MATEMÁTICA SOLUCIONARIO Serie INICIACIóN AL...

Claudia ComparatoreLiliana Kurzrok

SOLUCIONARIOMATEMÁTICASerie Temática

Índice Capítulo 1: Las funciones ............................................................................... 3

Capítulo 2: La modelización lineal ............................................................. 6

Capítulo 3: La ecuación de la recta ............................................................. 9

Capítulo 4: Otros modelos funcionales .................................................. 13

Serie

Tem

átic

a

lomo

lomo

9 789875 765443

Iniciación al álgebra yal estudio de funciones

Secuencias de actividadesEducación Secundaria

Matemática | Serie TemáticaSecuencias de actividades

2

• Geometría 1 • Geometría 2 • Geometría 3 • Geometría 4 • Probabilidad y estadística

• Números y operaciones 1 • Números y operaciones 2 • Números y operaciones 3• Iniciación al álgebra y al estudio de funciones 1• Iniciación al álgebra y al estudio de funciones 2

Mat

emát

ica

| Ini

ciac

ión

al á

lgeb

ra y

al e

stud

io d

e fu

ncio

nes

2M

atem

átic

aMAM

TS912

ISBN 978-987-576-544-3

MateES_algeyfunc2_TAPA v3-CORREGIDO.indd 2

30/11/2012 10:33:58 a.m.

INICIACIóN AL ÁLgEbRA y AL ESTUdIO dE fUNCIONES 2

Secuencias de actividadesEducación Secundaria

Serie

Tem

átic

a

lomo

lomo

9 789875 765443

Iniciación al álgebra yal estudio de funciones

Secuencias de actividades

Educación Secundaria

Matemática | Serie Temática

Secuencias de actividades

2

• Geometría 1 • Geometría 2 • Geometría 3 • Geometría 4 • Probabilidad y estadística

• Números y operaciones 1 • Números y operaciones 2

• Números y operaciones 3• Iniciación al álgebra y al estudio de funciones 1

• Iniciación al álgebra y al estudio de funciones 2

Mat

emát

ica

| Ini

ciac

ión

al á

lgeb

ra y

al e

stud

io d

e fu

ncio

nes

2

Mat

emát

ica

MAM

TS912

ISBN 978-987-576-544-3

MateES_algeyfunc2_TAPA v3-CORREGIDO.indd 2

30/11/2012 10:33:58 a.m.

Este solucionario desarrolla la propuesta didáctica de Matemática

Gerente general Claudio De Simony Directora Alina Baruj

AutoresLiliana Kurzrok (coord.)Claudia Comparatore

EditorasLiliana KurzrokClaudia Comparatore CorrectoraLaura Susin

Jefa de arteEugenia EscamezCoordinación de Diseño gráfico Diego Lucero

Fotografías Archivo ClarínJefa de Preprensa y fotografía Andrea BalbiSelección de imágenes Silvina PiaggioDanae Tzicas

© Tinta fresca ediciones S.A. Corrientes 526 (C1043AAS) Ciudad Autónoma de Buenos Aires

SolucionarioSerie Temática

MATEMÁTICA | InICIACIón AL áLGEBrA y AL EStuDIO DE FunCIOnES 2

3

ALgEbRA y fUNCIONES 2

capítulo 1

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

Capítulo 1: Las funciones

Página 51. a. Junio de 2010: 108.000; Junio 2011: 123.000b. En el 2011 fue más constante mes a mes y hubo muchas más ventas.2. a. Entre Julio y agosto.b. La actividad industrial fue bajando durante los primeros meses de 2011. Obtuvo un crecimiento entre abril y mayo y nuevamente comenzó a decaer.

Páginas 6 y 73.a. iii. b. ii.4. a. ii. b. iii.5. El a.6.a. Entre 1999 y 2000. b. Entre 1997 y 1998.c. Sí, entre 1992 y 1993, entre 1996 y 1997, entre 2003 y 2004 y entre 2007 y 2008. d. 37.000 miles de toneladas aproximadamente.

Páginas 8 y 97.a. A las 8:00.b. no, sale a las 8:30, porque de 8:00 a 8:30 está en el mismo lugar.c. Están a 90 km.d. Sí, dos veces, en río Mayo de 9:45 a 10:30 y a 40 km de allí, de 11:00 a 11:15.e. Sí, dos veces, a 30 km de río Mayo de 8:30 a 9:00 y en ricardo rojas de 10:00 a 10:15.8.a. El primer año aumentó y el segundo año disminuyó. La superficie sembrada disminuyó porque se aumentó la superficie sembrada de soja.b. Disminuyó. La superficie sembrada disminuyó primero y luego aumentó levemente.c. Aumentó mucho el consumo de fitosanitarios y disminuyó la super-ficie sembrada.d. Aumentan tanto el consumo de fitosanitarios como la superficie sembrada.e. Sí, se relacionan. Disminuye la superficie destinada al cultivo de maíz porque aumenta la de soja.

Páginas 10 y 119.a. Sí, porque al representar los datos en un gráfico se observa la evo-lución a partir de la inclinación de los segmentos que unen los puntos que representan los datos registrados.b.

c. Las ventas aumentaron entre el 2000 y el 2001, luego disminuye-ron hasta el 2003, desde ese año hasta el 2004 aumentaron levemente, luego descendieron hasta el 2005, después ascienden hasta el 2009.d. Si las escalas son diferentes los gráficos son diferentes, a pesar de que la relación representada es la misma.

10. a. i.

Horas de viaje

Dis

tanc

ia a

la fá

bric

a (k

m)

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23

ii.

Horas de viaje

Dis

tanc

ia a

la fá

bric

a (k

m)

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23

b. i. Llega a las 18 hs.ii. Llega pasadas las 19 hs.11. La construcción de un gráfico ayuda porque es sencillo aproximar el lugar y el momento de llegada o el encuentro, ya que solo hay que observar el cruce del gráfico con alguna recta horizontal o vertical o el cruce de dos gráficos entre sí.a. A las 14:42.

b. A las 12:20 aproximadamente.

Páginas 12 y 1312. a. 300 km b. no. c. Sí.13. a. 24 m 3 b. 5 m 3 c. Carga gas, porque en una misma distancia aumenta la cantidad de gas en el tanque.14. Los tres chicos tienen razón, sus afirmaciones se complementan. 15. a. El 2 con 0,5; – 2 con – 0,5; y ninguno se relaciona con 0.b. y = 1 __ x . c. Sí d. no. e. Sí.

1999

100.000150.000200.000250.000300.000350.000

2001 2003 2005 2007

50.000

Año

Cant

idad

de

unid

ades

ven

dida

s

2009

8:00

10

30

60

110

160

10:00 10:45 11:30 12:30 14:428:45Horas del día

Dis

tanc

ia a

la c

asa

de F

erna

ndo

(km

)

10:00 11:00 12:20

5

50

25

Horas del día

Dis

tanc

ia a

la c

asa

de lo

s ch

icos

(km

)

4

SOLUCIONARIO

capítulo 1

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

Páginas 14 y 1516. a. A 40 cm. b.Cada 5 segundos avanza 3 cm.c. A 61 cm. d. En 40 segundos. e. En 34 segundos.f. x · 3 + 40 = y, x es el tiempo de marcha en segundos, y es la distancia al inicio de la pista, 3 cm es lo que recorre por segundo, 40 cm es la dis-tancia al inicio de la pista antes de que el tren comience a andar.g. i.17. a.

b. $61 c. no, porque (80 – 40) : 3 no da un número natural. d. ii.e. 40 + 3 . 100 f. 40 + 3 . x

Páginas 16 y 1718. a. $22,50 b. $66 c. Es posible, tiene 2 m de lado.d. Si es cierto. e. y = 30 x² + 36x f. i.19. a.

b. x · y = 100. c. ii.

Páginas 18 y 1920. a.

b. La primera bajó, la segunda se mantuvo y después subió hasta lle-gar al mismo peso inicial.c. Subió 500 g.d. Entre la 1ª y la 4ª y entre la 10ª y la 12ª. El gráfico está bajo el eje x.e. En las semanas 4, 10 y 12. El gráfico corta al eje horizontal.f. La primera, bajó 600 g. g. Sí, entre la 1ª y la 2ª semana.21.a. En marzo y diciembre. b. Hasta marzo. c. Entre marzo y diciembre. d. En abril y octubre.e. Hasta abril y desde octubre. f. Entre abril y octubre. g. Bajo 0º.22. a. Por ejemplo:

b. Por ejemplo:

-8-6-4-2 1-1-2-3-4-5-6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

y

x

108

42

6

c. Por ejemplo:

Páginas 20 y 2123.a. Aumentó entre: 1970 y 1981, 1986 y 1987, 1988 y 1990, 1993 y 1996, 1998 y 2000 y desde 2001 en adelante. Bajó entre: 1981 y 1986, 1987 y 1988, 1990 y 1993, 1996 y 1998, 2000 y 2001.b. no. c. En 1970, $3 aproximadamente.24. a. Aumentó: de enero a febrero, de marzo a abril, de mayo a junio. En los otros intervalos disminuye.b. Aumentó de Enero a febrero y de marzo en adelante.

25. Por ejemplo:a.

x

y

10

20

-10

-10 10 20 30 40

b.

-1-1

-2-3 10 2 3 4 5 6 7 8

y

x

1

0

2

-4-5-6-7

3

4

5

-2

-3

-4

c.

-1

-1-2-3 1 2 3 4

y

x

1

2

-4

3

4

d.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

y

x

1

2

-1-2-3

3

4

5

6

7

0

-1

-2

Cantidad de prendas que cose 15 25 27

Importe a cobrar 85 115 121

Largo (m) 10 5 50 5,5 3,57 30,5 25

Ancho (m) 10 20 2 18,18 2,8 3,28 40

Semana 1 2 3 4 5 6

Peso (kg) 47,4 47,4 47,9 48 48,3 48,1

Semana 7 8 9 10 11 12

Peso (kg) 48,2 48,4 48,1 48 47,8 48

-4-2 1-1-2-3-4-5-6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

14y

x

1210

8

42

6

-20

-20-40-60 20 40 60 80 100 120 140 160 180

y

x

20

40

60

80

5


capítulo 1

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

e.

0 21 43 65 97 1110 1312 1514 1716

y

x

2

0

43

1

Páginas 22 y 2326. a. (–2 ; 0) b. (0 ; 5) y (6 ; 7) c. (–∞ ; –2), (5 ; 6) y (7 ; + ∞). d. 6. e. 5 y 7.27. Se pueden graficar infinitas. Por ejemplo:

x

y

-3

4

1 4 5 7– 2–5

28. a. Dominio: R. Imagen: [–5 ; 4]. Ceros: –6; –1,9 y 0. Máximos: –4. Mínimos: –1. Intervalos de crecimiento: (–7 ; 4) y (–1 ; 1). Intervalos de decrecimiento: (–4 ; –1). Intervalos de positividad: (–6 ; –1,9) y (0 ; +∞). Intervalos de negatividad: (– ∞ ; –6), (–1,9 ; 0).b. Dominio: R. Imagen: (–∞ ; 5]. Ceros: –60; –40; –20; 30 y 60. Máximos: –50; –10 y 45. Mínimos: –30 y 30. Intervalos de crecimiento: (–∞ ; –50), (–30 ; –10) y (30 ; 45). Intervalos de decrecimiento: (–50 ; –30), (–10 ; 30) y (45 ; +∞). Intervalos de positividad: (–60 ; –40), (–20 ; 30) y (30 ; 60). Intervalos de negatividad: (–∞ ; –60), (–40 ; –20) y (60 ; +∞).c. Dominio: R – {–2}. Imagen: (–∞ ; +∞). Ceros: no tiene. Máximos: no tiene. Mínimos: –1. Intervalos de crecimiento: (–1 ; 1). Intervalos de decrecimiento: (–∞ ; –2) y (–2 ; –1). Intervalos de positividad: (–2 ; +∞). Intervalos de negatividad: (–∞ ; –2).d. Dominio: R – {–4 ; 3}. Imagen: (–∞ ; +∞). Ceros: –3; 0 y 2. Máximos: 1. Mínimos: –2. Intervalos de crecimiento: (–2 ; 1). Intervalos de decrecimiento: (–∞ ; –4), (–4 ; –2), (1 ; 3) y (3 ; +∞). Intervalos de positividad: (–4 ; –3), (0 ; 2) y (3 ; +∞). Intervalos de negatividad: (–∞ ; –4), (–3 ; 0) y (2 ; 3).25. Se pueden graficar infinitas. Por ejemplo:

x

y

-2

15

4 15

Páginas 25 y 26 1. a. En la ex unión Soviética entre 1970 y 1990.b. En Europa, se aproxima a una recta horizontal.c. En 1990.d. Sí, por ejemplo, la ex unión Soviética entre 1990 y 1998.e. América del norte, 2001, aprox. 800 mil millones de m 3 .2. no es posible.3. a. La celeste corresponde a Javier y la verde a tomás. b. 36 cuadras.c. Sí, a las 20 cuadras de la casa de Javier, a los 25 minutos.d. tomás en lo de Javier y Javier en lo de tomás.e. Volvió a su casa.4. Por ejemplo:a.

-2

-2-4-6 20

0

4 6 8 10 12 14 16

y

x

2

4

-8-10-12 18

6

8

10

-4

-6

-8

b.

x

y

10

-10

-10-20-30 10 20

c.

x

y

-25 -1-4 12

d.

x

y

1

6

SOLUCIONARIO

capítulo 1

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

e.

x

y

-3

5. a. Sí, el auto B a las 8:03 aproximadamente. b. A las 8:18 aproximadamente.c. A a las 8:16; B a las 8:12 y C a las 8:14. Hay que trazar una recta hori-zontal que pase por 300 m en el eje y, a partir del punto donde corta a cada curva, se traza una recta vertical hasta el eje x.d. i. C. ii. A. iii. B.6. Por ejemplo:a. b.

c. d.

7. a. Por ejemplo:

b. no hay una única forma de completarlo ya que la recta horizontal que se agregó puede pasar por cualquier valor, y el gráfico entre –3 y puede ser cualquier curva que tome valores negativos.8. a. Dominio = R – {2}. Imagen = R. raíces: –4. Conjunto de positivi-dad: (–∞ ; –4) u (2 ; +∞). Conjunto de negatividad: (–4 ; 2).b. Dominio: R. Imagen: (0 ; 2]. Conjunto de positividad: R. Conjunto de negatividad: vacío.

Capítulo 2: La modelización lineal

Página 271. a. A 200 km de Buenos Aires. b. A 350 km de Buenos Aires.c. En 1 hora se aleja 75 km, en 2 horas 150 km, y en media hora 37,5 km.d. no, no dependen de posiciones anteriores.2. a. $20 b. $26c. Si se agrega 1 kg el precio a veces aumenta $2 y otras no aumenta nada. Si, por ejemplo, se le agrega 1 kg a 5 kg, completando los 6 kg, el precio no aumenta porque la oferta indica que para 6 kg se cobran $10. Si se agre-gan 2 kg a veces aumenta $4 y otras aumenta $2. Si se agrega 1 __ 2 kg, a veces aumenta $1 y otras disminuye $1, por ejemplo, si se le agrega a 5,5 kg, que cuestan $11, se convierte en una compra de 6 kg que cuestan $1 menos.d. Sí dependen, porque no siempre cada kg que se compra cuesta lo mismo, si se lleva 6 kg cada kilo de los 6 costó $1,⁀6 y no $2.

3. a. 20 ___ 3 cm. b. 2,5 cm.

c. y d. no puede contestarse, depende de qué medida se parta.4. Solo el 1.

Páginas 28 y 295. tiene razón Javier, porque nacho calcula lo que recorre, entonces, al sumarle los 10 cm iniciales, Javier calcula a cuánto está el autito del inicio de la pista.6. a. A 10 cm. b. A 12 cm/seg.7. a. Sí. b. d = 20 + 22 · t c. d = 15 + 22 · t d. d = 20 + 25 · t8. a. 2,5 cm/seg b. d = 15 + 2,5 · t c. A 40 cm del inicio de la pista. d. Luego de 44 segundos.

9. El auto rojo va a velocidad constante, a 5 cm/s.

Páginas 30 y 3110. a. Con 100 litros pesa 300 kg; con 380 litros pesa 720 kg.b. Cuando pesa 160 kg, el tanque tiene 5 2 __ 3 litros; cuando pesa 500 kg, hay 233 1 __ 3 .c. 150 kg d. 1,5 kg e. 3.150 kgf. x · 1,5 + 150 donde x a la cantidad de litros de leche que hay en el tanque.g. ii. h. Es cierto. 11. a.b. 13 c m 3 c. 1 m³ por hora. d. 13 – x = y, donde x es el tiempo e y es el volumen.e. ii. Porque a medida que pasa el tiempo siempre desciende la misma cantidad de agua.

Páginas 32 y 3312. a. Sí, ambas explicaciones son correctas, porque, suponiendo que los autos van a velocidad constante, los chicos calculan la velocidad con los datos de la tabla, y, a partir de ella, calculan el punto de partida, los dos pará-metros que determinan la fórmula de la velocidad en función del tiempo.b. A 215 cm. c. recorrió 70 cm en 14 segundos y 150 cm en 30 segundos.d. En 9 segundos. e. En 36 segundos.

-1

-1-2 1 2

y

x

1

2

3

4

-1

-1-2 1 2

y

x

1

2

3

4

-1

-1-2 1 2

y

x

1

2

3

4

-4

-1-2 1 2

y

x

-2

-3

-1

1

-5

-6

-7

-1

-1-2 1 2

y

x

1

2

3

4

-1

-1-2 1 2

y

x

1

2

3

4

-1

-1-2 1 2

y

x

1

2

3

4

-4

-1-2 1 2

y

x

-2

-3

-1

1

-5

-6

-7

-1

-1-2 1 2

y

x

1

2

3

4

-1

-1-2 1 2

y

x

1

2

3

4

-1

-1-2 1 2

y

x

1

2

3

4

-4

-1-2 1 2

y

x

-2

-3

-1

1

-5

-6

-7

-1

-1-2 1 2

y

x

1

2

3

4

-1

-1-2 1 2

y

x

1

2

3

4

-1

-1-2 1 2

y

x

1

2

3

4

-4

-1-2 1 2

y

x

-2

-3

-1

1

-5

-6

-7

-1-1

-2-3 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

1

2

-4-5-6-7

3

4

-2

-3

Tiempo (horas) 4 6 7 10 11 13

Cantidad de mandarinas (kg)

9 7 6 3 2 0

7


capítulo 2

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

f.

Tiempo de marcha (seg)

Dis

tanc

ia a

l ini

cio

de la

pis

ta (c

m)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

100

200

300

400

5015

150

250

350

450


Dis

tanc

ia a

l ini

cio

de la

pis

ta (c

m)

5 10 15 20 25 30

20

40

60

80

10

30

50

70

90

105

Tiempo de marcha (h)

Kilo

met

raje

de

la ru

ta

2 4 6 8 10 12

200

400

600

800

Metros cúbicos consumidos

Prec

io a

pag

ar ($

)

200 400 600 800 1.000 1.200

100

200

300

5015

150

250

350

Precio de lista ($)

Prec

io n

uevo

($)

50 100 150 200 250

50

100

150

200

Distancia en el mapa (cm)

Dis

tanc

ia re

al (c

m)

100 200 300 400 500 600

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

Gramos que pide

Gra

mos

que

le d

an

1.000 2.000 3.000 4.000 5.000

1.000

2.000

3.000

4.000

Tiempo en minutos

Cant

idad

de

agua

en

litro

s

100 200 300 400 500 600

200

400

600

800

1.000

13. a. Este autito no va a velocidad constante porque de 10 a 15 pasa-ron 5 segundos y recorrió 10 cm y de 15 a 20 también pasaron 5 segun-dos pero recorrió 5 cm.b. La diferencia con el problema anterior es que en este los puntos no pueden unirse con una recta porque no pueden suponer que la velo-cidad sea constante.


Dis

tanc

ia a

l ini

cio

de la

pis

ta (c

m)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

100

200

300

400

5015

150

250

350

450


Dis

tanc

ia a

l ini

cio

de la

pis

ta (c

m)

5 10 15 20 25 30

20

40

60

80

10

30

50

70

90

105


Kilo

met

raje

de

la ru

ta

2 4 6 8 10 12

200

400

600

800


Prec

io a

pag

ar ($

)

200 400 600 800 1.000 1.200

100

200

300

5015

150

250

350

Precio de lista ($)

Prec

io n

uevo

($)

50 100 150 200 250

50

100

150

200


Dis

tanc

ia re

al (c

m)

100 200 300 400 500 600

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

Gramos que pide

Gra

mos

que

le d

an

1.000 2.000 3.000 4.000 5.000

1.000

2.000

3.000

4.000

Tiempo en minutos

Cant

idad

de

agua

en

litro

s

100 200 300 400 500 600

200

400

600

800

1.000

14. a. 85 km/h. b. En el km 105. c. D = 105 + 85 · td.


Dis

tanc

ia a

l ini

cio

de la

pis

ta (c

m)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

100

200

300

400

5015

150

250

350

450


Dis

tanc

ia a

l ini

cio

de la

pis

ta (c

m)

5 10 15 20 25 30

20

40

60

80

10

30

50

70

90

105


Kilo

met

raje

de

la ru

ta

2 4 6 8 10 12

200

400

600

800


Prec

io a

pag

ar ($

)

200 400 600 800 1.000 1.200

100

200

300

5015

150

250

350

Precio de lista ($)

Prec

io n

uevo

($)

50 100 150 200 250

50

100

150

200


Dis

tanc

ia re

al (c

m)

100 200 300 400 500 600

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

Gramos que pide

Gra

mos

que

le d

an

1.000 2.000 3.000 4.000 5.000

1.000

2.000

3.000

4.000

Tiempo en minutos

Cant

idad

de

agua

en

litro

s

100 200 300 400 500 600

200

400

600

800

1.000

Páginas 34 y 3515. a. A = 1.000 – 2 · tb.

c. Luego de 500 minutos, en donde la recta corta al eje x.d. Dominio = [0 ; 500]16. a. 200 km. b. 50 km/h. c.550 km. d. D = 200 + 50 · t17. a. Salió a 30 km.

b. A 100 km, es donde la recta corta al eje y.c. El auto va a 100 km/h y la camioneta a 80 km/h.d. Sí, se encuentran, porque la camioneta sale desde más adelante que el auto pero se desplaza a una velocidad menor, entonces el auto en algún momento lo alcanza.e. A = 30 + 100 · t f. C = 100 + 80 · t

Páginas 36 y 3718. a.

Gramos que pide 250 500 1.000 1.200 1.500 3.000 4.500

Gramos que le dan 275 550 1.100 1.320 1.650 3.300 4.950

b. La fórmulas que sirven son ii. y iii.c.

d. Sí, porque si Marta pidió p gramos, María pidió 2 · p gramos, enton-ces a Marta le dieron d = 1,1 · p y a María d = 1,1 · (2 · p) = 2 · (1,1 · p) que es el doble de lo que le dieron a Marta.19.a.

b. Sirven ii. y iv., esta última expresa el precio a pagar en centavos.c.

d. tiene razón Bruno.20. b. y d., porque son de la forma y = k · x.21. b. La constante de proporcionalidad es 100 ____ 3 . 22. Para darse cuenta si una relación es de proporcionalidad directa hay que observar la fórmula y verificar si es de la forma y = k · x o no.a. p = 4 · l, es de proporcionalidad directa, la constante es 4.


Dis

tanc

ia a

l ini

cio

de la

pis

ta (c

m)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

100

200

300

400

5015

150

250

350

450


Dis

tanc

ia a

l ini

cio

de la

pis

ta (c

m)

5 10 15 20 25 30

20

40

60

80

10

30

50

70

90

105


Kilo

met

raje

de

la ru

ta

2 4 6 8 10 12

200

400

600

800


Prec

io a

pag

ar ($

)

200 400 600 800 1.000 1.200

100

200

300

5015

150

250

350

Precio de lista ($)

Prec

io n

uevo

($)

50 100 150 200 250

50

100

150

200


Dis

tanc

ia re

al (c

m)

100 200 300 400 500 600

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

Gramos que pide

Gra

mos

que

le d

an

1.000 2.000 3.000 4.000 5.000

1.000

2.000

3.000

4.000

Tiempo en minutos

Cant

idad

de

agua

en

litro

s

100 200 300 400 500 600

200

400

600

800

1.000


Dis

tanc

ia a

l ini

cio

de la

pis

ta (c

m)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

100

200

300

400

5015

150

250

350

450

Tiempo de marcha (seg)D

ista

ncia

al i

nici

o de

la p

ista

(cm

)5 10 15 20 25 30

20

40

60

80

10

30

50

70

90

105


Kilo

met

raje

de

la ru

ta

2 4 6 8 10 12

200

400

600

800


Prec

io a

pag

ar ($

)

200 400 600 800 1.000 1.200

100

200

300

5015

150

250

350

Precio de lista ($)

Prec

io n

uevo

($)

50 100 150 200 250

50

100

150

200


Dis

tanc

ia re

al (c

m)

100 200 300 400 500 600

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

Gramos que pide

Gra

mos

que

le d

an

1.000 2.000 3.000 4.000 5.000

1.000

2.000

3.000

4.000

Tiempo en minutos

Cant

idad

de

agua

en

litro

s

100 200 300 400 500 600

200

400

600

800

1.000

m3 consumidos (m) 0 10 50 100

Precio a pagar (p) 15 18,5 32,5 50

m3 consumidos (m) 200 250 400 500

Precio a pagar (p) 85 102,5 155 190Tiempo de marcha (seg)

Dis

tanc

ia a

l ini

cio

de la

pis

ta (c

m)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

100

200

300

400

5015

150

250

350

450


Dis

tanc

ia a

l ini

cio

de la

pis

ta (c

m)

5 10 15 20 25 30

20

40

60

80

10

30

50

70

90

105


Kilo

met

raje

de

la ru

ta

2 4 6 8 10 12

200

400

600

800


Prec

io a

pag

ar ($

)

200 400 600 800 1.000 1.200

100

200

300

5015

150

250

350

Precio de lista ($)

Prec

io n

uevo

($)

50 100 150 200 250

50

100

150

200


Dis

tanc

ia re

al (c

m)

100 200 300 400 500 600

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

Gramos que pide

Gra

mos

que

le d

an

1.000 2.000 3.000 4.000 5.000

1.000

2.000

3.000

4.000

Tiempo en minutos

Cant

idad

de

agua

en

litro

s

100 200 300 400 500 600

200

400

600

800

1.000

8

SOLUCIONARIO

capítulo 2

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

b. a = 40 – b, no es de proporcionalidad directa, es lineal.c. d = 60 · t, es directamente proporcional, la constante es 60.d. no es directa ya que, por ejemplo, la parte entera de 1,5 es 1 y la par-te entera de 3, que es el doble, es 3, que no es el doble de 1.e. d = |x – 8|, no es de proporcionalidad directa.f. d = 300 + 80 · t, no es de proporcionalidad directa, es lineal.23. a. Sí. b. no. c. no.

Páginas 39 y 40 1. a. En Azul deben abonar $175 y en Verde $230.b. El de Azul es $75 y el de Verde $150.c. Debe consumir 250 kwh. d. no es posible.e. Deben consumir 750 kwh. f. Conviene más Azul.g. Azul cobra $0,5 y Verde $0,4.2. a. $47,5. b. $68,5.c. Si el consumo aumenta 10 kwh, la factura aumenta $1,5. Si el con-sumo aumenta 20 kwh ,la factura aumenta $3. Si el consumo aumenta 100 kwh, la factura aumenta $15.d. no, no dependen de consumos menores.3. a. El 1 y el 3 se mueven a 45 km/h, el 2 a 80 km/h y el 4 a 70 km/h.b. El 1 y el 4 a 50 km, el 2 y el 3 a 70 km.

c. A mayor velocidad más empinado, a igual velocidad son paralelos. La distancia influye en donde comienza el gráfico en el eje y. d. Se encuentran el 3 y el 4.4. Es cierto porque no lo puede alcanzar.5. a. 35 cm. b. 10 cm.c. Si la altura aumenta 1 cm, la base disminuye 1 cm. Si la altura aumen-ta 10 cm, la base disminuye 10 cm. Si la altura aumenta 0,5 cm, la base disminuye 0,5 cm.d. no dependen, porque lo que aumenta una debe disminuir la otra para que el perímetro permanezca constante.6. a. a = 0,95 b. a = 1,25 c. a = 0,77. a. Descuento del 15%.b. recargo del 2%.c. Descuento del 25%.d. recargo del 20%.8. Al ser una relación de proporcionalidad directa, el cociente entre el importe a pagar y la cantidad de queso comprada tiene que ser constante.9. a.

b. La fórmula es R = 200 · mc.

d. Sí, lo es, porque su fórmula es de la forma y = k · x, con k = 200.

10. a.

b. N = 1,12 · p, donde N es el precio nuevo y p el precio de lista.c.

Tiempo de marcha (seg)D

ista

ncia

al i

nici

o de

la p

ista

(cm

)5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

100

200

300

400

5015

150

250

350

450


Dis

tanc

ia a

l ini

cio

de la

pis

ta (c

m)

5 10 15 20 25 30

20

40

60

80

10

30

50

70

90

105


Kilo

met

raje

de

la ru

ta

2 4 6 8 10 12

200

400

600

800


Prec

io a

pag

ar ($

)

200 400 600 800 1.000 1.200

100

200

300

5015

150

250

350

Precio de lista ($)

Prec

io n

uevo

($)

50 100 150 200 250

50

100

150

200


Dis

tanc

ia re

al (c

m)

100 200 300 400 500 600

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

Gramos que pide

Gra

mos

que

le d

an

1.000 2.000 3.000 4.000 5.000

1.000

2.000

3.000

4.000

Tiempo en minutosCa

ntid

ad d

e ag

ua e

n lit

ros

100 200 300 400 500 600

200

400

600

800

1.000

d. Sí, lo es, porque su fórmula es de la forma y = k · x, con k = 1,12.11. a. 32 minutosb. 280 litros.c. En el primero.d. A los 30 minutos los dos tanques tienen 270 litros.e. tanque 1: y = 60 + 7x tanque 2: y = 300 – xf.

Agu

a en

el t

anqu

e (l)

50 100 150 200 250 300 350 400Minutos

100

200

300

50

150

250270

30

350

400

450

1 x

1

y

2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1

2

3

4

6

7

8

9

5

1

10

50

70

95

115120

150

d2

d4

d3

d1

x

y

2/3

5

55

10 15

Dis

tanc

ia a

la p

laza

cen

tral

(km

)

Tiempo (hs)

x

y

Distancia en el mapa 0 m 1 cm 1 dm 20 cm 1 m

Distancia real 0 m 200 cm 200 dm 4.000 cm 200 m

Precio de lista 12 25 50 62

Precio nuevo 13,44 28 56 69,44

Precio de lista 75 112 184 200

Precio nuevo 84 125,44 206,08 224


Dis

tanc

ia a

l ini

cio

de la

pis

ta (c

m)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

100

200

300

400

5015

150

250

350

450


Dis

tanc

ia a

l ini

cio

de la

pis

ta (c

m)

5 10 15 20 25 30

20

40

60

80

10

30

50

70

90

105


Kilo

met

raje

de

la ru

ta

2 4 6 8 10 12

200

400

600

800


Prec

io a

pag

ar ($

)

200 400 600 800 1.000 1.200

100

200

300

5015

150

250

350

Precio de lista ($)

Prec

io n

uevo

($)

50 100 150 200 250

50

100

150

200


Dis

tanc

ia re

al (c

m)

100 200 300 400 500 600

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

Gramos que pide

Gra

mos

que

le d

an

1.000 2.000 3.000 4.000 5.000

1.000

2.000

3.000

4.000

Tiempo en minutos

Cant

idad

de

agua

en

litro

s

100 200 300 400 500 600

200

400

600

800

1.000

9


capítulo 3

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

Capítulo 3: La ecuación de lar ecta

Página 411. a.

x

y

x

y

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8- 3 - 2 - 1

2

4

6

- 1

1

3

5

- 2

- 3

- 4

- 5

- 6

- 7

- 8

2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

1

3

5

7

A

C

B

0,5 1 1,5 2 2,5 3

2

4

6

8

1

3

5

7

- 1

- 2

A

B

C

A

C

B

b. D = (16 ; 8) o D = (4 ; 2). c. Son dos puntos.2. a.

x

y

x

y

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8- 3 - 2 - 1

2

4

6

- 1

1

3

5

- 2

- 3

- 4

- 5

- 6

- 7

- 8

2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

1

3

5

7

A

C

B

0,5 1 1,5 2 2,5 3

2

4

6

8

1

3

5

7

- 1

- 2

A

B

C

A

C

B

b. D = (10 ; –13) o D = (–6 ; 11). c. Son 2 puntos.3. a.

x

y

x

y

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8- 3 - 2 - 1

2

4

6

- 1

1

3

5

- 2

- 3

- 4

- 5

- 6

- 7

- 8

2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

1

3

5

7

A

C

B

0,5 1 1,5 2 2,5 3

2

4

6

8

1

3

5

7

- 1

- 2

A

B

C

A

C

B

b. D = ( 17 ___ 4 ; 51 ___ 5 ) o D = ( – 1 __ 4 ; – 33 ___ 5 ) . c. Son 2 puntos.4. a.

2 4 6 8 9 10– 6 – 4

5

– 2 x

y

1

2

3

6

4A

B

C

1–1 x

1

y

–3

2

5

1–1 x

1

y

–2–4–5 –3 2 3 4 5

2

3

4

6

7

8

9

5

1–1 x

1

y

–7

5

y

–4

–2,5

1–1 x

1

3

1–1 x

1

y

–2–3–4–5–6–8–9 –7 2 3 4 5 6 7 8 9

2

3

4

–2

–1

6

7

52–2 x

2

–4–6–8 4 6 8 10 12 14 16 18

4

–8

–6

–4

–2

–16

–14

–12

–10

–18

y

2–2 x

2

–4–6–8 4 6 8 10 12 14 16 18

4

6

8

–8

–6

–4

–2

–16

–14

–12

–10

–18

y

x

y

4

27–12

–88

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

2

4

6

8

1

3

5

7

9

A

C B

- 1 1

1

7

y

x

b. Por ejemplo: D = (8 ; –10). c. Hay infinitas opciones.

5. a.

2 4 6 8 9 10– 6 – 4

5

– 2 x

y

1

2

3

6

4A

B

C

1–1 x

1

y

–3

2

5

1–1 x

1

y

–2–4–5 –3 2 3 4 5

2

3

4

6

7

8

9

5

1–1 x

1

y

–7

5

y

–4

–2,5

1–1 x

1

3

1–1 x

1

y

–2–3–4–5–6–8–9 –7 2 3 4 5 6 7 8 9

2

3

4

–2

–1

6

7

52–2 x

2

–4–6–8 4 6 8 10 12 14 16 18

4

–8

–6

–4

–2

–16

–14

–12

–10

–18

y

2–2 x

2

–4–6–8 4 6 8 10 12 14 16 18

4

6

8

–8

–6

–4

–2

–16

–14

–12

–10

–18

y

x

y

4

27–12

–88

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

2

4

6

8

1

3

5

7

9

A

C B

- 1 1

1

7

y

x

b. Por ejemplo: D = (0 ; 1). c. Hay infinitas opciones.

Páginas 42 y 436. a. D = ( –30 ; 6 ) b. Hay infinitas opciones.7. a. C = (5 ; 18). b. Hay infinitos.8. a. C = (0 ; 170). b. Hay infinitos.9. a. Por ejemplo: ( 0 ; 3 __ 2 ) . b. Hay infinitos.

10. a. (16 ; 25) b. (18 ; 14 2 __ 3 ) c. ( 7 ; – 71 ___ 5 ) d. ( 10 ; 125 ___ 3 ) 11. a. Sí, la recta es x = 2. b. no están alineados.

c. Sí, la recta es y = – 7 ___ 16 · x – 1,25 .

12. a. Por ejemplo: (24 ; 28). b. Cuatro puntos, según como se unan los vértices para armar el para-lelogramo.13. a. Están alineados. b. no están alineados. c. Están alineados.14. Cualquier punto (x ; y) que verifica y = –10x – 25.

Páginas 44 y 4515. a. Por cada unidad que x aumenta, y aumenta 2. Por lo tanto, si x aumenta 10, y aumenta 20. Si se comienza a contar desde el punto (0 ; 4) se llega a la conclusión de que las rectas se intersecan en (10 ; 4 + 20), es decir en (10 ; 24).b. (109 ; 222) es el punto de intersección de las rectas. 16. Sí, es correcto.17. Es correcto, a – 2 es la variación en x. Cada una unidad que aumenta x, y aumenta 5, por lo tanto si en x se aumenta a – 2, en y aumentará 5 · (a – 2).18. a. y = –2,5 · x + 12,5 b. En (0 ; 12,5). c. (15 ; –25) d. (5,8 ; –2)19. a. 20. a. (100 ; 203) b. (103 ; 405)

Páginas 46 y 4721. Denise calcula la pendiente de la recta basándose en los puntos dados, después calcula la ordenada al origen usando que la pendiente indica los movimientos en x e y que deben realizarse de un punto para llegar a otro. Así tiene la ecuación de la recta. reemplazando la x por cualquier valor obtiene la y correspondiente, es decir un punto (x ; y) en la recta.22. Los dos procedimientos son correctos. 40. 23.a. y = –4 · x + 5b.

x –2 –0,5 0 0,5 1 3 5 10

y 13 7 5 3 1 –7 –15 –35

24. a. y = – 0,5 x + 6,5 b. y = 5 __ 7 x + 5c. y = – 0,5 x – 2,5 d. y = –x + 2e. no es posible.

Páginas 48 y 4925. a. y = 5x + 25b. Si es correcto.26. Si son paralelas porque tienen la misma pendiente.

10

SOLUCIONARIO

capítulo 3

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

d.

2 4 6 8 9 10– 6 – 4

5

– 2 x

y

1

2

3

6

4A

B

C

1–1 x

1

y

–3

2

5

1–1 x

1

y

–2–4–5 –3 2 3 4 5

2

3

4

6

7

8

9

5

1–1 x

1

y

–7

5

y

–4

–2,5

1–1 x

1

3

1–1 x

1

y

–2–3–4–5–6–8–9 –7 2 3 4 5 6 7 8 9

2

3

4

–2

–1

6

7

52–2 x

2

–4–6–8 4 6 8 10 12 14 16 18

4

–8

–6

–4

–2

–16

–14

–12

–10

–18

y

2–2 x

2

–4–6–8 4 6 8 10 12 14 16 18

4

6

8

–8

–6

–4

–2

–16

–14

–12

–10

–18

y

x

y

4

27–12

–88

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

2

4

6

8

1

3

5

7

9

A

C B

- 1 1

1

7

y

x

46. a. Por ejemplo: x = 3. b. Infinitas, son de la forma x = k.c. todas son verticales.47. a.

2 4 6 8 9 10– 6 – 4

5

– 2 x

y

1

2

3

6

4A

B

C

1–1 x

1

y

–3

2

5

1–1 x

1

y

–2–4–5 –3 2 3 4 5

2

3

4

6

7

8

9

5

1–1 x

1

y

–7

5

y

–4

–2,5

1–1 x

1

3

1–1 x

1

y

–2–3–4–5–6–8–9 –7 2 3 4 5 6 7 8 9

2

3

4

–2

–1

6

7

52–2 x

2

–4–6–8 4 6 8 10 12 14 16 18

4

–8

–6

–4

–2

–16

–14

–12

–10

–18

y

2–2 x

2

–4–6–8 4 6 8 10 12 14 16 18

4

6

8

–8

–6

–4

–2

–16

–14

–12

–10

–18

y

x

y

4

27–12

–88

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

2

4

6

8

1

3

5

7

9

A

C B

- 1 1

1

7

y

x

b. Es rectángulo.48. Es un triángulo rectángulo.49. a. Es un paralelogramo. b. no es rectángulo.50. a. y = 5 · x + 20 b. y = –5 · x + 34 c. y = 1 __ 5 · x + 10d. Como hay dos rectas paralelas, se forma un trapecio, que no es un trapecio rectángulo porque para ello deberíamos tener una recta per-pendicular a las paralelas, es decir con pendiente – 1 __ 5 .

51. a. y = 1 __ 2 · x + 11 ___ 2 b. y = –2 · x – 4 c. y = 1 __ 2 · x + 8 d. y = –2 · x + 9

e.

2 4 6 8 9 10– 6 – 4

5

– 2 x

y

1

2

3

6

4A

B

C

1–1 x

1

y

–3

2

5

1–1 x

1

y

–2–4–5 –3 2 3 4 5

2

3

4

6

7

8

9

5

1–1 x

1

y

–7

5

y

–4

–2,5

1–1 x

1

3

1–1 x

1

y

–2–3–4–5–6–8–9 –7 2 3 4 5 6 7 8 9

2

3

4

–2

–1

6

7

52–2 x

2

–4–6–8 4 6 8 10 12 14 16 18

4

–8

–6

–4

–2

–16

–14

–12

–10

–18

y

2–2 x

2

–4–6–8 4 6 8 10 12 14 16 18

4

6

8

–8

–6

–4

–2

–16

–14

–12

–10

–18

y

x

y

4

27–12

–88

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

2

4

6

8

1

3

5

7

9

A

C B

- 1 1

1

7

y

x

f. Es un rectángulo.

27. tiene razón Silvia, ya que la inclinación de la recta la da la pendien-te. Si dos rectas tienen la misma ordenada al origen, como dice Ana, y son paralelas, entonces serían la misma recta.

28. y = 2 __ 7 · x + 67 ___ 7

29. y = –0,2 · x – 5

30. Por ejemplo: y = 5 __ 3 · x y y = 5 __ 3 · x + 7.

31. no, porque la recta que pasa por esos puntos tiene pendiente 2 __ 3 y

la otra 3 __ 2 .

32. a. y = – 11 ___ 12 · x – 2.065 _____ 12 b. y = – 11 ___ 12 · x – 7 ___ 12 c. Son paralelas.

33. a. y = – 6 __ 7 · x – 25 ___ 7 b. Hay infinitas.

34. no, porque la pendiente entre A y B es 25 ___ 4 y la pendiente entre C y

D es 875 ____ 68 .

Páginas 50 y 51 35. a. Son opuestas e inversas. b. – 4 __ 3

36. a. y = 0,5 · x + 6 b. y = – 2 __ 3 · x – 52 ___ 9 c. y = – 1 __ 7 · x + 8 __ 7 37. La recta que es perpendicular es la c. porque el inverso y opuesto de –4 es 1 __ 4 .38. Son verticales.39. Es cierto porque si se multiplica un número por su inverso da 1 y si además es opuesto da –1.40. Son paralelas si las pendientes son iguales, son perpendiculares si el producto de las pendientes es –1.a. ni paralelas ni perpendiculares: a., c., e., i. Perpendiculares: b., d. y h. Paralelas: f. y g.41. Es un trapecio porque

___ AB y

___ DC son paralelos, pero

___ AD y

___ BC no.

42. Si porque las rectas son perpendiculares.

Páginas 52 y 5343. a. y = x + 2 b. y = x + 8 c. y = –x + 6 d. y = –x – 1e. Es un rectángulo porque hay dos pares de rectas paralelas y son per-pendiculares entre sí.

44. a. y = – 1 __ 4 · x + 1 ___ 10 b. y = – 1 __ 4 · x + 21 ___ 4 c. y = 4 · x + 20

d. Son perpendiculares.e.

2 4 6 8 9 10– 6 – 4

5

– 2 x

y

1

2

3

6

4A

B

C

1–1 x

1

y

–3

2

5

1–1 x

1

y

–2–4–5 –3 2 3 4 5

2

3

4

6

7

8

9

5

1–1 x

1

y

–7

5

y

–4

–2,5

1–1 x

1

3

1–1 x

1

y

–2–3–4–5–6–8–9 –7 2 3 4 5 6 7 8 9

2

3

4

–2

–1

6

7

52–2 x

2

–4–6–8 4 6 8 10 12 14 16 18

4

–8

–6

–4

–2

–16

–14

–12

–10

–18

y

2–2 x

2

–4–6–8 4 6 8 10 12 14 16 18

4

6

8

–8

–6

–4

–2

–16

–14

–12

–10

–18

y

x

y

4

27–12

–88

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

2

4

6

8

1

3

5

7

9

A

C B

- 1 1

1

7

y

x

45. a. y = –2 · x + 15 b. y = –2 · x – 16 c. y = 0,5 · x – 16

11


capítulo 3

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

d. Sí, es posible, si ambas tienen 24 caballos y 12 gallinas.54. a.

Cucuruchos 0 2 4 6 8

Palitos 12 9 6 3 0

b. Hay 5 posibilidades. c. 6 · c + 4 · p = 48d.

Gal

linas

5 10 15 20 25 30 35Caballos

20

40

60

10

30

50

70

Har

ina

inte

gral

10 20 30 40 50Harina común

10

20

5

15

25

Palit

os

2 4 6 8 10Cucuruchos

4

8

12

2

6

10

14

Gal

linas

10 20 30Caballos

40

10

20

30

5

15

25

35

40

55. a. Hay infinitas posibilidades.

Harina común 0 0,5 1 1,5 2 2,5

Harina integral 20 19,75 19,5 19,25 19 18,75

Harina común 3 3,5 4 4,5 5

Harina integral 18,5 18,25 18 17,75 17,5

b. 2 · h + 4 · i = 80c. tiene sentido unir los puntos por lo explicado en a.

Gal

linas

5 10 15 20 25 30 35Caballos

20

40

60

10

30

50

70

Har

ina

inte

gral


10

20

5

15

25

Palit

os


4

8

12

2

6

10

14

Gal

linas

10 20 30Caballos

40

10

20

30

5

15

25

35

40

56. a. h = 3 · ib. Sí, comprando 8 kg de harina integral y 24 kg de harina común.

Página 56 y 57

57. a. – 2 __ 5 b. 4 __ 7 c. 2 __ 5 d. 0 e. no tiene pendiente. f. – 9 __ 5

58. Paralelas i. y iii. Perpendiculares: i. con vi., iii. con vi., y ii. con iv.59. Es cierto si B ≠ 0. Pero si B = 0 la recta es vertical y no tiene pendiente.60. Sí, cualquiera de las dos maneras es correcta. Marcelo trabaja con números enteros.61. i. 4 · x – 5 · y = 35 ii. 10 · y = 3 iii. 63 · x – 35 · y = 2562. Sí, es cierto, porque no tienen pendiente.

63. a. B = H = 0, o A __ B = T __ H .

b. Si B = 0 y T = 0, o H = 0 y A = 0, o A __ B = – H __ T .

64. a. Paralela: y = 8 __ 5 x. Perpendicular: y = – 5 __ 8 x – 3 .b. Paralela: x = 2. Perpendicular: y = 9.c. Paralela: y = 5. Perpendicular: x = –3.

Páginas 54 y 55 52. a. Hay 31 posibilidades.

caballos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

gallinas 60 58 56 54 52 50 48 46 44 42 40

caballos 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

gallinas 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18

caballos 22 23 24 25 26 27 28 29 30

gallinas 16 14 12 10 8 6 4 2 0

b. iii. y iv.c. no tiene sentido unirlos porque la cantidad de caballos y gallinas deben ser números naturales o 0.

Gal

linas

5 10 15 20 25 30 35Caballos

20

40

60

10

30

50

70

Har

ina

inte

gral


10

20

5

15

25

Palit

os


4

8

12

2

6

10

14

Gal

linas

10 20 30Caballos

40

10

20

30

5

15

25

35

40

53.a. Hay 37 posibilidades.

caballos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

gallinas 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26

caballos 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

gallinas 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15

caballos 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4

caballos 33 34 35 36

gallinas 3 2 1 0

b. i. y iii.c. no tiene sentido unirlos porque la cantidad de caballos y gallinas deben ser números naturales o 0.

Gal

linas

5 10 15 20 25 30 35Caballos

20

40

60

10

30

50

70

Har

ina

inte

gral


10

20

5

15

25

Palit

os


4

8

12

2

6

10

14

Gal

linas

10 20 30Caballos

40

10

20

30

5

15

25

35

40

12

SOLUCIONARIO

capítulo 3

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

Páginas 58 y 59 65. a. todas las posibilidades son 112.

Chupetines 6 5 4 3 2 1 0

Caramelos 00, 1, 2, 3, 4 o 5

De 0 a 10

De 0 a 15

De 0 a 20

De 0 a 25

De 0 a 30

b. y c.

1 x

1

y

5

1 x

1

y

3

2

6

1 x

1

y

x

y

–4

2

Cantidad de caramelos

Cant

idad

de

chup

etin

es

1 5 10 15 20 25 30

2

4

6

1

3

5

2002 2003 2004 2005 2006 2007

300

400

500

600

700103

d. La recta 10 · x + 50 · y = 300 es el límite de los puntos que verifican la condición. e. Es cierto, porque cada caramelo cuesta 10 centavos y cada chupetín cuesta 50 centavos y puede gastar como máximo 300 centavos.66. a. b.

c.

d.

1 x

1

y

5

1 x

1

y

3

2

6

1 x

1

y

x

y

–4

2


Cant

idad

de

chup

etin

es

1 5 10 15 20 25 30

2

4

6

1

3

5

2002 2003 2004 2005 2006 2007

300

400

500

600

700103

67 a. x ≥ –2 b. y < 3 c. x ≥ 2 ; y > –3

d. y ≤ 2 e. y ≤ 2 __ 5 · x + 9 __ 5 f. y > 2· x – 6

68.

1 x

1

y

2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1

2

3

4

6

7

8

9

5

1

10

50

70

95

115120

150

d2

d4

d3

d1

x

y

2/3

5

55

10 15

Dis

tanc

ia a

la p

laza

cen

tral

(km

)

Tiempo (hs)

x

y

Páginas 61 y 62 Integrar lo aprendido

1. a. y = 2 · x – 1,75 b. y = – 1 __ 2 · x + 5 c. y = –6 d. x = 3

2. a. y = –4x + 8 b. y = 2,25 + 1 __ 2 x c. y = 7 x + 1d. Hay infinitas posibilidades. todas tienen la forma y = 3 __ 4 x + b con b cualquier número real.e. no hay ninguna.f. y = –6x – 10

3. a. i. –1 ii. 11 ___ 5 iii. 1,6 iv. –5 v. 2 vi. 13 ___ 2 .

b. y = –x + 11 c. y = x + 2

4. a.

b. y = 5 __ 3 · x – 170

5. a. Paralela: x = 2, perpendicular: y = 12.

b. Paralela: y = 18, perpendicular: x = 9.c. Paralela: y = 2 · x + 18, perpendicular: y = –0,5 · x + 13.6. a. Sí, porque la pendiente de la recta

___ AB es 3 y la de

___ AC es – 1 __ 3 .

b. no. c. Aproximadamente 13,8 unidades.7. Si x son las hectáreas de maíz e y son las de trigo: 2 · x + y ≤ 800; x + y ≤ 480

3

5

B

A

C

400100

480

480

100

800

Hec

táre

as d

e tr

igo

Hectáreas de maíz

8

–4

8

20 40 60 80 100 x-20

2

4

6

8

y

x

y

1

3

5

7

8. Si x es la cantidad de sillas e y la de mesas, la inecuación es: 2 · x + 1,5 · y ≤ 25. Las posibilidades son:

Sillas 0 1 2 3 4 5 6

MesasDe 0 a 16

De 0 a 15

De 0 a 14

De 0 a 12

De 0 a 11

De 0 a 10

De 0 a 8

x –15 0 23 –315

y 28 19 29 __ 5 2081 x

1

y

5

1 x

1

y

3

2

6

1 x

1

y

x

y

–4

2


Cant

idad

de

chup

etin

es

1 5 10 15 20 25 30

2

4

6

1

3

5

2002 2003 2004 2005 2006 2007

300

400

500

600

700103

1 x

1

y

5

1 x

1

y

3

2

6

1 x

1

y

x

y

–4

2


Cant

idad

de

chup

etin

es

1 5 10 15 20 25 30

2

4

6

1

3

5

2002 2003 2004 2005 2006 2007

300

400

500

600

700103

1 x

1

y

5

1 x

1

y

3

2

6

1 x

1

y

x

y

–4

2


Cant

idad

de

chup

etin

es

1 5 10 15 20 25 30

2

4

6

1

3

5

2002 2003 2004 2005 2006 2007

300

400

500

600

700103

13


capítulo 3

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

Capítulo 4: Otros modelos funcionales

Página 63 1. a. Si el precio de lista es menor que $200, se multiplica por 1,20 y si es mayor o igual, se multiplica por 1,09.b. Mora: $84, Clara: $218. c. Si es menor que $200, le hacen un recargo del 20% y si es mayor o igual, se le recarga un 9%.d. ii., porque en 200 cambia el criterio, cambia la inclinación de la recta.

Páginas 64 y 652. a. 28, 55, 1.275. b. Sí, es correcto.c. no, pero son equivalentes, d. Sí. e. Sí, en el paso 100. f. no, porque en el paso 50 se colocan 1.275 piedritas y en el 51, 1.326.

Páginas 66 y 673. a. 5.050. b. n __ 2 · (n+1)4. a. 12.342.175 b. m · n + (n – 1) · n _________ 2 = S

c. Depende de cuál se tome como variable además de S. Si la canti-

dad de números naturales consecutivos, n, es dada, está fija, por ejemplo n = 10, y m es la otra variable, entonces la fórmula será: m · 10 + 45 = S. En este caso la fórmula sí pertenece a una función lineal, porque por cada 1 que aumenta m, S aumenta 10. En cam-bio, si el número por el que se empieza, m, es lo que permanece fijo,

por ejemplo m = 12, y n es la otra variable, entonces la fórmula será

12 · n + (n–1) · n _______ 2 = S, es decir: 1 __ 2 · n 2 + 23 ___ 2 · n = S. Si usan esta fórmula se

pueden dar cuenta de que no es lineal, porque cuando n aumenta 1,

S no aumenta siempre lo mismo. Por ejemplo, para n = 1, S = 12, para n = 2, S = 25, S aumenta 13, pero para n = 3, S = 39, S aumentó 14.5. a. $1,30 b. ii. c. no.6. a. no hay una única forma.b.

Ancho de papel (m) 1 2,3 3,2 3,8 4 5,1 5,5

Área de papel ( m 2 ) 5 8,51 8,96 8,36 8 4,59 2,75

c. no, porque si el ancho varía siempre lo mismo, por ejemplo 1 m, el área no varía siempre lo mismo.d. Son iguales porque el ancho de uno es el alto del otro.e. 6,75 m 2 f. 9 m 2 g. Si a es el ancho del panel en metros, el área en m 2 es a · (6 – a).h. tiene que ser el cuadrado de 3 cm de lado.7. a., d., e., g. y h.

Sillas 7 8 9 10 11 12

MesasDe 0 a 7

De 0 a 6

De 0 a 4

De 0 a 3

De 0 a 2

0

9. a.

3

5

B

A

C

400100

480

480

100

800

Hec

táre

as d

e tr

igo

Hectáreas de maíz

8

–4

8

20 40 60 80 100 x-20

2

4

6

8

y

x

y

1

3

5

7

b. La recta ___

AB : y = –2 · x + 7. La recta ___

BC y = 0,5 · x + 24,5. La recta ___

AC

y = 68 ___ 91 · x + 137 ____ 91 . El triángulo es rectángulo en B.

c. Perímetro = 245,52 unidades. área = 1.125 unidades cuadradas.

10. a. y = –8 · x + 12 b. y = –8 · x + 32 c. y = 1 __ 8 · x – 4d.

3

5

B

A

C

400100

480

480

100

800

Hec

táre

as d

e tr

igo

Hectáreas de maíz

8

–4

8

20 40 60 80 100 x-20

2

4

6

8

y

x

y

1

3

5

7

e. un triángulo rectángulo.

11. a. y = – 13 ___ 4

· x – 7 __ 4

b. y = – 4 ___ 17 · x + 19 ___ 17

c. y = –8 · x + 15 d. y = –7 · x + 4 e. y f. y = –5 · x + 20 g. x = 1

h. y = x + 6 i. y = –3 · x + 5

j. Hay infinitas, todas las de la forma: y = – 5 ___ 12 · x + b.

k. Hay infinitas, todas las de la forma: y = –10 · x + b.l. no existe, porque los puntos no están alineados.12. a. y = 5 ___ 12 · x + 25 ___ 12 b. y = – 1 __ 2 · x – 5 __ 2 c. y = 2 · x + 8

d. un triángulo rectángulo porque dos de sus lados están incluídos en rectas perpendiculares.

13. a. y = 2 · x + 1 b. (– 3 ; – 5), (– 1 __ 2 ; 0), (– 1 ; – 1), (0 ; 1)

14. a. 2 __ 5 · x + 3 __ 5 = y b. 2 __ 5 · x+ 6 __ 5 = y c. – 5 __ 2 · x + 1 __ 2 = y d. – 1 __ 2 · x +3 = y

e. un trapecio rectángulo porque dos de sus lados son paralelos, un trecero es perpendicular a estos, y el cuarto no es ni paralelo ni per-pendicular a ninguno de los anteriores.

15. a. b. 16. x ≥ – 1; y ≤ – 4 __ 3 x + 4; y ≤ x + 2.

1 x

1

y

2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1

2

3

4

6

7

8

9

5

1

10

50

70

95

115120

150

d2

d4

d3

d1

x

y

2/3

5

55

10 15

Dis

tanc

ia a

la p

laza

cen

tral

(km

)

Tiempo (hs)

x

y

1 x

1

y

2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1

2

3

4

6

7

8

9

5

1

10

50

70

95

115120

150

d2

d4

d3

d1

x

y

2/3

5

55

10 15

Dis

tanc

ia a

la p

laza

cen

tral

(km

)

Tiempo (hs)

x

y

14

SOLUCIONARIO

capítulo 4

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

Páginas 68 y 698. a. Completar tabla.

x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

x² 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25

b. y = x 2 , es función, porque para cada valor de x le corresponde un único valor de y.c. iii., porque es siempre positiva o 0 y en x = 2 tiene que valer 4.d. Sí, es cierto, porque el cuadrado de dos números opuestos es igual.e. g tiene la misma curva como gráfico pero trasladada una unidad hacia arriba, lo mismo ocurre con t que se traslada una unidad hacia abajo.9. a. Sí, es correcto porque a todos las imágenes de la función anterior se les suma c, entonces se corre hacia arriba tantas unidades como c.b. Le tienen que decir que se hace la misma curva de x2, pero que se baja Ic I unidades.10. b. Sí, tiene sentido unir los puntos.

-1

-1-2 1 2

y

x

-2

-3

-4

c. Es simétrico respecto al eje x.d. Le tienen que decir que grafique – x 2 y luego traslade esa curva 3 uni-dades hacia arriba.11. Sí, es correcto, se analizó en el problema anterior.12. a.

x 3 –2,5 –2 –1,5 –1 0

f (x)= x 2 9 6,25 4 2,25 1 0

g (x) = 2 · x 2 18 12,5 8 4,5 2 0

h (x) = 1 __ 2 · x 2 4,5 3,125 2 1,125 0,5 0

b.

x 1 1,5 2 2,5 3

f (x)= x 2 1 2,25 4 6,25 9

g (x) = 2 · x 2 2 4,5 8 12,5 18

h (x) = 1 __ 2 · x 2 0,5 1,125 2 3,125 4,5

-1

-1-2-3 1 2 3 4 5

y

x

1

2

-4-5

3

4

5

6

7

c. Sí, es correcto.

Páginas 70 y 7113. a. Si a es la arista del cubo, a 3 es su volumen, es decir, los c m 3 de material necesarios para armarlo, y si cada c m 3 cuesta $0,10, entonces el costo del material por cubo, en pesos, es 0,10 · a 3 .b. no es lineal ni cuadrática14. a. y = x 3 b. R c. ii.d. Sí, respecto al centro de coordenadas, cada valor del dominio y su opuesto tienen imágenes opuestas, las distancias de ambos puntos al cero es la misma.15. a. Sí, porque su fórmula es una combinación de sumas y restas de funciones del tipo f(x) = k · xn , con n = 0, 1 y 2, número natural, y k número real.b. también, con n = 0 y 1.16. a. trasladar 1 hacia arriba. b. trasladar 3 hacia abajo.c. Simétrica respecto al eje y.d. Simétrica respecto al eje y, y luego trasladar 3 hacia abajo.e. Hay que cerrar las ramas para que pase por el doble de las imágenes y luego trasladarla 1 hacia arriba.f. Hay que abrir las ramas para que pasen por la mitad de las imágenes y luego trasladarla 3 hacia abajo.g. Simétrica respecto al eje y y luego abrirle las ramas para que pasen por el tercio de las imágenes.h. Simétrica respecto al eje y, luego cerrarle las ramas para que pasen por las imágenes multiplicadas por 5 y por último trasladarla 10 hacia abajo.i. trasladarla 4 unidades hacia la derecha. j. trasladarla 6 hacia la izquierdak. trasladarla 5 hacia la izquierda, luego considerar su curva simétrica respecto de la recta vertical x = –5, y por último abrir sus ramas a la ter-cera parte.l. trasladarla 1 hacia la derecha, después considerar la curva simétrica respecto de la recta x = 1, luego cerrar las ramas para que tome las imá-genes multiplicadas por 5, por último trasladarla 10 hacia abajo.17. a. Si l es la longitud del largo, la fórmula es: V = l · (l – 4) · (l – 3)b. Sí, es polinómica, porque si se simplifica la fórmula su forma es la de una cúbica.18. a. área =14x² b. Cuadrática. c. Volumen = 3x³. Cúbica.

Páginas 72 y 7319. b., porque al restarle 1 a los valores del dominio, esta función devuel-ve las imágenes correspondientes de la función x 2 , luego tiene que ser un gráfico que al correrlo 1 unidad hacia la izquierda resulte el gráfico de x 2 .20. a. Subirla 3 unidades. b. trasladarla 3 unidades hacia la derecha.c. Bajarla 9 unidades. d. trasladarla 9 unidades hacia la izquierda.e. trasladar 4 unidades hacia la derecha y subirla 3 unidades.f. trasladarla 5 hacia la izquierda y subirla 2 unidades.g. trasladarla 8 unidades hacia la derecha y bajarla 3 unidades.h. trasladarla 9 unidades hacia la izquierda y bajarla 5 unidades.21.

x –5 – 4 – 3 0 3 4 5

f (x) = x 4 625 256 81 0 81 256 625

g (x) = (x–3)44.096 2.401 1.296 81 0 1 16

h (x) = x 4 – 3 622 253 78 -3 78 253 622

t (x) = 2 · x 4 1.250 512 162 0 162 512 1.250

m (x) = 1 __ 3 · x 4 625 ____ 3 256 ____ 3 27 0 27 256 ____ 3 625 ____ 3

22.a. f(x) es la amarilla, g(x) es la rosa, h(x) es la azul, t(x) es la verde, m(x) es la roja.b. i. Cerrar las ramas al doble y trasladarla 5 hacia arriba.

15


capítulo 4

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

d. e.

1 2 3 4 5

2

3

1

4

-2

-3

x

y

-1-3-4-5 -2-1

1-1 2 3 4 5

2

3

1

4

5

6

-2

-1x

y

-3 -2

Páginas 76 y 7727. a. Sí. b. La pendiente es – 2 __

3 y la ordenada al origen es 4 __

3 .

28. a. Pendiente: 0,8; ordenada al origen: –4.b. Pendiente: –0,5; ordenada al origen: 5.c. no tiene pendiente ni ordenada al origen porque es una recta vertical.d. Pendiente: 0, ordenada al origen –1,8.29. a. Son equivalentes i. y ii. b. ii.30. a. i. y x. Son lineales y equivalentes. ii. Es homográfica.iii. Es polinómica, pero no se analizó el gráfico de este tipo de funciones.iv. Es lineal. v. Es cuadrática, pero no se analizó el gráfico de este tipo de funciones.vi. Es polinómica, pero no se analizó el gráfico de este tipo de funciones.vii. Es homográfica. viii. y xii. Son lineales y equivalentes.ix. Es polinómica, pero no se analizó el gráfico de este tipo de funciones.xi. Es polinómica. xiii. y xiv. Son cuadráticas y equivalentes.

Páginas 79 y 80 Integrar lo aprendido1. a. Por 6 y 10 horas conviene “Siempre a su servicio”, por 12 horas conviene “Los Amigos”.b.

2 4 6 8 10 12 14 16 x

20

40

50

60

30

10

impo

rte

a pa

gar (

$)

tiempo (horas)

c. Analizando para qué valores valen lo mismo, y observando cual gráfica está por debajo de la otra para concluir cual conviene en cada tramo.2. a. El primero. b. 4.500 pacientes. c. 30 días.3. a. i. 0 ii. 240 iii. 0 iv. 240b. Si porque cuando x = 0, la cuenta da 0.4. a. El segundo, porque los números positivos del dominio tienen imágenes negativas y viceversa.b. g(x)

-1

-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7

y

x

1

2

-4-5-6-7

3

4

-2

-3

-4

ii. Cerrar las ramas al doble y trasladarla 5 hacia abajo.iii. trasladarla 5 hacia la izquierda y cerrar las ramas al doble.iv. trasladarla 5 hacia la derecha y cerrar las ramas al doble.23. a. trasladarla 7 hacia arriba. b. trasladarla 7 abajo.c. trasladarla 7 hacia la izquierda. d. trasladarla 7 hacia la derecha.

Página 7424. a. i., ii. y iii.b. Sí, hay proporcionalidad inversa porque el producto entre las varia-bles es constante.c. no, porque el 0 no tiene imagen.d. Sí, porque todos los números reales distintos de cero tienen imagen y es única.e. Sí, si se analiza las coordenadas de diferentes puntos verifican la ecuación.f. En b = 0 no está definida la función, para los valores cercanos a 0 y posi-tivos, la función crece y crece cada vez más, mientras que para los valo-res cercanos a 0 y negativos la función decrece y decrece cada vez más.g. no, porque no verificaría que el producto entre las variables sea 48. En el gráfico se observa que las dos ramas son simétricas en cada cuadrante, y a medida que los valores de b son positivos y aumentan, las imágenes son más cercanas a 0, pero positivas, mientras que a medida que los valo-res de b son negativos y disminuyen, las imágenes son más cercanas a 0, pero negativas.25. a. R – {0} para f y h; R – { –3} para g.b. i. es el gráfico de f, ii. de g y iii. de h, usando los mismos razona-mientos que en 53. y anteriores.

Página 7526. a. b.

10 20 30 40 50 x

y

-10

10

20

40

50

30

-10

-15

-20

-30

2

3

1

4

5

6

-2

-1x

y

1-1 2 3-3 -2

c.

1 2 3 4 5 6 7

2

3

1

5

6

7

8

9

-2

-3

-4

-1x

y

-3 -2 -1

4

16

SOLUCIONARIO

capítulo 4

© T

inta

fre

sca

edic

ion

es S

. A.

| Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Ley

11.

723

h(x)

-1

-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7

y

x

1

2

-4-5-6-7

3

4

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19Tiempo

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

Tem

pera

tura

c. Dominio (f) = R – {0}, Imagen (f ) = R – {0}.Dominio (g) = R – { –1}, Imagen (g) = R – {0}.Dominio (h) = R – {2}, Imagen (g) = R – {0}.5. a. trasladarlo 6 unidades hacia arriba.b. trasladarlo 3 unidades hacia la izquierda.c. Abrirle las ramas para que pase por la mitad de las imágenes.d. Simétrico respecto al eje x.6. a. 18º b. 198º c. 218ºd. 118º a los 5 minutos, 186º a los 8,4 minutos, 250º nunca.e. 20º hasta los 10 minutos.f.

-1

-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7

y

x

1

2

-4-5-6-7

3

4

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19Tiempo

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

Tem

pera

tura

7. Producción personal.8. a. i. ii. iii. v. vi.b.ƒ(x) = { 0,9x si x ≥ 100

x 0 < x < 100

9. a. Subir 2 unidades.b. Invertir la función y subir 2 unidades.c. Invertir la función.d. Invertir la función y restar 5.10. a. Subir 2 unidades.b. Invertir la función y subir 2 unidades.c. Invertir la función.d. Invertir la función y restar 5.11. a. Falso. b. Falso.c. Verdadero. d. Falso.

MATEMÁTICA SOLUCIONARIO Serie INICIACIóN AL...

Documents

Transcript of MATEMÁTICA SOLUCIONARIO Serie INICIACIóN AL...