Matemática. Fracciones y números decimales. 6ºgrado ... · Matemática Fracciones y números...

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Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires S e c r e t a r a d e E d u c a c i nDireccin General de PlaneamientoD i r e c c i n d e C u r r c u l a

MatemticaFracciones

y nmeros decimales

Apuntes para la enseanza

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mate docente 6g [Converted].pdf 17/08/2007 12:28:23 p.m.

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Matemtica

Fracciones y nmeros decimales. 6 gradoApuntes para la enseanza

Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires . Ministerio de Educacin.Direccin General de Planeamiento . Direccin de Currcula G

.C.B.A.

ISBN 987-549-283-3 Gobierno de la Ciudad de Buenos AiresMinisterio de EducacinDireccin General de PlaneamientoDireccin de Currcula. 2005Hecho el depsito que marca la Ley n 11.723

Paseo Coln 255. 9 piso. CPAc1063aco. Buenos AiresCorreo electrnico: [email protected]

Permitida la transcripcin parcial de los textos incluidos en esta obra, hasta 1.000 palabras,segn Ley 11.723, art. 10, colocando el apartado consultado entre comillas y citando la fuente;si ste excediera la extensin mencionada deber solicitarse autorizacin a la Direccin deCurrcula. Distribucin gratuita. Prohibida su venta.

Matemtica, fracciones y nmeros decimales 6to grado : apuntes para la enseanza / dirigido por Cecilia Parra - 1a ed. - Buenos Aires : Secretara de Educacin - Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, 2005.56 p. ; 28x22 cm. (Plan plurianual para el mejoramiento de la enseanza 2004-2007)

ISBN 987-549-283-3

1. Educacin-Planes de Estudio I. Parra, Cecilia, dir.CDD 372.011

Tapa: Laberinto de luz en la recova, de Miguel ngel Vidal, pintura acrlica, 1979 (fragmento).

G.C.B.A.

GOBIERNO DE LA CIUDAD DE BUENOS AIRES

Jefe de Gobierno

ANBAL IBARRA

Vicejefe de Gobierno

JORGE TELERMAN

Secretaria de Educacin

ROXANA PERAZZA

Subsecretaria de Educacin

FLAVIA TERIGI

Directora General

de Educacin

HAYDE CHIOCCHIO DE CAFFARENA

Directora General

de Planeamiento

FLORENCIA FINNEGAN

Directora General

de Educacin Superior

GRACIELA MORGADE

Directora

de Currcula

CECILIA PARRA

Director de rea

de Educacin Primaria

CARLOS PRADO

G.C.B.A.

"Plan Plurianual para el Mejoramiento de la Enseanza 2004-2007"

Direccin de CurrculaDireccin: Cecilia Parra.Coordinacin de rea de Educacin Primaria: Susana Wolman.Colaboracin en rea de Educacin Primaria: Adriana Casamajor.Coordinacin del rea de Matemtica: Patricia Sadovsky.

MMATEMTICA.. FFRACCIONES Y NMEROS DECIMALES.. 66 GRADO.. AAPUNTES PARA LA ENSEANZACOORDINACIN AUTORAL: PATRICIA SADOVSKY.ELABORACIN DEL MATERIAL: CECILIA LAMELA Y DORA CARRASCO.sobre la base de: Hctor Ponce y Mara Emilia Quaranta. Matemtica. Grado de Aceleracin 4- 7.Material para el alumno. Material para el docente. 2003/2004. (Programa de reorganizacin de lastrayectorias escolares de los alumnos con sobreedad en el nivel primario de la Ciudad de Buenos Aires,Proyecto conformacin de grados de aceleracin.)

EDICIN A CARGO DE LA DIRECCIN DE CURRCULA.

Coordinacin editorial: Virginia Piera. Coordinacin grfica: Patricia Leguizamn.Diseo grfico y supervisin de edicin: Mara Laura Cianciolo, Alejandra Mosconi, Patricia Peralta.Ilustraciones: Andy Crawley. Gustavo Damiani.

Apoyo administrativo y logstico: Gustavo Barja, Olga Loste, Jorge Louit, Miguel ngel Ruiz.

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Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. 6 grado Apuntes para la enseanza 5

Presentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Primera parte: Fracciones

ACTIVIDAD 1. Revisin del trabajo con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

ACTIVIDAD 2. Relacin de orden entre fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ACTIVIDAD 3. Fracciones en la recta numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

ACTIVIDAD 4. Relacin de orden entre fracciones. Otra vuelta . . . . . . . . . . . . . . . . 26

ACTIVIDAD 5. Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

ACTIVIDAD 6. Multiplicacin y divisin de una fraccinpor un nmero natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

ACTIVIDAD 7. Multiplicacin de fracciones en el contextode la proporcionalidad directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Segunda parte: Nmeros decimales

ACTIVIDAD 1. Repasamos cuestiones bsicas de los nmeros decimales . . . . . 38

ACTIVIDAD 2. Valor posicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

ACTIVIDAD 3. Unidades de longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

ACTIVIDAD 4. Comparacin y orden de nmeros decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

ACTIVIDAD 5. Operaciones con nmeros decimales. Suma y resta . . . . . . . . . . . . 48

ACTIVIDAD 6. Cociente decimal de dos nmeros naturales. Expresin decimal de fracciones no decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

ACTIVIDAD 7. Dividir por 10, 100, 1.000 o multiplicar por 0,1; 0,01; 0,001? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

ACTIVIDAD 8. La proporcionalidad directa, la multiplicaciny los nmeros decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

ndice

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La Secretara de Educacin del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires se propo-ne en el marco de su poltica educativa desplegar una serie de acciones paraimpulsar el mejoramiento de la enseanza en el nivel primario. En pos de esepropsito pone en marcha, para el perodo 2004-2007, el "Plan Plurianual parael Mejoramiento de la Enseanza en el Segundo Ciclo del Nivel Primario" en lasescuelas de la Ciudad con los siguientes objetivos generales:

Producir mejoras en la enseanza en el segundo ciclo de la escuela primariacolocando, sucesivamente, reas y ejes dentro de stas como motivo centralde los intercambios y de los esfuerzos compartidos.

Promover debates sobre cules son las condiciones pedaggicas adecuadaspara asegurar los aprendizajes buscados en las reas y los ejes seleccionados.

Construir una visin compartida sobre los aprendizajes centrales que laescuela primaria debe garantizar para todos los alumnos y alumnas, y sobrelas condiciones de enseanza que permiten su logro programacin, modali-dades, recursos, entre otros.

Instar a un trabajo institucional que permita articular un proyecto comn enel que se inserten las responsabilidades de cada docente supervisores, direc-tivos y maestros y cobren sentido las experiencias formativas de los alumnos.

Contribuir en la construccin y la difusin de herramientas conceptuales ymetodolgicas que permitan realizar, para cada rea, el seguimiento y losreajustes necesarios en funcin de la continuidad y la progresin de laenseanza a lo largo del segundo ciclo.

Asimismo, la Secretara de Educacin asume el compromiso de proveerrecursos de enseanza y materiales destinados a maestros y alumnos. Por tanto,se presentan a la comunidad educativa las siguientes publicaciones para el tra-bajo en el aula en las reas de Matemtica y Prcticas del Lenguaje.

Matemtica. Fracciones y nmeros decimales integra un conjunto de docu-mentos destinados a cada grado del segundo ciclo, en los que se aborda el tra-tamiento didctico de los nmeros racionales contemplando el complejo proble-ma de su continuidad y profundizacin a lo largo del ciclo. La serie se compone

Presentacin

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G.C.B.A. Secretara de Educacin Direccin General de Planeamiento Direccin de Currcula8

de Apuntes para la enseanza,* destinados a docentes de 4, 5, 6 y 7 grados, yde Pginas para el alumno. Cada documento de Apuntes para la enseanza estorganizado en actividades que implican una secuencia de trabajo en relacin conun contenido. En cada actividad, los docentes encontrarn una introduccin altema, problemas para los alumnos, su anlisis y otros aportes que contribuyen ala gestin de la clase. En Pginas para el alumno se presentan esos problemas.

La eleccin de nmeros racionales obedece como puede leerse en la"Introduccin" de Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. Apuntes para laenseanza a varias razones: es un campo de contenidos complejos, ocupa unlugar central en la enseanza en segundo ciclo, y la propuesta formulada en elDiseo Curricular para la Escuela Primaria 2004** plantea modificaciones almodo en el que se concibi su tratamiento didctico en la escuela durantemucho tiempo. Por ello, se requieren para su enseanza materiales ms cercanosal trabajo del aula y que puedan constituir un aporte para abordar su articula-cin y evolucin a lo largo del ciclo.

La presentacin de los documentos correspondientes al rea Prcticas delLenguaje tiene por objetivo alentar la lectura de novelas en el segundo ciclo. Laserie se inicia con Robin Hood y El diablo en la botella. Acompaando las nove-las que llegarn a las escuelas, los maestros dispondrn de Orientaciones para eldocente y los nios, de Pginas para el alumno, en los cuales se ofrece informa-cin sobre el tiempo histrico en el que ocurren los hechos narrados en cadanovela, las realidades de las regiones a las que alude el relato, su autor en el casode El diablo en la botella. La propuesta ofrece a los alumnos la oportunidad deenfrentarse simultneamente a un texto narrativo extenso y a diversos textosinformativos artculos de enciclopedia, esquemas con referencias, notas al piey varios epgrafes.

Los documentos son concebidos como recursos disponibles para el equipodocente, que es quien decide su utilizacin. Los materiales de Prcticas delLenguaje se incorporan a la biblioteca de la escuela para facilitar que los docen-tes dispongan de ellos cuando lo prefieran. En el caso de Matemtica, todos losdocentes de segundo ciclo que trabajan esta rea recibirn Apuntes para la ense-anza y podrn solicitar los materiales para entregar a los alumnos.

Las decisiones que los docentes tomen sobre el uso de estos materiales y elanlisis de sus efectos sern insumos para reflexionar acerca de la enseanza.Deseamos reiterar la importancia de que hagan llegar, por los diversos medioshabilitados (reuniones, correo electrnico), todos sus comentarios y sugerenciassobre los materiales. Esto permitir su mejoramiento, a favor de su efectiva uti-lidad en las escuelas y las aulas, y puede representar tambin oportunidades dedilogo en torno a las preocupaciones y los proyectos compartidos.

* En la introduccin de estos documentos se explicitan posibilidades de opcin en cuanto a la solicitud y lasecuenciacin de los materiales para los alumnos, ordenados por complejidad ms que por su determinacinestricta para un grado. Por ejemplo, lo propuesto para 4 puede ser utilizado a inicios de 5 o lo propuestopara 6 extendido a 7 grado.** G.C.B.A., Secretara de Educacin, Subsecretara de Educacin, Direccin General de Planeamiento, Direccinde Currcula. Diseo Curricular para la Escuela Primaria. Primer ciclo de la Escuela Primaria / Educacin GeneralBsica, 2004 y Diseo Curricular para la Escuela Primaria. Segundo ciclo de la Escuela Primaria / EducacinGeneral Bsica, 2004, tomos 1 y 2.G

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Introduccin

1 G.C.B.A., Secretara deEducacin, Direccin Ge-neral de Planeamiento, Di-reccin de Currcula, PreDiseo Curricular para laEducacin General Bsica(Educacin Primaria y Me-dia, segn denominacinvigente), 1999.2 G.C.B.A., Secretara deEducacin, Direccin Ge-neral de Planeamiento, Di-reccin de Currcula, Dise-o Curricular para la Es-cuela Primaria, primero ysegundo ciclo, 2004.

Desde que el Pre Diseo Curricular 1 para el segundo ciclo comenz a difundirse,muchos docentes han planteado la necesidad de contar con materiales ms di-rectamente vinculados al trabajo del aula que los ayuden a interpretar los linea-mientos curriculares. Dichos lineamientos tienen actualmente plena vigencia araz de la aprobacin del Diseo Curricular para la Escuela Primaria,2 primero ysegundo ciclo.

Muchos docentes reconocen que las propuestas de cambio curricular en laCiudad de Buenos Aires apuntan a enriquecer la experiencia educativa de losalumnos, al tiempo que solicitan "mediaciones" entre esas formulaciones y lasprcticas del aula.

Por otro lado, en el marco del Plan Plurianual para el Mejoramiento de la en-seanza en el Segundo Ciclo del Nivel Primario, se ha identificado la dificultadde elaborar proyectos de enseanza que articulen el trabajo matemtico de unao a otro y hagan crecer la complejidad de contenidos que atraviesan el ciclo.

La serie de documentos "Matemtica. Fracciones y nmeros decimales en elsegundo ciclo" responde tanto a la voluntad de desplegar la propuesta del Dise-o Curricular como a la de ofrecer herramientas para abordar la planificacin yel desarrollo de la enseanza en el segundo ciclo en orden a una complejizacincreciente.

Entre las diversas maneras en que se busca fortalecer a los equipos docen-tes, se opt, en este caso, por la elaboracin de Apuntes para la enseanza conpropuestas analizadas y acompaarlas con Pginas para el alumno en las que seincluyen los problemas seleccionados.

Al presentar estas secuencias, la intencin es contribuir a mostrar cmopueden los maestros hacer evolucionar la complejidad de los contenidos que seproponen, ayudando a los alumnos a tejer una historia en la que puedan trans-formar su pasado escolar lo ya realizado en una referencia para abordarnuevas cuestiones, al tiempo que cobran conciencia de que progresan y de queson capaces de enfrentar cada vez asuntos ms difciles (esto antes no lo sabay ahora lo s).

Disponer de secuencias de enseanza en las que se encara tanto el tratamien-to didctico de uno de los sentidos de un concepto para los distintos grados delciclo como de distintos sentidos de un concepto para un mismo grado, puedeconstituir un aporte para enfrentar el complejo problema de la articulacin y laevolucin de los contenidos a lo largo del ciclo.G.C.B.A.


Por otro lado, los docentes encontrarn en estos materiales situaciones derepaso en las que se invita a los alumnos a revisar un tramo del recorrido esco-lar, proponindoles una reflexin sobre el mismo que ponga a punto su entra-da en un nuevo tema. Tambin son numerosas las apelaciones a hacer sntesis ya plantear conclusiones a propsito de un conjunto de problemas. Tal vez al prin-cipio estas conclusiones estn muy contextualizadas en los problemas que lesdieron origen, ser tarea del maestro hacer que se les atribuya un carcter cadavez ms general. El alumno debe intervenir en el trabajo de articulacin de lasdiferentes zonas del estudio de los nmeros racionales; para que pueda hacerlo,el maestro debe convocarlo explcitamente a esa tarea y contribuir con l en surealizacin.

El material est organizado en actividades, cada una es una secuencia de tra-bajo que apunta a un contenido y que incluye varios problemas. En general se pre-senta una introduccin sobre los asuntos en juego en la actividad, se proponen pro-blemas para los alumnos y se efecta un anlisis de los mismos donde se ofrecenelementos para la gestin del docente. Muchas veces se sugieren, como parte delanlisis de las secuencias, cuestiones nuevas para plantear a los alumnos. Es decir,el trabajo realizado por los alumnos en un cierto tramo ofrece un contexto paraabordar cuestiones ms generales que no tendran sentido si dichas actividades nose llevaran a cabo. Tomar como objeto de trabajo una serie de problemas ya rea-lizados, analizarlos y hacerse preguntas al respecto da lugar a aprendizajes diferen-tes de los que estn en juego cuando el alumno resuelve un problema puntual.

A continuacin se informa sobre la disponibilidad de los materiales para lue-go fundamentar por qu se ha elegido el campo de los nmeros racionales parainiciar esta modalidad de produccin.

Matemtica. Fracciones y nmeros decimales se compone de Apuntes pa-ra la enseanza (4, 5, 6 y 7 grado) destinado a los docentes y Pginas para elalumno (4, 5 y 6 grado). Apuntes para la enseanza se entrega a los maestrosde acuerdo con el grado en que se desempean; una vez que el equipo docentedecide desarrollar las propuestas, solicita la cantidad de ejemplares necesariosde Pginas para el alumno. Este material, que se presenta con el formato de ho-ja de carpeta, ser entregado a cada alumno para que trabaje en l.

El docente habr advertido que los materiales estn organizados por grado,sin embargo no necesariamente deben ser empleados segn dicha corresponden-cia. Se sugiere que el equipo docente analice todo el material y decida su utili-zacin ya sea tal como se presenta o bien segn sus criterios y la historia de en-seanza que se viene desplegando. En este sentido, pueden elegir materiales co-rrespondientes a dos aos para ser empleados por el mismo grupo de alumnos.Por ejemplo, para los alumnos de 6 grado se podrn solicitar tanto Pginas pa-ra el alumno correspondientes a 5 como a 6 grado; o bien, las actividades quese presentan en Pginas para el alumno correspondiente a 6 pueden ser inclui-das o retomadas en 7. Es decir, no habr inconveniente en que los maestros so-liciten materiales correspondientes a dos grados para sus alumnos.

En Apuntes para la enseanza, 7 grado, se incluyen actividades a realizarpor los alumnos. Sin embargo, stas no han sido impresas en forma independien-te sino que constituyen opciones posibles cuya inclusin depende de la planifi-cacin y del balance que los docentes de 7 hagan entre los muchos temas im-portantes del ao.G

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POR QU UNA PROPUESTA SOBRE NMEROS RACIONALES?

En primer lugar, se trata de un campo de contenidos complejo, cuya elaboracincomienza en cuarto grado y contina ms all de la escuela primaria, que supo-ne rupturas importantes con las prcticas ms familiares que los alumnos des-plegaron a propsito de los nmeros naturales.

Como se explicita en el Diseo Curricular para la Escuela Primaria, segundociclo:

El estudio de los nmeros racionales escritos en forma decimal o fracciona-ria ocupa un lugar central en los aprendizajes del segundo ciclo. Se trata tantopara los nios como para los maestros de un trabajo exigente que deber desem-bocar en un cambio fundamental con respecto a la representacin de nmero quetienen los nios hasta el momento. Efectivamente, el funcionamiento de los n-meros racionales supone una ruptura esencial con relacin a los conocimientosacerca de los nmeros naturales: para representar un nmero (la fraccin) se uti-lizan dos nmeros naturales, la multiplicacin no puede salvo cuando se multi-plica un natural por una fraccin ser interpretada como una adicin reiterada, enmuchos casos el producto de dos nmeros es menor que cada uno de los factores,el resultado de una divisin puede ser mayor que el dividendo, los nmeros ya notienen siguiente...

Por otra parte, como ocurre con cualquier concepto matemtico, usos dife-rentes muestran aspectos diferentes.3 Un nmero racional puede:

ser el resultado de un reparto y quedar, en consecuencia, ligado al cocien-te entre naturales;

ser el resultado de una medicin y, por tanto, remitirnos a establecer unarelacin con la unidad;

expresar una constante de proporcionalidad; en particular esa constantepuede tener un significado preciso en funcin del contexto (escala, porcentaje, ve-locidad, densidad...);

ser la manera de indicar la relacin entre las partes que forman un todo; etctera.

Se considera entonces necesario contribuir con los docentes en la organiza-cin de esta complejidad, proponiendo un desarrollo posible.

En segundo lugar, el Diseo Curricular plantea modificaciones al modo enque por aos se concibi el tratamiento de los nmeros racionales en la escue-la. A qu tipo de cambios respecto de lo tradicionalmente instituido nos esta-mos refiriendo?

Al organizar los contenidos por tipos de problemas que abarcan distintossentidos del concepto (reparto, medicin, proporcionalidad, etc.), el Diseo Cu-rricular propone que se aborden en simultneo asuntos que usualmente apare-can segmentados en el tiempo o, incluso, distribuidos en aos diferentes de laescolaridad.

Por ejemplo, se inicia el estudio de los nmeros racionales (las fracciones)a partir del concepto de divisin entera, proponiendo que los alumnos sigan

3 Para ampliar los diferen-tes sentidos de las fraccio-nes, vase Matemtica,Documento de trabajo n 4,Actualizacin curricular,G.C.B.A., Secretara de Edu-cacin, Direccin Generalde Planeamiento, Direccinde Currculum, 1997.G

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repartiendo los restos de una divisin y cuantifiquen dicho reparto. Al dejarabierta la posibilidad de que el reparto se realice de distintas maneras, muchosalumnos fraccionan lo ya fraccionado y luego enfrentan el problema de cuanti-ficar esa accin. Adems, los diversos modos de hacer los repartos que surgen enla clase, dan sentido a plantear la necesidad de establecer la equivalencia entrelos nmeros que representan esos repartos. Fraccin de fraccin y equivalenciaaparecen entonces de entrada, aunque esos asuntos no se traten de manera for-mal sino en el contexto en el que emergen. De modo que podramos decir: queel problema de hacer repartos y establecer su equivalencia problema que, co-mo antes se seal, se propone para abordar el estudio de las fracciones ponejuntos los contenidos de divisin entera, fraccin, fraccin de fraccin, equiva-lencia y orden, al tiempo que el mismo problema ofrece un contexto que da pis-tas para que los alumnos puedan tratarlos. En este ltimo sentido, no diramos,por ejemplo, que la nocin fraccin de fraccin que surge de esta manera esexactamente la misma que la que se trata cuando el tema se propone aislada-mente. Aclaremos el alcance de lo que sealamos: de es, en cualquiercontexto, ; lo que estamos subrayando es que el modo en que se plantea lanecesidad de realizar dicha operacin a partir de qu problemas, conociendo qucuestiones otorgar diferentes sentidos a la misma, incluyendo en la idea desentido los elementos que tienen los alumnos para resolverla. Por otro lado, aun-que del problema del reparto equitativo surja la nocin de fraccin de fraccin,sta deber ser retomada en otros contextos, retrabajada, descontextualizada yformalizada. Esto demandar, sin duda, mucho tiempo: como todos sabemos, lasnociones no se aprenden de una vez y para siempre sino que necesitan ser trata-das una y otra vez en distintos mbitos y estableciendo relaciones entre ellas.

Sera legtimo preguntarse muchos maestros lo preguntan: por qucomplicar las cosas, si el trabajo paso a paso da resultado? La pregunta remi-te nuevamente a la cuestin del sentido que estamos atribuyendo a la matem-tica en la escuela: desde nuestro punto vista, las nociones que estuvimos men-cionando (fraccin de fraccin, equivalencia, reparto equitativo) estn imbrica-das unas con otras; por eso, tratarlas juntas en un contexto particular permitearrancar el estudio de las fracciones con un conjunto ms amplio y ms slidode relaciones que se irn retomando con el tiempo. Tratar cada una de estas no-ciones de manera aislada puede ser en el momento ms fcil para los alumnos,pero, al ser tambin ms superficial, se torna menos duradera. Menos durade-ra porque olvidan fcilmente aquello que no aparece entramado en una organi-zacin donde las distintas nociones que componen un campo de conceptos serelacionan unas con otras. Detrs de la idea de lo fcil y lo difcil hay cues-tiones importantes para discutir respecto de la experiencia formativa que se pre-tende impulsar.

Sintetizando: al organizar el trabajo sobre los nmeros racionales tomandocomo criterio los mbitos de funcionamiento del concepto (reparto, medicin,etc.), se modifica el orden de presentacin que siempre tuvieron las nociones queconforman el concepto. Aprovechemos para sealar que el paso del tiempo tor-na naturales ciertos ordenamientos de los contenidos escolares que en reali-dad fueron producto de decisiones que respondan a cierto proyecto educativo.Cuando se revisa el proyecto, lo natural es revisar tambin los rdenes y relacio-nes entre los contenidos.

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Otro asunto que plantea el Diseo Curricular respecto del tratamiento delos nmeros racionales y que se intenta plasmar en esta serie se refiere alpapel que se le otorga a las relaciones de proporcionalidad como contexto enla elaboracin de criterios para operar con fracciones y decimales. Efectiva-mente, en las Pginas para el alumno de sexto grado que integran esta seriese presentan situaciones de proporcionalidad directa donde hay que operarcon fracciones y decimales antes de haber formalizado y sistematizado los al-goritmos correspondientes a dichas operaciones. La idea es que los alumnosresuelvan esas situaciones usando a veces de manera implcita las propie-dades de la proporcionalidad y que, una vez resueltas, puedan analizar lo he-cho y tomar conciencia de que en dicha resolucin estn involucrados clcu-los con fracciones y decimales. Disponer del resultado de un clculo sin co-nocer el algoritmo obliga a pensar cmo debe funcionar el algoritmo para ob-tener un resultado que ya se conoce. En algn sentido, se est invitando al si-guiente mecanismo productor de conocimiento: si este problema involucra elclculo x y yo ya resolv el problema y s que el resultado es , aho-ra me las tengo que arreglar para entender cmo funciona la multiplicacinde fracciones para que x sea . Obviamente no estamos esperan-do que los nios repitan frases de este tipo, s queremos comunicar que esemecanismo est presente en el tratamiento de las operaciones multiplicativascon fracciones y decimales; tenerlo en cuenta conlleva el doble propsito:ofrecer a los alumnos un camino para que elaboren estrategias y operen; y,de manera ms transversal, mostrar un mecanismo a travs del cual se pro-duce conocimiento matemtico.

En tercer lugar, otra razn por las que se proponen materiales sobre los n-meros racionales: quisimos mostrar la potencia de este contenido para poner enjuego aspectos del trabajo matemtico a los que les atribuimos un alto nivel for-mativo. Formular leyes para comparar nmeros, establecer la verdad o la false-dad de enunciados, analizar la equivalencia de expresiones numricas sin apelaral clculo efectivo, comparar diferentes procedimientos realizados por otros,delimitar el alcance de diferentes propiedades (esta regla vale en tales casos)son tareas que, al ubicar al alumno en un plano de reflexin sobre el trabajo lle-vado a cabo, le permiten comprender aspectos de la organizacin terica de ladisciplina, le posibilitan acceder a las razones por las cuales algo funciona de unacierta manera. Lograr que los alumnos adquieran cierto nivel de fundamentacinpara los conceptos y propiedades con los que tratan, es un propsito de la edu-cacin matemtica que la escuela tiene que brindar.

CARACTERSTICAS DE LAS PROPUESTAS

Las secuencias que se presentan no estn en general pensadas para que losalumnos resuelvan de manera inmediata la tarea que se les propone. S se espe-ra -cada vez- que puedan empezar a abordar, explorar, ensayar. En algunos ca-sos, podrn arribar a conclusiones de manera bastante autnoma y en otros re-querirn de la ayuda del docente. Alentamos la tarea de exploracin como un

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modo de formar a un alumno autnomo, que acepta el desafo intelectual, queelabora criterios para validar su propio trabajo.

A propsito de algunos de los problemas, es probable que los alumnos evi-dencien cierta dificultad para entender con precisin qu es lo que se les pide.Puede ser que el docente interprete que el alumno no comprende la consigna.Sin embargo, la falta de comprensin de la consigna se vincula en general conel hecho de que la tarea en danza es conceptualmente nueva; por eso, entenderlo que se pide supone para los alumnos ampliar su perspectiva respecto de losconceptos involucrados en el problema. En esos casos seguramente sern nece-sarias explicaciones del docente que completen la formulacin escrita del pro-blema. Estas explicaciones son un modo de empezar a comunicar las nuevasideas que estn en juego.

Se suele atribuir la falta de comprensin de las consignas a un tema extramatemtico (ms ligado al rea de Prcticas del Lenguaje). Sin embargo, estafalta de comprensin es, en general, matemtica: los alumnos no entiendenqu hay que hacer porque todava no conciben claramente en qu consiste la ta-rea en cuestin. Comprenderlo es parte del aprendizaje.

Mucho se ha discutido si el docente debe o no intervenir en la tarea que rea-liza el alumno. Es claro que el docente debe ayudar al alumno que se encuentrabloqueado eso hace a la definicin del trabajo docente. Tal vez sea bueno ana-lizar que entre decir cmo es y no decir nada hay una gama importante deintervenciones que podran dar pistas a los alumnos para seguir sosteniendo sutarea. Conocer diferentes modos de abordar la tarea puede ayudar al docente aelaborar posibles intervenciones. sa es la razn por la cual, al analizar las se-cuencias propuestas en Apuntes para la enseanza, se incluyen posibles estrate-gias de los alumnos. La discusin de algunas de estas estrategias con el conjun-to de la clase podr enriquecer el contenido que se est tratando, aunque lasmismas no hayan sido propuestas por los nios.

Lograr que los alumnos entren en un trabajo matemtico ms profundoms enriquecedor, pero tambin ms difcil no es tarea de un da, es produc-to de una historia que se va construyendo lentamente en la clase. Los alumnosdeben sentir que se confa en ellos, que tienen permiso para equivocarse, que supalabra es tomada en cuenta. A la vez deben aprender: a pedir ayuda identifi-cando de la manera ms precisa posible la dificultad que tienen y no slo dicien-do no me sale, a respetar la opinin de los otros, a sostener un debate... Elmaestro juega un rol fundamental en estos aprendizajes.

A diferencia de lo que suele pensarse, la experiencia nos muestra que mu-chos alumnos se posicionan mejor frente a un problema desafiante que frente auna tarea fcil. Lograr que el alumno experimente el placer de dominar lo queen un principio se mostraba incomprensible, ayuda a que construya una imagenvalorizada de s mismo. Obviamente, esto es bueno para l, pero tambin es al-tamente satisfactorio para el docente.

Es nuestro deseo que en alguna medida estos Apuntes para la enseanza, ytambin las Pginas para el alumno, contribuyan a que el docente pueda enfren-tar la difcil tarea de ensear, gratificndose con el despliegue de una prcticams rica y ms plena.

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PRIMERA PARTE: FRACCIONES

A continuacin se presenta una serie de problemas con el propsito de que losalumnos recuerden ideas vinculadas al concepto de fraccin trabajadas en 4 y5 grado.

ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2, 3 Y 4

A travs de estos problemas se pretende repasar la definicin de fraccin que losalumnos han trabajado en aos anteriores.

El problema 1 confronta a los alumnos con la necesidad de comparar la partea evaluar con el entero. Como no se puede cubrir el rectngulo con copias de la par-te sombreada, ser necesario buscar un intermediario para establecer la medidade la parte sombreada. En este caso, el triangulito de la esquina puede resultar deutilidad ya que entra tres veces en la parte sombreada y ocho en el rectngulo to-tal; esto permite establecer que la parte sombreada es del rectngulo. En la dis-cusin colectiva puede sealarse que la estrategia de apelar a una parte del enteropara evaluar otra, resultar til en los casos en los que se hace compleja la relacindirecta entre esta otra parte y el entero.

Revisin del trabajo con fracciones

Acti

vida

d

1

PROBLEMAS

1) Determinar qu parte del rea del rectngulorepresenta la regin sombreada.

2) En cul de los cuadrados se pint ms super-ficie? Ten en cuenta que los cuadrados soniguales.

3) En cada uno de los siguientes casos, el dibujorepresenta una fraccin de la unidad. Para ca-da caso, tu tarea consiste en dibujar la unidad.

Representa de la unidad.



4) Si el rea de la figura es de una cierta unidad,

dibuj una figura de rea igual a la unidad. Hayun nico dibujo posible?

REVISIN DEL TRABAJO CON FRACCIONES

27

65

82

35

38

G.C.B.A.


El problema 2 requiere comparar dos zonas. En este caso la vista pareceengaar, ya que las dos reas que se comparan son iguales aunque una pare-ce mayor que la otra. Establecer la igualdad de las reas requerir analizarque el tringulo del medio equivale a los dos de los costados.

Reconstruir la unidad, a partir de conocer slo una fraccin de ella, re-quiere diferentes relaciones en funcin de los nmeros especficos del proble-ma. As, en el primer caso del problema 3, los alumnos pueden intentar jun-tar varios dibujos como los dados, si bien esto no resultar suficiente porque

+ + = . Si agregan otro dibujo, se pasan. Este mismo inten-to puede hacer observable que es clave conseguir que es la mitad de .Esto plantea otra cuestin: cmo partir el grfico para representar ? Caeren la cuenta de que puede accederse a la solucin de varias formas posiblesser una oportunidad para diferenciar forma de medida.

El segundo grfico representa una fraccin mayor que 1, razn por la cualel problema es algo ms complejo que el anterior. Pero, justamente, la reso-lucin del primer problema puede constituirse en un punto de apoyo: si se di-vide el rectngulo en 6, se obtiene , fraccin que permite reconstruir c-modamente el entero. Es usual que, frente a un problema como ste, algunosalumnos tiendan a dividir el rectngulo en cinco partes (en lugar de seis) porel hecho de que se trata de quintos. Ser productivo proponer esta discu-sin al conjunto: por qu si se trata de quintos conviene dividir el rectn-gulo en seis partes iguales?.

Al analizar el tercer grfico, los alumnos debern darse cuenta de que es equivalente a 4, con lo cual si toda la circunferencia representa 4 uni-

dades, la cuarta parte de la circunferencia equivale a 1. Resulta raro que ha-ya que dividir en partes para hallar la unidad. Tal vez sea bueno explicitar es-ta rareza para habilitar con pleno derecho el procedimiento.

Para analizar el problema 4, en el cual a partir de una figura que repre-senta de la unidad se la busca recomponer, habr que trabajar dos ideas:a) es necesario dividir en tres la figura para obtener quintos del total; y b) ha-br que considerar que no cualquier divisin en tres partes garantiza terciossino que se debe justificar de alguna forma que esas partes son iguales. Unamanera posible de abordar el problema sera dividiendo el hexgono en 6tringulos iguales con base en cada uno de los lados del hexgono y vrticeen el centro de la figura.

De este modo, dos tringulos representaran de la figura y, por tan-to, de la unidad que se debe reconstruir.

PROBLEMA

5) Resolv los siguientes problemas:

a) De un ramo de 12 flores, son rosas.Cuntas flores son rosas?

b) Juan le regala la mitad de sus 68 figuritas aun compaero. Cuntas figuritas le regala?

c) Joaqun perdi de sus 30 figuritas.Cuntas figuritas perdi?


27

27

27

67 2

717

17

15

82

35

15

13

14 2

3

G.C.B.A.


ANLISIS DEL PROBLEMA 5

En este tem se propone una serie de situaciones en las que es necesario ave-riguar la fraccin de una coleccin, como en el caso de las situaciones a), b),c), d), o recuperar el entero conociendo la cantidad que corresponde a unaparte. Estas situaciones son similares a las que los alumnos enfrentaron alabordar el problema 3, si bien ahora se trata con cantidades discretas, lo cuallas hace algo ms complejas. Esta mayor complejidad se debe a la necesidadde coordinar dos unidades simultneamente: un objeto de la coleccin y lacoleccin entera.

Las primeras situaciones son ms fciles y tienen la intencin de que losalumnos entren en calor con el tema.

Averiguar la cantidad total conociendo una fraccin de la misma es unatarea un poco ms compleja y requerir que se revise con mayor profundidadel concepto de fraccin. As, por ejemplo, en el problema f) si se sabe que 32alumnos representan de la cantidad total, podran pensar que para ave-riguar es necesario hacer 32 : 2. Y como 16 alumnos representan deltotal, para averiguar el entero, o sea, los , ser necesario hacer 16 x 5, quees igual a 80. En el espacio de la clase, resultar interesante comparar esteproblema con el problema 3 en el que los alumnos resolvieron una tarea si-milar usando magnitudes continuas.

En la ltima situacin de esta serie de problemas, en la que se proponeaveriguar qu parte es 27 de 54, pueden surgir simultneamente las fraccio-nes y .

Tal vez sea un buen momento para discutir otros ejemplos y llegar a laconclusin general de que si se toman aa objetos de una coleccin, cuyo totales de bb objetos, se tiene de la coleccin. Seguramente esto deber anali-zarse con varios ejemplos y el docente evaluar la pertinencia de proponer ono la notacin con letras. Si decidiera hacerlo, deber asegurarse de que losalumnos puedan establecer puentes entre la notacin con letras y los ejem-plos numricos.

d) En el ltimo examen, de los 40 alum-nos obtuvo un puntaje superior a 6. Qucantidad de alumnos tuvo esas notas?

e) Martn decidi regalar a su primo desus bolitas. Si le dio 23 bolitas a su primo,cuntas tena?

f) de los alumnos forman parte del equipode ftbol. Hay 32 alumnos en el equipo deftbol, cuntos alumnos hay en total?

g) Mara peg 27 figuritas en su lbum. Si ellbum completo tiene 54 figuritas, quparte del lbum complet?

251

515

2754

12

55

ab

34

14

25

G.C.B.A.


PROBLEMAS

6) Para cumplir con los pedidos del da, una con-fitera calcula que necesita usar 4 kg de hari-na. En el estante guardan 2 paquetes de

kg, 2 paquetes de kg y 2 de kg.Cmo podras averiguar mediante un clculomental si la harina que tienen es suficiente?

7) Respond las siguientes preguntas:

a) Cmo le explicaras a otro chico qu es ? Y ?

b) Qu es mayor ? Por qu?

c) Cuntos se necesitan para formar 2?

d) Cunto es la mitad de ?

e) Cunto es el doble de ?

8) Complet los espacios en blanco:

a) + .................... = 1

b) + .................... = 2

c) + .................... = 3

d) + .................... = 1

e) + .................... = 2

f) + .................... = 4

g) - .................... = 1

h) - .................... = 2

i) - ..................... = 1

9) Analiz qu numeradores o denominadores po-dran tener cada una de las siguientes fraccionespara que sean menores que 1 y cules podrantener para que sean mayores que 1. Anotejemplos en los casilleros correspondientes:

10) Anot estos nmeros como una sola fraccin:

a) 2 +

b) 5 +

c) 4 +

d) 10 +

e) 11 +

f) 8 +

11) Anot estas fracciones como sumas de un n-mero entero ms una fraccin menor que 1:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

12) Indic, en cada caso, cul de las fracciones esla ms cercana a :

a) ; ;

b) ;

c) ;

13) Decid, sin averiguar el resultado, si es posible que

a) 3 - d un resultado menor que 2

b) - sea menor que 2

c) + sea menor que 1

d) + sea mayor que 1

e) + sea mayor que

f) + sea mayor que 2

Para cada caso, pens cmo explicar las razonesde tu respuesta.

5........

3........

........ 98


34

12

14

19

110

343434

Fraccin a completar

Fracciones menores que 1

Fracciones mayores que 1

34

13

15

15

15

18

575757759494

23354637

410

85176

203229

294658

623

581010210

115100

12

34

2323

23

45

13

15

14

14

52

75210210

25251719

2123

12

14

........ 4

........ 711

........

134........

25........

G.C.B.A.


ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Y 13

El problema 6 propone sumar mentalmente diferentes cantidades. Una forma depensar esta suma sera agrupar primero cada uno de los paquetes de kg conlos paquetes de kg. Como hay 2 paquetes de cada una de las clases se obtie-nen 2 kg. Como, adems, hay tambin 2 paquetes de kg se forman 3 kg.

Otra forma de pensarlo podra ser descomponer los paquetes de kg en kg + kg, y de esa manera asociar cada uno de los cuartos con los otros

paquetes de kg para tener kg.As quedaran en total 6 paquetes de kg. Como cada 2 paquetes de

kg se obtiene 1 kg, hay en total 3 kg. La intencin es que empiecen acircular relaciones y resultados ya estudiados cuya disponibilidad ser un pun-to de apoyo para avanzar.

El problema 7 apunta a recuperar conceptos vistos en aos anteriores. Seesperan argumentos del tipo:

es la fraccin que entra 9 veces en el entero;

es mayor que porque para formar un entero con tercios se ne-cesitan 3 partes iguales y en el caso de los quintos se necesitan 5;

la mitad de es porque necesito 2 veces para tener .

Poner a los alumnos en situacin de explicar a un otro les exige selec-cionar cules son los aspectos que arman una explicacin. Esto no es fcil ytampoco puede ser elaborado por los alumnos en soledad. Es a travs de ladiscusin colectiva y de la intervencin del maestro que se podrn ir estable-ciendo criterios comunes respecto de qu es explicar.

Notemos que se pide una explicacin descontextualizada. Aunque losalumnos puedan apelar a diferentes contextos para proponer sus explicacio-nes, la intencin de la tarea es promover la idea de que las fracciones son n-meros sobre los que se pueden establecer relaciones de manera independien-te de los contextos particulares. Es ste tambin el objetivo de los problemassiguientes.

El problema 9 ofrece la posibilidad de recuperar una regla seguramente yaestablecida: se espera que los alumnos se den cuenta de que, si el denomina-dor es menor que el numerador, la fraccin ser mayor que 1. Los alumnos de-bern, adems, ocuparse de la cantidad de soluciones posibles: cuando se tra-ta de completar el denominador, para formar una fraccin mayor que 1, haytantas posibilidades como nmeros (naturales) menores que el numerador. Pa-ra formar una fraccin menor que 1, el denominador puede ser cualquier n-mero mayor que el numerador. Por tanto, hay infinitas soluciones posibles.

Anlogamente, se podr analizar qu sucede cuando se trata de completarel numerador: existen infinitas soluciones para escribir fracciones mayores que1 y una cantidad finita tantas como nmeros menores que el denominadorpara escribir fracciones menores que 1.

El problema10 retoma la posibilidad de expresar un nmero natural comouna fraccin de cualquier denominador. Usando esa idea, 4 + podra pen-sarse as:

34

14 1

2 341

2 14

12 1

212

1913

15

15

15

110

110

14

35G

.C.B.A.


como un entero son , esta expresin es equivalente a + + + + , o sea, .

Pero tambin podran sistematizar que si 1 entero es igual a , en 4 enteros hay 4 veces ; 4 x es igual a .

Si a esto se le agregan los restantes, se obtiene la fraccin .

El problema 11 supone ubicar en un primer paso la fraccin entre 2 enteros obien pensar cul es la mayor cantidad de enteros que se pueden formar, ya que es-to garantizar que la fraccin restante sea menor que 1.

En el caso de , por ejemplo, se podra analizar que forman 1 entero y forman 2 enteros; por tanto, 1 es la mayor cantidad de enteros que se puede

formar. Para ello, se emplean 5 de los ; en consecuencia, = 1 + .El problema 13 ubica a los alumnos en posicin de analizar la expresin para

establecer el valor de verdad de una proposicin sin hacer el clculo. Notemos quecuando tienen que hacer un clculo se debe aplicar un procedimiento ya identifica-do. En cambio, en este caso los alumnos deben decidir por s mismos qu relacionesestablecer para obtener una conclusin. As, por ejemplo, para el tem a) se esperaque analicen que, como es menor que 1, si a 3 se le resta , el resultado se-r mayor que 2, ya que para obtener un resultado menor que 2 sera necesario res-tar a 3 una fraccin mayor que un entero.

Es posible que los alumnos no tengan mucha prctica en la elaboracin deesta clase de razonamientos. Para que el problema se constituya verdaderamen-te en una oportunidad de producir este tipo de relaciones, el maestro tendr quefavorecer la circulacin en la clase de las distintas propuestas de los alumnos,someterlas a la discusin de todos e intervenir l mismo proponiendo contrae-jemplos para las relaciones errneas, sugiriendo ideas o preguntas, mostrandoeventualmente cmo piensa l algunos de los casos. La potencia de este ejerci-cio radica en la posibilidad de hacer anlisis similares al descripto y explicitar es-tos anlisis como lo propone la segunda parte del ejercicio.

El total de los problemas propuestos hasta ac se concibe como un modo dedifundir en la clase muchas ideas que los alumnos han tratado en aos anteriores.Sin embargo, no es cuestin solamente de recordar lo que los alumnos ya saban.Volver a revisar estos conceptos supone tambin hacer nuevas relaciones, volverms densa la trama de cuestiones a las que estos conceptos pueden dar lugar.

Al finalizar la actividad se pueden anotar colectivamente los aspectos trabajados:

fraccin de una coleccin, obtencin del entero conociendo una fraccin de ste, fracciones mayores y menores que 1, ubicacin de una fraccin entre dos enteros, expresin de un nmero entero como una fraccin, estimacin de resultados de sumas y restas con fracciones.

55

55

85

85

85

105

55

55

55

55

55

55

55

35

35

35

235

205

235

23

23

G.C.B.A.


Con esta actividad se propicia el surgimiento de estrategias para ordenar una se-rie de fracciones, ubicar las fracciones entre enteros y, por ltimo, interpolar unafraccin entre dos fracciones dadas.

ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2, 3, 4 Y 5

Los problemas 1 y 2 en los que la cuestin es ubicar fracciones entre dos ente-ros, pueden ser resueltos por los alumnos si descomponen la fraccin como la su-ma de fracciones equivalentes a nmeros enteros ms la fraccin restante. Estose apoya en algunos de los problemas de la actividad 1.

Tomemos la cuestin de ubicar . Este nmero puede ser pensado como + + ; o sea, como 2 + ; lo cual autoriza a decir que est entre

2 y 3. A su vez, el anlisis de esta estrategia puede llevar a establecer un proce-

dimiento ms econmico. Por ejemplo, para , cuntas veces entra 4 en 11?Entra 2 veces enteras, para lo cual us 8 de los 11 cuartos en cuestin, res-tando aun . Esto permite expresar ms directamente como suma de

+ . La pregunta cuntas veces entra? se resuelve matemticamente con una di-

visin; en efecto, 11 dividido 4 tiene cociente 2 (los enteros que se pueden formar)y resto 3 (los cuartos que no llegan a formar otro entero). Se ve que este caminoarticula estrategias ms artesanales con el conocido procedimiento de dividir elnumerador por el denominador para expresar una fraccin como nmero mixto.

PROBLEMAS

1) Estos nmeros se encuentran entre 0 y 3. Ubi-calos en la columna que corresponde., , , , ,1 , , , ,

2) Entre qu nmeros enteros se ubican las si-guientes fracciones?

, , , , , ,

3) Encontr si son posibles las fracciones que acontinuacin se detallan y si no fuera posibleexplic por qu:

una fraccin con denominador 3 entre 0 y 1

una fraccin con denominador 5 entre 4 y 5

una fraccin con numerador 1 entre 0 y 1



4) La siguiente lista de fracciones est ordenada demenor a mayor. Dnde ubicaras ? Y 1 ?

5) Intercal una fraccin entre cada par de nmeros:

1

Relacin de orden entre fracciones

Acti

vida

d

2

RELACIN DE ORDEN ENTRE FRACCIONES

Entre 0 y 1 Entre 1 y 2 Entre 2 y 3

34

12

57

25

35

65

45

47

54

128

158

197

12512

612

34

34

84

34

37

83

45

114

2135

57

95

145

119

177

474

283

337

95

8512

12510

849

114 11

4

114

114

44

44

34

G.C.B.A.


Ser interesante hacer notar a los alumnos que la forma nmero mixto permiteubicar rpidamente la fraccin entre dos enteros. De manera transversal se difun-de una idea potente para el trabajo matemtico actual y futuro: algunas escritu-ras muestran aspectos de un cierto objeto que otras no muestran tan claramente.

El problema 3 tiene sentido si se da un tiempo suficiente de exploracin; nohay chances de que los alumnos respondan de entrada.

Para el primer caso, al buscar fracciones con denominador 3 es probable quelos alumnos vayan ensayando: , , , ... Se espera que reparen enque no vale la pena continuar la serie pues ya es equivalente a 1 y las otrasfracciones con denominador 3 son mayores que 1. Por tanto, hay 2 fraccionescon denominador 3 entre 0 y 1. Se hace notar que el problema pone a los alum-nos en situacin de obtener una conclusin referida a un conjunto infinito: detodas las fracciones con denominador 3, las nicas que estn entre 0 y 1 sony . Esta es la riqueza que se le atribuye al problema: producir un argumentoque permita estar seguro, sin ensayar caso por caso.

Para ubicar fracciones entre 4 y 5 con denominador 5, conviene expresar el4 y el 5 como fracciones con denominador 5, de esta manera 4 es equivalente a

y 5 es equivalente a . No se trata de un problema de respuesta inmedia-ta para los alumnos. Si el docente decide plantearlo en la clase, deber prever untiempo importante de exploracin. A nuestro juicio ese trabajo de exploracin esen s mismo productor de nuevas relaciones y, en ese sentido, el tiempo invertidovale lo que cuesta.

Los dos ltimos temes del problema 3 son bastante ms complejos, el do-cente decidir si los propone o no.

En ninguno de los casos es posible encontrar fracciones con las condicionesque se piden. Por ejemplo, no es posible encontrar fracciones con numerador 2entre 3 y 4, ya que es equivalente a 1 y a medida que se agrandan" los de-nominadores la fraccin se aleja cada vez ms del 1, achicndose.

Nuevamente los alumnos se ven en situacin de producir un argumento queasegure una conclusin sobre un conjunto infinito, ya que no es posible la ex-ploracin caso por caso.

Los problemas 4 y 5 reinvierten todas las estrategias utilizadas acerca de lasequivalencias y la comparacin de fracciones.

En el problema 4, una posible estrategia para ubicar dentro de una serie defracciones ya ordenadas es ir comparndola con cada una de las fracciones. La pri-mera fraccin es menor que un medio ya que 1 entero es equivalente a .La mitad de es igual a y medio quinto ms. Ms exactamente, la mitad de

es igual a + . La fraccin que sigue es . Si se sigue el mismo razo-namiento anterior, la mitad de es + ; por tanto, se ubica entrey .

En el problema 5 probablemente no ser un obstculo intercalar una frac-cin entre y . A la hora de hacerlo, entre y ser necesario bus-car fracciones equivalentes que permitan la interpolacin de fracciones. No se-ra extrao que en una primera instancia los alumnos piensen que el problemano tiene solucin, sobre todo en este caso en el que aun pensando a como

, no es posible hallar una fraccin con denominador 4 entre y . Elmaestro podr plantear la necesidad de seguir trabajando con las equivalenciasanalizando, por ejemplo: cmo es la fraccin en relacin con las fracciones da-

12

12

12

34

34

12

23

205

22

255

13

13

33

33

43

25

24

24

55

55

55

25

252

5110

47

47

37

114

77

35

65

23

58G

.C.B.A.


das. La idea es comenzar a analizar que siempre se pueden intercalar fraccionesentre dos dadas. Entra aqu en juego la nocin de densidad, nocin difcil, de ela-boracin muy lenta y acerca de la cual este problema constituye apenas una pri-mera aproximacin. Ser interesante sealar la diferencia entre esta situacin yla que se plantea en el problema 3: entre dos fracciones dadas, existen infinitasfracciones (caso que se plantea en el problema 5) pero, si se impone alguna otracondicin (como en el problema 3), puede ser que haya una cantidad finita defracciones o ninguna fraccin.

Como se seala en Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. 5 grado. Apun-tes para la enseanza, la representacin de fracciones sobre la recta numricaconstituye un mbito sumamente fructfero para poner en juego las relacionesconstruidas sobre estos nmeros: como recurso para comparar fracciones, paradeterminar entre cules enteros se encuentra una fraccin, para proponer frac-ciones entre otras dadas, para representar sumas y restas. Sin embargo, debemospartir de reconocer la dificultad que supone para los alumnos comprender estarepresentacin. Efectivamente, para representar fracciones sobre un eje debencomprender por qu los nmeros se anotan no slo ordenados sino conservandouna cierta escala que puede variar de una representacin a otra. Tambin sernecesario que comprendan que dicha escala se determina fijando la posicin del0 y del 1 o, ms generalmente, fijando la posicin de dos nmeros cualesquiera.

Resulta tambin difcil para los alumnos la idea de que un punto representa unnmero y ese nmero a la vez representa la distancia al 0 en la escala elegida.

Notemos que en las representaciones iniciales de fracciones, cuando un en-tero est dividido en partes iguales, cada parte representa el mismo nmero:

En cambio, en la recta, el primer tramo es , el segundo y el tercero ; o sea, 1.

Ser importante contrastar estos aspectos con los alumnos como un modo decontribuir a la comprensin de esta forma de representacin.

Por otra parte, tambin es difcil aceptar que un punto (un nmero) admitediferentes escrituras.

Ms adelante se llegar a la generalizacin de que nmeros racionales equi-valentes tienen la misma ubicacin en la recta numrica.

Dada la complejidad que acabamos de sealar, proponemos iniciar el trabajocon rectas numricas partiendo de situaciones que las contextualicen para des-contextualizar posteriormente los conocimientos as construidos.

Fracciones en la recta numrica

Acti

vida

d

3

13

13

13

13

23

33

G.C.B.A.


FRACCIONES EN LA RECTA NUMRICA

12

12

12

16

23

0

1 km 5 km12

175

133

23

36

312

56

3535

M 1 km P

1 km

FRACCIONES EN LA RECTA NUMRICA

C D A B

C D E G F

H

PROBLEMAS

1) El club Luna de Avellaneda organiz una carrera. Pondrn algunos carteles que indiquen a los corre-dores qu parte del recorrido llevan ya realizado. A continuacin, aparece una representacin de la pis-ta y de los lugares donde quieren ubicar los carteles. (Vase Pginas para el alumno, pg 16, Lnea de12 cm, carteles de largada y llegada; los carteles en blanco estn ubicados a , , del reco-rrido.)

a) Complet qu deberan decir los carteles en blanco.

b) Un grupo de chicos pens en hacer una broma a los corredores y poner muchos de esos cartelessobre la pista: dnde ubicaras otros carteles que dijeran ; ; ; ; ?

c) Propon ubicaciones de carteles para que tus compaeros digan qu deberan decir. Intercmbienselos.

2) Se organiz una maratn de 5 km. A continuacin aparece una representacin del recorrido. (Segmen-to de 15 cm de largo, con 0 en el extremo izquierdo y 1 a 3 cm marcados. Adems, algunos pun-tos indicados: A a 6 cm; B a 7,5 cm; C a 2,5 cm; D a 5 cm.)

a) Dnde ubicaras carteles que indiquen: km; km; km?

b) Qu deberan decir los carteles ubicados en los puntos que aparecen sealados?

3) A continuacin aparece una representacin de una ruta que va desde la ciudad A hasta la ciudad B. A lolargo del camino, aparecen carteles indicadores de la distancia del cartel hasta la ciudad A.

Qu deberan decir los carteles ubicados en los puntos sealados?

4) A continuacin una ruta que va desde una ciudad M hasta una ciudad P. (Segmento de 9 cm con M yP en los extremos, y los siguientes puntos marcados: a 1 cm del extremo izquierdo debe decir 1 km;C a 0,5 cm del extremo izquierdo; D a 5 cm; E a 6 cm; F a 8 cm y G a 7,5 cm.)

Dnde iran ubicados los siguientes carteles?

5) Esta es la representacin de otra ruta que parte desde la ciudad H y llega hasta la ciudad Z. En la ru-ta se marcan las distancias (en km) hasta la ciudad H.

a) Dnde habra que marcar la ciudad Z si se encuentra a 4 km de H?

b) Dnde ubicaras un cartel que dijera 2 km?

6 km

12

km 9 km

5 km

23

16

14

13

34

1 km 5 km

A E C D

G.C.B.A.


ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2, 3, 4, 5 Y 6

Como primer punto en el anlisis colectivo de las resoluciones se explicar quela lnea que all aparece es una representacin de la pista hecha a escala, esdecir que la longitud de la pista real y la del dibujo no son las mismas, peroque s se conservan las relaciones entre las distancias de los diferentes carte-les en ambas pistas: la real y la representada.

Ser necesario que los alumnos comprendan qu significa que se conser-van las relaciones. Por ejemplo, si en la realidad una distancia es el doble dela otra, esta relacin debe conservarse en la representacin.

Para completar los carteles en la primera pista, cuestin propuesta en elproblema 1 a) puede establecerse la medida que existe entre la largada y la lle-gada, medida que corresponde al total de la pista, o la medida que correspon-de a la distancia entre la largada y la mitad de la pista. Esto da lugar a dos ra-zonamientos diferentes: la distancia entre la largada y el primer cartel entra 4veces en el total; o sea, que el primer cartel indica de la carrera.

Pero tambin puede establecerse que la distancia entre la largada y el pri-mer cartel entra 2 veces entre la largada y la mitad de la carrera, de maneraque esa distancia es la mitad de , o sea, .

Del mismo modo, la distancia entre la largada y el segundo cartel que sedebe completar entra 3 veces en el total de la recta, por tanto el segundo car-tel debera decir . Pero tambin podra considerarse la distancia entre elcartel que marca y este nuevo cartel. Esta distancia entra 12 veces a lolargo de toda la pista, en consecuencia es . As, el segundo cartel se en-cuentra a + ; es decir, a de la pista que equivale a de ella.

Las relaciones anteriormente expuestas pueden ser un punto de apoyo pa-ra ubicar las fracciones que se proponen en el problema 1 b).

Antes de establecer la ubicacin precisa, ser interesante pedir que los alum-nos la anticipen globalmente. En estas anticipaciones se producen relaciones queayudan a elaborar estrategias para representar la fraccin. Por ejemplo, para ,podrn establecer que est entre y 1, y que est ms cerca de 1 porque slole falta para alcanzarlo. Para determinar la ubicacin, podrn hallar la longi-tud de y luego contar 5 de estas partecitas desde 0 o contar hacia atrs unasola desde 1. A propsito de la discusin sobre la ubicacin de , se podr so-licitar a los alumnos que propongan otras maneras de nombrar ese punto.

En el caso del problema 2, en la discusin colectiva se retomarn las rela-ciones establecidas a propsito del problema 1). El docente podr preguntar por

14

12

14

14

14

12

1121

12412

13

13

56

16

16

3535

6) Esta es la representacin de otra ruta que parte desde la ciudad J y llega hasta la ciudad K. Dndeubicaran el cartel de la ciudad que est a 1 km de J y el cartel que indica la ciudad K que est a3 km de J?

J

6 km5

210

G.C.B.A.


qu, en el problema 1, apareca marcado a los 6 cm y aqu a 1,5 cm delpunto de partida. Deber quedar claro, por un lado, que son representacionesconstruidas a diferente escala y, por otro, que se trata de unidades diferentes(la totalidad del recorrido en el primer caso; un kilmetro en el segundo).

Esta actividad se centra en la produccin de criterios para comparar fraccio-nes. Probablemente en los grados anteriores los alumnos hayan desarrolladoalgunas estrategias, ms o menos generales. Muchas veces las estrategias quese ponen en juego dependen de los nmeros en cuestin. Se propone ahoraavanzar sobre este aspecto, alentando a los alumnos a que encuentren nuevasestrategias.

La discusin sobre la validez de distintos criterios para comparar fraccio-nes es el ltimo punto de la actividad. Se busca promover un trabajo sobre re-glas generales a partir del anlisis de criterios parciales que, en principio, no sepusieron necesariamente en juego con una perspectiva de generalidad. Esta po-sicin en la que los alumnos analizan un tramo de lo realizado para sintetizarloen un conjunto de leyes generales contribuye a que tengan una perspectiva ca-da vez ms general. ste es uno de los aspectos formativos del trabajo matem-tico que se busca.

PROBLEMAS

1) Propon 2 fracciones menores y 2 fraccionesmayores que , y explic cmo llegaste a esaeleccin.

2) Propon 2 fracciones menores que y 2 frac-ciones mayores que .

3) Un ferretero tiene dos frascos con clavos delmismo tipo. En uno de ellos, la etiqueta dice

kg y en el otro la etiqueta dice kg.Qu frasco contiene ms clavos?

4) En los supermercados frecuentemente tienenbolsas de fruta de diferentes pesos. La mamde Nico quera hacer dulce y necesitaba kgde manzanas.Cules de las siguientes bolsas de manzanaspuede comprar Nico seguro de que a su mamle alcanzarn para hacer el dulce?

kilogramos

kilogramos

kilogramos

5) Indic con el signo mayor (>); menor (



A travs de los primeros cuatro problemas se busca promover la produccin decriterios locales, es decir, criterios tiles para esas fracciones pero no necesa-riamente aplicables a cualquier par de fracciones. Esta idea de poner a los alum-nos a analizar cada situacin justamente intenta alentar la produccin de rela-ciones que profundicen su relacin con el tema.

Al pedirles que busquen fracciones mayores y menores que y mayores ymenores que (problemas 1 y 2) pondrn en juego criterios basados en la re-lacin entre el numerador y el denominador, que despus sern tiles para com-parar otros pares de fracciones.

Por ejemplo, una vez establecido que, si el numerador de una fraccin es ma-yor que la mitad del denominador, la fraccin es mayor que , se podr usaresta relacin para comparar otras fracciones con respecto a ; por ejemplo,para comparar y , la primera es mayor que y la segunda es menor,con lo cual es mayor que .

Los alumnos tambin encontrarn en esta actividad los lmites que tienen al-gunos de los criterios usados ya que son tiles en algunos casos y no en otros.Por ejemplo, en el problema 3, es posible comparar con si se establececunto falta en cada caso para el 1: al primer frasco le falta kg para comple-tar el kg y al segundo le falta menos porque le falta de kg. Se establece en-tonces que es mayor que porque est ms cerca de 1.

Sin embargo, este criterio no sera conveniente para comparar fracciones co-mo y , donde comparar lo que les falta para llegar al entero tiene la mis-ma dificultad que comparar las fracciones originales.

En el problema 5 se ponen en juego diferentes criterios: comparar con con 1, establecer cunto falta para 1, simplificar las fracciones para luego com-pararlas, establecer una relacin entre el numerador y el denominador, etc. Estclaro que no todos los alumnos usarn los mismos criterios en cada caso y estojustamente enriquece el problema.

A continuacin, se presentan dos problemas que el docente podra proponerluego de trabajar los anteriormente mencionados con el objetivo de apuntar aconclusiones generales respecto de la comparacin de fracciones.

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4

121

2

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22

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30

78

78

910

910

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18

47

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ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 6 Y 7

El problema 6 invita a la explicitacin de los criterios usados y el problema 7apunta a que los alumnos establezcan su alcance. En la discusin, el docente de-ber tener presente que muchas veces para los alumnos es difcil reconocer unaregla como invlida aunque slo se cumpla para algunos casos particulares.

Una forma de completar este trabajo sera detenerse en los casos que sirvenparcialmente: por ejemplo, considerar entre qu enteros se encuentran las frac-ciones es til cuando las fracciones que se comparan se hallan entre diferentesenteros.

Adems de mostrar contraejemplos, el docente necesitar volver a resaltarque el tamao de una fraccin depende de la relacin entre el numerador y eldenominador y no de considerarlos aisladamente.


PROBLEMAS

6) En los ejercicios anteriores encontraron mu-chos pares de fracciones para comparar.Hagan una lista de reglas que sirvan para com-parar fracciones.

7) Un grupo de chicos anot una serie de reglaspara comparar fracciones. Seal cules te pa-rece que

sirven siempre, sirven parcialmente, no sirven nunca.

En cada caso, explic por qu

RELACIN DE ORDEN ENTRE FRACCIONES. OTRA VUELTA

Les parece que esta reglasirve para comparar

fracciones?

1) Considerar slo entre quenteros se encuentran.

2) Si dos fracciones tienenigual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.

3) Si dos fracciones tienen el mismo numerador, esmayor la que tiene menordenominador.

Siempre Parcial-mente

Nunca

Les parece que esta reglasirve para comparar fracciones?

4) Si las dos fracciones se encuentran entre los mismos enteros, convieneconsiderar a qu distanciaestn del entero o de otrafraccin del entero, como

; etctera.

5) Si una fraccin tiene su numerador mayor que sudenominador, es seguro queser mayor que otra frac-cin que tenga su numerador menor que sudenominador.

6) Para comparar fracciones sepueden buscar fraccionesequivalentes a las que setrata de comparar; o sea,que tengan el mismo denominador, y aplicar laregla 2.

7) Si una fraccin tiene el numerador y el denominador mayores quelos de otra, seguro es mayor.

Siempre Parcial-mente

Nunca

12

14

G.C.B.A.


En esta actividad se propone recuperar las estrategias de clculo vistas en aosanteriores en relacin con la suma y la resta de fracciones.


A partir de la resolucin de estos problemas se espera hacer un recorrido de lasestrategias utilizadas por los alumnos para sumar y restar fracciones y recupe-rar un procedimiento general para sumar y restar fracciones.1 El procedimientopropuesto transforma las fracciones que intervienen en el clculo en fraccionesequivalentes del mismo denominador.

Las relaciones de proporcionalidad directa constituyen un mbito a partir del cual re-pensar aspectos sobre el funcionamiento de las fracciones. En particular brindan uncontexto en el que apoyarse para resolver operaciones de multiplicacin y divisin defracciones por nmeros naturales (y de nmeros naturales por fracciones).

Para abordar estos problemas es conveniente que los alumnos puedan partir dela siguiente idea: en una relacin de proporcionalidad directa se cumple que al doblede una cierta cantidad le corresponde el doble del correspondiente de dicha cantidad,al triple le corresponde el triple y, en general, cuando una de las cantidades se multi-plica o divide por un nmero, la cantidad correspondiente se multiplica o divide por elmismo nmero. Es claro que no se espera esta formulacin por parte de los alumnospero s se requerir que sean capaces de poner en juego estas relaciones.

Los siguientes problemas apuntan a que los alumnos traten la multiplica-cin y la divisin de fracciones por un nmero natural, apoyados en contextosque favorecen la puesta en juego seguramente implcita de propiedades dela proporcionalidad directa.

PROBLEMAS

1) Un corredor se entrena en una pista. l afirmaque en la primera etapa de la carrera recorri

de la pista, y en la segunda y ltima etaparecorri los restantes. Es esto posible?

2) De una jarra que contiene 2 litro de aguallen dos vasos de litro cada uno y un va-so de de litro. Cunta agua qued en lajarra?

3) A Juan le proponen que elija la bolsa de golosi-nas ms pesada. La primera bolsa pesa 3 kgy la segunda pesa kg. Cul penss que ha-br elegido Juan? Cunto pierde si elige mal?

4) Cunto hay que agregar a para obtener?

5) En cunto excede a ?

Multiplicacin y divisin de una fraccin por un nmero natural

Acti

vida

d

6

OPERACIONES CON FRACCIONES

Operaciones con fracciones

Acti

vida

d

5

34 1

4

13

14

12

34

1 Algunas de ellas seencuentran analizadas enMatemtica. Fracciones ynmeros decimales. 5grado. Apuntes para laenseanza.

206

45 7

925

13

G.C.B.A.


ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1 Y 2

Los problemas anteriores ponen en juego la multiplicacin de un nmero natu-ral por una fraccin. Se trata de relaciones de proporcionalidad directa en lasque la constante de proporcionalidad es un nmero fraccionario que se aplicaa un nmero natural (cantidad de porciones para la tabla 1, cantidad de perso-nas para las tablas 2 y 3, y cantidad de pasos para la tabla 4).

La idea es alentar a los alumnos a que primero vayan completando los casille-ros ms fciles. Tomemos, por ejemplo, la tabla 1: para 6 personas (el doble de 3)se necesitar el doble de litro, o sea, litro. El clculo para 2 personas sepuede resolver haciendo la tercera parte de lo que se necesita para 6 personas;es decir, la tercera parte de litro. Tambin se puede establecer la cantidad

PROBLEMAS

1) Complet las siguientes tablas:

Tabla 1

Esta tabla relaciona la cantidad de leche ne-cesaria para la receta de un flan, segn lacantidad de porciones que se desea obtener.Para esta receta se calcula litro de lechepara 3 porciones.

Tabla 2

Esta tabla relaciona la cantidad de personasinvitadas a un asado con la cantidad de carneque habr que comprar. Para el asado se calcula

kg de carne cada 3 personas.

Tabla 3

En otro asado, calculan kg de carne cada3 personas.

Tabla 4

La siguiente tabla relaciona la distancia querecorre un robot de juguete segn la cantidadde pasos que da. El robot da pasos de decentmetro.

2) Dos amigos discuten acerca de la cantidad deachuras necesarias para 6 personas invitadas aun almuerzo sabiendo que se calculan kgcada 4 personas.

El primero piensa lo siguiente:

La mitad de es , por tanto, para 6personas hacen falta + .

El otro piensa as:

La mitad de es y la mitad dees . Eso es lo que necesito por perso-na, entonces para 6 personas necesito6 x = .

Son correctos ambos procedimientos? Cmojustifics tu afirmacin?

Cantidad de porciones

Leche necesaria(en litros)

10 8 5 6 2 3

Cantidad de personas

Cantidad decarne necesaria(en kg)

2 3 4 6 8 10

Cantidad de personas

Cantidad decarne necesaria(en kg)

2 3 4 6 8 10

Cantidad de pasos queda el robot

Distancia querecorre (en cm)

1 5 10 12

70 100 200

200 1.000

75

MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE UNA FRACCIN POR UN NMERO NATURAL

14

14

12

12

34

34

34

34

34

34

14

12

12

38

38

38

383

16

316

1816

98

75

G.C.B.A.


necesaria para 2 personas, si se calcula primero la cantidad para 1 persona( :3) y luego el doble de esa cantidad. Puede ser que los alumnos necesitenun tiempo para hacer estos clculos, pero es importante que el maestro sepaque ellos han podido elaborar a travs de los distintos problemas todos loselementos para realizarlos y para probar si los resultados que proponen son ono vlidos.

Es importante que las diversas estrategias posibles para completar las ta-blas se acompaen con los correspondientes clculos sobre fracciones. Porejemplo, de las dos maneras sealadas para establecer la cantidad de lechenecesaria para dos personas, surgen los siguientes clculos:

: 3 = ; o bien

: 3 = ; x 2 = =

Para contribuir a que los alumnos elaboren estrategias de control, es fun-damental que el docente seale que, por cualquiera de estos dos caminos, losresultados deben ser iguales, y que un modo de pensar el problema debe servirpara verificar los clculos que se corresponden con otro modo de pensarlo. La ri-queza de relaciones que surgen es la fuente de elaboracin de estrategias paraoperar con nmeros racionales.

El docente podr sugerir que se renan por parejas para comparar los re-sultados obtenidos y las estrategias que emplearon. Tambin, pueden pasar enlimpio todos los clculos con fracciones que surgieron al completar las tablascon sus correspondientes resultados.

Pedir a los alumnos que encuentren la mayor cantidad de clculos quesurgen de las tablas tiene por objetivo poner en funcionamiento ese doblejuego entre el contexto particular, las relaciones de proporcionalidad y lasoperaciones con nmeros racionales. Se trata de que comprendan que, aun-que no sepan las cuentas de una manera sistematizada, pueden de todos mo-dos obtener los resultados gracias a lo que saben del contexto.

Una vez que las tablas se han completado, ser necesario analizar global-mente cada una. La idea es establecer que, en cada tabla, se pasa del renglnde arriba al de abajo, multiplicando por un nmero fraccionario. As, para latabla 1, la cantidad de leche necesaria para una porcin de flan es , resul-ta entonces que multiplicando la cantidad de porciones por se obtiene lacorrespondiente cantidad de leche. Esta conclusin es el resultado de un an-lisis de la tabla ya hecha por caminos ms artesanales y diversos, y no unacondicin previa para completarla. Justamente lo que se quiere comunicar esque los alumnos disponen de un conjunto de relaciones de base que permitenavanzar en la comprensin de los clculos para luego sistematizar una estra-tegia general.

12

112

112

16

16

212

14

112

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ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 3, 4 Y 5

Estos tres problemas ponen en juego la divisin de una fraccin por un nme-ro natural. En las primeras tablas se trata de relaciones de proporcionalidaddirecta con constante fraccionaria aplicada a nmeros naturales. Ahora setrata de dividir fracciones por un nmero natural. La secuencia est pensadadel siguiente modo: primero se completa una tabla, despus se analiza unatabla ya completa para establecer cul es la constante que transforma un n-mero en su correspondiente y finalmente se pide a los alumnos que propon-gan una tabla dada la constante de proporcionalidad.

La primera de estas tareas es la ms fcil y pone claramente en juego ladivisin de una fraccin por un nmero natural.

La segunda tarea es conceptualmente mucho ms compleja: ya no se tratade hacer un clculo sino de analizar un conjunto de pares para establecer unaregularidad entre ellos: cul es la operacin (siempre la misma) que aplicada a

da , aplicada a da , aplicada a da , etc. Se trata de uncambio de posicin del alumno: debe inferir una relacin analizando un conjun-to de datos. Seguramente el docente deber sealar que esta tarea se relacionacon la anterior pero es diferente; una vez realizada ser importante establecercon los alumnos semejanzas y diferencias entre los problemas 3 y 4.

Para el problema 5, es importante que el maestro insista en que puedenproducirse tablas que tengan nmeros distintos y que eso no significa que es-tn mal confeccionadas. Los chicos no estn habituados a decidir qu nme-ros forman parte de los datos de un problema. Por lo general, en la tradicinescolar, esta es una atribucin del maestro, como tambin el hecho de adju-dicarle, a un nico enunciado para todo el grupo, los mismos valores. Ser in-teresante en este caso analizar con los alumnos que, a pesar de ser nmerosdistintos, se cumplen las mismas relaciones en cada tabla y que eso permiteestar seguros de que est bien hecha.

Sera conveniente sintetizar todas las relaciones producidas hasta el momento

PROBLEMAS

3) Laura, Anbal y Julieta se pusieron de acuerdo:al terminar la fiesta dividiran el resto de latorta en tres partes iguales, una para cada uno.Complet la siguiente tabla que relaciona lafraccin de torta que recibir cada uno, segnla cantidad de torta que sobr en la fiesta:

4) La siguiente tabla es parecida a la anterior,pero en este caso no se sabe entre cuntos

amigos se reparti la torta que sobr. Podsaveriguarlo?

5) Ahora arm una tabla como la anterior en laque la torta que sobra se reparte entre 5 ami-gos. Tens que decidir qu nmeros pondrs enla tabla. Seguramente tus compaeros no deci-dan incluir los mismos nmeros que vos; eso nosignifica que las tablas estn mal.

Fraccin de torta que sobr en la fiesta

Fraccin de torta para cada uno

14

13

Fraccin de torta que sobr en la fiesta

Fraccin de torta para cada chico

116

13

18

112

1

MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE UNA FRACCIN POR UN NMERO NATURAL

12

14

12

14

14

14

12

18

13

112

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sobre operaciones con fracciones, poniendo en discusin las formulacionesimprecisas, las relaciones errneas, las distintas maneras que han surgido pa-ra expresar una misma cuestin, etc. Ser til que los alumnos vuelvan sobresus primeras versiones y recojan los elementos ya identificados con toda laclase.

A partir de la divisin de fracciones de forma por un nmero natural asunto que se ha tratado particularmente en los problemas 3, 4 y 5, se es-pera que resuelvan otras divisiones aplicando o bien relaciones de proporcio-nalidad directa (por ejemplo, si se triplica la fraccin, se triplica el cociente),o bien descomponiendo la fraccin que se divide en suma de fracciones deforma y aplicando la propiedad distributiva de la divisin respecto de lasuma, o bien aplicando esta propiedad a alguna otra descomposicin conve-niente de la fraccin.

Por ejemplo, para : 2

a partir de : 2 = , ser posible establecer que : 2 = 3 x ( : 2) = .

Como = + + ,: 2 = : 2 + : 2 + : 2 = + + = .

Como = +: 2 = : 2 + : 2 = + .

Algunas de las afirmaciones que podran quedar registradas:

Para dividir una fraccin de numerador 1 por un nmero natural, multipli-co el denominador por el nmero natural. Por ejemplo, : 3 = .

Para dividir una fraccin por un nmero natural me conviene apoyarmeen una fraccin de numerador 1.

La multiplicacin de una fraccin por un nmero natural se puede pensarcomo una suma de varias fracciones iguales.

Etctera.

Estos problemas intentan una primera aproximacin a la multiplicacin de fraccio-nes basada en las relaciones de proporcionalidad directa, continuando el trabajo quese realiz para la multiplicacin y la divisin de fracciones por un nmero natural.

Estas relaciones ya fueron tratadas en la actividad anterior en la que se es-tablecan relaciones entre nmeros naturales y fracciones. El avance que ahora sepropone es el de relacionar fracciones con fracciones. Efectivamente, en esta secuen-cia se incluirn tablas de proporcionalidad con constante fraccionaria con la inten-cin de apoyarnos en este contexto para validar los resultados de diferentes opera-ciones e ir identificando as un procedimiento general para multiplicar fracciones.

Multiplicacin de fracciones en el contexto de la proporcionalidad directa

Acti

vida

d

7

14

1n

1n

37

37

27

27

114

114

114

114

114

314

314

37

37

37

37

17 1

7

17

17

17

17

17

17

17

1717

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Una pregunta legtima que el docente puede hacerse es acerca del sentidode plantear un trabajo tan complejo cuando el algoritmo de la multiplicacin defracciones es sencillo y podra usarse una estrategia ms econmica para en-searlo. Nuestra respuesta frente a esto es que la actividad propuesta apunta aque el alumno acceda a una cierta fundamentacin del algoritmo de la multipli-cacin y no slo a su mecanismo.


Es relativamente sencillo establecer a esta altura que la relacin que subyacea la tabla es kg de helado por persona. Completar una primera tabla sen-cilla permite identificar una serie de clculos y da lugar a que los alumnos con-soliden el juego de reconocer clculos una vez completada la tabla.

En este caso se puede identificar que

4 x = 1

8 x = 2

2 x =

1 x =

Eventualmente el docente podr proponer otros clculos referidos al mismocontexto, que no se hayan incluido en la tabla.

PROBLEMA

1) Complet la siguiente tabla que vincula la cantidad de helado que es necesario comprar en funcin delos invitados que asistirn a una fiesta, sabiendo que para cada invitado se calcula la misma cantidad.

Cantidad de personas invitadas

Cantidad de helado que es necesario comprar (kg)

4 8 2

1 14

MULTIPLICACIN DE FRACCIONES EN EL CONTEXTO DE LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA

14141414

1214

14

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A partir de las relaciones de proporcionalidad conocidas por los alumnos, es po-sible completar los diferentes casilleros de esta tabla. Por un lado, queda identifi-cado que la constante de proporcionalidad es de litro por kilmetro. Esto sig-nifica que, para obtener el correspondiente de una cierta cantidad de kilmetros,basta multiplicar esa cantidad por la constante de proporcionalidad. Ahora bien,los alumnos no podran en principio utilizar este procedimiento para hallar el co-rrespondiente de porque no han aprendido an a multiplicar fracciones (parahallar el correspondiente de tendran que multiplicar x ). Sin embargo,estn en condiciones de establecer el correspondiente de : el correspondien-te de es , por tanto, el correspondiente de es . De estas conside-raciones se deduce que x tiene que dar . Ser este un buen momen-to para proponer otros valores de modo que los alumnos enfrenten distintas mul-tiplicaciones de fracciones. Podran, por ejemplo, hallar la cantidad de nafta ne-cesaria para recorrer km, km, etctera.

Para que la resolucin de este problema sea posible tiene que estar disponi-ble en los alumnos el clculo de la mitad, la tercera parte, la cuarta parte, etc.de una fraccin, trabajado en la actividad anterior.

Las relaciones establecidas se pueden sintetizar en una tabla como la si-guiente:

PROBLEMA

2) Complet la siguiente tabla que relaciona los kilmetros recorridos por un automvil y los litros decombustible que consume, sabiendo que el automvil tiene siempre el mismo consumo por cadakilmetro que recorre.

Kilmetros que se recorren

Litros de nafta que se utilizan

1 2 3 12

32

110

Kilmetros que se recorren

Litros de naftaque se utilizan

1 2 312

32

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MULTIPLICACIN DE FRACCIONES EN EL CONTEXTO

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