Matemática...
Transcript of Matemática...
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 1 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 1 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 1© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 1
© 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 1© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 1
Capítulo 2
Matemática
Financeira5ª edição
por
Carlos Patricio
Samanez
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 2 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 2 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 2© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 2
Juros compostos
2.1 Regime de capitalização
composta ou exponencial
O regime de juros compostos é o mais comum no dia a dia do sistema financeiro e do cálculo econômico.
• Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal, para o cálculo dos juros do período seguinte.
• Também são denominados juros capitalizados. E chamamos de capitalização o processo de incorporação dos juros ao principal.
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 3 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 3 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 3© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 3
Regime de juros simples e juros compostos
Exemplo: Se aplicarmos $1.000 durante três anos à taxa de 20% a.a., teremos:
Rendimentos e montantes
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 4 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 4 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 4© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 4
Exemplo de cálculo de juros
Um investimento de $1.000, a juros simples de 20% a.a., ganha $200 por ano. Em três anos, o montante seria de $1.600.
Se, à medida que forem recebidos, os juros forem incorporados ao principal, o montante será $1.728 ao término dos três anos.
O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos que a juros simples.
A juros compostos, o dinheiro cresce exponencialmente em progressãogeométrica ao longo do tempo. Os rendimentos de cada período sãoincorporados ao saldo anterior e passam a render juros.
A juros simples, o montante cresce linearmente, visto que os juros dedeterminado período não são incorporados ao principal para o cálculo dosjuros do período seguinte — não há capitalização de juros nesse regime.
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 5 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 5 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 5© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 5
2.2 Capitalização e desconto a
juros compostos: cálculo do
montante e do principal
Para o montante de um capital aplicado a uma taxa de juros composta (i) durante três períodos, temos:
Se generalizarmos para n períodos, podemos calcular diretamente o montante, S, resultante da aplicação do principal, P, durante n períodos a uma taxa de juros composta i, obtemos:
A taxa de juros deve sempre referir-se à mesma unidade de tempo do período financeiro.
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 6 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 6 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 6© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 6
Exemplo de cálculo de juros
Na fórmula
• O fator (1 + i)n é chamado fator de capitalização, ou fator de valor futuro para aplicação única.
• Trata-se do número pelo qual devemos multiplicar o valor da aplicação inicial para obter seu valor futuro ou de resgate.
• Pode ser encontrado nas tabelas financeiras (ver Apêndice) ou com o auxílio de calculadoras.
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 7 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 7 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 7© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 7
Se o capital fosse de $1.000, a taxa composta, 20% a.a., e o prazo, três anos, o montante ao término do terceiro ano poderia ser calculado diretamente da seguinte forma:
Como se pode ver, o cálculo do valor presente de um montante ou pagamento único é simplesmente o inverso do cálculo do montante:
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 8 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 8 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 8© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 8
De forma esquemática:
Os fatores de valor futuro (1 + i) n e de valor presente (1 + i) −n permitem efetuar as operações:
No diagrama:
A seta horizontal superior representa o processo de desconto de um pagamento ou montante único.
A seta inferior corresponde ao processo de capitalização de um principal.
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 9 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 9 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 9© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 9
Os fatores (1 + i) n e (1 + i) −n têm a seguinte finalidade:
Fator (1 + i)n: ‘empurra’ grandezas para a frente; permiteencontrar o montante ou valor futuro de uma aplicação —capitaliza um principal até a data posterior.
Fator (1 + i) −n: ‘puxa’ grandezas para trás; possibilita encontrar oprincipal de determinado montante — desconta um valor futuroaté a data anterior.
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 10 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 10 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 10© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 10
2.3 Uso básico da calculadora
financeira HP 12c
Calculadora HP 12c
É a máquina mais utilizada no mundo das finanças.
Possui até três funções por tecla: brancas (automáticas), amarelas e azuis (aparecem acima e abaixo das teclas).
Para ativar as funções, pressionar as teclas:
• (f) para as amarelas; ou
• (g) para as azuis.
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 11 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 11 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 11© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 11
Operações básicas da HP 12c
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 12 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 12 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 12© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 12
Exercício
Qual é o capital que, em seis anos, à taxa de
juros composta de 15% a.a., monta $14.000?
Dados:
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 13 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 13 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 13© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 13
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 14 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 14 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 14© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 14
2.4 Equivalência de capitais
a juros compostos
O princípio de equivalência de capitais é fundamental na resolução dos problemas de cálculo financeiro.
Por exemplo: Diz-se que dois capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data com a mesma taxa de juros, tiverem valores iguais.
Importante: No regime de juros compostos, dois conjuntos de obrigações equivalentes em determinada data também o serão em qualquer outra.
No regime de juros simples, isso não ocorre (ver Capítulo 1).
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 15 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 15 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 15© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 15
Exercício
Verificar se os conjuntos de capitais A e B sãoequivalentes, considerando-se uma taxa de juroscomposta de 10%.
Dois conjuntos de capitais são equivalentes em determinadadata focal quando a soma de seus valores atualizados paraaquela data é igual.
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 16 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 16 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 16© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 16
Escolhendo como data focal a data zero, tem-se:
Verifica-se que os valores presentes dos dois conjuntos decapitais são iguais e, portanto, equivalentes. Essa equivalênciapermanecerá para qualquer outra data focal.
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 17 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 17 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 17© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 17
2.5 Cálculo com prazos
fracionários
No cálculo financeiro a juros compostos:
Às vezes, o prazo da aplicação não corresponde a um número inteiro deperíodos a que se refere a taxa de juros, mas sim a um númerofracionário.
Alternativas:
Cálculo pela convenção linear: os juros compostos são usados para a parteinteira do prazo, e os juros simples, para a parte fracionária do prazo.
Cálculo pela convenção exponencial: os juros compostos são usados tantopara a parte inteira do prazo quanto para a parte fracionária do prazo.
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 18 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 18 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 18© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 18
Um capital de $27.000 aplicado a juros de 6% a.m. rendeu $5.654,80. Determinar o prazoda aplicação em meses.
Exercício
Dados:
Convenção exponencial:
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 19 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 19 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 19© 2010 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 19
Aplicando logaritmos: