C) 1 2⁄

D) 1 3⁄

E) 1 9⁄

302

1086) La probabilidad de que Daniel se levante temprano es 3

5 y la probabilidad de que si se

levantó temprano, alcance a desayunar es de 5

6. Mientras que si no se levanta a tiempo, la

probabilidad de que alcance a tomar desayuno es de 3

8. Si se sabe que Daniel desayunó.

¿Cuál es la probabilidad de que se haya levantado temprano?

A) 10 13⁄

B) 9 13⁄

C) 1 2⁄

D) 13 20⁄


1087) Se realiza una encuesta a los habitantes de Las condes, para saber su preferencia por el transporte público. Los resultados fueron tabulados así:

Transporte Público

Micro Metro Uber Taxi

Hombre 10 15 20 5

Mujer 5 20 30 1

La probabilidad de que un estudiantes elegido al azar sea mujer dado que usa Uber es:

A) 0,4 B) 0,5 C) 0,6

D) 0, 6 E) 0,7

1088) En Iquique después de un estudio estadístico se llegó a constatar que: la probabilidad de que una persona obesa tenga el colesterol alto es 0,1 y la probabilidad de que un individuo sea obeso es de 0,5. Si se escoge una persona que resulta estar obeso, entonces ¿Cuál es la probabilidad que tenga el colesterol alto?

A) 0,8 B) 0,6 C) 0,5 D) 0,2 E) 0,1

303

1089) Se define una función de probabilidad, donde la variable aleatoria 𝑋 es “número de vehículos que llegan a un estacionamiento en una hora”. De acuerdo a la tabla adjunta, ¿Cuántos autos se esperaría que lleguen al estacionamiento en una hora, durante los próximos meses?

A) 8 𝒙 4 8 12 16

𝑷(𝑿 = 𝒙) 0,2 0,3 0,38 0,12 B) 9,68 C) 10 D) 10,25 E) 11

1090) De la producción de un cierto artículo en una empresa, el 5% es defectuoso, incidiendo en una pérdida de $10.000 por cada uno de ellos y en una utilidad de $30.000 por cada uno de los no defectuosos. ¿Cuál es la utilidad esperada por la empresa a largo plazo?

A) $28.000 B) $28.500 C) $25.000 D) $30.500 E) $31.000

1091) Al lanzar un dado cargado una gran cantidad de veces, se obtiene que los números con mayor probabilidad de salir se encuentran en el intervalo [1,94; 5,14] y se sabe que la varianza de la muestra es 2,56. ¿Cuál es el valor esperado al lanzar el dado?

A) 3,46 B) 3,5 C) 3,54 D) 3,6 E) 3,64

1092) La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta 𝑋. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

𝒙 2 4 6 8 10

𝑷(𝑿 = 𝒙) 5𝑎 5𝑎 5𝑎 5𝑎 5𝑎 I) 𝑎 = 0,04 II) La varianza es 0. III) El valor esperado de 𝑥 es 2.


304

1093) Se define la variable aleatoria 𝑋:”Cantidad de goles marcados por un equipo de futbol por partido”. En la tabla se muestra su función de probabilidad. Su desviación estándar es:

𝒙 0 1 2 3

𝑷(𝑿 = 𝒙) 112⁄ 0,5 0,25 1

6⁄ A) √

13

5

B) √3

4

C) √12

4

D) √13

4

E) √11

5

1094) Una variable aleatoria discreta 𝑋 tiene la distribución de probabilidad que se muestra en la tabla. Entonces es(son) verdadera(s):

𝒙 0 1 2 3 4

𝑷(𝑿 = 𝒙) 38⁄ 2𝑝 1

4⁄ 4𝑝 516⁄ I) El valor de 𝑝 es 1 96⁄

II) 𝑃(1 ≤ 𝑥 ≤ 3) =5

8

III) La esperanza de la variable es 1.

A) Solo I B) Solo II C) Solo II y III D) Solo I y II E) I, II y III

1095) En el gráfico adjunto se muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta 𝑋. ¿Cuál es el valor esperado para 𝑋?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 3,5 E) 3 o 4

305

1096) En la tabla adjunta la distribución de probabilidad de una variable aleatoria 𝑋. Si el valor esperado de 𝑋 es 2,9, entonces el valor de (𝑝 − 𝑞) es:

𝒌 1 2 3 4

𝑷(𝑿 = 𝒌) 𝑞 0,1 𝑝 0,4 A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5

1097) Un garzón por concepto de propinas estima que la probabilidad de recibir $130.000 en una semana es de 40%, o $100.000 en otro caso. ¿Cuál es el valor que espera recibir de propina semanal en el largo plazo?

A) $115.000 B) $160.000 C) $130.000 D) $112.000 E) $122.000

1098) En la tabla adjunta se muestra la distribución de probabilidad para una variable aleatoria 𝑋, definida como el número de horas que una persona escucha música durante un día. La varianza es:

A) 1 hora

Horas (𝒌) 0 1 2

𝑷(𝑿 = 𝒙) 0,3 0,4 0,3 B) 0,5 horas C) 0,6 horas D) 0,9 horas E) 1,2 horas

1099) En la tabla adjunta se muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria 𝑋. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) El valor esperado de 𝑋 es 0,3𝑎 + 0,7𝑏. II) La varianza de 𝑋 es (𝑎 − 𝑏)2(0,7)(0,3). III) 𝑏 > 𝑎. 𝒌 𝑷(𝒙 = 𝒌)

𝑎 0,3

𝑏 0,7

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

306

1100) Se define la variable aleatoria 𝑋 como la cantidad de consultas médicas que una persona realiza durante un año. En la tabla adjunta se muestra la función de probabilidad de 𝑋, entonces el valor de la esperanza matemática, aproximada por defecto al entero es:

Visitas (𝒌) 1 2 3 4 5

𝑷(𝑿 = 𝒙) 12⁄ 1

3⁄ 16⁄ 1

2⁄ 16⁄

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1101) De acuerdo al gráfico de la distribución de probabilidad acumulada para una cierta variable aleatoria 𝑋, el valor esperado para 𝑋 es:

A) 5,2 B) 2,7 C) 3,6 D) 4,2 E) 3,1

1102) Se realiza el experimento de lanzar dos veces una moneda, cargada, y se define la variable 𝑋 como “número de sellos obtenidos” registrando los resultados en el gráfico adjunto. Si el valor esperado es 1,2 el valor de 𝑛 es:

A) 0,4 B) 0,3 C) 0,2 D) 0,6 E) 0,1

307

1103) ¿Cuál es la desviación estándar de la variable aleatoria 𝑋, si se sabe que 𝐸(𝑋) = 2,1 y 𝐸(𝑋2) = 5,5?

A) -3,4 B) -1,09 C) 1,09 D) 3,4 E) 1,04

1104) En la siguiente tabla se muestra la función de probabilidad de variable aleatoria 𝑋

𝑥 1 2 3 4

𝑃(𝑋 = 𝑥) 0,4 0,2 0,3 0,1

Respecto a la tabla anterior, es cierto que:

I) El valor esperado de 𝑋 es 2,5 II) La varianza es 1,09 III) La desviación estándar es aproximadamente 1,04


1105) Una caja contiene 3 bolitas rojas, 5 verdes y 7 negras, con la cual se realiza el siguiente juego: Un jugador saca de la caja una bolita al azar; si es roja gana $400, si es verde gana $180, pero si es negra pierde $Y. ¿Cuál es el valor de Y para que el juego se considere justo?

A) $200 B) $250 C) $300 D) $450 E) $500

1106) ¿Cuál es la desviación estándar de los puntajes obtenidos al lanzar un dado común no cargado?

A) 0 B) 1,71 C) 2,92 D) 3,5 E) 15,17

308

1107) Si se lanza un “dado” de ocho caras, ¿Cuál es la esperanza matemática para tal evento?

A) 1 8⁄

B) 19 8⁄

C) 9 4⁄

D) 9 2⁄

E) Otro valor

1108) Mateo lanza dos monedas. Gana $150 o $500 si sale una o dos caras respectivamente, pero pierde $1.300 si aparecen dos sellos. ¿Cuánto esperaría Mateo ganar o perder en este juego?

A) $100 B) $125 C) $300 D) -$125 E) -$200

1109) Un estudio determinó la cantidad de computadores que hay en un grupo de hogares. En la siguiente tabla se muestra la función de probabilidad de dicho estudio.

𝑋 0 1 2 3 4

𝑃(𝑋 = 𝑥) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

¿Cuál es el valor de la esperanza de la variable aleatoria 𝑋?

A) 2 B) 10 C) 0,8 D) 1,2 E) 0,16

309

1110) Los estudiantes de Psicología en general manifiestan que tienen dificultad para memorizar. Experiencias anteriores han consistido en exponer 5 palabras ante los estudiantes durante 10 segundos al comienzo de la clase y luego preguntar por ellos al final de la clase, obteniéndose la siguiente distribución de probabilidad:

X 0 1 2 3 4 5

P(X=x) 0,05 0,15 0,20 0,25 0,30 0,05

En la muestra aleatoria de 64 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que en promedio recuerden por lo menos 3 palabras?

A) 4,38% B) 5,24% C) 3,82% D) 5,94% E) 6,3%

1111) En el experimento lanzar un dado, se define la variable aleatoria 𝑋 como el número obtenido en el lanzamiento del dado. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad 𝑓 de 𝑋. Según esta información, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El valor esperado de 𝑋 es 3,2. II) La probabilidad de obtener un número primo es 0,7 III) La probabilidad de obtener un número menor o igual a 5 y mayor que 2 es 0,55.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I , II y III

310

1112) En la tabla adjunta se muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria 𝑋. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

𝒌 1 2 3 4 5

𝑷(𝑿 = 𝒌) 𝑝 2𝑝 𝑝 2𝑝 𝑝

I) El valor de 𝑝 es 1 7⁄ .

II) El valor esperado de 𝑋 es 3.

III) La desviación estándar de 𝑋 es 2

7√21.


1113) Se lanza un dado común y se define la variable aleatoria 𝑋 como el número que indica

la cara superior. Si 𝐸(𝑋2) =91

6, 𝑉(𝑋) =

A) 35

3

B) 179

12

C) 35

12

D) 90

6

E) Otro valor

1114) Se lanza una moneda hasta obtener sello y se define la variable aleatoria 𝑋 como el

número de monedas lanzadas. La función de distribución de 𝑋 está dada por 𝐹(𝑥) =2𝑥−1

2𝑥

para 𝑥 ∈ 𝑁. Calcule 𝑃(𝑋 = 3).

A) 3

8

B) 7

8

C) 1

8

D) 1

2

E) Otro valor

311

1115) Un padre decide que la cantidad de dinero que le dará a su hijo cada semana, será equivalente a $1.000 por cada punto que aparezca al lanzar un dado normal. Según esto, ¿Cuál será el promedio de dinero que le dará a su hijo a lo largo de su vida?

A) $1.000

B) $2.000

C) $3.500

D) $4.500

E) $5.000

1116) La tabla muestra los valores que toma una variable aleatoria discreta X y los respectivos valores de su función de probabilidad 𝑓. ¿Cuál es el valor de la esperanza de X?

𝑥𝑖 0 1 2 3 4

𝑓(𝑥𝑖) 0,5 0,3 0,1 0,1 0

A) 0,16 B) 0,2 C) 0,25 D) 0,8 E) 2

1117) Según la información de la siguiente tabla, determine cuál de la(s) siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

𝑥𝑖 0 1 2 3

𝑃(𝑥𝑖) 0,3 0,2 0,4 0,1

I) La esperanza matemática es 1,6 II) La varianza es 1,01

III) La desviación estándar es 1

10√101


312

1118) Se realiza un experimento aleatorio donde uno de los posibles resultados es que ocurra un evento A, y se define la variable aleatoria 𝑋, que toma el valor (𝒎 − 𝟏) si ocurre el evento A y el valor 𝒎 si no ocurre dicho evento, con 𝑚 > 1. Si dentro del experimento la probabilidad de que ocurra el evento A es igual a 𝒑 ¿Cuál de la siguientes expresiones representa el valor esperado (esperanza matemática) de 𝑿?

A) 𝑚 − 𝑝 B) 2𝑚𝑝 −𝑚 − 𝑝 C) 𝑚𝑝 D) 𝑚 + 𝑝 E) 2𝑚𝑝

1119) En un curso hay 15 mujeres y 10 hombres. Se escogen al azar dos personas del curso, una tras otra y con reposición, y se define la variable aleatoria 𝑋 como la cantidad de mujeres escogidas. ¿Cuál es el valor esperado (esperanza matemática) de 𝑋?

A) 0,6 B) 0,96 C) 1 D) 1,1 E) 1,2

1120) En una bolsa hay cuatro tarjetas marcadas con la letra A y seis tarjetas marcadas con la letra B, todas de igual forma y tamaño. Un juego consiste en sacar dos tarjetas al azar, una a una y con reposición, donde si ambas corresponden al tipo A, entonces se gana $1.000; si ambas tarjetas son distintas, se gana $200; y si ambas tarjetas tiene la letra B, entonces se pierde $1.500. Si se desea participar del juego, entonces se estima, a partir del cálculo de esperanza, que el resultado del juego será:

A) Perder $256 B) Perder $284 C) Ganar $100 D) Ganar $256 E) Ni ganar ni perder

313

1121) Un dado especial de seis caras tiene en tres de sus caras el número 2, en una de sus caras el número 3 y en dos de sus caras el número 6. Se lanza el dado y se define la variable aleatoria 𝑋 como el resultado del lanzamiento. El valor esperado de 𝑋 es:

A) 2 B) 2,83 C) 3 D) 3,5 E) 3, 6

1122) Se escogen al azar tres letras distintas de la palabra RESTA y se define la variable aleatoria 𝑋 como la cantidad de constantes obtenidas. El valor esperado de 𝑋 es:

A) 0,6 B) 1 C) 1,2 D) 1,5 E) 1,8

1123) Una variable aleatoria 𝑋 tiene una esperanza de 1,4 y la esperanza de 𝑋2 es 2,0. ¿Cuál es su desviación estándar?

A) 0,04 B) 0,2 C) 0,6 D) 0,3 E) 0,4

1124) De los números: 1, 2 y 3 se toman muestras de tamaño dos (con repetición). Se define la variable aleatoria 𝑋 como la suma de los números de la muestra. ¿Cuál es el valor esperado para 𝑋?

A) 2,0 B) 3, 8 C) 1,0 D) 2, 7 E) 4,0

314

1125) Para un dado cargado de cuatro caras en forma de tetraedro regular, se define la variable 𝑋 para el número que resulta al lanzarlo. La función de probabilidad para 𝑋 se muestra en la siguiente tabla:

¿Cuáles son respectivamente la esperanza y la desviación estándar para 𝑋?

A) 2 y 2 B) 1 y 2 C) 2 y 1 D) 2,5 y 1 E) 2,5 y 2

1126) 𝑋 es una variable aleatoria cuyo recorrido es 1,2,3,4, la función de probabilidad 𝑓(𝑥) =

𝑃(𝑋 = 𝑥) está definida por 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑥. ¿Cuál es el valor esperado 𝑋?

A) 1 B) 2 C) 2,5 D) 3,0 E) 2,8

1127) Las probabilidades para la variable aleatoria cuyo recorrido es el 1, 2 y 3 son las

siguientes:

𝑋𝑖 𝑃(𝑋𝑖) 1 0,4

2 𝑎 3 𝑏

Si el valor esperado de 𝑋 es 2,0, ¿Cuál es el valor de 𝑎?

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,6

315

1128) Una variable aleatoria 𝑋 tiene por función de probabilidad los datos de la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

𝑋 1 2 3

𝑃(𝑋 = 𝑥) 2𝑝 2𝑝 𝑝

I) La esperanza de 𝑋 es 1,8

II) La desviación estándar de 𝑋 es √14

5

III) La varianza de 𝑋 es 0,56


1129) En una moneda cargada, la probabilidad que saga sello es 1 4⁄ . ¿Cuál es la probabilidad

de obtener a lo más una cara, al lanzarla 5 veces seguidas?

A) 1 36⁄

B) 1 64⁄

C) 3 128⁄

D) 5 256⁄

E) 1 256⁄

1130) Diego es un empleado de una empresa que le exige vender cada día 10 o más artículos, siendo la probabilidad de logarlo un 40%. ¿Cuál es la probabilidad de que Diego NO logre la meta diaria en a lo más 1 día de los 20 trabajados en el mes?

A) 30 ∙ (3

5)20

B) 31 ∙ (2

5)18

C) 2 ∙ (2

5)20

D) 31 ∙ (2

5)20

E) 28 ∙ (2

5)18

316

1131) La probabilidad de aprobar una asignatura es 0,7. Entonces, la probabilidad de que 3 de 5 estudiantes aprueben la asignatura es:

A) 0,3087 B) 0,1323 C) 0,3125 D) 0,6913 E) 0,6666

1132) Se sabe que 1 de cada 5 personas que asiste al estadio posee abono por todo el campeonato de futbol, si se toma una muestra al azar de 10 personas, la probabilidad de encontrar exactamente dos que lo posean es:

A) 5 ∙ 0,82 ∙ 0,28 B) 10 ∙ 0,22 ∙ 0,88 C) 45 ∙ 0,22 ∙ 0,88

D) 1

5∙ 0,28 ∙ 0,82

E) 1

5∙ 0,210 ∙ 0,82

1133) Un estudiante contesta al azar una prueba de 80 preguntas de Verdadero o Falso. La probabilidad que conteste 20 de las preguntas correctamente es:

A) (8020) ∙ 280

B) (8020) ∙ 4−80

C) (8020) ∙ 294

D) (8020) ∙ 2−80

E) Otro valor

1134) Se lanza un dado común 100 veces, entonces, la probabilidad de obtener exactamente 30 veces el número seis es:

A) (10030

) ∙ 6−100 ∙ 570

B) (10030

) ∙ 4−100 ∙ 510

C) (10030

) ∙ 6100 ∙ 5−70

D) (10030

) ∙ 670 ∙ 5−100

E) (10030

) ∙ 6−100 ∙ 5−70

317

1135) Si 𝑋 es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial 𝑋 → 𝐵(10; 0,7), entonces 𝑃(𝑥 = 8) es:

A) 45 ∙ 78 ∙ 10−10 B) 45 ∙ 9 ∙ 78 ∙ 10−10 C) 45 ∙ 9 ∙ 78 ∙ 1010 D) 45 ∙ 9 ∙ 76 ∙ 10−10 E) 45 ∙ 9 ∙ 710 ∙ 1010

1136) El pronóstico del tiempo para cierta localidad, indica que la probabilidad de que llueva en un determinado día es de 0,3. Se escogen 100 días al azar ¿Cuál es la probabilidad que llueva en 20 de estos?

A) (10020

) ∙ (3

100)20∙ (

7

100)80

B) (10020

) ∙ (3

10)20∙ (

7

10)80

C) (10080

) ∙ (3

10)80∙ (

7

10)20

D) (10020

) ∙ (3

10)80∙ (

7

100)20

E) (20100

) ∙ (3

100)80∙ (

7

100)20

1137) En una empresa de televisores, la probabilidad de extraer uno defectuoso de una muestra es del 10%. Si se eligen al azar 30 muestras distintas, ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la probabilidad que aparezca a lo más un televisor defectuoso?

A) ∑ (30𝑖) (0,1)𝑖(0,9)30−𝑖1

𝑖=0

B) ∑ (30𝑖) (0,1)𝑖(0,9)10−𝑖10

𝑖=0

C) ∑ (30𝑖) (0,9)𝑖(0,9)30−𝑖1

𝑖=0

D) ∑ (301) (0,1)𝑖(0,9)10−𝑖30

𝑖=0

E) ∑ (29𝑖) (0,9)𝑖(0,9)29−𝑖29

𝑖=0

1138) Si 𝑋 es una variable aleatoria que tiene una distribución 𝑋 → 𝐵(10; 04), entonces 𝑃(𝑋 =3) está representado por:

A) (310) ∙ (0,4)7 ∙ (0,6)10

B) (103) ∙ (0,6)3 ∙ (0,4)7

C) (310) ∙ (0,6)10 ∙ (0,4)7

D) (103) ∙ (0,4)3 ∙ (0,6)7

E) (103) ∙ (0,6)7 ∙ (0,6)3

318

1139) El ítem de selección múltiple de una prueba tiene 10 preguntas y cada uno de ellas 5 alternativas. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno(a) conteste no más de 3 preguntas correctas?

A) 0,678 B) 0,322 C) 0,879 D) 0,121 E) 0,201

1140) En un partido de tenis entre los jugadores A y B, la probabilidad de que gane A es de 0,8. Si disputan en total 6 partidos, ¿Cuál es la probabilidad de que B gane más de 4 partidos?

A) 0,16% B) 2,5% C) 65,54% D) 84% E) 34,36%

1141) Si se considera que el 15% de los chilenos son hinchas de algún equipo de fútbol y se pregunta a 7 chilenos al azar si lo son, la probabilidad de que contesten positivamente tres de ellos, viene dada por la expresión:

A) 𝑃(𝑋 = 3) = (73) 0,154 ∙ 0,853

B) 𝑃(𝑋 = 3) = (73) 0,153 ∙ 0,854

C) 𝑃(𝑋 = 3) = (73) 0,152 ∙ 0,855

D) 𝑃(𝑋 = 3) = (73) 0,155 ∙ 0,852

E) 𝑃(𝑋 = 3) = (73) 0,157

1142) Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que sólo una de ellas es correcta. Un estudiante que no había preparado la materia responde completamente al azar, marcando una respuesta aleatoriamente. La probabilidad de que acierte 4 preguntas es:

A) (64) 0,254 ∙ 0,752

B) (64) 0,300 ∙ 0,704

C) (64) 0,250 ∙ 0,754

D) (64) 0,254 ∙ 0,755

E) (64) 0,300 ∙ 0,704

319

1143) El último libro de un autor ha sido leído por un 77% de los lectores. En un grupo de 5 amigos aficionados a la lectura. ¿Cuál es la probabilidad de que lo hayan leído al menos uno de ellos?

A) (52) 0,772 ∙ 0,233

B) (52) 0,773 ∙ 0,232

C) (53) 0,772 ∙ 0,233

D) 1 − (52) 0,772 ∙ 0,233

E) 1-(50) 0,770 ∙ 0,235

1144) El 85% de las personas que se han postulado para un crédito estudiantil lo han obtenido. Una semana anterior se han presentado cinco postulaciones para créditos. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los créditos sean aprobados?

A) (45) ∙ (0,85)4 ∙ (0,15)

B) (45) ∙ (0,15)4 ∙ (0,85)

C) (54) ∙ (0,85)4 ∙ (0,15)

D) (54) ∙ (0,15)4 ∙ (0,85)

E) (54) ∙ (0,015)4 ∙ (0,085)4

1145) Una empresa importa y vende pendrives de 4 GB. Si la probabilidad de que ellos vendan un pendrive defectuoso es del 0,5%, ¿Cuál es la probabilidad de que al vender 100 de ellos, cinco resulten defectuosos?

A) (505) ∙ 0,0055 ∙ 0,99545

B) (1005) ∙ 0,0055 ∙ 0,99595

C) (1005) ∙ 0,00595 ∙ 0,9955

D) (1005) ∙ 0,595 ∙ 0,55

E) (1005) ∙ 0,55 ∙ 0,595

320

1146) Una cierta variable X sigue una distribución de Bernoulli de parámetro 0,7. Si el experimento que induce a 𝑋 se repite 100 veces de manera independiente, ¿Cuál es la probabilidad de que en las 100 repeticiones se registren 27 éxitos?

A) (273) ∙ (0,7)3 ∙ (0,3)27

B) (10027

) ∙ (0,7)27 ∙ (0,3)73

C) (7327) ∙ (0,7)27 ∙ (0,3)73

D) (10073

) ∙ (0,7)100 ∙ (0,3)73

E) (10027

) ∙ (0,7)100 ∙ (0,3)27

1147) ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a la función de probabilidad de la distribución binomial 𝐵(4; 0,4)?

A) (4𝑥) ∙ 0,4𝑥 ∙ 0,64−𝑥

B) (4𝑥) ∙ 0,6𝑥 ∙ 0,44−𝑥

C) (𝑥4) ∙ 0,4𝑥 ∙ 0,64−𝑥

D) (𝑥4) ∙ 0,6𝑥 ∙ 0,44−𝑥

E) (4𝑥) ∙ 0,44−𝑥 ∙ 0,6𝑥

1148) La probabilidad de que Juan convierta un gol en un tiro penal es de 0,6. Se define la variable aleatoria 𝑋 como la cantidad de goles convertidos en tres lanzamientos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑃(𝑋 = 3)II) 𝑃(𝑋 = 1) = 𝑃(𝑋 = 2)III) 𝑃(𝑋 ≥ 0) = 1

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

321

1149) En una población el 40% ve una serie determinada. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger a 20 personas al azar de esa población, 12 de ellas vean la serie?

A) 0,412

B) (208)

C) (2012) ∙ 0,48 ∙ 0,612

D) (208) ∙ 0,412 ∙ 0,68

E) (2012) ∙ 0,412 ∙ 0,68

1150) La actual PSU es una prueba de selección múltiple que consta de 80 preguntas, cada una de 5 opciones. Si un postulante a la universidad decide contestar todas las preguntas al azar, ¿Cuál de las siguientes expresiones indica la probabilidad de que obtenga 80 aciertos?

A) (800) (

1

5)80

B) (801) (

1

5) (

4

5)80

C) (801) (

1

5)80(4

5)

D) (8080) (

1

5)80(4

5)

E) (8080) (

1

5) (

4

5)80

1151) Un juego de azar consiste en lanzar un dado común, donde el jugador que lanza el dado pierde si obtiene un número par o un divisor de 5 y en otro caso gana. Si un jugador lanza el dado 𝑛 veces, con 𝑛 > 4, ¿Cuál es la probabilidad de que gane exactamente en cuatro de ellos?

A) (1

6)4∙ (5

6)𝑛−4

B) (𝑛4) ∙ (

1

3)4∙ (2

3)𝑛−4

C) (𝑛4) ∙ (

1

6)4∙ (5

6)𝑛−4

D) (1

6)𝑛−4

∙ (5

6)𝑛

E) (1

3)4∙ (2

3)𝑛−4

322

1152) Si se lanza un dado común 100 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 30 veces un divisor de 6?

A) (10030

)(1

3)30(2

3)70

B) (10030

)(2

3)30(1

3)70

C) (10020

)(2

3)70(1

3)30

D) (2

3)30(1

3)70

E) (2

3)30

1153) En una página de citas, la probabilidad de que a una determinada persona le respondan

un mensaje es 1

10. Si esa persona envía 8 mensajes. ¿Cuál es la probabilidad de que

exactamente 3 de ellos sean respondidos?

A) (53) (

1

10)3(9

10)5

B) (83) (

1

10)3(9

10)5

C) (83) (

1

10)3

D) (83) (

1

10)8

E) (83) (

1

10)3(1

10)5

1154) Marcelo contesta totalmente al azar un examen de 10 preguntas de verdadero o falso. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste todas las preguntas correctamente?

A) 18100,5

2

B) 10100,5

2

C) 11100,5

10

D) 12100,5

2

E) 10100,5

10

323

1155) Un zancudo pica a 100 seres humanos en una noche. Si la probabilidad de que una

víctima se moleste es 0,99. ¿Cuál es la probabilidad de que 95 de sus víctimas se molesten?

A) 0,995

B) (10095

) ∙ (0,99)95 ∙ (0,01)5

C) (10095

) ∙ (0,01)95 ∙ (0,99)5

D) (1005) ∙ (0,1)5 ∙ (0,99)95

E) (0,99)95 ∙ (0,01)95

1156) Una prueba tiene 15 preguntas con 5 alternativas cada una, de las cuales sólo una es la correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno tenga 7 aciertos si contesta la prueba al azar?

A) (1

5)7

B) (1

5)7∙ (4

5)15−7

C) 7

15

D) 𝐶715 ∙ (

1

5)7∙ (4

5)15−7

E) 7

15∙8

15

1157) Si se lanza un dado común 120 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 20 veces el número 1?

A) (10020

)(1

6)20(5

6)100

B) (12020

)(1

6)20(5

6)100

C) (12020

)(1

6)20

D) (10020

)(1

6)120

E) (1

6)20

324

1158) ¿Cuál de las siguientes proposición(es) es (son) verdadera(s) en relación a la función densidad de una variable aleatoria 𝑋 que se distribuye en forma normal con media 𝜇 y desviación estándar 𝜎?

I) Está definida para −∞ < 𝑋 < ∞+. II) Es simétrica con respecto a la recta 𝑥 = 𝜇. III) El área que comprende bajo la curva es igual a 1.


1159) Una variable aleatoria continua X se dice que tiene distribución triangular si su función de densidad de probabilidad es:

𝑓(𝑥) =

1

2𝑝𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 2

𝑝 𝑠𝑖 𝑥 = 2

𝑝 (2 −1

2𝑥) 𝑠𝑖 2 < 𝑥 ≤ 4


¿Cuál es el valor de 𝑝, sabiendo que es un número real positivo?

A) 1

2

B) 1 C) 2

D) √2

E) 3

4

1160) A partir de la función cuya gráfica está en la figura, definida en el intervalo [−0,5; 1], ¿Cuál es la probabilidad 𝑃(−0,5 < 𝑋 < 0,5)?

A) 50% B) 30% C) 25% D) 20% E) 75%

325

1161) Si 𝑓 es una función de densidad, ¿Cuál de las siguientes características debe tener esta función?

I) 𝑓(𝑥) ≥ 0, para todo 𝑥 real. II) El área bajo la curva es igual a 1. III) Si 𝑎 y 𝑏 son dos constante reales, con 𝑏 ≥ 𝑎 entonces

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎).


1162) Sea 𝑋 una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad es:

𝑓(𝑥) =

3𝑝𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 26𝑝 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 ≤ 6

0 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Si 𝑝 es un número real positivo, entonces 𝑝 es:

A) 1 30⁄

B) 1 18⁄

C) 1 36⁄

D) 1 22⁄


1163) ¿Cuál debe ser el valor de ℎ para que la gráfica de la figura, sea función de densidad?

A) 3 2⁄

B) 1 3⁄

C) 2 3⁄

D) 1 2⁄


326

1164) ¿Cuál(es) de las siguientes funciones puede(n) ser función de densidad de una variable aleatoria continua?

I. 𝑓(𝑥) = 0,5 ; 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ [−1,1]

II. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 ; 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ [1,3] III. 𝑓(𝑥) = 1 ; 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ [−1,0] IV. 𝑓(𝑥) = |𝑥| ; 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ [−1,1]

A) Solo VI B) Sólo I y IV C) Sólo I, II y III D) Sólo I, III y IV E) I, II, III y IV

1165) Determine cuál o cuáles de las siguientes gráficas corresponde a una función de densidad de probabilidad.

A) Solo 2 y 3 B) Solo 2, 3 y 4 C) Sólo 3, 5 y 6 D) Sólo 2, 3, 5 y 6 E) todas

327

1166) La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome valores dentro de un intervalo, se puede calcular como el área bajo la curva de su función de densidad para ese intervalo. A partir de la gráfica de la función de densidad de una variable aleatoria continua X. ¿Cuál es la probabilidad de que tome valores en el intervalo [0,6 − 1,4]?

A) 0,24 B) 0,40 C) 0,46 D) 0,54 E) 0,60

1167) Sea 𝑓 la función de densidad de la variable aleatoria continua X. ¿Cuál es la probabilidad de que X pertenezca al intervalo [0,1]?

𝑓(𝑥) =

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0,50,5 𝑠𝑖 0,5 < 𝑥 ≤ 22,5 − 𝑥 𝑠𝑖 2 < 𝑥 ≤ 2,50 𝑠𝑖 2,5 < 𝑥

A) 0,125 B) 0,250 C) 0,375 D) 0,625 E) 0,750

1168) Una variable aleatoria continua X se dice que tiene distribución triangular si su función de densidad de probabilidad es:

𝑓(𝑥) =

1

2𝑘(𝑥 − 1) 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 2

1

2𝑘 𝑠𝑖 𝑥 = 2

1

2𝑘(3 − 𝑥) 𝑠𝑖 2 < 𝑥 ≤ 3


¿Cuál es el valor de 𝑘, sabiendo que es un número real positivo?

A) 1 2⁄

B) 2 C) 1

D) √2

E) 3 4⁄

328

1169) En la figura adjunta, ¿Qué valor debe tomar 𝑎 para que la gráfica represente una función de densidad de una variable aleatoria continua?

A) 1,2 B) 1,3 C) 1,4 D) 0,6 E) 0,4

1170) Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad es

𝑓(𝑥) = 3𝑘, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 2

𝑘𝑥 + 𝑘, 𝑠𝑖 2 < 𝑥 ≤ 40, 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑜 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Si k es un entero real positivo, entonces k es:

A) 2 3⁄

B) 1 12⁄

C) 1 14⁄

D) 1 4⁄

E) 1 2⁄

1171) Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad es:

𝑓(𝑥) = 2𝑘𝑥, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 12𝑘, 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 40 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Si, k es un número real positivo, entonces 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) es igual a:

A) 1 7⁄

B) 3 7⁄

C) 2 7⁄

D) 1 4⁄

E) 1 2⁄

329

1172) Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad de probabilidad es

𝑓(𝑥) = 4𝑘𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 312𝑘 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 ≤ 40 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Si, k es un número real positivo, entonces 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 3) es igual a:

A) 0,75

B) 0,25

C) 0, 3

D) 0,125

E) 0,83

1173) Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad está dada por el siguiente gráfico:

Si 𝑘 es un número real positivo, entonces 𝑘 es:

A) 1 14⁄

B) 1 12⁄

C) 1 6⁄

D) 2 3⁄

E) 1 2⁄

330

1174) Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad está dada por el siguiente gráfico:

Si 𝑘 es un número real positivo, entonces 𝑃(1 ≤ 𝑥 ≤ 3)

A) 1 3⁄

B) 5 12⁄

C) 3 4⁄

D) 1 12⁄


1175) Sea 𝑋 una variable aleatoria continua con distribución normal estándar. ¿Cuál es la probabilidad que 𝑋 tomo un valor mayor que 1,15?

A) 0,15 B) 0,67 C) 0,749 D) 0,125 E) 0,875

1176) Dada una variable aleatoria continua 𝑋 → 𝑁(0,1). ¿Cuál es la probabilidad que 𝑥 tome un valor entre 1 y 2?

A) 0,15 B) 0,136 C) 0,164 D) 0,841 E) 0,977

331

1177) ¿Cuáles son valores de la media 𝜇 y la desviación estándar 𝜎 para una distribución normal estándar?

A) 𝜇 = 1 𝑦 𝜎 = 0 B) 𝜇 = 0 𝑦 𝜎 = 1 C) 𝜇 = 1 𝑦 𝜎 = 1 D) 𝜇 = 0,5 𝑦 𝜎 = 0 E) 𝜇 = 0 𝑦 𝜎 = 0.5

1178) Sea 𝑋 → 𝑁(22,20). ¿Cuál es la probabilidad que 𝑥 tome un valor menor a 45?

A) 0,900 B) 0,839 C) 0,749 D) 0,841 E) 0,875

1179) La gráfica de la figura representa la función de densidad de una variable aleatoria continua que distribuye 𝑁(0,1), donde el área achurada es igual al 90% del total. ¿Cuál es el valor de 𝑎?

A) 1 B) 1,15 C) 1,28 D) 1,64 E) 1,96

1180) Sea 𝑋 una variable aleatoria continua. Si 𝑋 se distribuye normalmente, con desviación típica igual a 𝛿. Si se sabe que 𝑃(𝑋 < 1) = 𝑃(𝑋 > 5), entonces la media de esta distribución siempre es:

A) 1 + 𝛿 B) 5 − 𝛿 C) 3

D) 2 𝛿⁄

E) 8 𝛿⁄

332

1181) El peso de un paquete de cereales se distribuye normalmente con media 750 gramos y desviación típica 25 gramos. Si se selecciona un paquete al azar, considerando que 𝑋 es el peso del paquete en gramos. ¿Cuál(es) de la(s) siguientes afirmación(es) es(son) verdadera(s)?

I) 𝑃(𝑋 < 725) = 2𝑃(𝑋 < 700)II) 𝑃(𝑋 > 725) = 𝑃(𝑋 < 775)III) 𝑃(𝑋 < 725) + 𝑃(𝑋 < 775) = 2𝑃(𝑋 < 750)

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

1182) Juan dio tres pruebas A, B, C y cuyos resultados se distribuyeron normalmente de la siguiente manera, 𝐴~𝑁(50,2), 𝐵~𝑁(60,4), 𝐶~𝑁(100,10). Si Juan en la prueba A obtuvo 54 puntos, en la prueba B obtuvo 64 puntos y en la prueba C obtuvo 115 puntos. ¿En cuál prueba le fue mejor?

A) En lar tres pruebas le fue igualB) AC) BD) CE) En la A y C le fue igual y mejor que en la B

1183) En el año 2010 las estaturas de los alumnos de un curso se distribuían normalmente con media 1,5 m y varianza 0,1. En el año 2015, la media de estos mismos aumento en un 20%. ¿Cuál será la nueva varianza de la muestra?

A) 0,2 ∙ 0,1B) 0,22 ∙ 0,1C) 1,2 ∙ 0,1D) 1,22 ∙ 0,1E) 1,22 ∙ 0,12

1184) Si 𝑋 se distribuye normalmente con media 0 y desviación estándar igual a 1, entonces 𝑃(𝑋 > 1,64) es igual a:

A) 0,05B) 0,5C) 0,67D) 0,95E) 0,957

333

1185) Si 𝑋 se distribuye normalmente con media 0 y desviación estándar igual a 1, entonces 𝑃(1 < 𝑋 < 1,96) es igual a:

A) 0,05 B) 0,96 C) 0,134 D) 0,841 E) 0,957

1186) Si 𝑋 se distribuye normalmente con media 0 y desviación estándar igual a 1, entonces 𝑃(0 < 𝑋 < 1,15) es igual a:

A) 0,15 B) 0,375 C) 0,5 D) 0,875 E) 0,957

1187) Si 𝑋 se distribuye normalmente con media 20 y desviación estándar igual a 2, entonces la probabilidad que 𝑃(𝑋 < 24) es igual a:

A) 0,9 B) 0,977 C) 0,985 D) 0,990 E) 0,995

1188) Una máquina con listones de 30 cm de largo se ha determinado que los largos siguen una distribución normal con media 30,2 cm y desviación 2 cm. Si se elige al azar un listón, ¿Cuál es la probabilidad que mida menos de 32, 5 cm?

A) 0,15 B) 0,375 C) 0,5 D) 0,875 E) 0,957

1189) Sea 𝑋 una variable aleatoria con distribución normal de promedio siete, Si 𝑃(5 ≤ 𝑋 ≤ 9) = 0,4 y 𝑃(4 ≤ 𝑋 ≤ 10) = 0,7, entonces el valor de 𝑃(5 ≤ 𝑋 ≤ 10) es?

A) 0,625 B) 0,650 C) 0,575 D) 0,550 E) 0,525

334

1190) Si la distancia promedio en metros, recorrida por un grupo de 1.500 partículas, se distribuye de la forma 𝑁(2,6; 0,5), ¿Cuántas de ellas, aproximadamente, es probable que recorran entre 1,6 m y 3,6 m?

A) 75B) 720C) 750D) 1.020E) 1.425

1191) El promedio de notas de un curso en Matemática es una variable aleatoria que distribuye en forma normal 𝑁(4,8; 0,7). ¿Entre que promedios de notas de matemáticas se encuentra aproximadamente el 95,4% de los estudiantes del curso cuyos promedios son los más cercanos a 4,8?

A) ]1,3 ; 6,3[B) ]3,4 ; 6,2[C) ]4,0 ; 6,0[D) ]4,1 ; 5,5[E) ]2,3 ; 6,3[

1192) Si Ricardo extrae una tarjeta donde se lee: 𝑋~𝑁(90,9) y 𝑃(80 ≤ 𝑥 ≤ 95), entonces la probabilidad pedida es:

A) 𝑃(−1,1 ≤ 𝑧 ≤ −0,5)

B) 𝑃(1, 1 ≤ 𝑧 ≤ 0, 5)

C) 𝑃(1,1 ≤ 𝑧 ≤ −1,5)

D) 𝑃(−1, 1 ≤ 𝑧 ≤ 0, 5)

E) 𝑃(−1, 1 ≤ 𝑧 ≤ 15)

1193) Sea 𝑋 una variable aleatoria con función de probabilidad normal tipificada 𝑃. Si

𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) =5

8, entonces el valor de 𝑃(−𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑎) es:

A) 14⁄

B) 516⁄

C) 38⁄

D) 34⁄

E) 1316⁄

335

1194) Sea 𝑧 una variable aleatoria con distribución normal tipificada y 𝑋 una variable aleatoria que se distribuye de manera normal con una media aritmética 𝜇 y desviación estándar 𝜎. Si 𝑃 es la función de probabilidad, ¿Cuál de las siguientes expresiones equivale a

𝑃(𝜇 − 3𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 3𝜎)?

A) 𝑃(𝑧 ≤ 3) − 𝑃(𝑧 ≥ −3) B) 𝑃(𝑧 ≤ 3) + 𝑃(𝑧 ≤ −3) C) 2𝑃(𝑧 ≤ 3) D) 2𝑃(𝑧 ≤ 3) − 1 E) 2𝑃(𝑧 ≤ 3) + 1

1195) La longitud en cm, de las varillas que fabrican una empresa, tiene una distribución 𝑁(10; 0,3). ¿Cuál es la probabilidad, en porcentaje, de que una varilla mida menos de 9,1 cm?

A) 100,0% B) 49,865% C) 34,13% D) 15,87% E) 0,135%

1196) En una distribución normal estándar si 𝑃(𝑋 ≤ −𝑎) = 𝑡; entonces 𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) =

A) −𝑡 B) 𝑡 C) 𝑡 − 1 D) 1 − 𝑡 E) No se puede determinar

1197) Si 𝑋~𝑁(0,1), entonces ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La probabilidad 𝑃(𝑋 < 0) es 50% II) 𝑃(𝑋 > 1,5) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1,5) III) 𝑃(𝑋 = 0,5) = 0


336

1198) Los promedios obtenidos por los alumnos de un colegio, en su último semestre de cuarto medio, tiene una distribución 𝑁(5,0; 0,8). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Aproximadamente, el 68% de los alumnos tiene promedio entre 4,2 y 5,8. II) Aproximadamente, el 2% de los alumnos tiene promedio menor a 3,4. III) Un 13,6%, aproximadamente, tiene promedio entre 5,8 y 6,6.


1199) Se estima que los resultados de la prueba de selección Universitaria (PSU) tienen una distribución normal 𝑁(500,100). Si en el 2013 rindieron la prueba 240.000 y para postular a las universidades se exige un mínimo de 400 puntos. Entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes es (son) verdadera(s)?

I) 38.088 alumnos tienen menos de 400 puntos. II) 324 alumnos tiene más de 800 puntos. III) 32.616 alumnos tienen entre 600 y 700 puntos.


1200) Sean 𝑋,𝑊 variables aleatorias con distribución 𝑁(80,4) y 𝑁(120,10) respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) 𝑃(𝑤 ≥ 130) > 𝑃(𝑋 ≥ 84) II) 𝑃(𝑋 ≥ 92) = 𝑃(𝑊 ≤ 90) III) 𝑃(𝑊 ≥ 120) > 𝑃(𝑋 ≥ 80)


337

1201) Si 𝑍~𝑁(0,1). ¿Cuál de las siguientes operaciones tienen y un valor igual a 𝑃(𝑍 ≤ −𝑧)?

A) 𝑃(𝑍 ≥ 2) B) 𝑃(𝑍 ≤ 2) C) 𝑃(𝑍 ≥ −2) D) 1 − 𝑃(𝑍 ≥ 2) E) 1 − 𝑃(𝑍 ≤ −2)

1202) Si 𝑍~𝑁(0,1), el valor de 𝑃(−1,96 ≤ 𝑍 ≤ 1,96) corresponde a:

A) 0,990 B) 0,975 C) 0,950 D) 0,900 E) 0,800

Para responder las preguntas 1203, 1204, 1205 Y 1206 utilizaremos una compañía que produce lavadoras, el número de control de calidad de sus lavadoras se distribuye normalmente con media 𝜇 = 430 y 𝜎 = 6.

1203) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de lavadoras aprobadas sea mayor a 442?

A) 2,3% B) 1,5% C) 15% D) 85% E) 8,5%

1204) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de lavadoras aprobadas sea mayor que 436?

A) 84,1% B) 15,9% C) 50% D) 68,3% E) 84%

1205) ¿Entre que lavadoras se encuentra el 95,4% que aprobaron el control de calidad?

A) ]430,436[ B) ]418,442[ C) ]428,436[ D) ]420,466[ E) ]428,442[

338

1206) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de lavadoras aprobadas sea mayor que 430?

A) 70,1% B) 59,78% C) 64,05% D) 50,15% E) 50%

1207) Si 𝑍~𝑁(0,1), ¿Qué valor es igual a 𝑃(𝑍 < −1,5)?

A) 𝑃(𝑍 > −1,5) B) 𝑃(𝑍 = −1,5) C) 𝑃(𝑍 > 1,5) D) 1 − 𝑃(𝑍 > 1,5) E) 𝑃(𝑍 > −0.5)

1208) El peso de los equipajes de un avión comercial, sigue un comportamiento normal con un promedio y una desviación estándar de 20 y 4 kg respectivamente. Si el límite de la carga total del equipaje de un avión que transporta 100 pasajeros es de 2092,8kg, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que el límite sea excedido por estos 100 pasajeros?

A) 0,645 B) 0,6217 C) 0,9991 D) 0,01 E) 0,313

1209) Una población sigue un comportamiento normal en su calzado. El calzado promedio es de 38 con una desviación estándar de 1, ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona al azar, que su talla de calzado sea menor a 39?

A) 34,13% B) 68,26% C) 84,13% D) 50% E) 15,87%

1210) Se define X como el puntaje obtenido por un alumno en la prueba de ciencias sociales. Si se sabe que P(X>700)=0,35 y que P(X<600)=0,44, entonces P(600≤X≤700) es

A) 0,11 B) 0,21 C) 0,56 D) 0,65 E) 0,89

339

1211) El tiempo , en minutos, en que los estudiantes contestan una prueba de lenguaje tiene una distribución N(55,10); con relación a esta situación, es verdadero que:

I) El 68,3% de los jóvenes demora entre 45 y 65 minutos. II) El 4,5% de los jóvenes demora menos de 35 minutos. III) En un curso de 40 estudiantes quedan aproximadamente 6 de ellos después de 65

minutos de haber comenzado.


1212) En un colegio de 4.000 estudiantes, las notas en matemáticas se distribuyen N(5.2, 0.6). ¿Alrededor de cuantos estudiantes tienen promedio sobre 6?

A) 903 B) 100 C) 500 D) 96 E) 367

1213) En un consultorio se realizó un estudio para determinar la masa corporal de la población femenina de su comuna, y se obtuvo una distribución N(62,5) en kg. ¿Aproximadamente, que porcentaje de mujeres de la comuna tiene una masa corporal en 57 kg y 62 kg?

A) 99% B) 68% C) 24% D) 95% E) 34%

1214) En la selección de personal para un museo de historia se realizará una prueba de conocimientos básicos de historia de Chile. Se sabe que los puntajes distribuyen N(132,18) y solo el 10% de los puntajes más altos será seleccionado. Aproximadamente, ¿A partir de qué puntaje se aceptará a los candidatos?

A) 109 B) 155 C) 159 D) 190 E) 195

340

1215) La vida media de una pila (en horas) tiene una distribución N (150, 50). ¿Cuál es la probabilidad de que dure menos de 50 horas?

A) 2% B) 16% C) 68% D) 4% E) 8%

1216) El error en una medición puede modelarse con una distribución normal estándar N(0,1) en milímetros. Si se realiza una medición, ¿Cuál es, aproximadamente, la probabilidad de que el error cometido sea mayor que 0,2 mm?

A) 0,42 B) 0,43 C) 0,44 D) 0,57 E) 0,58

1217) El tiempo, en minutos, que un estudiante de cuarto año medio dedica al estudio en su casa, cada día hábil, tiene una distribución N (141,41). Respecto de la situación es verdadero que:

I) El 68,26% de los jóvenes estudia entre 100 y 182 minutos. II) Alrededor del 16% de los días estudia menos de 100 min. III) Aproximadamente 3 días hábiles al mes estudia más de 182 min.


1218) Sea X una variable con distribución normal estándar. ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor mayor que 1?

A) 0,9 B) 0,8413 C) 0,5 D) 0,1587 E) 0,1

341

1219) En una población de 1.500 personas la variable 𝑋 tiene una distribución normal, aproximadamente: ¿Cuántas personas están entre 𝜇 + 𝜎 y 𝜇 + 2𝜎?

A) 100 B) 200 C) 204 D) 210 E) 250

1220) Sea 𝑋 una variable estadística continua que se distribuye de manera normal tipificada. Si

𝑃(𝑋 ≥ −𝑚) =4

5, con 𝑚 un número real, ¿Cuál es el valor de 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 𝑚)?

A) 3 10⁄

B) 1 5⁄

C) 2 5⁄

D) 3 5⁄

E) 4 5⁄

1221) Una variable aleatoria continua 𝑋 tiene distribución normal de media 1,5 y desviación estándar 0,5. La probabilidad de que 𝑋 tome un valor menor o igual que 2,32 es:

A) 0,900 B) 0,950 C) 0,975 D) 0,985 E) 0,990

1222) Cuando Andrea visita al nutricionista, este le indica que su masa corresponde al percentil 95 de la distribución de las masas de la población de mujeres de su edad y estatura en el país. Si se sabe que la masa de esta población se modela a través de una distribución normal con varianza igual a 4 𝑘𝑔2, y Andrea tiene una masa de 60 kg, ¿Cuál es, aproximadamente, la media de esta distribución?

A) 50,02 kg B) 56,40 kg C) 56,72 kg D) 53,44 kg E) 58,20 kg

342

1223) Un ingeniero de una fábrica debe inferir sobre el diámetro medio (𝜇) de los rodamientos de su producción, y para ello tomará una muestra al azar de rodamientos para construir un intervalo de confianza del 95% para 𝜇. Si los diámetros de los rodamientos se modelan a través de una distribución normal, con varianza 16 𝑚𝑚2, ¿Cuál es el mínimo número de rodamientos que debe tener la muestra, para que el margen de error del intervalo construido sea menor o igual 1 𝑚𝑚?

A) 62 B) 16 C) 61 D) 80 E) 8

1224) Si una variable aleatoria 𝑋 tiene distribución normal con media 𝜇 igual a 2 y varianza igual a 3 ¿Cuál de las siguientes variables aleatorias tiene distribución de media 0 y varianza 1.

A) 𝑌 =𝑋−2

3

B) 𝑤 =𝑋−√2

3

C) 𝑉 =𝑋−2

√3

D) 𝐾 =2−𝑋

3

E) 𝐿 =𝑋+2

3

1225) Una población tiene una distribución normal con 𝜇 = 27 y 𝜎 = 9 . Si se escogen muestras

de 9 individuos, ¿Cuál es el promedio de las medias muestrales y su desviación estándar

respectivamente?

A) 27 y 9 B) 27 y 1 C) 27 y 3 D) 3 y 9 E) 3 y 3

1226) Una variable aleatoria se distribuye en forma normal. ¿Qué información se necesita para determinar la probabilidad de que esta tome un valor menor que 10?

(1) 𝜎 = 15 (2) 𝜇 = 64

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




343

1227) Sea 𝑋 una variable aleatoria con distribución normal estándar. Que información se necesita para determinar la probabilidad de que 𝑋 tome un valor menor que 𝑃.

(1) 𝑃 = 0,9 (2) 𝜎 = 1 + 𝜇

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




Considere para las siguientes preguntas 1128, 1129, 1130 Y 1131 una población formada por todos los números primos menores o iguales que 7 y todas las muestras de tamaño 2 que pueden hacerse si se realiza con reposición y con importancia de orden.

1128) ¿Cuántas muestras en total se pueden extraer?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 20

1129) ¿Cuál es la media poblacional?

A) 17

B) 17 2⁄

C) 17 4⁄

D) 17 7⁄

E) 17 9⁄

1230) ¿Cuál es la media de las medias muestrales?

A) 0,425 B) 2,125 C) 4,25 D) 21,15 E) 42,15

344

1231) ¿Cuál es la probabilidad, aproximada a la décima, de que = 5?

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5

1232) Una empresa de mensajería que opera en la ciudad tarda una media de 35 minutos en llevar un paquete, con una desviación estándar de 8 minutos. Suponga que el día de hoy se han repartido doscientos paquetes. Obtenga una aproximación para la probabilidad de que el promedio de los tiempos de entrega de hoy esté entre 30 y 35 minutos.

A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4 D) 0,5 E) 0,6

1233) Se supone que la distribución de la temperatura del cuerpo humano en la población tiene una temperatura media de 37°C y una desviación estándar de 0,85°C. Si se eligen al azar 100 personas y se registra su temperatura corporal, ¿Cuál es la desviación estándar de la muestra?

A) 0,0085°C B) 0,085°C C) 0,85°C D) 8,5°C E) 85°C

1234) La duración de las ampolletas que produce una fábrica sigue una distribución normal con una media de 1.200 horas y una desviación estándar de unas 400 horas. Si se compran nueve de estas ampolletas, que puede considerarse como una muestra aleatoria de la producción del fabricante. ¿Cuál es la probabilidad de que esas nueve ampolletas tengan, en promedio, una duración superior a 1.050 horas?

A) 0,352 B) 0,38 C) 0,648 D) 0,875 E) 0,125

345

1235) Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente de forma normal con una media de 174,5 centímetros y una desviación estándar de 6,9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 de esta población, determine cual media y desviación estándar de la distribución de medias:

A) 185,5 cm y 1,28 cm B) 174,5 cm y 1,38 cm C) 173,5 cm y 1,28 cm D) 180 cm y 1,2 cm E) 173,5 cm y 1,2 cm

1236) Dado el problema anterior, cuantas medias muéstrales se encontrarán entre 172,5 y 175,8.

A) Aproximadamente 163 B) Aproximadamente 153 C) Aproximadamente 133 D) Aproximadamente 151 E) Aproximadamente 110

1237) De acuerdo a una distribución binomial, si un dado se lanza 540 veces, entonces la desviación estándar del número de CINCOS que se espera que salgan, es:

A) 3√5

B) 25√3 C) 75 D) 90

E) 5√3

1238) La probabilidad de que un cierto experimento tenga éxito es 0,4. Si se repite el experimento 15 veces, entonces la media (𝜇) es:

A) 0,6 B) 0,06 C) 6,0 D) 60 E) Otro valor

1239) Para el mismo ejercicio, el valor de la desviación estándar es, aproximadamente:

A) 1,90 B) 1,41 C) 0,60 D) 3,60 E) 6,00

346

1240) Una variable aleatoria discreta tiene distribución binomial 𝐵(80; 0,2). ¿Cuál es el valor de 𝜇 al aproximarla a una distribución normal?

A) 8 B) 3,6 C) 12,8 D) 16 E) 4

1241) Al lanzar una moneda no cargada 64 veces. Utilizando la distribución normal, ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de 36 caras?

A) 0,0793 B) 0,1590 C) 0,8410 D) 0,9564 E) 0,0500

Para las preguntas 1242, 1243 y 1244 utilice un examen de 48 preguntas con la variable aleatoria “cantidad de respuestas correctas respondiendo al azar” y cada pregunta tiene 4 alternativas posibles con igual probabilidad de ser contestada y solo una respuesta correcta.

1242) ¿Qué distribución tiene la variable aleatoria?

A) 𝑁 (48,1

2)

B) 𝑁(48,3)

C) 𝑁 (12,1

4)

D) 𝐵 (48,1

4)

E) 𝐵(48,4)

1243) ¿Cuál es la desviación estándar aproximada de la distribución?

A) 𝜎 = 3 B) 𝜎 = 3,582 C) 𝜎 = 4,4 D) 𝜎 = 6,7 E) 𝜎 = 5

1244) ¿Cuál es la probabilidad, aproximadamente, de responder correctamente menos de 6 preguntas?

A) 0,056 B) 0,3154 C) 0,3745 D) 0,6255 E) 0,023

347

1245) En una tómbola hay 16 bolitas azules y 9 bolitas rojas, todas de igual peso y tamaño. Un experimento consiste en extraer una bolita al azar, registrar el color obtenido y devolverla a la tómbola. Si el experimento se realiza 10.000 veces y se define la variable aleatoria 𝑋 como el número de bolitas azules que se obtienen, y 𝑓 como su función de probabilidad, ¿Cuál es la desviación estándar de 𝑓 cuando se aproxima a una distribución normal?

A) 24 B) 48 C) 60 D) 64 E) 80

1246) Sea 𝑋 una variable aleatoria tal que 𝑋~𝐵(60; 0,4). Si la distribución de 𝑋 es aproximada por una distribución normal con media 𝜇 y una desviación estándar 𝜎, ¿Cuáles de los siguientes valores corresponden a los valores de 𝜇 y 𝜎, respectivamente?

A) 24 y 6

5√5

B) 24 y 6

5√10

C) 24,5 y 6

5√10

D) 24 y √72

5

E) 24,5 y √72

5

1247) Si 𝑋~𝐵𝑖𝑛(200,1

5) , Al aproximar 𝑋 mediante una distribución normal, ¿Cuál de estas

variables sigue una distribución normal estandarizada?

A) 5(𝑋 − 200)

B) √5(𝑋 − 200)

C) 𝑋−40

4√2

D) 𝑋−40

32


1248) Si 𝑋~𝐵𝑖𝑛(100,3

10), al aproximar 𝑋 mediante una distribución normal, el valor de 𝜎 será.

A) 21

100

B) 21

C) √21

D) √21

10

E) √21

10

348

1249) Se lanzan 40.000 monedas y se define la variable aleatoria 𝑋 como el número de caras obtenidas. Si se aproxima la distribución binomial de 𝑋 mediante una distribución normal, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 20.115 caras o menos?

A) 0,749 B) 0,839 C) 0,841 D) 0,875 E) 0,900

1250) Si 𝑋 es una variable aleatoria discreta con distribución 𝐵~(𝑛, 𝑝), se puede determinar la media y la desviación estándar de la distribución normal que aproxima a la binomial si:

(1) 𝑛 = 8 (2) 𝑝 = 0,4

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




1251) Se realizó un estudio del consumo de bebidas gaseosas a una muestra de 100 personas durante un mes, sabiendo que el consumo medio es de 10 litros, con distribución normal, cuya desviación estándar es de 2 litros, entonces ¿Cuál es el intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza del 95%?

A) [9,608; 10,392] B) [9,508; 10,592] C) [9,408; 10,392] D) [9,08; 10,892] E) [9,08; 10,092]

1252) De un grupo de datos distribuidos normalmente 𝑁(𝜇, 𝜎), se ha obtenido que el intervalo de confianza de la media poblacional, con un nivel de confianza del 90% es [5,12; 8,44]. El valor de la media muestral es:

A) 5,12 B) 6,78 C) 3,32 D) 8,44 E) 13,5

349

1253) Se han estudiado las estaturas de un grupo de 400 estudiantes de un colegio con una media aritmética de 1,72 cm y una desviación típica de 0,4. Si se construye un intervalo de un 95% de confianza, entonces el intervalo es:

A) [1,72 ± 1,96 ∙0,4

20]

B) [1,72 ± 1,96 ∙0,4

400]

C) [1,96 ± 1,72 ∙0,4

20]

D) [1,96 ± 1,72 ∙0,2

20]

E) [1,72 ± 1,96 ∙0,2

20]

1254) La edad de una población de personas que sigue una distribución 𝑁(𝜇, 2) y una muestra de 36 personas, tiene una media de 14,1 años, ¿Cuál es el intervalo de confianza para 𝜇 con un 95% de confianza?

A) [14,1 − 1,96 ∙ 0, 3; 14,1 + 1,96 ∙ 0, 3]

B) [14,1 − 2,01 ∙3

10; 14,1 + 2,01 ∙

3

10]

C) [14,1 − 1,96 ∙ 3; 14,1 + 1,96 ∙ 3] D) [14,1 − 1,96 ∙ 0,3; 14,1 + 1,96 ∙ 0,3] E) [14,1 − 1,84 ∙ 0, 6; 14,1 + 1,84 ∙ 0, 6]

1255) En una encuesta se obtiene una media muestral , además se sabe que la desviación estándar de la población es 𝜎, el tamaño es 𝑛 y la variable en estudio tiene una distribución normal. El intervalo de confianza con un 99,7% de confianza para la media 𝜇 esta dado por:

A) [ − 3𝜎, + 3𝜎] B) [ − 2𝜎, + 2𝜎]

C) [ −3𝜎

√𝑛, +

3𝜎

√𝑛]

D) [ −2𝜎

√𝑛, +

2𝜎

√𝑛]

E) [ −𝜎

√𝑛, +

𝜎

√𝑛]

350

1256) ¿Cuál (es) de la siguientes proposiciones es (son) verdadera(s) acerca de un intervalo de confianza para una media 𝜇 cuando es conocida la desviación estándar de 𝜎 y que se construye a partir de una muestra de tamaño 𝑛, con un nivel de confianza (1 − 𝛼) ∙ 100%?

I) El margen de error está dado por la expresión 𝜎

√𝑛.

II) Mientras mayor es el tamaño de la muestra, la estimación del parámetro es másconfiable.

III) Si la desviación estándar es mayor, la amplitud de intervalo de confianza es mayor.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo II y III

1257) La masa media de una muestra elegida al azar de 196 manzanas es de 320 gr y la desviación estándar de la población de manzanas es de 35 gr, ¿Cuál es el intervalo de confianza de la media poblacional para un nivel de confianza del 95%?

A) [315,1; 324,9]B) [319,65; 320,35]C) [315,1; 320,35]D) [315,1; 319,65]E) [319,65; 324,9]

1258) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de una población con una distribución

𝑁(125,7) se encuentre en el intervalo [315,1; 324,9], si el tamaño de la muestra es de 25 y su media es de 324,2?

A) 90%B) 95%C) 96%D) 98%E) 99%

1259) Para estimar el valor de la media 𝜇 se tomó una muestra de tamaño 400 y un nivel de 90%. Si el error de estimación es del 2% entonces. ¿Cuál es el valor de la desviación estándar 𝜎?

A) 10

49

B) 8

33

C) 20

129

D) 16

125

E) 12

21

351

1260) Una firma constructora desea estimar la resistencia media de las barras de acero en la construcción de edificios. ¿Qué tamaño de muestras se requiere para que el error de estimación no sobrepase los 5kg con un 99% de confianza? (Indicación: Considere 𝜎 = 25 𝑘𝑔).

A) 124 B) 145 C) 153 D) 167 E) 135

1261) Desde una determinada población con distribución normal de media 𝜇 y varianza 16, se extrae una muestra con la cual se determina el intervalo de confianza [67,02 ; 68,98 ] con un nivel de confianza del 95%. ¿De cuántos elementos se compone la muestra utilizada para determinar dicho intervalo de confianza?

A) 8 B) 32 C) 64 D) 96 E) 144

1262) Los datos de una población se modelan mediante una distribución normal, con media 𝜇 y varianza 9. Se toma una muestra de esta población de tamaño 64, cuyo promedio es 84. Si de esta muestra se obtiene un intervalo de confianza para 𝜇 igual a [83,13; 84,87]. ¿Cuál de los siguientes valores es el coeficiente asociado al nivel de confianza de este intervalo?

A) 1,28 B) 1,64 C) 1,96 D) 2,32 E) 2,58

1263) La cantidad de televisores por familia en una ciudad, se modela por medio de una

distribución normal con media 𝜇 y varianza 1

9. Se toma una muestra aleatoria de 100 familias de

esta ciudad, obteniéndose una media de 3 televisores. Para los resultados de esta muestra, ¿Cuál de los siguientes intervalos es el intervalo de confianza de nivel 0,95 para 𝜇?

A) [3 − 1,96 ∙1

30; 3 + 1,96 ∙

1

30]

B) [3 − 1,96 ∙1

90; 3 + 1,96 ∙

1

90]

C) [−1,96 ∙1

30; 1,96 ∙

1

30]

D) [3 − 1,64 ∙1

90; 3 + 1,64 ∙

1

90]

E) [3 − 2,58 ∙1

30; 3 + 2,58 ∙

1

90]

352

1264) Se desea estimar el diámetro, en milímetros del cabello humano. Para ello, se construye

un intervalo de confianza para el diámetro medio a partir de una muestra de 225 personas. Si la

media obtenida fue de 70 y la varianza poblacional es de 400, el intervalo obtenido al trabajar

con nivel de confianza 0,95 es:

A) [70 ∙ 0,95; 70 ∙ 1,15]

B) [70 −80

3∙ 1,64; 70 +

80

3∙ 1,96]

C) [70 −80

3∙ 1,96; 70 +

80

3∙ 1,96]

D) [70 −4

3∙ 1,64; 70 +

4

3∙ 1,64]

E) [70 −4

3∙ 1,96; 70 +

4

3∙ 1,96]

1265) Se desea estimar la estatura promedio de una especie de dinosaurios a partir de sus fósiles. Si se sabe que la varianza de la población es de 900 𝑐𝑚2 y se trabaja al nivel de confianza 95%. ¿Cuál es el valor que debe superar el tamaño muestral para que el margen de error sea menor a 1 cm?

A) 900 ∙ 1,962 B) 900 ∙ 1,642 C) 30 ∙ 1, 962 D) 30 ∙ 1,642 E) Otro valor

1266) El IMC de los alumnos de cuarto medio de la ciudad de Chacabuco es una variable aleatoria que se modela por medio de distribución normal con media 𝜇 y desviación estándar 𝜎 = 1,2. Una muestra de 36 estudiantes arroja un promedio de 25 de IMC, ¿Cuál es el intervalo de confianza de nivel 95% para la media poblacional 𝜇?

A) [25 − 1,96 ∙1,2

√36; 25 + 1,96 ∙

−1,2

√46[

B) [25 − 1,64 ∙1,2

6; 25 + 1,64 ∙

−1,2

6]

C) [25 − 1,96 ∙1,2

√36; 25 + 1,96 ∙

1,2

√36]

D) ]25 − 1,96 ∙1,2

√36; 25 + 1,96 ∙

1,2

√36[

E) ]25 − 1,64 ∙1,2

6; 25 + 1,64 ∙

1,2

6[

353

1267) La cantidad de televisores por familia en una ciudad, se modela por medio de una distribución normal con media 𝜇 y varianza 0,25. Se toma una muestra aleatoria de 100 familias de esta ciudad, obteniéndose con media de 2,75 televisores. Para los resultados de esta muestra, ¿Cuál de los siguientes intervalos es el intervalo de confianza de nivel 0,95 para 𝜇?

A) [2,75 − 1,96 ∙1

40; 2,75 + 1,96 ∙

1

40]

B) [2,75 − 0,95 ∙1

200; 2,75 + 0,95 ∙

1

200]

C) [−1,96 ∙1

400; 1,96 ∙

1

400]

D) [−0,95 ∙1

20; 0,95 ∙

1

20]

E) [2,75 − 1,96 ∙1

20; 2,75 + 1,96 ∙

1

20]

1268) Si la media de una población se encuentra en el intervalo de confianza

nzx

nzx

22

, , la expresión 2

z es:

A) El nivel de confianza B) El error estándar C) El nivel de significación D) Un coeficiente asociado al nivel de confianza E) Ninguna de las anteriores

1269) Las estaturas de los alumnos de un colegio se distribuyen de forma normal con media 𝜇 y desviación estándar igual a 0,25. Se toma una muestra de 36 alumnos con media de 130 centímetros. Considerando un nivel de confianza del 90%. ¿Cuál es el intervalo de confianza que contiene a la media de las estaturas de los alumnos?

A) [130 − 0,95 ∙0,25

6; 130 + 0,95 ∙

0,25

6]

B) [130 − 1,96 ∙0,25

6; 130 + 1,96 ∙

0,25

6]

C) [130 − 1,96 ∙0,25

36; 130 + 1,64 ∙

0,25

36]

D) [130 − 1,64 ∙0,25

36; 130 + 1,64 ∙

0,25

36]

E) [130 − 1,64 ∙0,25

6; 130 + 1,64 ∙

0,25

6]

354

1270) La cantidad de hijos por familia en una cierta ciudad, se modela a través de una distribución normal con media 𝜇 y varianza 0,36. Se considera una muestra aleatoria de 100 familias y se calcula un intervalo de confianza con un nivel de 0,954. Si el menor valor del intervalo de confianza que contiene a la media de la cantidad de hijos 2,12, ¿Cuál es la media de esta muestra?

A) 2,24

B) 2,192

C) 2,132

D) 2,048

E) 2

1271) En una plantación, el peso de las paltas se ajusta a una distribución normal cuya desviación estándar es de 75 gramos. Se extrae una muestra de 9 paltas al azar y se determina que el promedio de dicha muestra es de 230 gramos. Considerando un nivel de confianza del 90%, el peso promedio de las paltas de la plantación, en gramos, se encuentra en el intervalo.

A) [163,297] B) [189,271] C) [178,282] D) [207,253] E) [155,305]

1272) Si una muestra de cierta variable aleatoria, cuyo comportamiento es una distribución normal, tiene un intervalo de confianza 0,95 igual a [478,524], entonces la media de la muestra es igual a:

A) 496 B) 497 C) 501 D) 505 E) 506

1273) Un grupo de médicos de distintos hospitales desea saber cuánto tiempo permanecen hospitalizados los pacientes con problemas cardiacos. Extraen una muestra de 80 pacientes obteniendo una media muestral de 2,5 días; ellos sabían que la desviación típica era de 4 días. Si el nivel de confianza es de un 95%. ¿Cuál es el intervalo?

A) [2,5 −1,96√5

20 , 2,5 +

1,96√5

20]

B) [2,5 −1,69√5

5 , 2,5 +

1,69√5

5]

C) [2,5 −1,96√5

5 , 2,5 +

1,96√5

5]

D) [2,5 −1,96√5

5 , 2,5 +

1,64√5

5]

E) [2,5 − 1,96 ∙80

√4 , 2,5 + 1,96 ∙

80

√4 ]

355

1274) La cantidad de televisores por familia en una ciudad, se modela por medio de una distribución normal con media 𝜇 y varianza 0,25. Se toma una muestra aleatoria de 100 familias de esta ciudad, obteniéndose una media de 2,75 televisores. Para los resultados de esta muestra, ¿Cuál de los siguientes intervalos es el intervalo de confianza de nivel 0,95 para 𝜇?

A) [2,75 − 1,96 ∙0,25

√100 , 2,75 + 1,96 ∙

0,25

√100 ]

B) [2,75 − 1,96 ∙0,5

√100 , 2,75 + 1,96 ∙

0,5

√100 ]

C) [2,75 − 1,96 ∙0,25

10 , 2,75 + 1,69 ∙

0,25

10 ]

D) [1,96 ∙0,5

√100 , 1,96 ∙

0,25

√100 ]

E) [1,96 ∙0,25

√100 , 1,96 ∙

0,25

√100 ]

1275) Con respecto al intervalo de confianza para una cierta media poblacional, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) Si aumenta el tamaño de la muestra, disminuye la amplitud del intervalo de confianza. B) Mientras mayor sea la media, mayor será la amplitud del intervalo de confianza. C) Si disminuye el nivel de confianza, disminuye la amplitud del intervalo de confianza. D) Mientras menor sea la desviación estándar, menor será la amplitud del intervalo de

confianza. E) A menor error, menor amplitud de intervalo.

1276) La edad de una población de personas sigue una distribución 𝑁(𝜇, 3) y una muestra de 36 personas tiene una media de 14,1 años. Determina el intervalo de confianza para 𝜇 con 95% de confianza.

A) ]13,28; 14,92[ B) ]13,12; 15,08[ C) [13,28; 14,92] D) [13,12; 15,08] E) [15,92; 15,92]

1277) Una muestra aleatoria simple de veinticinco estudiantes responden a una prueba de inteligencia espacial, obteniendo una media de cien puntos. Se sabe que la variable inteligencia espacial de todos los alumnos es una variable normal con una desviación típica igual a diez, pero se desconoce la media. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera inteligencia espacial media de todos los alumnos, con un nivel de confianza de 0,99?

A) [94,84; 105,16] B) [93,85; 105,20] C) [96,08; 103,92] D) [96,72; 103,28] E) Ninguno de los intervalos anteriores

356

1278) Sabemos que una variable estadística se comporta como una normal 𝑁(𝜇, 10). Para estimar 𝜇 extraemos una muestra de tamaño 100, cuya media resulta ser igual a 37. Estima 𝜇 mediante un intervalo de confianza del 90%

A) [35,36; 38,64] B) [35,64; 38,96] C) [31,06; 37,45] D) [34,42; 39,58] E) Ninguno de los intervalos anteriores

1279) Halla el intervalo de confianza al nivel del 90% para diferencia de salarios medios de los trabajadores y trabajadoras de una empresa cuando se ha elegido una muestra de 40 hombres y 35 mujeres, siendo el salario medio de los hombres 1051 euros y el de las mujeres 1009 euros y las desviaciones típicas de 90 y 78 euros y las desviaciones típicas de 90 y 78 euros respectivamente.

A) [(1051 − 1009) ± 1,64 ∙ √902

40+782

35]

B) [(90 − 78) ± 1,64 ∙ √10512

40+10092

35]

C) [(1051 − 1009) ± 1,96 ∙ √902

40+782

35]

D) [(90 − 78) ± 1,64 ∙ √902

40+782

40]

E) [(1051 + 1009) ± 1,64 ∙ √902

40+782

35]

1280) La puntuación media obtenida en una muestra aleatoria simple de 81 alumnos de secundaria en el examen de cierta asignatura ha sido 25 puntos. Suponiendo que la distribución de la puntuaciones de la población es normal con desviación típica igual a 20,25 puntos. Calcular el intervalo de confianza para la media de la población con un nivel de significación de 0,01.

A) [25 ± 2,58 ∙20,25

√9]

B) [25 ± 2,58 ∙ 2,25] C) [5 ± 2,58 ∙ 225]

D) [25 ± 2,58 ∙20,25

3]

E) Ninguno de los intervalos anteriores

357

1281) Se supone que los años de vida de una determinada especie de tortuga es una variable aleatoria con distribución normal cuya desviación estándar es igual a 10 años. Se toma una muestra aleatoria simple de los registros de 10 tortugas y se obtienen los siguientes datos, en años.

46 38 59 29 34 32 38 21 44 34

Determina un intervalo de confianza al 95% para la vida media de dicha especie de tortuga.

A) [37,5 ± 1,96 ∙ √10]

B) [37 ± 1,96 ∙1

√10]

C) [37,5 ± 1,96 ∙ 10]

D) [38 ± 1,64 ∙ √10]


1282) Un estudio realizado sobre una muestra de 200 automóviles indica que la antigüedad media de la muestra es de 7,85 años. Determine un intervalo de confianza para la antigüedad media de la población con un nivel de confianza del 95% y teniendo en cuenta que la desviación estándar es de 2,9 años.

A) [7,85 ± 1,64 ∙2,9

100√2]

B) [7,85 ± 1,96 ∙2,9

√2]

C) [7,85 ± 1,96 ∙2,9

10√2]

D) [7,85 ± 1,96 ∙29

100√2]

E) [78,5 ± 1,96 ∙29

100√2]

1283) En un hospital se ha tomado la temperatura a una muestra de 64 pacientes para estimar su temperatura media. La media de la muestra ha sido 37,1°C y la desviación estándar de la población, 1,04°C. ¿Cuál de los siguientes representa intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza del 99%?

A) [64 ± 2,58 ∙37,1

√1,04]

B) [37,1 ± 0,3354]

C) [37,1 ± 2,58 ∙1,04

64]

D) [37,1 ± 2,58 ∙64

1,04]


358

1284) Para efectuar un control de calidad sobre la duración en horas de la batería de un modelo de juguete electrónico se elige una muestra aleatoria de 36 juguetes de ese modelo y se obtiene una duración media de 97 horas. Sabiendo que la duración de la batería de los juguetes electrónicos de ese modelo se distribuye normalmente con una varianza de 100 horas, encuentra el intervalo de confianza del 98% para la duración media de la batería de los juguetes electrónicos de ese modelo.

A) [97 ±11,6

3]

B) [97 ±232

6]

C) [97 ±11,6

6]

D) [97 ±232

3]


1285) En un colegio de 1.600 alumnos se está estudiando la relación entre la estatura de los niños al nacer y otras variables. Se sabe que la desviación típica poblacional es de 1,5 cm y se desea estimar la media con un 99% de confianza y con un error máximo de 0,5 cm. ¿Al menos cuantas personas se deben seleccionar en la muestra?

A) 50B) 59C) 60D) 62E) No se puede determinar

1286) Se ha obtenido que el intervalo de confianza correspondiente al 95% de una variable es [6,66; 8,34]. Calcula la media y el tamaño de la muestra que se ha estudiado para obtener el intervalo sabiendo que la desviación típica es igual a 3.

A) La media es 7,5 y el tamaño de la muestra es 49.B) La media es 7,5 y el tamaño de la muestra es 64.C) La media es 0,84 y el tamaño de la muestra es 49.D) La media es 8 y el tamaño de la muestra es 50.E) Ninguna de las anteriores.

359

1287) Una muestra aleatoria de 81 televisores determinó que el intervalo de confianza para el tiempo promedio (en años) hasta presentar la primera falla fue de [2,113; 2,287]. Se puede calcular el nivel de confianza de ese intervalo si:

(1) La desviación es de 0,4 años. (2) El número de televisores que se producen tiene una distribución binomial.

A) (1) Por si sola

B) (2) Por si sola




360

SOLUCIONES

EJE: NÚMEROS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

E E B D D C B D B C D A

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

C D D B E D C B D E B E

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

E B A C B A A E E C D

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

B B D E D C A D B C D A

49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

E C C E B B C C D C A

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

D E D B C A B C E A D E

73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

E D B E B C A B B E

85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96

E C D C D D A E D D E C

97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

E D E E A D C B C D A B

109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

C A E C D B B C D D C C

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132

C C C D B B E B D A B C

133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144

E E B B E A D D B E D D

145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

A B C B B C D D B D E D

157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168

B D B C A E C A C C C D

169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

C A C B B E B E C B E A

181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192

E A B B C C D B A B B C

193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204

D C D E C B D B C C C D

205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216

B B D D D B C D B E C C

217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228

E C A D D D D A C A A D

229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240

C E D D E C B C C C C E

241

E

E

C

A E

361

EJE: ÁLGEBRA

242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253

C C E C C E A E C A C B

254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265

E B E E A D E C C E E D

266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277

E B D C A B A D C E D D

278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289

A D D B D D C B D D C E

290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301

B B D A A E C C B C D B

302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313

C C C B A D D D B C B D

314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325

A D B C D C E C D A A

326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

B A C E E C D C C C D D

338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349

E D D D D A E B B B D

350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361

D B E E B E E A E D D

362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373

C A C C A C C E E C C A

374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385

B E E B D C C E B C A D

386

D

B

D

C

362

EJE: GEOMETRÍA

387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398

A D A D C B A E A E C

399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410

C D B A A D B A D A B C

411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422

E C D D D E E C A B C D

423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434

E B D E B C C A C D D C

435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446

D D B A B C C E B D B A

447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458

A C E B C C B B D C B B

459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470

C C B B B E D E C B C A

471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482

A B A A D C D D E B D C

483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494

A C D C B E C C A C C A

495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506

D A C C D D D B A E C D

507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518

E D A E A E D D C A D B

519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530

D B C D C C A E A B D C

531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542

B B B E A A E A A C B C

543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554

E B D A B D B C D B B E

555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566

E B B D D D B C A E E E

567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578

E B C A A D C A D E A E

579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590

D C E C D C B B A B D D

591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602

C D A D B B E D D A C E

603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614

B A D D B C E B D E C C

615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626

D E D D C A E E D A D

627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638

A D B E C D B A D D D B

639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650

C A E C A A D A E D C E

651 652 653 654 655 656 657 658

C D E B D B D C

B

E

363

EJE: DATOS Y AZAR

659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669

D D E A E B A C C D B

670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680

B D B D A B D D E D B

681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691

D D D D C D B A E B

692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702

C D D B E B E B D B

703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713

B A B C E E D C C E C

714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724

C A E D C E D A D E C

725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735

B E D C A D B D D C C

736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746

A C D D D D C B A

747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757

C E C E A B E D B C

758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768

D B A B E B D E D B A

769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779

D C B A C B C E C D A

780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790

D C E B D C B B D D C

791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801

D B D D C C D C E D E

802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812

C E D A E B C D A B D

813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823

D C B D A A B D C E B

824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834

D A B E D C C B E C

835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845

D A E D E B B E C B B

846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856

D D D B C C C A C C B

857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867

B A C C C C A D B B B

868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878

D B C A A A C A D D D

879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889

E C D C A D E D D E E

890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900

A C C C E E C A E D

C

E

A E

D

E

C

364

901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911

B E D E B A A E E E E

912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922

B C E E A B D A B B C

923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933

D C A B E C D C B E

934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944

E C E D E B E E E B B

945 946 947 948 949 950 951 952 953 954 955

E D D E B E E D D C B

956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966

B C C A E C D D C A C

967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977

D A B B E C D C E D C

978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988

C B C D E B C C E C D

989 990 991 992 993 994 995 996 997 998 999

A B D D E C B A D

1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 1008 1009 1010

D C B D E E C D C D

1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021

D E E B A A B C B C D

1022 1023 1024 1025 1026 1027 1028 1029 1030 1031 1032

E C A D D E B C E A E

1033 1034 1035 1036 1037 1038 1039 1040 1041 1042 1043

C C D A D C D E B C E

1044 1045 1046 1047 1048 1049 1050 1051 1052 1053 1054

D B E B C A D C A B D

1055 1056 1057 1058 1059 1060 1061 1062 1063 1064 1065

E A C B C C A B D B C

1066 1067 1068 1069 1070 1071 1072 1073 1074 1075 1076

D E E A D C B E B A C

1077 1078 1079 1080 1081 1082 1083 1084 1085 1086 1087

C C E D B A D C A C

1088 1089 1090 1091 1092 1093 1094 1095 1096 1097 1098

D B A C A B A D A D C

1099 1100 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109

D C C E D C B D D A

1110 1111 1112 1113 1114 1115 1116 1117 1118 1119 1120

D D E C C C D D A E B

1121 1122 1123 1124 1125 1126 1127 1128 1129 1130 1131

D E B E C D B E B D A

1132 1133 1134 1135 1136 1137 1138 1139 1140 1141 1142

C D A B B A D C A B A

C

E D

B

E

A

365

1143 1144 1145 1146 1147 1148 1149 1150 1151 1152 1153

E C B B A B E A C B B

1154 1155 1156 1157 1158 1159 1160 1161 1162 1163 1164

E B D B E A E E A D D

1165 1166 1167 1168 1169 1170 1171 1172 1173 1174 1175

D C C B C C B C A B D

1176 1177 1178 1179 1180 1181 1182 1183 1184 1185 1186

B B C C D B D A C B

1187 1188 1189 1190 1191 1192 1193 1194 1195 1196 1197

B D D E B D A D E B E

1198 1199 1200 1201 1202 1203 1204 1205 1206 1207 1208

E B B A C A B B E C D

1209 1210 1211 1212 1213 1214 1215 1216 1217 1218 1219

C B D E E B A A C D C

1220 1221 1222 1223 1224 1225 1226 1227 1228 1229 1230

A B C A C C C A D C C

1231 1232 1233 1234 1235 1236 1237 1238 1239 1240 1241

B D B D B D E C A D C

1242 1243 1244 1245 1246 1247 1248 1249 1250 1251 1252

D A E B B C C D C A B

1253 1254 1255 1256 1257 1258 1259 1260 1261 1262 1263

A A C E A D B D C D A

1264 1265 1266 1267 1268 1269 1270 1271 1272 1273 1274

E A C E D E A B C C B

1275 1276 1277 1278 1279 1280 1281 1282 1283 1284 1285

B D A A A B A C B A C

1286 1287

A A

E

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