INECUACIONES POLINOMIALES Y RACIONALES

MATEMÁTICAS

CICLO CERO

Mg. Luis Diego Yaipén Gonzales

https://luisdiegoyaipen.wordpress.com/

Logro de la Sesión

Al finalizar la sesión el estudiante será capaz de identificar las

diferentes inecuaciones según su grado, así como resolverlas y

definir su solución utilizando intervalos de la recta real.

¿Cómo expresa esta situación?

Si cada lapicero cuesta S/. 2 y cada lápiz S/.1,5 ¿cómo expresa el

gasto que puede realizar si dispone de S/.100?

DESIGUALDAD

Definición:

Llamaremos desigualdad a una relación matemática que hace uso de

la forma en que los números reales estén ordenados.

Por ejemplo: 5 < 8.

Las desigualdades aparecen constantemente en todos los campos de

las matemáticas y en todas las áreas de su aplicación.

Propiedades de las Desigualdades

Sean a ,b y c números reales, entonces se cumple:

1. Si , entonces

2. Si , entonces

3. Si a y b tienen el mismo signo y , entonces

4. Si y , entonces

5. Si y , entonces

6. Si

7. Si

8. Si

ba cbca

ba ba

ba 11 ba

ba 0c cbca ..

ba 0c cbca ..

bababa

110,0,

bababa

110,0,

bababa

110,0,

Intervalos

1. LA RECTA NUMÉRICA:

Se representa de la siguiente manera:

2. INTERVALOS:

Son conjuntos de números definidos mediante la

relación de orden en el campo de los

números reales.

, , , ( )

A) Intervalos limitados:

2.1 TIPOS DE INTERVALOS:Si a, b son números reales, tales que

definimos los siguientes intervalos:

a b

B) Intervalos ilimitados

Inecuaciones Lineales

Definición:

Una inecuación de primer grado con una incógnita es

aquella que puede reducirse a cualquiera de las

siguientes formas:

0 0

0 0 0

ax b ax b

ax b ax b a

3 5 2 9)

3 4 12 15

6 3 3) (2 6)

2 4

2 3 6 1 2)

5 2 2 4

x x xc

x xd x

x x x xe

1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

Ejemplos

) 5 3 0

) 5 2(4 ) 3 8(3 )

a x

b x x x

INECUACIONES CUADRÁTICAS

Una inecuación de segundo grado con una incógnita es aquella

desigualdad condicional que reducida a su más simple expresión tiene la

forma

En cualquiera de los casos se debe tener en cuenta la solución de la

ecuación

2 2

2 2

0 0

0 0 0

ax bx c ax bx c

ax bx c ax bx c a

2 0ax bx c

Método de los “Puntos críticos”

Se utiliza para determinar el C.S. de cualquier desigualdad de grado

mayor o igual a 2; dicha desigualdad puede ser entera, fraccionaria o

racional. Los pasos a seguir son los siguientes:

Factorizamos la expresión dada.

Igualamos cada uno de los factores primos a CERO y despejamos

“x” con lo cual hemos determinado los PUNTOS CRÍTICOS

(P.C) de la desigualdad.

Ubicamos los P.C. en la recta numérica, quedando ésta dividida en

intervalos. Al primer intervalo (contado desde la derecha) le

asignamos el signo positivo (+), los demás signos se van

alternados en los intervalos restantes.

Cuando la desigualdad es > ó ≥ tomaremos todos los intervalos

POSITIVOS.

Cuando la desigualdad es < ó ≤ tomaremos todos los intervalos

NEGATIVOS.

El conjunto solución quedará determinado por la UNIÓN de todas

las zonas sombreadas de acuerdo al signo de la desigualdad.

INECUACIÓN

CUADRÁTICA

( )( ) 0x a x b

Intervalo con signo

negativo

a b

( )( ) 0x a x b

. = [ ; ]C S a b

Unión de intervalos

señalados con signo

positivos

a b

. = ]- ;a] [ ; [C S b

Previa Factorización

Determina el conjunto solución de:

Ejemplos

065) 2 xxa

03) 2 xxb

012) 2 xxc

01) 2 xxd

02) 2 xxe

INECUACIONES RACIONALES

DEFINICIÓN:

Son aquellas inecuaciones que se reducen a la siguiente forma general:

MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS PARA RESOLVER

INECUACIONES RACIONALES

Se trasladan todos los términos al primer miembro, obteniendo siempre

una expresión de coeficiente principal positivo.

Factorizar el numerador y denominador, si no se puede factorizar,

encontrar los puntos donde el numerador y denominador son igual a

cero.

0)(0)().(0)(

)(

xQxQxP

xQ

xP

MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS PARA RESOLVER

INECUACIONES RACIONALES

Se calculan los puntos críticos. Son los valores reales de "x"

obtenidos al igualar cada factor primo a cero.

Se ubican, ordenadamente, todos los puntos en la recta real, dichos

puntos originan en la recta dos o más zonas.

Se marcan las zonas obtenidas a partir de la derecha alternando los

signos "+" y "-".

Si el signo de relación es > o , el conjunto solución estará formado

por todas las zonas positivas, pero si el signo de relación es < o el

conjunto solución lo formarán todas las zonas negativas.

La solución se puede expresar de distintas formas: como intervalo,

conjunto o gráficamente.

112xx

5x2

2

Ejemplo:

Resolver:

0112xx

5x2

2

012xx

7x2

0)3x)(4x(

7x

Resolución:

Puntos críticos son:

}34,7{

0)3)(4)(7( xxx

;43;7.. xSC